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第四章力学量随时间的演化与对称性

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量子力学4-1 (2)

量子力学4-1 (2)
12
（3）相似处 不管是定态问题还是力学量问题，都存在 力学量的平均值和取值的概率分布不随时间 变化问题。 所以，只有当体系即非定态，而所研究 的力学量又不是守恒量时，才讨论力学量 的平均值和取值概率分布随时间的变化问 题。
﹟
作业： p95 4.4 4.5
13
§4.1.2 能级简并与守恒量的关系
ˆ2 ˆ ˆr p p L 2 2m 2m 2mr
2 2
7
即 所以 而
ˆ2 ˆ ˆr p p L 2 2m 2m 2mr
2 2
ˆ ，p 2 ] 0 [ L，V (r )] 0 ˆ [L ˆ
ˆ ˆ pr L2 ˆ H V (r ) 2 2m 2mr
2
可见
ˆ ˆ [ L，H ] 0
ˆ F | E F ' | E
ˆ 即 | E 必为F的本征态
﹟
23
例
1 2 2 一维谐振子势V ( x) m x 中的粒子的能 2 ˆ 而空间反射算符P为守恒量 级是不简并的，
ˆ ˆ （ 不含时，且容易证明 [ P, H ] 0，请课后证明）
ˆ 所以能量本征态必为P的本征态，
L是守恒量，Lx , Ly , Lz自然都是守恒量
但一般不能同时有确定 值.
但特殊情况l 0时，Y00是它们的共同 本征态。因而此时它们同时有确定值0。
11
③守恒量与定态的异同 （1）概念不一样 a. 定态是能量取确定值的状态—能量本征态 b.守恒量是特殊的力学量，要满足一定条件 （2）性质不一样 a.在定态下，一切不含t的力学量，不管是否 守恒量，其平均值、概率分布都不随t改变。 b.守恒量对一切状态，不管是否定态，其平 均值、概率分布都不随t改变。

力学量随时间演化及对称性

力学量随时间演化及对称性

结果表明几率分布也不随时间变化。也就是说，力学量A是个守 守恒 量 。 ˆ=H ˆ ，且H ˆ 不显含时间，则d ⟨H ⟩ /dt = 0(Hamiltonian算符的期待值与时间无关) 1) A ——量子力学中的能量守恒律。 [ ] ˆ, H = 0且p ˆ不显含时间，d ⟨p 如 p ⃗ ⃗ ⃗⟩ /dt = 0 —— 量子力学中的动量守恒律；
同位旋：反映自旋和宇称相同、质量相近而电荷数不同的几种粒子归属性的量子数。如质子和中子的同位旋相同， 都是I = 1/2，但它们的第三分量不同，质子和中子同位旋的第三分量分别为I3 = 1/2和I3 = −1/2 弱等效原理：观测者不能在局部的区域内分辨出由加速度所产生的惯性力或者由物体所产生的引力，而它是由引力质量 与惯性质量成正比这一事实推演出来的。
1 i
d ˆ |ψ (t)⟩ |ψ (t)⟩ = H dt
d ⟨A⟩ = dt
证明 d 2 |cn (t)| = 0 dt 其中cn (t) = ⟨φn |ψ ⟩，φn 是基矢，不随时间而变化，取决于所选择的表象，ψ = d 2 |cn (t)| dt = ∑
n cn
(t) n .
d dcn (t) dc∗ (t) ∗ (cn (t) c∗ + cn (t) n n (t)) = cn (t) dt dt ) ⟨ ⟩ dt ( d d ⟨φn |ψ ⟩ c∗ ψ ⟨ψ |φn ⟩ + c.c. = n (t) + c.c. = φn | dt dt ⟩ 1 ⟨ ˆ |ψ ⟨ψ |φn ⟩ + c.c. = En |⟨φn |ψ ⟩|2 + c.c ≡ 0 = φn |H i i
1
Chapter III Representations [ ] ⟨ ⟩ ˆ ˆ ⃗ ⃗ ⃗ /dt = 0 —— 量子力学中的角动量守恒律； 如 L, H = 0且L 不显含时间，d L 注意，这些守恒律并不一定满足，要看具体情况。如对于自由粒子，动量守恒当然是满足的，但对于中 [ ] ⃗ H = 0，即动量不守恒，但角动量守恒。 心力场，我们有H = p2 /2m + V (r)，可以证明[p, H ] ̸= 0，但 L, 一些讨论：a) 量子体系的守恒量并不一定取确定值，或者说体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征 态。当然此力学量的平均值和几率分布是不变的。实际上我们可以通过表象变换，把体系变换到守恒量自 己的表象中去，则体系将保持在该本征态。由于守恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数； b) 量子体系的各守恒量不一定都可以同时取得确定值，如角动量的三个分量，相互之间不对易，所以无 [ ] ⃗ H = 0. 法同时确定，但在中心力场中，它们确实都是守恒量。因为 L, 2) 定态： |ψ (t)⟩ = e−iEt/ |ψ (0)⟩ ˆ， 对于任意的A [ ] ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ¯ 1 ⟨ dA ˆ H ˆ |ψ (t) = 1 ψ (t) |A ˆH ˆ |ψ (t) − 1 ψ (t) |H ˆA ˆ|ψ (t) = 0 = ψ (t) | A, dt i i i ˆ ↔ {φn }(表象) → 表示 力学量A Cn (t) = ⟨φn |ψ (t)⟩ = e−iEt/ ⟨φn |ψ (0)⟩ = e−iEt/ Cn (0) =⇒ |Cn (t)| = |Cn (0)|

第4章 力学量随时间的演化和对称性

第4章 力学量随时间的演化和对称性
先讨论力学量的平均值如何随时间改变.
第四章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化
一、力学量平均值随时间的变化
在波函数(x,t)所描写的态中，力学量A的平均值为
A(t) *(x,t)Aˆ (x,t)dx (1)
dA dt
*
t
Aˆ
dx
*
Aˆ
t
dx
*
Aˆ
t
dx
(2)
由薛定谔方程，i Hˆ
4.5.1 全同粒子的交换对称性
自然界中存在各种不同种类的粒子，例如电 子，质子，中子，光子，π介子等。 同一类粒子 具有完全相同的内禀属性，包括静质量，电荷,自 旋，磁矩，寿命等.
在量子力学中，把内禀属性相同的一类粒 子称为全同（identical）粒子.
全同粒子组成的多体系的基本特征是： 任何可观测量，特别是Hamilton 量，对于任
dt ih
t
如Â不显含t，即:
Aˆ 0 t
则有:
dA 1 [ Aˆ, Hˆ ] (3) dt ih
这就是力学量 平均值随时间 变化的公式。
若
[ Aˆ, Hˆ ] 0
(4)
则
dA 0
(5)
dt
即这种力学量在任何态 (t) 之下的平均值都不随
时间改变。
力学量 A 的平均值为
用标积表示
At t, A t
守恒量有两个重要性质： (1) 在任意态(t)之下的平均值都不随时间改变； (2) 在任意态(t)之下的概率分布不随时间改变。
三、举例
1、证明：若Ĥ不显含时间t,则Ĥ为守恒量
证： ∵Hˆ 不显含t
∴ Hˆ 0 t
又∵ [Hˆ , Hˆ ] 0

量子力学基本原理与基本概念小结-第16讲

量子力学基本原理与基本概念小结-第16讲

薛定谔方程的评论
2、薛定谔方程是时间一次、坐标二次偏微分方程， 不具有相对论协变性（时空对称性），因而不是 微观粒子的相对论性量子力学运动方程。薛定谔 方程是建立在非相对论时空和非相对论运动学基 础之上的非相对论量子力学。
3、非相对论性量子多体理论，虽然引进了粒子产生、 消灭算符和二次量子化表象，但它们描述的是粒子 从一个量子态向另一个量子态的跃迁与转变，并没 有真正涉及粒子的产生和消灭。
薛定谔方程中的波函数的物理本质是什么呢？
波恩的观点：
薛定谔方程中的波函数代表的是一种概率，而 绝对不是薛定谔本人所理解的是电荷（电子） 在空间中的实际分布。波函数，准确地说 r 2 代表了电子在某个地点出现的概率，电子本身 不会像波那样扩展开去，但它的出现概率则像 一个波。
“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒 子的波是概率波”，这是量子力学的一个基本 假设（基本原理）
WII
WII
N
III
(c e c e ) III iknIII ( xb) n
III iknIII ( xb) n
n1
2 ny
sin( ).
WIII
WIII
超晶格结构中电子的薛定谔方程与波函数如何写？
理想超晶格
d
含缺陷结构超晶格
复杂体系中电子运动
多粒子系统的Schrődinger方程
原则上只要对上式进行求解即可得出所有物理性质，然而由于电子之间的相互作用的复杂性， 要严格求出多电子体系的Schrődinger方程解是不可能的，必须在物理模型上进一步作一系列 的近似。
（一）薛定谔方程
Schrodinger 的方程一般表达式
i
(r,t)
Hˆ (r, t )

曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-力学量随时间的演化与对称性】

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第4章力学量随时间的演化与对称性4.1 判断下列提法的正误：（正确○，错误×）（a）在非定态下，力学量的平均值随时间变化；（×）（b）设体系处于定态，则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化；（○）（c）设Hamilton量为守恒量，则体系处于定态；（×）（d）中心力场中的粒子，处于定态，则角动量取确定值；（×）（e）自由粒子处于定态，则动量取确定值；（×）（f）一维粒子的能量本征态无简并；（×）（g）中心力场中的粒子能级的简并度至少为（2ι／＋1），ι＝0，1，2，…．（○）4.2 设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态φ1、φ2、φ3中的任何一个态．试求体系可能态的数目，分三种情况讨论：（a）两个全同Bose子；（b）两个全同Fermi子；（c）两个不同粒子．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[下]，7.1题．】7.1 考虑由两个全同粒子组成的体系．设可能的单粒子态为φ1、φ2、φ3，试求体系的可能态数目．分三种情况讨论：（a）粒子为Bose子（Bose统计）；（b）粒子为Fermi 子（Fermi统计）；（c）粒子为经典粒子（Boltzmann统计）．解：以符号△、○、口分别表示φ1、φ2、φ3态．Bose子体系的量子态对于两个粒子的交换必须是对称的，Fermi子体系则必须是反对称的，经典粒子被认为是可区分的，体系状态没有对称性的限制．当两个粒子处于相同的单粒子态时，体系的状态必然是交换对称的，这种状态只能出现于Bose子体系和经典粒子体系，体系波函数的构造方式为当两个粒子处于不同的单粒子态（φi和φj，i≠j）时，如果是经典粒子，有两种体系态，即由单粒子态φi和φj可以构成对称和反对称的体系态各一种，即对称态适用于Bose子体系，反对称态适用于Fermi子体系．对于两粒子体系来说，Bose子体系的可能态总数与Fermi子体系的可能态总数之和，显然正好等于经典粒子（可区分粒子）体系的可能态总数．如可能的单粒子态为k个，则三种两粒子体系的可能态数目如下：经典粒子N＝k2本题k＝3，Fermi子、Bose子、经典粒子体系的可能态数目分别为3、6、9．体系态的构造方式如下：Bose子体系态（共6种，均为交换对称态）有Fermi子体系态（反对称态）只有3种：当全同粒子体系的粒子数超过两个时，一般来说，对于粒子间的交换完全对称的状态（适用于Bose子）数目与完全反对称的状态（适用于Fermi子）数目之和，总是小于没有对称性限制的体系状态（适用于经典粒子）总数．亦即，后者除了完全对称态和完全反对称态，还有一些没有对称性或只有混杂对称性的状态．例如，由三个全同粒子组成的体系，如可能的单粒子态有3种，则在Boltzmann统计、Bose统计、Fermi统计下，体系的可能态数目分别为27、10和1．4.3 设体系由3个粒子组成，每个粒子可能处于3个单粒子态（φ1，φ2和φ3）中任何一个态，分析体系的可能态的数目，分三种情况：（a）不计及波函数的交换对称性；（b）要求波函数对于交换是反对称；（c）要求波函数对于交换是对称．试问：对称态和反对称态的总数为多少?与（a）的结果是否相同?对此做出说明．解：（a）不计及波函数的交换对称性，其可能态的数目为33＝27；（b）要求波函数对于交换是反对称的，其可能态的数目为1；（c）要求波函数对于交换是对称的，其可能态的数目为1＋6＋3＝10（参见《量子力学教程》4.5.4节，94页的例题）．对称态和反对称态的总数＝10＋1＝11，而不计及交换对称性的量子态的数目（即（a）的结果）为27，两者并不相同．原因在于全同粒子的交换对称性对量子态的限制所造成．4.4 设力学量A不显含t，H为体系的Hamilton量，证明证明：对于不显含t的力学量A，有上式两边再对t求导，则有即4.5 设力学量A不显含t，证明在束缚定态下证明：定态是能量本征态，满足对于束缚态，是可以归一化的，即取有限值．而对于不显含t的力学量A，因此4.6 表示沿z方向平移距离口的算符．证明下列形式波函数（Bloch波函数）：是D x（a）的本征态，相应本征值为证明：利用可得而对于形式为的波函数所以，即是D x（a）的本征态，相应本征值为e-ika．4.7 设体系的束缚能级和归一化能量本征态分别为En和，n为标记包含Hamilton 量H在内的力学量完全集的本征态的一组好量子数．设H含有一个参数A，证明此即Feynman-Hellmann定理．【证明见《量子力学习题精选与剖析》[下]，5.1题．】5.1 设量子体系的束缚态能级和归一化能量本征态分别为E n和（n为量子数或编号数），设λ为Hamilton算符H含有的任何一个参数．证明（1）这称为Feynman-Hellmann定理．以后简称F-H定理．证明：满足能量本征方程（2）其共轭方程为（2'）视λ为参变量，式（2）对λ求导，得到（3）以左乘式（3），利用式（2'）和归一化条件，即得式（1）．4.8 设包含Hamilton量H在内的一组守恒量完全集的共同本征态和本征值分别为丨n>和E n，n为一组完备好量子数．证明，力学量（算符）F随时间的变化，在此能量表象中表示为【证明见《量子力学习题精选与剖析》[下]，2.1题．】2.1 给定总能量算符H（，，p），以表示其本征值和本征函数．态矢量简记为按照Heisenber9运动方程，力学量算符A（r，p）的时间变化率为（1）定义能量表象中矩阵元（2）证明（3）其中。

曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-力学量随时间的演化与对称性(圣才出

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第4章 力学量随时间的演化与对称性4.1 复习笔记一、力学量随时间的演化1．守恒量对于力学量A ，其平均值随时间变化关系式如下A tH A i dt A d ˆ]ˆ,ˆ[1∂∂+=η 故对于Hamilton 量H 不含时的量子体系，如果力学量A 与H 对易，力学量A 对应算符不显含时间t ，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A 的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变．则把A 称为量子体系的一个守恒量．2．能级简并与守恒量的关系（1）守恒量与简并关系的定理定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F 和G ，即[F ，H]＝0，[G ，H]＝0，但[F ，G ]≠0，则体系能级一般是简并的．推论 如果体系有一个守恒量F ，而体系的某条能级部简并（即对应于某能量本征值E 只有一个本征态E ψ），则E ψ必为F 的本征态．（2）位力（virial ）定理当体系处于定态下，关于平均值随时间的变化，有一个有用的定理，即位力virial ）定理．设粒子处于势场V （r ）中，Hamilton 量为)(2p 2r V mH += 则位力定理表述如下位力定理推论：若势场函数V(r)为r 的n 次齐次式，则有推论V T 2n =二、波包的运动，Ehrenfest 定理设质量为m 的粒子在势场V （r ）中运动，用波包ψ（r ，t ）描述．设粒子的Hamilton 量为)(2p 2r V mH += 作如下定义：则Ehrenfest 定理表述如下：三、Schr ödinger 图像与Heisenberg 图像（1）（1）式这种描述方式称为Schrödinger 图像（picture ）．亦称Schrödinger 表象． 在Schtodlnger 图像中，态矢随时间演化，遵守Schrödinger 方程，而算符则不随时间的变化；与此相反，在Heisenberg 图像中，则让体系的态矢本身不随时间的变化而算符切随时间的变化，遵守Heisenberg方程．四、守恒量与对称性的关系1．对称性变换[Q，H]＝0 （2）凡满足式（2）的变换，称为体系的对称性变换．物理学中的体系的对称性变换，总是构成一个群，称为体系的对称性群（symmetrygroup）．2．对称性对应守恒量体系在Q变换下的不变性[Q，H]＝0，应用到无穷小变换，就导致F就是体系的一个守恒量．这充分说明对称性变换Q必定对应一个守恒量F．典型的两个例子是：平移不变性对应动量守恒，空间旋转不变性对应角动量守恒．五、全同粒子体系与波函数的交换对称性1．全同粒子体系的交换对称性（1）全同性原理全同性原理：任何可观测到，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子交换是不变的，即交换对称性．凡满足P ijψ＝ψ的．称为对称（symmetric）波函数；满足P ijψ＝-ψ的称为反对称（anti—symmetrle）波函数．（2）玻色子与费米子凡自旋为 整数倍（s＝0,1，2，…）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是对称的，如π介子（s＝0）．光子（s＝1）．在统计方法上，它们遵守Bose统计，故称为Bose 子．凡自旋为h的半奇数倍（s＝1/2，3/2，…）的粒子，波函数对于两粒子交换总是反对称的，如电子，质子，中子等．它们遵守Fermi统计，故称为Fermi子．2．两个全同粒子组成的体系Pauli不相容原理：不允许有两个全同的Fermi子处于同一个单粒子态．Pauli原理是一个极为重要的自然规律，后来从量子力学波函数的反对称性来说明Pauli原理的是Heisenberg，Fermi和Dirac的贡献．3．N个全同Fermi子组成的体系设N个Fermi子分别处于k2<k z<…<k N态下，则反对称波函数可如下构成（3）P代表N个粒子的一个置换（permutation）．式（3）常称为slater行列式，是归一化因子．4．N个全同Bose子组成的体系Bose子不受Pauli原理限制，可以有任意数目的Bose子处于相同的单粒子态．设有n i个Bose子处于k，态上（i＝1，2，…，N），则该体系的归一化的对称波函数可表为4.2 课后习题详解4.1 判断下列提法的正误：（正确○，错误×）（a）在非定态下，力学量的平均值随时间变化；（×）（b）设体系处于定态，则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化；（○）（c）设Hamilton量为守恒量，则体系处于定态；（×）（d）中心力场中的粒子，处于定态，则角动量取确定值；（×）（e）自由粒子处于定态，则动量取确定值；（×）（f）一维粒子的能量本征态无简并；（×）（g）中心力场中的粒子能级的简并度至少为（2ι／＋1），ι＝0，1，2，…．（○）4.2 设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态φ 1、φ 2、φ 3中的任何一个态．试求体系可能态的数目，分三种情况讨论：（a）两个全同Bose子；（b）两个全同Fermi 子；（c）两个不同粒子．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[下]，7.1题．】7.1 考虑由两个全同粒子组成的体系．设可能的单粒子态为φ1、φ2、φ3，试求体系的可能态数目．分三种情况讨论：（a）粒子为Bose子（Bose统计）；（b）粒子为Fermi子（Fermi统计）；（c）粒子为经典粒子（Boltzmann统计）．解：以符号△、○、口分别表示φ1、φ2、φ3态．Bose子体系的量子态对于两个粒子的交换必须是对称的，Fermi子体系则必须是反对称的，经典粒子被认为是可区分的，体系状态没有对称性的限制．当两个粒子处于相同的单粒子态时，体系的状态必然是交换对称的，这种状态只能出现于Bose子体系和经典粒子体系，体系波函数的构造方式为当两个粒子处于不同的单粒子态（φi和φj，i≠j）时，如果是经典粒子，有两种体系态，即由单粒子态φi和φj可以构成对称和反对称的体系态各一种，即对称态适用于Bose子体系，反对称态适用于Fermi子体系．对于两粒子体系来说，Bose子体系的可能态总数与Fermi子体系的可能态总数之和，显然正好等于经典粒子（可区分粒子）体系的可能态总数．如可能的单粒子态为k个，则三种两粒子体系的可能态数目如下：经典粒子N＝k2本题k＝3，Fermi子、Bose子、经典粒子体系的可能态数目分别为3、6、9．体系态。

量子力学_4.1 力学量随时间的演化


4
相似.
4.1 力 学 量随 时 间 的 演 化
量子力学教程(第二版)
2
式 3 代入式
，得
d m 2 r F r dt
2
5
上式即谓Ehrenfest定理.其形式也与经典Newton方 程相似.
但是, 只当 F r 可以近似代之为 F r 时,波 r 包中心 的运动规律才与经典粒子相同. 那么, 在什么条件下可以做这种近似呢?
i i t
1 1 A , HA , AH , i i t
1 A , A , H , i t
1 A A, H i t
7
时 ， 才 此时,式 可 才与经典Newton方程形式上完全相同. 5 近 由此可以看出： 似 7 要求 式在整个运动过程中成立，就要满 代 足以下条件. 之 为
4.1 力 学 量随 时 间 的 演 化
量子力学教程(第二版)
(a)波包很窄，而且在运动过程中扩散不厉害. (b) V 在空间变化较缓慢（在波包范围中变化 很小）. 从式（7）还可以看出 ,如果 V x a bx cx2 a, b, c为常量 . 所以对于线性势或谐振子势，条件
级一般是简并的.
推论
如果体系有一个守恒量 F ，而体系的某条能 级不简并（即对应于某能量本征值 E ，只有一个 本征态 E ），则 E 必为 F 的本征态.
例如 一维谐振子势 2 不简并的,而空间反射 P 为守恒量, P, H 0, 所以 能量本征态必为 的本征态,即有确定宇称. P
按4.1节式 3 ,粒子坐标和动量的平均值随时 间变化如下: d 1 r r, H p m 2 dt i

第4章-1.力学量随时间演化 西南大学量子力学PPT(考试必备)

§4.1力学量随时间的演化
一、守恒量
量子力学中，处于量子态ψ下的体系，在每一时刻，不是所有的力学量都具有 确定的值。一般来说，它们只是具有确定的概率分布和平均值。
1、先讨论平均值随时间的变化： 力学量A随时间的平均为，
* ˆ ˆ ˆ (t )d A ( (t ), A (t )) (t ) A
率分布都不随时间改变
四、维力定理
处于定态下，力学量平均值随时间的演化
由 d ˆ 1 ˆ ˆ A [ A, H ] dt i
ˆ2 p ˆ H V (r ) 2m
则
i
d ˆ p ˆ [r ˆ p ˆ,H ˆ] r dt
ˆ2 p
1 2 ˆ V ( r ) ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i ( r [ r p, p ] [ r p,V ( r )] m 2m
为守恒量，而体系的状态并不一定为它的本征态。
b、量子体系多个守恒量不一定都具有确定值。
例如：中心力场中的粒子，L的三个分量都是守恒量。 但Lx，Ly，Lz不对易，一般不能同时取确定值。
2、守恒量与定态的区别：
a、定态是体系的一种特殊状态，能量本征态
在定态下，一切力学量（不管是否守恒量）的平均值
和 几率分布都不随时间改变 b、守恒量是一种特殊力学量 守恒量在一切状态下（不管是否定态）的平均值和几
如果力学量d ˆ 1 ˆ ˆ A [ A, H ] dt i
如
ˆ, H ˆ ] 0 [A
则有
d ˆ A 0 dt
即这种力学量在任何态ψ(t)之下的平均值都不随时间改变。
２、在任意态下A的几率分布也不随时间改变。 由于力学量A与哈密顿量H的对易，所以可以选择包含二者的一组力学 量完全集，其共同本征态为：

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只有一个本征态 E ），则 E 必为 F 的本征态．
（2）位力（virial）定理 当体系处于定态下，关于平均值随时间的变化，有一个有用的定理，即位力 virial）定 理．设粒子处于势场 V（r）中，Hamilton 量为
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Bose 子不受 Pauli 原理限制，可以有任意数目的 Bose 子处于相同的单粒子态．设有 ni 个 Bose 子处于 k，态上（i＝1，2，…，N），
则该体系的归一化的对称波函数可表为
4.2 课后习题详解
4.1 判断下列提法的正误：（正确○，错误×） （a）在非定态下，力学量的平均值随时间变化；（×） （b）设体系处于定态，则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化；（○） （c）设 Hamilton 量为守恒量，则体系处于定态；（×） （d）中心力场中的粒子，处于定态，则角动量取确定值；（×） （e）自由粒子处于定态，则动量取确定值；（×） （f）一维粒子的能量本征态无简并；（×） （g）中心力场中的粒子能级的简并度至少为（2ι／＋1），ι＝0，1，2，…．（○）
3．N 个全同 Fermi 子组成的体系 设 N 个 Fermi 子分别处于 k2<kz<…<kN 态下，则反对称波函数可如下构成
（3）
P 代表 N 个粒子的一个置换（permutation）．式（3）常称为 slater 行列式，
是归一化因子．
4．N 个全同 Bose 子组成的体系
4 / 61
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4.2 设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态φ 1、φ 2、φ 3 中的任何一个 态．试求体系可能态的数目，分三种情况讨论：（a）两个全同 Bose 子；（b）两个全同 Fermi 子；（c）两个不同粒子．

量子力学 第4章

其中
ˆ U(t ) = e
ˆt H /ih
ˆt 1 H ν ) ≡∑ ( ! ih ν =0 ν
∞
称为演化算符
演化算符的性质
是么正变换： 是么正变换：
ˆ ˆ + (t ) = e−Ht/ih U
ˆ + (t )U(t ) = U(t )U+ (t ) = 1 ˆ ˆ ˆ U
Û 与 Ĥ 对易，Û 的时间变化率为 对易，
r 证明 ： 引入任意波函数 ψ (r ) r r ˆ [ H ( r )ψ ( r )] = H ( − r )ψ ( − r ) ˆ r ˆ r P r r r ˆ ( r )ψ ( − r ) = H ( r ) Pψ ( r ) ˆ r ˆ =H ˆ ˆ [ P， H ] = 0 所以 ˆ ˆ P又不显含时间 ， 所以 P是守恒力学量 。 ˆ ˆ 宇称守恒时 ， P与 H可以有共同的本征函数 。 也就是讲 ， ˆ 我们可以让 H的本征函数具有确定的 宇称 ， 而且它的宇称态不随时 间而改变 。 这就是宇称守恒的意义 。
(3)能量守恒 能量守恒
ˆ ˆ 当哈密顿算符 H 不含时间 ， H是守恒力学量 。
5. 宇称
r r ˆ ψ (r , t ) = ψ (− r , t ) (1)定义宇称算符 ： P ˆ Pψ ( x , y , z ) = ψ ( − x , − y , − z ) 或者 ˆ 思考题 ： Pψ ( r， θ， ϕ ) = ？ (2) 宇称算符的本征值与本 征函数 r r ˆ ψ ( r ) = λψ ( r ) P 本征值方程
r d pϕ ( p)
r ∂ r ∂ r ∂ ∂ r r ˆ r r → r = ih∇ p = i h r = i h(i ) + j +k ∂p x ∂p ∂p y ∂pz
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故有 其中 Cn (0) 为
Cn (t) = Cn (0)e
−
iEn t h
时力学量的概率分布函数， t = 0 时力学量的概率分布函数，所以
Cn (t) = Cn (0)
2
2
即守恒量A的测量概率与时间无关， 即守恒量 的测量概率与时间无关，即概率分布不 的测量概率与时间无关 随时间而变化。 随时间而变化。
例如，中心力场中的粒子， 例如，中心力场中的粒子，角动量的三个分量都守 但由于三个分量互相不对易， 恒，但由于三个分量互相不对易，所以一般说来它们 并不能同时取确定值（角动量等于零的态除外）。 并不能同时取确定值（角动量等于零的态除外）。
三、举例 1、自由粒子动量守恒 、
∧ 2
ˆ = P 自由粒子的哈密顿算符： 自由粒子的哈密顿算符：H 定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量，
即[ F , H ] = 0, [G , H ] = 0, 但[ F , G ] ≠ 0
则：体系能级一般是简并的。 体系能级一般是简并的。
证明： 证明：
由于[F , H] = 0, F与H可以有共同本征函数φ， Hφ = Eφ, Fφ = F 'φ
可见：
d2A ˆ ˆ ˆ －h 2 2 = [[ A, H ], H ] dt
§4.2守恒量与对称性 守恒量与对称性
（一）关于对称性
无论对艺术还是自然科学，对称性都是重要的研究对象 无论对艺术还是自然科学，对称性都是重要的研究对象.
德国数学家魏尔（ 德国数学家魏尔（H.Weyl,1885-1955）用严谨的概念描述对称 ） 他对上述现象作了如下表述： 性.他对上述现象作了如下表述： 他对上述现象作了如下表述 若某图形通过镜面反射又回到自己，则该图形对该镜面是反射 若某图形通过镜面反射又回到自己，则该图形对该镜面是反射 对称或双向对称的. 对称或双向对称的 若某一图形围绕轴作任何转动均能回到自身， 若某一图形围绕轴作任何转动均能回到自身，则该图形具有对 转动的对称性. 轴的转动的对称性 轴的转动的对称性
推论：如果体系有一个守恒量 ， 推论：如果体系有一个守恒量F，而体系的某条能级 不简并（即对应于某能量本征值E只有一个本 不简并（即对应于某能量本征值 只有一个本 ϕ E 征态），则 ϕ E 必为 的本征态。 征态）， ），则 必为F的本征态 的本征态。
证明： HFφE = FH φE = FEφE = EFφE
又，
∧ ∧2 H , l = 0 ∧ ∧ H , lα = 0 (α = x , y , z )
∧2 ∧ ∧ ∧
所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量 所以粒子在中心力场中运动时，
v2 ˆ , lˆ , lˆ , lˆ 都是守恒量。 l x y z 都是守恒量。
20世纪初，人们认识了守恒定律和对称性的关系. 爱 世纪初，人们认识了守恒定律和对称性的关系 世纪初 因斯坦在狭义相对论将反映时空对称性的相对性原 理从力学推广于全部物理学， 理从力学推广于全部物理学，爱因斯坦用对称性研 究引力.20世纪中 世纪中， 究引力 世纪中，人们还看到规范对称性决定着各 种相互作用的特征.如粒子物理弱相互作用下由左右 种相互作用的特征 如粒子物理弱相互作用下由左右 不对称，这意味着有对称又有不对称.从上述中已能 不对称，这意味着有对称又有不对称 从上述中已能 看到对称性在现代物理学中的重要作用同时也看到 物理学中的对称性已被研究得何等深入， 物理学中的对称性已被研究得何等深入，包含了多 么博大深邃的人类的智慧， 么博大深邃的人类的智慧，科学美与艺术美也统一 起来了. 起来了
(a) 与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定 与经典力学守恒量不同， 即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。 值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。 一个体系在某时刻t是否处于某守恒量的本征态， 一个体系在某时刻 是否处于某守恒量的本征态，要根据初始条 是否处于某守恒量的本征态 件决定。若在初始时刻 具有确定值， 件决定。若在初始时刻(t=0)，守恒量 具有确定值，则以后任 ，守恒量A具有确定值 何时刻它都具有确定值，即体系将保持在 的同一个本征态 的同一个本征态。 何时刻它都具有确定值，即体系将保持在Â的同一个本征态。 由于守恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数。但是， 由于守恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数。但是， 好量子数 若初始时刻A并不具有确定值（这与经典力学不同），即 若初始时刻 并不具有确定值（这与经典力学不同），即ψ(0) 并不具有确定值 ），
v2 ˆ v p ˆ = 是守恒量。 ，证明动量 p 是守恒量。 对于自由粒子， 对于自由粒子，H 2m
例题3： 例题 ：
4.4
教材95页 教材 页。
因此
dA 1 ˆ ˆ 证明： 由于 = [ A, H ], dt ih
d 2 A 1 dA ˆ 1 ˆ ˆ ˆ = [ , H ], = − 2 [[ A, H ], H ] 2 dt ih dt h
概括起来讲，对于 不含时的量子体系， 概括起来讲，对于Hamilton量Ĥ不含时的量子体系，如果 量 不含时的量子体系 力学量Â既不显含时间，又与 对易 对易（ ），则无 力学量 既不显含时间，又与Ĥ对易（[Â, Ĥ]=0），则无 既不显含时间 ）， 论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其 论体系处于什么状态（定态或非定态）， 的平均值及其 ）， 测量的概率分布均不随时间改变。所以把 称为量子体系 测量的概率分布均不随时间改变。所以把A称为量子体系 的一个守恒量。 的一个守恒量。
则有: 则有
dA 1 ˆ ˆ = [ A, H ] dt ih
(4)
二、守恒量
如果Â既不显含时间， 又与Ĥ对易 如果 既不显含时间， Â 又与 对易 [Â, Ĥ]=0 既不显含时间 则有
d A=0 dt
(5)
之下的平均值都不随时间改变 平均值都不随时间改变。 即这种力学量在任何态ψ之下的平均值都不随时间改变。
同时可以证明： 同时可以证明：
此时A的概率分布也不随时间改变 的概率分布也不随时间改变。 在任意态ψ下，此时 的概率分布也不随时间改变。 我们称这样的力学量A为运动恒量或守恒量。 我们称这样的力学量 为运动恒量或守恒量。
•证明守恒量 其概率分布不随时间而变化 证明守恒量F其概率分布不随时间而变化 证明守恒量
即空间反演算符， 即空间反演算符，它的作用是把波函数中的 x, y, z → −x,− y,−z 它是厄米算符， 它是厄米算符，它的本征值只有 ±1 ， 即 P = ±1
∧
态函数的宇称: 态函数的宇称:
∧ v 1 ，称偶宇称 ψ (r , t). 对应P的本征值 的态 ∧ ∧ v v v Pψ (r , t) =ψ (−r , t) = −ψ (r , t) 对应P的本征值−1 的态，称寄宇称 ψ ′ 得出另一态，称其无确定宇称
3、哈密顿不显含时间的体系能量守恒 、
ˆ 不显含t ∵ H 不显含
∴
ˆ ∂H =0 ∂t
ˆ ˆ 又∵ [ H , H ] = 0
∴
ˆ ˆ d H ∂H i ˆ ˆ = + [H , H ] dt ∂t h
=0
ˆ 守恒（能量守恒）。 即 H 守恒（能量守恒）。
四、宇称守恒
v v 宇称算符 Pψ (r , t) =ψ (−r , t)
即FφE 也是H的本征值为 E的本征态。但已知 能级E无简并，所以FφE 与φE 只能是同一个 量子态。因此最多只能 相差一个常数因子 F '， 即FφE = F 'φE，所以φE 也是F的本征态（F '本征值）
例题1： 例题 ： 例题2： 例题 ：
判断下列提法的正误94页 判断下列提法的正误 页。
所以
∧ dCn (t) 1 * ∂ψ (x, t) * = ∫φn (x) dx = ∫φn (x) Hψ (x, t)dx dt ∂t ih
∧ En * En 1 * = ∫ ( H φn ) ψ ( x, t )dx = ∫ φn ( x)ψ ( x, t )dx = ih Cn (t ) ih ih
dp 1 v ˆ ˆ = [ p, H ] = 0 dt ih
所以自由粒子的动量是守恒量。 所以自由粒子的动量是守恒量。
________
2、 粒子在中心力场中运动：角动量守恒 、 粒子在中心力场中运动：
p2 ˆ = ˆ + V (r ) H 2m
( l , l x , l y , l z )皆不显含时间
第四章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化
一、力学量平均值随时间的变化
在波函数ψ(x,t)所描写的态中，力学量 的平均值为 所描写的态中， 所描写的态中 力学量A的平均值为
ˆ A(t ) = ∫ψ * ( x, t ) Aψ ( x, t ) dx
(1)
ˆ ∂A ∂ψ * ˆ dA * * ˆ ∂ψ ψ dx + ∫ Aψ dx + ∫ψ A dx = ∫ψ ∂t ∂t ∂t dt
考虑到[G, H] = 0, 有HGφ = GHφ = EGφ , 即Gφ也是H的本征态，对应于能量本征值E。
由于[F , G] ≠ 0，一般来说，FGφ ≠ GFφ = F Gφ ,
'
即Gφ不是F的本征态。但φ是F的本征态， 因此Gφ与φ不是同一个量子态。但它们又都是H 的本征值为E的本征态，因此能级是简并的。
(2)
ˆ ˆ 由薛定谔方程， 由薛定谔方程，ih ∂ψ = Hψ ⇒ ∂ψ = 1 Hψ ∂t
∂t
ih
1 ˆ * ∂ψ * ∴ = − ( Hψ ) ∂t ih
ˆ dA 1 * ∂A ˆ ˆ ˆ ψ )* Aψ dx + ψ * A( 1 Hψ )dx ˆ ∴ = ∫ψ ψ dx − ∫ ( H ∫ dt ∂t ih ih