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直角三角形

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直角三角形

一基础知识1.直角三角形全等的判定（1）SSS（2）SAS（3）ASA（4）AAS（5）HL

2.直角三角形的性质（1）两锐角互为余角（2）斜边的中线等于斜边的一半（3）三边长满足勾股定理；即斜边长的平方等于两条直角边长的平方和（勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25）（4）030角所对的边等于斜边长的一半（5）s=12ab

二典例分析1判断正误

（1）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（）（2）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等（）

（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等（）（4）有两角和其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等（ ）

（5）有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等（ ）（6）有两边和第三边的中线对应相等的两个三角形全等（ ）

（7）周长和面积对应相等的两个三角形全等（ ）（8）边与角中，有五个元素分别相等的两个三角形全等（ ）

2请判断满足下列条件的的直角三角形是否全等，若全等，请在括号内加注理由：

（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等（）（2）一个锐角和锐角相邻的一条直角边对应相等（）（3）一个锐角和一斜边对应相等（）（4）两直角边对应相等（）（5）两边对应相等（）（6）两锐角对应相等（）（7）一锐角和一边对应相等（）

3如图，△ABC中∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线与BC交于点D，交AB于E，DB=8，求AC的长．

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D．（1）如果∠A=60°，求证：BD=3AD；

（2）如果BD=3AD，求证：∠A=60°．

5如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，

AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=12DC．

6．如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=4，D是AC边

上的一个动点（不与A、C点重合），过点D作AC边的垂线，

交线段BC于点E，点F是线段EC的中点，作DH⊥DF，交射线AB于点H，

交射线CB于点G．

（1）求证：GD=DC．（2）设AD=x，HG=y．求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

7（中招展示）（1）（12河北）如图7-1，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A=____

（2）（12鸡西）Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，

且∠ACP=30°，则PB的长为 _____

（3）（12济宁）如图7-3，在平面直角坐标系中，点P坐标为（-2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，

交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（）A．-4和-3之间B．3和4之间C．-5和-4之间D．4和5之间

（4）（12怀化）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）A．7 B．6 C．5 D．4

（5）（12新疆）如图所示7-5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，

其中两个半圆的面积S1= 258π，S2=2π，则S3是 ____

（6）（12黔西南州）如图7-6，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，

CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为 _______

（7）（12莱芜）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 _____

（8）（07河南）如图7-8，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C．

若∠AOB=60°，OC=4，则点P到OA的距离PD等于_____

（9）（05海淀区）如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）

垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．

①请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．

②在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．

（10）（08江西）如图7-10，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；

①求证：B′E=BF；

②设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．

8（竞赛链接）（1）如图8-1，在ABC中，ADBC于Ｄ，

2ABCC，求证：22ACABABBC

（例3图）

（例4图）

（例5 图）

（例6图）

（7-10） （7-9） （7-8）

（8-1） （7-7） （7-5） （7-3）

（7-6） （7-1）

（2）如图8-2，四边形ＡＢＣＤ是一个梯形，ABCD，ABC９０°，ＡＢ＝９，ＢＣ＝８，

ＣＤ＝７，Ｍ是ＡＤ的中点，MNAD，求ＢＮ长.

（3）如图8-3，ABC是等腰直角三角形，CA＝CB，D是斜边AB的中点，E、F分别在AC、BC上，

且DEDF，若BF＝12，AE＝5，求DEF的面积.

（4）如图8-4，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，对角线AC与BD相交于点O，

M、N分别是边BD、AC的中点．

①求证：MN⊥AC；②当AC=8cm，BD=10cm时，求MN的长．

三随堂练习

1.如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5 m处折断，倒下的部分与地面成30°角，

如图所示，这棵树在折断前的高度是（）A．10m B．15m C．5m D．20m

2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个

3如图（3），AB∥DF，AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，若∠A=20°，则∠CEF等于（）A．110°B．100°C．80°D．70

4若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（）

A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形

5如图（5）△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC中点，∠EPF=90°，给出四个结论①∠B=∠BAP；

②AE=CF；③PE=PF；④S四边形AEPF= 12S△ABC，其中成立的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个

6将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB=10cm，则阴影部分的面积是 ____cm2．

7如图（7）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，

连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．求证：EG=CG．

8如图（8）所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．作AB的中垂线l分别交AB、AC

及BC的延长线于点D、E、F，连接BE． 求证：EF=2DE．

四课后作业

1如图1-1，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，

点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7

2 如图2-1，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，

D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，

则GH的长等于 _____cm．

3如图3-1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．过点C作CC1⊥AB于C1，

过点C1作C1C2⊥AC于C2，过点C2作C2C3⊥AB于C3，…，按此作发进行下去，则ACn=______

4三角形三内角的度数之比为1：2：3，最大边的长是8cm，则最小边的长是 _____cm．

5如图5-1，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=4，则PD等于______

6．在△ABC中，已知∠B=30°，AB=6cm，则BC边上的高为 ____cm．

7．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是 ____cm．

8．△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，BC=4．在CA延长线上取点D，使AD=AB，则D，B两点之间的距离等于 ______

9．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC＜AC，若BC•AC=14AB2，则∠A= _____度．

10．如图10-1，四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=4，CD=2，则BC= _____

11．房梁的一部分如图11-1，其中AC⊥BC，∠A=30°，AB=7.4m，点D是AB的中点，

且DE⊥AC，垂足为E，则BC= _____m，DE= _____m．

12. 有一个等腰三角形一腰上的高度是腰长的一半，则此等腰三角形的顶角是 ___度．

13.如图13-1上午8时，一条轮船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，

10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=30°，∠NBC=60°，

问以同样的速度继续前行，则上午 ____时轮船与灯塔C距离最近．

14.如图14-1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，

将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．求证：EC∥AB．

（8-2）

（8-4） （8-3）

（图3）

（图5）

（图7）

（图8） （1-1）

（3-1） （2-1）

（5-1）

（10-1） （11-1）

（13-1）

（14-1）

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直角三角形的特殊角度计算

直角三角形的特殊角度计算

直角三角形的特殊角度计算

直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度。在直角三角形中，两个直角边之间的夹角可以通过三角函数来计算。本文将介绍如何计算直角三角形中的特殊角度，即30度、45度和60度角。

1. 30度角计算：

在直角三角形中，30度角的边长比例是1:2:√3。假设直角边的长度为a，斜边的长度为c，则另一个直角边的长度为2a。根据勾股定理可得c²=a²+(2a)²=5a²。因此，斜边的长度c为a√5。

2. 45度角计算：

在直角三角形中，45度角的边长比例是1:1:√2。假设直角边的长度为a，斜边的长度为c，则根据勾股定理可得c²=a²+a²=2a²。因此，斜边的长度c为a√2。

3. 60度角计算：

在直角三角形中，60度角的边长比例是1:√3:2。假设直角边的长度为a，斜边的长度为c，则另一个直角边的长度为a√3。根据勾股定理可得c²=a²+(a√3)²=4a²。因此，斜边的长度c为2a。

通过以上计算，我们可以得到直角三角形中的特殊角度的边长比例。这些特殊角度在数学和几何学中经常被使用，并在实际应用中起到重要作用。 除了边长比例，我们还可以通过三角函数来计算直角三角形中的特殊角度的正弦、余弦和正切值。

1. 30度角的三角函数值：

正弦值sin(30°) = 1/2

余弦值cos(30°) = √3/2

正切值tan(30°) = 1/√3

2. 45度角的三角函数值：

正弦值sin(45°) = √2/2

余弦值cos(45°) = √2/2

正切值tan(45°) = 1

3. 60度角的三角函数值：

正弦值sin(60°) = √3/2

余弦值cos(60°) = 1/2

正切值tan(60°) = √3

这些三角函数值在计算和测量过程中使用广泛，并具有许多实际应用，如建筑设计、物理学、工程学等。

总结起来，直角三角形是一个非常重要的几何形状，其中特殊角度的边长比例和三角函数值具有特殊的数值。通过了解和计算直角三角形的特殊角度，我们可以更好地理解三角学的基本原理，并应用于实际问题的解决中。

直角三角形的最大内接直角三角形

直角三角形的最大内接直角三角形

４６　十。７擞－７（２ＯＯ９年第７期·初中版）　·短论荟萃．　壶角三角形的最大内搐直角三角形　’２３０００１　安徽省合肥六中　黄海波　《数学通报》问题栏问题１５２６提出并用三角法解决　了如下问题：ＡＡＢＣ中，　Ｃ：９０。，ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝　Ｃ．Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是仙，ＡＣ，ＢＣ上的点，以ＬＤ为直角的等　腰直角三角形△ＤＥＦ的面积最小值是　（　２当且　仅当ＤＥ＿ＬＡＣ时取到（见文［１］）．　文［２］继续利用三角法将该结论一般化，得到了直　角三角形的任意内接直角三角形面积的最小值．　本文将用坐标法解决上述两个命题的对偶命题，即　直角三角形的最大内接直角三角形问题．　定理１　△ＡＢＣ中，　Ｃ＝９０。，ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝　ｃ．Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是　，ＡＣ，ＢＣ上的点，若ＡＤＥＦ是等腰直　角三角形，且ＬＥＤＦ＝９０。，则ＡＤＥＦ面积的最大值为　（　）　．　证明如图１，以点Ｃ为坐标原　点，以ＣＡ、ＣＢ所在直线分别为　、Ｙ　轴，建立平面直角坐标系，则Ｃ（０，　Ｏ）、Ａ（ｂ，０）、Ｂ（Ｏ，ａ）．记Ｅ（ｔ，０）（０≤　ｔ＜６），ＤＥ与ＡＣ不垂直（否则，由文　［１］知，此时ＡＤＥＦ面积最小），令直　图１　线ＤＥ的方程为Ｙ　ｋ（ｘ—ｔ）（．ｊ｝＞一詈）·易见，直线ＡＢ　的方程为　＋　一ａｂ＝０．联立两条直线方程得点Ｄ的　横坐标为　。＝　音　，　Ｉ　一　ａ　ｉｆ．，　＋０　３７．　ＤＦ·＝孵·Ｉ　Ｉ＇　由ｌ　ＤＥ　Ｉ＝Ｉ　ＤＦ　Ｉ得　孵．Ｉ　Ｉ’　整理得　警　妄嚣，由。≤ｔ＜６知后≥·，　而ｓＡＤＥＦ￣　１　ｌ　ＤＥ　Ｉ　÷（。　）—ａ２［　ｂ　ａ矿ｂ（ｋ－１）］２　１［　ａｂ，￣　·（ｔ＋古）≤（　）　．　定理２　ＡＡＢＣ中，　Ｃ＝９０。，　ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ＣｏＤ，Ｅ，Ｆ分别是　ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ上的点，若ＡＤＥＦ是两直　角边ＤＥ与ＤＦ之比为定值Ａ（Ａ为　正常数）的直角三角形，则ＡＤＥＦ的　面积最大值为　·（　）‘．　二＾　、ｕ　Ｔ‘，，　图２　证明同前，Ｉ　ＤＥ　Ｉ＝　·　，　Ｉ　ＤＦＩ＝　·Ｉ　１．又　即　·　＝Ａ艉．１　ｌ＇　整理得ｔ＝　，由０≤ｔ＜６知　≥Ａ，　而．ｓＡＤＥＦ￣＂　１　ｌ　·Ｉ　ＤＦＩ＝￣Ｉ　ＯＥ　Ｉ　（　１＋·）·（　）　≤　１（　＋ｔ）（　）　＝　·（　）　．　特别地，Ａ＝１时，便得到定理１．因此，定理２是定　理１的推广．　参考文献　１龚浩生．数学问题１５２６［Ｊ］．数学通报，２００５，１　２郭要红．直角三角形的最小内接定形三角形［Ｊ］．数学通　报，２００６，９　（收稿日期：２００９０５２７）

直角三角形评课

直角三角形评课

今天听了许老师的一节《直角三角形》。杨老师的这一节课上的很生动。调动了每一位学生的学习主动性，使他们真正成为学习的主人，积极地参与教学的每一个环节，努力地探索解决问题的方法，大胆地发表自己的观点。学生始终保持着高昂的学习情绪，切身经历了“做数学”的全过程，感受了学习数学的快乐，体验成功的喜悦。 具体感受有三点：1、巧设情境，营造和谐气氛许老师以生活中有些人过矩形草地时为避开拐角走“捷径”，仅仅少走了几步路却踩伤了小草设置情景，提出问题，渗透环保教育。积极的为学生营造了和谐的学习环境，激发学生学习的积极性，使学生纷纷自觉投入到学习活动中。起点低，落点高，符合学生的认知发展水平。2、巧妙引导，自主探究，尽展数学美。 数学课程标准指出：学生有效的学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。正是基于这样的认识，许老师的设计充分体现了学生为主体的教学理念，让学生在主动探索中回顾应用知识。俗话说 “耳中听到终觉浅，觉之此事要躬亲”。许老师从回顾研究直角三角形的边角关系入手，到锐角三角形，再到钝角三角形，以题引题变式教学，在变式教学中回顾知识点，题目设计合理、环环相扣，注重知识点的迁移。教师始终以引导这的身份引导学生思考、提升、归纳、小结。在这一环节中，教师尽显教育智慧，尽展数学之美。3、整合学科知识，拓展教学资源，彰显文化美 合理利用多媒体辅助教学，形象直观。4.及时、精炼地评价和点拨，尽显语言美 教学中许老师通过精炼、精彩的语言不断地鼓励着学生、及时地点拨着学生、评价着学生，给学生以更多的思想和方法上的点拨和引领，精神和文化上的熏陶和浸润。如： “数学讲究深入思考”“你能解释一下吗？”这样的精彩语言不时地在金老师的课堂上自然地流淌出来。纵观整节课，大气中兼顾细节，美丽中透着数学凝练。在许老师清新、自然、洒脱的课堂上，每一个细节都见理念、见价值、见文化、见魅力，他帮助学生在丰富多彩的数学学习中不断探究发现、交流感悟，引领学生通过学习感受数学的博大与精深，感悟数学的深刻与美丽，领略人类的智慧与文明。

直角三角形的性质与判定

直角三角形的性质与判定

直角三角形的性质与判定

直角三角形是初中数学中常见的一个概念，它具有一些独特的性质和判定方法。在本文中，我们将探讨直角三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为直角三角形。

首先，让我们来了解直角三角形的定义。直角三角形是指一个三角形中，其中一个角为90度的三角形。这个角称为直角，通常用一个小方块来表示。直角三角形有一个重要的性质，即勾股定理。

勾股定理是直角三角形的基本定理之一，它表明在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方和。这个定理可以用一个简单的公式来表示：c² = a²

+ b²，其中c表示斜边的长度，a和b分别表示直角边的长度。

利用勾股定理，我们可以判定一个三角形是否为直角三角形。如果一个三角形的三条边满足勾股定理，那么它就是一个直角三角形。例如，如果一个三角形的边长分别为3、4和5，那么它就是一个直角三角形，因为3² + 4² = 5²。

除了勾股定理外，直角三角形还有一些其他的性质。首先，直角三角形的两条直角边是相互垂直的。这意味着，如果一个三角形的两条边互相垂直，那么它就是一个直角三角形。这个性质可以用来判定一个三角形是否为直角三角形，而不需要使用勾股定理。例如，如果一个三角形的两条边的斜率的乘积为-1，那么它就是一个直角三角形。

另外，直角三角形的两条直角边的长度也具有一定的关系。根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。因此，如果我们已知一个直角三角形的斜边和其中一条直角边的长度，我们可以通过勾股定理计算出另一条直角边的长度。 在实际应用中，直角三角形的性质和判定方法经常被用于测量和计算。例如，我们可以利用直角三角形的性质来测量一个高楼的高度。通过在地面上测量一个直角三角形的一条直角边和斜边的长度，再利用勾股定理计算出高楼的高度。

此外，直角三角形的性质还被广泛应用于建筑、航海、导航等领域。例如，在建筑设计中，我们可以利用直角三角形的性质来确定房屋的角度和尺寸。在航海和导航中，直角三角形的性质可以帮助我们确定船只或飞机的位置和航向。