二次函数专项训练7二次函数与一元二次方程(不等式)

第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）一、选择题1．（2019北京高一期中）不等式x(x +2)<3的解集是（ ）．A ．{x|−1<x <3}B ．{x|−3<x <1}C ．{x|x <−1 ，或x >3}D ．{x|x <−3 ，或x >1}2．（2019全国课时练习）已知集合A ={y|y −2>0},集合B ={x|x 2−2x ≤0},则A ∪B = ( )A ．[0,+∞)B ．(−∞,2]C ．[0,2)∪(2,+∞)D ．R3．（2019全国课时练习）不等式2620x x --+≤的解集是（ ） A.21|32x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ B.21|32x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或 C.1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ D.3|2x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭4．（2019·安徽高一期中）若关于x 的不等式230ax bx ++>的解集为1(1,)2-，其中,a b 为常数，则不等式230x bx a ++<的解集是（ ）A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．1(,1)2-D ．1(1,)2- 5．（2019天津高一课时练习）在R 上定义运算⊗:a ⊗b =ab +2a +b ，则满足x ⊗(x −2)<0的实数x 的取值范围为（ ）A ．(0,2)B ．(−2,1)C ．(−∞,−2)∪(1,+∞)D ．(−1,2)6．（2019全国高一课时练习）一元二次不等式2kx 2+kx ﹣＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是（ ）A.（﹣3，0）B.（﹣3，0]C.[﹣3，0]D.（﹣∞，﹣3）∪[0，+∞）二、填空题7．（2019全国高三课时练习）不等式220x x +-<的解集为___________．8.（2019广州市培正中学高二课时练习）若关于x 的不等式 −12x 2+2x >mx 的解集是{x|0<x <2}，则实数m 的值是_____________．9.（2019天津高一课时练习）如果关于x 的不等式5x 2-a≤0的正整数解是1,2,3,4,那么实数a 的取值范围是____.10．（2019·全国高一课时练习）当()1,3x ∈时，不等式240x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是_____________．三、解答题11．（2019·全国课时练习）若不等式ax 2+5x −2>0的解集是{x |12<x <2}， (1) 求a 的值；(2) 求不等式ax 2−5x +a 2−1>0的解集.12．（2019·广东揭阳三中高二课时练习）已知函数f(x)=x 2−2x −8，g(x)=2x 2−4x −16，（1）求不等式g(x)<0的解集；（2）若对一切x >2，均有f(x)≥(m +2)x −m −15成立，求实数m 的取值范围．2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第2课时）一、选择题1．（2019·吉林长春市实验中学高一期末）已知集合{}20A x x =+>，{}2230B x x x =+-≤，则A B （ ） A ．[)3,2-- B ．[]3,1-- C ．(]2,1- D ．[]2,1--2．（2019·汪清县汪清第六中学高一月考）不等式ax 2−x +c >0的解集为{x |−2<x <1},则函数y =ax 2+x +c 的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2019·北京高一期中）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（ ）A ．2030x ≤≤B ．2045x ≤≤C ．1530x ≤≤D ．1545x ≤≤ 4．（2019·河北高考模拟）已知函数f(x)=(ax −1)(x +b)，如果不等式f(x)>0的解集为(−1,3)，那么不等式f(−2x)<0的解集为（ ）A ．(−∞,−32)∪(12,+∞)B ．(−32,12)C ．(−∞,−12)∪(32,+∞)D ．(−12,32)5．（2019·全国高一课时练习）关于x 的不等式()210xa x a -++<的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][) 2,13,4--⋃ B ．[][]2,13,4--⋃C ．[)(] 2,13,4--⋃D ．()() 2,13,4--⋃6．（2019·阜阳市第三中学高一期末）若一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是（ ）A ．()3,0-B ．](3,0-C ．()(),30,-∞-⋃+∞D ．()),30,⎡-∞-⋃+∞⎣二、填空题7．已知集合2{|12}A x x =≤≤，{|12}B x x =-<<，则A B =________.（写成区间形式） 8．（2019·北京高一期末）已知集合A={-5，-1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A 有且只有一个公共元素，这个不等式可以是______．9．某小型雨衣厂生产某种雨衣,售价P(元/件)与月销售量x(件)之间的关系为P ＝160－2x,生产x 件的成本R ＝500＋30x.若每月获得的利润y 不少于1300元,则该厂的月销售量x 的取值范围为______. 10．（2019·重庆高一期末）若关于x 的不等式23x ax a --≤-有解，则实数a 的取值范围为________.三、解答题11．国家为了加强对烟酒生产的管理，实行征收附加税政策．现在某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征收R 元(叫做税率为R %)，则每年产销量将减少10R 万瓶．要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R 应怎样确定？ 12.（2019·全国高一课时练习）已知关于x 的不等式220x x a a -+-≤．(1)求不等式的解集A ； (2)若12a >，()1,1A ⊆-，求实数a 的取值范围.。

初中数学方程与不等式之一元二次方程专项训练及答案一、选择题1．已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两个实数根，下列结论错误．．的是( ) A ．12x x ≠B ．21120x x -=C ．122x x +=D ．122x x ⋅=【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.【详解】x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x=0的两个实数根，这里a=1，b=-2，c=0，b 2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，所以方程有两个不相等的实数根，即12x x ≠，故A 选项正确，不符合题意； 21120x x -=，故B 选项正确，不符合题意；12221b x x a -+=-=-=，故C 选项正确，不符合题意； 120c x x a⋅==，故D 选项错误，符合题意， 故选D.【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键.2．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程1311y a y y+-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6-B ．4-C ．2-D ．2【答案】C【解析】【分析】由一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程1311y a y y+-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】方程()22240x a x a --+=有实数解， ∴△=4(a −4)2−4a 2⩾0，解得a ⩽2∴满足条件的a 的值为−4，−2，−1，0，1，2 方程1311y a y y+-=-- 解得y=2a +2 ∵y 有整数解∴a=−4，0，2，4，6综上所述，满足条件的a 的值为−4，0，2，符合条件的a 的值的和是−2故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．3．将方程()22230x x x m n --=-=化为的形式，指出,m n 分别是（ ）A ．1和3B ．-1和3C ．1和4D ．-1和4 【答案】C【解析】【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【详解】移项得x 2-2x=3，配方得x 2-2x+1=4，即（x-1）2=4，∴m=1，n=4．故选C ．【点睛】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x 2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax 2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2+px+q=0，然后配方．4．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤-【答案】D【解析】【分析】 由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a 取何值，x ≤﹣3．故选D ．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．5．八年级()1班部分学生去春游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了双人照片36张，则同去春游的人数是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 【答案】A【解析】【分析】设同去春游的人数是x 人，由每人都和同行的其他每一人合照一张双人照且共照了双人照片36张，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设同去春游的人数是x 人， 依题意，得：1(1)362x x -=， 解得：19x =，28x =-（舍去）．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．方程250x x -=的解是（ ）A ．5x =-B ．5x =C ．10x =,25x =-D ．10x =,25x =【答案】D【解析】【分析】提取公因式x 进行计算.【详解】提取公因式x 得：x·(x −5)=0，所以10x =,25x =. 故本题答案选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的计算，掌握提取公因式这一知识点是解题的关键.7．如图，AC ⊥BC ，:3:4AC BC =，D 是AC 上一点，连接BD ，与∠ACB 的平分线交于点E ，连接AE ，若83ADE S ∆=，323BCE S ∆=，则BC ＝（ ）A ．3B ．8C ．3D ．10【答案】B【解析】【分析】 过E 作,,EF BC EG AC ⊥⊥垂足分别为,,F G 由角平分线的性质可得：,EF EG =利用83ADE S ∆=，323BCE S ∆=可以求得,AD BC进而求得,CDE BCD S S ∆∆的面积，利用面积公式列方程求解即可．【详解】解：如图，过E 作,,EF BC EG AC ⊥⊥垂足分别为,.F GCE Q 平分,ACB ∠,EF EG ∴=:3:4AC BC =Q ，设3,4,AC x BC x == Q 83ADE S ∆=，323BCE S ∆=， 18132,,2323AD EG BC EF ∴•=•= 1,,4AD AD x BC ∴=∴= 2,CD AC AD x ∴=-=162,3CDE ADE S S ∆∆∴==163216.33BCD S ∆∴=+= 12416,2x x ∴••= 2,x ∴= （负根舍去）48.BC x ∴==故选B ．【点睛】本题考查的是三角形的平分线的性质，等高的两个三角形的面积与底边之间的关系，一元二次方程的解法，掌握相关知识点是解题关键．8．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）A ．原数与对应新数的差不可能等于零B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为21100m ， 设新数与原数的差为y 则2211100100y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵10100-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，21100m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．故答案选：D ．【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．9．下列方程中，有实数根的是（ ）A 0=B 1+=C 10=D x - 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质逐项分析即可．【详解】A ．∵x 2+2≥2， 0≥≠，故不正确；B ．∵x-2≥0且2-x≥0，∴x=20=，故不正确；C 0≥110≥≠，故不正确；D ．∵x+1≥0，-x≥0，∴-1≤x ≤0．x -，∴x+1=x 2，∴x 2-x-1=0，∵∆=1+4=5＞0，∴x 1=12-，x 2=12+（舍去），x -有实数根，符合题意．故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，无理方程的解法，以及一元二次方程的解法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．10．在解方程（x+2）（x ﹣2）=5时，甲同学说：由于5=1×5，可令x+2=1，x ﹣2=5，得方程的根x 1=﹣1，x 2=7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x 2﹣9=0，再分解因式，即（x+3）（x ﹣3）=0，得方程的根x 1=﹣3，x 2=3．对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是..（ ）A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误【答案】A【解析】（x+2）（x﹣2）=5，x2-4=5，x2-9=0，（x+3）（x-3）=0，x+3=0或x-3=0，x1=-3，x2=3，所以甲错误，乙正确，故选A.11．某商品原售价225元，经过连续两次降价后售价为196元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（）A．2（﹣）＝B．22251196x（﹣）＝1961225xC．2x（﹣）＝1961225（﹣）＝D．22251196x【答案】A【解析】【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=225，把相应数值代入即可求解．【详解】第一次降价后的价格为225×（1﹣x），第二次降价后的价格为225×（1﹣x）×（1﹣x），则225（1﹣x）2=196．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．12．徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元．则平均每次降低成本的百分率是（）A．8.5％B．9％C．9.5％D．10％【答案】D【解析】【分析】设平均每次降低成本的百分率为x的话，经过第一次下降，成本变为100（1-x）元，再经过一次下降后成本变为100（1-x）（1-x）元，根据两次降低后的成本是81元列方程求解即可．【详解】解：设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意得100（1-x）（1-x）=81，解得x=0.1或1.9（不合题意，舍去）即x=10%故选D．13．若关于x的方程2230x x m-+=有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．98m≤B．98m<C．98m>D．98m=【答案】B【解析】【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m 的取值范围．【详解】∵方程有两个不相等的实数根，a=2，b=-3，c=m，∴△=b2-4ac=（-3）2-4×2×m＞0，解得98m<．故选：B．【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．438（1+x）2=389 B．389（1+x）2=438C．389（1+2x）=438 D．438（1+2x）=389【答案】B【解析】【分析】【详解】解：因为每半年发放的资助金额的平均增长率为x，去年上半年发放给每个经济困难学生389元，去年下半年发放给每个经济困难学生389 (1＋x) 元，则今年上半年发放给每个经济困难学生389 (1＋x) (1＋x) ＝389(1＋x)2元．据此，由题设今年上半年发放了438元，列出方程：389（1+x ）2=438．故选B ．15．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+4m =0有两个不相等的实数根x 1，x 2．若11x +21x =4m ，则m 的值是（ ） A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．不存在【答案】A【解析】【分析】先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m 的不等式组，解之得出m 的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=2m m +，x 1x 2=14，结合1211+x x =4m ，即可求出m 的值．【详解】∵关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+4m =0有两个不相等的实数根x 1、x 2， ∴()202404m m m m ≠⎧⎪⎨∆=+-⋅>⎪⎩， 解得：m ＞﹣1且m≠0，∵x 1、x 2是方程mx 2﹣（m+2）x+4m =0的两个实数根， ∴x 1+x 2=2m m +，x 1x 2=14， ∵1211+x x =4m ， ∴214m m +=4m ， ∴m=2或﹣1，∵m ＞﹣1，∴m=2，故选A ．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m 的不等式组；牢记两根之和等于﹣b a、两根之积等于c a． 16．已知24b ac -是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ）A ．18ab ≥ B ．18ab ≤ C ．14ab ≥ D ．14ab ≤ 【答案】B【解析】【分析】设u 的两个一元二次方程，并且这两个方程都有实根，所以由判别式大于或等于0即可得到ab≤18． 【详解】因为方程有实数解，故b 2-4ac≥0．24b ac =-24b ac =-,设 则有2au 2-u+b=0或2au 2+u+b=0，（a≠0），因为以上关于u 的两个一元二次方程有实数解，所以两个方程的判别式都大于或等于0，即得到1-8ab≥0，所以ab≤18． 故选B ．【点睛】 本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的求根公式：（b 2-4ac≥0）.17．关于x 的方程(2-a)x 2+5x-3=0有实数解,则整数a 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】【分析】由于关于x 的方程（2-a ）x 2+5x-3=0有实数根，分情况讨论：①当2-a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；②当2-a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此可以确定整数a 的最大值．【详解】解：∵关于x 的方程(2−a )x 2+5x−3=0有实数根，∴①当2−a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；②当2−a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，∴△=25+12(2−a)≥0，解之得a≤4912， ∴整数a 的最大值是4.故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质与根的判别式.18．若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k ≥B ．0k ≥且2k ≠C ．32k ≥D ．32k ≥且2k ≠ 【答案】D【解析】【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．【详解】（k-2）x 2-2kx+k-6=0，∵关于x 的一元二次方程（k-2）x 2-2kx+k=6有实数根，∴220(2)4(2)(6)0k k k k V -≠⎧⎨=----⎩…， 解得：32k ≥且k≠2． 故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．19．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a ﹣3b+6的值为（ ）A ．9B ．3C ．0D ．﹣3【答案】D【解析】分析：根据关于x 的一元二次方程260ax bx ++=的一个根为2x =-，可以求得2a b -的值，从而可以求得636a b -+的值．详解：∵关于x 的一元二次方程260ax bx ++=的一个根为x =−2，∴()()22260a b ，⨯-+⨯-+= 化简，得2a −b +3=0，∴2a −b =−3，∴6a −3b =−9，∴6a −3b +6=−9+6=−3，故选D.点睛：考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，建立所求式子与已知方程之间的关系.20．某厂四月份生产零件100万个，第二季度共生产零件282万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．100（1+x ）2=282B ．100+100（1+x ）+100（1+x ）2=282C ．100（1+2x ）＝282D ．100+100（1+x ）+100（1+2x ）=282【答案】B【解析】【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么可以用x 分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．【详解】五月份的产量=100（1+x ），六月份的产量=1002(1)x +， 根据题意可得：100+100（1+x ）+1002(1)x +=282.故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为2(1)a x b +=，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．。

二次函数与二元一次方程组、不等式专项练习60题（有答案）1．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c ＞0；（2）方程ax 2+bx+c=0两根之和小于零；（3）y 随x 的增大而增大；（4）一次函数y=x+bc 的图象 一定不过第二象限，其中错误的个数是（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个2．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，图象上有两点分别为A （2.18，﹣0.51）、B （2.68，0.54），则方程ax 2+bx+c=0的一个解只可能是（ ）A ． 2.18B ． 2.68C ． ﹣0.51D ． 2.453．方程x 2+3x ﹣1=0的根可看作是函数y=x+3的图象与函数y=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程 x 3﹣x ﹣1=0的实数根x 0所在的范围是（ ）A ． ﹣1＜x 0＜0B ． 0＜x 0＜1C ． 1＜x 0＜2D ． 2＜x 0＜34．根据二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）得到一些对应值，列表如下：判断一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个解x 1的范围是（ ）A ． 2.1＜x 1＜2.2B ． 2.2＜x 1＜2.3C ． 2.3＜x 1＜2.4D ． 2.4＜x 1＜2.55．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ）A ． 抛物线开口向上B ． 抛物线与y 轴交于负半轴C ． 当x=3时，y ＜0D ．方程ax 2+bx+c=0有两个相等实数根6．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）中，自变量x 与函数y 的对应值如下表： x 2.2 2.3 2.4 2.5y ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 x…﹣2﹣11234…若，则一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根x 1，x 2的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B ．﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C ． 0＜x1＜1，1＜x2＜2D ．﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜47．根据抛物线y=x 2+3x ﹣1与x 轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（ ）A ． x 2﹣1=﹣3xB ． x 2+3x+1=0C ． 3x 2+x ﹣1=0D ． x 2﹣3x+1=08．已知二次函数y=x 2+2x ﹣10，小明利用计算器列出了下表：那么方程x 2+2x ﹣10=0的一个近似根是（ ） A ． ﹣4.1 B ． ﹣4.2 C ． ﹣4.3 D ． ﹣ 4.49．根据关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0，可列表如下：则方程x 2+px+q=0的正数解满足（ ）A ． 解的整数部分是0，十分位是5B ． 解的整数部分是0，十分位是8C ．解的整数部分是1，十分位是1D ． 解的整数部分是1，十分位是210．根据下列表格中的二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的自变量x 与函数y 的对应值，判断ax 2+bx+c=0 的一个解x 的取值范围为（ ）A ． 1.40＜x ＜1.43B ． 1.43＜x ＜1.44C ． 1.44＜x ＜1.45D ． 1.45＜x ＜1.4611．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是x 1=1.3和x 2=（ ）A ． ﹣1.3B ． ﹣2.3C ． ﹣0.3D ． ﹣3.312．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是x 1=1.6，x 2=（ ）A ． ﹣1.6B ． 3.2C ． 4.4D ． 以上都不对y…m ﹣2mm ﹣2… x ﹣4.1 ﹣4.2 ﹣4.3 ﹣4.4 x 2+2x ﹣10 ﹣1.39 ﹣0.76﹣0.11 0.56 x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 x 2+px+q﹣15 ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 x 1.43 1.44 1.45 1.46y=ax 2+bx+c﹣0.095 ﹣0.046 0.003 0.05213．二次函数y=x2﹣6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2﹣6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2=_________．14．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b的值是_________．15．抛物线y=x2﹣4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是_________．16．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为_________．17．抛物线y=x2﹣4x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是_________．18．开口向下的抛物线y=（m2﹣2）x2+2mx+1的对称轴经过点（﹣1，3），则m=_________．19．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=_________．20．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是_________．21．对于二次函数y=x 2+2x ﹣5，当x=1.4时，y=﹣0.24＜0，当x=1.45时，y=0.0025＞0；所以方程x 2+2x ﹣5=0的一个正根的近似值是 _________ ．（精确到0.1）．22．根据下列表格中y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是 _________ ． x 6.17 6.18 6.196.20y=ax 2+bx+c﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.0423．抛物线y=2x 2﹣4x+m 的图象的部分如图所示，则关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x+m=0的解是 _________ ．24．二次函数y=ax 2+bx+c 的部分对应值如下表：①抛物线的顶点坐标为（1，﹣9）； ②与y 轴的交点坐标为（0，﹣8）；③与x 轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0）；④当x=﹣1时，对应的函数值y 为﹣5．以上结论正确的是 _________ ．25．二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x … ﹣1 0 1 2 3 …y … ﹣1 ﹣ ﹣2﹣…根据表格中的信息，完成下列各题 （1）当x=3时，y= _________ ；（2）当x= _________ 时，y 有最 _________ 值为 _________ ； （3）若点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，试比较两函数值的大 小：y 1 _______ y 2（4）若自变量x 的取值范围是0≤x ≤5，则函数值y 的取值范围是 _________ ．26．阅读材料，解答问题．例 用图象法解一元二次不等式：．x 2﹣2x ﹣3＞0解：设y=x 2﹣2x ﹣3，则y 是x 的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x 2﹣2x ﹣3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3．∴由此得抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0． ∴x 2﹣2x ﹣3＞0的解集是：x ＜﹣1或x ＞3．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x 2﹣2x ﹣3＞0的解集是 _________ ；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x 2﹣1＞0．x … ﹣3 ﹣20 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7…27．一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来．28．画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：（1）方程﹣2x2+8x﹣6=0的解是什么；（2）当x取何值时，y＞0；（3）当x取何值时，y＜0．29．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，你能确定关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解？30．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解．（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．如图，把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=_________的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解．（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=_________的图象与一个一次函数y=_________的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．31．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞532．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A ． a bc ＜0B ． a +c ＜bC ． b ＞2aD ． 4a ＞2b ﹣c33．现定义某种运算a ⊕b=a （a ＞b ），若（x+2）⊕x 2=x+2，那么x 的取值范围是（ ）A ． ﹣1＜x ＜2B ． x ＞2或x ＜﹣1C ． x ＞2D ． x＜﹣134．如图，一次函数y 1=kx+n （k ≠0）与二次函数y 2=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象相交于A （﹣1，5）、B （9，2）两点，则关于x 的不等式kx+n ≥ax 2+bx+c 的解集为（ ）A ． ﹣1≤x ≤9B ． ﹣1≤x ＜9C ． ﹣1＜x ≤9D ． x ≤﹣1或x ≥935．如图所示的抛物线是二次函数y=ax 2﹣3x+a 2﹣1的图象，那么下列结论错误的是（ ）36．已知：二次函数y=x 2﹣4x ﹣a ，下列说法中错误的个数是（ ）①若图象与x 轴有交点，则a ≤4；②若该抛物线的顶点在直线y=2x 上，则a 的值为﹣8；③当a=3时，不等式x 2﹣4x+a ＞0的解集是（3，0）；④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点x ，则a=﹣1；⑤若抛物线与x 轴有两个交点，横坐标分别为x1、x 2，则当x 取x 1+x 2时的函数值与x 取0时的函数值相等． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 437．二次函数y=ax 2的图象如图所示，则不等式ax ＞a 的解集是（ ）A ． x ＞1B ． x ＜1C ． x ＞﹣1D ． x ＜﹣138．如图，函数y=x 2﹣2x+m （m 为常数）的图象如图，如果x=a 时，y ＜0；那么x=a ﹣2时，函数值（ ）A ． 当y ＜0时，x ＞0B ． 当﹣3＜x ＜0时，y ＞0C ． 当x ＜时，y 随x 的增大而增大D ．上述抛物线可由抛物线y=﹣x 2平移得到A．y＜0 B．0＜y＜m C．y=m D．y＞m39．已知：二次函数y=x2﹣4x+a，下列说法中错误的个数是（）①当x＜1时，y随x的增大而减小②若图象与x轴有交点，则a≤4③当a=3时，不等式x2﹣4x+a＞0的解集是1＜x＜3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=﹣3．A．1B．2C．3D．440．如图，二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+n的图象相交于A（0，4），B（4，1）两点，下列三个结论：①不等式y1＞y2的解集是0＜x＜4②不等式y1＜y2的解集是x＜0或x＞4③方程ax2+bx+c=kx+n的解是x1=0，x2=4其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个41．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是_________．42. 如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是_________．43．已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）请写出该函数的对称轴，顶点坐标；（2）函数图象与x轴交点坐标为_________，与y轴的交点坐标为_________；（3）当_________时y＞0，_________时y随x的增大而增大；（4）写出不等式x2﹣6x+5＜0的解集．_________44．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于两个点，根据图象回答：（1）b_________0（填“＞”、“＜”、“=”）；（2）当x满足_________时，ax2+bx+c＞0；（3）当x满足_________时，ax2+bx+c的值随x增大而减小．45．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根．x1=_________，x2=_________；（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集．_________；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．_________；（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．_________．46．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当x＞1时，函数y随x的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中，正确的说法有_________．（请写出所有正确说法的序号）47．如图是函数y=x2+bx﹣1的图象，根据图象提供的信息，确定使﹣1≤y≤2的自变量x的取值范围是_________．48．已知抛物线y=x2﹣x﹣6，则不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为_________．49．已知二次函数y=x2﹣2x﹣3的函数值y＜0，则x的取值范围为_________．50．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）不等式ax2+bx+c＞0的解集为_________．（2）若y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围是_________．（3）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围是_________．51．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m 的解集为_________．52．函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示，观察图象，使y≥l成立的x的取值范围是_________．53．已知函数y1=x2与y2=﹣x+3的图象大致如图，若y1≤y2，则自变量x的取值范围是_________．54．已知二次函数y=4x2﹣4x﹣3的图象如图所示，，则函数值y_________0．55．函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是_________．56．已知抛物线y=﹣x2﹣3x﹣（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；（3）画出草图；（4）观察草图，指出x为何值时，y＞0，y=0，y＜0．57．如图是二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象．（1）求该抛物线的顶点坐标、与x轴的交点坐标（2）观察图象直接指出x在什么范围内时，y＞0？58．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）59．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2=mx+n的图象过点A、C．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；（3）根据图象写出y2＜y1时，x的取值范围．60．已知抛物线y1=x2+（m+1）x+m﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且对称轴为x=﹣1．（1）求m的值；（2）画出这条抛物线；（2）若直线y2=kx+b过点B且与抛物线交于点P（﹣2m，﹣3m），根据图象回答：当x取什么值时，y1≥y2．参考答案：1.解：∵当x=2时，y=4a+2b+c，对应的y值即纵坐标为正，即4a+2b+c＞0；故（1）正确；∵由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知：函数图象与x轴有两个不同的交点，即对应方程有两个不相等的实数根；并且正根的绝对值较大，∴方程ax2+bx+c=0两根之和大于零；故（2）错误；∵函数的增减性需要找到其对称轴才知具体情况；不能在整个自变量取值范围内说y随x的增大而增大；故（3）错误；∵由图象可知：c＜0，b＜0，∴bc＞0，∴一次函数y=x+bc的图象一定经过第二象限，故（4）错误；∴错误的个数为3个，故选B．2．解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），∴当x=2.18时，y=﹣0.51；x=2.68时，y=0.54，∴当y=0时，2.18＜x＜2.68，只有选项D符合，故选D．3.解：方程x3﹣x﹣1=0，∴x2﹣1=，∴它的根可视为y=x2﹣1和y=的交点的横坐标，当x=1时，x2﹣1=0，=1，交点在x=1的右边，当x=2时，x2﹣1=3，=，交点在x=2的左边，又∵交点在第一象限．∴1＜x0＜2，故选C．4. ：根据表格可知，ax2+bx+c=0时，对应的x的值在2.3～2.4之间．故选C．5．解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y=a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1=a（﹣1）2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0∴A，抛物线开口向上错误，故：A错误；∵y=﹣2（x﹣1）2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故：B错误；∵x=3时，y=﹣5＜0，故：C正确；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，故：D．方程有两个相等实数根错误；故选：C．6．解：∵，∴﹣1＜m﹣2＜﹣，＜m﹣＜1，∴函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0．由表中数据可知：y=0在y=m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在﹣1与0之间，即﹣1＜x1＜0，y=0在y=m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在2与3之间，即2＜x2＜3．故选：A．7．解：∵抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点的横坐标就是方程x2+3x﹣1=0的根，∴可以求出方程x2+3x﹣1=0的根，方程x2﹣1=﹣3x与方程x2+3x﹣1=0等价，∴可以求出方程x2﹣1=﹣3x的根．故选A．8．解：根据表格得，当﹣4.4＜x＜﹣4.3时，﹣0.11＜y＜0.56，即﹣0.11＜x2+2x﹣10＜0.56，∵0距﹣0.11近一些，∴方程x2+2x﹣10=0的一个近似根是﹣4.3，故选C．9. 解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于1.1而小于1.2．所以解的整数部分是1，十分位是1．故选C．10．解：由表可以看出，当x取1.44与1.45之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.44＜x＜1.45．故选C11．解：方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）∴﹣=﹣1则﹣=﹣2∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根∴x1+x2=﹣又∵x1=1.3∴x1+x2=1.3+x2=﹣2解得x2=﹣3.3．方法二：根据对称轴为；x=﹣1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3，则=﹣1，即=﹣1，解得：x2=﹣3.3，故选D12．解：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4．故选C．13．解：由图可知，对称轴为x=﹣==3，根据二次函数的图象的对称性，=3，解得x2=5．故答案为：514．解：把（0，﹣3）代入抛物线的解析式得：c=﹣3，∴y=x2+bx﹣3，∵使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，∴把x=1代入y=x2+bx﹣3得：y=1+b﹣3＜0把x=3代入y=x2+bx﹣3得：y=9+3b﹣3＞0，∴﹣2＜b＜2，即在﹣2＜b＜2范围内的任何一个数都符合，故答案为：在﹣2＜b＜2范围内的任何一个数．15.解：把点（1，0）代入抛物线y=x2﹣4x+m中，得m=3，所以，原方程为y=x2﹣4x+3，令y=0，解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．故答案为：（3，0）．16．解：依题意得二次函数y=﹣x2+2x+m的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1﹣（3﹣1）=﹣1，∴交点坐标为（﹣1，0）∴当x=﹣1或x=3时，函数值y=0，即﹣x2+2x+m=0，∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为x1=﹣1或x2=3．故填空答案：x1=﹣1或x2=3．17. 解：把点（1，0）代入抛物线y=x2﹣4x+中，得m=6，所以，原方程为y=x2﹣4x+3，令y=0，解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3 ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）18.解：由于抛物线y=（m2﹣2）x2+2mx+1的对称轴经过点（﹣1，3），∴对称轴为直线x=﹣1，x==﹣1，解得m1=﹣1，m2=2．由于抛物线的开口向下，所以当m=2时，m2﹣2=2＞0，不合题意，应舍去，∴m=﹣1．19．解：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣1，﹣3.2），则对称轴为x=﹣1；所以=﹣1，又因为x1=1.3，所以x2=﹣2﹣x1=﹣2﹣1.3=﹣3.3．20. 解：依题意得二次函数y=ax2+bx+c的部分图象的对称轴为x=3，而对称轴左侧图象与x轴交点与原点的距离，约为1.6，∴x1=1.6；又∵对称轴为x=3，则=3，∴x2=2×3﹣1.6=4.4．21. 解：∵二次函数y=x2+2x﹣5中a=1＞0，∴抛物线开口方向向上，∵对称轴x=﹣=﹣1，∴x＞﹣1时y随x的增大而增大，∵当x=1.4时，y=﹣0.24＜0，当x=1.45时，y=0.0025＞0，∴方程x2+2x﹣5=0的一个正根：1.4＜x＜1.45，∴近似值是1.4．答案1.4．22．解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故答案为：6.18＜x＜6.19．23．解：观察图象可知，抛物线y=2x2﹣4x+m与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），∴一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解为x1=﹣1，x2=3．故本题答案为：x1=﹣1，x2=3．24．解：根据上表可画出函数的图象，由图象可得，①抛物线的顶点坐标为（1，﹣9）；②与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；③与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）；④当x=﹣1时，对应的函数值y为﹣5．故答案为：①②④．25．解：（1）由表得，解得，∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣，当x=3时，y==﹣1；（2）将y=x2﹣x﹣配方得，y=（x﹣1）2﹣2，∵a=＞0，∴函数有最小值，当x=1时，最小值为﹣2；（3）令y=0，则x=±2+1，抛物线与x轴的两个交点坐标为（2+1，0）（﹣2+1，0）∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴x1到1的距离大于x2到1的距离，∴y1＞y2（4）∵抛物线的顶点为（1，﹣2），∴当x=5时，y最大，即y=2；当x=1时，y最小，即y=﹣2，∴函数值y的取值范围是﹣2≤y≤2；故答案为﹣1；1、小、﹣2；＞；﹣2≤y≤2．26．解：（1）x＜﹣1或x＞3；（2）设y=x2﹣1，则y是x的二次函数，∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=1．∴由此得抛物线y=x2﹣1的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞1时，y＞0．∴x2﹣1＞0的解集是：x＜﹣1或x＞1．27．解：一元二次方程x2+7x+9=1的根是二次函数y=x2+7x+9图象中y=1时，所对应的x的值；当y=1时，x2+7x+9=1，∴作出二次函数y=x2+7x+9的图象如图，由图中可以看出，当y=1时，x≈﹣5.6或﹣1.4，∴一元二次方程x2+7x+9=1的根为x1≈﹣5.6，x2≈﹣1.4．28．解：函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象如图．由图象可知：（1）方程﹣2x2+8x﹣6=0的解x1=1，x2=3．（2）当1＜x＜3时，y＞0．（3）当x＜1或x＞3时，y＜0．29．解：根据图象可知，二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），所以该点适合方程y=﹣x2+2x+m，代入，得﹣32+2×3+m=0解得，m=3 ①把①代入一元二次方程﹣x2+2x+m=0，得﹣x2+2x+3=0，②解②，得x1=3，x2=﹣130．解：（1）由原方程，得：=0，即=；解得x1=，x2=．（2）设二次函数方程为y=ax2+bx+c（a，b，c均为实数，且a≠0）．由图象得知，该函数过点（0，﹣1），所以该点满足方程y=ax2+bx+c，∴把（0，﹣1）代入方程y=ax2+bx+c，得c=﹣1，①二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2﹣x﹣1=0的解；∴x1•x2==﹣1，即c=﹣a；②x1+x2==1；③由①②③，得：；∴二次函数方程为y=x2﹣x﹣1．（3）31．解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．利用图象可知：ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，∴x＜﹣1或x＞5．故选：D．32．解：A、∵图象开口向下，∴a＜0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴在y轴左侧，﹣＜0，∴b＜0，∴abc＞0，故本选项错误；B、∵当x=﹣1时，对应的函数值y＞0，即a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，故本选项错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞﹣1，又a＜0，∴b＞2a，故本选项正确；D、∵当x=﹣2时，对应的函数值y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a＜2b﹣c，故本选项错误．故选C．33. 解：由定义运算得：x+2＞x2，即解不等式x2﹣x﹣2＜0，设y=x2﹣x﹣2，函数图象开口向上，图象与x轴交点是（﹣1，0），（2，0），由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，即x的取值范围﹣1＜x＜2．故选A．34．解：由图形可以看出：抛物线y2=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y1=kx+n（k≠0）的交点的横坐标分别为﹣1，9，当y1≥y2时，x的取值范围正好在两交点之内，即﹣1≤x≤9．故选A．35．解：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），所以a2﹣1=0，解得a=±1，∵图象开口向下，a＜0，∴a=﹣1．∴y=﹣x2﹣3x，∴二次函数与图象的交点为：（﹣3，0），（0，0），∴当y＜0时，x＜﹣3或x＞0，故A选项错误；当﹣3＜x＜0时，y＞0，故B选项正确；当x＜时，y随x的增大而增大故C选项正确；上述抛物线可由抛物线y=﹣x2平移得到，故D选项正确；故选：A．36．解：①∵图象与x轴有交点，则△=16﹣4×1×（﹣a）≥0，解得a≥﹣4；故本选项错误；②∵二次函数y=x2﹣4x﹣a的顶点坐标为（2，﹣a﹣4），代入y=2x得，﹣a﹣4=2×2，a=﹣8，故本选项正确；③表达错误，解集不能表示为（3，0），故本选项错误；④表达错误，点不能用x表示，故本选项错误；⑤由根与系数的关系，x1+x2=4，当x=4时，y=16﹣16﹣a=﹣a，当x=0时，y=﹣a，故本选项正确．故选C．37．解：由图象可知a＜0，∴不等式ax＞a的解集为x＜1．故选B．38．解：x=a代入函数y=x2﹣2x+m中得：y=a2﹣2a+m=a（a﹣2）+m，∵x=a时，y＜0，∴a（a﹣2）+m＜0，由图象可知：m＞0，∴a（a﹣2）＜0，又∵x=a时，y＜0，∴a＞0则a﹣2＜0，由图象可知：x=0时，y=m，又∵x＜1时y随x的增大而减小，∴x=a﹣2时，y＞m．故选：D．39.解：二次函数为y=x2﹣4x+a，对称轴为x=2，图象开口向上．则：A、当x＜1时，y随x的增大而减小，故说法正确；B、若图象与x轴有交点，即△=16﹣4a≥0，则a≤4，故说法正确；C、当a=3时，不等式x2﹣4x+3＜0的解集是x＜0或x＞3，故说法错误；D、原式可化为y=（x﹣2）2﹣4+a，将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=（x+1）2﹣3+a，函数过点（1，﹣2），代入解析式得到：a=﹣3．故说法正确．故选A．40．①通过图象可知，在点A和B之间y1的图象在y2的上面，也就是y1＞y2，且解集是0＜x＜4，此选项正确；②通过图象可知，在点A的左边和在B的右边，y1的图象在y2的下面，也就是y1＜y2，且解集是x＜0或x＞4，此选项正确；③两函数图象的交点就是y1=y2的解，且解是x1=0，x2=4，此选项正确．故选D．41．解：∵二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．∴图象与x轴交在（﹣1，0），（3，0），∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．42．解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）而对称轴x=1∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）当y=ax2+bx+c＞0时，图象在x轴上方此时x＜﹣1或x＞3故填空答案：x＜﹣1或x＞3．43.解：（1）根据二次函数的性质可知对称轴为x=﹣=﹣=3顶点坐标为x=﹣=3，y===﹣4，故对称轴为x=3，顶点坐标为（3，﹣4）；（2）令y=0，即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5故函数图象与x轴交点为（1，0），（5，0）∴c=0，故图象与y轴交点为（0，5）；（3）由图象可知当x＜1或x＞5时，y＞0当x＞3时，y随x的增大而增大（4）由图象可知，x2﹣6x+5＜0的解集为1＜x＜5．44．解：（1）根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，a＞0，∵对称轴经过x轴的负半轴，即可得出a，b同号，∴b＞0，故答案为：b＞0；（2）根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（2，0）、（﹣4，0），而ax2+bx+c＞0，即y＞0，∴x＜﹣4或x＞2；故答案为：x＜﹣4或x＞2；（3）根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（2，0）、（﹣4，0），∴抛物线的对称轴为x=﹣1，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．故答案为：x＜﹣1．45．解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为（1，0），（3，0）∴方程ax2+bx+c=0的两个根x1=1，x2=3；（2）由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：1＜x＜3时，二次函数y=ax2+bx+c的值大于0∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3；（3）由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=2∴y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为x＞2；（4）由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，2），当直线y=k，在（0，2）的下边时，一定与抛物线有两个不同的交点，因而当k＜2时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．46．解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴①错误；由图象可知：﹣=1，∴2a+b=0，∴②正确；当x=1时，y=a+b+c＞0，∴③错误；由图象可知：当x＞1时，函数y随x的增大而减小，∴④错误；根据图象，当﹣1＜x＜3时，y＞0，∴⑤正确；正确的说法有②⑤．47．解：∵y=x2+bx﹣1经过（3，2）点，∴b=﹣2，∵﹣1≤y≤2，∴﹣1≤x2﹣2x﹣1≤2，解得2≤x≤3或﹣1≤x≤0．48. 解：∵x2﹣x﹣6=0∴x1=﹣2，x2=3∴抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（3，0）而抛物线y=x2﹣x﹣6开口向上当y＜0时，图象在x轴的下方，此时﹣2＜x＜3故填空答案：﹣2＜x＜3．49. 解：当y=0时，即x2﹣2x﹣3=0，∴x1=﹣1，x2=3，∴图象与x轴的交点是（﹣1，0），（3，0），当y＜0时，图象在x轴的下方，此时﹣1＜x＜3．故填空答案：﹣1＜x＜3．50．解：（1）依题意因为ax2+bx+c＞0，得出x的取值范围为：1＜x＜3；（2）如图可知，当y随x的增大而减小，自变量x的取值范围为：x＞2；（3）由顶点（2，2）设方程为a（x﹣2）2+2=0，∵二次函数与x轴的2个交点为（1，0），（3，0），∴a=﹣2，∴抛物线方程为y=﹣2（x﹣2）2+2，y=﹣2（x﹣2）2+2﹣k实际上是原曲线下移k个单位，由图形知，当k＜2时，曲线与x轴有两个交点．故k＜2．故答案为：（1）1＜x＜3；（2）x＞2；（3）k＜2．51．解：∵直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），∴根据图象可知，不等式x2+bx+c＞x+m 的解集为x＜1或x＞3；故答案为：x＜1或x＞3．52．解：直线y=1上方的函数图象所对应的自变量的取值为x≤﹣1或x≥3，故答案为x≤﹣1或x≥3．53.解：根据图象知，当y1≤y2时，自变量x的取值范围是﹣2≤x≤．故答案为﹣2≤x≤．54．解：由图可知，﹣＜x＜时，函数图象在x轴的下方，所以y＜0．故答案为：＜．55．解：当y=1时，x2﹣2x﹣2=1，解得（x+1）（x﹣3）=0，x1=﹣1，x2=3．由图可知，x≤﹣1或x≥3时y≥1．故答案为x≤﹣1或x≥3．56．解：（1）∵y=﹣x2﹣3x﹣=﹣（x2+6x+5）=﹣（x2+6x+9﹣4）=﹣（x+3）2+2，∴开口向下，对称轴为x=﹣3，顶点坐标为（﹣3，2）；（2）∵令x=0，得：y=﹣，∴抛物线与y轴的交点坐标为：（0，﹣）；令y=0，得到﹣x2﹣3x﹣=0，解得：x=﹣1或x=﹣5，故抛物线与x轴的交点坐标为：（﹣1，0）和（﹣5，0）；（3）草图为：（4）根据草图知：当x=﹣1或x=﹣5时，y=0，当﹣5＜x＜﹣1时y＞0，当x＜﹣5或x＞﹣1时y＜0．57．解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=（x+1）（x﹣3），∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x=1，与x轴交点为（﹣1，0），（3，0）；（2）由图象可知，当x＞3或x＜﹣1时，y＞0．58．解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：0=1+m，，∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，所以y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；（2）由（1）知，该抛物线的解析式为：y=x2﹣3x+2，∴y=（x﹣）2﹣，∴抛物线的对称轴是：x=；顶点坐标是（，﹣）；（3）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3．59．解：（1）由二次函数的图象经过B（1，0）、C （0，﹣3）两点，得，解这个方程组，得，∴抛物线的解析式为；（2）令y1=0，得x2+2x﹣3=0，解这个方程，得x1=﹣3，x2=1，∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）；（3）当x＜﹣3或x＞0，y2＜y1．60．解：（1）由题意，有，解得m=1．（2）∵m=1，∴y1=x2+2x﹣3，∴y1=（x+1）2﹣4，列表为：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y=x2+2x﹣3 …0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …描点并连线为：（3）∵m=1∴P（﹣2，﹣3），∴可以画出直线的图象．∴由图象得x≤﹣2或x≥1时，y1≥y2．。

二次函数与一元二次方程一、选择题1．如图2－128所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则一次函数y=ax －b 的图象不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，若a 与c 异号，则其图象与x 轴的交点个数为 ( )A ．2个B ．1个C ．0个D ．不能确定 3．根据下列表格的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2＋bx ＋c－0.06－0.020.030.09判断方程 ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的取值范围是 ( )A ．3＜x ＜3.23B ．3．23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25＜x ＜3.26 4．函数cbx axy ++=2的图象如图l －2－30，那么关于x 的方程a x 2+b+c-3=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等实数根D ．无实数根5．二次函数cbx ax y ++=2的图象如图l －2－31所示，则下列结论成立的是（ ）A ．a ＞0，bc ＞0，△＜0 B.a ＜0，bc ＞0，△＜0 C ．a ＞0，bc ＜0，△＜0 D.a ＜0，bc ＜0，△＞06．函数cbx ax y ++=2的图象如图 l －2－32所示，则下列结论错误的是（ ）A ．a ＞0B ．b 2－4ac ＞0C 、20ax bx c ++=的两根之和为负D 、20ax bx c ++=的两根之积为正7.不论m 为何实数，抛物线y=x 2－mx ＋m －2（ ） A ．在x 轴上方 B ．与x 轴只有一个交点 C ．与x 轴有两个交点 D ．在x 轴下方 二、填空题8．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图象如图 2－129所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为 ．9．若抛物线y=kx 2－2x ＋l 与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 ． 10．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴只有一个交 点，则这个交点的坐标是 .11．已知函数y=kx 2－7x —7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 12．直线y=3x —3与抛物线y=x 2 －x+1的交点的个数是 . 三、解答题13.已知二次函数y=-x 2+4x-3,其图象与y 轴交于点B,与x 轴交于A, C 两点. 求△ABC 的周长和面积.14..在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A 点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处B 点的坐标为B(6,5).(1)求这个二次函数的表达式;(2)该男生把铅球推出去多远?(精确到0.01米).B(6,5)A(0,2)14121086420246xCy15.如图,已知抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴的两个交点分别为A(x 1,0),B(x 2,0) , 且x 1+x 2=4,1213x x .(1)求抛物线的代数表达式; (2)设抛物线与y 轴交于C 点,求直线BC 的表达式; (3)求△ABC 的面积.16．如果一个二次函数的图象经过点A(6，10)，与x 轴交于B ，C 两点，点B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，且x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝5，求这个二次函数的解析式．17．已知关于x 的方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋2＝0有两个不相等的实数根，试判断直线y ＝(2m －3)x －4m ＋7能否经过点A(－2，4)，并说明理由．18．二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图2－130所示，根据图象解 答下列问题．(1)写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根； (2)写出不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集；(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；BxOCy A(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．19．如图2－131所示，已知抛物线P：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F，G分别在线段BC，AC上，抛物线P上的部分点的横坐标对应的纵坐标如下.x …－3 －2 1 2 …y …－52－4 －520 …(1)求A，B，C三点的坐标；(2)若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式，并指出m的取值范围；(3)当矩形DEFG的面积S最大时，连接DF并延长至点M，使FM＝k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围；(4)若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积．参考答案1．B[提示：a ＞0，－2ba＜0，∴b ＞0．] 2．A 3．C 4.C 5.D 6.D 7.C8．x 1＝－l ，x 2＝3[提示：由图象可知，抛物线的对称轴为x=l ，与x 轴的交点是(3，0)，根据对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－l ，0)，所以一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝3．故填x 1＝－l ，x 2＝3．]9．k ＜1，且k ≠0[提示：若抛物线与x 轴有两个交点，则(－2)2－4k ＞0．] 10．(－2ba，0) 11.略 12.113.令x=0,得y=-3,故B 点坐标为(0,-3). 解方程-x 2+4x-3=0,得x 1=1,x 2=3. 故A 、C 两点的坐标为(1,0),(3,0).所以AC=3-1=2,AB=221310+=,BC=223332+=, OB=│-3│=3. C △ABC =AB+BC+AC=21032++. S △ABC =12AC ·OB=12×2×3=3.14.(1)设y=a(x-6)2+5,则由A(0,2),得2=a(0-6)2+5,得a=112-. 故y=112-(x-6)2+5. (2)由 112-(x-6)2+5=0,得x 1=26215,6215x +=-.结合图象可知:C 点坐标为(6215+ 故OC=6215+13.75(米)即该男生把铅球推出约13.75米15..(1)解方程组1212413x xxx+=⎧⎪⎨=⎪⎩, 得x1=1,x2=3故2210330b cb c⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩,解这个方程组,得b=4,c=-3.所以,该抛物线的代数表达式为y=-x2+4x-3.(2)设直线BC的表达式为y=kx+m.由(1)得,当x=0时,y=-3,故C点坐标为(0,-3).所以330mk m=-⎧⎨+=⎩, 解得13km=⎧⎨=-⎩∴直线BC的代数表达式为y=x-3 (3)由于AB=3-1=2,OC=│-3│=3.故S△ABC =12AB·OC=12×2×3=3.16．解：设函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将A(6，10)代入，得10＝36a＋6b＋c①，当y＝0时，ax2＋bx＋c=0，又x1＋x2＝－ba=6②，x1x2＝ca＝5③，由①②③解得a=2，b＝－12，c＝10．所以解析式为y＝2x2－12x＋10．17．解：该直线不经过点A．理由如下：∵方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋2＝0有两个不相等的实数根，∴△=(2m＋1)2－4(m2＋2)=4m－7＞0，∴2m－72＞0，∴2m－3＞0．又由4m－7＞0，得－4m＋7＜0，∴直线y=(2m－3)x－4m＋7经过第一、三、四象限，而A(－2，4)在第二象限，∴该直线不经过点A.18．解：(1)由二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可知，抛物线与x轴交于(1，0)，B(3，0)两点，即x＝1或x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集，即是求y＞0的解集，由图象可知l＜x ＜3．(3)因为a＜0，故在对称轴的右侧y随x的增大而减小，即当x＞2时，y随x的增大而减小．(4)由图可知，22,242,43,baac baca⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,8,6.abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩代入方程得－2x2＋8x－6－k＝O．又因为方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，即82－4×(－2)×(－6－k)＞0，解得k＜2．19．解法l：(1)任取x，y的三组值代入y=ax2＋bx＋c(a≠0)，求出解析式为y＝12x2＋x－4．令y＝0，得x1＝－4，x2＝2；令x＝0，得y=－4，∴A，B，C三点的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)．解法2：(1)由抛物线P过点(1，－52)，(－3，－52)可知，抛物线P的对称轴为x＝－1．又∵抛物线P过(2，0)，(－2，－4)，则由抛物线的对称性可知，点A，B，C的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)． (2)由题意，知AD DG AO OC=，而AO=2，OC=4，AD=2－m，故DG=4－2m．又BE EFBO OC=，EF=DG，得BE=4－2m，∴DE＝3m，∴S矩形DEFG ＝DG·DE＝(4－2m)·3m=12m－6m2(0＜m＜2)． (3)∵S矩形DEFG=12m－6m2(0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，－2)，F(－2，－2)，E(－2，0)．设直线DF的解析式为y＝kx＋b，易知k＝23，b＝－23.∴y=23x－23.又抛物线P的解析式为y＝12x2＋x－4．令23x－23=12x2＋x－4，解得x161-±.如图2－132所示，设射线DF与抛物线P相交于点N，则N161--．过N作x轴的垂线交x轴于H，得1612561339FN HEDF DE-----+===.∵点M不在抛物线P上，即点M不与N重合，此时k的取值范围是k561-+且k＞0． (4)由(3)知S矩形DEFG＝6．。

22.2 二次函数与一元二次方程01 基础题知识点1 二次函数与一元二次方程1．(柳州中考)小兰画了一个函数y ＝x 2＋ax ＋b 的图象如图，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解是(D )A ．无解B ．x ＝1C ．x ＝－4D ．x ＝－1或x ＝42．(青岛中考)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是m ＞9． 3．二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象如图，若一元二次方程ax 2＋bx ＋m ＝0有实数根，则m 的取值范围为m ≤3．4．(1)已知一元二次方程x 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根，即x 1＝1，x 2＝－2.求二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标；(2)若二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴有一个交点，求a 的值．解：(1)∵一元二次方程x 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根，即x 1＝1，x 2＝－2， ∴二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标为(1，0)，(－2，0)． (2)∵二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴有一个交点， 令y ＝0，则－x 2＋x ＋a ＝0有两个相等的实数根， ∴1＋4a ＝0，解得a ＝－14.知识点2利用二次函数求一元二次方程的近似解5．(兰州中考)下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是(C)A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3知识点3二次函数与不等式6．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是(C)A．x＜－1B．x＞2C．－1＜x＜2D．x＜－1或x＞27．画出二次函数y＝x2－2x的图象．利用图象回答：(1)方程x2－2x＝0的解是什么？(2)x取什么值时，函数值大于0；(3)x取什么值时，函数值小于0.解：列表：描点并连线：(1)方程x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝2.(2)当x<0或x>2时，函数值大于0.(3)当0<x<2时，函数值小于0.易错点1漏掉函数是一次函数的情况8．(吕梁市文水县期中)若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a 的值为－1或2或1.易错点2忽视坐标轴包含x轴和y轴9．抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是(C)A．0 B．1C．2 D．310．已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为y＝x2－6x＋9或y＝x2＋6x＋9或y＝x2＋9．02中档题11．(牡丹江中考)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(C)A．x＜2 B．x＞－3C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞112．(大同市期中)二次函数y＝(x－2)2＋m的图象如图所示，一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B(4，3)，则满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围是(A) A．1≤x≤4 B．x≤1C．x≥4 D．x≤1或x≥413．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为(－1，0)，(2，0)，(0，2)，则当y＞2时，自变量x 的取值范围是(B )A ．0＜x ＜12B ．0＜x ＜1 C.12＜x ＜1 D ．－1＜x ＜214．(济南中考)二次函数y ＝x 2＋bx 的图象如图，对称轴为直线x ＝1.若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －t ＝0(t 为实数)在－1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是(C )A ．t ≥－1B ．－1≤t ＜3C ．－1≤t ＜8D ．3＜t ＜815．(阳泉市平定县月考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．(杭州中考)把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t (秒)时该足球距离地面的高度h (米)适用公式h ＝20t －5t 2(0≤t ≤4)．(1)当t ＝3时，求足球距离地面的高度； (2)当足球距离地面的高度为10米时，求t ；(3)若存在实数t 1，t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m (米)，求m 的取值范围．解：(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝20×3－5×9＝15， ∴此时足球距离地面的高度为15米． (2)当h ＝10时，20t －5t 2＝10，即t 2－4t ＋2＝0，解得t ＝2＋2或t ＝2－ 2.答：经过2＋2或2－2秒时，足球距离地面的高度为10米． (3)由题意得t 1和t 2是方程20t －5t 2＝m (m ≥0)的两个不相等的实数根，则 Δ＝202－20m >0.解得m <20. ∴m 的取值范围是0≤m <20. 03 综合题17．有这样一个问题：探究函数y ＝12x 2＋1x 的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y ＝12x 2＋1x 的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)下表是y 与x 的几组对应值．函数y ＝12x 2＋1x 的自变量x 的取值范围是x ≠0，m 的值为296；(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象；(3)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有1个交点，所以对应方程12x 2＋1x ＝0有1个实数根；②方程12x 2＋1x＝2有3个实数根；③结合函数的图象，写出该函数的一条性质．解：(2)函数图象如图所示．(3)③答案不唯一，如：函数没有最大值或函数没有最小值，函数图象不经过第四象限．。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【题组一 解无参数的一元二次不等式】 解下列不等式：（1）2340x x −−>； （2）2 120x x −−≤； （3）2340x x +−>； （4）2 1680x x −+≤．（5）12−x 2＋3x －5＞0 （6）－2x 2＋3x －2＜0；（7）－2＜x 2－3x ≤10．【题组二 解有参数的一元二次不等式】1．（2020·安徽金安.六安一中高一期中（理））设函数2()(1)1f x mx m x =−++． （1）若对任意的x ∈R ，均有()0f x m +≥成立，求实数m 的取值范围； （2）若0m >，解关于x 的不等式()0f x <．2．（2020·宁夏兴庆.银川一中高一期末）解关于x 的不等式：()2220ax x ax a −≥−<.3．（2019·四川仁寿一中高一月考）设m R ∈，解关于x 的不等式22230m x mx +−<．4．（2020·上海高三专题练习）解关于x 的不等式：()()2220mx m x m R +−−>∈.5．（2020·上海高一课时练习）解关于x 的不等式：()2230x a a x a −++>．6（2020·浙江高一课时练习）解关于x 的不等式：10ax x a−>−．7．（2020·上海高一课时练习）解下列含参数的不等式： （1）2220x ax a −−<；（2）()2110ax a x −++≤；（3）230x mx m −−≤．【题组三 三个一元二次的关系】1．（2020·全国高一开学考试）关于x 的不等式230x ax +−<，解集为3,1−（），则不等式230ax x +−<的解集为（ ）A ．1,2（）B ．1,2−（）C ．1(,1)2−D ．()3,12−2．（2020·全国高一课时练习）若方程()2250x m x m ++++=只有正根，则m 的取值范围是（ ）A ．4m ≤−或4m ≥B ．54m −<≤−C ．54m −≤≤−D ．52m −<<−3．（2020·全国高一课时练习）已知一元二次不等式20x px q ++<的解集为11|23x x ⎧⎫−<<⎨⎬⎩⎭，求不等式210qx px ++>的解集 .4．（2020·上海高一开学考试）关于x 的方程()2210mx m x m +++=有两个不等的实根，则m的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎤−+∞⎢⎥⎣⎦D ．()1,00,4⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭5．（2019·山东济宁.高一月考）已知0a <，关于x 的一元二次不等式()2220ax a x −++>的解集为（ ） A ．{2|x x a<，或}1x > B ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{|1x x <，或2x a ⎫>⎬⎭D ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭6．（2020·哈尔滨德强学校高一期末）关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x −<<. （1）求,a b 的值；（2）求关于x 的不等式220bx ax −−>的解集．7．（2020·荆州市北门中学高一期末）已知关于x 的不等式2260,(0)kx x k k −+<≠ （1）若不等式的解集是{}|32x x x <−>−或，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围； （3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．8．（2020·全国高一课时练习）已知关于x 的一元二次方程()222110x k x k −−+−=有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围；（2）若该方程的两根分别为12,x x ，且满足12122x x x x +=，求k 的值.9（2020·浙江高一课时练习）已知关于x 的不等式2260(0)kx x k k −+<≠． （1）若不等式的解集是{|3x x <−或2}x >−，求k 的值．（2）若不等式的解集是1xx k ⎧⎫≠−⎨⎬⎩⎭∣，求k 的值． （3）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围． （4）若不等式的解集是∅，求k 的取值范围．【题组四 一元二次恒成立问题】1．（2020·全国高一课时练习）当()1,3x ∈时，不等式240x mx −+>恒成立，则实数m 的取值范围是_____________．2．（2020·全国高一课时练习）对任意x ∈R ，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值总为非负，则m 的取值范围为________.3．（2020·江西高一期末）对任意实数x ，不等式()22130x k x k ++++>恒成立，则k 的取值范围是______．4．（2020·安徽金安.六安一中高一期中（文））若不等式23208kx kx +−<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为__________________.5．（2019·天津河西 高二期中）已知函数()f x =22,x ax a R ++∈.（1）若不等式()0f x ≤的解集为[]1,2，求不等式()21f x x ≥−的解集；（2）若对于任意的[]1,1x ∈−，不等式()()214f x a x ≤−+恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知2()(2)1g x ax a x =+++，若方程()()f x g x =在1,32⎛⎤⎥⎝⎦有解，求实数a 的取值范围.6．（2020·浙江宁波.高一期末）已知集合(){}(][)22310,15,x R x k x k ∈−+−+≥=−∞−⋃+∞．（Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅱ）已知(),2t ∈−∞，若不等式()22234150x k x k m m −+−−++≥在4t x ≤≤上恒成立，求实数m 的取值范围．【题组五 实际运用题】1．（2019·全国高一课时练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =−，生产x 件所需成本为C （元），其中()50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量x 的取值范围是（ ）. A ．{}2030,N x x x +≤≤∈ B ．{}2045,N x x x +≤≤∈ C ．{}1530,N x x x +≤≤∈ D ．{}1545,N x x x +≤≤∈2．（2019·辽宁沙河口 辽师大附中高三月考（文））某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为( ) A ．12元 B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间3．（2020·沙坪坝.重庆八中高一期中）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为：27002900vy v v =++（0v >）.（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范用内？4．（2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（01x <<），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？。

二次函数与一元二次方程及不等式综合专题训练1、（1）抛物线2x x 2y －－=与x 轴有 个交点； （2）抛物线2x 41x 1y －－=与x 轴有 个交点； （3）抛物线222+-=x x y 与x 轴有 个交点。

2、下列函数图象与x 轴有两个交点的是（ ）A ．y =7(x +8)2+2 B ．y =7(x -8)2+2 C ．y = -7(x -8)2-2 D ．y = -7(x +8)2+2 3、（1）抛物线532+-=x x y －与直线2y =有 个交点； （2）抛物线642+-=x x y 与直线2y =有 个交点； （3）抛物线232+-=x x y －与直线2y =有 个交点； （4）抛物线243y x x =++与直线x=-9有 个交点； 4、抛物线231y x x =-+与直线y k =有1个交点，则_____k =. 5、已知二次函数y =－12 x 2 － x + 32。

在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象，并根据图 象直接作答： （1）方程 - 12 x 2 - x + 32 =0的解为x= ；（2）当y ＜ 0时，x 的取值范围是 ； （3）当x 满足条件： 时，y 随x 的增大而减小； （4）当x= 时，y 的最小值为 ； （5）以图象与坐标轴交点为顶点的三角形面积是 ；（6）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位所对应的函数关系式是 ． (7)当x 取何值时，y ＞0，y ＝0，y ＜0； (8)当y 取何值时，－4＜x ＜0；6、如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A （－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点. （1）求出二次函数的解析式； （2）根据图象回答下列问题：①当x 取何值时，两函数的函数值都随x 增大而增大； ②当x 取何值时，一次函数值等于二次函数值； ③当x 取何值时，一次函数值大于二次函数值； ④当x 取何值时，两函数的函数值的积小于0．1－1 －3 3xyO A BCxyO7、已知抛物线y=x 2-8x+c,(1)、若抛物线的顶点在x 轴上,则c= ；(2)、若抛物线与x 轴有两个交点,则c 的范围是 ； (3)、若抛物线与坐标轴有两个公共点,则c 的范围是 。

专项练习二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合练习1．二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象如图3－ZT －1所示，那么关于x 的一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝m 有实数根的条件是( ) 图3－ZT －1A 、m ≥－2B 、m ≥5C 、m ≥0D 、m ＞42．如图3－ZT －2是二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的两个根分别是x1＝1.6，x2＝( )图3－ZT －2A 、－1.6B 、3.2C 、4.4D 、以上都不对3．2019·杭州四名同学在研究函数y ＝x2＋bx ＋c(b ，c 是常数)时，甲发现当x ＝1时，函数有最小值；乙发现－1是方程x2＋bx ＋c ＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x ＝2时，y ＝4，这四名同学中只有一名同学发现的结论是错误的，那么该同学是( )A 、甲B 、乙C 、丙D 、丁4．直线y ＝3x －3与抛物线y ＝x2－x ＋1的交点的个数是( )A 、0B 、1C 、2D 、不能确定5．抛物线y1＝ax2＋bx ＋c 与直线y2＝mx ＋n 如图3－ZT －3所示，以下判断：①abc ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③5a －c ＝0；④当x ＜12或x ＞6时，y1＞y2.其中正确的个数是( )图3－ZT －3A 、1B 、2C 、3D 、46．2019·绵阳将二次函数y ＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y ＝2x ＋b 的图象有公共点，那么实数b 的取值范围是( )A 、b ＞8B 、b ＞－8C 、b ≥8D 、b ≥－87．二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 和正比例函数y ＝23x 的图象如图3－ZT －4所示，那么方程ax2＋(b －23)x ＋c ＝0的两根之和( )图3－ZT －4A 、大于0B 、等于0C 、小于0D 、不能确定8．如图3－ZT －5是抛物线y1＝ax2＋bx ＋c 的一部分，抛物线的顶点是A(1，3)，与x 轴的一个交点为B(4，0)，直线y2＝mx ＋n(m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，以下结论：①2a ＋b ＝0；②abc>0；③方程ax2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y2<y1.其中正确的选项是( )图3－ZT －5A 、①②③B 、①③④C 、①③⑤D 、②④⑤9．二次函数y ＝(x －h)2＋1(h 为常数), 在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，那么h 的值为( )A 、1或－5B 、－1或5C 、1或－3D 、1或310．2019·孝感如图3－ZT －6，抛物线y ＝ax2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，那么方程ax2＝bx ＋c 的解是________．图3－ZT －611．二次函数y ＝kx2＋(2k －1)x －1的图象与x 轴交点的横坐标为x1，x2(x1＜x2)，那么对于以下结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②方程kx2＋(2k －1)x －1＝0有两个不相等的实数根x1，x2；③x2－x1＝1＋4k2k.其中正确的选项是__________(只填序号)．12．如图3－ZT－7，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象分别与x轴、y轴相交于点A(－3，0)，B(0，－3)，二次函数y＝x2＋mx ＋n的图象经过点A.(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式；(2)假设二次函数y＝x2＋mx＋n的图象的顶点在直线AB上，求m，n 的值；(3)当－3≤x≤0时，二次函数y＝x2＋mx＋n的最小值为－4，求m，n 的值．图3－ZT－713．请阅读以下解题过程，并回答以下问题．解一元二次不等式：x2－5x＞0.解：设x2－5x＝0，解得x1＝0，x2＝5，那么抛物线y＝x2－5x与x轴的交点坐标为(0，0)和(5，0)．画出二次函数y＝x2－5x的大致图象(如图3－ZT－8所示)，由图象可知：当x＜0或x＞5时，函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2－5x＞0，所以一元二次不等式x2－5x＞0的解集为x＜0或x＞5.通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答以下问题：(1)上述解题过程中，渗透了以下数学思想中的________和_______ _．(只填序号)①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．(2)一元二次不等式x2－5x＜0的解集为____________．(3)用类似的方法解一元二次不等式：x2－2x－3＞0.图3－ZT－814．小明在复习数学知识时，针对〝求一元二次方程的解〞整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程x2－x－1＝0的解．(1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分解法)．(2)解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．如图3－ZT －9(a)，把方程x2－x －1＝0的解看成是二次函数y ＝________的图象与x 轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解．(3)解法三：利用两个函数图象的交点求解．①把方程x2－x －1＝0的解看成是二次函数y ＝________的图象与一次函数y ＝________的图象交点的横坐标；②在图(b)中，画出这两个函数的图象，用x1，x2在x 轴上标出方程的解．图3－ZT －9教师详解详析1．[解析] A 求方程ax2＋bx ＋c ＝m 有实数根的条件就是求二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与常数函数y ＝m 的图象什么时候有交点，由二次函数的图象可知，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 有最小值－2，因此，当m ≥－2时，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与常数函数y ＝m 的图象有交点．2．[解析] C 由图可知，抛物线的对称轴为直线x ＝3，∴抛物线与x 轴的两个交点关于直线x ＝3对称．而关于x 的一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的两个根分别是x1，x2， ∴两根满足x1＋x2＝2×3.∵x1＝1.6，∴x2＝4.4. 3．[解析] B 假设甲和丙的结论正确，那么⎩⎨⎧－b 2＝1，4c －b24＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝4， ∴函数的表达式为y ＝x2－2x ＋4.当x ＝－1时，y ＝x2－2x ＋4＝7，∴乙的结论不正确；当x ＝2时，y ＝x2－2x ＋4＝4，∴丁的结论正确．∵四名同学中只有一名同学发现的结论是错误的，∴假设成立．应选B.4．[解析] B 由3x －3＝x2－x ＋1，得x2－4x ＋4＝0，即(x －2)2＝0，x1＝x2＝2.故直线y ＝3x －3与抛物线y ＝x2－x ＋1的交点只有一个．5．[解析] C 由图知抛物线开口向上，∴a ＞0.对称轴为直线x ＝－b 2a ＝3，∴b ＜0.∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＜0，∴①正确；∵抛物线的对称轴是直线x ＝3，且与x 轴交于点(5，0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(1，0)，∴当x ＝1时，y1＝a ＋b ＋c ＝0，∴②错误；由①知－b 2a ＝3，∴b ＝－6a ，由②知当x ＝1时，y1＝a ＋b ＋c ＝0，∴a －6a ＋c ＝0，即－5a ＋c ＝0，5a －c ＝0，∴③正确；观察图象可知抛物线与直线交点的横坐标分别是12与6，∴当x<12或x>6时，y1>y2，∴④正确．应选C.6．[解析] D 二次函数y ＝x2的图象向下平移1个单位，再向右平移3个单位后，得到y ＝(x －3)2－1的图象，再结合与一次函数y ＝2x ＋b 的图象有公共点，建立关于x 的一元二次方程，利用一元二次方程有解的条件Δ≥0，可求出b 的取值范围．7．[解析] A 设ax2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x1，x2.∵由二次函数的图象可知x1＋x2＞0，a ＞0，∴－b a ＞0. 设方程ax2＋(b －23)x ＋c ＝0(a ≠0)的两根为m ，n ，那么m ＋n ＝－b －23a ＝－b a ＋23a .∵a ＞0，∴23a ＞0，∴m ＋n ＞0.应选A.8．[答案] C9．[解析] B 根据题意知，最小值肯定不是x ＝h 时y 的值，∴对称轴x ＝h 中的h 不在1≤x ≤3的范围内．∵当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，∴①假设h ＜1，那么当x ＝1时，y 取得最小值5，可得(1－h)2＋1＝5，解得h ＝－1或h ＝3(舍去)；②假设h>3，那么当x ＝3时，y 取得最小值5，可得(3－h)2＋1＝5，解得h ＝5或h ＝1(舍去)．综上所述，h 的值为－1或5.应选B.10．[答案] x1＝－2，x2＝1[解析] ∵抛物线y ＝ax2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax2，y ＝bx ＋c 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－2，y1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x2＝1，y2＝1， 即方程ax2＝bx ＋c 的解是x1＝－2，x2＝1.11．[答案] ①②[解析] ①当x ＝－2时，y ＝4k －2×(2k －1)－1＝4k －4k ＋2－1＝1，故本结论正确；②∵抛物线与x 轴交点的横坐标为x1，x2(x1＜x2)，∴方程kx2＋(2k －1)x －1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，故本结论正确；③∵二次函数y ＝kx2＋(2k －1)x －1的图象与x 轴交点的横坐标为x1，x2(x1＜x2)， ∴x1＋x2＝1－2k k ，x1·x2＝－1k ， ∴x2－x1＝()x1＋x22－4x1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k k 2＋4×1k ＝1＋4k2k2＝1＋4k2||k ， 故本结论错误．故答案为①②. 12．解：(1)由题意可得y ＝kx －3，把点A 的坐标代入y ＝kx －3，得－3k －3＝0，解得k ＝－1.∴一次函数的表达式为y ＝－x －3.(2)∵y ＝x2＋mx ＋n 的图象经过点A(－3，0)， ∴9－3m ＋n ＝0，n ＝3m －9，∴y ＝x2＋mx ＋3m －9，其顶点坐标为(－m 2，－m2＋12m －364)． ∵该抛物线的顶点在直线AB 上，∴－(－m 2)－3＝－m2＋12m －364， 化简，得m2－10m ＋24＝0，解得m1＝4，m2＝6.当m ＝4时，n ＝3m －9＝3；当m ＝6时，n ＝3m －9＝9. 综上可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝9. (3)抛物线y ＝x2＋mx ＋3m －9的对称轴是直线x ＝－m 2.①假设－m 2<－3，即m>6，那么当x ＝－3时，y 最小值＝9－3m ＋3m－9＝0≠－4(不符合题意，舍去)．②假设－3≤－m 2≤0，即0≤m ≤6，那么当x ＝－m 2时，y 最小值＝－m2＋12m －364＝－4，得m2－12m ＋20＝0，解得m1＝2，m2＝10(不符合题意，舍去)．③假设－m 2>0，即m<0，那么当x ＝0时，y 最小值＝3m －9＝－4，∴m ＝53>0(不符合题意，舍去)．综上所述，m ＝2符合题意，此时n ＝－3.13．[解析] (1)根据题意容易得出结论．(2)由图象可知：当0＜x ＜5时函数图象位于x 轴下方，此时y ＜0，即x2－5x ＜0，即可得出结果．(3)设x2－2x －3＝0，解方程得出抛物线y ＝x2－2x －3与x 轴的交点坐标，画出二次函数y ＝x2－2x －3的大致图象，由图象可知：当x ＜－1或x ＞3时，函数图象位于x 轴上方，此时y ＞0，即x2－2x －3＞0.解：(1)① ③(2)由图象可知：当0＜x ＜5时，函数图象位于x 轴下方，此时y ＜0，即x2－5x ＜0，∴一元二次不等式x2－5x ＜0的解集为0＜x ＜5.故答案为0＜x ＜5.(3)设x2－2x －3＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴抛物线y ＝x2－2x －3与x 轴的交点坐标为(3，0)和(－1，0)． 画出二次函数y ＝x2－2x －3的大致图象(如下图)，由图象可知：当x ＜－1或x ＞3时，函数图象位于x 轴上方，此时y ＞0，即x2－2x －3＞0，∴一元二次不等式x2－2x －3＞0的解集为x ＜－1或x ＞3.14．解：(1)由原方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＝54， 解得x1＝－5＋12，x2＝5＋12. (2)x2－x －1(3)(答案不唯一)①x2 x ＋1 ②如图．。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题单选题1、实数a,b 满足a >b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．a +b <ab B ．a 2>b 2C ．a 3>b 3D ．√a 2+b 2<a +b 答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可. A ，若a =1,b =0，则a +b >ab ，故A 错误； B ，若a =1,b =−2，则a 2<b 2，故B 错误；C ，若a >b ，则a 3−b 3=(a −b )(a 2+ab +b 2)=(a −b )[(a +b 2)2+3b 24]>0，所以a 3>b 3，故C 正确；D ，若a =1,b =−2，则√a 2+b 2>a +b ，故D 错误. 故选：C2、若a,b,c ∈R ，则下列命题为假命题的是（ ） A ．若√a >√b ，则a >b B ．若a >b ，则ac >bc C ．若b >a >0，则1a >1b D ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：B分析：根据不等式的性质逐一分析各选项即可得答案. 解：对A ：因为√a >√b ，所以a >b ≥0，故选项A 正确；对B ：因为a >b ，c ∈R ，所以当c >0时，ac >bc ；当c =0时，ac =bc ；当c <0时，ac <bc ，故选项B 错误；对C ：因为b >a >0，所以由不等式的性质可得1a>1b >0，故选项C 正确；对D ：因为ac 2>bc 2，所以c 2>0，所以a >b ，故选项D 正确. 故选：B.3、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（ ）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3 答案：C分析：利用基本不等式即可求解. 解：∵x >53， ∴3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9， 当且仅当3x −5=2时，等号成立， 故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．4、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（ ） A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8) 答案：B分析：由不等式的性质求解即可.，故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8 故选：B5、已知a,b >0，a +4b =ab ，则a +b 的最小值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．4 答案：B分析：由题可得4a +1b =1，根据a +b =(a +b )(4a +1b )展开利用基本不等式可求.∵a,b >0，a +4b =ab ，∴4a +1b =1， ∴a +b =(a +b )(4a +1b )=4b a +a b +5≥2√4b a ⋅ab +5=9，当且仅当4ba =ab 时等号成立，故a +b 的最小值为9. 故选：B.23,21<<-<<-a b6、已知两个正实数x ，y 满足x +y =2，则1x+9y+1的最小值是（ ）A ．163B ．112C ．8D ．3 答案：A分析：根据题中条件，得到1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]，展开后根据基本不等式，即可得出结果. 因为正实数x,y 满足x +y =2，则1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]=13(10+y+1x+9x y+1)≥13(10+2√y+1x⋅9x y+1)=163，当且仅当y+1x=9xy+1，即x =34,y =54时，等号成立.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7、关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m 的值为（ ） A ．−1B ．−4C ．−4或1D ．−1或4 答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案. ∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根， ∴Δ=[2(m −1)]2−4×1×(m 2−m )=−4m +4⩾0， 解得：m ⩽1，∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β， ∴α+β=−2(m −1)，α⋅β=m 2−m ，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m −1)]2−2(m 2−m )=12，即m 2−3m −4=0，解得：m =−1或m =4(舍去). 故选：A.8、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2 答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立. 故选：C. 多选题9、下面所给关于x 的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ） A ．3x +4<0B ．x 2+mx -1>0 C ．ax 2+4x -7>0D ．x 2<0 答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A 是一元一次不等式，故错误；选项B ，D ，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a =0时，选项C 是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误. 故选：BD.10、已知a >0，b >0，且a 2+b 2=2，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ab ≥1B ．a +b ≤2 C ．lga +lgb ≤0D ．1a +1b ≤2 答案：BC分析：对于AD ，举例判断，对于BC ，利用基本不等式判断 解：对于A ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则ab =√22×√62=√32<1，所以A 错误，对于B ，因为(a +b)2=a 2+b 2+2ab =2+2ab ≤2+a 2+b 2=4，所以a +b ≤2，当且仅当a =b =1时取等号，所以B 正确，对于C ，因为lga +lgb =lgab ≤lg a 2+b 22=lg1=0，当且仅当a =b =1时取等号，所以C 正确，对于D ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则1a +1b =√2+√63≈1.414+0.8165>2，所以D 错误，故选：BC11、已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．a 2+b 2≥12B ．2a−b >12C ．log 2a +log 2b ≥−2D ．√a +√b ≤√2 答案：ABD分析：根据a +b =1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 对于A ，a 2+b 2=a 2+(1−a )2=2a 2−2a +1=2(a −12)2+12≥12， 当且仅当a =b =12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a −b =2a −1>−1，所以2a−b >2−1=12，故B 正确；对于C ，log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2(a+b 2)2=log 214=−2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为(√a +√b)2=1+2√ab ≤1+a +b =2，所以√a +√b ≤√2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD小提示：本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12、下列选项中正确的是（ ） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立B ．存在实数a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b 为正实数，则ba +ab ≥2D ．若正实数x ，y 满足，则2x +1y ≥821x y +=答案：BCD分析：根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案. 解：对于A选项，当a<0,b<0时不成立，故错误；对于B选项，当a<0时，a+1a =−[(−a)+(−1a)]≤2，当且仅当a=−1等号成立，故正确；对于C选项，若a，b为正实数，则ba >0,ab>0，所以ba+ab≥2√ba⋅ab=2，当且仅当a=b时等号成立，故正确；对于D选项，由基本不等式“1”的用法得2x +1y=(2x+1y)(x+2y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8，当且仅当x=2y时等号成立，故正确.故选：BCD13、已知函数f(x)=x2−2(a−1)x+a，若对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围可以是（）A．(−∞,0]B．[0,3]C．[−1,2]D．[3,+∞)答案：AD解析：对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，分析即f(x)在区间[−1,2]上单调，利用二次函数的单调区间判断.二次函数f(x)=x2−2(a−1)x+a图象的对称轴为直线x=a−1，∵任意x1,x2∈[−1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[−1,2]上是单调函数，∴a−1≤−1或a−1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(−∞,0]∪[3,+∞).故选：AD小提示：（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．（2）二次函数的单调性要看开口方向、对称轴与区间的关系．填空题14、已知三个不等式：①ab>0，②ca >db，③bc>ad，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题． 答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可. 由不等式性质，得{ab >0c a >d b ⇒{ab >0bc−ad ab>0⇒bc >ad ；{ab >0bc >ad ⇒c a >d b ；{ca>d bbc >ad⇒{bc−adab>0bc >ad⇒ab >0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.15、命题p:∀x ∈R ，x 2+ax +a ≥0，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为___________. 答案：[0,4]分析：根据二次函数的性质判别式解题即可.∀x ∈R ，要使得x 2+ax +a ≥0，则Δ=a 2−4a ≤0，解得0≤a ≤4. 若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为[0,4]. 所以答案是：[0,4]. 16、a >b >c ，n ∈N ∗，且1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，则n 的最大值为__．答案：4分析：将不等式变形分离出n ，不等式恒成立即n 大于等于右边的最小值；由于a −c =a −b +b −c ，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值． 解：由于1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，且a >c即恒成立 只要的最小值即可∵a −c a −b +a −c b −c =a −b +b −c a −b +a −b +b −cb −c=2+b −c a −b +a −bb −c∵a >b >ca c a cn a b b c --≤+--a c a cn a b b c --≤+--∴a −b >0，b −c >0，故(a−c a−b +a−cb−c )≥4，因此n ≤4 所以答案是：4． 解答题17、（1）已知x >1，求4x +1+1x−1的最小值；（2）已知0<x <1，求x (4−3x )的最大值． 答案：（1）9；（2）43．分析：（1）由于x −1>0，则4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5，然后利用基本不等式求解即可， （2）由于0<x <1，变形得x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )，然后利用基本不等式求解即可. （1）因为x >1，所以x −1>0，所以4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5≥2√4(x −1)⋅1x−1+5=9， 当且仅当4(x −1)=1x−1，即x =32时取等号，所以4x +1+1x−1的最小值为9．（2）因为0<x <1，所以x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )≤13(3x+4−3x 2)2=43，当且仅当3x =4−3x ，即x =23时取等号，故x (4−3x )的最大值为43．18、在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2acosB =2c −b ． （1）求角A 的值；（2）若b =5，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5，求△ABC 的周长； （3）若2bsinB +2csinC =bc +√3a ，求△ABC 面积的最大值． 答案：（1）A =π3;（2）20;（3）3√34. 解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得，可求得角A 的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出a,c ，即可求得周长；1cos 2A（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值； （1）∵2acosB =2c −b ⇒2sinA ⋅cosB =2sinC −sinB ,∴2sinA ⋅cosB =2⋅sin(A +B)−sinB =2(sinA ⋅cosB +cosA ⋅sinB)−sinB , ∴,∵0<A <π,∴A =π3;（2）∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =c ⋅5⋅cos π3−52=52c −25=−5⇒c =8，在△ABC 中利用余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2b ⋅c ⋅cosA =52+82−2⋅5⋅8⋅12=49， ∴a =7，∴ΔABC 的周长为：5+8+7=20； （3）∵bsinB =csinC =asinA =√32=2√3a3，∴sinB =√32ba，sinC =√32ca， ∴2b ⋅√32⋅b a+2c ⋅√32⋅ca=bc +√3a ，∴√3(b 2+c 2−a 2)=abc ⇒√3⋅cosA =a2⇒√3⋅12=a2⇒a =√3， ∴√3(b 2+c 2−3)=√3bc ⇒b 2+c 2=3+bc ， ∴3+bc ⩾2bc ⇒bc ⩽3，等号成立当且仅当， △ABC 面积的最大值为(12bcsinA)max=3√34. 小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.1cos 2A =b c =。