【精选】新课标高考数学二轮复习第三部分题型指导考前提分题型练5大题专项三统计与概率问题理

第2讲 数列■真题调研——————————————【例1】 [2019·全国卷Ⅱ]已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．解：(1)由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8, 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2.又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.【例2】 [2019·某某卷]定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”． (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M －数列”；(2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足：b 1＝1，1S n ＝2b n －2b n ＋1，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数．若存在“M－数列”{}(n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k ＋1成立，求m 的最大值．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q 4＝a 1q 4，a 1q 2－4a 1q ＋4a 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.因此数列{a n }为“M－数列”． (2)①因为1S n ＝2b n －2b n ＋1，所以b n ≠0.由b 1＝1，S 1＝b 1，得11＝21－2b 2，则b 2＝2.由1S n ＝2b n －2b n ＋1，得S n ＝b n b n ＋12(b n ＋1－b n )， 当n ≥2时，由b n ＝S n －S n －1， 得b n ＝b n b n ＋12(b n ＋1－b n )－b n －1b n2(b n －b n －1)，整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 因此，数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ∈N *)． ②由①知，b k ＝k ，k ∈N *. 因为数列{}为“M－数列”， 设公比为q ，所以c 1＝1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k ＋1，所以q k －1≤k ≤q k，其中k ＝1,2,3，…，m .当k ＝1时，有q ≥1；当k ＝2,3，…，m 时，有ln k k ≤ln q ≤ln kk －1.设f (x )＝ln x x (x >1)，则f ′(x )＝1－ln xx2. 令f ′(x )＝0，得x ＝e.列表如下：因为2＝6<6＝3，所以f (k )max ＝f (3)＝ln33.取q ＝33，当k ＝1,2,3,4,5时，ln k k≤ln q ，即k ≤q k ，经检验知q k －1≤k 也成立．因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6，分别取k ＝3,6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在．因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5.【例3】 [2019·某某卷]设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．已知a 1＝4，b 1＝6，b 2＝2a 2－2，b 3＝2a 3＋4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{}满足c 1＝1，＝⎩⎪⎨⎪⎧1，2k<n <2k ＋1，b k ，n ＝2k，其中k ∈N *.①求数列的通项公式； ②求．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .依题意得⎩⎪⎨⎪⎧6q ＝6＋2d ，6q 2＝12＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2，故a n ＝4＋(n －1)×3＝3n ＋1，b n ＝6×2n －1＝3×2n.所以，{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋1，{b n }的通项公式为b n ＝3×2n.(2)①＝(3×2n ＋1)(3×2n －1)＝9×4n－1.所以，数列{}的通项公式为＝9×4n－1.②＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n×4＋2n (2n－1)2×3＋i ＝1n (9×4i －1) ＝(3×22n －1＋5×2n －1)＋9×4(1－4n)1－4－n＝27×22n －1＋5×2n －1－n －12(n ∈N *)．【例4】 [2019·某某卷]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝4，a 4＝S 3.数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记＝a n 2b n，n ∈N *，证明：c 1＋c 2＋…＋<2n ，n ∈N *. 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得a 1＋2d ＝4，a 1＋3d ＝3a 1＋3d ，解得a 1＝0，d ＝2. 从而a n ＝2n －2，n ∈N *. 所以S n ＝n 2－n ，n ∈N *.由S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列得 (S n ＋1＋b n )2＝(S n ＋b n )(S n ＋2＋b n )． 解得b n ＝1d(S 2n ＋1－S n S n ＋2)．所以b n ＝n 2＋n ，n ∈N *. (2)＝a n2b n ＝2n －22n (n ＋1)＝n －1n (n ＋1)，n ∈N *.我们用数学归纳法证明．(1)当n ＝1时，c 1＝0<2，不等式成立； (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即c 1＋c 2＋…＋c k <2k ，那么，当n ＝k ＋1时，c 1＋c 2＋…＋c k ＋c k ＋1<2k ＋k(k ＋1)(k ＋2)<2k ＋1k ＋1<2k ＋2k ＋1＋k＝2k ＋2(k ＋1－k )＝2k ＋1，即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)，不等式c 1＋c 2＋…＋<2n 对任意n ∈N *成立． ■模拟演练——————————————1．[2019·某某二模]已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且存在实数λ满足2a n ＋1＝λa n ＋4，n ∈N *.(1)求λ的值及数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a 2n －n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d ≠0， 由2a n ＋1＝λa n ＋4(n ∈N *)，① 得2a n ＝λa n －1＋4(n ∈N *，n ≥2)，②两式相减得，2d ＝λd ，又d ≠0，所以λ＝2. 将λ＝2代入①可得a n ＋1－a n ＝2，即d ＝2， 又a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)由(1)可得a 2n －n ＝2(2n －n )－1＝2n ＋1－(2n ＋1)，所以S n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－[3＋5＋…＋(2n ＋1)]＝4(1－2n)1－2－n (3＋2n ＋1)2＝2n ＋2－n2－2n －4.2．[2019·某某综合测试二]已知{a n }是递增的等比数列，a 2＋a 3＝4，a 1a 4＝3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)解法一：设等比数列{a n }的公比为q .因为a 2＋a 3＝4，a 1a 4＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 2＝4，a 1·a 1q 3＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝13，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，q ＝3.因为{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝13，q ＝3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2.解法二：设等比数列{a n }的公比为q . 因为a 2＋a 3＝4，a 1a 4＝a 2a 3＝3，所以a 2，a 3是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 3＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 3＝1.因为{a n }是递增的等比数列，所以a 2＝1，a 3＝3，则q ＝3， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2.(2)由(1)知b n ＝n ×3n －2，则S n ＝1×3－1＋2×30＋3×31＋…＋n ×3n －2， ①在①式两边同时乘以3得， 3S n ＝1×30＋2×31＋3×32＋…＋n ×3n －1， ②①－②得－2S n ＝3－1＋30＋31＋…＋3n －2－n ×3n －1，即－2S n ＝13(1－3n )1－3－n ×3n －1，所以S n ＝14(2n －1)×3n －1＋112.3．[2019·某某质检]数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －n . (1)求证数列{a n ＋1}是等比数列，并求a n ；(2)若数列{b n }为等差数列，且b 3＝a 2，b 7＝a 3，求数列{a n b n }的前n 项和． 解：(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，所以a 1＝1. 因为S n ＝2a n －n ， ①所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－(n －1)， ② ①－②得a n ＝2a n －2a n －1－1，所以a n ＝2a n －1＋1， 所以a n ＋1a n －1＋1＝2a n －1＋1＋1a n －1＋1＝2a n －1＋2a n －1＋1＝2，所以{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以a n ＋1＝2·2n －1＝2n，所以a n ＝2n－1.(2)由(1)知，a 2＝3，a 3＝7， 所以b 3＝a 2＝3，b 7＝a 3＝7.设{b n }的公差为d ，则b 7＝b 3＋(7－3)·d ， 所以d ＝1，所以b n ＝b 3＋(n －3)·d ＝n ， 所以a n b n ＝n (2n －1)＝n ·2n－n .设数列{n ·2n}的前n 项和为K n ，数列{n }的前n 项和为T n ， 所以K n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， ③ 2K n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1， ④③－④得－K n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n)1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2.所以K n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.又T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，所以K n －T n ＝(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2＋2，所以{a n b n }的前n 项和为 (n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2＋2.4．[2019·某某某某质检]已知等比数列{a n }的各项都是正数，其中a 3，a 2＋a 3，a 4成等差数列，a 5＝32.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{log 2a n }的前n 项和为S n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2(a 2＋a 3)＝a 3＋a 4，a 5＝32，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1q ＋a 1q 2＝a 1q 3，a 1q 4＝32.∵a n >0，∴q >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n. (2)由已知得，S n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ＝n (n ＋1)2，∴1S n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和 T n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2n n ＋1.。

（新课标）高三理科数学二轮复习（全册）名师指导考前提分题型练题型专项集训题型练1选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}2.若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i3.若a>b>1,0<c<1,则()A.a c<b cB.ab c<ba cC.a log b c<b log a cD.log a c<log b c4.执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为()A.1B.2C.3D.45.等差数列{a n}的公差d≠0,且a3,a5,a15成等比数列,若a1=3,S n为数列{a n}的前n项和,则S n的最大值为()A.8B.6C.4D.46.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.2+B.4+C.2+2D.57.已知直线l1:x+2y+1=0,l2:Ax+By+2=0(A,B∈{1,2,3,4}),则l1与l2不平行的概率为()A.B.C.D.8.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个9.将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则()A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为10.函数f(x)=x cos x2在区间[0,2]上的零点的个数为()A.2B.3C.4D.511.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则()·的最小值为()A.B.9 C.-D.-912.函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]上的图象大致为()13.已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆=1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率e=.14.的展开式中的常数项为.(用数字表示)15.(2017浙江,11)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.16.曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.思维提升训练1.设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)2.已知i是虚数单位,是z=1+i的共轭复数,则在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(2017山东,理7)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+<log2(a+b)B.<log2(a+b)<a+C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b)<a+4.若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为()A.-7B.-1C.1D.25.某算法的程序框图如图,若输出的y=,则输入的x的值可能为()A.-1B.0C.1D.56.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.7.函数y=x sin x在[-π,π]上的图象是()8.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,若函数f(x)=x3+bx2+(a2+c2-ac)x+1有极值点,则∠B的取值范围是()A.B.C.D.9.将函数y=sin 2x(x∈R)的图象分别向左平移m(m>0)个单位、向右平移n(n>0)个单位所得到的图象都与函数y=sin(x∈R)的图象重合,则|m-n|的最小值为()A.B.C.D.10.(2017安徽江南十校联考)质地均匀的正四面体表面分别印有0,1,2,3四个数字,某同学随机地抛掷此正四面体2次,若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m,n,且两次结果相互独立,互不影响.记m2+n2≤4为事件A,则事件A发生的概率为()A. B. C. D.11.已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心,∠A=60°,=2m·,则m的值为()A.B.C.1 D.12.设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为()A. B. C. D.113.(2017江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.14.在平面直角坐标系中,设直线l:kx-y+=0与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,,若点M在圆O上,则实数k=.15.如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.16.已知等差数列{a n}前n项的和为S n,且满足=3,则数列{a n}的公差为.参考答案题型练1选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.D解析由题意知集合B={1,4,7,10},则A∩B={1,4}.故选D.2.B解析设z=a+b i(a,b∈R),则2z+=3a+b i=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B.3.C解析特殊值验证法,取a=3,b=2,c=,因为,所以A错;因为3>2,所以B错;因为log3=-log32>-1=log2,所以D错;因为3log2=-3<2log3=-2log32,所以C正确.故选C.4.B解析由程序框图可知,输入a=1,则k=0,b=1;进入循环体,a=-,a=b不成立,k=1,a=-2,a=b不成立,k=2,a=1,此时a=b=1,输出k,则k=2,故选B.5.D解析由题意得(a1+4d)2=(a1+2d)(a1+14d),即(3+4d)2=(3+2d)(3+14d),解得d=-2或d=0(舍去).所以S n=3n+(-2)=-n2+4n.所以当n=2时,S n=-n2+4n取最大值(S n)max=8-4=4.故选D.6.C解析由三视图还原几何体如图.∴S表面积=S△BCD+2S△ACD+S△ABC=2×2+21+2=2+=2+27.A解析由A,B∈{1,2,3,4},则有序数对(A,B)共有16种等可能基本事件,而(A,B)取值为(1,2)时,l1∥l2,故l1与l2不平行的概率为1-8.D解析由题图可知,0℃在虚线圈内,所以各月的平均最低气温都在0℃以上,A正确;易知B,C正确;平均最高气温高于20℃的月份有3个,分别为六月、七月、八月,D错误.故选D.9.A解析设P'(x,y).由题意得,t=sin,且P'的纵坐标与P的纵坐标相同,即y=又P'在函数y=sin2x的图象上,则sin2x=,故点P'的横坐标x=+kπ或+kπ(k∈Z),由题意可得s的最小值为10.A解析令f(x)=0,即x cos x2=0,得x=0或cos x2=0,则x=0或x2=kπ+,x∈Z.∵x∈[0,2],∴x2∈[0,4],得k的取值为0,即方程f(x)=0有两个解,则函数f(x)=x cos x2在区间上的零点的个数为2,故选A.11.C解析=2,∴()=2=-2||·||.又||+||=||=3≥2||·||,∴()-故答案为-12.C解析由函数f(x)为奇函数,排除B;当0≤x≤π时,f(x)≥0,排除A;又f'(x)=-2cos2x+cos x+1,令f'(0)=0,则cos x=1或cos x=-,结合x∈[-π,π],求得f(x)在(0,π]上的极大值点为,靠近π,排除D.13解析因为圆(x-2)2+y2=1与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0),所以c=1,a=3,e=14解析T k+1=x4-k(-1)k x4-2k(-1)k,令4-2k=0,得k=2,展开式中的常数项为15解析将正六边形分割为6个等边三角形,则S6=616解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2与y=x的图象如图,所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为S.由故所求面积S=(x-x2)d x=思维提升训练1.C解析A={y|y>0},B={x|-1<x<1},则A∪B={x|x>-1},选C.2.C解析=1-i,则=-i,对应复平面内点的坐标为,在第三象限.3.B解析不妨令a=2,b=,则a+=4,,log2(a+b)=log2(log22,log24)=(1,2),即<log2(a+b)<a+故选B.4.A解析画出约束条件对应的可行域(如图).由z=3x-y得y=3x-z,依题意,在可行域内平移直线l0:y=3x,当直线l0经过点A时,直线l0的截距最大,此时,z取得最小值.由则A(-2,1),故z的最小值为3×(-2)-1=-7.5.C解析由算法的程序框图可知,给出的是分段函数y=当x>2时y=2x>4,若输出的y=,则sin,结合选项可知选C.6.C解析∵双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上,∴其渐近线方程为y=±x.∵渐近线与直线x+2y+1=0垂直,∴渐近线的斜率为2,=2,即b2=4a2,c2-a2=4a2,c2=5a2,=5,,双曲线的离心率e=7.A解析容易判断函数y=x sin x为偶函数,可排除D;当0<x<时,y=x sin x>0,排除B;当x=π时,y=0,可排除C.故选A.8.D解析函数f(x)的导函数f'(x)=x2+2bx+(a2+c2-ac),若函数f(x)有极值点,则Δ=(2b)2-4(a2+c2-ac)>0,得a2+c2-b2<ac,由余弦定理,得cos B=,则B>,故选D.9.C解析函数y=sin2x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位可得y=sin2(x+m)=sin(2x+2m)的图象,向右平移n(n>0)个单位可得y=sin2(x-n)=sin(2x-2n)的图象.若两图象都与函数y=sin(x∈R)的图象重合,则(k1,k2∈Z),即(k1,k2∈Z).所以|m-n|=(k1,k2∈Z),当k1=k2时,|m-n|min=故选C.10.A解析根据要求进行一一列举,考虑满足事件A的情况.两次数字分别为(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(0,3),(3,0),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,1),(2,2),(3,3),共有16种情况,其中满足题设条件的有(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(0,2),共6种情况,所以由古典概型的概率计算公式可得事件A发生的概率为P(A)=,故选A.11.A解析如图,当△ABC为正三角形时,A=B=C=60°,取D为BC的中点,,则有=2m,)=2m,2,∴m=,故选A.12.C解析设P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设t>0),F,则,∴k OM=,当且仅当t=时等号成立.∴(k OM)max=,故选C.13.30解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+6=44×2=240,当且仅当x=,即x=30时等号成立.14.±1解析如图,,则四边形OAMB是锐角为60°的菱形,此时,点O到AB距离为1.由=1,解得k=±1.15解析由题意易知△ABD≌△PBD,∠BAD=∠BPD=∠BCD=30°,AC=2设AD=x,则0≤x≤2,CD=2-x,在△ABD中,由余弦定理知BD=设△PBD中BD边上的高为d,显然当平面PBD⊥平面CBD时,四面体PBCD的体积最大,从而V P-BCD d×S△BCD=BC×CD×sin30°=, 令=t∈[1,2],则V P-BCD,即V P-BCD的最大值为16.2解析∵S n=na1+d,=a1+d,d.又=3,∴d=2.题型练2选择题、填空题综合练(二)能力突破训练1.已知集合M={x|(x+2)(x-2)≤0},N={x|-1<x<3},则M∩N=()A.{x|-1≤x<2}B.{x|-1<x≤2}C.{x|-2≤x<3}D.{x|-2<x≤2}2.已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i3.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为()A.πB.πC.πD.1+π4.已知sin θ=,cos θ=,则tan等于()A.B.C.D.55.已知p:∀x∈[-1,2],4x-2x+1+2-a<0恒成立,q:函数y=(a-2)x是增函数,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知x,y∈R,且x>y>0,则()A.>0B.sin x-sin y>0C.<0D.ln x+ln y>07.已知实数x,y满足约束条件则z=2x+4y的最大值是()A.2B.0C.-10D.-158.已知函数f(x)=log2x,x∈[1,8],则不等式1≤f(x)≤2成立的概率是()A. B. C. D.9.已知等差数列{a n}的通项是a n=1-2n,前n项和为S n,则数列的前11项和为()A.-45B.-50C.-55D.-6610.已知P为椭圆=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.5B.7C.13D.1511.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为()A.2 017×22 013B.2 017×22 014C.2 017×22 015D.2 016×22 01612.已知a>0,a≠1,函数f(x)=+x cos x(-1≤x≤1),设函数f(x)的最大值是M,最小值是N,则()A.M+N=8B.M+N=6C.M-N=8D.M-N=613.(2017天津,理12)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.14.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.15.执行如图所示的程序框图,若输入a=1,b=2,则输出的a的值为.16.已知直线y=mx与函数f(x)=的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m的取值范围是.思维提升训练1.设集合A={x|x+2>0},B=,则A∩B=()A.{x|x>-2}B.{x|x<3}C.{x|x<-2或x>3}D.{x|-2<x<3}2.复数z=(i为虚数单位)的虚部为()A.2B.-2C.1D.-13.已知a=,b=,c=2,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b4.已知x,y满足约束条件则z=-2x+y的最大值是()A.-1B.-2C.-5D.15.若实数x,y满足|x-1|-ln=0,则y关于x的函数图象的大致形状是()6.已知简谐运动f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为() A.T=6π,φ=B.T=6π,φ=C.T=6,φ=D.T=6,φ=7.设a,b是两个非零向量,则使a·b=|a|·|b|成立的一个必要不充分条件是()A.a=bB.a⊥bC.a=λb(λ>0)D.a∥b8.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()A.B.C.D.9.(2017河南安阳一模)已知圆(x-1)2+y2=的一条切线y=kx与双曲线C:=1(a>0,b>0)有两个交点,则双曲线C的离心率的取值范围是()A.(1,)B.(1,2)C.(,+∞)D.(2,+∞)10.已知数列{a n}的前n项和为S n,若S1=1,S2=2,且S n+1-3S n+2S n-1=0(n∈N*,n≥2),则此数列为()A.等差数列B.等比数列C.从第二项起为等差数列D.从第二项起为等比数列11.一名警察在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是()A.甲B.乙C.丙D.丁12.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x313.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.14.设F是双曲线C:=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.15.下边程序框图的输出结果为.16.(x+2)5的展开式中,x2的系数等于.(用数字作答)参考答案题型练2选择题、填空题综合练(二)能力突破训练1.B解析由已知,得M={x|-2≤x≤2},N={x|-1<x<3},则M∩N={x|-1<x≤2},故选B.2.D解析由已知得z==-1-i.3.C解析由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为V1=,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积V2=1×1=,故选C.4.D解析利用同角正弦、余弦的平方和为1求m的值,再根据半角公式求tan,但运算较复杂,试根据答案的数值特征分析.由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约,m为一确定的值,进而推知tan也为一确定的值,又<θ<π,所以,故tan>1.5.A解析关于p:不等式化为22x-2·2x+2-a<0,令t=2x,∵x∈[-1,2],∴t,则不等式转化为t2-2t+2-a<0,即a>t2-2t+2对任意t恒成立.令y=t2-2t+2=(t-1)2+1,当t时,y max=10,所以a>10.关于q:只需a-2>1,即a>3.故p是q的充分不必要条件.6.C解析由x>y>0,得,即<0,故选项A不正确;由x>y>0及正弦函数的单调性,可知sin x-sin y>0不一定成立,故选项B不正确;由0<<1,x>y>0,可知,即<0,故选项C正确;由x>y>0,得xy>0,xy不一定大于1,故ln x+ln y=ln xy>0不一定成立,故选项D不正确.故选C.7.B解析实数x,y满足约束条件对应的平面区域为如图ABO对应的三角形区域,当动直线z=2x+4y经过原点时,目标函数取得最大值为z=0,故选B.8.B解析由1≤f(x)≤2,得1≤log2x≤2,解得2≤x≤4.由几何概型可知P=,故选B.9.D解析因为a n=1-2n,S n==-n2,=-n,所以数列的前11项和为=-66.故选D.10.B解析由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.11.B解析如图,当第一行3个数时,最后一行仅一个数,为8=23-2×(3+1);当第一行4个数时,最后一行仅一个数,为20=24-2×(4+1);当第一行5个数时,最后一行仅一个数,为48=25-2×(5+1);当第一行6个数时,最后一行仅一个数,为112=26-2×(6+1).归纳推理,得当第一行2016个数时,最后一行仅一个数,为22016-2×(2016+1).故选B.12.B解析f(x)=+x cos x=3++x cos x,设g(x)=+x cos x,则g(-x)=-g(x),函数g(x)是奇函数,则g(x)的值域为关于原点对称的区间,当-1≤x≤1时,设-m≤g(x)≤m,则3-m≤f(x)≤3+m, ∴函数f(x)的最大值M=3-m,最小值N=3+m,得M+N=6,故选B.13.4解析∵a,b∈R,且ab>0,=4ab+≥414.y=-2x-1解析当x>0时,-x<0,则f(-x)=ln x-3x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln x-3x,所以f'(x)=-3,f'(1)=-2.故所求切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.15.32解析第一次循环,输入a=1,b=2,判断a≤31,则a=1×2=2;第二次循环,a=2,b=2,判断a≤31,则a=2×2=4;第三次循环,a=4,b=2,判断a≤31,则a=4×2=8;第四次循环,a=8,b=2,判断a≤31,则a=8×2=16;第四次循环,a=16,b=2,判断a≤31,则a=16×2=32;第五次循环,a=32,b=2,不满足a≤31,输出a=32.16.(,+∞)解析作出函数f(x)=的图象,如图.直线y=mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线.当斜率m≤0时,直线y=mx与函数f(x)的图象只有一个公共点;当m>0时,直线y=mx始终与函数y=2-(x≤0)的图象有一个公共点,故要使直线y=mx与函数f(x)的图象有三个公共点,必须使直线y=mx与函数y=x2+1(x>0)的图象有两个公共点,即方程mx=x2+1在x>0时有两个不相等的实数根,即方程x2-2mx+2=0的判别式Δ=4m2-4×2>0,解得m>故所求实数m的取值范围是(,+∞).思维提升训练1.D解析由已知,得A={x|x>-2},B={x|x<3},则A∩B={x|-2<x<3},故选D.2.B解析z==1-2i,得复数z的虚部为-2,故选B.3.A解析因为a==b,c=2=a,所以b<a<c.4.A解析作出约束条件的可行域如图阴影部分所示,平移直线l0:y=2x,可得在点A(1,1)处z取得最大值,最大值为-1.5.B解析已知等式可化为y=根据指数函数的图象可知选项B正确,故选B.6.C解析由图象易知A=2,T=6,∴ω=又图象过点(1,2),∴sin=1,∴φ+=2kπ+,k∈Z,又|φ|<,∴φ=7.D解析因为a·b=|a|·|b|cosθ,其中θ为a与b的夹角.若a·b=|a|·|b|,则cosθ=1,向量a与b方向相同;若a∥b,则a·b=|a|·|b|或a·b=-|a|·|b|,故选D.8.B解析设AB=a,则由AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B知7=a2+4-2a,即a2-2a-3=0,∴a=3(负值舍去).∴BC边上的高为AB·sin B=39.D解析由已知得,解得k2=3.由消去y,得(b2-a2k2)x2-a2b2=0,则4(b2-a2k2)a2b2>0,即b2>a2k2.因为c2=a2+b2,所以c2>(k2+1)a2.所以e2>k2+1=4,即e>2.故选D.10.D解析由S1=1得a1=1,又由S2=2可知a2=1.因为S n+1-3S n+2S n-1=0(n∈N*,且n≥2),所以S n+1-S n-2S n+2S n-1=0(n∈N*,且n≥2),即(S n+1-S n)-2(S n-S n-1)=0(n∈N*,且n≥2),所以a n+1=2a n(n∈N*,且n≥2),故数列{a n}从第2项起是以2为公比的等比数列.故选D.11.B解析因为乙、丁两人的观点一致,所以乙、丁两人的供词应该是同真或同假.若乙、丁两人说的是真话,则甲、丙两人说的是假话,由乙说真话推出丙是罪犯;由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯,矛盾.所以乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话,由甲、丙的供词内容可以断定乙是罪犯.12.A解析当y=sin x时,y'=cos x,因为cos0·cosπ=-1,所以在函数y=sin x图象存在两点x=0,x=π使条件成立,故A正确;函数y=ln x,y=e x,y=x3的导数值均非负,不符合题意,故选A.本题实质上是检验函数图象上存在两点的导数值乘积等于-1.13.2解析由三视图知四棱锥高为3,底面平行四边形的底为2,高为1,因此该四棱锥的体积为V=(2×1)×3=2.故答案为2.14解析不妨设F(c,0)为双曲线右焦点,虚轴一个端点为B(0,b),依题意得点P为(-c,2b),又点P在双曲线上,所以=1,得=5,即e2=5,因为e>1,所以e=15.8解析由程序框图可知,变量的取值情况如下:第一次循环,i=4,s=;第二次循环,i=5,s=;第三次循环,i=8,s=;第四次循环,s=不满足s<,结束循环,输出i=8.16.80解析通项公式为T r+1=x5-r2r,令5-r=2,得r=3.则x2的系数为23=80.题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.(2017江苏,16)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=.(1)证明:a+b=2c;(2)求cos C的最小值.3.(2017全国Ⅰ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.4.已知函数f(x)=4tan x sin·cos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A 为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形.(1)求ω与a的值;(2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值.6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.参考答案题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.解(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,所以-cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-又x∈[0,π],所以x=(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos因为x∈[0,π],所以x+,从而-1≤cos于是,当x+,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-22.(1)证明由题意知2,化简得2(sin A cos B+sin B cos A)=sin A+sin B,即2sin(A+B)=sin A+sin B,因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.(2)解由(1)知c=,所以cos C==,当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为3.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B=由正弦定理得sin C sin B=故sin B sin C=(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-,即cos(B+C)=-所以B+C=,故A=由题设得bc sin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=故△ABC的周长为3+4.解(1)f(x)的定义域为f(x)=4tan x cos x cos=4sin x cos=4sin x=2sin x cos x+2sin2x-=sin2x+(1-cos2x)-=sin2x-cos2x=2sin,所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)令z=2x-,函数y=2sin z的单调递增区间是,k∈Z.由-+2kπ≤2x-+2kπ,得-+kπ≤x+kπ,k∈Z.设A=,B=,易知A∩B=所以,当x时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.5.解(1)由已知可得f(x)=a=a sin∵BC==4,∴T=8,∴ω=由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=BC=2(2)由(1)知f(x0)=2sin,即sin∵x0,x0+,∴cos,∴f(x0+1)=2sin=2sin=2=26.解(1)∵m=,n=(sin x,cos x),且m⊥n,∴m·n=(sin x,cos x)=sin x-cos x=sin=0.又x,∴x-∴x-=0,即x=tan x=tan=1.(2)由(1)和已知,得cos==sin又x-,∴x-,即x=题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题1.设数列{a n}的前n项和为S n,满足(1-q)S n+qa n=1,且q(q-1)≠0.(1)求{a n}的通项公式;(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.2.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d=1,前n项和为S n,b n=.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)设数列{b n}前n项和为T n,求T n.3.已知数列{a n}的前n项和S n满足:S n=(a n-1),a为常数,且a≠0,a≠1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若a=,设b n=,且数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n<.4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公比为q的等比数列{b n}的首项是,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式a n,b n;(2)求数列的前n项和T n.5.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n-(n∈N*).(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{}的前n项和为S n,证明:(n∈N*).6.已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{a n}的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=,证明:e1+e2+…+e n>.参考答案题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题1.(1)解当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1.当n≥2时,由(1-q)S n+qa n=1,得(1-q)S n-1+qa n-1=1,两式相减,得a n=qa n-1.又q(q-1)≠0,所以{a n}是以1为首项,q为公比的等比数列,故a n=q n-1.(2)证明由(1)可知S n=,又S3+S6=2S9,所以,化简,得a3+a6=2a9,两边同除以q,得a2+a5=2a8.故a2,a8,a5成等差数列.2.解(1)∵在等差数列{a n}中,a1=1,公差d=1,∴S n=na1+d=,∴b n=(2)b n==2,∴T n=b1+b2+b3+…+b n=2+…+=2+…+=2故T n=3.(1)解因为a1=S1=(a1-1),所以a1=a.当n≥2时,a n=S n-S n-1=a n-a n-1,得=a,所以数列{a n}是首项为a,公比也为a的等比数列.所以a n=a·a n-1=a n.(2)证明当a=时,a n=,所以b n=因为,所以b n=所以T n=b1+b2+…+b n<+…+因为-<0,所以,即T n<4.解(1)设{a n}公差为d,由题意得解得故a n=3n-1,b n=(2)+22n+1,∴T n=+…+(22n+3-8)=5.证明(1)由题意得a n+1-a n=-0,即a n+1≤a n,故a n由a n=(1-a n-1)a n-1,得a n=(1-a n-1)(1-a n-2)…(1-a1)a1>0.由0<a n,得[1,2],即12.(2)由题意得=a n-a n+1,所以S n=a1-a n+1.①由和12,得12,所以n2n,因此a n+1(n∈N*).②由①②得(n∈N*).6.解(1)由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n=q n-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以a n=2n-1(n∈N*).(2)由(1)可知,a n=q n-1.所以双曲线x2-=1的离心率e n=由e2=,解得q=因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以>q k-1(k∈N*).于是e1+e2+…+e n>1+q+…+q n-1=,故e1+e2+…+e n>题型练5大题专项(三)统计与概率问题1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.2.袋子中装有大小相同的白球和红球共7个,从袋子中任取2个球都是白球的概率为,每个球被取到的机会均等.现从袋子中每次取1个球,如果取出的是白球则不再放回,设在取得红球之前已取出的白球个数为X.(1)求袋子中白球的个数;(2)求X的分布列和数学期望.3.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.4.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.5.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列.(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.6.某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取40件产品,测量这些产品的质量(单位:g),整理后得到如下的频率分布直方图(其中质量的分组区间分别为(490,495],(495,500],(500,505],(505,510],(510,515]).(1)若从这40件产品中任取两件,设X为质量超过505 g的产品数量,求随机变量X的分布列;(2)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取5件产品,求恰有两件产品的质量超过505 g的概率.参考答案题型练5大题专项(三)统计与概率问题1.解(1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)=1+2+3+42.解(1)设袋子中有n(n∈N*)个白球,依题意,得,即,化简,得n2-n-6=0,解得n=3或n=-2(舍去).故袋子中有3个白球.(2)由(1)得,袋子中有4个红球,3个白球.X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=;P(X=3)=则X的分布列为X0123P故E(X)=0+1+2+33.解(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=因此所求概率为(3)X0.85a a1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.4.解(1)由题意知,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=所以X的分布列为X123P因此,X的数学期望为E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1+2+3=2.5.解(1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,P(X=10)=;P(X=20)=;P(X=100)=;P(X=-200)=所以X的分布列为X1020100-200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件A i(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是(3)X的数学期望为E(X)=10+20+100-200=-这表明,获得分数X的均值为负,因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.6.解(1)根据频率分布直方图可知,质量超过505g的产品数量为[(0.01+0.05)×5]×40=12.由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=则随机变量X的分布列为X012P(2)由题意得该流水线上产品的质量超过505g的概率为=0.3.设Y为该流水线上任取5件产品质量超过505g的产品数量,则Y~B(5,0.3).故所求概率为P(Y=2)=0.32×0.73=0.3087.题型练6大题专项(四)立体几何综合问题1.如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形.A1A=6,且A1A ⊥底面ABCD.点P,Q分别在棱DD1,BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC所成角为60°,AA1=2,底面ABC是边长为2的正三角形,点G为△ABC的重心,点E在BC1上,且BE=BC1.(1)求证:GE∥平面AA1B1B;(2)求平面B1GE与底面ABC所成锐角二面角的余弦值.如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F 分别是线段BE,DC的中点.(1)求证:GF∥平面ADE;(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.4.在如图所示的组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点P∈平面CC1D1D,且PD=PC=.(1)证明:PD⊥平面PBC;(2)求P A与平面ABCD所成角的正切值;(3)当AA1的长为何值时,PC∥平面AB1D.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,P A=AD=2,AC=1.(1)证明:PC⊥AD;(2)求二面角A-PC-D的正弦值;(3)设E为棱P A上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.6.已知四边形ABCD满足AD∥BC,BA=AD=DC=BC=a,E是BC的中点,将△BAE沿AE翻折成△B1AE,使平面B1AE⊥平面AECD,F为B1D的中点.。

（新课标）2021届高考数学二轮复习第三部分题型指导考前提分题型内部文件，版权追溯内部文件，版权追溯题型练5大题专项(三)统计与概率问题1.为了促进乒乓球运动的发展，允许不同协会的运动员在乒乓球比赛中组队。

目前，a协会有3名运动员，包括2名种子运动员；B协会共有5名运动员，其中包括3名种子选手。

8名运动员中有4名被随机挑选参加比赛(1)设a为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件a发生的概率;（2）设X为所选四个参与者中的种子参与者数，求出随机变量X和数学期望的分布列2.袋子中装有大小相同的白球和红球共7个,从袋子中任取2个球都是白球的概率为,每个球被取到的机会均等.现从袋子中每次取1个球,如果取出的是白球则不再放回,设在取得红球之前已取出的白球个数为x.(1)求袋子中白球的个数;(2)求x的分布列和数学期望.-1-3.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:01234≥上一年投保5次，保费为0.85aa1 25a1。

5a1。

75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:概率01234≥ 一年内投保5次：0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;（2）如果续保保险人本年的保费高于基本保费，则其保费高于基本保费60%的概率是必需的；（3）本年的平均保费与基本保费的比率是必需的-2-4.a市a、B两所中学的学生组成小组参加辩论比赛。

a中学推荐了3名男生和2名女生，B中学推荐了3名男生和4名女生。

两所学校推荐的学生一起参加了强化训练，由于团队成员水平相同，训练结束后，随机选择三名男孩和三名女孩组成一个具有代表性的团队（1）寻求一所中学至少有一名学生被选入团队的可能性；(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设x表示参赛的男生人数,求x的分布列和数学期望.5.小鼓游戏规则如下：每场游戏需要击鼓三次，每次有一首音乐或没有音乐；每场比赛击鼓三次后，有音乐一次得10分，有音乐两次得20分，有音乐三次得100分，无音乐扣200分（即-200分），假设每个鼓拍中有音乐的概率为，每个鼓拍中的音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为x,求x的分布列.（2）三场比赛中至少有一场比赛中出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.6.为了检查装配线的生产情况，工厂从装配线上随机抽取40个产品，测量这些产品的质量（单位：G），排序后得到以下频率分布直方图（质量的分组区间为（490495]，（495500]，（500505]，（505510]，（510515]）-3-（1）如果选择这40个产品中的任意两个，则将X设置为质量大于505g的产品数量，并找到随机变量X的分布列；（2）如果样本分布大致被视为总体分布，现在从装配线中取出五种产品，并找出恰好两种产品的质量超过505g的概率参考答案主题式练习5大主题（三）统计与概率问题1.解(1)由已知,有p(a)=因此，事件a的概率为(2)随机变量x的所有可能取值为1,2,3,4.p（x=k）=（k=1,2,3,4）。

高考数学第二轮复习：专题的提分攻略高考数学是好多高三考生的一道坎。

数学得高分，一步迈进名校门，数学失分多，则名次总分一泻千里。

此中，二轮数学的复习更是至关重要。

在一轮复习中，老师率领考生们以纲领为指导，以教材为基础对知识点进行了全面复习。

二轮复习的要点则重视于提高解题技术，同时不停完美考生的数学知识系统，双轨并行，确实提分。

数学复习目标想要获取二轮复习的成功，考生们应当在这两个多月的时间里完成以下两点目标。

目标 1进一步增强对知识点的稳固、增强。

特别要要点稳固常考知识点、重难知识点，侧重对已经复习掌握过的知识的交融、贯穿、透析、运用，掌握每个知识点背后的潜伏出题规律。

目标 2在此阶段，很要点的一个问题是怎样将打磨过的知识点运用到做题中去。

近期完好的大考时机将增加，考生要抓住实战演习的每一次时机，掌握做题技巧，规范答题语言，以不变的知识点应万变的考试题。

充足利用二轮复习的两个多月，把知识点和答题技巧完满掌握联合，助力高考得高分。

六大复习建议1函数与导数近几年高考取，函数类试题一般会出现 2 道选择题、 2 道填空题、 1 道解答题。

此中，选择题和填空题常常考的知识点更倾向反函数，函数的定义域和值域，函数的单一性、奇偶性、周期性，函数的图象、导数的观点和应用等，这些知识点要侧重复习。

而在分值颇高的解答题中，往常会考察考生关于函数与导数、不等式运用等考点的掌握运用状况。

掌握题目背后的知识点，成立自己的答题思路是特别重要的。

值得考生们注意的是，函数和导数的考察，常常会与其余类型的题目交错出现，因此需要重视交错考点问题的训练。

2三角函数、平面向量和解三角形三角函数是每年必考题，虽是要点但难度较小。

哪怕是基础一般的同学，经过二轮复习的精益求精，都能够掌握这部分内容。

因此，三角函数类题目争取一分都不要丢！从题型来看，会覆盖选择题、填空题、解答题三大种类。

大题会出此刻二卷解答题的第一个，也证明此种类题目的难度比较小。

高三数学二轮复习建议及各部分内容分析与预测一、复习时间：二、指导思想：基础升华（基础是能力的保障），考点细化（目标是教学的方向）, 突出能力（能力是质量提高的关键），强化检测（发现解决问题才能进步与发展）。

三、复习目标：目标1：让学生通过二轮复习能把一轮复习的成果得到最大限度的夯实，使其对已有的掌握的知识与方法等基本上得到全面落实，这是二轮复习的基础目标：巩固落实。

即：做题比一轮更快，更准，更熟！目标2：让学生通过二轮复习尽可能多地解决一轮复习中遗留的问题或困难，达到一个新的提高，这是二轮复习的基本目标：查缺补漏。

即:更深刻，更灵活，更全面！目标3：让学生通过二轮复习能在基本目标完成的基础上，达到一个提升，特别是在能力上达到一个更高的层次，这是二轮复习的高级目标：能力提升。

四、复习形式：知识专题或方法专题为主线，师生互动为手段，共同建立知识网络结构，特别应重视学生活动,课堂教学以“练（应给予足够的时间主动活动）、查（尽量让学生自己查找问题、教师通过检测或作业查找学生存在的问题）、评（教师要细致地了解学生的学习情况，讲好每一个问题）、归（知识与方法的归纳要突出重点与问题、解题模式、经常性进行问题检测）”为主。

五、复习思路：建议走两条线：专题复习与综合模拟，关于专题复习：1.建议突出主干知识，先分6个大专题：函数，三角，数列，解析几何，立体几何，概率统计；至于集合，逻辑，算法，复数，不等式等知识不再作为大专题复习，可采用小专题或渗透在平日模拟题中复习！将高考主干知识，主要方法，主要思想进行重点突破！对于小的知识章节就不要再搞的太大、太难、太多，符合考试说明要求即可。

比如：排列组合我觉得就不宜太难。

2.建议不要一味按照教辅资料复习。

最好每一专题辅以“高考集锦”。

高考集锦建议突出山东近几年高考题以及近两年全国其他地方高考题，高考集锦应该精选，在熟练研究山东省考试说明的背景下进行选择，不能盲目崇拜高考题，有些不好的或不符合山东考试说明要求的题目应该果断删除。

题型解读高考解答题二般有六大方向：三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何、数列与不等式、解析几何、不等式与函数及导数.一般来说，前三题属于中、低档题，第四题属中档偏难题，后两题属难题.三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何在前三题中出现的概率较高，掌握解这几类题的解法是大多数学生成功的关键.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.能否做好解答题是高考成败的关键.1.三角函数有关三角函数的大题即解答题，主要是考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大.凸显恒等变换与三角函数的图象、性质在三角形内考查.主要考查以下4个方面：①三角函数的图象、性质、图象变换，主要是y=£sin(ex+的图象、性质及图象变换，考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、最值及图象的平移和对称等；②三角恒等变换，主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般需要运用和差角公式、倍角公式，尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查；③三角函数性质的应用.通过解三角形来考查三角恒等变形及应用三角函数性质的综合能力；④三角函数与平面向量、数列、不等式等知识的综合问题.【例 1 】已知向量a= (cos Qx—sin 3x、sin Qx), />=( —cos QX—sin ax, 2"^3cos ex),设函数f (x) = a • b+久(xW R)的图象关于直线x= n对称，其中3, A为常数，且赵,1)(1)求函数Hx)的最小正周期；/ n 、「 3 n T(2)若尸/'(x)的图象经过点打，Oj,求函数f(x)在区间0,〒上的取值范围.点评利用向量的工具作用，与向量结合在一起命制综合题，体现了在知识交汇点处命题的指导思想.这类问题求解时，首先利用向量的运算，将向量式转化为代数式，然后进行有关的三角恒等变换，最后研究三角函数的图象与性质._变式训练1 (2012 •安徽高考，理⑹设函数f(x) =^cos^+yj + sin2x(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意xWR,有右+日=&3 ,且当xW 0, &■时，g(x)=寺一f(x).求g(x)在区间［―兀，0］上的解析式.2.立体几何立体几何是高中数学的主干知识之一，命题形式比较稳定.立体几何解答题主要分两类: 一类是空间线面关系的判定和推理证明，主要是证明平行和垂直，求解这类问题要依据线面关系的判定定理和性质定理进行推理论证；另一类是空间几何量(空间角、空间距离、几何体的体积与面积)的计算.求解这类问题，常用方法是依据公理、定理以及性质等经过推理论证, 作出所求几何量并求之.一般解题步骤是“作、证、求”.对以上两类问题特别要加强空间向量法的训练•【例2】(2012 •河南豫东、豫北十校阶段性检测，18)如图，已知直角梯形力宓所在的平面垂直于平面MG /BAC= ZACL=90° , Z场C=60°, AB^AC=AE.(1)在直线加上是否存在一点P,使得莎〃平面E4B?请证明你的结论；(2)求平面磁与平面/处所成的锐二面角&的余弦值.点评线线平行、线面平行、面面平行的判定与证明是相互转化的，垂直也是如此；对于二面角，常用两种方法，几何法与向量法，一般倾向于用向量法.变式训练2 (2012 •陕西西安二模，19)如图，肋垂直于矩形所在的平面，CE//DF,乙DEF=90° .(1)求证：庞〃平面九沪；⑵若矩形肋仞的边AB=3, EF=2y[3,则另一边的长为何值时，平面砂与平面CDFE 所成角的大小为45° .3.概率与统计概率与统计问题的解答题是每年高考必考内容，主要考查古典概型、几何概型、等可能事件的概率计算公式，互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式，相互独立事件的概率乘法公式，事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率计算公式等五个基本公式的应用及离散型随机变量分布列和数学期望、方差等内容.【例3】(2012 •天津宝土氐质检，16)高中某学科奥赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进2 1 1行，若某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是彳3,才且各阶段通过与否相互独立.(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；(2)设该选手在比赛中比赛的次数为求§的分布列和数学期望.点评概率计算的关键是对概率模型的判断，各事件之间的关系是互斥还是相互独立等，解题的关键是对概念理解到位.求概率分布列的关键在于依据题意准确分析，计算随机变量在各个取值下对应的概率.变式训练3山东省第23届运动会将于2014年在济宁隆重召开.为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者.调查发现，这30名志愿者的身高如图： (单位:cm)男女9157 7 8 9 99 8161 2 4 5 8 98 6 5 0172 3 4 5 67 4 2 1180 1119若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐” •(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2 人，则至少有一人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用§表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐” 的人数，试写出§的分布列，并求§的数学期望.4.数列与不等式高考中数列解答题的求解主要有以下几个特点：(1)与等差、等比数列基本量有关的计算，可根据题意列方程(方程组)或利用等差、等比数列的性质求解；(2)与求和有关的题目，首先要求通项公式，并根据通项公式选择恰当的求和方法(如错位相减法、裂项相消法、分组求和法等)；[51, 77=1,(3)含$的式子，要根据题目特征利用弘=°「进行转化；Sn- \, ri2(4)与递推数列有关的问题，要能合理转化，使之构造岀新的等差、等比数列；(5)与数列有关的不等式问题，可根据数列的特征选择方法(如比较法、放缩法、数学归纳法等)；(6)与函数有关的问题，应根据函数的性质求解.【例4】(2012 •四川成都二诊，20)已知数列｛a”｝和^=1,且b"+\ —3b”=2n_2, 记■ a”=b”+i —b”+l, 77GN*.(1)证明：数列｛a”｝为等比数列；⑵求数列⑷和｛加的通项公式；⑶记c…=(log fl 3)-(log fl+23),数列｛c”｝的前”项和为若45X29,圧N*恒成立，求k的最大值.点评第(1)问考查了等比数列的证明，它是为第(2)、(3)问服务的.第(2)问考查了求数列通项公式的常规方法.第⑶问考查了数列的求和方法，是数列与不等式知识的融合问题.变式训练4 (2012 •湖北八校二联，19)各项为正数的数列｛&”｝的前n项和为S”，且满足S…=-^a…+扌("GN*).⑴求a”；'a n,"为奇数，(2)设函数/■(”)=，//A , __ c”=f(2"+4) (”WN*),求数列｛c”｝的前"项和7；^2 I' "为偶数，5.解析几何解析几何解答题主要考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及其几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法，往往以中档偏难题或以压轴题形式出现，主要考查学生的逻辑推理能力，运算能力，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力.突破解答题，应重点研究直线与曲线的位置关系，要充分运用一元二次方程根的判别式和韦达定理，注意运用“设而不求”的思想方法，灵活运用“点差法”等来解题，要善于运用数形结合思想分析问题，使数与形相互转化，并根据具体特征选择相应方法.【例5】已知椭圆—+y=l,点0是椭圆上异于顶点的任意一点，过点0作椭圆的切线1, 交y轴于点A,直线1'过点。