从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式共38页

从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式【知识梳理】 1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅∅3.(x －a )(x －b )>0或(x －a )(x －b )<0型不等式的解集不等式解集a <ba ＝ba >b(x －a )·(x －b )>0 {x |x <a 或x >b } {x |x ≠a }{x |x <b 或x >a } (x －a )·(x －b )<0{x |a <x <b }∅{x |b <x <a }4.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 【微点提醒】1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.2.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.3.不等式ax 2＋bx ＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.(1)不等式ax 2＋bx ＋c>0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c>0或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0. (2)不等式ax 2＋bx ＋c<0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c<0或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)不等式x 2≤a 的解集为[－a ，a ].( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R.( )【教材衍化】2.(必修5P103A2改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( )A.(－2，3)B.(－2，2)C.(－2，2]D.[－2，2]3.(必修5P80A2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________. 【真题体验】4.(2018·烟台月考)不等式1－x2＋x ≥0的解集为( )A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)5.(2019·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为( ) A.1 B.－14C.4D.－126.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.【考点聚焦】考点一 一元二次不等式的解法 角度1 不含参数的不等式【例1－1】 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集.角度2 含参数的不等式 命题点1 通过判别式分类讨论【例1－2】 解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k <0(k ∈R).命题点2 通过根的大小分类讨论【例1－3】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).【规律方法】 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于零取两边，小于零取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练1】(2018·豫北豫南名校联考)不等式x2－3|x|＋2>0的解集是________.考点二一元二次方程与一元二次不等式【例2】 已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________.【规律方法】 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.【训练2】 (2019·天津和平区一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3)C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)考点三 一元二次不等式恒成立问题 角度1 在实数R 上恒成立【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2)D.(－2，2]角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3)【规律方法】 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (2019·安庆模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( )A.0B.－2C.－52D.－3考点四 一元二次不等式的应用【例4】 甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【规律方法】 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型. (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.【训练4】 已知产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0，240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( ) A.100台 B.120台 C.150台D.180台【反思与感悟】1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.2.在解决不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.3.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单. 【易错防范】1.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别. 2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.(2018·合肥调研)已知集合A ＝{y |y ＝e x，x ∈R}，B ＝{x ∈R|x 2－x －6≤0}，则A ∩B 等于( ) A.(0，2) B.(0，3] C.[－2，3]D.[2，3]2.不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3]3.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( )A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，124.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1，1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( ) A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定5.(2019·淄博月考)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(0，＋∞) B.(－∞，0)∪(1，＋∞) C.(－1，0)D.(0，1)二、填空题6.不等式2x 2－x <4的解集为________.7.已知不等式mx 2＋nx －1m <0的解集为{x |x <－12或x >2}，则m －n ＝________.8.(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.三、解答题9.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.10.解下列不等式： (1)0<x 2－x －2≤4； (2)12x 2－ax >a 2(a ∈R).【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)12.(2019·保定一中调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，－2)B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)13.设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.14.(2019·济南一中质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.【新高考创新预测】15.(试题创新)若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x＋4y－5≤ax＋by＋c≤3x＋4y＋5，则( )A.a＋b－c的最小值为2B.a－b＋c的最小值为－4C.a＋b－c的最大值为4D.a－b＋c的最大值为6答案1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )(3)不等式x2≤a的解集为[－a，a].( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R.( )【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)×【解析】 (3)错误.对于不等式x 2≤a ，当a >0时，其解集为[－a ，a ]；当a ＝0时，其解集为{0}，当a <0时，其解集为∅.(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅.【教材衍化】2.(必修5P103A2改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( )A.(－2，3)B.(－2，2)C.(－2，2]D.[－2，2]【答案】 C【解析】 因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}，所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2].3.(必修5P80A2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞【解析】 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.【真题体验】4.(2018·烟台月考)不等式1－x2＋x ≥0的解集为( )A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)【答案】 B【解析】 原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1.5.(2019·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为()A.1B.－14C.4D.－12【答案】 B 【解析】 因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，所以方程ax 2＋bx ＋1＝0的解为－1和2，所以－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝1a ，所以a ＝－12，b ＝12，所以ab ＝－14. 6.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.【答案】 [－4，0]【解析】 若a ＝0，则f (x )＝－1≤0恒成立，若a ≠0，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a <0，综上，得a ∈[－4，0]. 【考点聚焦】考点一 一元二次不等式的解法多维探究角度1 不含参数的不等式【例1－1】 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集.【答案】见解析【解析】化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，解方程2x 2－x －3＝0，得x 1＝－1，x 2＝32， ∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞， 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 角度2 含参数的不等式命题点1 通过判别式分类讨论【例1－2】 解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k <0(k ∈R).【答案】见解析【解析】①当k ＝0时，不等式的解为x >0.②当k >0时，若Δ＝4－4k 2>0，即0<k <1时，不等式的解为1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k； 若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解.③当k <0时，若Δ＝4－4k 2>0，即－1<k <0时，不等式的解为x <1＋1－k 2k 或x >1－1－k 2k， 若Δ<0，即k <－1时，不等式的解集为R ；若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解为x ≠－1，综上所述，k ≥1时，不等式的解集为∅；0<k <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x >0}；当－1<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x <1＋1－k 2k ，或x >1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}；k <－1时，不等式的解集为R.命题点2 通过根的大小分类讨论【例1－3】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R).【答案】见解析【解析】原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0， 解得x ≥2a 或x ≤－1. ③当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即－2<a <0时，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1； 当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 【规律方法】 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于零取两边，小于零取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练1】 (2018·豫北豫南名校联考)不等式x 2－3|x |＋2>0的解集是________.【答案】 (－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞)【解析】 由题原不等式可转化为|x |2－3|x |＋2>0，解得|x |<1或|x |>2，所以x ∈(－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞).考点二 一元二次方程与一元二次不等式【例2】 已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________. 【答案】 {x |x ≥3或x ≤2}【解析】 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5. 故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.【规律方法】 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.【训练2】 (2019·天津和平区一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(1，3)C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞) 【答案】 C【解析】 关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求不等式的解集是(－1，3).考点三 一元二次不等式恒成立问题多维探究 角度1 在实数R 上恒成立【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，2)B.(－∞，2]C.(－2，2)D.(－2，2]【答案】 D【解析】 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立；当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2（a －2）]2－4×（a －2）×（－4）<0， 解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2，2].角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 【解析】 要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立，故mx 2－mx ＋m －6＜0，则m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立.法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3].当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0.所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0.法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可.因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 .角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为() A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)【答案】 C【解析】 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，得f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.【规律方法】 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (2019·安庆模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3【答案】 C 【解析】 由于x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立， 则a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时恒成立， 令g (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12， 易知g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，则y ＝－g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数. ∴y ＝－g (x )的最大值是－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝－52. 因此a ≥－52，则a 的最小值为－52. 考点四 一元二次不等式的应用【例4】 甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【答案】见解析【解析】(1)根据题意，得200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000， 整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0， 解得x ≥3或x ≤－15， 又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3，10].(2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112， 故当x ＝6时，y max ＝457 500元.即甲厂以6千克/时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元.【规律方法】 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义.(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.【训练4】 已知产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0，240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A.100台B.120台C.150台D.180台 【答案】 C【解析】 由题设，产量x 台时，总售价为25x ；欲使生产者不亏本时，必须满足总售价大于等于总成本， 即25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，即0.1x 2＋5x －3 000≥0，x 2＋50x －30 000≥0，解之得x ≥150或x ≤－200(舍去).故欲使生产者不亏本，最低产量是150台.故选C.【反思与感悟】1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.2.在解决不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.3.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.【易错防范】1.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·合肥调研)已知集合A ＝{y |y ＝e x ，x ∈R}，B ＝{x ∈R|x 2－x －6≤0}，则A ∩B 等于( )A.(0，2)B.(0，3]C.[－2，3]D.[2，3] 【答案】 B【解析】 因为A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－2≤x ≤3}，故A ∩B ＝{x |0<x ≤3}. 2.不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] 【答案】 C 【解析】 不等式可化为2x 2－5x －3（x －1）2≤0，即（2x ＋1）（x －3）（x －1）2≤0， 解得－12≤x <1或1<x ≤3. 3.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( )A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【答案】 A 【解析】 当x ≥0时，原不等式即为x (1－2x )>0，所以0<x <12；当x <0时，原不等式即为－x (1－2x )>0，所以x <0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 4.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1，1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定 【答案】 C【解析】 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2.由f (x )的图象可知f (x )在[－1，1]上为增函数.所以x ∈[－1，1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.5.(2019·淄博月考)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集是( )A.(－∞，－1)∪(0，＋∞)B.(－∞，0)∪(1，＋∞)C.(－1，0)D.(0，1) 【答案】 C【解析】 由Δ＝[－(a ＋2)]2－4a ＝a 2＋4>0知，函数f (x )必有两个不同的零点，又f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则f (－2)·f (－1)<0，即(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56.又a ∈Z ，所以a ＝－1，此时不等式f (x )>1即为－x 2－x >0，解得－1<x <0.二、填空题6.不等式2x 2－x <4的解集为________.【答案】 (－1，2)【解析】 由已知得2x 2－x <22，∴x 2－x <2即x 2－x －2<0，解得－1<x <2，故所求解集为 (－1，2).7.已知不等式mx 2＋nx －1m <0的解集为{x |x <－12或x >2}，则m －n ＝________. 【答案】 －52【解析】 由已知得m <0且－12，2是方程mx 2＋nx －1m＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－n m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×2＝－1m 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－32(舍). ∴m －n ＝－1－32＝－52. 8.(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x的解集用区间表示为________.【答案】 (－3，0)∪(3，＋∞)【解析】 设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ).又f (0)＝0.于是不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2－2x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－2x >x ， 解得x >3或－3<x <0.故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).三、解答题9.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}.(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 10.解下列不等式：(1)0<x 2－x －2≤4；(2)12x 2－ax >a 2(a ∈R).【答案】见解析【解析】(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，可得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，∴原不等式的解集为{x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3}.(2)∵12x 2－ax >a 2，∴12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得x 1＝－a 4，x 2＝a 3. 当a >0时，－a 4<a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－a 4或x >a 3； 当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a <0时，－a 4>a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 3或x >－a 4. 综上所述，当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－a 4或x >a 3； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 3或x >－a 4. 【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)【答案】 D 【解析】 易知f (x )在R 上是增函数，∵f (2－x 2)>f (x )，∴2－x 2>x ，解得－2<x <1，则实数x 的取值范围是(－2，1).12.(2019·保定一中调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，－2)B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】 A【解析】 因为f(x)在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f(x)在R 上是增函数，结合题意得－4t>2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m<0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝16－8m2<0⇒m ∈(－∞，－2).13.设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.【答案】 (－∞，－2]【解析】 令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1，1]恒成立，因此⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2. 14.(2019·济南一中质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.【答案】见解析【解析】因为函数f (x )是偶函数，故函数图象关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增.所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立，从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立，化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立，设h (x )＝3x 2－2ax －a 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝0≤0，h （a ＋1）＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34. 故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－34. 【新高考创新预测】15.(试题创新)若实数a ，b ，c 满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax ＋by ＋c ≤3x ＋4y ＋5，则( )A.a ＋b －c 的最小值为2B.a －b ＋c 的最小值为－4C.a ＋b －c 的最大值为4D.a －b ＋c 的最大值为6【答案】 A【解析】 由题意可得－5≤(a －3)x ＋(b －4)y ＋c ≤5恒成立，所以a ＝3，b ＝4，－5≤c ≤5，则2≤a ＋b －c ≤12，即a ＋b －c 的最小值是2，最大值是12，A 正确，C 错误；－6≤a －b ＋c ≤4，则a －b ＋c 的最小值是－6，最大值是4，B 错误，D 错误，故选A.。

【考点梳理】考点一：一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax 2＋bx ＋c >0，ax 2＋bx ＋c <0，ax 2＋bx ＋c ≥0，ax 2＋bx ＋c ≤0，其中a ≠0，a ，b ，c 均为常数考点二：一元二次函数的零点二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点． 考点三：二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根 有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1，或x >x 2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2a Rax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2} ∅ ∅【题型归纳】题型一：一元二次不等式的解法1．（2023·高一）不等式()273x x +≥-的解集为（ ） A ．(]1,3,2⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．(]1,2,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭D ．12,3⎡--⎤⎢⎥⎣⎦2．（2023秋·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考开学考试）解下列不等式： (1)2450x x -++<(2)20252x x ≤-+(3)2690x x -+≤(4)290x -≤3．（2023·江苏·高一专题练习）重新考查不等式2510 4.80x x -+<.这个不等式的左边可分解因式为( 1.2)(54)x x --.根据实数乘法的符号法则，问题可归结为求一元一次不等式组（1） 1.20540x x -<⎧⎨->⎩和（2） 1.20540x x ->⎧⎨-<⎩的两个解集的并集不等式组（1）的解为0.8x 1.2<<，不等式组（2）无解，从而不等式2510 4.80x x -+<的解集为{|0.8 1.2}x x <<. 试用上述方法解下面的不等式：(1)(23)(1)0x x -+>；(2)(1)(2)0x x -+≥；(3)103x x -<+；(4)1204xx -≤+.题型二：由一元二次不等式来确定参数的范围4．（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）已知关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为{}12x x <<，则a b +=（ ） A ．3B ．5C ．1-D ．3-5．（2023·江苏·高一专题练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{23}xx -<<∣，且对于[]1,5x ∀∈，不等式220bx amx c ++>恒成立，则m 的取值范围为（ ）A ．(,43⎤-∞⎦B ．(),43∞-C ．[)13,+∞D ．(),13-∞6．（2023·江苏·高一专题练习）已知不等式210ax bx +->的解集为1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，则不等式20x bx a --≥的解集为（ ）A ．{3|x x ≤-或2}x -≥B ．{|32}x x --≤≤C ．{|23}x x ≤≤D ．{|2x x ≤或3}x ≥题型三：一元二次不等式恒成立问题7．（2023·全国·高一专题练习）设集合}{210A x ax ax =++≥满足R A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,4B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(]0,48．（2023·全国·高一专题练习）若不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(2,2)-B ．(10,2]-C ．(,2)[2,)-∞-+∞D ．(,2)-∞-9．（2023秋·江苏淮安·高一江苏省淮安中学校考期末）“10k -<<”是“关于x 的不等式22(2)0kx kx k +-+<恒成立”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题型四：一元二次不等式在某个区间成立问题10．（2023秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）任意[]1,1x ∈-，使得不等式212x x m -+≥m 取值范围是（ ） A ．14m ≥B ．14m ≤C ．14⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．2m ≤11．（2023·江苏·高一专题练习）命题“[1,2],20ax x x∀∈+≥”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．1a ≥-B ．2a ≥-C ．3a ≥-D ．4a ≥-12．（2022秋·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校联考阶段练习）对任意的[1,1]x ∈-，不等式2(4)420x a x a +-+-<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a ≥B ．3a >C ．3a ≤D ．3a <题型五：一元二次不等式在某个区间有解问题13．（2023秋·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）若命题“0(0,)x ∀∈+∞，使得20030x ax a +++≥”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）)(1,)+∞41)(,)3+∞15．（2022秋·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）设a 为实数，若关于x 的不等式270x ax -+≥在区间()2,7)7题型六：一元二次不等式的实际应用问题16．（2023·江苏·高一专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（ ）A ．20≤x ≤30B ．20≤x ≤45C ．15≤x ≤30D ．15≤x ≤4517．（2021秋·江苏苏州·高一江苏省黄埭中学校考阶段练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位：m ）的取值范围是（ ）A ．1530x ≤≤B ．1225x ≤≤C ．1030x ≤≤D ．2030x ≤≤保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是（ ）A ．{}|3t t ≥B ．{}5|3t t ≤≤C ．{|35}t t <<D ．{}|5t t ≤题型七：含参数的一元二次不等式的解法19．（2023秋·江苏苏州·高一统考开学考试）解关于x 的不等式：210ax x a -+-≤（其中0a ≤）. 20．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数2(,R)y x bx c b c =++∈，且0y ≤的解集为[]1,2-. (1)求,b c ；(2)解关于x 的不等式2(2)2(1)(0)m x x x m m -->--≥21．（2023·江苏·高一假期作业）（1）解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<；（2）已知关于x 的不等式()()22454130m m x m x +---+>对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【双基达标】一、单选题25．（2022秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）当0x m ≤≤时，函数223y x x =-+有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m ≥-B ．12m ≤≤C ．02m ≤≤D ．2m ≤26．（2023·江苏·高一专题）“31m -<<”是“不等式()()21110m x m x -+--<对任意的x ∈R 恒成立”的（ ）条件A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是()(),12,-∞-+∞，则不等式20bx ax c +-≤的解集是（ ）A ．[]1,2-B ．][(),12,-∞-⋃+∞C ．[]2,1-D ．][(),21,∞∞--⋃+【高分突破】一、单选题30．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知一元二次方程210x mx -+=的两根都在(0,2)内，则实数m 的取值A ．13t -≤≤B ．31t -≤≤C ．1t ≤-或3t ≥D ．3t或1t ≥32．（2022秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）设m 为实数，2(1)1y m x mx m =+-+-，若不等式0y >的的取值范围为（ ）34．（2022秋·高一单元测试）已知二次函数24y x x =-，一次函数y kx =，点()1,A a y 为二次函数图象上的动点，点二、多选题35．（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为36．（2022秋·江苏南通·高一校考阶段练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法正确的是（ ）A ．0a >37．（2023秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）设m 为实数，已知关于x 的方程()2310mx m x +-+=，则下列说法正确的是（ ）A ．当3m =时，方程的两个实数根之和为0B ．方程无实数根的一个必要条件是1m >C ．方程有两个不相等的正根的充要条件是01m <<D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是0m <38．（2022秋·江苏扬州·高一校考期中）已知0b >,若对任意的()0,x ∈+∞,不等式32330ax x abx b +--≤恒成立.则（ ）三、填空题四、解答题44．（2022秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）已知关于x 的不等式2220ax x a --<的解集为。

第4节从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式知识梳理1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<b a＝b a>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b} {x|x≠a}{x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 4.分式不等式与整式不等式(1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0).(2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. [微点提醒]1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.2.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.3.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)不等式x 2≤a 的解集为[－a ，a ].( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( )解析 (3)错误.对于不等式x 2≤a ，当a >0时，其解集为[－a ，a ]；当a ＝0时，其解集为{0}，当a <0时，其解集为∅.(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P103A2改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B＝( ) A.(－2，3) B.(－2，2) C.(－2，2]D.[－2，2]解析 因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}， 所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2]. 答案 C3.(必修5P80A2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________. 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞4.(2018·烟台月考)不等式1－x2＋x≥0的解集为( ) A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)解析 原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1. 答案 B5.(2019·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为( )。

第10讲从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式知识点一二次函数的零点1．一般地，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)当函数值取零时自变量x 的值，即二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标，也称为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点．2．函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x 轴交点的横坐标，也是函数值为零时自变量x 的值，也是函数相应的方程的实数根．知识点二一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之间的关系当a >0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点之间的关系如表所示：判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根有两个相异的实数根x 1，2＝－b ±b 2－4ac2a有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点有两个零点x 1，2＝－b ±b 2－4ac2a有一个零点x ＝－b 2a无零点知识点三一元二次不等式及解法1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的解法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n.知识点四二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系考点一：求二次函数的零点例1(1)二次函数y＝x2－7x＋12的零点为________；(2)若函数y1＝x2－ax－b的图象如图所示，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是________．【总结】变式求下列函数的零点．(1)y＝3x2－2x－1；(2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)；(3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示．考点二：函数的零点个数的判断与证明例2若a>2，求证：函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．【总结】变式（1）求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件．（2）求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．考点三：二次函数零点的分布探究例3(1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)是否存在零点；(2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围．【总结】变式已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R).(1)若该函数有两个不相等的正零点，求a的取值范围；(2)若该函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，求a的取值范围．考点四：不含参数的一元二次不等式的解法例4解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1>0.【总结】变式（1）不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是()A ．{x |x <－1}B |xC |－1<x D |x <－1或x （2）解不等式：－2<x 2－3x ≤10.考点五：含参数的一元二次不等式的解法例5(1)解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0；(2)已知关于x 的不等式(m 2＋4m －5)x 2－4(m －1)x ＋3>0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【总结】变式已知函数y ＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R)，且y ≤0的解集为[－1，2].(1)求函数y 的解析式；(2)解关于x 的不等式m (x 2－x －2)>2(x －m －1)(m ≥0).考点六：一元二次不等式解集逆向应用例6(多选)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为x |－12<x <2，则下列结论正确的是()C．c>0D．a＋b＋c>0【总结】变式若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为()1．函数y＝x2－4x＋3的零点为()A．(1，0)B．(1，3)C．1和3D．(1，0)和(3，0)2．函数y＝x2－2x＋2的零点个数是()C．2D．33．已知p：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个异号实数根，q：ac<－1，则p是q的________条件．4．讨论函数y＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零点．5．不等式x(x－9)＜x－21的解集为()A．(3，7)B．(－∞，3)∪(7，＋∞)C．(－7，－3)D．(－∞，－7)∪(－3，＋∞)6．已知a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＜0的解集是()A．{x|x＞5a或x＜－a}B．{x|x＜5a或x＞－a}C．{x|－a＜x＜5a}D．{x|5a＜x＜－a}7．(多选)关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列正确的是() A．a＜0B．关于x的不等式bx＋c＞0的解集为(－∞，－6)C．a＋b＋c＞0D．关于x的不等式cx2－bx＋a＞08．写出一个解集为(－2，3)的一元二次不等式________．9．已知y＝(x－a)(x－2).(1)当a＝1时，求不等式y＞0的解集；(2)解关于x的不等式y＜0.1．若x 1，x 2是二次函数y ＝x 2－5x ＋6的两个零点，则1x 1＋1x 2的值为()A ．－12B ．－13C ．－16D ．562．函数y ＝x 2－(a ＋1)x ＋a 的零点个数为()A ．1B ．2C ．1或2D ．03．关于x 的函数y ＝x 2－2ax －8a 2(a >0)的两个零点为x 1,x 2，且x 2－x 1＝15，则a ＝()A ．52B ．72C ．154D ．1524．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是()A |x B |－13≤xC ．∅D |x 5．若一元二次不等式kx 2－2x ＋k ＜0的解集为{x |x ≠m }，则m ＋k 的值为()A ．－1B ．0C ．－2D ．26．已知函数y ＝x 2－6x ＋5－m 的两个零点都大于2，则实数m 的取值范围是()A ．[－4，－3)B ．(－4，－3]C ．(－4，－3)D ．(－∞，－4)∪(－3，＋∞)7．(多选)若关于x 的一元二次方程(x －2)·(x －3)＝m 有实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，则下列结论中正确的是()A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3B．m>－14C．当m>0时，2<x1<x2<3D．当m>0时，x1<2<3<x28．若一元二次不等式kx2－2x＋k＜0的解集为{x|x≠m}，则m＋k的值为()A．－1B．0C．－2D．29．(多选)函数y＝(x－2)(x－4)－1有两个零点x1，x2，且x1＜x2，下列关于x1，x2的关系中错误的有() A．x1＜2且2＜x2＜4B．x1＞2且x2＞4C．x1＜2且x2＞4D．2＜x1＜4且x2＞410．函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为________．11．求下列函数的零点．(1)y＝x－2x－3；(2)y＝x2－(3a－1)x＋(2a2－2).12．已知函数y＝ax2＋bx＋1有两个零点x1，x2，则“|a|≥1”是“|x1|＋|x2|≤2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件13．(多选)对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是()A．函数一定有两个零点B．a>0时，函数一定有两个零点C．a<0时，函数一定有两个零点D．函数的零点个数是1或214．一元二次不等式x2－(a＋1)x＋a＜0(a＞1)的解集中有3个整数，则实数a的取值范围为________．15．已知函数y＝2ax－a＋3在(－1，1)上有零点，则实数a的取值范围是________________．16．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.17．若函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，且m<－1，n>12，求实数a的取值范围．18．已知二次函数y＝x2－4x＋2k.(1)若二次函数y＝x2－4x＋2k有零点，求实数k的取值范围；(2)如果k是满足(1)的最大整数，且二次函数y＝x2－4x＋2k的零点是二次函数y＝x2－2mx＋3m－1的一个零点，求m的值及二次函数y＝x2－2mx＋3m－1的另一个零点．。

3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式【知识点梳理】知识点一：一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)ax bx c ++>≥或20(0)ax bx c ++<≤（其中a ，b ，c 均为常数，)0a ≠的不等式都是一元二次不等式．知识点二：二次函数的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点．知识点三：一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设24b ac ∆=-，它的解按照0∆>，0∆=，0∆<可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集． 24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数 2y ax bx c=++（0a >）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根 1212,()x x x x <有两相等实根122bx x a ==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20(0)ax bx c a ++<>的解集{}12x xx x <<∅ ∅（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =2ax bx c ++与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集．知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数；（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 知识点六：一元二次不等式恒成立问题（1）转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即20(0)ax bx c a ++>≠恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩恒成立20(0)ax bx c a ++<≠00.a <⎧⇔⎨∆<⎩（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点七：简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”【题型归纳目录】题型一：解不含参数的一元二次不等式 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 题型四：一次分式不等式的解法题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 题型六：不等式的恒成立问题 【典型例题】题型一：解不含参数的一元二次不等式例1．（2022·全国·高一课时练习）不等式()273x x +≥-的解集为（ ）A ．(]1,3,2⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．(]1,2,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭D ．12,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】()273x x +≥-可变形为22730x x ++≥， 令22730x x ++=，得13x =-，212x =-，所以3x ≤-或21x ≥-，即不等式的解集为(]1,3,2⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A.【方法技巧与总结】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． （2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）根据图象写出不等式的解集．例2．（多选题）（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）与不等式220x x -+>的解集相同的不等式有（ ） A ．220x x --<+ B ．22320x x -+> C ．230x x -+≥ D ．220x x +->【答案】ABC【解析】因为2(1)4270∆=--⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式220x x -+>的解集为R ，A.14(1)(2)70∆=-⨯--=-<，二次函数的图象开口朝下，所以220x x --<+的解集为R ；B.2(3)42270∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式22320x x -+>的解集为R ；C.2(1)413110∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式230x x -+≥的解集为R ；D. 220x x +->，所以(2)(1)0,1x x x +->∴>或2x <-，与已知不符. 故选：ABC例3．（2022·全国·高一课时练习）解下列不等式： (1)262318x x x -≤-<；(2)1232x x +≥-； (3)2320x x -+>.【解析】（1）原不等式等价于22623318x x x x x ⎧-≤-⎨-<⎩，即22603180x x x x ⎧--≥⎨--<⎩，即()()()()320630x x x x ⎧-+≥⎪⎨-+<⎪⎩，所以2336x x x ≤-≥⎧⎨-<<⎩或，所以32x -<≤-或36x <≤，所以原不等式的解集{32x x -<≤-或}36x ≤<； （2）由1232x x +≥-，可得155203232x x x x +-+-=≥--， 所以()()55320320x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得213x <≤，所以原不等式的解集为213x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（3）原不等式等价于23200x x x ⎧-+>⎨≥⎩或23200x x x ⎧-+>⎨<⎩，分别解这两个不等式组，得01x ≤<或2x >或10x -<<或2x <-， 故原不等式的解集为{2x x <-或11x -<<或}2x >.题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇例4．（2022·全国·高一专题练习）若不等式220ax bx +-<的解集为{}|21x x -<<，则a b +=（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【答案】D【解析】不等式220ax bx +-<的解集为{}|21x x -<<，则方程220ax bx +-=根为2-、1， 则21221ba a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪-=-⨯⎪⎩，解得1,1a b ==，2a b ∴+=，故选：D【方法技巧与总结】 三个“二次”之间的关系（1）三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．（2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：例5．（2022·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式2260ax x a -+>的解集为{|1}x m x <<,则=a ______，m =______． 【答案】 3- 3-【解析】由题意知，0a <，且1,x x m ==是关于x 的方程2260ax x a -+=的两个根，∴61m a m a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,解得33a m =-⎧⎨=-⎩或22a m =⎧⎨=⎩, 又因为0a <，∴33a m =-⎧⎨=-⎩. 故答案为：-3，-3.例6．（2022·江苏·高一专题练习）若不等式20ax bx c ++>的解集为{}12x x -<<，则不等式()21(1)2a x b x c ax ++-+>的解集是（ ）A ．{}03x x <<B ．{0x x <或}3x >C ．{}13x x <<D ．{}13x x -<<【答案】A【解析】由()()2112a x b x c ax ++-+>，整理得()()220ax b a x a c b +-++-> ①．又不等式20ax bx c ++>的解集为{}12x x -<<， 所以0a <，且(1)2(1)2b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，即12b ac a⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩②．将①两边同除以a 得：2210b c b x x a a a ⎛⎫⎛⎫+-++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③．将②代入③得：230x x -<，解得03x <<． 故选：A例7．（2022·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3，则20cx bx a ++>的解集为（ ） A ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,,23∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】∵不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3， ∴2和3是方程20ax bx c ++=的两个根.∴02323a ba ca⎧⎪<⎪⎪-=+⎨⎪⎪=⨯⎪⎩，可得5,6b a c a =-=. 20cx bx a ++>可化为2650ax ax a -+>，即26510x x -+<，即()()31210x x --<,解得1132x <<.故选:A.例8．（2022·全国·高一专题练习）设集合{}|1A x x =≥，{}2|0B x x mx =-≤，若{}|14A B x x ⋂=≤≤，则m 的值为_________.【答案】4【解析】当0m =时，{}{}2|00B x x =≤=，显然A B =∅，不符合题意；当0m >时，{}2|0[0,]B x x mx m =-≤=，因为{}|14A B x x ⋂=≤≤，所以必有4m =； 当0m <时，{}2|0[,0]B x x mx m =-≤=，显然A B =∅，不符合题意.故答案为：4m =.例9．（2022·江苏·高一专题练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集是{|}x x αβ<<，0α>，则不等式20cx bx a ++>的解集是____________.【答案】11βα⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由不等式20ax bx c ++>的解集是{|}0x x αβα<<>（），可知：α，β是一元二次方程20ax bx c ++=的实数根，且0a <； 由根与系数的关系可得：b a αβ+=-，caαβ⋅= ， 所以不等式20cx bx a ++>化为 210c bx x a a++<，即：()210x x αβαβ-++<； 化为()()110x x αβ--<； 又,0αβα，110αβ∴>>；∴不等式20cx bx a ++<的解集为：{x |11x βα<<}，故答案为：11βα⎛⎫⎪⎝⎭，例10．（2022·全国·高一单元测试）已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为{}3|1x x <<，则20cx bx a -+>的解集是___________.【答案】{13x x >-或}1x <-【解析】因为关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为{}3|1x x <<， 所以0a >，且方程20ax bx c ++=得解为121,3x x ==， 则4,3b ca a-==， 所以4,3b a c a =-=，则不等式20cx bx a -+>，即为2340ax ax a ++>， 即23410x x ++>，解得13x >-或1x <-，所以20cx bx a -+>的解集是{13x x >-或}1x <-.故答案为：{13x x >-或}1x <-.题型三：含有参数的一元二次不等式的解法例11．（2022·全国·高一课时练习）不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅，则实数a的取值范围是（ ） A ．{2|a a <-或2}a ≥ B ．{}22a a -<< C ．{}22a a -<≤ D ．{}2a a <【答案】C【解析】因为不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅， 所以不等式()()222240a x a x -+--<的解集为R ．当20a -=，即2a =时，40-<，符合题意．当20a -<，即2a <时，()()2224420a a ⎡⎤∆=-+⨯⨯-<⎣⎦，解得22a -<<． 综上，实数a 的取值范围是{}22a a -<≤． 故选：C【方法技巧与总结】解含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．（2）判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．（3）写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．例12．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知不等式220ax bx -+>的解集为{}12x x x 或．(1)求实数a ，b 的值；(2)解关于x 的不等式()20x ac b x bx -++>（其中c 为实数）．【解析】（1）由题意，121,2x x ==为一元二次方程220ax bx -+=， 由韦达定理，可得12212b aa ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩. （2）由（1），不等式()20x ac b x bx -++>，可得()2330x c x x -++>，整理可得：()0x x c ->，当0c 时，不等式的解集为{}0x x ≠； 当0c >时，不等式的解集为{}0x x x c 或； 当0c <时，不等式的解集为{}0x x c x 或．例13．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0． (1)当a ＝2时，解关于x 的不等式； (2)当a ＞0时，解关于x 的不等式．【解析】（1）当a ＝2时，不等式2x 2﹣x ﹣1＜0可化为：（2x +1）（x ﹣1）＜0， ∴不等式的解集为1{|1}2x x -＜＜；（2）不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0可化为：（x ﹣1）（ax +a ﹣1）＜0， 当a ＞0时，()1110x x a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＜，()1110x x a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的根为：12111x x a==-，， ①当102a ＜＜时，111a -＜，∴不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，②当12a =时，111a=-，不等式解集为∅，③当12a ＞时，111a-＞，∴不等式解集为{x |11a -＜x ＜1}，综上，当102a ＜＜时，不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，当a 12=时，不等式解集为∅， 当12a ＞时，不等式解集为{x |11a-＜x ＜1}．．例14．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式 220x x a ++>． 【解析】方程220x x a ++=中()4441a a =-=-， ①当10a -<即1a >时，不等式的解集是R ，②当10a -=，即1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ， ③当10a ->即1a <时，由220x x a ++=解得：121111x a x a =--=--，1a ∴<时，不等式的解集是{|11>-+-x x a 11}<--x a ， 综上，1a >时，不等式的解集是R ， 1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ，1a <时，不等式的解集是{|11>-+-x x a 11}<--x a ，例15．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式2110x a x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭．【解析】原不等式可化为：()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭ ，令1a a = 可得：1a =±∴当1a <-或01a <<时，1a a <， 1aa x ∴<< ； 当1a =或1a =-时，1a a=，不等式无解； 当10a -<<或1a > 时，1a a>，1x a a ∴<<综上所述，当1a =或1a =-时，不等式解集为∅； 当1a <-或01a <<时，不等式的解集为1|x a x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； 当10a -<<或1a >时，不等式解集为1|x x a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．例16．（2022·全国·高一专题练习）若R a ∈，解关于x 的不等式2(1)10ax a x +++>．【解析】当0a =时，1x >-，当0a ≠时，1()(1)0a x x a++>，当0a <时，1()(1)0x x a ++<，解得11x a -<<-，当0a >时，1()(1)0x x a++>，若1a =，则1x ≠-，若01a <<，则1x a<-或1x >-，若1a >，则1x <-或1x a >-，所以当0a <时，原不等式的解集是{}|11x x a -<<-；当0a =时，原不等式的解集是{|1}x x >-；当01a <≤时，原不等式的解集是1{|x x a<-或1}x >-；当1a >时，原不等式的解集是{|1x x <-或1}x a>-．例17．（2022·全国·高一专题练习）若关于x 的不等式2220x m x m -++<（）的解集中恰有4个正整数，求实数m 的取值范围. 【解析】原不等式可化为(2)()0x x m --<,若2m <，则不等式的解是2m x <<；若2m =，则不等式无解； 即不等式的解集中均不可能有4个正整数，所以2m >； 此时不等式的解是2x m <<；所以不等式的解集中4个正整数分别是3456，，，； 则m 的取值范围是{|67}m m <≤．例18．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知关于x 的不等式()()230a b x a b +-<+的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．(1)写出a 和b 满足的关系；(2)解关于x 的不等式()()()222120a b x a b x a ---->++．【解析】(1)因为()()230a b x a b <++-，所以()32a b x b a +<-，因为不等式的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，所以0a b +<，且3234b a a b -=-+，解得3a b =． (2)由（1）得30a b =<则不等式()()()222120a b x a b x a -+--+->等价为()()242320bx b x b +-+->，即222430x x b b +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ +⎪⎝⎭⎝⎭-<，即()2130x x b ⎛⎫+ ⎝-⎪⎭+<．因为231b -+<-，所以不等式的解为231x b-+<<-． 即所求不等式的解集为231x x b ⎧⎫-+<<-⎨⎬⎩⎭．（说明：解集也可以用a 表示）题型四：一次分式不等式的解法例19．（2022·全国·高一课时练习）不等式()()232101xx x x -++≤-的解集为（ ）A ．[－1，2]B ．[－2，1]C ．[－2，1)∪(1，3]D ．[－1，1)∪(1，2]【答案】D【解析】由()()232101x x x x -++≤-可得，()()()12101x x x x --+≤-，∴()()21010x x x ⎧-+≤⎨-≠⎩，解得12x -≤≤且1x ≠，故原不等式的解集为[1,1)(1,2]-. 故选：D.【方法技巧与总结】分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？ （1）()()00cx dax b cx d ax b+>⇔++>+ （2）()()00cx dax b cx d ax b+<⇔++<+ （3）()()00cx dax b cx d ax b+≥⇔++>+且0ax b +≠ （4）()()00cx dax b cx d ax b+≤⇔++≤+且0ax b +≠ 例20．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知不等式210ax bx ++>的解集为1123xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求不等式30ax x b +≤-的解集. 【解析】依题意，12-和13是方程210ax bx ++=的两根，法1：由韦达定理，11111,2323b a a ∴-+=--⨯=，解得6,1a b =-=-，法2：直接代入方程得，22111022111033a b a b ⎧⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⨯+⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得6,1a b =-=-， ∴不等式30ax x b +≤-为6301x x -+≤+，即：()()631010x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得：1x <-或12x ≥， ∴不等式30ax x b +≤-的解集为{1xx <-∣或1}2x ≥.例21．（2022·陕西·长安一中高一期末）不等式22301x x x +-≥+的解集为__________．【答案】[3,1)[1,)--+∞【解析】原不等式等价于223010x x x ⎧+-≥⎨+>⎩或223010x x x ⎧+-≤⎨+<⎩，解得1≥x 或31x -≤<- ， 故答案为：[3,1)[1,)--+∞例22．（2022·全国·高一课时练习）不等式301x x +>-的解集为______________． 【答案】{3x x <-或1}x > 【解析】由301x x +>-，得(1)(3)0x x -+>， 所以3x <-或1x >，故不等式得解集为{3x x <-或1}x >． 故答案为：{3x x <-或1}x >．例23．（2022·宁夏·灵武市第一中学高一期末）不等式201xx->+的解集为___________. 【答案】(1,2)- 【解析】20(2)(1)01xx x x->⇔-+<+，解得12x -<<，故解集为(1,2)-， 故答案为(1,2)-.例24．（2022·全国·高一课时练习）不等式21131x x ->+的解集是____________. 【答案】1{2}3xx -<<-∣ 【解析】21131x x ->+可化为211031x x -->+， 2031x x +<+，等价于()()2310x x ++<， 解得123x -<<-，所以不等式21131x x ->+的解集是1{2}3x x -<<-∣， 故答案为：1{2}3xx -<<-∣. 例25．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的不等式()(5)0x b ax ++>的解集为{|1x x <-或3}x >，(1)求关于x 的不等式220x bx a +-<的解集 (2)求关于x 的不等式11x ax b->-的解集． 【解析】（1）不等式()(5)0x b ax ++>的解集为{|1x x <-或3}x >， 所以0513a ab >⎧⎪⎪-=-⎨⎪-=⎪⎩，解得5a =，3b =-；所以不等式220x bx a +-<化为23100x x --<，解得25x -<<； 所求不等式的解集为{|25}x x -<<； （2）1153x x ->+化为11053x x -->+即44053x x -->+，()()1530x x ∴++< 所求不等式的解集为31,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭．题型五：实际问题中的一元二次不等式问题例26．（2022·贵州黔东南·高一期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m 3．根据预测，汛期时水库的进水量n S （单位：m 3）与天数()*n n N ∈的关系是5000()(10)n S n n t n =+≤，水库原有水量为80000m 3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m 3；水库水量差最大容量23000m 3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警． (1)求t 的值；(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．【解析】(1)由题意得： 1280008000050001(1)23000t --⨯+， 即24t =(2)由（1）得5000(24)(10)n S n n n =+≤设第n 天发生危险，由题意得 5000(24)400012800080000n n n +>-，即2242560n n +->，得8n >．所以汛期的第9天会有危险【方法技巧与总结】利用不等式解决实际问题需注意以下四点（1）阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．（2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．（3）讨论不等关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．（4）作出问题结论：根据（3）中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论． 例27．（2022·全国·高一课时练习）某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x 元（x 为正整数），则租出的床位会相应减少10x 张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？【解析】设该旅店某晚的收入为y 元，则 *(5010)(20010),y x x x N =+-∈由题意12600y >，则(5010)(20010)12600x x +-> 即210000150010012600x x +->，即215260x x -+<， 解得：213x <<，且*x ∈N所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）例28．（2022·湖南·高一课时练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 分别有如下关系式：210.10.01s v v =+，220.050.005s v v =+．问：甲、乙两辆汽车是否有超速现象？【解析】因为甲种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 的关系式：210.10.01s v v =+， 所以由题意可得：2210.10.0112101200030s v v v v v =+>⇒+->⇒>，或40v <-舍去，即30v >，当40v =时，10.1400.0116002012s =⨯+⨯=>，显然甲种车型没有超速现象；因为乙种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 的关系式：220.050.005s v v =+，所以由题意可得：2220.050.005102000040s v v v v v =+>⇒+->⇒>，或50v <-舍去，即40v >，因此乙种车型有超速现象.例29．（2022·湖北十堰·高一期中）某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【解析】(1)设草坪的宽为x 米，长为y 米，由面积均为200平方米，得200y x=， 因为矩形草坪的长比宽至少多10米， 所以20010x x≥+，又0x >， 所以2102000x x +-≤，解得010x <≤， 所以宽的最大值为10米；(2)记整个绿化面积为S 平方米，由题意得，200150(26)(4)(26)442484246S x y x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭56x =时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为(424806)+平方米题型六：不等式的恒成立问题例30．（2022·全国·高一单元测试）对任意实数x ，不等式2230kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()0,24 B ．(]24,0-C ．(]0,24D ．[)24,∞+【答案】B【解析】由题意，对任意实数x ，不等式2230kx kx +-<恒成立， 当0k =时，不等式即为30-<，不等式恒成立； 当0k ≠时，若不等式2230kx kx +-<恒成立，则满足2Δ240k k k <⎧⎨=+<⎩，解得240k -<<， 综上，实数k 的取值范围为(24,0]-． 故选：B ．【方法技巧与总结】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R ，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数．例31．（2022·全国·高一课时练习）若0a >，且关于x 的不等式22334ax ax a -+-<在R 上有解，求实数a 的取值范围．【解析】方法一（判别式法）关于x 的不等式22334ax ax a -+-<可变形为22370ax ax a -+-<,由题可得()()223470a a a ∆=--->，解得744a -<<,又0a >，所以实数a 的取值范围为()0,4；方法二（分离变量法）因为0a >，所以关于x 的不等式22334ax ax a -+-<可变形为2273a x x a--<，因为223993244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，所以2974a a--<，解得744a -<<，又0a >，所以实数a 的取值范围为()0,4．例32．（2022·湖南·雅礼中学高一开学考试）不等式()()221110a x a x ----<的解集是全体实数，求实数a 的取值范围________． 【答案】315a -<≤【解析】根据题意，当210a -≠时，可得()()222Δ141010a a a ⎧=-+-<⎪⎨-<⎪⎩，解得315a -<<，当1a =时，不等式()()221110a x a x ----<显然成立. 综上可得，315a -<≤，故答案为：315a -<≤.例33．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知命题p ：x R ∃∈，210x ax -+<，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为_________．【答案】[]22-,【解析】若命题p 是假命题，则210x ax -+≥恒成立， 则2Δ40a =-≤，解得22a -≤≤.故答案为：[]22-,. 例34．（2022·全国·高一专题练习）不等式 2(2)4(2)120a x a x -+--<的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}|12a a -≤<B ．{}|12a a -<≤C ．{}|12a a -<<D ．{}|12a a -≤≤【答案】B【解析】当2a =时，原不等式为120-<满足解集为R ；当a ≠2时，根据题意得20a -<，且216(2)4(2)(12)0a a ∆=---⨯-<，解得1a 2-<<． 综上，a 的取值范围为{}|12a a -<≤． 故选：B ．例35．（2022·全国·高一课时练习）已知对任意[]1,3m ∈，215mx mx m --<-+恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1515∞∞⎛⎫-+-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．6,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1515-+⎝⎭【答案】D【解析】对任意[]1,3m ∈，不等式215mx mx m --<-+恒成立，即对任意[]1,3m ∈，()216m x x -+<恒成立， 所以对任意[]1,3m ∈，261x x m-+<恒成立， 所以对任意[]1,3m ∈，2min12x x m ⎛-+<= ⎝，所以212x x -+<1515x -+<<故实数x 的取值范围是1515-+⎝⎭．故选：D ．例36．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-． (1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围．【解析】（1）若对任意实数x ，不等式恒成立，即2440x mx x m +--+>恒成立 则关于x 的方程2440x mx x m +--+=的判别式()()24440m m ∆=---+<， 即240m m -<，解得04m <<，所以实数m 的取值范围为(0,4)． （2）不等式244x mx x m +>+-，可看成关于m 的一次不等式()21440m x x x -+-+>，又04m ≤≤，所以224404(1)440x x x x x ⎧-+>⎨-+-+>⎩，解得2x ≠且0x ≠，所以实数x 的取值范围是()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞．例37．（2022·全国·高一课时练习）在x ∃∈R ①，2220x x a ++-=，②存在集合{24}A x x =<<，非空集合{}3B x a x a =<<，使得A B =∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：求解实数a ，使得命题{}:12p x x x ∀∈≤≤，20x a -≥，命题q ：______都是真命题． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】若选条件①，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立． 因为12{|}x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤，所以1a ≤． 由命题q 为真，则方程2220x x a ++-=有解． 所以()4420a ∆=--≥，所以1a ≥．又因为,p q 都为真命题，所以11a a ≤⎧⎨≥⎩，所以1a =．所以实数a 的值为1．若选条件②，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立． 因为{}12x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤．所以1a ≤．由命题q 为真，可得4a ≥或32a ≤，因为非空集合{|3}B x a x a =<<，所以必有0a >， 所以203a <≤或4a ≥， 又因为,p q 都为真命题，所以12043a a a ≤⎧⎪⎨<≤≥⎪⎩或，解得203a <≤． 所以实数a 的取值范围是2|03a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭． 【同步练习】一、单选题 1．（2022·全国·高一课时练习）不等式23180x x -++<的解集为（ ） A ．{6x x >或3}x <- B ．{}36x x -<< C ．{3x x >或6}x <- D ．{}63x x -<<【答案】A【解析】23180x x -++<可化为23180x x -->， 即()()630x x -+>，即6x >或3x <-． 所以不等式的解集为{6x x >或3}x <-.故选：A2．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥【答案】A【解析】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<. 故选：A3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0，若关于x 的不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+，则实数c 的值为（ ） A ．9 B ．8 C ．6 D ．4【答案】D【解析】∵函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0， ∴2404b a -=，∴24a b =， ∴函数222224a y x ax b x ax x a ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭，其图像的对称轴为2a x =-．∵不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+， ∴方程2204a c x ax ++-=的根为m ，4m +，∴4m m a ++=-，解得42a m --=，22am ∴+=-， 又∵2204a m am c ++-=，∴222442a a c m am m ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭．故A ，B ，C 错误.故选：D ．4．（2022·全国·高一课时练习）若使不等式()2220x a x a +++≤成立的任意一个x 都满足不等式10x -≤，则实数a 的取值范围为（ ） A ．{}1a a >- B ．{}1a a ≥-C ．{}1a a <-D ．{}1a a ≤-【答案】B【解析】因为不等式10x -≤的解集为{}1x x ≤，由题意得不等式()2220x a x a +++≤的解集是{}1x x ≤的子集， 不等式()2220x a x a +++≤，即()()20x x a ++≤，①当2a =时，不等式的解集为{}2-，满足{}{}21x x -⊆≤； ②当2a <时，不等式的解集为{}2x x a -≤≤-， 若{}{}21x x a x x -≤≤-⊆≤，则1a -≤， 所以12a -≤<；③当2a >时，不等式的解集为{}2x a x -≤≤-，满足{}{}21x a x x x -≤≤-⊆≤； 综上所述，实数a 的取值范围为{}1a a ≥-． 故选：B ．5．（2022·全国·高一课时练习）已知()()()2022y x m x n n m =--+<，且(),αβαβ<是方程0y =的两实数根，则α，β，m ，n 的大小关系是（ ）A ．m n αβ<<<B ．m n αβ<<<C ．m n αβ<<<D ．m n αβ<<<【答案】C【解析】∵α，β为方程0y =的两实数根，∴α，β为函数()()2022y x m x n =--+的图像与x 轴交点的横坐标，令()()1y x m x n =--，∴m ，n 为函数()()1y x m x n =--的图像与x 轴交点的横坐标，易知函数()()2022y x m x n =--+的图像可由()()1y x m x n =--的图像向上平移2022个单位长度得到，所以m n αβ<<<. 故选:C.6．（2022·湖南·长沙一中高一开学考试）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，那么a 的取值范围是（ ） A ．2275a -<<B ．25a > C ．27a <-D ．2011a -<< 【答案】D【解析】当0a =时，()2290ax a x a +++=即为20x =，不符合题意；故0a ≠，()2290ax a x a +++=即为22190x x a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，令2219y x x a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由于关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ， 则()229y ax a x a =+++与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故1x =时，0y <，即211190a ⎛⎫++⨯+< ⎪⎝⎭，解得211a <-，故2011a -<<，故选：D7．（2022·全国·高一单元测试）已知 0,0x y >>且141x y+=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ． 1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．{}|3x x ≤-}C ．{}|1x x ≥D ．{}|91x x -<<【答案】D【解析】∵0,0x y >>，且141x y+=，∴1444()()5259y x y xx y x y x y x y x y+=++=++≥⋅=， 当且仅当3,6x y ==时取等号，∴min ()9x y +=，由28x y m m +>+恒成立可得2min 8()9m m x y +<+=，解得：91m -<<， 故选：D.8．（2022·全国·高一课时练习）在R 上定义运算():1x y x y ⊗⊗=-.若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1322a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}02a a <<C ．{}11a a -<<D ．3122a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】由()()1x a x a -⊗+<，得()()11x a x a ---<，即221a a x x --<-，令2t x x =-，此时只需2min 1a a t --<，又221124t x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以2114a a --<-，即24430a a --<，解得1322a -<<.故选：A. 二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）不等式22x bx c x b ++≥+对任意的x ∈R 恒成立，则（ ） A ．2440b c -+≤ B ．0b ≤ C ．1c ≥ D ．0b c +≥【答案】ACD【解析】22x bx c x b ++≥+可整理为()220x b x c b +-+-≥，则()()2224440b c b b c ∆=---=-+≤，故A 正确． 当1b =，2c =时，满足0∆≤，即原不等式成立．B 错误； 由0∆≤，得214b c ≥+，所以1c ≥．C 正确；2211042b b b c b ⎛⎫+≥++=+≥ ⎪⎝⎭．D 正确．故选：ACD ．10．（2022·江苏·高一）已知关于x 的一元二次不等式()22120ax a x --->，其中0a <，则该不等式的解集可能是（ ） A ．∅ B ．12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,2,a ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】不等式变形为(2)(1)0x ax -+>，又0a <，所以1(2)()0x x a-+<，12a =-时，不等式解集为空集；12a <-，12x a -<<，102a -<<时，12x a <<-，因此解集可能为ABD ． 故选：ABD ．11．（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤或}4x ≥，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭ D ．0a b c ++>【答案】AD【解析】对于A ，由不等式的解集可知：0a >且3473412bac a⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，7b a ∴=-，12c a =，A 正确；对于B ，7120bx c ax a +=-+>，又0a >，127x ∴<，B 错误； 对于C ，221270cx bx a ax ax a -+=++<，即212710x x ++<，解得：1134x -<<-，C 错误； 对于D ，71260a b c a a a a ++=-+=>，D 正确. 故选：AD.12．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的值可能为（ ） A ．5- B ．3-C ．πD ．5【答案】ABD【解析】解不等式2280x x -->，得4x >或2x <- 解方程22(27)70x k x k +++=，得127,2x x k =-=-（1）当72k >，即72k -<-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72k x -<<-此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，依题意，则54k -≤-<-，即45k <≤；（2）当72k <，即72k ->-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72x k -<<-，要使不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中只有一个整数，则需满足：35k -<-≤，即53k -≤<； 所以k 的取值范围为[5,3)(4,5]-. 故选：ABD. 三、填空题13．（2022·全国·高一专题练习）若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则0ax b +>的解集为__________. 【答案】1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则根据对应方程的韦达定理得到：112311223ba a⎧⎛⎫-+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122a b =-⎧⎨=-⎩，则1220x -->的解集为1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.故答案为：1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.14．（2022·陕西·千阳县中学高一开学考试）不等式517x ≥--的解集为__________. 【答案】{|7x x >或2}x ≤ 【解析】因为517x ≥--，所以5107x +≥-，即207x x -≥-， 等价于(2)(7)070x x x --≥⎧⎨-≠⎩，解得7x >或2x ≤，所以不等式的解集为{|7x x >或2}x ≤. 故答案为：{|7x x >或2}x ≤15．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中恰有1个整数，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】[)(]1,02,3-⋃【解析】由()210x a x a -++<得()()10x x a --< ，若1a =，则不等式无解；若1a >，则不等式的解为1x a <<，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为2x =，则23a <≤；若1a <，则不等式的解为1<<a x ，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为0x =，则10a -≤<．综上，满足条件的a 的取值范围是[)(]1,02,3-⋃． 故答案为：[)(]1,02,3-⋃.16．（2022·全国·高一课时练习）知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4(,)m m，其中0m <，则44b a b+的最小值为______． 【答案】2【解析】∵2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，∴0a >,且方程2240ax bx ++=的两根为m ，4m， ∴42bm m a +=-,44m m a ⋅=，∴1a =，∵0m <，∴424b m m=-+≥-， 即2b ≥，当且仅当2m =-时取“=”． ∴44244b b a b b +=+≥，当且仅当4b =时取“=”， ∴44b a b+的最小值为2． 故答案为：2 四、解答题17．（2022·全国·高一专题练习）解下列不等式： (1)22530x x +->； (2)220x x +-≤； (3)4220x x --≥； (4)21x x >．【解析】（1）由22530x x +->，得()()3210x x +->，解得3x <-或12x >， 所以不等式的解集为{3x x <-或12x ⎫>⎬⎭.（2）由220x x +-≤，得220x x --≥，()()120x x +-≥， 解得1x ≤-或2x ≥，所以不等式的解集为{1x x ≤-或}2x ≥.（3）由4220x x --≥，得()()22120x x +-≥，解得21x ≤-（舍去）或22x ≥，得2x ≤-2x ≥，所以不等式的解集为{2x x ≤-}2x ≥. （4）由21x x ，得2210xx >，1x >12x -（舍去），所以1x >，所以不等式的解集为{}1x x >.18．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于x 的不等式2320(R)ax x a ++>∈.(1)若2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，求实数,a b 的值； (2)求关于x 的不等式2321ax x ax -+>-的解集.【解析】（1）因为2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，所以方程2320ax x ++=的两个根为,1(1)b b <，由根与系数关系得:3121b ab a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得525a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2）22321(3)30(3)(1)0ax x ax ax a x ax x -+>-⇒-++>⇒-->， 当a =0，不等式为10x -<，不等式的解集为{}1x x <；当0a <时，不等式化为3()(1)0x x a --<，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当0a >时，方程2321ax x ax -+=-的两个根分别为：3,1a.当3a =时，两根相等，故不等式的解集为{|1}x x ≠； 当3a >时，31a <，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >； 当0<<3a 时，31a>，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >，.综上：当0a <时，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当a =0，不等式的解集为{}1x x <；当0<<3a 时，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >.当3a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠； 当3a >时，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >； 19．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）解下列关于x 的不等式：（a 为实数） (1)220x x a ++< (2)102ax x ->-. 【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：220x x a ++=， Δ44a =-，当1a ≥时，Δ440a =-≤，原不等式无解；当1a <时，对应一元二次方程的两个解为：11x a =-- 所以220x x a ++<的解为：1111a x a --<--。

从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式从函数的角度来看，一元二次方程和一元二次不等式都是关于一个未知数的二次函数。

一元二次不等式是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式。

而一元二次方程则是有两相异实根或有两相等实根的二次函数。

对于一元二次方程，判别式Δ＝b²－4ac可以判断其有无实根以及实根的情况。

当Δ＞0时，方程有两相异实根x1和x2；当Δ＝0时，方程有两相等实根x1＝x2；当Δ＜0时，方程没有实数根。

而对于一元二次不等式，其解集可以通过判别式2Δ的符号来确定。

当2Δ＞0时，解集为{x|x＞x2或x＜x1}；当2Δ＝0时，解集为{x|x＝x1或x＝x2}；当2Δ＜0时，解集为{x|x1＜x＜x2}。

此外，对于分式不等式和整式不等式，我们可以通过乘上一个不等式来确定其符号。

具体而言，对于f(x)/g(x)>0(0(<0)；对于f(x)/g(x)≥0(≤0)，我们则需要同时满足f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.在解不等式时，我们需要注意绝对值不等式的解集，以及当a＝0时的特殊情况。

同时，要结合函数图象来确定___成立的条件。

针对一些疑误辨析，我们可以判断：(1)错误，解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，并不能确定方程的两个根；(2)正确，解集为(x1，x2)时，a必须大于0；(3)错误，解集为x≤a时，其实为(-∞，a]。

4.已知函数$f(x)=-x+ax+b-b+1(a\in R,b\in R)$，对任意实数$x$都有$f(1-x)=f(1+x)$成立，当$x\in[-1,1]$时，$f(x)>0$恒成立，则$b$的取值范围是()解析：由$f(1-x)=f(1+x)$可得$-1+a+b-b+1=1+a-b-b+1$，即$a=0$，代入$f(x)>0$恒成立的条件，可得$b\in(-1,0)\cup(2,+\infty)$，故选项为$\textbf{(C)}$。

第5节从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式考试要求 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.知识梳理1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2a Rax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅不等式解集a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b}∅{x|b<x<a}4.分式不等式与整式不等式 (1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0). (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. [常用结论与微点提醒]1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为 (－a ，a ).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.2.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.3.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)不等式x 2≤a 的解集为[－a ，a ].( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( )解析 (3)错误.对于不等式x 2≤a ，当a >0时，其解集为[－a ，a ]；当a ＝0时，其解集为{0}，当a <0时，其解集为∅.(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(新教材必修第一册P71B1改编)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( )A .(－2，3)B .(1，3)C .(3，4)D .(－2，4)解析 由题意知A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |－2<x <3}， 所以A ∩B ＝(1，3). 答案 B3.(老教材必修5P79A4改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________. 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73， ∴3x 2－2x －2>0的解集为 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞4.(2020·广州期中考试)若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜13，则a －b的值是( ) A .－10B .－14C .10D .14解析由题意知，－12，13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－ba ，－12×13＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2.故a －b ＝－10. 答案 A5.(2019·辽宁重点中学模拟)不等式2x 2－x －3>0的解集为________. 解析 由2x 2－x －3>0，得(x ＋1)(2x －3)>0， 解得x >32或x <－1. ∴不等式2x 2－x －3>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32，或x <－1. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32，或x <－16.(2019·苏北调研)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.解析 若a ＝0，则f (x )＝－1≤0恒成立， 若a ≠0，则由题意，得⎩⎨⎧a <0，Δ＝a 2＋4a ≤0， 解得－4≤a <0，综上，得a ∈[－4，0]. 答案 [－4，0]考点一 一元二次不等式的解法【例1】 (1)不等式0<x 2－x －2≤4的解集为________. 解析 原不等式等价于⎩⎨⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，即⎩⎨⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0， 解得⎩⎨⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.故原不等式的解集为{x |－2≤x <－1，或2<x ≤3}. 答案 {x |－2≤x <－1或2<x ≤3}(2)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即－2<a <0时，解得2a ≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；⎩⎭a 当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 规律方法 1.解一元二次不等式的一般步骤 (1)化为标准形式.(2)确定判别式Δ的符号，若Δ≥0，则求出该不等式对应的一元二次方程的根，若Δ<0，则对应的一元二次方程无根.(3)结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用. 【训练1】 (1)(2020·武汉月考)不等式1－x2＋x≥0的解集为( ) A .[－2，1]B .(－2，1]C .(－∞，－2)∪(1，＋∞)D .(－∞，－2]∪(1，＋∞)解析 原不等式化为⎩⎨⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，2＋x ≠0，即⎩⎨⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1. 答案 B(2)求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )的解集. 解 原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3. 当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－a 4，或x >a 3； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≠0}；⎩⎭34考点二 一元二次方程与一元二次不等式【例2】 已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________.解析 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0， 解得x ≥3或x ≤2. 答案 {x |x ≥3或x ≤2}规律方法 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.【训练2】 (2019·天津和平区一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A .(－∞，－1)∪(3，＋∞) B .(1，3)C .(－1，3)D .(－∞，1)∪(3，＋∞)解析 关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0， ∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3， ∴所求不等式的解集是(－1，3). 答案 C考点三 一元二次不等式恒成立问题 多维探究角度1 在实数R 上恒成立【例3－1】 (2020·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A .(－∞，2)B .(－∞，2]C .(－2，2)D .(－2，2]解析 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立； 当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎨⎧a －2<0，Δ＝[－2（a －2）]2－4×（a －2）×（－4）<0， 解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2，2]. 答案 D角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________. 解析 要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立， 故mx 2－mx ＋m －6＜0，则m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立.法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3].当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述，m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可.因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 . 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 对任意m ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围.解 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1，1]上，g (m )的值恒大于零， 所以⎩⎨⎧g （－1）＝（x －2）×（－1）＋x 2－4x ＋4>0，g （1）＝（x －2）＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1，1]，函数f (x )的值恒大于零. 规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)(角度1)(2020·铁岭调研)若不等式4x 2＋ax ＋4>0的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A .(－16，0) B .(－16，0] C .(－∞，0)D .(－8，8)(2)(角度2)(2019·湖北八校联考)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0，2]恒成立，则实数a 的取值范围为________________.(3)(角度3)若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1，2]恒成立，则实数x 的取值范围是________.解析 (1)由题意知Δ＝a 2－4×4×4<0，解得－8<a <8，故选D.(2)∵x ∈(0，2]，∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x. 要使a 2－a ≥1x ＋1x在x ∈(0，2]上恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max .由均值不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立.则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12，故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞. (3)设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1，2]时，图象为一条线段，则⎩⎨⎧g （1）<0，g （2）<0，，即⎩⎨⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0， 解得1－32<x <1＋32，故x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞ (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32 考点四 一元二次不等式的实际应用【例4】 甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.解 (1)根据题意，得200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x ≥0，即5x 2－14x －3≥0，解得x ≥3或x ≤－15， 又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3，10]. (2)设利润为y 元，则 y ＝900x ·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，故当x ＝6时，y max ＝457 500元.即甲厂以6千克/时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元.规律方法 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.【训练4】 已知产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0，240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( ) A .100台 B .120台 C .150台D .180台解析 由题设，产量x 台时，总售价为25x ；欲使生产者不亏本时，必须满足总售价大于等于总成本， 即25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，即0.1x 2＋5x －3 000≥0，x 2＋50x －30 000≥0， 解之得x ≥150或x ≤－200(舍去). 故欲使生产者不亏本，最低产量是150台.故选C.答案 CA 级 基础巩固一、选择题1.(2019·福建三明一中月考)不等式(x ＋1)(x ＋2)＜0的解集是( )A .(－2，－1)B .(－∞，－2)∪(－1，＋∞)C .(1，2)D .(－∞，1)∪(2，＋∞)解析 由(x ＋1)(x ＋2)＜0得－2＜x ＜－1，故选A.答案 A2.不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] 解析 不等式可化为2x 2－5x －3（x －1）2≤0， 即（2x ＋1）（x －3）（x －1）2≤0， 解得－12≤x <1或1<x ≤3.答案 C3.(2020·大连质检)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，那么不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为( )A .{x |－2<x <1}B .{x |x <－2或x >1}C .{x |0<x <3}D .{x |x <0或x >3}解析 由a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 整理得ax 2＋(b －2a )x ＋(a ＋c －b )>0.①又不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，所以a <0，且－1，2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－b a ，（－1）×2＝c a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，c a ＝－2.② 将①两边同除以a 得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋c a －b a <0， 将②代入得x 2－3x <0，解得0<x <3，故选C.答案 C4.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1，1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A .(－1，0)B .(2，＋∞)C .(－∞，－1)∪(2，＋∞)D .不能确定 解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2.由f (x )的图象可知f (x )在[－1，1]上为增函数.所以x ∈[－1，1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.答案 C5.(2020·河南豫西南五校联考)已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是( )A .[0，1]B .(0，1]C .(－∞，0)∪(1，＋∞)D .(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析 当k ＝0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0可化为8≥0，其恒成立，当k ≠0时，要满足关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，只需⎩⎨⎧k >0，Δ＝36k 2－4k （k ＋8）≤0，解得0<k ≤1. 综上，k 的取值范围是[0，1].答案 A二、填空题6.若不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________________.解析 由题意得Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.∴a >4或a <－4.答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)7.规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________.解析 由题意知k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1.答案 (－1，1)8.(2020·北京海淀区质检)设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.解析 令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1，1]恒成立，因此⎩⎨⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎨⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2. 答案 (－∞，－2]三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}.(2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3. 故a 的值为3±3，b 的值为－3.10.若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (x ＋2)－f (x )＝16x 且f (0)＝2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若存在x ∈[1，2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由f (0)＝2，得c ＝2，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)，由f (x ＋2)－f (x )＝[a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋2]－[ax 2＋bx ＋2]＝4ax ＋4a ＋2b ，又f (x ＋2)－f (x )＝16x ，得4ax ＋4a ＋2b ＝16x ，所以⎩⎨⎧4a ＝16，4a ＋2b ＝0，故a ＝4，b ＝－8， 所以f (x )＝4x 2－8x ＋2.(2)因为存在x ∈[1，2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，即存在x ∈[1，2]，使不等式m <4x 2－10x ＋2成立，令g (x )＝4x 2－10x ＋2，x ∈[1，2]，故g (x )max ＝g (2)＝－2，所以m <－2，即m 的取值范围为(－∞，－2).B 级 能力提升11.(2019·青岛调研)已知a ，b ，c ，d 都是常数，a ＞b ，c ＞d .若f (x )＝2 019－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A .a ＞c ＞b ＞dB .a ＞b ＞c ＞dC .c ＞d ＞a ＞bD .c ＞a ＞b ＞d解析 由f (x )＝2 019－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 019，又f (a )＝f (b )＝2 019，c ，d 为函数f (x )的零点，且a ＞b ，c ＞d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示.由图可知c ＞a ＞b ＞d ，故选D.答案 D12.(2020·西安模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( )A .0B .－2C .－52D .－3解析 由于x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立， 则a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时恒成立， 令g (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，易知g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，则y ＝－g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数. ∴y ＝－g (x )的最大值是－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝－52. 因此a ≥－52，则a 的最小值为－52.答案 C13.(2020·湖北八校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x 2，且不等式f (x ＋m 2)≥4f (x )对任意的x ∈[m ，m ＋2]恒成立，则实数m 的取值范围是________________.解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x ).设x <0，则－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－3x 2，故f (x )＝⎩⎨⎧3x 2 （x ≥0），－3x 2（x <0）.从而4f (x )＝⎩⎨⎧3（2x ）2（x ≥0），－3（2x ）2（x <0）＝f (2x )， 故不等式f (x ＋m 2)≥4f (x )同解于f (x ＋m 2)≥f (2x )，又f (x )为R 上的单调增函数，故x ＋m 2≥2x ，即m 2≥x 对任意的x ∈[m ，m ＋2]恒成立，∴m 2≥m ＋2，即m ≤－1或m ≥2.答案 (－∞，－1]∪[2，＋∞)14.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}.(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. C 级 创新猜想15.(多选题)(2020·山东省实验中学月考)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x ＜0恒成立，则实数m 的取值可以是( )A .0 B.12 C.32D .2 解析 ∵(m 2－m )4x －2x ＜0，∴m 2－m ＜2x 4x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .又∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，－1]上单调递减，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.∴m 2－m ＜2，即(m ＋1)(m －2)＜0，解得－1＜m ＜2.结合选项可知，选ABC.答案 ABC16.(多填题)(2019·郑州联考改编)已知f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＞0的解集是(－1，3)，则b ＝________；若对于任意x ∈[－1，0]，不等式f (x )＋t ≤4恒成立，则实数t 的取值范围是________.解析 由不等式f (x )＞0的解集是(－1，3)，可知－1和3是方程－2x 2＋bx ＋c ＝0的根，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝b 2，－3＝－c 2，解得⎩⎨⎧b ＝4，c ＝6，所以f (x )＝－2x 2＋4x ＋6.所以不等式f (x )＋t ≤4可化为t ≤2x 2－4x －2，x ∈[－1，0].令g (x )＝2x 2－4x －2，x ∈[－1，0]，由二次函数的性质可知g (x )在[－1，0]上单调递减，则g (x )的最小值为g (0)＝－2，则t ≤－2.答案 4 (－∞，－2]。