巧求面积---难题讲解

蝴蝶定理巧解小学竞赛中的图形问题特级教师吴乃华梯形的两条对角线，把梯形分割为“上”、“下”、“左”、“右”四个部分，这四个三角形的面积以及相应边长的比例关系，都是由梯形上、下底的长短或者比例关系所决定的。

由于这四个部分形状有点像蝴蝶，揭示梯形上、下底与“上”、“下”、“左”、“右”四个部分的关系，以及这四个部分相互之间规律的理论，就叫做“梯形蝴蝶定理”。

它的奇妙之处在于，运用这种理论解答图形问题，轻松便捷，化难为易。

下面以几道小学竞赛题的解答，就定理的部分内容作浅显的解读，敬请校正。

一、紧盯翅膀求答案梯形的左右两个三角形，就像蝴蝶的一对翅膀，它们的面积是相等的，这是因为它们分属于同底同高的两个三角形，并且共有一个“上”（或者“下”）三角形。

简记为：“左＝右”。

在有关梯形的图形里，关注这一部分的情况，有时能得到答案，有时为解答提供思路。

例1、如图的梯形ABCD中，三角形ABP的面积为20平方厘米，三角形CDQ的面积为35平方厘米，求四边形MPNQ的面积。

解：连接MN，这样把梯形ABCD分成ABNM和MNCD两个小梯形。

由“左＝右”知道：S△MNQ＝S△CDQ＝35；S△MNP＝S△ABP＝20。

所以，四边形MPNQ的面积是：20＋35＝55（平方厘米）。

例2、如图所示, 四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形, 若三角形DFP 与三角形AEF 的面积分别是22 和36, 则三角形BNE 的面积是多少？（第十六届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛小学组决赛试题)解：连接AM。

把四边形CPMN以外的部分，分成了AMND和ABGM两个梯形。

由“左＝右”知道：S△AFM＝22；S△AEM＝36－22＝14。

所以，三角形BNE 的面积是14。

二、上底下底藏玄机梯形上、下底的长度，决定了对角线交叉所成的角度。

上、下底的比，决定了对角线上、下段的比，也决定了这些线段所围成的三角形面积的比。

所以相应边长的比，等于边长所在的三角形面积的比，反之，三角形面积的比，等于三角形相应边长的比。

巧求面积多边形面积作为小学内容中的非常重要的组成部分，既是重点，也是难点，学生要想学好、学懂、学透，方法很重要，很多学生公式记得很牢，但遇到题目却无法使用，就是因为方法不对，下面我整理总结了几种方法。

一、“割补法”求面积割补法求面积是最常用的求面积方法1)“割”就是分割，把要求面积的图形分割成若干小块，并且每一小块的面积都可以直接用公式求出，最后求和2)“补”就是补上一小块，得到一个更加完整的图形，使要求的面积包含在这个完整的图形中，并且可以直接用公式求出，最后再减去所“补”上的图形面积。

例1计算右图的面积。

（单位：cm）分析右图是一个非规则图形，直接求面积是求不出的，按照“割”和“补”两种思想，我们可以得到以下几种割补方法。

○1○2○3种都是用的“割”,○4○5种用的是“补”解答是我们选择其中一种方法计算即可方法○1左梯形面积：（6+10）×（9-5）÷2 = 32（平方厘米）右长方形面积：5×6 = 30（平方厘米）原图形的面积：32 + 30 = 62（平方厘米）方法○2上三角形面积：（10 - 6）×（9-5）÷2 = 8（平方厘米）下长方形面积：9×6 = 54（平方厘米）原图形的面积：8 + 54 = 62（平方厘米）方法○3左三角形面积：10×（9-5）÷2 = 20（平方厘米）右梯形面积：（5 + 9）×6÷2 = 42（平方厘米）原图形的面积：20 + 42 = 62（平方厘米）方法○4补后梯形面积：（10 + 6）×9÷2 = 72（平方厘米）补的三角形面积：5×（10 - 6）÷2 = 10（平方厘米）原图形的面积：72 - 10 = 62（平方厘米）方法○5补后长方形面积：10×9 = 90（平方厘米）补的梯形面积：（5 + 9）×（10 - 6）÷2 =28（平方厘米）原图形的面积：90 - 28 = 62（平方厘米）例2如图，已知四条线段的长分别是AB=2厘米，CE=6厘米，CD=5厘米，AF=4厘米，并且有两个直角。

多边形的面积趣味题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：多边形在我们生活中无处不在，无论是建筑物的外形、地图上的国界线还是日常生活中的各种形状，都离不开多边形的影子。

而多边形的面积是一个让我们感到神秘又充满挑战的概念。

今天，让我们来一起探讨一些关于多边形面积的有趣题目，希望能够让你领略到数学的乐趣。

1. 假设有一个六边形，其中每个边长为5cm，相邻两边之间的夹角为120度。

请计算出这个六边形的面积。

我们可以将这个六边形看作是由两个等边三角形和一个梯形组成的。

每个等边三角形的面积可以通过以下公式计算：面积= 底边长度* 高/ 2因为该等边三角形的底边长度和高均为5cm，所以每个等边三角形的面积为：5 * 5 / 2 = 12.5cm²然后，我们来计算梯形的面积。

梯形的面积可以通过以下公式计算：面积= (上底+ 下底) * 高/ 2这里的上底和下底都是5cm，高是边长5cm的两边之间的高。

根据三角形的计算方法，该高度可以为5*sin(60°)=5*√3 / 2=2.5√3 cm。

梯形的面积为：(5 + 5) * 2.5√3 / 2 = 12.5√3 cm²将两个等边三角形的面积和一个梯形的面积相加，得到这个六边形的面积为：12.5 + 12.5 + 12.5√3 = 25 + 12.5√3 cm²2. 现在我们来探讨一个更有趣的题目。

假设有一个正方形的边长为10cm，我们要将这个正方形切割成4个完全不同形状的多边形，并且每个多边形的面积相等。

请问你能想到哪几种方法将这个正方形切割出来呢？我们来想一种方法。

我们可以将这个正方形分成四个三角形，每个三角形都有一个角是90度，另外两个角是45度。

这样切割出的四个三角形的面积都是25cm²，且面积相等。

除了这种方法外，我们还可以将正方形分成几何图形更为复杂的方式。

比如可以将一个正方形切割成一个三角形、一个梯形和两个长方形。

小学数学五年级上册有关阴影部分的面积难题好题压轴题1.如图，直线a和直线b互相平行。

比较甲、乙的面积，正确的是（）A. 甲＞乙B. 甲＜乙C. 甲=乙D. 无法比较2.如图，已知大正方形的边长是40cm，小正方形的边长是20cm，则阴影部分的面积是（）cm2。

A. 2000B. 1400C. 600D. 8003.如图，平行四边形ABCD的底边BC的长是15厘米，线段FE的长是6厘米，那么平行四边形中阴影部分的面积是（）平方厘米。

A. 45B. 75C. 90D. 604.下图是两个完全一样的长方形，正方形的边长为1米，阴影部分的面积是（）平方米。

A. 15B. 14C. 165.如图，长方形的面积是64平方厘米，M、N两点分别是长和宽的中点，空白部分的面积是平方厘米。

6.下图中每个小方格的面积是1cm2，则阴影部分的面积是 cm2。

7.一个梯形上底6厘米，下底12厘米，如果上底增加4厘米，面积就增加16平方厘米，原来梯形的面积是________平方厘米。

8.如图，三角形ABC的面积是24平方厘米，AD＝DE＝EC，F是BC的中点，FG＝GC，阴影部分的面积是________．9.ABCD是直角梯形，AEFC是长方形，已知BC比AD长6厘米，CD=8厘米，梯形的面积是80平方厘米，阴影部分的面积是平方厘米。

10.一个直角梯形的上底长5分米，下底长8分米，两条腰分别是4分米和5分米，这个直角梯形面积是________平方分米。

11.如图，阴影部分周长的和是20厘米，大正方形的周长是________厘米，面积是________平方厘米。

12.把一个边长20m的正方形拉成平行四边形后，它的面积减少80m²，这个平行四边形的高是________m。

13.如图，四边形ABCD是一个梯形，由三个直角三角形拼成，它的面积是________cm2。

14.如图，在平行四边形中，甲的面积是36平方厘米，乙的面积是63平方厘米，则丙的面积是________平方厘米。

六年级数学思维：组合图形的面积计算，例题解析！主要题型：一、求不规则图形面积（阴影部分面积）；二、求不能直接利用公式计算的图形面积；三、求规则图形的面积，但条件比较隐蔽，用常规思路无法解答。

基本解题思路：解题的基本思路是，先通过分割、切拼、旋转、平移、翻折、缩放、等积替换等方法，把不规则图形转化为规则图形（或规则图形面积的和差），让隐蔽条件明朗化，再合理运用面积公式，巧求不规则图形面积。

解题技巧：这一块分六讲，以后会陆续更新，每一块各有侧重地介绍了六种求面积的计算方法，但每一种解题方法并不是孤立存在的，在实际解题时一道题常常需要综合运用多种方法，才能巧妙解题。

例如加减法求面积常需要对图形进行割补，而用割补法求面积常需要添加辅助线、平移、旋转、进行加减运算等。

在解答图形面积问题时，关键就是要注意寻找不同图形或同一个图形的各个部分之间的内在联系，可以变换角度或适当添加辅助线帮助观察，特别要注意观察图形边角的形状、长度和角度，及是否隐藏有等底等高之类的条件。

从而根据图形的形状特征，合理地进行分割重组，化不规则为规则，巧妙地运用题目给出的各种条件。

小学阶段常见的面积公式：长方形的面积＝长×宽S＝ab正方形的面积＝边长×边长S＝a.a＝a2三角形的面积＝底×高÷2S＝ah÷2平行四边形的面积＝底×高S＝ah梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2S＝（a＋b）h÷2圆的面积＝圆周率×半径×半径S＝πr2今天我们讲第一块内容：加减法求面积方法介绍：根据组合图形的形状特征，从整体上观察，将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积。

再变化角度思考，通过相加或相减求出所求图形的面积。

例题1：求下图中阴影部分的面积（最后结果保留一位小数）。

（单位：厘米）【解析】：上图阴影部分可以分割成3个完全相同的弓形，先求出其中一个弓形的面积，再求出3个弓形的总面积就是所求阴影部分的面积。

巧用“面积”求解物理问题利用函数图表达物理规律，是中学物理中常用的、有效的方法，这些图象既能反映出物理状态变化的规律——物理过程，也能帮助我们比较深入地、直观地理解物理状态特点。

在图象中坐标轴有赋予的特定意义，相应其图象与对应的横（纵）轴之间面积往往能代表一个物理量，有其对应的物理意义，如 v-t图象中，曲线与t轴所夹的面积代表位移，f-s图象中，曲线与s轴夹的面积代表功，f-t图象中，曲线与t轴所夹的面积代表力f的冲量，p-v图象中的曲线与v轴所夹面积代表功等，同时，根据解题需要，我们还可建立反映物理过程特征，面积对应于某一物理量的图象.如s-1v图象的面积代表时间等.巧妙利用图象中“面积”，不仅能化解难点，简化解题过程，同时有利于启发思维，培养能力。

一、利用“面积”避开难点合理利用图象，不仅能有效揭示反映物理过程及其遵循的规律，同时，也能突破无法定量表述或表述困难限制.例1.一物块从某一高度由静止开始滑下，第一经光滑斜面ab滑至底端的时间为t1，第二次经光滑曲面acd滑至底端时间为t2，如图一所示，设两次通过路程相等，试比较t1t2大小.解析：设物块沿ab运动的加速度为a，则沿acd运动的开始段加速度大于a，后段运动速度小于a，因过程中机械能等恒，滑至底端速度大小相等，因两路程相等，两图象分别在t1、t2时间内所围成的面积相等，如图二所示，显然t1>t2。

二、巧用“面积”化繁为简在物理图象的不同的坐标系中，其“面积”有不同的物理意义，巧用“面积”揭示物理过程，不仅可简化物理思维过程，还可避免繁难的运算。

例2.如图三所示，将质量为2m的长木板静止放在光滑水平面上，一质量为m的小铅块（可视为质点）以水平初速度v0滑上木板左端，到达木板的右端恰与板相对静止，铅块运动中所受摩擦力始终不变，现将木板分成长度和质量均相等的两段后紧挨着仍放在水平面上，让小铅块仍以相同的初速度由左端开始滑动，则小木块将：a.仍滑到右端与木板保持相对静止b.在滑到右端前就与木板保持相对静止c.滑过右端后飞离木板d.以上答案均可能解析：长木板截成等长两段后，假设小铅块最后在b上相对静止，那么，小铅块与木板作用过程中，遵守动量守恒定律，用动量守恒、动能定理便可求解，再根据题意分析，便可得正确判断。

四年级数学专题：巧求面积，典型题型解题方法思维，精讲精
练
巧求面积
一、方法思维
我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。

利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。

在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，应注意以下几点：
1.细心观察，把我图形特点，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧，合理地进行切拼，从而是问题顺利解决。

2.从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。

二、精讲精练
【例题1】把一张长为4米，宽为3米的长方形木板，剪成一个面积最大的正方形。

这个正方形木板的面积是多少平方米？
【思路导航】要使剪成的正方形面积最大，就要使它的边长最长（如图），那么只能选原来的长方形宽为边长，即正方形的边长是3米。

正方形的面积：3×3=9米。

小学数学难题解法大全第四部分常用解题技巧（四之三）解几何题技巧（三）解几何题技巧1.等分图形【均分整体】有些几何问题，只要把大图形均分为若干个小图形，就能找到问题的答案。

例如，下面两图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形（内接指四个顶点全在三角形的边上）。

已知左图（图4.11）中正方形面积为72平方厘米，求右图（4.12）中正方形的面积。

由于左右两个三角形完全相同，我们不妨把这两个图形进行等分，看看这两个正方形分别与同一个等腰直角三角形有什么样的关系。

等分后的情况见图4.13和图4.14。

积是图4.12的正方形面积是【均分局部】有些几何问题，整体的均分不太方便，或不能够办到，这时可以考虑把它的局部去均分，然后从整体上去观察，往往也能使问题获得解决。

例如图4.15，在正方形ABCD中，画有甲、乙、丙三个小正方形。

问：乙、丙面积之和与甲相比，哪一个大些？大家由前面的“均分整体”已经知道，像甲、乙这样的两个正方形，面积不是相等的。

如图4.16，经过等分，正方形甲的面积等于△ABC面积的一半；正方形丙的面积等于△EDF的一半，正方形乙的面积等于梯形ACFE面积的一半。

这样，一个大正方形ABCD，就划分成了三个局部：等腰直角△ABC；等腰梯形ACFE；等腰直角△EDF。

其中甲、乙、丙的面积分别为各自所在图形的一半，而△EDF的面积加梯形ACFE的面积等于△ADC的面积，即等于△ABC的面积。

所以，乙、丙面积之和等于甲的面积。

2.平移变换【平移线段】有些几何问题，通过线段的上、下、左、右平移以后，能使问题很快地得到正确的解答。

例如，下面的两个图形（图4.17和图4.18）的周长是否相等？单凭眼睛观察，似乎图4.18的周长比图4.17的要长一些。

但把有关线段平移以后，图4.18就变成了图4.19，其中的线段，有的上移，有的左移，有的右移，它可移成一个正方形。

于是，不难发现两图周长是相等的。

【平移空白或阴影部分】有些求阴影部分或空白部分面积的几何题，采用平移空白部分或平移阴影部分的办法，往往能化难为易，很快使问题求得解答。

面积计算（一）专题简析：计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。

这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。

有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。

例题1。

已知图18－1中，三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE ＝ED ，BD=23 BC ，求阴影部分的面积。

【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF 的面积无法直接计算。

由于AE=ED,连接DF ，可知S △AEF =S △EDF （等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF 的面积。

因为BD=23 BC ，所以S △BDF ＝2S △DCF 。

又因为AE ＝ED ，所以S △ABF ＝S △BDF ＝2S △DCF 。

因此，S △ABC ＝5 S △DCF 。

由于S △ABC ＝8平方厘米，所以S △DCF ＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。

练习11、 如图18－2所示，AE ＝ED ，BC=3BD ，S △ABC ＝30平方厘米。

求阴影部分的面积。

2、 如图18－3所示，AE=ED ，DC ＝13 BD ，S △ABC ＝21平方厘米。

求阴影部分的面积。

3、 如图18－4所示，DE ＝12AE ，BD ＝2DC ，S △EBD ＝5平方厘米。

求三角形ABC 的面积。

AB CFD E18－2ABCFE D18－1 ABCFED 18－3CB D EF 18－4例题2。

两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形，如图18－5所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？【思路导航】已知S △BOC 是S △DOC 的2倍，且高相等，可知：BO ＝2DO ；从S △ABD 与S △ACD相等（等底等高）可知：S △ABO 等于6，而△ABO 与△AOD 的高相等，底是△AOD 的2倍。