2018年高考物理大一轮复习第9章磁场第4节带电粒子在复合场中的运动课时规范训练

4．(2017· 湖北襄阳调研)如图所示，两导体板水平放置，两板 间电势差为 U，带电粒子以某一初速度 v0 沿平行于两板的方向从 两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直 的匀强磁场，则粒子射入磁场和射出磁场的 M、N 两点间的距离 d 随着 U 和 v0 的变化情况为( )
A．d 随 v0 增大而增大，d 与 U 无关 B．d 随 v0 增大而增大，d 随 U 增大而增大 C．d 随 U 增大而增大，d 与 v0 无关 D．d 随 v0 增大而增大，d 随 U 增大而减小
离子从 D 处运动到 G 处的总时间为 9＋2πm t＝t1＋t2＝ . 3Bq 1 2 (3)设电场强度为 E，则有 qE＝ma，d＝ at2. 2 1 2 根据动能定理得 qEd＝EkG－ mv0， 2 4B2q2d2 解得 EkG＝ . 9m 9＋2πm 2 答案 (1) d (2) 3 3Bq
(2)粒子经过 y 轴时在电场方向的分速度为： vx＝at＝2×107 m/s 粒子经过 y 轴时的速度大小为：
2 7 v＝ v2 ＋ v ＝ 2 2 × 10 m/s x 0
vx 与 y 轴正方向的夹角为 θ，则 θ＝arctan ＝45° v0
要使粒子不进入第Ⅲ象限，如图所示，此时粒子做匀速圆周 运动的轨道半径为 R，由几何关系得： 2 R＋ R≤y 2 v2 在磁场中由牛顿第二定律得 qvB＝m R 联立解得 B≥(2 2＋2)×10－2T
3．(多选)在空间某一区域里，有竖直向下的匀强电场 E 和垂 直纸面向里的匀强磁场 B，且两者正交．有两个带电油滴，都能 在竖直平面内做匀速圆周运动，如右图所示，则两油滴一定相同 的是( ) B．运动周期 D．运动速率
A．带电性质 C．运动半径

例 6 劳伦斯和利文斯设计出回旋加速 器，工作原理示意图如图所示．置于高真空 中的 D 形金属盒半径为 R，两盒间的狭缝很 小，带电粒子穿过的时间可忽略．磁感应强 度为 B 的匀强磁场与盒面垂直，高频交流电频率为 f，加速电压 为 U.若 A 处粒子源产生的质子质量为 m、电荷量为＋q，在加速 器中被加速，且加速过程中不考虑相对论效应和重力的影响．则 下列说法正确的是( )
偏转后从出口离开磁场．若某种一价正离子在入口处从静止开始
被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离
开磁场，需将磁感应强度增加到原来的 12 倍．此离子和质子的
质量比约为( )
A．11
B．12
C．121
D．144
【答案】 D
【解析】 粒子在电场中加速，设离开加速电场的速度为 v，
则
qU＝
(1)求闭合平衡轨道在峰区内圆弧的半径 r，并判断离子旋转 的方向是顺时针还是逆时针；
(2)求轨道在一个峰区内圆弧的圆心角 θ，及离子绕闭合平衡 轨道旋转的周期 T；
(3)在谷区也施加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B′，新的闭合平衡轨道在一个峰区内的圆心角 θ 变为 90°，求 B′和 B 的关系．已知：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，cos α＝1－2sin2α2.
(1)Ek
U2，此时，设原本半径为 U0
r2
的打在
Q2
的离子打在
Q
5
上，则6L＝ r2
U2，解得 U0
r2＝(65)3L＝122156L
同理，第 n 次调节电压，有 rn＝(56)n＋1L，检测完整，有 rn ≤12L，解得 n≥lg（lg265）－1≈2.8，最少次数为 3 次．

匀速圆周运动的速度满足 v＝2Tπr③
联立①②③式得 B＝2πqmt0④
(2)设粒子从 OA 边两个不同位置射入 磁场，能从 OC 边上的同一点 P 射出磁 场，粒子在磁场中运动的轨迹如图(a) 所示。 设两轨迹所对应的圆心角分别为 θ1 和 θ2。由几何关系有：θ1＝180°－θ2⑤ 粒子两次在磁场中运动的时间分别为
－
sinCD30°＝2C－D＝4r＝4qmBv，故 D 正确。
答案 D
【变式训练1】 如图 2 所示，直角坐标系
中 y 轴右侧存在一垂直纸面向里、宽
为 a 的有界匀强磁场，磁感应强度为
B，右边界 PQ 平行 y 轴，一粒子(重
力不计)从原点 O 以与 x 轴正方向成 θ
角的速率 v 垂直射入磁场，当斜向上
＝vS＝π4DBU 当磁场方向与电流方向垂直时， 导体在与磁场、电流方向都垂直 的方向上出现电势差
【真题示例4】 (2016·全国卷Ⅰ，15)现代质谱仪可用来分析比质 子重很多倍的离子，其示意图如图 7 所示，其中加速电压恒 定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场 偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止 开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同 一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的 12 倍。此离 子和质子的质量比约为( )
匀速圆周运动的半径相同，加速电压 U 不变，其中 B2＝12B1， q1＝q2，可得mm21＝BB2221＝144，故选项 D 正确。
答案 D
【变式训练4】 (多选)劳伦斯和利文斯设计出回旋加速器，工作 原理示意图如图 8 所示。置于真空中的 D 形金属盒半径为 R， 两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可忽略。磁感应强 度为 B 的匀强磁场与盒面垂直，高频交流电频率为 f，加速 电压为 U。若 A 处粒子源产生的质子的质量为 m，电荷量为 ＋q，在加速器中被加速，且加速过程中不考虑相对论效应和 重力的影响。则下列说法正确的是( )

如下图，空间内存在水平向右的匀强电场，在虚线 MN的右侧有垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场， 一质量为m、带电荷量为＋q的小颗粒自A点由静止开始运 动，刚好沿直线运动至光滑绝缘的水平面C点，与水平面 碰撞的瞬间小颗粒的竖直分速度立即减为零，而水平分速 度不变，小颗粒运动至D处刚好离开水平面，然后沿图示 曲线DP轨迹运动，AC与水平面夹角α＝30°，重力加速度 为g，求：
E＝Ul0① qE＝ma② 12l＝12at20③ 联立①②③式，解得两板间偏转电压为
1 (2)2t0
时刻进入两板间的带电粒子，前12t0
时间在电场中
偏转，后12t0 时间两板间没有电场，带电粒子做匀速直线运
动．
带电粒子沿 x 轴方向的分速度大小为
v0＝tl0⑤ 带电粒子离开电场时沿 y 轴负方向的分速度大小为
()
(4)若增大匀强磁场的磁感应强度，其他条件不变，电
子以速度v0沿垂直于电场和磁场的方向，从两极正中央射
入，电子将
()
【解析】 不难看出本题的四个小题都是根据发散思 维方法设计的．为解本题，必须从分析带电粒子在互相正 交的匀强电场和匀强磁场中的受力情况入手．
设带电粒子的质量为m，带电荷量为q，匀强电场强度 为E、匀强磁场的磁感应强度为B.带电粒子以速度v垂直射 入互相垂直的匀强电场和匀强磁场中时，若粒子带正电， 则所受电场力方向向下，大小为qE；所受磁场力方向向上， 大小为Bqv.沿直线匀速通过时，显然有Bqv＝qE，v＝ ， 即匀速直线通过时，带电粒子的速度与其质量、电荷量无 关．如果粒子带负电，电场方向向上，磁场力方向向下， 上述结论仍然成立．所以(1)(2)两小题应选择A.
第4讲 专题 带电粒子在复合场中的运动
一、复合场 复合场是指电场、磁场和重力场并存，或其中某两场 并存，或分区域存在． 二、带电粒子在复合场中的运动分类 1．静止或匀速直线运动 当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静 止状态或做匀速直线运动．

课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

（老师读，学生读，加深理解。

能力课2 带电粒子在复合场中的运动问题一、选择题(1～4题为单项选择题，5～8题为多项选择题)1．(2017·河南洛阳市统考)如图1所示，一个静止的质量为m 、带电荷量为q 的带电粒子(不计重力)，经电压U 加速后垂直进入磁感应强度为B 的匀强磁场中，粒子最后落到P 点，设OP ＝x ，下列图线能够正确反映x 与U 之间的函数关系的是( )图1解析 带电粒子在电场中加速时，由动能定理得qU ＝12mv 2，而在磁场中偏转时，由牛顿第二定律得qvB ＝m v 2r ，依题意x ＝2r ，联立解得x ＝2m qB2qU m ，因此正确答案为B 。

答案 B 2．(2016·厦门一模)如图2所示，空间的某个复合场区域内存在着竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。

质子由静止开始经一加速电场加速后，垂直于复合场的边界进入并沿直线穿过场区，质子(不计重力)穿过复合场区所用时间为t ，从复合场区穿出时的动能为E k ，则 ( )图2A ．若撤去磁场B ，质子穿过场区时间大于tB ．若撒去电场E ，质子穿过场区时间等于tC．若撒去磁场B，质子穿出场区时动能大于E kD．若撤去电场E，质子穿出场区时动能大于E k解析质子在电场中是直线加速，进入复合场，电场力与洛伦兹力等大反向，质子做匀速直线运动。

若撤去磁场，只剩下电场，质子做类平抛运动，水平分运动是匀速直线运动，速度不变，故质子穿过场区时间不变，等于t，A错误；若撒去电场，只剩下磁场，质子做匀速圆周运动，速率不变，水平分运动的速度减小，故质子穿过场区时间增加，大于t，B错误；若撤去磁场，只剩下电场，质子做类平抛运动，电场力做正功，故末动能大于E k，C正确，若撤去电场，只剩下磁场，质子做匀速圆周运动，速率不变，末动能不变，仍为E k，D错误。

答案 C3．医生做某些特殊手术时，利用电磁血流计来监测通过动脉的血流速度。

电磁血流计由一对电极a和b以及磁极N和S构成，磁极间的磁场是均匀的。

第3节 带电粒子在复合场中的运动知识点1 带电粒子在复合场中的运动 1．复合场的分类(1)叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或相邻或在同一区域电场、磁场交替出现．2．带电粒子在复合场中的运动形式(1)静止或匀速直线运动：当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．(2)匀速圆周运动：当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．(3)较复杂的曲线运动：当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．知识点2 带电粒子在复合场中运动实例 1．质谱仪(1)构造：如图9-3-1所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成．图9-3-1(2)原理：粒子由静止被加速电场加速，qU ＝12m v 2. 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有q v B ＝m v 2r .由以上两式可得r ＝1B 2mU q ， m ＝qr 2B 22U ， q m ＝2UB 2r 2.2．回旋加速器(1)构造：如图9-3-2所示，D 1、D 2是半圆形金属盒，D 形盒的缝隙处接交流电源，D 形盒处于匀强磁场中．图9-3-2(2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由q v B ＝m v 2r ，得E km ＝q 2B 2r 22m ，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度B 和D 形盒半径r 决定，与加速电压无关．3．速度选择器(1)平行板中电场强度E 和磁感应强度B 互相垂直．这种装置能把具有一定速度的粒子选择出来，所以叫做速度选择器(如图9-3-3所示)．图9-3-3(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qE ＝q v B ，即v ＝EB . 4．磁流体发电机(1)磁流体发电是一项新兴技术，它可以把内能直接转化为电能． (2)根据左手定则，图9-3-4中的B 是发电机正极．图9-3-4(3)磁流体发电机两极板间的距离为L ，等离子体速度为v ，磁场的磁感应强度为B ，则由qE ＝q UL ＝q v B 得两极板间能达到的最大电势差U ＝BL v .5．电磁流量计工作原理：如图9-3-5所示，圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，导电液体在管中向左流动，导电液体中的自由电荷(正、负离子)，在洛伦兹力的作用下横向偏转，a、b间出现电势差，形成电场，当自由电荷所受的电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差就保持稳定，即：q v B＝qE＝q Ud，所以v＝UBd，因此液体流量Q＝S v＝πd24·UBd＝πdU4B.图9-3-51．正误判断(1)带电粒子在复合场中不可能处于静止状态．(×)(2)带电粒子在复合场中可能做匀速圆周运动．(√)(3)带电粒子在复合场中一定能做匀变速直线运动．(×)(4)带电粒子在复合场中运动一定要考虑重力．(×)(5)电荷在速度选择器中做匀速直线运动的速度与电荷的电性有关．(×)2．[对速度选择器的理解]带正电的甲、乙、丙三个粒子(不计重力)分别以速度v甲、v乙、v丙垂直射入电场和磁场相互垂直的复合场中，其轨迹如图9-3-6所示，则下列说法正确的是()图9-3-6A．v甲>v乙>v丙B．v甲<v乙<v丙C．甲的速度可能变大D．丙的速度不一定变大A[由左手定则可判断正电荷所受洛伦兹力向上，而所受的电场力向下，由运动轨迹可判断q v 甲B >qE ，即v 甲>E B ，同理可得v 乙＝E B ，v 丙<EB ，所以v 甲>v 乙>v 丙，故A 正确，B 错误；电场力对甲做负功，甲的速度一定减小，对丙做正功，丙的速度一定变大，故C 、D 错误．]3．[质谱仪的工作原理](2016·全国乙卷)现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图9-3-7所示，其中加速电压恒定．质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场．若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍．此离子和质子的质量比约为( )图9-3-7A ．11B ．12C ．121D ．144D [带电粒子在加速电场中运动时，有qU ＝12m v 2，在磁场中偏转时，其半径r ＝m v qB ，由以上两式整理得：r ＝1B2mUq .由于质子与一价正离子的电荷量相同，B 1∶B 2＝1∶12，当半径相等时，解得：m 2m 1＝144，选项D 正确．]4．[回旋加速器原理的理解](多选)回旋加速器的原理如图9-3-8所示，它由两个铜质D 形盒D 1、D 2构成，其间留有空隙，下列说法正确的是( )【导学号：92492347】图9-3-8A ．离子从电场中获得能量B ．离子从磁场中获得能量C ．只增大空隙间的加速电压可增加离子从回旋加速器中获得的动能D ．只增大D 形盒的半径可增加离子从回旋加速器中获得的动能AD [回旋加速器通过电场对离子做功获得能量，A 正确；洛伦兹力对离子不做功，B 错误；粒子获得的能量为E km ＝q 2B 2r 22m ，C 错误、D 正确．]1.(1)先电场后磁场模型①先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动．(如图9-3-9甲、乙所示)在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度．甲乙图9-3-9②先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动．(如图9-3-10甲、乙所示)在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度．甲乙图9-3-10(2)先磁场后电场模型对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况：(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反；(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直．(如图9-3-11所示)甲乙图9-3-11[多维探究]●考向1先电场后磁场1．如图9-3-12所示，在第Ⅱ象限内有水平向右的匀强电场，电场强度为E，在第Ⅰ、Ⅳ象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等．有一个带电粒子以垂直于x轴的初速度v0从x轴上的P点进入匀强电场中，并且恰好与y轴的正方向成45°角进入磁场，又恰好垂直于x轴进入第Ⅳ象限的磁场．已知OP 之间的距离为d，则带电粒子在磁场中第二次经过x轴时，在电场和磁场中运动的总时间为() 【导学号：92492348】图9-3-12A.7πd2v0B．dv0(2＋5π)C.dv0⎝⎛⎭⎪⎫2＋3π2D．dv0⎝⎛⎭⎪⎫2＋7π2D[带电粒子的运动轨迹如图所示．由题意知，带电粒子到达y轴时的速度v ＝2v0，这一过程的时间t1＝dv02＝2dv0.又由题意知，带电粒子在磁场中的偏转轨道半径r ＝22d . 故知带电粒子在第Ⅰ象限中的运动时间为： t 2＝38×2πr v ＝32πd 2v ＝3πd 2v 0带电粒子在第Ⅳ象限中运动的时间为： t 3＝12×2πr v ＝22πd v ＝2πd v 0故t 总＝d v 0⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋7π2.故D 正确．]●考向2 先磁场后电场2．(2017·潍坊模拟)在如图9-3-13所示的坐标系中，第一和第二象限(包括y 轴的正半轴)内存在磁感应强度大小为B 、方向垂直xOy 平面向里的匀强磁场；第三和第四象限内存在平行于y 轴正方向、大小未知的匀强电场．p 点为y 轴正半轴上的一点，坐标为(0，l )；n 点为y 轴负半轴上的一点，坐标未知．现有一带正电的粒子由p 点沿y 轴正方向以一定的速度射入匀强磁场，该粒子经磁场偏转后以与x 轴正半轴成45°角的方向进入匀强电场，在电场中运动一段时间后，该粒子恰好垂直于y 轴经过n 点．粒子的重力忽略不计．求：图9-3-13(1)粒子在p 点的速度大小；(2)第三和第四象限内的电场强度的大小；(3)带电粒子从由p 点进入磁场到第三次通过x 轴的总时间． 【解析】 粒子在复合场中的运动轨迹如图所示(1)由几何关系可知r sin 45°＝l 解得r ＝2l又因为q v 0B ＝m v 20r ，可解得 v 0＝2Bql m .(2)粒子进入电场在第三象限内的运动可视为平抛运动的逆过程，设粒子射入电场坐标为(－x 1,0)，从粒子射入电场到粒子经过n 点的时间为t 2，由几何关系知x 1＝(2＋1)l ，在n 点有v 2＝22v 1＝22v 0 由类平抛运动规律有 (2＋1)l ＝22v 0t 2 22v 0＝at 2＝Eq m t 2联立以上方程解得t 2＝(2＋1)m qB ，E ＝(2－1)qlB 2m .(3)粒子在磁场中的运动周期为T ＝2πmqB 粒子第一次在磁场中运动的时间为t 1＝58T ＝5πm4qB 粒子在电场中运动的时间为2t 2＝2(2＋1)mqB粒子第二次在磁场中运动的时间为t 3＝34T ＝3πm2qB 故粒子从开始到第三次通过x 轴所用时间为 t ＝t 1＋2t 2＋t 3＝(11π4＋22＋2)mqB .【答案】 (1)2Bql m (2)(2－1)qlB 2m (3)(11π4＋22＋2)mqB(1)解题的思维程序(2)规律运用及思路①带电粒子经过电场区域时利用动能定理或类平抛的知识分析； ②带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系来处理； ③注意带电粒子从一种场进入另一种场时的衔接速度．[●考向1 电场、磁场叠加1．(多选)(2017·济南模拟)如图9-3-14所示，在正交坐标系O -xyz 中，分布着电场和磁场(图中未画出)．在Oyz 平面的左方空间内存在沿y 轴负方向、磁感应强度大小为B 的匀强磁场；在Oyz 平面右方、Oxz 平面上方的空间内分布着沿z 轴负方向、磁感应强度大小也为B 的匀强磁场；在Oyz 平面右方、Oxz 平面下方分布着沿y 轴正方向的匀强电场，电场强度大小为aqB 24m .在t ＝0时刻，一个质量为m 、电荷量为＋q 的微粒从P 点静止释放，已知P 点的坐标为(5a ，－2a,0)，不计微粒的重力．则( )图9-3-14A ．微粒第一次到达x 轴的速度大小为aqb mB ．微粒第一次到达x 轴的时刻为4mqB C ．微粒第一次到达y 轴的位置为y ＝2aD ．微粒第一次到达y 轴的时刻为⎝ ⎛⎭⎪⎫40＋5π2m qBBD [微粒从P 点由静止释放至第一次到达y 轴的运动轨迹如图所示．释放后，微粒在电场中做匀加速直线运动，由E ＝aqB 24m ，根据动能定理有Eq ·2a ＝12m v 2，解得微粒第一次到达x 轴的速度v ＝aqB m ，又Eq m t 1＝v ，解得微粒第一次到达x 轴的时刻t 1＝4m qB ，故选项A 错误，B 正确；微粒进入磁场后开始做匀速圆周运动，假设运动的轨道半径为R ，则有q v B ＝m v 2R ，可得：R ＝a ，所以微粒到达y 轴的位置为y ＝a ，选项C 错误；微粒在磁场中运动的周期T ＝2πR v ＝2πm qB ，则运动到达y 轴的时刻：t 2＝5t 1＋54T ，代入得：t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40＋5π2m qB，选项D 正确．] ●考向2 电场、磁场、重力场叠加2．(2017·温州模拟)如图9-3-15所示，在真空空间中，有沿水平方向的、垂直于纸面向里的匀强磁场B ，还有方向竖直向上的匀强电场E ，三个带电液滴(可视为质点)甲、乙、丙带有等量同种电荷．已知甲静止，乙水平向左匀速运动，丙水平向右匀速运动，则下列说法正确的是( )【导学号：92492349】图9-3-15A ．三个液滴都带负电B ．丙质量最大，甲质量次之，乙质量最小C ．若仅撤去磁场，甲可能做匀加速直线运动D ．若仅撤去电场，乙和丙可能做匀速圆周运动B [甲静止，不受洛伦兹力，由受力平衡，有m 甲g ＝qE ，重力和电场力等值、反向、共线，故电场力向上，由于电场E 的方向竖直向上，故三个液滴都带正电，选项A错误．乙受力平衡，有m乙g＋q v乙B＝qE，故m甲>m乙；丙受力平衡，有m丙g＝qE＋q v丙B，故m丙>m甲，选项B正确．甲静止，不受洛伦兹力，电场力和重力相平衡，所以仅撤去磁场时甲仍然静止，选项C错误．仅撤去电场，乙和丙除受洛伦兹力外，还受竖直向下的重力作用，速度将增大，洛伦兹力的大小和方向随速度的大小和方向变化而变化，乙和丙不可能做匀速圆周运动，选项D错误．] 3．(2016·天津高考)如图9-3-16所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝5 3 N/C，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5 T．有一带正电的小球，质量m＝1×10－6 kg，电荷量q＝2×10－6 C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，g取10 m/s2.求：图9-3-16(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t.【导学号：92492350】【解析】(1)小球匀速直线运动时受力如图，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有q v B＝q2E2＋m2g2①代入数据解得v＝20 m/s ②速度v的方向与电场E的方向之间的夹角θ满足tan θ＝qEmg③代入数据解得tan θ＝3θ＝60°. ④(2)解法一：撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，设其加速度为a，有a＝q2E2＋m2g2m⑤设撤掉磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，有x＝v t ⑥设小球在重力与电场力的合力方向上分位移为y ，有y ＝12at 2⑦a 与mg 的夹角和v 与E 的夹角相同，均为θ，又tan θ＝y x ⑧联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得t ＝2 3 s ≈3.5 s ⑨解法二：撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P 点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为v y ＝v sin θ ⑤若使小球再次穿过P 点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，则有v y t －12gt 2＝0⑥联立⑤⑥式，代入数据解得t ＝2 3 s ≈3.5 s ． ⑦ 【答案】 (1)20 m/s ，方向与电场方向成60°角斜向上 (2)3.5 s带电粒子在叠加场中运动的分析方法●考向1 回旋加速器的工作原理1．回旋加速器是用来加速带电粒子，使它获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D 形金属扁盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以便在盒间的窄缝中形成匀强电场，使粒子每次穿过狭缝都得到加速，两盒放在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出的粒子带电荷量为q ，质量为m ，粒子最大回旋半径为R m ，其运动轨迹如图9-3-17所示．问：图9-3-17(1)D 形盒内有无电场？(2)粒子在盒内做何种运动？(3)所加交流电压频率应是多大，粒子运动的角速度为多大？(4)粒子离开加速器时速度为多大？最大动能为多少？(5)设两D 形盒间电场的电势差为U ，盒间距离为d ，其间电场均匀，求把静止粒子加速到上述能量所需时间．【解析】 (1)扁形盒由金属导体制成，具有屏蔽外电场的作用，盒内无电场．(2)带电粒子在盒内做匀速圆周运动，每次加速之后半径变大．(3)粒子在电场中运动时间极短，因此高频交流电压频率要等于粒子回旋频率，因为T ＝2πm qB ，故得回旋频率f ＝1T ＝qB 2πm ，角速度ω＝2πf ＝qB m .(4)粒子旋转半径最大时，由牛顿第二定律得q v m B ＝m v 2m R m，故v m ＝qBR m m . 最大动能E km ＝12m v 2m ＝q 2B 2R 2m 2m .(5)粒子每旋转一周能量增加2qU .粒子的能量提高到E km ，则旋转周数n ＝E km 2qU＝qB 2R 2m 4mU .粒子在磁场中运动的时间t 磁＝nT ＝πBR 2m 2U .一般地可忽略粒子在电场中的运动时间，t 磁可视为总时间．【答案】 (1)D 形盒内无电场 (2)匀速圆周运动(3)qB 2πm qB m (4)qBR m m q 2B 2R 2m 2m (5)πBR 2m 2U●考向2 质谱仪的工作原理2.质谱仪是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具．如图9-3-18所示为质谱仪的原理示意图，现利用质谱仪对氢元素进行测量．让氢元素三种同位素的离子流从容器A 下方的小孔S 无初速度飘入电势差为U 的加速电场．加速后垂直进入磁感强度为B 的匀强磁场中．氢的三种同位素最后打在照相底片D 上，形成a 、b 、c 三条“质谱线”．则下列判断正确的是( )【导学号：92492351】图9-3-18A ．进入磁场时速度从大到小排列的顺序是氕、氘、氚B ．进入磁场时动能从大到小排列的顺序是氕、氘、氚C ．在磁场中运动时间由大到小排列的顺序是氕、氘、氚D ．a 、b 、c 三条“质谱线”依次排列的顺序是氕、氘、氚A [离子通过加速电场的过程，有qU ＝12m v 2，因为氕、氘、氚三种离子的电量相同、质量依次增大，故进入磁场时动能相同，速度依次减小，故A 项正确，B项错误；由T ＝2πm qB 可知，氕、氘、氚三种离子在磁场中运动的周期依次增大，又三种离子在磁场中运动的时间均为半个周期，故在磁场中运动时间由大到小排列依次为氚、氘、氕，C 项错误；由q v B ＝m v 2R 及qU ＝12m v 2，可得R ＝1B 2mU q ，故氕、氘、氚三种离子在磁场中的轨道半径依次增大，所以a 、b 、c 三条“质谱线”依次对应氚、氘、氕，D 项错误．]3．(2015·江苏高考)一台质谱仪的工作原理如图9-3-19所示，电荷量均为＋q 、质量不同的离子飘入电压为U 0的加速电场，其初速度几乎为零．这些离子经加速后通过狭缝O 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B 的匀强磁场，最后打在底片上．已知放置底片的区域MN ＝L ，且OM ＝L .某次测量发现MN 中左侧23区域MQ 损坏，检测不到离子，但右侧13区域QN 仍能正常检测到离子．在适当调节加速电压后，原本打在MQ 的离子即可在QN 检测到．有图9-3-19(1)求原本打在MN 中点P 的离子质量m ；(2)为使原本打在P 的离子能打在QN 区域，求加速电压U 的调节范围；(3)为了在QN 区域将原本打在MQ 区域的所有离子检测完整，求需要调节U 的最少次数．(取lg 2＝0.301，lg 3＝0.477，lg 5＝0.699)【解析】 (1)离子在电场中加速qU 0＝12m v 2在磁场中做匀速圆周运动q v B ＝m v 2r 0解得r 0＝1B 2mU 0q代入r 0＝34L ，解得m ＝9qB 2L 232U 0. (2)由(1)知，U ＝16U 0r 29L 2，若离子打在Q 点，则r ＝56L ，U ＝100U 081若离子打在N 点，则r ＝L ，U ＝16U 09则电压的范围100U 081≤U ≤16U 09.(3)由(1)可知，r ∝U由题意知，第1次调节电压到U 1，使原本打在Q 点的离子打在N 点，则 L 56L ＝U 1U 0 此时，原本半径为r 1的打在Q 1的离子打在Q 上，56L r 1＝U 1U 0解得r 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫562L 第2次调节电压到U 2，原本打在Q 1的离子打在N 点，原本半径为r 2的打在Q 2的离子打在Q 上，则L r 1＝U 2U 0，56L r 2＝U 2U 0解得r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫563L 同理，第n 次调节电压，有r n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56n ＋1L 检测完整，有r n ≤L 2，解得n ≥lg 2lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫65－1≈2.8，最少次数为3次． 【答案】 (1)9qB 2L 232U 0(2)100U 081≤U ≤16U 09 (3)3。

第三节带电粒子在复合场中的运动一、带电粒子在复合场中的运动1．复合场的分类(1)叠加场：电场、磁场、重力场在同一区域共存，或其中某两场共存．(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，或在同一区域，电场、磁场交替出现．2．带电粒子在复合场中的运动分类(1)静止或匀速直线运动：当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．(2)匀速圆周运动：当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．(3)非匀变速曲线运动：当带电粒子所受的合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．1.如图所示，场强为E的匀强电场方向竖直向下，场强为B的水平匀强磁场垂直纸面向里，三个油滴a、b、c带有等量的同种电荷．已知a静止，b、c在纸面内按图示方向做匀速圆周运动(轨迹未画出)．忽略三个油滴间的静电力作用，比较三个油滴的质量及b、c的运动情况，以下说法中正确的是()A．三个油滴的质量相等，b、c都沿顺时针方向运动B．a的质量最大，c的质量最小，b、c都沿逆时针方向运动C．b的质量最大，a的质量最小，b、c都沿顺时针方向运动D．三个油滴的质量相等，b沿顺时针方向运动，c沿逆时针方向运动提示：选A.油滴a静止不动，其受到的合力为零，所以m a g＝qE，电场力方向竖直向上，油滴带负电荷．又油滴b、c在场中做匀速圆周运动，则其重力和受到的电场力是一对平衡力，所以m b g＝m c g＝qE，油滴受到的洛伦兹力提供其做匀速圆周运动的向心力，由左手定则可判断，b、c都沿顺时针方向运动．故A正确．二、带电粒子在复合场中运动的应用实例1．质谱仪(1)构造：如图所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成．(2)原理：粒子由静止在加速电场中被加速，根据动能定理可得关系式qU ＝12m v _2．粒子在磁场中受洛伦兹力偏转，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得关系式q v B ＝m v 2r.由以上两式可得出需要研究的物理量，如粒子轨道半径、粒子质量、比荷． r ＝1B_m ＝qr 2B 22U ，q m ＝2UB 2r 2． 2．速度选择器(如图所示)(1)平行板中电场强度E 和磁感应强度B互相垂直．这种装置能把具有一定速度的粒子选择出来，所以叫做速度选择器．(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qE ＝q v B ，即v ＝EB.2.(2017·北京东城区模拟)如图所示，一束质量、速度和电荷量不全相等的离子，经过由正交的匀强电场和匀强磁场组成的速度选择器后，进入另一个匀强磁场中并分裂为A 、B 两束，下列说法中正确的是( )A ．组成A 束和B 束的离子都带负电 B ．组成A 束和B 束的离子质量一定不同C ．A 束离子的比荷大于B 束离子的比荷D ．速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向外提示：选C.由左手定则知，A 、B 两束离子均带正电，A 错误；两束离子经过同一速度选择器后的速度相同，在偏转磁场中，由R ＝m vqB可知，半径大的离子对应的比荷小，但离子的质量不一定相同，故选项B 错误，C 正确；速度选择器中的磁场方向应垂直纸面向里，D 错误．3．回旋加速器(1)组成：如图所示，两个D 形盒(静电屏蔽作用)，大型电磁铁，高频振荡交变电压，两缝间可形成电场．(2)作用：电场用来对粒子(质子、α粒子等)加速，磁场用来使粒子回旋从而能反复加速． (3)加速原理①回旋加速器中所加交变电压的频率f ，与带电粒子做匀速圆周运动的频率相等，f ＝1T ＝qB2πm； ②回旋加速器最后使粒子得到的能量，可由公式E k ＝12m v 2＝q 2B 2R 22m 来计算，在粒子电荷量、质量m 和磁感应强度B 一定的情况下，回旋加速器的半径R 越大，粒子的能量就越大．粒子最终得到的能量与加速电压的大小无关．电压大，粒子在盒中回旋的次数少；电压小，粒子回旋次数多，但最后获得的能量一定．3.(2017·江苏常州高级中学高三月考)回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电源两极相连接的两个D 形金属盒，两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D 形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如图所示．设D 形盒半径为R .若用回旋加速器加速质子时，匀强磁场的磁感应强度为B ，高频交流电频率为f .则下列说法正确的是( )A ．质子被加速后的最大速度不可能超过2πfRB ．质子被加速后的最大速度与加速电场的电压大小有关C ．高频电源只能使用矩形交变电流，不能使用正弦式交变电流D ．不改变B 和f ，该回旋加速器也能用于加速α粒子提示：选A.由T ＝2πR v ，T ＝1f ，可得质子被加速后的最大速度为2πfR ，其不可能超过2πfR ，质子被加速后的最大速度与加速电场的电压大小无关，选项A 正确、B 错误；高频电源可以使用正弦式交变电流，选项C 错误；要加速α粒子，高频交流电周期必须变为α粒子在其中做圆周运动的周期，即T ＝2πm αq αB，故D 错误．4．磁流体发电机(1)磁流体发电是一项新兴技术，它可以把内能直接转化为电能．(2)根据左手定则，如图中的B 是发电机正极．(3)磁流体发电机两极板间的距离为L ，等离子体速度为v ，磁场的磁感应强度为B ，则由qE ＝q UL＝q v B 得两极板间能达到的最大电势差U ＝BL v ．5．电磁流量计工作原理：如图所示，圆形导管直径为d ，用非磁性材料制成，导电液体在管中向左流动，导电液体中的自由电荷(正、负离子)，在洛伦兹力的作用下发生偏转，a 、b 间出现电势差，形成电场，当自由电荷所受的电场力和洛伦兹力平衡时，a 、b 间的电势差就保持稳定，即：q v B ＝qE ＝q U d ，所以v ＝UBd ，因此液体流量Q ＝S v ＝πd 24·U Bd ＝πdU 4B．4.(多选)如图所示为磁流体发电机的示意图．两块相同的金属板A 、B正对，它们之间有一个很强的匀强磁场，将一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子)以速率v 喷入磁场，A 、B 两板间便产生电压．已知每个金属板的面积为S ，它们间的距离为d ，匀强磁场的磁感应强度为B .当发电机稳定发电时，下列说法正确的是( )A ．A 板为发电机的正极B ．B 板为发电机的正极C ．发电机的电动势为Bd vD ．发电机的电动势为BS v解析：选BC.根据左手定则，带正电的粒子向下偏转，带负电的粒子向上偏转，所以B 板带正电，为直流电源正极，A 错误，B 正确．最终带电粒子在电场力和洛伦兹力作用下处于平衡，有q v B ＝q Ed，解得E ＝Bd v ，C 正确，D 错误．带电粒子在复合场中的运动 【知识提炼】1．带电粒子在组合场中的运动，实际上是几个典型运动过程的组合，因此解决这类问题要分段处理，找出各分段之间的衔接点和相关物理量，问题即可迎刃而解．常见类型如下：(1)从电场进入磁场①粒子先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动．在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度．②粒子先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动．在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度．(2)从磁场进入电场①粒子进入电场时的速度与电场方向相同或相反，做匀变速直线运动(不计重力)．②粒子进入电场时的速度方向与电场方向垂直，做类平抛运动．2．带电粒子在叠加场中的运动，由于磁场中洛伦兹力不做功，所以粒子的运动形式一般只有以下两种情况：(1)直线运动：要么带电粒子沿着磁感线运动，要么带电粒子受到的重力或电场力或重力与电场力的合力与洛伦兹力平衡．(2)匀速圆周运动：受到的重力和电场力平衡．【典题例析】(2015·高考天津卷)现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动．真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d.电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里．电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直．一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射．(1)求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2；(2)粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，试求sin θ；n(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之．[审题指导]粒子在运动时只有电场力做功使其加速，而磁场使其偏转，则计算速度大小的问题只看电场，偏转问题只看磁场．还要关注磁场与电场之间的转折点的变化．[解析](1)粒子在进入第2层磁场时，经过两次电场加速，中间穿过磁场时洛伦兹力不做功．由动能定理，有2qEd ＝12m v 22①由①式解得 v 2＝2qEdm② 粒子在第2层磁场中受到的洛伦兹力充当向心力，有 q v 2B ＝m v 22r 2③由②③式解得 r 2＝2BmEdq.④ (2)设粒子在第n 层磁场中运动的速度为v n ，轨迹半径为r n (各量的下标均代表粒子所在层数，下同)．nqEd ＝12m v 2n ⑤q v n B ＝m v 2nr n⑥甲粒子进入第n 层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为αn ，从第n 层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn ，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有v n －1sin θn －1＝v n sin αn ⑦ 由图甲看出r n sin θn －r n sin αn ＝d ⑧ 由⑥⑦⑧式得r n sin θn －r n －1sin θn －1＝d ⑨由⑨式看出r 1sin θ1，r 2sin θ2，…，r n sin θn 为一等差数列，公差为d ，可得r n sin θn ＝r 1sin θ1＋(n －1)d ○10乙当n ＝1时，由图乙看出 r 1sin θ1＝d ⑪ 由⑤⑥⑩⑪式得 sin θn ＝Bnqd2mE. (3)若粒子恰好不能从第n 层磁场右侧边界穿出，则θn ＝π2，sin θn ＝1在其他条件不变的情况下，换用比荷更大的粒子，设其比荷为q ′m ′，假设能穿出第n 层磁场右侧边界，粒子穿出时速度方向与水平方向的夹角为θ′n ，由于q ′m ′>qm则导致sin θ′n >1说明θ′n 不存在，即原假设不成立．所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界．[答案] 见解析【跟进题组】考向1 带电粒子在组合场中的运动分析1．(2017·烟台模拟)如图所示的平面直角坐标系xOy ，在第Ⅰ、Ⅲ象限内有平行于y 轴，电场强度大小相同、方向相反的匀强电场，在第Ⅳ象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场．一质量为m ，电荷量为q 的带电粒子，从y 轴上的M (0，d )点，以大小为v 0的速度沿x 轴正方向射入电场，通过电场后从x 轴的N ⎝⎛⎭⎫233d ，0点进入第Ⅳ象限内，又经过磁场垂直y 轴进入第Ⅲ象限，最终粒子从x 轴上的P 点离开．不计粒子所受到的重力．求：(1)匀强电场的电场强度E 和磁场的磁感应强度B 的大小； (2)粒子运动到P 点的速度大小； (3)粒子从M 点运动到P 点所用的时间． 解析：(1)粒子运动轨迹如图所示．设粒子在第Ⅰ象限内运动的时间为t 1，粒子在N 点时速度大小为v 1，方向与x 轴正方向间的夹角为θ，则：x ＝v 0t 1＝233dy ＝12at 21＝d qE ＝ma ，tan θ＝v y v 0＝at 1v 0v 1＝v 0cos θ联立以上各式得：θ＝π3，v 1＝2v 0，E ＝3m v 202qd.粒子在第Ⅳ象限内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：q v 1B ＝m v 21R由几何关系得：R ＝ON sin θ＝43d联立并代入数据解得：B ＝3m v 02qd.(2)粒子由M 点到P 点的过程，由动能定理得： qEd ＋qE (R ＋R cos θ)＝12m v 2P －12m v 2代入(1)中所求数据解得：v P ＝10v 0. (3)粒子在第Ⅰ象限内运动时间： t 1＝233d v 0＝23d 3v 0粒子在第Ⅳ象限内运动周期：T ＝2πR v 1＝4πd 3v 0t 2＝π－13π2πT ＝4πd9v 0粒子在第Ⅲ象限内运动时有： R ＋R cos θ＝12at 23解得：t 3＝26d3v 0粒子从M 点运动到P 点的时间： t ＝t 1＋t 2＋t 3＝（63＋66＋4π）d9v 0.答案：(1)3m v 202qd 3m v 02qd (2)10v 0(3)（63＋66＋4π）d9v 0考向2 带电粒子在叠加场中的运动2．如图甲所示，在以O 为圆心，内外半径分别为R 1和R 2的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差U 为常量，R 1＝R 0，R 2＝3R 0.一电荷量为＋q ，质量为m 的粒子从内圆上的A 点进入该区域，不计重力．(1)已知粒子从外圆上以速度v 1射出，求粒子在A 点的初速度v 0的大小；(2)若撤去电场，如图乙所示，已知粒子从OA 延长线与外圆的交点C 以速度v 2射出，方向与OA 延长线成45°角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间；(3)在图乙中，若粒子从A 点进入磁场，速度大小为v 3，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？解析：(1)电场、磁场都存在时，只有电场力对带电粒子做功，由动能定理 qU ＝12m v 21－12m v 20①得v 0＝v 21－2qU m.② (2)由牛顿第二定律 qB v 2＝m v 22R③如图1所示，由几何关系确定粒子运动轨迹的圆心O ′和半径R R 2＋R 2＝(R 2－R 1)2④ 联立③④得磁感应强度大小 B ＝2m v 22qR 0⑤粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 T ＝2πR v 2⑥由几何关系确定粒子在磁场中运动的时间 t ＝T 4⑦ 联立④⑥⑦式，得t ＝2πR 02v 2.⑧图1 图2(3)如图2所示，为使粒子射出，则粒子在磁场内的运动半径应大于过A 点的最大内切圆半径，该半径为R c ＝R 1＋R 22⑨由③⑨得磁感应强度应小于B c ＝m v 32qR 0.○10 答案：(1)v 21－2qUm (2)2m v 22qR 02πR 02v 2 (3)m v 32qR 01．带电粒子在叠加场中运动的分析方法2．解决带电粒子在组合场中运动问题的思路 (1)首先明确每个场的性质、方向、强弱和范围；(2)对带电粒子进行受力分析，确定带电粒子的运动性质，分析粒子的运动过程，画出运动轨迹；(3)通过分析，确定粒子从一个场区进入另一场区时的位置、速度大小和方向是解题的关键．带电粒子在交变场中的运动 【知识提炼】1．解决带电粒子在交变电场、磁场中的运动问题时，关键要明确粒子在不同时间段内、不同区域内的受力特性，对粒子的运动情景、运动性质做出判断．2．这类问题一般都具有周期性，在分析粒子运动时，要注意粒子的运动周期、电场周期、磁场周期的关系．3．带电粒子在交变电磁场中运动仍遵循牛顿运动定律、运动的合成与分解、动能定理、能量守恒定律等力学规律，所以此类问题的研究方法与质点动力学相同．【典题例析】(高考山东卷)如图甲所示，间距为d 、垂直于纸面的两平行板P 、Q 间存在匀强磁场．取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示．t ＝0时刻，一质量为m 、带电量为＋q 的粒子(不计重力)，以初速度v 0由Q 板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区．当B 0和T B 取某些特定值时，可使t ＝0时刻入射的粒子经Δt 时间恰能垂直打在P 板上(不考虑粒子反弹)．上述m 、q 、d 、v 0为已知量．(1)若Δt ＝12T B ，求B 0；(2)若Δt ＝32T B ，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；(3)若B 0＝4m v 0qd，为使粒子仍能垂直打在P 板上，求T B .[审题指导] (1)入射的粒子经Δt ＝T B2时间恰能垂直打在P 板上，粒子应运动四分之一圆弧．(2)入射的粒子经Δt ＝32T B 时间恰能垂直打在P 板上，粒子应连续运动三个四分之一圆弧．(3)当B 0＝4m v 0qd时，如何求运动周期？[解析] (1)设粒子做圆周运动的半径为R 1，洛伦兹力提供向心力，则有q v 0B 0＝m v 20R 1①据题意由几何关系得R 1＝d ② 联立①②式得B 0＝m v 0qd.③(2)设粒子做圆周运动的半径为R 2，加速度大小为a ，由圆周运动公式得a ＝v 20R 2④据题意由几何关系得3R 2＝d ⑤ 联立④⑤式得a ＝3v 20d.⑥(3)设粒子做圆周运动的半径为R ，周期为T ，由圆周运动公式得T ＝2πRv 0⑦由牛顿第二定律得q v 0B 0＝m v 20R⑧由题意知B 0＝4m v 0qd，代入⑧式得d ＝4R ⑨粒子运动轨迹如图所示，O 1、O 2为圆心，O 1O 2连线与水平方向的夹角为θ，在每个T B内，只有A 、B 两个位置才有可能垂直击中P 板，且要求0<θ<π2，由题意可知π2＋θ2πT ＝T B2⑩设经历完整T B 的个数为n (n ＝0，1，2，3…) 若在A 点击中P 板，据题意由几何关系得 R ＋2(R ＋R sin θ)n ＝d ⑪ 当n ＝0时，无解⑫ 当n ＝1时，联立⑨⑪式得θ＝π6(或sin θ＝12)⑬联立⑦⑨⑩⑬式得T B ＝πd3v 0⑭当n ≥2时，不满足0<θ<90°的要求⑮ 若在B 点击中P 板，据题意由几何关系得 R ＋2R sin θ＋2(R ＋R sin θ)n ＝d ⑯当n ＝0时，无解⑰ 当n ＝1时，联立⑨⑯式得θ＝arcsin 14(或sin θ＝14)⑱联立⑦⑨⑩⑱式得 T B ＝⎝⎛⎭⎫π2＋arcsin 14d 2v 0⑲当n ≥2时，不满足0<θ<90°的要求． [答案] (1)m v 0qd (2)3v 20d(3)πd 3v 0或⎝⎛⎭⎫π2＋arcsin 14d2v 0(2016·高考江苏卷)回旋加速器的工作原理如图1所示，置于真空中的D形金属盒半径为R ，两盒间狭缝的间距为d ，磁感应强度为B 的匀强磁场与盒面垂直，被加速粒子的质量为m 、电荷量为＋q ，加在狭缝间的交变电压如图2所示，电压值的大小为U 0，周期T ＝2πm qB .一束该种粒子在t ＝0～T2时间内从A 处均匀地飘入狭缝，其初速度视为零．现考虑粒子在狭缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动，不考虑粒子间的相互作用．求：(1)出射粒子的动能E m ；(2)粒子从飘入狭缝至动能达到E m 所需的总时间t 0；(3)要使飘入狭缝的粒子中有超过99%能射出，d 应满足的条件． 解析：(1)粒子运动半径为R 时 q v B ＝m v 2R且E m ＝12m v 2解得E m ＝q 2B 2R 22m.(2)粒子被加速n 次达到功能E m ，则E m ＝nqU 0粒子在狭缝间做匀加速运动，设n 次经过狭缝的总时间为Δt加速度a ＝qU 0md匀加速直线运动nd ＝12a ·(Δt )2由t 0＝(n －1)·T2＋Δt ，解得t 0＝πBR 2＋2BRd 2U 0－πm qB.(3)只有在0～(T2－Δt )时间内飘入的粒子才能每次均被加速，则所占的比例为η＝T2－Δt T 2由η>99%，解得d <πmU 0100qB 2R .答案：见解析带电体在复合场中的运动 【知识提炼】1．带电体在叠加场中无约束情况下的运动情况分类 (1)磁场力、重力并存①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题．(2)电场力、磁场力、重力并存 ①若三力平衡，一定做匀速直线运动． ②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒或动能定理求解问题．2．带电体在叠加场中有约束情况下的运动带电体在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，除受场力外，还受弹力、摩擦力作用，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果．【典题例析】(2015·高考福建卷)如图，绝缘粗糙的竖直平面MN 左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E ，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B .一质量为m 、电荷量为q 的带正电的小滑块从A 点由静止开始沿MN 下滑，到达C 点时离开MN 做曲线运动．A 、C 两点间距离为h ，重力加速度为g .(1)求小滑块运动到C 点时的速度大小v C ；(2)求小滑块从A 点运动到C 点过程中克服摩擦力做的功W f ；(3)若D 点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D 点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的P 点．已知小滑块在D 点时的速度大小为v D ，从D 点运动到P 点的时间为t ，求小滑块运动到P 点时速度的大小v P .[审题指导] (1)理解带电体运动到C 点时的临界条件，进行受力分析求解问题． (2)A 到C 过程中运用动能定理求解． (3)撤去磁场后带电体将做类平抛运动．[解析] (1)小滑块沿MN 运动过程，水平方向受力满足q v B ＋N ＝qE 小滑块在C 点离开MN 时 N ＝0 解得v C ＝EB .(2)由动能定理得 mgh －W f ＝12m v 2C －0解得W f ＝mgh －mE 22B 2.(3)如图，小滑块速度最大时，速度方向与电场力、重力的合力方向垂直．撤去磁场后小滑块将做类平抛运动，等效加速度为g ′，g ′＝⎝⎛⎭⎫qE m 2＋g 2 且v 2P ＝v 2D ＋g ′2t 2解得v P ＝v 2D ＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫qE m 2＋g 2t 2.[答案] (1)E B (2)mgh －mE 22B 2(3)v 2D ＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫qE m 2＋g 2t 2分析带电体在复合场中运动的三种观点(1)力的观点：在力学中我们知道力是物体运动状态发生变化的原因，在分析带电物体在复合场中运动时，同样要把握住“力以及力的变化”这一根本．一般而言，重力大小、方向不变(有时明确要求不计重力)；匀强电场中带电物体受电场力大小、方向都不变；洛伦兹力随带电粒子运动状态的改变而发生变化．(2)运动的观点：带电物体在复合场中可以设计出多阶段、多形式、多变化、具有周期性的运动过程．在分析物体的运动过程时，主要把握住以下几个方面：①在全面把握粒子受力以及力的变化特点的基础上，始终抓住力和运动之间相互促进、相互制约的关系．如速度的变化引起洛伦兹力变化，洛伦兹力变化又可能引起弹力和摩擦力的变化，从而引起合外力的变化，合外力的变化又引起加速度和速度的变化，速度变化反过来又引起洛伦兹力的变化，在这一系列变化中，力和运动相互促进、相互制约．②准确划分粒子运动过程中的不同运动阶段、不同运动形式，以及不同运动阶段、不同运动形式之间的转折点和临界点，只有明确粒子在某一阶段的运动形式后，才能确定解题所用到的物理规律．③明确不同运动阶段、不同的运动形式所遵循的物理规律，包括物理规律使用时所必须满足的条件；设定未知量，表述原始物理规律式．(3)能量的观点：由于带电物体在复合场中运动时，除重力、电场力以外还有洛伦兹力参与，而洛伦兹力是随运动状态改变而变化，使合外力是一个变力，运动形式可能为变加速运动，对这类问题应用牛顿运动定律和运动学知识不能有效解决．但从力对物体做功的角度看，由于洛伦兹力方向始终垂直于速度方向，洛伦兹力对粒子不做功，运用动能定理或能量守恒的观点来处理这类问题时往往能“柳暗花明”．【跟进题组】考向1 带电体在叠加场中的运动1.(2016·高考天津卷)如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小为E ＝5 3 N/C ，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B ＝0.5 T ．有一带正电的小球，质量m ＝1×10－6 kg ，电荷量q ＝2×10－6 C ，正以速度v 在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P 点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，取g ＝10 m/s 2，求：(1)小球做匀速直线运动的速度v 的大小和方向；(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P 点所在的这条电场线经历的时间t .解析：(1)小球匀速直线运动时受力如图，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，则q v B ＝q 2E 2＋m 2g 2① 代入数据解得v ＝20 m/s ②速度v 的方向斜向右上方，与电场E 的方向之间的夹角θ满足 tan θ＝qE mg③代入数据解得tan θ＝3，θ＝60°.④(2)法一：撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，设其加速度为a ，有a ＝q 2E 2＋m 2g 2m⑤设撤去磁场后小球在初速度方向上的分位移为x ，有 x ＝v t ⑥设小球在重力与电场力的合力方向上分位移为y ，有 y ＝12at 2⑦ a 与mg 的夹角和v 与E 的夹角相同，均为θ，又 tan θ＝yx⑧联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得 t ＝2 3 s ≈3.5 s.法二：撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P 点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为v y ＝v sinθ⑤若使小球再次经过P 点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，则有v y t －12gt 2＝0⑥联立④⑤⑥式，代入数据解得t ＝2 3 s ≈3.5 s ．⑦ 答案：见解析考向2 带电体在组合场中的运动2.在如图所示的竖直平面内，水平轨道CD 和倾斜轨道GH 与半径r ＝944 m 的光滑圆弧轨道分别相切于D 点和G 点，GH 与水平面的夹角θ＝37°.过G 点、垂直于纸面的竖直平面左侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度B ＝1.25 T ；过D 点、垂直于纸面的竖直平面右侧有匀强电场，电场方向水平向右，电场强度E ＝1×104 N/C.小物体P 1质量m ＝ 2×10－3 kg 、电荷量q ＝＋8×10－6 C ，受到水平向右的推力F ＝9.98×10－3 N 的作用，沿CD 向右做匀速直线运动，到达D 点后撤去推力．当P 1到达倾斜轨道底端G 点时，不带电的小物体P 2在GH 顶端静止释放，经过时间t ＝0.1 s 与P 1相遇．P 1和P 2与轨道CD 、GH 间的动摩擦因数均为μ＝0.5，取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，物体电荷量保持不变，不计空气阻力．求：(1)小物体P 1在水平轨道CD 上运动速度v 的大小； (2)倾斜轨道GH 的长度s .解析：(1)设小物体P 1在匀强磁场中运动的速度为v ，受到向上的洛伦兹力为F 1，受到的摩擦力为f ，则F 1＝q v B ① f ＝μ(mg －F 1)②由题意，水平方向合力为零 F －f ＝0③联立①②③式，代入数据解得 v ＝4 m/s.④(2)设P 1在G 点的速度大小为v G ，由于洛伦兹力不做功，根据动能定理 qEr sin θ－mgr (1－cos θ)＝12m v 2G －12m v 2⑤ P 1在GH 上运动，受到重力、支持力、电场力和摩擦力的作用，设加速度为a 1，根据牛顿第二定律qE cos θ－mg sin θ－μ(mg cos θ＋qE sin θ)＝ma 1⑥ P 1与P 2在GH 上相遇时，设P 1在GH 上运动的距离为s 1，则 s 1＝v G t ＋12a 1t 2⑦设P 2质量为m 2，在GH 上运动的加速度为a 2，则 m 2g sin θ－μm 2g cos θ＝m 2a 2⑧P 1与P 2在GH 上相遇时，设P 2在GH 上运动的距离为s 2，则 s 2＝12a 2t 2⑨s ＝s 1＋s 2⑩联立④～⑩式，代入数据得 s ＝0.56 m.。

图1
A．11
B．12
C．121
D．144
解析
设质子的质量和电荷量分别为 m1、q1，一价正离子的质
量和电荷量为 m2、q2。对于任意粒子，在加速电场中，由动能 定理得
1 2 2qU qU＝ mv －0，得 v＝ m ① 2 v2 在磁场中 qvB＝m r ② B2r2q 由①②式联立得 m＝ ，由题意知，两种粒子在磁场中做 2U 匀速圆周运动的半径相同， 加速电压 U 不变， 其中 B2＝12B1， m2 B2 2 q1＝q2，可得 ＝ 2＝144，故选项 D 正确。 m1 B1
答案
D
【变式训练1】 (多选)劳伦斯和利文斯设计出回旋加速器，工作 原理示意图如图 2 所示。 置于真空中的 D 形金属盒半径为 R， 两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可忽略。磁感应强 度为 B 的匀强磁场与盒面垂直，高频交流电频率为 f，加速 电压为 U。若 A 处粒子源产生的质子的质量为 m，电荷量为 ＋q，在加速器中被加速，且加速过程中不考虑相对论效应和 重力的影响。则下列说法正确的是( )
【真题示例1】 (2016· 全国卷Ⅰ， 15)现代质谱仪可用来分析比质 子重很多倍的离子，其示意图如图 1 所示，其中加速电压恒 定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场 偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止 开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同 一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的 12 倍。此离 子和中的运动
“磁偏转”和“电偏转”的比较
电偏转 偏转条件 磁偏转
带电粒子以v⊥E进入匀 带电粒子以v⊥B进入匀 强电场(不计重力) 强磁场(不计重力) 只受大小恒定的洛伦兹 力F＝qvB 匀速圆周运动

则比荷
q U = 22 m B r2
交变电流的周期和粒子做圆周运动的周
回旋加
速器
期 相等 ,粒子在圆周运动过程中每次经
mv 2 过D形盒缝隙都会被加速.由qvB= 得 r q2 B2r 2 Ekm= 2m
速度选 择器
若qv0B=Eq,即v0= 匀速直线 运动
E ,粒子做 B
电磁流 量计
U q = qvB ,所以v= U ,所 D DB 2 D 以Q=vS= U π DB 2
速到最大动能Ek后,再将它们引出.忽略质子在电场中的运动时间,则下
列说法中正确的是( )
A.若只增大交变电压 U,则质子的最大动能 Ek 会变大 B.若只增大交变电压 U,则质子在回旋加速器中运行的时间会变短 C.若只将交变电压的周期变为 2T,仍可用此装置加速质子 D.质子第 n 次被加速前、后的轨道半径之比为 n 1 ∶ n
速度ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元件中都是带电粒子在
相互正交的电场和磁场组成的复合场中的运动平衡问题,所不同的是速度 选择器中的电场是带电粒子进入前存在的,是外加的;磁流体发电机、电
磁流量计和霍尔元件中的电场是粒子进入磁场后,在洛伦兹力作用下带电
粒子在两极板间聚集后才产生的.
典例突破
【例1】 (多选)回旋加速器在科学研究中得到了广泛应用,其原理如图 所示.D1和D2是两个中空的半圆形金属盒,置于与盒面垂直的匀强磁场中, 它们接在电压为U、周期为T的交流电源上.位于D1圆心处的质子源A能不 断产生质子(初速度可以忽略),它们在两盒之间被电场加速.当质子被加
解析: (1)粒子在电场中做匀加速直线运动,在磁场中做匀速圆周运动. (2)要确定粒子进入磁场后的运动情况,必须明确粒子的速度大小及方 向,这也是解决组合场问题的关键. 答案:见解析

解析
在该时刻， 质点所受合力方向与质点速度方向相
反，质点做减速运动，质点速度减小，由 F＝ Bqv 可知，洛 伦兹力减小， 则质点所受重力与洛伦兹力的合力与速度方向 不再在同一直线上，质点将做曲线运动，故选 C。
向上的洛伦兹力，受力平衡做直线运动即 Eq＝Bqv 得 v＝ E ， 只要速度大小相等从左向右运动的任何带电粒子都能做 B 直线运动，D 正确；若电子从右向左飞入，则电子受向上 的电场力和向上的洛伦兹力， 电子将向上偏转 B 选项正确， A、 C 选项错误。
2．[组合场]如图所示，一个静止的质量为 m、电荷量 为 q 的带正电粒子(重力忽略不计)，经加速电压 U 加速后， 垂直进入磁感应强度为 B 的匀强磁场中，粒子打到 P 点， OP＝x，能正确反映 x 与 U 之间关系的是( A．x 与 U 成正比 B．x 与 U 成反比 C．x 与 U成正比 D．x 与 U成反比 )
2．回旋加速器 (1)构造：如图乙所示， D1、D2 是半圆形金属盒， D 形 盒的缝隙处接交流电源， D 形盒处于匀强磁场中。 (2)原理： 交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等， 粒子在圆周运动的过程中一次一次地经过 D 形盒缝隙，两 盒间的电势差一次一次地反向，粒子就会被一次一次地加
mv 2 q2B2r2 r ，得 Ekm＝ 2m ，可见粒子获得的 速。由 qvB＝
洛伦兹力 F＝ qvB 磁场 方向符合 则
洛伦兹力不做功，
左手 定 不改变带电粒子 的 动能
3．带电粒子在复合场中的运动分类 (1)静止或匀速直线运动 当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静 匀速直线运动 止状态或做 。 (2)匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与电场力大小 相等 ，方向 相反 时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强 磁场的平面内做 匀速圆周 运动。

课后分级演练(二十七) 带电粒子在复合场中的运动【A 级——基础练】1．(多选)带电小球以一定的初速度v 0竖直向上抛出，能够达到的最大高度为h 1；若加上水平方向的匀强磁场，且保持初速度仍为v 0，小球上升的最大高度为h 2；若加上水平方向的匀强电场，且保持初速度仍为v 0，小球上升的最大高度为h 3，若加上竖直向上的匀强电场，且保持初速度仍为v 0，小球上升的最大高度为h 4，如图所示．不计空气，则( )A ．一定有h 1＝h 3B ．一定有h 1<h 4C ．h 2与h 4无法比较D ．h 1与h 2无法比较解析：AC 第1个图：由竖直上抛运动的最大高度公式得：h 1＝v 202g.第3个图：当加上电场时，由运动的分解可知：竖直方向上有，v 20＝2gh 3，所以h 1＝h 3，故A 正确；而第2个图：洛伦兹力改变速度的方向，当小球在磁场中运动到最高点时，小球应有水平速度，设此时的球的动能为E k ，则由能量守恒得：mgh 2＋E k ＝12mv 20，又由于12mv 20＝mgh 1，所以h 1>h 2，所以D 错误．第4个图：因小球电性不知，则电场力方向不清，则高度可能大于h 1，也可能小于h 1，故C 正确，B 错误．2.(多选)如图，空间中存在正交的匀强电场E 和匀强磁场B (匀强电场水平向右)，在竖直平面内从a 点沿ab 、ac 方向抛出两带电小球(不考虑两带电球的相互作用，两球电荷量始终不变)，关于小球的运动，下列说法正确的是( )A ．沿ab 、ac 方向抛出的带电小球都可能做直线运动B ．只有沿ab 抛出的带电小球才可能做直线运动C ．若有小球能做直线运动，则它一定是匀速运动D ．两小球在运动过程中机械能均守恒解析：AC 沿ab 方向抛出的带正电小球，或沿ac 方向抛出的带负电的小球，在重力、电场力、洛伦兹力作用下，都可能做匀速直线运动，A 正确，B 错误．在重力、电场力、洛伦兹力三力都存在时的直线运动一定是匀速直线运动，C 正确．两小球在运动过程中除重力做功外还有电场力做功，故机械能不守恒，D 错误．3.如图所示是医用回旋加速器示意图，其核心部分是两个D 形金属盒，两金属盒置于匀强磁场中，并分别与高频电源相连．现分别加速氘核(21H)和氦核(42He)．下列说法中正确的是( )A ．它们的最大速度相同B ．它们的最大动能相同C ．它们在D 形盒内运动的周期不同D ．仅增大高频电源的频率可增大粒子的最大动能解析：A 由Bqv ＝m v 2R 得v ＝qBR m，21H 和42He 的比荷相等，故v 也相同，即A 项正确．E km＝12mv 2＝q 2B 2R 22m ，21H 和42He 的q 2m 的值不等，则E km 不同，即B 项错．周期T ＝2πm Bq ，由上述分析可见T 相同，即C 项错．粒子的最大动能与频率无关，故D 项错．4.(多选)如图所示，甲是一个带正电的小物块，乙是一个不带电的绝缘物块，甲、乙叠放在一起静置于粗糙的水平地板上，地板上方空间有水平方向的匀强磁场．现用水平恒力拉乙物块，使甲、乙一起保持相对静止向左加速运动，在加速运动阶段，下列说法正确的是( )A ．甲对乙的压力不断增大B ．甲、乙两物块间的摩擦力不断增大C ．乙对地板的压力不断增大D ．甲、乙两物块间的摩擦力不断减小解析：ACD 对甲、乙两物块受力分析，甲物块受竖直向下的洛伦兹力不断增大，乙物块对地板的压力不断增大，甲、乙一起向左做加速度减小的加速运动；甲、乙两物块间的摩擦力大小等于F f ＝m 甲a ，甲、乙两物块间的摩擦力不断减小．故A 、C 、D 正确．5.如图所示，一电子束垂直于电场线与磁感应线方向入射后偏向A 极板，为了使电子束沿射入方向做直线运动，可采用的方法是( )A ．将变阻器滑动头P 向右滑动B ．将变阻器滑动头P 向左滑动C ．将极板间距离适当减小D ．将极板间距离适当增大解析：D 电子入射极板后，偏向A 板，说明Eq ＞Bvq ，由E ＝U d可知，减小场强E 的方法有增大板间距离和减小板间电压，故C 错误，D 正确；而移动滑动头P 并不能改变板间电压，故A 、B 均错误．6.如图所示，在x 轴上方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B 的匀强磁场，x 轴下方存在垂直纸面向外的磁感应强度为B2的匀强磁场．一带负电的粒子从原点O 以与x 轴成30°角斜向上射入磁场，且在上方运动半径为R .不计重力，则( )A ．粒子经偏转一定能回到原点OB ．粒子在x 轴上方和下方两磁场中运动的半径之比为2∶1C ．粒子完成一次周期性运动的时间为2πm3qBD ．粒子第二次射入x 轴上方磁场时，沿x 轴前进3R解析：D 带电粒子在磁场中一直向x 轴正方向运动，A 错误．因R ＝mv qB且B 1＝2B 2，所以轨道半径之比R 1∶R 2＝1∶2，B 错误．粒子完成一次周期性运动的时间t ＝16T 1＋16T 2＝πm3qB ＋2πm 3qB ＝πmqB ，C 错误．粒子第二次射入x 轴上方磁场时，沿x 轴前进距离l ＝R ＋2R ＝3R ，D 正确．7.(多选)如图，为探讨霍尔效应，取一块长度为a 、宽度为b 、厚度为d 的金属导体，给金属导体加与前后侧面垂直的匀强磁场B ，且通以图示方向的电流I 时，用电压表测得导体上、下表面M 、N 间电压为U .已知自由电子的电荷量为e .下列说法中正确的是( )A ．M 板比N 板电势高B ．导体单位体积内自由电子数越多，电压表的示数越大C ．导体中自由电子定向移动的速度为v ＝U BdD ．导体单位体积内的自由电子数为BI eUd解析：CD 电流方向向右，电子定向移动方向向左，根据左手定则判断可知，电子所受的洛伦兹力方向竖直向上，则M 板积累了电子，M 、N 之间产生向上的电场，所以M 板比N 板电势低，选项A 错误．电子定向移动相当于长度为d 的导体切割磁感线产生感应电动势，电压表的读数U 等于感应电动势E ，则有U ＝E ＝Bdv ，可见，电压表的示数与导体单位体积内自由电子数无关，选项B 错误；由U ＝E ＝Bdv 得，自由电子定向移动的速度为v ＝U Bd，选项C 正确；电流的微观表达式是I ＝nevS ，则导体单位体积内的自由电子数n ＝IevS，S ＝db ，v ＝U Bd ，代入得n ＝BIeUb，选项D 正确． 8.如图所示，一个质量为m 、电荷量为＋q 的带电粒子，不计重力．在a 点以某一初速度水平向左射入磁场区域I ，沿曲线abcd 运动，ab 、bc 、cd 都是半径为R 的圆弧．粒子在每段圆弧上运动的时间都为t .规定由纸面垂直向外的磁感应强度为正，则磁场区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分的磁感应强度B 随x 变化的关系可能是( )解析：C 由题目条件和题图可知，粒子从a 点运动到b 点的过程中(即在磁场区域Ⅰ中)，磁感应强度为正，所以B 、D 错误；又知道粒子质量、带电荷量、运动半径及运动时间，由公式T ＝2πm Bq 及t ＝90°360°·T 可以得到磁感应强度B 的大小为πm 2qt，所以C 正确，A 错误．9.如图所示，一个质量m ＝0.1 g ，电荷量q ＝4×10－4C 带正电的小环，套在很长的绝缘直棒上，可以沿棒上下滑动．将棒置于正交的匀强电场和匀强磁场内，E ＝10 N/C ，B ＝0.5 T ．小环与棒之间的动摩擦因数μ＝0.2.求小环从静止沿棒竖直下落的最大加速度和最大速度．取g ＝10 m/s 2，小环电荷量不变．解析：小环由静止下滑后，由于所受电场力与洛伦兹力同向(向右)，使小环压紧竖直棒．相互间的压力为F N ＝qE ＋qvB .由于压力是一个变力，小环所受的摩擦力也是一个变力，可以根据小环运动的动态方程找出最值条件．根据小环竖直方向的受力情况，由牛顿第二定律得运动方程mg －μF N ＝ma ，即mg －μ(qE ＋qvB )＝ma .当v ＝0时，即刚下落时，小环运动的加速度最大，代入数值得a m ＝2 m/s 2.下落后，随着v 的增大，加速度a 逐渐减小．当a ＝0时，下落速度v 达最大值，代入数值得v m ＝5 m/s.答案：a m ＝2 m/s 2v m ＝5 m/s10．x 轴下方有两个关于直线x ＝－0.5a 对称的沿x 轴的匀强电场(大小相等，方向相反)．如图甲所示，一质量为m 、带电荷量为－q 的粒子(不计重力)，以初速度v 沿y 轴正方向从P 点进入电场，后从原点O 以与过P 点时相同的速度进入磁场(图中未画出)．粒子过O 点的同时在MN 和x 轴之间加上按图乙所示的规律发生周期性变化的磁场，规定垂直纸面向里为正方向．正向磁场与反向磁场的磁感应强度大小相等，且持续的时间相同．粒子在磁场中运动一段时间后到达Q 点，并且速度也与过P 点时速度相同．已知P 、O 、Q 在一条直线上，与水平方向夹角为θ，且P 、Q 两点横坐标分别为－a 、a .试计算：(1)电场强度E 的大小； (2)磁场的磁感应强度B 的大小； (3)粒子从P 到Q 的总时间．解析：(1)带电粒子在第三象限的运动为两个阶段的匀变速曲线运动，且时间相等，设为t ，对该运动分析得y 方向：a tan θ＝2vtx 方向：12a ＝qE2m t 2，解得：E ＝4mv2aq tan 2θ，t ＝a tan θ2v.(2)带电粒子在第一象限的磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示(只画出一个周期的情况)设半径为R ，由几何关系可知acos θ＝4nR cos θ(n ＝1,2,3，…)，Bqv ＝m v 2R，解得B ＝4nmv cos 2θqa(n ＝1,2,3，…)．(3)带电粒子在电场中运动的时间t 电＝2t ＝a tan θv.研究带电粒子在磁场中的匀速圆周运动，设时间为t 磁，设单元圆弧对应的圆心角为α，由几何关系可知α＝π－2θ，则t 磁＝2nπ－2θRv＝π－2θa2v cos 2θ，所以粒子从P 到Q 的总时间t 总＝t 电＋t 磁＝a tan θv ＋π－2θa2v cos θ.答案：(1)4mv 2aq tan 2θ (2)4nmv cos 2θqa (n ＝1,2,3，…) (3)a tan θv ＋π－2θa2v cos 2θ【B 级——提升练】11．(2017·三门峡市陕州中学检测)如图甲，一带电物块无初速度地放在皮带轮底端，皮带轮以恒定大小的速率沿顺时针转动，该装置处于垂直纸面向里的匀强磁场中，物块由底端E 运动至皮带轮顶端F 的过程中，其v －t 图象如图乙所示，物块全程运动的时间为4.5 s ，关于带电物块及运动过程的说法正确的是( )A ．该物块带负电B ．皮带轮的传动速度大小一定为1 m/sC ．若已知皮带的长度，可求出该过程中物块与皮带发生的相对位移D ．在2～4.5 s 内，物块与皮带仍可能有相对运动解析：D 对物块进行受力分析可知，开始时物块受到重力、支持力和摩擦力的作用，设动摩擦因数为μ，沿斜面的方向有μF N －mg sin θ＝ma ①物块运动后，又受到洛伦兹力的作用，加速度逐渐减小，由①式可知，一定是F N 逐渐减小，而开始时F N ＝mg cos θ，后来F N ′＝mg cos θ－f 洛，即洛伦兹力的方向是向上的，物块沿皮带向上运动，由左手定则可知物块带正电，故A 错误．物块向上运动的过程中，洛伦兹力越来越大，则受到的支持力越来越小，结合①式可知，物块的加速度也越来越小，当加速度等于0时，物块达到最大速度，此时mg sin θ＝μ(mg cos θ－f 洛)②由②式可知，只要皮带的速度大于或等于1 m/s ，则物块达到最大速度的条件与皮带的速度无关，所以皮带的速度可能是1 m/s ，也可能大于1 m/s ，则物块可能相对于传送带静止，也可能相对于传送带运动，故B 错误，D 正确．由以上分析可知，皮带的速度无法判断，所以若已知皮带的长度，也不能求出该过程中物块与皮带发生的相对位移，故C 错误．12.(多选)如图所示是选择密度相同、大小不同的纳米粒子的一种装置．待选粒子带正电且电荷量与其表面积成正比，待选粒子从O 1进入小孔时可认为速度为零，加速电场区域Ⅰ的板间电压为U ，粒子通过小孔O 2射入正交的匀强电场和匀强磁场区域Ⅱ，其中匀强磁场的磁感应强度大小为B ，左右两极板间距为d ，区域Ⅱ的出口小孔O 3与O 1、O 2在同一竖直线上，若半径为r 0、质量为m 0、电荷量为q 0的纳米粒子刚好能沿该直线通过，不计纳米粒子重力，则( )A ．区域Ⅱ的电场的场强大小与磁场的磁感应强度大小比值为 2q 0Um 0B ．区域Ⅱ左右两极板的电势差U 1＝Bdq 0U m 0C ．若密度相同的纳米粒子的半径r >r 0，则它进入区域Ⅱ时仍将沿直线通过D ．若密度相同的纳米粒子的半径r >r 0，它进入区域Ⅱ时仍沿直线通过，则区域Ⅱ的电场强度与原电场强度之比为r 0r解析：AD 设半径为r 0的粒子加速后的速度为v ，则有q 0U ＝12m 0v 2，设区域Ⅱ内电场强度为E ，由题意可知洛伦兹力等于电场力，即q 0vB ＝q 0E ，联立解得E ＝B 2q 0Um 0，则EB＝2q 0Um 0，区域Ⅱ左右两极板的电势差为Ed ＝Bd2q 0Um 0，故A 正确，B 错误；若纳米粒子的半径r >r 0，设半径为r 的粒子的质量为m 、带电荷量为q 、加速后的速度为v ′，则m ＝(r r 0)3m 0，而q ＝(r r 0)2q 0，由12mv ′2＝qU ，解得v ′＝2q 0Ur 0m 0r＝r 0rv <v ，故粒子进入区域Ⅱ后受到的洛伦兹力变小，粒子向左偏转，故C 错误；由于v ′＝r 0rv ，由E ＝Bv 可得，区域Ⅱ的电场与原电场的电场强度之比为r 0r，故D 正确． 13．如图甲所示，在MN 下方存在竖直向上的匀强电场，在MN 上方以MN 为弦、半径为R 的虚线区域内存在周期性变化的磁场，磁场的变化规律如图乙所示，规定垂直纸面向里的方向为正方向．弦MN 所对的圆心角为120°.在t ＝0时，一质量为m 、电荷量为＋q 的带电粒子，以初速度v 从A 点沿直径AOB 射入磁场，运动到圆心O 点后，做一次半径为R2的完整的圆周运动，再沿直线运动到B 点，在B 点经挡板碰撞后原速率返回(碰撞时间不计，电荷量不变)，运动轨迹如图甲所示．粒子的重力不计，不考虑变化的磁场所产生的电场．求：(1)磁场的磁感应强度B 0的大小及变化周期T 0； (2)粒子从B 点运动到A 点的最短时间t ； (3)满足(2)中条件所加的电场强度E 的大小．解析：(1)根据题意，粒子在磁场中运动的半径为r ＝R2，由洛伦兹力提供向心力得qvB 0＝m v 2r ，解得B 0＝2mv qR由题图分析可知，粒子从A 点沿直径AOB 匀速运动到O 点，然后做一个完整的圆周运动所用的时间为一个周期T 0，则T 0＝R ＋πR v ＝(π＋1)Rv(2)设一个周期内没有磁场的时间为t 1，存在磁场的时间为t 2，则t 1＝R v，t 2＝πRv因为∠MON ＝120°，可求得MN 与AB 之间的距离为R2.粒子从B 点返回时，刚好进入磁场并做14圆周运动，然后进入电场做匀减速运动，当返回后刚离开电场时粒子做圆周运动，此时一定存在磁场，为了满足题图甲的运动轨迹，粒子在电场中的最短时间为t 1＋34t 2.则粒子从B 点运动到A 点的最短时间为t ＝2(t 1＋34t 2)＋t 2＝2t 1＋52t 2＝(4＋5π)R2v(3)粒子在电场中做匀变速运动，加速度为a ＝qEm根据速度公式得2v ＝qE m ×(t 1＋34t 2)解得E ＝8mvqt 1＋3t 2＝8mv 2＋3πqR.答案：(1)2mv qR (π＋1)R v (2)(4＋5π)R2v(3)8mv 2＋3πqR14．如图甲所示，竖直面MN 的左侧空间存在竖直向上的匀强电场(上、下及左侧无边界)．一个质量为m 、电荷量为q 的可视为质点的带正电的小球，以大小为v 0的速度垂直于竖直面MN 向右做直线运动，小球在t ＝0时刻通过电场中的P 点，为使小球能在以后的运动中竖直向下通过D 点(P ，D 间距为L ，且它们的连线垂直于竖直平面MN ，D 到竖直面MN 的距离DQ 等于L /π)，经过研究，可以在电场所在的空间叠加如图乙所示随时间周期性变化的、垂直纸面向里的磁场，设t 0≤2πmqB 0且为未知量．求：甲 乙(1)场强E 的大小；(2)如果磁感应强度B 0为已知量，试推出满足条件t 1的表达式；(3)进一步研究表明，竖直向下通过D 点的小球将做周期性运动，当小球运动的周期最大时，求出磁感应强度B 0及运动的最大周期T 的大小，并在图中定性画出此时小球运动一个周期的轨迹．解析： (1)小球进入电场，做匀速直线运动时有：Eq ＝mg解得E ＝mgq(2)在t 1时刻加磁场，小球在时间t 0内做匀速圆周运动，设圆周运动周期为T 0，半径为R ，竖直向下通过D 点，如图甲所示，甲则t 0＝34T 0，B 0qv 0＝m v 2RPF －PD ＝R ，即v 0t 1－L ＝R ，解得t 1＝L v 0＋m qB 0(3)小球运动的速率始终不变，当R 变大时，T 0也增加，小球在电场中的运动周期T 也增加．在小球不飞出电场的情况下，当T 最大时，有：DQ ＝2R即L π＝2mv 0qB 0，T 0＝2πR v 0＝2πm B 0q ，解得B 0＝2πmv 0qL ，T 0＝L v 0结合轨迹图可知，小球在电场中运动的最大周期：T ＝4×(3T 04＋t 0)， 解得T ＝6Lv 0小球在电场中运动一个周期的轨迹图如图乙所示．乙答案：(1)mg q (2)t 1＝L v 0＋mqB 0(3)2πmv 0qL 6L v 0轨迹图见解析15．如图所示，在xOy 平面的第Ⅱ象限内存在沿y 轴负方向的匀强电场，电场强度为E .第Ⅰ和第Ⅳ象限内有一个半径为R 的圆，其圆心坐标为(R,0)，圆内存在垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，一带正电的粒子(重力不计)以速度v 0从第Ⅱ象限的P 点平行于x 轴进入电场后，恰好从坐标原点O 进入磁场，速度方向与x 轴成60°角，最后从Q 点平行于y 轴射出磁场．P 点所在处的横坐标x ＝－2R .求：(1)带电粒子的比荷； (2)磁场的磁感应强度大小；(3)粒子从P 点进入电场到从Q 点射出磁场的总时间．解析：(1)粒子在电场中做类似平抛运动，根据分运动公式，有： tan 60°＝v y v 0＝at 1v 0① 根据牛顿第二定律，有：a ＝qE m② 水平分运动：x ＝2R ＝v 0t ③联立解得：v y ＝v 0tan 60°＝3v 0④q m ＝3v 202ER⑤11 (2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示：由几何关系，图中轨迹圆与磁场圆的两个交点、轨迹圆圆心O 2、磁场圆圆心O 1构成四边形，由于∠O 1OO 2＝30°，故▱O 1OO 2P 是菱形，故：r ＝R ⑥根据牛顿第二定律，有：qvB ＝m v 2r ⑦式中：v ＝v 0cos 60°＝2v 0⑧联立解得：B ＝43E3v 0⑨(3)在电场中是类似平抛运动，有：t ＝x v 0＝2Rv 0⑩在磁场中是匀速圆周运动，时间：t ′＝θ2πT ＝θ2π·2πm qB ＝5πR12v 0⑪ 故总时间为：t 总＝t ＋t ′＝2R v 0＋5πR 12v 0＝24R ＋5πR12v 0⑫ 答案：(1)3v 202ER (2)43E 3v 0 (3)24R ＋5πR12v 0。

课时规范练30 带电粒子在复合场中的运动基础巩固组1.(带电粒子在叠加场中的运动)(2017·辽宁五校联考)有一个电荷量为+q、重力为G的小球,从两竖直的带电平行板上方h处自由落下,两极板间另有匀强磁场,磁感应强度为B,方向如图所示,则带电小球通过有电场和磁场的空间时,下列说法正确的是()A.一定做曲线运动B.不可能做曲线运动C.有可能做匀加速直线运动D.有可能做匀速直线运动,进入磁场后,受竖直向下的重力G=mg、水平向左的电场力F电=qE与水平向右的洛伦兹力F洛=qBv,重力与电场力大小和方向保持恒定,但因为速度大小会发生变化,所以洛伦兹力大小和方向会发生变化,所以一定会做曲线运动,A正确,B、C、D错误。

2.(多选)(带电粒子在叠加场中的运动)(2017·河南郑州质检)如图所示为一个质量为m、电荷量为+q 的圆环,可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动,细杆处于磁感应强度为B的匀强磁场中,不计空气阻力,现给圆环向右的初速度v0,在以后的运动过程中,圆环运动的速度图象可能是下图中的(),当重力与洛伦兹力相等时,圆环将做匀速直线运动,A正确;当洛伦兹力大于重力时,圆环受到摩擦力的作用,并且随着速度的减小而减小,圆环将做加速度减小的减速运动,最后做匀速直线运动,D正确;如果重力大于洛伦兹力,圆环也受摩擦力作用,且摩擦力越来越大,圆环将做加速度增大的减速运动,故B、C错误。

3.(现代科技中的电磁场问题)(2017·山西四校联考)如图所示,有一金属块放在垂直于表面C的匀强磁场中,当有稳恒电流沿平行平面C的方向通过时,下列说法正确的是()A.金属块上表面M的电势高于下表面N的电势B.电流增大时,M、N两表面间的电压U增大C.磁感应强度增大时,M、N两表面间的电压U减小D.金属块中单位体积内的自由电子数越少,M、N两表面间的电压U越小,金属块通有图示电流时,自由电子受到向上的洛伦兹力,向M面偏转,故上表面M电势低于下表面N的电势,A项错误;最终电子在洛伦兹力和电场力作用下处于平衡,即evB=e,则有U=Bvd,由此可知,磁感应强度增大时,M、N两表面间的电压增大,C项错误;由电流的微观表达式I=neSv可知,电流增大说明自由电子定向移动速率v增大,所以M、N两表面间的电压增大,B项正确;电流一定时,金属块中单位体积内的自由电子数n越少,自由电子定向移动的速率一定越大,所以M、N两表面间的电压增大,D项错误。