三角形

全等三角形与相似三角形的判定及位似图形

一、全等三角形

1、全等三角形的判定（符号：“≌”）

a、(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；

b、( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等；

c、(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；

d、(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等；

直角三角形全等判定定理：斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以回推到SSS）；

2、全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等

练习一

1、如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则有ΔADF≌________，且DF=______

2、如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C， 则在下列条件中，无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）

（A）AD=AE （B）AB=AC （C）BE=CD （D）∠AEB=∠ADC

3、已知：如图，AB=AC，DB=DC．F是AD的延长线上一点．

求证： (1) ∠ABD＝∠ACD (2)BF=CF

4、（2013嘉兴、舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC． （1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB＝50º，求∠EBC的度数？

5、（2012•衢州）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．

6、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

二、相似三角形 B A

C

D F 2 1

E 1、相似三角形的判定

三角形的基本概念和性质

三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段相连而成。本文将介绍三角形的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用三角形。

一、基本概念

1. 三角形定义：三角形是由三条线段组成的图形，三条线段分别称为三角形的边。三个顶点将边相连，形成三个内角和三个外角。

2. 顶点：三角形的顶点是三个不共线的点，它们确定了三角形的形状和大小。

3. 边：三角形的边是连接顶点的线段，它们是三角形的基本构成元素。

4. 内角：三角形的内角是由两条边相交所形成的角，共有三个内角。

5. 外角：三角形的外角是由一条边和延长线所形成的角，共有三个外角。

二、性质

1. 内角和：三角形的内角和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

2. 外角和：三角形的外角和等于360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。

3. 两边之和大于第三边：三角形的任意两边之和大于第三边，即AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。 4. 等边三角形：如果一个三角形的三条边长度相等，则该三角形是等边三角形。等边三角形的三个内角也相等，都是60度。

5. 等腰三角形：如果一个三角形的两条边长度相等，则该三角形是等腰三角形。等腰三角形的两个底角也相等。

6. 直角三角形：如果一个三角形拥有一个直角（90度），则该三角形是直角三角形。直角三角形的两条边平方和等于斜边平方，即a² +

b² = c²。

7. 锐角三角形：如果一个三角形的三个内角都小于90度，则该三角形是锐角三角形。

8. 钝角三角形：如果一个三角形中有一个内角大于90度，则该三角形是钝角三角形。

三、应用

三角形的基本概念和性质在几何学和实际生活中有广泛的应用。

1. 测量：三角形的性质使得它成为测量地理距离、高度以及倾斜角度的重要工具。

2. 工程设计：在建筑和工程设计中，三角形的性质用于计算角度、边长和面积，保证结构的稳定和准确。

三角型符号

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1 特殊三角形知识点

1.三角形中的主要线段

（1）角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的

顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

（2）中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．

（3）高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．

(4)中位线：连接三角形两边的中点的线段。

2.三角形的边角关系

（1）三角形边与边的关系：三角形中两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边；

（2）三角形中角与角的关系：三角形三个内角之和等于180o．

3.三角形的分类

（1）按边分：不等边三角形三角形底和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形

（2）按角分：直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形

4.特殊三角形

（1）直角三角形性质

①角的关系：∠A+∠B=900；

②边的关系：222abc

③边角关系：00901230CBCABA；

④09012CCEABAEBE

⑤2chabs；

⑥2cRa+b-c外接圆半径；内切圆半径r=2

（2）等腰三角形性质

①角的关系：∠A=∠B；②边的关系：AC=BC；③ACBCADBDCDABACDBCD

④轴对称图形，有一条对称轴。 bachEDBACDABC

2

（3）等边三角形性质

①角的关系：∠A=∠B=∠C=600；②边的关系：AC=BC=AB；

③ABACBDCDADBCBADCAD；④轴对称图形，有三条对称轴。

（4）三角形中位线：12ADBDDEBCAEBEDEBC∥