高中物理 第一章 第8节《匀变速直线运动规律的应用》导学案 教科版必修1

高中物理 1.8 匀变速直线运动规律的应用（第2课时）教学案教科版必修11、1.8匀变速直线运动规律的应用第二课时[目标定位] 1.进一步娴熟把握匀变速直线运动的基本公式和导出公式及特点，并能娴熟应用.2.能推导初速度为零的匀变速直线运动的几个比例式．1．匀变速直线运动的基本公式(1)速度公式：v＝v0＋at；(2)位移公式：x ＝v0t＋at2.2．匀变速直线运动常用的导出公式(1)速度位移公式：v2－v＝2ax；(2)平均速度公式：＝＝v；(3)位移差公式：x2－x1＝aT2.一、匀变速直线运动基本公式的应用1．两个公式v＝v0＋at和x＝v0t＋at2中包括五个物理量，原则上已知其中三个物理量可以求解另外两个物理量，可以解决全部的匀变速直线运动问题．但要留意公式的矢量性，解题时应先依据规定好的正方向确2、定好全部矢量的正负值．2．解决运动学问题的基本思路是：审题→画过程草图→推断运动性质→选取正方向→选用公式列方程→解方程，必要时要进行商量(比方刹车问题)．例1 (2021～2021乐山期中)如图1所示，物体从光滑斜面上的A点由静止开始下滑，经过B点进入水平面(设经过B点前后速度大小不变)，最终停在C 点．每隔0.2s通过速度传感器测量物体的瞬时速度，下表给出了部分测量数据．(重力加速度g＝10m/s2)求：图1t(s)00.20.4…1.21.4…v(m/s)01.02.0…1.10.7…(1)物体在斜面和水平面上滑行的加速度大小；(2)物体在斜面上下滑的时间；(3)t ＝0.6s时的瞬时速度v.解析(1)由前三列数据可知物体在斜3、面上匀加速下滑时的加速度大小为a1＝＝5m/s2，由后两列数据可知物体在水平面上匀减速滑行的加速度大小为a2＝＝2m/s2.(2)由v5＝2＋5t＝1.1＋2(0.8－t)，解得t＝0.1s，即物体在斜面上下滑的时间为0.5s.(3)t＝0.6s时物体已在水平面上，其瞬时速度为v＝v1.2＋a2(1.2－t)＝2.3m/s.答案(1)5m/s2 2m/s2 (2)0.5s (3)2.3m/s例 2 (2021广东高一期中)一辆汽车以v0＝10m/s的速度在水平路面上匀速运动，刹车2s后它的速度降为6m/s.求：(1)刹车过程中的加速度；(2)刹车后经多长时间汽车停下；(3)汽车从刹车开始到停下所发生的位移．解析(1)由运动学公式4、可得：a＝将数据代入可解得：a＝－2m/s2(2)汽车停车所需时间t，由运动学公式可得：t＝由可解得：t＝5s(3)汽车刹车可以看做反向匀加速直线运动，由x＝at2＝25m答案(1)－2m/s2 (2)5s (3)25m二、导出公式的应用1．v2－v＝2ax此式不涉准时间，若题目中已知量和未知量都不涉准时间，利用此式往往比较简洁．2．x ＝t普遍适用于各种运动，而＝＝v只适用于匀变速直线运动，两者相结合可以轻松地求出中间时刻的瞬时速度或者初、末速度．3．x2－x1＝aT2适用于匀变速直线运动，进一步的推论有xm－xn＝(m－n)aT2(其中T为连续相等的时间间隔T，xm为第m个时间间隔内的位移，xn为第n个时间间隔内的位移)．例35、(2021～2021河南高一期中)一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，已知途中先后经过相距27m的A、B两点所用时间为2s，汽车经过B点时的速度为15m/s.求：(1)汽车经过A点时的速度大小和加速度；(2)汽车从出发点到A点经过的距离；(3)汽车经过B点后再经过2s到达C点，则BC间距离为多少？解析(1)设汽车运动方向为正方向，过A点时速度为vA，则AB段平均速度为：AB＝＝故由x＝t＝ABt＝t解得vA＝12m/s.对AB段：a＝＝＝1.5m/s2.(2)对OA 段(v0＝0)：由v2－v＝2ax得xOA＝＝48m.(3)汽车经过BC段的时间等于经过AB段的时间，依据x2－x1＝aT2公式对于AC段有：xBC－xAB＝aT26、，得xBC＝xAB＋aT2＝27m＋1.522m＝33m.答案(1)12m/s (2)6m/s (3)33m三、初速度为零的匀变速直线运动的比例式1．初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)(1)1T末、2T末、3T末...、nT末瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶ (v)＝1∶2∶3∶...∶n(2)1T内、2T内、3T内、...、nT内的位移之比x1∶x2∶x3∶...∶xn＝12∶22∶32∶...∶n2(3)第一个T内，第二个T内，第三个T内，...，第n个T内位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶ (x)＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)2．初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为x)(1)通过前x、前2x、前3x…时的速度之7、比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶(2)通过前x、前2x、前3x…的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶(3)通过连续相等的位移所用时间之比：tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－1)∶…∶(－)留意：(1)以上比例成立的条件是物体做初速度为零的匀加速直线运动；(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化．例4 如图2所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一粒子弹以水平速度v射入．若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为( )图2A．v1 8、∶v2∶v3＝3∶2∶1B．v1∶v2∶v3＝∶∶1C．t1∶t2∶t3＝1∶∶D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1解析把子弹的运动看做逆向的初速度为零的匀加速运动．子弹由右向左依次“穿出”3个木块的速度之比为1∶∶.则子弹实际运动依次穿入每个木块时的速度之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，故B正确；子弹从右向左，通过每个木块的时间之比为1∶(－1)∶(－)．则子弹实际运动通过连续相等位移的时间之比为t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1，故D正确．答案BD针对训练质点从静止开始做匀加速直线运动，在第1个2s、第2个2s和第5个2s内三段位移比为( )A．1∶4∶25B．2∶8∶7C．1∶3∶9D．2∶2∶1解析质点做初9、速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内位移之比为：1∶3∶5∶7∶…(2n－1)，所以质点在第1个2s、第2个2s 和第5个2s内的三段位移比为1∶3∶9，因此选C.答案C匀变速直线运动基本公式的应用1．(2021内蒙古高一期中)由静止开始做匀加速运动的汽车，第一秒内通过0.4m路程，以下说法中正确的选项是( )A．第1s末的速度为0.8m/sB．加速度为0.8m/s2C．第2s 内通过的路程为1.2mD．前2s内通过的路程为1.2m解析第1秒内通过0.4m路程，故x＝at2可得：a＝0.8m/s2，第1秒末的速度为v ＝at＝0.8m/s，A、B正确；前2s内通过的路程x前2＝at2＝0.822m ＝1.6m，故第2秒内的路10、程为x第2s＝x前2s－x前1s＝1.6m－0.4m＝1.2m，C正确，D错误．答案ABC导出公式的应用2．一物体做匀减速直线运动，初速度为10m/s，加速度大小为1m/s2，则物体在停止运动前1s内的平均速度为( )A．5.5m/sB．5m/sC．1m/sD．0.5m/s解析物体做匀减速直线运动到静止相当于反向的匀加速直线运动，停止运动前1s内的平均速度，相当于匀加速运动第1秒内的平均速度，＝＝m/s ＝0.5m/s.应选D.答案D3．质点做匀变速直线运动，从某时刻起5s 内位移是20m,10s内位移是70m，求质点的加速度和开始计时起5s 末的瞬时速度．解析依据题意可知第二个5s内的位移是x2＝x－x1＝70m－20m＝511、0m，依据推论有：x2－x1＝aT2?a＝＝1.2m/s2；依据平均速度公式可知开始计时起，5s末的瞬时速度为v5＝＝＝m/s＝7m/s.答案 1.2m/s2 7m/s初速度为零的匀变速直线运动的几个比例式4．(2021广东高一月考)一位骑自行车的人沿着直线从静止开始运动，在第1s、第2s、第3s、第4s内，通过的路程分别为1m、2m、3m、4m，有关其运动的描述正确的选项是( )A．4s内的平均速度是2.5m/sB．在第3、4两秒内平均速度是3.5m/sC．第3s末的瞬时速度肯定是3m/sD．该运动肯定是匀加速直线运动解析自行车在4s 内的位移s1＝10m，则平均速度为′＝s1/t＝2.5m/s，A正确；第3、4两秒内的位移s2＝12、7m，则平均速度为′＝＝3.5m/s，B正确；初速度为0的匀加速直线运动，在连续相等的时间内的位移之比为1∶3∶5∶7…，而此题不符合这种关系，自行车的运动不是匀变速直线运动，第3s 末的速度也就不是3m/s，C、D错误．答案AB5．(2021四川成都期中)一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1秒内与第2秒内位移大小之比为x1∶x2，在走完第1米时与走完第2米时的速度大小之比为v1∶v2，则以下说法正确的选项是( )A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶解析质点从静止开始做匀加速直线运动，它在连续相等13、的时间内的位移之比x1∶x2∶x3…xn＝1∶3∶5…(2n－1)，所以x1∶x2＝1∶3，；由v2＝2ax得，v1∶v2＝1∶.答案 B。

第八节匀变速直线运动规律的应用知识点匀变速直线运动的规律1．匀变速直线运动的速度公式为v＝v0＋at，位移公式为x＝v0t＋12at2，由以上两个公式消去时间t，就可以得出匀变速直线运动的位移与速度的关系式v2－v20＝2ax.做匀变速直线运动的物体，初速度为v0，经过一段位移后的速度为v，则物体经过这段位移中点时的速度v中点多大？提示：根据v2－v20＝2ax，v2中点－v20＝2a×x2，消去ax，得v中点＝v2＋v202.2．推论公式v2－v20＝2ax中涉及的四个物理量均是矢量，应用它解题时一般取v0方向为正方向，其他物理量的正、负根据与规定的正方向的关系确定．3．某物体的初速度为v0，以加速度a做匀加速直线运动，如果要它的速度增加到初速度的n倍，则物体的位移是(n2－1)v202a.某汽车以5 m/s的初速度开始由斜坡顶端向下加速运动，已知汽车运动的加速度为1 m/s2，汽车到达斜坡底端的速度为15 m/s，求斜坡的长度．提示：100 m考点一匀变速直线运动的速度与位移的关系(1)公式推导根据匀变速直线运动的基本公式v＝v0＋at，x＝v0t＋12at2，消去时间t得v2－v20＝2ax，即为匀变速直线运动的速度—位移关系．(2)对v2－v20＝2ax的理解①位移和速度的关系式为矢量式，它对匀减速直线运动也成立，一般规定初速度v0方向为正方向，当物体做匀加速直线运动时，a取正值；当物体做匀减速直线运动时，a取负值．x>0说明位移的方向与初速度方向相同，x<0说明位移的方向与初速度方向相反．②当v0＝0时，公式简化为v2＝2ax.当加速度一定时，可通过位移求解末速度或通过末速度求解位移．③当v＝0时，公式简化为－v20＝2ax.当加速度一定时，可通过位移求解初速度或通过初速度求解位移．【例1】一物体由静止开始做匀加速直线运动，当其位移为x时速度为v，则当位移为x3时物体的速度v′为多大？物体在做匀加速直线运动的过程中，加速度不变，本题没有涉及时间，也不需要求时间，故可根据速度—位移关系式求解．【解析】由匀变速直线运动的速度—位移关系式v2－v20＝2ax 和v0＝0，可得v2＝2ax，即v∝x所以v′v＝x′x＝x/3x＝33故位移为x3时物体的速度v′＝33v.【答案】3 3 v总结提能解答匀变速直线运动问题的方法比较多，故在选用公式时，应从简便的原则出发，以最简的形式进行解答．解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法是：(1)如果题目中无位移x，也不让求x，一般选用速度公式v＝v0＋at；(2)如果题目中无末速度v，也不让求v，一般选用位移公式x＝v0t＋12at2；(3)如果题目中无运动时间t，也不让求t，一般选用导出公式v2－v20＝2ax.随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显．分析交通违规事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命．一货车严重超载后的总质量为49 t，以54 km/h的速率匀速行驶．发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s2(不超载时则为5 m/s 2)．(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？(2)若超载货车刹车时正前方25 m 处停着总质量为1 t 的轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度．答案：(1)45 m 22.5 m (2)10 m/s解析：(1)设货车刹车时的速度大小为v 0，加速度大小为a ，末速度大小为v t ，刹车距离为x ，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得x ＝v 20－v 2t 2a代入数据，得超载时x 1＝45 m不超载时x 2＝22.5 m.(2)超载货车与轿车碰撞时的速度为v ＝v 20－2ax ＝152－2×2.5×25 m/s ＝10 m/s.考点二 匀变速直线运动的几个常用推论(1)推论1：做匀变速直线运动的物体，在相邻的相等的时间内位移之差Δx ＝at 2是恒定的．推证：设物体以初速度v 0、加速度a 做匀加速直线运动，自计时起时间T 内的位移x 1＝v 0T ＋12aT 2. 在第2个时间T 内的位移x 2＝v 0·2T ＋12a (2T )2－x 1＝v 0T ＋32aT 2， 即Δx ＝aT 2.进一步推证可得①a ＝Δx T 2＝x n ＋1－x n T 2＝x n ＋2－x n 2T 2＝x n ＋3－x n 3T 2＝… ②x 2－x 1＝x 3－x 2＝…＝x n －x n －1，据此可补上纸带上缺少的长度数据．(2)推论2：做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于初速度与末速度和的一半，也等于中间时刻的瞬时速度，即v ＝＝v 0＋v 2. 推证：由v ＝v 0＋at ，①知经t 2时间的瞬时速度＝v 0＋a ·t 2.② 由①得at ＝v －v 0，代入②中，得＝v 0＋12(v －v 0)＝v 0＋v 2－v 02＝v 0＋v 2， 即＝v 0＋v 2. 又x ＝v 0t ＋12at 2， 由①得a ＝v －v 0t ，则x ＝v 0t ＋12·v －v 0t ·t 2＝v 0t ＋v －v 02t ，所以v ＝x t ＝v 0＋v －v 02＝v ＋v 02. 即v ＝＝v 0＋v 2. (3)推论3：做匀变速直线运动的物体，一段位移中点的速度等于初速度、末速度的平方和的一半的平方根，即＝v 20＋v 22. 推证：由速度位移公式v 2－v 20＝2ax ，①知2－v 20＝2a ·x 2.② 将①代入②可得2－v 20＝v 2－v 202， 即＝12(v 20＋v 2). 注意：这些推论都只适用于匀变速直线运动，不论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动都是适用的．(4)推论4：初速度为零的匀变速直线运动的比例式(T 为等时间间隔)①1T 末、2T 末、3T 末、……nT 末瞬时速度之比为v 1v 2v 3……v n ＝123……n .②1T 内、2T 内、3T 内、……nT 内的位移之比为x 1x 2x 3……x n ＝122232……n 2.③第1个T 内，第2个T 内，第3个T 内，……第n 个T 内位移之比为x Ⅰx Ⅱx Ⅲ……x n ＝135……(2n －1)．④通过连续相等的位移所用时间之比为t 1t 2t 3……t n ＝1(2－1)(3－2)……(n －n －1)．【例2】 某物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，到达斜面的最高点时速度恰好为零，如图所示，已知物体从底端A 点运动到B点时，所用的时间为t ，AB 的长度为斜面长度的34，则物体从B 点运动到最高点C 所用的时间为________．本题中物体做匀减速直线运动，到最高点时速度为零，故可以利用可逆思维结合比例法快速求解．【解析】 解法1(逆向思维法) 物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面．故x BC ＝12at 2BC ，x AC ＝12a (t ＋t BC )2，又x BC ＝x AC 4由以上三式解得t BC ＝t .解法2(比例法) 对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内通过的位移之比为x 1x 2x 3……x n ＝135…(2n －1)因为x BC x AB ＝(x AC 4)(3x AC 4)＝13，而通过x AB 的时间为t ，所以通过x BC 的时间t BC ＝t .解法3(图像法) 根据匀变速直线运动的规律，作出v －t 图像，如图所示．利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边的平方之比，得S △AOC S △BDC ＝CO 2CD 2，且S △AOC S △BDC ＝41，OD ＝t ，OC ＝t ＋t BC .所以有41＝(t＋t BC)2t2BC，解得t BC＝t.【答案】t总结提能求解初速度为零的匀加速直线运动(或末速度为零的匀减速直线运动)问题的方法较多，可以采用速度公式、位移公式、速度—位移公式、推论式或图像法等进行求解．合理地选择公式，可以有效地减小计算量．一质点做匀变速直线运动，它在两段连续的时间为t＝4 s内通过的位移分别是24 m和64 m，求质点的初速度大小和加速度大小．答案：1 m/s 2.5 m/s2解析：依题意画出质点运动的草图如图所示．解法1(常规解法)由位移公式得x1＝v A t＋12at2x2＝[v A·2t＋12a(2t)2]－(v A t＋12at2)将x1＝24 m，x2＝64 m，t＝4 s代入可解得v A＝1 m/s，a＝2.5 m/s2.解法2(用平均速度求解)v1＝x1t＝244m/s＝6 m/s，v2＝x2t＝644m/s＝16 m/s又v2＝v1＋at，即16 m/s＝6 m/s＋4 s·a，解得a＝2.5 m/s2由x1＝v A t＋12at2可解得v A＝1 m/s.解法3(用推论公式求解)由x2－x1＝at2得64 m－24 m＝a·(4 s)2解得a＝2.5 m/s2由x1＝v A t＋12at2可求得v A＝1 m/s.考点三应用匀变速直线运动规律解决实际问题在解决生活和生产中的实际问题时，应根据所描述的情景与匀变速直线运动相结合分析，找出运动过程，并明确每个运动过程的运动情况，分析出各阶段的物理量，再选取合适的匀变速直线运动规律求解．应用匀变速直线运动规律解题的一般步骤及注意事项如下．1．认真审题，弄清题意和物体的运动过程，必要的时候要画出物体的运动过程示意图．2．明确已知条件和待求的物理量，要注意各量单位的统一．3．规定正方向(一般取初速度v0的方向为正方向)，从而确定已知量和未知量的正负号．对于无法确定方向的未知量，可以先假设为正方向，待求解出后，再根据正负号确定所求物理量的方向．4．选用适当的公式解题．5．判断所得结果是否合乎题意．即对计算结果进行必要的判断，看其是否符合实际情况．【例3】2008年元旦过后，我国南方一些地区遭受了50年未遇的雪灾，致使道路交通严重受阻，甚至发生交通事故．究其原因主要是：大雪覆盖路面后，被车轮挤压，部分融化为水，在严寒的天气下，又马上结成冰，而汽车在光滑的冰面上行驶时，刹车后难以停下．现有一辆载重卡车，没有安装ABS系统，也没有防滑链．司机发现，即使以原速的一半行驶，紧急刹车后的刹车距离仍然达到了正常路面上紧急刹车距离的2倍．据测定，卡车橡胶轮胎与普通路面间的摩擦可以使卡车产生最大为8 m/s 2的加速度，为保证安全，卡车在冰雪路面上的刹车距离不得超过8 m ．问：(1)卡车在冰雪路面上刹车的加速度为多大？(2)卡车在冰雪路面上行驶的速度最大不得超过多少？本题是匀变速直线运动的规律在实际中的应用问题，分析本题的关键是明确卡车在正常路面和在冰雪路面上刹车的运动都是匀减速直线运动，遵循相同的规律．【解析】 (1)设卡车在正常路面上行驶的速度为v 0，刹车的加速度为a ，在冰雪路面上刹车的加速度为a 1，由v 2－v 20＝2as 得卡车在正常路面上的刹车距离为s ＝v 202a在冰雪路面上的刹车距离为s 1＝(v 02)22a 1，又s 1＝2s 由以上各式可得卡车在冰雪路面上刹车的加速度为a 1＝a 8＝88m/s 2＝1 m/s 2. (2)要使卡车在冰雪路面上的刹车距离不超过8 m ，即s 1m ＝8 m ，根据s 1m ＝v 2m 2a 1得卡车在冰雪路面上行驶的最大速度为 v m ＝2a 1s 1m ＝2×1×8 m/s ＝4 m/s即卡车在冰雪路面上行驶的速度最大不得超过4 m/s.【答案】 (1)1 m/s 2 (2)4 m/s总结提能 在解答有关匀变速直线运动的问题时，由于相关公式较多，对于不同的情况，灵活选用公式能使解题过程变得简捷．像例3的这类问题中选用公式v 2－v 20＝2as 进行计算，由于公式中不涉及时间变量，因此，我们可以很方便地根据初速度、末速度和加速度求出位移．在某市区内，一辆汽车正在平直的公路上以速度v A向东匀速行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路，汽车司机在A处发现这一情况(游客正步行到D处)，经t0＝0.5 s作出反应才紧急刹车，但仍将恰好步行至B的游客撞伤，而汽车仍保持匀减速直线运动到C点停下，整个事故过程如图所示．为了判断汽车司机是否超速行驶，警方用一性能完全相同的汽车以法定最高速度v0＝12 m/s行驶在同一路段．由于事前有思想准备，司机在A处即紧急刹车，经12 m停下．在事故现场测得AB＝19.5 m，BC＝6.75 m，BD＝3.9 m，问：(1)该肇事汽车刹车前的行驶速度v A是多大？是否超速？刹车时的加速度是多大？(2)游客横过公路的步行速度大小．(3)若汽车司机以法定最高速度v0行驶，发现情况和作出反应条件不变，事故是否会发生？答案：(1)15 m/s超速－6 m/s2(2)2.6 m/s(3)不会发生解析：(1)肇事汽车与实验汽车完全相同，因而急刹车的加速度大小相同．实验汽车初速度v0＝12 m/s，末速度为零，位移x0＝12 m.则由0－v20＝2ax0，得a＝－v202x0＝－1222×12m/s2＝－6 m/s2，肇事汽车司机反应时间t0＝0.5 s，此阶段汽车仍做匀速运动．所以有x AC＝v A t0＋0－v2A2a，解得v A＝15 m/s(v A＝－21 m/s舍)，因此肇事汽车属超速行驶．(2)设汽车由A到B匀减速运动的时间为t1，则x AB＝v A t0＋v A·t1＋12at21，解得t1＝1 s(t1＝4 s舍)，所以游客横过公路的步行速度v人＝x BDt0＋t1＝3.90.5＋1m/s＝2.6 m/s.(3)若汽车以法定最高速度v0行驶，则在t0＋t1＝1.5 s内的位移x′＝v0t0＋v0t1＋12at21，解得x′＝15 m．所以游客经过B点时，汽车还距B点19.5 m－15 m＝4.5 m，因而事故不会发生．1．两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为12，它们的运动的最大位移之比为(B) A．12 B．1 4C．1 2 D．2 1解析：由0－v20＝2ax得x1x2＝14，选项B正确．2．如图所示，木块A、B并排且固定在水平桌面上，A的长度是L，B的长度是2L.一颗子弹沿水平方向以速度v1射入A，以速度v2穿出B.子弹可视为质点，其运动视为匀变速直线运动．则子弹穿出A 时的速度为(C)A.2v 1＋v 23B.2v 21＋2v 223C.2v 21＋v 223D.23v 1 解析：设子弹的加速度为a ，则v 22－v 21＝2a ·3L ① v 2A －v 21＝2a ·L ②由①②两式得子弹穿出A 时的速度v A ＝2v 21＋v 223，选项C 正确． 3．某航母跑道长200 m ．飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s 2，起飞需要的最低速度为50 m/s.那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为( B )A ．5 m/sB ．10 m/sC ．15 m/sD ．20 m/s解析：由题知，v ＝50 m/s ，a ＝6 m/s 2，x ＝200 m ，根据v 2－v 20＝2ax 得飞机需要借助弹射系统获得的最小初速度v 0＝v 2－2ax ＝502－2×6×200 m/s ＝10 m/s.故选项B 正确．4．(多选)物体先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小为a 1，当速度达到v 时，改为以大小为a 2的加速度做匀减速直线运动，直至速度为零．在加速和减速过程中物体的位移和所用时间分别为x 1、t 1和x 2、t 2，下列各式成立的是( AC ) A.x 1x 2＝t 1t 2B.a 1a 2＝t 1t 2C.x 1x 2＝a 2a 1D.x 1x 2＝a 1a 2解析：在加速运动阶段v 2＝2a 1x 1，v ＝a 1t 1；在减速运动阶段0－v 2＝2(－a 2)x 2，v ＝a 2t 2.由以上几式可得x 1x 2＝a 2a 1，a 1a 2＝t 2t 1，进一步可得x 1x 2＝t 1t 2，选项A 、C 正确． 5．如图所示，一辆长为5 m 的汽车以v 1＝15 m/s 的速度行驶，在离铁路与公路交叉点175 m处，汽车司机突然发现离交叉点200 m处有一列长300 m的列车以v2＝20 m/s的速度行驶过来，为了避免事故的发生，汽车司机应采取什么措施？(不计司机的反应时间与铁路、公路的宽度)答案：汽车司机可以让汽车以a1>0.6 m/s2的加速度加速通过或以a2>0.643 m/s2的加速度减速停下．解析：本题需分情况讨论．若汽车不采取措施，到达交叉点的时间为t1＝17515s＝353s穿过交叉点的时间为t2＝175＋515s＝12 s列车到达交叉点的时间为t01＝20020s＝10 s列车穿过交叉点的时间为t02＝200＋30020s＝25 s因t2>t01，如果要求汽车先于列车穿过交叉点，汽车必须加速，所用时间t必须满足t<t01，设加速度大小为a1，则v1t01＋12a1t201>180 m解得a1>0.6 m/s2因t1<t02，如果要求汽车在列车之后通过交叉点，汽车必须减速，且到交叉点前已停下．因此应有v212a2<175 m所以a2>0.643 m/s2所以汽车司机可以让汽车以a1>0.6 m/s2的加速度加速通过或以a2>0.643 m/s2的加速度减速停下．学科素养培优精品微课堂——思想方法系列(八)追及与相遇问题开讲啦追及与相遇问题是匀变速直线运动规律的典型应用，两物体在同一直线上运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现最大距离、最小距离或者是距离为零的情况，这类问题称为追及与相遇问题．1．追及问题追和被追的两个物体速度相等(同向运动)是能追上、追不上或两者距离有极值的临界条件．(1)第一类：开始相隔一定距离的两物体，速度大者追速度小者(如匀减速运动的甲物体追匀速运动的乙物体，或匀速运动的甲物体追同向匀加速运动的乙物体)．①若两者速度相等时，甲仍在乙的后方，则永远追不上，且此时两者之间的距离最小．②若两者速度相等时，刚好追上，此为临界状态．③若甲、乙处在同一位置时，甲的速度仍大于乙的速度，则乙还能追上甲．(2)第二类：从同一位置出发的两物体，速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)．①当两者速度相等时二者间有最大距离．②当两者位移相等时，追者追上被追者．在避碰问题中，关键是把握临界状态，避碰问题的临界状态还是反映在速度相等这一关键点上，即两个运动物体具有相同的位置坐标时，两者的相对速度为零．2．相遇问题在同一直线上相向运动的物体，各自发生的位移的绝对值之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．3．解答追及与相遇问题的常用方法(1)物理分析法抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景．(2)相对运动法巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系．(3)极值法设相遇时间为t ，根据条件列方程，得到关于t 的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰．(4)图像法将两者的速度—时间图像在同一坐标系中画出，然后利用图像求解．[例] 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a ＝3 m/s 2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v 自＝6 m/s 的速度匀速驶来，从旁边超过汽车．试求：(1)汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？(2)什么时候汽车追上自行车？此时汽车的速度是多少？[解析] (1)解法1(用基本规律求解) 汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设此时经过的时间为t 1，汽车的速度为v 1，两车间的距离为Δx ，则有v 1＝at 1＝v 自所以t 1＝v 自a ＝2 sΔx ＝v 自t 1－12at 21＝6 m. 解法2(用相对运动法求解) 以自行车为参考系，则从开始到相距最远的这段时间内，汽车相对这个参考系的各个物理量为：初速度v 0＝v 汽初－v 自＝0－6 m/s ＝－6 m/s末速度v t ＝v 汽车－v 自＝0加速度a′＝a－a自＝3 m/s2－0＝3 m/s2所以最大距离x＝v2t－v202a′＝－6 m负号表示汽车在后．经历的时间t＝v t－v0a′＝2 s.解法3(用极值法求解)设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距最远，则Δx＝x1－x2＝v自t1－12at21代入已知数据得Δx＝6t1－3 2t21由二次函数求极值的条件知：t1＝2 s时，Δx最大．所以Δx＝6 m.解法4(用图像法求解)自行车和汽车运动的v－t图像如图所示．由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有t1＝v1a＝63s＝2 sΔx＝v1t12＝6×22m＝6 m.(2)解法1当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，则有v自t2＝12at22解得t2＝2v自a＝2×63s＝4 s此时汽车的速度v2＝at2＝12 m/s.解法2由上图可以看出，在t1时刻之后，由图线v自、v汽和t＝t 2构成的三角形的面积与标有阴影的三角形面积相等，此时汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇．由几何关系知t 2＝2t 1＝4 s ，v 2＝at 2＝3×4 m/s ＝12 m/s.[答案] (1)2 s,6 m (2)4 s,12 m/s[变式训练] 北京时间2016年5月14日，国际田联钻石联赛上海站的比赛在上海体育场拉开帷幕，在男子4×100米接力的比赛中，谢震业、苏炳添、张培萌和陈时伟组成的中国队以38秒71的成绩打破赛会纪录夺冠．如图所示，在某一次接力训练中，已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10 m/s 的速度跑完全程．设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的，加速度大小为3 m/s 2.乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒．在某次练习中，甲以v ＝10 m/s 的速度跑到接力区前端s 0＝14.0 m 处向乙发出起跑口令．已知接力区的长度为L ＝20 m ．求：(1)此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离．(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令？(3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？答案：(1)6 m (2)16.7 m (3)2 s解析：(1)设乙加速到交接棒时运动时间为t ，则在甲追赶乙过程中有s 0＋12at 2＝v t ，代入数据得t 1＝2 s ，t 2＝4.67 s(不符合实际，乙加速最长时间t m ＝v a ＝103s ，舍去)，此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为x ＝12at 21＝6 m.(2)乙加速时间为t乙＝103s，设甲在距离接力区前端为s时对乙发出起跑口令，则在甲追击乙过程中有：s＋12at2乙＝v t乙，代入数据得s＝16.7 m.(3)棒在(2)过程以v＝10 m/s的速度运动，所以有t＝Lv＝2 s.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

高中物理 1.8 匀变速直线运动规律的应用（第1课时）教学案教科版必修11、1.8匀变速直线运动规律的应用[目标定位] 1.会推导匀变速直线运动的位移与速度的关系式v2－v＝2ax，并能利用公式解决相关题目.2.把握匀变速直线运动的两个重要推论：平均速度和Δx ＝aT2，并能利用它们解决相关问题．匀变速直线运动的速度与位移关系1．关系式：v2－v＝2ax；2．推导：由匀变速直线运动的速度公式：v＝v0＋at和位移公式：x＝v0t＋at2消去时间t即得．3．若v0＝0，速度与位移的关系为v2＝2ax.想一想：如图181所示，假如你是某机场的设计师，知道飞机起飞时的加速度是a，起飞速度是v，你将把飞机的起飞跑道设计成至少多长呢？图181答案飞机起飞时做匀加速直线运动，依据位移时间公式：v2－v＝2ax，得x＝＝.一、位移－速度公式的理解及应用1．公式推导：物体以加速度a2、做匀变速直线运动时，设其初速度为v0，末速度为v，则由速度公式：v＝v0＋at位移公式：x＝v0t＋at2得位移与速度的关系式为v2－v＝2ax留意假如匀变速运动的已知量和未知量都不涉准时间，则利用公式v2－v＝2ax求解问题时，往往比用两个基本公式解题方便．2．对公式的理解：(1)适用条件：匀变速直线运动．(2)位移与速度的关系式：v2－v＝2ax为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必需选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向．①若物体做匀加速直线运动，a取正值；若物体做匀减速直线运动，a取负值．②若位移的与正方向相同取正值；若位移与正方向相反，取负值．(3)两种特别形式：①当v0＝0时，v2＝2ax，(初速度为零的匀加速直线运动)．②当v＝0时，－v＝2ax(末速度为零3、的匀减速直线运动)．例1 2021年岁末中国首艘航母“辽宁舰”在南海传出“顺利完成作战科目试验”的消息．歼15战机胜利起降“辽宁舰”，确立了中国第一代舰载机位置．如图182所示，航空母舰上有关心飞机起飞的弹射系统，已知歼15战机在跑道上加速时产生的加速度为4.5m/s2,战斗机滑行100m时起飞，起飞速度为50m/s，则航空母舰静止时弹射系统必需使歼15战机具有的初速度为( )图182A．10m/sB．20m/sC．30m/sD．40m/s解析依据运动公式v2－v＝2ax，解得v0＝＝m/s＝40m/s.D正确．答案D针对训练在交通事故分析中，刹车线的长度是很重要的根据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹．在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是14m，假设汽车刹4、车时的速度大小为14m/s，则汽车刹车时的加速度大小为( )A．7m/s2B．17m/s2C．14m/s2D．3.5m/s2解析设汽车开始刹车时的方向为正方向，由02－v＝2ax得a＝＝－7m/s2，A正确．答案A例2 机场跑道长为2500m，喷气式飞机以恒定的加速度a＝3.5m/s2加速，当速率达95m/s时可升空．假定飞机在到达此速率时因故要停止飞行，则喷气式飞机的制动系统至少要产生多大的加速度？解析设飞机从开始起飞到到达95m/s时前进的位移为x1由v2－v ＝2ax，代入数据解得x1＝1289.3m.设飞机制动过程的加速度为a′，飞机制动过程中的最大位移x2＝2500m－1289.3m＝1210.7m由0－v2＝2a′x2得：a′＝3.73m/s2答案 3.73m/s2二、平均5、速度公式的应用1．平均速度的一般表达式＝，此式适用于任何形式的运动．2．匀变速直线运动中，某段过程的平均速度等于初、末速度的平均值，即＝(v0＋vt)，此式只适用于匀变速直线运动．证明：如图183所示为匀变速直线运动的vt图象，则t时间内的位移为x＝(v0＋vt)t，故平均速度为＝＝(v0＋v)．图1833．匀变速直线运动中，某段过程中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度，即v＝＝(v0＋vt)，此式只适用于匀变速直线运动．证明：如图183所示，对0～，有：v＝v0＋a；对～t有：v1＝v＋a；由两式可得v ＝(v0＋vt)＝.例3 一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2m/s,4s 内位移为20m，求：(1)质点4s末的速度；(2)质点2s末的速度．解析利用平均速度公式：4s内的平均速度＝＝6、，代入数据解得，4s末的速度v4＝8m/s2s末的速度v2＝＝m/s ＝5m/s.答案(1)8m/s (2)5m/s三、重要推论Δx＝aT2的应用1．推导：以初速度v0做匀加速直线运动的物体，时间T内的位移：x1＝v0T＋aT2 ①在时间2T内的位移：x2＝v02T＋a(2T)2②连续相等时间内的位移差为：Δx＝x2－x1＝v0T＋aT2－v0T－aT2＝aT2，即Δx＝aT2.进一步推导可得：x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝……＝xn－xn－1＝aT22．应用：一是用以推断物体是否做匀变速直线运动；二是用以求加速度．留意：此推论常在探究物体速度随时间改变规律的试验中依据纸带求物体的加速度．例4 (2021～2021河北高一月考)如图184所示，物体自O点由静止开始做匀加速直线7、运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2m,BC ＝3m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2s，则以下说法正确的选项是( )图184A．物体的加速度为20m/s2B．CD＝4mC．OA 之间的距离为1.125mD．OA之间的距离为1.5m解析由匀变速直线运动的规律相邻相等的时间内位移之差为常数，即Δx＝aT2可得：a ＝＝m/s2＝25m/s2，故A错误；依据CD－BC＝BC－AB＝1m，可知CD ＝3m＋1m＝4m，故B正确；依据平均速度公式可得，vB＝＝，再由v ＝2axOB可得OB两点间的距离为xOB＝＝3.125m，所以O与A之间的距离xOA＝xOB－AB＝(3.125－2)m＝1.125m，故C正确，D错误．所以选B、C.答案BC位移－速度公式的理解及应用1．如图8、185所示，一辆正以8m/s速度沿直线行驶的汽车，突然以1m/s2的加速度加速行驶，则汽车行驶了18m时的速度为()图185A．8m/sB．12m/sC．10m/sD．14m/s解析由v2－v＝2ax得：v ＝＝m/s＝10m/s，应选C.答案C2．(2021～2021广州高一期中)一汽车在平直的公路上以v0＝20m/s做匀速直线运动，刹车后，汽车以大小为a＝4m/s2的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后经8s汽车通过的位移为( )A．50mB．32mC．288mD．以上答案都不对解析依据运动学公式可求出汽车的刹车时间t＝＝5s，故汽车在5s时就已经停止，所以汽车在8s内的位移t＝＝50m，A正确．答案A平均速度公式的应用3．(2021～2021云南高一期中)物体做匀加速直线运动9、，已知第1s末的速度为6m/s，第2s末的速度为8m/s，则以下结论中正确的选项是( )A．物体的加速度为2m/s2B．物体的初速度为3m/sC．第2s内物体的平均速度为7m/sD．第1s内物体的平均速度为5.5m/s解析依据加速度的定义a＝＝m/s2＝2m/s2，A对；依据v1＝v0＋at?v0＝4m/s，B错；依据平均速度公式，有第2s内的平均速度为＝＝m/s2＝7m/s2，C对；同理第1s内的平均速度为′＝＝m/s＝5m/s，D错．答案AC重要推论Δx＝aT2的应用4．汽车的启动可以看做匀加速直线运动，从启动过程的某时刻起汽车第一秒内的位移为6m，第二秒内的位移为10m，汽车的加速度为多大？解析不是从汽车开始启动计时的，所以不能用位移公式，依据Δx＝aT2，得a＝4m/s2.答案10、4m/s2。

第8节 匀变速直线运动规律的应用1．匀变速直线运动的两个基本公式：v t ＝v 0＋at ，x ＝v 0t ＋12at 2。

2．匀变速直线运动的速度—位移关系式：v t 2－v 02＝2ax 。

3．匀变速直线运动位移中点的速度公式：v x 2＝v t 2＋v 022。

一、速度—位移关系式 1．v t 2－v 02＝2ax 的推导过程2．如果所求匀变速直线运动的问题中，已知量和未知量都不涉及时间，利用位移和速度的关系式来求解，往往会使问题的求解变得简单、方便。

二、匀变速直线运动的几个推论 1．中间位置的瞬时速度 (1)公式：v x 2＝v 02＋v t 22。

(2)推导：在匀变速直线运动中，某段位移x 的初、末速度分别是v 0和v t ，加速度为a ，中间位置的速度为v x 2，则据速度与位移关系式，对前一半位移：v x 22－v 02＝2a x2，对后一半位移v t 2－v x22＝2a x 2，即v x 22－v 02＝v t 2－v x 22，所以v x 2＝v 02＋v t 22。

(3)与中间时刻瞬时速度的关系v x 2＞v t 2(不论是匀加速还是匀减速直线运动)证明：v x 22－v t 22＝v 02＋v t 22－v 02＋v t 2＋2v 0v t4＝v 02＋v t 2－2v 0v t4＝v 0－v t24＞0所以v x 2＞v t 2。

2．由静止开始的匀加速直线运动的几个重要比例关系 (1)T 末，2T 末，3T 末，…，nT 末瞬时速度之比v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n(2)T 内，2T 内，3T 内，…，nT 内的位移之比x 1∶x 2∶x 3∶…∶x n ＝12∶22∶33∶…∶n 2(3)第一个T 内，第二个T 内，第三个T 内，…，第n 个T 内位移之比x Ⅰ∶x Ⅱ∶x Ⅲ∶…∶x n ＝1∶3∶5∶…∶(2n －1)(4)通过前x ，前2x ，前3x ，…，前nx 位移时的速度之比v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n(5)通过前x ，前2x ，前3x ，…，前nx 位移所用时间之比t 1∶t 2∶t 3∶…∶t n ＝1∶2∶3∶…∶n(6)通过连续相等的位移所用时间之比t Ⅰ∶t Ⅱ∶t Ⅲ∶…∶t n ＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n －n －1)1．自主思考——判一判(1)公式v t 2－v 02＝2ax 是矢量式，解题时应先规定正方向。