1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)

极坐标方程常常可以在一个三角形中实现，找出这样的三角形
便形成了解题的关键．
[通一类] 1．设 M 是定圆 O 内一定点，任作半径 OA，连结 MA，过 M 作 MP⊥MA 交 OA 于 P，求 P 点的轨迹方程． 解：以 O 为极点，射线 OM 为极轴，建立极坐标系，如图．
设定圆 O 的半径为 r，OM＝a，P(ρ，θ)是轨迹上任意一点． ∵MP⊥MA，∴|MA|2 ＋|MP|2 ＝|PA|2.由余弦定理，可知|MA|2 ＝a2＋r2－2arcos θ，|MP|2＝a2＋ρ2－2aρcos θ.而|PA|＝r－ρ， 由此可得 a2＋r2－2arcos θ＋a2＋ρ2－2aρcos θ＝(r－ρ)2. aa－rcos θ 整理化简，得 ρ＝ . acos θ－r
[悟一法]
(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，
其求解过程同曲线的极坐标方程的求法． (2)特别地，当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2 －2ρρ0cos θ；若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ； 若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos (θ－θ0)，这几个方程经常用 来判断图形的形状和位置．
(2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y2＋x2－2x－1＝0， 得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得 ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)∵ρcos 2＝1， 1＋cos θ ∴ρ· 2 ＝1，即 ρ＋ρcos θ＝2. ∴ x2＋y2＋x＝2.化简，得 y2＝－4(x－1)．
的极坐标方程． [精讲详析] 本题考查极坐标方程的求法，解答此题需要
根据题目特点建立恰当的极坐标系，然后再求直角顶点的轨迹 方程．
设直角三角形的斜边为OD，它的长度是2r，以O为极点， OD所在射线为极轴，建立极坐标系，如图所示： 设P(ρ，θ)为轨迹上的一点， 则OP＝ρ，∠xOP＝θ.
在直角三角形ODP中，
[研一题] [例2] 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程． 在圆周上任取一点P(如图)
[精讲详析]
设其极坐标为(ρ，θ)．
由余弦定理知： CP2＝OP2＋OC2－2OP· OCcos ∠COP， ∴r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)． 故其极坐标方程为
r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)．
OP＝OD· θ， cos ∵OP＝ρ，OD＝2r， ∴ρ＝2rcos θ(ρ≠0，ρ≠2r)． 这就是所求轨迹的方程．
[悟一法] (1)求曲线的极坐标方程的步骤如下：
①建立适当的极坐标系．
②设P(ρ，θ)是曲线上任一点． ③列出ρ，θ的关系式． ④化简整理． (2)极坐标中的坐标是由长度与角度表示的，因此，建立
[通一类] π 2．在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为(3，3)，半径为 3，Q 点在 圆周上运动． (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)若 P 是 OQ 中点，求 P 的轨迹．
解：(1)如图，设 Q(ρ，θ)为圆上任意一点，连结 DQ、OQ， 则|OD|＝6， π ∠DOQ＝3－θ，
π π 或∠DOQ＝θ－3，∠DQO＝2. π 在 Rt△ODQ 中，|OQ|＝|OD|cos (θ－3)， π 即 ρ＝6cos (θ－3)． (2)若 P 的极坐标为(ρ，θ)，则 Q 点的极坐标为(2ρ，θ)． π π ∴2ρ＝6cos (θ－3)，∴ρ＝3cos (θ－3)． ∴P 的轨迹是圆．
[读教材· 填要点]
1．曲线的极坐标方程 在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中 至少有一个 满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合f(ρ，θ)＝0的 点 都在曲线C上 ，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方
程．
2．圆的极坐标方程 圆心为C(a,0)(a>0)半径为a的圆的极坐标方程为 ρ＝2acos θ .
[通一类] π 3．把极坐标方程 ρcos(θ－6)＝1 化为直角坐标方程．
π 3 1 解：由 ρcos (θ－6)＝1 得 2 ρcos θ＋2ρsin θ＝1， 3 y 将 ρcos θ＝x，ρsin θ＝y 代入上式，得 2 x＋2＝1， 即 3x＋y－2＝0.
利用圆的极坐标方程求圆心、半径，再利用圆心、半径解 决问题，是高考模拟的重点题型之一.2012年江西高考以填空题 的形式考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，是高考 模拟的一个新亮点． [考题印证] (2012· 江西高考)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0， 以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的 极坐标方程为________． [命题立意] 本题考查将圆的直角坐标方程化为极坐标方 程的方法． [解析] (1)将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入x2＋y2－2x＝0得 ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ. [答案] ρ＝2cos θ
2． 圆心在极点， 半径为 r 的圆的极坐标方程是什么？圆心在点(a， π 2)处且过极点的圆的方程又是什么？
提示：圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ＝r；圆心 π 在点(a，2)处且过极点的圆的方程为 ρ＝2asin θ(0≤θ≤π)．
[研一题] [例1] 设一个直角三角形的斜边长一定，求直角顶点轨迹
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2θ
(4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即 x2－y2＝4. 1 (5)∵ρ＝ ， 2－cos θ ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
[悟一法]
直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角 坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同 乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程 进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
[小问题· 大思维] 1． 在直角坐标系中， 曲线上每一点的坐标一定适合它的方程． 那么， 在极坐标系中，曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程？
提示： 在直角坐标系内， 曲线上每一点的坐标一定适合它的方程， 可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方 π π 程．例如给定曲线 ρ＝θ，设点 P 的一极坐标为(4，4)，那么点 P 适合方程 ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点 P 的另一个极坐 π 9π 标(4， 4 )就不适合方程 ρ＝θ 了．所以在极坐标系内，确定某一 个点 P 是否在某一曲线 C 上，只需判断点 P 的极坐标中是否有 一对坐标适合曲线 C 的方程即可．
[研一题] [例 3] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化
(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0； 1 (3)ρcos 2＝1；(4)ρ cos 2θ＝4；(5)ρ＝ . 2－cos θ
2 2θ
[精讲详析]
本题考查极坐标与直角坐标的互化公式．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y2＝4x， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化简，得 ρsin 2θ＝4cos θ.