高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)

知识梳理模型一、圆柱外接球结论：422h r R +=（R：外接球半径 h：圆柱高 r：圆柱底面半径）推导：模型一推广：（1）直棱柱422h r R += （h:圆柱的高 r:直棱柱底面外接圆半径 ）学 科 数学 教师姓名 教材版本 人教版新教材学生姓名所在年级上课时间课题名称外接球问题教学目标 1、圆柱和圆锥的外接球模型2、有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥外接球3、利用模型解决相关棱柱和棱锥外接球问题教学重点 教学难点（2）侧面为三角形，底面为矩形，侧面和底面垂直的四棱锥（3）侧棱垂直于底面的棱锥【2017深二模】已知三棱锥S-ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，则三棱锥的外接球的表面积为( )（A）64π（B）68π（C）72π（D）100π模型二、圆锥外接球结论：hh r R 222+=（R：外接球半径 h：圆锥高 r：圆锥底面半径）推导：模型二推广：（1）棱锥（上顶点在底面外心正上方）外接球hh r R 222+= （h:棱锥的高 r:棱锥底面外接圆半径 ）【2018深一模】如图，网格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）A．B．C．16πD．25π【2017全国一卷文 16】已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的表面积为______________．【2019 全国一卷理 12】已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A．B．C．D模型一、二总结题型：求几何体的外接球模型一： 422h r R += （圆柱模型） 模型二： h h r R 222+=（圆锥模型）适用于： 适用于：1、所有的圆柱、直棱柱 上顶点在底面外心正上方的棱锥2、侧棱垂直于底面的棱锥3、侧面为任意三角形，底面为矩形， 且侧面垂直于底面的四棱锥模型三、有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ，球心在公共斜边的中点处如下图，∠ABC=∠ADC=90°，则O 为外接球球心1、在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A. π12125B.π9125C.π6125D.π31252.三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O的球面上，且SA AC SB BC ====4SC =，则该球的体积为A 2563πB 323π C 16π D 64π专题练习类型一 构造法（补形法）【例1】已知是球上的点， , ， ,则球的表面积等于________________．【例2】【辽宁省鞍山一中2019届高三三模】刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．3πD ．4π,,,S A B C O SA ABC ⊥平面AB BC ⊥1SA AB ==BC =O【举一反三】1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为A．B．C．D．2、【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥S−ABC中，，则三棱锥S−ABC外接球的表面积为（）A．25ΠB．C．50ΠD．3、【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）A．7πB．8πC．9πD．10π类型二 正棱锥与球的外接【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ． B ． C ． D ．【举一反三】1、球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大值为( )A .33 B . 3 C ．2 3 D ．42. 【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD 的体积为，则正四面体ABCD 的外接球的体积为______．814π16π9π274π3、【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥P −ABC 中，√2PA =AB =4√2，点E 在棱PA 上，且PE =3EA .正三棱锥P −ABC 的外接球为球O ，过E 点作球O 的截面α，α截球O 所得截面面积的最小值为__________．类型三 直棱柱的外接球【例4】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,， 则此球的表面积等于 .【举一反三】1、【云南省2019年高三第二次统一检测】已知直三棱柱的顶点都在球O 的球面上，AB =AC =2，BC =2√2，若球O 的表面积为72Π，则这个直三棱柱的体积是（ ） A ．16 B ．15C ．D ．2、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,,,,则球的半径为（）A B ． C．D ．3、 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最111ABC A B C -12AB AC AA ===120BAC ∠=︒111ABC A B C -O 34AB AC ==，AB AC ⊥112AA =O 1321111ABCD A B C D -R值，为 .答案与解析类型一 构造法（补形法）【例1】已知是球上的点， , ， ,则球的表面积等于________________． 【答案】 【解析】由已知S,A,B,C 是球O 表面上的点，所以 ，又，，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC 三边长为长方体的外接球的半径，因为， ,所以，所以球的表面积.【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解.长方体的外接球即为该三棱锥的外接球.【例2】【辽宁省鞍山一中2019届高三三模】刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．3πD ．4π,,,S A B C O SA ABC ⊥平面AB BC ⊥1SA AB ==BC =O 4πOA OB OC OS ===SA ABC ⊥平面AB BC ⊥S ABC -1SA AB ==BC =22,1R R ==O 244S R ππ==【答案】B【解析】由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球，由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，∴长方体的对角线为，∴外接球的半径为，∴外接球的体积为.故选：B．【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可.【举一反三】1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，将直三棱柱补充为长方体，则该长方体的体对角线为，设长方体的外接球的半径为R，则2R=4，R=2,所以该长方体的外接球的体积，故选C.2、【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥S−ABC中，，则三棱锥S−ABC外接球的表面积为（）A．25蟺B．C．50蟺D．【答案】C【解析】解：如图，把三棱锥S−ABC补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为，则，∴三棱锥外接球的半径∴三棱锥S−ABC外接球的表面积为．故选：C．3、【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）A ．7πB ．8πC ．9πD ．10π 【答案】C 【解析】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为，从而外接球的表面积为9π.故答案为：C.类型二 正棱锥与球的外接【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．814π16π9π274π【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外接球的球心，构造直角三角形，利用勾股定理求半径. 【举一反三】1、球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大值为( )A .33 B . 3 C ．2 3 D ．4 【答案】A【解析】 (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球的对称性可知，当S 在“最高点”，即H 为AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥S -ABC 的体积最大．学科*网因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝233.在Rt △SHO 中，OH ＝12OC ＝33，所以SH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝1， 故所求体积的最大值为13×34×22×1＝33.2. 【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD 的体积为，则正四面体ABCD 的外接球的体积为______． 【答案】【解析】 解：如图，设正四面体ABCD 的棱长为x ，过A 作AD ⊥BC ， 设等边三角形ABC 的中心为O ，则AO =23AD =√33x ，，，即x=√2a．再设正四面体ABCD的外接球球心为G，连接GA，则，即．∴正四面体ABCD的外接球的体积为.故答案为：．3、【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥P−ABC中，√2PA=AB=4√2，点E在棱PA上，且PE=3EA.正三棱锥P−ABC的外接球为球O，过E点作球O的截面α，α截球O所得截面面积的最小值为__________．【答案】3π【解析】因为PA=PC=PB=4,AB=AC=BC=4√2，所以PA2+PC2=AC2，所以∠CPA=π2，同理∠CPB=∠BPA=π2，故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球O，直径为正方体的体对角线，故2R=4√3，设PA的中点为F，连接OF，则OF=2√2且OF⊥PA，所以OE=√8+1=3，当OE⊥平面α时，平面α截球O的截面面积最小，此时截面为圆面，其半径为√(2√3)2−32=√3，故截面的面积为3π．填3π．类型三 直棱柱的外接球 【例4】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,， 则此球的表面积等于 . 【答案】【解析】在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径. 【举一反三】1、【云南省2019年高三第二次统一检测】已知直三棱柱的顶点都在球O 的球面上，AB =AC =2，BC =2√2，若球O 的表面积为72蟺，则这个直三棱柱的体积是（ ） A ．16 B ．15 C ．D ．【答案】A 【解析】 由题，，因为AB =AC =2，BC =2√2，易知三角形ABC 为等腰直角三角形， 故三棱柱的高故体积V =12脳2脳2脳8=16 故选A111ABC A B C -12AB AC AA ===120BAC ∠=︒ABC ∆2AB AC ==120BAC ∠=︒BC =ABC ∆O 'O RT OBO '∆R =2420R ππ=2、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由球心作面ABC 的垂线，则垂足为BC 中点M.计算AM=，由垂径定理，OM=6，所以半径,选C.3、 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为 . 【答案】大111ABC A B C -O 34AB AC ==，AB AC ⊥112AA =O 213252132=1111ABCD A B C D -R。

立体几何之外接球问题一讲评课1课时总第课时月日1、已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为( ? )A. B. C. D.2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（??）A.B. C.D.3、已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( ? ?)A. B. C. D.4、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（?）A.B. C.D.5、已知都在半径为的球面上，且，，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（）A. B.C. D.6、某几何体的三视图如图所示，这个几何体的内切球的体积为（? ）A.B.C. D.7、四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（?）A. B. C. D.8、一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( ? )A.B. C.D.9、一个棱长都为的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( ?)A.B.C. D.10、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为( ? )A. B. C. D.立体几何之外接球问题二讲评课1课时总第课时月日11、若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为__________.12、底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________.13、底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则棱长均为的正三棱柱外接球的表面积为__________.14、若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则__________. 15、若一个正方体的表面积为，其外接球的表面积为，则__________. 16.已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角为，则球的表面积为__________． 16、在三棱锥中,平面，，，,则此三棱锥外接球的体积为__________18、底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为__________.17、三棱柱的底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为，则三棱柱的最大体积为__________.20、一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则这个球的表面积为__________.立体几何之三视图问题1讲评课 1课时 总第 课时 月 日3、一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积是( ) A. B. C. D.4、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（??? ） A.B.C.D.5、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ? ?）A.B.C.D.6、某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（?? ） A. B. C.D.7、多面体的底面矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为( ???) A.B.C.D.8、某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（?? ） A.B.C.D.9、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积的最大值是（?? ） A. B.C. D. 10、一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积是（?? ）A.B.C.D.11、若某空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（?? ） A.B.C.D.12、某几何体三视图如下图所示，则该几何体的体积是（?? ）D.A. B. C.13、一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积为（?）A. B.C. D.14、已知一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是等腰梯形，则该几何体的体积为（?）A.D.B. C.15、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的体积为（?）C. D.A. B.立体几何之三视图问题2讲评课1课时总第课时月日16、某长方体的三视图如右图，长度为的体对角线在正视图中的长度为，在侧视图中的长度为，则该长方体的全面积为__________.17、一个空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为__________.18、一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积__________．19、已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示（单位：）,则该四棱锥的体积为__________.20、一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________.21、已知一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________.22、某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是正方形，则该三棱锥最长棱的长是__________.23、一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为____．24、2016年11月18日13时59分，神舟十一号飞船返回舱在内蒙古中部预定区域成功着陆. 神舟十一号载人飞行，是我国迄今为止时间最长的一次载人航天飞行，在轨33天飞行中，航天员景海鹏、陈冬参与的实验和实验多达38项. “跑台束缚系统”是未来空间站长期飞行的关键锻炼设备，本次任务是国产跑台首次太空验证. 如图所示是“跑台束缚系统”中某机械部件的三视图（单位：），则此机械部件的表面积为__________.25、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________．立体几何之外接球问题答案解析第1题答案C第1题解析如图所示，∵，∴为直角，即过的小圆面的圆心为的中点，和所在的平面互相垂直，则圆心在过的圆面上，即的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径，球的表面积为，故选．第2题答案B第2题解析设球心为，设正三棱柱上底面为，中心为，因为三棱柱所有棱的长都为，则可知?，，又由球的相关性质可知，球的半径，所以球的表面积为，故选.第3题答案C第3题解析如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选.第4题答案D第4题解析该几何体为三棱锥,设球心为，分别为和的外心，易求得,，∴球的半径，∴该几何体外接球的表面积为．第5题答案B第5题解析∵，∴，∴圆心在平面的射影为的中点，∴，∴．∴，当线段为截面圆的直径时，面积最小，∴截面面积的最小值为.第6题答案C第6题解析此几何体是底面边长为，高为的正四棱锥，可算出其体积为，表面积为. 令内切球的半径为，则，从而内切球的体积为，故选C.第7题答案B第7题解析由题意可知四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的直径，且四棱锥的高半径，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为?，于是,，进而球的体积. 故选.第8题答案B第8题解析由题可知该三棱锥为一个棱长的正方体的一角，则该三棱锥与该正方体有相同的外接球，又正方体的对角线长为，则球半径为，则. 故选.第9题答案A第9题解析如图：设、为棱柱两底面的中心，球心为的中点.又直三棱柱的棱长为，可知，，所以，因此该直三棱柱外接球的表面积为，故选.?第10题答案D第10题解析此几何体是三棱锥，底面是斜边长为的等腰直角三角形，且顶点在底面内的射影是底面直角三角形斜边的中点.易知，三棱锥的外接球的球心在上.设球的半径为，则，∵，∴，解得：，∴外接球的表面积为.第11题答案第11题解析过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆⊙和外切圆⊙，且两圆同圆心，即的内心与外心重合，易得为正三角形，由题意⊙的半径为，∴的边长为，∴圆锥的底面半径为，高为，∴．第12题答案第12题解析设球心为,正三棱柱的上下底面的中心分别为，，底面正三角形的边长为，则，由已知得底面，在中，,由勾股定理得，故三棱柱体积，又，所以，则.第13题答案第13题解析底面正三角形外接圆的半径为，圆心到底面的距离为，从而其外接圆的半径，则该球的表面积.第14题答案第14题解析设正四面体棱长为，则正四面体表面积为，其内切球半径为正四面体高的，即，因此内切球表面积为，则.第15题答案第15题解析设正方体棱长为，则正方体表面积为，其外接球半径为正方体体对角线长的，即为，因此外接球表面积为，则.第16题答案第16题解析设正的外接圆圆心为，易知，在中，，故球的表面积为.第17题答案第17题解析根据题意球心到平面的距离为，在的外接圆的半径为，所以球的半径为,所以此三棱锥的外接球的体积为,所以答案为:.第18题答案第18题解析设所给半球的半径为，则棱锥的高，底面正方形中有，所以其体积，则，于是所求半球的体积为.第19题答案第19题解析依题意,外接球的表面积为,所以.如图所示,三棱柱外接圆球心为,设,在直角三角形中,所以.三棱柱的体积为,当且仅当时取得最大值.第20题答案第20题解析由已知可得长方体的体对角线为球的直径：,所以.所以球的面积为.。

高中数学立体几何外接球专题练习(含解析)1.已知菱形ABCD满足|AB|=2，∠ABC=120°，将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B-AC-D，则三棱锥B-ACD外接球的表面积为（）。

A。

πB。

8πC。

7πD。

4π2.如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰直角三角形，AB=BD=BC=1，∠CBD=60°，且二面角A-BD-C的大小为120°，∠BAD=45°，若四面体ABCD的顶点都在球O上，则球O的表面积为（）。

A。

12πB。

20πC。

24πD。

36π3.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）。

A。

28πB。

32πC。

41πD。

31π4.已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）．若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）。

A。

4/3B。

2/3C。

8/3D。

16/35.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）。

A。

2+2+2B。

4+4+2C。

2+4+4D。

4+4+46.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）。

A。

25πB。

20πC。

16πD。

40π7.如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）。

A。

18+2B。

15+2C。

12+2D。

18+48.在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，DE⊥AC，E为棱BC的中点，DG⊥BE，点G在AE上且满足AG=2GE，若四面体ABCD的外接球的表面积为S，则tan∠AGD=S/12.A。

1/2B。

1C。

2D。

49.在三棱锥S-ABC中，∠ASB=90°，SA=SB=SC=2，且三棱锥S-ABC的体积为8/3，则该三棱锥的外接球的表面积为（）。

A。

4πB。

16πC。

36πD。

72π10.如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（）。

专题05 立体几何外接球、内切球专题1、在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,ABC AB BC ⊥.若2PA AB BC ===，,E F 分别是,PB PC 的中点，则三棱锥P AEF -的外接球的表面积为__________.答案： 5π解析： 根据题意，结合题中几何体的结构，将题中棱锥的外接球问题转化为长方体外接球问题. 【详解】因为PA ⊥底面ABC ，所以PA BC ⊥.又AB BC ⊥，所以BC ⊥平面PAB ，故BC AE ⊥. 又PA AB =，故AE PB ⊥， 所以AE ⊥平面PBC ， 所以,AE EF AE PE ⊥⊥. 又//EF BC ，所以EF PE ⊥，故,,EF PE AE 两两垂直.又11,22EF BC PE AE ====， 故该三棱锥外接球的半径与一个棱长分别为1，2，2. 所以三棱锥P AEF -的外接球的半径为122522++=， 故外接球的表面积为25452ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：5π.2、已知三棱锥O ABC -中，A ，B ，C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -的体积为3，则球O 的表面积为（ ）A ．323πB ．16πC ．52πD ．64π答案： C 解析：由题意2AB BC ==，120ABC ∠=︒，可求得ABC ∆的面积，进而通过O ABC -的体积得到三棱锥的高，即球心到平面ABC 的距离.通过外接圆的半径公式，求得截面圆的半径，得到球O 的半径，即得解. 【详解】由题意2AB BC ==，ABC 1120=||||sin 32ABC S AB BC ABC ∆∠=︒∠=， 1333O ABC ABC V S h h -∆==∴=.又ABC ∆的外接圆的半径222sin 2sin 30oAB r C ===因此球O 的半径222313R =+= 球的表面积：2452S R ππ==. 故选：C3、已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，1PA AB PB AC ====，2CP =，点D 是PB 的中点，且72CD =，则球O 的表面积为（ ） A ．73π B ．76π C ．72127πD ．72154π答案： A 解析：证明AC ⊥平面PAB ，以PAB ∆为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，则球O 是该三棱柱的外接球，计算半径得到答案. 【详解】由1PA AB PB AC ====，2CP =，得PA AC ⊥. 由点D 是PB 的中点及PA AB PB ==，易求得32AD =，又72CD =，所以AD AC ⊥，所以AC ⊥平面PAB .以PAB ∆为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，则球O 是该三棱柱的外接球， 球心O 到底面PAB ∆的距离1122d AC ==， 由正弦定理得PAB ∆的外接圆半径12sin 603PA r ==︒，所以球O 的半径为22712R d r =+=，所以球O 的表面积为2743S R ππ==.故选：A .4、已知四边形ABCD 是菱形，60BAD ︒∠=，2AB =，将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折后，二面角A BD C --的余弦值为13，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）． A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π答案： B解析： 由菱形ABCD 中，连接AC 和BD 交于O ，求出3OA OC ==，由二面角A BD C --的余弦值为13，可得2AC =，即四面体ABCD 为棱长为2的正四面体求解可得表面积，将正四面体补成一个正方体，求出正方体的外接球半径即可得结果. 详解：由题意，菱形ABCD 中，连接AC 和BD 交于O ， 可知AC BD ⊥，即OA BD ⊥，OC BD ⊥， ∵60BAD ︒∠=，2AB =，∴3OA OC ==， ∴AOC ∠为二面角A BD C --的平面角，即1cos 3AOC ∠=， 22212cos 3323343AC OA OC OA OC AOC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=即2AC =,即四面体ABCD 为棱长为2的正四面体，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的对角线长为6， ∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴外接球的表面积的值为26462S ππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：B.5、已知A ，B ，C 是球心为O 的球面上三点，60AOB ∠=，120AOC ∠=，若三棱锥O ABC -体积的最大值为1，则球O 的表面积为（ ） A ．12π B ．16π C ．24π D ．36π 答案： B 解析：根据题意分析可知，当平面AOB ⊥平面AOC 时，三棱锥O ABC -体积的最大．此时，点B 到平面AOC 的距离达到最大值，为正三角形AOB 的OA 边上的高，根据三棱锥的体积公式计算体积，可解得R ，根据球的表面积公式可得结果.详解：设球O 半径为R ，当平面AOB ⊥平面AOC 时，三棱锥O ABC -体积的最大． 注意AOB 是正三角形，AOC △是顶角等于120︒的等腰三角形， 所以231131sin120123228V R R R R ⎛⎫=︒⨯==⇒=⎪⎝⎭，所以16S π=. 故选：B.6、在四面体ABCD 中，60ACB ∠=︒，90DCA ∠=︒，2DC CB CA ===，二面角D-AC-B 的大小为120°，则此四面体的外接球的表面积是________.答案： (100163)9π+解析：取,AC AD 的中点,M N ，和ABC ∆的中心E ，点N 是ACD ∆外接圆的圆心，点E 是ABC ∆外接圆的圆心，过点,E N 分别作平面ABC 和平面ACD 的垂线，交于点O ，在四边形OEMN 中找几何关系，构造方程求解外接圆的半径和表面积.【详解】由条件可知ABC ∆是等边三角形，取,AC AD 的中点,M N ，和ABC ∆的中心E ，过点,E N 分别作平面ABC 和平面ACD 的垂线，交于点O ，120EMN ∠=，60EON =∠，如图：由条件可知，33EM =，60EMG ∠= 30OEH ∠= 331322HN EG ∴==⨯=，316EH GN GM MN ==+=+ 33123tan 301636OH EH ⎛⎫+∴=⋅=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 323ON OH HN +∴=+=， ()222222322543239R OD ON ND ⎛⎫++==+=+=⎪ ⎪⎝⎭， 210016349S R ππ+==7、如图，在体积为233的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的正方形，PAB △为等边三角形，二面角PAB C 为锐角，则四棱锥P ABCD -外接球的半径为（ ）A ．213 B ．2C ．3D ．32答案： A解析：取AB 的中点E ，CD 的中点F ，连E 、PF 、EF ，过点P 作PH EF ⊥，易得AB ⊥平面PEF ，PH ⊥平面ABCD ，根据四棱锥的体积为233，得到32PH =，进而得到30PEF ∠=︒，32EH =，12HF =，1PF =，PE PF ⊥，然后利用截面圆的性质求得外接球的球心再求半径即可. 详解：如图所示：取AB 的中点E ，CD 的中点F ，连E 、PF 、EF ，过点P 作PH EF ⊥，垂足为H. 则AE BE =、CF DF =，有AB EP ⊥，AB EF ⊥， 所以AB ⊥平面PEF ，所以AB PH ⊥，又PH EF ⊥， 所以PH ⊥平面ABCD ， 因为四棱锥的体积为233， 所以123433PH ⨯=， 解得32PH =，由3PE =，得30PEF ∠=︒，32EH =，12HF =，1PF =，PE PF ⊥. 三角形PEF 的平面图如下：2PM EM =，N 为EF 的中点，由图可知四棱锥外接球的球心O 为过点M 的EP 的垂线1和EF 的中垂线的交点，设四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，33EM =，23EQ =，13NQ =，33NO =，17212333R =+==. 故选：A8、已知三棱锥A BCD -的四个顶点在球O 的球面上，AB AC AD ==，BCD 是边长为2的正三角形，M 、N 分别为AB 、BC 中点，且MD MN ⊥，则球O 的表面积为__________．答案： 3π解析： 利用已知条件可知三棱锥A BCD -是正三棱锥，结合MD MN ⊥可得AC ⊥面ABD ，即可知ABC 是等腰直角三角形，可得1AB AC AD ===且两两垂直，借助于正方体的外接球，即可求出三棱锥的外接球.详解：由题意知A BCD -为正三棱锥，取BD 中点F ，连接,AF CF ， 所以CF BD ⊥ ，AF BD ⊥ ，且AF CF F ⋂= ， 所以BD ⊥平面ACF ∴AC BD ⊥，又M 、N 分别为AB 、BC 中点，易知||MN AC , 由已知MD MN ⊥， 所以AC MD ⊥ MD BD D ⋂=， 所以AC ⊥面ABD ，所以AC AB ⊥，即ABC 是等腰直角三角形，因为斜边2BC =，所以1AB AC AD ===且两两垂直，则A BCD -为以A 为顶点的正方体一部分，()222221113R AB AC AD =++=++=， 即243R =所以球O 的表面积为243S R ππ==． 故答案为：3π9、已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形，点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC ∆的垂心，当三棱锥P ABC -体积最大值时，三棱锥P ABC -的外接球的体积为（ ）A B C ．6π D 答案： D解析： 设点O 是点P 在底面ABC 的射影,先分析可得O 是底面ABC 的垂心,也是外心,则当,,PA PB PC 互相垂直时体积最大,再求得外接球的体积即可【详解】设点D 为BC 的中点,则AD BC ⊥,因为点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC ∆的垂心,所以PA BC ⊥,PC AB ⊥, 设点O 是点P 在底面ABC 的射影,则BC ⊥平面PAD ,所以O 一定在AD 上, 因为AB PC ⊥,AB PO ⊥,所以CO AB ⊥,所以O 是底面ABC 的垂心,也是外心,则当,,PA PB PC 互相垂直时体积最大,设球的半径为R ,故选:D10、点,,,A B C D 在同一个球的球面上，，若四面体ABCD 体积）A B ．8πC D 答案： A 解析：根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积. 【详解】根据题意知，ABC ∆是一个等边三角形，其面积为334，由正弦定理322sin3r π==知，外接圆的半径为1r =．设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积有最大值，由于底面积ABC S ∆不变，高最大时体积最大， 所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为133ABC S DQ ∆⨯=，4DQ ∴=，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO ∆中，222OA AQ OQ =+， 即2221(4)R R =+-，178R ∴=则这个球的表面积为：2172894()816S ππ==故选：A ． 11、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，AD BP ⊥，PA AC =，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为8π，则三棱锥P ACD -体积的最大值为（ ）A ．23B ．12C ．34D ．24答案： A解析：详解：设AB a ，BC b =，由三棱锥P ABC -外接球的表面积为8π，得外接球的半径2R =.又PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，所以()2222222228AB BC AP AC AP AP R ++=+===，所以2AP =，所以224a b +=.因为PA ⊥平面ABC ，AD PB ⊥，所以24PB a =+，224a BD a=+，过D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则DE ⊥平面ABC ，所以DE PA ∥，所以DE BD PA BP =，所以2224a DE a=+，所以()()()222221124423643432P ABC D ABCACD P ACD a ab abV V S PA DE ab V a a a b ---⎛⎫-=-=-== ⎪++⎝=+⎭△44223623a b b a =≤=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b b a =，即233a =，263b =时，“=”成立，所以三棱锥P ACD -体积的最大值为23.故选A.12、已知直三棱柱111ABC A B C ﹣中，AB AC ⊥，11AB AC AA ===，若点M 在线段1AA 上运动，则四棱锥11M BCC B -外接球半径的取值范围为（ ）A ．252,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．232,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．352,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．332,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 答案： C解析： 首先把三棱柱体转换为正方体，利用B 、C 、1C 、1B 在球面上，球心G 在线段2OO上，整理出关系式222 R x y=+，且2223222R y⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用勾股定理的应用建立二次函数的关系式，再利用二次函数的最值的应用求出结果．详解：将三棱柱111ABC A B C-补成一个正方体1111ABDC A B D C-．设四棱锥体11M BCC B-外接球的球心为G，1AA的中点为1O，1DD的中点为2O，12O O的中点为O，如图所示，则122OO=，32OB=，由于B、C、1C、1B在球面上，所以球心G在线段2OO上，设GM GB R==，1O M x=，1O G y=，则22OG y=-，在1Rt O MG△中，222R x y=+①在1Rt O BG中，2223222R y⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②，联立①②得2524x y=-，由于12x≤≤，故25228y≤≤，故222225233252,424432R x y y y y⎛⎫⎡⎤=+=-+=+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭所以352,28R⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：C ．13、在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使二面角B AC D --的大小为60，则所得三棱锥A BCD -的外接球表面积为（ ）A ．4πB ．529πC ．6πD ．203π 答案： B解析： 由已知可得ABC 、ACD 都是边长为2的等边三角形，由菱形的对角线互相垂直，可得BED ∠为二面角B AC D --的平面角，即60BED ∠=，作出图形，找出三棱锥A BCD -的外接球球心，利用四点共圆结合正弦定理求解三棱锥A BCD -的外接球的半径，代入球的表面积公式可得结果. 详解：由于四边形ABCD 是边长为2的菱形，且23BD =，则22222AC CE AB BE ==-=，所以，ABC 、ACD 都是边长为2的等边三角形，由于菱形的对角线互相垂直，则BE AC ⊥，DE AC ⊥，所以，BED ∠为二面角B AC D --的平面角，即60BED ∠=，过点B 作平面ACD 的垂线BM ，垂足为点M ，则点M 在线段DE 上，由3BE DE ==，60BED ∠=，可得1322ME MD DE ===， 且BDE 是等边三角形，所以，3BD BE ==，设ACD 的外心为点G ，BD 的中点H ，在平面BED 内，过点G 、H 分别作平面ACD 、BD 的垂线交于点O ，则点O 为三棱锥B ACD -的外接球的球心， 60BDE ∠=，则136012=由于O 、G 、D 、H 四点共圆，可得13603= 所以，三棱锥B ACD -的外接球的表面积为13⎫故选：B.。

外接球问题10种题型总结【题型目录】题型一：长方体正方体外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）题型二：能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）题型三：圆柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面圆的半径，h 为圆柱的高）题型四：直棱柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，h 为棱柱的高）题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（2222r P A R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，P A 为棱锥垂直于底面的棱）题型六：圆锥的外接球题型七：棱台圆台的外接球题型八：正棱锥的外接球题型九：侧面垂直于底面外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）题型十：多面体外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【典型例题】题型一：长方体正方体外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）【例1】若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（）A ．π2B ．3π4C ．3πD ．12π【例2】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（）A．9π2B．C．9πD．27π【题型专练】1．长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（）A．9πB．18πC．36πD．48π2．已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于_____________．题型二：能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）设长方体相邻的三条边棱长分别为a ，b ，c．图1墙角体图1鳖臑图3挖墙角体图4对角线相等的四面体图1侧面（侧棱）两两垂直，图2所有面均为直角三角形，（线面垂直+线线垂直）；图3俯视图是一矩形，AC 为虚线，主视图和左视图为直角三角形，图4若是长方体则为对棱相等的四面体，若是正方体则是正四面体（所有棱长均相等）图4中（长方体），2222222222222222222a b BC AD BC AB CD b c AC a b c R AC BD c a AB ααβγβγ⎧+===⎫⎪++⎪=⇒+==⇒++=⇒=⎬⎨⎪⎪=+==⎭⎩abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-．【例1】_______________．可得该正方体的外接球就是三棱锥设球半径为R ，可得正方体的对角线长等于球直径【例2】已知三棱锥-P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2的正三角形，E F ，分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）A B ．6πC ．24πD ．又1cos 2AD EAC PA x ∠==，∴2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，PA ∴，即三棱锥-P ABC 是以PA ，所以球O 的直径则球O 的体积333V R =π=π⨯【例3】表面积为）A ．B ．12πC ．8πD ．【例4】设,,,A B C D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0=⋅AD AC ，0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC 、ACD 、ABD △的面积，则123S S S ++的最大值是______.【例5】我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，且3PA =，2BC =，AC =则该四面体的外接球的表面积为__________．则长方体的外接球的半径为22229344R PA AC BC =++=++=故2R =所以三棱锥-P ABC 外接球的表面积为故答案为：16π【例6】如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠己作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四个点A ，B ，C ，D 满足AB CD ==，BD AC ==，5cm AD BC ==，则该“鞠”的表面积为____________.令此长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则有222222251320a b b c ca ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，即有22229a b c ++=，令该长方体的外接球的半径为R ，因此2222(2)29R a b c =++=，该“鞠”的表面积为2429S R ππ==.故答案为：29π【题型专练】1．四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，,,AB AC AD 两两垂直，且AB =2AC =，3AD =，则球O 的表面积为________.2．据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，且543PA AB BC ===，，，则这个“阳马”的外接球表面积为（）A ．5πB ．200πC ．50πD ．100π【答案】C【分析】把四棱锥P ABCD -补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥P ABCD -的外接球直径，由长方体性质求得球半径后可得表面积．【详解】把四棱锥P ABCD -补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥P ABCD -的外接球直径，设球半径为R ，则2222(2)50R PA AB BC =++=，球表面积为24π50πS R ==．故选：C ．3．正四面体S ABC -内接于一个半径为R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（）A ．4B ．3C 3D 【答案】C【分析】设正四面体的棱长为2a ，由正四面体几何性质得出a 与外接球半径R 的关系式，即可求比值M 4．在四面体ABCD 中，已知点E ，F 分别为棱AB ，CD 中点，且EF AB ⊥，EF CD ⊥，若2AB CD ==，2EF =，则该四面体外接球半径为__________．【答案】2【分析】根据四面体的对棱性质，结合长方体面对角线的性质，即可将四面体的外接球问题转化为长方体外接球问题，即可得半径.【详解】解：根据长方体的面对角线特点，则可构造长方体使得四面体ABCD 设长方体的长、宽、高分别为则2224b c AB +==，a EF ==的外接球半径为5．在半径为R 的球面上有A ，B ，C ，D 四点，且直线,,AB AC AD 两两垂直，若,ABC ACD ADB △△，△的面积之和为6，则此球体积的最小值为______________．6．已知三棱锥A BCD -中，⊥AB 面902BCD BCD AB BC CD ∠==== ，，，则三棱锥的外接球的体积为___________.【详解】,该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点，7.四面体A ﹣BCD 中，AB ＝CD ＝5，AC BD ==AD BC ==A ﹣BCD 外接球的表面积为_____．题型三：圆柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面圆的半径，h 为圆柱的高）【例1】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【题型专练】1.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23，则该圆柱的体积与它的外接球的体积之比为___________.故答案为：328.题型四：直棱柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，h 为棱柱的高）【例1】设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且1,120AB AC AA BAC ∠=== ，则该直三棱柱的体积是（）A．B．3C ．D ．3【例2】在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，AC =BC =14AA =，则该直三棱柱的外接球的表面积为_________.___________．圆柱12O O 的底面圆直径为2r 柱12O O 外接球的球心，设球可作出正六棱柱ABCDEF A -可将正六棱柱1ABCDEF A B -连接11O A 、11O B ，则111A O B ∠=则圆1O 的半径为111r O A A B ==正六棱柱1111ABCDEF A B C D E -设正六棱柱111ABCDEF A B C D -π【题型专练】1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,90AB BC AA ABC ===∠=︒，则此直三棱柱的外接球的体积是___________.2．若三棱柱111ABCA B C ﹣的底面是以AB 为斜边的直角三角形，1AA ⊥平面ABC，AB =14AA =，则三棱锥1A ABC -的外接球的表面积为_____．3．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,6BB BC BAC π∠===，则该三棱柱外接球的体积为__________.4．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，2BC =，AB BC ⊥，则点1A 到平面11AB C 的距离为______；若三棱锥111A A B C -的顶点都在同一个球面上，则该球体积为______．【详解】由题意，点1A 到平面11AB C 的距离可以看作三棱锥由于直三棱柱111ABC A B C -，故AA 11111111332A B C AA S =�创创22111162AA A C ,AB ,B +==1111122332AB C d S d =⨯=⨯⨯⨯ 题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（2222r P A R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，P A 为棱锥垂直于底面的棱）【例1】已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，ABC AD ⊥平面ABC ，AD ＝2，则球O 的表面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．8π【答案】D【分析】由正弦定理可得ABC 外接圆的半径，作图利用勾股定理可得四面体D ABC -的外接球的半径，即可求出球O 的表面积.【详解】ABC为等边三角形且其面积为1 2ABC的边长为3，设ABC外接圆的半径为由正弦定理可得322sin60r==，1r=平面ABC，AD＝2，1//O O AD，且取11= 2O O AD，【例2】已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4，BC=PB＝PC＝3，PA⊥平面PBC，则三棱锥P－ABC 的外接球的表面积是（）A．40πB．43πC．45πD．48π故选：B.【例3】三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为直角三角形，AB BC ⊥，1AB BC ==，2PA =，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π则体对角线PC 所以2R PC ==故三棱锥-P ABC 故选：D 【题型专练】1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB DC ，AD AB ⊥，2DC =，1AD AB ==，直线PA 与平面ABCD 成45︒角.设四面体PBCD 外接球的圆心为O ，则球的体积为__________.66【分析】先证明出△PCD 和△PBC 均为直角三角形，得到O 点位置，可求得外接球的半径，可求其体积．∵直线PA 与平面ABCD 则∠PAD ＝45°，∴PD ＝又22PC CD PD =+=∴四面体PBCD 外接球的半径为2．在三棱锥A BCD -中，BD ⊥平面ADC ，2BD =，AB =AC BC ==，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________．AD 因为BD ⊥平面ADC ，AD ⊂所以BD AD ⊥，BD CD ⊥.因为2BD =，22AB =，所以因为2BD =，22BC =，所以在ADC △中，2AD =，CD =3．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，2AD =，3AB =，则该球的表面积为______.故答案为：16π4．我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，且3PA =，2BC =，AC =__________．则长方体的外接球的半径为22229344R PA AC BC =++=++=故2R =所以三棱锥-P ABC 外接球的表面积为故答案为：16π题型六：圆锥的外接球【例1】一个圆锥母线长为6，侧面积，则这个圆锥的外接球体积为______________．【答案】43π【分析】由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径，设出球的半径，根据题意得出关系式求出球的半径，进而由题意可得，22()h R r -+所以，34R 433V ππ==．故答案为：43π．【例2】已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为4R ，该圆柱的全面积为（）A ．22R πB ．294RπC ．283RπD ．252Rπ易知△~CAB CPO ，故可得故圆锥的内接圆柱的全面积为：故选：B .【题型专练】1.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3πB．4πC．9πD．12π设球的半径为R，则3432 33 Rππ=所以，1BD=，3AD=，CD AB⊥，则CAD ACD∠+∠又因为ADC BDC∠=∠，所以，所以，AD CDCD BD=，CD AD∴=因此，这两个圆锥的体积之和为题型七：棱台圆台的外接球【例1】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π【例2】已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为100π，则此圆台的体积为（）A ．84πB ．86πC ．2593πD ．2623π【答案】C【分析】根据旋转体的特点得到圆台的外接球的球心为圆台轴截面外接圆的圆心，然后结合题意得到7AB =，5OC =，4AC =，利用勾股定理得到3BD =，最后利用圆台的体积公式求体积即可.【详解】如图为圆台及其外接球的轴截面，O 为外接球球心，A ，B 为等腰梯形的下底和上底的中点，所以7AB =，【题型专练】1．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知侧棱都相等的四棱锥P ABCD -底面为矩形，且3AB =，BC =2，用一个与底面平行的平面截该四棱锥，截得一个高为1的刍童，该刍童的顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（）．A ．16πB ．18πC ．20πD ．25π【答案】C【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】如图1，设棱台为1111ABCD A B C D -，如图2，该棱台外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意121O O =，22AO =，111A O =，1OA OA R ==，当O 在12O O 下方时，设2OO h =，则在2AOO 中，有：224R h =+（1），在11A OO 中，有：()2211R h =++（2），联立（1）、（2）得1h =，25R =，所以刍童外接球的表面积为20π．同理，当O 在12O O 中间时，设1OO h =，则有221R h =+，()2214R h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述：当刍童外接球的表面积为20π．故选：C2．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1124A B AB ==，12AA =，则该棱台外接球的半径为（）A ．B ．3C D ．设0,2OG m ⎡⎤=∈⎣⎦，则()222228m R m ⎧+=⎪⎨-+⎪⎩设2OGm =>，则()222228m R m R ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩所以10=R ,故选：C.[解法2]同解法1，求得12CG GG ==则1CNC 为等腰直角三角形，四边形CGG 3．正四棱台高为2，上下底边长分别为，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．【答案】80π【分析】画出图形，设出未知数，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积【详解】如图所示，AB AD BC ==O 为外接球球心，设外接球半径为故答案为：80π题型八：正棱锥的外接球【例1】已知底面为正三角形、侧棱都相等的三棱锥的体积为2，其各顶点都在同一球面上．则该球的表面积为__________________．【答案】9π【分析】如图设底面边长为a ，根据锥体体积公式求a ，设1O 为正三角形ABC 的中心，则1SO ⊥平面ABC ，正三棱锥S ABC -的外接球的球心O 在1SO 上，在1Rt O AO V 中利用勾股定理即可求出R 的值，从而得到球O 的表面积．【详解】由条件可得该三棱锥为正三棱锥，作出其图象，如图所示：设AB a =，则AC a =，CAB ∠=【例2】已知正四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，其内切球的体积为6，则该正四棱锥的高为___________，外接球的表面积为___________.因为球O 与四棱锥相内切，所以由等体积法得：在PAD 中，22PA h =+，122PAD S =⨯⨯ 简得：2121h h +=-，解得，43h =，设正四棱锥外接球的半径为R ，外接球的球心为所以正四棱锥外接球的表面积为24π4πS R ==4289π【例3】点都在同一球面上，则该球的表面积的最小值为_____________．设BC a =，AH h =，OA R =根据题意可得133BCD S h ⨯=【题型专练】1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π2.正四面体S ABC -内接于一个半径为R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（）A4B 3C 3D 【答案】C【分析】设正四面体的棱长为2a ，由正四面体几何性质得出a 与外接球半径R 的关系式，即可求比值【详解】设正四面体的棱长为2a ，正四面体的外接球心为O ，ABC 的内心为M ，则SM ⊥平面ABC ，由AM ⊂平面ABC ，则SM AM ⊥，3．已知正四棱锥的侧棱长l为3，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π，则该正四棱锥的体积是（）A．274B．814C．18D．27【答案】A【分析】根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可求解长度，进而由体积公式即可求解.【详解】如图，设正四棱锥的底面边长4.（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤）A ．8118,4⎡⎤⎢⎥B ．2781,44⎡⎤⎢⎥C ．2764,43⎡⎤⎢⎥D ．[18,27][方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为2a ，高为则2222l a h =+，2232(3a =+所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积13V Sh =题型九：侧面垂直于底面外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【例1】已知空间四边形ABCD的各边长及对角线BD的长度均为6，平面ABD⊥平面CBD，则空间四边形ABCD外接球的表面积为______.由平面ABD⊥平面CBD故AE⊥平面CBD，AE的投影为△【例2】）矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将ABCD 矩形折起，使面BAC ⊥面DAC ，则四面体A BCD-的外接球的体积为（）A ．1256πB ．1259πC ．12512πD ．1253π矩形ABCD 中，因为43AB BC ==，，所以5DB AC ==，设DB 交AC 于O ，则O 是Rt ABC 和Rt V 所以O 到点,,,A B C D 的距离均为52，所以5【例3】已知在三棱锥中，S ABC -中，BA BC ⊥，2BA BC ==，SA SC ==B AC S --的大小为5π6，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（）A ．56π3B ．58π3C ．105π4D ．124π9【题型专练】1.在三棱锥A BCD -中，平面⊥ABC 平面BCD ，ABC 与BCD △都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.【详解】的中点为,,M E F 分别是正三角形ABC 是该三棱锥外接球的球心，连接,AM DM 分别在,AM DM 上，OF ⊥平面BCD ABC ⊥平面BCD ，AM BC ⊥，平面⊥平面BCD ，所以//AM OF ，同理可得2．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，AM PC ⊥，M 为垂足，则下列命题正确的是（）A ．三棱锥M ABC -的外接球的表面积为8π.B ．三棱锥M ABC -的外接球的体积为C ．三棱锥P MAB -的外接球的体积为D ．三棱锥P MAB -的外接球的表面积为16π【答案】AC【分析】根据给定条件，取AC 中点1O ，证明点1O 到点,,,M A B C 的距离相等，计算判断A ，B ；取PB ，PC 的中点D ，E ，证明DE ⊥平面PAB ，再确定三棱锥P MAB -的外接球球心位置，并计算半径作答.【详解】在三棱锥-P ABC 中，取AC 中点1O ，连接11,BO MO ，如图，于是得DE ⊥平面PAB ，而因此该球的球心O 在直线令OD d =，即有R OM =在Rt PAC △中，12PE PC =在OEM △中，cos OEM ∠题型十：多面体外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【例1】半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体.它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它的棱长为2，则下列说法错误的是（）A ．该二十四等边体的外接球的表面积为16πB ．该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E ，满足关系式2V F E +-=C ．直线AH 与PN 的夹角为60°D ．QH ⊥平面ABE 记正方体体心为O ，取下底面ABCD 易知112OO BO ==，则外接球半径所以外接球的表面积2=416S R π=由欧拉公式可知：顶点数+面数又因为PN ∥AD ，易知直线AH 直线AH 与PN 的夹角为60 ，故故选：D【例2】如图，已知正方体的棱长为1，1O ，2O 分别为正方体中上、下底面的中心，3O ，4O ，5O ，6O 分别为四个侧面的中心，由这六个中心构成一个八面体的顶点，则（）A ．直线13O O 与直线24O O 所成角为60︒B ．二面角1345O O O O --CD ．这个八面体外接球的体积为π6【答案】ACD 【分析】A.根据几何关系，将异面直线所成角，转化为相交直线所成角；B.构造二面角的平面角，再根据余弦定理求解，转化为正切值；C.根据几何体的特征，计算一个等边三角形的面积，再求八面体的表面积；D.由几何体确定外接球的球心和半径，再求外接球的体积.【详解】A.连结1235O O O O ，，交于点O ，由正方体的性质可知，点O 平分1235O O O O ，，所以四边形1325O O O O 是平行四边形，所以1325//O O O O ，所以直线13O O 与直线24O O 所成角为425O O O ∠,因为八面体的由8个全等的等边三角形构成，所以42560O O O ∠= ，故A 正确；B.取34O O 的中点M ，56O O 的中点由图可知，八面体的表面是所以134O M O O ⊥，MN O ⊥所以1O MN ∠是二面角1O O -2【例3】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体.如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则（）A ．DE ⊥平面ABCB ．直线DE 与GH 所成的角为60°C ．该截角四面体的表面积为D ．该截角四面体的外接球半径为4选项B ，由题意//,//DE AJ GI 与GH 所成角为60 ，正确；选项C ，由题意，截角四面体由所以其表面积为23414S =⨯⨯选项D ，如下图所示，取上下底面的中心分别为故选：BCD【题型专练】1．如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，EF 平面,4ABCD EF =，其余棱长都为2，则这个几何体的外接球的体积为（）A ．3B ．16π3C ．D ．32π3【答案】D【分析】由题意可知直线EF 在底面ABCD 上的射影即为,AD BC 的中点,N G 的连线所在直线,连接,AC BD 交于点M ，取EF 的中点O ，计算求得2OA OB OC OD OE OF ======，说明几何体的外接球的球心为O ，确定半径，根据球的体积公式即可求得答案.【详解】由题意在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，EF 平面,4ABCD EF =，其余棱长都为2，可知直线EF 在底面ABCD 上的射影即为,AD BC 的中点,N G 的连线所在直线,2NG =,连接,AC BD 交于点M ，则为,AC BD 的中点，取EF 的中点O ，四边形,ABFE CDEF 为全等的等腰梯形，则,OA OC OB OD ==，故,OM AC OM BD ⊥⊥,,,AC BD M AC BD =⊂ 平面ABCD ,由题意得，11()(42)21,2HF EF NG=-=-= 22312,HG FG HF OM HG∴=-=-=∴=222OA OM AM∴=+=，同理OB OC==2,OE OF OA OB OC OD OE==∴====2．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列说法正确的是（）A．勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是(8πB．勒洛四面体ABCD内切球的半径是4C．勒洛四面体的截面面积的最大值为2π-D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-对于B ，由对称性知,勒洛四面体正BCD △外接圆半径1O B ABCD 的外接球半径为R 在1Rt BOO 中,2263R ⎛= ⎝此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：对于C，显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，由对()max 223Sπ=-截，故C正确；对于D，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的面体ABCD能够容纳的最大球的半径为。

空间几何体的外接球本文介绍了几种利用几何体的特殊性质来求解外接球半径的方法。

其中第一种方法是针对长方体模型一的，只需要找到三条两两垂直的线段，就可以直接使用公式2R=a+b+c或2R=a²+b²+c²来求解半径R。

接着，文章给出了几个例题，让读者更好地理解和应用这种方法。

第二种方法是针对长方体模型二的，题设为一条直线垂直于一个平面，解题步骤包括将三角形画在小圆面上，连接直线与圆心，最后利用勾股定理求解外接球半径R。

同样，文章给出了几个例题供读者练。

最后，文章介绍了对棱相等模型的长方体模型三，这种方法需要求出补形为长方体的几何体的体积，并将其除以4π/3，就可以得到外接球的半径R。

文章提供了一个例题，让读者更好地掌握这种方法。

总的来说，本文通过多种方法介绍了如何求解几何体的外接球半径，对于需要进行相关计算的读者来说，是一份不错的参考资料。

三棱锥（即四面体）中已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）的方法如下：第一步，画出一个长方体，并标出三组互为异面直线的对棱。

第二步，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列出方程组：a^2+b^2=x^2b+c=yc^2+a^2=z^2然后，根据墙角模型，2R=a+b+c=√(x^2+y^2+z^2)，求出外接球半径R。

补充：V(A-BCD)=abc/3，V(ABCD)=abc/3×4=4abc/3例如，正四面体的外接球半径也可以用此法求解。

题例3：1.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。

2.如图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。

3.正四面体的各条棱长都为2，则该正四面体外接球的体积为。

类型二：圆锥模型题设：如图6、7、8，P的射影是△ABC的外心，当且仅当三棱锥P-ABC的三条侧棱相等，或者三棱锥P-ABC的底面△ABC在圆锥的底面上，且顶点P点也是圆锥的顶点。

高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)球的性质回顾：球心O和小圆O'的连线OO'垂直于圆O'所在平面。

外接球半径的求法是利用直角三角形的勾股定理，在Rt△OAO'中，OA^2=OO'^2+O'A^2.常见平面几何图形的外接圆半径（r）的求法：1.三角形：1) 等边三角形：内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。

外接圆半径通常结合重心的性质(2:1)进行求解：r=a*(2/3)^(1/2) （其中a为等边三角形的边长）。

2) 直角三角形：外接圆圆心位于斜边的中点处，r=斜边/2.3) 等腰三角形：外接圆圆心位于底边的高线(即中线)上。

r=a/(2sin(A/2)) （其中A为顶角）。

4) 非特殊三角形：可使用正弦定理求解，XXX)。

2.四边形：常见具有外接圆的四边形有正方形、矩形、等腰梯形。

其中正方形与长方形半径求解方法转化为直角三角形。

几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，即球心落在过底面外心的垂线上。

练：2.半径为2的球的内接三棱锥P-ABC，PA=PB=PC=2，AB=AC=BC，则三棱锥的高为3.1.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA1=4，则此三棱柱外接球的表面积为8π。

本文介绍了三棱锥的外接球的求解方法，其中包括侧棱垂直底面的三棱锥、正三棱锥和侧面垂直于底面的三棱锥三种类型。

对于侧棱垂直底面的三棱锥，可以采用补形法或通过确定底面三角形的外心来求解外接球的半径。

补形法是指将该几何体转化为原三棱柱的外接球，从而求出外接球的半径。

而通过确定底面三角形的外心，则可以通过勾股定理求解外接球的半径。

对于正三棱锥，可以通过底面正三角形的边长来求解内切球的半径，然后再利用勾股定理求解外接球的半径。

对于侧面垂直于底面的三棱锥，则需要确定△ABC和△PAB的外心分别为O’和O’’，并通过勾股定理求解OO’的长度，从而求解外接球的半径。

考点27 空间几何体的外接球1.墙角模型(1)使用范围：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合（2）推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径(2)秒杀公式：222222a b c3aR(a b c R(a44++==、、为长方体的长宽高）正方体的边长）（4）图示过程(3)秒杀公式：2.汉堡模型（1）使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体（2）推导过程第一步：取底面的外心O1,，过外心做高的的平行且长度相等，在该线上中点为球心的位置第二步：根据勾股定理可得2 22h R r4=+（3）秒杀公式：2 22h R r4=+（4）图示过程知识理解3.斗笠模型（1）使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上（2）推导过程第一步：取底面的外心O1,，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h 第二步：在h上取一点作为球心O第三步：根据勾股定理22 222r h R(h R)r R2h+ =-+⇔=（3）秒杀公式：22r h R2h+ =（4）图示过程4.切瓜模型（1）使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥（2）推导过程：第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心F、N，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心O，取BC的中点为M，连接FM、MN、OF、ON第二步：22222222212l ONMF OA AN ON AN MF R r r4∴=+=+∴=+-为矩形由勾股可得（3）秒杀公式：222212l R r r 4=+- （4）图示过程考向一 墙角模型【例1】（2021·平罗中学高三期末）已知长方体的两个底面是边长为1的正方形，长方体的一条体对角线与底面成45角，则此长方体的外接球表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．12πD ．24π 【答案】A【解析】记该长方体为1111ABCD A B C D -，1BD 为该长方体的一条体对角线，其与底面所成角为45， 因为在长方体1111ABCD A B C D -中，侧棱1DD ⊥底面ABCD ，则1D BD ∠为1BD 与底面所成角，即145D BD ∠=，因为长方体的两个底面是边长为1的正方形，所以222BD AD AB =+=，则12DD BD ==，所以1222BD =+=，又长方体的外接球直径等于其体对角线的长，即该长方体外接球的直径为12222R BD ==+=，所以此长方体的外接球表面积为244S R ππ==.故选：A. 考向分析【举一反三】1．（2020·天津静海区·高三月考）若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π 【答案】A【解析】因为正方体的外接球的直径2R ==，所以棱长为2的正方体外接球的直径2R ==所以该球的表面积2412R ππ=.故选：A.2．（2020·河南高三月考）已知长方体''''ABCD A B C D -中，''A B =''1B C =，'A B 与平面''ACC A所成角的正弦值为10，则该长方体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π 【答案】B 【解析】作BE AC ⊥，垂足为E ，连接'A E ，BE .因为平面ABC ⊥平面''ACC A ，平面ABC 平面''ACC A AC =，BE ⊂平面ABC ，所以BE ⊥平面''ACC A ，所以'BA E ∠是'A B 与平面''ACC A 所成的平面角.又2BE ==，'A B ==所以sin ''10BE BA E A B ∠===，解得'AA =4=.设长方体的外接球的半径为R ，则24R =，解得2R =.所以该长方体的外接球的表面积为2244216S R πππ==⨯=.故选B .3．（2020·四川泸州市·高三一模）已知四棱锥A BCDE -中，四边形BCDE 是边长为2的正方形，3AB =且AB ⊥平面BCDE ，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．174πC ．17πD ．8π【答案】C【解析】由题意，四棱锥A BCDE -中，四边形BCDE 是边长为2的正方形， 3AB =且AB ⊥平面BCDE ，可把四棱锥A BCDE -放置在如图所示的一个长方体内，其中长方体的长、宽、高分别为2,2,3，则四棱锥A BCDE -的外接球和长方体的外接球表示同一个球，设四棱锥A BCDE -的外接球的半径为R 2R =，解得2R =，所以该四棱锥外接球的表面积为22=4=417S R πππ⨯=. 故选：C.考向二 汉堡包模型【例2】（2021·陕西西安市·高三一模）三棱柱111ABC A B C -中，棱1AB AC AA 、、两两垂直，12AA =，底面ABC 是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．8B ．10πC ．12πD ．π【答案】C【解析】底面ABC 是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱111ABC A B C -可以补充成边长为2=，所以球O 的表面积为2412ππ=，故选：C【举一反三】1．（2021·陕西咸阳市·高三一模）在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB BC ==，2ABC π∠=，若该直三棱柱的外接球表面积为16π，则此直三棱柱的高为（ ）．A ．4B ．3C ．D ．【答案】D 【解析】因为2ABC π∠=，所以将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体1111ABCD A B C D -，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，设球的半径为R ，则2416R ππ=，解得2R =，设直三棱柱的高为h ，则2222422R h =++，即2168h =+，解得h =，故选：D2．（2021·山西吕梁市·高三一模）四面体A BCD -中，DC ⊥面ABC ，3AB BC ==，120ABC ∠=︒，8DC =，则四面体A BCD -外接球的表面积为（ ）A ．100πB ．50πC ．25πD ．91π【答案】A【解析】设ABC 外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -外接球的球心为O ，半径为R连接11,,O C OO OC 由正弦定理可得12sin BC O C BAC =∠，即1332sin 30O C ︒==，1142OO DC ==5R OC ====即四面体A BCD -外接球的表面积为245100S ππ=⨯=故选：A3．（2021·山东德州市·高三期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若2PD =，3APD BAD π∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球表面积为_________．【答案】16π．【解析】取PA 中点M ，DA 中点E ，连接,ME EO ，则//ME PD ，因为PD ⊥底面ABCD ，所以ME ⊥平面ABCD ，ABCD 是菱形，则AO OD ⊥，所以E 是AOD △的外心，又PD ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，所以M 到,,,P A D O 四点距离相等，即为三棱锥P AOD -的外接球球心．又2PD =，3APD π∠=，所以24cos 3PA π==，所以2MA MP ==，所以三棱锥P AOD -的外接球表面积为24216S ππ=⨯=．故答案为：16π．考向三 斗笠模型【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π 【答案】A【解析】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上，记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ，在Rt △1AOO 中，1AO =由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.【举一反三】1．（2020·江西吉安市·高三其他模拟）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．812πB ．814πC ．815πD ．817π 【答案】B【解析】如图示：正四棱锥S ABCD -中，高4SN =，底面正方形边长2AB =,设正四棱锥的外接球半径为R ，底面正四边形外接圆半径为r 则r BN ==由OS OB =得：()2224R R =+-，解得：94R =， ∴2814ππ4V R ==. 故选：B. 2．（2021·安徽芜湖市·高三期末）已知正四棱锥的体积为18，侧棱与底面所成的角为45，则该正四棱锥外接球的表面积为___________.【答案】36π【解析】如下图所示，设正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 的中心为E ，连接PE 、AC 、BD ，设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ，则AC BD ==，由于E 为正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 的中心，则PE ⊥平面ABCD ，由于正四棱锥P ABCD -的侧棱与底面所成的角为45，则45PAC PCA ∠=∠=，所以，PAC △是以APC ∠为直角的等腰直角三角形，同理可知，PBD △是以BPD ∠为直角的等腰直角三角形，E 为AC 的中点，12PE AC ==，2ABCD S a =正方形，23111833P ABCD ABCD V S PE a -=⋅=⨯==正方形，解得a =， 232PE a ==，由直角三角形的性质可得1122PE AC BD ==， 即PE AE BE CE DE ====，所以，E 为正四棱锥P ABCD -外接球的球心，球E 的半径为3r PE ==，该球的表面积为2436r ππ=.故答案为：36π.3．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学）已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________.【答案】64π【解析】过点S 作SE ⊥平面ABC 于点E ，记球心为O .∵在正三棱锥S ABC -中，底面边长为6，侧棱长为∴2632BE =⨯⨯=∴6SE ==.∵球心O 到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长R ，∴OB R =，6OE R =-.在Rt BOE 中，222OB BE OE =+，即()22126R R =+-，解得4R =，∴外接球的表面积为2464S R ππ==.故答案为：64π.考向四 切瓜模型【例4】（2021·江西高三其他模拟）已知三棱锥A -BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，三角形ABC 是边长为3的正三角形，三角形BCD 是直角三角形，且∠BCD =90°，CD =2，则此三棱锥外接球的体积等于（ ）A ．323πB ．643πC ．16πD ．32π【答案】A【解析】三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；设三棱锥外接球的球心为O ，取BC 的中点M ，BD 的中点N ，三角形ABC 的重心G ，连接OG ，则AM AB ==2233AG AM ===，112OG CD ==，所以三棱锥外接球的半径为2R OA =， 所以三棱锥外接球的体积为3344232333R V πππ⨯===．故选：A ． 【举一反三】1．（2020·内蒙古赤峰市·高三月考）已知三棱锥P ABC -中，1PA =，3PB =，AB =CA CB ==面PAB ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．143πB ．283πC ．11πD ．12π【答案】B【解析】如图，1PA =，3PB =，AB =∴222PA AB PB +=，2PAB π∠=，所以ABP △的外接圆的圆心为斜边PB 的中点N ,CA CB ==∴ABC 为等腰三角形.取AB 的中点D ，连接CD ，DN ，∴CD AB ⊥，AD BD ==,∴CD =又 面PAB ⊥面ABC ，面PAB ⋂面ABC AB =，CD ⊂面ABC ，∴CD ⊥面PAB ，过点N 作CD 的平行线，则球心O 一定在该直线上.设ABC 的外接圆的圆心为1O ，,则1O 点在CD 上，连接1OO ,由球的性质则，1OO ⊥平面ABC ，则1O OND 为矩形.在ABC中，cos 5CAB ∠==,则sin 5CAB ∠= 所以ABC的外接圆的半径12sin BC O A CAB ===∠所以1O A =1O D ===则1ON O D ==所以球的半径为3OP ===所以三棱锥的外接球的表面积为221284493πππ=⨯=⎝⎭故选：B2．（2020·四川泸州市·高三一模）已知三棱锥A BCD -中，BAC 和BDC 是边长为2的等边三角形，且平面ABC ⊥平面BCD ，该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．163πC ．8πD ．203π 【答案】D【解析】取BD 的中点E ，连接,AE DE ，则,AE BC DE BC ⊥⊥，因为平面ABC ⊥平面BCD ，所以可证得AE ⊥平面BCD ，DE ⊥平面ABC ，取BCD △的外心F ，作//FM AE ，则,,,F M E A 四点共面，取ABC 的外心H ，过点H 作EF 的平行线交FM 于点O ，因为EF 垂直平面ABC ，则HO ⊥平面ABC ，所以点O 到,,,A B C D 四点的距离相等，所以点O 为三棱锥A BCD -外接球的球心，连接OC ，可求得OF HE DF ===2222145333R OD OF DF ==+=+=，所以外接球的表面积为22043S R ππ==. 故选：D.3．（2021·全国高三专题练习）已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，且ABD △和BCD △都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）A ．4πB ．163πC ．8πD ．203π 【答案】D【解析】如图，由已知可得，ABD △与BCD △均为等边三角形，取BD 中点G ，连接AG ，CG ，则AG BD ⊥，∵平面ABD ⊥平面BCD ，则AG ⊥平面BCD ，分别取ABD △与BCD △的外心,E F ，过,E F 分别作两面的垂线，相交于O ，则O 为三棱锥A BCD -的外接球的球心，由ABD △与BCD △均为边长为2的等边三角形，可得11233OE OF CG ===⨯=223CE ∴==，3R OC ∴====， ∴三棱锥A −BCD的外接球的表面积为2220443R πππ⨯=⨯=.故选：D.1．（2020·江西高三其他模拟（理））在三棱锥P ABC -中，AB AC ==120BAC ∠=，PB PC ==，PA = ）A ．40πB ．20πC ．80πD ．60π【答案】A【解析】在BAC 中，2222cos 24BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅⋅∠=，即BC =强化练习PB PC ==，∴PBC 为等边三角形根据题意，有如下示意图：如图，设ABC 的外接圆的圆心为1O ，连接1O C ，1O A ，1BC O A H ⋂=，连接PH.由题意可得AH BC ⊥，且112AH O A ==12BH BC ==.∴由上知：PH BC ⊥且PH ==，又222PH AH PA +=， ∴PH AH ⊥，由AH BC H =，PH ⊥平面ABC.设O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，连接1OO ，OP ，OC 过O 作OD PH ⊥，垂足为D ，则外接球的半径R 满足()22222111()R OO CO PH OO OD =+=-+，1A C B O == 1OD O H AH ===，代入解得1OO =210R =，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2440R ππ=.故选：A.2．（2020·四川泸州市·高三一模）已知四棱锥A BCDE -中，AB ⊥平面BCDE ，底面BCDE 是边长为2的正方形，且3AB =，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．174πC ．17πD ．8π【答案】C【解析】由题意，四棱锥A BCDE -中，四边形BCDE 是边长为2的正方形， 3AB =且AB ⊥平面BCDE ，可把四棱锥A BCDE -放置在如图所示的一个长方体内，其中长方体的长、宽、高分别为2,2,3，则四棱锥A BCDE -的外接球和长方体的外接球表示同一个球，设四棱锥A BCDE -的外接球的半径为R ，2R =，解得R =，所以该四棱锥外接球的表面积为22=4=417S R πππ⨯=.故选：C. 3．（2020·四川宜宾市·高三一模）已知点P ，A ，B ，C 在同一个球的球表面上，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PB BC ，PC =2，则该球的表面积为（ ）A ．6πB ．8πC ．12πD ．16π 【答案】A【解析】如图，三棱锥P ABC -补体在长方体中，三棱锥的外接球就是补体后长方体的外接球，长方体的外接球的直径2R ====即R =， 则该球的表面积246S R ππ==.故选：A4．（2020·广东广州市·高三月考）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB CC =，1BC =，点M 在正方形11CDD C 内，1C M ⊥平面1ACM ，则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为（ ）A ．11π2B ．7πC ．11πD ．14π【答案】C【解析】长方体1AC 中，11A D ⊥平面11CDD C ，1C M ⊂平面11CDD C ，∴111C M A D ⊥，又1C M ⊥平面1ACM ，1AC ⊂平面1ACM ，∴11C M AC ⊥， ∵1111AC AD A =，∴1C M ⊥平面11A CD ，而1CD ⊂平面11A CD ，∴11C M CD ⊥， 11CDD C 是正方形，∴M 是1CD 与1C D 交点，即为1CD 的中点，也是1C D 的中点． 1C MC △是直角三角形，设E 是1CC 中点，F 是1BB 中点，则由//EF BC 可得EF ⊥平面1MCC （长方体中棱与相交面垂直），E 是1C MC △的外心，三棱锥11A MCC -的外接球球心O 在直线EF 上（线段EF 或EF 的延长线上）．设OE h =，则22222(1)22h h ⎛⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得32h =，∴外接球半径为2r ==， 表面积为21144114S r πππ==⨯=． 故选：C ．5．（2020·全国高三月考）三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，1AC =，AB =12AA =，则该三棱柱111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A B C D ．8π【答案】B【解析】如图，取BC 中点1O ，连1BC 交1B C 于点O ，AC AB ⊥，1O ∴为Rt ABC 的外接圆圆心， 3AB =，1AC =，2BC ∴=，ABC ∴外接圆半径为12BC =, 111////OO CC AA ，1AA ⊥平面ABC ，1OO ∴⊥平面ABC ，又1112BB OO ==，∴点O 为三棱柱111ABC A B C -的外接球球心，∴外接球半径R OB ===，∴外接球体积343V R π==. 故选：B.6．（2020·江西赣州市·高三）四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，AB BD ==1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π【答案】B 【解析】如图，在四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，AB BD =1CB CD ==，可得90BCD ∠=︒，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，12=，则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1．其表面积为2414ππ⨯=．故选：B ．7．（2021·天津滨海新区·高三月考）直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在同一球面上，且2AB AC ==，90BAC ∠=︒，1AA = ）A ．40πB ．32πC ．10πD ．8π 【答案】A【解析】如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在同一球面上，且2AB AC ==，90BAC ∠=︒，1AA =∴可将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体，其中2AB AC BM CM ====，11AA BB ==1CB ====r .∴球的表面积为224440S r πππ==⨯=.故选: A.8．（2020·江苏南通市·高三期中）正三棱锥S ABC -中，2SA =，AB =积为（ ）A ．B ．4πC ．12πD ．6π【答案】C【解析】正三棱锥S ABC -中，2SA =，AB =所以222SA SB AB +=,故SA SB ⊥,同理可得SA SC ⊥, SB SC ⊥,以,,SA SB SC 为棱构造正方体，则该棱锥外接球即为该正方体的外接球，如图，所以2222(2)22212R =++=，故球的表面积为2412S R ππ==,故选：C9．（2021·安徽宣城市·高三期末（文））在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1204BAC AP AB AC ∠====，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ）A ．18πB ．36πC ．40πD ．72π【答案】D 【解析】如图所示，1204BAC AB AC ∠===，，取BC 中点M ，连接AM 并延长到N 使AM =MN ，则四边形ABNC 是两个等边三角形组成的菱形，AN =BN =CN ，点N 是ABC 的外接圆圆心，过N 作平面ABC 的垂线NG ，则球心一定在垂线NG 上，因为PA ⊥平面ABC ，则PA //NG ，PA 与NG 共面，在面内作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心，半径R =OA ，Rt AON 中，12ON AP ==4AN =，故R ==故外接球的表面积2441872S R πππ==⨯=.故选:D.10．（2020·江苏南京市第二十九中学高三期中）已知直三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 上，且4AB =，16AA =，30ACB ∠=︒，则此直三棱柱的外接球O 的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．100πD ．500π3【答案】C【解析】如图所示：设点O '为ABC 外接圆的圆心，因为30ACB ∠=︒，所以60AO B '∠=，又O A O B r ''==，所以AO B '△是等边三角形，所以4r O A O B AB ''====，又直三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 上，所以外接球的半径为5R ==，所以直三棱柱的外接球O 的表面积是24100S R ππ==，故选：C11．（2021·平凉市庄浪县第一中学高三其他模拟（理））已知90ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABC ，若1PA AB BC ===，则四面体PABC 的外接球（顶点都在球面上）的体积为（ ）A ．πB C ．2π D ．2 【答案】D【解析】取PC 的中点O ，连接OA ，OB ，由题意得PA BC ⊥，又因为,AC BC PC AC A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC PB ⊥，在1,2Rt PBC OB PC ∆=， 同理12OA PC =，所以12OA OB OC PC ===，因此P ，A ，B ，C 四点在以O 为球心的球面上，在Rt ABC ∆中，AC ==在Rt PAC ∆中，PC ==O 的半径122R PC ==，所以球的体积为343π=⎝⎭，故选：D.12．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三其他模拟（理））在四棱锥P ABCD -中，//BC AD ，AD AB ⊥，AB =6AD =，4BC =，PA PB PD ===P BCD -外接球的表面积为（ ）A ．60πB ．40πC ．100πD ．80π【答案】D 【解析】如图，取AD 的两个三等分点1O 、E ，连接BD 、1O C 、CE ，设1BD O C H =，连接PH 、AH . 则1123AO AD ==，14O D BC ∴==，又//BC AD ，1//BC O D ∴， 所以，四边形1BCDO 为平行四边形，1O C BD H =，H ∴为BD 的中点，所以，1122AH BH DH BD =====由勾股定理可得14O B ===，则11O B O D =，在1Rt O AB △中，11tan AB AO B AO ∠==13AO B π∴∠=， //BC AD ，13CBO π∴∠=，又11BC O D O B ==，则1O BC △为等边三角形，1114O C O B O D ∴===，则1O 是BCD 的外接圆的圆心.因为PA PB PD ===H 为BD 的中点，PH BD ∴⊥，PA PB =，AH BH =，PH PH =，PAH PBH ∴≅△△，2PHA PHB π∴∠=∠=， PH AH ∴⊥，又PH BD ⊥，AHBD H =，PH ∴⊥平面ABCD ，且6PH ===.设O 为三棱锥P BCD -外接球的球心，连接1OO 、OP 、OD ，过O 作OF PH ⊥，垂足为F ，则外接球的半径R 满足()2222211146R OO OO O H =+=-+，设1OO x =，则()221664x x +=-+，解得2x =，从而222420R x =+=，故三棱锥P BCD -外接球的表面积为2480R ππ=.故选：D.13．（2021·固原市第五中学高三期末（理））已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为____________.【答案】【解析】设正方体边长a ，正方体外接球的半径为R ，由正方体的表面积为24，所以2624a =，则2a =，又R =，所以R ，所以外接球的体积为：334433R ππ==.故答案为：. 14．（2021·安徽池州市·高三期末（理））已知四棱锥A BCDE -的底面BCDE 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABE ，2AE =，AC =A BCDE -的外接球的表面积为___________.【答案】283π 【解析】如图所示：∵DE ⊥平面ABE ，BC ⊥平面ABE ，∴90ABC ∠=︒，则有222AB BC AC +=，解得2AB =，又2AE =，构造正三棱柱ABE A CD '-，其上下底面边长为2，高为2，则其外接球的球心是上下中心连线的中点，设外接球半径R ，则22222113713R O E OO ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以外接球的表面积为23428S R ππ==. 故答案为：283π15．（2021·吉林四平市·高三期末）已知直三棱柱1111,2,2,ABC A BC AB AC BC AA -====其外接球的体积为____.【解析】已知AB =AC ,∴三角形ABC 为等腰三角形，取M 为BC 的中点，连接AM ,则AM ⊥BC ,由已知得BC =BM =,又2,60AB BAM =∴∠=︒,∴120BAC ∠=︒，再由正弦定理42sin BC r A ===,（r 为三角形ABC 外接圆半径），r =2, 设两底面的外接圆的圆心分别为12,O O ，外接球球心O 为12O O的中点，外接球的半径R OA ===所以球的体积为343R π=,. 16．（2021·河南郑州市·高三一模）已知A BCD -是球О的内接三棱锥，6,9,AB AC BC BD CD AD ======则球О的表面积为_______________________．【答案】84π【解析】取BC ，AD 的中点,M N ，因为6,9,AB AC BC BD CD AD ======所以AM BC ⊥，DM BC ⊥，所以BC ⊥平面AMD ，MN 既是BC ，又是AD 的垂直平分线，所以三棱锥A BCD -的外接球的球心在MN 上，且平面AMD ⊥平面BCD ，点E 是BCD △的中心，:1:2ME ED =，OE MD ⊥，且OE MN O =，AM DM ==，9AD =，所以2MN ==，OME ADN，所以92OE ME OE DN MN =⇒=，解得：3OE =，则三棱锥外接球半径R OD ====，则球O 的表面积2484S R ππ==.故答案为：84π17．（2021·石嘴山市第三中学高三月考）在三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面ABC ，,5,4AC BC AB BD BC ⊥===，则此三棱锥的外接球的表面积为______.【答案】34π【解析】因为CD ⊥底面ABC ，所以CD AC ⊥，CD BC ⊥，又AC BC ⊥，所以三棱锥D ABC -的外接球就是以,,CD CA CB为棱的长方体的外接球，其直径为长方体的对角线，因为3CD ===，3AC ===，所以外接球的直径2R =所以外接球的表面积为243434R πππ=⨯=.故答案为：34π18．（2020·梅河口市第五中学高三月考）已知三棱锥A BCD-中，2AB CD AC BD ====，AD BC ==__________.【解析】由题可知，该三棱锥是由长方体的面对角线构成，如图，设长方体的棱长分别为,,a b c ，则2222225,4,3a b b c a c +=+=+=， 则2226a b c ++=，设球半径为R ，则2R ==2R =，则球的体积为343R π=..19．（2020·山西高三月考（文））已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球为球1O ，则外接球1O 的表面积是__________．【答案】60π【解析】因为正三棱柱111ABC A B C -的底面积216sin 602S =⨯⨯︒=底面外接圆半径62sin 60r ==︒所以正三棱柱111ABC A B C -的高V h S ==所以外接球1O 的半径R ==，则24π60πS R ==， 故答案为：60π．20．（2020·济南市·山东省实验中学高三月考）在三棱锥P ABC -中，侧棱PA ⊥底面,120,1ABC BAC AB AC ∠===且2,PA BC =则该三棱锥的外接球的体积为__________． 【答案】323π 【解析】在ABC 中，由余弦定理可知：BC === 因为120,1BAC AB AC ∠===，所以ABC 是顶角为钝角的等腰三角形， 设ABC 的外接圆的直径为AD ，由正弦定理可知：2sin sin120BC AD BAC ︒===∠，因为侧棱PA ⊥底面ABC ， 2PA BC ==，所以三棱锥P ABC -的外接球的直径为PD ，由勾股定理可知：4P D ===，所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为：1422R =⨯=， 所以三棱锥P ABC -的外接球的体积为：3344322.333V R πππ==⨯= 故答案为：323π。

空间几何体的外接球问题——小专题①补形为正方体、长方体的类型注：有一条侧棱垂直于底面、底面是直角三角形或矩形的棱椎都可补型为正方体或长方体.长方体的外接球的直径2R ＝ . 正方体的外接球的直径2R ＝ . 正四面体(边长a 2)也可补型为正方体(边长a ).②补形为直棱柱的类型：(圆柱型)注：有一条侧棱垂直于底面的棱椎都可补型为棱柱.如图：先将直棱柱放进圆柱中，用__________求出r ，再建立勾股定理_____________求出R.③正棱锥型：(圆锥型)如图：先将直棱锥放进圆锥中，用________求出r ，再建立勾股定理______________求出R.④双直角定直径：若同一条线段所对的两个不共面的角为直角，则这条线段为外接球的直径. ⑤其他型⑥三棱锥的内切球半径r ＝ .1．棱长为22的正四面体的顶点在同一球面上，则该球面的表面积为 A ．12π B ．3π C ．8π D ．4π 2．已知三棱锥1A ACD -中，侧棱1AA ⊥底面ACD ，AD CD ⊥，12AA AD CD ===，则三棱锥1A ACD -的外接球的体积为______.1．棱长为22 A ．12π B ．323π C ．8π D ．4π 【详解】如图，将正四面体补成正方体， 设正方体的棱长为a ， 222(22),2a a a +∴=. 正方体的对角线23则球的半径3R∴球的表面积为3=12π⨯，2．已知三棱锥1A ACD -中，侧棱1AA ⊥底面ACD ，AD CD ⊥，12AA AD CD ===，则三棱锥1A ACD -的外接球的体积为______. 【详解】如图所示，三棱锥1A ACD -可补形为 一个边长为2的正方体，则三棱锥1A ACD -的外接球的半径为222122232R =++= 故三棱锥1A ACD -的外接球的体积为3344ππ343π33V R ==⨯=.3．在四棱锥P ABCD -中，侧棱PD ⊥面ABCD ，若长方形ABCD 中，3AB =，4=AD ，25PC =球的体积为______.4．直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点在球O 的球面上.若3AB =，4AC =.AB AC ⊥，112AA =，则球O 的表面积为（ ）A ．1694πB ．169πC ．288πD ．676π3．在四棱锥P ABCD -中，侧棱PD ⊥面ABCD ，若长方形ABCD 中，3AB =，4=AD ，25PC =球的体积为______.【详解】将四棱锥补成如图所示的长方体， ∴2220911PD PC CD -- 该外接球的半径2R PB =22212PD AB AD ++11191632++， ∴该外接球的体积334433633VR πππ==⨯⨯=，4．直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点在球O 的球面上.若3AB =，4AC =.AB AC ⊥，112AA =，则球O 的表面积为（ ）A ．1694πB ．169πC ．288πD ．676π 【详解】解：将直三棱柱补形为长方体1111ABEC A B E C -，所以体对角线1BC 的长为球O 的直径.因此球O 的外接圆直径为2222341213R ++， 故球O 的表面积24169R ππ=.5．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，1AB =，3BC 12AA =其外接球的体积为_________. 6．在三棱锥S ABC -中，2AB =，2BC =，22AC =2SB =SB ⊥面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球半径为_______，三棱锥S ABC -的内切球半径为______.5．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，1AB =，3BC 12AA =其外接球的体积为_________.【详解】 解：因为1AA ⊥平面ABC ，所以三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，90ABC ∠=︒，1AB =，3BC =12AA =，所以12BB =，则三棱柱的外接球即为以AB ，BC ，1BB 为一组邻边的长方体的外接球，设外接球的半径为R ，则()2222221212322R AB BC BB ++++=所以2R=34823V R π==，6．在三棱锥S ABC -中，2AB =，2BC=，22AC =2SB =SB ⊥面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球半径为_______，三棱锥S ABC -的内切球半径为______.【详解】∵222AB BC AC +=,∴AB BC ⊥，又∵SB ⊥面ABC ， ∴可以将三棱锥S ABC -放置在如图所示的长方体中，外接球的直径即为长方体的对角线. 设外接球的半径为R ，则()222222210R ++10R = 设内切球的球心为O ，半径为r ，则由S ABC O SAB O SAC O SBC O ABC V V V V V -----=+++得()42222r =解得42r -7．三棱椎S -ABC 的底面ABC 是等腰直角三角形，90ABC ∠=︒，且2SA SC AC ===3SB =S -ABC 外接球表面积为A ．2πB ．3π D ．6π 8．在三棱锥S ABC -中，5,17,SA BC SB AC ===，10SC AB == ）A ．20πB ．25πC ．26πD ．34π7．三棱椎S -ABC 的底面ABC 是等腰直角三角形，90ABC ∠=︒，且2SA SC AC ===3SB =S -ABC 外接球表面积为A ．2πB ．3π D ．6π 【详解】由题意知，可以把三棱锥S -ABC 按如图所示的位置放到棱长为1的 正方体中，则正方体的体对角线长为3l ∴三棱椎S -ABC 外接球表面积为234π(3π=.8．在三棱锥S ABC -中，5,17,SA BC SB AC ===10SC AB == ）A ．20πB ．25πC ．26πD ．34π【详解】 因为5,17,10SA BC SB AC SC AB ======所以可以将 三棱锥S ABC -如图放置于一个长方体中，设长方体的长宽、高分别为a ，b ，c ，则有22222217,25,10,a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩整理得22226a b c ++=，则该棱锥外接球的半径26R =S 球2426R ππ==．空间几何体的外接球问题——圆柱型1．直三棱柱ABC －111A B C 的六个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，122AA ＝O 的表面积为________． 2．已知三棱锥S ABC -中，SC⊥平面ABC ，若2,120SC AB AC BAC ︒===∠=，则其外接球O 的表面积为A ．20πB 205πC ．16πD ．272π【详解】由已知，以AB ，BC ，1BB 为长，宽、高作长方体，该长方体的外 接球经过直三棱柱ABC －111A B C 的六个顶点． ∵长方体的外接球直径2222221222(22)4R AB BC BB =++=++=，∴R ＝2，由此可得球的表面积2416.S R ππ＝＝ 故答案为16π【详解】在ABC 中，由余弦定理得2222cos 144222()122BC AB CA AB CA BAC=+-∠=+-⨯⨯⨯-= 解得23BC=，设ABC 的外接圆的半径为r ，则2324r ==，解得2r ，设外接球的半径为R ，由题得1CD =，所以222215R =+=．所以4520S ππ=⋅=球．3．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，3AB=，2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至 点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为_____.4．如图，在等腰三角形ABC 中，已知3AB AC ==，2BC =.将它沿BC 边上的高AD 翻折，使B 点与C 点的距离为1，则四面体ABCD 的外接球的表面积为______.【详解】因为BC ⊥平面PAB ，将三棱锥P ABC -补形为如图所示的 直三棱柱，ABP △为等边三角形，3AB =1r =．又122h BC ==，故在Rt OBE 中，222OB OE EB =+=， 此即为外接球半径，从而外接球表面积为248S OB ππ=⨯=．【详解】由已知可得，翻折后1BCBD CD ===， 即BCD 为等边三角形，其外接圆半径为222131332r DE ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， 又AD DC ⊥，AD ，易得AD ⊥平面BCD ，222AD AC CD =-=，2223125236AD R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因此25104463S R πππ==⨯=.5．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，120BAC ∠=︒，AB AC =，AD ⊥平面ABC ，6AD =，23AB =，则该球的表面积为______．6．在四面体ABCD 中，若1AD DC AC CB ====， 则当四面体ABCD 的体积最大时， 其外接球的表面积为______.【详解】由题意，设ABC 外接圆的半径为r ，120BAC ∠=︒，23AB AC ==，6BC ∴=，6243sin120r ==︒，23r =故()2222()233212AD R r =+=+=， 该球的表面积为2484S R ππ==．【详解】因为1AD DC AC ===，所以底面ACD 面积为定值，因此当CB ⊥平面ACD 时，四面体ABCD 的体积最大.设ACD △外接圆半径为r ， 12sin 603r ==︒，3r =因此外接球的半径R 满足222137()()212R =+=,外接球的表面积为2743R ππ=空间几何体的问题——圆锥型1．已知扇形的面积为56π，圆心角为63π，则由该扇形围成的 圆锥的外接球的表面积为_________． 2．正四棱锥V CD -AB 的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4， 侧棱长为26，则此球的表面积为（ ）A ．18πB ．36πC ．72πD ．9π【详解】设扇形的长为l ，半径为R ，则22111656222S lR R R παπ===⨯=，解得30R =， 扇形弧长l 为锥底面周长2r π， ∴底面的半径5r=，∴圆锥的高为225R r -=．设外接球的半径为1R ，∴()222115(5)R R =-+，解得，13R =∴该外接球的表面积为21436R ππ=，【详解】试题分析：正方形CD AB 的对角线的交点M ，则球心在直线VM 上．122AM AC == 222484VM VA AM --，设球的半径为r ,则有()222r AM VM r =+-,即()2284r r =+-,解得3r =.∴此球的表面积为2436r ππ=．3．已知三棱锥M ABC -四个顶点均在表面积为32π的球面上，22AB BC ==4AC =，则三棱锥M ABC -体积的最大值A ．82 B ．442+ C 882+ D 1624．已知点A 、B 、C 、D 均在球O 上，3AB BC ==3AC =，若三棱锥D ABC -33O 的表面积为 A ．36π B ．16π C ．12π D ．163π【详解】设小圆的圆心为Q ，当MQ 与面ABC 垂直时， 三棱锥M ABC -的体积最大， 设球心为O ，半径为R ，2432R ππ=，得22R=O 到平面ABC ()222222-=，所以三棱锥MABC -体积的最大值为(188242223+⨯⨯+=【详解】 试题分析：设的外接圆的半径为，，，，，，三棱锥的体积的最大值为，到平面的最大距离为，设球的半径为，则，，球的表面积为，故选B ．空间几何体的外接球问题——双直角定直径1．将长､宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到 四面体ABCD ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_____． 2．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，将ABC ∆沿AC 折起到'ABD ∆的位置，得到图2 中的三棱锥'D ABC -，其中平面ABC ⊥平面'ACD ，则三棱锥'D ABC -的 体积为_______, 其外接球的表面积为_______,3．如图所示，在平面四边形ABCD 中，AD CD ⊥，6AD CD = AC BC ⊥，o 60B ∠=，现将 ACD △沿AC 边折起，并连接BD ，当三棱 锥D ABC -的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π4．已知三棱锥P -ABC 中，AC =BC =22AB ，且 90=∠APB ，则三棱锥 P -ABC 的体积与三棱锥P -ABC 的外接球的体积之比的最大值为_______．空间几何体的外接球问题——其他型1．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为237PA PB =A ．16πB ．654π C ．6516πD ．494π【详解】 如图所示，取AB 中点D ，三角形的中心E 在CD 上，过点E 作平面ABC 垂线.在垂线上取一点O 为球心，因为PD AB ⊥，平面PAB ⊥平面,ABCPD ∴⊥平面ABC ，则//OE PD ，22,13CE CD DE CD CE ===-=，222PDPB BD ，设球的半径为r ,则有24OE r -作OG PD ⊥于G ，则OEDG 为矩形，222()PD DG OG PO -+=，即(2222241r r-+=,解得26516r=，故表面积为26544S r ππ==，故选B .外接球的表面积为（ ）A ．60πB ．40πC ．100πD ．80π【详解】如图，取BD 的中点设H ，PAHPBH ∴≅△△，， PH AH ∴⊥，又PH BD ⊥，AH BD H =，PH ∴⊥平面ABCD ，且6PH =.则外接球的半径R 满足()2222211146R OO OO O H =+=-+，设1OO x =，则()221664x x +=-+，解得2x =，从而222420R x =+=，故三棱锥P BCD -外接球的表面积为2480R ππ=.故选：D.。

解：要使函数存在2个零点，需使ìíîïïïïf (1)=1-a +b ≥0，f (2)=4-2a +b ≥0，Δ≥0，1≤a 2≤2，绘制如图3所示的可行域（可行域为箭头所指的曲边三角形）.对z =(x -a )2+(y -b )2变形，可得z +94=a 2+æèöøb -322，则将问题转化为求点(0,32)到可行域内任意一点（a ,b ）距离的平方的最值.从图3中可以看出点(0,32)到直线1-a +b =0的距离即为(0,32)到可行域内任意一点（a ,b ）的最小距离，利用点到直线的距离公式d =||Ax 0+By 0+C A 2+B 2，得d =522.则≥522，解得z ≥78.所以a 2+b 2-3b 取值范围为éëöø78，+∞.对于目标函数为z =(x -a )2+(y -b )2型的目标函数，我们可以依据(x -a )2+(y -b )2的几何意义，把问题转化为求可行域内动点P (x ,y )与定点A (a ,b )距离的平方的最值，从而求出z 的范围.综上所述，利用线性规划模型解答含参二次函数问题有如下几个步骤:1.根据题意建立不等式组，将其视为线性约束条件;2.将所求目标设为目标函数，将其变形为直线的截距式、两点的距离;3.画出可行域；4.在可行域内寻找使得直线的纵截距、动点到定点的距离取最值的点；5.将最值点的坐标代入求得问题的答案.同学们在解题的过程中要注意根据题意建立线性规划模型，利用线性规划模型来提升解答含参二次函数问题的效率.（作者单位：宁夏育才中学）空间几何体的外接球问题是高考试卷中的重要题型，主要考查球空间几何体的性质、面积公式、体积公式.此类问题的难度系数较大，要求同学们具备较强的空间想象能力和逻辑思维能力.本文介绍几种常见空间几何体的外接球问题的题型及其解法，以帮助同学们破解此类问题.类型一：三条棱两两互相垂直的三棱锥的外接球问题该类型的三棱锥具有明显的特征：三条棱两两互相垂直.我们可以抓住该特征，将其看作长方体、正方体的一部分，构造出一个完整的长方体、正方体.将三条棱看作长方体、正方体的三条边，于是三棱锥的外接球的直径等于长方体、正方体的对角线.求出三棱锥的外接球的半径、直径，空间几何体的外接球问题便可顺利获解.类型二：一条侧棱垂直于一个底面的三棱锥的外接球问题我们可将该三棱锥看作直棱柱的一部分，将其补成一个直棱柱，再将其补成一个圆柱，如图1、2、3、4所示，那么三棱锥的外接球即为圆柱的外接球.直棱柱的上、下底面为三角形，且三角形的外接圆的直径为a sin A =b sin B =c sin C =2r ，上下底面的距离为OO 1=12PA(此时PA 垂直与底面)，则有①(2R )2=PA 2+(2r )2，即2R =PA 2+(2r )2；②R 2=r 2+OO 12，即R =r 2+OO 12，这样便建立了PA 与三棱锥的外接球之间的关系，进方法集锦图341图5图6例2.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O 球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA ，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为_____．解：如图7，连接AO，OB，∵SC为球O的直径，∴O为SC的中点，∵SA=AC，SB=BC，∴AO SC，BO⊥SC，平面SCA∩平面SCB=SC的表面积为S=4πR=4π×3图7该三棱锥的两个平面相互垂直，根据已知条件证明AO⊥然后构造三角形，找出三棱锥的外接球半径与三棱锥的棱之间的关系，通过解三角形求得三根据球的表面积公式求得球由两个直角三角形构成的三棱锥的外接解答该类型问题的关键是抓住特征：.我们可以通过解直角三角形求得三图8由两个全等三角形或等腰三角形构成的三棱锥的外接球问题在求解该类型外接球问题时，我们要灵活运用全等三角形或等腰三角形的性质，关注中点为全等三角形或等腰三角形，和ΔA ′BD 的外心H 1和图9例3.三棱锥P -ABC △PAC 和△ABC 均为边长为棱锥外接球的半径.解：如图10，设O 1，O 2由题意可知O 2H =13由勾股定理可得R 2=8图11类型七：直棱柱、圆柱的外接球问题直棱柱、圆柱的外接球问题较为简单，球的球心为高线的中点，如图12所示，所以我们很容=1=1.再设小圆图12图13例4.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为______．解：设球半径为R ，上，下底面中心为M ，N ，由题意，外接球心为MN 的中点，设为O ，，得R =OA =3，由勾股定理可知，OM =1，。