利用空间向量证明平行、垂直问题 课件

(3)空间直线的向量表达式的两点作用: ①定位置:点A和向量a可以确定直线的_位__置__; ②定点:可以具体表示出l上的任意_一__点__. 3.向量a为平面α的法向量应满足的两个条件 (1)向量a表示直线l的_方__向__向__量__; (2)直线l_⊥__平面α.
4.用向量描述空间平行关系 设空间两条直线l,m的方向向量分别为a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),两个平面α,β的法向量分别为u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3),则有如下结论
则
m
AN
0，
m NM 0，
所以
a 2
x1
0
y1
az1
0，
a 2
x1
a 2
y1
0
z1
0，
所以y1＝－x1＝－2z1.取z1＝1，
所以平面AMN的一个法向量为m＝(2，－2，1)．
同理由
n n
DB DF
可00，，得x2＝－y2，y2＝－2z2.
令z2＝1，
所以平面EFDB的一个法向量为n＝(2，－2，1)．
2.应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线. (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表 示.即用平面向量基本定理证明线面平行.
3.证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1=(a1,b1,c1),平面β的法向量为 n2=(a2,b2,c2),则α//β⇔n1∥n2⇔(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) (k∈R).
位置关系 向量关系 向量运算关系
l∥m
_a_∥__b_ _a_=_k_b_,_k_∈__R_

探究点三 利用空间向量证明平行关系 问题 怎样利用向量证明空间中的平行关系？
答案 可以按照下列方法证明空间中的平行关系. 线线 设直线 l1、l2 的方向向量分别是 a、b，则要证明 平行 l1∥l2，只需证明 a∥b，即 a＝kb (k∈R) ①设直线 l 的方向向量是 a，平面 α 的法向量是 线面 u，则要证明 l∥α，只需证明 a⊥u，即 a·u＝0； 平行 ②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量 与已知直线的方向向量是共线向量即可；
则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)． 设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量， 则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1,1,1)．
例 1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线 l1，l2 的方向向量分别是 a＝(1，－3，－1)， b＝(8,2,2)； (2)平面 α，β 的法向量分别是 u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)； (3)直线 l 的方向向量，平面 α 的法向量分别是 a＝(1， －4，－3)，u＝(2,0,3)； (4)直线 l 的方向向量，平面 α 的法向量分别是 a＝(3,2,1)， u＝(－1,2，－1)．
因为 p·v＝(xa＋yb)·v＝xa·v＋yb·v＝0， 即平面 β 的法线与平面 α 内任一直线垂直． 所以平面 β 的法向量也是平面 α 的法向量，即 u∥v. 因此，α∥β.
小结 在“平面与平面平行的判定定理”的证明过程中突 出了直线的方向向量和平面的法向量的作用．以后我们用 向量证明有关结论时，直线的方向向量和平面的法向量是 重要的工具．

面ABCD是正方形, 侧棱PD 底面ABCD, PD DC , 点E是PC的中点, 做EF PB交 PB于点F (1)求证 : PA // 平面EDB ( 2)求证 : PB 平面EFD A
制作 梦中有缘人
P F D E
C
2011年下学期 B
已知正方体 ABCD A1 B1C1 D1 例2. 的棱长为 , E、F分别是BB1、DD1的中 2 点, 求证：平面 ADE // 平面B1C1 F
D
C
2011年下学期
《中学第二教材》P98 - P100“当堂检
测”与“课后巩固练习”
制作 梦中有缘人
2011年下学期
利用空间向量证明 平行、垂直关系
制作 梦中有缘人
2011年下学期
1.向量模块及其关键
2.会议立体几何中一般如何研究“线 面”间的平行、垂直关系
制作 梦中有缘人
2011年下学期
探究1.如何用向量法研究“线面”间
的平行关系？
探究2.如何用向量法研究“线面”间
的垂直关系？
探究3.通过对探究1、探究2的研究,
你对研究“线面”间平行、垂直关系有
何感想？
制作 梦中有缘人 2011年下学期
①利用向量法研究“线面”间平行、
垂直关系, 均可转化成“线线”间的向量 法运算； ②注意在分析中几何法、向量法、坐 标法的选择, 相互协作。
制作 梦中有缘人 2011年下学期
例1. 如图 在四棱锥P ABCD中, 底 ,
D1
A1
C1
F
B1
D
ECΒιβλιοθήκη 2011年下学期A
B
制作 梦中有缘人
在四面体 ABCD中, AB 平面 例3. BCD, BC CD, BCD 90, ADB 30, E1 F分别是AC1 AD的中点, 求证 : 平面BEF 平面ABC .

E
E(0,2,1),F(1,1,0)
A' F (1,1, 2), DB (2, 2,0), DE (0, 2,1) A' F DB (1,1, 2) (2, 2,0) 0
Y
F
A' F DE (1,1, 2) (0, 2,1) 0
X
A' F DB, A' F DE,又DB DE D. A' F 平面BDE
oB
H(0,1-2 a2 ,
E
a)、
2 2
2 2
x
G F
y A
故CGaB,(H01EG)n的-,2法(1 向a量22, 2为a1,0-,
22H(aG0) ,1n,0)H,
,而平面

故
,而 平面CBE
例2.在正方体
D1
C1
ABCD-A1B1C1D1 A1 中，P、Q分别是
P
B1
A1B1和BC上的动 点，且A1P=BQ， M是AB1的中点，N 是PQ的中点. 求证：A MN∥平面AC.
一、 用空间向量处理“平行”问 题
↑n→m
n

m

0
m↑
↑n
n

m
例1.如图：ABCD C
D
与ABEF是正方形，
CB⊥平面ABEF，
H
H、G分别是AC、
M
BF的中点，且
B
A
AH=GF. 求证：
N E
G F
HG∥平面CBE.
C
D
H
B
P
A
E
G
F
证明：分别以BE、BA、