2019版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时分层作业二十三3.5.2简单的三角恒等变换理

两角和、差及倍角公式的应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·成都模拟)下列各式中,值为错误！未找到引用源。

的是( )A.2sin 15°cos 15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°-1D.sin215°+cos215°【解析】选B.cos215°-sin215°=cos30°=错误！未找到引用源。

.2.(2016·宁德模拟)已知sinα=错误！未找到引用源。

,α∈错误！未找到引用源。

,则tan2α= ( )A.-错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.-错误！未找到引用源。

D.2【解析】选A.因为sinα=错误！未找到引用源。

,α∈错误！未找到引用源。

,所以cosα=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,tanα=错误！未找到引用源。

=2,所以tan2α=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=-错误！未找到引用源。

.3.(2016·上饶模拟)已知α∈(0,π),且sinα+cosα=错误！未找到引用源。

,则cos2α的值为( )A.错误！未找到引用源。

B.-错误！未找到引用源。

C.±错误！未找到引用源。

D.-错误！未找到引用源。

【解析】选B.将sinα+cosα=错误！未找到引用源。

两边平方,得1+sin2α=错误！未找到引用源。

,所以sin2α=-错误！未找到引用源。

,所以sinα>0,cosα<0,可知错误！未找到引用源。

<α<π.又因为sinα>|cosα|,所以错误！未找到引用源。

<α<错误！未找到引用源。

,即π<2α<错误！未找到引用源。

,所以cos2α=-错误！未找到引用源。

.4.已知α∈R,sinα+2cosα=错误！未找到引用源。

2019年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标20三角函数的图象与性质理[解密考纲]本考点考查三角函数的图象以及图象的平移、伸缩变换，三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值与值域等．一般以选择题、填空题的形式呈现，以解答题出现时，排在解答题靠前位置，题目难度中等．一、选择题 1．函数y ＝cos x －32的定义域为( C ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .2．(2017·浙江模拟)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( A )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移 π12个单位D ．向左平移π4个单位解析：因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象．3．(2017·辽宁模拟)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( B )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 解析：由题可得平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，故该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k∈Z )上单调递增，当k ＝0时，选项B 满足条件，故选B ．4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|＝π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( D )A ．1B ．12C ．22D ．32解析：观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0. 由|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32，故选D ． 5．(2017·河南郑州模拟)如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( A )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析：由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1.所以π3＋φ＝π2＋k π，即φ＝π6＋k π(k ∈Z )，故|φ|min ＝π6.6．(2017·河南豫北六校联考)若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3为( D )A ．奇函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增B ．偶函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增C ．偶函数且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减 D ．奇函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减 解析：因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . 即φ＝k π－13π6，k ∈Z .又－π2<φ<π2，则φ＝－π6，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，故选D ．二、填空题7．(2017·天津模拟)函数f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π22解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4.根据正弦曲线，得当2x －π4＝－π4时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4取得最小值为－22.故f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的最大值为22.8．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为1.解析：f (x )＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)·cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ，因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为1.9．把函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12图象上各点向右平移φ(φ>0)个单位，得到函数g (x )＝sin 2x 的图象，则φ的最小值为π12.解析：把函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6图象上各点向右平移φ(φ>0)个单位，得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －φ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π6＝sin 2x 的图象，则φ的最小值为π12.三、解答题10．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解析：(1)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4的最小正周期为π，且ω>0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．11．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间．解析：(1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋π4，又－π<φ<0，则－54<k <－14.所以k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z .可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0对称．(1)求ω，φ的值； (2)求f (x )的单调递增区间；(3)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2，求f (x )的最大值与最小值，解析：(1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)是R 上的偶函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，且0≤φ≤π，则φ＝π2，即f (x )＝cos ωx .因为图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0对称， 所以ω×34π＝π2＋k π，k ∈Z ，且0<ω<1，所以ω＝23.(2)由(1)得f (x )＝cos 23x ，由－π＋2k π≤23x ≤2k π，且 k ∈Z 得，3k π－3π2≤x ≤3k π，k ∈Z ，所以函数的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－3π2，3k π，k ∈Z .(3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2，所以23x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3，当23x ＝0时，即x ＝0，函数f (x )的最大值为1， 当23x ＝－π2时，即x ＝－3π4， 函数f (x )的最小值为0.。

第4讲函数尸Msin(必+ 0)的图象知能」训纟东函数 y=sin((^x+ 0) (/GR, 。

>0, OW 0<2 n )的部分图象如图 X3-4-1,见I (C.向左平移令个单位长度D.向左平移专个单位长度3. (2017年四川眉山中学统测)将函数f(0 =3sin (2x+*j 的图彖向右平移手个单位长度，所得图彖对应的函数()A. 其一条对称轴方程为x=—~ P Ji 7 n ~lB. 在区间叵，-j^~上单调递增C. 当x=^+k^ (Aez)时取得最大值JI JI iD. 在区间［―石，力上单调递增4. (2015年湖南)将函数/V)=sin2尢的图象向右平移O (0V 个单位长度后得到函数呂3的图象，若对满足I f(x} —glxb | =2的%1, X2,有I 曲一疋|血=寸~,则e=()5 n JI JI JTG>0, -y<JI周期为n,将该函数的图象向左平移云个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数，6则/V)的图象()< n A 5 nA.关于点辰，0丿对称B.关于直线x=—^i 称/5 兀、 JTC.关于点(-了莎，0丿对称D.关于直线x=—^\称6. _____ 设f(x) =£si n 3x+cos 3x,若对任意实数/都有| f(x) | W 曰，则实数臼的取值范 围是 _________ .A. C.2. A. 兀 兀 2，屮4JIJI°=匸，^=~B.D.67 =TJI —亍3^+cos 为了得到函数y=sin向右平移令个单位长度B.向右平移*个单位长度 3%的图象，可以将函数y=£cos 3丸的图象( 于)的最小正5. (2017年湖北咸宁模拟)已知函数f(x)=sinS+ 0) 心石,5 JT，兀、JI JI7. 已知函数f\x ） =sin^2%+—J,其中——, & .当日=可时，f （*）的值域是_________ ;若心）的值域是一右1，则超的取值范围是 ________________ •8. （2015年湖南）己知Q>0,在函数y=2sin QX 与y=2cos ex 的图象的交点中， 距离最短的两个交点的距离为2 並 则.9. （2015年天津）已知函数f （x ）=sin ®/+cos e 无（e>0）, 若函数f （x ）在区间（—3、 •）内单调递增，吐函数代方的图象关于直线X= 3对称，则3的值为10. （2014 年北京）函数 /a ）=3sin 2x+⑴写出f （0的最小正周期及图中必，风的值;11. （2017 年山东）设函数 f\x ） =sin （G”一" j + 一•］其中 0< 以3,己知 j=0.⑴求0（2）将函数y=f\^的图象上各点的横坐标伸长为原來的2倍（纵坐标不变），再将得到JT r JT 3 JT '的图彖向左平移才个单位，得到函数尸呂3的图彖，求£（力在一才，T 上的最小值.的部分图象如图X3-4-2.⑵求“方在区间第4讲函数y=Ssin （ g+妙）的图象1. C 解析：V-=3-l=2, A 7=8, ：■ 32兀 兀 ■ HJT 兀~=~+ ^=~f 得(t)=~'故选C.2. A 解析：由于 y=sin 3%+cos 3/=£sin （3jv+_j _） y=y[2 因此只需将y=£cos3/的图象向右平移誇个单位长度，即可得到y=^2si n 3（xcos 3x=y/^si n (3卄寿)1 71'12 2( JIsin^3jr+—J 的图彖.（JI \JI3. B 解析：Ax ）=3sinl2^+yJ 的图象向右平移㊁个单位长度所得图象对应的函数为f Jl \ Jl K =—3sin( 2^r+—I,其对称轴方程为 2x+—=—+k^ (&GZ), 兀 开 、3 2\“ jsJI kn・Ji(nA即 x=Ti+丁('WZ )，排除 A.当 x=—+kTi (Aez),得一3sin (2«Ji +_J= —3.故C 错误.由 勺~+2&兀 W2/+丁 W'^_+2&JT («WZ),得石+&”(«WZ),即 f(x)的增区间r n7 兀 ~i为 ~+k71 (Rwz).故选 B .4. D 解析：向右平移妙个单位长度后，得到g(x) =sin(2x —2 0), T | f(xj —gg) |=2,・；不妨令 2xi=—+2k^ (A^Z), 2x2 —2 © = —~ +2〃5(〃WZ).Xi — X2=~■—0 +JIJIJTJT^i —^Lin=—."=w ”=飞・故选 D .5. B 解析：由己知，得e = 2,则fd)=sin(2x+C).设平移后的函数为,则 “…(71) 3,…3/ 令2x ——=kn +—(/rEZ),易得f(x)的图象关于直线*=令■对称.故选B.6. [2, +°°) 解析：f(x) =£sin 3x+cos 3x=2sin (3/+石1 □ 1f\x) =3sin 2 x(JTg{x) =sinl 2^+—+ O一专-〈如自，且为奇函数，所以。

第三章　三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时　任意角和弧度制及任意角的三角函数一、 填空题1. 若α为第二象限角，则＋的值是________．|sin α|sin αtan α|tan α|答案：0解析：因为α为第二象限角，所以sin α＞0，＝1，tan α＜0，＝－1，所以|sin α|sin αtan α|tan α|＋＝0.|sin α|sin αtan α|tan α|2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为，则cos 45α＝________．答案：－35解析：因为点A 的纵坐标y A ＝，且点A 在第二象限．又圆O 为单位圆，所以点A 的横坐标x A ＝－.由4535三角函数的定义可得cos α＝－.353. 已知角α的终边经过点P(2，－1)，则＝________．sin α－cos αsin α＋cos α答案：－3解析：由题意得sin α＝－，cos α＝，所以＝－3.1525sin α－cos αsin α＋cos α4. (2017·泰州模拟)设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝x ，则tan 15α＝________．答案：－43解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0.又cos α＝，所以x ＝，15x x2＋1615x x2＋16解得x ＝－3，所以tan α＝＝－.4x 435. 函数y ＝的定义域为________．2sin x －1答案：(k∈Z )[2k π＋π6，2k π＋5π6]解析：∵ 2sin x －1≥0，∴ sin x≥.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)12．∴ x∈(k∈Z )．[2k π＋π6，2k π＋5π6]6. 若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a 的值为________．答案：－43解析：由三角函数的定义有tan 420°＝.又tan 420°＝tan (360°＋60°)＝tan 60°＝，故a－43＝，解得a ＝－4.a－4337. 点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为2π3________．答案：(－12，32)解析：由弧长公式l ＝|α|r，l ＝，r ＝1得点P 按逆时针方向转过的角度为α＝，所以点Q 的2π32π3坐标为，即.(cos 2π3，sin 2π3)(－12，32)8. 已知角α的终边在直线y ＝－x 上，则2sin α＋cos α＝________．34答案：或－2525解析：由题意知tan α＝－，∴ α在第二象限或第四象限，34故sin α＝，cos α＝－或sin α＝－，cos α＝，35453545∴ 2sin α＋cos α＝或－.25259. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是__________．答案：2sin 1解析：如图，∠AOB＝2弧度，过点O 作OC⊥AB于C ，并延长OC 交弧AB 于D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC ＝BC ＝1.在Rt△AOC 中，AO ＝＝.AC sin ∠AOC 1sin 1即r ＝，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r＝.1sin 12sin 110. 已知角x 的终边上一点的坐标为，则角x 的最小正值为________．(sin5π6，cos 5π6)答案：5π3解析：∵ sin ＝，cos ＝－，∴ 角x 的终边经过点，所以角x 是第四象限角，5π6125π632(12，－32)tan x ＝＝－，∴ x ＝2kπ＋，k∈Z ，∴ 角x 的最小正值为.(也可用同角基本关系式tan x ＝－321235π35π3得出)sin xcos x 11. 设θ是第三象限角，且＝－cos ，则sin 的值的符号是________．|c osθ2|θ2θ2答案：＋解析：由于θ是第三象限角，所以2kπ＋π<θ<2kπ＋(k∈Z )，kπ＋<<kπ＋(k∈Z )．3π2π2θ23π4又＝－cos ，所以cos ≤0，|c osθ2|θ2θ2从而2kπ＋≤≤2kπ＋(k∈Z )．π2θ23π2综上可知：2kπ＋<<2kπ＋(k∈Z )，即是第二象限角，所以sin >0.π2θ23π4θ2θ2二、 解答题12. 如图所示，动点P ，Q 从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q 按π3顺时针方向每秒钟转弧度，求点P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧π6长．解：设点P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t·＋t·＝2π.π3|－π6|所以t ＝4(秒)，即点P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4秒．设点P ，Q 第一次相遇点为C ，第一次相遇时点P 和点Q 已运动到终边在·4＝的位置，π34π3则x C ＝－cos ·4＝－2，y C ＝－sin ·4＝－2.π3π33所以点C 的坐标为(－2，－2)．3点P 走过的弧长为4··4＝，点Q 走过的弧长为4··4＝.π316π3π68π313. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动.(1) 若点B 的横坐标为－，求tan α的值；45(2) 若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3) 若α∈，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．(0，2π3]解：(1) 由题意可得B ，根据三角函数的定义得tan α＝＝－.(－45，35)y x 34(2) 若△AOB 为等边三角形，则∠AOB＝.π3故与角α终边相同的角β的集合为{β＋2kπ，k∈Z }．|β＝π3)(3) 若α∈，则S 扇形AOB ＝αr 2＝α，α∈.(0，2π3]1212(0，2π3]而S △AOB ＝×1×1×sin α＝sin α，1212故弓形AB 的面积S ＝S 扇形AOB －S △AOB ＝α－sin α，α∈.第2课时　同角三角函数的基本关1212(0，2π3]系式与诱导公式一、 填空题1. sin 750°＝________．答案：12解析：sin 750°＝sin (2×360°＋30°)＝sin 30°＝.122. 若α∈，sin α＝－，则cos(－α)的值为________．(－π2，π2)35答案：45解析：因为α∈，sin α＝－，所以cos α＝，即cos (－α)＝.(－π2，π2)3545453. (2017·镇江期末)已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α＝________．1213答案：－125解析：因为α是第四象限角，sin α＝－，所以cos α＝＝，故tan α＝＝－12131－sin2α513sin αcos α.125 4. 已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin(π2＋β)α的值是________．答案：31010解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3.又α为锐角，故sin α＝.310105. (2017·射阳县中模拟)若f(tan x)＝sin 2x －5sin x·cos x, 则f(5)＝________．答案：0解析：由已知得f( tan x)＝＝，所以f(5)＝＝0.sin2x －5 sin x· cos x sin2x ＋ cos2x tan2x －5tan x tan2x ＋152－5×552＋16. 已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝________．25答案：－3125解析：由sin θ－2cos θ＝－，sin 2θ＋cos 2θ＝1，θ是第三象限角，得sin θ＝－，cos 252425θ＝－，则sin θ＋cos θ＝－.72531257. 已知sin(π－α)＝log 8，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．14(－π2，0)答案：255解析：sin (π－α)＝sin α＝log 8＝－.1423又α∈，得cos α＝＝，(－π2，0)1－sin2α53tan (2π－α)＝tan (－α)＝－tan α＝－＝.sin αcos α2558. 已知sin θ＝2cos θ，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．答案：45解析：由 sin θ＝2cos θ，得 tan θ＝2.sin 2θ＋sin θ cos θ－2cos 2θ＝＝＝sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θsin2θ＋cos2θtan2θ＋tan θ－2tan2θ＋1＝.22＋2－222＋1459. 设函数f(x)(x∈R )满足f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ，当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ＝________．(23π6)答案：12解析：由f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ，得f(x ＋2π)＝f(x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f(x)＋sin x －sin x ＝f(x)，所以f ＝f ＝f ＝f＝f ＋sin π.因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f (236π)(116π＋2π)(116π)(π＋56π)(56π)56＝0＋＝.(236π)121210. 已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为________．答案：－3解析：∵ f(4)＝asin (4π＋α)＋bcos (4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，∴ f(2 017)＝asin (2 017π＋α)＋bcos (2 017π＋β)＝asin (π＋α)＋bcos (π＋β)＝－asin α－bcos β＝－(asin α＋bcos β)＝－3.二、 解答题11. 已知＝－，求的值．1＋sin αcos α12cos αsin α－1 解：由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0，且1－sin α≠0，可得(1＋sin α)(1－sin α)＝cos αcos α，所以＝，所以＝－，即1＋sin αcos αcos α1－sin αcos α1－sin α12＝.cos αsin α－11212. 已知f(x)＝(n∈Z )．cos2（n π＋x ）·sin2（n π－x ）cos2[（2n ＋1）π－x](1) 化简f(x)的解析式；(2) 求f ＋f 的值．(π2 017)(2 015π4 034)解：(1) 当n 为偶数，即n ＝2k(k∈Z )时，f(x)＝＝cos2（2k π＋x ）·sin2（2k π－x ）cos2[（2·2k ＋1）π－x]cos2x·sin2（－x ）cos2（π－x ）＝＝sin 2x ；cos2x·（－sin x ）2（－cos x ）2当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k∈Z )时，f(x)＝cos2[（2k ＋1）π＋x]·sin2[（2k ＋1）π－x]cos2{[2·（2k ＋1）＋1]π－x}＝cos2（2k π＋π＋x ）·sin2（2k π＋π－x ）cos2[2·（2k ＋1）π＋π－x]＝＝＝sin 2x.cos2（π＋x ）·sin2（π－x ）cos2（π－x ）（－cos x ）2·sin2x（－cos x ）2综上，f(x)＝sin 2x.(2) 由(1)得f ＋f (π2 017)(2 015π4 034)＝sin 2＋sin 2π2 017 2 015π4 034＝sin 2＋sin 2π2 017(π2－π2 017)＝sin 2＋cos 2＝1.π2 017π2 01713. 是否存在角α和β，当α∈，β∈(0，π)时，等式(－π2，π2)同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．{sin （3π－α）＝2cos(π2－β)，3cos （－α）＝－2cos （π＋β）)解：存在α＝，β＝使等式同时成立．π4π6由{sin （3π－α）＝2cos (π2－β)，3cos （－α）＝－2cos （π＋β），)得{sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β，)两式平方相加，得sin 2α＋3cos 2α＝2，得到cos 2α＝，即cos α＝±.1222因为α∈，所以cos α＝，所以α＝或α＝－.(－π2，π2)22π4π4将α＝代入cos α＝cos β，得cos β＝.π43232由于β∈(0，π)，所以β＝.π6将α＝－代入sin α＝sin β，得sin β＝－.由于β∈(0，π)，这样的角β不存在．π4212综上可知，存在α＝，β＝使等式同时成立．第3课时　三角函数的图象和性质π4π6一、 填空题1. (必修4P 33例4改编)函数y ＝－tan＋2的定义域为____________．(x ＋π6)答案：{x |x ≠k π＋π3，)k ∈Z}解析：由x ＋≠kπ＋，k∈Z ，得x≠kπ＋，k∈Z .π6π2π32. (2017·珠海调研改编)要得到函数y ＝sin的图象，只需要将函数y ＝sin 2x 的图象作平移(2x ＋π6)变换：____________.答案：向左平移个单位π12解析：y ＝sin＝sin 2，所以要得到函数y ＝ sin 的图象，只需要将函数(2x ＋π6)(x ＋π12)(2x ＋π6)y ＝sin 2x 的图象向左平移个单位．π123. (2017·南京、盐城一模)将函数y ＝3sin 的图象向右平移φ个单位后，所得(2x ＋π3)(0<φ<π2)函数为偶函数，则φ＝________．答案：5π12解析：由题意得y ＝3sin为偶函数，所以－2φ＋＝＋kπ(k∈Z )．又0<φ<，(2（x －φ）＋π3)π3π2π2所以φ＝.5π124. 函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别是________．答案：2，－2解析：y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－(sin x ＋1)2＋2.由－1≤sin x≤1知，当sin x ＝－1时，y 取最大值2；当sin x ＝1时，y 取最小值－2.5. 若函数y ＝cos (ω∈N )图象的一个对称中心是，则ω的最小值为____________．(ωx ＋π6)(π6，0)答案：2解析：由题意知＋＝kπ＋(k∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k∈Z )⇒ωmin ＝2.πω6π6π26. (2017·苏北四市第三次调研)若函数f(x)＝2sin(2x ＋φ)的图象过点(0，)，则函(0<φ<π2)3数f(x)在[0，π]上的单调递减区间是________．答案：(π12，7π12)解析：由题意可得2sin(2×0＋φ)＝，∴ sin φ＝，φ＝，f(x)＝2sin，函数f(x)在332π3(2x ＋π3)[0，π]上的单调递减区间是.(π12，7π12)7. (2017·南京调研)如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈(0，2π))图象的一部分，则f(0)的值为________．答案：322解析：由函数图象得A ＝3，＝2[3－(－1)]＝8，解得ω＝，所以f(x)＝3sin .因为2πωπ4(π4x ＋φ)(3，0)为函数f(x)＝3sin 的一个下降零点，所以×3＋φ＝(2k ＋1)π(k∈Z )，解得(π4x ＋φ)π4φ＝＋2kπ(k∈Z )．因为φ∈(0，2π)，所以φ＝，所以f(x)＝3sin ，则f(0)＝3sin ＝π4π4(π4x ＋π4)π4.3228. 若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω的值为________．[0，π3]2答案：34解析：由0≤x≤，得0≤ωx≤＜，π3ωπ3π3则f(x)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin ＝，且0＜＜，[0，π3]2ωπ32ωπ3π3所以＝，解得ω＝.ωπ3π4349. 函数f(x)＝sin πx＋cos πx＋|sin πx－cos πx|对任意的x∈R 都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 2－x 1|的最小值为__________．答案：34解析：依题意得，当sin πx≥cos πx 时，f(x)＝2sin πx；当sin πx<cos πx 时，f(x)＝2cos πx.由已知可知f(x 1)，f(x 2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，结合函数y ＝f(x)的图象可知，|x 2－x 1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．由于x ＝时，函数取得最大值2，x ＝时函数取得最1254小值－，所以|x 2－x 1|的最小值是－＝.254123410. 若函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是____________．(ωx －π4)(0，π2)答案：(0，32]解析：由－＋2kπ≤ωx－≤＋2kπ，k∈Z ，得－＋≤x≤＋，k∈Z .取k ＝0，得π2π4π2π4ω2k πω3π4ω2k πω－≤x≤.因为函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，所以≥，即ω≤.又π4ω3π4ω(ωx －π4)(0，π2)3π4ωπ232ω>0，所以ω的取值范围是.(0，32]11. (原创)已知函数f(x)＝cos 2x ＋sin x ，那么下列命题中是真命题的是________．(填序号)① f(x)既不是奇函数也不是偶函数；② f(x)是周期函数；③ f(x)在[－π，0]上恰有一个零点；④ f(x)在上是增函数；(π2，5π6)⑤ f(x)的值域为[0，2]．答案：①②④解析：∵ f ＝1，f＝－1，即f(－x)≠f(x)，(π2)(－π2)∴ f(x)不是偶函数．∵ x∈R ，f(0)＝1≠0，∴ f(x)不是奇函数，故①为真命题．∵ f(x)＝f(x ＋2π)，∴ T ＝2π，故函数f(x)为周期函数，故②为真命题．令f(x)＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝0，则sin 2x －sinx －1＝0，解得sin x ＝，当x∈[－π，0]时，sin x ＝，由正弦函数图象可知函数f(x)在1±521－52[－π，0]上有两个零点，故③为假命题．∵ f′(x)＝2cos x·(－sin x)＋cos x ＝cos x·(1－2sin x)，当x∈时，cos x<0，<sin x<1，∴ f′(x)＝cos x·(1－2sin x)>0，(π2，5π6)12∴ f(x)在上是增函数，故④为真命题．f(x)＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(π2，5π6)＋，由－1≤sin x≤1得f(x)的值域为，故⑤为假命题．(sin x －12)2 54[－1，54]二、 解答题12. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜)的周期为π，且图象上有一个最π2低点为M .(2π3，－3)(1) 求f(x)的解析式；(2) 求使f(x)＜成立的x 的取值集合．32解：(1) 由题意知，A ＝3，ω＝2，由3sin ＝－3，得φ＋＝－＋2kπ，k∈Z ，即(4π3＋φ)4π3π2φ＝－π＋2kπ，k∈Z .116而0＜φ＜，所以k ＝1，φ＝.π2π6故f(x)＝3sin.(2x ＋π6)(2) f(x)＜等价于3sin＜，即32(2x ＋π6)32sin＜，(2x ＋π6)12于是2kπ－＜2x ＋＜2kπ＋(k∈Z )，7π6π6π6解得kπ－＜x ＜kπ(k∈Z )，2π3故使f(x)＜成立的x 的取值集合为{x|kπ－＜x ＜kπ，k∈Z }．322π313. (2017·扬州中学质检)如图，函数y ＝2cos(ωx＋φ)的部分图象与y 轴(ω>0，0≤φ≤π2)交于点(0，)，最小正周期是π.3(1) 求ω，φ的值；(2)已知点A ，点P 是该函数图象上一点，点Q(x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝，x 0∈(π2，0)32时，求x 0的值．[π2，π]解：(1) 将点(0，)代入y ＝2cos(ωx＋φ)，得cos φ＝.332∵ 0≤φ≤，∴ φ＝.π2π6∵ 最小正周期T ＝π，且ω>0，∴ ω＝＝2.2πT (2) 由(1)知y ＝2cos.(2x ＋π6)∵ A ，Q(x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝，(π2，0)32∴ P .(2x0－π2，3)∵ 点P 在y ＝2cos的图象上，(2x ＋π6)∴ 2cos＝，∴ cos ＝－.(4x0－π＋π6)3(4x0＋π6)32∵ x 0∈，∴ 4x 0＋∈，[π2，π]π6[2π＋π6，4π＋π6]∴ 4x 0＋＝2π＋π－或4x 0＋＝2π＋π＋，π6π6π6π6∴ x 0＝或.第4课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式2π33π4一、 填空题1. cos 15°的值是____________．答案：2＋64解析：cos15°＝cos(60°－45°)＝.2＋642. 计算：cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°＝_________．答案：12解析：原式＝sin 48°cos 18°－cos 48°sin 18°＝sin (48°－18°)＝sin 30°＝.123. 设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则cos(α＋β)的值为________．5531010答案：22解析：∵ α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，5531010∴ cos α＝，sin β＝，－2551010∴ cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝.224. (2017·苏锡常镇四市调研(二))已知α是第二象限角，且sin α＝，tan(α＋β)＝－2，则310tan β＝________．答案：17解析：由α是第二象限角，且sin α＝，得cos α＝－，tan α＝－3，所以tan310110β＝tan(α＋β－α)＝＝＝.tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α－2＋31＋6175. 已知α，β∈，若sin ＝，cos ＝，则sin(α－β)＝__________．(π3，5π6)(α＋π6)45(β－5π6)513答案：1665解析：由题意可得α＋∈，β－∈，所以cos＝－，sin(β－)π6(π2，π)5π6(－π2，0)(α＋π6)355π6＝－，1213所以sin(α－β)＝－sin[(α＋)－(β－)]＝－[×－×]＝.π65π645513(－35)(－1213)16656. 已知sin ＋sin α＝，则sin＝__________.(π3＋α)435(α＋7π6)答案：－45解析：sin ＋sin α＝⇒sin cos α＋cos sin α＋sin α＝⇒sin α＋cos (π3＋α)435π3π34353232α＝⇒sin α＋cos α＝，故sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－(sin 435321245(α＋7π6)7π67π632α＋cos α)＝－.12457. 若锐角α，β满足tan α＋tan β＝－tan αtan β，则α＋β＝____________．33答案：π3解析：由已知可得＝，即tan (α＋β)＝.tan α＋tan β1－tan αtan β33又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.π38. 计算：＝________．2sin 50°－3sin 20°cos 20°答案：1解析：原式＝2sin （30°＋20°）－3sin 20°cos 20°＝2sin 30°cos 20°＋2cos 30°sin 20°－3sin 20°cos 20°＝＝1.cos 20°＋3sin 20°－3sin 20°cos 20°9. 若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，则 β＝________．551010答案：π4解析：∵ α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，551010∴ sin α＝，cos(α－β)＝，从而cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin 25531010αsin(α－β)＝.∵ β是锐角，∴ β＝.22π410. 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin∠CED＝__________．答案：1010解析：因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED＝.π4在Rt△EBC 中，EB ＝2，BC ＝1，所以sin ∠BEC＝，cos ∠BEC＝.55255sin ∠CED＝sin (π4－∠BEC)＝cos ∠BEC－sin ∠BEC 2222＝×＝.22(255－55)1010二、 解答题11. 在△ABC 中，已知sin(A ＋B)＝2sin(A －B)．(1) 若B ＝，求A ；π6(2) 若tan A ＝2，求tan B 的值．解：(1) 由条件，得sin＝2sin(A －)，(A ＋π6)π6∴ sin A ＋cos A ＝2.3212(32sin A －12cos A)化简，得sin A ＝cos A ，∴ tan A ＝.33又A∈(0，π)，∴ A ＝.π3(2) ∵ sin(A ＋B)＝2sin(A －B)，∴ sin Acos B ＋cos Asin B ＝2(sin Acos B －cos Asin B)．化简，得3cos Asin B ＝sin Acos B.又cos Acos B≠0，∴ tan A ＝3tan B.又tan A ＝2，∴ tan B ＝.2312. 已知α∈，且sin ＋cos ＝.(π2，π)α2α262(1) 求cos α的值；(2) 若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．35(π2，π)解：(1) 已知sin ＋cos ＝，两边同时平方，α2α262得1＋2sin cos ＝，则sin α＝.α2α23212又<α<π，所以cos α＝－＝－.π21－sin2α32(2) 因为<α<π，<β<π，所以－<α－β<.π2π2π2π2又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.3545则cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－×＋×＝－.324512(－35)43＋31013. 已知函数f(x)＝sin ωxcos φ＋tan ·cos ωxsin φ的图象关3π3(ω>0，－π2≤φ<π2)于直线x ＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.π3(1) 求ω和φ的值；(2) 若f ＝，求cos 的值．(α2)34(π6＜α＜2π3)(α＋3π2)解：(1) 由已知得f(x)＝sin (ωx＋φ)，3因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T ＝π，从而ω＝＝2.2πT 又f(x)的图象关于直线x ＝对称，π3所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z .π3π2由－≤φ<得k ＝0，π2π2所以φ＝－＝－.π22π3π6(2) 由(1)得f(x)＝sin，3(2x －π6)所以f ＝sin＝，(α2)3(2·α2－π6)34即sin＝.(α－π6)14由<α<得0<α－<，π62π3π6π2所以cos＝＝(α－π6)1－sin2(α－π6)1－(14)2 ＝.154因此cos＝sin α＝sin (α＋3π2)[(α－π6)＋π6]＝sin cos ＋cos sin (α－π6)π6(α－π6)π6＝×＋×＝.1432154123＋158第5课时　二倍角的正弦、余弦和正切公式一、 填空题1. －sin 2的值为________．12π12答案：34解析：－sin 2＝＝cos ＝×＝.12π1212(1－2sin2π12)12π61232342. 函数y ＝(sin x －cos x)2的最小正周期为__________．答案：π解析：y ＝(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ＝1－sin 2x ，最小正周期T ＝π.3. 若＝－，则sin α＋cos α＝__________．cos 2αsin (α＋7π4)22答案：12解析：由已知得＝－，整理得sin α＋cos α＝.cos2α－sin2α22（sin α－cos α）22124. 已知sin(α－45°)＝－，且0°＜α＜90°，则cos 2α的值为________．210答案：725解析：由sin (α－45°)＝－，展开得sin α－cos α＝－.又sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 21015α＝，cos α＝，则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝.35457255. 若函数f(x)＝sin 2＋cos 2－1，则函数f(x)的单调增区间是____________．(x ＋π4)(x －π4)答案：(k∈Z )[－π4＋k π，π4＋k π]解析：f(x)＝sin 2(＋x)＋sin 2(＋x)－1＝2sin 2(＋x)－1＝－cos ＝sin 2x.易得函数f(x)的π4π4π4(π2＋2x)单调增区间是(k∈Z )．[－π4＋k π，π4＋k π]6. (2017·苏州调研)已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α＝________．13答案：－35解析：因为α是第二象限角，且tanα＝－，所以sin α＝，cos α＝－，所以sin131010310102α＝2sin αcos α＝2××(－)＝－.101031010357. 已知sin 2α＝，则cos 2＝___________．13(α－π4)答案：23解析：cos 2＝＝＝＝.(α－π4)1＋cos (2α－π2)21＋sin 2α21＋132238. 若＝2 017，则tan 2α＋＝________．1＋tan α1－tan α1cos 2α答案：2 017解析：tan 2α＋＝＋＝＝＝2 017.1cos 2α2tan α1－tan2αcos2α＋sin2αcos2α－sin2α（1＋tan α）21－tan2α1＋tan α1－tan α9. 设f(x)＝＋sin x ＋a 2sin的最大值为＋3，则常数a ＝____________．1＋cos 2x2sin (π2－x )(x ＋π4)2答案：±3解析：f(x)＝＋sin x ＋a 2sin ＝cos x ＋sin1＋2cos2x －12cos x (x ＋π4)x ＋a 2sin＝sin ＋a 2sin ＝(＋a 2)sin(x ＋)．依题意有＋a 2＝＋3，(x ＋π4)2(x ＋π4)(x ＋π4)2π422∴ a ＝±.310. 已知θ∈，且sin ＝，则tan 2θ＝________．(0，π2)(θ－π4)210答案：－247解析：由sin＝，得sin θ－cos θ＝①， θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，(θ－π4)21015(0，π2)2425可求得sin θ＋cos θ＝，∴ sin θ＝，cos θ＝，∴ tan θ＝，tan 2θ＝＝－.754535432tan θ1－tan 2θ24711. 已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ－·sin (0<φ<π)，将函数f(x)的图象向1212(π2＋φ)左平移个单位后得到函数g(x)的图象，且g ＝，则φ＝________．π12(π4)12答案：2π3解析：∵ f(x)＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ－sin1212(π2＋φ)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ12cos 2x ＋1212＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ1212＝cos(2x －φ)，12∴ g(x)＝cos ＝cos .12[2(x ＋π12)－φ]12(2x ＋π6－φ)∵ g ＝，(π4)12∴ 2×＋－φ＝2kπ(k∈Z )，即φ＝－2kπ(k∈Z )．π4π62π3∵ 0<φ<π，∴ φ＝.2π3二、 解答题12. (2017·江阴期初)已知函数f(x)＝sin＋sin ＋2cos 2x －1，x∈R .(2x ＋π3)(2x －π3)(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．[－π4，π4]解：(1) ∵ f(x)＝sin2xcos ＋cos2xsin ＋sin2xcos －cos2xsin ＋cos2x ＝sin2x ＋cos2x ＝sin，π3π3π3π32(2x ＋π4)∴ 函数f(x)的最小正周期T ＝＝π.2π2(2) ∵ 函数f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，[－π4，π8][π8，π4]又f＝－1，f ＝，f ＝1，(－π4)(π8)2(π4)∴ 函数f(x)在上的最大值为，最小值为－1.[－π4，π4]213. 已知函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋cos 4x.12(1) 求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2) 若α∈(0，π)，且f ＝，求tan 的值．(α4－π8)22(α＋π3)解：(1) f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋cos 4x ＝cos 2xsin 2x ＋cos 4x ＝(sin 4x ＋cos 4x)＝sin 12121222，(4x ＋π4)∴ f(x)的最小正周期T ＝.π2令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋π，k∈Z ，π2π432得＋≤x≤＋，k∈Z .k π2π16k π25π16∴ f(x)的单调递减区间为，k∈Z .[k π2＋π16，k π2＋5π16](2) ∵ f ＝，即sin ＝1，(α4－π8)22(α－π4)又α∈(0，π)，－<α－<，π4π43π4∴α－＝，故α＝.π4π23π4因此tan＝＝＝2－.(α＋π3)tan 3π4＋tanπ31－tan 3π4tanπ3－1＋31＋33第6课时　简单的三角恒等变换一、 填空题1. 已知cos 4α－sin 4α＝，则cos 4α＝________．23答案：－19解析：∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos2α＝，∴cos234α＝2cos 22α－1＝2×－1＝－.(23)2 192. 若sin ＝，则cos 2α＝________．α233答案：－79解析：cosα＝1－2sin 2＝1－2×＝，cos2α＝2cos 2α－1＝2×－1＝－.α2(33)2 13(13)2 793. 在△ABC 中，若2cos Bsin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是__________．答案：等腰三角形解析：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B)，∴ 2cos Bsin A ＝sin[π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B)＝sin A cos B ＋cos Asin B ．∴ －sin Acos B ＋cos Asin B ＝0，即sin(B －A)＝0.∴ A ＝B ，故△ABC 的形状一定是等腰三角形．4. 在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋＝tan A·tan B ，则C ＝__________．33答案：π3解析：由已知可得tan A ＋tan B ＝(tan A·tan B －1)，3∴ tan(A ＋B)＝＝－.又0＜A ＋B ＜π，tan A ＋tan B1－tan Atan B 3∴ A ＋B ＝，∴ C ＝.2π3π35. 若2cos 2α＝sin ，且α∈，则sin 2α＝___________．(π4－α)(π2，π)答案：－78解析：由2cos 2α＝sin ，得2(cos 2α－sin 2α)＝(cos α－sin α)，所以cos α＋sin (π4－α)22α＝.又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin α·cos α＝1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－.2418786. 若α∈[0，2π)，则满足＝sin α＋cos α的α的取值范围是__________．1＋sin 2α 答案：∪[0，3π4][7π4，2π)解析：由＝sin α＋cos α，得sin α＋cos α＝sin≥0.因为α∈[0，2π)，1＋sin 2α2(α＋π4)2所以α的取值范围为∪.[0，3π4][7π4，2π)7. ＝___________．2cos 10°－sin 20°sin 70°答案：3解析：原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°sin 70°＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）－sin 20°sin 70°＝＝.3cos 20°cos 20°38. 已知sin 2α＝－，且α∈，则sin α＝________．2425(3π4，π)答案：35解析：∵ α∈，∴ cos α＜0，sin α＞0，且|cos α|＞|sin α|.又(sin α＋cos α)(3π4，π)2＝1＋sin 2α＝1－＝，2425125∴ sin α＋cos α＝－，同理可得sin α－cos α＝，1575∴ sin α＝.359. sin 18°cos 36°＝________．答案：14解析：原式＝2sin 18°cos 18°cos 36°2cos 18°＝＝＝.2sin 36°cos 36°4cos 18°sin 72°4cos 18°1410. 已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．12(0，π2)cos 2αsin (α－π4)答案：－142解析：由sin α＝＋cos α，得sin α－cos α＝，1212∴ (sin α－cos α)2＝，∴ 2sin αcos α＝，1434∴ (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝.74又α∈，∴ sin α＋cos α＝，(0，π2)72∴ ＝＝－(sin α＋cos α)cos 2αsin (α－π4)cos2α－sin2α22（sin α－cos α）2＝－.142二、 解答题11. 已知△ABC 是锐角三角形，且sin ·cos ＝.(B －π6)(B －π3)12(1) 求角B 的值；(2) 若tan Atan C ＝3，求角A ，C 的值．解：(1) sincos (B －π6)(B －π3)＝(32sin B －12cos B )(12cos B ＋32sin B)＝sin 2B －cos 2B ＝sin 2B －＝，34141412所以sin 2B ＝.34因为B 为锐角三角形的内角，所以sin B ＝，即B ＝.32π3(2) 因为B ＝，所以A ＋C ＝.π32π3又△ABC 是锐角三角形，所以tan A ＞0，tan C ＞0.而tan(A ＋C)＝＝－，tan A ＋tan C1－tan Atan C 3所以tan A ＋tan C ＝tan Atan C －＝2　①.333又tan Atan C ＝3　②，由①②解得tan A ＝tan C ＝，所以A ＝C ＝.3π312. (2017·南通、扬州、泰州、苏北四市二模)已知sin ＝，α∈.(α＋π4)210(π2，π)(1) 求cos α的值；(2) 求sin的值．(2α－π4)解：(1) (解法1)因为α∈，所以α＋∈.(π2，π)π4(3π4，5π4)又sin＝，所以cos ＝－＝－＝－.(α＋π4)210(α＋π4)1－sin2(α＋π4)1－(210)2 7210所以cos α＝cos＝cos cos ＋sin sin ＝－×＋×＝－.[(α＋π4)－π4](α＋π4)π4(α＋π4)π47210222102235(解法2)由sin＝得，sin αcos ＋cos αsin ＝，(α＋π4)210π4π4210即sin α＋cos α＝　①.15又sin 2α＋cos 2α＝1　②.由①②解得cos α＝－或cos α＝.3545因为α∈，所以cos α＝－.(π2，π)35(2) 因为α∈，cos α＝－，(π2，π)35所以sin α＝＝＝.1－cos2α1－(－35)2 45所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，45(－35)2425cos 2α＝2cos 2α－1＝2×－1＝－.(－35)2 725所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝×－×＝－.(2α－π4)π4π4(－2425)22(－725)221725013. (2017·泰州模拟)如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四π3边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S.(1) 求S 关于θ的函数关系式；(2) 求S 的最大值及相应的θ值．解：(1) 分别过P ，Q 作PD⊥OB 于点D ，QE⊥OB 于点E ，则四边形QEDP 为矩形．由扇形半径为1 m ，得PD ＝sin θ，OD ＝cos θ.在Rt△OEQ 中，OE ＝QE ＝PD ，MN ＝QP ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－sinθ，所以S ＝MN·PD ＝333333·sin θ＝sin θcos θ－sin 2θ，θ∈.(cos θ－33sin θ)33(0，π3)(2) 由(1)得S ＝sin 2θ－(1－cos 2θ)1236＝sin 2θ＋cos 2θ－123636＝sin－，33(2θ＋π6)36因为θ∈，所以2θ＋∈，(0，π3)π6(π6，5π6)所以sin ∈.(2θ＋π6)(12，1]当θ＝时，S max ＝(m 2)．π636第7课时　正弦定理和余弦定理一、 填空题1. (2017·江阴期初)在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________．2答案：23解析：由已知及正弦定理得＝，即AC ＝＝＝2.AC sin B BC sin A BC·sin B sin A 32·sin 45°sin 60°32. 在△ABC 中，AC ＝，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝______．3答案：2解析：由题意得B ＝180°－A －C ＝60°.由正弦定理得＝，则BC ＝，所以BC ＝AC sin B BC sin A AC·sin Asin B ＝.3×223223. 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为，则BC 的长为____________．32答案：3解析：S ＝AB·ACsin 60°＝×2××AC ＝，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcos 60°12123232＝3，所以BC ＝.34. 已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为________．答案：3解析：∵ a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴ cos A ＝.12∴ A ＝.又bc ＝4，∴ △ABC 的面积为bcsin A ＝.π31235. (2017·苏锡常镇调研(二))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，若满足2bcos A ＝2c －a ，则角B 的大小为________．3答案：π6解析：由正弦定理得2sin Bcos A ＝2sin C －sin A ⇒2sin Bcos A ＝2sin(A ＋B)－sin A ⇒2sin33Acos B ＝sin A ．∵ A∈(0，π)，∴ cos B ＝.∵ B∈(0，π)，∴ B ＝.332π66. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c.已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A)，则A ＝________．答案：π4解析：由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，因为b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A)，所以b 2＋b 2－2b 2cos A ＝2b 2(1－sin A)，所以cos A ＝sin A ，即tan A ＝1.因为A∈(0，π)，所以A ＝.π47. (2017·盐城诊断)在△ABC 中，cos 2＝(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长)，则△ABC 的形B 2a ＋c2c 状为________．答案：直角三角形解析：因为cos 2＝，所以2cos 2－1＝－1，所以cos B ＝，所以＝，所以B 2a ＋c 2c B 2a ＋c c a c a2＋c2－b22ac ac c 2＝a 2＋b 2.所以△ABC 为直角三角形．8. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若S △ABC ＝2，a ＋b ＝6，3＝2cos C ，则c ＝________．acos B ＋bcos Ac 答案：23解析：∵ ＝2cos C ，acos B ＋bcos Ac 由正弦定理，得sin Acos B ＋cos Asin B ＝2sin Ccos C ，∴ sin(A ＋B)＝sin C ＝2sin Ccos C.由于0＜C ＜π，sin C≠0，∴ cos C ＝，∴ C ＝.12π3∵ S △ABC ＝2＝absin C ＝ab ，∴ ab ＝8.31234又a ＋b ＝6，∴或{a ＝2，b ＝4){a ＝4，b ＝2，)∴ c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝4＋16－8＝12，∴ c ＝2.39. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足csin A ＝acos C ，则sin A ＋sin B 3的最大值是______．答案：3解析：由csin A ＝acos C ，得sin Csin A ＝sin Acos C ，即sin C ＝cos C ，∴ tan C ＝，∴ 3333C ＝，A ＝－B ，π32π3∴ sin A ＋sin B ＝sin ＋sin B ＝sin.(2π3－B )3(B ＋π6)∵ 0＜B ＜，∴ ＜B ＋＜，2π3π6π65π6∴ 当B ＋＝，即B ＝时，sin A ＋sin B 的最大值为.π6π2π3310. 在锐角三角形ABC 中，若A ＝2B ，则的取值范围是________．ab 答案：(，)23解析：因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝2B ，所以所以<B<.{0＜2B ＜π2，0＜π－3B ＜π2，)π6π4因为A ＝2B ，sin A ＝sin 2B ＝2sin Bcos B ，所以＝＝2cos B∈(，)．a b sin Asin B 23二、 解答题11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c 2＋bc ＝0，2bsin 3A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为.14(1) 求角A 和角B 的大小；(2) 求△ABC 的面积．解：(1) ∵ cos A ＝＝，∴ A ＝.b2＋c2－a22bc 32π6由2bsin A ＝a ，得b ＝a ，∴ B ＝A ＝.π6(2) 设AC ＝BC ＝x ，由余弦定理，得AM 2＝x 2＋－2x··＝()2，解得x ＝2，故S △ABC ＝×2×2×＝2.x24x 2(－12)142122232312. (2017·江西联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且·a2＋b2－c2ab ＝1.(a c cos B ＋bc cos A )(1) 求角C ；(2) 若c ＝，△ABC 的周长为5＋，求△ABC 的面积S.77 解：(1) 由正弦定理与余弦定理，得2cos C(sin Acos B ＋sin Bcos A)＝sin C ，即2cos Csin(A ＋B)＝sin C ，∴ 2sin Ccos C ＝sin C ，故cos C ＝，∴ C ＝.12π3(2) ∵ a ＋b ＋c ＝5＋且c ＝，∴ a ＋b ＝5.77由余弦定理，得a 2＋b 2－2abcos C ＝c 2，∴ (a ＋b)2－2ab －2abcos C ＝7，∴ 52－3ab ＝7，∴ ab ＝6，S △ABC ＝absin C ＝.1233213. (2017·苏州期中)已知函数f(x)＝2sincos x ．(1) 若0≤x≤ ，求函数f(x)的值域；(x ＋π3)π2(2) 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若A 为锐角，且f(A)＝，b ＝2，c ＝3，求cos(A －B)的值．32 解：(1)f(x)＝2sincos x ＝(sin x ＋cos x)cos x ＝sinx cos x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos (x ＋π3)3312322x ＋ ＝sin ＋.32(2x ＋π3)32由0≤x≤，得≤2x＋≤，π2π3π34π3∴－ ≤sin≤1，32(2x ＋π3)∴ 0≤sin＋≤1＋，(2x ＋π3)3232∴ 函数f(x)的值域为.[0，1＋32](2)由f(A)＝sin＋＝，(2A ＋π3)3232得sin＝0，(2A ＋π3)又0＜A ＜，∴ ＜2A ＋＜，π2π3π34π3∴ 2A ＋＝π，解得A ＝.π3π3在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝7，解得a ＝.7由正弦定理＝，得sin B ＝＝.a sin Ab sin B bsin Aa217∵ b ＜a ，∴ B ＜A ，∴ cos B ＝ ，277∴ cos(A －B)＝cos Acos B ＋sin Asin B ＝×＋×＝.12277322175714第8课时　解三角形应用举例一、 填空题1. 在相距2 km 的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________km.答案：6解析：由题意知∠ACB＝45°，由正弦定理得＝，∴ AC ＝×＝.AC sin 60°2sin 45°2223262. 如图，在坡度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m 后，又从点B 测得斜度为，假设建筑物高50 m ，设山坡对于地平面的坡角为，则cos ＝________．答案：－13解析：在△ABC 中，AB ＝ 100 m , CAB ＝15°，45°－15°＝ 30°.由正弦定理＝，∴ BC ＝ 200sin 15°.100sin 30°BCsin 15°在△DBC 中，CD ＝50 m ，CBD ＝45°，CDB ＝90°＋，由正弦定理得＝，∴ cos θ＝－1.50sin 45°200sin 15°sin （90°＋θ）33. 如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________．答案：45°解析：依题意可得AD ＝20 m ，AC ＝30 m ，又CD ＝50m ，所以在△ACD 中，由余弦定理，得105cos∠CAD＝＝＝＝.AC2＋AD2－CD22AC·AD （305）2＋（2010）2－5022×305×2010 6 0006 000222又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，即从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.4. 如图，某住宅小区的平面图为圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD.已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为________m.答案：507解析：如图，连结OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×＝17 500，解得OC ＝50 m.1275. 如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile.此船的航速是2__________n mile/h.答案：32。

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第20讲三角函数的图象与性质［解密考纲]本考点考查三角函数的图象以及图象的平移、伸缩变换，三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值与值域等．一般以选择题、填空题的形式呈现，以解答题出现时，排在解答题靠前位置，难度中等．一、选择题1．函数y＝错误!的定义域为( C)A．错误!B．错误!kπ－错误!≤x≤kπ＋错误!,k ∈ZC．错误!2kπ－错误!≤x≤2kπ＋错误!,k∈Z D．R 解析∵cos x－错误!≥0，得cos x≥错误!，∴2kπ－错误!≤x≤2kπ＋错误!，k∈Z.2．(2018·浙江温州模拟）为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象,可以将函数y＝错误!cos 3x的图象( A）A．向右平移错误!个单位B．向右平移错误!个单位C．向左平移π12个单位D．向左平移错误!个单位解析因为y＝sin 3x＋cos 3x＝错误!cos错误!,所以将y＝错误!cos 3x 的图象向右平移错误!个单位后可得到y＝错误!cos错误!的图象.3．（2018·辽宁营口模拟)将函数y＝3sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度,所得图象对应的函数（B)A．在区间错误!上单调递减B．在区间错误!上单调递增C．在区间错误!上单调递减D．在区间错误!上单调递增解析由题可得平移后的函数为y＝3sin错误!＝3sin错误!,令2kπ－错误!≤2x－错误!≤2kπ＋错误!，解得kπ＋错误!≤x≤kπ＋错误!，故该函数在错误!（k∈Z）上单调递增，当k＝0时,选项B满足条件,故选B．4．函数f（x)＝A sin(ωx＋φ）错误!的部分图象如图所示,若x1，x2∈错误!,且f(x1）＝f(x2）,则f（x1＋x2）＝( D)A．1 B．错误!C．错误!D．错误!解析观察图象可知,A＝1，T＝π，∴ω＝2,f(x)＝sin（2x＋φ)。

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数1. (必修4P 10习题9改编)小明从家步行到学校需要15 min ，则这段时间内钟表的分针走过的角度是________．答案：－90°解析：利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是负角．又周角为360°，所以360°60×15＝90°，即分针走过的角度是－90°.2. (必修4P 10习题4改编)若角θ的终边与角4π5的终边相同，则在[0，2π)内终边与角θ2的终边相同的角的集合为__________________．(用列举法表示) 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π5，7π5解析：由题意θ＝4π5＋2k π(k∈Z )，∴ θ2＝2π5＋k π(k∈Z )．由0≤θ2<2π，即0≤2π5＋k π<2π知－25≤k<85，k ∈Z .∴ k ＝0或1.故在[0，2π)内终边与角θ2的终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π5，7π5. 3. (必修4P 9例3改编)已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为__________．答案：6解析：设扇形的半径为R ，则12R 2α＝2，∴ 12R 2×4＝2.而R 2＝1，∴ R ＝1，∴ 扇形的周长为2R ＋α·R＝2＋4＝6.4. 已知角θ的终边经过点P(8，m ＋1)，且sin θ＝35，则m ＝________．答案：5解析：sin θ＝m ＋182＋（m ＋1）2＝35，解得m ＝5. 5. 函数y ＝lg(2cos x －1)的定义域为____________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3(k∈Z ) 解析：∵ 2cos x －1＞0，∴ cos x ＞12.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴ x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3(k∈Z )．1. 任意角(1) 角的概念的推广① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ② 按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2) 终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z )． (3) 弧度制① 1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③ 弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝180π度．④ 弧长公式：l ＝|α|r ．扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2．2. 任意角的三角函数(1) 任意角的三角函数的定义设P(x ，y)是角α终边上任意一点，且|PO|＝r(r ＞0)，则有sin α＝y r ，cos α＝xr，tan α＝yx，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦． (3) 特殊角的三角函数值45°π42222160°π33212390°π21 0 /120°2π332－12－ 3续表角αα弧度数sin αcos αtan α135°3π422－22－1150°5π612－32－33180°π0 －1 0270°3π2－1 0 /3.设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直x轴于点M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT．我们把有向线段OM，MP，AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线[备课札记], 1象限角及终边相同的角), 1) (1) 已知α＝－2 017°，则与角α终边相同的最小正角为________，最大负角为________．(2) (必修4P 10习题12改编)已知角α是第三象限角，试判断：① π－α是第几象限角？② α2是第几象限角？③ 2α的终边在什么位置？(1) 答案：143° －217° 解析：α可以写成－6×360°＋143°的形式，则与α终边相同的角可以写成k·360°＋143°(k∈Z )的形式．当k ＝0时，可得与角α终边相同的最小正角为143°，当k ＝－1时，可得最大负角为－217°.(2) 解：①∵ α是第三象限角，∴ 2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .∴ －2k π－π2<π－α<－2k π，k ∈Z .∴ π－α是第四象限角．② ∵ k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，∴ α2是第二或第四象限角．③ ∵ 4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z ，∴ 2α的终边在第一或第二象限或y 轴非负半轴上． 变式训练(必修4P 10习题5改编)终边在直线y ＝3x 上的角的集合可表示为____________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝k π＋π3，k ∈Z 解析：直线y ＝3x 经过第一象限、第三象限，直线的倾斜角为π3，则终边在该直线上的角的集合为{x|x ＝k π＋π3，k ∈Z }．, 2 三角函数的定义), 2) (1) 点P 是始边与x 轴的正半轴重合、顶点在原点的角θ的终边上的一点，若|OP|＝2，θ＝60°，则点P 的坐标是__________；(2) (2017·泰州模拟)已知角α的终边过点P(－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．答案：(1) (1，3) (2) 12解析：(1) 设点P 的坐标为(x ，y)，由三角函数的定义，得sin 60°＝y2，cos 60°＝x2，所以x ＝2cos 60°＝1，y ＝2sin 60°＝3，故点P 的坐标为(1，3)． (2) ∵ r＝64m 2＋9，∴ cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴ m ＞0，∴ 4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.变式训练(2017·无锡期末)已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α＝________．答案：－32解析：由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时sin α·tan α＝－32. 当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时sin α·tan α＝－32., 3 三角函数的符号及判定), 3) 点A(sin 2 017°，cos(－2 017°))位于第________象限． 答案：三 解析：因为2 017°＝5×360°＋217°是第三象限角，所以sin 2 017°＜0.又－2 017°＝－6×360°＋143°是第二象限角，所以cos(－2 017°)＜0，所以点A(sin 2 017°，cos(－2 017°))位于第三象限．变式训练下列判断正确的是________．(填序号)① sin 300°＞0；② cos(－305°)＜0；③ tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223π＞0；④ sin 10＜0. 答案：④解析：300°＝360°－60°，则300°是第四象限角； －305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角； －223π＝－8π＋23π，则－223π是第二象限角； 因为3π＜10＜72π，所以10是第三象限角．故sin 300°＜0，cos(－305°)＞0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＜0，sin 10＜0，④正确．, 4 弧长公式与扇形面积公式), 4) 扇形AOB 的周长为8 cm.(1) 若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2) 求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：设扇形AOB 的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为α，(1) 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴ α＝l r ＝23或6.(2) ∵ 2r＋l ＝8，∴ S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14·⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4(cm 2)， 当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值，∴ r ＝2，∴ 弦长AB ＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)． 备选变式（教师专享）已知扇形的周长是 4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是________；扇形的圆心角所对的弦长为________cm.答案： 2 2sin 1解析：设此扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r(4－2r)＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2 cm.从而α＝l r ＝21＝2.扇形的圆心角所对的弦长为2sin 1 cm.1. 若tan(α＋45°)<0，则sin α，cos α，sin 2α，cos 2α中一定为负数的是__________．答案：cos 2α解析：∵ tan(α＋45°)<0，∴ k ·180°－135°<α<k ·180°－45°，∴ k ·360°－270°<2α<k ·360°－90°，∴ cos 2α<0.2. (2017·苏州期末)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝35，则m ＝________．答案：3解析：sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3. 3. 若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k ，m ∈Z )，则下列关于角α与β的终边的位置关系的说法正确的是________．(填序号)① 重合；② 关于原点对称；③ 关于x 轴对称；④ 关于y 轴对称． 答案：③解析：显然角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，而θ与－θ的终边关于x 轴对称，故说法正确的是③.4. 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，扇形所在圆的半径为R.(1) 若α＝90°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2) 若扇形的周长是一定值C cm(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1) 设弧长为l ，弓形面积为S 弓，又α＝90°＝π2，R ＝10，则l ＝π2×10＝5π(cm)，S 弓＝S 扇－S 三角形＝12×5π×10－12×102＝25π－50 (cm 2)．(2) 扇形周长C ＝2R ＋l ＝(2R ＋αR)cm ，∴ R ＝C2＋αcm ，∴ S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216cm 2.1. 给出下列命题：① 第二象限角大于第一象限角；② 三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③ 不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；④ 若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤ 若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是________．(填序号) 答案：③解析：由于第一象限角370°大于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；正弦值相等，但角的终边不一定相同，故④错；当θ＝π时，cos θ＝－1<0，θ既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．2. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________．答案：－35解析：取终边上一点(a ，2a )(a≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.3. (2017·扬州一中月考改编)已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，则cos α＝________．答案：12解析：∵ r＝1，∴ cos α＝x r ＝12.4. (2017·苏北四市期末)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．答案：(－2，3]解析：∵ cos α≤0，sin α>0，∴ 角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴ －2<a≤3.1. (1) 要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式．(2) 已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角．2. 已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解α的三角函数值．3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．4. 利用单位圆解有关三角函数的不等式(组)的一般步骤 (1) 用边界值定出角的终边位置． (2) 根据不等式(组)定出角的范围． (3) 求交集，找单位圆中公共的部分． (4) 写出角的表达式．第2课时 同角三角函数的基本关系式与 诱导公式(对应学生用书(文)、(理)51～52页)1. 已知sin α＝14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝__________． 答案：－1515解析：由sin α＝14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得cos α＝－154， 则tan α＝sin αcos α＝－1515.2. (必修4P 20练习2改编)sin(－585°)的值为__________．答案：22解析：sin(－585°)＝－sin 585°＝－sin(360°＋225°)＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)＝sin 45°＝22.3. (2017·苏北四市摸底)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α的值为________．答案：15解析：∵ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，∴ cos α＝15. 4. (必修4P 23习题11改编)已知tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝__________．答案：1解析：因为tan α＝2，所以2sin α－cos αsin α＋cos α＝2tan α－1tan α＋1＝2×2－12＋1＝1.5. (必修4P 21例4改编)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝__________．答案：119解析：∵ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13.∴ cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π＋α－π6 ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－19＝89.∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝13＋89＝119.1. 同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2) 商数关系：tan_α＝sin αcos α.2. 诱导公式k ·2±α(k∈Z )与α的三角函数关系的记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．, 1 同角三角函数的基本关系式), 1) (必修4P 23习题20改编)已知－π2<x<0，sin x ＋cos x ＝15.(1) 求sin 2x －cos 2x 的值；(2) 求tan x2sin x ＋cos x的值．解：由sin x ＋cos x ＝15，得1＋2sin xcos x ＝125，则2sin xcos x ＝－2425.∵ －π2<x<0，∴ sin x<0，cos x>0，即sin x －cos x<0.则sin x －cos x ＝－sin 2x －2sin xcos x ＋cos 2x ＝－1＋2425＝－75.(1) sin 2x －cos 2x ＝(sin x ＋cos x)(sin x －cos x)＝15×⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－725. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝－35，cos x ＝45，则tan x ＝－34.即tan x 2sin x ＋cos x ＝－34－65＋45＝158. 变式训练(2017·盐城模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为________．答案：32解析：∵ 5π4<α<3π2，∴ cos α<0，sin α<0，且cos α>sin α，∴ cos α－sinα>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴ cos α－sin α＝32. , 2) (必修4P 23习题12(2)改编)化简： (1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α)·(1＋cos α1－cos α－1－cos α1＋cos α)．解：原式＝[（1＋sin α）2cos 2α－（1－sin α）2cos 2α]·[（1＋cos α）2sin 2α－（1－cos α）2sin 2α]＝(1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|)·(1＋cos α|sin α|－1－cos α|sin α|)＝2sin α|cos α|·2cos α|sin α|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，α在第一、三象限时，－4，α在第二、四象限时. 备选变式（教师专享）若α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________．答案：0解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0., 2 诱导公式及其运用), 3) 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为__________．答案：59解析：由诱导公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－13，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝89，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝89－13＝59.变式训练已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a(|a|≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝__________．答案：0解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝ －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0., 3 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用), 4) (1) 设tan(5π＋α)＝m ，求sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）的值；(2) 在△ABC 中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．解：(1) 由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m ，∴ sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.(2) 由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22.(ⅰ) 当cos A ＝22时，cos B ＝32. 又∵ A，B 是三角形的内角，∴ A ＝π4，B ＝π6，∴ C ＝π－(A ＋B)＝7π12.(ⅱ) 当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又∵ A，B 是三角形的内角，∴ A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.变式训练 (1) (2017·江西联考)已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2，求cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α的值；(2) 在△ABC 中，若sin(3π－A)＝2sin(π－B)，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝2cos(π－B)．试判断三角形的形状．解：(1) 由已知得tan α＝23，cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－3×23－1＋9×23＝－15.(2) 由题设条件，得sin A ＝2sin B ，－sin A ＝－2cos B ， ∴ sin B ＝cos B ，∴ tan B ＝1.∵ B ∈(0，π)，∴ B ＝π4，∴ sin A ＝2×22＝1. 又A∈(0，π)，∴ A ＝π2，∴ C ＝π4.∴ △ABC 是等腰直角三角形．1. 已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是________．答案：1－a 2解析：sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos31°)·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－a 2.2. 已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α的值是________．答案：31010解析：(解法1)由tan(π－α)＋3＝0，得tan α＝3，即sin αcos α＝3，sin α＝3cos α，所以sin 2α＝9(1－sin 2α)，10sin 2α＝9，sin 2α＝910.因为α为锐角，所以sin α＝31010.(解法2)因为α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，所以－tan α＋3＝0即tan α＝3.在如图所示的直角三角形中，令∠A＝α，BC ＝3，则AC ＝1，所以AB ＝32＋12＝10，故sin α＝310＝31010.3. (2017·南通调研)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ＝________．答案：－23解析：∵ sin θ＋cos θ＝43，∴ 2sin θcos θ＝79，∴ (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，∴ sin θ－cos θ＝23或－23.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴ sin θ<cos θ，∴ sin θ－cos θ＝－23.4. 已知sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，则(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为__________．答案：4解析：因为sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，所以sin 2θ＋4＝2cos θ＋2，即cos 2θ＋2cos θ－3＝0，解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)．由cos θ＝1得sin θ＝0，故(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝4.1. 已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＋α，则sin αcos α＝__________． 答案：－25解析：因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 2. 已知cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝__________．答案：－1－k2k解析：因为cos(－80°)＝cos 80°＝k ，所以sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2.所以tan 100°＝－tan 80°＝－sin 80°cos 80°＝－1－k2k.3. (2017·盐城调研)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α＝________．答案：103解析：∵ 3sin α＋cos α＝0，且cos α≠0，∴ tan α＝－13，∴1cos 2α＋2sin αcos α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1321－23＝103. 4. (2017·南京、盐城模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________．答案：－223解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α. 因为－π＜α＜－π2，所以－7π12＜α＋5π12＜－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13＞0，所以－π2＜α＋5π12＜－π12， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.1. 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．2. 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2k π＋α(k∈Z )，0≤α＜2π的形式；② 转化为锐角．3. 同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．4. 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：① 弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 进行切化弦或弦化切，如asin x ＋bcos xcsin x ＋dcos x，asin 2x ＋bsin xcos x ＋ccos 2x 等类型可进行弦化切．② 和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．③ 注意变角技巧：如32π＋α为π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α或2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α等． ④ 巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…5. 在△ABC 中常用到以下结论： sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C ， cos(A ＋B)＝cos(π－C)＝－cos C ， tan(A ＋B)＝tan(π－C)＝－tan C ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cos C 2， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2.[备课札记]第3课时 三角函数的图象和性质(对应学生用书(文)、(理)53～55页)1. (2017·南京期初)若函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值是________．答案：12解析：由题意，得2πω＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝sin 5π6＝12.2. 将函数f(x)＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π6个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，则g(x)＝____________．答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：将函数f(x)＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π6个单位，得到函数g(x)＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．本题主要考查三角函数的图象变换(平移变换)．3. 已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b]，则b －a 的值是__________．答案：3解析：因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以y ＝2cos x 的值域为[－2，1]，所以b －a ＝3.4. 函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k∈Z ) 解析：由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k∈Z )． 5. (必修4P 45习题9改编)电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I ＝Asin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，则当t ＝1100 s 时，电流强度是__________A.答案：－5解析：由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ ω＝2πT＝100π.∴ I ＝10sin(100πt＋φ).⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10为五点中的第二个点，∴ 100π×1300＋φ＝π2.∴ φ＝π6.∴ I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100s 时，I ＝－5 A.1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋T)＝f(x)都成立，那么称y ＝f(x)为周期函数；函数y ＝Asin(ωx＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝Atan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|.2. 三角函数的图象和性质在确定正弦函数y ＝sin x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数呢？4. 函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)的特征若函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．[备课札记], 1 “五点法”与“变换法”作图), 1) (必修4P 40练习7改编)已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋π3)(ω＞0)的周期为π.(1) 用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2) 说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．解：∵ T＝π，∴ 2πω＝π，即ω＝2.∴ f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1) 令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X. 列表如下： x －π6 π12 π3 7π12 5π6X 0 π2 π 3π22π y ＝sin X 0 1 0 －1 0y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 0 2 0 －2 0(2) (解法1)把y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． (解法2)将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 变为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 备选变式（教师专享）已知f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. (1) 求ω和φ的值；(2) 在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(3) 若f(x)>22，求x 的取值范围．解：(1) 周期T ＝2πω＝π，∴ ω＝2.∵ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32.又－π2<φ<0，∴ φ＝－π3. (2) 由(1)得f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：(3)∵ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3>22，∴ 2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4，∴ 2k π＋π12<2x<2k π＋7π12， ∴ k π＋π24<x<k π＋7π24，k ∈Z ，∴ x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π24<x<k π＋7π24，k ∈Z .,2 三角函数的性质)●典型示例2已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1) 求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2) 求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(3) 求f(x)图象的一条对称轴和一个对称中心，使得它们到y 轴的距离分别最小． 【思维导图】【规范解答】解：(1) 函数f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. 令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k∈Z )，解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k∈Z )，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k∈Z )． (2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4.由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.(3) 令2x ＋π4＝π2＋k π(k∈Z )，解得x ＝π8＋k π2(k∈Z )，所以当k ＝0时，直线x ＝π8是所有对称轴中最靠近y 轴的．令2x ＋π4＝k π(k∈Z )，解得x ＝－π8＋k π2(k∈Z )，所以当k ＝0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1是所有对称中心中最靠近y 轴的， 所以所求的对称轴为直线x ＝π8，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1. 【精要点评】 对于三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的性质(定义域、单调性、对称性、最值或值域等)问题，通常用换元的方法，令t ＝ωx ＋φ，将其转化为函数y ＝Asin t ，再进行其性质的研究．●总结归纳解有关三角函数性质的问题，通常需先将函数转化为f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的形式，再用研究复合函数的单调性、值域的方法利用正弦函数的图象和性质来处理．若ω<0，还需先利用诱导公式转化为f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再将ωx ＋φ看成整体，利用正弦函数y ＝sin x 的性质进行求解．●题组练透1. 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，则φ的最小值为__________．答案：π6解析：易知y ＝sin 2(x ＋φ)，即y ＝sin(2x ＋2φ)．∵ 图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π6，32，∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2φ＝32，∴ π3＋2φ＝π3＋2k π或π3＋2φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，即φ＝k π或φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵ φ>0，∴ φ的最小值为π6.Ｋ2. 设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(0＜x ＜π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为__________．答案：2解析：当x ＝π12时，令ωx ＋π3＝π2，则正数ω＝2.3. 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________． 答案：－22解析：由已知x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22. 4. 设函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)．(1) 求函数f(x)的单调递增区间；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，试求y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．解：(1) 因为f(x)的最小正周期为π，所以T ＝2πω＝π，解得ω＝2.又f(－x)＝－f(x)，所以f(0)＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝0.又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f(x)＝2sin 2x.则2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k∈Z )，解得函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k∈Z )． (2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，f(x)取得最大值2；当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f(x)取得最小值－ 3., 3 根据图象和性质确定函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式), 3) 设函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x∈R )的部分图象如图所示．(1) 求函数y ＝f(x)的解析式；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，求f(x)的取值范围．解：(1) 由图象知，A ＝2. 又T 4＝5π6－π3＝π2，ω＞0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1.所以f(x)＝2sin(x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k∈Z )． 又－π2＜φ＜π2，所以φ＝π6.所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，即f(x)∈[－3，2]．变式训练已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2) 将函数y ＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)的单调递减区间．解：(1) ∵ f(x)为偶函数，∴ φ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2π3＋k π，k ∈Z .∵ 0＜φ＜π，∴ φ＝2π3.由题意得2πω＝2×π2，解得ω＝2.故f(x)＝2cos 2x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2) 将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图象，所以g(x)＝f(x 4－π6)＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k∈Z )时，g(x)单调递减．因此g(x)的单调递减区间为[4k π＋2π3，4k π＋8π3](k∈Z )．, 4 三角函数的应用), 4) (必修4P 42例2改编)如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1) 将点P 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2) 点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解：(1) 建立如图所示的直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6.则OP 在t(s)内所转过的角为π6t.由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求函数解析式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2.(2) 令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＝1.令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s. 备选变式（教师专享）如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，且60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h.(1) 求h 与θ之间的函数解析式； (2) 设从OA 开始转动，经过t s 后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少．解：(1) 以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2， ∴ h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2. (2) 点A 在圆上转动的角速度是π30rad/s ，故t s 转过的弧度数为π30t ，∴ h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴ t ＝30 s ，∴ 缆车到达最高点时，用的最少时间为30 s.1. 已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则φ的值为__________． 答案：－π12解析：f(x)＝2sin(ωx ＋φ) 的最小正周期为π，则ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x ＋φ)，它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝－22⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，故φ＝－π12. 2. 函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示．若A ，B 两点之间的距离AB ＝5，则ω的值为________．答案：π3解析：AB ＝5，|y A －y B |＝4，则|x A －x B |＝3＝T 2，则T ＝6，则2πω＝6，ω＝π3.3. 将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π12个单位得到的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则φ＝________．答案：π6解析：由题意得平移以后的函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ，因为图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，所以2×π3＋π6＋φ＝k π(k∈Z )，解得φ＝k π－5π6(k∈Z )．因为0<φ<π，所以φ＝π6.4. 函数f(x)＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象如图所示． (1) 求φ及图中x 0的值；(2) 求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．解：(1) 由图可知，f(0)＝f(x 0)＝32， 即cos φ＝32，cos(πx 0＋φ)＝32. 又φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x 0>0，所以φ＝π6，x 0＝53.(2) 由(1)可知f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. 因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13，所以－π3≤πx ＋π6≤π2. 所以当πx ＋π6＝0，即x ＝－16时，f(x)取得最大值1；当πx ＋π6＝π2，即x ＝13时，f(x)取得最小值0.1. (2017·南师附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数y ＝f(x)的图象，若函数f(x)的图象过原点，则φ＝________．答案：3π4解析：将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数f(x)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象，若函数f(x)的图象过原点，则f(0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，π4＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝k π－π4，k ∈Z .又0<φ<π，则φ＝3π4. 2. 若函数y ＝sin(ωx －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是______．答案：2，π3解析：由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝k π(k∈Z )，即φ＝π3－k π(k∈Z )．而|φ|<π2，所以φ＝π3.3. (2017·第三次全国大联考江苏卷)将函数f(x)＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值为________．答案：5π6解析：由题意，可得sin θ＝32.因为－π2＜θ＜π2，所以θ＝π3.因为g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2φ＋π3＝32.又因为0＜φ＜π，所以－2φ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3，π3，－2φ＋π3＝－4π3，φ＝5π6. 4. 已知函数f(x)＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为3，则(1) m ＝________；(2) 当f(x)在[a ，b]上至少含20个零点时，b －a 的最小值为________．答案：(1) 0 (2) 28π3解析：(1) f(x)＝ 3 sin 2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin 2x ＋1＋cos 2x ＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1.因为0≤x≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6.所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， f(x)max ＝2＋m ＋1＝3＋m ＝3，∴ m ＝0.(2) 由(1)得f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，周期T ＝2π2＝π，在长为π的闭区间内有2个或3个零点．由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12， 2x ＋π6＝2k π＋7π6，k ∈Z 或2x ＋π6＝2k π＋11π6，k ∈Z ，所以x ＝k π＋π2或x ＝k π＋5π6，k ∈Z .不妨设a ＝π2，则当b ＝9π＋π2时，f(x)在区间[a ，b]上恰有19个零点，当b ＝9π＋5π6时恰有20个零点，此时b －a 的最小值为9π＋π3＝28π3.1. 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2. 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型： ① 形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)；② 形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③ 形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x ±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．3. 对于形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)，可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．4. 求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由最高(低)点的纵坐标确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由条件求得y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式一般不惟一，只有限定φ的取值范围，才能得出惟一解．5. 由y ＝sin x 的图象变换到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．[备课札记]第4课时 两角和与差的正弦、余弦和 正切公式(对应学生用书(文)、(理)56～58页)1. 设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________．答案：210解析：∵ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝35，∴ cos α＝45.∴ cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝45×22－35×22＝210. 2. (必修4P 106练习4改编)sin 20°cos 10 °－cos 160°sin 10°＝__________．答案：12解析：sin 20°·cos 10°－cos 160°·sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°·sin10°＝sin 30°＝12.3. (必修4P 109练习8改编)函数y ＝2sin x ＋6cos x 的值域是__________． 答案：[－22，22]解析：y ＝2sin x ＋6cos x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈[－22，22]．4. (必修4P 118习题9改编)若α＋β＝π4，则(tan α＋1)·(tan β＋1)的值是________．答案：2解析：(tan α＋1)(tan β＋1)＝tan αtan β＋tan α＋tan β＋1＝tan αtan β＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋1＝tan αtan β＋tan π4·(1－tan αtan β)＋1＝2.5. (必修4P 110例6改编)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝110，则tan αtan β的值为________．答案：32解析：(解法1)⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝110⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＝310，cos αsin β＝15，从而tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝310×5＝32.(解法2)设x ＝tan αtan β，∵ sin （α＋β）sin （α－β）＝5，∴ sin （α＋β）cos αcos βsin （α－β）cos αcos β＝tan α＋tan βtan α－tan β＝tan αtan β＋1tan αtan β－1＝x ＋1x －1＝5. ∴ x ＝32，即tan αtan β ＝32.1. 两角差的余弦公式推导过程设单位圆上两点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，sin β)，则∠P 1OP 2＝α－β(α>β)．向量a ＝OP 1→＝(cos α，sin α)，b ＝OP 2→＝(cos β，sin β)， 则a·b ＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β)，由向量数量积的坐标表示，可知a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β，因而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 2. 公式之间的关系及导出过程3. 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β．4. asin α＋bcos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，tan φ＝ba .φ的终边所在象限由a ，b 的符号来决定．5. 常用公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)；sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4； sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎪⎫α－π4.[备课札记]。

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课时分层作业二十二简单的三角恒等变换一、选择题（每小题5分，共35分)1.化简:= ( )A。

sin2α B.tan2α C.sin2D。

tan2【解析】选D。

原式==tan2。

2。

(2018·沈阳模拟)化简= （)A。

1 B.C。

D.2【解析】选C.原式====.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选C。

原式====。

3。

（2016·浙江高考）设函数f（x）=sin2x+bsin x+c，则f（x）的最小正周期（）A.与b有关,且与c有关B。

与b有关,但与c无关C。

与b无关，且与c无关D。

与b无关，但与c有关【解题指南】先利用倍角公式进行化简,再求最小正周期.【解析】选B。

f（x）=sin2x+bsin x+c=+bsin x+c=—+bsin x+c+,其中当b=0时,f(x）=-+c+,此时周期为π；当b≠0时，周期为2π，而c不影响周期。

4。

已知锐角α,β满足sin α-cos α=，tan α+tanβ+·tan αtanβ=，则α,β的大小关系是( ）A.α〈〈βB。