三角形

知识点一 三角形的有关概念 三角形的定义：由 ①不在同一条直线上的②三条线段③首尾顺次相接（必须是封闭图形）所组成的图形叫做三角形。

三角形的边、角、顶点（相邻两边的公共点）三角形的表示方法三角形的分类：（1）按角分 三角形⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧）（））（形一个内角是钝角的三角钝角三角形度的三角形都小于锐角三角形（三个内角斜三角形角形有一个内角是直角的三直角三角形90（2）按边分 三角形⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）（两边相等的三角形底边和腰不等的三角形等边三角形等腰三角形不等边三角形 三角形的三边关系（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2）应用1.给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。

①若a+b ＞c ，a+c ＞b ，b+c ＞a 都成立，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形；②若c 为最长边且a+b ＞c ，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形；(两短边之和大于最长边）③若c 为最短边且c ＞|a-b|，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形（两长边之差小于最短边）2.已知三角形两边长为a 、b ，求第三边x 的范围：|a-b|＜x ＜a+b 。

3.已知三角形两边长为a 、b(a ＞b)，求周长L 的范围：2a ＜L ＜2(a+b)。

4.证明线段之间的不等关系。

例 1 具备下列长度的各组线段中能够成三角形的是（ ）A 、5，9，3B 、5，7，3C 、5，2，3D 、5，8，3例 2.若三线段a,b ，c 满足a ＞b ＞c ，若能构成一个三角形，则只需满足条件( )A.a+b ＞cB.b+c ＞aC.c+a ＞bD.b+c ≠a例 3 三角形的两边为3cm 和5cm ，则第三边x 的范围是_______例 4 如果三角形的两边长分别为７和２，且它的周长为偶数，那么第三边的长为________例 5 长度分别为12cm ，10cm ，5cm ，4cm 的四条线段任选三条线段组成三角形的个数为（）A 、1 B 、2 C 、3D 、4★例 6 已知一个三角形中两条边的长分别是a 、b ，且b a>，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（ ） A 、b L a 33>> B 、a L b a 2)(2>>+ C 、a b L b a +>>+22D 、b a L ba 23+>>- ★例7 在△ABC 中，三边长分别为a 、b 、c ，且a>b>c ，若b=8，c=3，则a 的取值范围是（ ）A.5＜a ＜11B.8＜a ＜11C.3＜a ＜8D.5＜a ＜8课内练习1.在下列长度的四根木棒中，能与3cm ，7cm 两根木棒围成一个三角形的（ ）A ．7cmB ．4cmC ．3cmD ．10cm2.已知△ABC 中，a=6，b=14，则c 边的范围是_________02. 三角形的三边长为a 、b 、c ，其中满足()0862=-+-b a ，那么这个三角形的最大边c 的取值范围是__________3.已知一个等腰三角形的两边分别是8cm 和6cm ，则它的周长是______cm 。

★4.已知一个等腰三角形的两边分别是8cm 和4cm ，则它的周长是______cm 。

5.三角形两边长分别为25cm 和10cm ，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为 。

★6.等腰三角形的周长为14，其中一边长为3，则腰长为7.已知：等腰三角形的底边长为6cm ，那么其腰长的范围是_______★8.等腰三角形的周长为16，且边长为整数，则腰与底边分别为（ ）A 、5，6B 、6，4C 、7，2D 、以上三种情况都有可能9.一个三角形两边分别为3和7，第三边为偶数，第三边长为（ ）A 、4，6B 、4，6，8C 、6，8D 、6，8，10★10.已知等腰三角形一边长为24cm ，腰长是底边的2倍， 求这个三角形的周长。

11.如果三角形的两边长分别为７和２，且它的周长为偶数，那么第三边的长为______★12.若△ABC 的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有（ ）A 、6个B 、7个C 、8个D 、9个012.三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形有________个。

13.如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（ ）A ．15B ．16C ．8D ．7 【例1】 已知三角形两边长为2厘米和7厘米，第三边长为奇数，那么这个三角形的周长的厘米数是（） A.14 B.15C.16D.17★15.已知三角形三边长为a ，a+1，a –1，则a 的取值范围是____________。

16.D 为等腰△ABC 底边BC 上一点，BC=10，△ADC 的周长比△ADB 的周长多6,则BD ∶DC 为( )A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.1∶1 ★47.设a 、b 、c 为三角形的三边长，则化简||||||||c b a c b a c b a c b a -+++-+--+++等于（ ）（A ）0（B ）c b a 222++（C ）a 4（D ）c b 22-18.如果三条线段的比：（1）5：20：30；（2）5：10：15；（3）3：3：5（4）3：4：5；（5）5：5：10。

那么其中可以构成三角形的比有（ ）（A ）1种（B ）2种（C ）3种（D ）4种19.有木条4根，长度为12厘米，10厘米，8厘米，4厘米，选其中三根组成三角形，则选择的种数有（ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）420.下列各组线段中不能组成三角形的是（ ）（A ）()03,2,1>+++a a a a （B ）3cm ，8cm ，10cm （C ）()112,5,3>+a a a a （D ）三线段之比为1：2：3知识点二 三角形的线段三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

①三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线；②三角形角平分线的画法与角的平分线的画法相同；③三角形的角平分线都在三角形的内部，且交于一点，交点叫做三角形的内心。

三角形的角中线：在三角形中，连结一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线。

①三角形的中线是一条线段；②三角形三条中线都在三角形内部，且交于一点，交点叫做三角形的重心；③三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形；④三角形的重心把中线分为1：2两部分（重心到顶点距离点2份，重心到对边中点距离点1份三角形的角高线：从三角形一个顶点向它的对边所在直线做垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的中线。

①三角形的高是线段，而该边的垂线是直线；②三角形的高交于一点，交点叫做三角形的垂心；③锐角三角形的三条高在其内部，三条高的交点在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为高，因而可作的仅有一条高，三条高的交点在直角顶点处；钝角三角形有两条高在三角形外部，三条高的延长线的交点在三角形的外部。

例1 如图：（1）在△ABC 中，BC 边上的高是 _________ ．（2）在△AEC 中，AE 边上的高是 _________ ．（3）在△FEC 中，EC 边上的高是 _________ ．★（4）若AB=CD=2cm ，AE=3cm ，则S △AEC = _________ cm 2，CE= _________ cm ．例2如图，如果∠1＝∠2＝∠3，则AM 为△ 的角平分线，AN 为△ 的角平分线。

例3如图，△ABC 中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD ⊥BC 于D ，AE 是∠BAC 的平分线．（1）求∠DAE 的度数；（2）指出AD 是哪几个三角形的高．例4 在△ABC 中，点E 、F 分别是两条边上的中点，若△AEF 的面积是3，那么△AEC 的面积是____ ,△ABC 的面积是★例5已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4。

求等腰三角形各边的长。

课内练习1.如图，在三角形ABC 中，AD 是BC 边上的中线，三角形ABD 的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC 与AB 的边长的差吗？2.如图所示，AD 是△ABC 的中线，AB=6cm ，AC=5cm ，求△ABD 和△ADC 的周长的差．3.在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若△ABD 和△ADC 的周长之差为4（AB ＞AC ），AB 与AC 的和为14，求AB 和AC 的长．4.如图，在△ABC 中，CD 是高，点E 、F 、G 分别在BC 、AB 、AC 上，且EF ⊥AB ，∠1=∠2，试判断DG 与BC 的位置关系？并说明理由．★5.如图，△ABC 中，∠A=20°，CD 是∠BCA 的平分线，△CDA 中，DE 是CA 边上的高，又有∠EDA=∠CDB ，求∠B 的大小．★6.如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为三角形ABD 中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED 的度数；（2）在△BED 中作BD 边上的高；（3）若△ABC 的面积为60，BD=5，则点E 到BC 边的距离为多少？★7.如图，BC ∥l ，A ，D 是l 上任意两点，下列结论错误的是（ ）A.△ABC 和△DBC 是同底等高的两个三角形B.△ABO △CDO 的面积有可能相等C.△ABC 中BC 边上的高和△DBC 中BC 边上的高互相平行D.△ABC 中BC 边上的高也是△DBC 中BC 边上的高C F E CB A 2C 3 N M B 1 A OD · CA · l知识点三 与三角形有关的角三角形的内角和：1.三角形内角和180°2.直角三角形中两锐角互余3.三角形内角和的证明（构造平角、邻补角、同旁内角利用平行的知识来证明）三角形的外角： 1.定义2.性质：（1）三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和； （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内一个内角（证明角的不等关系常用外角的性质2）3.三角形外角和为360°例1 △ABC 中，①若∠A=50°，∠B=60°，则∠C=_______②若∠A=50°，∠B=∠C ，则∠C =_______，∠B=___________③若∠A=50°，∠B-∠C=10°，则∠B =________，∠C=__________④若∠A+∠B=130°，∠A-∠C=25°，则∠A =________，∠B =________，∠C=_______⑤若∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，则∠A =________，∠B =________，∠C=_______，这个三角形是_______三角形。