2015高三第一轮复习一次函数二次及函数与幂函数的最值恒成立及根的分布

高考数学专题复习：基本初等函数知识网络目标认知考试大纲要求：1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。

2．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点．(4)知道指数函数是一类重要的函数模型．3．对数函数(1)理解对数函数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点．(3)知道对数函数是一类重要的函数模型；(4)了解指数函数与对数函数互为反函数．4．幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数的图象，了解它们的图象的变化情况．重点：掌握几种基本初等函数的图像和性质，二次函数的最值，二次方程实数根的分布等。

难点：指、对数函数的图像和性质，二次函数、二次方程、二次不等式等之间的关系知识要点梳理知识点一：初中学过的函数（一）函数的图象与性质常函数一次函数反比例函数二次函数表达式（）（）（）（）式子中字母的含义及X围限定图象、及其与坐标轴的关系单调性注意:1.过原点的直线的方程,图象,性质；2.函数的最高次项的系数能否为零。

（二）二次函数的最值1.二次函数有以下三种解析式：一般式：（），顶点式：（），其中顶点为，对称轴为直线，零点式：（），其中是方程的根2. 二次函数（）在区间上的最值：二次函数（）在区间上的最大值为M，最小值为m，令.（1）（2）（3）（4）（1）若，则，；（2）若，则，；（3）若，则，；（4）若，则，.注意:1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值；2. 求二次函数的最值一般要数形结合。

知识点二：幂、指数、对数的运算1.方根的定义、性质：(1)，，；(2)，，。

2.指数性质与运算法则：，，，，，3.对数性质：若a＞0且a≠1，则，，（3）零与负数没有对数，对数运算法则：若a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，b＞0且b≠1，则，，（4）换底公式4.指数与对数式的恒等变形：；。

第八讲一次函数二次函数幂函数第八讲：一次函数、二次函数、幂函数本讲将介绍三种重要的函数类型：一次函数、二次函数和幂函数。

这些函数在数学和实际问题中都有广泛应用，因此我们有必要对其进行详细了解。

一、一次函数一次函数也称为线性函数，其一般形式为 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是常数，且a ≠ 0。

这里的 a 称为函数的斜率，表示函数图像的倾斜程度；b 称为函数的截距，表示函数图像与 y 轴的交点。

一次函数的图像为直线，具有以下特点：1.斜率：斜率为正的一次函数图像向右上方倾斜，斜率为负的一次函数图像向右下方倾斜，斜率为零的一次函数图像平行于x轴。

2.截距：截距决定了一次函数图像与y轴的交点，也就是函数图像在y轴上的值。

3.零点：一次函数的零点即为函数图像与x轴的交点，可以通过解方程f(x)=0来求得。

4.线性关系：一次函数是自变量x和因变量y之间的线性关系，可以用直线模型来描述。

5.单调性：一次函数具有唯一的单调性，即当a>0时，函数递增；当a<0时，函数递减。

一次函数的应用非常广泛，例如在物理学中用于描述匀速直线运动、经济学中用于表示成本和收入关系等。

二、二次函数二次函数是一种二次多项式函数，其一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像是抛物线，具有以下特点：1.抛物线开口方向：当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。

2.零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，可以通过解方程f(x)=0来求得。

注意到二次函数可能有零、一个或两个零点。

3.顶点：二次函数的顶点即为抛物线的最高（或最低）点，可以通过求解顶点坐标的方式来找到。

4.对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的中线，可以通过求解对称轴的方程来找到。

5.函数值：二次函数的函数值可以通过直接代入x值计算，也可以通过顶点等特殊点的性质来判断。

六大基础函数之 一次函数、二次函数与幂函数一．一元一次函数：)0(≠+=a b ax y ，当0>a 时，是增函数；当0<a 时，是减函数；二．一元二次函数：一般式:)0(2≠++=a c bx ax y ，对称轴方程是2bx a =-，顶点为24(,)24b ac b a a --； 两点式：))((21x x x x a y --=；对称轴方程是122x x x +=；与x 轴的交点为12(,0),(,0)x x ；顶点式：h k x a y +-=2)(；对称轴方程是x k =，顶点为(,)k h 。

1．一元二次函数的单调性： 当0>a 时：对称轴右侧为增函数；对称轴左侧为减函数；当0<a 时：对称轴左侧为增函数；对称轴右侧为减函数；2．二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为h k x a y +-=2)(的形式，（1）、若顶点的横坐标在给定的区间上，则当0>a 时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当0<a 时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；（2）、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则当0>a 时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当0<a 时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；3．二次方程实数根的分布问题：设实系数一元二次方程0)(2=++=c bx ax x f 的两根为21,x x ；则：另外：二次方程f (x )=0的一根小于p ，另一根大于q (p <q )⇔()0()0a f p a f q ⋅<⎧⎨⋅<⎩。

二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0，或⎩⎨⎧>⋅=0)(0)(q f a p f （检验）或⎩⎨⎧>⋅=0)(0)(p f a q f （检验）。

城东蜊市阳光实验学校第三中学高考数学一轮复习二次函数幂函数教案对称轴 顶点坐标 单调区间3、二次函数在区间上的最值问题。

设()2f x ax bx c =++，那么二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有二次函数的图像与性质 〔1〕假设[]n m a b ,2∈-，那么()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min ；〔2〕假设[]n m ab,2∉-，那么()()(){}n f m f x f ,m ax max =，()()(){}n f m f x f ,m in min =另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值分开对称轴越远，那么对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值分开对称轴轴越远，那么对应的函数值越小． 4、一元二次方程根的非零分布——k 分布设一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0〔a≠0〕的两实根为x1，x2，且x1≤x2。

k 为常数。

那么一元二次方程根的k 分布〔即x1、x2相对于k 的位置〕有以下假设干结论。

〔1〕k ＜x1≤x2xy1x 2x 0>a O•ab x 2-=0)(>k f kxy1x 2x O•a b x 2-=k<a 0)(<k f〔2〕x1≤x2＜k 。

x y1x 2x 0>a O•ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O•ab x 2-=k<a 0)(<k f特殊地①x1＜0＜x2 ac ＜0。

②x1＜1＜x2 a(a ＋b ＋c)＜0。

5、幂函数：定义域、值域、单调性、定点根底自测1、函数f(x)=x2-2x+2的单调增区间是()y x =2y x =3y x=12y x=1y x -=在第Ⅰ象限单调 在第Ⅰ象限单调 在第Ⅰ象限单调 在第Ⅰ象限单调 在第Ⅰ象限单调 〔，〕 〔，〕〔，〕〔，〕〔，〕〔4〕假设一个大于0，一个小于0求m 的取值范围；有两个实数根,那么有：∆=4(m+3)^2-4(2m+14)=4m^2+24m+36-8m-56=4m^2+16m-20>=0m^2+4m-5>=0 (m+5)(m-1)>=0m>=1或者者者m<=-5一根比4大，另一根比4小,那么有：f(4)<0 即：4^2+2(m+3)*4+2m+14<016+8m+24+2m+14<010m<-54 m<- 综上所述，m<- 例3、幂函数223()m m f x x --=()m ∈Z 是偶函数,且在区间()0,+∞上是减函数.(1)求函数()f x 的解析式;(2)讨论()()()bF x a f x xf x =-的奇偶性(,)a b ∈R . 解析：〔1〕为偶函数，那么m²-2m-3为偶数，在区间〔0，正无穷〕上是单调减函数，那么有m²-2m-3<0,即-1<m<3， m ∈Z ，m=0或者者1或者者2只有当m=1时，m²-2m-3=-4为偶数，此时f(x)=x^(-4)〔2〕由题意F(x)=a[x^(-4)]^(1/2)-b/[x*x^(-4)]=ax^(-2)+bx^3,a=0且b≠0时F(x)=bx^3，为奇函数 b=0且a≠0时F(x)=ax^(-2),为偶函数 当a*b 不等于0时，F(x)既不是奇函数又不是偶函数当堂达标1、函数f(x)＝x2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，那么(B)A ．f(－1)<f(1)<f(2)B ．f(1)<f(2)<f(－1)C ．f(2)<f(－1)<f(1)D ．f(1)<f(－1)<f(2) 2、函数y ＝－x2－10x ＋11在区间[－1,2]上的最小值是____-13____3、方程x2+2px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，那么P 的取值为p ＜-1。

普通高中课程标准理科数学2015届高考总复习第一轮复习计划书（征求意见稿）东莞市东华高级中学高三理科数学组（2014.8）一、背景分析最近3年广东高考数学命题很平稳，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。

充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。

做到了总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新，兼顾了数学基础、思想方法、思维、应用、运算和潜能等多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽题材，选材多样化，宽角度、多视点地考查数学素养，多层次地考查思想能力，充分体现新课标的特色。

二. 教学指导原则1、高度重视基础知识，基本技能和基本方法的复习。

“基础知识，基本技能和基本方法”是高考复习的重点。

在复习课中要认真落实双基，并注意蕴涵在基础知识中的能力因素，注意基本问题中的能力培养. 特别是要学会把基础知识放在新情景中去分析，应用。

2、高中的“重点知识”复习中要保持较大的比重和必要的深度。

重点内容函数、三角、不等式、数列、立体几何，向量、概率及解析几何中的综合问题等。

在教学中，要避免重复及简单的操练。

总之高三的数学复习课要以培养逻辑思维能力为核心，加强运算能力为主体进行复习。

3、重视“通性、通法”的落实。

要把复习的重点放在教材中典型例题、习题上；放在体现通性、通法的例题、习题上；放在各部分知识网络之间的内在联系上抓好课堂教学质量，定出实施方法和评价方案。

4、渗透数学思想方法, 培养数学学科能力。

《考试说明》明确指出要考查数学思想方法, 要加强学科能力的考查。

我们在复习中要加强数学思想方法的复习, 如转化与化归的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想. 以及换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法等数学基本方法都要有意识地根据学生学习实际予以复习及落实。

5、结合实际，了解学生，分类指导。

重点打造尖子生同时全力进行辅弱工作，对临界生进行辅导，根据学校的具体安排，作出全面的落实，三、教学参考进度：第一轮的复习要以基础知识、基本技能、基本方法为主，为以后的模拟考试做好准备。

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第10讲幂函数与二次函数1．幂函数(1)定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx＋c (a <0) 图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a对称性图象关于直线x ＝－b2a 成轴对称图形➢考点1 ******[名师点睛]1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()m n(m，n∈N*，m，n互质)的图像如图f x x所示，则（）A．m，n是奇数，且m<1n>1B．m是偶数，n是奇数，且mn<1C．m是偶数，n是奇数，且mnD．m是奇数，n是偶数，且m>1n【答案】C【解析】由图知幂函数f (x )为偶函数，且1mn<，排除B ，D ； 当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ； 故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数223()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．1C ．6D ．1或﹣6 【答案】B 【解析】∵幂函数223()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，∴2255130m m m m ⎧+-=⎨-<⎩，且23m m -为偶数 1m ∴=或6m =-当1m =时，232m m -=-满足条件；当6m =-时，2354m m -=，舍去 因此：m ＝1 故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()(1)n f x m x =-的图象过点(,8)m ．设()0.32a f =，()20.3b f =，()2log 0.3c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a << 【答案】D 【解析】因幂函数()()1nf x m x =-的图象过点(),8m ，则11m -=，且8n m =，于是得2m =，3n =，函数3()f x x =，函数()f x 是R 上的增函数，而20.32log 0.300.312<<<<，则有20.32(log 0.3)(0.3)(2)f f f <<，所以c b a <<. 故选：D [举一反三]1．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x = 【答案】D 【解析】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足. 故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 【答案】D 【解析】设幂函数的解析式为y x α=，将点(的坐标代入解析式得3α=12α=， ∴12y x =，函数的定义域为[)0,+∞,是非奇非偶函数，且在()0,+∞上是增函数， 故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）A ．(0,2)B ．[0,1)C ．[1,2)D ．(1,2] 【答案】C 【解析】函数2()-=a f x x 单调递减可得20a -<及2a <；函数4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 单调递减可得014a <<，解得04a <<，若函数2()-=a f x x与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减，可得02a <<，由题可得所求区间真包含于()0,2， 结合选项，函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是C.故选：C.4．（多选）（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ）．A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】设()f x x α=，将点4,2代入()f x x α=，得24α=，则12α=，即12()f x x =，对于A ：()f x 的定义域为[)0,+∞，即选项A 错误； 对于B ：因为()f x 的定义域为[)0,+∞， 所以()f x 不具有奇偶性，即选项B 正确； 对于C ：因为12()f x x =，所以()f x '=设切点坐标为(0x ，则切线斜率为()0k f x =='切线方程为0)y x x -，又因为切线过点1(0,)2P ，所以01)2x -，解得01x =， 即切线方程为11(x 1)2y -=-，即1122y x =+， 即选项C 正确； 对于D ：当120x x <<时，()()212221212[]222f x f x x x x x f +++⎛⎫-=-⎪⎝⎭⎝⎭212024x x +=-==-<，即()()1212()22f x f x x xf ++<成立，即选项D 错误．故选：BC ．5．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________. 【答案】12 【解析】点A （4，2）代入幂函数()af x x =解得12a =，()12f x x =，1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：12．6．（2022·北京通州·一模）幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，()ng x x =在()0,∞+上单调递减，能够使()()y f x g x =-是奇函数的一组整数m ，n 的值依次是__________． 【答案】1，1-（答案不唯一） 【解析】因为幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，所以0m >，因为幂函数()ng x x =在()0,∞+上单调递减，所以0n <，又因为()()y f x g x =-是奇函数，所以幂函数()f x 和幂函数()g x 都是奇函数，所以m 可以是1，n 可以是1-.故答案为：1，1-（答案不唯一）. 7．（2022·重庆·二模）关于x 的不等式()999999999999121x x x --⋅≤+，解集为___________.【答案】[)1,-+∞ 【解析】由题设，99999999(1)(2)1x x x --≤+，而9999y x =在R 上递增，当12x x ->即1x <-时，99999999(1)(2)01x x x -->>+，原不等式不成立； 当12x x -≤即1x ≥-时，99999999(1)(2)01x x x --≤≤+，原不等式恒成立. 综上，解集为[)1,-+∞. 故答案为：[)1,-+∞8．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数iy x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y ＝x 对称；⑧当α＞1时，图象在直线y ＝x 的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y ＝x 的下方． 从上面任取一个即可得出答案． 故答案为：α越大函数增长越快．9．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()f x 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为()f x =______．【答案】3x （答案不唯一） 【解析】设幂函数()f x x α=，由题意，得()f x x α=为奇函数，且在定义域内单调递增，所以21n α=+（N n ∈）或mnα=（,m n 是奇数，且互质）， 所以满足上述条件的幂函数可以为()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.10．（2022·北京·高三专题练习）已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()102g x h x x ⎫⎡⎫=∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭，的值域．【解】（1）∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数， 当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=；（2）由（1）可知，()h x x =，则()g x x =102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，t =，则21122x t =-+，(]01t ∈，， 则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]01t ∈，， 函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线，∴当0=t 时，函数()102f =， 当1t =，函数()f t 取得最大值为1，∴()f t 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，，故函数()g x 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，． ➢考点2 二次函数的解析式[名师点睛]求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数f (x )满足f （2）＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，二次函数的解析式是_______ 【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【解析】法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得2421,1,48,4a b c a b c ac b a⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得4,4,7.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”解题)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f （2）＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为2(1)122x +-==，所以m ＝12. 又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以y ＝f (x )＝21()82a x -+.因为f （2）＝－1，所以21(2)812a -+=-，解得a ＝－4， 所以f (x )＝214()82x --+＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)()84a a a a----=. 解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 故答案为：f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，()00f =，()()22132f x f x x x +-=++，求()f x 的解析式． 【解】解：因为()f x 为二次函数，所以设()2f x ax bx c =++，因为()00f =，所以0c ，所以()2f x ax bx =+，所以()()()()()22212121442f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++，因为()()22132f x f x x x +-=++，所以()()223432ax a b x a b x x ++++=++，所以31a =，43a b +=，2a b +=，所以13a =，53b =，所以()21533f x x x =+． [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（ ） A ．()236f x x x =-+B ．()224f x x x =-+ C ．()236f x x x =-D ．()224f x x x =- 【答案】A 【解析】对于函数12x y a -=+，当1x =时，023y a =+=， 所以函数12x y a -=+过定点P ()1,3，设以P ()1,3为顶点且过原点的二次函数()()213f x a x =-+，因为()f x 过原点()0,0，所以()20013a =-+，解得：3a =-，所以()f x 的解析式为：()()2231336f x x x x =--+=-+，故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（ ）A ．221x x -+B ．221x x ++C ．2221x x -+D ．2221x x +- 【答案】B 【解析】设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以，121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()221f x x x =++.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是二次函数且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，则函数()f x 的解析式为________. 【答案】2()1f x x x =-+【解析】解：由题意，设2()(0)f x ax bx c a =++≠， 因为(0)1f =，即1c =，所以2()1f x ax bx =++，所以()22(1)()(1)(1)1122f x f x a x b x ax bx ax a b x ⎡⎤+-=++++-++=++=⎣⎦，从而有220a a b =⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==-，所以2()1f x x x =-+， 故答案为：2()1f x x x =-+.➢考点3 二次函数的图象与性质是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）函数()()20f x ax bx c a =++≠和函数()()g x c f x '=⋅（其中()f x '为()f x 的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（ ）A ．①④B ．②③C ．③④D ．①②③ 【答案】B【解析】易知()2f x ax b '=+，则()2g x acx bc =+． 由①②中函数()g x 的图象得00ac bc >⎧⎨<⎩， 若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时①②均不符合要求；若0c >，则00a b >⎧⎨<⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；由③④中函数()g x 的图象得0ac bc <⎧⎨>⎩，若0c >，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求； 若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时③④均不符合要求． 综上，②③符合题意， 故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为（ ） A ．0a ≤B ．12a ≤-C ．1a ≤-D ．2a ≤- 【答案】D【解析】解：因为()221f x x ax =+-的对称轴为x a =-，开口向上，所以1a -≥，解得1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的充要条件为1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为2a ≤-；故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）函数21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴2()f x x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，则122a -≤，即1a ≥-，同时 需满足1(2)()02f f -->，即1(4)(21)04a a +-<， 解得142a -<<， 综上可知11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[0，1]【解析】对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，即1122()()()()f x g x f x g x --＜，令2()()()21F x f x g x x a x =-=--，即12()()F x F x ＜只需在[0，2]上单调递增即可，当1x =时，()1F x =，函数图象恒过()1,1；当1x ＞时，2()22F x x ax a =-+； 当1x ＜时，2()22F x x ax a =+-； 要使()F x 在区间[0，2]上单调递增，则当2x ≤1＜时，2()22F x x ax a =-+的对称轴1x a =≤，即1a ≤；当1x ≤0＜时，2()22F x x ax a =+-的对称轴0x a =-≤，即0a ≥； 且12121212a a a a +⨯-≤-⨯+, 综上01a ≤≤ 故答案为：[0，1]. [举一反三]1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x ax bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（ ）A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x >B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x <C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x =D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x > 【答案】B 【解析】由0a >，()00f <，0a b c ++=可知0a >，0c <，抛物线开口向上．因为()00f c =<，()10f a b c =++=，即1是方程20ax bx c ++=的一个根，所以()0,1x ∀∈，都有()0f x <，B 正确，A 、C 、D 错误. 故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，函数2y ax bx c =++，因为0a b c ++=，令1x =，可得0y a b c =++=，即函数图象过点(1,0)， 又由a b c >>，可得0,0a c ><，所以抛物线的开口向上，可排除D 项， 令0x =，可得0y c =<，可排除B 、C 项； 故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()28f x x kx =--在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是（）A ．k ≤-8B ．k ≥4C ．k ≤-8或k ≥4D ．-8≤k ≤4 【答案】C【解析】函数2()28f x x kx =--对称轴为4kx =， 要使()f x 在区间[-2，1]上具有单调性，则24k≤-或14k ≥，∴8k ≤-或4k ≥ 综上所述k 的范围是：k ≤-8或k ≥4. 故选：C.4．（2022·山东济南·二模）若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<，满足(1)(3)f f =，则下列不等式成立的是（ ）A ．(1)(4)(2)f f f <<B ．(4)(1)(2)f f f <<C ．(4)(2)(1)f f f <<D ．(2)(4)(1)f f f << 【答案】B【解析】因为(1)(3)f f =，所以二次函数2()f x ax bx c =++的对称轴为2x =， 又因为0a <，所以(4)(3)(2)f f f <<，又(1)(3)f f =，所以(4)(1)(2)f f f <<. 故选：B.5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)，若x 1<x 2，则（ ） A ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)<f (x 2) B ．当x 1+x 2=-2时，f (x 1)=f (x 2) C ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)>f (x 2) D ．f (x 1)与f (x 2)的大小与a 有关 【答案】AB【解析】二次函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)的图象开口向上，对称轴为x =-1， 当x 1+x 2=-2时，x 1，x 2关于x =-1对称，则有f (x 1)=f (x 2)，B 正确；当x 1+x 2>-2时，而x 1<x 2，则x 2必大于-1，于是得x 2-(-1)>-1-x 1，有| x 2-(-1)|>|-1-x 1|, 因此，点x 2到对称轴的距离大于点x 1到对称轴的距离，即f (x 1)<f (x 2)，A 正确，C 错误； 显然当a >0时，f (x 1)与f (x 2)的大小只与x 1，x 2离-1的远近有关，与a 无关，D 错误. 故选：AB6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】BC【解析】函数244y x x =--的图象如图所示：因为函数在[)0,a 上的值域为[]8,4--，结合图象可得24a <≤，结合a 是正整数，所以BC 正确.故选： BC.7．（2022·全国·高三专题练习）如果函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】[2,0]-【解析】当0a =时，()61f x x =-，在(,1)-∞上为增函数，符合题意，当0a ≠时，要使函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则需满足0a <且对称轴为612a x a+=-≥，解得：2a ≥-，即20a -≤<， 综上所述：实数的取值范围是：[2,0]-.故答案为：[2,0]-8．（2022·天津·高三专题练习）已知函数2()2f x x x =-在定义域[]1,n -上的值域为[]1,3-，则实数n 的取值范围为____.【答案】[]1,3【解析】函数f （x ）＝x 2﹣2x 的对称轴方程为x ＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，当x ≥1时，函数为增函数，且(3)3f =∴要使函数f （x ）＝x 2﹣2x 在定义域[﹣1，n ]上的值域为[﹣1，3]，实数n 的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]9．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，求实数m 的取值范围. 【解】(1)由题意得：()02f c ==，()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++---=++=- 所以22a =，1a b +=-，解得：1a =，2b =-，所以函数()f x 的解析式为()222f x x x =-+.(2)()()()222g x f x mx x m x =-=-++，对称轴为22m x +=，要想函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，则要满足212m +≤-或222m +≥，解得：4m ≤-或2m ≥，故实数m 的取值范围是(][),42,-∞-+∞.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k ，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x =+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞11．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围. 【解】(1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++， 因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则 0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =， 所以2(1)2f x x x =++.(2)因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要 21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

高考数学一轮复习---幂函数知识点与题型一、基础知识1．幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)只有一项．2．五种常见幂函数的图象与性质R R R{x|x≥0}{x|x≠0}二、常用结论对于形如f(x)＝x nm(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．三、考点解析考点一幂函数的图象与性质例、(1)幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，33)，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x23－n n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1 C．2 D．1或2[解题技法]幂函数y＝xα的主要性质及解题策略：(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．(2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．跟踪训练1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为()A．y＝x－4B．y＝x－1 C．y＝x2D．y＝x 1 32.已知当x∈(0,1)时，函数y＝x p的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．考点二比较幂值大小例、若a＝3221⎪⎭⎫⎝⎛，b＝3251⎪⎭⎫⎝⎛，c＝3121⎪⎭⎫⎝⎛，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c 跟踪训练1．若a＝5253⎪⎭⎫⎝⎛，b＝5352⎪⎭⎫⎝⎛，c＝5252⎪⎭⎫⎝⎛，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a2．若(a＋1)12<(3－2a)12，则实数a的取值范围是________．课后作业1．若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则f (8)的值为( )A ．4 B.2 C ．22 D ．1 2．若幂函数f (x )＝x k 在(0，＋∞)上是减函数，则k 可能是( )A ．1B ．2 C.12 D ．－13．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3 4．已知幂函数f (x )的图象过点⎪⎭⎫⎝⎛412，，则函数g (x )＝f (x )＋x 24的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．6 5．幂函数y ＝x |m －1|与y ＝x23－m m (m ∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m 的值为( )A ．0B ．1和2C ．2D ．0和3 6．已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b 7．设x ＝0.20.3，y ＝0.30.2，z ＝0.30.3，则x ，y ，z 的大小关系为( )A ．x <z <yB ．y <x <zC ．y <z <xD ．z <y <x 8．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x242－＋m m 在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k ，当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]9．若f (x )是幂函数，且满足f (9)f (3)＝2，则)91(f ＝________.10．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是________． 11．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________． 12．已知幂函数f (x )＝x 12-，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．13．已知幂函数f (x )＝x()21－＋m m (m ∈N *)的图象经过点(2，2)．(1)试确定m 的值；(2)求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．。