铅锤高求三角形面积法解析

作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。

在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由. 解：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （1, ，得a =，因此2y （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小.设直线AB 为y =kx +b .所以20.k k b k b b ⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得，因此直线AB 为y x =，当x =－1时，y =，因此点C 的坐标为（－1）.（4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D .图12221()()21323323323333333223193228PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x x x x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--+⎛⎫=-++⎪⎝⎭当x =－12时，△P AB 的面积的最大值为938，此时13,24P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △P AB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △P AB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23(例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.图-2xCOy ABD 11解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。

【八年级下】数学·一次函数与三角形面积的铅垂线法关于一次函数，我们已经为大家推送了不少微课、重难点专项，今天为大家推送一次函数与面积结合问题，分两讲：动点和铅垂线法。

今天我们两讲，这一讲为大家讲解一次函数与三角形面积的铅垂线法！话不多说，请看下文↓↓一．问题分析我们知道，一次函数的图像是一条直线，其与坐标轴围成一个三角形，若要求这个“坐标三角形”的面积，则只要知道其与x轴，y轴的交点坐标即可，难度不大，故不展开．但如果有两条直线相交，你会求它们与坐标轴围成的三角形面积吗？甚至如果有三条直线相交，你能求出这三条直线围成的三角形面积吗？本讲就主要研究后2类问题及其变式．二．实例感悟(1)两线与一轴即有两条直线相交，分别求两直线与x轴，y轴围成的三角形面积．例1：已知直线y1＝－x＋3与y2＝x＋1，求两直线与坐标轴围成的三角形面积．分析：显然，我们要先求出5个关键点的坐标，y1与x轴交点A的坐标，与y轴交点B的坐标，y2与x轴交点C的坐标，与y轴交点D的坐标，以及y1与y2的交点E的坐标．并确定△CEA是两直线与x轴围成的三角形，△DEB是两直线与y轴围成的三角形．小结：我们发现，三角形的底和高是可以不断变化的，如果两个点均在x 轴上，则用横坐标相减的绝对值表示两点间的距离，若两个点均在y 轴上，则用纵坐标相减的绝对值表示两点间的距离，当然，明确左右和上下的情况下，右减左和上减下，可保证为正．变式1：直线y1＝k1x＋b1(k1＞0)和直线y2＝k2x＋b2(k2＜0)相交于点(－2，0)，且两直线与y轴所围成的三角形面积是4，求b1－b2．解析：变式2：在平面直角坐标系中，一条直线经过A(－1，5)，B(－2，a)，C(3，－3)三点，这条直线与y轴交于点D，求△OBD的面积．解析：同样操作，先将这条直线的解析式求出，从而知道点B的坐标，与y轴交点D的坐标，画出草图，谁为高，谁为底，一目了然．变式3：直线y＝kx＋3(k＜0)与x轴，y轴分别交于A，B两点，OB：OA ＝3：4，点C为直线上一动点，若△AOC面积为4，求点C坐标．分析：首先，可知点B坐标(0，3)，OB＝3，则OA＝4，再根据k＜0，确定图像经过一二四象限，A(4，0)，从而可求直线AB的解析式，画出图像，我们发现，△AOC以AO为底，则高要用点C纵坐标的绝对值来表示．解答：(2)三线两相交即三条直线两两相交，求出三条直线围成的三角形面积．其实，这个问题可以转化为给出平面直角坐标系内任意三点的坐标，求出以这三个点为顶点的三角形的面积．由于此时的三角形的底边均为倾斜的，这就需要用到一种全新的方法——铅垂线法，或称宽高法来求三角形的面积．例2：已知直线OA经过一三象限，A为第一象限内一定点，动点B不在直线OA上，且BA，BO不与y轴平行，求S△OAB分析：显然，这时候的三角形OAB的底并不在x轴，y轴上，即便求出底边长，高依旧是倾斜的，十分难算，因此，我们可以考虑割补法．如果采用补，补成一个矩形，减去周围三个小三角形的面积那也是可以的，但在今后，尤其是初三求二次函数图像上三点围成三角形面积最值时，点的坐标不能确定，就无法适用，所以今天重点介绍铅垂线法．什么是铅垂线法呢，就以例2来说，我们可以过点B作一条铅垂线，即作BD⊥x轴，与OA交于点C，则△OAB的面积就可以看作是△OBC与△ABC的面积之和或面积之差，此时，铅垂线BC反而转化为底边，再过点A作AE⊥x轴，则OA水平方向上的距离：即OE的长，可以看作OD与DE的和，或差，此时OD反而看作△OBC的高，DE 看作△ABC的高，则△OAB的面积即可看成是解答：为了让大家更直观的理解，将6种情况全部展示如下，后三种与前三种类似，故只给图，“无字证明”，可对照消化．以上几种情况，属于用多题一解进行验证，均选取OA水平方向的OE长为水平宽，过点B作铅垂线，以B点与OA交点C之间的距离作为铅垂高，从而得出了宽高公式，说的再透些，那么，这个公式能否通过一题多解来验证呢，答案当然是可以的，就以第一种情况为例．以上三图，O、A、B三点的位置均不变，我们可以选取任意两点横坐标之差的绝对值作为水平宽，过第三个点作铅垂线，与之前两点所在直线交于一点，第三个点与这个交点纵坐标之差的绝对值作为铅垂高，则问题均可圆满解决．例2：已知A(－1，3)，B(1，1)，C(2，2)，求S△ABC解析：本题是最基本的练习，现用宽高法的三种不同形式都计算一遍来检验下．分析：本题解法较多，我们重点来研究铅垂线法．显然，这样的点Q有2个，在射线AB上，或者射线AC上．因为点A的坐标可以确定，那么OA的水平宽可以确定，又因为三角形面积确定，则铅垂高也确定，则问题最后转化为一个方程即可解决．解答：小结：从2种情况综合来看，我们不难发现，铅垂高的长度，就是两直线解析式的差的绝对值，这个结论在初三还会有更大作用．当然，本题还可以先求出△OAB的面积，从而求出OBQ1的面积，确定Q1的坐标，同理，求出△AOC的面积，从而求出△OCQ2的面积，确定Q2的坐标．最后，你发现Q1，Q2关于A对称了吗？Q1A＝Q2A，A是它们俩的中点哦．。

二次函数之“铅垂法”求三角形面积求三角形面积往往用公式12S a h∆=或1sin2S ab C∆=进行计算。

在二次函数里，有时用公式求三角形面积有一定的难度，我们不妨考虑用“铅垂法”来解决。

图1 图2作法：1、作铅直线PM交线段AB于点M；2、分别过A、B两点作PM的垂线段。

计算：如图1：S△PAB= S△PMA+S△PMB=12×PM×h2+12×PM×h1=12×PM×(h2+h1)；①如图2：S△PAB= S△PMA﹣S△PMB=12×PM×h2－12×PM×h1=12×PM×(h2－h1)。

②理解：我们把公式中的PM称为三角形的“铅直高度”，把(h2+h1)或(h2－h1)称为三角形的“水平宽度”，则三角形的面积等于“铅直高度”与“水平宽度”积的一半。

特别地，在二次函数中，三角形的“铅直高度”就是动点P和铅直线PM与线段AB交点M的纵坐标之差（y P －y M），“水平宽度”就是两定点A与B的横坐标之差（x B－x A），即S△=12×（y P－y M）×（x B－x A）。

我们把这种求三角形面积的方法叫做“铅垂法”。

运用：例：如图，直线l:y=−x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B。

（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标。

解答：（1）y=－x 2+2x+3；（2）过点M 作MC ⊥x 轴交直线AB 于点C 。

设M （t ，－t 2+2t+3），则C （t ，－t+3）。

∵A （3，0），B （0，3）∴S=12×〖（－t2+2t+3）－（－t+3）〗×（3－0）化简整理得：23327()224S t =--+。

作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好方法------------ 二次函数教课反思近来教课二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形 面积问题的一个好方法。

在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀” ，同学们很快掌握了这类方法现总结以下：如图1，过△ ABC 的三个极点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ ABC 的“水平宽” ( a ) ，中间的这条直线在△ ABC 内部线段的长度叫△ ABC 的“铅垂高 ( h ) ” . 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S ABC1ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.2yy铅垂高BBChCDB水平宽A O xA Oxa图 1P例 1．（2013 深圳） 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－ 2， 0），连接 OA ，将线段 OA 绕原点O 顺时针旋转 120°，获得线段OB. （ 1）求点 B 的坐标；（ 2）求经过 A 、O 、B 三点的抛物线的分析式；（ 3）在（ 2）中抛物线的对称轴上能否存在点 C ，使△ BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明原由 . （ 4）假如点 P 是（ 2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么△ PAB 能否有最大面积？如有，求出此时 P 点的坐标及△ PAB 的最大面积；若没有，请说明原由.解：（ 1）B （ 1， 3 ）（ 2）设抛物线的分析式为 y=ax(x+a )，代入点 B （ 1,3 ），得 a3，所以 y3 x 2 2 3 x33 3（ 3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点 C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△ BOC 的周长最小 .k 3k b3,33 2 3 3设直线 AB 为 y=kx+b.所以解得，所以直线 AB 为 y ，2k b 0.2 3 x，当 x=－1 时，yb3333所以点 C 的坐标为（－ 1， 3 /3） .（ 4）如图，过 P 作 y 轴的平行线交 AB 于 D .1 SPABSPADSPBD( y D y P )( x Bx A )21 3 x23 3 x 2 2 3 x 323 3 333 x 2 3 x 3 2 2 23 1392x82当 x=－ 1 时，△ PAB 的面积的最大值为9 3，此时 P 1 ,3 .28 24例 2．(2014 益阳 ) 如图 2，抛物线极点坐标为点 C( 1, 4), 交 x 轴于点 A( 3, 0) ，交 y 轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB 的分析式； (2)点 P 是抛物线 ( 在第一象限内 )上的一个动点， 连接 PA ，PB ，当 P 点运动到极点C 时，求△ CAB 的铅垂高 CD 及 S CAB ；(3)能否存在一点 P ，使 S △ PAB =98若不存在，请说明原由 .S △ CAB ，若存在， 求出 P 点的坐标；解： (1) 设抛物线的分析式为：y 1 a(x 1) 2 4 把 A （3,0）代入分析y 式求得 a1所以 y 1(x1) 2 4x 22x 3 设直线CAB 的解B析式为： y 2 kx b 由 y 1x 2 2x 3 求得 B 点的坐标为 (0,3) 把DA(3,0) ， B(0,3) 代入 y 2kx b 中1x解得 ：AO1k1, b3 所以 y 2x3图- 2(2) 因为 C 点坐标为 (１ ,4)所以当 x ＝１时， y 1＝ 4， y 2＝ 2 所以 CD ＝ 4- 2＝ 2S CAB13 2 3 (平方单位 ) 2(3) 假设存在吻合条件的点 P ，设 P 点的横坐标为 x ，△ PAB 的铅垂高为 h ，则h y 1y 2 ( x22x 3) ( x 3)x 291 3 ( x23x) 9 3化简3x 由 S = S得△ PAB8 △ CAB2 8得： 4x 212 x9 0解得， x3 将 x3代入 y 1 x 22x3 中，解得 P 点坐标为 ( 3 , 15 )2 22 4例 3．（ 2015 江津） 如图，抛物线 yx 2 bxc 与 x 轴交于 A(1,0),B(- 3， 0) 两点，（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）设（ 1）中的抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上能否存在点Q ，使得△ QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明原由 . （ 3）在（ 1）中的抛物线上的第二象限上能否存在一点 P ，使△ PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△ PBC 的面积最大值 . 若没有，请说明原由 .解： (1) 将 A(1 ， 0) ， B( － 3，0) 代 yx2bx c 中得1 b ＝b 2c 0 ∴9 3b c 0 c3∴抛物线分析式为： yx 22x 3(2) 存在。

铅垂高水平宽求三角形面积
S△ABC＝1\2ah。

过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的水平宽(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的铅垂高(h)，我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝1\2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

铅垂高法是解决与二次函数相关的三角形面积问题的一个特殊的方法。

铅垂高
任何物件如铅垂一样的与地成正垂直，就是铅垂方向，沿铅垂方向的高度就是铅垂高，即在铅垂方向的投影；
与铅垂方向垂直的方向就是水平方向，物体沿水平方向的宽度就是水平宽。

把三角形沿水平方向分割成上下两部分，上部分面积＝水平宽×h1×1/2，下部分面积＝水平宽×h2×1/2，h1+h2＝铅垂高，结论得证。

二次函数三角形之面积问题（铅垂法）专题前请先思考以下问题:问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？问题4：铅垂法的具体做法是什么？问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？答：充分利用横平竖直线段长，几何特征函数特征互转。

问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？答：公式法（规则图形）；割补法（分割求和，补形作差）；转化法（例：同底等高）。

问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？答：三边均是斜放置在坐标系中的三角形在表达面积时一般使用铅垂法。

问题4：铅垂法的具体做法是什么？答：若是固定的三角形，则可从任意一点作铅垂；若为变化的图形，则从动点向另外两点所在的定直线作铅垂。

问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？答：从动点向另外两点所在的固定直线作铅垂，将变化的竖直线段作为三角形的底，则高就是两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式表达。

例1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4,1)的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为(0,3)．点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，当△PAC的面积最大时，求P的坐标和△PAC的最大面积.解：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积（铅垂线在三角形内部）例2：如图，一次函数122y x=+与y轴、x轴分别交于点A，B，抛物线2y x bx c=-++过A，B两点．Q为直线AB下方的抛物线上一点，设点Q的横坐标为n，△QAB的面积为S，求出S与n之间的函数关系式并求出S的最大值. 解：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积 （铅垂线在三角形外部）……………………………………………………………………………………………………… 总结反思篇：决胜中考：1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数213222y x x =-++的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）．点P 是第二象限内抛物线上的点，△PAC的面积为S ，设点P 的横坐标为m ，求S 与m 之间的函数关系式.2. 如图，已知抛物线213222y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．M 为抛物线上一动点，且在第三象限，若存在点M使得12ACM ABCS S∆∆=，求此时点M的坐标.3.如图，已知直线12y x=与抛物线2(0)y ax b a=+≠交于A（-4，-2），B（6，3）两点，抛物线与y轴的交点为C．在抛物线上存在点P使得△PAC的面积是△ABC面积的34，求时点P的坐标.。

当点CC在何处时SS△AAAAAA有最大值?1.铅垂高法做CCCC⊥ xx轴且交直线AABB于点D,设点CC坐标为(mm, aamm2+ bbmm+ cc),直线AB的解析式为gg(xx) = kkxx + qq,∴点D坐标为(mm, kkmm + qq),∴CC CC的长度为f(m) − g(m) = aamm2 + bbmm + cc−kkmm−qq, ∴SS△AA AAAA= SS△AAAAAA+ SS△AA AAAA= AAAA×(xx BB−xx AA),将CC CC为aamm2 + bbmm + cc−kkmm−qq代入，令(xx−xx) = ss,可2 AA AA得SS= (aamm2+bbmm+cc−kk mm−qq)×ss= aa ss mm2+(bb−kk)ss mm+ss(cc−qq),当aassmm2+ (bb−△AAAAAA 2 2kk)ssmm + ss(cc−qq)有最大值时，SS△AA AAAA有最大值.当m = −bb= −(bb−kk)ss= −bb−kk时, aassmm2 + (bb−kk)ssmm + ss(cc−qq)有最2aa2aass2aa大值, SS△AAAAAA有最大值.A A � A A A � A作直线l l 平行于直线AABB 且与f(x)只有一个交点C （即直线l 与ff (xx ) = aaxx 2 + bbxx + cc 相切）,此时SS △AAAAAA 为最大值.∴ ff ′(xx ) =ff (xx AA ) − ff (xx A A ) = 2aaxx + bb xx AA − xx AA (aaxx 2 + bbxx AA + cc ) − (aaxx 2 + bbxx A A + cc ) ⇒= 2aaxx + bb xx AA − xx AA aa (xx 2 − xx 2) + bb (xx AA − xx A A ) ⇒= 2aaxx + bb xx AA − xx AA aa (xx AA + xx A A )(xx AA − xx A A ) + bb (xx AA − xx A A )⇒ xx AA − xx AA= 2aaxx + bb ⇒ aa (xx AA + x x AA ) + bb = 2aaxx + bb ⇒ xx = xx AA + xx AA 2 ∴当xx = xx BB +xx AA时, SS 有最大值. 2 △AAAAAA。

22.22专题4：铅垂高x水平宽的二分之一求三角形面积一．【知识要点】SABC方法：“一动两定”都可以用该公式求面积。

二．【经典例题】1．如图，直线l过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B，C两点，B点坐标为（1，1）．（1）求直线l和抛物线的函数解析式．S（2）求OBCS的值。

（3）点P（3，m）为抛物线上一点，求PBC2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数解析式（其中k，b用含a的式子表示）．（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值．（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．3.如图，已知抛物线经过点A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点。

（1）求抛物线的解析式。

（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长。

（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由。

4.如图，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，求点P的坐标。

5.如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使P A+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图的顶点为点D，与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点P是x轴上一动点，当△PCD的周长最小时，求点P的坐标；（3）如图，若点G（2，m）是该抛物线上一点，E是直线AG下方抛物线上的一动点，点E到直线AG的距离为d，求d的最大值．7.如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线223y ax ax a =--（a<0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y=kx+b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD=4AC 。

知识导航求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积． 这是在“补”，同样可以采用“割”：()111222ABCACDBCDSSSCD AE CD BF CD AE BF =+=⋅+⋅=+ 此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离． 由题意得：AE +BF =6． 下求CD ：根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：1233y x =+由点C 坐标(4,7)可得D 点横坐标为4， 将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2， 故D 点坐标为(4,2)，CD =5,165152ABCS =⨯⨯=．【方法总结】 作以下定义：A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”．如图可得：=2ABCS⨯水平宽铅垂高【解题步骤】(1)求A 、B 两点水平距离，即水平宽；(2)过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； (3)求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； (4)根据C 、D 坐标求得铅垂高； (5)利用公式求得三角形面积．【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似： 【铅垂法大全】(1)取AB 作水平宽，过点C 作铅垂高CD ．(2)取AC 作水平宽，过点B 作BD ⊥x 轴交直线AC 于点D ，BD 即对应的铅垂高， =2ABCABDBCDSSS⨯-=水平宽铅垂高(3)取BC 作水平宽，过点A 作铅垂高AD ．甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．(4)取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．(5)取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD．(6)取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．例一、如图，已知抛物线25=++经过(5,0)y ax bxA-，(4,3)B--两点，与x轴的另一个交点为C．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为m．当点P在直线BC的下方运动时，求PBC∆的面积的最大值．【分析】(1)265=++，y x x(2)取BC两点之间的水平距离为水平宽，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，则PQ即为铅垂高．根据B、C两点坐标得B、C水平距离为4，根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=x+1，设P 点坐标为(m ，m ²+6m +5)，则点Q (m ，m +1)， 得PQ =-m ²-5m -4，考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．当52-时，△BCP 面积最大，最大值为278．【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高． 例二、在平面直角坐标系中，将二次函数2(0)y ax a =>的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，1OA =，经过点A 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图像与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E 在一次函数的图像下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标．【分析】(1)抛物线解析式：21322y x x =--； 一次函数解析式：1122y x =+． (2)显然，当△ACE 面积最大时，点E 并不在AC 之间．已知A (-1,0)、10,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，设点E 坐标为213,22m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点E 作EF ⊥x 轴交直线AD 于F 点，F 点横坐标为m ，代入一次函数解析式得11,22m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可得213222EF m m =-++考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大．既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了， 对坐标系中已知三点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ， 按铅垂法思路，可得：12233121321312ABCSx y x y x y x y x y x y =++--- 如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯．【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松．1．已知二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，且二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(0,3)B ，一次函数y mx n =+的图象经过点(0,1)C -． (1)分别求m 、n 和b 、c 的值；(2)点P 是二次函数2y x bx c =-++的图象上一动点，且点P 在x 轴上方，写出ACP ∆的面积S 关于点P 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．【分析】(1)把直线和曲线经过的点代入得到方程组，求解即可得到答案；(2)分两种情况：①当点P 在y 轴左侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 于点D ，②当点P 在y 轴右侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 的延长线于点D ，分别根据三角形面积公式得到关系式，利用函数式表示三角形PAC 的面积，配方可得答案． 【解答】解：(1)二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，一次函数y mx n =+的图象经过点(0,1)C -， ∴301m n n -+=⎧⎨=-⎩，∴131m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(0,3)B ， ∴9303b c c --+=⎧⎨=⎩，∴23b c =-⎧⎨=⎩．(2)由(1)知一次函数与二次函数的解析式分别为：113y x =--或223y x x =--+，①当点P 在y 轴左侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 于点D ，则13|3|22PAC S PD PD ∆=⨯⨯-=，②当点P 在y 轴右侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 的延长线于点D ，则13|3|22PAC S PD x x PD ∆=⨯⨯+-=，点P 在抛物线上，设2(,23)P x x x --+，则1(,1)3D x x --，2215231433PD x x x x x ∴=--+++=--+，233535169(4)()22232624PAC S PD x x x ∆∴==-++=-++， 即当56x =-时，PAC S ∆最大16924=．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、图形面积的计算等，掌握其性质及运算是解决此题关键，2．如图，抛物线经过(2,0)A -，(4,0)B ，(0,3)C -三点． (1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上有一动点P ，使得PBC ∆的面积最大，求点P 的坐标；(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； (2)由PBC ∆的面积PHB PHC S S ∆∆=+，即可求解；(3)分AC 是边、AC 是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解．【解答】解：(1)将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式得42016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得38343a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，故抛物线的表达式为233384y x x =--；(2)设直线BC 的表达式为y mx n =+，则043m n n =+⎧⎨=-⎩，解得343m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线BC 的表达式为334y x =-， 过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，设点P 的坐标为233(,3)84x x x --，则点3(,3)4H x x -，则PBC ∆的面积221133334(33)3224844PHB PHC S S PH OB x x x x x ∆∆=+=⋅=⨯⨯--++=-+，304-<，故该抛物线开口向下，PBC ∆的面积存在最大值，此时2x =， 则点P 的坐标为(2,3)-；(3)存在，理由：设点N 的坐标为(,)m n ，则233384n m m =--①，①当AC 是边时，点A 向下平移3个单位得到点C ，则点()M N 向下平移3个单位得到点()N M ， 则03n -=或03n +=②，联立①②并解得23m n =⎧⎨=-⎩或1173m n ⎧=-±⎪⎨=⎪⎩(不合题意的值已舍去)；②当AC 是对角线时，则由中点公式得：11(03)(0)22n -=+③，联立①③并解得23m n =⎧⎨=-⎩(不合题意的值已舍去)；综上，点N 的坐标为(2,3)-或(117-3)或(117-3)．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏． 3．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于(1,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C -三点，点(,)P m n 是直线BC 下方抛物线上的一个动点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)动点P 运动到什么位置时，PBC ∆的面积最大，求出此时P 点坐标及PBC ∆面积的最大值；(3)在y 轴上是否存在点Q ，使以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)将A 、B 、C 坐标代入即可求解析式；(2)设P 坐标，表示出PBC ∆的面积，再求出最大面积和面积最大时P 的坐标； (3)两个直角顶点是对应点，而AOC ∆两直角边的比为14，只需BOQ ∆两直角边比也为14，两个三角形就相似，分两种情况列出比例式即可．【解答】解：(1)设二次函数的解析式为12()()y a x x x x =--， 二次函数的图象交坐标轴于(1,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C -， 11x ∴=-，23x =，124()()a x x x x -=--，解得11x =-，23x =，43a =， ∴二次函数的解析式为2448(1)(3)4333y x x x x =+-=--， 故答案为：2448(1)(3)4333y x x x x =+-=--；(2)设直线BC 解析式为y kx b =+，将(3,0)B ，(0,4)C -代入得034k bb =+⎧⎨-=⎩，解得43b =，4c =-， BC ∴解析式是443y x =-， 如答图1，过P 作//PD y 轴，交BC 于D ，点(,)P m n 是直线BC 下方抛物线上的一个动点， 03m ∴<<，248433n m m =--，4(,4)3D m m -，224484(4)(4)43333PD m m m m m ∴=----=-+，22211439()(4)(30)262()22322PBC B C S PD x x m m m m m ∆∴=⋅-=-+⋅-=-+=--+， 3032<<， 32m ∴=时，PBC S ∆最大为92，此时224843834()45333232n m m =--=⨯-⨯-=-， 3(2P ∴，5)-，故答案为：3(2P ，5)-，PBC S ∆最大为92；(3(1,0)A -，(0,4)C -，(3,0)B ， ∴14OA OC =，3OB =， 点Q 在y 轴上， 90BOQ AOC ∴∠=∠=︒，若以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似，则BOQ ∠与AOC ∠对应， 分两种情况：①如答图2，AOC QOB ∆∆∽， 则14OQ OA OB OC ==即134OQ =，解得34OQ =， 13(0,)4Q ∴或23(0,)4Q -；②AOC BOQ ∆∆∽， 则14OB OA OQ OC ==即314OQ =，解得12OQ =， 3(0,12)Q ∴或4(0,12)Q -，综上所述，存在y 轴上的点Q ，使以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似，这样的点一共4个：13(0,)4Q 或23(0,)4Q -，3(0,12)Q 或4(0,12)Q -，故答案为：存在这样的点Q ，坐标分别是：13(0,)4Q 或23(0,)4Q -，3(0,12)Q 或4(0,12)Q -，【点评】本题是二次函数、相似三角形、面积等问题的综合题，主要考查坐标、线段的转化，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等，难度适中．4．如图1，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点B 坐标为(3,0)，点C 坐标为(0,3)．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC ∆的面积最大时，求点P 的坐标；(3)如图2，点M 为该抛物线的顶点，直线MD x ⊥轴于点D ，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】(1)利用待定系数法可求解析式；(2)过点P 作PH x ⊥轴于H ，交BC 于点G ，先求出BC 的解析式，设点2(,23)P m m m -++，则点(,3)G m m -+，由三角形面积公式可得221133273(3)()22228PBC S PG OB m m m ∆=⨯⨯=⨯⨯-+=--+，由二次函数的性质可求解；(3)设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ MC ⊥于Q ，先求出点A ，点M 坐标，可求MC 解析式，可得4DE MD ==，由等腰直角三角形的性质可得2MQ NQ ==，由两点距离公式可列222(4|)4n n -=+，即可求解． 【解答】解：(1)点(3,0)B ，点(0,3)C 在抛物线2y x bx c =-++图象上， ∴9303b c c -++=⎧⎨=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为：223y x x =-++；(2)点(3,0)B ，点(0,3)C ，∴直线BC 解析式为：3y x =-+，如图，过点P 作PH x ⊥轴于H ，交BC 于点G ，设点2(,23)P m m m -++，则点(,3)G m m -+，22(23)(3)3PG m m m m m ∴=-++--+=-+，221133273(3)()22228PBC S PG OB m m m ∆=⨯⨯=⨯⨯-+=--+， ∴当32m =时，PBC S ∆有最大值， ∴点3(2P ，15)4； (3)存在N 满足条件，理由如下：抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，∴点(1,0)A -，2223(1)4y x x x =-++=--+，∴顶点M 为(1,4)，点M 为(1,4)，点(0,3)C ，∴直线MC 的解析式为：3y x =+，如图，设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ MC ⊥于Q ，∴点(3,0)E -，4DE MD ∴==，45NMQ ∴∠=︒， NQ MC ⊥，45NMQ MNQ ∴∠=∠=︒， MQ NQ ∴=， 2MQ NQ ∴=， 设点(1,)N n ，点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离， NQ AN ∴=，22NQ AN ∴=， 222()2MN AN ∴=， 222(4|)4n n ∴-=+， 2880n n ∴+-=， 426n ∴=-±∴存在点N 满足要求，点N 坐标为(1,46)-+或(1,46)--．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，两点距离公式，等腰直角三角形的性质等知识，利用参数列方程是本题的关键．5．如图，抛物线过点(0,1)A 和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为(3B ，0)，平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，点F 的横坐标为433，四边形BDEF 为平行四边形．(1)求点F 的坐标及抛物线的解析式；(2)若点P 为抛物线上的动点，且在直线AC 上方，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标及PAB ∆面积的最大值；(3)在抛物线的对称轴上取一点Q ，同时在抛物线上取一点R ，使以AC 为一边且以A ，C ，Q ，R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 和点R 的坐标．【分析】(1)由待定系数法求出直线AB 的解析式为31y x =+，求出F 点的坐标，由平行四边形的性质得出1613181()33a a a -+=-+--，求出a 的值，则可得出答案； (2)设2(,31)P n n n -++，作PP x '⊥轴交AC 于点P '，则3(,1)P n '+，得出2733PP n n '=-，由二次函数的性质可得出答案；(3)联立直线AC 和抛物线解析式求出7(33C 4)3-，设(3Q )m ，分两种情况：①当AQ 为对角线时，②当AR 为对角线时，分别求出点Q 和R 的坐标即可． 【解答】解：(1)设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠， (0,1)A ，(3B 0)，设直线AB 的解析式为y kx m =+，∴01m m +==⎪⎩，解得1k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为1y =+， 点FF ∴点纵坐标为113+=-， F ∴点的坐标为1)3-，又点A 在抛物线上， 1c ∴=，对称轴为：2bx a=-=，b ∴=-，∴解析式化为：21y ax =-+，四边形DBFE 为平行四边形．BD EF ∴=，1613181()33a a a ∴-+=-+--， 解得1a =-，∴抛物线的解析式为21y x =-++；(2)设2(,1)P n n -++，作PP x '⊥轴交AC 于点P '，则3(,1)P n '+， 2733PP n n '∴=-，2213737493)3222624ABP S OB PP n n ∆'==-+=+∴当736n =ABP ∆49324，此时7(36P 47)12．(3)231231y y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩， 0x ∴=或733x = 7(33C ∴4)3-，设(3Q )m ， ①当AQ 为对角线时， 47(3,)33R m ∴+， R 在抛物线2(3)4y x =--+上，274(33)433m ∴+=-+， 解得443m =-， 44(3,)3Q ∴-，437(3,)33R -； ②当AR 为对角线时， 107(3,)33R m ∴-，R 在抛物线2(3)4y x =--+上，2710(33)433m ∴-=--+， 解得10m =-，(3Q ∴，10)-，1037(3,)33R -．综上所述，44(3,)3Q -，437(3,)33R --；或(3Q ，10)-，1037(3,)33R -． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．6．在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角ABC ∆的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示．(1)求抛物线所表示的二次函数表达式．(2)过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示． ①求CMN ∆面积的最小值．②已知3(1,)2Q -是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【分析】(1)先根据等腰直角三角形的性质求得OA 、OB 、OC ，进而得A 、B 、C 三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；(2)①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组求得12||x x -，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，由OP OQ =列出方程求得m 的值，再根据题意舍去不合题意的m 值，再求得PQ 的中点坐标，便可求得直线l 的解析式．【解答】解：(1)设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，在等腰Rt ABC ∆中，OC 垂直平分AB ，且4AB =，2OA OB OC ∴===，(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(0,2)C -，∴4204202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩， 解得，1202a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为2122y x =-； (2)①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 由2122y x y kx⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得21202x kx --=， 122x x k ∴+=，124x x =-，∴222121212()()4416x x x x x x k -=+-=+，∴12||x x -=∴121||2CMN S OC x x ∆=-=， ∴当0k =时取最小值为4．CMN ∴∆面积的最小值为4． ②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， OP OQ ∴==解得，1m =2m =31m =，41m =-，31m =，41m =-不合题意，舍去，当1m =1)2P -，线段PQ 的中点为1)-，∴1=-，∴1k =，∴直线l 的表达式为：(1y x =，当2m =(P ，1)2-，线段PQ 的中点为，1)-，∴1=-，∴1k =，∴直线l 的解析式为(1y x =．综上，点P ，1)2-，直线l 的解析式为(1y x =或点(P ，1)2-，直线l 的解析式为(1y x =+． 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第(2)①题关键是求得M 、N 两点的横坐标之差，第(2)②小题关键是根据轴对称性质列出m 的方程，以及求得PQ 的中点坐标．。

作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高 如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。

在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.DBAOyxPCBAOyxBC铅垂高水平宽ha图1例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B（1，）（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1, ），得，因此（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以，因此直线AB为，当x=－1时，，因此点C的坐标为（－1，/3）.（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.当x=－时，△PAB的面积的最大值为，此时.例2．(2014益阳)如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：把A（3,0）代入解析式求得所以设直线AB的解析式为：由求得B点的坐标为把，代入中解得：所以图-2xCOyABD11(2)因为C点坐标为(１,4)所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2(平方单位)(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则由S△PAB=S△CAB得化简得：解得，将代入中，解得P点坐标为例3．（2015江津）如图，抛物线与x轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代中得∴∴抛物线解析式为：(2)存在。

做三角形铅垂下是办理三角形里积问题的一个佳办法之阳早格格创做------------二次函数教教深思 铅垂下如图，过△ABC 的三个顶面分别做出与火仄线笔曲的三条曲线，中侧二条曲线之间的距离喊△ABC 的“火仄宽”（a ），中间的那条曲线正在△ABC 里里线段的少度喊△ABC 的“铅垂下”（h ）．咱们可得出一种估计三角形里积的新要领：S △ABC=1\2 ah ，即三角形里积等于火仄宽与铅垂下乘积的一半．迩来教教二次函数逢到很多供三角形里积的问题，通过钻研，尔创造做三角形铅锤下是办理三角形里积问题的一个佳办法.正在课堂上尔还风趣天道逢到“正正三角形中间砍一刀”，共教们很快掌握了那种要领现归纳如下：如图1，过△ABC的三个顶面分别做出与火仄线笔曲的三条曲线，中侧二条曲线之间的距离喊△ABC 的“火仄宽”(a)，中间的那条曲线正在△ABC 里里线段的少度喊△ABC 的“铅垂下(h)”.咱们可得出一种估计三角形里积的新要领：ah S ABC 21=∆，即三角形里积等于火仄宽与铅垂下乘积的一半.例1．（2013深圳）如图，正在曲角坐标系中，面A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA绕本面O 逆时针转动120°，得到线段OB.（1）供面B 的坐标；（2）供通过A 、O 、B 三面的扔物线的剖析式；（3）正在（2）中扔物线的对于称轴上是可存留面C ，使△BOC 的周少最小？若存留，供出面C 的坐标；若不存留，请证明缘由.（4）如果面P 是（2）中的扔物线上的动面，且正在x 轴的下圆，那么△PAB 是可有最大里积？若有，供出此时P 面的坐标及△PAB 的最大里积；若不，请证明缘由. 解：（1）B （1，（2）设扔物线的剖析式为y=ax(x+a)，代进面B （1,，得a =，果此2y x =+ （3）如图，扔物线的对于称轴是曲线x=—1，当面C 位于对于称轴与线段AB 的接面时，△BOC 的周少最小.20.k k b k b b ⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得AB为y =+，当x=－1时，y =，果此面C 的坐标为（－1）.（4）如图，过P 做y 轴的仄止线接AB 于D.当x=－12时，△PAB，此时1,2P ⎛-⎝⎭. 例2．(2014益阳) 如图2，扔物线顶面坐标为面C(1,4),接x 轴于面A(3,0)，接y 轴于面B.(1)供扔物线战曲线AB 的剖析式；(2)面P 是扔图1物线(正在第一象限内)上的一个动面，连结PA ，PB ，当P 面疏通到顶面C 时，供△CAB 的铅垂下CD 及CAB S ∆；(3)是可存留一面P ，使S △PAB=89S △CAB ，若存留，供出P 面的坐标；若不存留，请证明缘由.解：(1)设扔物线的剖析式为：4)1(21+-=x a y 把A （3,0）代进剖析式供得1-=a 所以324)1(221++-=+--=x x x y 设曲线AB 的剖析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 供得B 面的坐标为)3,0(把)0,3(A ，)3,0(B 代进b kx y +=2中解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)果为C 面坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (仄圆单位)(3)假设存留切合条件的面P ，设P 面的横坐标为x ，△PAB 的铅垂下为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB=89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代进3221++-=x x y 中，解得P 面坐标为)415,23(例3．（2015江津）如图，扔物线c bx x y ++-=2与x 轴接于A(1,0),B(- 3，0)二面，（1）供该扔物线的剖析式；（2）设（1）中的扔物线接y 轴于C 面，正在该扔物线的对于称轴上是可存留面Q ，使得△QAC 的周少最小？若存留，供出Q 面的坐标；若不存留，请证明缘由.（3）正在（1）中的扔物线上的第二象限上是可存留一面P ，使△PBC 的里积最大？，若存留，供出面P 的坐标及△PBC 的里积最大值.若不，请证明缘由.图-2xC Oy ABD1 1解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴扔物线剖析式为：223y x x =--+(2)存留. 缘由如下：由题知A 、B 二面闭于扔物线的对于称轴1x =-对于称∴曲线BC 与1x =-的接面即为Q 面， 此时△AQC 周少最小 ∵223y x x =--+∴C 的坐标为：(0，3) 曲线BC 剖析式为：3y x =+ Q 面坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解 ∴12x y =-⎧⎨=⎩∴Q(－1，2) （3）问：存留.缘由如下：设P 面2(23) (30)x x x x --+-<<，∵92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形若BPCOS 四边形有最大值，则BPCS ∆便最大，∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形＝11()22BE PE OE PE OC =⋅++＝2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++＝233927()2228x -+++当32x =-时，BPCO S 四边形最大值＝92728+∴BPC S ∆最大＝9279272828+-=当32x =-时，215234x x --+=∴面P 坐标为315( )24-， 共教们不妨干以下训练：1．（2015浙江湖州）已知如图，矩形OABC 的少OA=宽OC=1，将△AOC 沿AC 翻合得△APC. （1）挖空：∠PCB=____度，P 面坐标为（ ， ）；（2）若P ，A二面正在扔物线y=－43x2+bx+c 上，供b ，c的值，并证明面C正在此扔物线上；（3）正在（2）中的扔物线CP段（不包罗C，P面）上，是可存留一面M，使得四边形MCAP的里积最大？若存留，供出那个最大值及此时M面的坐标；若不存留，请证明缘由.2．（湖北省十堰市2014）如图①，已知扔物线32++axy（a≠0）与x轴接于面A(1，0)=bx战面B(－3，0)，与y轴接于面C．(1) 供扔物线的剖析式；(2) 设扔物线的对于称轴与x轴接于面M ，问正在对于称轴上是可存留面P，使△CMP为等腰三角形？若存留，请间接写出所有切合条件的面P的坐标；若不存留，请证明缘由．(3) 如图②，若面E为第二象限扔物线上一动面，对接BE、CE，供四边形BOCE里积的最大值，并供此时E面的坐标．图①图②3.(2015年恩施) 如图11，正在仄里曲角坐标系中，二次函数cy+=2+xbx的图象与x轴接于A、B二面，A面正在本面的左侧，B面的坐标为（3，0），与y轴接于C（0，-3）面，面P是曲线BC下圆的扔物线上一动面.（1）供那个二次函数的表白式．（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻合，得到四边形POP/C，那么是可存留面P，使四边形POP/C为菱形？若存留，哀供出此时面P 的坐标；若不存留，请证明缘由．（3）当面P 疏通到什么位子时，四边形ABPC 的里积最大并供出此时P 面的坐标战四边形ABPC 的最大里积.解：（1）将B 、C 二面的坐标代进得⎩⎨⎧-==+303c c b解得：⎩⎨⎧-=-=32c b 所以二次函数的表白式为：322--=x x y（2）存留面P ，使四边形POP /C 为菱形．设P 面坐标为（x ，322--x x ），PP /接CO 于E 若四边形POP /C 是菱形，则有PC ＝PO ．连结PP /则PE ⊥CO 于E ，∴OE=EC=23y =23-．∴322--x x =23-解得1x =2102+，2x =2102-（分歧题意，舍来）∴P 面的坐标为（2102+，23-）（3）过面P 做y 轴的仄止线与BC 接于面Q ，与OB 接于面F ，设P （x ，322--x x ），易得，曲线BC 的剖析式为3-=x y 则Q 面的坐标为（x ，x －3）.EB QP OE QP OC AB S S S S CPQ BPQ ABC ABPC ⋅+⋅+⋅=++=∆∆∆212121四边形 3)3(2134212⨯+-+⨯⨯=x x =87523232+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x 图11当23=x 时，四边形ABPC 的里积最大此时P 面的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-415,23，四边形ABPC 的里积875的最大值为．25．（2015绵阳）如图，扔物线y = ax2 + bx + 4与x 轴的二个接面分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴接于面C ，顶面为D ．E （1，2）为线段BC 的中面，BC 的笔曲仄分线与x 轴、y 轴分别接于F 、G ．（1）供扔物线的函数剖析式，并写出顶面D 的坐标；（2）正在曲线EF 上供一面H ，使△CDH 的周少最小，并供出最小周少；（3）若面K 正在x 轴上圆的扔物线上疏通，当K 疏通到什么位子时，△EFK 的里积最大？并供出最大里积．【剖析】（1）由题意，得 ⎩⎨⎧=++=+-,0424,04416b a b a解得21-=a ，b =－1． 所以扔物线的剖析式为4212+--=x xy ，顶面D 的坐标为（－1，29）．（2）设扔物线的对于称轴与x 轴接于面M ．果为EF 笔曲仄分BC ，即C 闭于曲线EG 的对于称面为B ，连结BD 接于EF 于一面，则那一面为所供面H ，使DH + CH 最小，即最小为 DH + CH = DH + HB = BD =132322=+DMBM ． 而 25)429(122=-+=CD ．∴△CDH 的周少最小值为CD + DR + CH =21335+．设曲线BD 的剖析式为y = k1x + b ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+,29,021111b k b k 解得 231-=k ，b1 = 3． 所以曲线BD 的剖析式为y =23-x + 3．由于BC = 25，CE = BC∕2 =5，Rt △CEG ∽△COB ，得 CE : CO = CG : CB ，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G （0，1.5）．共理可供得曲线EF 的剖析式为y =21x +23．联坐曲线BD 与EF 的圆程，解得使△CDH 的周少最小的面H （43，815）．（3）如图所示，设K （t ，4212+--t t），xF ＜t ＜xE ．过K 做x 轴的垂线接EF 于N ．则 KN = yK －yN =4212+--t t－（21t +23）=2523212+--t t．所以 S △EFK = S △KFN + S △KNE =21KN （t + 3）+21KN （1－t ）= 2KN= －t2－3t + 5 =－（t +23）2 +429．即当t =－23时，△EFK 的里积最大，最大里积为429，此时K （－23，835）．仄里曲角坐标系中三角形里积的供法咱们时常会逢到正在仄里曲角坐标系中供三角形里积的问题.解题时咱们要注意其中的解题要领妥协题本领.1． 有一边正在坐标轴上：例1：如图1，仄里曲角坐标系中，△ABC 的顶面坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），供△ABC 的里积.分解：根据三个顶面的坐标特性不妨瞅出，△ABC 的边BC 正在y 轴上，由图形可得BC ＝4，面A 到BC 边的距离便是A 面到y 轴的距离，也便是A 面横坐目标千万于值3，而后根据三角形的里积公式供解.2． 有一边与坐标轴仄止：例2：如图2，三角形ABC 三个顶面的坐标分别为A （4，1），B （4，5），C （-1，2），供△ABC 的里积.分解：由A （4，1），B （4，5）二面的横坐标相共，可知边AB与y 轴仄止，果而AB 的少度易供.做AB 边上的下CD ，便可供得线段 CD 的少，从而可供得三角形ABC 的里积.3． 三边均不与坐标轴仄止：例3：分解：由于三边均不仄止于坐标轴，所以咱们无法间接供边少，也无法供下，果此得另设念子.4． 三角形里积公式的推广：过△ABC 三个顶面分别做与火仄线笔曲的三条曲线，中侧二条 曲线之间的距离喊△ABC 的“火仄宽”（a ），中间的那条曲线正在 △ABC 里里线段的少度喊△ABC 的“铅垂下”（h ）．咱们可得出 一种估计三角形里积的新要领：S △ABC=21ah即三角形里积等于火仄宽与铅垂下乘积的一半例4：已知：曲线l1：y=﹣2x+6与x 轴接于面A ，曲线l2：y=x+3与y 轴接于面B ，曲线l1、l2接于面C ．(Ⅰ)修坐仄里曲角坐标系，绘出示企图并供出C 面的坐标； (Ⅱ)利用阅读资料提供的要领供△ABC 的里积．5． 坚韧训练：（1）已知：如图，曲线b kx y +=与反比率函数'k y x=（x ＜0）的图象相接于面A 、面B ，与x 轴接于面C ，其中面A 的坐标为（－2，4），面B 的横坐标为－4.（Ⅰ）试决定反比率函数的闭系式； （Ⅱ）供△AOC的里积．（2）如图，正在曲角坐标仄里内，函数m y x=（0x >，m 是常数）的图象通过(14)A ，，()B a b ，，其中1a >．过面A 做x 轴垂线，垂脚为C ，过面B 做y 轴垂线，垂脚为D ，连结AD ，DC ，CB ． 若ABD △的里积为4，供面B 的坐标； （3）已知，曲线与x 轴、y 轴分别接于面A 、B ，以线段AB 为曲角边正在第一象限内做等腰Rt △ABC ，∠BAC=90°．且面P （1，a ）为坐标系中的一个动面．（Ⅰ）供三角形ABC 的里积S △ABC ；（Ⅱ）请证明不管a 与所有真数，三角形BOP 的里积是一个常数； （Ⅲ）要使得△ABC 战△ABP 的里积相等，供真数a 的值．。

铅垂法求三角形的面积最值一、方法突破求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积． 这是在“补”，同样可以采用“割”：()111222ABCACDBCDSSSCD AE CD BF CD AE BF =+=⋅+⋅=+ 此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离． 由题意得：AE +BF =6． 下求CD ：根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：1233y x =+由点C 坐标（4,7）可得D 点横坐标为4， 将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2， 故D 点坐标为（4,2），CD =5,165152ABCS =⨯⨯=．【方法总结】 作以下定义：A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”．如图可得：=2ABC S⨯水平宽铅垂高【解题步骤】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； （3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据C 、D 坐标求得铅垂高； （5）利用公式求得三角形面积．二、典例精析例一、如图，已知抛物线25y ax bx =++经过(5,0)A -，(4,3)B --两点，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为m ．当点P 在直线BC 的下方运动时，求PBC ∆的面积的最大值．例二、在平面直角坐标系中，将二次函数2(0)y ax a =>的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），1OA =，经过点A 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图像与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5． （1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图像下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标．例三、已知抛物线24y ax bx =+-经过点(2,0)A 、(4,0)B -，与y 轴交于点C ． （1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标．三、中考真题对决1.（2021•阜新）在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-交x 轴于点(1,0)A -，(3,0)B ，过点B 的直线223y x =-交抛物线于点C ． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点(P 不与点B ，C 重合），求PBC ∆面积的最大值；2．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，抛物线211(0)222m m y x x m -=-+⋅+>与x 轴交于(1,0)A -，(,0)B m 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ． （1）若2OC OA =，求抛物线对应的函数表达式；（2）在（1）的条件下，点P 位于直线BC 上方的抛物线上，当PBC ∆面积最大时，求点P 的坐标；3．（2021•哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O 为坐标系的原点，抛物线2y ax bx =+经过(10,0)A ，5(2B ，6)两点，直线24y x =-与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点P 为直线24y x =-上的一个动点，连接PA ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P 在第一象限时，设点P 的横坐标为t ，APC ∆的面积为S ，求S 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；4．（2021•赤峰）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(3,0)-、(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴l 与x 轴交于点F ，直线//m AC ，点E 是直线AC 上方抛物线上一动点，过点E 作EH m ⊥，垂足为H ，交AC 于点G ，连接AE 、EC 、CH 、AH ． （1）抛物线的解析式为 223y x x =--+ ； （2）当四边形AHCE 面积最大时，求点E 的坐标；5．（2021•齐齐哈尔）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，1OA =，对称轴为直线2x =，点D 为此抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C 、D 两点之间的距离是 22 ；（3）点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE 和CE ，求BCE ∆面积的最大值；。

二次函数专题——铅锤法理解一、基础理解 求 △ABC 的面积？如下图线段EF 所在的直线是水平线，△ABC 中，BE ⊥EF ，CF ⊥EF ，AD 的延长线与EF 垂直。

已知AD ＝2，EF ＝5，求△ABC 的面积。

如图3，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的直线在△ABC 内线段的长度叫△ABC “铅垂高(h)”我们可得出一种计算三角形面积的新方法:S △ABC =21ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半请你找到以下三角形的“水平宽”和“铅垂高”，并表示出来。

？1.过B 点作x 轴的垂线交AC 于D 点，找到铅垂高BD ，2.直线AC 的解析式为___________3.点D 的坐标如何求？4.铅垂高＝___________ 水平宽＝___________5. S △ABC=__________xy （3，0）（5，4）（1，3）B CAODxy （3，0）（5，4）（1，3）B CAODEF例题解析如图，抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 左侧，与y 轴交于点C ，连接BC 、AC 。

若点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接PB ，PC.求APBC 面积的最大值: 第一步怎么做？ 第二步怎么做？ 第三步怎么做？课堂练习1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2+4x-1与直线AB 相交于A，B 两点，其中A （﹣3，﹣4），B （0，﹣1）．点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB. （1）直线AB 的解析式.（2）求△PAB 面积的最大值.2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=31x 2+332x+2与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且A 点坐标为（﹣2，0），直线BC 的解析式为y ＝−32x+2．过点A 作AD ∥BC ，交抛物线于点D ，点E 为直线BC 上方抛物线上一动点，连接CE ，EB ，BD ，DC ．求四边形BECD 面积的最大值及相应点E 的坐标.。