八年级数学下册 10.4 分式的乘除 如何判断分式计算的正确性素材 苏科版 精品

《分式的乘除》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业目标是巩固学生对分式乘除法则的理解和运用，培养学生分析问题和解决问题的能力，以及提高他们的数学计算能力和思维水平。

二、作业内容作业内容主要包括以下几个部分：1. 基础练习：让学生通过大量的基础练习，熟练掌握分式的乘除法运算。

练习题目包括同分母分式的乘除、异分母分式的乘除等。

2. 理解应用：设计一些实际应用问题，让学生运用分式乘除法则解决实际问题，如面积、体积、速度等问题中的分式运算。

3. 思维拓展：提供一些有挑战性的题目，如复杂的分式乘除混合运算、分式与整式的关系等，让学生通过思考和探究，加深对分式乘除法的理解。

4. 对比学习：通过比较分式与整式的乘除运算的异同，进一步理解分式的特点和运算规律。

三、作业要求为保证作业质量，学生需要遵循以下要求：1. 按时完成：学生应按照老师规定的截止时间完成作业，以保证有足够的时间进行检查和反思。

2. 准确计算：在完成作业过程中，学生应仔细计算，确保答案的准确性。

对于有疑问的题目，应及时向老师请教。

3. 规范书写：学生应按照数学作业的规范要求书写，字迹要工整，格式要正确。

4. 独立思考：在完成作业过程中，学生应独立思考，尽量自己解决问题，培养自主学习的能力。

四、作业评价作业评价主要包括以下几个方面：1. 正确性：评价学生答案的正确性，看其是否熟练掌握分式的乘除法运算。

2. 规范性：评价学生书写的规范性，看其是否符合数学作业的规范要求。

3. 创新性：对于思维拓展部分的题目，评价学生的创新思维和解决问题的能力。

4. 学习态度：评价学生的学习态度，看其是否认真对待作业，是否按时完成。

五、作业反馈作业反馈是提高学生学习效果的重要环节。

老师应根据学生的作业情况，及时给予反馈和指导。

对于错误的地方，老师应指出并帮助学生改正；对于优秀的地方，老师应给予表扬和鼓励。

同时，老师还应根据学生的作业情况，调整教学计划和教学方法，以更好地满足学生的学习需求。

《分式的乘除》的说课稿《＜分式的乘除>的说课稿》尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《分式的乘除》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析《分式的乘除》是初中数学八年级下册第十六章第二节的内容。

在此之前，学生已经学习了分式的基本性质、约分和通分，这为过渡到本节内容的学习起到了铺垫的作用。

同时，分式的乘除运算是分式运算的重要组成部分，也是后续学习分式的加减以及分式方程的基础。

本节课的教材内容主要包括分式的乘法法则和除法法则，通过实际问题引入，让学生经历从实际问题中抽象出数学模型，再进行推理和计算的过程，从而培养学生的数学思维能力和应用意识。

二、学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数运算基础和逻辑推理能力，能够在教师的引导下进行自主探究和合作学习。

但是，对于分式的运算，学生可能会受到分数运算的负迁移影响，容易出现运算错误。

因此，在教学过程中，要注重引导学生正确理解分式的乘除法则，加强运算练习，提高运算的准确性。

三、教学目标基于以上对教材和学情的分析，我制定了以下教学目标：1、知识与技能目标（1）理解分式的乘法法则和除法法则。

（2）能够熟练地进行分式的乘法和除法运算。

2、过程与方法目标（1）通过类比分数的乘除运算，经历探索分式乘除法则的过程，培养学生的类比、归纳和推理能力。

（2）在分式的乘除运算中，体会转化的数学思想，提高学生的运算能力和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观目标（1）通过自主探究和合作学习，培养学生的团队合作精神和创新意识。

（2）让学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。

四、教学重难点1、教学重点（2）熟练进行分式的乘法和除法运算。

2、教学难点（1）理解分式乘除法法则的推导过程。

（2）分式乘除法运算中符号的确定。

五、教法与学法1、教法根据本节课的教学内容和学生的实际情况，我将采用启发式教学法、讲授法和练习法相结合的教学方法。

苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习分式的乘除（提高）【学习目标】1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.2.会分式的乘法、除法运算.3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算. 【要点梳理】【402545 分式的乘除运算 知识要点】 要点一、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c acb d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成nn a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a b a b a b b b b ---⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【典型例题】 类型一、分式的乘法1、（2016北京•门头沟一模）已知x －3y =0，求()2222x yx y x xy y +⋅--+的值．【思路点拨】先把分母分解因式，并运用分式的乘法法则约分、化简，再把x =3y 代入可求分式的值．【答案与解析】 解：原式=()()22x yx y x y +⋅--=2x yx y+- ∵ x －3y=0，∴ x=3y ．∴当x=3y 时，原式=2377322y y y y y y ⨯+==-． 【总结升华】本题考查综合运用分式的乘法法则，约分化简分式，并根据已知条件式求分式的值． 举一反三：【变式】已知分式2|2|(3)0a b a b -+-=+，计算22222a aba abb a b +--的值．【答案】解：22222222()()()()a ab a ab a a b a a b a b a b b a b a b b +-+-==-+-．∵2|2|(3)0a b a b-+-=+， ∴ 2|2|(3)0a b -+-=，且0a b +≠，即20a -=且30b -=，解得2a =，3b =，此时50a b +=≠．∴ 原式222439==．类型二、分式的除法2、上，李老师给同学们出了这样一道题：当3x =，5-，7时，求代数式22212211x x x x x -+-÷-+的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体的过程．【思路点拨】分式求值问题的解题思路是先化简，再代入求值，一般情况下不直接代入，本题所给的x 的值虽然有的较为复杂，但化简分式后即可发现结果与字母x 的取值无关． 【答案与解析】解： 2222122(1)1111(1)(1)2(1)2x x x x x x x x x x -+--+÷==-++--．所以无论x 取何值，代数式的值均为12，即代数式的值与x 的取值无关．所以当3x =，5-7+时，代数式的值都是12．【总结升华】本题实际就是一道普通的分式化简求值题，只是赋予情景，增加兴趣，要通过认真审题，领会解决问题的实质． 举一反三：【变式】已知20a b +=，其中a 不为0，求22222ba ab a bab a --÷+的值.【答案】解：原式＝()()()()2a a b a b a b b a a b ++-⋅- ＝()22b b a +. ∵ 20a b +=， ∴ a b 2-=.∴ 原式＝22224)2()(aa a a =--. ∵ a 不为0， ∴ 原式＝41.类型三、分式的乘方3、 （2015春•泉州校级期中）计算：．【思路点拨】先进行乘方运算，再计算乘法运算即可得到结果． 【答案与解析】解：原式=﹣•=﹣．【总结升华】分式乘方时也可以先确定符号，再将分子、分母分别乘方． 类型四、分式的乘除法、乘方混合运算 【402545分式的乘除运算 例2（4）】4、 若m 等于它的倒数，求32222)2.()22(444m m m m m m m --+÷-++的值．【答案与解析】解：22232442().()422m m m m m m m +++÷--- ()()()()()()()22322222282282m m m m m m m m m m +-=-⨯⨯+-+-=-+∵m 等于它的倒数，∴1,m m=解得1m =± ∴1m =时，原式＝124；1m =-时，原式＝38-.【总结升华】乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算．有乘方的，先算乘方，注意符号的处理. 举一反三：【变式】（2014春•安县校级月考）化简：．【答案】 解：原式=﹣••=﹣．。

分式解题中常见错误归类剖析分式是在整式运算、多项式因式分解、一元一次方程的解法基础上学习的．分式的运算与整式的运算相比，运算步骤明显增多，符号更加复杂，解法更加灵活；因而更容易出现这样或那样的错误，为帮助同学们弄清分式运算中的错误所在，本文归纳几种错误如下，供同学们学习时参考．一、忽视隐含条件致错【例1】当x=___________时，分式xx x -2的值为 0． 〖错解〗当x 2－x ＝0，即x=0或x=1时，上述分式的值为零．【剖析】由于x=0时，分母=0，因此分式无意义．故正确答案为：x=1．二、轻易约分致错 【例2】a 为何值时，分式34222++--a a a a 无意义？ 〖错解〗因为32)1)(3()1)(2(34222+-=+++-=++--a a a a a a a a a a ,由a+3=0得a ＝－3，∴当a=－3时分式没有意义．【剖析】 讨论分式有无意义及分式的值是否为零，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式．误解的原因是轻易的约掉分子、分母中的公因式(a ＋1)，相当于分子、分母同除以一个可能为零的代数式，扩大了分式中字母的取值范围，即放宽了分式成立的条件．正确答案应为：a ＝－3或a=－1．三、符号上的错误【例3】化简mm -+-21442的结果是（ ）． A 、21+-m B 、21+m C 、462-+m m D 、21+-m 〖错解〗原式=46)2)(2()2(421)2)(2(42-+=++++=-+-+m m m m m m m m ，选C 【剖析】错误的原因是由于把(2-m)变形为（m-2）时没有改变分式的符号． 正解应为214)2()2)(2()2(421)2)(2(42+-=---=+++-=---+m m m m m m m m m ，故应选A ．四、通分时误去分母【例4】计算：1123----x x x x 〖错解〗原式=1)1()1)(1()1(1332323=--=++--=----x x x x x x x x x x 【剖析】错解把分式的化简与解方程去分母混同一体，分式化简的每一步变形的依据都是依靠分式的基本性质，通分要保留分母，而不是去分母；正解应为：原式=111)1(33-=---x x x x . 五、违背运算通性致错【例5】计算：ab b ab a b ab a b a b a -⨯+-+-÷+-1222223322 〖错解〗原式 =)()(1)())(())((2222222222b ab a bab a b a b a b ab a b a b ab a b a b a b a +-⨯+--=-⨯+--÷+-+-+ =b a -【剖析】乘除法是同级运算，谁在前先做谁，而不应违反运算通性．正解应为：原式=222222)(1)())(())((b a b a b ab a b ab a b a b a b a -⨯-+-⨯+-+-+=3)(1b a - 六、结果不是最简分式【例6】计算 〖错解〗原式【剖析】本题错在分式化简的结果不是最简分式，应在分式。

分式的乘除技巧多正确进行分式的乘除运算，除要掌握相关运算法则外，还应根据算式的特征，适当地运用一些方法技巧。

一、分子、分母都是单项式当分式的分子、分母都是单项式时，可按法则将分式的分子、分母分别直接相乘(除法先转化为乘法)后，再约分。

例1 计算：)2()43(82332y x y x y x -÷-⋅. 解析：把除法转化为乘法，分子、分母分别直接相乘后,再约分，但要注意符号。

原式=y x y x y x 23322438⋅⋅=4233448y x y x =y x y y x x y x 1241243232=⋅⋅。

二、分子或分母是多项式当分式的分子或分母是多项式时，一般先把多项式分解因式，再将分式的分子、分母分别相乘（除法先转化为乘法）,然后约分化简.例2 计算：222224434abb ab a ab b a +-÷-. 解析:除法转化为乘法,并将分子、分母中的多项式分解因式，然后相乘、约分.原式=22)2(3)2)(2(b a ab ab b a b a -⋅-+=22)2(3)2)(2(b a ab ab b a b a -⋅-+=)2(3)2(b a b a b -+. 三、不同分式的分子、分母可以约分在进行分式的乘除运算时，不一定先把分式的分子、分母乘到一块后再约分，当分式的分子、分母都写成积的形式后，可以先“跨”分式约分,再相乘，这样比较简便。

例3 计算：y x xy yxy x y x x y xy x y x -÷+-+⋅++-22232222。

解析：原式=xy y x y x y x x y x y x -⋅-+⋅+-222)()()(=)(111y x y x y x y x +=⋅⋅+。

四、除式是整式当除式是整式时,应把整式看作分母是1的“分式”，求其倒数后，再相乘。

例4 计算:x x x x xx x --+⋅+÷+--3)2)(3()3(44622. 解析:把(x+3)看作13+x ，则除以（x+3）就是乘以31+x . 原式=)3()2)(3(31)2()3(22---+⋅+⋅--x x x x x x =22--x 。

分式方程解法易错点剖析一、去分母经常数漏乘公分母【例 1】解方程 2x 1 2. x 3 3 x错解：方程两边都乘以（x-3 ）， 得 2-x=-1-2 ，解这个方程，得 x=5.错解剖析：解分式方程需要去分母，依据等式的性质，在方程两边同乘以（x-3 ）时，应注意乘以方程的每一项 . 错解在去分母时， -2 这一项没有乘以（ x-3 ），此外，求到 x=5 没有代入原方程中查验 .正解：方程两边都乘以（x-3 ），得 2-x=-1-2 （ x-3 ），解得 x=3查验：将 x=3 代入原方程，可知原方程的分母等于0，因此 x=3 是原方程的增根，因此原方程无解 .二、去分母时，分子是多项式不加括号【例 2】解方程3 1 2 0 x1 x1 错解：方程化为3 1 0 ， ( x 1)( x 1) x 1方程两边同乘以（ x ＋ 1）（ x － 1），得3-x-1=0 ，解得 x=2.因此方程的解为 x=2.错解剖析：当分式的分子是一个多项式，去掉分母时，应将多项式用括号括起来. 错解在没实用括号将（ x － 1）括起来，出现符号上的错误，并且最后没有查验.正解：方程两边都乘以（x ＋ 1）（ x －1），得 3- （ x － 1） =0，解这个方程，得 x=4．查验 : 当 x=4 时，原方程的分母不等于0，因此 x=4 是原方程的根 . 三、方程两边同除可能为零的整式【例 3】解方程3x 2 3x 2 . x 4 x3 错解：方程两边都除以3x-2 ，得 11 ， x 4 x 3因此 x+3=x-4 ，因此 3=-4 ，即方程无解 . 错解剖析：错解的原由是在没有重申（3x-2 ）能否等于 0 的条件下，方程两边同除以（ 3x-2 ），结果致使方程无解．正解：方程两边都乘以（ x-4 ）（ x+3），得（ 3x-2 ）（ x+3） =（ 3x-2 ）（ x-4 ），因此（ 3x-2 ）（ x+3）－（ 3x-2 ）（ x-4 ） =0．即（ 3x-2 ）（ x+3－ x ＋ 4）=0．因此 7（ 3x-2 ）=0．解得 x= 2. 3查验：当 x= 2 时，原方程的左侧=右侧 =0，因此 x= 2 是原方程的解 3 3四、忽略“两重”验根【例 4】解方程2x 7 x 3 1 2x 6错解 去分母，得 4x ＋1=7．程的根．错解剖析：这里求出方程的根以后，又经过查验，仿佛没有问题．但只母的过程中，把方程两边都乘以最简公分母 2(x ＋ 3) ，没有将 2(x ＋3) 与 1 相乘，因此所得的方程与原方程不一样解了． 那么，为何“查验” 没有发现呢？这是由于这类验根方法一定以解题过程没有错误为前提，不然，即便将求得的未知数的值代入所乘的整式，整式的值不为零，也不可以判定未知数的这个值是原方程的根．正确解法 去分母，得 4x ＋ 2x ＋6=7．说明解分式方程时要注意的是：查验未知数的值能否是原方程的根，不单要查验能否有增根 ( 代入公分母 ) ，并且要代入原方程，查验原方程两边的值能否相等．。

掌握分式的概念应注意哪些问题？
难易度：★★★
关键词：分式
答案：
掌握分式的概念应注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/B的形式，关键要满足。

（1）分式的分母中必须含有未知数。

（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。

【举一反三】
典例：当时，下面分式的值为零的只有一个是（）
A B C
D
思路导引：一般来讲，解决本题要会正确判断分式，这里错解认为“只要分子的值为
零，”而忽略了“分母不为零”，事实上取时，分式本身已经没有意义；因为将
分别代入A，发现分母不为零，分子为零，故选A；
标准答案：A。

掌握分式的概念应注意哪些问题？
难易度：★★★
关键词：分式
答案：
掌握分式的概念应注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/B的形式，关键要满足。

（1）分式的分母中必须含有未知数。

（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。

【举一反三】
典例：当时，下面分式的值为零的只有一个是（）
A B C
D
思路导引：一般来讲，解决本题要会正确判断分式，这里错解认为“只要分子的值为
零，”而忽略了“分母不为零”，事实上取时，分式本身已经没有意义；因为将
分别代入A，发现分母不为零，分子为零，故选A；
标准答案：A。

初二数学分式的乘除、分式方程某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：分式的乘除、分式方程二. 教学目标：1. 使学生理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题.2. 掌握分式方程的概念，掌握分式的乘除运算，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用.3. 培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学类比转化的思想培养学生的应用意识。

三. 教学重点与难点：重点：1. 掌握分式的乘除运算2. 分式方程的解法.3. 将实际问题中的等量关系用分式方程表示难点：1. 分子、分母为多项式的分式乘除法运算.2. 列分式方程解应用题四. 课堂教学：（一）知识要点知识点1：约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。

约分一定要把公因式约完。

知识点2：最简分式分子与分母没有公因式的分式叫最简分式。

分式运算的结果一定要化为最简因式。

知识点3：分式乘法法则 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。

即B A .DC =. 知识点4：分式除法法则：分式除以分式把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。

即B A ÷DC =. 知识点5：分式的混合运算与分数混合运算类似，分式的加，减，乘，除混合运算的顺序是：先乘除，后加减。

如有括号，则先进行括号内的运算。

知识点6：分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

如：（1）01111=--+x x （2）163104245--+=--x x x x 知识点7：分式方程的解法去分母，把分式方程转化为整式方程解整式方程检验知识点8：解分式方程产生增根的原因解分式方程时我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式。

因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。

知识点9：列分式方程解应用题列分式方程解应用题与列一元一次方程和二元一次方程组相似。

但要特别注意检验。

【典型例题】例1. 计算：（1）2222.2)(x yx xy y xy x x xy -+-÷-解：原式=y x y x y x xy x y x -=-⋅-⋅-22)()()(（2）x xx x x x x x -÷+----+4)44122(22解：原式x 4x])2x (1x )2x (x 2x [2-⋅----+=22222)2(14)2(44)2(4--=-⋅--=-⋅-+--=x x xx x x xxx x x x x例 2. 先化简，再求值：2222222222b a )c b (a b a ab 2c )b a (ab a ac ab a ---÷++--⨯--+。