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线性代数模拟试题1. 矩阵A的转置已知矩阵 A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求其转置矩阵 AT。
解答：设矩阵 B 为 A 的转置矩阵，即 B = AT。
则矩阵 B 的第 i 行第 j 列元素等于矩阵 A 的第 j 行第 i 列元素，即 Bij = Aji。
根据以上规律，可以得到矩阵 A 的转置矩阵 B = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]。
2. 矩阵相乘已知矩阵 A = [1 2; 3 4]，矩阵 B = [5 6; 7 8]，求矩阵 A 乘以矩阵 B的结果 AB。
解答：设矩阵 C 为 A 乘以 B 的结果，即 C = AB。
矩阵 C 的第 i 行第 j 列元素等于矩阵 A 的第 i 行与矩阵 B 的第 j 列的对应元素相乘再相加，即Cij = ∑(Aik * Bkj) (k=1 to n)。
根据以上规律，可以得到矩阵 A 乘以矩阵 B 的结果 C = [19 22; 43 50]。
3. 矩阵的逆已知矩阵 A = [2 -1; 4 3]，求其逆矩阵 A-1。
解答：逆矩阵 A-1 的定义为 A * A-1 = I，其中 I 为单位矩阵。
设矩阵 B 为A 的逆矩阵，即 B = A-1。
可以通过求解线性方程组的方式来求解矩阵A 的逆矩阵。
首先，构造增广矩阵 [A I]，其中 I 为 2 阶单位矩阵。
经过初等行变换，将矩阵 A 转化为单位矩阵的形式，此时 [I B] 的形式就是矩阵 A的逆矩阵。
经过计算，可以得到矩阵 A 的逆矩阵 B = [3 1; -4 2]。
4. 矩阵的特征值和特征向量已知矩阵 A = [3 -2; 1 4]，求其特征值和对应的特征向量。
解答：特征值λ 是矩阵 A 满足方程 |A - λI| = 0 的根，其中 I 为单位矩阵。
特征向量 v 是非零向量 x 满足方程 (A - λI)x = 0。
首先，计算矩阵 A - λI 的行列式，即 |A - λI|。
线性代数期末模拟测试试卷（含答案）班别 姓名 成绩一、选择题1．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t2.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-53．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关4．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x5．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ）A.4,221==λλB.4,221-=-=λλC.4,221=-=λλD.4,221-==λλ二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上6．三阶行列式ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是 。
7．设123221,343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则111213A A A ++= 。
8．设n 阶矩阵A 的秩1)(-<n A r ，则A 的伴随矩阵A *的元素之和∑∑===n i nj ij A 11。
9．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为 。
10．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况是 。
11．若向量组11121233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性相关，则向量组112222,a b a b αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的线性关系是 。
考研数学二（线性代数）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设n维行向量α=，A=E-αTα，B=E+2αTα，则AB为( )．A．OB．-EC．ED．E+αTα正确答案：C解析：由ααT=，得AB=(E-αTα)(E+2αTα)=E，选(C) 知识模块：线性代数部分2．设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=O，则( )．A．r(B)=nB．r(B)<nC．A2-B2=(A+B)(A-B)D．｜A｜=0正确答案：D解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)<n，于是｜A｜=0，选(D) 知识模块：线性代数部分3．设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，记向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βm；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γm，若向量组(Ⅲ)线性相关，则( )．A．(Ⅰ)，(Ⅱ)都线性相关B．(Ⅰ)线性相关C．(Ⅱ)线性相关D．(Ⅰ)，(Ⅱ)至少有一个线性相关正确答案：D解析：若α1，α2，…，αn线性无关，β1，β2，…，βn线性无关，则r(A)=n，r(B)=n，于是r(AB)=n．因为γ1，γ2，…，γm线性相关，所以r(AB)=r(γ1，γ2，…，γn)只有零解，而无解，故(A)不对；方程组有非零解，而无解，故(B)不对；方程组无解，但只有零解，故(C)不对；若Ax=b有无穷多个解，则r(A)=r()B．C．λ｜A｜D．λ｜A｜n-1正确答案：B解析：因为A可逆，所以λ≠0，令AX=λX，则A*AX=λA*X，从而有A*X=选(B) 知识模块：线性代数部分6．设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )．A．可逆矩阵B．实对称矩阵C．正定矩阵D．正交矩阵正确答案：B解析：因为A与对角阵合同，所以存在可逆矩阵P，使得pTAP=A，从而A=(pT)-1P-1=(p-1)TP-1，AT=[(P-1)TP-1]T=(P-1)TP-1=A，选(B) 知识模块：线性代数部分填空题7．设f(x)=，则x2项的系数为_______．正确答案：x解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．知识模块：线性代数部分8．设A是三阶矩阵，且｜A｜=4，则=_______正确答案：2解析：=｜2A-1｜=23｜A-1｜=2 知识模块：线性代数部分9．设A=，则(A-2E)-1=_______．正确答案：解析：A-2E= 知识模块：线性代数部分10．设，且α，β，γ两两正交，则a=_______，b=_______．正确答案：-4，-13解析：因为α，β，γ正交，所以，解得a=-4，b=-13．知识模块：线性代数部分11．设A=(a(C1，C2为任意常数)解析：因为AX=0有非零解，所以｜A｜=0，而｜A｜==-(a+4)(a-6)且a(C1，C2为任意常数)．知识模块：线性代数部分12．设A为三阶矩阵，A的各行元素之和为4，则A有特征值_______，对应的特征向量为_______正确答案：4，解析：因为A的各行元素之和为4，所以，于是A有特征值4，对应的特征向量为知识模块：线性代数部分13．设5x12+x22+tx3x2+4x1x2-2x1x3-2x2x3为正定二次型，则t的取值范围是_______．正确答案：t>2解析：二次型的矩阵为A=，因为二次型为正定二次型，所以有5>0，=1>0，｜A｜>0，解得t>2．知识模块：线性代数部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
线性代数模拟考试题（4套）模拟试题⼀⼀、判断题：（正确：√，错误：×）（每⼩题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶⽅阵，则 B A B A +=+. ……………………( )2、可逆⽅阵A 的转置矩阵T A 必可逆. ……………………………( )3、n 元⾮齐次线性⽅程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( )4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶⽅阵，且0=A ，则矩阵A 中必有⼀列向量是其余列向量的线性组合.…………………………………………………………( ) ⼆、填空题：(每空2分，共20分)1、,A B 为 3 阶⽅阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= .2、⾏列式中元素ij a 的余⼦式和代数余⼦式,ij ij M A 的关系是 .3、在5阶⾏列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 .4、已知()??-==256,102B A 则=AB .5、若?--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵--2100013011080101是4元⾮齐次线性⽅程组b Ax =的增⼴矩阵,则b Ax =的通解为 .7、()B A R + ()()B R A R +.8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA .9、设=A-500210111t ，则当t 时，A 的⾏向量组线性⽆关.10、⽅阵A 的特征值为λ，⽅阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为 . 三、计算：(每⼩题8分，共16分) 1、已知4阶⾏列式1611221212112401---=D ，求4131211132A A A A +-+.2、设矩阵A 和B 满⾜B A E AB +=+2，其中=101020101A ，求矩阵B .四、(10分) 求齐次线性⽅程组=++-=-++=--+-=++-0242205230204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.五、(10分) 设三元⾮齐次线性⽅程组b Ax =的增⼴矩阵为+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ，讨论当λ取何值时，b Ax =⽆解，有唯⼀解和有⽆穷多解，并在⽆穷多解时求出通解.六、(10分) 判断向量组---=? --=? =? -=1622,4647,3221,1123:4321a a a a A 的线性相关性，如果线性相关，求⼀个最⼤⽆关组，并⽤它表⽰其余向量. 七、综合计算：（本题14分）已知⼆次型31232221321422),,(x x x x x x x x f --+= （1）求⼆次型所对应的矩阵A ，并写出⼆次型的矩阵表⽰；（2）求A 的特征值与全部特征向量；（3）求正交变换PY X =化⼆次型为标准形, 并写出标准形；（4）判断该⼆次型的正定性。
《线性代数》模拟试题(二)及答案一、填空题（每空3分，共30分） 1．设B A ，均为n 阶矩阵，3||||-=2=B ，A ，则=-|2|1*B A 2．设n 阶方阵A 满足022=++E A A （E 是n 阶单位矩阵），则=-1A 。
3．设α为3维列向量，'α是α的转置，若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=111111111'αα，则=αα' 。
4．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100001010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵，则220042A B -= 。
5．设A 为三阶方阵，且A A -='，则=||A 。
6．若n 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为r ，则当 时，方程组有惟一解。
7．逆序数=)45321(τ 。
8．已知)0,2,5,1(),9,7,5,3(-==βα，x 满足βα=+x 32，则=x 。
9．二次型323121232221321121210933),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=的秩为 。
10．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111121,101121B A ，则=AB 。
二、单项选择题（每小题3分，共15分） 得 分得 分11．设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3232,32r r B r r A βα，其中32,,,r r βα均为3维行向量，且已知行列式2||,18||==B A ，则行列式||B A -等于（ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）412．设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是（ ）。
（A ）若A ，B 均可逆，则A +B 可逆 （B ）若A ，B 均可逆，则AB 可逆 （C ）若A +B 可逆，则B A -可逆 （D ）若B A +可逆，则B A ，均可逆13．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。
（A ）133221,,αααααα+++ （B ）321211,,αααααα+++ （C ）133221,,αααααα--- （D ）1332213,2,αααααα+++14．设三阶矩阵A 的特征值为2,1,2--，矩阵E A A B 2323+-=，则=||B （ ）（A ）－4（B ）－16（C ）－36（D ）－7215．设321,,εεε是0=AX 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表成（ ）。
线性代数全真模拟试卷第一题 选择题1、已知行列式22221111b a b a b a b a -+-+=4，则2211b a b a =（ ）A 、2B 、4C 、-4D 、-22、若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+03,02,022132132132x x x x x x x x x λ有非零解，则λ=（ ）A 、0B 、1C 、-1D 、23、设A 是n 阶非零方阵，下列矩阵不是对称矩阵的是（ ） A 、A+A TB 、AA TC 、A-A TD 、21（A+A T） 4、设ABC 均为n 阶可逆方阵，且ABC=E,则下列结论成立的是（ ） A 、ABC=E B 、BAC=E C 、BCA=E D 、CBA=E5、设a1，a2，a3线性无关，而a2，a3，a4线性相关，则（ ） A 、a1必可由a2，a3线性表示 B 、a2必可由a3，a4线性表示 C 、a3必可由a2，a4线性表示 D 、a4必可由a2，a3线性表示6、向量组a 1,a 2…，a s 的秩为s 的充要条件为（ ）A 、此向量组中不含零向量B 、此向量组中没有两个向量的对应分量成比例C 、此向量组中有一个向量不能由其余向量线性表示D 、此向量组线性无关7、设A 为m*n 矩阵，且任何n 维列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则（ ） A 、A=0B 、r （A ）=mC 、r （A ）=nD 、0<r （A ）<n8、设三元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为1η=（2,0,3），2η=（1，-1，2）T,r （A ）=2，则此线性方程组的通解为（ ） A 、k1（2,0,3）T+k2（1，-1,2）TB 、（2,0,3）T+k （1,1,1）TC 、（2,0,3）T+k （1，-1,2）TD 、（2,0,3）T+k （3，-1,5）T9、下列命题正确的是（ ）A 、两个同阶的正交矩阵的行列式都等于1B 、两个同阶的正交矩阵的和必是正交矩阵C 、两个同阶的正交矩阵的乘积必是正交矩阵D 、特征值为1的矩阵就是正交矩阵10、设A 为n 阶矩阵，则在（ ）情况下，它的特征值可以是零。
线性代数 试题 班级 姓名 学号 第 1 页线性代数模拟题（二）答案一、 判断题（正确画“ √ ”，错误画“×”）（每题2分，共10分）（ √ ） 1. 任何矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行最简形矩阵。
（ × ） 2. 若向量组的秩为r ，则向量组中任意1r -个向量线性无关。
（ √ ） 3. 任意两个行列式都可以相乘。
（ × ） 4. 设A ，B 是n 阶方阵，则()222AB A B =。
（ × ） 5. 若两个向量组等价，则它们含有相同个数的向量。
二、 填空题（每空3分，共30分）1．已知4阶行列式1124307115392680D --=----，则11121314539M M M M -+++的值为 0 ，其中M ij 为D 的第i 行第j 列元素的余子式。
2．已知3阶矩阵A 的行列式2A =，则12A -= 4 ，*A = 4 。
3．已知5元齐次线性方程组0Ax =，若利用MATLAB 软件中命令null(A, ‘r ’)可得如下结果：ans =-1 0 -3 1 1 -1 1 0 0 1则（I ）的系数矩阵A 的秩为 3 ，（I ）的通解为12121031,,111001x k k k k R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪=+∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
4．已知非齐次线性方程组的增广矩阵为B =221002101100001010001k k k k -⎛⎫⎪-⎪⎪--⎪+⎝⎭，则当k =0时方程组无解；当k =1时方程组有无穷解。
5．可逆矩阵的列向量组的线性相关性为 线性无关 。
6．已知101010011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的3个特征值为123,,λλλ，则123λλλ++= 1 ，A 的3个特征值的乘积为⋅⋅=123λλλ -1 。
三、 计算题（本题共2小题，每题10分，共20分）1. 已知矩阵201021,112101A B --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，1221C ⎛⎫= ⎪-⎝⎭。
线性代数模拟试卷（一）一、 填空题（每小题3分，共6小题，总分18分）1、四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 展开式中，含有因子3214a a 且带正号的项为___________2、设A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B ，则AB -1=_________3、已知向量组)2- 5, 4,- ,0( , )0 t,0, ,2( , )1 1,- 2, ,1(321'='='=ααα线性相关，则t =_________4、设三阶方阵) , ,(B ), , ,(2121γγβγγα==A ，其中 , ,,21γγβα都是三维列向量且2B 1, ==A ，则=- 2B A _________5、A 为n 阶正交矩阵， , ,,21n ααα 为A 的列向量组，当i ≠j 时，)21 ,31(j i αα=_________ 6、三阶方阵A 的特征值为1，-2，-3，则 A =_______; E+A -1的特征值为______ 二、 单项选择题（每小题2分，共6小题，总分12分） 1、 设齐次线性方程组AX=0有非零解，其中A=()nn ija ⨯，A ij 为a ij (i,j=1,2,…n) 的代数余子式，则（ ） (A)0111=∑=ni i i A a(B)0111≠∑=ni i i A a(C)n A ani i i =∑=111(D)n A ani i i ≠∑=1112、若A -1+ E, E+A, A 均为可逆矩阵，E 为单位矩阵，则(A -1+ E)-1=( ) (A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A -1+ E (D) A(A+E)-13、设A, B 为n 阶方阵 ，A*,B*分别为A, B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B 00 A C ，则C 的伴随矩阵C* =( )(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A B 0 0 *B A (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B A 0 0 *A B(C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B B 0 0 *A A (D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A A 0 0 *B B 4、若向量组 , ,,21m ααα 的秩为r ，则（ ）(A) 必有 r<m (B)向量组中任意小于 r 个向量的部分组线性无关 (C) 向量组中任意 r 个向量线性无关(D) 向量组中任意 r+1个向量必线性相关5、已知 ,,321ααα是四元非齐次线性方程组AX=B 的三个解，且r(A)=3, 已知)3 2, 1, ,0( , )4 3, 2, ,1(321'=+'=ααα，C 为任意常数，则AX=B 通解X=( )(A) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321C (B)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32104321C(C) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54324321C (D) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321C6、设A 为三阶方阵，有特征值λ1=1，λ2= -1， λ3=2，其对应的特征向量分别为 ,,321ααα，记P=(132 ,ααα)，则P -1AP=( )(A) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1 2 1- (B)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 1 2(C) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1- 1 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1 1-三、计算下列行列式 （12分）1、 D=1- 3 3- 131 1 41- 3 0 5-21- 1 3 2、D n = n1 1 1 1.....................1 1 3 1 111 12 111 1 1 1四、已知A 、B 同为3阶方阵，且满足AB=4A+2B (12分) （1）证明：矩阵A-2E 可逆（2）若B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 0 00 2 10 2- 1 ，求A五、求向量组 )1 1, 1,- ,1( , )3 2, 1, ,1(21'='=αα， , )6 5, 2,- ,4( , )1 3, 3, ,1( 43'='=αα)7- 4,- 1,- ,3(5'-=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（10分）六、已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=+++-=+-=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x 432143214314321 6 - 17231 4 032 ，讨论参数a 、b 为何值方程组有解，在有解时，求出通解 （12分）七、用正交变换化二次型323121232221321222333),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、已知 ,,,4321αααα是AX = 0的一个基础解系，若322211,ααβααβt t +=+=，144433,ααβααβt t +=+=,讨论t 为何值， ,,,4321ββββ是AX = 0的一个基础解系 （8分）线性代数模拟试卷(二)三、 填空题（每小题3分，共5小题，总分15分）1、j i a a a a a 53544231是五阶行列式展开式中带正号的一项，则i=_____, j=_____2、设n 阶方阵A 满足A 2 =A ，则A+E 可逆且（A+E ）-1=_______________(E 为n 阶单位阵)3、已知向量组)0 6, 1,- ,1( , )2k - k,- ,3 ,1( , )2- 2, 1, ,1(321'='='=ααα 若该向量组的秩为2，则k =_________4、已知四阶方阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 是单位阵，则=- E B _________5、 向量α=（4，0，5）′在基)1 ,1- ,1(,)0 ,1 ,1( ,)1 ,2 ,1(321'='='=ηηη下的坐标为_________四、 单项选择题（每小题2分，共5小题，总分10分）1、 设 A 是三阶方阵A 的行列式，A 的三个列向量以γβα ,,表示，则 A =（ ） (A)αβγ (B) γβα---(C)αγγββα+++ (D) γβαβαα+++2、设A, B ，C 为n 阶方阵, 若 AB = BA, AC = CA, 则ABC=( ) (A) BCA (B) ACB (C) CBA (D) CAB3、 A, B 均为n 阶方阵, A*为A 的伴随矩阵， 3B 2, -==A ，则21-*B A = ( )(A) 32 12--n (B) 32 1--n (C) 23 12--n (D) 23 1--n4、已知向量组 , ,,4321αααα线性无关，则向量组（ ） (A)14433221 , , ,αααααααα++++线性无关(B)14433221 , , ,αααααααα----线性无关(C)14433221 , , ,αααααααα-+++线性无关 (D)14433221 , , ,αααααααα--++线性无关5、若A ～ B ，则 有 ( )(A) A 、B 有相同的特征矩阵 (B) B =A(C) 对于相同的特征值λ，矩阵A 与B 有相同的特征向量 (D) A 、B 均与同一个对角矩阵相似三、计算下列行列式 （13分）2、 D=2- 3 0 112 1 - 121 0 331- 2 1 4、D n = 11 1 111 x 1 1 (1)1 1 1 x 1 1 1 1 x x ++++a)设B= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 0 0 01- 1 0 00 1- 1 00 0 1- 1 ，C=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 0 0 01 2 0 03 12 043 12 ,且矩阵A 满足 E C B C E A =''--)(1, 试将关系式化简并求A (12分)b)求向量组, )4 1,- 2, ,1(1'=α )2 3, 1, ,0( 2'=α， , )14 0, 7, 3,(3'=α , )10 1, 5, 2,( 4'=α)0 2,- 2, ,1(5'=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示 （13分）六、k 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++---=+++=+++kx x x x x k x x x x x x x x x x x 9 10 5 - 3)5(2 31 6 3 13 2 4321432143214321 有无穷多个解并求出通解 （14分）七、用正交变换化二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +-+=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、若矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0y 10 1- 01 x0 有三个线性无关的特征向量，证明：x – y = 0线性代数模拟试卷(三)一、填空题（每小题3分，共18分）1、A 是三阶方阵，且|A|＝6，则 |(3A)-1|＝ 。
线性代数模拟试题(II)一 填空题◆1． 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011100y x A 有3个线性无关的特征向量，则y x ,应满足的关系为 0 =+y x【提示】按题意A 是可对角化的，求其特征值，重根的重数应满足什么关系？ 参照教材P125例11◆2． 设A 是3阶实对称矩阵且E A A A 223=--，则A 的二次型经正交变换化为标准形为 222 232221y y y f ++=【提示】设A 的特征值为λ，它必满足：0)1)(2(2223=++-=---λλλλλλ，由于实对称矩阵特征值全是实数，故A 的特征值全是2。
◆3． 设3阶方阵A 的特征值为3,2,1-，则=+-E A A 23*637【提示】参考教材P122例9◆4． 设矩阵A 的各行元素之和都等于2，则A 必有特征值为 2 ，对应的特征向量为]1,,1,1[ T【提示】⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1122211 A◆5． 设非齐次方程组b x A m =⨯4系数矩阵的秩为3，且它的三个解向量321,,ηηη满足[][]TT4,3,2,1,5,4,3,2321=η+η=η，则b Ax =的通解为 ,]5,4,3,2[]6,5,4,3[ R k k TT ∈+【提示】这是教材P111的第29题二 选择题◆1． 设B A ,都是n 阶方阵，如果O AB =，必有（Ｃ）（Ａ）O A =或O B =； （Ｂ）O BA =； （Ｃ）A 与B 有一个不可逆；（Ｄ）A 与B 有一个可逆【提示】取行列式0=B A◆2． 方阵A 与B 相似的充分条件是（Ｃ）(Ａ) B A =； （Ｂ）)()(B r A r =； (Ｃ) A 与B 有相同的特征值且这些特征值互异； （Ｄ）A 与B 有相同的特征值【提示】注意题中是充分条件，而（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）都是必要条件 如果（Ｃ）成立，则Ａ与Ｂ都可对角化到同一个对角矩阵，),,diag(1212111n AP P AP P λλ ==--◆3． 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0004,1111111111111111B A ，则A 与B （Ｃ） (Ａ) 不合同但相似 (Ｂ) 合同但不相似 (Ｃ) 合同且相似 (Ｄ) 既不合同也不相似【提示】Ａ是对称矩阵，易求得Ａ的特征值为４和０（三重）［参见教材P139第21题］A 可正交对角化（既合同又相似），对角矩阵对角元就是其特征值。
◆４． 设21,ββ是非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解，21,αα是0=Ax 的基础解系，则b Ax =的通解是(Ｃ)（Ａ）2)(2121211ββααα-+++k k ；（Ｂ）2)(2121211ββββα-+++k k（Ｃ）2)(2121211ββααα++++k k ；（Ｄ）2)(2121211ββββα++-+k k【提示】1α与21αα+线性无关，仍然是0=Ax 的基础解系。
221ββ+是b Ax =的一个解。
虽然（Ｄ）有可能是通解，但选择题应选肯定的，故（Ｄ）不能选。
◆５． 设B A r−→−，则下面说法不对的是( Ｃ ) （Ａ）A 的行组与B 的行组等价 （Ｂ）A 与B 等价（Ｃ）A 的列组与B 的列组等价 （Ｄ）A 的列组与B 的列组有相同的线性关系【提示】由题设（Ａ）是对的，［见教材Ｐ85最上一段］（Ｂ）是对的，这是矩阵等价的特征例［见教材P59定义］（Ｄ）是对的，［见教材P95第４行］这也是我们求最大无关组的依据三 计算题◆1． 计算行列式nn a a a D +++=11111111121提示 [这是教材P28习题7（6）]从第2列开始每一列减第1列得“爪形”行列式nn a a a a a D 1112111--+=，然后再化三角形得)11(121∑=+=nk kn n a a a a D◆2． 解矩阵方程E XA XA A 82-=*，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102101A提示 2-=A ，A 可逆，化简方程为E X E A 4)(=+1)(4-+=E A X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=204102注意 上三角矩阵的逆矩阵一定是上三角◆3． 设3阶对称矩阵阵A 的特征值为3,6321===λλλ，与特征值61=λ对应的特征向量为T )1,1,1(1=α，（1）求正交矩阵P 使AP P 1-成为对角矩阵；（2）计算nA提示 [这是教材P139习题20]此题是对称矩阵正交对角化的问题，但对应对332==λλ的特征向量未知，利用对称矩阵的性质可求之，与1α正交的非零向量必是对应于332==λλ的特征向量，解方程组01=x T α得基础解系（最好直接求得正交的，见下面做法）321x x x --=，取⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡μ1,0132x x （μ是待定参数）得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0112α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=μμα113，令2032-=⇒=μααT这样就得正交的基础解系，也就是对应于332==λλ的特征向量 只要再它们单位化，拼成矩阵即为所求的正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=62031612131612131P 此时Λ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-3361AP P AP P T，T P P A Λ=，T n n P P A Λ= 注意 上面μ要非零，才能保证两个向量无关，如果求不出要求μ再换一种方式。
◆4． 设A 为三阶矩阵，321,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足323322321132,2,αααααααααα+=+=++=A A A（1）求矩阵B ，使得B A ],,[],,[321321αααααα=； （2）求矩阵A 的特征值；（3）求可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵。
提示 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=311221001],,[],,[321321ααααααA ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-3112210011AP P上式右边就是要求的得BA 的特征值就是B 的特征值，你来求一下。
◆5． 求一齐次线性方程组，使其基础解系为T )3,2,1,0(1=ξ，T )0,1,2,3(2=ξ提示 [这是教材P110习题24]设所求方程组为0=Ax ，由题设0],[21=ξξA ，如果记],[21ξξ=B ，则0=AB 即0=T T A B ，这说明T A 的列都是方程组0=x B T 的解。
把0=x B T 的解（只需要基础解系）作为列拼成TA 即可。
解方程组0=xB T ，得基础解系为T )0,1,2,1(1-=α，T )1,0,3,2(2-=α令],[21αα=TA ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1032012121T T A αα四 证明题◆1． 设n 阶矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111111111 A （1）求A 的全部特征值； （2）证明A E +是正定矩阵；（3）证明E A n A E =+++-11)(1提示 （1）TTA )1,,1,1(, ==ααα，由教材P139习题21知其全部特征值，这里再做一下：由αααααααα)()(TTA ===知A 有一个非零特征值n T ===2αααλ，对应的特征向量就是α。
另外A 是对称矩阵且1)()(1≤≤≤αr A r 知1)(=A r ，从而A 可对角化，利用秩相等，就知对角矩阵对角元必为一个非零元（即ααT ）和1-n个零，这说明0是A 的1-n 重特征值。
当然也可直接求到此结论。
（2）首先易知A E +是对称矩阵，其次特征值为0)(1>+A i λ，得证。
也可这样0≠∀x ，0)()(2>+=+=+αααT T T T T T x x x x x x x x A E x（3）记E A n A E B -+++=-11)(1，B 是对称矩阵，可对角化，要证O B =，只 需证B 的特征值全是零（想想这是为什么？） 易知B 的特征值为1)(11)(11)(-+++=A n A B i i i λλλ，下面继续算一算是否都是 零。
了解 你来直接验证结论：设T E A αβ+=，则A 可逆的充要条件是01≠+αβT ，此时T E A σαβ+=-1，αβσT+-=11◆2． 设n 阶矩阵A 满足A A =2，证明A 必可对角化提示 这一题实质上就是教材P110习题26：n E A r A r =-+)()(下面分析一下二者的关系：由A A =2知A 的特征值为0或1；对应于特征值0的无 关特征向量的个数为)(A r n -，对应于特征值1的无关特征向量的个数为)(E A r n --，二者之和)(A r n -+)(E A r n --n n n E A r A r n =-=-+-=2)]()([2说明A 有n 个无关的特征向量，从而可对角化。
下面再证：n E A r A r =-+)()(一方面，由A A =2得O E A A =-)(，从而n E A r A r ≤-+)()([见教材P101例13] 另一方面，由A E A E -+=得，)()()()()()(E A r A r A E r A r A E A r E r n -+=-+≤-+==了解 如果E A =2也有类似的结论，你来试一试。
◆3． 设n ααα,,,21 是一组n 维的向量，证明它们线性无关的充要条件是：任一n 维向量都可由它们线性表示。
[教材P110习题17]提示 如果它们线性无关，则对任一n 维向量α，αααα,,,,21n 线性相关（n+1个n 维向量），由P90定理5（3），得α可由n ααα,,,21 唯一表示。
反之，设任一n 维向量都可由它们线性表示，特别取坐标向量n e e e ,,,21 当然也可 由它们表示，这样n r e e e r E r n n n ≤≤==],,,[],,,[)(2121ααα ，推得n r n =],,,[21ααα ，说明n ααα,,,21 线性无关（注：这里秩看成是矩阵的秩或向量组的秩都可以）提醒 上述每一步的依据你都要想清楚，这会大有好处的。
◆4． 设A 是实对称矩阵，如果它既是正交矩阵又是正定矩阵，证明只能是单位矩阵。
提示 A 对称，则A 可正交对角化，T Q Q A Λ=由A 对称正交，得E E Q Q E A T =Λ⇒=Λ⇒=222 又A 正定，Λ的对角元全正，全是1，即E =Λ总评 如遇关于对称矩阵的证明题，首先要想到它可正交对角化，一般都是可以证出来的。
说明 一般考试时，只有大约两道证明题，这里给了四个，只是一种练习而已。
