1 §8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
最新考纲
考情考向分析
1.理解直线的方向向量及平面的法向量．
2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．
3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 利用空间向量证明空间中的位置关系是近几年高考重点考查的内容，涉及直线的方向向量，平面的法向量及空间直线、平面之间位置关系的向量表示等内容．以解答题为主，主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探索论证题的形式出现.
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 n·a＝0，n·b＝0.
2．用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.
(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.
(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2.
3．用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
2
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )
(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )
(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )
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匠心教育系列 1 第82课时
利用空间向量证明平行与垂直问题
考点解说
利用直线的方向向量和平面的法向量判定直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,掌握用向量方法处理空间中的平行与垂直问题.
一、基础自测
1.已知向量),,3(),5,4,2(yxba分别是直线12,ll的方向向量,若1l∥2l,则x
y .
2.已知)5,6,2(),,3,8(bnam,若m//n ,则ba .
3.已知,,abc分别为直线,,abc的方向向量且(0),0,abbc则a与c的位置关系是 .
4.在空间四边形ABCD中,E、F是分别是AB、AD上的点,且AE:EB=AF:FD=1:4,又H,G分别是BC、CD的中点,则EFGH是 形.
5.正三棱柱111ABCABC中,底面边长AB=1,且11ABBC,则侧棱1AA的长为 .
6.已知平行六面体1111ABCDABCD底面为菱形, 01160,CCBBDCA,则1CCD的大小为 .
7.正方体1111ABCDABCD中,M、N、P分别是棱1CC、BC、CD的中点,则直线1AP与平面MND所成角为 .
8.空间四边形ABCD中,,ABCDBCAD,则AC与BD的位置关系为 .
二、例题讲解
例1.如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中,O是AC和BD的交点,M是CC1的中点,求证:A1O⊥平面MBD.
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,求证:平面AED⊥平面A1FD1.
例3.如图正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是所在棱的中点,求证:平面AMN∥平面EFBD.
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用向量的方法证明空间中的平行关系导学案
一、复习
1.直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线___________的向量．
2.平面的法向量
直线l⊥，取直线l的___________，则a叫做平面的法向量．
二、探究与总结
空间平行关系的向量表示
(1)线线平行
设直线l，m的方向向量分别为111222,,,,,aabcbabc，
则l∥m⇔ab ⇔__________ ⇔ __________
(2)线面平行
设直线l的方向向量为111,,,aabc平面的法向量为222,,uabc，
则l∥⇔au⇔________⇔ ___________________ ．
(3)面面平行
设平面,的法向量分别为1111,,nabc，2222,,nabc
则∥⇔1n2n⇔________⇔ __________________________ R
空间垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线l，m的方向向量分别为111222,,,,,aabcbabc，
则l⊥m⇔ab ⇔__________ ⇔ __________
(2)线面垂直
设直线l的方向向量为111,,,aabc平面的法向量为222,,uabc，
则l⇔au⇔________⇔ ___________________ ． al
m b a b
u a a m l
l u (3)面面垂直
设平面,的法向量分别为1111,,nabc，2222,,nabc
则⇔1n2n⇔________⇔ __________________________
三、应用
(1)设,ab分别是不重合的直线12,ll的方向向量，根据下列条件判断12,ll的位置关系：
高二数学·理·空间向量在立体几何中的应用第二课时 空间向量与垂直关系
1 高二数学·理·学案
课题 空间向量在立体几何中的应用第二课时 空间向量与垂直关系
学习要求 1、理解直线的方向向量与平面法向量的概念
2、能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系
3、初步体会空间向量在处理立体几何问题中的方法与作用
直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置．因此，可用向量方法解决线面垂直关系的判断及证明．
问题1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么关系？
问题2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？
证明垂直关系的向量方法
线线垂直 线面垂直 面面垂直
用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键．
[例1] 在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.
高二数学·理·空间向量在立体几何中的应用第二课时 空间向量与垂直关系
2 [一点通] 利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标进而求直线的方向向量．
1．设直线l1的方向向量为a＝(2,1，－2)，直线l2的方向向量为b＝(2,2，m)，若l1⊥l2，则m＝ ( )
A．1 B．－2
C．－3 D．3
2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点.
证明： (1)BD1⊥AC；
(2)BD1⊥EB1.
高二数学·理·空间向量在立体几何中的应用第二课时 空间向量与垂直关系
3
[例2] 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．
