高中数学选修1-1综合练习
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高中数学人教A 版选修1-1模块综合检测(A)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.命题“若A ⊆B ,则A =B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( )A .0B .2C .3D .42.已知命题p :若x 2+y 2=0 (x ,y ∈R ),则x ,y 全为0;命题q :若a >b ,则1a <1b .给出下列四个复合命题:①p 且q ;②p 或q ;③綈p ;④綈q .其中真命题的个数是( )A .1B .2C .3D .43.以x 24-y 212=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216+y 212=1 B.x 212+y 216=1 C.x 216+y 24=1 D.x 24+y 216=14.已知a >0,则x 0满足关于x 的方程ax =b 的充要条件是( )A .∃x ∈R ,12ax 2-bx ≥12ax 20-bx 0B .∃x ∈R ,12ax 2-bx ≤12ax 20-bx 0C .∀x ∈R ,12ax 2-bx ≥12ax 20-bx 0D .∀x ∈R ,12ax 2-bx ≤12ax 20-bx 05.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0),M 为椭圆上一动点,F 1为椭圆的左焦点,则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A .椭圆B .圆C .双曲线的一支D .线段6.已知点P 在曲线y =4e x +1上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )A .[0,π4)B .[π4,π2)C .(π2,3π4]D .[3π4,π) 7.已知a >0,函数f (x )=x 3-ax 在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则a 的最大值是( ) A .1 B .3 C .9 D .不存在8.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6,那么|AB |等于( )A .10B .8C .6D .49.中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.5210.若当x =2时,函数f (x )=ax 3-bx +4有极值-43,则函数的解析式为( )A .f (x )=3x 3-4x +4B .f (x )=13x 2+4 C .f (x )=3x 3+4x +4 D .f (x )=13x 3-4x +411.设O 为坐标原点,F 1、F 2是x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点,若在双曲线上存在点P ,满足∠F 1PF 2=60°,|OP |=7a ,则该双曲线的渐近线方程为( )A .x ±3y =0 B.3x ±y =0 C .x ±2y =0 D.2x ±y =012.若函数f (x )=x 2+ax (a ∈R ),则下列结论正确的是( ) A .∀a ∈R ,f (x )在(0,+∞)上是增函数 B .∀a ∈R ,f (x )在(0,+∞)上是减函数 C .∃a ∈R ,f (x )是偶函数 D .∃a ∈R ,f (x )是奇函数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知p (x ):x 2+2x -m >0,如果p (1)是假命题,p (2)是真命题,那么实数m 的取值范 围是 ________________________________________________________________.14.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =3x ,它的一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同,则双曲线的方程为________________________________________________________________________.15.若AB 是过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)中心的一条弦,M 是椭圆上任意一点,且AM 、BM 与坐标轴不平行,k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率,则k AM ·k BM =________.16.已知f (x )=x 3+3x 2+a (a 为常数)在[-3,3]上有最小值3,那么在[-3,3]上f (x )的最大值是________.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知p :2x 2-9x +a <0,q :⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +3<0x 2-6x +8<0,且綈q 是綈p 的必要条件,求实数a 的取值范围.18.(12分)设P 为椭圆x 2100+y 264=1上一点,F 1、F 2是其焦点,若∠F 1PF 2=π3,求△F 1PF 2的面积.19.(12分)已知两点M (-2,0)、N (2,0),点P 为坐标平面内的动点,满足|MN →||MP→|+MN →·NP →=0,求动点P (x ,y )的轨迹方程.20.(12分)已知函数f (x )=ax 2-43ax +b ,f (1)=2,f ′(1)=1. (1)求f (x )的解析式;(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程.21.(12分)已知直线y =ax +1与双曲线3x 2-y 2=1交于A ,B 两点. (1)求a 的取值范围;(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点,求实数a 的值.22.(12分)已知函数f (x )=ln x -ax +1-ax -1(a ∈R ).(1)当a =-1时,求曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程;(2)当a ≤12时,讨论f (x )的单调性.答案1.B [原命题为假,故其逆否命题为假;其逆命题为真,故其否命题为真;故共有2个真命题.]2.B [命题p 为真,命题q 为假,故p ∨q 真,綈q 真.]3.D [双曲线x 24-y 212=-1,即y 212-x 24=1的焦点为(0,±4),顶点为(0,±23).所以对椭圆y 2a 2+x 2b 2=1而言,a 2=16,c 2=12.∴b 2=4,因此方程为y 216+x 24=1.]4.C [由于a >0,令函数y =12ax 2-bx =12a (x -b a )2-b 22a ,此时函数对应的图象开口向上,当x =b a 时,取得最小值-b 22a ,而x 0满足关于x 的方程ax =b ,那么x 0=b a ,y min =12ax 20-bx 0=-b 22a ,那么对于任意的x ∈R ,都有y =12ax 2-bx ≥-b 22a =12ax 20-bx 0.]5.A [∵P 为MF 1中点,O 为F 1F 2的中点,∴|OP |=12|MF 2|,又|MF 1|+|MF 2|=2a ,∴|PF 1|+|PO |=12|MF 1|+12|MF 2|=a .∴P 的轨迹是以F 1,O 为焦点的椭圆.]6.D [∵y =4e x +1,∴y ′=-4e x (e x +1)2.令e x +1=t ,则e x =t -1且t >1,∴y ′=-4t +4t 2=4t 2-4t .再令1t =m ,则0<m <1,∴y ′=4m 2-4m =4(m -12)2-1,m ∈(0,1). 容易求得-1≤y ′<0,∴-1≤tan α<0,得34π≤α<π.]7.B [因为函数f (x )在区间[1,+∞)上单调递增,所以有f ′(x )≥0,x ∈[1,+∞),即3x 2-a ≥0在区间[1,+∞)上恒成立,所以a ≤3x 2.因为x ∈[1,+∞)时,3x 2≥3,从而a ≤3.] 8.B [由抛物线的定义, 得|AB |=x 1+x 2+p =6+2=8.]9.D [由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y =-b a x ,∴-2=-ba ×4,∴a =2b ,设b =k ,则a =2k ,c =5k ,∴e =c a =5k 2k =52.] 10.D [因为f (x )=ax 3-bx +4, 所以f ′(x )=3ax 2-b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)=12a -b =0f (2)=8a -2b +4=-43,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =13b =4,故所求函数解析式为f (x )=13x 3-4x +4.]11.D [如图所示,∵O 是F 1F 2的中点,PF 1→+PF 2→=2PO →,∴(PF 1→+PF 2→)2=(2PO →)2.即 |PF 1→|2+|PF 2→|2+2|PF 1→|·|PF 2→|·cos 60°=4|PO →|2. 又∵|PO |=7a ,∴ |PF 1→|2+|PF 2→|2+|PF 1→||PF 2→|=28a 2. ① 又由双曲线定义得|PF 1|-|PF 2|=2a , ∴(|PF 1|-|PF 2|)2=4a 2.即|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=4a 2. ② 由①-②得|PF 1|·|PF 2|=8a 2, ∴|PF 1|2+|PF 2|2=20a 2.在△F 1PF 2中,由余弦定理得cos 60°=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|, ∴8a 2=20a 2-4c 2.即c 2=3a 2. 又∵c 2=a 2+b 2,∴b 2=2a 2. 即b 2a 2=2,ba = 2.∴双曲线的渐近线方程为2x ±y =0.]12.C [f ′(x )=2x -ax 2,故只有当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上才是增函数,因此A 、B 不对,当a =0时,f (x )=x 2是偶函数,因此C 对,D 不对.]13.[3,8)解析 因为p (1)是假命题,所以1+2-m ≤0, 即m ≥3.又因为p (2)是真命题,所以4+4-m >0, 即m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8. 14.x 24-y 212=1解析 由双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =3x 得ba =3,∴b =3a . ∵抛物线y 2=16x 的焦点为F (4,0),∴c =4. 又∵c 2=a 2+b 2,∴16=a 2+(3a )2, ∴a 2=4,b 2=12.∴所求双曲线的方程为x 24-y 212=1.15.-b 2a 2解析 设A (x 1,y 1),M (x 0,y 0), 则B (-x 1,-y 1),则k AM ·k BM =y 0-y 1x 0-x 1·y 0+y 1x 0+x 1=y 20-y 21x 20-x 21=⎝⎛⎭⎫-b 2a 2x 20+b 2-⎝⎛⎭⎫-b 2a 2x 21+b 2x 20-x 21=-b 2a 2. 16.57解析 f ′(x )=3x 2+6x ,令f ′(x )=0, 得x =0或x =-2.又∵f (0)=a ,f (-3)=a , f (-2)=a +4,f (3)=54+a ,∴f (x )的最小值为a ,最大值为54+a . 由题可知a =3,∴f (x )的最大值为57.17.解 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +3<0x 2-6x +8<0,得⎩⎨⎧1<x <32<x <4,即2<x <3.∴q :2<x <3.设A ={x |2x 2-9x +a <0},B ={x |2<x <3}, ∵綈p ⇒綈q ,∴q ⇒p ,∴B ⊆A . 即2<x <3满足不等式2x 2-9x +a <0. 设f (x )=2x 2-9x +a ,要使2<x <3满足不等式2x 2-9x +a <0, 需⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0f (3)≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧8-18+a ≤018-27+a ≤0. ∴a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}. 18.解 如图所示,设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则S △F 1PF 2=12mn sin π3=34mn .由椭圆的定义知 |PF 1|+|PF 2|=20,即m +n =20. ① 又由余弦定理,得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cos π3 =|F 1F 2|2,即m 2+n 2-mn =122. ②由①2-②,得mn =2563.∴S △F 1PF 2=643 3.19.解 设 P =(x ,y ),则 MN →=(4,0),MP →=(x +2,y ), NP →=(x -2,y ).∴ |MN →|=4,|MP →|=(x +2)2+y 2, MN →·NP →=4(x -2),代入 |MN →|·|MP →|+MN →·NP →=0, 得4(x +2)2+y 2+4(x -2)=0, 即(x +2)2+y 2=2-x , 化简整理,得y 2=-8x .故动点P (x ,y )的轨迹方程为y 2=-8x .20.解 (1)f ′(x )=2ax -43a ,由已知得⎩⎨⎧f ′(1)=2a -43a =1f (1)=a -43a +b =2,解得⎩⎨⎧a =32b =52,∴f (x )=32x 2-2x +52.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为 y -2=x -1,即x -y +1=0.21.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y =ax +1,3x 2-y 2=1消去y ,得(3-a 2)x 2-2ax -2=0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3-a 2≠0,Δ>0,即-6<a <6且a ≠±3.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=2a3-a 2,x 1x 2=-23-a 2.∵以AB 为直径的圆过原点,∴OA ⊥OB ,∴x 1x 2+y 1y 2=0,即x 1x 2+(ax 1+1)(ax 2+1)=0, 即(a 2+1)x 1x 2+a (x 1+x 2)+1=0.∴(a 2+1)·-23-a 2+a ·2a3-a 2+1=0, ∴a =±1,满足(1)所求的取值范围. 故a =±1.22.解 (1)当a =-1时,f (x )=ln x +x +2x -1, x ∈(0,+∞),所以f ′(x )=x 2+x -2x 2,x ∈(0,+∞), 因此f ′(2)=1,即曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)=ln 2+2,所以曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为 y -(ln 2+2)=x -2,即x -y +ln 2=0.(2)因为f (x )=ln x -ax +1-ax -1,所以f ′(x )=1x -a +a -1x 2=-ax 2-x +1-a x 2,x ∈(0,+∞). 令g (x )=ax 2-x +1-a ,x ∈(0,+∞).①当a =0时,g (x )=-x +1,x ∈(0,+∞), 所以当x ∈(0,1)时,g (x )>0,此时f ′(x )<0,函数f (x )单调递减;当x ∈(1,+∞)时,g (x )<0,此时f ′(x )>0,函数f (x )单调递增. ②当a ≠0时,由f ′(x )=0,即ax 2-x +1-a =0,解得x 1=1,x 2=1a -1. a .当a =12时,x 1=x 2,g (x )≥0恒成立,此时f ′(x )≤0,函数f (x )在(0,+∞)上单调递减.b .当0<a <12时,1a -1>1, x ∈(0,1)时,g (x )>0,此时f ′(x )<0,函数f (x )单调递减;x ∈⎝⎛⎭⎫1,1a -1时,g (x )<0, 此时f ′(x )>0,函数f (x )单调递增;x ∈⎝⎛⎭⎫1a -1,+∞时,g (x )>0,此时f ′(x )<0,函数f (x )单调递减.c .当a <0时,由于1a -1<0. x ∈(0,1)时,g (x )>0,此时f ′(x )<0,函数f (x )单调递减; x ∈(1,+∞)时,g (x )<0,此时f ′(x )>0,函数f (x )单调递增. 综上所述:当a ≤0时,函数f (x )在(0,1)上单调递减, 在(1,+∞)上单调递增;当a =12时,函数f (x )在(0,+∞)上单调递减;当0<a <12时,函数f (x )在(0,1)上单调递减,在⎝⎛⎭⎫1,1a -1上单调递增,在⎝⎛⎭⎫1a -1,+∞上单调递减.模块综合检测(B)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题“p :x ≥4或x ≤0”,命题“q :x ∈Z ”,如果“p 且q ”与“非q ”同时为假命题,则满足条件的x 为( )A .{x |x ≥3或x ≤-1,x ∉Z }B .{x |-1≤x ≤3,x ∉Z }C .{-1,0,1,2,3}D .{1,2,3}2.“a >0”是“|a |>0”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.已知2x +y =0是双曲线x 2-λy 2=1的一条渐近线,则双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C. 5 D .24.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( ) A.x 24-y 212=1 B.x 212-y 24=1 C.x 210-y 26=1 D.x 26-y 210=15.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是( )A .2 3B .6C .4 3D .126.过点(2,-2)与双曲线x 2-2y 2=2有公共渐近线的双曲线方程为( ) A.x 22-y 24=1 B.x 24-y 22=1 C.y 24-x 22=1 D.y 22-x 24=17.曲线y =x 3-3x 2+1在点(1,-1)处的切线方程为( ) A .y =3x -4 B .y =-3x +2 C .y =-4x +3 D .y =4x -5 8.函数f (x )=x 2-2ln x 的单调递减区间是( )A .(0,1]B .[1,+∞)C .(-∞,-1],(0,1)D .[-1,0),(0,1] 9.已知椭圆x 2+2y 2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A .3 2 B .2 3C.303D.32 610.设曲线y =x +1x -1在点(3,2)处的切线与直线ax +y +1=0垂直,则a 等于( )A .2 B.12 C .-12 D .-211.若函数y =f (x )的导函数在区间[a ,b ]上是增函数,则函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象可能是( )12.已知函数f (x )的导函数f ′(x )=4x 3-4x ,且f (x )的图象过点(0,-5),当函数f (x )取得极小值-6时,x 的值应为( )A .0B .-1C .±1D .1题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知双曲线x 2-y 23=1,那么它的焦点到渐近线的距离为________.14.点P 是曲线y =x 2-ln x 上任意一点,则P 到直线y =x -2的距离的最小值是________. 15.给出如下三种说法:①四个实数a ,b ,c ,d 依次成等比数列的必要而不充分条件是ad =bc . ②命题“若x ≥3且y ≥2,则x -y ≥1”为假命题. ③若p ∧q 为假命题,则p ,q 均为假命题. 其中正确说法的序号为________.16.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)的两个焦点F 1、F 2,若P 为双曲线上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为________.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)命题p :方程x 2+mx +1=0有两个不等的负实数根,命题q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实数根.若“p 或q ”为真命题,“p 且q ”为假命题,求m 的取值范围.18.(12分)F 1,F 2是椭圆的两个焦点,Q 是椭圆上任意一点,从任一焦点向△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线引垂线,垂足为P ,求点P 的轨迹.19.(12分)若r (x ):sin x +cos x >m ,s (x ):x 2+mx +1>0.已知∀x ∈R ,r (x )为假命题且s (x )为真命题,求实数m 的取值范围.20.(12分)已知椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的一个顶点为A(0,1),离心率为22,过点B(0,-2)及左焦点F1的直线交椭圆于C,D两点,右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程;(2)求△CDF2的面积.21.(12分)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调区间.22.(12分)已知f(x)=23x3-2ax2-3x (a∈R),(1)若f(x)在区间(-1,1)上为减函数,求实数a的取值范围;(2)试讨论y=f(x)在(-1,1)内的极值点的个数.答案1.D2.A [因为|a |>0⇔a >0或a <0,所以a >0⇒|a |>0,但|a |>0 ⇒a >0,所以“a >0”是“|a |>0”的充分不必要条件.]3.C4.A [由题意知c =4,焦点在x 轴上,又e =c a =2,∴a =2,∴b 2=c 2-a 2=42-22=12,∴双曲线方程为x 24-y 212=1.]5.C [设椭圆的另一焦点为F ,由椭圆的定义知|BA |+|BF |=23,且|CF |+|AC |=23,所以△ABC 的周长=|BA |+|BC |+|AC |=|BA |+|BF |+|CF |+|AC |=4 3.]6.D [与双曲线x 22-y 2=1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22-y 2=λ,由过点(2,-2),可解得λ=-2.所以所求的双曲线方程为y 22-x 24=1.]7.B [y ′=3x 2-6x ,∴k =y ′|x =1=-3,∴切线方程为y +1=-3(x -1),∴y =-3x +2.]8.A [由题意知x >0,若f ′(x )=2x -2x =2(x 2-1)x ≤0,则0<x ≤1,即函数f (x )的递减区间是(0,1].]9.C [令直线l 与椭圆交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧ x 21+2y 21=4 ①x 22+2y 22=4 ②①-②得:(x 1+x 2)(x 1-x 2)+2(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,即2(x 1-x 2)+4(y 1-y 2)=0,∴k l =-12,∴l 的方程:x +2y -3=0,由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -3=0x 2+2y 2-4=0,得6y 2-12y +5=0. ∴y 1+y 2=2,y 1y 2=56.∴|AB |=⎝⎛⎭⎫1+1k 2(y 1-y 2)2=303.] 10.D [y =x +1x -1, ∴y ′|x =3=-2(x -1)2|x =3=-12. 又∵-a ×⎝⎛⎭⎫-12=-1,∴a =-2.] 11.A [依题意,f ′(x )在[a ,b ]上是增函数,则在函数f (x )的图象上,各点的切线的斜率随着x 的增大而增大,观察四个选项中的图象,只有A 满足.]12.C [f (x )=x 4-2x 2+c .因为过点(0,-5),所以c =-5.由f ′(x )=4x (x 2-1),得f (x )有三个极值点,列表判断±1均为极小值点,且f (1)=f (-1)=-6.] 13. 3 解析 焦点(±2,0),渐近线:y =±3x ,焦点到渐近线的距离为23(3)2+1= 3. 14. 2解析 先设出曲线上一点,求出过该点的切线的斜率,由已知直线,求出该点的坐标,再由点到直线的距离公式求距离.设曲线上一点的横坐标为x 0 (x 0>0),则经过该点的切线的斜率为k =2x 0-1x 0,根据题意得,2x 0-1x 0=1,∴x 0=1或x 0=-12,又∵x 0>0,∴x 0=1,此时y 0=1,∴切点的坐标为(1,1),最小距离为|1-1-2|2= 2. 15.①②解析 对①,a ,b ,c ,d 成等比数列,则ad =bc ,反之不一定,故①正确;对②,令x =5,y =6,则x -y =-1,所以该命题为假命题,故②正确;对③,p ∧q 假时,p ,q 至少有一个为假命题,故③错误.16.(1,3]解析 设|PF 2|=m ,则2a =||PF 1|-|PF 2||=m ,2c =|F 1F 2|≤|PF 1|+|PF 2|=3m .∴e =c a =2c 2a ≤3,又e >1,∴离心率的取值范围为(1,3].17.解 命题p :方程x 2+mx +1=0有两个不等的负实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ=m 2-4>0m >0⇔m >2. 命题q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根⇔Δ′=16(m -2)2-16=16(m 2-4m +3)<0⇔1<m <3.∵“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,∴p 为真、q 为假或p 为假、q 为真,则⎩⎪⎨⎪⎧ m >2m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤21<m <3, 解得m ≥3或1<m ≤2.18.解 设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0),F 1,F 2是它的两个焦点,Q 为椭圆上任意一点,QP 是△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线(如图),连结PO ,过F 2作F 2P ⊥QP 于P 并延长交F 1Q 的延长线于H ,则P 是F 2H 的中点,且|F 2Q |=|QH |,因此|PO |=12|F 1H |=12(|F 1Q |+|QH |)=12(|F 1Q |+|F 2Q |)=a ,∴点P 的轨迹是以原点为圆心,以椭圆半长轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x 轴的交点).19.解 由于sin x +cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4∈[-2,2], ∀x ∈R ,r (x )为假命题即sin x +cos x >m 恒不成立.∴m ≥ 2. ①又对∀x ∈R ,s (x )为真命题.∴x 2+mx +1>0对x ∈R 恒成立.则Δ=m 2-4<0,即-2<m <2. ②故∀x ∈R ,r (x )为假命题,且s (x )为真命题, 应有2≤m <2.20.解 (1)由题意知b =1,e =c a =22,又∵a 2=b 2+c 2,∴a 2=2.∴椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)∵F 1(-1,0),∴直线BF 1的方程为y =-2x -2,由⎩⎪⎨⎪⎧y =-2x -2x 22+y 2=1,得9x 2+16x +6=0. ∵Δ=162-4×9×6=40>0,∴直线与椭圆有两个公共点,设为C (x 1,y 1),D (x 2,y 2), 则⎩⎨⎧ x 1+x 2=-169x 1x 2=23,∴|CD |=1+(-2)2|x 1-x 2|=5·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=5·⎝⎛⎭⎫-1692-4×23=1092, 又点F 2到直线BF 1的距离d =455,故S △CDF 2=12|CD |·d =4910.21.解 (1)由f (x )的图象经过P (0,2)知d =2,∴f (x )=x 3+bx 2+cx +2,f ′(x )=3x 2+2bx +c .由在点M (-1,f (-1))处的切线方程是6x -y +7=0,知-6-f (-1)+7=0,即f (-1)=1,f ′(-1)=6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3-2b +c =6,-1+b -c +2=1,即⎩⎪⎨⎪⎧ b -c =0,2b -c =-3, 解得b =c =-3.故所求的解析式是f (x )=x 3-3x 2-3x +2.(2)f ′(x )=3x 2-6x -3,令3x 2-6x -3=0,即x 2-2x -1=0.解得x 1=1-2,x 2=1+ 2.当x <1-2或x >1+2时,f ′(x )>0.当1-2<x <1+2时,f ′(x )<0.故f (x )=x 3-3x 2-3x +2在(-∞,1-2)和(1+2,+∞)内是增函数,在(1-2,1+2)内是减函数.22.解 (1)∵f (x )=23x 3-2ax 2-3x ,∴f ′(x )=2x 2-4ax -3,∵f (x )在区间(-1,1)上为减函数,∴f ′(x )≤0在(-1,1)上恒成立;∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(-1)≤0f ′(1)≤0 得-14≤a ≤14. 故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤-14,14. (2)当a >14时,∵⎩⎨⎧ f ′(-1)=4⎝⎛⎭⎫a -14>0f ′(1)=-4⎝⎛⎭⎫a +14<0,∴存在x 0∈(-1,1),使f ′(x 0)=0,∵f ′(x )=2x 2-4ax -3开口向上,∴在(-1,x 0)内,f ′(x )>0,在(x 0,1)内,f ′(x )<0,即f (x )在(-1,x 0)内单调递增,在(x 0,1)内单调递减,∴f (x )在(-1,1)内有且仅有一个极值点,且为极大值点.当a <-14时,∵⎩⎨⎧ f ′(-1)=4⎝⎛⎭⎫a -14<0f ′(1)=-4⎝⎛⎭⎫a +14>0,∴存在x 0∈(-1,1)使f ′(x 0)=0.∵f ′(x )=2x 2-4ax -3开口向上,∴在(-1,x 0)内f ′(x )<0,在(x 0,1)内f ′(x )>0.即f (x )在(-1,x 0)内单调递减,在(x 0,1)内单调递增,∴f (x )在(-1,1)内有且仅有一个极值点,且为极小值点.当-14≤a ≤14时,由(1)知f (x )在(-1,1)内递减,没有极值点.综上,当a >14或a <-14时,f (x )在(-1,1)内的极值点的个数为1,当-14≤a ≤14时,f (x )在(-1,1)内的极值点的个数为0.模块综合检测(C)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题12小题,每小题5分,共60分)1.方程x =1-4y 2所表示的曲线是( )A .双曲线的一部分B .椭圆的一部分C .圆的一部分D .直线的一部分2.若抛物线的准线方程为x =-7,则抛物线的标准方程为( )A .x 2=-28yB .x 2=28yC .y 2=-28xD .y 2=28x3.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( )A .2 B. 3 C. 2 D.324.用a ,b ,c 表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:①若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ;②若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥c ;③若a ∥γ,b ∥γ,则a ∥b ;④若a ⊥γ,b ⊥γ,则a ∥b .其中真命题的序号是( )A .①②B .②③C .①④D .③④5.已知a 、b 为不等于0的实数,则a b >1是a >b 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件6.若抛物线y 2=4x 的焦点是F ,准线是l ,点M (4,m )是抛物线上一点,则经过点F 、M 且与l 相切的圆一共有( )A .0个B .1个C .2个D .4个7.若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2.线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5∶3两段,则此双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 6 C.233 D.263 8.已知双曲线与椭圆x 29+y 225=1共焦点,它们的离心率之和为245,则此双曲线方程是( )A.x 212-y 24=1 B .-x 212+y 24=1C.x 24-y 212=1 D .-x 24+y 212=19.下列四个结论中正确的个数为( )①命题“若x 2<1,则-1<x <1”的逆否命题是“若x >1或x <-1,则x 2>1”;②已知p :∀x ∈R ,sin x ≤1,q :若a <b ,则am 2<bm 2,则p ∧q 为真命题;③命题“∃x ∈R ,x 2-x >0”的否定是“∀x ∈R ,x 2-x ≤0”;④“x >2”是“x 2>4”的必要不充分条件.A .0个B .1个C .2个D .3个10.设f (x )=x (ax 2+bx +c ) (a ≠0)在x =1和x =-1处有极值,则下列点中一定在x 轴上的是( )A .(a ,b )B .(a ,c )C .(b ,c )D .(a +b ,c )11.函数y =ln x x 的最大值为( )A .e -1B .eC .e 2 D.10312.已知命题P :函数y =log 0.5(x 2+2x +a )的值域为R ;命题Q :函数y =-(5-2a )x 是R 上的减函数.若P 或Q 为真命题,P 且Q 为假命题,则实数a 的取值范围是( )A .a ≤1B .a <2C .1<a <2D .a ≤1或a ≥2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若函数f (x )=x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数,则m 的取值范围是________.14.一动圆圆心在抛物线x 2=8y 上,且动圆恒与直线y +2=0相切,则动圆必过定点________.15.已知F 1、F 2是椭圆C x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9,则b =________.16.设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x <0时,f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x )>0,且g (-3)=0,则不等式f (x )g (x )<0的解集是________________________________________________________________________.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知p :x 2-12x +20<0,q :x 2-2x +1-a 2>0 (a >0).若綈q 是綈p 的充分条 件,求a 的取值范围.18.(12分)已知函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d 在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f (x )=0的一个根为2.(1)求c 的值;(2)求证:f (1)≥2.19.(12分) 如图,M 是抛物线y 2=x 上的一个定点,动弦ME 、MF 分别与x 轴交于不同的点A 、B ,且|MA |=|MB |.证明:直线EF 的斜率为定值.20.(12分)命题p :关于x 的不等式x 2+2ax +4>0,对一切x ∈R 恒成立,命题q :指数函数f (x )=(3-2a )x 是增函数,若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数a 的取值范围.21.(12分)已知函数f (x )=ax -ln x ,若f (x )>1在区间(1,+∞)内恒成立,求实数a 的取值范围.22.(12分)如图所示,已知直线l :y =kx -2与抛物线C :x 2=-2py (p>0)交于A ,B 两点,O 为坐标原点,OA →+OB →=(-4,-12).(1)求直线l 和抛物线C 的方程;(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时,求△ABP 面积的最大值.答案1.B [x =1-4y 2,∴x 2+4y 2=1 (x ≥0).即x 2+y 214=1 (x ≥0).]2.D3.C [由已知,b 2a 2=1,∴a =b ,∴c 2=2a 2,∴e =c a =2a a = 2.]4.C5.D [如取a =-3,b =-2,满足a b >1,但不满足a >b .反过来取a =1,b =-5,满足a >b ,但不满足a b >1,故答案为D.]6.D [因为点M (4,m )在抛物线y 2=4x 上,所以可求得m =±4.由于圆经过焦点F 且和准线l 相切,由抛物线的定义知圆心在抛物线上.又因为圆经过抛物线上的点M ,所以圆心在线段FM 的垂直平分线上,即圆心是线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点,结合图形易知对于点M (4,4)和(4,-4),都各有两个交点,因此一共有4个满足条件的圆.]7.C8.B [由已知得椭圆中a =5,b =3,∴c =4,且它的焦点在y 轴上,故双曲线的焦点也应在y 轴上且为(0,4)和(0,-4),又椭圆的离心率为e =c a =45,所以双曲线的离心率为2,即c a =2,又c =4,∴它的实半轴为2,虚半轴平方为b 2=c 2-a 2=16-4=12, 则双曲线方程为y 24-x 212=1.]9.B [只有③中结论正确.]10.A11.A [令y ′=(ln x )′x -ln x ·x ′x2=1-ln x x 2=0,x =e ,当x >e 时,y ′<0;当x <e 时,y ′>0,y 极大值=f (e)=1e ,在定义域内只有一个极值,所以y max =1e .]12.C [先化简P 与Q ,建构关于a 的关系式;由函数y =log 0.5(x 2+2x +a )的值域为R 知:内层函数u (x )=x 2+2x +a 恰好取遍(0,+∞)内的所有实数⇔Δ=4-4a ≥0⇔a ≤1,即P ⇔a ≤1;同样由y =-(5-2a )x 是减函数⇔5-2a >1,即Q ⇔a <2;由P 或Q 为真,P 且Q 为假知,P 与Q 中必有一真一假.故答案为C.]13.⎣⎡⎭⎫13,+∞解析 f ′(x )=3x 2+2x +m ,依题意可知f (x )在R 上只能单调递增,所以Δ=4-12m ≤0,∴m ≥13.14.(0,2)解析 动圆一定过抛物线x 2=8y 的焦点.15.3解析 由已知,得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|+|PF 2|=2a |PF 1|·|PF 2|=18, ∴|PF 1|2+|PF 2|2+36=4a 2,又|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,∴4a 2-4c 2=36,∴b =3.16.(-∞,-3)∪(0,3)解析 设F (x )=f (x )g (x ),由已知得,F ′(x )=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ).当x <0时,F ′(x )>0,∴F (x )在(-∞,0)上为增函数.又∵f (x )为奇函数,g (x )为偶函数.∴F (-x )=f (-x )g (-x )=-f (x )g (x )=-F (x ),∴F (x )为奇函数.∴F (x )在(0,+∞)上也为增函数.又g (-3)=0,∴F (-3)=0,F (3)=0.∴f (x )g (x )<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).17.解 p :{x |2<x <10},q :{x |x <1-a ,或x >1+a }.由綈q ⇒綈p ,得p ⇒q ,于是1+a <2,∴0<a <1.18.(1)解 ∵f (x )在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,∴f ′(0)=0.∵f ′(x )=3x 2+2bx +c ,∴f ′(0)=c =0.∴c =0.(2)证明 ∵f (2)=0,∴8+4b +2c +d =0,而c =0,∴d =-4(b +2).∵方程f ′(x )=3x 2+2bx =0的两个根分别为x 1=0,x 2=-23b ,且f (x )在[0,2]上是减函数,∴x 2=-23b ≥2,∴b ≤-3.∴f (1)=b +d +1=b -4(b +2)+1=-7-3b ≥-7+9=2.故f (1)≥2.19.证明 设M (y 20,y 0),直线ME 的斜率为k (k >0),则直线MF 的斜率为-k ,直线ME 的方程为y -y 0=k (x -y 20).由⎩⎪⎨⎪⎧ y -y 0=k (x -y 20)y 2=x 得ky 2-y +y 0(1-ky 0)=0.于是y 0·y E =y 0(1-ky 0)k. 所以y E =1-ky 0k .同理可得y F =1+ky 0-k. ∴k EF =y E -y F x E -x F =y E -y F y 2E -y 2F=1y E +y F =-12y 0(定值). 20.解 设g (x )=x 2+2ax +4,由于关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立,所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点,故Δ=4a 2-16<0,∴-2<a <2.函数f (x )=(3-2a )x 是增函数,则有3-2a >1,即a <1.又由于p 或q 为真,p 且q 为假,可知p 和q 一真一假.①若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧-2<a <2,a ≥1, ∴1≤a <2.②若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-2,或a ≥2,a <1, ∴a ≤-2.综上可知,所求实数a 的取值范围为{a |1≤a <2或a ≤-2}.21.解 由f (x )>1,得ax -ln x -1>0.即a >1+ln x x 在区间(1,+∞)内恒成立.设g (x )=1+ln x x ,则g ′(x )=-ln x x 2,∵x >1,∴g ′(x )<0.∴g (x )=1+ln x x 在区间(1,+∞)内单调递减.∴g (x )<g (1)=1,即1+ln x x <1在区间(1,+∞)内恒成立,∴a ≥1.22.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y =kx -2,x 2=-2py ,得x 2+2pkx -4p =0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-2pk ,y 1+y 2=k (x 1+x 2)-4=-2pk 2-4.因为 OA →+OB →=(x 1+x 2,y 1+y 2)=(-2pk ,-2pk 2-4)=(-4,-12),所以⎩⎪⎨⎪⎧ -2pk =-4,-2pk 2-4=-12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧p =1,k =2. 所以直线l 的方程为y =2x -2,抛物线C 的方程为x 2=-2y .(2)设P (x 0,y 0),依题意,抛物线过点P 的切线与l 平行时,△ABP 的面积最大, y ′=-x ,所以-x 0=2⇒x 0=-2,y 0=-12x 20=-2,所以P (-2,-2).此时点P 到直线l 的距离d =|2×(-2)-(-2)-2|22+(-1)2=45=455, 由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x -2,x 2=-2y ,得x 2+4x -4=0, |AB |=1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+22·(-4)2-4×(-4)=410.∴△ABP 面积的最大值为410×4552=8 2.。
第一章综合素质检测时间120分钟,满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题是真命题的是( ) A .若1x =1y,则x =yB .若x 2=1,则x =1 C .若x =y ,则x =y D .若x <y ,则x 2<y 2[答案] A[解析] 相应选项中的式子为等式或不等式,通过取特殊值判断命题是假命题.当x =-1时,B 是假命题;当x =y =-1时,C 是假命题;当x =-2,y =-1时,D 是假命题.易知A 是真命题.2.设a ∈R ,则“a >1”是“1a<1”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 [答案] A[解析]a >1⇒1a <1,1a<1⇒/a >1,故选A.3.“若a ⊥α,则a 垂直于α内任一条直线”是( ) A .全称命题 B .特称命题 C .不是命题 D .假命题[答案] A[解析] 命题中含有全称量词,故为全称命题,且是真命题. 4.“B =60°”是“△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列”的( ) A .充分而不必要条件 B .充要条件 C .必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 在△ABC 中,若B =60°,则A +C =120°, ∴2B =A +C ,则A 、B 、C 成等差数列;若三个内角A、B、C成等差,则2B=A+C,又A+B+C=180°,∴3B=180°,B=60°.5.若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由“m=2”可知A={1,4},B={2,4},所以可以推得A∩B={4},反之,如果“A∩B={4}”可以推得m2=4,解得m=2或-2,不能推得m=2,所以“m=2”是“A∩B ={4}”的充分不必要条件.6.(2014·某某理,5)设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c,则下列命题中真命题是( ) A.p或q B.p且qC.(¬p)且(¬q) D.p或(¬q)[答案] A[解析]取a=c=(1,0),b=(0,1)知,a·b=0,b·c=0,但a·c≠0,∴命题p为假命题;∵a∥b,b∥c,∴∃λ,μ∈R,使a=λb,b=μc,∴a=λμc,∴a∥c,∴命题q是真命题.∴p或q为真命题.7.有下列四个命题①“若b=3,则b2=9”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若c≤1,则x2+2x+c=0有实根”;④“若A∪B=A,则A⊆B”的逆否命题.其中真命题的个数是( )A.1 B.2C.3 D.4[答案] A[解析]“若b=3,则b2=9”的逆命题:“若b2=9,则b=3”,假;“全等三角形的面积相等”的否命题是:“不全等的三角形,面积不相等”,假;若c≤1,则方程x2+2x+c=0中,Δ=4-4c=4(1-c)≥0,故方程有实根;“若A∪B=A,则A⊆B”为假,故其逆否命题为假.8.已知实数a >1,命题p :函数y =log 12(x 2+2x +a )的定义域为R ,命题q :x 2<1是x <a的充分不必要条件,则( )A .p 或q 为真命题B .p 且q 为假命题C .¬p 且q 为真命题D .¬p 或¬q 为真命题[答案] A[解析]∵a >1,∴Δ=4-4a <0,∴x 2+2x +a >0恒成立,∴p 为真命题;由x 2<1得-1<x <1,∴-1<x <1时,x <a 成立,但x <a 时,-1<x <1不一定成立,∴q 为真命题,从而A 正确.9.“a =-1”是方程“a 2x 2+(a +2)y 2+2ax +a =0”表示圆的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件D .既非充分也非必要条件 [答案] C[解析] 当a =-1时,方程为x 2+y 2-2x -1=0, 即(x -1)2+y 2=2表示圆,若a 2x 2+(a +2)y 2+2ax +a =0表示圆,则应满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2=a +2≠02a 2-4a 3>0,解得a =-1,故选C.10.已知命题p :存在x 0∈R ,使mx 20+1≤1;命题q :对任意x ∈R ,x 2+mx +1≥0.若p ∨(¬q )为假命题,则实数m 的取值X 围是( )A .(-∞,0)∪(2,+∞)B .(0,2]C .[0,2]D .R[答案] B[解析] 对于命题p ,由mx 2+1≤1,得mx 2≤0,若p 为真命题,则m ≤0,若p 为假命题,则m >0;对于命题q ,对任意x ∈R ,x 2+mx +1≥0,若命题q 为真命题,则m 2-4≤0,即-2≤m ≤2,若命题q 为假命题,则m <-2或m >2.因为p ∨(¬q )为假命题,所以命题p 为假命题且命题q 为真命题,则有⎩⎪⎨⎪⎧m >0-2≤m ≤2,得0<m ≤2.故选B.二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分,将正确答案填在题中横线上) 11.命题:“在平面直角坐标系中,若直线l 1垂直于直线l 2,则它们的斜率之积为-1”的逆命题为________________________.[答案] 在平面直角坐标系中,若直线l 1与直线l 2的斜率之积为-1,则这两条直线互相垂直12.存在实数x 0,y 0,使得2x 20+3y 20≤0,用符号“∀”或“∃”可表示为____________,其否定为________________.[答案]∃x 0,y 0∈R,2x 20+3y 20≤0 ∀x ,y ∈R,2x 2+3y 2>013.在平面直角坐标系中,点(2m +3-m 2,2m -32-m )在第四象限的充要条件是________.[答案] -1<m <32或2<m <3[解析] 点(2m +3-m 2,2m -32-m )在第四象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧2m +3-m 2>02m -32-m <0⇔-1<m <32或2<m <3.14.给出下列四个命题: ①∀x ∈R ,x 2+2x >4x -3均成立; ②若log 2x +log x 2≥2,故x >1;③命题“若a >b >0,且c <0,则c a >c b”的逆否命题是真命题;④“a =1”是“直线x +y =0与直线x -ay =0互相垂直”的充分不必要条件. 其中正确的命题为________(只填正确命题的序号). [答案]①②③[解析]①中,x 2+2x >4x -3⇔x 2-2x +3>0⇔(x -1)2+2>0,故①正确.②中,显然x ≠1且x >0,若0<x <1,则log 2x <0,log x 2<0,从而log 2x +log x 2<0,与已知矛盾,故x >1,故②正确③中,命题“若a >b >0,且c <0,则c a >c b”为真命题,故其逆否命题是真命题,∴③正确. ④“a =1”是直线x +y =0与直线x -ay =0互相垂直的充要条件,故④不正确. 15.在下列所示电路图中,闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件:(1)如图①所示,开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件; (2)如图②所示,开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件; (3)如图③所示,开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件; (4)如图④所示,开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件. [答案] 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要[解析] (1)A 闭合,B 亮;而B 亮时,A 不一定闭合,故A 是B 的充分不必要条件.(2)A 闭合,B 不一定亮;而B 亮,A 必须闭合,故A 是B 的必要不充分条件.(3)A 闭合,B 亮;而B 亮,A 必闭合,所以A 是B 的充要条件.(4)A 闭合,B 不一定亮;而B 亮,A 不一定闭合,所以A 是B 的既不充分也不必要条件.三、解答题(本大题共6小题,共75分,前4题每题12分,20题13分,21题14分) 16.写出命题“若x 2+7x -8=0,则x =-8或x =1的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断它们的真假.”[答案] 逆命题:若x =-8或x =1,则x 2+7x -8=0. 逆命题为真.否命题:若x 2+7x -8≠0,则x ≠-8且x ≠1. 否命题为真.逆否命题:若x ≠-8且x ≠1,则x 2+7x -8≠0. 逆否命题为真.17.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假. (1)对数函数都是单调函数;(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除; (3)∀x ∈{x |x >0},x +1x≥2;(4)∃x 0∈Z ,log 2x 0>2.[答案] (1)(3)是全称命题,(2)(4)是特称命题,都是真命题[解析] (1)本题隐含了全称量词“所有的”,其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”,是全称命题,且为真命题.(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题. (3)命题中含有全称量词“∀”,是全称命题,真命题. (4)命题中含有存在量词“∃”,是特称命题,真命题. 18.指出下列各题中,p 是q 的什么条件. (1)p :(x -2)(x -3)=0,q :x -2=0;(2)p :四边形的对角线相等;q :四边形是平行四边形.[答案] (1)p 是q 的必要不充分条件 (2)p 是q 的既不充分也不必要条件[解析] (1)p 是q 的必要不充分条件.这是因为:若(x -2)(x -3)=0,则x -2=0或x -3=0,即(x -2)(x -3)=0⇒/x -2=0,而由x -2=0可以推出(x -2)(x -3)=0.(2)p 是q 的既不充分也不必要条件.这是因为:四边形的对角线相等⇒/四边形为平行四边形;反之,四边形是平行四边形⇒/四边形的对角线相等.19.对于下列命题p ,写出¬p 的命题形式,并判断¬p 命题的真假:(1)p :91∈(A ∩B )(其中全集U =N *,A ={x |x 是质数},B ={x |x 是正奇数}); (2)p :有一个素数是偶数; (3)p :任意正整数都是质数或合数; (4)p :一个三角形有且仅有一个外接圆. [答案] (1)(2)(4)¬p 为假命题 (3)¬p 为真命题 [解析] (1)¬p :91∉A 或91∉B ;假命题. (2)¬p :所有素数都不是偶数;假命题.(3)¬p :存在一个正整数不是质数且不是合数;真命题.(4)¬p :存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆;假命题.20.已知p :|x -3|≤2,q :(x -m +1)(x -m -1)≤0,若¬p 是¬q 的充分而不必要条件,某某数m 的取值X 围.[答案] [2,4][解析] 由题意p :-2≤x -3≤2,∴1≤x ≤5. ∴¬p :x <1或x >5.q :m -1≤x ≤m +1,∴¬q :x <m -1或x >m +1.又∵¬p 是¬q 的充分而不必要条件,∴⎩⎪⎨⎪⎧m -1≥1m +1≤5,∴2≤m ≤4.经检验m =2,m =4适合条件,即实数m 的取值X 围为2≤m ≤4. ∴m 的取值X 围为[2,4].21.(2014·马某某二中期中)设命题p :f (x )=2x -m在区间(1,+∞)上是减函数;命题q :x 1,x 2是方程x 2-ax -2=0的两个实根,且不等式m 2+5m -3≥|x 1-x 2|对任意的实数a ∈[-1,1]恒成立,若(¬p )且q 为真,试某某数m 的取值X 围.[答案]m >1[解析] 对命题p :x -m ≠0,又x ∈(1,+∞),故m ≤1, 对命题q :|x 1-x 2|=x 1+x 22-4x 1x 2=a 2+8对a ∈[-1,1]有a 2+8≤3,∴m 2+5m -3≥3⇒m ≥1或m ≤-6. 若(¬p )且q 为真,则p 假q 真,∴⎩⎪⎨⎪⎧m >1,m ≥1或m ≤-6,∴m >1.。
综合测试(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法正确的是( )A .命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B .语句“当a >1时,方程x 2-4x +a =0有实根”不是命题C .命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D .命题“当a >4时,方程x 2-4x +a =0有实根”是假命题 答案 D2.如果命题“綈p 且綈q ”是真命题,那么下列结论中正确的是( ) A .“p 或q ”是真命题 B .“p 且q ”是真命题 C .“綈p ”为真命题 D .以上都有可能解析 若“綈p 且綈q ”是真命题,则綈p ,綈q 均为真命题,即命题p 、命题q 都是假命题,故选C.答案 C3.若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,则双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的渐近线方程为( )A .y =±12xB .y =±2xC .y =±4xD .y =±14x解析 由椭圆的离心率e =c a =32,可知c 2a 2=a 2-b 2a 2=34,∴b a =12,故双曲线的渐近线方程为y =±12x ,选A.答案 A4.若θ是任意实数,则方程x 2+y 2sin θ=4表示的曲线不可能是( ) A .椭圆 B .双曲线 C .抛物线D .圆解析 当sin θ=1时,曲线表示圆. 当sin θ<0时,曲线表示的双曲线. 当sin θ>0时,曲线表示椭圆. 答案 C5.曲线y =x 3+1在点(-1,0)处的切线方程为( ) A .3x +y +3=0 B .3x -y +3=0 C .3x -y =0D .3x -y -3=0解析 y ′=3x 2,∴y ′| x =-1=3,故切线方程为y =3(x +1),即3x -y +3=0. 答案 B6.下列命题中,正确的是( )A .θ=π4是f (x )=sin(x -2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件 B .|a |-|b |=|a -b |的充要条件是a 与b 的方向相同 C .b =ac 是a ,b ,c 三数成等比数列的充分不必要条件D .m =3是直线(m +3)x +my -2=0与mx -6y +5=0互相垂直的充要条件答案 A7.函数f (x )=x 2+a ln x 在x =1处取得极值,则a 等于( ) A .2 B .-2 C .4D .-4解析 f (x )的定义域为(0,+∞), 又f ′(x )=2x +a x ,∴由题可知,f ′(1)=2+a =0,∴a =-2. 当a =-2时,f ′(x )=2x -2x =2(x -1)(x +1)x , 当0<x <1时,f ′(x )<0. 当x >1时,f ′(x )>0, ∴f (x )在x =1处取得极值. 故选B. 答案 B8.设P 是椭圆x 29+y 24=1上一点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A .-19B .-1 C.19D.12解析 由椭圆方程a =3,b =2,c =5,∴cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2-|F 1F 2|2-2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|=(2a )2-(2c )2-2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|=162|PF 1|·|PF 2|-1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|+|PF 2|2)2=9, ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9-1=-19,故选A.答案 A9.给出下列三个命题: ①若a ≥b >-1,则a 1+a ≥b1+b;②若正整数m 和n 满足m ≤n ,则m (n -m )≤n2;③设P (x 1,y 1)为圆O 1:x 2+y 2=9上任一点,圆O 2以Q (a ,b )为圆心且半径为1.当(a -x 1)2+(b -y 1)2=2时,圆O 1与圆O 2相切.其中假命题的个数为( ) A .0个 B .1个 C .2个D .3个解析 考查不等式的性质及其证明,两圆的位置关系.显然命题①正确,命题②用“分析法”便可证明其正确性.命题③:若两圆相切,则两圆心间的距离等于4或2,二者均不符合,故为假命题.故选B.答案 B10.如图所示是y =f (x )的导数图像,则正确的判断是( ) ①f (x )在(-3,1)上是增函数; ②x =-1是f (x )的极小值点;③f (x )在(2,4)上是减函数,在(-1,2)上是增函数; ④x =2是f (x )的极小值点. A .①②③ B .②③ C .③④D .①③④解析 从图像可知,当x ∈(-3,-1),(2,4)时,f (x )为减函数,当x ∈(-1,2),(4,+∞)时,f (x )为增函数,∴x =-1是f (x )的极小值点, x =2是f (x )的极大值点,故选B. 答案 B11.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是直线l :x =a 2c (c 2=a 2+b 2)上一点,且PF 1⊥PF 2,|PF 1|·|PF 2|=4ab ,则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 3解析 设直线l 与x 轴交于点A ,在Rt △PF 1F 2中,有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|·|P A |,则|P A |=2ab c ,又|P A |2=|F 1A |·|F 2A |,则4a 2b 2c 2=(c -a 2c )·(c +a 2c )=c 4-a 4c 2,即4a 2b 2=b 2(c 2+a 2),即3a 2=c 2,从而e =ca = 3.选B.答案 B12.设p :f (x )=x 3+2x 2+mx +1在(-∞,+∞)内单调递增,q :m ≥8x x 2+4对任意x >0恒成立,则p 是q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析 f (x )在(-∞,+∞)内单调递增,则f ′(x )≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即3x 2+4x +m ≥0对任意x ∈R 恒成立,故Δ≤0,即m ≥43;m ≥8xx 2+4对任意x >0恒成立,即m ≥(8x x 2+4)max ,因为8x x 2+4=8x +4x ≤2,当且仅当x =2时,“=”成立,故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件.答案 B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.以x 24-y 212=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为________.解析 ∵双曲线y 212-x 24=1的焦点坐标为(0,±4),顶点坐标为(0,±23), ∴椭圆的顶点坐标为(0,±4),焦点坐标为(0,±23),在椭圆中a =4,c =23,b 2=4.∴椭圆的方程为x 24+y 216=1. 答案 x 24+y 216=114.给出下列三个命题:①函数y =tan x 在第一象限是增函数;②奇函数的图像一定过原点;③函数y =sin2x +cos2x 的最小正周期为π,其中假.命题的序号是________.解析 ①不正确,如x =π4时tan x =1,当x =9π4时tan x =1,而9π4>π4,所以tan x 不是增函数;②不正确,如函数y =1x 是奇函数,但图像不过原点;③正确.答案 ①②15.若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱,则它的高为________时,材料最省.解析 把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题,然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式.设水箱的高度为h ,底面边长为a ,那么V =a 2h =324,则h =324a 2,水箱所用材料的面积是S =a 2+4ah =a 2+1296a ,令S ′=2a -1296a 2=0,得a 3=648,a =633, ∴h =324a 2=324(633)2=333,经检验当水箱的高为333时,材料最省. 答案 33316.设m ∈R ,若函数y =e x +2mx (x ∈R)有大于零的极值点,则m 的取值范围是________.解析 因为函数y =e x +2mx (x ∈R)有大于零的极值点,所以y ′=e x +2m =0有大于0的实根.令y 1=e x ,y 2=-2m ,则两曲线的交点必在第一象限.由图像可得-2m >1,即m <-12.答案 m <-12三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知抛物线y =ax 2+bx +c 过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线y =x -3相切,求a ,b ,c 的值.解 本题涉及了3个未知量,由题意可列出三个方程即可求解. ∵y =ax 2+bx +c 过点(1,1), ∴a +b +c =1.①又∵在点(2,-1)处与直线y =x -3相切, ∴4a +2b +c =-1.②∴y ′=2ax +b ,且k =1. ∴k =y ′| x =2=4a +b =1, ③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a =3,b =-11,c =9.18.(12分)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为63,直线l :y =-x +22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切.求椭圆C 1的方程.解 ∵e =63,∴e 2=c2a 2=a 2-b 2a 2=23,∴a 2=3b 2.∵直线l :y =-x +22与圆x 2+y 2=b 2相切, ∴222=b ,∴b =2.∴b 2=4,a 2=12.∴椭圆C 1的方程是x 212+y 24=1.19.(12分)已知函数f (x )=ln x ,g (x )=ax (a >0),设F (x )=f (x )+g (x ). (1)求函数F (x )的单调区间;(2)若以函数y =F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0,y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立,求实数a 的最小值.解 (1)F (x )=f (x )+g (x )=ln x +a x (x >0),则F ′(x )=1x -a x 2=x -ax 2(x >0), ∵a >0,由F ′(x )>0,得x ∈(a ,+∞),∴F (x )在(a ,+∞)上单调递增; 由F ′(x )<0,得x ∈(0,a ), ∴F (x )在(0,a )上单调递减.∴F (x )的单调递减区间为(0,a ),单调递增区间为(a ,+∞).(2)由(1)知F ′(x )=x -a x 2(0<x ≤3),则k =F ′(x 0)=x 0-a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立,即a ≥(-12x 20+x 0)max ,当x 0=1时,-12x 20+x 0取得最大值12, ∴a ≥12,∴a min =12.20.(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1:y =-1,过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程;(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ,Q ,交直线l 1于点R ,求RP →·RQ →的最小值.解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离, ∴点C 的轨迹是以F 为焦点,l 1为准线的抛物线. ∴所求轨迹的方程为x 2=4y .(2)由题意知,直线l 2的方程可设为y =kx +1(k ≠0),与抛物线方程联立消去y 得x 2-4kx -4=0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4.又易得点R 的坐标为(-2k ,-1).∴RP →·RQ →=(x 1+2k ,y 1+1)·(x 2+2k ,y 2+1)=(x 1+2k )(x 2+2k )+(kx 1+2)(kx 2+2)=(1+k 2)x 1x 2+(2k +2k )(x 1+x 2)+4k 2+4 =-4(1+k 2)+4k (2k +2k )+4k 2+4 =4(k 2+1k 2)+8. ∵k 2+1k 2≥2,当且仅当k 2=1时取等号,∴RP →·RQ →≥4×2+8=16,即RP →·RQ →的最小值为16.21.(12分)已知函数f (x )=x 2-8ln x ,g (x )=-x 2+14x .(1)求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ,a +1)上均为增函数,求a 的取值范围;(3)若方程f (x )=g (x )+m 有唯一解,试求实数m 的值.解 (1)因为f ′(x )=2x -8x ,所以切线的斜率k =f ′(1)=-6,又f (1)=1,故所求的切线方程为y -1=-6(x -1),即y =-6x +7.(2)因为f ′(x )=2(x +2)(x -2)x, 又x >0,所以当x >2时,f ′(x )>0;当0<x <2时,f ′(x )<0.即f (x )在(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减.又g (x )=-(x -7)2+49,所以g (x )在(-∞,7)上单调递增,在(7,+∞)上单调递减,欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ,a +1)上均为增函数,则⎩⎨⎧ a ≥2,a +1≤7,解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6](3)原方程等价于2x 2-8ln x -14x =m ,令h (x )=2x 2-8ln x -14x ,则原方程即为h (x )=m .因为当x >0时原方程有唯一解,所以函数y =h (x )与y =m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点.又h ′(x )=4x -8x -14=2(x -4)(2x +1)x,且x >0, 所以当x >4时,h ′(x )>0;当0<x <4时,h ′(x )<0.即h (x )在(4,+∞)上单调递增,在(0,4)上单调递减,故h (x )在x =4处取得最小值,从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m =h (4)=-16ln2-24.22.(12分)已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为32,且经过点M (4,1),直线l :y =x +m 交椭圆于A ,B 两点.(1)求椭圆的方程;(2)若直线l 不过点M ,试问直线MA ,MB 与x 轴能否围成等腰三角形?解 (1)根据题意,设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),因为e =32,a 2-b 2=c 2,所以a 2=4b 2.又椭圆过点M (4,1),所以16a 2+1b 2=1,则可得b 2=5,a 2=20,故椭圆的方程为x 220+y 25=1.(2)将y =x +m 代入x 220+y 25=1并整理得5x 2+8mx +4m 2-20=0,Δ=(8m )2-20(4m 2-20)>0,得-5<m <5. 设直线MA ,MB 的斜率分别为k 1和k 2, A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8m 5,x 1x 2=4m 2-205. k 1+k 2=y 1-1x 1-4+y 2-1x 2-4=(y 1-1)(x 2-4)+(y 2-1)(x 1-4)(x 1-4)(x 2-4). 上式分子=(x 1+m -1)(x 2-4)+(x 2+m -1)·(x 1-4) =2x 1x 2+(m -5)(x 1+x 2)-8(m -1)=2(4m 2-20)5-8m (m -5)5-8(m -1)=0, 即k 1+k 2=0.所以直线MA,MB与x轴能围成等腰三角形.。
、选择题1. 若p 、q 是两个简单命题,“ p 或q ”的否定是真命题,则必有( )A.p 真q 真B.p 假q 假C.p 真q 假D.p 假q 真 2. “ COS2a 二—三”是“ a =k n +—,k € Z ”的()212A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条 件3. 设 f (x) = sin x cosx ,那么()A. f (x)二 cosx 「sin x B . f (x) = cosx sin x C . f (x)二-cosx sin xD. f (x)二-cosx 「sin x4. 曲线f(x)=x 3+x — 2在点P o 处的切线平行于直线y=4x — 1,则点P 。
的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)和(—1, — 4)D.(2,8 )和(—1, — 4)5•平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P,若满足|PA|+|PB|=6则|PA 的取值范围是 A. [ 1,4] B. [ 1,6]C. [2,6]D. [2,4]6.已知2x+y=0是双曲线x 2—入y 2=1的一条渐近线,则双曲线的离心率为( )选修1-1模拟测试题A.、2B.、3C. .5D.27.抛物线y 2=2px的准线与对称轴相交于点 则/ PSQ 的大小S,PQ 为过抛物线的焦点F 且垂直于对称轴的弦,2 2 2 2C. 略 一16y r=1的左支(y 工0)D. 警 一16占=1的右支(y 工0)a 3aa 3a2T[11设a>O,f(x)=ax +bx+c,曲线y=f(x)在点P(x o ,f(x o ))处切线的倾斜角的取值范围为]0,— ],则P 4 到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( ) 11 b b _ 1A. [0, — ]B. [0, — ]C. [0,1—|]D. [0,|- -|]a2a2a2a2 212. 已知双曲线 笃—爲=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在双曲线的右支上 且 a b|PF 1|=4|Pb|则此双曲线的离心率e 的最大值为( )5 47A.B.—C.2D.—333二、填空题13. 对命题 p : V X €R,X 7+7X >0,则 是 ______________ . 14. 函数f(x)=x+ •. 1 - x 的单调减区间为2 115抛物线y=1x关于直线x -y =0对称的抛物线的焦点坐标是22916椭圆—+ ^=1上有3个不同的点A(X 1,y 1)、B(4, —)、C(X 3,y 3),它们与点F(4,0)的距离成等25 9 4 差数列,则X 1+X 3= ______ . 三、解答题17. 已知函数f(x)=4x 3+ax 2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y= — 12x,且f(1)= — 12. (1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[—3,1]上的最值.TtA.- 38.已知命题p: 条件的x 为(JIB.-2“|x — 2|>D.与p的大C.3 ,命题“ q:x € Z ”,如果“ p 且q ”与“非q ”同时为假命题,B.{x| — K x < 3,x Z} C.{ — 1,0,1,2,3}A.{x|x > 3 或 x < — 1,x - Z} 9.函数f(x)=x 3+ax — 2在区间(1,+g )内是增函数,则实数a 的取值范围是( D.{1,2,3}B. [— 3,+g]C.(— 3,+g )D.( — g ,— 3)aa1A. [ 3,+7点A 的轨迹方程是(A. 16x 2 T~ a16y 23a 2=1(y 工 0)2 2 B 16y , 16y B.2+小 2a 3a=1(x 工 0)18. 设P:关于x的不等式a x>1的解集是{x|x<0}.Q:函数y=lg(ax2—x+a)的定义域为R.如果P和Q有且仅有一个正确,求a的取值范围.219. 已知x € R,求证:cosx> 1 ——.220. 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为P元,则销售量Q (单位:件)与零售价P (单位:元)有如下关系:Q =8300 -170P-P2.问该商品零售价定为多少时毛利润L最大,并求出最大毛利润(毛利润=销售收入-进货支出).21. 已知a€ R,求函数f(x)=x2e ax的单调区间.22. 已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点A(0, 2)为圆心,1为半径的圆相切,又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称. ⑴求双曲线C 的方程;⑵若Q 是双曲线C 上的任一点,F i 、F 2为双曲线C 的左、右两个焦点,从F i 引/ F 1QF 2的平分 线的垂线,垂足为N,试求点N 的轨迹方程. 1. B p 或q”的否定是“一p 且一i q ”, 一1 P 、一2 q 是真命题,p 、q 都是假命题.=2,•入=4.A e=J :2「1 3 = 67. B 由|SF|=|PF|=|QF 知△ PSQ 为直角三角形. 8. D “p 且q ”与“非q ”同时为假命题则p 假q 真.9. B f ' (x)=3x 2+a,令 3x 2+a>0,A a>— 3x 2 :x € (1,+^)〕.A a > — 3.110. D 由正弦定理知c — b=-a,再由双曲线的定义知为双曲线的右支(c>b).211.B T f ' (x)=2ax+b, A k=2ax o +b €[ 0,1],A d=|X0 --- | = 12ax 0 + b | = k1 A 0< d<2a 2a 2a 2a102c12.A e==IF 1F 2IIPF 1 | ■ | PF 2 」=3a =5 2a |PR| -|PF 2|IPF 1I - |PF 2I 2a 3 13. -,x R,x 77x ^0 ; 14. [-,1]; 15.1(0, ); 16. 8.41613.这是一个全称命题,其否定是存在性命题14.定义域为{x|x < 1},f ' (x)=1+— =厶1 x 1<o, $1 _x < 1, 得 x> -.2』1 -x 2^1-x 242 111 316 16参考答案:2.A 由“a =k n + —“C0S2a =COS 53” 6,又“ COS2 a =—工3 ” 二 “a=k3. 5.D6.C“C0S2a =- —”是“ a2(x o )=3x o +1=4,二 x o = ± 1.•••|PA|+|PB|=6>2「P 点的轨迹为一椭圆,二 3- 1W |PA|W 3+1.x 2-入y2=1的渐近线方程为y=±护,4 4 9 416. t |AF|=a — ex i =5- x i ,|BF|=5—X 4=—CF|=5— X 3,55 5 59 4 4 由题知 2|BF|=|AF|+|CF|,「.2X 9 =5— 4x i +5— 4X 3.二x i + X 3=8.55517. 解:(1) ■/ f ' (x)=12x +2ax+b,而 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y= — 12x,23 (2)v f ' (x)=12x 4— 6x — 18=6(x+1)(2x — 3), 令 f ' (x)=0,解得临界点为 X 1= — 1,X 2=. 2那么f(x)的增减性及极值如下•••临界点 X 1=— 1 属于[—3,1],且 f( — 1)=16,又 f( — 3)= — 76,f(1)= — 12, •••函数f(x)在[—3,1]上的最大值为16,最小值为一76.18. 解:使 P 正确的a 的取值范围是0<a<1,而Q 正确=ax 2 — x+a 对一切实数x 恒大于0. 2a a 0 1当a=0时,ax — x+a= — x 不能对一切实数恒大于 0,故Q 正确u 」 2 二a>—.A = 1 - 4 a 2 < 0 21 若P 正确而Q 不正确,则0<a < -;若Q 正确而P 不正确,则a > 1.21 故所求的a 的取值范围是(0, - ]U[ 1,+x ). 2x 219.证明:令 f(x)=cosx — 1+ ,则 f ' (x)=x — sinx ,当x>0时,由单位圆中的正弦线知必有 x>sinx, ••• f ' (x)>0,即f(x)在(0,+)上是增函数. 又••• f(0)=0,且f(x)连续,• f(x)在区间[0,+x ]内的最小值f(0)=0,4• f(x)为偶函数,即当x € (— X ,0)时,f (x) > 0仍成立,•对任意的x €R,都有cosx > 1——.220. 解:由题意知 L(P)二 Pb-20Q 二Q(P-20)= (8300 -170P -P 2)(P -20) - -P 3 -150P 2 11700P -166000 , L (P) - -3P 2 -300P 11700 .令 L(P) =0 ,得 P =30或 P = -130 (舍).X = —12=f (1)丿nf (1) = _12 12+2a+b = -12g+a+b+5 = —12a=— 3,b=— 18,故 f(x)=4x 3 — 3x 2— 18x+5.即f(x) > 0,得cosx— 1 + —> 0,即cosx> 1—— . v f( —x)=cos(—X) —1+(X)=f(x),2 2 2根据实际意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,有最大毛利润为23000元. 21. 解:函数 f(x)的导数 f ' (x)=2xe ax +ax 5e a x =(2x+ax 2)e ax . ① 当 a=0 时,若 x<0,则 f ' (x)<0,若 x>0,则 f ' (x)>0.所以当a=0时,函数f(x)在区间(一% ,0)内为减函数,在区间(0,+x )内为增函数.2 2 2 2② ----------------------------------------------------------------------------------------- 当 a>0 时,由 2x+ax >0,解得 x<— 或 x>0,由 2x+ax <0,解得 -------------------------------- <x<0,aa 所以当a>0时,函数f(x)在区间(一x , — 2)内为增函数,在区间(一 —,0)内为减函数,在区间(0,+x ) aa内为增函数.③ 当 a<0 时,由 2x+ax 2>0,解得 0<x< ——,由 2x+ax 2<0,解得 x<0 或 x> ——.aa2 2 所以当a<0时函数f(x)在区间(一x ,0)内为减函数,在区间(0, —-)内为增函数,在区间(一—,+aax )内为减函数.22. 解:(1)设双曲线C 的渐近线方程为y=kx,即kx — y=0,5 2•••双曲线C 的两条渐近线方程为y=± x ,故设双曲线C 的方程为 笃—告=1.a a又双曲线C 的一个焦点为(.2,0),二2a 2=2,ci 2=1.A 双曲线C 的方程为x 2— y 2=1. ⑵若Q 在双曲线的右支上,则延长QF 2到T,使|QT|=|QF 1|. 若Q 在双曲线的左支上,则在QF 2上取一点T,使 |QT|=|QF 1|.根据双曲线的定义|TF 2|=2所以点T 在以F2C- 2 ,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T 的轨迹方程 是(x — 2 )2+y 2=4(y 工 0).①由于点N 是线段F 1T 的中点,设N(x,y)、T(X T ,y T ),x _XT_ 血「_则r 2'即」X T =2X +、2代入①并整理得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1(y 工0).1、,_比M =2y.•••该直线与圆x 2+(y — . 2)2=1 相切,二 21 k2 =1, 即 卩 k=±1.15. y2= —x的焦点F( ,0),F关于x—y=0的对称点为(0,).。
数学选修1-1练习一、选择题:1.已知P :2+2=5,Q:3〉2,则下列判断错误的是( ) A 。
“P 或Q ”为真,“非Q ”为假; B.“P 且Q ”为假,“非P ”为真 ; C.“P 且Q"为假,“非P ”为假 ; D 。
“P 且Q ”为假,“P 或Q ”为真2.在下列命题中,真命题是( )A. “x=2时,x 2-3x+2=0”的否命题;B.“若b=3,则b 2=9”的逆命题; C 。
若ac 〉bc ,则a 〉b; D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题 3。
已知P:|2x -3|〈1, Q :x (x -3)<0, 则P 是Q 的( )A 。
充分不必要条件; B.必要不充分条件 ; C.充要条件 ; D 。
既不充分也不必要条件4。
平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P ,若满足|PA |+|PB|=8,则|PA |的取值范围是( ) A.[1,4]; B.[2,6]; C 。
[3,5 ]; D. [3,6]。
5. 函数f (x )=x 3-ax 2-bx+a 2,在x=1时有极值10,则a 、b 的值为( )A 。
a=3,b=-3或a=―4,b=11 ;B 。
a=-4,b=1或a=-4,b=11 ; C.a=-1,b=5 ; D 。
以上都不对6.曲线f (x )=x 3+x -2在P 0点处的切线平行于直线y=4x -1,则P 0点坐标为( ) A 。
(1,0); B 。
(2,8); C 。
(1,0)和(-1,-4); D.(2,8)和(-1,-4)7.函数f (x )=x 3-ax+1在区间(1,+∞)内是增函数,则实数a 的取值范围是( ) A.a<3 ; B.a>3 ; C 。
a ≤3; D 。
a ≥38。
若方程15222=-+-ky k x 表示双曲线,则实数k 的取值范围是( ) A 。
2〈k<5 ; B 。
k 〉5 ; C.k 〈2或k>5; D 。
目录:数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组] 第三章导数及其应用 [提高训练C组](数学选修1-1)第一章 常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1.下列语句中是命题的是( )A .周期函数的和是周期函数吗?B .0sin 451=C .2210x x +->D .梯形是不是平面图形呢?2.在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下,则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A .都真B .都假C .否命题真D .逆否命题真 3.有下述说法:①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有( ) A .0个B .1个C .2个D .3个4.下列说法中正确的是( )A .一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B .“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C .“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D .一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真5.若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.已知条件:12p x +>,条件2:56q x x ->,则p ⌝是q ⌝的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 二、填空题1.命题:“若a b ⋅不为零,则,a b 都不为零”的逆否命题是 。
数学试题(选修1-1)•选择题(本大题共12小题,每小题3分,共 sin A -”是 “A 30 ”的()A .充分而不必要条件 C .充分必要条件2 2已知椭圆 乞 _L 1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则P 到另一焦点距离为2516)A . 2B . 3C . 5D . 7设 f (x) xln x ,若 f (X o )2,则 X 。
(A . e 2B . eC .In 2 2D .In2 若抛物线 22xy 2 px 的焦点与椭圆 一6-1的右焦点重合,2则p 的值为, A .B . 2C . 4D . 4已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍, 则椭圆的离心率等于()1.2. (3.4.5. 6. 6. 7.&2x2y12 2xy1AB .91625 16222 2C .x y 1或 x y1 D .以上都不对25 16 1625命题1对任意的 x R , x 3 x 2 1 < 0 ”的否定是()A.x R, x 3 x 2 1 < 0B .存在xR , x 3 x 2 1 < 0不存在R , 3 23 2C .存在x x x 1D .对任意的x R, x x 122双曲线一y -1的焦距为(B )12A .2.2B . 4,2C . 2,3D . 4.3若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为(36分)B •必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件A .2.3B .31C .—2D . -3.函数y x 4x 3在区间2,3上的最小值为()A . 72B . 36C . 12D . 09•设曲线y ax 2在点(1, a )处的切线与直线 2x y 6 0平行,则a ()4 y9x5 C .D . 10217 .曲线y ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是 ______________________ ,切线的方程为10 .抛物线y的准线方程是1 A . x —321 322x11 •双曲线 -41的渐近线方程是12.抛物线10x 的焦点到准线的距离是(13.若抛物线8x 上一点P 到其焦点的距离为 则点P 的坐标为(A • (7, 14.函数y 二B . (14,、币) x 的递增区间是(C . (7,214) D . ( 7, 2、.14)A • (0,)B • (,1) D . (1,)二.填空题(本大题共4小题,每小题16分)13.函数 f(x) x 32x mx 1是R 上的单调函数,则 m 的取值范围为14.已知2xF 1、F 2为椭圆252人 1的两个焦点,过9F 1 的直线交椭圆于 A 、B 两点,若2A F 2B 12,则AB2x15 .已知双曲线-n2y12 n1的离心率是■, 3,则2x16 ..若双曲线一4的渐近线方程为y壬,则双曲线的焦点坐标是2已知函数f(x) 2x 3 3ax 2 3bx 8在x 1及x 2处取得极值. (1)求a 、b 的值;(2)求f (x)的单调区间18(本小题满分10分)求下列各曲线的标准方程2(1)实轴长为12,离心率为一,焦点在x 轴上的椭圆;32 2⑵抛物线的焦点是双曲线 16x 9y144的左顶点.求厶F 1PF 2的面积。
1高中数学选修1-1考试题一、选择题(本大题有12小题,每小题5分,共60分,请从A ,B,C ,D 四个选项中,选出一个符合题意的正确选项,填入答题卷,不选,多选,错选均得零分。
) 1.抛物线24y x =的焦点坐标是 A .(0,1) B .(1,0) C .1(0,)16 D .1(,0)162.设,a R ∈则1a <是11a>的 A .充分但不必要条件 B .必要但不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.命题“若220a b +=,则,a b 都为零”的逆否命题是 A .若220a b +≠,则,a b 都不为零 B .若220a b +≠,则,a b 不都为零 C .若,a b 都不为零,则220a b +≠ D .若,a b 不都为零,则220a b +≠4.曲线32153y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为A .34πB .3πC .4πD .6π5.一动圆P 与圆22:(1)1A x y ++=外切,而与圆22:(1)64B x y -+=内切,那么动圆的圆心P 的轨迹是A .椭圆B .双曲线C .抛物线D .双曲线的一支 6.函数()ln f x x x =-的单调递增区间是A .(,1)-∞B .(0,1)C .(0,)+∞D .(1,)+∞7.已知1F 、2F 分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点,点M 在椭圆上且2MF x ⊥轴,则1||MF 等于2A .12B .32C .52D .38.函数2()x f x x e -=在[1,3]上的最大值为A .1B .1e -C .24e -D .39e -9. 设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ). A.45B 。
5 C. 25 D 。
510. 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )。
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综合质量评估第一至第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.“x>3”是“不等式x2-2x>0”的( )A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.非充分必要条件【解析】选A.解不等式x2-2x>0得x<0或x>2,故“x>3”是“不等式x2-2x>0”的充分不必要条件.2.(2016·临沂高二检测)命题:“∀x∈R,都有x2-x+1>0”的否定是( )A.∀x∈R,都有x2-x+1≤0B.∃x0∈R,使-x0+1>0C.∃x0∈R,使-x0+1≤0D.∃x0∈R,使x2-x0+1<0【解析】选C.全称命题的否定是特称命题.3.函数y=f(x)的图象如图1所示,则y=f′(x)的图象可能是( )【解析】选D.由函数y=f(x)的图象可知当x<0时,函数单调递增,故f′(x)>0,当x>0时,函数单调递减,故f′(x)<0.4.(2016·河南南阳高二期末)若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-1时取得极值,则a等于( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.f′(x)=3x2+2ax+3.由题意知f′(-1)=0,解得a=3.5.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a的值为( )A.1B.C.-D.-1【解析】选A.y′=2ax,于是曲线y=ax2在点(1,a)处切线的斜率为2a,由题意得2a=2,解得a=1.6.已知点P是双曲线-=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于( )A.7B.6C.5D.3【解题指南】先根据渐近线方程求出a,再根据双曲线的定义求|PF2|.【解析】选A.由双曲线方程得渐近线方程为3x±ay=0,则a=2,双曲线中c=,b=3,由|PF1|=3知P为双曲线左支上一点,则|PF2|=|PF1|+4=7.7.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选B.由题意知=,得a2=4b2,又a>b>0,所以a=2b.所以双曲线的离心率e===.【补偿训练】设双曲线-=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )A. B.5 C. D.【解析】选D.设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物线y=x2+1相切,联立方程得整理得x2-kx+1=0,则Δ=k2-4=0,解得k=±2,即=2,故双曲线的离心率e====.8.(2016·青岛高二检测)设函数f(x)=x2-9lnx在区间上单调递减,则实数a的取值范围是( )A.(1,2]B. D.(0,3]【解析】选A.f′(x)=x-=(x>0),令f′(x)≤0得0<x≤3.所以f(x)在(0,3]上单调递减,所以解得1<a≤2.9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1 【解析】选B.因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,所以F(-6,0)是双曲线的左焦点,即a2+b2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y=x,所以=,解得a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为-=1.10.(2016·大连高二检测)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选D.因为△OFM的外接圆与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相切,所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6,又因为圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=,所以+=6,p=8.11.(2015·济南二模)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x1处取得极大值,在x2处取得极小值,满足x1∈(-1,0),x2∈(0,1),则的取值范围是( )A.(0,2)B.(1,3)C. D.【解析】选B.因为f(x)=x3+ax2+bx+c,所以f′(x)=x2+ax+b.因为函数f(x)在区间(-1,0)内取得极大值,在区间(0,1)内取得极小值,所以f′(x)=x2+ax+b=0在(-1,0)和(0,1)内各有一个根,f′(0)<0,f′(-1)>0,f′(1)>0,即在aOb坐标系中画出其表示的区域,如图,=1+2×,令m=,其几何意义为区域中任意一点与点(-2,-1)连线的斜率,分析可得0<<1,则1<<3,所以的取值范围是(1,3).12.(2016·厦门模拟)若点O和点F(-2,0)分别是双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为( )A.∪∪(3,+∞).18.(12分)(2016·衡水高二检测)已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围.(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.【解析】(1)f′(x)=3x2-x+b,f(x)的图象上有与x轴平行的切线,则f′(x)=0有实数解. 即方程3x2-x+b=0有实数解.所以Δ=1-12b≥0,解得b≤.(2)由题意,得x=1是方程3x2-x+b=0的一个根,设另一个根为x0,则解得所以f(x)=x3-x2-2x+c,f′(x)=3x2-x-2.当x∈时,f′(x)<0;当x∈(1,2]∪时,f′(x)>0.所以当x=-时,f(x)有极大值+c,又f(-1)=+c,f(2)=2+c,所以当x∈时,f(x)的最大值为f(2)=2+c.因为当x∈时,f(x)<c2恒成立.所以c2>2+c,解得c<-1或c>2,所以c的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).19.(12分)已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=.(1)求此椭圆的方程.(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值. 【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=,=,所以a=2,b2=a2-c2=1.所以所求椭圆方程为+y2=1.(2)由消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则Δ=64m2-80(m2-1)>0,得m2<5(*).设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,y1-y2=x1-x2,|PQ|===2.解得m2=,满足(*),所以m=±.20.(12分)已知函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b(a>0).(1)当f(x)的极小值为-,极大值为-1时,求函数f(x)的解析式.(2)若f(x)在区间上为增函数,在区间上是减函数,在上是增函数, 在上是减函数,在上是增函数,在上为增函数,在区间=-4,所以·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=1++1-4==1.解得k=±2.(2)因为y1>0,所以tan∠ATF===≤1.当且仅当y1=即y1=2时取等号.故∠ATF的最大值为.22.(12分)已知函数f(x)=-x3+x2-2x(a∈R).(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间.(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,求实数a的取值范围. 【解析】(1)当a=3时,函数f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2).所以当1<x<2时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x<1或x>2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).(2)由f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+ax-2,因为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,所以问题转化为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)max<2(a-1).因为f′(x)=-+-2,其图象开口向下,对称轴为x=.①当≤1即a≤2时,f′(x)在[1,+∞)上单调递减,所以f′(x)max=f′(1)=a-3,由a-3<2(a-1),得a>-1,此时-1<a≤2.②当>1即a>2时,f′(x)在上单调减增,在上单调递减,所以f′(x)max=f′=-2,由-2<2(a-1),得0<a<8,此时2<a<8,综上可得,实数a的取值范围为(-1,8).关闭Word文档返回原板块。
选修1-1综合测试-------1一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.) 1. “1-<x ”是“02>+x x ”的( ).A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知命题0:2≥a p (∈a R), 命题:q 函数()x x x f -=2在区间[)∞+,0上单调递增, 则下列命题中为真命题的是( ).A. q p ∨B. q p ∧C. ()()q p ⌝∧⌝D. ()q p ∨⌝3.方程2222)2()2(y x y x ++++-=10,化简的结果是( )A.1162522=+y x B . 1212522=+y xC.142522=+y x D.1212522=+x y 4.设定点F 1(0,-3)、F 2(0,3),动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ,则点P 的轨迹是( ) A .椭圆 B .线段 C .不存在 D .椭圆或线段 5.椭圆12222=+b y a x 和k by a x =+2222()0>k 具有 ( )A .相同的离心率B .相同的焦点C .相同的顶点D .相同的长、短轴6.命题“,11a b a b >->-若则”的否命题是( ).A.,11a b a b >-≤-若则B.,11a b a b >-<-若则 C .,11a b a b ≤-≤-若则 D. ,11a b a b <-<-若则 7.已知函数,若,则实数a 的值为( )A .B .C .D .8. 设()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x =( )A . 2eB . ln 2C . ln 22D . e9. 椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是( ) A .3 B .11 C .22D .1010.设函数()f x 在定义域内可导,()y f x =的图象如图所示,则导函数y=f(x)的图象可能为 ( D )二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)63)(23-+=x ax x f 4)1('=-f 31931631331011.设P 是椭圆2214x y +=上的一点,12,F F 是椭圆的两个焦点,则12PF PF 的最大值为 4 ;最小值为 1 。
12.已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点,AQ 的垂直平分线交CQ 于M ,则点M 的轨迹方程为 。
121425422=+y x13已知:对+∈∀R x ,xx a 1+<恒成立,则实数a 的取值范围是 (-∞,2) 14. 若抛物线y =x 2-x +c 上一点P 的横坐标是-2,抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点,则c 的值为___4_____.解析:∵y ′=2x -1,∴y ′|x =-2=-5.又P (-2,6+c ),∴26-+c=-5.∴c =4.答案:4 15. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是122y x =+,则 (1)(1)f f '+= 3 .三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本题满分12分)命题p :方程0622=-+-a a x x 有一正根和一负根.命题q :函数x x a x y 的图象与1)3(2+-+=轴有公共点.若命题“q p ∨”为真命题,而命题“q p ∧”为假命题,求实数a 的取值范围。
答案:{06}a a a a ≤≥或1<<5或17. (本题满分12分)已知一个动圆与圆C :22(4)100x y ++= 相内切,且过点A (4,0),求这个动圆圆心的轨迹方程。
解:设动圆圆为M(x,y),半径为r,那么;||10||||10||MC rMC MA MA r=-⎧⇒+=⎨=⎩,|AC||=8因此点M 的轨迹是以A 、C 为焦点,长轴长为10的椭圆.a=5,c=4,b=3,其方程是:221259x y +=.18. (本题满分12分)若直线y =3x +1是曲线y =x 3-a 的一条切线,求实数a 的值. 解:设切点为P (x 0,y 0),对y =x 3-a 求导数是y '=3x 2,∴3x 02=3.∴x 0=±1.(1)当x =1时,∵P (x 0,y 0)在y =3x +1上,∴y =3×1+1=4,即P (1,4).又P (1,4)也在y =x 3-a 上,∴4=13-a .∴a =-3.(2)当x =-1时,∵P (x 0,y 0)在y =3x +1上,∴y =3×(-1)+1=-2,即P (-1,-2).又P (-1,-2)也在y =x 3-a 上,∴-2=(-1)3-a .∴a =1. 综上可知,实数a 的值为-3或1.19. (本题满分13分)函数2()1xf x x =+在(,21)a a +区间上是单调递增函数,命题Q:不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数x 恒成立·若p q ∨是真命题,求实数α的取值范围?20.(本题满分13分)在直角坐标系xOy 中,点P到两点(0,的距离之和为4,设点P 的轨迹为C ,直线1y kx =+与C 交于,A B 两点。
(Ⅰ)写出C 的方程; (Ⅱ)若OA OB ⊥,求k 的值。
解:(Ⅰ)设P (x ,y ),由椭圆定义可知,点P 的轨迹C是以(0(0-,为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴1b ==,故曲线C 的方程为2214y x +=. (Ⅱ)设1122(,),(,)A x y B x y ,其坐标满足 22141.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=,故1212222344k x x x x k k +=-=-++,. 若OA OB ⊥,即12120x x y y +=.而2121212()1y y k x x k x x =+++,于是22121222233210444k k x x y y k k k +=---+=+++,化简得2410k -+=,所以12k =±.21. (本题满分13分)设函数329()62f x x x x a =-+-。
(1)对于任意实数x ,'()f x m ≥恒成立,求m 的最大值; (2)若方程f(x)=0有且只有一个实根,求a 的取值范围。
选修1-1综合测试-------1一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.) 1. “1-<x ”是“02>+x x ”的( ).A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知命题0:2≥a p (∈a R), 命题:q 函数()x x x f -=2在区间[)∞+,0上单调递增, 则下列命题中为真命题的是( ).A. q p ∨B. q p ∧C. ()()q p ⌝∧⌝D. ()q p ∨⌝3.方程2222)2()2(y x y x ++++-=10,化简的结果是( )A.1162522=+y x B . 1212522=+y xC.142522=+y x D.1212522=+x y 4.设定点F 1(0,-3)、F 2(0,3),动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ,则点P 的轨迹是( ) A .椭圆 B .线段 C .不存在 D .椭圆或线段 5.椭圆12222=+b y a x 和k by a x =+2222()0>k 具有 ( )A .相同的离心率B .相同的焦点C .相同的顶点D .相同的长、短轴6.命题“,11a b a b >->-若则”的否命题是( ).A.,11a b a b >-≤-若则B.,11a b a b >-<-若则 C .,11a b a b ≤-≤-若则 D. ,11a b a b <-<-若则 7.已知函数,若,则实数a 的值为( )A .B .C .D .8. 设()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x =( )A . 2eB . ln 2C . ln 22D . e9. 椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是( ) A .3 B .11 C .22D .1010.设函数()f x 在定义域内可导,()y f x =的图象如图所示,则导函数y=f(x)的图象可能为 ( )二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)63)(23-+=x ax x f 4)1('=-f 31931631331011.设P 是椭圆2214x y +=上的一点,12,F F 是椭圆的两个焦点,则12PF PF 的最大值为 ;最小值为 。
12.已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点,AQ 的垂直平分线交CQ 于M ,则点M 的轨迹方程为 。
13已知:对+∈∀R x ,xx a 1+<恒成立,则实数a 的取值范围是 14. 若抛物线y =x 2-x +c 上一点P 的横坐标是-2,抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点,则c 的值为________.15. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是122y x =+,则 (1)(1)f f '+= .三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本题满分12分)命题p :方程0622=-+-a a x x 有一正根和一负根.命题q :函数x x a x y 的图象与1)3(2+-+=轴有公共点.若命题“q p ∨”为真命题,而命题“q p ∧”为假命题,求实数a 的取值范围。
17. (本题满分12分)已知一个动圆与圆C :22(4)100x y ++= 相内切,且过点A (4,0),求这个动圆圆心的轨迹方程。
18. (本题满分12分)若直线y =3x +1是曲线y =x 3-a 的一条切线,求实数a 的值.19. (本题满分13分)函数2()1xf x x =+在(,21)a a +区间上是单调递增函数,命题Q:不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数x 恒成立·若p q ∨是真命题,求实数α的取值范围?20.(本题满分13分)在直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,的距离之和为4,设点P 的轨迹为C ,直线1y kx =+与C 交于,A B 两点。