必修1第二章幂函数、指数函数、对数函数复习

指数与对数函数幂函数知识点总结指数函数、对数函数和幂函数是高中数学中的重要内容，是数学中常见的数学函数类型。

下面将对这三种函数进行详细介绍和总结。

1.指数函数指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数。

通常表示为f(x)=a^x，其中a>0且不等于1、指数函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。

-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。

-当x=0时，f(0)=1，即指数为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。

指数函数的应用广泛，例如在金融领域中的复利计算、生物学中的生长模型、物理学中的放射性衰变等都可以使用指数函数模型来描述。

2.对数函数对数函数是指输出的指数与给定的底数相等的函数，常用的对数函数有以e为底的自然对数函数ln(x)和以10为底的通用对数函数log(x)。

对数函数的特点有：-对数函数的定义域为正实数。

- 对数函数的基本性质是函数值等于对应的指数值，即log_a(a^x) = x。

- 自然对数函数ln(x)与指数函数e^x互为反函数。

-对数函数可以帮助解决指数方程和指数不等式等问题。

对数函数在数学中广泛应用，例如在科学计算、数据压缩、信号传输和信息论等领域都有应用。

3.幂函数幂函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数且大于0。

幂函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。

-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。

-当x=0时，f(0)=1，即幂为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。

幂函数与指数函数相似，但是幂函数的底数是常数。

幂函数在自然科学领域中经常出现，例如在物理学中的速度、加速度和质量等计算中经常使用幂函数模型。

指数函数、对数函数和幂函数是数学中的基本函数类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。

在学习指数函数、对数函数和幂函数时，需要熟练掌握其定义、性质和应用。

几类不同增长的函数模型【学习目标】1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．【要点梳理】要点一：几类函数模型的增长差异一般地，对于指数函数(1)xy a a =>和幂函数(0)y x αα=>，通过探索可以发现，在区间()0,+∞上，无论α比a 大多少，尽管在x 的一定范围内，x a 会小于x α，但由于x a 的增长快于x α的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有x a >x α．同样地，对于对数函数log a y x =增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x 轴平行一样，尽管在x 的一定范围内，log a x 可能会大于x α，但由于log a x 的增长慢于x α的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有log a x x α<．综上所述，在区间()0,+∞上，尽管函数(1)xy a a =>、(0)y x αα=>和log (1)a y x a =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x 的增大，(1)xy a a =>的增长速度越来越快，会超过并远远大于(0)y x αα=>的增长速度，而log (1)a y x a =>的增长则会越来越慢，因此总会存在一个0x ，当0x x >时，就有log .xa x x a α<<三类函数模型增长规律的定性描述：1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）； 2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）； 3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）．如图所示：要点诠释：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．常用的函数模型有以下几类：（1）线性增长模型：(0)y kx b k =+>；（2）线性减少模型：(0)y kx b k =+<．（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数2(0)y ax bx c a =++<；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数2(0)y ax bx c a =++>．（3）指数函数模型()x f x ab c =+（a 、b 、c 为常数，a≠0，b ＞0，b≠1），当1b >时，为快速增长模型；当01b <<时，为平缓减少模型．（4）对数函数模型()log a f x m x n =+（m 、n 、a 为常数，a ＞0，a≠1）；当1a >时，为平缓增长模型；当01a <<时，为快速减少模型．（5）反比例函数模型(0)ky k x=≠．当0k >时，函数在区间(),0-∞和()0,+∞上都是减函数；当0k <时，函数在(),0-∞和()0,+∞上都是增函数．（6）分段函数模型当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．【典型例题】类型一、研究函数的变化规律并比较其大小例1. 当x ＞0时，比较12log x ，12x ，12x⎛⎫⎪⎝⎭的大小．【解析】作出函数12log y x =，12y x =，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象（如下图所示）．由二分法可得，方程1212xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解为x=0.5，方程121log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的近似解为x=0.64118574，方程1212log x x =的近似解为x=0.587774756．由图象及上述近似解可知，当0＜x ＜0.5时，12121log 2x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；当x=0.5时，12121log 2xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭；当0.5＜x ＜0.587774756时，12121log 2x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；当x=0.587774756时，11221log 2xx x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；当0.587774756＜x ＜0.64118574时，12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；当x=0.64118574时，12121log 2xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭；当x ＞0.64118574时，12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．【总结升华】本例归纳到一般有如下规律：在区间（0，+∞）上，尽管函数y=a x （0＜a ＜1）、y=log a x（0＜a ＜1）和y=x n （n ＜0）都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y=log a x （0＜a ＜1）的衰减速度越来越快，直至负值，因而远远大于y=a x （0＜a ＜1）与y=x n （n ＜0）的衰减速度．而y=a x （0＜a ＜1），y=a n （n ＜0）都是在正值范围内衰减，随着x 的不断增长，两者的衰减速度差距越来越小，其中y=a n （n ＜0）的衰减速度会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有x n ＞a x ＞log a x ．举一反三：【变式1】 比较13x⎛⎫⎪⎝⎭、13x 、13log (1)x x >的大小．【答案】13x >13x⎛⎫⎪⎝⎭13log x >【解析】分别画出13131(),,log 3xy y x y x ===的图象，可得结论．类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型例2．某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现，f (n )近似地满足9()nAf n a bt=+，其中232t -=，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A .已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．【答案】9【解析】由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A .所以99314AA a b A A a b ⎧=⎪+⎪⎨=⎪+⎪⎩，解得a ＝1，b ＝8.所以9()18n A f n t =+⨯，其中223t =-. 令f (n )＝8A ，得9818nA A t =+⨯，解得164nt =， 即62122364n --==，所以n ＝9.答：栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．【总结升华】本题将指数函数型嵌入树苗种植问题，使问题情景生动而新颖，自然而贴切．同学们不仅要学会二次函数的知识，而且还要会运用所学数学知识分析和解决生活实际问题，体验数学与生活“融合”的乐趣．举一反三： 【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x = t （0≤t ≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f （t ），则函数y = f （t ）的图象大致是（ ）【答案】D【解析】函数22(01)2()(12)2t t S t t t ≤≤⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩故选 D ．【变式2】据调查，某贫困地区约有100万人从事传统农业的农民，人均年收入仅有3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x （x ＞0）万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为3000a 元（a ＞0）．（1）建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大．【答案】（1）0＜x≤50；（2）50．【解析】（1）由题意得23000(100)(1)1003000100xx -⨯+≥⨯，即x 2－50x≤0，解得0≤x≤50． 又∵x ＞0，∴0＜x≤50．（2）设这100万人农民的人均年收入为y 元，则23000(100)(1)3000100100xx ax y -⨯++=603000(1)300000100x a x -+++=，即223[25(1)]3000375(1)5y x a a =--++++，0＜x≤50．当0＜25(a+1)≤50且a ＞0，即0＜a≤1时，则x=25(a+1)时，y 取最大值． 当25(a+1)＞50即a ＞1时，y 在（0，5]上单调递增， ∴当x=50时，y 取最大值．答：在0＜a≤1时，安排25(a+1)万人进入企业工作，在a ＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．【总结升华】本题是一个关注民生的实际问题，应认真阅读，理解题意，转译为数学语言，寻找变量之间的联系．然后对此二次函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．例3．某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接收订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？【解析】首先建立直角坐标系，画出散点图（右图）；其次，根据散点图，我们可以设想函数模型可能为一次函数型：f (x)=kx+b （k≠0）；二次函数型：g (x)=ax 2+bx+c （a≠0）；幂函数型：12()h x ax b =+；指数函数型：m (x)=ab x +c ．最后，用待定系数法求出各解析式，并验证，选出合适的函数． 设月产量为y 万件，月份数为x ，建立直角坐标系（如右图），可得A（1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）．（1）对于直线()(0)f x kx b k =+≠，将B 、C 两点的坐标代入，有(2)2 1.2f k b =+=，(3)3 1.3f k b =+=，解得k=0.1，b=1，故()0.11f x x =+． 将A 、D 两点的坐标代入，得f (1)=1.1，与实际误差为0.1，f (4)=1.4，与实际误差为0.03．（2）对于二次函数2()(0)g x ax bx c a =++≠，将A 、B 、C 三点的坐标代，有g (1)=a+b+c=1，g (2)=4a+2b=c=1.2，g (3)=9a+3b+c=1.3．解得a=―0.05，b=0.35，c=0.7，故g (x)=―0.05x 2+0.35x+0.7． 将D 点的坐标代入，得g (4)=―0.05×42+0.35×4+0.17=1.3，与实际误差为0.07．（3）对于幂函数型12()h x ax b =+，将A 、B 两点的坐标代入，有h (1)=a+b=1，(2) 1.2h b =+=．解得a≈0.48，b≈0.52．故12()0.480.52h x x =+． 将C 、D 两点的坐标代入，得(3)0.480.52 1.35h =≈，与实际误差为0.05；h (4)=0.48×2+0.52=1.48，与实际误差为0.11．（4）对于指数函数型m(x)=ab x +c ，将A 、B 、C 三点的坐标代入，得m (1)=ab+c=1，m (2)=ab 2+c=1.2，m (3)=ab 3+c=1.3．解得a=―0.8，b=0.5，c=1.4．故m (x)=―0.8×(0.5)x +1.4． 将D 点的坐标代入，得m (4)=－0.8×(0.5)4+1.4=1.35，与实际误差为0.02．比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m (x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m (x)恰好反映了这种趋势，因此选用m (x)=－0.8×(0.5)x +1.4比较接近客观实际．选用y=a·b x +c 模型，且a=－0.8，b=0.5，c=1.4比较接近实际．举一反三：【变式1】某山区加强环境保护后，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么经过x 年绿色植被的面积为y ，则函数y = f (x ) 的图象大致为（ ）．【答案】D【解析】设某山区原有绿色植被为a ，则经过第一年增长后面积为(110.4%)a +，经过第二年增长后面积为2(110.4%)a +，…，经过x 年绿色植被的面积为(110.4%)xa +，是指数型函数，故选D ． 【变式2】“水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨二不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x （x≤7）吨，试计算本季度他应交的水费y （单位：元）．【思路点拨】根据每一季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%．分为三段，建立分段函数模型．【答案】 1.2,[0,5]() 3.612,(5,6]626.4,(6,7]x x f x x x x x ∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈⎩【解析】由题意可知：①当x ∈[0，5]时 f （x ）=1.2x②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%； 即：当x ∈（5，6]时 f （x ）=1.2×5+（x －5）×3.6=3.6x －12 ③当x ∈（6，7]时 f （x ）=1.2×5+1×3.6+（x －6）×6=6x －26.4∴ 1.2,[0,5]() 3.612,(5,6]626.4,(6,7]x x f x x x x x ∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈⎩【总结升华】本题主要考查将实际应用问题转化为数学问题的能力，解题时要仔细阅读，抓住关键词，关键句来建立数学模型，分段函数的意义和应用．例4．（2018春 江苏启东市月考）某人年初向银行贷款10万元用于购房，（1）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？（2）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的计算计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（其中：1.0410=1.4802）【思路点拨】（1）设每年还款x 元，由题意可得510(1105%)(195%)(185%)x x x +⨯=+⨯++⨯++，从而解x ；（2）设每年还款y 元，由题意可得5109810(14%)(14%)(14%)y y y +=+++++，从而解y ．【答案】（1）12245；（2）12330 【解析】（1）设每年还款x 元，则510(1105%)(195%)(185%)x x x +⨯=+⨯++⨯++，即510 1.510450.05x x ⨯=+⋅， 解得，105 1.512245()12.25x ⨯=≈元；（2）设每年还款y 元，则5109810(14%)(14%)(14%)y y y +=+++++，即105101.04110 1.04 1.041y -⨯=-，则510 1.48020.0412330()0.4802y ⨯⨯≈≈元． 【总结升华】上述公式(1r)xy a =+是计算复利的本利和公式，应熟练掌握它，并灵活地运用它解决实际问题中的复利利息计算问题．所谓复利，就是到期后，本期的利息自动计入下一期的本金，类似地，到期后，本期的利息不计作下一期的本金就是单利，单利的计算公式为y =a (1+xr )．其中a 为本金，r 为每一期的利率，x 为期数．举一反三：【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．【答案】219.01【变式2】某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为（n+1）元时，比礼品价值为n 元（n ∈N*）时的销售量增加10%．（1）写出礼品价值为n 元时，利润y n （元）与n （元）的函数关系式； （2）请你设计礼品的价值，以使商品获得最大利润．【答案】（1）(10080)(110%)(20) 1.1n nn y n m n m =--⋅⋅+=-⋅⋅(020,N*)n n <<∈；（2）9元或10元．【解析】第（1）问易得，第（2）问礼品的价值为多少时，使商店获取最大的利润，只需借助于指数函数的单调性，使得n 取某个值时，其前面的取值与后面的取值都比它小即可，即10n n y y +-≥且120n n y y ++-≥．（1）设未赠礼品时的销售量为m 件，则当礼品价值为n 元时，销售量为m(1+10%)n ；利润(10080)(110%)(20) 1.1n nn y n m n m =--⋅⋅+=-⋅⋅(020,N*)n n <<∈．（2）令10n n y y +-≥，即1(19) 1.1(20) 1.10n nn m n m +-⋅⋅--⋅⋅≥，解得n≤9．所以y 1＜y 2＜y 3＜…＜y 9=y 10，令120n n y y ++-≥，即12(19) 1.1(18) 1.10n n n m n m ++-⋅⋅--⋅⋅≥，解得n≥8．所以y 9=y 10＞y 11＞y 12＞y 13＞…＞y 19，所以礼品价值为9元或10元时，商品获得最大利润．例5．如图，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为v （v ＞0），雨速沿E 移动方向的分速度为c （c ∈R ）．E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S 成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=32时．（Ⅰ）写出y 的表达式；（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．【答案】（Ⅰ）5(103)15(),5(310)15().c v c vy c v c v -⎧+≥⎪⎪=⎨+⎪-<⎪⎩（Ⅱ）当10v =时，min 3202y c =-；当v c =时，min 50y c =． 【解析】（Ⅰ）单位时间的淋雨量为：131||1022v c ⨯-+ 总的淋雨量为：10031||202y v c v ⎡⎤=⨯-+⎢⎥⎣⎦，5(103)c y v-∴= 即5(103)15(),5(310)15().c v c vy c v c v -⎧+≥⎪⎪=⎨+⎪-<⎪⎩（Ⅱ）①当1030,c ->即1003c <≤时 y 在(]0,10v ∈上单调递减 10v ∴=时，y 最小，min 3202y c =-． ②当1030,c -<即1053c <≤时y 在(0,)v c ∈上单调递减，在(,10)v c ∈上单调递增．当v c =时，y 最小，min 50y c =． 答：当雨速的分速度1003c <≤，10v =时，min 3202y c =-；当雨速的分速度1053c <≤，v c =时，min 50y c=．【巩固练习】1．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是（ ） A ．y=50 B ．y=1000x C ．y=0.4·2x －1 D ．11000xy e =2．y 1=2x ，y 2=x 2，y 3=log 2x ，当2＜x ＜4时，有（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 2＞y 3＞y 13．某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系是y=3000+20x －0.1x 2（0＜x ＜240，x ∈N ），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ）A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台4．如右图所示，已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A运动，设P 点运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，而函数S=f (x)的图象是下图中的（ ）5．用计算器检验下列命题，其中真命题是（ ） A ．lg xy x=在（1，+∞）上是单调函数 B ．lg x y x =，x ∈（1，+∞）时，值域为lg 30,3⎛⎤⎥⎝⎦ C ．lg xy x =，x ∈（1，+∞）时，y 有最小值 D ．lg xy x=（x ＞1）随着x 的增大而越来越接近于06．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）A ．321122y x x x =-- B ．3211322y x x x =+- C ．314y x x =- D ．3211242y x x x =+-7．（2018春 吉林期末）在国内投寄平信，将每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资（分）表示为信重x （0＜x ≤40）（克）的函数，其表达式为________．8．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机的价格降低13，则现在价格为8100元的计算机，9年后的价格是 ．9．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q （单位：元/100 kg ）与上市时间t （单位：天）的数据如下表：t 的变化关系：Q at b =+，2Q at bt c =++，t Q a b =⋅，log b Q a t =⋅．利用你选取的函数，求：（1）西红柿种植成本最低时的上市天数是__________； （2）最低种植成本是____________元/100kg ． 10．经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且销售量近似满足g （t ）=80－2t （件），价格近似满足于115,(010)2()125,(1020)2t t f t t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩（元）．（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y 与时间t （0≤t ≤20）的函数表达式；（Ⅱ）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值． 11．（2018 江苏镇江一模）某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为（0≤t ≤24）（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时，有几小时出现供水紧张现象．【答案与解析】1．【答案】D【解析】 指数函数模型增长速度最快，故选D ． 2．【答案】B【解析】 在同一平面直角坐标系中画出三个函数的图象，在区间（2，4）内，从上到下图象依次对应为y 2=x 2，y 1=2x ，y 3=log 2x ，故y 2＞y 1＞y 3．3．【答案】C【解析】 依题意有25x―(3000+20x―0.1x)2≥0，解得x≥150或x≤－200（舍）．故选C ． 4．【答案】D【解析】 由题图知，P 在BC 上时，0≤x ＜4，422x S x ==，P 在CD 上时，4≤x≤8，4482S ⨯==，∴选D ．5．【答案】D【解析】 可用计算器检验，也可利用函数y=x 与y=lgx 的增长规律来判断：由于x （x ＞1）增大时，函数y=x 比y=lgx 增长的速度快得多，因此函数lg xy x=随着x 的增大而越来越接近于0． 6．【答案】A【解析】由题意可知，该三次函数的图象过原点，则其常数项为0，不妨设其解析式为32()(0)y f x ax bx cx a ==++≠，则2'()32f x ax bx c =++，∴f ′（0）＝－1，f ′（2）＝3，可得c ＝－1，3a ＋b ＝1.又32y ax bx cx =++过点（2，0），∴4a ＋2b ＝1， ∴12a =，12b =-，c ＝－1， ∴3211()22y f x x x x ==--.故选A ． 7．【答案】80,020()160,2040x f x x <≤⎧=⎨<≤⎩ 【解析】在信件不超过20克重时，付邮资80（分），应视为自变量在0＜x ≤20范围内，函数值是80（分）；在信件超过20克重而不超过40克重时，付邮资160（分），应视为自变量在20＜x ≤40范围内，函数值是160（分），遂得分段函数．其表达式f （x ）为80,020()160,2040x f x x <≤⎧=⎨<≤⎩．故答案为：80,020()160,2040x f x x <≤⎧=⎨<≤⎩． 8．【答案】2400 【解析】根据题意，经过9年价格降3次，所以9年后的价格为318100(1)24003⨯-=．故填2400．9．【答案】120；80．【解析】∵随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数2(120)Q a t m =-+描述，将表中数据代入可得22(60120)116,(100120)84,a m a m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得0.0180a m =⎧⎨=⎩ ∴20.01(120)80Q t =-+，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg ．故填120；80．10．分析：（Ⅰ）由已知，由价格乘以销售量可得该种商品的日销售额y 与时间t （0≤t ≤20）的函数表达式；（Ⅱ）由（Ⅰ）分段求出函数的最大值与最小值，从而可得该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．【答案】（Ⅰ）22101200,(010)902000,(1020)t t t t t t ⎧-++≤≤⎪⎨-+<≤⎪⎩；（Ⅱ）max 1225y =（当t =5时取得），min 600y =（当t =20时取得）【解析】（Ⅰ）由已知，由价格乘以销售量可得：1(15)(802),(010)(30)(40),(010)21(50)(40),(1020)(25)(802),(1020)2t t t t t t y t t t t t t ⎧+-≤≤⎪+-≤≤⎧⎪==⎨⎨--<≤⎩⎪--<≤⎪⎩ 22101200,(010)902000,(1020)t t t t t t ⎧-++≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）知①当0≤t ≤10时22101200(5)1225y t t t =-++=--+函数图象开口向下，对称轴为t =5，该函数在t ∈[0，5]递增，在t ∈（5，10]递减∴max 1225y =（当t =5时取得），min 1200y =（当t =0或10时取得）②当10＜t ≤20时22902000(45)25y t t t =-+=--图象开口向上，对称轴为t =45，该函数在t ∈（10，20]递减，t =10时，y =1200，min 600y =（当t =20时取得）由①②知max 1225y =（当t =5时取得），min 600y =（当t =20时取得）点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是确定函数的解析式．11．【答案】（1）从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨；（2）约有8小时供水紧张【解析】（1）设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，由40060y t =+-x =；则26x t =，即224001012010(6)40y x x x =+-=-+； ∴当x =6，即t =6时，min 40y =，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨．（2）依题意24001012080x x +-<，得212320x x -+<解得，4＜x ＜8，即83248,33t <<<； 即由328833-=，所以每天约有8小时供水紧张．。

指数、对数、幂函数知识归纳知识要点梳理知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时， (2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式：，，.3.常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).4.对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.1.反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.2.反函数的性质(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.(4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.3.反函数的求法(1)确定反函数的定义域，即原函数的值域；(2)从原函数式中反解出；(3)将改写成，并注明反函数的定义域.知识点六：幂函数1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.综合训练一、选择题1．若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为( )A．B．C．D．2．若函数的图象过两点和，则( )A．B．C．D．3．已知，那么等于( )A．B．8C．18 D．4．函数( )A．是偶函数，在区间上单调递增B．是偶函数，在区间上单调递减C．是奇函数，在区间上单调递增D．是奇函数，在区间上单调递减5．（2011 辽宁理9）设函数f(x)＝则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．6．函数在上递减，那么在上( )A．递增且无最大值B．递减且无最小值C．递增且有最大值D．递减且有最小值二、填空题7．若是奇函数，则实数=_________.8．函数的值域是__________.9．已知则用表示____________.10．设, ,且，则____________；____________.11．计算：____________.12．函数的值域是__________.三、解答题13．比较下列各组数值的大小：(1)和；(2)和；(3).14．解方程：(1)；(2).15．已知当其值域为时，求的取值范围.16．已知函数，求的定义域和值域.能力提升一、选择题1．函数上的最大值和最小值之和为，则的值为( ) A．B．C．2D．42．已知在上是的减函数，则的取值范围是( )A. B. C. D.3．对于，给出下列四个不等式①②③④其中成立的是( )A．①与③B．①与④C．②与③D．②与④4．设函数，则的值为( )A．1B．-1C．10 D．5．定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和，如果，那么( )A．，B．，C．，D．，6．若,则( )A．B．C．D．二、填空题7．若函数的定义域为，则的范围为__________.8．若函数的值域为，则的范围为__________.9．函数的定义域是______；值域是______.10．若函数是奇函数，则为__________.11．求值：__________.三、解答题12．解方程：(1)(2) 13．求函数在上的值域.14．已知，,试比较与的大小.15．已知，⑴判断的奇偶性；⑵证明．。

湘教版高一数学第2章指数函数对数函数和幂
函数知识点总结
这部分内容在考试中一般很少单独考查，只是融合在各个题型的一些运算中，难度不大，属于容易题，但大家仍然不要忽略数学第2章指数函数对数函数和幂函数知识点。

一、指数函数
指数函数是数学中重要的函数。

应用到值e上的这个函数写为exp(x)。

还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。

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二、对数函数
对数公式是数学中的一种常见公式,如果a^x=N(a>0,且
a≠1),则x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N),其中a要写于log右下。

详情请点击：高一数学对数函数知识点：上册
三、幂函数
一般地，形如y=xα(α为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。

例如函数
y=x0?、y=x1、y=x2、y=x-1(注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0)等都是幂函数。

详情请点击：高一数学上学期知识点：幂函数??
大家对湘教版高一数学第2章指数函数对数函数和幂函数知识点还有什么不了解的地方吗？赶紧来练习一下湘教版高一数学第2章指数函数对数函数和幂函数同步练习题集来发现自己的不足吧~~。

高一上期末数学复习---幂函数、指数函数和对数函数一、知识点突破1．幂函数 （1）幂函数的定义一般地，函数()R a x y a∈=叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数．（2）5个常见幂函数的图象与性质函数 x y = 2x y = 3x y =21xy =1-=x y定义域 RR R{}0≥x x {}0≠x x 值域 R{}0≥y yR{}0≥y y{}0≠y y奇偶性奇函数偶函数 奇函数 非奇非偶函数奇函数 单调性在R 上单调递增在()0,∞-上单调递减，在()+∞,0上单调递增在R 上单调递增在()+∞,0上单调递增在()0,∞-和()+∞,0上单调递减图象过定点()0,0，()1,1()1,12．指数函数的图象与性质x a y =1>a10<<a图象性质函数的定义域为R ；值域为()+∞,0 函数图象过定点()1,0，即当0=x 时，1=y当0>x 时，恒有1>y ； 当0<x 时，恒有10<<y 当0>x 时，恒有10<<y ； 当0<x 时，恒有1>y 函数在定义域R 上为增函数函数在定义域R 上为减函数3．对数函数的图象与性质xy a log =1>a 10<<a图象定义域 ()+∞,0值域R性质过定点()0,1，即1=x 时，0=y当1>x 时，0>y ；当10<<x 时，0<y 当1>x 时，0<y ； 当10<<x 时，0>y 在()+∞,0上是增函数在()+∞,0上是减函数4．反函数指数函数(0>=a a y x且)1≠a 与对数函数(0log >=a x y a 且)1≠a 互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线x y =对称．二、题型突破题型一 幂函数的图象与性质【例1】（1）已知幂函数qpx y =1,,(*>∈q N q p 且q p ,互质)的图象如图所示，则( ) A ．q p ,均为奇数，且1>qp B ．q 为偶数，p 为奇数，且1>q p C ．q 为奇数，p 为偶数，且1>qp D ．q 为奇数，p 为偶数，且10<<qp （2）若3221⎪⎭⎫⎝⎛=a ，3251⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，3121⎪⎭⎫⎝⎛=c ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．c a b << 巩固训练：1．下面4个图象都是幂函数的图象，函数23-=xy 的图象是( )2．(多选)已知函数()ax x f =的图象经过点()2,4，则下列命题正确的有( )A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若1>x ，则()1>x fD ．若210x x <<，则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+222121x x f x f x f 题型二 指数函数的图象及应用【例2】（1）函数125--⎪⎭⎫⎝⎛=x y 的大致图象为图中的( )（2）(多选)已知实数a ，b 满足等式ba ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛3121，则下列关系式中不可能成立的是( )A ．a b <<0B ．0<<b aC ．b a <<0D ．0<<a b 巩固训练：1．已知在同一坐标系下，指数函数xa y =和xb y =的图象如图，则下列关系中正确的是( )A ．1<<b aB ．1<<a bC ．1>>b aD ．1>>a b 2．若曲线12+=x y 与直线b y =没有公共点，则b 的取值范围是________． 题型三 指数函数的性质及应用【例3】（1）设9.014=y ，48.028=y ，5.1321-⎪⎭⎫ ⎝⎛=y ，则( )A ．213y y y >>B ．312y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >>（2）若10<<<b a ，ba x =，ab y =，bb z =，则x ，y ，z 的大小关系为( ) A ．y z x << B ．z x y << C ．x z y << D ．x y z << （3）已知函数()mx x f -=22(m 为常数)，若()x f 在区间[)+∞,2上单调递增，则m 的取值范围是________．巩固训练1．已知532=a ，523=b ，315-=c ，则( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<2．已知yx yx ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--21212121，则下列关系式正确的是( ) A ．y x < B ．y x > C ．y x -< D ．y x -> 3．当(]1,-∞-∈x 时，不等式()024232<--+--x xm m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[]2,0B ．()51,51+-C ．[]51,51+- D ．[]4,2- 题型四 对数函数的图象及应用【例4】（1）在同一个坐标系中，函数()xa x f 1=与()xax g lg =的图象可能是( )（2）已知函数()x x f ln =，若b a <<0，且()()b f a f =，则b a +2的取值范围是( ) A ．()+∞,22 B ．[)+∞,22 C ．()+∞,3 D ．[)+∞,3 巩固训练1．当1>a 时， 在同一坐标系中，函数xay -=与x y a log -=的图象是( )2．设1x ，2x ，3x 均为实数，且1ln 1x e x =-，()1ln 22+=-x e x ，3lg 3x e x =-，则( )A ．1x <<2x 3xB ．<1x <3x 2xC ．2x <<3x 1xD ．2x <<1x 3x3．当()2,1∈x 时，不等式()x x a log 12<-恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．()1,0 B ．()2,1 C ．(]2,1 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 题型五 对数函数的性质及应用【例5】（1）已知4585<，54813<．设3log 5=a ，5log 8=b ，8log 13=c ，则( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a c b << D ．b a c <<（2）已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数，当0≤x 时，()x f 单调递减，则不等式()()8log 52log 331f x f >⎪⎪⎭⎫⎝⎛-的解集为( )A .⎪⎭⎫⎝⎛1641,25 B .⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,213 C .⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛1641,25⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,213 D .⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-25,⎪⎭⎫⎝⎛213,1641 巩固训练1．设2log 3=a ，3log 5=b ，32=c ，则( ) A ．b c a << B ．c b a << C ．a c b << D ．b a c <<2．设函数()x f 的定义域为D ，若满足：①()x f 在D 内是单调增函数；②存在[]()m n D n m >⊆,，使得()x f 在[]n m ,上的值域为[]n m ,，那么就称()x f y =是定义域为D 的“成功函数”．若函数()()(0log 2>+=a t a x g x a ，且)1≠a 是定义域为R 的“成功函数”，则实数t 的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 B ．⎥⎦⎤⎝⎛41,0C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41,D ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,41 3．(多选)已知函数()()()4log 2log 221+--=x x x f ，则下列结论中错误的是( ) A ．函数()x f 的定义域是[]2,4- B ．函数()1-=x f y 是偶函数C ．函数()x f 在区间[)2,1-上是减函数D ．函数()x f 的图象关于直线1=x 对称三、反馈练习一、单项选择题1．幂函数()a x k x f ⋅=过点()2,4，则=+a k （ ） A ．23 B ．3 C ．21D ．2 2．函数()(0121>-=+a a x f x ，且)1≠a 恒过定点（ ）A ．()1,1--B ．()1,1-C ．()12,0-aD ．()1,03．函数1(,0]()3(21)(1),(0,)xx f x a x a x ⎧⎛⎫∈-∞⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-∈+∞⎩，在(),-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭4．函数12221-+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的单调递减区间是( )A ．()1,∞-B ．[)+∞,1C ．()1,-∞-D ．()+∞-,15．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%．经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%y ，且y 随时间t (单位：分钟)的变化规律可以用函数120.05e ty λ-=+（R λ∈）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）(参考数据ln3 1.1≈)A ．10分钟B ．14分钟C ．15分钟D ．20分钟6．已知函数()()⎩⎨⎧≥<+-=-2,,2,121x a x x a x f x 在()+∞∞-,上对任的21x x ≠都有()()02121>--x x x f x f 成立，则实数a 的取值范围是( )A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛35,1B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,35 C ．()2,1 D ．()+∞,07.已知函数1()ln1x f x x -=+，设()0.44a f =，()34(5)b f =，()0.225c f =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c a b >>8．设函数21,2()7,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c++的取值范围是（ ）A ．()8,9B ．()65,129C ．()64,128D ．()66,130 二、多项选择题9．若函数ax y =的定义域为R 且为奇函数，则a 可能的值为（ ） A ．32 B ．1 C ．21D ．3 10．若指数函数xa y =在区间[]1,1-上的最大值和最小值的和为25，则a 的值可能是（ ） A ．2 B ．21 C ．3 D ．31 11．对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．12．关于函数()()21lg 0x f x x x+=≠，则下列说法正确的是（ ） A ．其图象关于y 轴对称 B ．当0x >时，()f x 是增函数；当0x <时，()f x 是减函数C ．()f x 的最小值是lg 2D ．()f x 无最大值，也无最小值 三、填空题 13．函数y =________．14．设函数()212,1,log 1,0 1.x x f x x x ⎧->=⎨+<≤⎩则()21log 32f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____． 15．设函数()⎩⎨⎧>≤+=,0,2,0,1x x x x f x则满足()121>⎪⎭⎫⎝⎛-+x f x f 的x 的取值范围为_________． 16．已知函数()log ()(1)xa f x a a a =->，则()f x 的定义域为________，值域为_________．四、解答题17．已知幂函数()x f 的图象过点()4,2． （1）求函数()x f 的解析式；（2）设函数()()12--=kx x f x g 在[]1,1-是单调函数，求实数k 的取值范围． 18．已知实数0a >，且满足不等式324133a a ++>． （1）解不等式()()log 32log 85a a x x +<-；（2）若函数()()()log 2log 1a a f x x x =+--在区间[]2,4上有最小值1-，求实数a 的值．19．已知定义在R 上的函数2()21xx b f x -=+是奇函数．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t R ∈，不等式2(2)()0f t t f k -+->恒成立，求实数k 的取值范围． 20．已知函数()()()2lg 39f x x ax a R =++∈．（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若对于任意[)1,x ∈+∞，恒有()0f x >，求实数a 的取值范围．21．已知函数()2021xf x =可以表示为一个奇函数()g x 与一个偶函数()h x 的和．（1）请分别求出()g x 与()h x 的解析式； （2）记()()()F x g x h x =⋅．（i ）证明：()F x 为奇函数；（ii ）若存在[]0,2x ∈，使得不等式()()39330xxxF F m -+⋅-<成立，求实数m 的取值范围．22．设函数()()(012>--=a at a x f xx ，且)1≠a 是定义域为R 的奇函数． （1）求的值；（2）若()01>f ，求使不等式()()012<-+-x f xkx f 对一切∈x R 恒成立的实数k 的取值范围；（3）若函数()x f 的图象过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1，是否存在实数m ，使函数()()x mf a a x g x x-+=-22在[]3log ,12上的最大值为1，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．。

第二章函数与导数第8课时指数函数、对数函数及幂函数（2）(对应学生用书(文）、(理)22～23页）考情分析考点新知高考对指数函数的考查近三年有所升温，重点是指数函数的图象和性质,以及指数函数的实际应用问题，在复习时要特别重视对指数函数性质的理解与应用．①了解指数函数模型的实际背景.②理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.③知道指数函数是一类重要的函数模型。

1。

(必修1P110复习9改编)函数y＝a x－3＋3恒过定点________．答案：(3,4)解析:当x＝3时，f（3）＝a3－3＋3＝4,∴f（x）必过定点（3,4)．2. （必修1P110复习3改编）函数y＝8－16x的定义域是________．答案:错误!解析：由8－16x≥0，所以24x≤23,即4x≤3，定义域是错误!.3。

（必修1P67练习3)函数f（x)＝（a2－1）x是R上的减函数，则a的取值范围是________________．答案：（－错误!，－1)∪(1,错误!）解析：由0＜a2－1＜1，得1＜a2＜2，所以1＜|a｜＜2，即－错误!＜a ＜－1或1＜a ＜错误!。

4. (必修1P 71习题13改编)已知函数f （x ）＝a ＋错误!是奇函数，则常数a ＝________。

答案:－12解析：由f （－x)＋f(x)＝0，得a ＝－12.5。

（原创)函数y ＝1＋错误!|x －1|的值域为__________。

答案:(1,2]解析：设y′＝错误!u ,u ＝|x －1|。

由于u ≥0且y′＝错误!u 是减函数， 故0〈错误!｜x －1｜≤1，则1＜y≤2。

1. 指数函数定义一般地，函数y ＝a x （a>0，a ≠1）叫做指数函数,函数的定义域是R ．2。

指数函数的图象与性质a>1 0<a 〈1图象定义域 R 值域(0,＋∞）［备课札记]题型1 指数型函数的定义域、值域例1 已知x∈[－3，2]，求f(x ）＝错误!－错误!＋1的最小值与最大值．解：f(x)＝14x －错误!＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x ＋1＝错误!2＋错误!.∵ x ∈［－3，2］, ∴ 错误!≤2－x ≤8.则当2－x ＝错误!，即x ＝1时，f （x ）有最小值34;当2－x ＝8,即x ＝－3时，f(x ）有最大值57。