数列综合讲义(编排)(2)

数列讲义（共五讲）第一讲 数列的概念及简单表示方法考点自测1．(课本改编题)已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式为__________． 2．(课本改编题)已知数列2，5，22，…，根据数列的规律，25应该是该数列的第________项． 3．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为a n ＝__________，数列{na n }中数值最小的项是第________项．4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋156n (n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是( )A ．a 12B ．a 13C ．a 12或a 13D ．不存在5．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 100等于()A ．1B ．－1C ．5D ．－5题型一 由数列的前几项归纳数列的通项公式例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；(4)32，1，710，917，…； (5)0,1,0,1，…. 练习：写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….题型二 已知数列的递推公式求通项公式例2 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)；(3)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n . 练习：根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)在数列{a n }中，a n ＋1＝3a 2n ，a 1＝3；(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1；(3)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1；(4)在数列{a n }中，a 1＝8，a 2＝2，且满足a n ＋2－4a n ＋1＋3a n ＝0.题型三 由a n 与S n 的关系求通项a n例3 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *. 求{a n }的通项公式．练习：设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S nn＋2 (n －1) (n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列，并分别写出a n 和S n 关于n 的表达式；(2)是否存在自然数n ，使得S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn －(n －1)2＝2 013？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．第一次作业A 组 专项基础训练题组1．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k D ．数列0,2,4,6，…可记为{2n } 2．数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n 对所有正整数n 都成立，则a 10等于 ( )A ．34B ．55C ．89D ．100 3．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是( )A ．a n ＝2(n 2＋n ＋1)B ．a n ＝3·2nC ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝2·3n4．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，a 36＝________.5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，且1<S k <9 (k ∈N *)，则a 1的值为______，k 的值为______．6．已知a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ＋1 (n ∈N *)，则a n ＝________. 三、解答题7．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？B 组 专项能力提升题组1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N *)，则a 1·a 2·…·a 2 011的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．32．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12 (n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92 D.1323．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( )A.6116B.259C.2516D.31154．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n(n ≥2)，则a 16＝________.5．数列53，108，17a ＋b，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )是______________．6．(2011·浙江)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________. 7．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1) (n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．第二讲 等差数列及其前n 项和考点自测1．(课本改编题)有两个等差数列2,6,10，…，190及2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列{a n }的通项公式a n ＝______________.2．(课本精选题)已知两个数列x ，a 1，a 2，a 3，y 与x ，b 1，b 2，y 都是等差数列，且x ≠y ，则a 2－a 1b 2－b 1的值为________．3．(课本改编题)已知数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________. 4．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2 (n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.5．(2011·江西)设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1等于( ) A ．18B ．20C ．22D ．24题型一 等差数列的判定或证明例1 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．练习：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)，a 1＝2.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求a n 的表达式．题型二 等差数列的基本量的计算例2 设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1；(2)求d 的取值范围． 练习：(2011·福建)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．题型三 等差数列的前n 项和及综合应用例3 (1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和． 练习：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 009＝0.(1)求S n 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使a n ≥S n .试题：(12分)设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n (m ≠n )，求它的前m ＋n 项的和S m ＋n .第二次作业A 组 专项基础训练题组1．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于 ( )A ．31B ．32C ．33D ．34 2．数列{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( ) A ．40 B ．200 C ．400 D ．20 3．(2011·大纲全国)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．54．(2011·辽宁)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________. 5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________. 7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn 2＋qn (p 、q ∈R ，且p 、q 为常数)． (1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列； (2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列．B 组 专项能力提升题组1．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( )A ．0 B.16 C.13 D.122．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0 (n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 3．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝10，b 1＝90，a 2＋b 2＝100，那么数列{a n ＋b n }的第2 012项的值是( )A ．85B ．90C ．95D ．1004．(2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．5．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．6．设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．7．已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝S nn ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．第三讲 等比数列及其前n 项和考点自测1．(课本改编题)在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是____________． 2．(课本精选题)在等比数列{a n }中，a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5的值为________． 3．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________.4．(2011·广东)已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 5．在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q 的值是 ( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3题型一 等比数列的基本量的运算例1 (1)在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求{a n }的前8项和S 8；(2)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3 280，且前n 项中数值最大的项为27，求数列的第2n 项．练习：设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝1，S 8＝17，求{a n }的通项公式．题型二 等比数列的定义及判定例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．练习：设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．题型三 等比数列的性质及应用例3 在等比数列{a n }中，(1)若已知a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；(2)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．练习：(1)在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10；(2)已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，求b 5＋b 9的值； (3)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，求a 41a 42a 43a 44.题型四 等差、等比数列的综合应用例4 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013.练习：已知数列{a n }满足a 1＝12，3(a n ＋1－a n )1＋a n ＋1＝1－a n ＋1a n ＋1＋a n，且a n ＋1·a n <0 (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a 2n ＋1－a 2n ，试问数列{b n }中是否存在三项能按某种顺序构成等差数列？若存在，求出满足条件的等差数列；若不存在，说明理由． 试题：(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．第三次作业A 组 专项基础训练题组1．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，S n 等于( ) A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n －12．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或123．(2011·辽宁)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( )A ．2B ．4C ．8D ．164．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ＝2，若a n ＝64，则n 的值为________．5．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1) (n ≥2，n ∈N *)，这个数列的通项公式是______． 6．设等比数列{a n }的公比q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________． 7．已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n .8．S n 是无穷等比数列{a n }的前n 项和，且公比q ≠1，已知1是12S 2和13S 3的等差中项，6是2S 2和3S 3的等比中项． (1)求S 2和S 3；(2)求此数列{a n }的前n 项和公式； (3)求数列{S n }的前n 项和．B 组 专项能力提升题组1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于 ( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n )2．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn等于( )A.32B.32或23C.23D ．以上都不对 3．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n＝f (n ) (n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎭⎫12，2B.⎣⎡⎦⎤12，2C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎣⎡⎭⎫12，1 4．在等比数列{a n }中，若a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________.5．已知数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝1，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝__. 6．已知数列{a n }是正项等比数列，若a 1＝32，a 3＋a 4＝12，则数列{log 2a n }的前n 项和S n 的最大值为________． 7．等比数列{a n }的公比q >1，a 1与a 4的等比中项是42，a 2和a 3的等差中项为6，数列{b n }满足b n ＝log 2a n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3 (n ∈N *)，其中m 为常数，m ≠ －3且m ≠0.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1) (n ∈N *，n ≥2)，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为等差数列，并求b n .第四讲 数列求和考点自测1．(课本改编题)数列1，11＋2，11＋2＋3，…的前n 项和S n ＝________.2．在等差数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 2＋a 8＝18－a 5，则S 9＝________.3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其中前n 项和S n ＝32164，则项数n ＝________.4．(2011·天津)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( ) A ．－110B ．－90C ．90D ．1105．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为3的等比数列，则a n 等于 ( )A.3n ＋12B.3n ＋32C.3n －12D.3n －32题型一 分组转化求和例1 求和：(1)S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋n ·2n ＋12n；(2)S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2. 练习：求和S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1. 题型二 错位相减法求和例2 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和S n .练习：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)．(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n －22n －1>2 013的n 的最小值． 题型三 裂项相消法求和例3 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .练习：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12S n (n ＝1,2,3，…)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当b n ＝32log (3a n ＋1)时，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n ＝n1＋n .试题：(12分)(2010·山东)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .第四次作业A 组 专项基础训练题组1．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2 D ．2n ＋n －22． a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在纵截距为 ( )A ．－10B ．－9C ．10D ．93．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 013项之和S 2 013等于( )A ．2 008B ．2 010C ．1D ．04．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.5．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________. 6．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________.7．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2 (n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n . 8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .B 组 专项能力提升题组1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为 ( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158 2．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134 3．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－4004．已知等差数列的公差d <0，前n 项和记为S n ，满足S 20>0，S 21<0，则当n ＝______时，S n 达到最大值．5．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝__________.6．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则这个数列前30项的绝对值的和是________．7．设数列{a n }是公差大于0的等差数列，a 3，a 5分别是方程x 2－14x ＋45＝0的两个实根．则数列{a n }的通项公式是a n ＝________；若b n ＝a n ＋12n ＋1，则数列{b n }的前n 项和T n ＝__________.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1 (n ∈N *)，等差数列{b n }中，b n >0 (n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列． (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .第五讲 数列的综合应用题型一 等差数列与等比数列的综合应用例1 在等比数列{a n } (n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ； (3)试比较a n 与S n 的大小．练习：已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1 (n ≥2，q ≠0)．(1)设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，证明：{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．题型二 数列与函数的综合应用例2 已知函数f (x )＝log 2x －log x 2(0<x <1)，数列{a n }满足f (2n a)＝2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性．练习：已知定义域为R 的二次函数f (x )的最小值为0，且有f (1＋x )＝f (1－x )，直线g (x )＝4(x －1)的图像被f (x )的图像截得的弦长为417，数列{a n }满足a 1＝2，(a n ＋1－a n )g (a n )＋f (a n )＝0 (n ∈N *)．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设b n ＝3f (a n )－g (a n ＋1)，求数列{b n }的最值及相应的n .题型三 数列与不等式的综合应用例3 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝14，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n1－a 2n.(1)求b 1，b 2，b 3，b 4； (2)求数列{b n }的通项公式；(3)设S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1，求实数a 为何值时，4aS n <b n .练习：已知函数f (x )＝2x ＋33x，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ，n ∈N *， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n ；(3)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0032对一切n ∈N *成立，求最小正整数m .试题：(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n ·S n －1 (n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求证：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n.第五次作业A 组 专项基础训练题组1．(2011·安徽)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15 2．(2010·福建)等差数列{a n }前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝ ( )A ．6B ．7C ．8D ．93．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n ) (n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.nn －1D.n ＋1n4．(2011·江苏)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，则该数列前26项的和为________．6．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝________. 7．已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n 12log a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的最小正整数n 的值．B 组 专项能力提升题组1．{a n }是等差数列，a 2＝8，S 10＝185，从{a n }中依次取出第3项，第9项，第27项，…，第3n 项，按原来的顺序排成一个新数列{b n }，则b n 等于 ( )A ．3n ＋1＋2B ．3n ＋1－2 C ．3n ＋2 D ．3n －22．已知数列{a n }通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值313．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4 (n ∈N *)且a 1＝9，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1125的最小正整数n 是 ( )A ．5B ．6C ．7D ．8 4．(2011·陕西)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．5．将全体正整数排成一个三角形数阵： 12 3 4 5 6 7 8 9 10 ………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为__________．6．对正整数n ，若y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为____．7．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n －1n (n ＋1).(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na n ·2n ，求数列{b n }的前n 项和S n .8．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3)(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在最大的整数t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．不等式及不等关系考点自测1．(课本改编题)已知a >b >0，c <0，则下列不等式成立的所有序号是________．①ac >bc ；②ab >ac ；③ab <bc ；④c a <c b ；⑤c a >cb.2．下列四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ，其中能使1a <1b成立的充分条件有________3．(课本改编题)已知a >b >0，且c >d >0，则a d 与bc 的大小关系是________．4．已知a <0，－1<b <0，那么a ，ab ，ab 2的大小关系是__________.题型一 不等式的性质例1 对于实数a 、b 、c ，判断下列命题的真假．(1)若a >b ，则ac >bc ； (2)若a >b ，则ac 2>bc 2； (3)若a <b <0，则a 2>ab >b 2；(4)若a <b <0，则1a >1b ； (5)若a <b <0，则b a >ab .练习：适当增加不等式条件使得下列命题成立：(1)若a >b ，则ac ≤bc ； (2)若ac 2>bc 2，则a 2>b 2； (3)若a >b ，则lg(a ＋1)>lg(b ＋1)．题型二 比较实数或代数式的大小例2 已知a ≠1且a ∈R ，试比较11－a与1＋a 的大小．练习:已知a 、b 、c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．题型三 不等式性质的应用例3 设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．练习：（1）(2010·江苏)设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．（2）已知1≤lg x y ≤2,2≤lg x 3y≤3，求lg x33y的取值范围．题型四 与一元二次不等式有关的恒成立问题例4设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．练习：1.已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________ 2.若不等式x 2－2ax ＋a >0对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式at 2＋2t －3<1的解集为__________3．若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝⎛⎭⎫12n ≥0，对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是______．4．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为__________．5．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )*(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是___． 6．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．课外作业A 组 专项基础训练题组1．若a >b >0，则( )A ．a 2c >b 2c (c ∈R )B.ba>1 C ．lg(a －b )>0 D.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b 2．设a <b <0，则下列不等式中不成立的是( )A.1a >1bB.1a －b >1a C ．|a |>－bD.－a >－b3．已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b4．若角α、β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是____________．5．对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a >b ，则ac <bc ；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >b ，1a >1b ，则a >0，b <0.其中真命题为______．(把正确命题的序号写在横线上)6．给出条件：①1<a <b ；②0<a <b <1；③0<a <1<b .其中，能推出log b 1b <log a 1b <log a b 成立的条件的序号是____．7．比较下列各组中两个代数式的大小： (1)3x 2－x ＋1与2x 2＋x －1；(2)当a >0，b >0且a ≠b 时，a a b b 与a b b a .8．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求ca的取值范围．B 组 专项能力提升题组1．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于( )A ．－1b <x <0或0<x <1aB ．－1a <x <1bC ．x <－1a 或x >1bD ．x <－1b 或x >1a2．已知a ，b ，c 是实数，给出下列四个命题：①若a >b ，则1a <1b ；②若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ；③若a <b <0，则a 2>ab >b 2；④若c >a >b >0，则a c －a >bc －a .其中正确命题的序号是( ) A ．①④B ．①②④C ．③④D ．②③3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1aD.2a ＋b a ＋2b >a b4．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．5．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是_________．6．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n(n ∈N *，n >2)，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是_______．7．已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .8．(1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小；(2)已知a ，b ，c ∈{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时比较c n 与a n ＋b n 的大小．。

专题 数列综合知识梳理1.数列的通项 求数列通项公式的常用方法：（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。

（2）公式法：等差数列与等比数列。

等差数列{n a }中，1(1)=+-na a n d ，等比数列{n a }中，n 1n 1a a q -=⋅ ，（3）利用n S 与n a 的关系求n a ：则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn （注意：不能忘记讨论1=n ）（4）逐项作差求和法（累加法）；已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}的和可求，求n a 用累加法（5）逐项作商求积法（累积法）; 已知)2)((1≥=-n n f a a n n，且{f(n)}的和可求，求n a 用累乘法. （6）转化法2 几种特殊的求通项的方法 （一） 1n n a ka b +=+型。

（1）当1k =时，{}1n n n a a b a +-=⇔是等差数列，1()n a bn a b =++（2）当1k ≠时，设1()n n a m k a m ++=+，则{}n a m + 构成等比数列，求出{}n a m +的通项，进一步求出{}n a 的通项。

()()d n n nan a a S n n 21211-+=+=()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠--==111111q q q a q na S nn（二）、1()n n a ka f n +=+型。

（1）当1k =时，1()n n a a f n +-=，若()f n 可求和，则可用累加消项的方法。

（2）当1k ≠时，可设[]1(1)()n n a g x k a g x +++=+，则{}()n a g x +构成等比数列，求出{}()n a g x +的通项，进一步求出{}n a 的通项。

（注意()g x 所对应的函数类型） （三）、1()n n a f n a +=型。

第26讲-数列求和及数列的综合应用一、 考情分析1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法；3.了解数列是一种特殊的函数；4.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题.二、 知识梳理1.特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d . (2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. 2.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解.3.数列应用题常见模型(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑a n 与a n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者S n 与S n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系.[微点提醒]1.1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2.2.12＋22＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.3.裂项求和常用的三种变形(1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.(2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .三、 经典例题考点一 分组转化法求和（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .因为()1141n n n a na n ++-=+，所以213225329a a a a -=⎧⎨-=⎩，所以112549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩.所以()11221n a n n =+-⨯=-.检验：当21n a n =-时，()121121n a n n +=+-=+，则()()()()()()221112*********n n n a na n n n n n n n n n ++-=++--=++--=+，合乎题意. 因此，数列{}n a 的通项公式为21n a n =-；（2）由（1）知1222121n nn n b a +==⨯-=-.所以()223122122222412n n n n S n n n ++-=++⋅⋅⋅+-=-=---.所以数列{}n b 的前n 项和224n n S n +=--.（Ⅰ）证明：数列{}n a 为等比数列； （Ⅱ）设142n n b a n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】（Ⅰ）432n n a S -=，①∴当1n =时，11432a S -=，解得12a =；当2n ≥时，11432n n a S ---=，②由①-②得()114430n n n n a a S S -----=，∴14430n n n a a a ---=，∴14n n a a -=，由12a =得0n a ≠，故{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，124n n a -=⨯， ∴114442n n n b a n n -=-=-， 则{}n b 的前n 项和，()()012144444123n n T n -=++++-++++()1144142nn n +-=-⨯- 2412233n n n =---． 规律方法 1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.考点二 裂项相消法求和（1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n nc a =，求数列12n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【解析】（1）由1122nn n a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即11221n n n n a a ++=-.而2nn n b a =，11n n b b +∴=-，即11n n b b +-=.又1121b a ==，∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列.于是1(1)12n n n b n n a =+-⨯==，2n n na ∴=.（2）22log log 2n n nc nn a ===，122112(1)1n n c c n n n n +⎛⎫==-+∴ ⎪+⎝⎭.111111111212233411n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若112n a n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】（1）当1n =时，11a =，当2n ≥时，()()221112n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+，∴()()1110n n n n a a a a --+--=，∵0n a >，∴11n n a a --=，∴{}n a 是以11a =为首项，1d =为公差的等差数列，∴n a n =.（2）由（1）的n a n =，则()1112211n n n b n n n n =+=+-++， ()1221111112221223121211121121+1n n n n n T b b b n n n n +=+++=++++-+-++-+-=+--+=-- ∴11211n n T n +--+=. 规律方法 1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.考点三 错位相减法求和（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .【解析】（1）∵51545+=52S a d ⨯=，即121a d +=， 又∵13a =-，解得2d =，所以1(1)3(1)225n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，∵n b 的前n 项和122n n G +=-∴1n=时，21222b =-=2n ≥时，1122222n n nn n n b G G +-=-=--+=∴2nn b =（*n ∈N ）；（2）12n n T c c c =+++，123(3)2(1)212(25)2n n T n =-⋅+-⋅+⋅++-⋅，23412(3)2(1)212(25)2n n T n +=-⋅+-⋅+⋅++-⋅，所以2n T -34116222(25)2n n n T n ++=-++++--⋅，131211262(25)2682(25)212n n n n n T n n -+++--=-+--⋅=--+⋅⨯---114(27)2n n T n +-=---⋅114(27)2n n T n +=+-.（1）求n a ；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，求n S .【解析】（1）设等差数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为d ， 由题意得3131222a a d -=，即312d -=，解得1d =，11(1)1(1)122nn a a n d n n ∴=+-⨯=+-⨯=，即2nn a n =⋅.（2）231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯，234121222322n n S n +∴=⨯+⨯+⨯++⨯， 两式相减可得231122222n n n S n +-=⨯++++-⨯， ()11=(1)22212212n n n n n ++-=-⋅--⨯-，∴1(1)22n n S n +=-⨯+.2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.考点四 数列的综合应用（1）证明：112n n a a +<≤（n ∈*N ）； （2）设数列{}2n a 的前项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n <≤++（n ∈*N ）. 【解析】（1）由题意得，210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，12n a ≤， 由11(1)n n n a a a --=-，得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--⋅⋅⋅->，由102n a <≤得，(]2111,21n n n n n na a a a a a +==∈--， 即112n n a a +<≤； （2）由题意得21n n n a a a +=-，∴11n n S a a +=-①，由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +<≤，得11112n na a +<-≤， ∴11112n n n a a +<-≤， 因此*111()2(1)2n a n N n n +<≤∈++②， 由①②得112(2)2(1)n S n n n <≤++.（1）求证：数列{}n a 是等比数列；【解析】（1）n=1时，11a S a ==，2n ≥时，()1111n n n n n n a a S S q q aq q ---=-=-=-（n=1也符合） ()1n n a aq n N -+∴=∈，1n na q a +∴=，即数列{}n a 是等比数列． （2）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，两边同除以1n q 得：3141211n n n n n n q q q -----=因为左边能被q 整除，右边不能被q 整除，因此满足条件的q 不存在．（3）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，3q ≥，334442111·33n n n n n n n q q q q q q q q --=≥≥>++，∴ 4321n n n n a a a a =++不成立．策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足1 1.020.20n n I I +=-；策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足1 1.080.46n n I I +=-；当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.【解析】（1）由题意可知，使用策略A 时，211.020.2I I =-；使用策略B 时，211.080.46I I =-令()111131.020.20 1.080.4603I I I --->⇒<，即当1131,3I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，使用策略B 第二周严重程度更小；当1133I =时，使用两种策哈第二周严重程度一样；当113,83I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，使用策略A 第二周严重程度更小. （2）由（1）可知，最优策略为策略B ，即1123231.080.46, 1.0844n n n n I I I I ++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，所以数列234n I ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以114-为首项，1.08为公比的等比数列，所以12311 1.0844n n I -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，即111231.0844n n I -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，令1n I <，可得9n ≥，所以虫害最快在第9周解除.规律方法 数列的综合应用常考查以下几个方面：(1)数列在实际问题中的应用；(2)数列与不等式的综合应用；(3)数列与函数的综合应用.解答数列综合题和应用题既要有坚实的基础知识，又要有良好的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再结合其他相关知识来解决问题.[方法技巧]1.非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.2.解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求的是什么.(3)求解——求出该问题的数学解.(4)还原——将所求结果还原到实际问题中.3.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.4.在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号.5.解等差数列、等比数列应用题时，审题至关重要，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列知识求解.四、 课时作业A ．1011 B ．1110 C ．910 D ．109A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100A ．1B ．56C ．16D ．130A ．150B ．162C ．180D ．210A ．(1)n n -B ．2(1)n -C ．2nD ．(1)n n +A ．211n n ++ B ．21n n- C ．1n n+ D ．21n n ++ A ．100 B ．105C ．110D ．115A ．[0,1)B ．(0,1]C ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦A ．1112B ．1011C ．910D ．89A ．2020223-B ．202022 3+C ．202122 3-D ．202122 3+A ．32nn + B ．64nn +C ．364nn +D ．12n n ++ A ．1021 B ．1121 C ．1921D ．2021 A ．928B ．2728C ．1031D ．3031A ．110B ．111C ．211D ．15A ．202020221S F =+B ．202020221S F =-C ．202020211S F =+D ．202020211S F =-A ．2112n n +- B ．21212n n n -+-C ．21112n n -+- D ．2112n n n -+-A ．13030B ．12020C ．11515D ．1A ．()12n n +B ．11122n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭C ．13112212n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ D ．11121n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭A ．20202021 B ．20182020 C ．20182019D ．20212020A ．8105B ．113C ．10129D ．11141A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(0,1)C ．1(,1)2D ．1[,1)2A ．2223B ．1123C ．2021D ．1021A ．2020B ．2019C ．1010D ．0A ．1133902-+B ．11331002-+C ．1233902-+D ．12331002-+A ．－2016B ．2016C ．－2015D ．2015A ．255B ．256C ．502D ．511A ．80B ．16C ．26D ．30A ．50511B ．50711C ．61511D ．61711 29．已知数列{}n a 的通项公式是()()11nn a n =-+，则12310a a a a ++++=A ．55-B ．5-C ．5D ．55A ．20212019 B ．20202019 C ．20192018 D ．20212018 A ．20182019B ．10091010C ．40362019D ．20191010A ．111n n-- B ．1n n- C ．(1)n n -D ．12n（I ）求数列的通项公式；（II ）若，求数列的前项和.（1）证明：数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等比数列： （2）求数列{}n a 的通项公式与前n 项和n S .（1）若{n a }是等差数列，求其通项公式；（2）若{n a }满足12,n a S =为{n a }的前项和，求21n S +．。

1 2012高一暑期补课数学讲义第三部分数列第一节等差与等比数列的性质的应用2课时知识梳理：一、等差数列、等比数列的基本性质等差数列等比数列定义a n+1－a n ＝d 1n na a ＝q通项公式a n ＝a 1+（n －1）d a n ＝a 1×qn-1中项a ，A ，b 成等差数列2a bA a ，A ，b 成等比数列G ab （ab ＞0）前n 项和11212n n n a a S n n na d 11,1,1;11nn n aqS q q S na q 二、等差数列、等比数列的性质条件等差数列等比数列1.m ≤n ，m ，n ∈N * a n ＝a m +（n －m ）d a n ＝a m ×q n-m2.m+n ＝p+q （四．个正整数）a n +a m ＝a p +a q a n ×a m ＝a p ×a q3.距首尾等距的两项a 1+a n ＝a 2+a n －1＝…（和相等）a 1×a n ＝a 2×a n －1＝…（积相等）4.子数列的足码成等差数列，则子数列成等差数列成等比数列5.倒序数列成等差数列成等比数列6.间隔相等的等长片断和成等差数列，如S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列成等比数列（片断和不能为零）典型例题：一、基本量运算[例1]（暑假15）已知等差数列{}n a 前三项的和为3，前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{||}n a 的前n 项和.[解析]（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d ，312a a d ，由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d 解得12,3,a d 或14,3.a d 所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n ，或43(1)37n a n n .故35n a n ，或37n a n .（Ⅱ）当35n a n 时，2a ，3a ，1a 分别为1，4，2，不成等比数列；当37n a n 时，2a ，3a ，1a 分别为1，2，4，成等比数列，满足条件. 故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n。

高考数学基础知识复习：数列概念知识清单1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作na ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作na ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，na ，……，简记作{}na 。

（2）通项公式的定义：如果数列}{na 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是na = 1n（n N +∈）。

说明：①{}na 表示数列，na 表示数列中的第n 项，na = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，na =(1)n-=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩； ③不是每个数列都有通项公式。

例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

数列数列{}n a 的前n 项的和12n n S a a a …=+++，11 (1),(2)n n n S n a S S n ，-=⎧=⎨-≥⎩（注意通项能否合并）.32m mm S S S ，，…成等差数列32m m m S S S ，，…成等比数列【例1】已知数列 {a n } 的通项公式 a n =(−1)n−1n+1⋅2n ，则 a 3= ( )A. −2B. −4C. 2D. 4【练习】若数列 {a n } 的通项公式为 a n =sinnπ，则 a 7= ．【变式】已知数列 √3，√5，√7，3，√11，⋯，√2n +1，⋯ 则 √51 是这个数列的 ( )A. 第 12 项B. 第 13 项C. 第 14 项D. 第 25 项【例2】写出下列各数列的一个通项公式： （1）4，6，8，10，⋯； （2）12，34，78，1516，3132，⋯；（3）−1，85，−157，249，⋯；（4）5，55，555，5555，⋯；【例3】已知数列 {a n } 的首项 a 1=2，且 (n +1)a n =na n+1，则 a 3 的值为 ( )A. 5B. 6C. 7D. 8【练习】数列 {a n } 中，已知 a 1=1，a 2=2，a n+1=a n +a n+2(n ∈N ∗)，则 a 5 的值为 ( )A. −2B. −1C. 1D. 2【例4】设数列 {a n } 的前 n 项和 S n =n 2+n ，则 a 4 的值为 ( )A. 4B. 6C. 8D. 10【练习】已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =3n 2−5n ，则 a 5+a 6+a 7+a 8= ． 【变式】设数列 {a n } 前 n 项和为 S n ，已知 S n =3a n −n ，则 a 3= ( )A. 98B.158C.198D.278【练习】已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n =2a n −1(n ∈N ∗)，则 a 5=( )A. −16B. 16C. 31D. 32【例5】数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足：S n =n 2+7，n ∈N ∗，则数列 {a n } 的通项公式 a n = ．【练习】已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n =nn+1，求数列的通项公式．答案【例1】C【解析】由{a n}的通项公式a n=(−1)n−1n+1⋅2n，得a3=(−1)3−13+1×23=(−1)24×23=14×8=2.【练习】0【变式】D【解析】由数列的通项公式a n=√2n+1，可得√2n+1=√51，所以n=25，所以√51是第25项．【例2】（1）易知该数列是首项从4开始的偶数，所以该数列的一个通项公式为a n=2n+2，n∈N∗．（2）易知该数列中每一项分子比分母少1．且分母可写成21，22，23，24，25，⋯，故所求数列的通项公式可写为a n=2n−12n，n∈N∗．（3）通过观察可知，该数列中的奇数项为负，偶数项为正，故选择(−1)n．又第1项可改写成分数−33，所以每一项的分母依次为3，5，7，9，⋯，可写成2n+1的形式，分子为3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6⋯⋯可写成n(n+2)的形式．所以该数列的一个通项公式为a n=(−1)n⋅n(n+2)2n+1，n∈N∗．（4）这个数列的前4项可以变为59×9，59×99，59×999，59×9999，59×(10−1)，59×(100−1)，5 9×(1000−1)，59×(10000−1)，59×(10−1)，59×(102−1)，59×(103−1)，59×(104−1)，所以它的一个通f项公式为a n=59×(10n−1)，n∈N∗．【例3】B【解析】因为a1=2，(n+1)a n=na n+1，令n=1，所以2a1=a2=2×2=4，令n=2，3a2=2a3，所以a3=32a2=32×4=6．【练习】A【解析】因为a1=1，a2=2，a n+1=a n+a n+2(n∈N∗)，所以a2=a1+a3，所以a3=1，a3=a2+a4，所以a4=−1，a4=a3+a5，所以a5=−2．【例4】C【解析】a4=S4−S3=20−12=8．【练习】124【变式】C【解析】当n≥2时，a n=S n−S n−1=3a n−n−[3a n−1−(n−1)]，整理得2a n=3a n−1+1，又S1=a1=3a1−1，得a1=12，所以 2a 2=3a 1+1=32+1，得 a 2=54，所以 2a 3=3a 2+1=154+1，得 a 3=198．【练习】B【解析】当 n =1 时，S 1=a 1=2a 1−1，所以 a 1=1，又 S n−1=2a n−1−1(n ≥2)，所以 S n −S n−1=a n =2(a n −a n−1)．所以 a na n−1=2，所以 a n =1×2n−1，所以 a 5=24=16． 【例5】{8,n =12n −1,n ≥2【解析】当 n =1 时，S 1=a 1=1+7=8，当 n ≥2 时，a n =S n −S n−1=n 2+7−[(n −1)2+7]=2n −1， 显然，a 1=8 不符合 a n =2n −1，故通项公式 a n ={8,n =12n −1,n ≥2．【练习】由 S n =n n+1，得 S n−1=n−1n，a 1=S 1=12，a n =S n −S n−1=nn+1−n−1n=1n (n+1)(n ∈N 且n ≥2)．因为当 n =1 时，1n (n+1)=12=a 1，所以 a n =1n (n+1)(n ∈N ∗)．一、选择题1. 数列 1，3，7，15，⋯ 的一个通项公式是 ( ) A. a n =2n B. a n =2n +1 C. a n =2n+1 D. a n =2n −12. 下列四个数中，哪个是数列 {n (n +1)} 中的一项 ( ) A. 55 B. 56 C. 57 D. 583. 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =2n (n +1)，则 a 5 的值为 ( ) A. 80 B. 40 C. 20 D. 104. 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =n 2−n ，则 a 2+a 3= ( ) A. 3 B. 6 C. 7 D. 85. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n =2(a n −1)，则 a 2 等于 ( ) A. −2 B. 1 C. 2 D. 4 二、填空题6. 设数列 {a n } 的通项公式为 a n =−3n +100，则该数列从第 项开始为负数项．7. 已知数列 {a n } 满足 a n =n (n+1)2，则 S 3= ．8. 在数列 {a n } 中，a 1=2，a n −a n+1=10，则 a 6= ． 三、解答题9. 根据下列数列的通项公式，写出其前 5 项： （1）a n =n−12n−1；（2）a n =cosnπ3．10. 数列 {a n } 的前 n 项和 S n =n 2(n ≥1)，求它的通项公式．答案一、选择题 1. D 【解析】对于A ，当 n =1 时，a 1=2，不合题意，A 错误； 对于B ，当 n =1 时，a 1=2+1=3，不合题意，B 错误； 对于C ，当 n =1 时，a 1=22=4，不合题意，C 错误；对于D ，结合 1=21−1，3=22−1，7=23−1，可知 a n =2n −1 满足数列通项公式，故D 正确． 2. B 【解析】由 n (n +1)=56，有 n =7 或 n =−8（舍去）．所以B 正确；n (n +1)=55，n (n +1)=57，n (n +1)=58 均无正整数解，则A ，C ，D 都不正确． 3. C 【解析】a 5=S 5−S 4=20． 4. B5. D 【解析】由 S n =2(a n −1)， 令 n =1，可得 S 1=2(a 1−1)=a 1⇒a 1=2，再 n =2，可得 S 2=2(a 2−1)=a 1+a 2⇒a 2=4． 二、填空题6. 347. 10【解析】因为 a n =n (n+1)2，所以 a 1=1，a 2=3，a 3=6，即 S 3=a 1+a 2+a 3=1+3+6=10． 8. −48三、解答题9. （1） a n =n−12n−1 中依次取 n =1,2,3,4,5，即得 {a n } 的前 5 项：a 1=0，a 2=13，a 3=25，a 4=37，a 5=49． （2） 在 a n =cosnπ3中依次取 n =1,2,3,4,5，即得 {a n } 的前 5 项：a 1=12，a 2=−12，a 3=−1，a 4=−12，a 5=12．数列（2）——等差数列（讲义）【例1】数列{a n}中，a1=5，a n+1=a n+3，那么这个数列的通项公式是( )A. 3n−1B. 3n+2C. 3n−2D. 3n+1【练习】已知数列{a n}满足a1=5，a n+1=a n+3，若a n=20，则n等于( )A. 3B. 4C. 5D. 6【例2】在等差数列{a n}中，（1）已知a5=−1，a8=2，求a1与d；（2）已知a1+a6=12，a4=7，求a9．【练习】已知等差数列{a n}．（1）若a1=5，d=3，a n=2009，求n；（2）若a12=31，a32=151，求a52的值．【例3】在等差数列{a n}中，a1+a2=2,a3+a4=4，则a5+a6=．【练习】在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则S9=( )A. 66B. 99C. 144D. 297【例4】已知在等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是( )A. 15B. 30C. 31D. 64【练习1】已知等差数列{a n}中，a2+a8=16，则a5的值为( )A. 8B. 10C. 16D. 24【练习2】已知等差数列{a n}中，a1+a2+a3=9，a1⋅a2⋅a3=15，求a10及通项公式a n．【变式】在等差数列{a n}中，a3+a8=8，则S10=( )A. 20B. 40C. 60D. 80【练习1】等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{a n}的前8项和为( )A. 32B. 64C. 108D. 128【练习2】若等差数列{a n}的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10=．【例5】在数列{a n}中，如果a n=41−2n(n∈N∗)，那么使这个数列的前n项和S n取得最大值时，n的值等于( )A. 19B. 20C. 21D. 22【练习】数列{a n}的通项公式为a n=3n−28，则当数列{a n}的前n项和S n取最小值时，正整数n的值是．【例6】我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重( )A. 6斤B. 7斤C. 9斤D. 15斤【练习】我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为尺．数列（2）——等差数列（讲义）答案【例1】B【解析】因为 a n+1−a n =3，所以数列 {a n } 是以 5 为首项，3 为公差的等差数列，则 a n =5+3(n −1)=3n +2，n ∈N ∗． 【练习】D 【解析】由 a n+1=a n +3，a 1=5 可知数列 {a n } 是以 5 为首项，3 为公差的等差数列，所以 a n =5+3(n −1)=3n +2．由 3n +2=20 得 n =6．【例2】（1） 由题意，知 {a 1+(5−1)d =−1,a 1+(8−1)d =2. 解得 {a 1=−5,d =1.（2） 由题意，知 {a 1+a 1+(6−1)d =12,a 1+(4−1)d =7. 解得 {a 1=1,d =2.所以 a 9=a 1+(9−1)d =1+8×2=17．【练习】（1） 由 a n =a 1+(n −1)d ，得 2009=5+(n −1)⋅3，所以 3n =2007，所以 n =669． （2） 因为 a 32−a 12=20d =151−31，所以 d =6， 所以 a 52=a 12+40d =31+40×6=271． 【例3】6 【练习】B【解析】由 a 1+a 4+a 7=3a 1+9d =39，得 a 1+3d =13, ⋯⋯① 由 a 3+a 6+a 9=3a 1+15d =27，得 a 1+5d =9, ⋯⋯② ② − ①得 d =−2，把 d =−2 代入①得到 a 1=19， 则前 9 项的和 S 9=9×19+9×82×(−2)=99．【例4】A【解析】由于题目中的数列是等差数列，就容易联想到利用相关性质来求解，并且注意到 7+9=12+4，从而利用性质很快求解．由 a 7+a 9=a 4+a 12，得 a 12+1=16．故 a 12=15． 【练习1】A【解析】a 2+a 8=2a 5=16，则 a 5=8．【练习2】设公差为 d ，由已知得 a 2=3，a 1a 2a 3=3(3−d )(3+d )=15，所以 d =±2， 所以当 d =2 时，a 10=19，a n =2n −1； 当 d =−2 时，a 10=−13，a n =7−2n ． 【变式】B 【练习1】B【解析】设等差数列 {a n } 的公差为 d ，又 a 3=5，a 4+a 8=22， 所以 2a 3+6d =22，得 d =2，所以 a 1=a 3−2d =1，所以 S 8=8×1+8×72×2=64．【练习2】12 【解析】由 S 10=10(a 1+a 10)2=30，得 a 1+a 10=6，所以 a 1+a 4+a 7+a 10=2(a 1+a 10)=12．【例5】B【解析】因为 a n =41−2n ，故 a n −a n−1=−2，故数列 {a n } 为等差数列，又当 1≤n ≤20 时，a n >0；当 n ≥21 时，a n <0，故当 n =20 时，S n 取得最大值，【练习】9【解析】a n =3n −28，a 1=−25<0，且数列 {a n } 单调递增，根据题意，当数列 {a n } 的前 n 项和 S n 取得最小值时，即将数列 {a n } 中的所有非正项加起来，得 a n ≤0，a n+1≥0，即 3n −28≤0，3(n +1)−28≥0，解得253≤n ≤283，因为 n ∈N ∗，则 n =9，所以数列 {a n } 的前 n 项和 S n 的最小值为 S 9． 【例6】D【解析】设从头到尾每一尺的质量构成等差数列 {a n }，则有 a 1=4，a 5=2， 所以 a 1+a 5=6，数列 {a n } 的前 5 项和为 S 5=5×a 1+a 52=5×3=15，即该金箠共重 15 斤．【练习】1.5【解析】设此等差数列 {a n } 的公差为 d ，由题意 {S 12=84,a 1+a 5+a 9=16.5, 即 {12a 1+12×112d =84,3a 5=3(a 1+4d )=16.5,解得 {a 1=1.5,d =1. 所以夏至的日影子长为 1.5．一、选择题1. 下列数列一定不是等差数列的是 ( ) A. 0，1，2，3，⋯ B. −1，−3，−5，−7，⋯ C. 3，5，8，11，⋯D. 56，43，116，73，⋯2. 数列 {a n } 中，a 1=5，a n+1=a n +3，那么这个数列的通项公式是 ( ) A. 3n −1 B. 3n +2 C. 3n −2 D. 3n +13. 在等差数列 {a n } 中，已知 a 3=0，a 1=4，则公差 d 等于 ( ) A. 1B. 53C. −2D. 34. 在等差数列 {a n } 中，若 a 3=−5，a 5=−9，则 a 7= ( ) A. −12 B. −13 C. 12 D. 135. 已知在等差数列 {a n } 中，a 7+a 9=16，a 4=1，则 a 12 的值是 ( ) A. 15 B. 30 C. 31 D. 646. 在等差数列 {a n } 中，a 5+a 13=40，则 a 8+a 9+a 10= ( ) A. 72 B. 60 C. 48 D. 367. 在等差数列 {a n } 中，a 2=1，a 4=5 ，则 {a n } 的前 5 项和 S 5= ( ) A. 7 B. 15 C. 20 D. 258. 《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第 2 天开始，每 天比前一天多织相同量的布，已知第一天织 5 尺布，一月（按 30 天计）共织 390 尺布，则从第 2 天起每天比前一天多织多少尺布?( ) A.1631B.1629C. 12D.815二、填空题9. 在等差数列 {a n } 中，a 1+a 2=2,a 3+a 4=4，则 a 5+a 6= ．10. √2+1 与 √2−1 的等差中项是 ．11. 记等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ．若 a 3=1，S 7=14，则 a 5= ．12. 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 5=10，a 2+a 6=6，则 d = ． 三、解答题13. 已知等差数列 {a n } 中，a 11=20，a 22=86．求数列 {a n } 的通项 a n ．14. 记 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和，已知 a 1=−7，S 3=−15． （1）求 {a n } 的通项公式． （2）求 S n 的最小值．答案一、选择题 1. C 【解析】数列 3，5，8，11，⋯ 从第 3 项起，每一项与前一项的差都是常数 3，可是 a 2−a 1=2，不符合等差数列的定义． 2. B 【解析】因为 a n+1−a n =3，所以数列 {a n } 是以 5 为首项，3 为公差的等差数列，则 a n =5+3(n −1)=3n +2，n ∈N ∗． 3. C 4. B 【解析】通解：设公差为 d ，则 2d =a 5−a 3=−9+5=−4，则 d =−2， 故 a 7=a 3+4d =−5+4×(−2)=−13．优解：由等差数列的性质得 a 7=2a 5−a 3=2×(−9)−(−5)=−13． 5. A 【解析】由于题目中的数列是等差数列，就容易联想到利用相关性质来求解，并且注意到 7+9=12+4，从而利用性质很快求解．由 a 7+a 9=a 4+a 12，得 a 12+1=16．故 a 12=15． 6. B 【解析】a 5+a 13=40=2a 9，解得 a 9=20，a 8+a 10=2a 9， 所以 a 8+a 9+a 10=3a 9=60． 7. B 8. B 【解析】由题意可知每天织布的多少构成等差数列，其中第一天为首项 a 1=5，一月按 30 天计可得 S 30=390，从第 2 天起每天比前一天多织的即为公差 d ．又 S 30=30×5+30×292×d =390，解得 d =1629．二、填空题 9. 6 10. √2【解析】由题得 √2+1 与 √2−1 的等差中项为√2+1+√2−12=√2．11. 3 12. 1【解析】由 a 2+a 6=6 有 a 4=3，而 S 5=10， 所以结合等差数列的前 n 项和公式及通项公式， {a 1+3d =3,a 1+2d =2, 即可得 d =1． 三、解答题13. {a 11=a 1+10d =20⋯⋯①a 22=a 1+21d =86⋯⋯②解方程组得 {a 1=−40,d =6, 所以 a n =6n −46(n ∈N ∗)．14. （1） 设 {a n } 的公差为 d ，由题意得 3a 1+3d =−15． 由 a 1=−7 得 d =2．所以 {a n } 的通项公式为 a n =2n −9． （2） 由（1）得 S n =n 2−8n =(n −4)2−16．所以当 n =4 时，S n 取得最小值，最小值为 −16．【例1】若数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n（n∈N∗），则a n=．a n对∀n∈N∗成立，且a3=12，则a1=．【练习】已知数列{a n}中，a n+1=12【例2】如果−1，a，b，c，−9成等比数列，那么( )A. b=3，ac=9B. b=−3，ac=9C. b=3，ac=−9D. b=−3，ac=−9【练习】已知x，2x+2，3x+3是一个等比数列的前三项，则x的值为( )A. −4或−1B. −4C. −1D. 4或1【例3】在等比数列{a n}中，a3=2，a7=32，则公比q=( )A. 2B. −2C. ±2D. 4【练习1】在等比数列{a n}中，a3+a4=4，a2=2，则公比q=( )A. −2B. 1或−2C. 1D. 1或2【练习2】设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=( )A. 12B. 24C. 30D. 32【例4】在等比数列{a n}中，若a2，a9是方程x2−x−6=0的两根，则a5⋅a6的值为( )A. 6B. −6C. −1D. 1，则a1a32a5=．【练习1】若等比数列{a n}满足a2a4=12【练习2】公比为2数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=( )A. 2B. 1C. 3D. 4【变式】已知数列{a n}为等比数列，若a1+a4=2，a12+a42=20，则a2a3=( )A. −8B. 8C. −16D. 16【练习】在等比数列{a n}中，各项均为正值，且a6a10+a3a5=41，a4a8=5，则a4+a8=．【例5】已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a2=2，公比q=2，则S5等于( )A. 32B. 31C. 16D. 15【练习1】在等比数列{a n}中，a1=1，a4=−8，则{a n}的前6项和为( )A. −21B. 11C. 31D. 63【练习2】等比数列中，a1=2，S3=26，则其公比的值为.【例6】某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（一个细胞分裂成两个细胞），经过4小时，这种细菌由1个细胞可繁殖到多少个细胞?【练习】某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个⋯依此类推，则1个这样的细胞分裂次后，得到细胞的个数是128．【例7】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则第二天走了里路．【练习】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是( )A. 1B. 2C. 3D. 6答案【例1】2n−1【练习】48 【解析】因为 12=a 3=12a 2，所以 a 2=24．因为 24=a 2=12a 1，所以 a 1=48．【例2】B 【解析】由题意 a 2=−b ，b 2=9，ac =b 2=9，又 b <0，所以 b =−3．【练习】B 【例3】C【练习1】B 【解析】根据题意，得 {a 1q 2+a 1q 3=4,a 1q =2,解得 {a 1=2,q =1 或 {a 1=−1,q =−2.【练习2】D 【解析】设等比数列 {a n } 的公比为 q ，则 a 1+a 2+a 3=a 1(1+q +q 2)=1，a 2+a 3+a 4=a 1q +a 1q 2+a 1q 3=a 1q (1+q +q 2)=q =2，因此，a 6+a 7+a 8=a 1q 5+a 1q 6+a 1q 7=a 1q 5(1+q +q 2)=q 5=32． 【例4】B 【练习1】14【练习2】B 【解析】因为数列 {a n } 为等比数列，且公比 q =2，设首项为 a ， 则 a n =a 1⋅q n−1=a 1⋅2n−1，所以 a 3=a 1⋅22=4a ，a 11=a 1⋅q 10=a 1⋅210，所以 a 3⋅a 11=a 1⋅22⋅a 1⋅210=a 12⋅212=(a 1⋅26)2=16，且多次都为正数， 所以 a 1⋅26=4，所以 a 1=2−4，所以 a 5=a 1⋅q 4=2−4⋅24=1．【变式】A 【解析】数列 {a n } 为等比数列，若 a 1+a 4=2，所以：a 12+2a 1a 4+a 42=4，由于 a 12+a 42=20，所以 2a 1a 4=−16，整理得 a 2a 3=a 1a 4=−8．【练习】√51 【解析】由 a 6a 10+a 3a 5=41 及 a 6a 10=a 82，a 3a 5=a 42，得 a 42+a 82=41，因为 a 4a 8=5，所以 (a 4+a 8)2=a 42+2a 4a 8+a 82=41+2×5=51，又 a n >0，所以 a 4+a 8=√51． 【例5】B 【解析】因为等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 2=2，公比 q =2，所以 a 1=a 2q=1，又因为 S n =a 1(1−q n )1−q(q ≠1)，所以 S 5=1(1−25)1−2=31．【练习1】A【练习2】−4 或 3【例6】这种细菌由 1 个细胞可繁殖到 256 个细胞．【练习】7 【解析】由题意， n 次分裂后，共有 2n 个，所以有 2n =128 ，所以 n =7． 【例7】96【解析】由题意，知每天所走路程形成以 a 1 为首项，公比为 12 的等比数列，则a 1[1−(12)6]1−12=378，解得 a 1=192，则 a 2=96，即第二天走了 96 里路． 【练习】C 【解析】设这个塔灯顶层有 a 盏灯，因为宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，所以从塔顶层依次向下每层灯数是以 2 为公比、 a 为首项的等比数列， 又总共有灯 381 盏，所以 381=a (1−27)1−2=127a ，解得 a =3，则这个塔顶层有 3 盏灯．一、选择题1. 下列数列中，构成等比数列的是 ( ) A. 2，3，4，5 B. 1，−2，−4，8 C. 0，1，2，4 D. 16，−8，4，−22. 在等比数列 {a n } 中，已知 a 1=2，a 2=4，那么 a 4 等于 ( ) A. 6 B. 8 C. 10D. 163. 等比数列的首项为 98，末项为 13，公比为 23，则这个数列的项数为 ( )A. 3B. 4C. 5D. 6 4. 已知 1，a ，x ，b ，16 这五个实数成等比数列，则 x 的值为 ( ) A. 4 B. −4 C. ±4 D. 不确定5. 已知 {a n } 是等比数列，且 a n >0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，那么 a 3+a 5 的值等于 ( ) A. 5 B. 10 C. 15 D. 206. 等比数列 {a n } 中，a 1+a 2=4，a 2+a 3=12，则 a 4+a 5= ( ) A. 36 B. 48 C. 108 D. 1927. 已知等比数列 {a n } 的公比为 −12，则a 1+a 3+a 5a 2+a 4+a 6的值是 ( ) A. −2 B. −12C. 12D. 28. 某林场计划第一年造林 10000 亩，以后每年比前一年多造林 20%，则第四年造林 ( ) A. 14400 亩 B. 17280 亩 C. 20736 亩 D. 172800 亩 二、填空题9. √2+1 与 √2−1 两数的等比中项是 ．10. 已知在等比数列 {a n } 中，a 2a 6a 10=1，则 a 3⋅a 9= ．11. 等比数列 {a n } 中，a n >0，a 1，a 99 是方程 x 2−10x +16=0 的两根，则 a 20a 50a 80 的值 为 ．12. 一个球从 256 m 的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第 6 次着地时，共经过的路程是 m ． 三、解答题13. 在 320 与 5 之间插入 5 个数，使这 7 个数成等比数列，求所插入的 5 个数．14. 已知数列 {a n } 为等比数列，它的前 n 项和为 S n =2116，若 a 1=2，公比 q =−12，求 n 及 a n ．答案一、选择题 1. D【解析】由等比数列的概念得 16，−8，4，−2 是公比为 −12 的等比数列．2. D3. B4. A 【解析】由题意知：x 2=16，且若令公比为 q 时有 x =q 2>0，所以 x =4．5. A 【解析】由等比数列的性质得：a 2⋅a 4=a 32，a 4⋅a 6=a 52， 所以 a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25 可化为 (a 3+a 5)2=25， 又因为 a n >0，所以 a 3+a 5=5． 6. C 【解析】设公比为 q ，因为数列 {a n } 为等比，且 a 1+a 2=4，a 2+a 3=12，所以 a 2+a 3=q (a 1+a 2)=4q =12， 所以 q =3，所以 a 4+a 5=q 3(a 1+a 2)=33×4=108． 7. A【解析】a 1+a 3+a5a 2+a 4+a 6=a 1+a 3+a 5−12(a 1+a 3+a 5)=−2．8. B 【解析】第一年造林 10000 亩，则第二年造林 10000⋅(1+20%)=12000（亩），第三年造林为 12000(1+20%)=14400（亩），第四年造林 14400(1+20%)=17280（亩）．故选B ． 二、填空题 9. ±110. 1 【解析】根据等比数列的性质可知：a 2⋅a 10=a 3⋅a 9=a 62，则 a 2a 6a 10=1 得 a 63=1，故 a 6=1，所以 a 3⋅a 9=a 62=1． 11. 64 12. 752【解析】设小球每次着地后跳回的高度构成数列 {a n }，则数列 {a n } 为等比数列，a 1=128，q =12，S 5=128×[1−(12)5]1−12=248，所以共经过的路程为 256+2S 5=752 m ．三、解答题13. 所插入的 5 个数分别为 160，80，40，20，10 或 −160，80，−40，20，−10． 14. n =6，a n =2(−12)n−1。

《数列》讲义一、数列的定义在数学的广袤天地中，数列就像是一串有规律排列的数字精灵。

简单来说，数列就是按照一定次序排列的一列数。

例如：1，3，5，7，9 就是一个数列；再比如 2，4，6，8，10 也是一个数列。

数列中的每一个数都被称为这个数列的项。

第一个数称为第 1 项，通常记作 a₁；第二个数称为第 2 项，记作 a₂；以此类推，第 n 个数就称为第 n 项，记作 aₙ 。

二、数列的分类数列有多种分类方式，常见的有以下几种：1、按照项数的多少，数列可以分为有限数列和无限数列。

有限数列就是项数有限的数列，比如 1，2，3，4，5 就是一个有限数列，它只有 5 项。

而无限数列则是项数无限的数列，像自然数列 1，2，3，4，5，……就是一个无限数列，它的项数没有尽头。

2、按照数列中项与项之间的关系，数列可以分为等差数列和等比数列。

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。

比如 2，4，6，8，10 就是一个公差为 2 的等差数列。

等比数列则是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。

例如2，4，8，16，32 就是一个公比为2 的等比数列。

三、等差数列1、等差数列的通项公式对于一个等差数列{aₙ}，如果首项为 a₁，公差为 d，那么它的第 n 项 aₙ 可以用通项公式表示为：aₙ ＝ a₁＋（n 1)d 。

例如，在等差数列 3，5，7，9，11 中，首项 a₁＝ 3，公差 d ＝ 2 。

那么第 5 项 a₅就可以通过通项公式计算：a₅＝ 3 ＋（5 1)×2 ＝ 11 。

2、等差数列的前 n 项和公式等差数列的前 n 项和 Sₙ 可以用公式表示为：Sₙ ＝ n(a₁＋ aₙ) ／2 或者 Sₙ ＝ na₁＋ n(n 1)d ／ 2 。

假设我们有等差数列 1，3，5，7，9 ，要求它的前 5 项和。

首项a₁＝ 1 ，第 5 项 a₅＝ 9 ，项数 n ＝ 5 。