下载文档原格式
幂函数
【知识梳理】
1．幂函数的概念
一般地，函数y ＝x
叫做幂函数．其中x 是自变量，α是常数． 2．常见幂函数的图象与性质 解析式
y ＝x
y ＝x 2
y ＝x 3
y ＝1x
y ＝12
x
图象
定义域 R R R {x|x≠0} [0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R {y|y≠0} [0，＋∞) 奇偶性
奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数
单调性
在(－∞，＋
∞)上单调递增
在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在(－∞，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减
在[0，＋∞)上单调递增
定点
(1,1)
(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．
【常考题型】
题型一、幂函数的概念
【例1】 (1)下列函数：①y＝x 3
；②y＝12x
⎛⎫ ⎪⎝⎭
；③y＝4x 2；④y＝x 5＋1；⑤y＝(x －1)2
；
⑥y＝x ；⑦y＝a x
(a>1)．其中幂函数的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(2)已知幂函数y ＝(
)
22
23
1m m m m x
----，求此幂函数的解析式，并指出定义域．
(1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.
[答案] B
(2)[解] ∵y＝(
)
22
23
1m m m m x
----为幂函数，
∴m 2
－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.
当m ＝2时，m 2
－2m －3＝－3，则y ＝x －3
，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2
－2m －3＝0，则y ＝x 0
，且有x≠0.
故所求幂函数的解析式为y ＝x －3
，{x|x≠0}或y ＝x 0
，{x|x≠0}． 【类题通法】
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α
(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．
【对点训练】
函数f(x)＝(
)
22
3
1m m m m x +---是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)
的解析式．
解：根据幂函数的定义得 m 2
－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1.
当m ＝2时，f(x)＝x 3
在(0，＋∞)上是增函数；
当m ＝－1时，f(x)＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求． 故f(x)＝x 3
.
题型二、幂函数的图象
【例2】 (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x
在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，1
2，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4
的α的值依次为( )
A ．－2，－12，1
2，2
B ．2，12，－1
2，－2
C ．－12，－2,2，12
D ．2，12，－2，－1
2
(2)如图是幂函数y ＝m
x 与y ＝n
x 在第一象限内的图象，则( ) A ．－1
[解析] (1)令x ＝2，则22
>212>2－12
>2－2，
故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为2，12，－1
2
，－2.故选B.
(2)此类题有一简捷的解决办法，在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0 [答案] (1)B (2)B 【类题通法】 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)． (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于 y ＝x －1 或y ＝12 x 或y ＝x 3 )来判断． 【对点训练】 已知函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c B ．a C ．b D ．c 解析：选A 由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0. 由幂函数的性质知，当x>1，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.综上所述，可知c 题型三、利用幂函数的性质比较大小 【例3】 比较下列各组数中两个数的大小． (1)0.5 25⎛⎫ ⎪⎝⎭与0.5 13⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)1 23-⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 与1 35-⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)3 423⎛⎫ ⎪⎝⎭与23 34⎛⎫ ⎪⎝⎭ . [解] (1)∵幂函数y ＝0.5 x 在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，∴0.525⎛⎫ ⎪⎝⎭>0.5 13⎛⎫ ⎪⎝⎭ . (2)∵幂函数y ＝1 x -在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，∴1 23-⎛⎫- ⎪⎝⎭>1 35-⎛⎫- ⎪⎝⎭ . (3)∵函数y 1＝23x ⎛⎫ ⎪⎝⎭为R 上的减函数，又34>23， ∴2 323⎛⎫ ⎪⎝⎭>34 23⎛⎫ ⎪⎝⎭ .
