浙教版数学九年级上册1.3 二次函数的性质

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
根据图形填表：
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
开口方向
向上
向下
顶点坐标 对称轴 增减性 最值


b 2a
,
4ac 4a
b2

直 线x b 2a
当x


b 2a
时
,
y随着x的增大而减小.
当x b 时 , y随着x的增大而增大.
-1
当x ≥-2 时,y随着x的增大而增大. 直线x=-2 -2
(2)抛物线 y 1 x2 x 2，当自变
-3
4
-4
量X增大时，函数值y将怎样变化？
-5
先增大，后减小.
1 2 3 4 5X
y 1 x2 x 2 4
当x ≤2 时,y随着x的增大而增大 思考：二次函数的增
对称轴
直线x b
增大而增大；
2a
y达到最大值：
4ac b2 y
顶点坐标 当
4a
时，y随x的


b 2a
,
4ac 4a
b2

增大而减小.
无最小值.
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴
位置
y=ax2+bx+c(a>0)


b 2a
,
4ac 4a
b2

直 线x b
2a
由a,b和c的符号确定

九年级（上册）1. 二次函数1.1. 二次函数把形如()0a ,,y 2≠++=是常数，其中c b a c bx ax 的函数叫做二次函数，称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

1.2. 二次函数的图象二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象是一条抛物线，它关于y 轴对称，顶点是坐标原点。

当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。

函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象，可以由函数y=ax 2的图象先向右（当m>0时）或向左（当m<0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到，顶点是(m,k)，对称轴是直线x=m 。

函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线a b 2x -=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a 44,2b 2 当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。

1.3. 二次函数的性质二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象具有如下性质：1.4. 二次函数的应用运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。

注意：由此求得的最大值或最小值对应的自变量的必须在自变量的取值范围内。

2. 简单事件的概率2.1. 事件的可能性把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；把在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；把在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件。

2.2.简单事件的概率把事件发生可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示。

事件A发生的概率记为P(A)。

必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；随机事件的概率介于0与1之间，即0<P(随机事件)<1.如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m(m≤n)，则事件A发生的概率为：P(A)=m/n。

二次函数（注意图像辅助功能）1、二次函数的概念二次函数基本表示形式y=ax 2+bx+c(a ≠0)，自变量为x,因变量为y 。

称为y 为x 的二次函数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

2、二次函数的三种表达式一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0)顶点式：2()y a x h k =-+224()24b ac b y a x a a-=-+ 交点式：12()()y a x x x x =-- 即与x 轴有两个交点（x 1,0）(x 2,0)3、二次函数图像和性质对称轴：2b x a=- 顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- 与y 轴交点：（0，c ）a ——开口方向b ——对称轴与a 左同右异（可以用对称轴2b x a =-来判断） 4、二次函数的增减性在此类题目中通常用图形进行辅助作图（作图无需精美，只需要表达出开口方向，题目中已知的坐标需要经过，例如：对称轴、顶点、与x 轴交点、与y 轴交点或是给出的普通坐标）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小5.图像的平移当做到此类题目时，我们可以使用两种方法首先，我们在图像平移的过程中需要确认，图像的形状是没有改变的，也就是说图像的大小、开口方向及大小都未改变，所以a 是始终没有变动的（一般式中的a ）具体不太清楚可以画出出a 不同，其他相同的二次函数进行比较（例如可以观察y=4x 2与y=x 2之间的差异，实际上a 绝对值越大，开口越小，无需死记硬背，图形辅助记忆）一般图像平移有两种方法第一种：直接用一般式进行计算，因为a 未变，所以此式子有两个未知数，我们至少需要知道两个坐标进行计算，由原式找出两个比较简单的坐标，例如x=1、x=0、x=-1等整数带入得到原坐标，后将坐标也进行相应的平移操作，得到新坐标，带入新的二次函数，求得最终解。

A C
9．(3分)二次函数y＝(x－1)(2－x)的一般式是 y＝－x2＋3x－2 ， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是 －1，3，－2 ．
10．(3分)某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的 营业额共y万元，如果平均每月增长率为x，则营业额y与月平均增长 率x之间的函数关系式为 y＝200x2＋600x＋600 ．
1.3 二次函数的性质
B C
3．(4分)如图，已知抛物线与x轴的一个交点为A(1，0)，对称 轴是直线x＝－1，则抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ( B)
A．(－2，0) B．(－3，0) C．(－4，0) D．(－5，0) 4．(4分)在二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象中，若y随x的增大 而增大，则x的取值范围是 ( A ) A．x＜1 B．x＞1 C．x＜－1 D．x＞－1
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
D
①③④
14．(8分)当k分别取－1，1，2时，函数y＝(k－1)x2－4x ＋5－k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若 有，请求出最大值．
解：∵当开口向下时函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k都有最 大值，∴k－1＜0，解得k＜1.∴当k＝－1时函数y＝(k－ 1)x2－4x＋5－k有最大值，∴函数y＝－2x2－4x＋6＝－2(x ＋1)2＋8，故最大值为8
解：(1)y＝(x－1)2－4；开口向上；顶点坐标为(1，－4)；对 称轴为直线x＝1 (2)图略 (3)当x≥1时，y随x的增大而增大； 当x≤1时，y随x的增大而减小 (4)函数y有最小值，最小值 是－4 (5)当x＞3或x＜－1时，y＞0；当x＝3或x＝－1时y ＝0；当－1＜x＜3时，y＜0
10．(8分)已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)． (1)求a的值； (2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的 大小． 解：(1)a＝－1 (2)y1＜y2