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第四节 二次函数与幂函数考试要求：1．通过具体实例，结合y ＝x ，y ＝x －1，y ＝x 2，y ＝x 12，y ＝x 3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．2．理解简单二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．一、教材概念·结论·性质重现 1．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α称为幂函数，其中α为常数．幂函数的特征(1)自变量x 处在幂底数的位置，幂指数α为常数． (2)x α的系数为1． (3)解析式只有一项． 2．常见的五种幂函数的图象3．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1,1)．(2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在(0，＋∞)上是增函数．(3)如果α<0，则幂函数在(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方且无限逼近y 轴；当x 无限增大时，图象在x 轴上方且无限逼近x 轴．4．二次函数的图象与性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递增； 在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ⎝⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a 对称性 图象关于直线x ＝－b2a成轴对称图形二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． (1)“ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a ＞0且Δ＜0”． (2)“ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a ＜0且Δ＜0”． 二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)函数y ＝2x 12是幂函数．( × )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (3)当n <0时，幂函数y ＝x n是定义域上的减函数． ( × ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( × )2．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A ．14 B ．4 C ．22D ． 2C 解析：设f (x )＝x α，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，所以f (4)＝4α＝12，解得α＝－12，所以f (2)＝2－12＝22．3．二次函数f (x )的图象经过(0,3)，(2,3)两点，且f (x )的最大值是5，则该函数的解析式是( )A ．f (x )＝2x 2－8x ＋11 B ．f (x )＝－2x 2＋8x －1 C ．f (x )＝2x 2－4x ＋3D ．f (x )＝－2x 2＋4x ＋3D 解析：二次函数f (x )的图象经过(0,3)，(2,3)两点，则图象的对称轴为x ＝1．又由函数的最大值是5，可设f (x )＝a (x －1)2＋5(a ≠0)．于是3＝a ＋5，解得a ＝－2．故f (x )＝－2(x －1)2＋5＝－2x 2＋4x ＋3．故选D ．4．(多选题)(2022·海南中学月考)若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3,27)，则幂函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数AC 解析：设幂函数为f (x )＝x α(α为常数)，因为其图象经过点(3,27)，所以27＝3α，解得α＝3，所以幂函数f (x )＝x 3．因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，又α＝3＞0，所以f (x )在R 上是增函数．5．已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是__________．－1 解析：因为函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1，所以函数y ＝2x 2－6x＋3在[－1,1]上单调递减．当x ＝1时，y 取得最小值，所以y min ＝2－6＋3＝－1．考点1 幂函数的图象和性质——基础性1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数D 解析：设幂函数f (x )＝x a ，则f (3)＝3a＝3，解得a ＝12，所以f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数．2．(2021·南昌月考)若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·x m 2－m －2的图象不过原点，则( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1B 解析：因为幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不过原点，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2≤0，m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或2，符合题意．故选B ．3．与函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )B 解析：y ＝x 12的图象位于第一象限且函数图象是上升的，函数y ＝x 12－1的图象可看作由y ＝x 12的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A 中的图象所示)．将y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称后即为选项B ．4．若(a ＋1)－2＞(3－2a )－2，则a 的取值范围是___________．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23∪(4，＋∞) 解析：因为(a ＋1)－2＞(3－2a )－2，又f (x )＝x －2为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减， 所以⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋1|＜|3－2a |，a ＋1≠0，3－2a ≠0，解得a ＜23且a ≠－1或a ＞4．1．解决这类问题要优先考虑幂函数的定义以及解析式，然后结合幂函数的图象与性质来求解．2．有些题目，如第4题利用幂函数的推广性质以及函数有关性质共同得出结论．考点2 二次函数的解析式——综合性已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求二次函数f (x )的解析式．解：(方法一：利用二次函数的一般式)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故f (x )＝－4x 2＋4x ＋7．(方法二：利用二次函数的顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋－12＝12．所以m ＝12．又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8．因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， 所以f (x )＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7．(方法三：利用二次函数的零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，a ≠0， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1． 又函数有最大值y max ＝8，即4a－2a －1－a24a＝8，解得a ＝－4．故f (x )＝－4x 2＋4x ＋7．求二次函数解析式的策略1．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关B 解析：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点， 则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b ．所以M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然与a 有关，与b 无关．2．(2022·青岛模拟)设a ，b 为不相等的实数，若二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 满足f (a )＝f (b )，则f (2)＝( )A ．7B ．5C ．4D ．2C 解析：由f (x )＝x 2＋ax ＋b 可得函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝－a2．又由a ≠b ，f (a )＝f (b )得f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ＋b 2，所以－a 2＝a ＋b2，得2a ＋b ＝0，所以f (2)＝4＋2a ＋b ＝4．故选C ．考点3 二次函数的图象和性质——应用性考向1 二次函数的图象应用(1)已知函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2,1)，则函数y ＝f (－x )的图象为( )D 解析：因为函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2,1)，所以－2,1是方程ax2－x －c ＝0的两根．把x ＝－2,1分别代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2－c ＝0，a －1－c ＝0，联立解得a ＝－1，c＝－2．所以f (x )＝－x 2－x ＋2．所以函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，可知其图象开口向下，与x 轴的交点坐标分别为(－1,0)和(2,0)．故选D ．(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )A 解析：若0<a <1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减；y ＝(a －1)x 2－x 的图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，排除C ，D ．若a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝(a －1)x 2－x 的图象开口向上，且对称轴在y 轴右侧，因此B 不正确，只有A 满足．1．解决二次函数图象问题的基本方法 (1)排除法．抓住函数的特殊性质或特殊点．(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系． 2．分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息．考向2 二次函数的单调性若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0]D 解析：当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的图象对称轴为x ＝3－a2a ．由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a ＜0．综上，a 的取值范围为[－3,0]．若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________． －3 解析：由题意知f (x )必为二次函数且a <0． 又3－a2a＝－1，所以a ＝－3．利用二次函数的单调性解题时的注意点(1)对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置．若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数(或式)通过二次函数的图象的对称性转化到同一单调区间上比较．考向3 二次函数的最值已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．解：f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a ．①当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去． ②当a ＞0时，函数f (x )在区间[－1,2]上单调递增，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38．③当a ＜0时，函数f (x )在区间[－1,2]上单调递减，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3．综上可知，a 的值为38或－3．将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 解：f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x ＝－a ．①当－a ＜12，即a ＞－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5．②当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ．综上，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.二次函数的最值问题的类型二次函数的最值问题主要有以下几类：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．考向4 二次函数中的恒成立问题已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：由题意可知，f (x )＞2x ＋m 等价于x 2－x ＋1＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m ＞0．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＞0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )在[－1,1]上的最小值大于0即可．因为g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1＞0得m ＜－1．因此，满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．由不等式恒成立求参数的取值范围将问题归结为求函数的最值，依据是a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ．1．(2021·洛阳一中检测)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则f (x )的图象可能是( )D 解析：由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c ＜0，所以函数图象开口向上，排除选项A ，C ．又f (0)＝c ＜0，排除选项B ．故选D ．2．(多选题)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，对任意实数t 都有f (4＋t )＝f (－t )成立，则f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的可能是( )A ．f (－1)B ．f (1)C ．f (2)D ．f (5)ACD 解析：因为对任意实数t 都有f (4＋t )＝f (－t )成立，所以函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的对称轴是x ＝2．当a ＞0时，函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的是f (2)；当a ＜0时，函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的是f (－1)和f (5)．3．函数f (x )＝ax 2－(a －1)x －3在区间[－1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 B ．(－∞，0)C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13 D 解析：若a ＝0，则f (x )＝x －3，f (x )在区间[－1，＋∞)上是增函数，符合题意．若a ≠0，因为f (x )在区间[－1，＋∞)上是增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －12a≤－1，解得0<a ≤13．综上，0≤a ≤13．故选D ．4．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为___________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 解析：2ax 2＋2x －3＜0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，－3＜0，成立； 当x ≠0时，a ＜32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，易知1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值12，所以a ＜12．综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12．。
