利用空间向量证明平行

·３４·　中学数学月刊　２００６年第１期　利用空间向量证明线面平行　黄育红　（江苏省南通西藏民族中学２２６０１１）　立体几何是高考的重点，每年高考大题　必有立几题，但是不少学生学习立几感到有　困难．难在哪里？作不出辅助线，推理不清．对　于我校的藏族学生来说，学好立几更觉困难．　笔者尝试了用空间向量方法执教，发现学生　在求线线、线面、面面的夹角和距离时正确率　明显提高，在证明线面垂直、平行，面面垂直　问题时，更是易如反掌，减轻了学生学习立几　的困难．　直线与平面所成角的向量公式：设直线　ａ的方向向量和平面ａ的法向量分别为１，，，ｌ，　直线口与平面口所成的角为　，则有ｓｉｎ　一　∈［０＇　如果直线与平面所成角为０，且直线不　在此平面内，那么直线与平面平行．　例１（２００５年北京高考题）如图１，在　直三棱柱ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１中，ＡＢ一５，ＡＣ一３，　ＢＣ一４，　一４，点Ｄ是ＡＢ的中点，　（Ｉ）求证：　Ｃ　Ｊ＿ＢＣ１；　（Ⅱ）求证：　ＡＣ　／／平面　ＣＤＢ１；　（Ⅲ）求异　面直线ＡＣ　与　Ｂ　ｃ所成角的余　弦值．　图１　解　（Ⅱ）由直三棱柱ＡＢＣ—Ａ　Ｂ　Ｃ　中，　Ｃ一３，ＢＣ一４，ＡＢ一５，知　Ｃ，ＢＣ，ＣＣ１两　两垂直．　如图１，以Ｃ为坐标原点，直线ＣＡ，ＣＢ，　ＣＣ　分别为ｚ轴、Ｙ轴、　轴建立空间直角坐标　系Ｃ—ｘｙｚ，　则Ｃ（Ｏ，０，０），　Ａ（３，０，０），　Ｃ１（０，０，４），Ｂ（０，４，Ｏ），　Ｂ１（０，４，４），　Ｄ（要，２，０），　一（一３，０，４），商一　（要，２，ｏ），商１一（ｏ，４，４）．　设平面ＣＤＢ　的法向量万一（ｚ，Ｙ，　），由　面一０，得要ｚ＋２ｙ一０，由　·　一０，　得４　＋４ｚ一０．令　一１，得Ｙ一一１，ｚ一÷，　故万一（要，一１，１）．　设ＡＣ　与面ＣＤＢ　的夹角为　，则ｓｉｎ　０一　ｐ　Ｃ　与面　丁　下　一　与回　ＣＤＢ　的夹角为０，又ＡＣ　面ＣＤＢ　，．．．ＡＣ　∥面ＣＤＢ　．　（Ｉ）（Ⅲ）略．　例２（２００４年浙江高考题）如图２，已　知正方形ＡＢＣＤ和矩形ＡＣＥＦ所在的平面　互相垂直，ＡＢ—ｊ－２，ＡＦ＝１，Ｍ是线段ＥＦ　的中点．　（Ｉ）求证ＡＭ／／平面ＢＤＥ；　（Ⅱ）求证ＡＭ　Ｊ＿平面ＢＤＦ；　（Ⅲ）求二面角Ａ—ＤＦ—Ｂ的大小．　解　（Ｉ）以Ｃ　为原点，分别以　ＣＤ，ＣＢ，ＣＥ所在　直线为ｚ轴、Ｙ轴、　轴建立空间直角坐　标系Ｃ—ｚ　，则劢　ｃ一孚，一　图２　孚　魔＝（一　’０，１），　一　（一／　，　，Ｏ）．

空间向量中证明线线平行的公式

在空间向量中，我们经常需要判断两条线是否平行。判断两条线是否平行的一种方法是使用向量的方法。下面我们将介绍如何使用向量来证明两条线是否平行的公式。

假设有两条线，分别用参数方程表示为:

L1: r1 = a + λv.

L2: r2 = b + μw.

其中a和b是两条线上的已知点，v和w是两条线的方向向量，λ和μ是参数。

要证明L1和L2平行，我们可以使用以下方法：

1. 首先，我们可以计算两条线的方向向量v和w。

2. 然后，我们可以计算v和w的向量积（叉乘）v × w。

3. 最后，我们可以判断v × w是否为零向量。

如果v × w为零向量，那么根据向量积的性质，我们可以得出结论，两条线平行。

证明过程如下：

v × w = 0。

⇒ |v × w| = 0。

⇒ |v| |w| sinθ = 0。

其中θ为v和w之间的夹角。

根据向量积的性质，v × w = 0 当且仅当v与w共线或其中一个为零向量。因此，如果v × w = 0，则L1和L2平行。

通过这种方法，我们可以使用向量来证明两条线是否平行的公式。这种方法简单直观，适用于空间向量中线线平行的判断。希望这篇文章能对你有所帮助。

空间向量与平行关系（2012-12-24陈玲丽）

目标1理解直线的方向向量和平面的法向量。

2能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系。

认真阅读课本102-104页（可参阅红对勾相应课时）解决下列问题。

问题1如何理解直线的方向向量？（从定义及作用方面说明）

获得直线方向向量的基本途径是什么？如何利用直线的方向向量判断两直线平行？

问题2如何理解平面的法向量？怎样求一个平面的法向量？

问题3直线的方向向量和平面的法向量满足什么关系时线面平行？

问题4两平面的法向量满足什么关系时两平面平行？

例1已知A(1,0,2),B(3,2,3)C(5,5,5),求平面ABC的单位法向量

例2在正方体1111ABCDABCD中，M,N分别是C1C,B1C1的中点，求证：MN//平面A1BD

例3在三棱柱111ABCABC中，侧棱垂直于底面，在底面ABC中ABC=090,AB=BC ,D是BC中点，1D为11BC的中点，求证：面11ABD∥面1ACD.

例4在正方体1111ABCDABCD，E是棱1DD的中点。在棱11CD上是否存在一点F，使1BF∥平面1ABE?证明你的结论。

空间向量的平行判定

以空间向量的平行判定为题，首先需要了解什么是空间向量。空间向量是指具有大小和方向的量，用来表示空间中的位移、速度、力、加速度等物理量。在三维空间中，空间向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

在空间向量中，有一个重要的概念是平行向量。平行向量是指具有相同或相反方向的向量，即它们的方向相同或相反，但大小可以不同。判断空间向量是否平行的方法有多种，下面将介绍两种常见的方法。

方法一：向量共线法

两个非零向量a和b平行的充要条件是它们的比值为常数，即a=k*b，k为常数。根据向量的线性运算，可以得到以下结论：

1. 如果两个向量a和b平行，则它们的数量积等于它们的模的乘积，即a·b=|a|*|b|。

2. 如果两个向量a和b不平行，则它们的数量积小于它们的模的乘积，即a·b<|a|*|b|。

方法二：向量叉乘法

两个向量a和b平行的充要条件是它们的叉乘等于零向量，即a×b=0。根据向量的叉乘运算，可以得到以下结论：

1. 如果两个向量a和b平行，则它们的叉乘等于零向量，即a×b=0。

2. 如果两个向量a和b不平行，则它们的叉乘不等于零向量，即a×b≠0。

根据以上两种方法可以得出结论：两个向量a和b平行的充要条件是它们的数量积等于它们的模的乘积，即a·b=|a|*|b|，同时它们的叉乘等于零向量，即a×b=0。

除了以上两种方法，还可以通过向量的坐标表示进行判断。假设向量a的坐标表示为(a1, a2, a3)，向量b的坐标表示为(b1, b2, b3)，则向量a和b平行的充要条件是它们的坐标比例相同，即a1/b1=a2/b2=a3/b3。

在实际应用中，判断空间向量的平行性是非常重要的。例如，在工程学中，判断力的平行性可以用于判断结构的平衡性；在物理学中，判断速度的平行性可以用于判断物体的运动轨迹等。

总结起来，判断空间向量的平行性有多种方法，包括向量共线法、向量叉乘法和向量的坐标表示法。通过这些方法可以准确地判断空间向量的平行性，对于解决实际问题具有重要意义。在实际应用中，根据具体情况选择合适的方法进行判断，可以提高工作效率和准确性。