第四章力学量随时间的演化与对称性
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第4章力学量随时间的演化与对称性4.1 判断下列提法的正误:(正确○,错误×)(a)在非定态下,力学量的平均值随时间变化;(×)(b)设体系处于定态,则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化;(○)(c)设Hamilton量为守恒量,则体系处于定态;(×)(d)中心力场中的粒子,处于定态,则角动量取确定值;(×)(e)自由粒子处于定态,则动量取确定值;(×)(f)一维粒子的能量本征态无简并;(×)(g)中心力场中的粒子能级的简并度至少为(2ι/+1),ι=0,1,2,….(○)4.2 设体系有两个粒子,每个粒子可处于三个单粒子态φ1、φ2、φ3中的任何一个态.试求体系可能态的数目,分三种情况讨论:(a)两个全同Bose子;(b)两个全同Fermi子;(c)两个不同粒子.【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[下],7.1题.】7.1 考虑由两个全同粒子组成的体系.设可能的单粒子态为φ1、φ2、φ3,试求体系的可能态数目.分三种情况讨论:(a)粒子为Bose子(Bose统计);(b)粒子为Fermi 子(Fermi统计);(c)粒子为经典粒子(Boltzmann统计).解:以符号△、○、口分别表示φ1、φ2、φ3态.Bose子体系的量子态对于两个粒子的交换必须是对称的,Fermi子体系则必须是反对称的,经典粒子被认为是可区分的,体系状态没有对称性的限制.当两个粒子处于相同的单粒子态时,体系的状态必然是交换对称的,这种状态只能出现于Bose子体系和经典粒子体系,体系波函数的构造方式为当两个粒子处于不同的单粒子态(φi和φj,i≠j)时,如果是经典粒子,有两种体系态,即由单粒子态φi和φj可以构成对称和反对称的体系态各一种,即对称态适用于Bose子体系,反对称态适用于Fermi子体系.对于两粒子体系来说,Bose子体系的可能态总数与Fermi子体系的可能态总数之和,显然正好等于经典粒子(可区分粒子)体系的可能态总数.如可能的单粒子态为k个,则三种两粒子体系的可能态数目如下:经典粒子N=k2本题k=3,Fermi子、Bose子、经典粒子体系的可能态数目分别为3、6、9.体系态的构造方式如下:Bose子体系态(共6种,均为交换对称态)有Fermi子体系态(反对称态)只有3种:当全同粒子体系的粒子数超过两个时,一般来说,对于粒子间的交换完全对称的状态(适用于Bose子)数目与完全反对称的状态(适用于Fermi子)数目之和,总是小于没有对称性限制的体系状态(适用于经典粒子)总数.亦即,后者除了完全对称态和完全反对称态,还有一些没有对称性或只有混杂对称性的状态.例如,由三个全同粒子组成的体系,如可能的单粒子态有3种,则在Boltzmann统计、Bose统计、Fermi统计下,体系的可能态数目分别为27、10和1.4.3 设体系由3个粒子组成,每个粒子可能处于3个单粒子态(φ1,φ2和φ3)中任何一个态,分析体系的可能态的数目,分三种情况:(a)不计及波函数的交换对称性;(b)要求波函数对于交换是反对称;(c)要求波函数对于交换是对称.试问:对称态和反对称态的总数为多少?与(a)的结果是否相同?对此做出说明.解:(a)不计及波函数的交换对称性,其可能态的数目为33=27;(b)要求波函数对于交换是反对称的,其可能态的数目为1;(c)要求波函数对于交换是对称的,其可能态的数目为1+6+3=10(参见《量子力学教程》4.5.4节,94页的例题).对称态和反对称态的总数=10+1=11,而不计及交换对称性的量子态的数目(即(a)的结果)为27,两者并不相同.原因在于全同粒子的交换对称性对量子态的限制所造成.4.4 设力学量A不显含t,H为体系的Hamilton量,证明证明:对于不显含t的力学量A,有上式两边再对t求导,则有即4.5 设力学量A不显含t,证明在束缚定态下证明:定态是能量本征态,满足对于束缚态,是可以归一化的,即取有限值.而对于不显含t的力学量A,因此4.6 表示沿z方向平移距离口的算符.证明下列形式波函数(Bloch波函数):是D x(a)的本征态,相应本征值为证明:利用可得而对于形式为的波函数所以,即是D x(a)的本征态,相应本征值为e-ika.4.7 设体系的束缚能级和归一化能量本征态分别为En和,n为标记包含Hamilton 量H在内的力学量完全集的本征态的一组好量子数.设H含有一个参数A,证明此即Feynman-Hellmann定理.【证明见《量子力学习题精选与剖析》[下],5.1题.】5.1 设量子体系的束缚态能级和归一化能量本征态分别为E n和(n为量子数或编号数),设λ为Hamilton算符H含有的任何一个参数.证明(1)这称为Feynman-Hellmann定理.以后简称F-H定理.证明:满足能量本征方程(2)其共轭方程为(2')视λ为参变量,式(2)对λ求导,得到(3)以左乘式(3),利用式(2')和归一化条件,即得式(1).4.8 设包含Hamilton量H在内的一组守恒量完全集的共同本征态和本征值分别为丨n>和E n,n为一组完备好量子数.证明,力学量(算符)F随时间的变化,在此能量表象中表示为【证明见《量子力学习题精选与剖析》[下],2.1题.】2.1 给定总能量算符H(,,p),以表示其本征值和本征函数.态矢量简记为按照Heisenber9运动方程,力学量算符A(r,p)的时间变化率为(1)定义能量表象中矩阵元(2)证明(3)其中。
第4章 力学量随时间的演化与对称性4.1 复习笔记一、力学量随时间的演化1.守恒量对于力学量A ,其平均值随时间变化关系式如下A tH A i dt A d ˆ]ˆ,ˆ[1∂∂+=η 故对于Hamilton 量H 不含时的量子体系,如果力学量A 与H 对易,力学量A 对应算符不显含时间t ,则无论体系处于什么状态(定态或非定态),A 的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变.则把A 称为量子体系的一个守恒量.2.能级简并与守恒量的关系(1)守恒量与简并关系的定理定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F 和G ,即[F ,H]=0,[G ,H]=0,但[F ,G ]≠0,则体系能级一般是简并的.推论 如果体系有一个守恒量F ,而体系的某条能级部简并(即对应于某能量本征值E 只有一个本征态E ψ),则E ψ必为F 的本征态.(2)位力(virial )定理当体系处于定态下,关于平均值随时间的变化,有一个有用的定理,即位力virial )定理.设粒子处于势场V (r )中,Hamilton 量为)(2p 2r V mH += 则位力定理表述如下位力定理推论:若势场函数V(r)为r 的n 次齐次式,则有推论V T 2n =二、波包的运动,Ehrenfest 定理设质量为m 的粒子在势场V (r )中运动,用波包ψ(r ,t )描述.设粒子的Hamilton 量为)(2p 2r V mH += 作如下定义:则Ehrenfest 定理表述如下:三、Schr ödinger 图像与Heisenberg 图像(1)(1)式这种描述方式称为Schrödinger 图像(picture ).亦称Schrödinger 表象. 在Schtodlnger 图像中,态矢随时间演化,遵守Schrödinger 方程,而算符则不随时间的变化;与此相反,在Heisenberg 图像中,则让体系的态矢本身不随时间的变化而算符切随时间的变化,遵守Heisenberg方程.四、守恒量与对称性的关系1.对称性变换[Q,H]=0 (2)凡满足式(2)的变换,称为体系的对称性变换.物理学中的体系的对称性变换,总是构成一个群,称为体系的对称性群(symmetrygroup).2.对称性对应守恒量体系在Q变换下的不变性[Q,H]=0,应用到无穷小变换,就导致F就是体系的一个守恒量.这充分说明对称性变换Q必定对应一个守恒量F.典型的两个例子是:平移不变性对应动量守恒,空间旋转不变性对应角动量守恒.五、全同粒子体系与波函数的交换对称性1.全同粒子体系的交换对称性(1)全同性原理全同性原理:任何可观测到,特别是Hamilton量,对于任何两个粒子交换是不变的,即交换对称性.凡满足P ijψ=ψ的.称为对称(symmetric)波函数;满足P ijψ=-ψ的称为反对称(anti—symmetrle)波函数.(2)玻色子与费米子凡自旋为 整数倍(s=0,1,2,…)的粒子,波函数对于两个粒子交换总是对称的,如π介子(s=0).光子(s=1).在统计方法上,它们遵守Bose统计,故称为Bose 子.凡自旋为h的半奇数倍(s=1/2,3/2,…)的粒子,波函数对于两粒子交换总是反对称的,如电子,质子,中子等.它们遵守Fermi统计,故称为Fermi子.2.两个全同粒子组成的体系Pauli不相容原理:不允许有两个全同的Fermi子处于同一个单粒子态.Pauli原理是一个极为重要的自然规律,后来从量子力学波函数的反对称性来说明Pauli原理的是Heisenberg,Fermi和Dirac的贡献.3.N个全同Fermi子组成的体系设N个Fermi子分别处于k2<k z<…<k N态下,则反对称波函数可如下构成(3)P代表N个粒子的一个置换(permutation).式(3)常称为slater行列式,是归一化因子.4.N个全同Bose子组成的体系Bose子不受Pauli原理限制,可以有任意数目的Bose子处于相同的单粒子态.设有n i个Bose子处于k,态上(i=1,2,…,N),则该体系的归一化的对称波函数可表为4.2 课后习题详解4.1 判断下列提法的正误:(正确○,错误×)(a)在非定态下,力学量的平均值随时间变化;(×)(b)设体系处于定态,则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化;(○)(c)设Hamilton量为守恒量,则体系处于定态;(×)(d)中心力场中的粒子,处于定态,则角动量取确定值;(×)(e)自由粒子处于定态,则动量取确定值;(×)(f)一维粒子的能量本征态无简并;(×)(g)中心力场中的粒子能级的简并度至少为(2ι/+1),ι=0,1,2,….(○)4.2 设体系有两个粒子,每个粒子可处于三个单粒子态φ 1、φ 2、φ 3中的任何一个态.试求体系可能态的数目,分三种情况讨论:(a)两个全同Bose子;(b)两个全同Fermi 子;(c)两个不同粒子.【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[下],7.1题.】7.1 考虑由两个全同粒子组成的体系.设可能的单粒子态为φ1、φ2、φ3,试求体系的可能态数目.分三种情况讨论:(a)粒子为Bose子(Bose统计);(b)粒子为Fermi子(Fermi统计);(c)粒子为经典粒子(Boltzmann统计).解:以符号△、○、口分别表示φ1、φ2、φ3态.Bose子体系的量子态对于两个粒子的交换必须是对称的,Fermi子体系则必须是反对称的,经典粒子被认为是可区分的,体系状态没有对称性的限制.当两个粒子处于相同的单粒子态时,体系的状态必然是交换对称的,这种状态只能出现于Bose子体系和经典粒子体系,体系波函数的构造方式为当两个粒子处于不同的单粒子态(φi和φj,i≠j)时,如果是经典粒子,有两种体系态,即由单粒子态φi和φj可以构成对称和反对称的体系态各一种,即对称态适用于Bose子体系,反对称态适用于Fermi子体系.对于两粒子体系来说,Bose子体系的可能态总数与Fermi子体系的可能态总数之和,显然正好等于经典粒子(可区分粒子)体系的可能态总数.如可能的单粒子态为k个,则三种两粒子体系的可能态数目如下:经典粒子N=k2本题k=3,Fermi子、Bose子、经典粒子体系的可能态数目分别为3、6、9.体系态。