上海市浦东新区2015年高三三模综合练习数学(文科)试卷

2015年上海市高三三模浦东新区数学试卷(文科含答案2015.5注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚; 2. 本试卷共有23道试题,满分150分,考试时间120分钟.一、填空题:(本大题满分56分,每小题4分本大题共有14小题,考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.若集合{}13A x x =≤≤,集合{}2B x x =<,则AB = [1,2 .2.函数2(,(2f x x x =<-的反函数是(4y x => . 3.过点(1,0且与直线02=+y x 垂直的直线的方程 210x y --= .4.已知数列{}n a 为等比数列,前n 项和为n S ,且3245+=S a ,3256+=S a ,则此数列的公比q 3 .5.如果复数z 满足2=-++i z i z (i 是虚数单位,则||z 的最大值为 1 .6.函数x y 2cos =的单调增区间为 ],2[πππk k -(Z k ∈ .7.行列式42354112k---中第2行第1列元素的代数余子式的值为10-,则实数k = 14- . 8.设21,F F 是双曲线12422=-y x 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且2143PF PF =,则21F PF ∆的周长 24 .9.设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点,且在同一个平面内,1====DA CD BC AB ,球心到该平面的距离是球半径的23倍,则球的体积是 328π. 10.从3名男生和4名女生中选出4人组成一个学习小组.若这4人中必须男女生都有的概率为3435.11.数列{}n a 中,111nn na a a ++=-且12a =,则数列{}n a 前2015项的积等于 3 . 12.若,,a b c 均为平面单位向量,且333(,22a b c +-=,则c = 12⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭.(用坐标表示13.已知(,P x y 满足约束条件301010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩,O 为坐标原点,(3,4A ,则c o s OP A O P ∠的最大值是 115. 14.记符号{}12min ,,,n c c c 表示集合{}12,,,n c c c 中最小的数.已知无穷项的正整数数列{}n a 满足(1N i i a a i *+≤∈,令{}(min |,kn bn a k k *=≥∈N ,若21k b k =-,则数列{}n a 前100项的和为 2550 .二、选择题(本大题共有4题,满分20分每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得 5分,否则一律得零分.15.二元一次方程组111222,a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在唯一解的必要非充分条件是 ( DA .系数行列式0D ≠B .比例式1122a ba b ≠C .向量1122,a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭不平行 D . 直线111222,a x b y c a x b y c +=+=不平行 16.用符号(]x 表示不小于x 的最小整数,如(]4π=,(]1.21-=-.则方程(]12x x -=在4,1(上实数解的个数为 ( DA .0B .1C .2D .317.已知P 为椭圆2214x y +=的左顶点.如果存在过点((00,0,0M x x >的直线交椭圆于A B 、两点,使得2AOB AOP S S =△△,则0x 的取值范围为 (CA .(B .C .(1,2D .(1,+∞18.在圆锥PO 中,已知高PO =2,底面圆的半径为1;根据圆锥曲线的定义,下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线,其中点M 为所在母线的中点,O 为底面圆的圆心,对于下面四个命题,正确的个数有 ( C①圆的面积为4π;;③双曲线两渐近线的夹角为4 arcsin5;.A.1 个B.2 个C.3个D.4个三、解答题(本大题共有5题,满分74分解答下列各题必须写出必要的步骤.19.(本题满分12分本题共有2个小题,第(1小题满分5分,第(2小题满分7分.如图,边长为2的正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD,CE为圆O的直径,线段CD为圆O的弦,AE垂直于圆O所在平面,且1=AE.(1求异面直线CB与DE所成角的大小;(2将A C D∆(及其内部绕AE所在直线旋转一周形成一几何体,求该几何体体积.解:(1因为DACB//,AE垂直于圆O所在平面,所以DEAE⊥,所以,ADE∠为异面直线CB与DE所成的角……………………………………………2分在AEDRt∆中,1=AE,2=DA,所以21sin=∠ADE,得6π=∠ADE,即异面直线CB与DE所成的角为6π.……………………………………………………5分(2由题意知,将ACD∆(及其内部绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差. 因为异面直线CB与DE所成的角为6π,且DACB//,所以6π=∠ADE,…………7分又因为1=AE,所以,在AEDRt∆中,3=DE,2= DA………………………9分因为CE为圆O的直径,所以2π=∠CDE,在CDERt∆中,2==DA CD ,3=DE ,所以7=CE …………………………………………10分所以该几何体的体积πππ34313122=⋅⋅-⋅⋅=AE DE AE CE V ……………………12分 20.(本题满分14分本题共有2个小题,第(1小题满分6分,第(2小题满分8分.如图在半径为5cm 的圆形的材料中,要截出一个“十字形”ABCDEFGHIJKL ,其为一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的图形.(O 为圆心(1若要使截出的“十字形”的边长相等(DE CD =(图1,此时边长为多少? (2若要使截出的“十字形”的面积为最大(图2,此时DOE ∠为多少?(用反三角函数表示图(1 图(2解:(1当“十字形”的边长相等时,过O 作DE OM ⊥交DE 于E ,作CN ⊥OM 交OM于N .设该“十字形”的边长为2x ,则DM x =,3OM x =. 在OMD Rt ∆中,由勾股定理得,(2525322=⇒=+x x x …………………………5分所以,边长cm x52=………………………………………………………………………6分 (2过O 作DE OM ⊥交DE 于E ,作CN ⊥OM 交OM 于N .设∠DOM θ=,则5cos ,5sin OM DM θθ==.5sin ON CN θ∴==,5cos 5sin NM θθ=-.…………………………………………8分所以,“十字形”的面积为2222(24(100cos 100(cos sin S OM NM θθθ=-=-- 12θϕ=+-( 其中cos ϕ=21tan =ϕ⎪⎭⎫⎝⎛<<20πθ …………………………………10分所以,当22πϕθ=+时,(2max 1550cm S -= ………………………………………12分此时,552arccos22-==∠πθDOE 或21arctan 2-π ……………………………14分21.(本题满分14分本题共有2个小题,第(1小题满分6分,第(2小题满分8分. 设函数(x f 对任意R x ∈,都有(2(x f a x f ⋅=,其中a 为常数.当2,1[∈x 时,2sin((x x f π=.(1设0>a ,(x f 在8,4[∈x 时的解析式及其值域; (2设01<≤-a ,求(x f 在,1[∞+∈x 时的值域. 解:(1当8,4[∈x 时,于是2,1[4∈x,又(2(x af x f = 所以4(2((2x f a x af x f ==即8sin((2x a x f π=……………………………………3分∈x 8,4[πππ<≤⇒82x2(0a x f ≤<⇒即(x f 在8,4[∈x 时的值域为],0(2a …6分(2由于 2,2[2,2[2,2[2,1[,1[1322+=∞+n n只研究函数(x f 在(2,2[1N n n n ∈+值域即可 (7)分对于∈x (2,2[1N n n n ∈+得2,1[2∈nx于是2(2(2((22nn x f a x f a x af x f ==== 所以2sin((1+=n nxa x f π ∈x (2,2[1N n n n ∈+………………………………………9分πππ<≤+122n x⇒12sin(01≤<+n xπ因为01<≤-a所以当n 为偶数时,(x f 在(2,2[1N n n n ∈+上单调减,值域为],0(n a ;且⊇⊇⊇⊇⊇],0(],0(],0(]1,0(242ka a a ………………………………………10分当n 为奇数时,(x f 在(2,2[1N n n n ∈+上单调增,值域为0,[na且⊇⊇⊇⊇⊇-0,[0,[0,[0,[1253k a a a a ………………………………………12分所以(x f 的值域为]1,0(0,[ a …………………………………………………………14分 22.(本题满分16分本题共有3个小题,第(1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知在数列}{n a 中,11=a .(1设121+=+n n a a (*∈N n ,求数列}{n a 的通项公式; (2若⎩⎨⎧+=+奇数时当为偶数时当n a n a a nn n 211,求数列}{n a 的前m 2项和m S 2;（3）当 an 1 1 时，是否存在一个常数 p ，使 a2n p a2n 1 对任意正整数 n 都 an 1 成立？如果存在，请求出 p 的值，并证明；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题意 an 1 2an 1，令 an 1 x 2 an x ，比较得到 x 1 ，故有 an 1 1 2 an 1 ，所以数列 a n 1 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，……2 分因此 an 1 2 2 n 1 2 n，所以 an2 n 1 ， n N 。

浦东新区2013年高三综合练习（三模）数学试卷（文科）一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．函数()2x x x f -=的定义域为 .2．如果sin α=，α为第三象限角，则3sin()2πα+= ． 3．设等差数列{}n a 的前n 项之和n S 满足10520S S -=，那么 8a = ． 4．设复数i z 511+=，i m z +=32，i n z z 821+=+),(R n m ∈，则=21z z __________. 5．正方体-ABCD 1111D C B A 中，Q P N M ,,,分别是棱BC A D D C C B ,,,111111的中点，则异面直线MN 与PQ 所成的角等于__________.6．在△ABC 中，C B A 、、的对边分别是c b a ,,，且B b cos 是A c C a cos ,cos 的等差中项，则角B = .7．若①9≤≤b a ,②9>+b a ,则同时满足①②的正整数b a ,有 组.8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为_________米．9．如图为某几何体的三视图，则其侧面积为 2cm ．10．已知数列}{n a 中,11=a ,)1 *,(271>∈=--n n a a n n nN ，则当n a 取得最小值时n 的值是 ．11．设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是棱AB 上的任意一点，且P到面BCD ACD ,的距离分别为21,d d ，则=+21d d .12．定义在R 上的函数)(x f 同时满足性质：①对任何R x ∈，均有33)]([)(x f x f =成立；②对任何R x x ∈21,，当且仅当21x x =时，有)()(21x f x f =.则)1()0()1(f f f ++-的值为 .13．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式:2213=+ 23135=++ 241357=+++3235=+ 337911=++ 3413151719=+++根据上述分解规律,则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73,则m 的值为 .14．定义：对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +(i =1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”；不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在数列{}n b 与{}n a 不是同一数列，且{}n b 满足下面两个条件： （1）123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；（2）数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”． 给出下面三个数列： ①数列{}n a 的前n 项和2(1)3n n S n =-； ②数列}{n b ：1，2，3，4，5； ③数列}{n c ：1，2，3，4，5，6.具有“P 性质”的为 ；具有“变换P 性质”的为 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．非零向量,，m =||，n =||，若向量21λλ+=，则||的最大值为（ ）A ．n m 21λλ+B ．n m ||||21λλ+C ．||21n m λλ+D ．以上均不对 16．已知数列}{n a 的通项公式为*1()(1)n a n N n n =∈+,其前n 项和910n S =,则双曲线2211x y n n-=+的渐近线方程为 （ ）A ．3y x =±B ．4y x =±C ．10y x =±D ．3y x =±17．已知ABC △中，AC =2BC =，则角A 的取值范围是 （ ）A ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭. B ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. C ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭18．在平面斜坐标系xoy 中045=∠xoy ,点P 的斜坐标定义为:“若2010e y e x OP +=(其中21,e e 分别为与斜坐标系的x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点P 的坐标为),(00y x ”.若),0,1(),0,1(21F F -且动点),(y x M 满足MF MF =,则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为（ ）A B C D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）已知函数()sin f x m x x = ()0m >的最大值为2． （1）求函数()f x 在[]0π，上的值域；（2）已知ABC ∆外接圆半径3=R，ππ()()sin 44f A f B A B -+-=，角A ，B 所对的边分别是a ，b ，求ba 11+的值．20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|2|24--⋅--=x x a a y 的图像关于点)2,1(A 对称． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围．21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD 和曲线段EF 分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与OA ，OB 平行的栈桥MG 、MK ，且以MG 、MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK .建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD 的方程是220(020)x y x +=≤≤，曲线段EF 的方程是200(540)xy x =≤≤，设点M 的坐标为(,)s t ，记z s t =⋅.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度） （1）求z 的取值范围；（2）试写出三角形观光平台MGK 面积MGK S ∆关于z 的函数解析式，并求出该面积的最小值22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点)2，椭圆C 左右焦点分别为21,F F ，上顶点为E ，21F EF ∆为等边三角形.定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x y N a b. （1）求椭圆C 的方程；（2）求MON ∠tan 的最大值；（3）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,若点A 、B 的“伴随点”分别是P 、Q ,且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .椭圆C 的右顶点为D ，试探究ΔOAB 的面积与ΔODE 的面积的大小关系,并证明.23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分） 已知数列{}n a ，{}n b 满足：()1*n n n b a a n N +=-∈． （1）若11,n a b n ==，求数列{}n a 的通项公式； （2）若()112n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==．① 记()611n n c a n -=≥，求证：数列{}n c 为等差数列；② 若数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项1a 应满足的条件．数学试卷（文科）参考答案及评分细则一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．]1,0[； 2．13； 3．4； 4．i 1812+-； 5．060； 6．3π； 7．25； 8．8； 9．4π； 10．6或7； 11．a 36； 12．0 ； 13．9； 14．①、②二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．B ； 16．C ； 17．C ； 18．D ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）解：（1）由题意，()f x．………………………2分而0m >，于是m =π()2sin()4f x x =+．…………………………………4分()f x 在]4,0[π上递增．在ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减， 所以函数()f x 在[]0π，上的值域为]2,2[-；…………………………………5分（2）化简ππ()()sin 44f A f B A B -+-=得s i ns i n 6s i n s i n A B A B +=．……………………………………………………7分由正弦定理，得()2R a b +=，……………………………………………9分 因为△ABC 的外接圆半径为3=R．a b +．…………………………11分 所以211=+ba …………………………………………………………………12分 20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）设点),(y x P 是函数)(x f 图像上任意一点，P 关于点A 对称的点为),(y x P '''，则12='+x x ，22='+y y ，于是x x -='2，y y -='4，………………2分 因为),(y x P '''在函数)(x g 的图像上，所以2|2|24-'-'⋅--='x x a a y ，…4分即x x a ay --⋅--=-244||，x x a a y -⋅+=2||，所以xx a a x f -⋅+=2)(||．……………………………………………………6分（2）令t a x=，因为1>a ，0>x ，所以1>t ，所以方程m x f =)(可化为m tt =+2，…………………………………………8分即关于t 的方程022=+-mt t 有大于1的相异两实数解．作2)(2+-=mt t t h ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>08120)1(2m m h ，………………………………………12分解得322<<m ；所以m 的取值范围是)3,22(．………………………14分21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，得(,)M s t 在线段CD ：220(020)x y x +=≤≤上，即220s t +=， 又因为过点M 要分别修建与OA 、OB 平行的栈桥MG 、MK ，所以510s ≤≤；.…………………………………………………………………2分.211(10)(10)50,51022z s t s s s s =⋅=-=--+≤≤；………………………4分 所以z 的取值范围是75502z ≤≤..………………………………………………6分 （2）由题意，得200200(,),(,)K s G t s t ，..…………………………………………8分 所以11200200140000()()(400)222MGK S MG MK s t st t s st∆=⋅⋅=--=+- 则14000075(400),,5022MGK S z z z ∆⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，..……………………………10分 因为函数140000(400)2MGK S z z ∆=+-在75,502z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，..………12分 所以当50z =时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米. ..………14分22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）解：（1）由已知22222331412a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得224,3a b == ,方程为22143x y +=.·······················4分（2）当000=y x 时，显然0tan =∠MON ，由椭圆对称性，只研究0,000>>y x 即可，设k x y k OM ==（>k ），于是32k k ON =···························································5分 =-≤+-=+-=∠32232233232132tan k kk kk MON （当且仅当232=k 时取等号）··············································································8分 （3） 设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,22x x P Q ⎛⎛⎝⎝; 1)当直线l 的斜率存在时,设方程为y kx m =+,由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得: 222(34)84(3)0k x kmx m +++-=；有22122212248(34)08344(3)34k m km x x k m x x k ⎧⎪∆=+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩①···································································10分由以PQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得: 1212340x x y y +=； 整理得: 221212(34)4()40k x x mk x x m ++++= ② 将①式代入②式得:22342k m +=, ································································· 12分048,0,043222>=∆>∴>+m m k又点O 到直线y kx m =+的距离d =2222222221223414334143433411m m kk m kk m k k x x k AB ⋅+=+⋅+=+-++=-+=所以12OAS A ∆==·············································································14分2) 当直线l 的斜率不存在时,设方程为(22)x m m =-<<联立椭圆方程得: 223(4)4m y -=；代入1212340x x y y +=得223(4)304m m --=； 552±=m ,5152±=y 3212121=-==∆y y m d AB S OAB综上: OAB ∆又ODE ∆的面积也为,所以二者相等. ·························································16分23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）解：（1）当2n ≥时，有()()()21213211121122n n n n n na a a a a a a a ab b b --=+-+-++-=++++=-+．又11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2122n n na =-+．…………4分（2）①因为对任意的*n N ∈，有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====，所以，1656161661626364111221722n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++=+++++=，所以，数列{}n c 为等差数列．……………………………………………………8分 ②设()6*n n i c a n N +=∈（其中i 为常数且{}1,2,3,4,5,6i ∈，所以，1666661626364657n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b +++++++++++++++-=-=+++++=， 即数列{}6n i a +均为以7为公差的等差数列．…………………………………… 10分 设()677767766666666i i k i ik i k a i a i a a k f k i i k i k i k+++--+====+++++． （其中6,0,n k i k i =+≥为{}1,2,3,4,5,6中一个常数）当76i a i =时，对任意的6n k i =+，有76n a n =；……………………………… 12分当76i a i ≠时，()()()17776666166616i i k k i a i a i f f a i k i k i k i k i +---⎛⎫-=-=- ⎪++++++⎡⎤⎝⎭⎣⎦． （Ⅰ）若76i a i >，则对任意的k N ∈有1k k f f +<，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递减数列；（Ⅱ）若76i a i <，则对任意的k N ∈有1k k f f +>，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递增数列．综上所述，集合74111174111,,,,63236263236B ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．当1a B ∈时，数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中必有某数重复出现无数次；当1a B ∉时，数列()61,2,3,4,5,66k i a i k i +⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．………………………………………………………………………………… 18分。

浦东新区2015学年第二学期高三教学质量检测数学试卷（文科）适用年级：高三建议时长：0分钟试卷总分：150.0分一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1.已知全集U=R,若集合，则=____. （4.0分）2.已知复数z满足z(1-i)=2i，其中i为虚数单位，则|z|=____.（4.0分）3.双曲线的焦距为____. （4.0分）4.已知二项展开式中的第五项系数为，则正实数a= ____.（4.0分）5.方程的解为____.（4.0分）6.已知函数的图像与它的反函数的图像重合，则实数a的值为____. （4.0分）7.在△ABC中，边a,b,c所对角分别为A,B,B，若，则△AB的形状为____. （4.0分）8.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是____. （4.0分）9.设x,y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为____．（4.0分）10.已知四面体ABCD中，AB=CD=2，E，F分别为BC，AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，则EF=____．（4.0分）11.设m，n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量，，则与的夹角为锐角的概率是____．（4.0分）12.已知数列的通项公式为，则这个数列的前2n项和____．（4.0分）13.已知函数，数列是公比大于0的等比数列，且，，则=____．（4.0分）14.关于x的方程在[-6,6]上解的个数是____．（4.0分）二、选择题（本大题共有4题，满分20分）1.“”是“不等式|x-1|＜1成立”的（）（5.0分）(单选)A. 充分非必要条件.B. 必要非充分条件.C. 充要条件.D. 既非充分亦非必要条件.2.给出下列命题，其中正确的命题为( ) （5.0分）(单选)A. 若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面；B. 直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；C. 直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行；D. 异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直.3.抛物线的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(-1,0)，则的最小值是（）（5.0分）(单选)A.B.C.D.4.已知平面直角坐标系中两个定点E(3,2),F(-3,2)，如果对于常数λ，在函数的图像上有且只有6个不同的点P，使得成立，那么λ的取值范围是( ) （5.0分）(单选)A.B.C.D. (-5,11)三、解答题（本大题共有5题，满分74分）1.如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，点C为弧AB的中点，SO=AB. （1）证明：AB⊥平面SOC；（2）若点D为母线SC的中点，求AD与平面SOC所成的角.（结果用反三角函数表示）（12.0分）2.如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s,忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务. （1）B、C两处垃圾的距离是多少？（精确到0.1）（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B是多少？（用反三角函数表示）（14.0分）3.数列满足：，且成等差数列，其中。

上海市浦东新区2015届高考数 学三模试卷（文科）一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的 编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. （4 分）若集合 A=｛x|1 < x w 3｝，集合 B=｛x|x V 2｝，则 A A B=.22. （4分）函数f （x ） =x , （x V- 2）的反函数是.3. （4分）过点（1, 0）且与直线2x+y=0垂直的直线的方程.4. （4分）已知数列｛a n ｝为等比数列，前n 项和为S,且a 5=2S+3, a 6=2S+3，则此数列的公比 q=.5. （4分）如果复数z 满足|z+i|+|z- i|=2 （i 是虚数单位），则|z|的最大值为.6. （4分）函数y=cos 2x 的单调增区间为.4 2 k7. （4分）三阶行列式 -3 5 4 第2行第1列元素的代数余子式为-10,则k=.-1 1 -2I 2& （4分）设F 1、F 2是双曲线x 2-二=1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF 1|=4|PF 2| ,24则厶PF 1F 2的周长.10. （ 4分）从3名男生和4名女生中选出4人组成一个学习小组.若这 4人中必须男女生都 有的概率为.12. （ 4分）若也，|b|, c 均为平面单位向量，且9. （4分）设A B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同平面内, AB=BC=CD=DA=1球心到该平面的距离是球半径的「咅，则球的体积是.11. （ 4分）数列｛a n ｝中,且a 1=2，则数列｛a n ｝前2015项的积等于.F Ls+y- SCO13. （ 4分）已知P （ x ,y ）满足约束条件< x - y- 1<Q , O 为坐标原点，A （ 3,4），则|6?|?cos / AOP 的最大值是.14. （ 4分）记符号 m i n ｛c i , C 2,…，c n ｝表示集合｛c 1, C 2,…，c n ｝中最小的数.已知无穷项的正整数数列｛a n ｝满足 a i < a i+i , （i € N ），令 b k =min ｛n|a n >k ｝, （k € N ），若 b k =2k - 1,则数列｛a n ｝ 前100项的和为.二、选择题（本大题共有 4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项 是正确的，选对得 5分，否则一律得零分•直线 a 1X+b 1y=C 1, a 2x+b 2y=c 2不平行16. （ 5分）用符号（X]表示不小于x 的最小整数，如（n ]=4 , （- 1.2]= - 1 .则方程（x]- x=：在（1 , 4）上实数解的个数为（）2A. 0 B . 1 C. 2 D. 317.（ 5分）已知P 为椭圆二一+y 2=1的左顶点，如果存在过点M （ x o , 0） （ x o > 0）的直线交椭圆于A 、B 两点，使得S AAOB =2S ^AOP ,则X 。

上海市浦东新区2015届高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．不等式3x＞2的解为__________．2．设i是虚数单位，复数（a+3i）（1﹣i）是实数，则实数a=__________．3．已知一个关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则x﹣y=__________．4．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=__________．5．已知展开式中二项式系数之和为1024，则含x2项的系数为__________．6．已知直线3x+4y+2=0与（x﹣1）2+y2=r2圆相切，则该圆的半径大小为__________．7．已知x，y满足，则x+y的最大值为__________．8．若对任意x∈R，不等式sin2x﹣2sin2x﹣m＜0恒成立，则m的取值范围是__________．9．已知球的表面积为64πcm2，用一个平面截球，使截面球的半径为2cm，则截面与球心的距离是__________cm．10．已知a，b∈{1，2，3，4，5，6}，直线l1：x﹣2y﹣1=0，l2：ax+by﹣1=0，则直线l1⊥l2的概率为__________．11．若函数﹣4的零点m∈（a，a+1），a为整数，则所以满足条件a的值为__________．12．若正项数列{a n}是以q为公比的等比数列，已知该数列的每一项a k的值都大于从a k+2开始的各项和，则公比q的取值范围是__________．13．已知等比数列{a n}的首项a1、公比q是关于x的方程（t﹣1）x2+2x+（2t﹣1）=0的实数解，若数列{a n}有且只有一个，则实数t的取值集合为__________．14．给定函数f（x）和g（x），若存在实常数k，b，使得函数f（x）和g（x）对其公共定义域D上的任何实数x分别满足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为函数f （x）和g（x）的“隔离直线”．给出下列四组函数：①f（x）=+1，g（x）=sinx；②f（x）=x3，g（x）=﹣；③f（x）=x+，g（x）=lgx；④f（x）=2x﹣其中函数f（x）和g（x）存在“隔离直线”的序号是__________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应的位置上，选对得5分，否则一律不得分.15．已知a，b都是实数，那么“0＜a＜b”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系是( )A．平行B．相交C．平行或重合D．平行或相交17．若直线ax+by﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点，设点P的坐标（a，b），那过点P的一条直线与椭圆=1的公共点的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．1或218．如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，A1，A2，A3，…A n则的值组成的集合为( )A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）：解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤.19．已知函数为实数．（1）当a=﹣1时，判断函数y=f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；（2）根据实数a的不同取值，讨论函数y=f（x）的最小值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2 （1）求异面直线PC与BD所成角的大小；（2）求点A到平面PBD的距离．21．一颗人造卫星在地球上空1630千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球一周，将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合，已知卫星与中午12点整通过卫星跟踪站A点的正上空A′，12：03时卫星通过C点，（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）（1）求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A之间的距离．（精确到1千米）（2）求此时天线方向AC与水平线的夹角（精确到1分）．22．（16分）已知直线l与圆锥曲线C相交于两点A，B，与x轴，y轴分别交于D、E两点，且满足（1）已知直线l的方程为y=2x﹣4，抛物线C的方程为y2=4x，求λ1+λ2的值；（2）已知直线l：x=my+1（m＞1），椭圆C：=1，求的取值范围；（3）已知双曲线C：，求点D的坐标．23．（18分）记无穷数列{a n}的前n项a1，a2，…，a n的最大项为A n，第n项之后的各项a n+1，a n+2，…的最小项为B n，令b n=A n﹣B n．（1）若数列{a n}的通项公式为a n=2n2﹣n+1，写出b1，b2，并求数列{b n}的通项公式；（2）若数列{a n}递增，且{a n+1﹣a n}是等差数列，求证：{b n}为等差数列；（3）若数列{b n}的通项公式为b n=1﹣2n，判断{a n+1﹣a n}是否为等差数列，若是，求出公差；若不是，说明理由．上海市浦东新区2015届高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．不等式3x＞2的解为x＞log32．考点：指、对数不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：将原不等式两端同时取对数，转化为对数不等式即可．解答：解：∵3x＞2＞0，∴，即x＞log32．故答案为：x＞log32．点评：本题考查指数不等式的解法，将其转化为对数不等式是解题的关键，属于基础题．2．设i是虚数单位，复数（a+3i）（1﹣i）是实数，则实数a=3．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．解答：解：复数（a+3i）（1﹣i）=a+3+（3﹣a）i是实数，∴3﹣a=0，解得a=3．故答案为：3．点评：本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．3．已知一个关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则x﹣y=2．考点：二阶矩阵．专题：矩阵和变换．分析：由增广矩阵写出原二元线性方程组，再根据方程求解x，y即可．解答：解：由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得 x=4，y=2，故答案为：2．点评：本题考查增广矩阵，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的涵义，属于基础题．4．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=2n．考点：等差数列的前n项和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意知得，由此可知数列{a n}的通项公式a n．解答：解：a1=S1=1+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n）﹣=2n．当n=1时，2n=2=a1，∴a n=2n．故答案为：2n．点评：本题主要考查了利用数列的递推公式a n=S n﹣S n﹣1求解数列的通项公式，属于基础题．5．已知展开式中二项式系数之和为1024，则含x2项的系数为210．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：依题意得，由二项式系数和2n=1024，求得n的值，再求展开式的第k+1项的通项公式，再令通项公式中x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．解答：解：依题意得，由二项式系数和 2n=1024，解得n=10；由于展开式的第k+1项为，令20﹣3r=2，解得r=6，∴展开式中含x2项的系数为=210．故答案为：210．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．6．已知直线3x+4y+2=0与（x﹣1）2+y2=r2圆相切，则该圆的半径大小为1．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：由圆的方程求出圆心坐标，直接用圆心到直线的距离等于半径求得答案．解答：解：由（x﹣1）2+y2=r2，可知圆心坐标为（1，0），半径为r，∵直线3x+4y+2=0与（x﹣1）2+y2=r2圆相切，由圆心到直线的距离d=，可得圆的半径为1．故答案为：1．点评：本题考查了直线和圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．7．已知x，y满足，则x+y的最大值为2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求x+y的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+y得z=1+1=2．即目标函数z=x+y的最大值为2．故答案为：2．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．8．若对任意x∈R，不等式sin2x﹣2sin2x﹣m＜0恒成立，则m的取值范围是（﹣1，+∞）．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：问题转化为m＞sin2x﹣2sin2x对任意x∈R恒成立，只需由三角函数求出求t=sin2x﹣2sin2x的最大值即可．解答：解：∵对任意x∈R，不等式sin2x﹣2sin2x﹣m＜0恒成立，∴m＞sin2x﹣2sin2x对任意x∈R恒成立，∴只需求t=sin2x﹣2sin2x的最大值，∵t=sin2x﹣2sin2x=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin2x+cos2x﹣1=sin（2x+）﹣1，∴当sin（2x+）=1时，t取最大值﹣1，∴m的取值范围为（﹣1，+∞）故答案为：（﹣1，+∞）点评：本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题和三角函数公式的应用，属基础题．9．已知球的表面积为64πcm2，用一个平面截球，使截面球的半径为2cm，则截面与球心的距离是2cm．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先求出球的半径，再利用勾股定理，即可求出截面与球心的距离．解答：解：球的表面积为64πcm2，则球的半径为4cm，∵用一个平面截球，使截面球的半径为2cm，∴截面与球心的距离是=2cm．故答案为：2．点评：本题考查截面与球心的距离，考查球的表面积，求出球的半径是关键．10．已知a，b∈{1，2，3，4，5，6}，直线l1：x﹣2y﹣1=0，l2：ax+by﹣1=0，则直线l1⊥l2的概率为．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件是直线l1⊥l2，得到关于a，b的关系式，写出满足条件的事件数，即可得到结果．解答：解：设事件A为“直线l1⊥l2”，∵a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为（1，1），（1，2）…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（5，6），…，（6，6）共36种，而l1：x﹣2y﹣1=0，l2：ax+by﹣1=0，l1⊥l2⇔1•a﹣2b=0，∴a=2时，b=1；a=4时，b=2；a=6时，b=3；共3种情形．∴P（A）==．∴直线l1⊥l2的概率为：．故答案为：点评：本题考查等可能事件的概率，考查两条直线的垂直，关键在于掌握等可能事件的概率公式，属于中档题．11．若函数﹣4的零点m∈（a，a+1），a为整数，则所以满足条件a的值为a=1或a=﹣2．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：首先可判断函数﹣4是偶函数，且在C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过观察图形知道向量分成以下三个类型：①小三角形边上的向量，②大三角形边上的向量，③大三角形中线向量，这样求出每种情况下的值，从而求得答案．解答：解：对向量分成以下几种类型：边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形A1A2A4，它其它小三角形边上的向量相等；大三角形A1A3A6边上的向量，和它的中线上的向量，所以有：，，，，，，，，，，，，，，，；∴所有值组成的集合为{1，﹣1，}．故选：D．点评：考查相等向量，相反向量的概念，向量数量积的计算公式，等边三角形中线的特点．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）：解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤.19．已知函数为实数．（1）当a=﹣1时，判断函数y=f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；（2）根据实数a的不同取值，讨论函数y=f（x）的最小值．考点：函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）f（x）=|x﹣|=x﹣在（1，+∞）上单调递增，利用f′（x）=1+＞0可得；（2）a≤0时，x=时，函数取得最小值0；a＞0时，f（x）=x+时，利用基本不等式求出y=f（x）的最小值为2．解答：解：（1）f（x）=|x﹣|=x﹣在（1，+∞）上单调递增．∵f′（x）=1+＞0，∴y=f（x）在（1，+∞）上在（1，+∞）上单调递增；（2）a＜0时，x=时，函数取得最小值0；a=0时函数无最小值；a＞0时，f（x）=x+≥2，当且仅当x=时，y=f（x）的最小值为2．点评：本题考查函数的最值，考查导数知识的运用，考查基本不等式，属于中档题．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2 （1）求异面直线PC与BD所成角的大小；（2）求点A到平面PBD的距离．考点：点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，BE，则OE∥PC，则直线PC与BD 所成角等于直线OE与BD所成角，解三角形OEB，即可得到答案．（2）过A作AH⊥OE，垂足为H，则AH⊥平面PBD，求出AH，即可求点A到平面PBD的距离．解答：解：（1）令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，BE如图所示：∵O为BD的中点，则EO=PC=，且OE∥PC，又∵PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=2，BD=2．∴OB=BD=，BE=，∴|cos∠EOB|=||=0，即异面直线PC与BD所成角为90°；（2）过A作AH⊥OE，垂足为H，则AH⊥平面PBD．在直角三角形AOE中，AE=1，OA=，OE=，由等面积可得AH==．点评：本题考查异面直线及其所成的角，点A到平面PBD的距离，将空间问题转化为一个平面解三角形的问题是解题的关键．21．一颗人造卫星在地球上空1630千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球一周，将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合，已知卫星与中午12点整通过卫星跟踪站A点的正上空A′，12：03时卫星通过C点，（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）（1）求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A之间的距离．（精确到1千米）（2）求此时天线方向AC与水平线的夹角（精确到1分）．考点：球面距离及相关计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）求出∠AOC，在△ACO中利用余弦定理，即可求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A之间的距离；（2）设此时天线方向AC与水平线的夹角为φ，则∠CAO=φ+90°，所以，即可求此时天线方向AC与水平线的夹角．解答：解：（1）设∠AOC=θ，则=9°．在△ACO中，AC2=63702+80002﹣2×6370×8000×cos9°=3911704.327，所以AC≈1978（千米），所以人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A之间的距离为1978千米；（2）设此时天线方向AC与水平线的夹角为φ，则∠CAO=φ+90°，所以，所以sin（φ+90°）≈0.6327，所以cosφ≈0.6327，所以φ≈50°45′，所以此时天线方向AC与水平线的夹角为50°45′．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（16分）已知直线l与圆锥曲线C相交于两点A，B，与x轴，y轴分别交于D、E两点，且满足（1）已知直线l的方程为y=2x﹣4，抛物线C的方程为y2=4x，求λ1+λ2的值；（2）已知直线l：x=my+1（m＞1），椭圆C：=1，求的取值范围；（3）已知双曲线C：，求点D的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过直线l的方程可得D、E坐标，将y=2x﹣4代入y2=4x可得点A、B坐标，利用、，计算即可；（2）通过联立x=my+1（m＞1）与=1，利用韦达定理、、，计算即得结论；（3）通过设直线l的方程并与双曲线C方程联立，利用韦达定理、，，计算即可．解答：解：（1）将y=2x﹣4代入y2=4x，求得点A（1，﹣2），B（4，4），又∵D（2，0），E（0，﹣4），且，∴（1，2）=λ1（1，2）=（λ1，2λ1），即λ1=1，同理由，可得λ2=﹣2，∴λ1+λ2=﹣1；（2）联立x=my+1（m＞1）与=1，消去x可得：（2+m2）y2+2my﹣1=0，由韦达定理可得：y1+y2=﹣，y1y2=﹣，∵D（1，0），E（0，﹣），且，∴y1+=﹣λ1y1，∴λ1=﹣（1+），同理由，可得y2+=﹣λ2y2，∴λ2=﹣（1+），∴λ1+λ2=﹣（1+）﹣（1+）=﹣2﹣=﹣2﹣=﹣4，∴=﹣==，∵m＞1，∴点A在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可得λ1∈（，0），∴∈（﹣∞，﹣2）；（3）设直线l的方程为：x=my+t，代入双曲线C方程，消去x得：（﹣3+m2）y2+2mty+（t2﹣3）=0，由韦达定理可得：y1+y2=﹣，y1y2=﹣，∴+=﹣，由，可得：﹣（λ1+λ2）=2+•（+），∵λ1+λ2=6，∴2+•（﹣）=﹣6，解得t=±2，∴点D（±2，0）；当直线l与x轴重合时，λ1=﹣，λ2=或者λ1=，λ2=﹣，∴都有λ1+λ2==6也满足要求，∴在x轴上存在定点D（±2，0）．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．23．（18分）记无穷数列{a n}的前n项a1，a2，…，a n的最大项为A n，第n项之后的各项a n+1，a n+2，…的最小项为B n，令b n=A n﹣B n．（1）若数列{a n}的通项公式为a n=2n2﹣n+1，写出b1，b2，并求数列{b n}的通项公式；（2）若数列{a n}递增，且{a n+1﹣a n}是等差数列，求证：{b n}为等差数列；（3）若数列{b n}的通项公式为b n=1﹣2n，判断{a n+1﹣a n}是否为等差数列，若是，求出公差；若不是，说明理由．考点：数列递推式；等差关系的确定；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）数列{a n}的通项公式为a n=2n2﹣n+1，可得：a1=2，a n，n≥1时为单调递增数列．可得A1=a1=2，B1=a2=7，b1=﹣5．同理可得b2=A2﹣B2=a2﹣a3．可得数列{b n}的通项公式b n=A n﹣B n=a n ﹣a n+1．（2）由数列{a n}递增，可得A n=a n，B n=a n+1，可得b n=A n﹣B n=a n﹣a n+1=﹣（a n+1﹣a n），即可证明．（3）设d是非负整数，先证明：b n=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列，即可得出．解答：（1）解：数列{a n}的通项公式为a n=2n2﹣n+1，a1=2，+，n≥1时为单调递增数列．∴A1=2，B1=a2=2×22﹣2+1=7b1=2﹣7=﹣5．同理可得b2=A2﹣B2=a2﹣a3=﹣9．∴数列{b n}的通项公式b n=A n﹣B n=a n﹣a n+1=2n2﹣n+1﹣=﹣4n﹣1；（2）证明：∵数列{a n}递增，∴A n=a n，B n=a n+1，∴b n=A n﹣B n=a n﹣a n+1=﹣（a n+1﹣a n），∵{a n+1﹣a n}是等差数列，∴{b n}为等差数列．（3）解：设d是非负整数，先证明：b n=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；充分性：设d是非负整数，若{a n}是公差为d的等差数列，则a n=a1+（n﹣1）d，∴A n=a n=a1+（n﹣1）d，B n=a n+1=a1+nd，∴d n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．必要性：若b n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．假设a k是第一个使a k﹣a k﹣1＜0的项，则d k=A k﹣B k=a k﹣1﹣B k≥a k﹣1﹣a k＞0，这与d n=﹣d≤0相矛盾，故{a n}是一个不减的数列．∴d n=A n﹣B n=a n﹣a n+1=﹣d，即 a n+1﹣a n=d，故{a n}是公差为d的等差数列．而数列{b n}的通项公式为b n=1﹣2n，b n+1﹣b n=﹣2，∴{a n+1﹣a n}是公差为2等差数列．点评：本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列的单调性、充要条件，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

上海市普陀区2015届高考数学三模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．（4分）复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是．2．（4分）已知幂函数y=f（x）图象过点（2，），则该幂函数的值域是．3．（4分）设向量，，则向量在向量方向上的投影为．4．（4分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞0的解集为．5．（4分）若二元一次线性方程组无解，则实数a的值是．6．（4分）若0≤x≤，则函数y=cos（x﹣）sin（x+）的最大值是．7．（4分）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是cm2．8．（4分）已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是﹣35，则m=；a1+a2+a3+…+a7=．9．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的一个方向向量为（1，），则|PF|=．10．（4分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且的面积等于．11．（4分）函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，f（﹣1）=1，且对任意实数x都有xf（x+1）=（x+1）f（x），则f（0）+f（1）+f（2）+…+f的值是．12．（4分）若矩阵的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，则对应的行列式的值为正数的概率为．13．（4分）设x，y满足约束条件：若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则的最小值为．14．（4分）已知集合A n={a1，a2，…，a n），a j=0或1，j=1，2，…，n（n≥2）}，对于U，V∈A n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数，若给定U∈A6，则所有的d（U，V）和为．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）“a+b＞0”是“任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）若•+||2=0，则△ABC为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形17．（5分）函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．6 B．5 C．4 D．318．（5分）已知x、y均为实数，记max{x，y}=，min{x，y}=．若i表示虚数单位，且a=x1+y1i，b=x2+y2i，x1，y1，x2，y2∈R，则（）A．min{|a+b|，|a﹣b|}≤min{|a|，|b|} B．max{|a+b|，|a﹣b|}≤max{|a|，|b|} C．min{|a+b|2，|a﹣b|2}≥|a|2+|b|2D．max{|a+b|2，|a﹣b|2}≥{|a|2+|b|2三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的零点，并求反函数f﹣1（x）；（2）设g（x）=2log2，若不等式f﹣1（x）≤g（x）在区间[，]上恒成立，求实数k的范围．20．（14分）如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．（1）求证：A1C⊥平面BDE；（2）求三棱锥C﹣BDE的体积．21．（14分）如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（直角△EFG，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口E是AB的中点，F，G分别落在AD，BC上，且AB=20m，AD=10m，设∠GEB=θ．（1）试将污水管道的长度l表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当管道长度l为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．22．（16分）对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q，使得c n+1=pc n+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{c n}是“M类数列”．（1）若a n=2n，b n=3.2n，n∈N*，判断数列{a n}，{b n}是否为“M类数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}是“M类数列”，则数列{a n+a n+1}、{a n•a n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=3.2n（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n，求S n的表达式，并判断{a n}是否是“M类数列”．23．（18分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．记λ=，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（1）设直线l：y=kx（k＞0），若S1=3S2，证明：B，C是线段AD的四等分点；（2）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（3）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．上海市普陀区2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．（4分）复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是﹣1﹣i．考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则和共轭复数的定义即可得出．解答：解：z=i（i+1）=﹣1+i的共轭复数是﹣1﹣i．故答案为：﹣1﹣i．点评：本题考查了复数的运算法则和共轭复数的定义，属于基础题．2．（4分）已知幂函数y=f（x）图象过点（2，），则该幂函数的值域是[0，+∞）．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：设f（x）=xα，把点（2，）代入解出即可．解答：解：设f（x）=xα，∵幂函数y=f（x）图象过点（2，），∴，解得α=．∴f（x）=，∵x≥0，∴y≥0．∴该幂函数的值域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．点评：本题考查了幂函数的定义及其性质，属于基础题．3．（4分）设向量，，则向量在向量方向上的投影为﹣1．考点：向量的投影．专题：平面向量及应用．分析：根据投影的定义，应用公式向量在向量方向上的投影为||cos＜，＞=求解．解答：解：向量，，根据投影的定义可得：向量在向量方向上的投影为||cos＜，＞===﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．4．（4分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x ＜1}．考点：函数的图象与图象变化．分析：要求函数f（x）＞0的解集，我们可以先求出x＞0时，﹣log2x＞0的解集，再求出x≤0时，1﹣x2＞0的解集，然后求出它们的交集即可得到结论．解答：解：∵f（x）＞0，且f（x）=，∴当x＞0时，﹣log2x＞0，即log2x＜0，∴0＜x＜1，当x≤0时，1﹣x2＞0，即x2﹣1＜0，∴﹣1＜x≤0，因此﹣1＜x＜1．故答案为{x|﹣1＜x＜1}点评：分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．5．（4分）若二元一次线性方程组无解，则实数a的值是﹣2．考点：线性方程组解的存在性，唯一性．专题：矩阵和变换．分析：通过题意可知，只需系数行列式=0即可，计算即得结论．解答：解：由题可知，只需系数行列式=0即可，即=4﹣a2=0，∴a=±2，而当a=2时，二元一次方程组有无数组解，∴a=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题考查系数行列式的应用，注意解题方法的积累，属于基础题．6．（4分）若0≤x≤，则函数y=cos（x﹣）sin（x+）的最大值是．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用x的范围和正弦函数的图象和性质求得函数的最大值．解答：解：y=sinx（sinx•+cosx）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤，∴y max=+=，故答案为：．点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图形与性质．解题过程中注意运算的细心和公式的熟练运用．7．（4分）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是πcm2．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案．解答：解：由题意可知球的体积为：×13=cm3，圆锥的体积为：×π×12×h=hcm3，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，所以=h，所以h=4cm，圆锥的母线：l==cm．故圆锥的侧面积S=πrl=πcm2，故答案为：π点评：本题考查球的体积与圆锥的体积公式的应用，考查计算能力．8．（4分）已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是﹣35，则m=1；a1+a2+a3+…+a7=1．考点：二项式定理．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的指数等于4，求出r的值，根据x4的系数是﹣35，即可求得m的值．求出a0的值，再把x=1和m=1代入二项式及其展开式，可得a1+a2+a3+…+a7的值．解答：解：二项展开式的通项为T r+1= x7﹣r（﹣m）r，令7﹣r=4，可得r=3．故（﹣m）3=﹣35，解得m=1．故常数项为（﹣1）7=﹣1=a0，∴（1﹣1）7=a0+a1+a2+…+a7=0，∴a1+a2+a3+…+a7=﹣a0=1，故答案为 1； 1．点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的一个方向向量为（1，），则|PF|=4．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．由直线EF的一个方向向量为（1，），可得k l，进而得到直线EF的方程为：y=（x﹣1），与抛物线方程联立，可得解得y E．由于PE⊥l于E，可得y P=y E，代入抛物线的方程可解得x P．再利用|PF|=|PE|=x P+1即可得出．解答：解：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．∵直线EF的一个方向向量为（1，），∴k l=．∴直线EF的方程为：y=（x﹣1），联立，解得y=﹣2．∴E（﹣1，﹣2）．∵PE⊥l于E，∴y P=2，代入抛物线的方程可得12=4x p，解得x P=3．∴|PF|=|PE|=x P+1=4．故答案为：4．点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．10．（4分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且的面积等于48．考点：双曲线的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的性质求得|PF1|，作PF1边上的高AF2则可知AF1的长度，进而利用勾股定理求得AF2，则△PF1F2的面积可得．解答：解：∵双曲线中a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0）∵|PF2|=|F1F2|，∴|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16作PF1边上的高AF2，则AF1=8，∴∴△PF1F2的面积为S=故答案为：48．点评：此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；由题意准确画出图象，利用数形结合，注意到三角形的特殊性．11．（4分）函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，f（﹣1）=1，且对任意实数x都有xf（x+1）=（x+1）f（x），则f（0）+f（1）+f（2）+…+f的值是2031120．考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：从xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得．解答：解：∵xf（x+1）=（x+1）f（x），∴当x=0时f（0）=0，∵f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数且f（﹣1）=1，∴f（1）=f（﹣1）=1．∵xf（x+1）=（x+1）f（x），∴当x=1时f（2）=2，当x=2时f（3）=3，当x=3时f（4）=4，…当x=2014时f=2015则f（0）+f（1）+f（2）+…+f=0+1+2+3+4+5+…+2015=2031120∴故答案为：2031120点评：本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律．12．（4分）若矩阵的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，则对应的行列式的值为正数的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；二阶矩阵．专题：概率与统计．分析：先求出总得事件个数，即把4个数全排列即可，再根据对应的行列式的值为正数得到即ad＞bc，由4×8＞2×1，8×2＞4×1，即可求出满足的种数，根据概率公式计算即可．解答：解：矩阵的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，共有A44=24种，∵=ad﹣bc＞，即ad＞bc，由4×8＞2×1，8×2＞4×1，∴对应的行列式有2A22A22=8种，故对应的行列式的值为正数的概率为P==，故答案为：．点评：本题考查行列式运算法则，古典概率的概率，排列组合等问题，属于中档题．13．（4分）设x，y满足约束条件：若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则的最小值为3+2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求则的最小值．解答：解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，4），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即2a+4b=2，∴a+2b=1，=+=（+）×1=（+）×（a+2b）=1+2++≥3+2=3+2，当且仅当=，即a=b时取等号．故最小值为3+2，故答案为：3+2．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．14．（4分）已知集合A n={a1，a2，…，a n），a j=0或1，j=1，2，…，n（n≥2）}，对于U，V∈A n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数，若给定U∈A6，则所有的d（U，V）和为192．考点：元素与集合关系的判断．专题：推理和证明．分析：易知A n中共有2n个元素，分别记为v k（k=1，2，3，…，2n，v=（b1，b2，b3，…b n）b i=0的v k共有2n﹣1个，b i=1的v k共有2n﹣1个然后求和即可得到d（U，V）和与n的关系式，将n=6代入即可得到答案．．解答：解：易知A n中共有2n个元素，分别记为v k（k=1，2，3，…，2n），V=（b1，b2，b3，…，b n）∵b i=0的v k共有2n﹣1个，b i=1的v k共有2n﹣1个．∴d（U，V）=2n﹣1（|a1﹣0|+|a1﹣1|+|a2﹣0|+a2﹣1|+|a3﹣0|+|a3﹣1|+…+|a n﹣0|+|a n﹣1|）=n×2n﹣1∴d（U，V）=n×2n﹣1．故答案为：n×2n﹣1当n=6时，n×2n﹣1=192，故答案为：192点评：此题是个难题．本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S n的，其实S n中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义d（U，V）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）“a+b＞0”是“任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”，则设f（x）=ax+b，则满足，即a+b＞0，b＞0，则“a+b＞0”是“任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”的必要不充分条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数关系是解决本题的关键．16．（5分）若•+||2=0，则△ABC为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：依题意，可求得c=acosB，再利用正弦定理可得sinC=sinAcosB，即sin（A+B）=sinAcosB，利用两角和的正弦将等号左端展开，可求得cosA=0，从而可得答案．解答：解：∵•+||2=0，∴accos（π﹣B）+c2=0，即c2=accosB，∴c=acosB，由正弦定理==2R得：sinC=sinAcosB，∵△ABC中，C=π﹣（A+B），∴sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB，∴cosAsinB=0，又sinB≠0，∴cosA=0，A∈（0，π），∴A=．故选：B．点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与诱导公式及两角和的正弦的综合应用，属于中档题．17．（5分）函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数的性质对称函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象关于x=1对称，画出图象判断交点个数，利用对称性整体求解即可．解答：解：∵y=ln|x|是偶函数，对称轴x=0，∴函数y=ln|x﹣1|的图象的对称轴x=1，∵函数y=﹣cosπx，∴对称轴x=k，k∈z，∴函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象关于x=1对称，由图知，两个函数图象恰有6个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，与x1′，x2′，x3′，可知：x1+x1′=2，x2=2，x3=2，∴所有交点的横坐标之和等于6故选：A．点评：本题他考查对数函数与余弦函数的图象与性质，着重考查作图与分析、解决问题的能力，作图是难点，分析结论是关键，属于难题18．（5分）已知x、y均为实数，记max{x，y}=，min{x，y}=．若i表示虚数单位，且a=x1+y1i，b=x2+y2i，x1，y1，x2，y2∈R，则（）A．min{|a+b|，|a﹣b|}≤min{|a|，|b|} B．max{|a+b|，|a﹣b|}≤max{|a|，|b|} C．min{|a+b|2，|a﹣b|2}≥|a|2+|b|2D．max{|a+b|2，|a﹣b|2}≥{|a|2+|b|2考点：复数求模；复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：通过转化为向量加法与减法的几何意义，结合题目中的取最大与最小值，对选项中的问题进行分析判断，对错误选项进行排除即可．解答：解：∵a=x1+y1i，b=x2+y2i，x1，y1，x2，y2∈R，∴可记=（x1，y1），=（x2，y2），则||=|a|，||=|b|，∴|±|2=||2+||2±2||•||，∴max{|a+b|2，|a﹣b|2}≥|a|2+|b|2成立，D正确；对于A，当⊥时，易知不等式不成立，C不正确；对于B，当=且均不为零向量时，易知不等式不成立，B不正确；对于C，当=且均不为零向量时，易知不等式不成立，C不正确；故选：D．点评：本题考查复数的几何意义的应用问题，解题时应排除法，对错误选项进行举反例说明，注意解题方法的积累，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的零点，并求反函数f﹣1（x）；（2）设g（x）=2log2，若不等式f﹣1（x）≤g（x）在区间[，]上恒成立，求实数k的范围．考点：反函数；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由函数f（x）==0，由，解得x即可得出．由y=，解得x=，把x与y互换，即可得出反函数．（2）k＞0，由不等式f﹣1（x）≤g（x）得到k2≤（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，再利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：（1）由函数f（x）==0，∴，解得x=0．∴函数f（x）的零点是x=0．由y=，解得，x=，把x与y互换，可得f﹣1（x）=，x∈（﹣1，1）．（2）∵k＞0，∴≤=，得到k2≤（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，∵x∈[，]，当时，右边最小值为，解得．∴实数k的范围是．点评：本题考查了反函数的求法、二次函数的单调性、指数函数与对数函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．（1）求证：A1C⊥平面BDE；（2）求三棱锥C﹣BDE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）先证明：BD⊥A1C，BE⊥A1C，再证明A1C⊥平面BDE；（2）利用V C﹣BDE=V E﹣BDC，求三棱锥C﹣BDE的体积．解答：（1）证明：因为BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1=A，所以BD⊥平面A1AC，所以BD⊥A1C；（3分）又因为BE⊥B1C，BE⊥A1B1，B1C∩A1B1=B1，所以BE⊥平面A1B1C，所以BE⊥A1C；因为BD∩BE=B所以A1C⊥平面BDE．（6分）（2）解：由题意CE=1，（8分）所以V C﹣BDE=V E﹣BDC==（14分）点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥C﹣BDE的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（直角△EFG，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口E是AB的中点，F，G分别落在AD，BC上，且AB=20m，AD=10m，设∠GEB=θ．（1）试将污水管道的长度l表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当管道长度l为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．考点：三角函数的最值．专题：解三角形．分析：（1）根据题意分别表示出EG，EF，FG，进而表示出l的表达式．（2）设sinθ+cosθ把l转化为关于t的方程，利用单调性确定最大值．解答：（1）因为EG=，EF=，FG=，l=10（++），θ∈[，]．（2）l=•10设t=sinθ+cosθ=sin（θ+）∈[，]，l=•10=，为减函数，∴当θ=或时，有最大值20（+1），答：当θ=或时，污水净化效果最好，l最大值20（+1）m．点评：本题主要考查了三角形问题的实际应用．解题的重要的地方是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题来解决．22．（16分）对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q，使得c n+1=pc n+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{c n}是“M类数列”．（1）若a n=2n，b n=3.2n，n∈N*，判断数列{a n}，{b n}是否为“M类数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}是“M类数列”，则数列{a n+a n+1}、{a n•a n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=3.2n（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n，求S n的表达式，并判断{a n}是否是“M类数列”．考点：数列的应用．专题：证明题；等差数列与等比数列．分析：（1）运用 M类数列定义判断，（2）{a n}是“M类数列”，得出a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，求解a n+1+a n+2，a n+1a n+2的式子，结合定义判断即可（3）整体运用a n+a n+1=3.2n（n∈N*），分类得出：当n为偶数时，S n=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，n为奇数时，S n=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，化简即可得出S n，再运用反证法证明即可．解答：解：（1）因为a n+1=a n+2，p=1，q=2是“M类数列”，b n+1=2b n，p=2，q=0是“M类数列”．（2）因为{a n}是“M类数列”，所以a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，所以a n+1+a n+2=p（a n+1+a n+2）+2q，因此，{a n+a n+1}是“M类数列”．因为{a n}是“M类数列”，所以a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，所以a n+1a n+2=p2（a n a n+1）+pq（a n+a n+1）+q2，当q=0时，是“M类数列”；当q≠0时，不是“M类数列”；（3）当n为偶数时，S n=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，当n为奇数时，S n=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，所以S n=．当n为偶数时a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣2﹣（2n﹣3）=2n+1，当n为奇数时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣3﹣（2n﹣2）=2n﹣1（n≥3），所以a n=假设{a n}是“M类数列”，当n为偶数时，a n+1=2n+1﹣1=pa n+q=p（2n+1）+qp=2，q=﹣3，当n为奇数时，a n+1=2n+1+1=pa n+q=p（2n﹣1）+q，p=2，q=3，得出矛盾，所以{a n}不是“M类数列”．点评：本题题意很新颖，解决问题紧扣定义即可，注意分类讨论，整体求解，属于难题，运算量较大．23．（18分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．记λ=，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（1）设直线l：y=kx（k＞0），若S1=3S2，证明：B，C是线段AD的四等分点；（2）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（3）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据椭圆的对称性，结合S1=3S2，又因为M，N到直线l的距离相等，证出即可；（2）由n+m=λ（m﹣n），得到λ2﹣2λ﹣1=0，解出即可；（3）分别设出椭圆C1，C2和l的方程，得到（λ﹣1）x A=（λ+1）x B，通过讨论λ的范围，从而求出结论．解答：（1）证明：因为S1=3S2，又因为M，N到直线l的距离相等，所以|BD|=3|BA|，由椭圆的对称性，得到|DC|=|BA|，|CO|=|OB|，所以|BC|=2|BA|⇒|BO|=|BA|，即B是OA中点，同理，C是OD中点，B，C是AD的四分点，得证．（2）解：因为S1=λS2，所以n+m=λ（m﹣n），∴λ==，∴λ2﹣2λ﹣1=0，解得：λ=+1（小于1的根舍去）．（3）解：设椭圆C1：+=1（a＞m），C2：+=1，直线l：y=kx（k≠0），由⇒x2=，即：=，同理可得：=，又∵△BDM和△ABN的高相等，∴===，若存在非零实数k使得S1=λS2，则有（λ﹣1）x A=（λ+1）x B，即：=，解得：k2=，∴当λ＞1+时，k2＞0，存在这样的直线l；当1＜λ≤1+时，λ2≤0，不存在这样的直线．点评：本题考察了含有参数的直线和椭圆的综合问题，第三问设出椭圆C1，C2和l的方程，得到（λ﹣1）x A=（λ+1）x B是解答本题的关键．。

2015年浦东新区高三二模数学试卷（2015.4）一. 填空题1. 不等式32x>的解为 ；2. 设i 是虚数单位，复数(3)(1)a i i +-是实数，则实数a = ；3. 已知一个关于x ，y 的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -= ； 4. 已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则该数列的通项公式n a = ；5. 6. 7. 8.9.D 上的任何实数x 分别满足()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为 函数()f x 和()g x 的“隔离直线”，给出下列四组函数：①1()12x f x =+，()sin g x x =； ②3()f x x =，1()g x x=-；③1()f x x x =+，()lg g x x =； ④1()22x f x =-，()g x = 其中函数()f x 和()g x 存在“隔离直线”的序号是 ；二. 选择题15. 已知a ，b 是实数，那么“0a b <<”是“11a b>”的（ ） A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件；C. 充分必要条件；D. 既不充分也不必要条件；16. 平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系为（ ）的}j Q （三（（-中，底面正方形ABCD的边长为2，PA⊥底面ABCD，E 20. 如图，在四棱锥P ABCD为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为；（1）求异面直线AE与PD所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点B到平面PCD的距离；21. 一颗人造地球卫星在地球表面上空1630千米处沿圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球旋转一周，将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合，已知卫星于中午12点整通过卫星跟踪站A点的正上空A'，12:03时卫星通过C点；（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）（1）求人造卫星在12:03时与卫星跟踪站A之间的距离（精确到1千米）；（2）求此时天线方向AC与水平线的夹角（精确到1分）；22. 已知直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，且满足1EA AD λ=uu r uuu r ，2EB BD λ=uu r uu u r ；（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线:1l x my =+（1m >），椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围； （3）已知双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >），21222a bλλ+=，试问D 是否为定点？若是，求出D 点坐标，若不是，说明理由；23. 记无穷数列{}n a 的前n 项12,,...,n a a a 的最大值为n A ，第n 项之后的各项12,,...n n a a ++的最小值为n B ，令n n n b A B =-；（1）若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式为12n b n =-，判断1{}n n a a +-是否等差数列，若是，求出公差，若不是，请说明理由；（3）若{}n b 为公差大于零的等差数列，求证：1{}n n a a +-是等差数列；浦东新区2014学年第二学期高三教学质量检测一. 填空题1. 3log 2x >；2. 3；3. 2；4. 2n ；5. 210；6. 1；7. 1； 8. 1m >； 9. 10. 23； 11. 1；12. 0q <<13. 1或0或32； 14. ①③④（（（。

2015年上海市春季高考模拟试卷三一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1、计算2Im 12i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭．2、已知函数1()1f x x =-的定义域为M ，函数()2x g x =的值域为N ，则M N =∩ ．3、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是3，点M 、N 分别是棱AB 、1AA 的中点，则异面直线MN 与1BC 所成角的大小等于 ．4、若抛物线22y px =的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p = ．5、已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=, 341a a +=，则lim n n S →∞= ．6、圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为2πcm ，半径为2cm ，则该圆锥的体积等于 3cm ． 7、阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的自然数为 ． 8、已知函数2()sin cos 2x f x x a =+ (a 为常数,a R ∈)，且2x π=是方程()0f x =的解．当[]0,x π∈ 时，函数()f x 值域为 ． 9、若二项式1()2n x x+的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中6x 的系数为 ．（用数字作答）10、已知,a b 为正实数，函数3()2x f x ax bx =++在[]0,1上的最大值为4，则()f x 在[]1,0-上的最小值为 ．11、设函数22()log xf x x ⎧⎪=⎨⎪⎩ (0)(0)x x ≤>，函数[]()1y f f x =-的零点个数为 个．12、已知O 为ABC ∆的外心，4AB =,2AC =,BAC ∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO ⋅开始否是输出S结束i ＜① 1i i =+1,1S i ==2i S S =+（第7题图）的值等于 ．二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）13、已知4cos25θ=，且sin 0θ<，则tan θ的值为（ ） A ．2425- B . 247± C . 247- D . 24714、函数21()1(2)2f x x x =+<-的反函数是（ ）A ．22(13)y x x =-≤<B . 22(3)y x x =->C ．22(13)y x x =--≤<D . 22(3)y x x =-->15、下列命题：①“102a <≤”是“存在n N *∈，使得1()2n a =成立”的充分条件；②“0a >” 是“存在n N *∈，使得1()2n a <成立”的必要条件；③“12a >”是“不等式1()2n a <对一切n N *∈恒成立”的充要条件. 其中所以真命题的序号是（ ） A ．③ B . ②③ C . ①② D . ①③16、如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A ．[1,1)-B . {}1,0-C . (,1][0,1)-∞-D . [1,0](1,)-+∞ 17、直线⎩⎨⎧+=+=t y tx 121的倾斜角等于（ ）.A 6π.B 3π.C 21arctan.D 2arctan18、已知函数)2cos()2sin(2ππ-+=x x y 与直线21=y 相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M ，……，则131M M 等于（ ）.A π6 .B π7 .C π12 .D π1319、若22παπ≤≤-，πβ≤≤0，R m ∈，如果有0sin 3=++m αα，0cos )2(3=++-m ββπ，则)cos(βα+值为（ ）． .A 1- .B 0 .C21.D 120、正方体1111D C B A ABCD -的棱上．．到异面直线AB ，1CC 的距离相等的点的个数为（ ）.A 2 .B 3 .C 4 .D 521、下列命题中正确的是（ ）A .函数x y sin =与x y arcsin =互为反函数B .函数x y sin =与x y arcsin =都是增函数C .函数x y sin =与x y arcsin =都是奇函数D .函数x y sin =与x y arcsin =都是周期函数22、数列{}n a 前n 项和为n S ，已知115a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a<恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A . 14B . 34C . 43D .423、直线2=x 与双曲线14:22=-y x C 的渐近线交于B A ,两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若OB b OA a OP +=(O R b a ,,∈为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）A .222a b +≥B .2122≥+b aC .222a b +≤D .2212a b +≤24、已知集合{})(),(x f y y x M ==，若对于任意M y x ∈),(11，存在M y x ∈),(22，使得02121=+y y x x 成立，则称集合M 是“Ω集合”. 给出下列4个集合： ① ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y x M 1),( ② {}2),(-==xe y y x M ③ {}x y y x M cos ),(== ④ {}x y y x M ln ),(== 其中所有“Ω集合”的序号是（ ）A .②③B .③④C .①②④D .①③④．三、解答题 25、（本题满分7分）三阶行列式xb x x D 31302502-=，元素b ()R b ∈的代数余子式为()x H ，(){}0≤=x H x P ， 函数()()22log 22f x ax x =-+的定义域为,Q 若,P Q ⋂≠∅求实数a 的取值范围.26、（本题满分7分）如图，⊥PA 平面ABCD ，矩形ABCD 的边长1=AB ，2=BC ，E 为BC 的中点． 若2=PA ，求异面直线AE 与PD 所成的角的大小．PAB CDE27、（本题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，，向量)cos 2,sin 2(B B m =，)cos ,cos 3(B B n -=，且1=⋅n m ．（1）求角B ；（2）若2=b ，求ABC ∆的面积的最大值． 28、（本题满分12分）已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=． （1）求a 1，a 3；（2）求证：数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．29、（本题满分12分）已知椭圆C 的方程为22212x y a +=(0)a >，其焦点在x 轴上，点Q 27(,)22为椭圆上一点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P 00(,)x y 满足2OP OM ON =+，其中M 、N 是椭圆C 上的点，直线OM 与ON的斜率之积为12-，求证：22002x y +为定值； （3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点,A B ，使得PA PB +为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．附加题30、（本题满分8分）已知抛物线C ：px y 22=)0(>p ，直线交此抛物线于不同的两个点),(11y x A 、),(22y x B ．（1）当直线过点)0,(p M 时，证明21y y ⋅为定值；（2）如果直线过点)0,(p M ，过点M 再作一条与直线垂直的直线l '交抛物线C 于两个不同点D 、E ．设线段AB 的中点为P ，线段DE 的中点为Q ，记线段PQ 的中点为N ．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N 到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由． 31、（本题满分8分）已知复数i b a z n n n ⋅+=，其中R a n ∈，R b n ∈，*∈N n ，是虚数单位，且i z z z n n n 221++=+，i z +=11．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求和：①13221++++n n a a a a a a ；②1154433221)1(++-++-+-n n n b b b b b b b b b b ．32、（本题满分14分）定义域为D 的函数)(x f ，如果对于区间I 内)(D I ⊆的任意两个数1x 、2x 都有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，则称此函数在区间I 上是“凸函数”． （1）判断函数x x f lg )(=在+R 上是否是“凸函数”，并证明你的结论； （2）如果函数xax x f +=2)(在]2,1[上是“凸函数”，求实数a 的取值范围； （3）对于区间],[d c 上的“凸函数”)(x f ，在],[d c 上任取1x ，2x ，3x ，……，n x ．① 证明：当k n 2=（*∈N k ）时，12121()[()()()]n n x x x f f x f x f x n n+++≥+++ 成立；② 请再选一个与①不同的且大于1的整数n ， 证明：12121()[()()()]n n x x x f f x f x f x n n+++≥+++ 也成立．2015年春季高考模拟试卷三参考答案1、1；2、（0,1）；3、3π；4、4；5、163；6、3π；7、5；8、2,21⎡⎤--⎣⎦；9、9；10、32-；11、2个；12、5；13-16CDBA 17-20CABC 21-24CABA 25、解： ()x x x x H 1252-+==2522+-x x ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=221x x P若,P Q ≠∅ 则说明在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少存在一个x 值，使不等式2220ax x -+>成立，即在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少存在一个x 值，使222a x x >-成立，令222,u x x =-则只需min u a >即可. 又22221112.22u x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，11,2,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦4,21,4min -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈u u 从而4min -=u由⑴知， min 4,u =- 4.a ∴>-26、解：（1）连AE ，由1==BE AB ，得2=AE ，同理2=DE ，∴2224AD DE AE ==+，由勾股定理逆定理得︒=∠90AED ，∴AE DE ⊥．由⊥PA 平面ABCD ，得DE PA ⊥.由AE DE ⊥，DE PA ⊥A AE PA =⋂，得⊥DE 平面PAE ．∴DE PE ⊥． 取PA 的中点M ，AD 的中点N ，连MC 、NC 、MN 、AC ． AE NC //，PD MN // ，∴MNC ∠的大小等于异面直线PD 与AE 所成的角或其补角的大小．由2=PA ，1=AB ，2=BC ，得2==MN NC ，6=MC ，∴21222622cos -=⋅⋅-+=∠MNC ，32π=∠MNC ．∴异面直线PD 与AE 所成的角的大小为3π．27、解：（1） 1=⋅n m ，∴1cos 2cos 3sin 22=-⋅B B B ，22cos 2sin 3=-B B ，1)62sin(=-πB ，又π<<B 0，∴611626πππ<-<-B ，∴262ππ=-B ，∴3π=B（2） 2=b ，B ac c a b cos 2222⋅-+=，∴3cos 2422π⋅-+=ac c a ，即ac c a -+=224∴ac ac ac ac c a =-≥-+=2422，即4≤ac ，当且仅当2==c a 时等号成立．343sin 21≤=⋅=∆ac B ac S ，当2===c b a 时，3)(max =∆ABC S ． 28、解：(1)令n =1，则a 1=S 1=111()2a a -=0． a 3=2； （2）由1()2n n n a a S -=，即2n n na S =，①得 11(1)2n n n a S +++=． ②②－①，得 1(1)n n n a na +-=．③ 于是，21(1)n n na n a ++=+．④③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． 又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n =n －1． (3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lgb 1，lgb p ，lgb q 成等差数列， 于是，21333p q p q=+．所以，213()33q p pq =-(☆)．易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解．当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p+++--=<0，故数列{23p p }(p ≥3)为递减数列 于是2133p p -≤323133⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解． 综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． 29、（1）因为点27(,)22Q 为椭圆上一点，所以187212=+a， 得24a = ，椭圆方程为12422=+y x （2）设),(),,(2211y x N y x M , 又121212OM ON y y k k x x ⋅=⋅=-，化简得022121=+y y x x 2分 则1242121=+y x ，1242222=+yx ，,2ON OM OP +=⎩⎨⎧+=+=⇒21021022y y y x x x所以2212212020)2(2)2(2y y x x y x +++=+21212222212184)2(4)2(y y x x y x y x +++++=)2(4202121y y x x ++=20=（定值） （3）因为动点P （x 0，y 0）满足202220=+y x ，即110202020=+yx ，所以点P 的轨迹为焦点()0,10±的椭圆.存在点A (0,10)、B （0,10-），使得||||PB PA +=54（定值） 30、解：（1）过点)0,(p M 与抛物线有两个交点，设p my x l +=:，由⎩⎨⎧=+=pxy pmy x 22得02222=--p pmy y ，∴2212p y y -=⋅．（2）依题意直线的斜率存在且不为零，由（1）得点P 的纵坐标为pm y y y P =+=)(2121，代入p my x l +=:得p pm x P +=2，即),(2pm p pm P +．由于l '与互相垂直，将点P 中的m 用m 1-代，得),(2m pp mp Q -+． 设),(y x N ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=)(21)(2122m p pm y p pm p mp x 消m 得)2(22p x p y -= 由抛物线的定义知存在直线815p x =，点)0,817(p，点N 到它们的距离相等． 31、解：（1） i i b a z +=⋅+=1111，∴11=a ，11=b ． 由iz z z n n n 221++=+得i b a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ⋅++=+⋅-+⋅+=⋅+++)2(32)()(211，∴⎩⎨⎧+==++2311n n nn b b a a∴数列{}n a 是以1为首项公比为3的等比数列，数列{}n b 是以1为首项公差为2的等差数列，∴13-=n n a ，12-=n b n ． （2）①由（1）知13-=n n a ，2113=-+kk k k a a a a ,∴数列{}1+n n a a 是以为首项，公比为23的等比数列． 221122313(13)331988n n n n a a a a a a ++-+++==-- ．②当k n 2=，*∈N k 时，112233445112233445212221(1)()()()n n n k k k k b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ++-+-+-++-=-+-++- 2222242242()4444()484222k k k k b b b b b b b b k k n n +=----=-+++=-⋅=--=-- 当12+=k n ，*∈N k 时，1154433221)1(++-++-+-n n n b b b b b b b b b b122)34)(14(48)()()(22221212221254433221-+=+++--=+-++-+-=+++-n n k k k k b b b b b b b b b b b b b b k k k k k k又1=n 也满足上式∴⎪⎩⎪⎨⎧---+=-++-+-++为偶数时当为奇数时当n n n n n n b b b b b b b b b b n n n 22122)1(221154433221 32、解：（1）设1x ，2x 是+R 上的任意两个数，则01lg )(4lg 2lg 2lg lg )2(2)()(2212121212121=≤+=+-+=+-+x x x x x x x x x x f x f x f ∴)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+．∴函数x x f lg )(=在+R 上是 “凸函数”． （2）对于]2,1[上的任意两个数1x ，2x ，均有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，即)]()[(212)2(22212121221x a x x a x x x a x x +++≥+++，整理得)()(21)(2121221221x x x x x x a x x +--≤-若21x x =，a 可以取任意值． 若21x x ≠，得)(212121x x x x a +-≤， 1)(2182121-<+-<-x x x x ，∴8-≤a ． 综上所述得8-≤a ．（3）①当1=k 时由已知得)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立． 假设当m k =)(*∈N m 时，不等式成立即)]()()([21)2(2211221m kx f x f x f x x x f m m +++≥++++ 成立． 那么，由d x x x c mm≤+++≤2221 ，d x x x c mmm m m ≤+++≤+++2222212得]}22[21{)2(22221222112211mm m mm m m m m x x x x x x f x x x f +++++++++++=++++)]2()2([21222212221mm m m m m m x x x f x x x f ++++++++++≥ )]}()()([21)]()()([21{21122212221++++++++≥++m m m m x f x f x f x f x f x f m m )]()()([2112211++++=+m x f x f x f m ． 即1+=m k 时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．②比如证明3=n 不等式成立．由①知d x c ≤≤1，d x c ≤≤2，d x c ≤≤3，d x c ≤≤4， 有)]()()()([41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≥+++成立．d x c ≤≤1，d x c ≤≤2，d x c ≤≤3，d x x x c ≤++≤)(31321，∴)43()3(321321321x x x x x x f x x x f +++++=++)]()()()3([41421321x f x f x f x x x f +++++≥， 从而得)]()()([31)3(321321x f x f x f x x x f ++≥++．。

2015年浦东新区第二次高三数学质量检测数学试卷（理科）注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2.本试卷共23道试题，满分150，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.不等式32x >的解为 ..2.设i 是虚数单位，复数()()31a i i +-是实数，则实数a = .3.已知一个关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -= .4.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则该数列的通项公式n a = .5.已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数之和为1024，则含2x 项的系数为 .06.已知直线3420x y ++=与()2221x y r -+=圆相切，则该圆的半径大小为 .7.在极坐标系中，已知圆()2sin 0r r ρθ=>上的任意一点(),M ρθ与点()2,N π之间的最小距离为1，则r = .8.若对任意x R ∈，不等式2sin 22sin 0x x m +-<恒成立，则m 的取值范围是 .9.已知球的表面积为264cm π，用一个平面截球，使截面球的半径为2cm ，则截面与球心的距离是 cm10.已知随机变量ξ分别取1、2和3，其中概率()1p ξ=与()3p ξ=相等，且方差13D ξ=，则概率()2p ξ=的值为 .11.若函数()2234f x x x =+-的零点(),1m a a ∈+，a 为整数，则所以满足条件a 的值为 .12.若正项数列{}n a 是以q 为公比的等比数列，已知该数列的每一项k a 的值都大于从2k a +开始的各项和，则公比q 的取值范围是 .13.已知等比数列{}n a 的首项1a 、公比q 是关于x 的方程()()212210t x x t -++-=的实数解，若数列{}n a 有且只有一个，则实数t 的取值集合为 .14.给定函数()f x 和()g x ，若存在实常数,k b ，使得函数()f x 和()g x 对其公共定义域D 上的任何实数x 分别满足()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为函数()f x 和()g x 的“隔离直1P 2P 3P 4P 1Q 2Q 3Q 4Q 线”.给出下列四组函数： ①()()11,sin 2x f x g x x =+=；②()()31,f x x g x x==-； ③()()1,lg f x x g x x x =+=；④()()12,2x x f x g x x =-=其中函数()f x 和()g x 存在“隔离直线”的序号是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应的位置上，选对得5分，否则一律不得分. 15.已知,a b 都是实数，那么“0a b <<”是“11a b>”的 ( )16.平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系是 ( )A. 平行B. 相交C. 平行或重合D. 平行或相交17.若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(),a b ,那过点P 的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或218.如图，正方体12341234PP P P Q Q Q Q -的棱长为1，设{}(){}()11,,,,,1,2,3,4i j i j i j x PQ ST S T P Q i j =⋅∈∈， 对于下列命题：①当i j i i S T PQ =时，1x =； ②当0x =时，(),i j 有12种不同取值；③当1x =-时，(),i j 有16种不同的取值； ④x 的值仅为1,0,1-.其中正确的命题是 ( )A. ①②B. ①④C. ①③④D. ①②③④三、解答题（本大题共有5题，满分74分）：解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤.19. （本大题共有2个小题，满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件已知函数()(),0,af x x x a x=+>为实数. （1）当1a =-时，判断函数()y f x =在()1,+∞上的单调性，并加以证明； （2）根据实数a 的不同取值，讨论函数()y f x =的最小值.20. （本大题共有2个小题，满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面正方形ABCD 为边长为2，PA ⊥底面ABCD ，E 为BC 的中点，PC 与平面PAD 所成的角为2arctan2. （1）求异面直线AE 与PD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）； （2）求点B 到平面PCD 的距离.21. （本大题共有2个小题，满分14分）第（1）题满分6分，第（2）小题满分8分.一颗人造卫星在地球上空1630千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球一周，将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合，已知卫星与中午12点整通过卫星跟踪站A 点的正上空'A ，12：03时卫星通过C 点，（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）(1)求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A 之间的距离.（精确到1千米） (2)求此时天线方向AC 与水平线的夹角（精确到1分）.'A A C OPAB C D22. （本大题共有3个小题，满分16分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=2EB BD λ=（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线()222122222:10,0,x y a C a b a b bλλ-=>>+=，试问D 是否为定点？若是，求点D 的坐标；若不是，说明理由.23. （本大题共有3个小题，满分18分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分. 第（3）小题满分8分.记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a 的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,,n n a a ++的最小项为n B ，令n n n b A B =-.（1）若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，写出12,b b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式为12n b n =-，判断{}1n n a a +-是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；（3）若数列{}n b 为公差大于零的等差数列，求证：{}1n n a a +-是否为等差数列.。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2016年上海市浦东新区高考数学三模试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．抛物线的准线方程为______．2．计算：=______．3．已知||=2， |=3，且、的夹角为，则|3﹣2|=______．4．在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=______．5．关于x方程=0的解为______．6．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则由a的值构成的集合为______．7．已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=______．8．某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为______．（结果用数值表示）9．已知，则目标函数z=20x+10y的最大值为______．10．如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1后形成的．已知AB=1，A1A=C1C=D，D1B与底面ABCD所成的角为，则这个多面体的体积为______．11．直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，则k的取值范围______．12．已知函数f（x）=，若对于正数k n（n∈N*），关于x的函数g（x）=f（x）﹣k n x的零点个数恰好为2n+1个，则（k12+k22+k32+…+k n2）=______．13．函数f（x）=3|x+5|﹣2|x+3|，数列a1，a2，…，a n…，满足a n=f（a n），n∈N*，若要+1使a1，a2，…a n，…成等差数列．则a1的取值范围______．14．设集合P={1，2，…，6}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：______．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．若a、b∈R，则“a＜b＜0”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．设P为双曲线﹣y2=1（a＞0）的上一点，∠F1PF2=，（F1、F2为左、右焦点），则△F1PF2的面积等于（）A．B．C．D．17．若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（）A．B．2 C．4 D．18．设{a n}是公比为q（q≠1）的无穷等比数列，若{a n}中任意两项之积仍是该数列中的项，则称{a n}为“封闭等比数列”．给出以下命题：（1）a1=3，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（2）a1=，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（3）若{a n}，{b n}都是“封闭等比数列”，则{a n•b n}，{a n+b n}也都是“封闭等比数列”；（4）不存在{a n}，使{a n}和{a n2}都是“封闭等比数列”；以上正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）当点E为BC的中点时，证明：EF∥平面PAC；（2）求三棱锥E﹣PAD的体积．20．如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知∠A=120°，AB、AC的长度均大于200米．设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米．（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值．21．已知函数f（x）=ax2﹣+1，g（x）=x+．（1）f（x）＞0在x∈[1，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．22．设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若=，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E： +y2=1，其左顶点为A、右顶点为B．（1）设椭圆E与椭圆F： +=1是“相似椭圆”，求常数s的值；（2）设椭圆G： +y2=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G只有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G只有一个公共点，求|k1k2|的值；（3）已知椭圆E与椭圆H： +=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x0，y1），且椭圆E上的点M（x0，y2）（y1y2＞0）求证：AM⊥BC．=p•a n+（n∈N*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．23．已知无穷数列{a n}满足a n+1（1）若p=，q=2，且a3=，求a1的值；（2）若a1=5，p•q=0，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若a1=2，q=1，求证：当p∈（，）时，数列{a n}是单调递减数列．2016年上海市浦东新区高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．抛物线的准线方程为y=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．【解答】解：由，得x2=﹣4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y==1．故答案为：y=1．2．计算：=1．【考点】极限及其运算．【分析】先由组合数计算公式，把转化为，进而简化为，由此能求出结果．【解答】解：===1．故答案为：1．3．已知||=2， |=3，且、的夹角为，则|3﹣2|=6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的公式进行求解即可．【解答】解：∵||=2， |=3，且、的夹角为，∴•=||||cos=2×=3，则|3﹣2|2=9||2﹣12•+4||2=9×4﹣12×3+4×9=36﹣36+36=36，则|3﹣2|=6，故答案为：6．4．在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】求出复数z+1，然后求解复数的模．【解答】解：在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=|﹣2+i+1|=|﹣1+i|==．故答案为：．5．关于x方程=0的解为x=或x=，k∈Z．【考点】三角函数中的恒等变换应用；二阶矩阵．【分析】由已知可得sin2x=．求出2x的值，则原方程的解可求．【解答】解：由=0，得4sinxcosx﹣1=0，即sin2x=．∴2x=或x=，则x=或x=，k∈Z．故答案为：x=或x=，k∈Z．6．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则由a的值构成的集合为{﹣1，0， } ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】先化简集合A，利用B⊆A，求出a的取值，注意要分类讨论．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x﹣3=0}={﹣1，3}，∴若B⊆A，则若a=0，即B=∅时，满足条件B⊆A．若a≠0，则B={x|ax﹣1=0}={}，要使B⊆A，则=﹣1或=3，解得a=﹣1，或a=．综上a=0或a=﹣1或a=，∴由a的值构成的集合为{﹣1，0， }．故答案为：{﹣1，0， }．7．已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出等差数列的首项，由=3得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式可得．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则，由=3，得，即d=4a1，∴=．故答案为：．8．某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为．（结果用数值表示）【考点】等可能事件的概率．【分析】根据题意，首先计算从2名男生和4名女生中选出4人数目，再分析选出的4人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2名男生和4名女生中选出4人，有C64=15种取法，其中全部为女生的有C44=1种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4名志愿者中，男、女生都有的情况有15﹣1=14种，则其概率为；故答案为．9．已知，则目标函数z=20x+10y的最大值为100．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求得目标函数的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图（图中实点），化目标函数z=20x+10y为y=﹣2x+，由图可知，当直线y=﹣2x+过点A（5，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为100．故答案为：100．10．如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1后形成的．已知AB=1，A1A=C1C=D，D1B与底面ABCD所成的角为，则这个多面体的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，连接BD，BD1，可得∠，在底面正方形中，由AB=1，求得BD=，在Rt△D1DB中，解直角三角形求得DD1，求出直角梯形ADD1A1的面积，然后由棱锥的体积公式求得答案．【解答】解：如图，连接BD，BD1，则∠，在底面正方形中，由AB=1，得BD=，在Rt△D1DB中，由BD=，∠，求得，∴A1A=C1C=D=，则，∴多面体的体积为V=．故答案为：．11．直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，则k的取值范围{0}∪[，+∞）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】联立方程组消元，令方程无解或只有一解得出k的范围．【解答】解：把y=kx+1代入y2=2x得k2x2+（2k﹣2）x+1=0，（1）若k=0，则﹣2x+1=0，方程只有一解，故直线y=kx+1与抛物线y2=2x只有一个公共点，符合题意．（2）若k≠0，△=（2k﹣2）2﹣4k2=4﹣8k．∵直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，∴△=4﹣8k≤0，解得k．∴k或k=0．故答案为：{0}∪[，+∞）．12．已知函数f（x）=，若对于正数k n（n∈N*），关于x的函数g（x）=f（x）﹣k n x的零点个数恰好为2n+1个，则（k12+k22+k32+…+k n2）=．【考点】函数的图象；函数零点的判定定理；极限及其运算．【分析】画出函数f（x）=的图象，若g（x）=0，则f（x﹣2）=k n x，数形结合可得圆心（2n+1，0）到直线y=k n x的距离为1，进而得到答案．【解答】解：当0≤x＜2时，（x﹣1）2+y2=1，（y≥0）其图形是以（1，0）点为圆心以1为半径的上半圆，当x≥2时，函数f（x）=f（x﹣2）表示函数的周期为2，故函数f（x）=的图象如下：若g（x）=0，则f（x﹣2）=k n x，由于g（x）的零点个数为2n+1则直线y=k n x与第n+1个半圆相切，圆心（2n+1，0）到直线y=k n x的距离为1，即有k12+k22+k32+…+k n2=．∴（k12+k22+k32+…+k n2）=，故答案为：=f（a n），n∈N*，若要13．函数f（x）=3|x+5|﹣2|x+3|，数列a1，a2，…，a n…，满足a n+1使a1，a2，…a n，…成等差数列．则a1的取值范围{﹣9}∪[﹣3，+∞）．【考点】数列与函数的综合．【分析】由绝对值的意义可得f（x）的分段函数式，求得对任意n∈N*，a n﹣a n≥1．{a n}+1为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥﹣3，再对a1讨论，①当a1＜﹣5时，②若﹣5≤a1＜﹣3，③若a1≥﹣3，结合函数式和等差数列的通项，即可得到结论．【解答】解：当x≥﹣3时，f（x）=3x+15﹣2x﹣6=x+9；当﹣5≤x＜﹣3时，f（x）=3x+15+2x+6=5x+21；当x＜﹣5时，f（x）=﹣3x﹣15+2x+6=﹣x﹣9．﹣a n=9；当a n≥﹣3时，a n+1﹣a n=4a n+21≥4×（﹣5）+21=1；当﹣5≤a n＜﹣3时，a n+1﹣a n=﹣2a n﹣9＞﹣2×（﹣5）﹣9=1．当a n＜﹣5时，a n+1∴对任意n∈N*，a n﹣a n≥1．+1即a n≥a n，即{a n}为无穷递增数列．+1又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥﹣3，=f（a n）=a n+9，由于{a n}为等差数列，从而a n+1因此公差d=9．①当a1＜﹣5时，则a2=f（a1）=﹣a1﹣9，又a2=a1+d=a1+9，故﹣a1﹣9=a1+9，即a1=﹣9，从而a2=0，当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2=0＞﹣3，=f（a n）=a n+9，而a2=a1+9，故当a1=﹣9时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；∴a n+1②若﹣5≤a1＜﹣3，则a2=f（a1）=5a1+21，又a2=a1+d=a1+9，∴5a1+21=a1+9，得a1=﹣3，应舍去；=f（a n）=a n+9，从而{a n}为无穷等差数列，符合要求．③若a1≥﹣3，则由a n≥a1得到a n+1综上可知：a1的取值范围为{﹣9}∪[﹣3，+∞）．故答案为：{﹣9}∪[﹣3，+∞）．14．设集合P={1，2，…，6}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：129．【考点】子集与真子集．【分析】设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k﹣1，可在A中，B中必不含元素1，2，…，k；元素k+1，k+2，…，k可在B 中，但不能都不在B中．由此能求出a n，当n=6时，代值计算即可．【解答】解：设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k ﹣1，可在A 中，故A 的个数为：C k ﹣10+C k ﹣11+C k ﹣12+…+C k ﹣1k ﹣1=2k ﹣1， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，k 可在B 中，但不能都不在B 中， 故B 的个数为：C n ﹣k 1+C n ﹣k 2+…+C n ﹣k n ﹣k =2n ﹣k ﹣1，从而集合对（A ，B ）的个数为2k ﹣1•（2n ﹣k ﹣1）=2n ﹣1﹣2k ﹣1，∴a n =（2n ﹣1﹣2k ﹣1）=（n ﹣1）•2n ﹣1﹣=（n ﹣2）•2n ﹣1+1．当n=6时，a 6=（6﹣2）×25+1=129 故答案为：129．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分. 15．若a 、b ∈R ，则“a ＜b ＜0”是“a 2＞b 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．【分析】利用不等式的性质判断出“a ＜b ＜0”则有“a 2＞b 2”，通过举反例得到“a 2＞b 2”成立推不出“a ＜b ＜0”成立，利用充要条件的有关定义得到结论． 【解答】解：若“a ＜b ＜0”则有“a 2＞b 2”反之则不成立，例如a=﹣2，b=1满足“a 2＞b 2”但不满足“a ＜b ＜0” ∴“a ＜b ＜0”是“a 2＞b 2”的充分不必要条件， 故选A ．16．设P 为双曲线﹣y 2=1（a ＞0）的上一点，∠F 1PF 2=，（F 1、F 2为左、右焦点），则△F 1PF 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先利用双曲线的定义，得|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，利用余弦定理求出|PF 1|•|PF 2|的值，结合三角形的面积公式即可求出△F 1PF 2的面积．【解答】解：∵双曲线方程﹣y 2=1（a ＞0），∴b=1，不妨设P 是双曲线的右支上的一个点，则由双曲线的定义，得|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，∵，∠F 1PF 2=，∴4c 2=|PF 1|2+|PF 2|2﹣2|PF 1|•|PF 2|cos =|PF 1|2+|PF 2|2+|PF 1|•|PF 2|=（|PF 1|﹣|PF 2|）2+3|PF 1|•|PF 2|，即4c 2=4a 2+3|PF 1|•|PF 2|，即3|PF 1|•|PF 2|=4c 2﹣4a 2=4b 2=4，则|PF 1|•|PF 2|=，∴=|PF 1|•|PF 2|sin=××=，故选：C ．17．若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（ ）A ．B ．2C ．4D ．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】求出圆锥的母线和底面半径，设截面在圆锥底面的轨迹AB=a ，（0＜a ≤2r ），用a 表示出截面的面积，利用基本不等式求出截面的面积最大值． 【解答】解：圆锥的母线长l=2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr=2×=．∴r=．设截面在圆锥底面的轨迹AB=a （0＜a ≤）．则截面等腰三角形的高h==．∴截面面积S===≤=2．当且仅当即a=2时取等号．故选：B ．18．设{a n }是公比为q （q ≠1）的无穷等比数列，若{a n }中任意两项之积仍是该数列中的项，则称{a n }为“封闭等比数列”．给出以下命题： （1）a 1=3，q=2，则{a n }是“封闭等比数列”；（2）a 1=，q=2，则{a n }是“封闭等比数列”；（3）若{a n }，{b n }都是“封闭等比数列”，则{a n •b n }，{a n +b n }也都是“封闭等比数列”； （4）不存在{a n }，使{a n }和{a n 2}都是“封闭等比数列”； 以上正确的命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【考点】等比数列的通项公式．【分析】（1）求出，由a1•a2∉{a n}，知（1）错误；（2）由，推导出命题（2）正确；（3）不是“封闭等比数列”；（4）若为“封闭等比数列”，则为“封闭等比数列”．【解答】解：（1）∵{a n}是a1=3，q=2的等比数列，∴，由题意得a1•a2=3×6=18∉{a n}，故命题（1）错误；（2）∵，∴，故命题（2）正确；（3）若都为“封闭等比数列”，则不是“封闭等比数列”，故命题（3）错误；（4）若为“封闭等比数列”，则为“封闭等比数列”，故命题（4）错误．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）当点E为BC的中点时，证明：EF∥平面PAC；（2）求三棱锥E﹣PAD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC、EF，证明EF∥PC，利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAC，（2）求出对面三角形EAD的面积，利用等体积法转化求解几何体的体积即可．【解答】解：（1）证明：连结AC、EF∵点E、F分别是边BC、PB的中点∴EF∥PC…．又EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC…∴当点E是BC的中点时，EF∥平面PAC…（2）∵PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形．∴，…∴…20．如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知∠A=120°，AB、AC的长度均大于200米．设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米．（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知利用三角形面积公式，基本不等式可得，即可得解．（2）利用已知及余弦定理可得PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=（x﹣100）2+30000，根据二次函数的图象和性质即可解得线段|PQ|最小值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）因为：AP=x，AQ=y且x+y=200，…2分所以：．…4分当且仅当x=y=100时，等号成立．所以：当x=y=100米时，平方米．…6分（2）因为：PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy…8分=x2+2+x=x2﹣200x+40000=（x﹣100）2+30000．…10分所以：当x=100米，线段米，此时，y=100米．…12分答：（1）当AP=AQ=100米时，游客体验活动区APQ的面积最大为平方米．（2）当AP=AQ=100米时，线段|PQ|最小为．…14分．21．已知函数f（x）=ax2﹣+1，g（x）=x+．（1）f（x）＞0在x∈[1，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）把不等式f（x）＞0恒成立转化为ax2﹣+1＞0恒成立，分离参数a后得到a，求出不等式右边在[1，2）上的最大值得答案；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，等价于f（x）min≥g（x）min在区间[1，2]上成立，利用单调性求出f（x）的最小值，再分段求出g（x）的最小值，列关于a的不等式组求得答案．【解答】解：（1）f（x）＞0⇔ax2﹣+1＞0⇒a在x∈[1，2）上恒成立，∵x∈[1，2），∴x2∈[1，4），∈[，），则∈[﹣2，），∴a，则a的取值范围是[）；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，等价于f（x）min≥g（x）min在区间[1，2]上成立，当a＞0时，函数f（x）在[1，2]上单调递增，∴，，故①，或②或③．解①得，a∈∅；解②得，a∈∅；解③得1≤a≤4．综上，a的取值范围为[1，4]．22．设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若=，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E： +y2=1，其左顶点为A、右顶点为B．（1）设椭圆E与椭圆F： +=1是“相似椭圆”，求常数s的值；（2）设椭圆G： +y2=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G只有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G只有一个公共点，求|k1k2|的值；（3）已知椭圆E与椭圆H： +=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x0，y1），且椭圆E上的点M（x0，y2）（y1y2＞0）求证：AM⊥BC．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用新定义，通过s＞2，0＜s＜2，分别求出s即可．（2）求出l1、l2的方程分别为、y=k2x+1，分别与椭圆方程联立，利用判别式为0，求出|k1|，|k2|，然后推出|k1k2|=．（3）写出椭圆E，椭圆H的方程，求出k AM，k BC，推出向量乘积为﹣1，即可证明AM⊥BC．【解答】（1）解：显然椭圆E的方程为=1，由椭圆E与F相似易得：当s＞2时⇒s=4；…2分当0＜s＜2时⇒s=1，…4分所以s=4或1…4分（2）证明：易得所以l1、l2的方程分别为、y=k2x+1依题意联立：⇒（1+2k12）x2+4k12x+4k12﹣2λ=0又直线l1与椭圆G相切则△1=0（又0＜λ＜1），即|k1|=…6分依题意再联立：⇒（1+2k22）x2+4k2x+2﹣2λ=0又直线l2与椭圆G相切则△2=0（又0＜λ＜1），即|k2|=…8分故|k1k2|=．…10分（3）解：显然椭圆E：=1，椭圆H：=1．…11分由椭圆H上的任意一点C（x0，y1）于是=1…12分椭圆E上的点M（x0，y2），即2=1又y1y2＞0，则y1=2y2…13分又，则k AM=，k BC=…15分又=﹣1所以AM⊥BC…16分．23．已知无穷数列{a n}满足a n=p•a n+（n∈N*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．+1（1）若p=，q=2，且a3=，求a1的值；（2）若a1=5，p•q=0，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若a1=2，q=1，求证：当p∈（，）时，数列{a n}是单调递减数列．【考点】数列递推式．【分析】（1）令n=2、1依次代入递推公式列出方程，求出a2、a1的值；（2）根据条件分两种情况：当p=0，q≠0时由数列的递推公式对n分奇数和偶数求出S n；当p≠0，q=0时由数列的递推公式可知是等比数列，根据等比数列的前n项和公式求出S n；（3）由题意求出数列的递推公式，由p的范围先比较a1与a2，令n取n﹣1列出式子后，﹣a n”的符号，即两式相减化简后利用基本不等式求出a n的范围，根据p的范围判断出“a n+1可证明结论．=p•a n+，∴a3=p•a2+，【解答】解：（1）由题意知，a n+1∵p=，q=2，且a3=，∴，解得，…2分当时，同理求得a1=1或4；当时，无解，所以，a1=1或4 …4分（2）若p=0，q≠0，，∴，…5分所以当n为奇数时，；…6分当n为偶数时，，所以…7分=p•a n，…8分若p≠0，q=0时，a n+1所以…10分证明：（3）由题意知，当时，可得①…12分由和，两式相减得，…14分因为成立，则有a n•a n﹣1＞4p当时，，即②…16分由①②可知，当a n＜a n﹣1时，恒有a n+1＜a n…17分对于任意的自然数n，a n+1＜a n恒成立．…18分．2016年9月28日。

2015年上海市高三年级六校联考数学试卷（文科）2015年3月6日（完卷时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4sin 5α=，则tan α= ．2. 已知集合{}1,A m =-，{}|1B x x =>，若A B ≠∅ ，则实数m 的取值范围是 ．3.设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若911a =，119a =，则19S 等于 ．4. 若()()2i i a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 的值为 ．5. 抛物线24y x =的焦点到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 ． 6. 已知向量2a = ，1b =，1a b ⋅= ，则向量a 与a b - 的夹角为 ．7. 执行右图的程序框图，如果输入6i =，则输出的S 值为 ． 8. 不等式1011ax x <+对任意R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 9. 若n a 是()()*2,2,nx n n x +∈≥∈N R 展开式中2x项的系数，则2323222lim n n n a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭ ． 10. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为 ．11. 设,x y ∈R ，若不等式组320,220,10x y x y ax y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数a 的取值范围是 ．12. 从1,2,,9⋅⋅⋅这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数()2f x ax bx c =++的系数，则使得()12f ∈Z 的概率为 ． 13. 已知点F 为椭圆:C 2212x y +=的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为()4,3，则PQ PF +取最大值时，点P 的坐标为 ． 14. 已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O ∉直线l ，实数x 满足关系式220x OA xOB OC ++=，有下列命题：① 20OB OC OA -⋅≥ ； ② 20OB OC OA -⋅<；③ x 的值有且只有一个； ④ x 的值有两个； ⑤ 点B 是线段AC 的中点．则正确的命题是 ．（写出所有正确命题的编号）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B 铅笔涂黑，选对得5分，不16. 下列函数中，既是偶函数，又在区间()1,2内是增函数的为 （ ） （A ）2log y x = （B ）cos 2y x =（C ）222x xy --=（D ）22log 2x y x -=+ 17. 已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是（ ）A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且m α∥（C ）m n 且n β⊥ （D ）m n ⊥且αβ18. 对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){},y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 （ ） （A ）()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭（B ）()221f x x =- （C ）()21x f x =+ （D ）()()2log 22f x x =-三、解答题（本大题共5题，满分74分）每题均需写出详细的解答过程．19. （本题满分12分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且1cos22A C +=．（1）若3a =，b =c 的值；（2）若())sin sin f A AA A =-，求()f A 的取值范围．20. （本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =，90ADF ∠= ．（1）求异面直线BE 和CD 所成角的大小； （2）求几何体EF ABCD -的体积．21. （本题满分14分） 本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：250900y x x =-+，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．（1）当[]10,15x ∈时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？22. （本题满分16分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分．已知各项为正数的数列{}n a 中，11a =，对任意的*k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等比数列，公比为k q ；22122,,k k k a a a ++成等差数列，公差为k d ，且12d =． （1）求2a 的值； （2）设11k k b q =-，证明：数列{}k b 为等差数列； （3）求数列{}k d 的前k 项和k D ．23. （本题满分18分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．如图，圆O 与直线20x +=相切于点P ，与x 正半轴交于点A ，与直线y =在第一象限的交点为B . 点C 为圆O 上任一点，且满足OC xOA yOB =+，动点(),D x y 的轨迹记为曲线Γ．（1）求圆O 的方程及曲线Γ的轨迹方程；（2）若直线y x =和y x =-分别交曲线Γ于点A 、C 和B 、D ，求四边形ABCD 的周长；（3）已知曲线Γ为椭圆，写出椭圆Γ的对称轴、顶点坐标、范围和焦点坐标．2015年上海市高三年级 六校联考数学试卷（文科）答案一、填空题1. 43-2. ()1,+∞3. 1904. 125. 56、6π 7. 21 8. (]4,0- 9. 8 10. 311、1[2,]3-- 12. 419013. ()0,1- 14．①③⑤二、选择题15. C 16. A 17. C 18. B三、解答题 19. 解：（1）在△ABC 中，A B C π++=． 所以cos cos 22A C B π+-=1sin 22B ==．26B π=，所以3B π=． ………………3分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2320c c -+=．解得1c =或2c =． ………………6分（2）()sin sin )f A A A A =-1cos 2222AA -=-1sin 262A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. ………………9分由（1）得3B π=，所以23A C π+=，20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则32,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. ∴sin 2(1,1]6A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭.∴()31,22f A ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.∴()f A 的取值范围是31,22⎛⎤-⎥⎝⎦. ………………12分 20. 解：（1）解法一：在CD 的延长线上延长至点M 使得CD DM =,连接,,ME MB BD . 由题意得，AD DC ⊥，AD DF ⊥，,DC DF ⊂≠平面CDEF ，∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD DE ⊥，同理可证DE ⊥面ABCD . ∵ //CD EF ，CD EF DM ==， ∴EFDM 为平行四边形， ∴//ME DF .则MEB ∠（或其补角）为异面直线DF 和BE所成的角. ………………3分 由平面几何知识及勾股定理可以得ME BE BM ===在MEB △中，由余弦定理得222cos 2ME BE BM MEB ME BE +-∠==⋅． ∵ 异面直线的夹角范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，∴ 异面直线DF 和BE所成的角为 ………………7分解法二：同解法一得,,AD DC DE 所在直线相互垂直，故以D 为原点，,,DA DC DE 所在直线 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ………………2分 可得()()()()0,0,0,0,2,2,2,4,0,0,0,2D F B E ，∴ (0,2,2),(2,4,2)DF BE ==--，得DF BE ==………………4分设向量,DF BE 夹角为θ，则022422cos DF BE DF BEθ⋅-+⋅-+⋅⋅===⋅∵ 异面直线的夹角范围为0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，∴ 异面直线DF 和BE 所成的角为 ………………7分（2）如图，连结EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ，则BN ⊥平面CDEF ，且2BN =. ………………9分 ∵EF ABCD V -E ABCD B ECF V V --=+ ……………11分1133ABCD EFC S DE S BN =⋅+⋅△△1111(42)222223232=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅ 163=. ∴ 几何体EF ABCD -的体积为163.……14分21. 解：（1）根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系： (1010)P x y =+-22050900x x x =-+-270900x x =-+- ………………2分 ()235325x =--+，[10,15]x ∈.∵35[10,15]x =∉，()235325P x =--+在[10,15]上为增函数， 可求得[300,75]P ∈--. ………………5分∴ 国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损． ………………7分 （2）设平均处理成本为90050y Q x x x==+- ………………9分5010≥=， ………………11分当且仅当900x x=时等号成立，由0x > 得30x =．因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元． ………………14分 22. 解：（1）由题意得2213322a a a a a ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，2222a a =+，22a =或21a =-. ………………2分 故数列{}n a 的前四项为1,2,4,6或1,1,1,3-. ………………4分（2）∵21221,,k k k a a a -+成公比为k q 的等比数列， 212223,,k k k a a a +++成公比为1k q +的等比数列∴212k k k a a q +=，22211k k k a a q +++= 又∵22122,,k k k a a a ++成等差数列， ∴212222k k k a a a ++=+. 得21212112k k k k k a a a q q ++++=+，112k kq q +=+， ………………6分 111k k kq q q +-=-， ∴1111111k k k k q q q q +==+---，111111k k q q +-=--，即11k k b b +-=.∴ 数列数列{}k b 为公差1d =等差数列，且11111b q ==-或111112b q ==--. ……8分 ∴()111k b b k k =+-⋅=或32k b k =-. ………………10分 （3）当11b =时，由（2）得11,1k k k k b k q q k +===-. 221211k k a k a k +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22222121321121231121111k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2121k k kaa k k q +==+，()2121231,2k k k k k k k k ad a a k D q +++=-==+=. ………………13分 当112b =-时，同理可得42k d k =-，22k D k =. ………………16分解法二：（2）对1,1,1,3,- 这个数列，猜想()*2123N m m q m m -=∈-， 下面用数学归纳法证明： ⅰ）当1m =时，12111213q ⋅-==-⋅-，结论成立.ⅱ）假设()*N m k k =∈时，结论成立，即2123k k q k -=-.则1m k =+时，由归纳假设，222121212121,2323k k k k k k a a a a k k -+---⎛⎫== ⎪--⎝⎭. 由22122,,k k k a a a ++成等差数列可知()()()222122122121223k k k k k k a a a a k ++--+=-=⋅-，于是221212121k k k a k q a k ++++==-， ∴ 1m k =+时结论也成立.所以由数学归纳法原理知()*2123N m m q m m -=∈-. ………………7分 此时1132112123k k b k k q k ===-----.同理对1,2,4,6, 这个数列，同样用数学归纳法可证1k k q k +=. 此时11111k k b k k q k===+--.∴k b k =或32k b k =-. ………………10分（3）对1,1,1,3,- 这个数列，猜想奇数项通项公式为()22123k a k -=-. 显然结论对1k =成立. 设结论对k 成立，考虑1k +的情形.由（2），()211,23k k q k k k -=≥∈-N 且21221,,k k k a a a -+成等比数列， 故()()22222121212123212323k k k k a a k k k k +---⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即结论对1k +也成立. 从而由数学归纳法原理知()22123k a k -=-.于是()()22321k a k k =--（易见从第三项起每项均为正数）以及21242k k k d a a k +=-=-，此时()22422k D k k =++-= . ………………13分 对于1,2,4,6, 这个数列，同样用数学归纳法可证221k a k -=，此时()22121,1k k k k a k k d a a k +=+=-=+.此时()()32312k k k D k +=++++= . ………………16分23. 解：（1）由题意圆O 的半径1r ==，故圆O 的方程为221x y +=. ………………2分由OC xOA yOB =+得，()22OC xOA yOB =+ ， 即222222cos60OC x OA y OB xy OA OB =++，得221x y xy++=（,33x y ⎡∈-⎢⎣⎦）为曲线Γ的方程.（未写,x y 范围不扣分）…4分 （2）由221y x x y xy =⎧⎨++=⎩解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，A，C） 同理，可求得B （1,1），D （－1,－1） 所以，四边形ABCD 的周长为：179（3）曲线Γ的方程为221x y xy ++=（,x y ⎡∈⎢⎣⎦）， 它关于直线y x =、y x =-和原点对称，下面证明：设曲线Γ上任一点的坐标为()00,P x y ，则2200001x y x y ++=，点P 关于直线y x =的对称点为()100,P y x ，显然2200001y x y x ++=，所以点1P在曲线Γ上，故曲线Γ关于直线y x =对称， 同理曲线Γ关于直线y x =-和原点对称.·11· 可以求得221x y xy ++=和直线y x =的交点坐标为12,B B ⎛ ⎝⎭⎝⎭221x y xy ++=和直线y x =-的交点坐标为()()121,1,1,1A A --，1OA =1OB ===. 在y x =-上取点12,,3333F F ⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . 曲线Γ为椭圆：其焦点坐标为12,F F ⎛ ⎝⎭⎝⎭.。

上海市浦东新区2015年第二次高三数学质量检测数学试卷（文科）注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2.本试卷共23道试题，满分150，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.不等式32x >的解为 ..2.设i 是虚数单位，复数()()31a i i +-是实数，则实数a = .3.已知一个关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -= .4.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则该数列的通项公式n a = .5.已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数之和为1024，则含7x 项的系数为 .6.已知直线3420x y ++=与()2221x y r -+=圆相切，则该圆的半径大小为 . 7.已知,x y 满足232300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则x y +的最大值为 .8.若对任意x R ∈，不等式2sin 22sin 0x x m --<恒成立，则m 的取值范围是 .9.已知球的表面积为264cm π，用一个平面截球，使截面球的半径为2cm ，则截面与球心的距离是 cm 10.已知{},1,2,3,4,5,6a b ∈，直线1:210l x y --=，直线2:10l ax by +-=，则直线12l l ⊥的概率为 . 11.若函数()2234f x x x =+-的零点(),1m a a ∈+，a 为整数，则所以满足条件a 的值为 .12.若正项数列{}n a 是以q 为公比的等比数列，已知该数列的每一项k a 的值都大于从2k a +开始的各项和，则公比q 的取值范围是 .13.已知等比数列{}n a 的首项1a 、公比q 是关于x 的方程()2220x x t -+-=的实数解，若数列{}n a 有且只有一个，则实数t 的取值集合为 .14.给定函数()f x 和()g x ，若存在实常数,k b ，使得函数()f x 和()g x 对其公共定义域D 上的任何实数x 分别满足()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为函数()f x 和()g x 的“隔离直线”.给出下列四组函数： ①()()11,sin 2xf xg x x =+=；②()()31,f x x g x x==-；③()()1,lg f x x g x x x =+=；④()()12,2x x f x g x =-其中函数()f x 和()g x 存在“隔离直线”的序号是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应的位置上，选对得5分，否则一律不得分. 15.已知,a b 都是实数，那么“0a b <<”是“11a b>”的 ( )16.平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系是 ( )A. 平行B. 相交C. 平行或重合D. 平行或相交17.若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(),a b ,那过点P 的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 1或218.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，123,,,n A A A A 则[]()12,,1,2,3,6j i A A A A i j ⋅∈的值组成的集合为 ( )A.{}2,1,0,1,2--B.112,1,,0,,1,222⎧⎫---⎨⎬⎩⎭C.3113,1,,0,,1,2222⎧⎫---⎨⎬⎩⎭D.31132,,1,,0,,1,,22222⎧⎫----⎨⎬⎩⎭三、解答题（本大题共有5题，满分74分）：解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤.19. （本大题共有2个小题，满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.已知函数()(),0,af x x x a x =+>为实数.（1）当1a =-时，判断函数()y f x =在()1,+∞上的单调性，并加以证明； （2）根据实数a 的不同取值，讨论函数()y f x =的最小值.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 1A 2A 34A 5A 6A20. （本大题共有2个小题，满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA = （1）求异面直线PC 与BD 所成角的大小； （2）求点A 到平面PBD 的距离.21. （本大题共有2个小题，满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.一颗人造卫星在地球上空1630千米处沿着圆形轨 道匀速运行，每2小时绕地球一周，将地球近似为 一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合，已知卫星与中午12点整通过卫星跟踪站A 点的正上空'A ，12：03时卫星通过C点，（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）(1)求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A 之间的距离.（精确到1千米） (2)求此时天线方向AC 与水平线的夹角（精确到1分）.22. （本大题共有3个小题，满分16分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分. 已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=2EB BD λ= （1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；P AB C D'A A CO。

上海市浦东新区2015届高考数学三模试卷（理科）一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x＜2}，则A∩B=．．（4分）函数f（x）=x，（x＜﹣2）的反函数是．223．（4分）过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线的方程．4．（4分）已知数列{a}为等比数列，前n项和为S，且a=2S+3，a=2S+3，则此数列的公比546n5n q=．5．（4分）如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为．．（4分）函数y=cosx的单调增区间为．267．（4分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为﹣10，则k=．的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF|=4|PF|分）设F、F是双曲线x﹣，（8．42112则△2=1PFF的周长．219．（4分）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=1，球心到该平面的距离是球半径的倍，则球的体积是．10．（4分）掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和为5”的概率为．11．（4分）数列{a}中，且a=2，则数列{a}前2015项的积等于．nn1=，（12．4分）若，均为平面单位向量，且+﹣（，）=．，则13．（4分）在极坐标系中，动点M从M（1，0）出发，沿极轴ox方向作匀速直线运动，速度0为3米/秒，同时极轴ox绕极点o按逆时针方向作等角速度旋转，角速度为2米/秒．则动点的极坐标方程．M．中最小的数．已知无穷项的c}{c，c，…，}4分）记符号min{c，c，…，c表示集合14．（n211n2**，则a=14N），若b），令=min{n|a≥k}，（k∈正整数数列{a}满足a≤a（i∈N20ninki+1=．+b+b+…+ba+a+…+a14122120分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项20二、选择题（本大题共有4题，满分.是正确的，选对得5分，否则一律得零分存在唯一解的必要非充分条件是（）（5分）二元一次方程组15．系数行列式D≠0A．比例式B．不平行向量 C．不平行x+by=cax+by=c，a D．直线212112﹣．则方程（x]（﹣1.2]=﹣15（分）用符号（x]表示不小于x的最小整数，如（π]=4，16．4）上实数解的个数为（）在（1，x=32D．1B． C． A ． 0的直线交椭圆0x＞x，0）（为椭圆17．（5分）已知P+y=1的左顶点，如果存在过点M（00于A、2）B两点，使得S=2S，则x的取值范围是（）0△AOP△AOBA．（1，]B．上海市浦东新区2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x＜2}，则A∩B={x|1≤x＜2}．交集及其运算．考点：集合．专题： B，求出两集合的交集即可．由集合A与分析： 2}，解：∵集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x＜解答：2}．∴A∩B={x|1≤x＜2}故答案为：{x|1≤x＜此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．点评：2）的反函数是（x）=x，（x2．（4分）函数f2．＜﹣反函数．考点：导数的概念及应用．专题：直接利用反函数的定义求解即可．分析：2．），则y＞42解答：解：函数f（x）=x，（x＜﹣，可得x=．所以函数的反函数为：．故答案为：点评：本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．3．（4分）过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线的方程x﹣2y﹣1=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：方法一，利用两条直线互相垂直，斜率之积等于﹣1，求出垂线的斜率，再求垂线的方程；方法二，根据两条直线互相垂直的关系，设出垂线的方程，利用垂线过某点，求出垂线的方程．解答：解：方法一，直线2x+y=0的斜率是﹣2，则与这条直线垂直的直线方程的斜率是，∴过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线方程为y﹣0=（x﹣1），即x﹣2y﹣1=0；方法二，设与直线2x+y=0垂直的直线方程为x﹣2y+a=0，且该垂线过过点（1，0），∴1×1﹣2×0+a=0，解得a=﹣1，∴这条垂线的直线方程为x﹣2y﹣1=0．故答案为：x﹣2y﹣1=0．点评：本题考查了直线方程的求法与应用问题，也考查了直线垂直的应用问题，是基础题目．4．（4分）已知数列{a}为等比数列，前n项和为S，且a=2S+3，a=2S+3，则此数列的公比546n5n q=3．n考点：项和；等比数列的通项公式．等比数列的前等差数列与等比数列．专题：已知两式相减结合等比数列的求和公式可得．分析： +3，，a=2S 解答：解：∵a=2S+35564），S﹣S∴两式相减可得a﹣a=2（4565，=2a，∴a=3a∴a﹣a55656=3q=∴公比．故答案为：3本题考查等比数列的求和公式和通项公式，属基础题．点评：5．（4分）如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为1．考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的几何意义，直接求解即可．解答：解：复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），复数z的几何意义是到虚轴上的点到（0，1），（0，﹣1）的距离之和，|z|的最大值为：1，故答案为：1．点评：本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查计算能力．k∈Z）y=cosx的单调增区间为．（6．4分）函数2（二倍角的余弦；余弦函数的单调性．考点：三角函数的图像与性质．专题：可解得分析：由二倍角的余弦函数公式可得y=cos2x+，由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z 单调增区间．解：∵y=cosx=，解答：2 cos2x+（k可解得单调增区间为：2kπ﹣π≤2x≤2kπ，∴由k∈Z∈Z，）（故答案为：kZ）∈点评：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，考查了余弦函数的单调性，属于基本知识的考查．7．（4分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为﹣10，则k=﹣14．考点：三阶矩阵．专题：计算题．分析：根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上i+j符号（﹣1）为M，求出其表达式列出关于k的方程解之即可．21×2+1×k=﹣）103=2M=（﹣1解答：解：由题意得21解得：k=﹣14．故答案为：﹣14．点评：此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF|=4|PF、F是双曲线x﹣|，8．（4分）设F2121则△2=1PFF的周长24．21考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先由双曲线的方程求出|FF|=10，再由3|PF|=4|PF|，运用双曲线的定义，求出2112|PF|=8，|PF|=6，由此能求出△PFF的周长．2112的a=1，c==5，解：双曲线解答： x﹣两个焦点F（﹣5，0），F（5，0），21即|FF|=10，21 2=1由3|PF|=4|PF|，设|PF|=x，则|PF|=x，1212由双曲线的定义知，x﹣x=2，解得x=6．∴|PF|=8，|PF|=6，21|FF|=10，21则△PFF的周长为|PF|+|PF|+|FF|=8+6+10=24．211122故答案为：24．点评：本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，属于基础题．9．（4分）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=1，球心到该平面的距离是球半径的倍，则球的体积是．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设出球的半径，球心到该平面的距离是球半径的的对角线的一半，ABCD倍，结合即可求球的体积．R满足勾股定理，求出解答：解：设球的半径为R，由题意可得，∴R=∴球的体积是：=．故答案为：．点评：本题考查球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．10．（4分）掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和为5”的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数N，再由公式求出概率得到答案．解答：解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是，故答案为：．本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗点评：5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求骰子的点数之和为5”所包是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为解公式含的基本事件数是本题的难点3．}，则数列{a前2015项的积等于=2}411．（分）数列{a中，且a nn1考点：数列的求和；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过计算出数列前几项的值，判断该数列为周期数列，进而可得结论．解答：解：∵且a=2，1∴a ，3﹣===2．===﹣，a 3a===，4a===2，5不难发现数列{a}是周期数列，n四个为一周期且最前四个乘积为=1，∵2015=503×4+3，=3，{a}前2015项的积为：∴数列n故答案为：3．点评：本题考查求数列的前n项的乘积，找出其周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．12．（4分）若，，均为平面单位向量，且+﹣=（，），则=（﹣，﹣）．平面向量坐标表示的应用．考点：平面向量及应用．专题：，=，=，均为平面单位向量，且+﹣（），则可推得=（，），分析：根据，﹣（﹣），问题得以解决．=解答：解：，），，，均为平面单位向量，且+﹣=（=1，）∵（+22）（，）是一个单位向量，∴（，=+﹣（）∵，=+﹣（﹣）∴==（，），=（﹣），﹣，，﹣）．故答案为：（﹣点评：本题考查了向量的坐标运算和单位向量，属于基础题．（4分）在极坐标系中，动点M从M（131．，0）出发，沿极轴ox方向作匀速直线运动，速度0为3米/秒，同时极轴ox绕极点o按逆时针方向作等角速度旋转，角速度为2米/秒．则动点M的极坐标方程ρ=1+θ．考点：极坐标刻画点的位置．坐标系和参数方程．专题：由题意可得：ρ=1+3t，θ=2t，消去t即可得出．分析：解：由题意可得：ρ=1+3t，θ=2t，解答：，∴．故答案为：点评：本题考查了极坐标方程、速度与时间的关系，考查了计算能力，属于基础题．14．（4分）记符号min{c，c，…，c}表示集合{c，c，…，c}中最小的数．已知无穷项的n212n1**正整数数列{a}满足a≤a（i∈N），令b=min{n|a≥k}，（k∈N），若a=14，则20kii+1nn a+a+…+a+b+b+…+b=294．14122120考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：利用特殊值法，即令数列{a}前20项每项的值均为14计算即可．n解答：解：不妨令a=a=…=a=14，2021则b=b=…=b=1，1412∴所求值为14×20+14×1=294，故答案为：294．点评：本题考查求数列的和，注意解题方法的积累，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）系数行列式D≠0A．．比例式 BC．向量不平行D．直线ax+by=c，ax+by=c不平行222111考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．简易逻辑．专题：分析：利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A，B，C为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．解答：解：当两直当两直线共面时，直线ax+by=c，ax+by=c不平行，二元一次方程组221121存在唯一解当两直线异面，直线ax+by=c，ax+by=c不平行，二元一次方程组无解，211212故直线ax+by=c，ax+by=c不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非211212充分条件．故选：D．点评：本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．16．（5分）用符号（x]表示不小于x的最小整数，如（π]=4，（﹣1.2]=﹣1．则方程（x]﹣x=在（1，4）上实数解的个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．根据定义分别讨论x的取值范围，解方程即可．分析：解答：解：若1＜x≤2，则（x]=2，由（x]﹣x=得2﹣x=，即x=，若2＜x≤3，则（x]=3，由（x]﹣x=得3﹣x=，即x=，若3＜x＜4，则（x]=4，由（x]﹣x=得4﹣x=，即x=，故方程（x]﹣x=在（1，4）上实数解的个数为3个，故选：D．点评：本题主要考查方程根的个数的判断，根据定义利用分类讨论是解决本题的关键．的直线交椭圆＞0）x，0（x的左顶点，如果存在过点P．17（5分）已知为椭圆+y=1M（00于A、2）B两点，使得S=2S，则x的取值范围是（）0△AOP△AOB．B] ，1（．A③在与截面PAB的平面垂直且过点M的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为a=1，把点代入解得b，可得，0），即=2（（a，b＞0），取M1，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，可得tan2θ，可得sin2θ，即可判断出正误；y=2px，把点④建立直角坐标系，不妨设抛物线的标准方程为2 =4π，正确；2代入解出即可．r=2，因此面积=π×2M解答：解：①∵点是母线的中点，∴截面圆的半径，因此正确；==②椭圆的长轴长③在与截面PAB的平面垂直且过点M的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为），即a=1，把点代入可得：=1，解＞0），取M（10，（a，b2θ，∴tan2θ==﹣=2，设双曲线两渐近线的夹角为得，∴sin2θ=b=2，∴，因此双曲线两渐近线的夹角为arcsin，因此不正确；，把点=2px④建立直角坐标系，不妨设抛物线的标准方程为y2代入可得：，不正确．p为，解得 p=，∴抛物线中焦点到准线的距离故选：B．点评：本题考查了圆锥曲线的原始定义、标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，CE为圆O的直径，线段CD 为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面．（1）求证：CD⊥平面AED；2）设异面直线CB与DE所成的角为且AE=1（，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．．AEDCD⊥平面CD⊥ED，CD⊥AE，然后证明）通过证明1（分析：（2）所求问题实际是将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．求解即可．解答：解：（1）证明：因为CE为圆O的直径，所以，即CD⊥ED…2分又因为AE垂直于圆面，CD⊥AE所在平面，所以CD⊥AE…4分又CD⊥ED，所以CD⊥平面AED…5分（2）由题意知，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．因为异面直线CB与DE所成角为，且CB∥DA，所以，…7分又因为AE=1，所以，在，DA=2…9分 Rt△AED中，在Rt△CDE中，…10分 CD=DA=2，，所以所以该几何体的体积…12分．点评：本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判断，考查逻辑推理能力以及计算能力．20．（14分）如图在半径为5cm的圆形的材料中，要截出一个“十字形”ABCDEFGHIJKL，其为一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的图形．（O为圆心）（1）若要使截出的“十字形”的边长相等（DE=CD）（图1），此时边长为多少？（2）若要使截出的“十字形”的面积为最大（图2），此时∠DOE为多少？（用反三角函数表示）考点：根据实际问题选择函数类型．专题：综合题；三角函数的求值．分析：（1）当“十字形”的边长相等时，过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．设该“十字形”的边长为2x，则DM=x，OM=3x．在Rt△OMD中，由勾股定理得边长；（2）过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N，求出面积，即可得出结论．解答：解：（1）当“十字形”的边长相等时，过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．设该“十字形”的边长为2x，则DM=x，OM=3x．在Rt△OMD中，由勾股定理得，…5分所以，边长…6分（2）过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．设∠DOM=θ，则OM=5cosθ，DM=5sinθ．分∴ON=CN=5sinθ，NM=5cosθ﹣5sinθ．…8．cosθ﹣sinθ）100NM）=100cosθ﹣∴“十字形”的面积为S=（2OM）﹣4222（（其中=…10（分2或）∴当时，…12分…14分．此时，或点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）设函数f（x）对任意x∈R，都有f（2x）=a?f（x），其中a为常数．当x∈…6分（2）由于；0，1]?（0，a]?（0，a]?…?（0，a]?…10分242k且（当n为奇数时，f（x）在…14分．点评：本题考查了函数的解析式的求法和函数的值域的求法，由于所以n=k+1时命题也成立，所以，使a＜p＜a对任意正整数n即存在常数都成立．…16分．2n+12n点评：本题考查数列的判断，数列与不等式的综合应用，数学归纳法的应用，数列与函数综合，考查分析问题解决问题的能力．23．（18分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，以矩形ABCD的中心为原点，过矩形ABCD的中心平行于BC的直线为x轴，建立直角坐标系，（1）求到直线AD、BC的距离之积为1的动点P的轨迹；（2）若动点P分别到线段AB、CD中点M、N的距离之积为4，求动点P的轨迹方程，并指出曲线的性质（对称性、顶点、范围）；（3）已知平面上的曲线C及点P，在C上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到曲线C 的距离．若动点P到线段AB的距离与射线CD的距离之积为4，求动点P的轨迹方程，并作出动点P的大致轨迹．考点：轨迹方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用到直线AD、BC的距离之积为1，建立方程，即可求出动点P的轨迹；）?=4，化简可得结论；2（）同时从几何和代数角度进行分析，即可得出结论．3（．解答：解：（1）设P（x，y），则|y﹣1||y+1|=1…2分化简得y=±或y=0．故动点P的轨迹为三条平行线；…4分（2）?=4，化简得对称性：关于原点、x、y轴对称；…6分顶点：（2，0），（﹣2，0），（0，0）；…8分范围：|x|≤2，|y|≤1…10分（3）同时从几何和代数角度进行分析当y＜﹣1时，y=﹣1﹣，…12分分或当﹣1≤y≤1时，x=±2x=0， (14)分y=1+y当＞1时，，…16作轨迹大致如图．分三个区域给分：①在直线y=﹣1的下方：两段曲线；②在两直线y=﹣1，y=1之间：三条平行线；③在直线y=1的上方：三条曲线． (18)分．点评：本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，确定轨迹方程是关键．。

2015届高三年级第三次四校联考数学（文）试题一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1.设全集为R ，集合A={}4|2<∈x R x ，B={}41|≤<-x x ，则 A =)(B C RA.()2,1-B.()1,2--C.(]1,2--D.()2,2- 2.已知复数iiz +-=11i (为虚数单位)，则z 的共轭复数是 A.i B.i +1 C.i - D.i -13.若等比数列{}n a 满足2031=+a a ，4042=+a a ，则公比q = A.1 B.2 C.2- D.44.若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，则双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为A .x y 23±= B .x y 3±= C .x y 21±= D .x y ±= 5.已知命题:p ,x R ∃∈使23xx>；命题:(0,),tan sin 2q x x x π∀∈>，下列是真命题的是A.()p q ⌝∧B.()()p q ⌝∨⌝C.()p q ∧⌝D.()p q ∨⌝ 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.π38 B.π316 C.π8 D.π364 7.在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S的概率为 A .41 B .43C .94D .1698.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是 A. 2016 B . 2C .12D .1- 9.已知函数133,(1),()log ,(1),x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数(1)y f x =-的大致图象是10.在半径为cm 10的球面上有C B A ,,三点，如果38=AB ，060=∠ACB ，则球心O 到平面ABC 的距离为A .cm 2B .cm 4C .cm 6D .cm 8 11.已知函数)2||,0)(2cos()(πϕωπϕω<>-+=x x f 的部分图象如图所示，则)6(π+=x f y 取得最小值时x 的集合为A .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ B .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,3ππC .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,62ππ D .⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,32ππ12.已知点A 是抛物线y x 42=的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PB m PA =，当m 取最大值时，点P 恰好在以B A ,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A ．215- B ．212+ C ．12+ D ．15- 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13.已知向量),1(x =，)2,1(-=x ，若b a //，则=x .14.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+--≤8201223y x y x x y ，则1-x y 的最小值是 .15.设数列{}n a 满足1042=+a a ，点),(n n a n P 对任意的+∈N n ，都有向量)2,1(1=+n n P P ，则数列{}n a 的前n 项和n S = .16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-)0()0(3)(x x x x f x ，若函数b x x f x g --=21)()(有且仅有两个零点，则实数b 的取值范围是 .三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17. (本小题满分12分)在ΔABC 中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 若B A sin sin 4－2cos42BA -22-=. （1）求角C 的大小；（2）已知4sin sin =ABa ，ΔABC 的面积为8. 求边长c 的值.18. (本小题满分12分)如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道 数学题(满分12分)的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊， 记为x ，已知甲、乙两组的平均成绩相同. （1）求x 的值，并判断哪组学生成绩更稳定;（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率.19. (本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上,矩形DCBE 所 在的平面垂直于圆O 所在的平面,4=AB ，1=BE ． （1）证明：平面⊥ADE 平面ACD ；（2）当三棱锥ADE C -的体积最大时，求点C 到平面ADE的距离．0 1 甲 乙 9 9 1 18 9 x 2（18题图）（19题图）20. (本小题满分12分)已知点)0,1(A ,点P 是圆C ：22(1)8x y ++=上的任意一点,，线段PA 的垂直 平分线与直线CP 交于点E . （1）求点E 的轨迹方程；（2）若直线y kx m =+与点E 的轨迹有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．21. (本小题满分12分)设函数xkx x f +=ln )(，R k ∈. (1) 若曲线)(x f y =在点))(,(e f e 处的切线与直线02=-x 垂直，求)(x f 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）；（2）若对任意021>>x x ，2121)()(x x x f x f -<-恒成立，求k 的取值范围.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()f x =|2||2|x x ++-，R x ∈.不等式()6f x ≤的解集为M . （1）求M ；（22015四校三联文科数学试题答案一选择题 1-6 CABADB 7-12DBDCBC二填空题 13. 2或1- 14. 1 15. 2n 16. 210<<b 三解答题17.解：（１）由条件得B A sin sin 4=2（212cos 2--BA ）2+ 即B A sin sin 4=)cos(2B A -2+=)sin sin cos (cos 2B A B A +2+ ………………2分化简得 =+)cos(B A 22-, ………………………4分 ∵π<+<B A 0 ∴ 43π=+B A 又π=++C B A ∴ C ＝4π………………………6分 （２）由已知及正弦定理得4=b ………………………8分又 S ΔABC =8，C=4π ∴ 128sin =C ab ， 得24=a ………………………10分由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=得 4=c . ………………………12分 18. （1） ，甲104111199=+++=x ，乙104012198=++++=x x ∴1=x ……………2分 ， 又 1]10-111011()910()910[(4122222=+-+-+-=）（）甲S25]10-121011()910()810[(4122222=+-+-+-=）（）乙S ………………4分∴22乙甲S S <∴甲组成绩比乙组稳定。

2011年浦东新区高三练习数学试卷（文科）一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数1lg )(-=x x f 的定义域为 . ),1(+∞ 2．若行列式124012x -=，则x = . 23． 若椭圆的焦点在x 轴上，焦距为2，且经过)0,5(，则椭圆的标准方程为 .22154x y += 4． 若集合{}32<-=x x A ，集合60x B x x-⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则=B A {}|05x x << .5．已知一个关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210211，则+=x y . 66． =+∞→12lim 22n n n . 21 7．样本容量为200的频率分布直方图如图所示. 根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为 648． ()51x +展开式中3x 项的系数为 .109． 如果音叉发出的声波可以用函数()0.001sin 420f x t π=描述，那么音叉声波的频率是 . 21010． 某年级共有210名同学参加数学期中考试，随机抽取10名同学成绩如下：则总体标准差的点估计值为 （结果精确到11．若实数x y 、满足22000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则22y x +的最大值为 . 412．已知数列{}n a 是以3为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若10S 是数列{}n S 中的唯一最小项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是 . ()30,27--13．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”。

则原点)0,0(O 与直线05=-+y x 上一点),(y x P 的“折线距离”的14．设12x x 、是方程022=--ax x 的两个实根，若不等式123m x x ->-对任意实数[]1,1a ∈-恒成立，则实数m 的取值范围为 . ()(),06,-∞+∞．AA 1D C BD 1 C 1B 1EFPQ• • ••二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案,选对得5分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位.15．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 （ ）（B ）2个. （D ）4个.16．若复数iia a z -++=1122（，实数0≠a ，i 为虚数单位）（ ） （B ）第二象限.. （D ）第四象限 17．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为6，动点E F 、在棱11A B 上，动点P Q 、分别在棱AB CD 、上，若2EF =,DQ x =，y =，则四面体PEFQ 的体积 （ ） （B ）与x 有关，与y 无关. （D ）与x 无关，与y 有关. 18．已知关于x 的方程20ax bx c ++=，其中a 、b 、c 都是非零向 （ ） （B ）至少有一个解 （D ）可能有无数个解 三、解答题19．（本题满分12分）第一题满分6分，第二题满分6分．设c b a ,,分别是A B C ∆的内角C B A ,,的对边长，向量()1c o s ,3+=A ，()1,sin -=A ，⊥。

浦东新区2014年5月高考练习卷数学（文） 2014.05注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 不等式211x -≤的解集是_________.2. 设集合U R =,{21,}xA y y x R ==-∈则U A ð=_______. 3.三角形的三边之比为3:5:7,则此三角形的最大内角是_______4. 若纯虚数z 满足2(2i)4(1i)z b -=-+（其中i 是虚数单位，b R ∈），则b =____5.已知双曲线2221(0)y x b b-=>的两个焦点分别是1F 、2F ，点P 在双曲线上，且2PF 垂直于x 轴，1230PF F ∠=，则此双曲线的渐近线方程是________6.某产品经过4次革新后，成本由原来的105元下降到60元.如果这种产品每次革新后成本下降的百分率相同，那么每次革新后成本下降的百分率是______（精确到0.1%）7. 双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r=____ 8.已知复数2lg(1)ilg(1)z x x =-+-（其中i 是虚数单位）,若z 在复平面上对应的点位于第三象限,则实数x 的取值范围是_______ 9.已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则1()3f 的值为_______．10.已知i 是虚数单位，集合{|,*}n A z z i n N ==∈，1212{|,}B z z z z A ωω==⋅∈、（12z z ≠)，从集合B 中任取一元素，则该元素为实数的概率为________11. 如图1所示的正方体的棱长为1,沿对角面(图中阴影部分)将其分割成两块,重新拼接成如图2所示的斜四棱柱,则所得的斜四棱柱的表面积是_______12.若实数,x y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为____.13.有20个形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，最少____次肯定能找到这粒最轻的珠子.14.已知椭圆2212x y +=，A 、B 、M 是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点）.若存在锐角θ，使cos sin OM OA OB θθ=⋅+⋅，则直线OA 、OB 的斜率乘积为 _______二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.下列命题中错误的是（ ） A ．正棱锥的所有侧棱长相等； B ．圆柱的母线垂直于底面； C ．直棱柱的侧面都是全等的矩形；D ．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．16．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则满足()(1)f m f <的实数m 的取值范围是( )A.10m -<<B. 01m <<C. 11m -<<D. 11m -≤≤ 17．曲线2sin()cos()44y x x ππ=+-与直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 1P 、2P 、3P 、…，则24P P 等于 ( ) A ． π B ． 2π C ． 3π D ． 4π18.若当(,)P m n 为圆22(1)1x y +-=上任意一点时，等式0m n c ++=恒成立，则c 的取值范围是（ ）A ．11c -≤≤B 11c ≤≤C ．1c ≤D ．1c ≥三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知一个圆柱和一个圆锥等底等高,如图,点O 为底面的圆心，点P 为圆锥的顶点.若圆柱的高等于它的底面直径，（1）求证:圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成的角都相等;（2）求圆柱的全面积和圆锥的全面积的比值.20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.已知函数22cos()sin 2()2cos()6x x f x x ππ-=+，()x R ∈（1）求()f x 的最小正周期及判断函数()f x 的奇偶性；（2）在ABC ∆中，()0f A =，[],2,4AC m m =∈.若对任意实数t 恒有AB t AC BC -≥,求ABC ∆面积的最大值.21．（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分.已知5的展开式的第3项为10， （1）求()y f x =的解析式及定义域；（2）若不等式22()1(()1)f x m f x ->-对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围.22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.已知点(4,)P a （0a >）在抛物线2:2(0)C y px p =>上，P 点到抛物线C 的焦点F 的距离为5.(1)求抛物线C 的标准方程;(2)已知圆22:2E x y x +=，过圆心E 作直线l 与圆E 和抛物线C 自上到下依次交于A B C D 、、、，如果2AB CD BC +=,求直线l 的方程；（3）过点(4,2)Q 的任意一条直线（不过P 点）与抛物线C 交于G H 、两点，直线GH 与直线4y x =+交于点M ,记直线PG PH PM 、、的斜率分别为123k k k 、、，问是否存在实数λ，使得123k k k λ=+，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由。

上海市十二校2015届高三12月联考数学（文）试题学校：上海市朱家角中学学校：三林中学 南汇一中 2014年12月一、填空题 （本大题满分56分，每题4分）1．设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B =U _______.2. 已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =9，246a a a ++=15，则=+43a a .3．在行列式3541113a --中，元素a 的代数余子式值为 ．4．如果函数⎩⎨⎧<>-=)0( )()0( 32　x x f x x y 是奇函数，则=-)2(f ．5．设()f x 的反函数为1()f x -，若函数()f x 的图像过点(1,2)，且1(21)1f x -+=，则x = ．6．一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的表面积为___________．7. 方程cos2x+sinx=1在),0(π上的解集是_______________. 8.已知数列{}n a 满足⎩⎨⎧-=为奇数为偶数n n n a n n212，且1222321)(--+++++=n n a a a a a n f Λ,()*∈N n ,则()()34f f -的值为 .9．函数()x x x f 2cos 222cos 3-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围是 .10．已知2==b a ，a 与b 的夹角为3π，则b a +在a 上的投影为 . 11. 数列{}n a 的通项公式)(2,)1(11,1*∈⎪⎩⎪⎨⎧≥+==N n n n n n a n ，前n 项和为n S ， 则n n S ∞→lim = .12. 在锐角ABC ∆中，角B 所对的边长10=b ，ABC ∆的面积为10，外接圆半径13=R ，则ABC ∆的周长为 . 13．已知函数()23sin()(0)3f x x πωω=+>，若()(3)g x f x =在(0 )3π，上是增函数，则ω的最大值 ．14. 记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+，若对任意*n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为 .二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15. 设,p q 是两个命题，1:0,:|21|1,x p q x p q x+≤+<则是（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）A.2)(x x f = B.xx x f =)(C.xx xx e e e e x f --+-=)( D.x x f =)(17.已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如下方左图，则下方右图的函数图象所对应的函数解析式为（ ）A.)212(-=x f y B.)12(-=x f yC.)12(-=x f y D.)212(-=x f y 18. 关于函数31)212()(x x f x x⋅-=和实数n m 、的下列结论中正确的是（ ）A.若n m <<-3，则)()(n f m f <B.若0<<n m ，则)()(n f m f <C.若)()(n f m f <，则22n m <D.若)()(n f m f <，则33n m <三、简答题 (本大题满分74分)19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分6分.如图，四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为正方形，⊥SA 平面ABCD ， AB=3，SA=4（1）求异面直线SC 与AD 所成角； （2）求点B 到平面SCD 的距离 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知向量)23sin ,23(cosAA m =，)2sin ,2(cosAA n =且3=+n m （1）求角A 的大小； （2）若A CB sin 3sin sin =+，求证ABC ∆是直角三角形。