第五章Microsoft PowerPoint 演示文稿

5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一、力矩 力: 改变质点的运动状态,质点获得加速度。 力矩： 改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度。 1. 力 F 对z 轴的力矩 (力F 在垂直于轴的平面内)
z
r
A
M z ( F ) Fr sin Fh Fτ r
h θ
F Fn
F
J mi ri 2
J r dm
2
i
确定转动惯量的三个要素: (1) 总质量； (2) 质量分布； (3) 转轴的位置。
1. J 与刚体的总质量有关
例如, 等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转 动惯量。
z M O
L 2
L dx
L 2
x
J 0 x dx 0
M 1 2 x dx ML L 3
第5章 刚体力学基础动量矩
第5章 刚体力学基础动量矩
5.1 刚体和刚体的基本运动 5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
5.4 动量矩和动量矩守恒定律
5.1 刚体和刚体的基本运动
一、刚体的概念 在力的作用下, 物体的大小和形状都保持不 变，称为刚体。 刚体是特殊的质点系, 是理想化物理模型。 二、刚体的平动和定轴转动 1. 刚体的平动 刚体运动时,在刚体内所作的任一条直线都 始终保持和自身平行。
例2 求质量为m、半径为R、厚为h 的均匀圆盘 的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
解: 取半径为r宽为dr 的薄圆环: 圆环质量:
R
h
dm 2πrdr h
圆环转动惯量:
.
r
dJ r dm 2πhr dr
2 3
圆盘转动惯量:
h
R
J dJ
R 0
.
3
r
J r dm
2 0
m
R dr r
m

R
0
2m 3 m 2 r dr R 2 R 2
O
3. J 与转轴的位置有关
z
J 0
L
1 2 2 x dx ML 3
M O dx
L x
z
1 2 J L / 2x dx ML 12
L/2 2
M
O dx
L x
4. 平行轴定理
z'
1 2 圆盘密度: J mR 2 1 2 转动惯量与 h无关. 实心圆 J mR 柱对其轴的转动惯量也是 2
1 4 2πhr dr πR h 2
m 2 πR h
例3 求质量为m、半径为R 的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。 解： J R dm
v rM 2 an rM
O
刚体
rM M θ
dv a rM dt
刚体作定轴转动时, 角速度与角加速度的方向
角速度ω 的方向由右手定则确定。 规定： 逆时针转动,θ > 0, ω沿转轴向上,ω > 0 。 顺时针转动,θ < 0, ω沿转轴向下,ω < 0 。
角加速度α的方向用正负表示。 设ω1 ,ω2 同向，Δω= ω2 -ω1 。
k
k
2 J m r 令 z k k ，称为刚体对z轴的转动惯量。
则
J z M z
或
d Jz Mz dt
M z J z
刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量 与角加速度的乘积等于作用在刚体上所有外 力对该轴力矩的代数和。
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力 矩成正比,与刚体的转动惯量成反比。 — 刚体绕定轴转动微分方程，或转动定律。
所以
任意时刻的角速度 1 2 1 π 2 π 2 3 ct t t rad s 2 2 75 150 d π 2 3 t rad s 由角速度的定义： d t 150 t π π 2 3 3 rad s t 得到： d t d t 150 150 0 0
0 t
0 t 1 2 0 0 t t 2 2 2 0 2 ( 0 )
匀变速转动
4. 绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度
任意点都绕同一轴作圆周运动, 且 ， 都相同。 z ω,
v
角量与线量关系
d ct 由定义, 得 dt
d ctdt

两边积分 由题意
d c td t
0 0
t
1 2 ct 2
在 t 300s时
18000r min1
18000 2π -1 600πrad s 60 2 2 600π π 3 c 2 rad s 2 t 300 75
（1）边缘上一点M在2s末时的速度的大小
v r 0.50 6.00 3.00m s
1
（2）M点2s末时的切向加速度和法向加速度
at r 0.50 3.00 1.50 m s
an r 0.5 (6.00) 18.0 m s
2 2
2
讨论 (1) 转动定律与牛顿第二定律比较：
M J 、 F ma M F , J m, a
两个定律在形式上对应, 都是反映瞬时效 应的。 d dv M J J F ma m dt dt (2) m反映质点的平动惯性，J 则反映刚 体的转动惯性。
三、转动惯量 刚体质量不连续分布 刚体质量连续分布
力不在垂直于轴的平面内
z
r
F// F
A
M z ( F ) F r sin F h Fτ r
2.力对点的力矩
h θ
F
Fn
F
MO r F
M O rF sin
Mo
O .
大小
F
方向由右手螺旋法则确定。
r
θ
力对定轴力矩的矢量形式
转子300s内转过的圈数： π 3 4 300 3 10 圈 N 2π 2π 450
例3 设发动机飞轮的角速度在12s内由1200r/min 均匀地增加到3000r/min，试求：（1）飞轮的角 加速度α；（2）在这段时间内发动机飞轮转过 的圈数。
解 （1）转速3000r/min和1200r/min相应的角速 度分别为
ω2 ω1
Δω > 0 α> 0
ω1 ω2
Δω< 0 α< 0
加速转动
减速转动
例1一飞轮的半径为 0.2m, 转速为150转／分 , 经30s均匀减速后停止。 求: (1)角加速度和飞轮转的圈数。 (2) t = 6s时的角速度;飞轮边缘上一点的线 速度、切向加速度和法向加速度。
2π 150 1 解： 5π rad s （ 1） 0 60 - 0 0 5 π π 1 rad s t 30 6
飞轮在30s内转过的角度为：
- 75π rad 2
2 2 0
飞轮在30s内转过的圈数为：
75π N 37.5 圈 2π 2π

(2) t = 6 s 时的角速度：
0 t 4π rad/s
飞轮边缘上一点 线速度：
v r 2.5m/s
2
（3）半径中点为 r r / 2 0.25m
v r 0.25 6.00 1.50m s
1
2 at r 0.25 3.00 0.75 m s
2 2 2 an r 0.25 (6.00) 9.0m s
z M L C
J z' J z ML
2
J z' 刚体绕任意轴的转动惯量；
J z 刚体绕通过质心的轴的转动惯量；
L
两轴间垂直距离。
5. J 的计算
（1）按定义计算
例1求长为L质量为m 的均匀细棒对图 中不同轴的转动惯量。
解: 取如图坐标，dm = dx
A
dm B
x
L
J A x dx mL / 3
刚体的平面运动
刚体的平动可归结为质点运动。 刚体的一般运动可看作：
特点: 各点运动状态一样，如： v、a 都相同。
随质心的平动 + 绕质心的转动的合成。
转动：分定轴转动和非定轴转动.
2. 刚体的定轴转动 刚体内各点都绕同一直线 (转轴)作圆周运动,而刚体转动 时, 转轴固定不动。 描述刚体绕定轴转动的角量 角坐标 (t ) 角位移 d 角速度 dt 2 d d 角加速度 2 dt dt P
2 2 0
L
JC
A
L 2 L 2
x dx mL / 12
2 2
C L/2 dm L/2
B
x
1 1 2 1 2 L 2 J C＋m mL mL mL J A 4 3 2 12
2
(2) 用平行轴定理、迭加法
M
J = J 大– J 小 J = J 大+ J 小 (3) 实验法
z
F//
M Z r F
方向由右螺旋法则确定。
F
r
A
F
二、刚体绕定轴转动微分方程 作用在 mk上的外力 Fk ，内力 f k dvk mk Fk f k dt 在圆规迹切线方向
z

o
mk
vk
mk ak mk rk Fk f k
2
切向加速度：a r 0.105m s
2 2
法向加速度：an v / r r 31.6m s
2