线性代数-线代模拟题(III)

考研数学三（线性代数）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A，B，A＋B，A－1＋B－1皆为可逆矩阵，则(A－1＋B－1)－1等于( )．A．A＋BB．A－1＋B－1C．A(A＋B)－1BD．(A＋B)－1正确答案：C解析：A(A＋B)－1B(A－1＋B－1)＝[(A＋B)A－1]－1(BA－1＋E)＝(BA－1＋E)－1(BA－1＋E)＝E，选(C)．知识模块：线性代数2．设则m，n可取( )．A．m＝3，n＝2B．m＝3，n＝5C．m＝2，n＝3D．m＝2，n＝2正确答案：B解析：P1mAP2n＝经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1＝＝E13，且Eij2＝E，P1mAP2n＝P1AP2，则m＝3，n＝5，选(B)．知识模块：线性代数3．设A＝(α1，α2，…，αm)，其中α1，α2，…，αm是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1，k2，…，km，皆有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm ≠0，则( )．A．m＞nB．m＝nC．存在m阶可逆阵P，使得AP＝D．若AB＝O，则B＝O正确答案：D解析：因为对任意不全为零的常数k1，k2，…，km，有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0，所以向量组α1，α2，…，αm线性无关，即方程组AX＝0只有零解，故若AB＝O，则B＝O，选(D)．知识模块：线性代数4．设α1，α2，…，αM与β1，β2，…，βs为两个n维向量组，且r(α1，α2，…，αm)＝r(β1，β2，…，βs)＝r，则( )．A．两个向量组等价B．r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)＝r．C．若向量组α1，α1…，αm可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则两向量组等价D．两向量组构成的矩阵等价正确答案：C解析：不妨设向量组α1，α2，…，αm的极大线性无关组为α1，α2，…，αr，向量组β1，β2，…，βs的极大线性无关组为β1，β2，…，βr，若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βs线性表示，则α1，α2，…，αr，也可由β1，β2，…，βαr，线性表示，若β1，β2，…，βr，不可由α1，α2，…，αr，线性表示，则β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，…，αm线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)．知识模块：线性代数5．设A为m×n阶矩阵，则方程组AX＝b有唯一解的充分必要条件是( )．A．r(A)＝mB．r(A)＝nC．A为可逆矩阵D．r(A)＝n且b可由A的列向量组线性表示正确答案：D解析：方程组AX＝b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX＝b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)＝n，选(D)．知识模块：线性代数6．设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C．若r(A)＝r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等正确答案：D解析：(A)不对，如A＝，A的两个特征值都是0，但r(A)＝1；(B)不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；(C)不对，如A＝，A经过有限次行变换化为，经过行变换不能化为；因为A可以对角化，所以存在可逆矩阵P，使得P －1AP＝，于是r(A)＝，故选(D)．知识模块：线性代数填空题7．设A为n阶矩阵，且｜A｜＝a≠0，则｜(kA)*｜＝______．正确答案：kn(n－1)an－1解析：因为(kA)*＝kn－1A*，且｜A*｜＝｜A｜n－1，所以｜(kA)*｜＝｜kn－1A*｜＝kn(n－1)｜A｜n－1＝kn(n－1)an－1．知识模块：线性代数8．设A＝，B≠O为三阶矩阵，且BA＝O，则r(B)＝______．正确答案：1解析：BA＝Or(A)＋r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)＝1．知识模块：线性代数9．设三阶矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝，λ3＝其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P＝(2α3,－3α1，－α2)，则P－1(A－1＋2E)P＝______．正确答案：解析：P－1(A－1＋2E)P－1A－1P＋2E，而P－1A－1P＝，所以P－1(A－1＋2E)P＝知识模块：线性代数10．设A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝______．正确答案：0解析：由｜λE－A｜＝0得A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝6．因为A 有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E－A)＝1，解得a＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（线性代数）模拟试卷108(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是（）A．A+B是对称矩阵B．AB是对称矩阵C．A*+B*是对称矩阵D．A一2B是对称矩阵正确答案：B解析：由题设条件，则（A+B）T=AT+BT=A+B（kB）T=kBT=kB，所以有（A一2B）T=AT一（2BT）=A一2B，从而选项A、D是正确的。

首先来证明（A*）T=（AT）*，即只需证明等式两边（i，j）位置元素相等。

（A*）T在位置（i，j）的元素等于A*在（j，i）位置的元素，且为元素aij的代数余子式Aij。

而矩阵（AT）*在（i，j）位置的元素等于AT的（j，i）位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即aji=aij，则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij。

从而（A*）T=（AT）*=A*，故A*为对称矩阵，同理，B*也为对称矩阵。

结合选项A可知选项C是正确的。

因为（AB）T=BTAT=BA，从而选项B不正确。

注意：当A、B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA。

所以应选B。

知识模块：线性代数2．A．P1P3AB．P2P3AC．AP3P2D．AP1P3正确答案：B解析：矩阵A作两次初等行变换可得到矩阵B，而AP3P2，AP1P3描述的是矩阵A作列变换，故应排除。

该变换或者把矩阵A第一行的2倍加至第三行后，再第一、二两行互换可得到B；或者把矩阵A的第一、二两行互换后，再把第二行的2倍加至第三行也可得到B。

而P2P3，A正是后者，所以应选B。

知识模块：线性代数3．设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是（）A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关正确答案：A解析：记B=（α1，α2，…，αs），则（Aα1，Aα2，…，Aαs）=AB。

考研数学三线性代数（向量）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．现有四个向量组①(1，2，3)T，(3，一l，5)T，(0，4，一2)T，(1，3，0)T；②(a，l，b，0，0)T，(c，0，d，2，0)T，(e，0，f,0，3)T；③(a，l，2，3)T，(b，1，2，3)T，(c，3，4，5)T，(d，0，0，0)T；④(1，0，3，1)T，(一1，3，0，一2)T，(2，1，7，2)T，(4，2，14，5)T。

则下列结论正确的是( ) A．线性相关的向量组为①④；线性无关的向量组为②③。

B．线性相关的向量组为③④；线性无关的向量组为①②。

C．线性相关的向量组为①②；线性无关的向量组为③④。

D．线性相关的向量组为①③④；线性无关的向量组为②。

正确答案：D解析：向量组①是四个三维向量，从而线性相关，可排除B。

由于(1，0，0)T，(0，2，0)T，(0，0，3)T线性无关，添上两个分量就可得向量组②，故向量组②线性无关。

所以应排除C。

向量组③中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是α1，α2，α4线性相关，那么添加α3后，向量组③必线性相关。

应排除A。

由排除法，本题应选D。

知识模块：向量2．设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论中不正确的是( )A．若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关。

B．若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs=0。

C．α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s。

D．α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。

正确答案：B解析：对于选项A，因为齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xsαs=0只有零解，故α1，α2，…，αs线性无关，A选项正确。

考研数学三（线性代数）模拟试卷99(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是n阶非零矩阵，E是n阶单位矩阵，若A3=0，则( )．A．E一A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E—A可逆，E+A可逆D．E一A可逆，E+A不可逆正确答案：C 涉及知识点：线性代数2．A是4阶实对称矩阵，A2+2A=0，r(A)=3，则A相似于( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：用排除法由于A2+2A=0，A的特征值满足λ2+2λ=0，因此只可能是0或一2．于是和它相似的矩阵的特征值也只可能是0或一2．AB中的矩阵的特征值中都有2因此不可能相似于A，都可排除．又r(A)=3，和它相似的矩阵的秩也应该是3，C中矩阵的秩为2，也可排除．知识模块：线性代数填空题3．设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ．如果｜2A｜=一48，则λ=________．正确答案：一1解析：｜2A｜=8｜A｜，得｜A｜=一6．又｜A｜=2×3×λ．得λ=一1．知识模块：线性代数4．A是3阶矩阵，特征值为1，2，2．则｜4A-1一E｜=__________．正确答案：3解析：A一1的特征值为1，1／2，1／2．4A一1一E的特征值为3，1，1，｜4A一1一E｜=3 知识模块：线性代数5．A是3阶矩阵，它的特征值互不相等，并且｜A｜=0，则r(A)=________．正确答案：2解析：A的特征值互不相等，因此相似于对角矩阵，并且对角线上的元素就是A的特征值，为3个互不相等数．其中有一个为0(因为｜A=0)，则r(A)=2．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

6．已知3阶矩阵A满足｜A+E｜=｜A—E｜=｜4E一2A｜=0，求｜A3一5A2｜．正确答案：条件说明一1，1，2是A的特征值．得出A3－5A2的3个特征值：记f(x)=x3－5x2，则A3－5A2的3个特征值为f(一1) =一6，f(1)=一4，f(2)=一12．｜A3－5A2｜=(一4)×(一6)×(一12)=一288．涉及知识点：线性代数7．设α=(1，2，一1)T，β=(一2，1，一2)T，A=E一αβT．求｜A2－2A+2E｜．正确答案：用特征值计算．βTα=2，于是αβT的特征值为0，0，2，从而A的特征值为1，1，一1，A2－2A+2E的特征值为1，1，5．于是｜A2-2A+2E｜=1×1×5=5．涉及知识点：线性代数8．设α=(1，0，一1)T，A=ααT，求｜aE—An｜．正确答案：利用特征值计算．ααT的特征值为0，0，2．An的特征值为0，0，2n．aE—An的特征值为g，g，a一2n．｜aE—An｜=a2(a—2n)．涉及知识点：线性代数9．计算正确答案：记矩阵则所求为｜A｜．A=B+cE，而于是B的特征值为0,0，0，ab+a2b2+a3b3+a4b4从而A的特征值为c，c，c，a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+c．则｜A｜=c3(a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+c) 涉及知识点：线性代数10．已知n阶矩阵A满足A3=E．(1)证明A2—2A一3E可逆．(2)证明A2+A+2E可逆．正确答案：通过特征值来证明，矩阵可逆的充要条件是0不是它的特征值．由于A3=E，A的特征值都满足λ3=1．(1)A2一2A一3E=(A一3E)(A+E)，3和一1都不满足λ3=1，因此都不是A的特征值．于是(A一3E)和(A+E)都可逆，从而A2一2A一3E可逆．(2)设A的全体特征值为λ1，λ2，…，λn，则A2+A+2E 的特征值λi2+λi+2，i=1，2，…．n．由于λi3=1，λi或者为1，或者满足λi2+λi+1=0．于是λi2+λi+2或者为4，或者为1，总之都不是0．因此A2+A+2E 可逆．涉及知识点：线性代数11．设n阶矩阵A满足A4+2A3一5A2+2A+5E=0．证明A一2E可逆．正确答案：由定理5．1的推论的①，A一2E可逆2不是A的特征值．因为A4+2A3一5A2+2A+5E=0，所以A的特征值都是方程λ4+2λ3一5λ2+2λ+5=0．的根．显然2不是这个方程的根，从而不是A的特征值．涉及知识点：线性代数12．设B=U一1A*U．求B+2E的特征值和特征向量．正确答案：本题可先求出B+2E(先求A*，再求B，再求B+2E)，然后求它的特征值与特征向量，这样做计算量大．一个简捷的解法是利用特征值与特征向量的性质来计算．①求特征值．A=C+E，其中则c的特征值为0，0，6，从而A 的特征值为1，1，7．｜A｜=1×｜×7=7．根据定理5．5的②，A*的特征值为7，7，1．B～A*，从而B和A*特征值完全一样，也是7，7，1．用定理5．5的①，B+2E的特征值为9，9，3．②求特征向量．A*与A的对应特征值(指1与7，7与1)的特征向量一样，B+2E与B对应特征值(指7与9，1与3)的特征向量也一样，根据定理5．8的④，A*η=λη298λU一1η=λU一1η．于是可以由A的特征向量来得到B+2E的特征向量A的属于1的特征向量就是A*的属于7的特征向量，用U-1左乘后就是B的属于7的特征向量，也就是B+2E 的属于9的特征向量．A的属于1的特征向量，即(A—E)X=0的非零解．求得(A —E)X=0的基础解系η1=(1，一1，0)T，η2=(1，0，一1)T．于是A的属于1的特征向量的为c2η1+c2η2，c2，c2不全为0．求出ξ=U一1η1=(一1，1，0)T，ξ2=U一1η2=(1，1，一1)T，则B+2E的属于9的特征向量为c1ξ1+c2ξ2，c2，c2不全为0．同理，A的属于7的特征向量用U一1左乘后就是B+2E 的属于3的特征向量．求出A的属于7的特征向量(即(A一7E)X=0的非零解)为cη，c不为0，其中η=(1，1，1)T，记ξ=U一1η=(0，1，1)T，则B+2E的属于9的特征向量为cξ，c≠0．涉及知识点：线性代数13．设A和B都是可相似对角化的n阶矩阵，证明A和B相似A和B的特征值完全相同．正确答案：“→”是相似的重要性质．“←”设A和B的特征值完全相同．记全部特征值为λ1，λ2，…，λn，构造对角矩阵A，使得其对角线是的元素依次λ1，λ2，…，λn．由于A和B都是可相似对角化，有A一A，和B～A，再从相似关系的传递性，得到A—B．涉及知识点：线性代数14．已知3阶矩阵有一个二重特征值，求a，并讨论A是否相似于对角矩阵．正确答案：(1)求a．A的特征多项式为要使得它有二重根，有两种可能的情况：①2是二重根，即2是λ2一8λ+18+3a的根，即4一16+1 8+3a=0，求出a=一2，此时三个特征值为2，2，6．②2是一重根，则λ2一8λ+18+3a有二重根，λ2一8λ+18+3a=(x一4)2，求出a=一2／3．此时三个特征值为2，4，4．(2)讨论A是否相似于对角化矩阵．①当a=一2时，对二重特征值2，考察3一r(A 一2E)是否为2 7即r(A一2E)是否为1②当a=一2／3时，对二二重特征值4，考察3一r(A一4E)是否为2?即r(A一4E)是否为1 涉及知识点：线性代数设A为3阶矩阵，α1,α2,α3是线性的无关3维列向量组，满足Aα1=α1+2α2+2α3，Aα2=2α1+α2+2α3，Aα3=2α1+2α2+α3．15．求A的特征值．正确答案：用矩阵分解：A(α1，α2，α3)=(α1+2α2+2α3，2α1+α2+2α3，2α1+2α2+α3)=(α1，α2，α3)B，这里从α1,α2,α3线性无关的条件知道，(α1,α2,α3)是可逆矩阵．于是A相似于B．的秩为1，其特征值为0，0，6．得B的征值为一1，一1，5．则A的征值也为一1，一1，5．涉及知识点：线性代数16．判断A是否相似于对角矩阵?正确答案：B是实对称矩阵，一定相似于对角矩阵，由相似的传递性，A也相似于对角矩阵．涉及知识点：线性代数17．求A的特征值．判断a，b取什么值时A相似于对角矩阵?正确答案：A的特征值0，5，b．①如果b≠0和5，则A的特征值两两不同，A相似于对角矩阵．②如果b=0，则A的特征值0，0，5．此时A相似于对角矩阵特征值0的重数2=3一r(A)r(A)=1a=0．于是a=0且b=0时A相似于对角矩阵；a≠0且b=0时A不相似于对角矩阵；③如果b=5，则A的特征值0，5，5．此时而r(A一5E)=2，特征值5的重数2＞3一r(A一5E)，A不相似于对角矩阵．涉及知识点：线性代数已知18．求x，y正确答案：A与B相似，从而有相同的特征值2，2，y．2是二重特征值，于是A与B相似从而tr(A)=tr(B)，于是1+4+5=2+2+y．得y=6．涉及知识点：线性代数19．求作可逆矩阵U，使得U一1A U=B．正确答案：求属于2的两个线性无关的特征向量：即求(A一2E)X=0的基础解系：得(A一2E)X=0的同解方程组x1=一x2+x3，得基础解系η1=(1，一1，0)T，η2=(1，0，1)T．求属于6的一个特征向量：即求(A一6E)X=0的一个非零解：得(A一6E)X=0的同解方程组得解η3=(1，一2，3)T．令U=(η1，η2，η3)，则涉及知识点：线性代数20．问k为何值时A可相似对角化?正确答案：求A的特征值：于是A的特征值为1(一重)和一1(二重)．要使A可对角化，只需看特征值一1．要满足3一r(a+E)=2，即r(A+E)=1，得k=0，涉及知识点：线性代数21．此时作可逆矩阵U，使得U一1A U是对角矩阵．正确答案：求属于一1的两个线性无关的特征向量，即求(A+E)X=0的基础解系：得(A+E)X=0的同解方程组2x1+x2一x3=0得基础解系η1=(1，0，2)T，η2=(0，1，1)T．求属于1的一个特征向量，即求(A—E)X=0的一个非零解：得(A—E)X=0的同解方程组得解η3=(1，0，1)T．令U=(η1，η2，η3)，则涉及知识点：线性代数已知a是一个实数．22．求作可逆矩阵U，使得U一1AU是对角矩阵．正确答案：先求A的特征值．A的特征值为a+1(二重)和a—2(一重)．求属于a+1的两个线性无关的特征向量，即求[A一(a+1)E]X=0的基础解系：得[A一(a+1)E]X=0的同解方程组x1=x2+x3，得基础解系η1=(1，1，0)T，η2=(1，0，1)T．求属于a一2的一个特征向量，即求[A一(a一2)E]X=0的一个非零解：得[A一(a一2)E]X=0的同解方程组得解η3=(一1，1，1)T．令U=(η1，η2，η3)，则涉及知识点：线性代数23．计算｜A—E｜．正确答案：A—E的特征值为a(二重)和a一3，于是｜A—E｜=a(a—3)．涉及知识点：线性代数24．设α，β都是n维非零列向量，A=αβT．证明：A相似于对角矩阵βTα≠0．正确答案：A的特征值为0，0，…，0，βTα．由相似对角化的判别法则二，只用对重数大于1的特征值0，检查其重数是否等于n—r(A—0E)=n一r(A)=n—1．当βTα=0时，0的重数是n，A不能相似对角化．当βTα≠0时，0的重数是n—1，A可相似对角化．涉及知识点：线性代数设A为3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．25．求作矩阵B，使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B．正确答案：已经用矩阵分解求出涉及知识点：线性代数26．求A的特征值．正确答案：由于α1,α2,α3线性无关，(α1,α2,α3)是可逆矩阵，并且(α1,α2,α3)一1A(α1,α2,α3)=B，因此A和B相似，特征值相同．B的特征值为1，1，4．A的特征值也为1，1，4 涉及知识点：线性代数27．求作可逆矩阵P，使得P一1AP为对角矩阵．正确答案：先把B对角化．求出B的属于1的两个无关的特征向量(1，一1，0)T，(0，2，一1)T；求出B的属于4的一个特征向量(0，1，1)T．构造矩阵令P=(α1，α2，α3)D=(α1一α2，2α2一α3，α2+α3)，则涉及知识点：线性代数28．已知n阶矩阵A满足(A—aE)(A一bE)=0，其中a≠b，证明A可对角化．正确答案：首先证明A的特征值只能是a或b．设A是A的特征值，则(λ—a)(λ一b)=0，即λ=a或λ=b．如果6不是A的特征值，则A一6E可逆，于是由(A一aE)(A一bE)=0推出A—aE=0，即A=aE是对角矩阵．如果b是A的特征值，则｜A一bE｜=0．设η1，η2，…，ηt是齐次方程组(A一6E)X=0的一个基础解系(这里t=n一r(A一bE))，它们都是属于b的特征向量．取A一bE 的列向量组的一个最大无关组γ1，γ2，…，γk，这里k=r(A一6E)．则γ1，γ2，…，γk是属于a的一组特征向量．则有A的k+t=n个线性无关的特征向量组γ1，γ2，…，γk；η1，η2，…，ηt，因此A可对角化．涉及知识点：线性代数29．A是n阶矩阵，数a≠b．证明下面3个断言互相等价：(1)(A一aE)(A 一6E)=0．(2)r(A—aE)+r(A一bE)=n．(3)A相似于对角矩阵，并且特征值满足(λ一a)(λ一b)=0．正确答案：不妨设a和b都是A的特征值．(因为如果a不是A的特征值，则3个断言都推出A=bE．如果b不是A的特征值，则3个断言都推出A=aE)(1)→(2)用关于矩阵的秩的性质，由(A一aE)(A一bE)=0．得到：r(A一aE)+r(A一bE)≤n，r(A一aE)+r(A一bE)≥r((A一aE)一(A一bE))=r((b一a)E)=n，从而r(A 一aE)+r(A一bE)=n．(2)→(3)记ka，kb分别是a，b的重数，则有ka≥n—r(A 一aE)①kb≥n一r(A一bk)②两式相加得n≥ka+kb≥n—r(A一aE)+n—r(A一bE)=n，于是其中“≥”都为”=”，从而①和②都是等式，并且ka+kb=n．ka+kb=n，说明A的特征值只有a和b，它们都满足(λ一a)(λ一b)=0．①和②都是等式，说明A相似于对角矩阵．(3)→(1)4的特征值满足(λ一a)(λ一b)=0，说明A的特征值只有cz和6．设B是和A相似的对角矩阵，则它的对角线上的元素都是a或b，于是(B一aE)(B一bE)=0．而(A一aE)(A一bE)相似于(B一aE)(B一bE)，因此(A—aE)(A一bE)=0．涉及知识点：线性代数30．构造正交矩阵Q．使得QTAQ是对角矩阵正确答案：(1)先求特征值A的特征值为0，2，6．再求单位正交特征向量组属于0的特征向量是齐次方程组AX=0的非零解，得AX=0的同解方程组求得一个非零解为(1，1，一1)T，单位化得属于2的特征向量是齐次方程组(A一2E)X=0的非零解，得AX=0的同解方程组求得一个非零解为(1，一1，0)T，单位化得属于6的特征向量是齐次方程组(A一6E)X=0的非零解，得AX=0的同解方程组求得一个非零解为(1，1，2)T，单位化得作正交矩阵Q=(γ1，γ2，γ3)，则QTAQ=Q一1AQ=(2)先求特征值A的特征值为1，1，10．再求单位正交特征向量组属于1的特征向量是齐次方程组(A—E)X=0的非零解，得(A—E)X=0的同解方程组x1+2x2—2x4=0，显然α1=(0，1，1)T是一个解．第2个解取为α2=(c，一1，1)T(保证了与α1的正交性!)，代入方程求出c=4，即α2=(4，一1，1)T．再求出属于10的特征向量是齐次方程组(A一10E)X=0的非零解(1，2，一2)T，令γ3=α3／‖α3‖=(1，2，一2)T／3．作正交矩阵Q=(γ1，γ2，γ3)．则涉及知识点：线性代数设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T都是齐次线性方程组AX=0的解．31．求A的特征值和特征向量．正确答案：条件说明A(1，1，1)T=(3，3，3)T，即α0(1，1，1)T是A的特征向量，特征值为3．又α1，α2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量，特征值为0．由于α1，α2线性无关，特征值0的重数大于1．于是A的特征值为3，0，0．属于3的特征向量：cα0，c≠0．属于0的特征向量：c1α1+c2α2 c1，c2不都为0．涉及知识点：线性代数32．求作正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．正确答案：将α0单位化，得对α1，α2作施密特正交化，得作Q=(η0，η1，η2)，则Q是正交矩阵，并且涉及知识点：线性代数33．求A及[A一(3／2)E]6．正确答案：建立矩阵方程A(α0，α1，α2)=(3α0，0，0)，用初等变换法求解：得由得于是[A一(3／2)E]6=(3／2)6E．涉及知识点：线性代数34．正交矩阵Q使得QTAQ是对角矩阵，并且Q的第1列为(1，2，1)T．求a和Q．正确答案：Q-1AQ=QTAQ是对角矩阵，说明Q的列向量都是A的特征向量，于是(1，2，1)T也是A的特征向量．(1，2，1)T和(2，5+a，4+2a)T相关，得a=一1，并且(1，2，1)T的特征值为2．A的特征值为2，5，一4．下面来求它们的单位特征向量．是属于2的单位特征向量．则(1，一1，1)T是属于5的特征向量，单位化得则(1，0，一1)T是属于一4的特征向量，单位化得则Q=(α1，α2，α3)，(不是唯一解，例如(α1，α3，α2)，(α1，一α2，一α3)，(α1，一α3，一α2)等也都适合要求．) 涉及知识点：线性代数35．设3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，3，η1=(一1，一1，1)T和η2=(1，一2，一1)T分别是属于1和2的特征向量，求属于3的特征向量，并且求A．正确答案：属于3的特征向量和η1，η2都正交，从而是齐次方程组的非零解．解此方程组，得η4=(1，0，1)T构成它的一个基础解系．于是属于3的特征向量应为(k，0，k)T．k≠0．建立矩阵方程A(η1，η2，η3)=(η1，2η2，3η3)，用初等变换法解得涉及知识点：线性代数3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于1的特征向量．记B=A5一4A3+E．36．求B的特征值和特征向量．正确答案：记f(x)=x5一4x3+1，则B的特征值为f(1)=一2，f(2)=1，f(一2)=1．α1=(1，一1，1)T是A的属于1的特征向量，则它也是B的特征向量，特征值一2．B的属于一2的特征向量为cα1，c≠0．B也是实对称矩阵，因此B的属于特征值1的特征向量是与α1正交的非零向量，即是x1一x2+x3=0的非零解．求出此方程的基础解系α2=(1，1，0)T，α3=(0，1，1)T，B的属于特征值1的特征向量为c1α2+c2α3，c1，c2不全为0．涉及知识点：线性代数37．求B．正确答案：B(α1，α2，α3)=(一2α1，α2，α3)．解此矩阵方程得涉及知识点：线性代数。

试卷编号 1 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 0701011 一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。

每小题2分，共10分）1.设阶方阵可逆且满足，则必有 （ ）2.设是的解，则是的解 （ ）3.若矩阵的列向量组线性相关，则矩阵的行向量组不一定线性相关 （ ）4.设表示向量的长度，则 （ ）5.设是的解，则是的解 （ ） 二、填空题：(每小题5分，共20分)1.计算行列式 ＝ ；2.若为的解，则或必为 的解；3.设n 维向量组，当时，一定线性 ，含有零向量的向量组一定线性 ；4.设三阶方阵有3个特征值2，1，-2，则的特征值为 ； 三、计算题（每小题10分，共60分）1.；2.若线性方程组有解，问常数应满足的条件？3.设是方程组的解向量，若也是的解，则；4.求齐次线性方程组的基础解系；5.已知矩阵与矩阵相似，求的值；6.设为正定二次型，求.四、证明题（10分）：设向量组线性无关，证明线性无关。

n C B A ,,E ABC =E CBA =21,ηη==x x b AX =21ηη+=x b AX =A A x x x x λλ=21,ηη==x x b AX =21ηη-=x 0=AX 231013412-βα,)0(,≠=A b b X βα-αβ-m ααα,,,:21 T n m >T A 2A 2111121111211112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+414343232121a x x a x x a x x a x x 4321,,,a a a a s ηηη,,,21 b X =A )0(≠b s s k k k ηηη+++ 2211=+++s k k k 21⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-020332202432143214321x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x A 3122⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B y x ,3231212322214225x x x x x ax x x x f +-+++=a 321,,ααα321211,,αααααα+++试卷编号 2 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 一、判断题：(正确填√,错误填×. 每小题２分，共10分)1.是阶矩阵，则；（ ）2.若均为阶矩阵，则；（ ）3.向量组线性相关，则至少含有一个零向量；（ ）4.若是齐次线性方程组的两个线性无关解向量，则不是的解； （ ）5.设为阶矩阵，则与具有相同的特征向量。

模拟试题一一. 填空题 （将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1．n 阶行列式D 的值为c, 若将D 的所有元素改变符号, 得到的行列式值为 .2．设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101 ，矩阵X 满足 E AX + = X A +2 ，则X = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2010301023．设n 阶矩阵A 满足 E A A 552+- = 0 ，其中E 为n 阶单位阵，则 1)2(--E A =4．设A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，则EA +*= .5．当 λ 满足条件 时线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=-++-=+--00004321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλ 只有零解．二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共20分)1．131211232221333231333231232221131211222333 d a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=则=( ).① 6d ② ―6d ③ 4d ④ ―4d 2. 向量组 s ααα,,,21 的秩为s 的充要条件是（ ）。

① 向量组不含零向量② 向量组没有两个向量的对应分量成比例 ③ 向量组有一个向量不能由其余向量线性表示 ④向量组线性无关3. 当t =（ ）时，向量组 ),4,5( , )5,2,3( , )0,1,2(321t ===ααα线性相关。

① 5 ② 10③ 15 ④ 204．已知向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（ ）线性无关。

① α1+2α2+α3, 2α1+4α2+α3, 3α1+6α2 ② α1, α1+α2, α1+α2+α3 ③ α1+α2, α2+α3, α1+2α2+α3 ④ α1-α2, α2-α3, α3-α15. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=63322211t A , B 为三阶非零矩阵且AB = 0, 则( ). ① 当t = 4时,B 的秩必为1 ② 当t = 4时,B 的秩必为2 ③ 当t ≠ 4时,B 的秩必为1 ④ 当t ≠ 4时,B 的秩必为26．设非齐次线性方程组A X = b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则 ．① r = m 时，方程组A X = b 有解 ② r = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ③ m = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ④ r ＜ n 时，方程组A X = b 有无穷多解7． 设矩阵A 和B 等价，A 有一个k 阶子式不等于零，则B 的秩（ ）k.① < ② = ③ ≥ ④ ≤8. 一个向量组的极大线性无关组（ ）. ① 个数唯一 ② 个数不唯一③ 所含向量个数唯一 ④ 所含向量个数不唯一9. 下列关于同阶不可逆矩阵及可逆矩阵的命题正确的是( ). ① 两个不可逆矩阵之和仍是不可逆矩阵 ② 两个可逆矩阵之和仍是可逆矩阵 ③ 两个不可逆矩阵之积仍是不可逆矩阵 ④ 一个不可逆矩阵与一个可逆矩阵之积必是可逆矩阵10．已知任一n 维向量均可由n ααα,,,21 线性表示，则n ααα,,,21（ ）。

考研数学三（线性代数）模拟试卷123(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m＞n，令r(AB)=r，则( )．A．r＞mB．r=mC．r＜mD．r≥m正确答案：C解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n＜m，所以选(C)．知识模块：线性代数2．设A为四阶非零矩阵，且r(A*)=1，则( )．A．r(A)=1B．r(A)=2C．r(A)=3D．r(A)=4正确答案：C解析：因为r(A*)=1，所以r(A)=4—1=3，选(C)．知识模块：线性代数3．设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=O，则( )．A．r(B)=nB．r(B)＜nC．A2一B2=(A+B)(A—B)D．|A|=0正确答案：D解析：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)＜n，于是|A|=0，选(D)．知识模块：线性代数4．设A，B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则的逆矩阵为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：A，B都是可逆矩阵，因为所以选(D)．知识模块：线性代数5．设则A，B的关系为( )．A．B=P1P2AB．B=P2P1AC．B=P2AP1D．B=AP2P1正确答案：D解析：P1=E12，P2=E23(2)，显然A首先将第2列的两倍加到第3列，再将第1及第2列对调，所以B=AE23(2)E12=AP2P1，选(D)．知识模块：线性代数6．设则( )．A．B=P1AP2B．B=P2AP1C．B=P2-1AP1D．B=P1-1AP2-1正确答案：D解析：显然因为P1-1=P1，所以选(D)．知识模块：线性代数填空题7．设A为四阶矩阵，|A*|=8，则正确答案：因为A为四阶矩阵，且|A*|=8，所以|A*|=|A|3=8，于是|A|=2．又AA*=|A|E=2E，所以A*=2A-1，故涉及知识点：线性代数8．若矩阵B是三阶非零矩阵，满足AB=O，则t=__________．正确答案：由AB=0得r(A)+r(B)≤3，因为r(B)≥1，所以r(A)≤2，又因为矩阵A有两行不成比例，所以r(A)≥2，于是r(A)=2．涉及知识点：线性代数9．设则A-1=__________．正确答案：涉及知识点：线性代数10．设则A-1=_______．正确答案：涉及知识点：线性代数11．设则(A*)-1=___________．正确答案：|A|=10，因为A*=|A|A-1，所以A*=10A-1，故涉及知识点：线性代数12．设则(A一2E)-1=____________．正确答案：涉及知识点：线性代数13．设n阶矩阵A满足A2+A一3E，则(A一3E)-1=__________．正确答案：由A2+A=3E，得A2+A一3E=0，(A一3E)(A+4E)=一9E，涉及知识点：线性代数14．正确答案：令A=(α1，α2，α3)，因为|A|=2，所以A*A=|A|E=2E，而A*A=(A*α1，A*α2，A*α3)，所以于是涉及知识点：线性代数15．设n维列向量a=(a，0，…，0，a)T，其中a且B为A的逆矩阵，则a=__________．正确答案：由且ααT≠O，得解得a=一1．涉及知识点：线性代数16．设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且则B=____________．正确答案：由A-1BA=6A+BA，得A-1B=6E+B，于是(A-1一E)B=6E，涉及知识点：线性代数17．设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，则r(AB)=_____________.正确答案：因为|B|=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．涉及知识点：线性代数18．设B为三阶非零矩阵，且AB=O，则r(A)=____________.正确答案：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠O，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．涉及知识点：线性代数19．则P12009P2-1=_____________．正确答案：因为Eij-1=Eij，所以Eij2=E，于是涉及知识点：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

《线性代数》模拟试题一、填空题（30分）1.设A 是n 阶方阵（2n ≥）,且||1A = 则|2|A =2.1301n⎛⎫= ⎪⎝⎭3．10m n 齐次线性方程组A 有非零解的充要条件是⨯⨯=n X4．线性表示式为，由），（则）（），（212134,1,1,12ααβααTT T =-==5．线性），，（），，（），，（向量组TT T 242,020,101321===ααα 6．的矩阵表示是）（二次型23312121321242,,x x x x x x x x x f +-+= 7.若向量组12,,s ααα可由向量组12,,t βββ线性表示, 则有1212(,,,,,)s t r αααβββ 12(,,)t r βββ8．实对称矩阵A 的不同特征值对应的特征向量一定9．三阶行矩阵的三个特征值分别为1， 2，3，则1-A =______ 10．若n 阶矩阵A 与B 相似，且A 2=A, 则B 2=二、单项选择题（10分）11．A B C ，，为同阶矩阵，若ABC E =，则下列各式成立的是 ( ).A.1A BC -=B.111C A B ---=C. 111A B C E ---=D.1B AC -= 12．设1234(1,0,0),(0,1,0),(2,2,0),(1,1,1)αααα====则对向量组1234,,,αααα说法正确的是（ ）A. 相关B. 无关C. 秩为4D.相互正交 13．n 阶矩阵A 经过若干次初等变换后化为A 为B ,则（ ）A.||||A B =B.()()r A r B =C.,A B 相似D.,A B 合同 14．n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是（ ）A.有n 个线性无关的特征向量.B.A 有n 个不同的特征值.C.A 的n 个列向量线性无关.D.A 有n 个非零的特征值.15. 二次型3222212132142),,(x x x x x x x x x f +++=的秩等于 ( ) A. 0 B. 1 C.2 D. 3三、计算题（54分）16．计算n 阶行列式0321021301321 ------n n n17．已知2111011,,001A A AB E B -⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭求．18．设有线性方程组123123123(1)0(1)3(1)x x x x x x x x x λλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 问λ取何值时此方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解. 19．给定向量组123(1,1,1,1),(3,1,1,3),(1,1,0,2)ααα=--==；12(2,0,1,1),(3,1,2,0)ββ==- 请求出123,,ααα和12,ββ的秩，并用123,,ααα表示12,ββ。

线性代数模拟试卷（一）一、 填空题（每小题3分，共6小题，总分18分）1、四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 展开式中，含有因子3214a a 且带正号的项为___________2、设A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B ，则AB -1=_________3、已知向量组)2- 5, 4,- ,0( , )0 t,0, ,2( , )1 1,- 2, ,1(321'='='=ααα线性相关，则t =_________4、设三阶方阵) , ,(B ), , ,(2121γγβγγα==A ，其中 , ,,21γγβα都是三维列向量且2B 1, ==A ，则=- 2B A _________5、A 为n 阶正交矩阵， , ,,21n ααα 为A 的列向量组，当i ≠j 时，)21 ,31(j i αα=_________ 6、三阶方阵A 的特征值为1，-2，-3，则 A =_______; E+A -1的特征值为______ 二、 单项选择题（每小题2分，共6小题，总分12分） 1、 设齐次线性方程组AX=0有非零解，其中A=()nn ija ⨯，A ij 为a ij (i,j=1,2,…n) 的代数余子式，则（ ） (A)0111=∑=ni i i A a(B)0111≠∑=ni i i A a(C)n A ani i i =∑=111(D)n A ani i i ≠∑=1112、若A -1+ E, E+A, A 均为可逆矩阵，E 为单位矩阵，则(A -1+ E)-1=( ) (A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A -1+ E (D) A(A+E)-13、设A, B 为n 阶方阵 ，A*,B*分别为A, B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B 00 A C ，则C 的伴随矩阵C* =( )(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A B 0 0 *B A (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B A 0 0 *A B(C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B B 0 0 *A A (D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A A 0 0 *B B 4、若向量组 , ,,21m ααα 的秩为r ，则（ ）(A) 必有 r<m (B)向量组中任意小于 r 个向量的部分组线性无关 (C) 向量组中任意 r 个向量线性无关(D) 向量组中任意 r+1个向量必线性相关5、已知 ,,321ααα是四元非齐次线性方程组AX=B 的三个解，且r(A)=3, 已知)3 2, 1, ,0( , )4 3, 2, ,1(321'=+'=ααα，C 为任意常数，则AX=B 通解X=( )(A) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321C (B)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32104321C(C) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54324321C (D) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321C6、设A 为三阶方阵，有特征值λ1=1，λ2= -1， λ3=2，其对应的特征向量分别为 ,,321ααα，记P=(132 ,ααα)，则P -1AP=( )(A) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1 2 1- (B)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 1 2(C) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1- 1 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1 1-三、计算下列行列式 （12分）1、 D=1- 3 3- 131 1 41- 3 0 5-21- 1 3 2、D n = n1 1 1 1.....................1 1 3 1 111 12 111 1 1 1四、已知A 、B 同为3阶方阵，且满足AB=4A+2B (12分) （1）证明：矩阵A-2E 可逆（2）若B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 0 00 2 10 2- 1 ，求A五、求向量组 )1 1, 1,- ,1( , )3 2, 1, ,1(21'='=αα， , )6 5, 2,- ,4( , )1 3, 3, ,1( 43'='=αα)7- 4,- 1,- ,3(5'-=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（10分）六、已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=+++-=+-=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x 432143214314321 6 - 17231 4 032 ，讨论参数a 、b 为何值方程组有解，在有解时，求出通解 （12分）七、用正交变换化二次型323121232221321222333),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、已知 ,,,4321αααα是AX = 0的一个基础解系，若322211,ααβααβt t +=+=，144433,ααβααβt t +=+=,讨论t 为何值， ,,,4321ββββ是AX = 0的一个基础解系 （8分）线性代数模拟试卷(二)三、 填空题（每小题3分，共5小题，总分15分）1、j i a a a a a 53544231是五阶行列式展开式中带正号的一项，则i=_____, j=_____2、设n 阶方阵A 满足A 2 =A ，则A+E 可逆且（A+E ）-1=_______________(E 为n 阶单位阵)3、已知向量组)0 6, 1,- ,1( , )2k - k,- ,3 ,1( , )2- 2, 1, ,1(321'='='=ααα 若该向量组的秩为2，则k =_________4、已知四阶方阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 是单位阵，则=- E B _________5、 向量α=（4，0，5）′在基)1 ,1- ,1(,)0 ,1 ,1( ,)1 ,2 ,1(321'='='=ηηη下的坐标为_________四、 单项选择题（每小题2分，共5小题，总分10分）1、 设 A 是三阶方阵A 的行列式，A 的三个列向量以γβα ,,表示，则 A =（ ） (A)αβγ (B) γβα---(C)αγγββα+++ (D) γβαβαα+++2、设A, B ，C 为n 阶方阵, 若 AB = BA, AC = CA, 则ABC=( ) (A) BCA (B) ACB (C) CBA (D) CAB3、 A, B 均为n 阶方阵, A*为A 的伴随矩阵， 3B 2, -==A ，则21-*B A = ( )(A) 32 12--n (B) 32 1--n (C) 23 12--n (D) 23 1--n4、已知向量组 , ,,4321αααα线性无关，则向量组（ ） (A)14433221 , , ,αααααααα++++线性无关(B)14433221 , , ,αααααααα----线性无关(C)14433221 , , ,αααααααα-+++线性无关 (D)14433221 , , ,αααααααα--++线性无关5、若A ～ B ，则 有 ( )(A) A 、B 有相同的特征矩阵 (B) B =A(C) 对于相同的特征值λ，矩阵A 与B 有相同的特征向量 (D) A 、B 均与同一个对角矩阵相似三、计算下列行列式 （13分）2、 D=2- 3 0 112 1 - 121 0 331- 2 1 4、D n = 11 1 111 x 1 1 (1)1 1 1 x 1 1 1 1 x x ++++a)设B= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 0 0 01- 1 0 00 1- 1 00 0 1- 1 ，C=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 0 0 01 2 0 03 12 043 12 ,且矩阵A 满足 E C B C E A =''--)(1, 试将关系式化简并求A (12分)b)求向量组, )4 1,- 2, ,1(1'=α )2 3, 1, ,0( 2'=α， , )14 0, 7, 3,(3'=α , )10 1, 5, 2,( 4'=α)0 2,- 2, ,1(5'=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示 （13分）六、k 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++---=+++=+++kx x x x x k x x x x x x x x x x x 9 10 5 - 3)5(2 31 6 3 13 2 4321432143214321 有无穷多个解并求出通解 （14分）七、用正交变换化二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +-+=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、若矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0y 10 1- 01 x0 有三个线性无关的特征向量，证明：x – y = 0线性代数模拟试卷(三)一、填空题（每小题3分，共18分）1、A 是三阶方阵，且|A|＝6，则 |(3A)-1|＝ 。