高中数学北师大版选修1-1和1-2复习题.doc

章末复习学习目标 1.梳理本章知识,构建知识网络.2.掌握命题的等价性与充要条件的判定及其有关的应用.3.会解决有一些逻辑联结词与量词的简单的综合性问题．1．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p,则q逆命题若q,则p否命题若綈p,则綈q逆否命题若綈q,则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q,那么称p是q的充分条件,q是p的必要条件．(2)分类：①充要条件：p⇒q且q⇒p,记作p⇔q;②充分不必要条件：p⇒q且q⇏p.③必要不充分条件：p⇏q且q⇒p.④既不充分又不必要条件：p⇏q且q⇏p.3．全称命题与特称命题(1)全称命题与特称命题真假的判断方法①判断全称命题为真命题,需严格的逻辑推理证明,判断全称命题为假命题,只需举出一个反例．②判断特称命题为真命题,需要举出正例,而判断特称命题为假命题时,要有严格的逻辑证明．(2)含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词,又要否定结论．4．简易逻辑联结词“且、或、非”的真假判断可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假,“p或q”一真即真,“p且q”一假就假.p q 綈p p或q p且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假1．“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．( √)2．命题“若p,则q”与命题“若綈p,则綈q”的真假性一致．( ×)3．已知命题p：存在x∈R,x－2＞0,命题q：对于任意x∈R,x2＞x,则命题p或(綈q)是假命题．( ×)题型一命题及其关系例1 (1)有下列命题：①“若x＋y>0,则x>0且y>0”的否命题;②“矩形的对角线相等”的否命题;③“若q≤1,则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题;④不等边三角形的三个内角相等．其中是真命题的是( )A．①②③B．②③④C．①③④D．①③考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 D(2)设a,b,c是非零向量,已知命题p：若a·b＝0,b·c＝0,则a·c＝0;命题q：若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )A．p或q B．p且qC．(綈p)且(綈q) D．p或(綈q)考点“p或q”形式的命题题点判断“p或q”形式命题的真假答案 A解析由向量数量积的几何意义可知,命题p为假命题;命题q中,当b≠0时,a,c一定共线,故命题q是真命题．故p或q为真命题．反思感悟 1.互为逆否命题的两命题真假性相同．2．“p与綈p”一真一假,“p或q”一真即真,“p且q”一假就假．跟踪训练1 命题“若x2>1,则x<－1或x>1”的逆否命题是( )A．若x2>1,则－1≤x≤1B．若－1≤x≤1,则x2≤1C．若－1<x<1,则x2>1D．若x<－1或x>1,则x2>1考点四种命题题点四种命题概念的理解答案 B解析条件与结论交换位置,并且分别否定．题型二充分条件与必要条件命题角度1 充分条件与必要条件的判断例2 (1)设x∈R,则“x2－3x>0”是“x>4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(2)已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点四种条件题点识别四种条件答案(1)B (2)C解析(1)∵x2－3x>0⇏x>4,x>4⇒x2－3x>0,故x2－3x>0是x>4的必要不充分条件．(2)∵a>0且b>0⇔a＋b>0且ab>0,∴a>0且b>0是a＋b>0且ab>0的充要条件．反思感悟 条件的充要关系的常用判断方法 (1)定义法：直接判断若p 则q,若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A,B ⇒A 与綈A ⇒綈B,A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件;若A ＝B,则A 是B 的充要条件．跟踪训练2 使a>b>0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a 2>b 2>0 B ．12log a >12log b >0C ．ln a>ln b>0D ．x a>x b且x>0.5考点 四种条件 题点 识别四种条件 答案 C解析 设条件p 符合条件,则p 是a>b>0的充分条件,但不是a>b>0的必然结果,即有“p ⇒a>b>0,a>b>0⇏p ”． A 选项中,a 2>b 2>0⇏a>b>0,有可能是a<b<0,故A 不符合条件; B 选项中,12log a >12log b >0⇔0<a<b<1⇏a>b>0,故B 不符合条件;C 选项中,ln a>ln b>0⇔a>b>1⇒a>b>0,而a>b>0⇏a>b>1,符合条件;D 选项中,x a>x b且0<x<1时a<b;x>1时a>b,无法得到a,b 与0的大小关系,故D 不符合条件． 命题角度2 充分条件与必要条件的应用例3 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0,其中a>0,命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1,且p 且q 为真,求实数x 的取值范围;(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围． 考点 充分、必要条件与充要条件的综合应用 题点 由四种条件求参数的范围解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a)(x －a)<0. 又a>0,所以a<x<3a,当a ＝1时,1<x<3, 即p 为真命题时,实数x 的取值范围是1<x<3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x<－4或x>2.即2<x ≤3.所以q 为真时,实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p 且q 为真,则⎩⎪⎨⎪⎧1<x<3，2<x ≤3⇔2<x<3,所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)方法一 綈p 是綈q 的充分不必要条件, 即綈p ⇒綈q 且綈q ⇏綈p.设綈p ：A ＝{x|x ≤a 或x ≥3a},綈q ：B ＝{x|x ≤2或x>3}, 则A ?B.所以0<a ≤2且3a>3,即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．方法二 因为綈p 是綈q 的充分不必要条件, 所以q 是p 的充分不必要条件, 则{x|2<x ≤3}?{x|a<x<3a},所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a>3，解得1<a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1,2]．反思感悟 利用条件的充要性求参数的范围(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p 是綈q 的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．跟踪训练3 已知命题：p ：2x 2－9x ＋a<0,q ：2<x<3且綈q 是綈p 的必要条件,求实数a 的取值范围． 考点 充分、必要条件与充要条件的综合应用 题点 由四种条件求参数的范围 解 ∵綈q 是綈p 的必要条件, ∴q 是p 的充分条件, 令f(x)＝2x 2－9x ＋a,则⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0，f (3)≤0，解得a ≤9,∴实数a 的取值范围是(－∞,9]． 题型三 逻辑联结词与量词的综合应用例4 已知p ：任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12,2x<m(x 2＋1),q ：函数f(x)＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点,若“p 且q ”为真命题,则实数m 的取值范围是__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1 解析 由2x<m(x 2＋1),可得m>2x x 2＋1,又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时,⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1max ＝45, 故当p 为真时,m>45;函数f(x)＝4x＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2,令f(x)＝0,得2x ＝2－m －1, 若f(x)存在零点, 则2－m －1>0,解得m<1, 故当q 为真时,m<1.若“p 且q ”为真命题,则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1. 反思感悟 解决逻辑联结词与量词的综合应用问题首先理解逻辑联结词的含义,掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系,如：p 真与綈p 假等价,p 假与綈p 真等价,将问题转化,从而谋得最佳解决途径．跟踪训练4 已知命题p ：“任意x ∈[0,1],a ≥e x”,命题q ：“存在x ∈R,x 2＋4x ＋a ＝0”,若命题“p 且q ”是真命题,则实数a 的取值范围是________． 考点 逻辑联结词与量词的综合应用 题点 由复合命题的真假求参数范围 答案 [e,4]解析 p ：a ≥e,q ：a ≤4,∵p 且q 为真命题,∴p 与q 均为真, 则e ≤a ≤4.转化与化归思想的应用典例 已知函数f(x)＝x 2,g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m.(1)若对任意x 1∈[－1,3],x 2∈[0,2],使得f(x 1)≥g(x 2)成立,求实数m 的取值范围; (2)若对任意x 2∈[0,2],存在x 1∈[－1,3],使得f(x 1)≥g(x 2)成立,求实数m 的取值范围． 解 (1)由题设知,f(x 1)min ≥g(x 2)max ,∵f(x)在[－1,0]上是减少的,在(0,3]上是增加的, ∴f(x 1)min ＝f(0)＝0, 又∵g(x)在[0,2]上是减少的, ∴g(x 2)max ＝g(0)＝1－m, ∴有0≥1－m,得m ≥1, ∴m 的取值范围为[1,＋∞)．(2)由题设知,f(x 1)max ≥g(x 2)max , ∴有f(3)≥g(0),即9≥1－m, ∴m 的取值范围是[－8,＋∞)．[素养评析] 从中我们可以看到面对形同质不同的问题,要善于从已有的问题或概念本身出发去加以辨析和研究,将抽象的问题具体化,如此才能更为准确地把握问题的内涵.1．若p 是真命题,q 是假命题,则( ) A ．p 且q 是真命题 B ．p 或q 是假命题 C ．綈p 是真命题 D ．綈q 是真命题答案 D解析 根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D 正确．2．已知命题p ：0<a<4,q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的值恒为正,则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件考点 充分、必要条件与充要条件的综合应用 题点 识别四种条件 答案 A解析 ∵函数y ＝ax 2－ax ＋1的值恒为正, ∴①当a ＝0时y ＝1恒成立,②⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝a 2－4a<0，∴0<a<4,综上可得q ：0≤a<4, 故{a|0<a<4}?{a|0≤a<4}．3．已知命题p ：对任意x ∈R,总有2x＞0;q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( ) A ．p 且q B ．(綈p)且(綈q) C ．(綈p)且q D ．p 且(綈q)考点 “p 且q ”形式的命题 题点 判断“p 且q ”形式命题的真假答案 D解析 根据指数函数的性质可知,对任意x ∈R,总有2x＞0成立,即p 为真命题,“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件,即q 为假命题,则p 且(綈q)为真命题．4．对任意x ∈[－1,2],x 2－a ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是________． 考点 全称命题题点 由全称命题的真假求参数的范围 答案 (－∞,0]解析 由x 2－a ≥0,得a ≤x 2,故a ≤(x 2)min ,得a ≤0. 5．已知p ：x 2＋2x －3>0;q ：13－x>1.若“(綈q)且p ”为真命题,求x 的取值范围． 考点 “p 且q ”形式的命题题点 已知p 且q 命题的真假求参数范围 解 因为“(綈q)且p ”为真,所以q 假p 真． 而当q 为真命题时,有x －2x －3<0,即2<x<3,所以当q 为假命题时有x ≥3或x ≤2; 当p 为真命题时,由x 2＋2x －3>0, 解得x>1或x<－3,由⎩⎪⎨⎪⎧x>1或x<－3，x ≥3或x ≤2，解得x<－3或1<x ≤2或x ≥3.所以x 的取值范围为(－∞,－3)∪(1,2]∪[3,＋∞)1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件,将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．(2)命题的否定只是否定命题的结论,常用于反证法．若命题为“若p,则q ”,则该命题的否命题是“若綈p,则綈q ”;命题的否定为“若p,则綈q ”．2．四种命题的三种关系,互否关系,互逆关系,互为逆否关系,只有互为逆否关系的命题是等价命题． 3．判断p 与q 之间的关系时,要注意p 与q 之间关系的方向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆．4．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住,如：“都是”的否定“不都是”,“全是”的否定“不全是”,“至少有一个”的否定“一个也没有”,“至多有一个”的否定“至少有两个”．。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1综合学习与测试(一)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分)1．以下四个命题，判断正确的是( )(1)原命题：若一个自然数的末位数字为零，则这个自然数能被5整除．(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这个自然数的末位数字为零．(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为零，则这个自然数不能被5整除．(4)逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则这个自然数末位数字不为零．A.(1)与(3)为真，(2)与(4)为假B.(1)与(2)为真，(3)与(4)为假C.(1)与(4)为真，(2)与(3)为假D.(1)与(4)为假，(2)与(3)为真2．若a，b∈R,且a2+b2≠0，则(1)a、b全为零；(2)a、b不全为零；(3)a、b全不为零；(4)a、b至少有一个不为零，其中真命题的个数为( )A.0B. 1C.2D.33．设命题p：已知a、b为实数，若a+b是无理数．则a是无理数或b是无理数．则下列结论中正确的是( )A.p为真命题B．p的逆命题为真命题C.p 的否命题为真命题D. p 的逆否命题为假命题4．抛物线2y x =的焦点坐标是（ ）A ．()1,0B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． 1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭5.若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线的距离是（ ）A ．6B ．2C ．8D ．46. 对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a>b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中真命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7．若椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是（ ）A ．4B ．194C ．94D ．148.下列命题是真命题的是 ( )A “a(a-b)≤0”是“b a≥1”的必要条件 B “x ∈{1，2}”是“1-x =0”的充分条件C “A ∩B ≠φ”是“A ⊂B ”的充分条件D “x>5”是“x>2”的必要条件9.抛物线28x y =-的准线方程是 （ ） A 132x = B.y ＝2 C.14x = D.y=4 10.双曲线229436x y -=-的渐近线方程是（ ） A 23y x =± B.32y x =± C.94y x =± D.49y x =± 二,填空题:(每小题5分,共20分)11．命题: 若a 、b 都是偶数，则a+b 是偶数. 其逆否命题为_______________.12．下列命题: ①5≥5 ②5>1且1<2 ③3>4或3<4 ④. x,y ∈R. “若x 2+y 2=0，则x,y 全为0”的否命题 ⑤“全等三角形是相似三角形”的逆命题 ⑥若ac 2>bc 2，则a>b. 其中假命题的序号是_______________.13．当a+b=10, c=25时的椭圆的标准方程是.14．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程为.三、解答题：15．（本小题满分5分）求经过点P（―3，27）和Q（―62，―7）且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-2学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是( )A．0.56 B．0.48C．0.75 D．0.6【解析】设甲击中为事件A，乙击中为事件B．因为A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56.【答案】 A2．下列说法正确的是( )A．P(B|A)＜P(AB) B．P(B|A)＝P(B)P(A)是可能的C．0＜P(B|A)＜1 D．P(A|A)＝0【解析】由条件概率公式P(B|A)＝P(AB)P(A)及0＜P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝P(B) P(A)，故B选项正确，由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选B．【答案】 B3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是( )A．110B．210C．810D．910【解析】某人第一次失败，第二次成功的概率为P＝9×110×9＝110，所以选A．【答案】 A4．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与A2是( ) A．相互独立事件B．不相互独立事件C．互斥事件D．对立事件【解析】由题意可得A2表示“第二次摸到的不是白球”，即A2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与A2是相互独立事件．【答案】 A2．如图1­2­1，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是( )图1­2­1A．0.504 B．0.994C．0.496 D．0.06【解析】系统可靠即A，B，C 3种开关至少有一个能正常工作，则P＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.【答案】 B二、填空题6．将两枚均匀的骰子各掷一次，已知点数不同，则有一个是6点的概率为________.【解析】设掷两枚骰子点数不同记为事件A，有一个是6点记为事件B．则P(B|A)＝2×530＝13.【答案】1 37．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.【解析】设A＝“两个闹钟至少有一个准时响”，∴P(A)＝1－P(A)＝1－(1－0.80)×(1－0.90)＝1－0.2×0.1＝0.98.【答案】0.988．如图1­2­2，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”．则：【导学号：67720004】图1­2­2(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.【解析】正方形的面积为2，圆的面积为π.(1)∵A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，∴P(A)＝2π.(2)∵B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，∴P(AB)＝12π，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝14.【答案】(1)2π(2) 1 4三、解答题9．有红色、蓝色两颗骰子，设事件A为“抛红骰子所得点数为偶数”，设事件B为“抛蓝骰子所得点数大于4”，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率．【解】 画示意图如图所示，横轴表示抛红骰子所得点数，纵轴表示抛蓝骰子所得点数．∴P(A)＝1836＝12，P(AB)＝636＝16， ∴P(B|A)＝P (AB )P (A )＝1612＝13. 则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为13.10．集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．【解】 将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b)，则所有可能的抽取结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共30个．其中甲抽到奇数的情形有15个，在这15个数中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有9个，所以所求概率P ＝915＝35. [能力提升]1．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于( ) A ．2个球都是白球的概率 B ．2个球都不是白球的概率 C ．2个球不都是白球的概率 D ．2个球中恰有1个是白球的概率【解析】 记从甲口袋内摸出1个白球为事件A ，从乙口袋内摸出1个白球为事件B ，则A ，B 是独立事件，于是P(AB)＝P(A)P(B)＝13×12＝16，它表示从甲、乙口袋中摸出来的都是白球，故56为2个球不都是白球的概率．【答案】 C2．如图1­2­3，已知电路中4个开关闭合的概率都是12且互相独立，灯亮的概率为( )图1­2­3A．316B．34C．1316D．14【解析】因为灯不亮的概率为12×12×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－12×12＝316，所以灯亮的概率为1－316＝1316.【答案】 C3．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A，则第2次也抽到A的概率为________.【解析】设第1次抽到A为事件M，第2次也抽到A为事件N，则MN 表示两次都抽到A，P(M)＝452＝113，P(MN)＝4×352×51＝113×17，P(N|M)＝P(MN)P(M)＝117.【答案】1 174．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45，56，23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．【解】 (1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 45×56×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－23＝29，只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－56×23＝445，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－45×56×23＝19， ∴恰有两个项目成功的概率为 29＋445＋19＝1945. (2)三个项目全部失败的概率为 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－56×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＝190， ∴至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.。

一、选择题1．命题x R ∀∈，1x e x ≥+的否定是（ ）A ．x R ∀∈，1x e x <+B ．x R ∃∈，1x e x <+C ．x R ∃∉，1x e x <+D ．x R ∀∉，1x e x <+2．命题“2,10x R x x ∀∈-+>”的否定是（ ） A ．2,10x R x x ∃∈-+< B ．2,10x R x x ∃∈-+≤ C ．2,10x R x x ∀∈-+< D ．2,10x R x x ∀∈-+≤3．下列命题中假命题是（ ） A ．020R,log 0x x ∃∈= B ．2R,0x x ∀∈> C ．00R,cos 1x x ∃∈=D ．R,20x x ∀∈> 4．“22320x x --<”的一个必要不充分条件可以是（ ） A ．1x >- B ．01x << C ．1122x -<< D ．1x <5．设有两个命题：①关于x 的不等式2240x ax ++>对一切R x ∈恒成立；②函数()(52)x f x a =--是减函数.若命题中有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞-B ．(,2)-∞C ．[2,)+∞D ．(2,2)-6．设a 、b ∈R ，则“a b >”是“()20a b b ->”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件7．下列结论错误的是（ ）A ．若“p 且q ”与“p ⌝或q ”均为假命题，则p 真q 假.B ．命题“存在R x ∈，20x x ->”的否定是“对任意的R x ∈，20x x -≤”.C ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真.D ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件. 8．语句“若a b >，则a c b c +>+”是（ ） A ．不是陈述句B ．真命题C ．假命题D ．不能判断真假9．设a ∈R ，则“1a >-”是“2log (23)1a ->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10．若条件:|1|1p x -，条件:q x a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．2aB ．2aC ．2a -D ．2a -11．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a b =”是“()sin sin 2sin C A A B -=-”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件12．“函数2()(33)m f x m m x =-+是幂函数”是“函数22()2g x mx m x m =-+值域为[)0，+∞”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．记集合A ＝[a ，b ]，当θ∈,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，函数f （θ）＝2cos 2cos θθ+θ的值域为B ，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，则b ﹣a 的最小值是__． 14．已知命题:p “x ∀∈R ，23208kx kx +-<恒成立”是真命题，则实数k 的取值范围是___________.15．命题p ：已知0a >，且满足对任意正实数x ，总有1ax x+≥成立.命题q ：二次函数2()6f x x ax a =-+在区间[]1,2上具有单调性.若“p 或q ⌝”与“q ”均为真命题，则实数a的取值范围为_________；16．命题“020,log 20x R x ∃∈+<”的否定是__________．17．设[]x 表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，给出以下四个命题：①[][]x x -=-；②[]12x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦；③[][]22x x =； ④[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦. 则假命题是______(填上所有假命题的序号).18．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜m +1}，若x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_____．. 19．命题“0,21x x ∀>>”的否定____________． 20．写出命题“若22am bm <，则a b <”的否命题______．三、解答题21．设命题:p 对任意[1,4]x ∈，不等式22423x x m m -+-恒成立；命题:q 存在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式2504x x m -+-成立.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p q 、有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围. 22．已知命题[]2:1,2,320p x x mx ∀∈-+<;命题q :函数my x x=+在区间0,1上单调递减.其中m 为常数.（1）若p 为真命题，求m 的取值范围; （2）若()p q ⌝∧为真命题，求m 的取值范围.23．命题p ：实数m 满足不等式()223200m am a a -+<>；命题q ：实数m 满足方程22115x y m m +=--表示双曲线. （1）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若Р是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.24．将全体自然数填入如下表所示的3行无穷列的表格中，每格只填一个数字，不同格内的数字不同.第一行 第二行 第三行对于正整数a ，b ，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对任意n ∈N ，都有n ，n a +，n b +分别在表格的不同行，则称数对(),a b 为自然数集N 的“友好数对”.（Ⅰ）试判断数对()1,2是否是N 的“友好数对”，并说明理由； （Ⅱ）试判断数对()1,3是否是N 的“友好数对”，并说明理由；（Ⅲ）若4b =，请选择一个数a ，使得数对(),a b 是N 的“友好数对”，写出相应的表格填法；并归纳给出使得数对(),a b 是N 的“友好数对”的一个充分条件（结论不要求证明）. 25．已知命题2:230p x x --≥；命题2:40q x x -<．若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的范围．26．已知0a >，且1a ≠，命题p :函数()log 1a y x =+在()0,x ∈+∞内单调递减；q :曲线()2231y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点.如果p 和q 有且只有一个真命题，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据命题的否定的定义判断． 【详解】命题x R ∀∈，1x e x ≥+的否定是x R ∃∈，1x e x <+． 故选：B ．2．B解析：B 【分析】全称命题的否定是特称命题 【详解】命题“2,10x R x x ∀∈-+>”的否定是“2,10x R x x ∃∈-+≤”.故选：B3．B解析：B 【分析】根据对数函数的运算性质，可判定A 是真命题；根据特例，可判定B 是假命题， C 为真命题；根据指数函数的图象与性质，可判定D 为真命题. 【详解】根据对数函数的运算性质，可知2log 10=，可得命题“020R,log 0x x ∃∈=”为真命题，所以A 是真命题；当0x =时，20x =，所以命题“2R,0x x ∀∈>”为假命题，所以B 是假命题；当0x =时，可得cos01=，所以命题“00R,cos 1x x ∃∈=”为真命题，所以C 为真命题； 根据指数函数的图象与性质，可知20x >恒成立，所以命题“R,20xx ∀∈>”为真命题，所以D 为真命题. 故选：B.4．A解析：A 【分析】先通过解二次不等式化简条件22320x x --<，再利用充分条件与必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】22320x x --<等价于122x -<<，对于A ，122x -<<能推出1x >-，1x >-不能推出122x -<<，1x >-是22320x x --<的必要不充分条件；对于B ，122x -<<不能推出01x <<，01x <<能推出122x -<<，01x <<是22320x x --<的充分不必要条件；对于C ，122x -<<不能推出1122x -<<，1122x -<<能推出122x -<<，1122x -<<是22320x x --<的充分不必要条件； 对于D ，122x -<<不能推出1x <，1x <也不能推出122x -<<，1x <是22320x x --<的既不充分又不必要条件故选：A ． 【点睛】方法点睛：判断一个条件是另一个条件的什么条件，一般先化简各个条件，再确定出哪一个是条件哪一个是结论；判断前者是否推出后者，后者是否推出前者，然后利用利用充分条件与必要条件的定义加以判断．5．A解析：A 【分析】先根据①为真得22a -<<，②为真得2a <，再根据只有一个真命题分类讨论求解即可. 【详解】解：若①为真，则24160a ∆=-<，即22a -<<. 若②为真，则521a ->，即2a <.所以当①真②假时，无解；当①假②真时，2a ≤-. 故选：A. 【点睛】本题考查根据命题的真假求参数范围，解题的关键在于根据已知条件求解两个命题均为真命题的时候的取值范围，在分类讨论求解，是中档题.6．C解析：C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合不等式的基本性质、特殊值法判断可得出结论. 【详解】充分性：取0b =，由0a b >=，则()20a b b -=，充分性不成立；必要性：()20a b b ->，则0b ≠，且0a b ->，则a b >，必要性成立.因此，“a b >”是“()20a b b ->”的必要不充分条件. 故选：C.7．C解析：C 【分析】对于A ，由或命题为假可得p ⌝和q 均为假命题，从而可判断，对于B ，根据特称命题的否定为全称命题可得解；对于C ，利用特值判断即可；对于D 直接根据条件和结论的关系判断即可. 【详解】对于A ，若“p 且q ”与“p ⌝或q ”均为假命题，则p ⌝和q 均为假命题，所以p 真q 假，A 正确；对于B ，命题“R x ∈存在20x x ->”的否定是“对任意的R x ∈，20x x -≤”.B 正确； 对于C ，“若22am bm <，则a b <”的逆命题为：“若a b <，则22am bm <”，当0m =时不成立，C 不正确；对于D ，“1x =”时，“2320x x -+=”成立，充分性成立， “2320x x -+=”成立时，“1x =或2x =”，必要性不成立， 所以“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，D 正确. 故选：C.8．B解析：B 【分析】利用不等式的性质以及命题与真命题的定义求解即可． 【详解】因为可以判断真假的语句叫命题，判断为真的语句叫做真命题， 而当a b >时，a c b c +>+一定 成立． 所以语句“若a b >，则a c b c +>+”是真命题 故选：B ．9．B解析：B 【分析】先解不等式2log (23)1a ->，再用集合法判断. 【详解】由2log (23)1a ->解得：52a > 记()51,,,2A B ⎛⎫=-+∞=+∞⎪⎝⎭∵B A ⊆,∴“1a >-”是“2log (23)1a ->”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断： (1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； (2)若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； (3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对应集合与p 对应集合互不包含．10．A解析：A 【分析】转化成两个集合之间的包含关系求解即可. 【详解】:|1|1p x -解之得02x ≤≤设{}|02A x x =≤≤，{}|B x x a =，p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集 则2a 故选：A11．A解析：A 【分析】由题意结合三角恒等变化化简，由等腰三角形的性质可判定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】 在ABC 中，()sin sin 2sin sin()sin 2sin()C A A B A B A A B -=-⇔+-=-2cos sin sin 22sin cos A B A A A ⇔== sin sin A B ⇔=或cos 0A =所以a b =或90A ︒=因此“a b =”是“()sin sin 2sin C A A B -=-”成立的充分不必要条件. 故选：A12．B解析：B 【分析】先已知条件计算参数m 的取值，再根据包含关系判断充分条件和必要条件即可. 【详解】“函数2()(33)m f x m m x =-+是幂函数”等价于：2331m m -+=，即2320m m -+=，故1m =或2m =，即取值集合为{}1,2A =；“函数22()2g x mx m x m =-+值域为[)0，+∞”等价于：()2223()2g x mx m x m m x m m m =-+=-+-中，0m >且30m m -=，即()()110m m m +-=，故1m =，即取值集合为{}1B =.故B 是A 的真子集，“1m =或2m =”是“1m =”的必要不充分条件，即“函数2()(33)m f x m m x =-+是幂函数”是“函数22()2g x mx m x m =-+值域为[)0，+∞”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）p 是q 的必要不充分条件，等价于q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件，等价于p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，等价于p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，等价于q 对应集合与p 对应集合互不包含．二、填空题13．3【分析】根据三角函数知识求出再根据必要条件的概念列式可解得结果【详解】函数f （θ）＝2θ当θ∈时所以所以即若x ∈A 是x ∈B 的必要条件则B ⊆A 所以所以∴b ﹣a 的最小值是3故答案为：3【点睛】关键点点解析：3 【分析】根据三角函数知识求出B ，再根据必要条件的概念列式可解得结果. 【详解】函数f （θ）＝2cos 2cos θθ+θ=2cos 21θθ++2sin(2)16πθ=++.当θ∈,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，22[,]663πππθ+∈-,所以1sin(2)[,1]62πθ+∈-，所以2sin(2)1[0,3]6πθ++∈，即[0,3]B =，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，则B ⊆A ． 所以03a b ≤⎧⎨≥⎩，所以3b a -≥，∴b ﹣a 的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】关键点点睛：将“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件转化为B ⊆A ，是解题关键.14．【分析】分与两种情况讨论结合已知条件可得出关于实数的不等式组由此可解得实数的取值范围【详解】已知命题恒成立是真命题当时则有恒成立合乎题意；当时则有解得综上所述实数的取值范围是故答案为：【点睛】结论点 解析：(]3,0-【分析】分0k =与0k ≠两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数k 的不等式组，由此可解得实数k 的取值范围. 【详解】已知命题:p “x ∀∈R ，23208kx kx +-<恒成立”是真命题. 当0k =时，则有308-<恒成立，合乎题意； 当0k ≠时，则有22030k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得30k -<<. 综上所述，实数k 的取值范围是(]3,0-. 故答案为：(]3,0-. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则0a >⎧⎨∆<⎩； ②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩；③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩. 15．或【分析】依据题意知p 均为真命题再计算p 为真命题时的取值范围求公共解即得结果【详解】若或与均为真命题则p 均为真命题若命题为真命题即且满足对任意正实数总有成立而当且仅当时等号成立故则若命题为真命题即二解析：1143a ≤≤或23a ≥【分析】依据题意知p ，q 均为真命题，再计算p ，q 为真命题时a 的取值范围，求公共解即得结果. 【详解】若“p 或q ⌝”与“q ”均为真命题，则p ，q 均为真命题.若命题p 为真命题，即0a >，且满足对任意正实数x ，总有1ax x+≥成立，而a x x +≥=a x x =时等号成立，故min 1a x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则14a ≥. 若命题q 为真命题，即二次函数2()6f x x ax a =-+在区间[]1,2上具有单调性， 由对称轴3x a =，故31a ≤或32a ≥，故13a ≤或23a ≥. 由p ，q 均为真命题，知14a ≥，且13a ≤或23a ≥， 故1143a ≤≤或23a ≥.故答案为：1143a ≤≤或23a ≥.16．【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解【详解】因为命题是存在量词命题所以其否定是全称量词命题即：故答案为： 解析：2,log 20x x ∀∈+R【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】因为命题“020,log 20x R x ∃∈+<”是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题即：2,log 20x x ∀∈+R ， 故答案为：2,log 20x x ∀∈+R ，17．①②③【分析】举出反例可判断①②③按照分类即可判断④即可得解【详解】对于①由可得故①为假命题；对于②由可得故②为假命题；对于③由可得故③为假命题；对于④当时此时满足；当时此时满足；故④为真命题；故答解析：①②③ 【分析】举出反例可判断①②③，按照[]102x x ≤-<、[]112x x ≤-<分类，即可判断④，即可得解. 【详解】对于①，由[]2.33-=-，[]2.32-=-可得[][]2.3 2.3-≠-，故①为假命题；对于②，由31222⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可得313222⎡⎤⎡⎤+≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故②为假命题； 对于③，由3232⎡⎤⨯=⎢⎥⎣⎦，3222⎡⎤⨯=⎢⎥⎣⎦可得332222⎡⎤⎡⎤⨯≠⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故③为假命题；对于④，当[]102x x ≤-<时，[]12x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[][]22x x =，此时满足[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦； 当[]112x x ≤-<时，[]112x x ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，[][]221x x =+，此时满足[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦；故④为真命题； 故答案为：①②③. 【点睛】解决本题的关键是准确理解题目中的概念，举出合理反例、合理分类.18．（1+∞）【分析】由充分必要条件与集合的关系得：A B 列不等式组运算得解【详解】由x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件得：A B 即即m ＞1故答案为：（1+∞）【点睛】本题考查了充分必要条件与集合间解析：（1，+∞）． 【分析】由充分必要条件与集合的关系得：A B ，列不等式组运算得解 【详解】由x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件， 得：A B ，即1112m m +>-⎧⎨+>⎩，即m ＞1，故答案为：（1，+∞）． 【点睛】本题考查了充分必要条件与集合间的包含关系，属简单题．19．【解析】试题分析：命题的否定是：考点：命题的否定 解析：0,21x x ∃>≤【解析】试题分析：命题“0,21x x ∀>>”的否定是：0,21xx ∃>≤．考点：命题的否定．20．若则【分析】根据否命题的定义即可求出【详解】命题若则的否命题为若则故答案为若则【点睛】本题考查了四种命题之间的关系属于基础题解析：若22am bm ≥，则a b ≥ 【分析】根据否命题的定义即可求出． 【详解】命题“若22am bm <，则a b <”的否命题为若22am bm ≥，则a b ≥， 故答案为若22am bm ≥，则a b ≥ 【点睛】本题考查了四种命题之间的关系，属于基础题.三、解答题21．（1）12m ；（2）514m <或2m >. 【分析】（1）p 为真命题时，任意[1,4]x ∈，不等式22423x x m m -+-恒成立可转化为22min (42)3x x m m -+-，求解即可（2）由题可得,p q 一真一假，结合（1），再化简命题q ，即可求出m 的取值范围. 【详解】（1）对任意[1,4]x ∈，不等式22423x x m m -+-恒成立， 即()22min423x x m m -+-.2242(2)2x x x -+=--，当2x =时，242x x -+取到最小值2-， 223,12m m m ∴--∴，所以p 为真时，实数m 的取值范围是12m .（2）命题:q 存在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式2504x x m -+-成立， 只需2max 504x x m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，而22513422x x m x m ⎛⎫-+-=-+- ⎪⎝⎭，所以当0x =时，254x x m -+-取到最大值555,0,444m m m -∴-，即命题q 为真时，实数m 的取值范围是54m ， 依题意命题,p q 一真一假，若p 为假命题，q 为真命题，则1254m m m⎧⎪⎨⎪⎩或，得2m >； 若q 为假命题，p 为真命题，则1254m m ⎧⎪⎨<⎪⎩，得514m <，综上，514m <或2m >. 【点睛】思路点睛：本题考查根据命题的真假求参数，解决此类问题一般先求出命题为真时对应的参数范围，再结合命题的真假或复合命题的真假列出对应的不等式求解. 22．（1）()7,+∞；（2）[]1,7. 【分析】（1）由二次函数的性质得出()10f <且()20f <，求解得出m 的取值范围;（2）由()p q ⌝∧为真命题得出p 为假命题，q 为真命题，再讨论0,0m m ≤>两种情况，由函数my x x=+在区间0,1的单调性，列出不等式得出m 的取值范围. 【详解】（1）令()232f x x mx =-+，其图像是开口向上的抛物线要使p 为真命题，则()10f <且()20f < 即320,12220,m m -+<⎧⎨-+<⎩，所以7m >所以m 的取值范围是()7,+∞.（2）若()p q ⌝∧为真命题，则p 为假命题，q 为真命题 由（1）知，p 为假命题等价于7m ≤. 对于命题,q 当0m ≤时，函数my x x=+在0,1上单调递增，不满足条件;当0m >时，函数my x x=+在(上单调递减，在)+∞上单调递增要使my x x=+在0,11≥，即m 1≥， 综上所述，若()p q ⌝∧为真命题，m 的取值范围是[]1,7. 【点睛】关键点睛：解决第二问的关键在于熟知对勾函数的单调性，从而求出m 的取值范围. 23．（1）15m <<；（2）512a ≤≤ 【分析】（1）由题意可得()()150m m --<，即可求解.（2）若p 是q 的充分不必要条件，则{}|2a a m a <<是{}|15m m <<的真子集，根据集合的包含关系求出实数a 的取值范围即可. 【详解】（1）若实数m 满足方程22115x ym m +=--表示双曲线，则()()150m m --<， 解得15m <<，（2）实数m 满足不等式()223200m am a a -+<>，解得2<<a m a ，若p 是q 的充分不必要条件，则{}|2a a m a <<是{}|15m m <<的真子集，所以1250a a a ≥⎧⎪≤⎨⎪>⎩，解得512a ≤≤，所以若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围是512a ≤≤. 【点睛】 易错点睛：若p 是q 的充分不必要条件则{}|2a a m a <<是{}|26m m <<的真子集，一般情况下需要考虑{}|2a a m a <<=∅的情况，此情况容易被忽略，但题目中已经给出0a >，很明显{}|2a a m a <<≠∅.24．（Ⅰ）数对()1,2是N 的“友好数对”；（Ⅱ） 数对()1,3不是N 的“友好数对”；（Ⅲ）2a =；2b a =. 【分析】（Ⅰ）由整除的知识易证数对()1,2是N 的 “友好数对”； （Ⅱ）通过举例可证明数对()1,3不是N 的“友好数对”；（Ⅲ）由（Ⅰ）中的结论可猜测2a =时，数对()2,4是N “友好数对”，此时当证明2a =时，存在满足题意的表格填法即可.；由（Ⅰ）与（Ⅱ）中的结论可推测2b a =时，数对(),a b 是N 的“友好数对”.【详解】（Ⅰ）对于数对()1,2，将表中第一行填入能被3整除的自然数， 第二行填入被3整除余1的自然数， 第三行填入被3整除余2的自然数，对于任意n N ∈，n ，1n +，2n +必分别在表格的不同行， 故数对()1,2是N 的“友好数对”. （Ⅱ）对于数对()1,3，假设数对()1,3是N 的“友好数对”，令0n =，则011n a +=+=，033n b +=+=， 此时0,1,3互不同行，令1n =，则112n a +=+=，134n b +=+=， 此时1,2,4互不同行，因为1与3互不同行，则3必与2或4同行， 令2n =，则213n a +=+=，235n b +=+=， 此时2,3,5互不同行，令3n =，则314n a +=+=，336n b +=+=， 此时3,4,6互不同行，即3不与2、4同行，故假设不成立， 则数对()1,3不是N 的“友好数对”. （Ⅲ）存在满足题意的a ，令2a =，则2n a n +=+，4n b n +=+， 此时将数表中的第一行填入被6整除余0,1,2的数， 第二行依次填入被6整除余2,3,4的数， 第三行依次填入被6整除余4,5,6的数， 在此表中，差为2或4的两个数不可能在同一行， 此时对于任意n N ∈，在,2n n +以及4n +除以6的余数中， 较大数与任意较小数之差必为2或4， 若按表中方法填入式， 任意两数均不可能在同一行， 则,2n n +以及4n +比不同行， 故2a =满足题意， 此时表格的填法如下：第一行 第二行 第三行由上可知使得数对,a b 是N 的“友好数对”的一个充分条件为2b a =， 当2b a =时，2n b n a +=+， 在该条件下，数表的填法为： 第一行填入被3a 整除余0,1,2,,1a -的数，第二行依次填入被3a 整除余,1,2,,21a a a a ++-的数，第三行依次填入被3a 整除余2,21,22,,31a a a a ++-的数，在此表中，差为a 或2a 的两个数不可能在同一行，此时对于任意n N ∈，在,n n a +以及2n a +除以3a 的余数中， 较大数与任意较小数之差必为a 或2a ， 若按表中方法填入式， 任意两数均不可能在同一行， 则,n n a +以及2n a +比不同行， 故2b a =满足题意，则“2b a =”为使得数对(),a b 是N 的“友好数对”的一个充分条件. 【点睛】本题主要考查集合的运算和充分条件与必要条件，考查了考生的分析能力，属于难题.25．(][),14,-∞-+∞【分析】求解一元二次不等式得到命题p 为真命题，命题q 为假命题的x 的取值集合，取交集得答案． 【详解】由2230x x --≥，得1x ≤-或3x ≥，p ∴是真命题的x 的取值范围为(][),13,-∞-+∞；由240x x -<，得04x <<，q ∴是假命题的x 的取值范围为(][),04,-∞+∞.∴满足p 是真命题，q 是假命题的实数x 的取值范围是(][),14,-∞-+∞.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查一元二次不等式的解法，是基础题．26．15,1,22⎡⎫⎛⎫+∞⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭【分析】根据对数函数和复合函数的单调性，可知p 为真命题时01a <<．由二次函数的性质，可知q 为真命题时52a >或102a <<，再根据p 和q 有且只有一个真命题，分p 为真命题，q 为假命题和p 假命题， q 为真命题两种情况讨论，即可求出结果．【详解】若p 为真命题，由“函数()log 1a y x =+在区间()0,∞+内单调递减”， 可知:01p a <<； 若q 为真命题，由“曲线()2231y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点”，所以()22340a ∆=-->，解得52a >或12a <； 又0a >，且1a ≠，所以5:2q a>或12a<<；又p和q有且只有一个真命题，当p为真命题，q为假命题时，011522aa a<<⎧⎪⎨≤≤≤⎪⎩或，得1,12a⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；当p假命题，q为真命题时，015122a aa a≤≥⎧⎪⎨><<⎪⎩或或，即5,2a⎛⎫+∞⎝∈⎪⎭．综上，a的取值范围为:15,1,22⎡⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与命题：“若a ∈P 则b ∉P ”等价的命题是( ) A ．若a ∉P ，则b ∉P B ．若b ∉P ，则a ∈P C ．若a ∉P ，则b ∈PD ．若b ∈P ，则a ∉P解析： 原命题的逆否命题是“若b ∈P ，则a ∉P ”． 答案： D2．条件甲：“a 、b 、c 成等差数列”是条件乙：“ab ＋cb ＝2”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 甲⇒/乙，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1； 乙⇒甲，故甲是乙的必要不充分条件． 答案： A3．曲线f(x)＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为( ) A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(－1，－4)D ．(2,8)和(－1，－4)解析： f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 0＝±1. 答案： C4．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B ．x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1 D ．x 24＋y 216＝1解析： 双曲线x 24－y 212＝－1，即x 212－y 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.答案： D 5．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)解析： 由已知定义域为{x|x ≠0}， y ′＝8x －1x 2，令y ′＞0得x ＞12，故选C.答案： C6．若k 可以取任意实数，则方程x 2＋ky 2＝1所表示的曲线不可能是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆或双曲线D ．抛物线解析： 本题主要考查圆锥曲线的一般形式：Ax 2＋By 2＝c 所表示的圆锥曲线问题，对于k ＝0,1及k ＞0且k ≠1，或k ＜0，分别讨论可知：方程x 2＋ky 2＝1不可能表示抛物线．答案： D7．函数f(x)＝－13x 3＋x 2在区间[0,4]上的最大值是( )A ．0B ．－163C.43D ．163解析： f ′(x)＝2x －x 2，令f ′(x)＝0，解得x ＝0或2. 又∵f(0)＝0，f(2)＝43，f(4)＝－163，∴函数f(x)在[0,4]上的最大值为43.答案： C8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54 B ．52C.32D ．54解析： 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝32，所以1－b 2a 2＝e 21＝34，即b 2a 2＝14，而在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中，设离心率为e 2，则e 22＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，所以e 2＝52.故选B. 答案： B9．已知f(2)＝－2，f ′(2)＝g(2)＝1，g ′(2)＝2，则函数 g (x )f (x )(f(x)≠0)在x ＝2处的导数为( )A ．－54B ．54C ．－5D ．5解析： 令h(x)＝g (x )f (x )，则h ′(x)＝g ′(x )f (x )－f ′(x )g (x )f 2(x )，∴h ′(2)＝－54.故选A.答案： A10．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，如果p 且q 、非q 同时为假，则满足条件的x 为( )A ．{x|x ≤－1或x ≥3，x ∉Z}B ．{x|－1≤x ≤3，x ∉Z}C ．{－1,0,1,2,3}D ．{0,1,2}解析： ∵p 且q 假，非q 为假， ∴p 假q 真，排除A ，B ，p 为假， 即|x －1|＜2，∴－1＜x ＜3且x ∈Z.∴x ＝0,1,2. 答案： D11．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )A.3或62B ．2或 3C.233或2D ．233或62解析： 设圆的两条过原点的切线方程为y ＝kx. 由2k 2＋1＝1得k ＝±3.当ba ＝3时，e ＝ca＝1＋b 2a 2＝2.当ab ＝3时，e ＝ca＝1＋b 2a 2＝233.答案： C12．设f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x ＜0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析： f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f(x)g(x)是奇函数．又当x ＜0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)＞0，即[f(x)g(x)]′＞0，所以F(x)＝f(x)·g(x)在(－∞，0)上是增函数，又g(－3)＝g(3)＝0，故F(－3)＝F(3)＝0.所以不等式f(x)g(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)． 答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)13．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角是________．解析： y ′＝x 2，则曲线在x ＝－1处的导数为1，所以tan α＝1，又因为α是切线的倾斜角，所以α＝45°.答案： 45°14．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)(4,0)，则双曲线的方程为________． 解析： 由题意知c ＝4，e ＝ca ＝2，故a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝12， 双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案：x 24－y 212＝1 15．函数f(x)＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值是________．解析： ∵f ′(x)＝1－2sin x ，令f ′(x)＞0，∴sin x ＜12.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，sin x ＜0＜12，即f ′(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上恒大于0，∴f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数，∴f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－π2.答案： －π216．已知：①命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题； ④命题“若A ∩B ＝A ，则AB ”的逆否命题．其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)． 解析： ①逆命题：若x ，y 互为倒数，则xy ＝1.是真命题． ②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题． 如，a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)有|a|＝|b|＝2，但a ≠b.③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0”是真命题．这是因为当m ＜0时Δ＝(－2)2－4m ＝4－4m ＞0恒成立．故方程有根．所以其逆否命题也是真命题．④若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题． 答案： ①②③三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知p ：1≤x ≤2，q ：a ≤x ≤a ＋2，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析： ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的充分不必要条件．∴{x|1≤x ≤2}{x|a ≤x ≤a ＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ＋2≥2，∴0≤a ≤1.18．(12分)已知命题p ：方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m＝1的离心率e ∈(1,2)，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围． 解析： p ：0＜2m ＜1－m ⇒0＜m ＜13，q ：1＜5＋m5＜2⇒0＜m ＜15， p 且q 为假，p 或q 为真⇒p 假q 真，或p 真q 假．p 假q 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0或m ≥130＜m ＜15⇒13≤m ＜15， q 假p 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜13m ≤0或m ≥15m ∈∅.综上可知13≤m ＜15.19．(12分)已知动圆过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，与直线x ＝－p2相切，其中p ＞0，求动圆圆心的轨迹方程．解析： 如图，设M 为动圆圆心，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0记为点F.过点M 作直线x ＝－p2的垂线，垂足为N ，由题意知|MF|＝|MN|，即动点M 到定点F与到定直线x ＝－p2的距离相等，由拋物线的定义，知点M 的轨迹为拋物线，其中F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0为其焦点，x ＝－p2为其准线，所以动圆圆心的轨迹方程为y 2＝2px(p ＞0)．20．(12分)已知函数f(x)＝2ax 3＋bx 2－6x 在x ＝±1处取得极值． (1)求f(x)的解析式，并讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值； (2)试求函数f(x)在x ＝－2处的切线方程． 解析： (1)f ′(x)＝6ax 2＋2bx －6， 因为f(x)在x ＝±1处取得极值，所以x ＝±1是方程3ax 2＋bx －3＝0的两个实根．所以⎩⎪⎨⎪⎧－b3a ＝0，－33a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.所以f(x)＝2x 3－6x ，f ′(x)＝6x 2－6.令f ′(x)＞0，得x ＞1或x ＜－1； 令f ′(x)＜0，得－1＜x ＜1.所以f(－1)是函数f(x)的极大值，f(1)是函数f(x)的极小值．(2)由(1)得f(－2)＝－4，f ′(－2)＝18，即f(x)在x ＝－2处的切线的斜率为18. 所以所求切线方程为y －(－4)＝18[x －(－2)]， 即18x －y ＋32＝0. 21．(12分)设函数f(x)＝x 3－92x 2＋6x －a. (1)对于任意实数x ，f ′(x)≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． 解析： (1)f ′(x)＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x)≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m)≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x ＜1时，f ′(x)＞0；当1＜x ＜2时，f ′(x)＜0； 当x ＞2时，f ′(x)＞0.所以当x ＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a ；当x ＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a ，故当f(2)＞0或f(1)＜0时，f(x)＝0仅有一个实根． 解得a ＜2或a ＞52.22．(14分)某椭圆的中心是原点，它的短轴长为22，一个焦点为F(c,0)(c ＞0)，x轴上有一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0且满足|OF|＝2|FA|，其中a 为长半轴长，过点A 的直线与该椭圆相交于P ，Q 两点．求：(1)该椭圆的方程及离心率；(2)若OP →·OQ →＝0，求直线PQ 的方程．解析： (1)依题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 22＝1(a ＞2)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝2，c ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，c ＝2.所以椭圆的方程为x 26＋y 22＝1，离心率e ＝63.(2)由(1)可得点A(3,0)，由题意知直线PQ 的斜率存在，设为k ， 则直线PQ 的方程为y ＝k(x －3)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y22＝1，y ＝k (x －3)，得(3k 2＋1)x 2－18k 2x ＋27k 2－6＝0，依题意知，Δ＝12(2－3k 2)＞0，得－63＜k ＜63. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝18k 23k 2＋1，x 1x 2＝27k 2－63k 2＋1，从而得y 1＝k(x 1－3)，y 2＝k(x 2－3)， 于是y 1y 2＝k 2(x 1－3)(x 2－3)．因为OP →·OQ →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0， 解得5k 2＝1，从而k ＝±55∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－63，63，所以直线PQ 的方程为x －5y －3＝0或x ＋5y －3＝0.。

选修1—1一、选择题：（每小题5分,共50分）1.已知P ：2＋2＝5，Q:3>2,则下列判断错误的是（ ）A.“P 或Q ”为真，“非Q ”为假；B.“P 且Q ”为假，“非P ”为真 ；C.“P 且Q ”为假，“非P ”为假 ；D.“P 且Q ”为假，“P 或Q ”为真2.在下列命题中，真命题是（ ）A. “x=2时,x 2－3x+2=0”的否命题；B.“若b=3,则b 2=9”的逆命题;C.若ac>bc,则a>b;D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题3.已知P:|2x －3|<1, Q:x(x －3)<0, 则P 是Q 的（ ）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件 ；C.充要条件 ；D.既不充分也不必要条件4.平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( )A.[1,4];B.[2,6];C.[3,5 ];D. [3,6].5. 函数f(x)=x 3－ax 2－bx+a 2,在x=1时有极值10，则a 、b 的值为（ ）A.a=3,b=－3或a=―4,b=11 ；B.a=－4,b=1或a=－4,b=11 ；C.a=－1,b=5 ；D.以上都不对6.曲线f(x)=x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y=4x －1，则P 0点坐标为（ ）A.(1,0);B.(2,8);C.(1,0)和(－1,－4);D.(2,8)和(－1,－4)7.函数f(x)=x 3－ax+1在区间（1,+∞）内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A.a<3 ；B.a>3 ；C.a ≤3；D.a ≥38.若方程15222=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ） A.2<k<5 ； B.k>5 ； C.k<2或k>5； D.以上答案均不对9.函数y=xcosx －sinx 在下面哪个区间内是增函数（ ）A.()23,2ππ； B.)2,(ππ； C.)25,23(ππ； D.)3,2(ππ 10.已知双曲线13622=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上,且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.563；B.665 ；C.56 ；D.65 二、填空题：(每小题5分,共25)11.双曲线的渐近线方程为y=x 43±，则双曲线的离心率为________ 12.函数f(x)=(ln2)log 2x －5x log 5e(其中e 为自然对数的底数)的导函数为_______13.与双曲线14522-=-y x 有相同焦点，且离心率为0.6的椭圆方程为________14.正弦函数y=sinx 在x=6π处的切线方程为____________ 15.过抛物线y 2=4x 的焦点，作倾斜角为4π的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 为坐标原点，则∆POQ 的面积为_________三、解答题： (每题15分,共75分)16.命题甲：“方程x 2+mx+1=0有两个相异负根”,命题乙：“方程4x 2+4(m －2)x+1=0无实根”，这两个命题有且只有一个成立，试求实数m 的取值范围。

一、选择题1．已知点A 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点，(),0F c 为椭圆的右焦点，B 、E 在椭圆上，四边形OABE 为平行四边形（O 为坐标原点），过直线AE 上一点P 作圆()2224b x c y -+=的切线PQ ，Q 为切点，若PQF △面积的最小值大于28b ，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A ．1020,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．102,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．510,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．51,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（ ）A ．54 B ．45C ．43D ．343．过抛物线22y px =焦点(1,0)F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且(1)AF mFB m =>，25||4AB =，则m =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．已知F 是双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左焦点，过点F 的直线与双曲线E 的左支和两条渐近线依次交于,,A B C 三点，若||||||FA AB BC ==，则双曲线E 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2D 55．已知12,F F 分别是双曲线2214x y -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若12PF F △内切圆圆心为I ，则圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为（ ） A ．2B ．51-C ．1D ．52-6．如图，已知曲线2yx 上有定点A ，其横坐标为()0a a >，AC 垂直于x 轴于点C ，M 是弧OA 上的任意一点（含端点），MD 垂直于x 轴于点D ，ME AC ⊥于点E ，OE 与MD 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()310y x x a a=≤≤ B ．()31022ay x x x a a =+≤≤ C ．()220y x ax x a =-≤≤D ．()2022a ay x x x a =+≤≤ 7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是F 1，F 2，过右焦点F 2且斜率为2的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若满足223AF F B =，则椭圆的离心率为（ ）A ．35B ．12C ．22D ．328．设1F 、2F 分别是椭圆22:1259x yC +=的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆C上且满足4OP =，则12PF F △的面积为（ ） A ．3B ．33C ．6 D ．99．如图，F 是抛物线28x y =的焦点，过F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若AOF 与BOF 的面积之比为1:4，则AOB 的面积为（ ）A ．10B ．8C ．16D ．1210．设F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，且∠F 1PF 2＝60°，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A ．30x y ±=B ．270x y ±=C ．320x y ±=D ．230x y ±=11．已知直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C 的方程为221x y -=.若直线l 与双曲线C 的右支相交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(2,2)-B ．[1,2)C ．[2,2]-D ．(1,2)12．已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．()2,+∞B ．)2,⎡+∞⎣C ．()1,2D ．(1,2⎤⎦二、填空题13．若A ､B ､C 是三个雷达观察哨，A 在B 的正东，两地相距6km ，C 在A 的北偏东30°，两地相距4km ，在某一时刻，B 观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为1km /s ，4s 后A ､C 两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点P 的坐标___________.14．已知双曲线M ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是___________. 15．方程1169x x y y+=表示的曲线为函数()y f x =的图象.对于函数()y f x =，现有如下结论：①函数()y f x =的值域是R ；②()y f x =在R 上单调递减；③()y f x =的图象不经过第三象限；④直线340x y +=与曲线()y f x =没有交点.其中正确的结论是___________.16．过双曲线221x y -=上的任意一点(除顶点外)作圆221x y +=的切线，切点为,A B ，若直线AB 在x 轴､y 轴上的截距分别为,m n ，则2211m n-=___________. 17．F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 且斜率为k 的直线l 与抛物线交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，且||6PQ =，则||MF =__________．18．设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点，P 是椭圆C 上的点，圆2229a x y +=与线段PF 交于A ,B 两点，若A ,B 三等分线段PF ，则椭圆C 的离心率为____________.19．已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，A ()00,x y 是C 上一点，054AF x =，则0x =________.20．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若||3AF =，则AOB 的面积为_______．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y x =被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为l 与抛物线C 相交于点M ，N ，点()1,2A ，且直线AM ，AN 的斜率之和为4.（1）求抛物线C 的方程；（2）求证：直线l 过定点，并求出定点坐标.22．已知抛物线()2:20C y px p =>过点()4,4-，直线2y x m =-+与抛物线C 相交于不同两点A 、B .（1）求实数m 的取值范围；（2）若AB 中点的横坐标为1，求以AB 为直径的圆的方程. 23．已知抛物线28y x =的焦点为F ，且A 是抛物线上一点. （1）若4AF =求点A 的坐标；（2）直线l ：y x m =+与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP OQ ⊥，求实数m 的值.24．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12(1,0),(1,0)F F -，过点1F 的直线l 与椭圆相交于A B 、两点，且2ABF的周长为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）在椭圆中有这样一个结论“已知000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，过0P 作椭圆的两条切线，切点分别为12,P P ，则直线12PP 的方程为00221x x y ya b+=”.现已知M 是圆223x y +=上的任意点，,MA MB 分别与椭圆C 相切于,A B ，求OAB 面积的取值范围.25．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当l x ⊥轴时，4AB =，（1）求p 的值：（2）若2AF BF =，求直线l 的方程.26．在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 到定点(1,0)F 的距离与到定直线:1l x =-的距离相等，记P 的轨迹为曲线Γ． （1）求曲线Γ的方程；（2）过点F 的直线交曲线Γ于点A 、B （其中点A 在第一象限），交直线l 于点C ，且点F 是AC 的中点，求线段AB 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】结合题意先计算直线AE 的表达式，然后运用点到直线的距离计算圆心F 到直线AE 的距离，求出三角形PQF 的面积表达式，结合题意得到不等式，继而计算出椭圆离心率的取值范围. 【详解】因为四边形OABE 是平行四边形，所以//BE AO ，且BE AO a ==，又因为点B 、E关于y 轴对称，所以0,2a E y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入椭圆方程得2202214y aa b+=，解得02y b =±，故2a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(),0A a -，所以()2:32AE l y x a a =+，即30ay -=，故min PF 即为F 到直线AE 的距离，d=，此时PQ ==故2112228PQFb b SPQ R =⋅=⋅>，化简得2212d b >，故()2222231392b ac b b a +>+，即()()222231239a c a c a +>-+，整理得22222142a ac c a c ++>-，分子分母同除以2a ，得2212142e e e ++>-，即23420ee +->，所以23e -<(舍去)或e >a c >，所以1e <，所以e ⎫∈⎪⎪⎝⎭故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出三角形PQF 的面积表达式，结合题意得到不等式进行求解，有一定的计算量，需要把基础知识掌握牢固.2．D解析：D 【分析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则可得切线,GP GQ 的方程，即可得到直线PQ 的方程，进而可求出点点,M N 的坐标，再结椭圆方程可求出2231OMON+的值【详解】解：设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=， 因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=， 所以直线PQ 的方程为334x x y y +=， 所以3344(,0),(0,)M N x y ， 因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x +=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的标准方程，以及简单性质有应用，解题的关键是设点33(,)G x y ，再由已知条件得到直线PQ 的方程为334x x y y +=，从而可得,M N 的坐标，进而可得答案，考查计算能力和转化能力，属于中档题3．C解析：C 【分析】由焦点得2p =，设直线代入抛物线方程结合韦达定理以及已知条件利用弦长公式求得参数值. 【详解】∵焦点(1,0),2F p ∴=，抛物线方程式为24y x =．设直线l 的方程为1(0)x y λλ=+>，代入抛物线方程，得2440y y λ--=．设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得124y y =-．由AF mFB =，得12y my =-．解得21y y ==-21y y ==121,x m x m ∴==．12125||2,44AB x x p m m m ∴=++=++=∴=． 故选：C ． 【点晴】方法点晴：解直线与圆锥曲线位置问题时，通常使用设而不求思想，结合韦达定理运算求解相关参数.4．B解析：B 【分析】可设出直线AB ，与两渐近线方程联立，解出,B C y y ，利用两者的关系式求出直线的斜率.进而表示出A 的坐标，代入双曲线方程，得到,,a b c 的关系式，从而求得离心率. 【详解】||||||FA AB BC ==，故有1123A B C y y y == 故32B C y y =设过点F 的直线方程为：()y k x c =+联立()y k x c b y x a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，解之得C C kc x bk a b kc a y b k a -⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪⎪+⎩ 同理联立()y k x c by x a ⎧=+⎪⎨=⎪⎩解之得B B kc x bk a b kc a y b k a ⎧=⎪-⎪⎪⎨⎪=⎪⎪-⎩由32B C y y =有23b bkc kca ab b k k a a =+-，故3232b b k k a a +=- 解之得5bk a=-直线为：()5by x c a=-+ 则1212A B bc y y a -==，又()5A A b y x c a =-+ 故712A cx =-又A 在双曲线上可得：2222491144144c c a a -= 得2213c a =故ca =故选：B 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．C解析：C 【分析】设12PF F △内切圆与12PF F △的三边1PF ､2PF ､12F F 的切点分别为D ､N ､M ，根据圆的切线性质，可得2OM =，即可得答案. 【详解】设12PF F △的内切圆分别与12,PF PF 切于点,A B ，与12F F 切于点M ，则11||||,||||PA PB F A F M ==，22||||F B F M =．又点P 在双曲线右支上， 12||||2PF PF a ∴-=，即12(||||)(||||)2PA F A PB F B a +-+=， 12||||2F M F M a ∴-= ①，又12||||2F M F M c += ②， 由①＋②，解得1||F M a c =+， 又1||OF c =，则(,0)M a ，因为双曲线2214x y -=的2a =，所以内切圆圆心I 与在直线2x =上，设0(2,)I y ， 设圆22(1)1y x +-=的圆心为C ，则(0,1)C ， 所以()220||21CI y =+-，当01y =时，min ||2CI =，此时圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为min ||1211CI -=-=．故选： C ．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，关键点是由定义和已知得到12||||2F M F M a -=和12||||2F M F M c +=，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.6．A解析：A 【分析】设点(),P x y ，求出点M 、E 的坐标，利用O 、P 、E 三点共线可得出//OP OE 可求得点P 的轨迹方程.【详解】设点(),P x y ，其中0x a ≤≤，则点()2,M x x，ME 与直线x a =垂直，则点()2,E a x ，因为O 、P 、E 三点共线，则//OP OE ，可得3ay x =，31y x a∴=， 因此，点P 的轨迹方程是()310y x x a a=≤≤. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.7．D解析：D 【分析】首先设直线2x y c =+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，同时由条件可得123y y =-，与根与系数的关系联立消元可得22213242a b c +=，求得椭圆的离心率. 【详解】设直线方程为x y c =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆方程联立得22224102a b y cy b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，2122212cy y a b +=-+，4122212b y y a b =-+ ① 223AF F B =，()()1122,3,c x y x c y ∴--=-，得123y y =- ②，由①②联立可得，22213242a bc +=即22222323c a b a c =+=-，得2243c a =，椭圆的离心率2c e a ==. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合问题，考查学生的转化和计算能力，属于中档题型，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.8．D解析：D 【分析】设点()00,P x y ，求出20y 的值，由此可求得12PF F △的面积.【详解】在椭圆22:1259x y C +=中，5a =，3b =，则4c ==，所以，1228F F c ==，设点()00,P x y ，则22001259x y +=，可得220025259x y =-，4OP ===，解得208116y =，094y ∴=，因此，12PF F △的面积为1212011989224PF F S F F y =⋅=⨯⨯=△. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，常用以下两种方法求解： （1）求出顶点P 的坐标，利用三角形面积公式求解；（2）利用余弦定理和椭圆的定义求得12PF PF ⋅的值，利用三角形面积公式求解.9．A解析：A 【分析】设直线AB 的方程为2y kx =+，设点()11,A x y 、()11,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合已知条件可得出214x x =-，结合韦达定理求出2k 的值，进而可得出AOB 的面积为1212OAB S OF x x =⋅-△，即可得解.【详解】易知抛物线28x y =的焦点为()0,2F .若直线AB 与x 轴垂直，此时直线AB 与抛物线28x y =有且只有一个公共点，不合乎题意. 设直线AB 的方程为2y kx =+，设点()11,A x y 、()11,B x y ，联立228y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得28160x kx --=，由韦达定理可得128x x k +=，1216x x =-，由于AOF 与BOF 的面积之比为1:4，则4BF FA =，则()()2211,24,2x y x y --=-，所以，214x x =-，则12138x x x k +=-=，可得183k x =-， 2221218256441639k k x x x ⎛⎫=-=-⨯-=-=- ⎪⎝⎭，可得2916k =， 所以，OAB 的面积为1211222OAB S OF x x =⋅-=⨯△10===.故选：A. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.10．C解析：C 【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF 1|，|PF 2|，再利用余弦定理找出a,c 的等量关系,从而可求a,b 的比值，即可得出双曲线C 的渐近线方程． 【详解】解：因为F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线右支上， 所以由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又知|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可得222121212||||||cos60=2||||PF PF F F PF PF +-⋅，即222(3)41=232a a c a a +-⨯⨯，所以3a 2＝10a 2－4c 2，即4c 2＝7a 2，又知b 2＋a 2＝c 2，所以223=4b a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y x =20y ±=.故选：C. 【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义和已知即可得出|PF 1|，|PF 2|，再利用余弦定理解三角形是解答本题的关键．11．D解析：D 【分析】联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+，由于直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点，可得210k -≠，由2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得即可【详解】解：联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+， 因为直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点， 所以210k -≠，且2248(1)0k k ∆=+->，1k <， 解得1k <<，所以实数k 的取值范围为， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是直线方程和双曲线方程联立方程组，消元后结合题意可得2248(1)0k k ∆=+->，1k <，从而可得答案12．C解析：C【分析】把P的坐标表示出来，PA 转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围． 【详解】 设00(,)P x y ，则||PA ==又∵点P 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002b x y b a=-，∴||PA ===．当PA 最小时，0224202a ax e e -=-=>． 又点P 不在顶点位置，∴22aa e>，∴22e <，∴e < ∵双曲线离心率1e >，∴1e <<故选：C ． 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．二、填空题13．【分析】转化条件为点在线段的垂直平分线上再结合双曲线的定义可得点在以､为焦点的双曲线的左支上联立方程即可得解【详解】由题意点即则线段的中点为直线的斜率所以线段的垂直平分线的斜率所以线段的垂直平分线的解析：(-【分析】转化条件为点P 在线段AC 的垂直平分线上，再结合双曲线的定义可得点P 在以A ､B 为焦点的双曲线的左支上，联立方程即可得解. 【详解】由题意，点()3,0A ，()3,0B -，()34cos60,4sin 60C +即(5,C ，则线段AC 的中点为(，直线AC 的斜率AC k ==，所以线段AC 的垂直平分线的斜率k =，所以线段AC 的垂直平分线的方程为)4y x =-即y x =+， 设(),P x y ，由PA PC =可得点P 在线段AC 的垂直平分线上，又46PA PB AB -=<=，所以点P 在以A ､B 为焦点的双曲线的左支上，该双曲线的方程为()221245x y x -=≤-，所以22145233x y x y x ⎧-=⎪⎪⎪≤-⎨⎪⎪=-+⎪⎩，解得8x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩. 所以点P的坐标为(-.故答案为：(-. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是对条件的转化，转化条件为点P 为线段AC 的垂直平分线与双曲线左支的交点，运算即可得解.14．【分析】设双曲线的右焦点经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直等价于转化为点到渐近线的距离解得再根据离心率公式可得结果【详解】依题意可得双曲线的右焦点渐近线方程为因为M 的渐近线上存在点T 使得经过点T 所作解析：1e <≤【分析】设双曲线M 的右焦点(c,0)F ，经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，等价于TF =，转化为点(c,0)F 到渐近线的距离d TF ≤，解得ba据离心率公式可得结果. 【详解】依题意可得双曲线M 的右焦点(c,0)F ，渐近线方程为0bx ay ±=，因为M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，设两个切点为,P Q ，所以PTQ ∠2π=，4PTF π∠=，因为FP PT ⊥，PF a =，所以TF =，所以双曲线M 的渐近线上存在点T，使得TF =，所以点(c,0)F到渐近线的距离d =≤，即b a所以离心率c e a =====≤= 又1e >，所以1e <≤所以双曲线M 的离心率的取值范围是13e <≤.故答案为：13e <≤【点睛】关键点点睛：求双曲线离心率的取值范围的关键是得到,,a b c 的不等式，根据M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，得到圆心到渐近线的距离小于等于2a 可得,,a b c 的不等式.15．①②③④【分析】根据方程分别讨论和四种情况得到不同的解析式画出对应的图象即可得答案【详解】当时方程为表示椭圆在第一象限的部分当时方程为表示双曲线在第四象限的部分当时方程为表示双曲线在第二象限的部分当解析：①②③④ 【分析】根据方程，分别讨论0,0x y ≥≥、0,0x y ><、0,0x y <>和0,0x y <<四种情况，得到不同的解析式，画出对应的图象，即可得答案. 【详解】当0,0x y ≥≥时，方程为221169x y +=，表示椭圆在第一象限的部分，当0,0x y ><时，方程为221169x y -=，表示双曲线在第四象限的部分， 当0,0x y <>时，方程为221916y x-=，表示双曲线在第二象限的部分，当0,0x y <<时，方程为221916y x --=，无意义，所以()y f x =图象如下所示：所以函数()y f x =的值域是R ；故①正确；()y f x =在R 上单调递减，故②正确； ()y f x =的图象不经过第三象限，故③正确；直线340x y +=为双曲线的渐近线，所以曲线()y f x =没有交点，故④正确.故答案为：①②③④ 【点睛】解题的关键是根据题意，分类讨论，得到不同的解析式，再画图求解，考查分类讨论，数形结合的能力，属基础题.16．1【分析】设出三点坐标表示出直线利用方程思想得到直线的方程算出可计算得到解【详解】设双曲线上任意一点为过作圆的切线切点为不是双曲线的顶点故切线存在斜率且则故直线化简得：即同理有又均过点有故直线故答案解析：1 【分析】设出,,P A B 三点坐标，表示出直线,PA PB ，利用方程思想，得到直线MN 的方程，算出,m n ，可计算2211m n-得到解.【详解】设双曲线上任意一点为()11,P x y ，()22,A x y ，()33,B x y 过()11,P x y 作圆221x y +=的切线，切点为,A B()11,P x y 不是双曲线的顶点，故切线存在斜率且OA PA ⊥，则221PA OA x k k y =-=- 故直线()2222:x PA y y x x y -=-- 化简得：222222y y y x x x -=-+即2222221x x y y x y +=+=同理有33:1PB x x y y +=又,PA PB 均过点()11,P x y ，有313131311,1x x y y x x y y +=+= 故直线11:1MN x x y y +=1111,m n x y == 221222111x x m n-=-= 故答案为：117．3【分析】先根据抛物线方程求出p 的值再由抛物线性质求出的垂直平分线方程即可得到答案【详解】∵抛物线∴p=2焦点F(10)可设直线l ：P(x1y1)Q(x2y2)将代入抛物线得：∴设PQ 中点为N(x0解析：3 【分析】先根据抛物线方程求出p 的值，再由抛物线性质求出PQ 的垂直平分线方程，即可得到答案. 【详解】∵抛物线2:4C y x =,∴p =2，焦点F (1,0) 可设直线l ：(1)y k x =-,P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2)将(1)y k x =-代入抛物线2:4C y x =得：2222(24)0k x k x k -++= ∴12242x x k +=+1224||226,2PQ x x p k k=++=++=∴=± 设PQ 中点为N (x 0,y 0),则2120004242,(1)222x x k x y k x k++=====-= 所以线段PQ 的垂直平分线方程：1(2)y k x k-=--令y =0，可得x =4，所以||413MF =-=故答案为：3 【点睛】坐标法是解析几何的基本方法,利用坐标法把几何关系转化为代数运算.18．【分析】取AB 中点H 后证明H 为PF 中点从而在直角三角形OFH 中利用勾股定理找到求出离心率【详解】如图示取AB 中点H 连结OH 则OH ⊥AB 设椭圆右焦点E 连结PE ∵AB 三等分线段PF ∴H 为PF 中点∵O 为E 解析：17 【分析】取AB 中点H 后，证明H 为PF 中点，从而在直角三角形OFH 中，利用勾股定理，找到221725a c =，求出离心率.【详解】如图示，取AB 中点H ，连结OH ，则OH ⊥AB ，设椭圆右焦点E ，连结PE ∵AB 三等分线段PF ，∴ H 为PF 中点.∵O 为EF 中点，∴OH ∥PE 设OH=d,则PE=2d ，∴PF=2a-2d ，BH=3a d- 在直角三角形OBH 中，222OB OH BH =+,即22293a a d d -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：5a d =. 在直角三角形OFH 中，222OF OH FH =+,即()222c d a d =+-，解得：221725a c =， ∴离心率c e a ==.【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．19．【分析】根据焦半径公式可得：结合抛物线方程求解出的值【详解】由抛物线的焦半径公式可知：所以故答案为：【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴抛物线上任意一点则；（2 解析：1【分析】根据焦半径公式可得：00524x p x +=，结合抛物线方程求解出0x 的值. 【详解】由抛物线的焦半径公式可知：0015224AF x x =+=，所以01x =， 故答案为：1. 【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+； （3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+； （4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 20．【分析】根据已知条件不妨设在第一象限根据抛物线定义以及方程求出点坐标进而得出直线方程与抛物线方程联立求出点坐标即可求出AOB 的面积【详解】抛物线的焦点为∵∴点A 到准线的距离为3点的横坐标为根据对称性解析：2【分析】根据已知条件不妨设A 在第一象限，根据抛物线定义以及方程，求出A 点坐标，进而得出直线AF 方程，与抛物线方程联立，求出B 点坐标，即可求出AOB 的面积. 【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ,∵3AF =，∴点A 到准线:1l x =-的距离为3， 点A 的横坐标为2，根据对称性不妨设点A 在第一象限， 设1122(2,)(0),(,)A y y B x y >，2x =代入抛物线方程得1y =直线AF 方程为1)y x =-，联立21)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去x 得，240y --=，解得12y y ==∴AOB的面积为1211122S y OF y =⨯⨯==-⨯⨯故答案为：2. 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定相交点的坐标是解题关键，属于中档题.三、解答题21．（1）24y x =；（2）直线l 过定点，定点坐标为()0,1-，证明见解析. 【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程，求出交点的坐标后利用弦长公式可求p 的值，从而可求抛物线的方程.（2）设直线l 的方程为x my b =+，联立直线方程和抛物线方程，消去x 后利用韦达定理化简斜率之和，从而可得b m =，故可求定点坐标.我们也可以设211,4y M y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，222,4y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，用坐标表示斜率之和，再用该两点的坐标表示直线l ，化简后可得直线过定点. 【详解】（1）由2,2,y x y px =⎧⎨=⎩解得10x =，22x p =，因为直线y x =被抛物线()2:20C y px p =>截得的弦长为0p -=，0p >，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）法一： 设直线l 的方程为x my b =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由2,4,x my b y x =+⎧⎨=⎩得2440y my b --=， 所以124y y m +=，124y y b =-，因为点()1,2A ，且直线AM ，AN 的斜率之和为4，所以121222411y y x x --+=--，而2114y x =，2224y x =，化简得12120y y y y ++=， 所以440m b -=，即b m =， 所以直线l 的方程为()1x m y =+， 所以直线l 过定点，定点坐标为()0,1-.法二： 设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，222,4y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为点()1,2A ，且直线AM ，AN 的斜率之和为4，所以1222122241144y y y y --+=--，即12120y y y y ++=， ①当210y y +≠时，直线l 的方程为221112221444y yy y y x y y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭-即2141y x y y =--， 所以直线l 过定点，定点坐标为()0,1-；②当210y y +=时，120y y =，所以120y y ==，不满足题意. 所以直线l 过定点，定点坐标为()0,1-. 【点睛】方法点睛：. 直线与抛物线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题，也可以设出交点坐标，用交点坐标表示目标代数式，从而解决定点、定值、最值问题. 22．（1）1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）()()2215114x y -++=.【分析】（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，再将直线2y x m =-+的方程与抛物线C 的方程联立，利用0∆>可求得实数m 的取值范围；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，列出韦达定理，由线段AB 的中点的横坐标可求得m 的值，可求得线段AB 的中点坐标，利用弦长公式可求得AB ，进而可求得以线段AB 为直径的圆的方程. 【详解】（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，可得()28416p =-=，解得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =，联立224y x m y x=-+⎧⎨=⎩，整理可得()224440x m x m -++=，由已知条件可得()22441632160m m m ∆=+-=+>，解得12m >-， 因此，实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由韦达定理可得121x x m +=+，2124m x x =，由于AB 中点的横坐标为1，则1212x x m +=+=，解得1m =，1214x x ∴=， 由弦长公式可得12AB x x =-===，所以，所求圆的圆心坐标为()1,1-，半径为2， 因此，以AB 为直径的圆的方程为()()2215114x y -++=. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.23．（1）点A 的坐标为()()2,4,2,4-；（2）8-. 【分析】（1）由4AF =根据焦半径公式求出点A 的横坐标，再代入抛物线方程求得纵坐标； （2）由28y x m y x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +-+=，利用韦达定理，结合向量垂直的坐标表示，列方程可求实数m 的值. 【详解】（1）设()00,A x y ，042p AF x =+=，22p=，02x ∴= 所以20082164y y =⨯=⇒=±，∴点A 的坐标为()()2,4,2,4-.（2）由28y x m y x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +-+=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1282x x m +=-，212x x m =，121228y y x x m ∴+=++=，()()()2121212128y y x m x m x x m x x m m =++=+++=，又OP OQ ⊥，0OP OQ ∴⋅=，2121280x x y y m m ∴+=+=，0m ∴=或8m =-，经检验，当0m =时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合：不符合题意，当8m =-时，2(24)4640∆=--⨯>，符合题意. 综上，实数m 的值为8-. 【点睛】方法点睛：解决直线与抛物线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.24．（1）2212x y +=；（2）2[,32.【分析】（1）由焦点三角形的周长得a 值，结合焦点坐标可求得b ，从而得椭圆方程； （2）设00(,)M x y ，1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得切线AB 方程，与椭圆方程联立消去y 得x 的二次方程，应用韦达定理得1212,x x x x +，由弦长公式求得弦长AB ，再求得原点到直线AB 的距离d ，，从而可得12OAB S AB d =△，用换元法（设t =）可求得OABS的范围，再求出00y =时三角形面积，从而可得结论．【详解】（1）由已知1c =，4a =，所以1a b ==所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=（2）设00(,)M x y ，1122(,),(,)A x y B x y ，22003x y +=，由已知可得直线AB 方程为0012x xy y += 当00y ≠时，将直线AB 方程与椭圆C 的方程联立，消去y 整理得222000(3)4440y x x x y +--+=.所以0122043x x x y +=+，21220443y x x y -=+ .因此20201)||3y AB y +==+ 又原点O 到直线AB的距离d ==所以01||2OAB S AB d ∆=⋅=令(1,2]t =，得到21222(,]2232OAB tS t t t∆=⋅=⋅∈++当00y =时，易得23OAB S ∆=. 综上：OAB面积的取值范围为2[,32. 【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的三角形面积问题，解题方法是设而不求的思想方法，即直线与椭圆交点为1122(,),(,)x y x y ，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，由此可计算弦长，然后求出原点到直线的距离后可计算三角形面积．这样可把面积用一个参数表示，求出取值范围． 25．（1）2p =；（2）)1y x =±- 【分析】（1）根据题意得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，当l x ⊥轴时，l 的方程为：2p x =，进而与抛物线联立得,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故24AB p ==，进而得答案； （2）由（1）得抛物线C ：24y x =，()1,0F ，设直线l 方程为：()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，进而与抛物线联立方程得212224k x x k++=，121=x x ，再结合焦半径公式和2AF BF =得1221x x =+，进而得212x =，12x =，故21222452k x x k ++==，解方程得k =±，进而得答案. 【详解】解：（1）根据题意得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 当l x ⊥轴时，l 的方程为：2p x =，与抛物线22y px =联立方程得,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以24AB p ==，解得2p =.（2）由（1）得抛物线C ：24y x =，()1,0F ，根据题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 方程为：()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，与抛物线联立方程()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得：()2222240k x k x k -++=，所以()224224416160k k k ∆=+-=+>所以212224k x x k++=，121=x x ， 因为2AF BF =，故根据焦半径公式得：()121212AF x x BF =+=+=，即：1221x x =+，所以()22211x x +=，即222210x x +-=，解得212x =或21x =-（舍） 所以12212x x =+=，所以21222452k x x k ++==，即：28k =，解得k =±。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)5．已知a ，b ∈(0，＋∞)，若命题p ：a 2＋b 2<1，命题q ：ab ＋1≤a ＋b ，则p 是非q 的( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．下列命题错误的是( B )A ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件B ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ＝1，则x 2－3x ＋2≠0”C ．对命题：“对∀k >0，方程x 2＋x －k ＝0有实根”的否定是：“∃k >0，方程x 2＋x －k ＝0无实根”D ．若命题p ：x ∈A ∪B ，则綈p ：x ∉A 且x ∉B12．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23都成立，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2]C ．[－136，＋∞)D ．[－2，＋∞) 解析：由x 2＋ax ＋1≥0得－a ≤x ＋1x 对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23都成立，又函数y ＝x ＋1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23上单调递减，当x ＝23时，函数y ＝x ＋1x 取得最小值136，∴－a ≤136，即a ≥－136.选C.答案：C 复数z ＝1i －1的模为22_______．16．(2014·兰州质检)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________. 解析 平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与球的半径的立方成正比，所以V 1V 2＝127.答案 1276．(2014·徐州一模)执行如图所示的流程图，则输出n 的值为________．解析 第一次循环，n ＝1，S ＝1＋2＝3；第二次循环，n ＝2，S ＝2×3＋2＝8；第三次循环，n ＝3，S ＝3×8＋2＝26；第四次循环，n ＝4，S ＝4×26＋2＝106，此时满足条件，输出n ＝4. 答案 42．(2014·荆州质检)设函数f (x )在R 上可导，其导函数是f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是(C )4．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于 ( B )A 、0B 、4-C 、2-D 、212．曲线S ：y=3x-x 3的过点A （2，-2）的切线的方程是 12.y=-9x+16或y=-2 。

2011年4月 北师大版高中数学选修1-2 段考试题及答案一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．若复数3i z =-，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是A ．6B ．21C ．156D ．2313．用演绎法证明函数3y x =是增函数时的小前提是 A ．增函数的定义B ．函数3y x =满足增函数的定义C ．若12x x <，则12()()f x f x <D ．若12x x >，则12()()f x f x >4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 A ．62n - B ．82n - C ．62n + D ．82n +5．（A 版）计算1i1i -+的结果是 A ．iB ．i -C ．2D ．2-（B 版）关于复数z 的方程31z -=在复平面上表示的图形是 A ．椭圆B ．圆C ．抛物线D ．双曲线6．有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是 A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③④…① ② ③7．求135101S =++++的流程图程序如右图所示， 其中①应为 A ．101?A = B ．101?A ≤ C ．101?A > D ．101?A ≥8．在线性回归模型y bx a e =++中，下列说法正确的是A ．y bx a e =++是一次函数B ．因变量y 是由自变量x 唯一确定的C ．因变量y 除了受自变量x 的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e 的产生D ．随机误差e 是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e 的产生 9．对相关系数r ，下列说法正确的是A ．||r 越大，线性相关程度越大B ．||r 越小，线性相关程度越大C ．||r 越大，线性相关程度越小，||r 越接近0，线性相关程度越大D ．||1r ≤且||r 越接近1，线性相关程度越大，||r 越接近0，线性相关程度越小 10．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①9090180A B C C ++=︒+︒+>︒，这与三角形内角和为180︒相矛盾，90A B ==︒不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A 、B 、C 中有两个直角，不妨设90A B ==︒，正确顺序的序号为 A ．①②③B ．③①②C ．①③②D ．②③①11．（A 版）在独立性检验中，统计量2K 有两个临界值：3.841和6.635；当2K ＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当2K ＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当2K ≤3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算的2K =20.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间 A ．有95%的把握认为两者有关B ．约有95%的打鼾者患心脏病C ．有99%的把握认为两者有关D ．约有99%的打鼾者患心脏病（B 版）在独立性检验中，统计量2χ有两个临界值：3.841和6.635；当2χ＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当2χ＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当2χ≤3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算的2χ=20.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间 A ．有95%的把握认为两者有关B ．约有95%的打鼾者患心脏病C ．有99%的把握认为两者有关D ．约有99%的打鼾者患心脏病12．类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行 ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行则正确的结论是 A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④13．若定义运算：()()a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，例如233⊗=，则下列等式不能成立．．．．的是 A ．a b b a ⊗=⊗B ．()()a b c a b c ⊗⊗=⊗⊗C ．222()a b a b ⊗=⊗D ．()()()c a b c a c b ⋅⊗=⋅⊗⋅（0c >）14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2n n S n a =*()n ∈N ，可归纳猜想出n S 的表达式为 A ．21nn + B ．311n n -+ C ．212n n ++ D ．22nn + 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.15．现有爬行、哺乳、飞行三类动物，其中蛇、地龟属于爬行动物；河狸、狗属于哺乳动物；鹰、长尾雀属于飞行动物，请你把下列结构图补充完整．16．已知,x y ∈R ，若i 2i x y +=-，则x y -= ． 17．（A 版）在等比数列{}n a 中，若91a =，则有121217(17n n a a a a a a n -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅<，且)n *∈N 成立，类比上述性质，在等差数列{}n b 中，若70b =，则有 ．（B 版）在平面直角坐标系中，以点00(,)x y 为圆心，r 为半径的圆的方程为22200()()x x y y r -+-=，类比圆的方程，请写出在空间直角坐标系中以点000(,,)P x y z 为球心，半径为r 的球的方程为 ．18．观察下列式子：212311+=，313422+=，414533+=，515644+=，，归纳得出一般规律为 ．三、解答题：本大题共3小题，共28分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19．（本小题满分8分）某市居民1999～2003年货币收入x 与购买商品支出Y 的统计资料如下表所示： 单位：亿元（Ⅰ）画出散点图，判断x 与Y 是否具有相关关系； （Ⅱ）（A 版）已知0.842,0.943b a ==-，请写出Y 对x 的回归直线方程，并计算出1999 年和2003的随机误差效应.（B 版）已知0.842,0.943b a ==-，请写出Y 对x 的回归直线方程，并估计货币收入为52（亿元）时，购买商品支出大致为多少亿元？20．（本小题满分10分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n a S =-()n *∈N ．（Ⅰ）求1a ，2a ，3a ，4a 的值并写出其通项公式； （Ⅱ）用三段论证明数列{}n a 是等比数列．21．（本小题满分10分）用反证法证明：如果12x >，那么2210x x +-≠.数学选修模块测试样题参考答案 数学1-2 （人教A 版、B 版）一、选择题（每小题4分，共56分）1．D 2．D 3． B 4． D 5． B 6． D 7． B 8．C 9．D10．B11．C12．B13．C14．A二、填空题（每小题4分，共16分） 15. 如图所示.16. 3-17. （A 版）12b b ++…12n b b b +=++…13(13n b n -+<，且)n *∈N（B 版）2222000()()()x x y y z z r -+-+-= 18.11(1)(2)n n n n n+++=++ 三、解答题（解答题共28分） 19．（本小题满分8分）解：（Ⅰ）由某市居民货币收入预报支出，因此选取收入为自变量x ，支出为因变量Y ．作散点图，从图中可看出x 与Y 具有相关关系． ……………………………4分（Ⅱ）（A 版）Y 对x 的回归直线方程为 0.8420.943y x =- ……………………6分1999年和2003年的随机误差效应分别为0.263和-0.157.……………………8分（Ⅱ）（B 版）Y 对x 的回归直线方程为0.8420.943y x =- ……………………………6分货币收入为52（亿元）时，即x ＝52时，42.841y =，所以购买商品支出大致为43亿元……………………………8分20．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由2n n a S =-，得11a =；212a =；314a =；418a =， 猜想11()2n n a -=()n *∈N ． ……………………………5分 （Ⅱ）因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，p 是非零常数， 则{}n a 是等比数列； 因为通项公式11()2n n a -=，又112n n a a +=； 所以通项公式11()2n n a -=的数列{}n a 是等比数列．……………………………10分21．（本小题满分10分）证明：假设2210x x +-=，则1x =-容易看出112-<，下面证明112-<.要证明：112-成立，32<成立，只需证：924<成立，上式显然成立，故有112-<成立. ……………………………8分综上，112x =-<，与已知条件12x >矛盾.因此，2210x x +-≠. ……………………………10分。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-2学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于( )A．47 B．65C．63 D．128【解析】5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.【答案】 B2．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 016的末两位数字为( )A．01 B．43C．07 D．49【解析】∵75＝16 807,76＝117 649，由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72 016＝74×504，故其末两位数字为01.【答案】 A3．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2·a n(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n＝( )A ．2(n ＋1)2B ．2n (n ＋1)C ．22n －1D ．22n －1【解析】 可以通过S n ＝n 2·a n (n ≥2)分别代入n ＝2,3,4，求得a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，猜想a n ＝2n (n ＋1). 【答案】 B4．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图3­1­6)．图3­1­6则第n 个正方形数是( ) A ．n(n －1) B ．n(n ＋1) C ．n 2D ．(n ＋1)2【解析】 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n 个正方形数应为n 2.【答案】 C5．如图3­1­7所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )图3­1­7A．a n＝3n－1B．a n＝3nC．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3 【解析】∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想a n＝3n－1. 【答案】 A二、填空题6．设f(x)＝2xx＋2，x1＝1，x n＝f(x n－1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为________，猜想x n＝________.【解析】x2＝f(x1)＝21＋2＝23，x3＝f(x2)＝12＝24，x4＝f(x3)＝2×1212＋2＝25，∴x n＝2n＋1.【答案】23，24，252n＋17．根据给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于________. 1×9＋2＝11，12×9＋3＝111，123×9＋4＝1 111，1 234×9＋5＝11 111，12 345×9＋6＝111 111.【解析】由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456×9＋7＝1 111 111.【答案】 1 111 1118．如图3­1­8所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝__________________，a n＝______________.图3­1­8【解析】依据图形特点可知当n＝6时，三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得a n＝3n－3(n≥2，n∈N＋)．【答案】15 3n－3(n≥2，n∈N＋)三、解答题9．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且S n－1＋1S n＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表达式．【解】当n＝1时，S1＝a1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35； 当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57. 猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N ＋)．10．已知f(x)＝13x ＋3，分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论. 【导学号：67720012】【解】 由f(x)＝13x ＋3，得f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝33，f(－1)＋f(2)＝13－1＋3＋132＋3＝33，f(－2)＋f(3)＝13－2＋3＋133＋3＝33. 归纳猜想一般性结论为f(－x)＋f(x ＋1)＝33.证明如下：f(－x)＋f(x ＋1)＝13－x ＋3＋13x ＋1＋3＝3x 1＋3·3x＋13x ＋1＋3＝3·3x3＋3x ＋1＋13x ＋1＋3＝3·3x ＋13＋3x ＋1＝3·3x ＋13(1＋3·3x )＝33.[能力提升]1．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )A ．n ＋1B ．2nC ．n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1【解析】 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域，选C ．【答案】 C2．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是( )A ．(2,10)B ．(10,2)C ．(3,5)D ．(5,3)【解析】 由题意，发现所给数对有如下规律：(1,1)的和为2，共1个；(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．【答案】 A3．如图3­1­9①，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图3­1­9②，如此继续下去，得图3­1­9③，…，试用n表示出第n个图形的边数a n＝________.①②③图3­1­9【解析】观察图形可知，a1＝3，a2＝12，a3＝48，…，故{a n}是首项为3，公比为4的等比数列，故a n＝3×4n－1.【答案】3×4n－14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【解】 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.。