2013年高考总复习数学理精练：第一章1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(答案含详解)

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第一章1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词练习一、选择题1．已知命题p ：3≥3，q ：3＞4，则下列选项正确的是( )．A ．“p 或q ”为假，“p 且q ”为假，“p ”为真B ．“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“p ”为真C ．“p 或q ”为假，“p 且q ”为假，“p ”为假D ．“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“p ”为假2．下列命题中，正确的是( )．A ．命题“任意的x ∈R ，x 2－x ≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 2－x ≥0”B ．命题“p 且q 为真”是命题“p 或q 为真”的必要不充分条件C ．“若am 2≤bm 2，则a ≤b ”的否命题为真D ．若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π43．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，设h (x )＝f (x )g (x )，则下列说法不正确的是( )．A ．存在x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x ) B ．任意的x ∈R ，f ⎝⎛⎫x －π2＝g (x ) C ．任意的x ∈R ，h (－x )＝h (x )D ．任意的x ∈R ，h (x ＋π)＝h (x )4．(2011广东深圳调研)若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则( )．A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 同真同假5．若命题p ：任意的x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( )．A ．a ≤－3或a ≥2B ．a ≥2C ．a ＞－2D ．－2＜a ＜26．下列命题：①任意的x ∈R ，不等式x 2＋2x ＞4x －3均成立；②若log 2x ＋log x 2≥2，则x ＞1；③“若a ＞b ＞0且c ＜0，则c a ＞c b”的逆否命题是真命题； ④若命题p ：任意的x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：存在x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p 且(q )是真命题．其中真命题为( )．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题7．设命题p ：c 2＜c 和命题q ：任意的x ∈R ，x 2＋4cx ＋1＞0.若p 和q 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是__________．8．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，且p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为__________．9．(2012江西赣州联考)设有两个命题：p ：不等式21+4>>23xm x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭对一切实数x 恒成立；q ：f (x )＝－(7－2m )x 是R 上的减函数，如果“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题10．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)存在x 0∈R ，2040x －＝；(2)任意的T ＝2k π(k ∈Z )，sin(x ＋T )＝sin x ；(3)集合A 是集合A ∪B 或A ∩B 的子集；(4)a ，b 是异面直线，存在A ∈a ，B ∈b ，使AB ⊥a ，AB ⊥b .11．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p 或q 为真，p 且q 为假的实数m 的取值范围．12．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式200220x ax a ＋＋，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围．参考答案一、选择题1．D 解析：因为p 真，q 假，由含有逻辑联结词的命题的真值表可以判断，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，p 为假．2．C 解析：A 中否定不能有等号，B 中命题“p 且q 为真”是命题“p 或q 为真”的充分不必要条件，D 中概率计算错误，故选C.3．C 解析：对于A ，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin x ，g (x )＝sin x ，若f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )， 只需sin x ＝0，即x ＝k π，k ∈Z ，故存在x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )； 对于B ，f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin x ＝g (x )，即任意的x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝g (x )，故B 正确； 对于C ，由于h (x )＝f (x )g (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x 为奇函数， 即h (－x )＝－h (x )，故C 不正确；对于D ，由h (x )＝12sin 2x 知，其最小正周期为π，故D 正确． 综上，A ，B ，D 正确，C 不正确，故选C.4．B 解析：命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则p 为假命题，q 为真命题．5．B 解析：依题意，a ＋2＞0且Δ＝16－4(a ＋2)(a －1)≤0，解得a ≥2.6．A 解析：由x 2＋2x ＞4x －3推得x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2＞0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知，要使不等式log 2x ＋log x 2≥2成立，需要x ＞1，故②正确；由a ＞b ＞0得0＜1a ＜1b ，又c ＜0，可得c a ＞c b，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p 是真命题，命题q 为真命题，所以p 且(q )为假命题，所以选A.二、填空题7．⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫12，1 解析：p ：由c 2＜c 得0＜c ＜1； q ：由Δ＝16c 2－4＜0，得－12＜c ＜12. 要使p 和q 有且仅有一个成立，实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫12，1. 8．[3,8) 解析：p (1)：3－m ＞0，即m ＜3.p (2)：8－m ＞0，即m ＜8.∵p (1)是假命题，p (2)是真命题，∴3≤m ＜8.9．1＜m ＜3 解析：p 为真命题，则有1＜m ≤4；q 为真命题，则有7－2m ＞1，即m ＜3，∴1＜m ＜3.三、解答题10．解：它们的否定及其真假分别为：(1)任意的x ∈R ，x 2－4≠0(假命题)．(2)存在T 0＝2k π(k ∈Z )，sin(x ＋T 0)≠sin x (假命题)．(3)存在集合A 既不是集合A ∪B 的子集，也不是A ∩B 的子集(假命题)．(4)a ，b 是异面直线，任意的A ∈a ，B ∈b ，有AB 既不垂直于a ，也不垂直于b (假命题)．11．解：由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4>0，x 1＋x 2＝－2m >0 得m ＜－1，∴p ：m ＜－1；由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0知－2＜m ＜3，∴q ：－2＜m ＜3.由p 或q 为真，p 且q 为假可知，命题p ，q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2<m <3，此时－1≤m ＜3. ∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3)．12．解：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0，∴x ＝a 2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 02＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.∵命题“p 或q ”为假命题，∴a ＞2或a ＜－2，即a 的取值范围为{a |a ＞2或a ＜－2}．。

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．逻辑联结词命题中的“或”“且”“非”称为____________________．2．全称量词“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，通常用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．3．存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，通常用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为______________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．注：特称命题也称存在性命题．4．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)因此，全称命题的否定是________命题；特称命题的否定是________命题．5．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(真值表)注：“p∧q”“p∨q”“綈p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题．p q p∧qp∨q綈p真真①②③真假④⑤⑥假真⑦⑧⑨假假○10⑪⑫自查自纠：1．逻辑联结词2．全称量词∀全称命题3．存在量词∃特称命题4．∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)特称全称5．①真②真③假④假⑤真⑥假⑦假⑧真⑨真○10假⑪假⑫真(2014·湖南)设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p为()A．∃x0∈R，x20＋1＞0 B．∃x0∈R，x20＋1≤0C．∃x0∈R，x20＋1＜0 D．∀x0∈R，x20＋1≤0解：全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p的否定为“∃x0∈R，x20＋1≤0”．故选B.下列命题中的假命题．．．是()A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解：对于B选项，x＝1时，(x－1)2＝0 ，故选B.(2014·重庆)已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)解：显然p真，由x＞2⇒x＞1，而x＞1x＞2，因此“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，q假，綈q真，p∧(綈q)是真命题．故选D.给出下列结论：①命题“若綈p，则q”的逆否命题是“若p，则綈q”；②命题“∃n∈N*，n2＋3n能被10整除”的否定是“∀n∈N*，n2＋3n不能被10整除”；③命题“∀x∈R，x2＋2x＋3＞0”的否定是“∃x∈R，x2＋2x＋3＜0”．其中结论正确的是________．解：由于逆否命题是把原命题否定了的结论作条件，否定了的条件作结论得到的命题，故①不正确；特称命题的否定是全称命题，故②正确；全称命题的否定是特称命题，故③不正确．综上，只有②正确，故填②.已知p：x2－2x－3<0；q：1x－2<0，若p且q为真，则x的取值范围是________．解：若p为真，则由x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)<0，得－1<x<3；若q为真，则由1x－2<0，得x<2.∵p且q为真，∴－1<x<2.故填(－1，2)．类型一含有逻辑联结词的命题及其真假判断指出下列命题的构成形式，并对该命题进行分解，然后判断其真假．(1)矩形的对角线相等且垂直；(2)3≥3；(3)10是2或5的倍数；(4)10是2和5的倍数；(5)2是4和6的约数；(6)2是4和6的公约数．解：(1)是“p∧q”形式的命题．其中p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线垂直．该命题为假命题．(2)是“p∨q”形式的命题．其中p：3＞3，q：3＝3.该命题是真命题．(3)是“p∨q”形式的命题．其中p：10是2的倍数，q：10是5的倍数．该命题是真命题．(4)是“p∧q”形式的命题．其中p：10是2的倍数，q：10是5的倍数．该命题是真命题．(5)是“p∧q”形式的命题．其中p：2是4的约数，q：2是6的约数．该命题是真命题．(6)既不是“p∨q”命题，也不是“p∧q”命题，是一个简单命题．这个命题的等价命题是：4和6的公约数是2.按公约数的定义，该命题是：给出4和6，2是它们的公约数，即给出判断．该命题是真命题．点拨：正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键．在解具体问题时，不但要看命题中是否含有逻辑联结词，而且要看命题的内容结构是否具有逻辑联结词的含义，如本例中的第(6)小题．分别写出由下列各组命题构成的“p 或q”“p且q”“非p”形式的命题，并判断其真假．(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；(2)p：菱形的对角线一定相等，q：菱形的对角线互相垂直；(3)p：π是有理数，q：π是无理数．解：(1)p或q：3是9或18的约数，是真命题；p且q：3是9的约数且是18的约数，真命题；非p：3不是9的约数，假命题．(2)p或q：菱形的对角线一定相等或互相垂直，真命题；p且q：菱形的对角线一定相等且互相垂直，假命题；非p：菱形的对角线不一定相等，真命题．(3)p或q：π是有理数或无理数，真命题；p且q：π是有理数且是无理数，假命题；非p：π不是有理数，真命题．类型二含有逻辑联结词命题的综合问题已知p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)内单调递增，q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．解：设p，q都为真．则由p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)内单调递增⇔－m2≤－1，解得m≥2，由q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立⇔Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1＜0，解得1＜m＜3.∵p或q为真，p且q为假，∴p，q中一个为假，另一个为真．(1)当p真，q假时，根据命题与集合之间的对应关系，得p真时，m≥2，q假时，m≤1或m≥3.∴p真q假时，⎩⎪⎨⎪⎧m≥2，m≤1或m≥3，得m≥3.(2)当p假，q真时，根据命题与集合之间的对应关系，得p假时，m＜2，q真时，1＜m＜3.∴p假q真时，⎩⎪⎨⎪⎧m＜2，1＜m＜3，得1＜m＜2.综合(1)(2)可得，m的取值范围为(1，2)∪[3，＋∞)．点拨：由“p或q”为真，“p且q”为假判断出p和q一真一假后，再根据命题与集合之间的对应关系求m的范围．逻辑联结词与集合的运算具有一致性，逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集合运算的“交”“并”“补”．已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．(1)当m为何值时，p或q为真？(2)当m为何值时，p且q为真？解：若p为真，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m2－4＞0，x1＋x2＝－m＜0，x1x2＝1＞0(x1，x2为方程x2＋mx＋1＝0的两个实根)，解得m＞2；若q为真，则Δ＝16(m－2)2－16＜0，解得1＜m＜3.(1)若p或q为真，则p，q至少有一个为真．∴若p或q为真时，m的取值范围是(1，＋∞)．(2)若p且q为真，则⎩⎪⎨⎪⎧m＞2，1＜m＜3，得2＜m＜3.故当m∈(2，3)时，p且q为真．类型三全称命题与特称命题的否定写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)p1：∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(2)p2：至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)p3：∃x∈{x|x∈Z}，log2x＞0；(4)p 4：∀x ∈R ，x 2－x ＋14＞0.解：(1)綈p 1：∃x ∈{x |x 是无理数}，x 2不是无理数，是真命题．(2)綈p 2：所有的整数，都不能被2整除或不能被5整除，是假命题．(3)綈p 3：∀x ∈{x |x ∈Z }，log 2x ≤0，是假命题．(4)綈p 4：∃x ∈R ，x 2－x ＋14≤0，是真命题．点拨：命题的否定，是对该命题的结论进行否定，根据判断对象是部分和全体，分为特称命题和全称命题．否定的原则是：否定全称是特称，否定特称是全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定．(2014·天津)已知命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)·e x ＞1，则綈p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)ex 0≤1B ．∃x 0＞0，使得(x 0＋1)ex 0≤1C ．∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1解：全称命题的否定是特称命题．故选B .1．含有逻辑联结词命题真假的判断判断一个含有逻辑联结词命题的真假，应先对该命题进行分解，判断出构成它的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．2．全称命题与特称命题真假的判断 (1)要判断全称命题是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0，使得p (x 0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，至少能找一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．3．在有些命题中，逻辑联结词“或”“且”“非”是以另一种形式出现的．如“x ＝±1”中含逻辑联结词“或”，“≥”表示“大于或等于”；“綊”表示“平行且等于”，“并且”的含义为“且”；“∉”表示“不属于”，“不是”的含义为“非”等．4．一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表：正面词语 等于(＝) 大于(＞) 小于(＜) 是都是否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是不都是正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的一定 否定词语 至少有两个 一个也没有某个 某些不一定1．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是( ) A ．a 和b 至少有一个是偶数 B ．a 和b 至多有一个是偶数 C ．a 是偶数，b 不是偶数 D ．a 和b 都是偶数解：“a 和b 都不是偶数”的否定形式是“a 和b 至少有一个是偶数”．故选A.2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 解：根据特称命题的否定是全称命题，需先将“存在”改为“任意”，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B.3．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解：y ＝sin2x 的最小正周期T ＝π，很明显命题p 是一个假命题．函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，所以命题q 也是假命题．因此，p ∧q 为假，故选C.4．(2014·湖北)命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( )A ．∀x ∉R ，x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x 解：全称命题的否定是特称命题．故选D .5．已知命题p ：∃x ∈R ，使得x ＋1x<2；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，下列命题为真的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC. p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )解：对于命题p ：当x ＝－1时，x ＋1x ＝－2＜2，所以命题p 是真命题，则綈p 是假命题；对于q ，Δ＝1－4＝－3＜0，所以不等式x 2＋x ＋1＞0的解集为R ，所以命题q 是真命题，则綈q 是假命题，所以p ∧q 为真命题．故选A.6．下列命题中为真命题的是( )A ．∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝1.5B ．∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos xC ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x ＞1＋x解：A ：sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2＜1.5，故A 错；B ：x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π时，sin x ＞cos x ，x ＝π4时，sin x ＝cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，cos x ＞sin x ，故B 错； C ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34＞0，∴x 2＋x ＞－1，故C 错．故选D .7．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数；p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，是真命题的是________________________．解：∵p 1是真命题，p 2是假命题，∴q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题， q 3：(綈p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(綈p 2)为真命题．∴真命题是q 1，q 4.故填q 1，q 4.8．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解：由命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题得其否定“∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”是真命题，所以(a －1)2－4×2×12＜0，解得－1＜a ＜3.故填(－1，3)．9．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，写出它们的否定形式，并判断否定形式的真假．(1)若a ＞0且a ≠1，则对任意实数x ，a x ＞0； (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1＜x 2，则tan x 1＜tan x 2； (3)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |； (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1＜0.解：(1)全称命题，其否定形式为：若a >0且a ≠1，则∃x ∈R ，a x ≤0，显然该命题为假命题．(2)全称命题，其否定形式为：∃x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，使tan x 1≥tan x 2，该命题为真命题．例如取x 1＝0，x 2＝π，有x 1＜x 2，但tan x 1＝tan x 2＝0，又当x 1＝0，x 2＝2π3时，有x 1＜x 2，但tan0＝0，tan 2π3＝－3，所以tan x 1＞tan x 2.(3)特称命题，其否定形式为：∀T ∈R ，|sin(x ＋T )|≠|sin x |，该命题是假命题．例如T 0＝π时，有|sin(x ＋π)|＝|sin x |.(4)特称命题，其否定形式为∀x ∈R ，x 2＋1≥0.∵x ∈R 时，x 2≥0，∴x 2＋1≥1＞0，故为真命题．10．已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题p ∧q 是真命题，求实数a 的取值范围．解：∵命题p ∧q 是真命题，∴命题p ，q 均为真．对于命题p ，当x ∈[1，2]时，a ≤x 2恒成立， 即a ≤(x 2)min ＝1；对于命题q ，∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋a 2＝a 2＋a －2，即(x ＋a )2＝(a －1)(a ＋2)≥0，得a ≤－2或a ≥1. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1， 得a ≤－2或a ＝1.因此，实数a 的取值范围为{}a |a ≤－2或a ＝1.11．已知a >0，设命题p ：函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋a16的定义域为R ；命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 时，函数y＝x ＋1x >1a恒成立，如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求a 的取值范围．解：由a ＞0，命题p ：函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋a16的定义域为R 可知，Δ＝1－a24＜0，解得a ＞2.因此，命题p 为真时，a ＞2.对于命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数y ＝x ＋1x ＞1a恒成立，即函数y ＝x ＋1x 在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2的最小值y min ＞1a， ∵y min ＝2，∴1a ＜2.又a ＞0，∴a ＞12.因此，命题q 为真时，a ＞12.∵命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，∴命题p 与q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，可得a ∈∅；当p 假q 真时，可得12＜a ≤2.综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，2.已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围．解：(1)∵对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]．(2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立，∴m ≤1.因此，命题q 为真时，m ≤1. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m ＞1， 得1＜m ≤2；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1或m ＞2，m ≤1， 得m ＜1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1，2]．。

科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组第 课时1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 考纲定位 了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解全称量词与存在量词的意义；能正确对含有一个量词的命题进行否定. 疑难提示 1、逻辑联结词的特性；2、命题的否定；3、区分命题的否定与否命题；4、注意全称命题与特称命题的其他不同表述方法. 【考点整合】1、简单的逻辑联结词：(1) 叫做逻辑联结词.(2)复合命题：由简单命题和 构成的命题. (3)复合命题的三种形式及其真假性：p q p q ∧ p q ∨ p ⌝ 真 真 真 假 假 真 假假2、全称量词与存在量词(1) 等短语在逻辑中通常叫全称量词，含有全称量词的命题叫做 . (2) 等短语在逻辑中通常叫存在量词，含有存在量词的命题叫做 . 3、命题的否定： 对命题的全盘否定 ；否命题：(1)命题的否定与否命题之间的区别： (2)一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下： 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至少有一个 至多有一个 任意的 否定词语(3)全称命题与特称命题的否定：全称命题:,()p x M p x ∀∈，则:p ⌝ ； 特称命题00:,()p x M p x ∃∈，则:p ⌝ .【真题演练】1、(2008 广东)已知命题p:所有的有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题是真命题的是（ ）A.()p q ⌝∨B.p q ∧C.()()p q ⌝∧⌝D.()()p q ⌝∨⌝ 2、(2010 湖南)下列命题中是假命题的是（ ） A.1,20x x R -∀∈> B.*2,(1)0x N x ∀∈-> C.,lg 1x R x ∃∈< D.,tan 2x R x ∃∈=3、(2009 天津)命题“00,20xx R ∃∈≤”的否定是（ ） A.不存在00,20x x R ∈> B.00,20x x R ∃∈≥ C.,20x x R ∀∈≤ D.,20x x R ∀∈>4、(2012 湖北)命题“300,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是（ ）A.300,R x C Q x Q ∃∉∈ B.300,R x C Q x Q ∃∈∉ C.3,R x C Q x Q ∀∉∈ D.3,R x C Q x Q ∀∈∉【经典例题】一、含有逻辑联结词的命题真假的判断 例1、判断下列命题的真假 （1）命题()A AB ⊄；（2）下列两组命题构成的“p 且q ”形式的命题的真假：①:0{0},:{0}p q φ⊂≠∈ ②:2p 是自然数，:q π是有理数（3）下列两组命题构成的“p 或q ”形式的命题的真假： ①p:3是7的约数，q:3是9的约数 ②p:3不是7的约数，q:3不是9的约数变式训练：1、已知命题p 2:,tan 1;:,10p x R x q x R x x ∃∈=∀∈++<，给出下列结论： （1）命题“p q ∧”是真命题；（2）命题“()p q ∧⌝”是假命题；（3）命题“()p q ⌝∨”是真命题；（4）命题“()()p q ⌝∨⌝”是真命题；其中正确的是 （只需填写所有正确的序号） 2、已知命题p 和q 满足p q ∨为真命题，q ⌝为真命题，则（ ）A.p 为假命题B.p 为真命题C.p q ∧为真命题D.()p q ⌝∨为真命题 二、含有量词的否定及真假判断例2、试判断下列命题的真假并写出该命题的否定（1）2,10x R x ∀∈+>； （2）2,1x N x ∀∈≥； （3）3,1x Z x ∃∈<； （4）2,3x Q x ∃∈=变式训练：1、命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 .2、下列命题中(1)[0,],sin cos 22x x x π∃∈+≥;(2)2(3,),21x x x ∀∈+∞>+; (3)2,1x R x x ∃∈+=-（4）(,),tan sin 2x x x ππ∀∈>,其中真命题是（ ）A.(1)B.(1)(2)C.(2)D.(3)(4) 三、根据命题真假求参数的取值范围例3、已知0c >，设p:函数xy c =在R 上单调递减，q:不等式|2|1x x c +->的解集为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.变式训练：已知命题p:2[1,2],0x x a ∀∈-≥；命题q ：2000,220x R x ax a ∃∈++-=.(1)若命题p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围 (2).若命题p q ∨为真命题且p q ∧为假命题，求a 的取值范围.【作业】《胜券在握》P119页 第1、2、3题；【上本作业】《胜券在握》P119页 第4、5题.。

03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p ∧q 、p ∨q 、非p 的真假判断2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．(3)含有一个量词的命题的否定要点整合1．若p ∧q 为真，则p ，q 同为真；若p ∧q 为假，则p ，q 至少有一个为假；若p ∨q 为假，则p ，q 同为假；若p ∨q 为真，则p ，q 至少有一个为真．2．“p ∧q ”的否定是“(非p )∨(非q )”；“p ∨q ”的否定是“(非p )∧(非q )”．题型一. 含有一个逻辑联结词命题的真假性例1. 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q )C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q )解析： 根据指数函数的图象可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题．逐项检验可知只有p ∧(非q )为真命题．故选D.[答案] D判断含有一个逻辑联结词命题的真假性的步骤第一步：先判断命题p 与q 的真假性，从而得出非p 与非q 的真假性．第二步：根据“p ∧q ”与“p ∨q ”的真值表进行真假性的判断．变式1．设命题p ：3≥2，q ：函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )的最小值为2，则下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∨(非q )C ．(非p )∨qD ．p ∧(非q )解析：选C.命题p ：3≥2是真命题，命题q 是假命题，∴(非p )∨q 为假命题，故选C.变式2．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(非p )∧q 为真命题，则x 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选D.∵非p ：∃x ∈R ，2x ≥3x ，要使(非p )∧q 为真，∴非p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x ≥1， ∴x ≤0，由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，∴x ＝－2.变式3．设p ：y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点，若p ∨(非q )为假，则a 的范围为__________．解析：∵p ∨(非q )为假，∴p 假q 真．p 为假时，a >1，q 为真时，(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52，∴a 的范围为(1，＋∞)∩⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞ ＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫52，＋∞题型二. 含有一个量词的命题的否定例2. 命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1解析： 由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为全称命题，则所求命题的否定为∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，故选A.[答案] A(1)特称命题与全称命题否定的判断方法：“∃”“∀”相调换，否定结论得命题．对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可．变式1．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0的否定为( )A ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2>0B ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0C ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0D ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0解析：选C.根据特称命题的否定形式知非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故选C.变式2．设命题p ：任意两个等腰三角形都相似，q ：∃x 0∈R ，x 0＋|x 0|＋2＝0，则下列结论正确的是 ( )A ．p ∨q 为真命题B ．(非p )∧q 为真命题C ．p ∨(非q )为真命题D ．(非p )∧(非q )为假命题解析：选C.∵p 假，非p 真；q 假，非q 真，∴p ∨q 为假，(非p )∧q 为假，p ∨(非q )为真，(非p )∧(非q )为真，故选C.题型三. 全称命题与特称命题真假性的应用例3. 已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2]解析： 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. [答案] A根据全称与特称命题的真假性求参数范围的步骤第一步：对两个简单命题进行真假性判断．第二步：根据p ∧q 为真，则p 真q 真，p ∧q 为假，则p与q 至少有一个为假，p ∨q 为真，则p 与q 至少有一个为真，p ∨q 为假，则p 假q 假．第三步：根据p 、q 的真假性列出关于参数的关系式，从而求出参数的范围．变式1．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，2]C ．(－2，2)D ．[2，＋∞)解析：选B.因为该命题的否定为：“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1≤0， 解得－2≤a ≤2.故实数a 的取值范围是[－2，2]．变式2．(名师原创)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”是真命题，则实数m 的范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1]C.⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选A.∵∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，12≤sin x ≤1. ∴“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”为真命题时，m ≥1，故选A.【真题演练】1.【浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．2.【高考新课标1，理3】设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )（A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C.3.【高考浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ） A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.4.【陕西卷】原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】B5.【重庆卷】已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．非p ∧非qC ．非p ∧qD ．p ∧非q【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题，所以p ∧非q 为真命题．6.【湖北卷】在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q【答案】A“至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.。