用函数的观点看一元二次方程习题课

21.3 二次函数与一元二次方程（第二课时）实验中学-余志高一、教材分析：《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程教科书《数学》（沪科版）九年级上册第21章第3节，这节课是在学生学习了二次函数与一元二次方程的关系，知道二次函数的图像与x 轴交点个数的不同对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况下继续经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验及了解一元二次不等式的解集.．这也突出了课标的要求：注重数形结合。

二、教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想．【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.【难点】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根【教学方法】学生合作交流学习法三、教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．Ⅱ．讲授新课【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.函数图象求一元二次不等式的解集.：画出函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象，不等式ax2+bx+c>0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x值所组成的集合，不等式ax2+bx+c<0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x值所组成的集合.如下表：ax2+bx+c>0(a>0)的解集是x<x1或x>x2ax2+bx+c<0(a>0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c>0(a<0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c<0(a<0)的解集是x<x1或x>x2Ⅲ．课堂练习P34随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习的内容：1．经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系；2．经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得了用图象法求方程近似根的体验．3．了解一元二次方程不等式的解集可由二次函数图象直接得出结论。

22.2 二次函数与一元二次方程【知识与技能】理解二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握二次函数图象与x轴的位置关系可由对应的一元二次方程的根的判别式实行判别，理解用图象法确定一元二次方程的近似解的方法.【过程与方法】通过对实际问题情境的思考感受二次函数与对应的一元二次方程的联系，体会用函数的观点看一元二次方程的思想方法.【情感态度】进一步增强学生的数形结合思想方法，增强学生的综合解题水平.【教学重点】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的联系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【教学难点】一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系.一、情境导入，初步理解问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.假设不考虑空气阻力，球的飞行高度h（m）与飞行时间t（s）之间具相关系：h=20t-5t2.考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要飞行多长时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要飞行多长时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？【教学说明】教师可通过教材的引例，引用其递进式的问题链，让学生在相互交流过程中，自不过然地感受到引用方程思想来解决函数问题的思想方法.教师巡视，即时释疑解惑，并尽量予以肯定和鼓励，激发学生的学习兴趣.二、思考探究，获取新知通过对上述问题的思考，能够看出二次函数与一元二次方程之间存有着密切联系.例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，能够看作解一元二次方程-x2+4x=3;反过来，解方程x2-4x+3=0又能够看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值.问题1画出函数y=x2-4x+3的图象，根据图象回答以下问题：（1）图象与x轴交点的坐标是什么？（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x2-4x+3=0有什么关系？（3）你能从中得到什么启示？问题2以下函数的图象与x轴有公共点吗？假设有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相对应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2; (2)y=x2-6x+9; (3)y=x2-x+1.问题3一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？【教学说明】让学生在合作交流过程中完成问题1，2，并对问题3形成一个初步理解，达到从感性理解到理性思考的飞跃，从而理解新知.教师应巡视，对学生的交流成果给予积极评价，最后教师应在黑板上实行归纳总结.【归纳结论】一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：（1）假设抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标为x0.那么当x=x0时，函数的值为0，所以x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根；（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.所以可通过方程的根的判别式Δ＜0，Δ=0和Δ＞0来判别抛物线与x轴的交点的个数（Δ=b2-4ac，其中a、b、c为抛物线表达式中二次项系数，一次项系数和常数项）.【试一试】1.若抛物线y=x2-mx+1与x轴没有公共点，则m的取值范围是.2.求证：抛物线y=x2+ax+a-2与x轴总有两个交点.【教学说明】让学生分组完成两个小题，使他们能体验成功的喜悦，对尚有困难的学生，应给予指导.三、使用新知，深化理解1.画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答：（1）方程x2-2x-3=0的解是什么？（2）x取什么值时，函数值大于0？（3）x取什么值时，函数值小于0？2.利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数解.【教学说明】题1可让学生自主完成，教师予以巡视，并作指导；题2的处理建议师生共同完成，这里涉及到逼近求值思想，应作为指导.评讲此题的目的是让学生能进一步体验函数与方程的密切联系，但不要求学生掌握，只要理解即可.【答案】1.图象如下列图：(1)当x1=3,x2=-1.(2)当x<-1或x>3时函数值大于0.（3）当-1<x<3时，函数值小于0.2.解：作y=x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7,x2≈2.7.我们还能够通过持续缩小根所在的范围估计一元二次方程的根：观察函数y=x2-2x-2的图象能够发现，当自变量为2时的函数值小于0（点（2，-2）在x轴的下方），当自变量为3时的函数值大于0（点（3，1）在x轴的上方），因为抛物线y=x2-2x-2是一条连续持续的曲线，所以抛物线y=x2-2x-2在2＜x＜3这个段经过x轴，也就是说当自变量取2，3之间的某个值时，函数的值为0，即方程x2-2x-2=0在2，3之间有根.我们可通过取平均数的方法持续缩小根所在的范围.例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间.再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间.重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6875，2.75之间……能够看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而能够作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，因为｜2.6875-2.75｜=0.0625＜0.1，我们能够将2.6875作为根的近似值.四、师生互动，课堂小结1.抛物线y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有何关联？你能不画出抛物线y=ax2+bx+c而理解此抛物线与x轴的交点情况吗？你是怎样做的？2.你能利用抛物线来确定相对应的方程的根的近似值吗？从中你有哪些体会？1.布置作业：教材习题22.2第1、2、3、4、6题.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学首先通过具体情况让学生感受用方程思想方法来解决函数问题的思路，然后通过图象来探究一元二次方程的根和二次函数与x轴交点之间的关联.这样整个教学过程充分利用了学生已形成的方程、函数间的关系来类比引导挖掘、探索二次函数与一元二次方程的关系.此外，通过观察图象直观理解、解答练习以及实际观察分析都是必经的途径与方法，重在让学生自主体会.。

第53讲用函数的观点看一元二次方程题一：足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度y（m）关于飞行时间x（s）的函数图象（不考虑空气的阻力），已知足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用3s．（1）求y关于x的函数关系式；（2）足球的飞行高度能否达到4.88米？请说明理由；（3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44m（如图所示，足球的大小忽略不计）．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框12m处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左边框？题二：小强在一次投篮训练中，从距地面高1.55米处的O点投出一球向篮圈中心A点投去，球的飞行路线为抛物线，当球达到离地面最大高度3.55米时，球移动的水平距离为2米．现以O点为坐标原点，建立直角坐标系（如图所示），测得OA与水平方向OC的夹角为30°，A、C两点相距1.5米．（1）求点A的坐标；（2）求篮球飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小强这一投能否把球从O点直接投入篮圈A点（排除篮板球），如果能，请说明理由；如果不能，那么前后移动多少米，就能使刚才那一投直接命中篮圈A点了．（结果可保留根号）题三：（1）已知二次函数y= x2+3x的值为4，求自变量x的值.（2）解方程x23x4=0．题四：（1）已知二次函数y= x2+2x的值为3，求自变量x的值.（2）解方程x22x+3=0．题五：已知二次函数y=2x2 4x2．（1）在所给的直角坐标系中，画出该函数的图象；（2）写出该函数图象与x轴的交点坐标．题六：已知二次函数y=x25x+6．（1）画出这个二次函数的图象．（2）观察图象，当x取那些值时，函数值为0？第53讲用函数的观点看一元二次方程题一： 见详解．详解：（1）设y 关于x 的函数关系式为y =ax 2+bx ．依题可知：当x =1时，y = 2.44；当x =3时，y =0．∴ 2.44930a b a b +=⎧⎨+=⎩，∴1.223.66a b =-⎧⎨=⎩， ∴y = 1.22x 2+3.66x ．（2）不能．理由：∵y =4.88，∴4.88= 1.22x 2+3.66x ， ∴x 23x +4=0． ∵(3)2 4×4＜0，∴方程4.88= 1.22x 2+3.66x 无解．∴足球的飞行高度不能达到4.88m ．（3）∵ y =2.44，∴2.44= 1.22x 2+3.66x ， ∴x 23x +2=0，∴x 1=1（不合题意，舍去），x 2=2．∴平均速度至少为122= 6（m/s ）． 题二： 见详解．详解：（1）在Rt △AOC 中，∵∠AOC =30°，AC =1.5=32， ∴OC =222233()2OA AC -=-=332， ∴点A 的坐标为（332，1.5）； （2）∵顶点B 的纵坐标：3.55 1.55=2，∴B （2，2），∴设抛物线的解析式为y = a （x 2）2+2， 把点O （0，0）坐标代入得0=a (02)2+2，解得a =12-， ∴抛物线的解析式为y ＝12-(x −2)2+2，即y ＝12-x 2+2x ； （3）①∵当x ＝332时，y ≠1.5， ∴小强这一投不能把球从O 点直接投入球篮； ②当y =1.5时，1.5＝12-(x −2)2+2， 解得x 1=1（舍），x 2=3，又∵333， ∴小强只需向后退（3−33）米，就能使刚才那一投直接命中球篮A 点了．题三：见详解．详解：（1）令y= 4，则x2+3x = 4，即x23x4=0，解得x1= 1，x2=4，所以，当二次函数y=x2+3x的值为4时，自变量x的值为x1= 1，x2=4；（2）因式分解，得（x+1）（x4）=0，x+1=0或x4=0，解得x1= 1，x2=4．题四：见详解．详解：（1）令y = 3，则x2+2x = 3，即x22x3=0，解得x1= 1，x2=3，所以，当二次函数y=x2+2x的值为3时，自变量x的值为x1= 1，x2=3；（2）因式分解，得（x+1）（x3）=0，x+1=0或x3=0，解得x1=1，x2=3．题五：见详解．详解：（1）作出函数图象如图所示；（2）令y =0，则2x24x2=0，解得x1=1+2，x2=12，∴与x轴的交点坐标为（1+2，0）（12，0）．题六：见详解．详解：（1）图象如图：（2）观察图象可得：①当x = 2或x = 3时，y=0．。

2．3降次--解一元二次方程---（习题课）◆随堂检测1、关于x 的方程0232=+-x ax 是一元二次方程，则（ ）A 、0>aB 、0≠aC 、1=aD 、0≥a2、用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ）A 、522=-x xB 、5422=-x xC 、542=+x xD 、522=+x x3、方程x x x =-)1(的根是（ ）A 、2=xB 、2-=xC 、0,221=-=x xD 、0,221==x x4、已知2是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是______________．5、用适当的方法解下列方程：（1）0672=+-x x ； （2）)15(3)15(2-=-x x ；（3）0362=+-x x ； （4）22510x x --=.◆典例分析 解方程022=--x x .分析:本题是含有绝对值的方程,可以转化为一元二次方程求解.转化的方法可以不同,请同学们注意转化的技巧.解法一:分类讨论（1）当0≥x 时，原方程化为022=--x x ，解得：,21=x 12-=x （不合题意，舍去）（2）当0<x 时，原方程化为022=-+x x解得：21-=x ,12=x （不合题意，舍去）∴原方程的解为2,221-==x x .解法二:化归换元 原方程022=--x x 可化为220x x --=, 令y x =，则220y y --=（0y ≥），解得12,y =21y =-（舍去）， 当12y =时,2x =,∴2x =±,∴原方程的解为2,221-==x x .◆课下作业●拓展提高1、方程062=--x x 的解是__________________．2、已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =_______．3、12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：_________________．4、当代数式532++x x 的值为7时，代数式2932-+x x 的值为（ ）A 、4B 、2C 、-2D 、-45、已知x 是一元二次方程2310x x +-=的实数根，求代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值． 6、阅读材料，解答问题： 材料：为解方程222(1)5(1)40x x ---+=,我们可以视2(1)x -为一个整体.然后设21x y -=,原方程可化为2540y y -+=①.解得121,4y y ==.当11y =时，211x -=,即22x =，∴x =当24y =时，214x -=,即25x =，∴x =.∴原方程的解为1234x x x x ====解答问题：（1）填空：在由原方程得到①的过程中利用_______法，达到了降次的目的，体现了_______的数学思想.（2）解方程4260x x --=. ●体验中考1、（2009年山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．2、（2009年湖北襄樊）如图，在ABCD Y 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD Y 的周长为（ ）A．4+ B．12+ C．2+ D．212++3、（2008年，凉山）已知反比例函数ab y x=，当0x >时，y 随x 的增大而增大，则关于x 的方程220ax x b -+=的根的情况是（ ）A ．有两个正根B ．有两个负根C ．有一个正根一个负根D ．没有实数根(提示：本题综合了反比例函数和一元二次方程根与系数的关系两个重要的知识点，请认真思考，细心解答.)4、（2008年，齐齐哈尔）三角形的每条边的长都是方程2680x x --=的根,则三角形的周长是_________________．(点拨：本题综合考查了一元二次方程的解法和三角形的有关知识，特别要注意应用三角形任意两边之和大于第三边这个定理.)参考答案：◆随堂检测1、B. 依据一元二次方程的定义可得.2、C.3、D. 注意不能在等式两边同除以含有未知数的式子.本题用因式分解法好.4、2+依据一元二次方程根与系数的关系可得224x =∴方程的另一个根是22x =.5、解：（1）用因式分解法解0672=+-x x 得:121,6x x ==；（2）用因式分解法解)15(3)15(2-=-x x 得:1214,55x x ==； （3）用配方法解0362=+-x x 得:1233x x ==A DC EB（4）用公式法解22510x x --=得:12x x ==. ◆课下作业●拓展提高1、123,2x x ==-. 选用因式分解法较好.2、2-或1 将1x =-代入方程2220x ax a +-=得:220a a +-=,解得122,1a a =-=.3、答案不唯一：如2230x x +-=.4、A. 当2357x x ++=时，即232x x +=，∴代数式223923(3)23224x x x x +-=+-=⨯-=.故选A.5、解：∵2310x x +-=，∴231x x +=. 化简:223539(2)3623(2)2x x x x x x x x x x ---÷+-=÷---- 3213(2)(3)(3)3(3)x x x x x x x x --=⨯=-+-+∵∵∴ 21113(3)313x x ===+⨯， ∴代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值是13． 6、解:（1）换元法,转化.（2）设2x y =,原方程可化为260y y --=①.解得123,2y y ==-.当13y =时，即23x =,∴x =当22y =-时，22x =-无解.∴原方程的解为12x x =.●体验中考1、答案不唯一，如21x =2、A.解析：本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识，∵a 是一元二次方程2230x x +-=的根，∴1a =，∴AE=EB=EC=1，∴AB=2，BC=2，∴ABCD Y 的周长为422+，故选A 。

第2章一元二次函数、方程和不等式2.2从函数观点看一元二次方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.下列一元二次方程没有实数根的是()A.x2+2x+1=0B.x2+x+2=0C.x2-1=0D.x2-2x-1=0A,因为Δ=22-4×1×1=0,所以方程有两个相等的实数根,A不合题意;对于B,因为Δ=12-4×1×2<0,所以方程没有实数根,故B符合题意;对于C,方程有两个不相等的实数根x=±1,故C不符合题意;对于D,因为Δ=(-2)2-4×1×(-1)>0,所以方程有两个不相等的实数根,故D不合题意.故选B.2.(2020辽宁阜新第二高级中学高一月考)已知方程x2-px-q=0的两个实数根为-1和3,则p与q的值分别为()A.p=-2,q=3B.p=2,q=3C.p=-2,q=-3D.p=2,q=-3-1和3是方程x2-px-q=0的两个根,由根与系数的关系可知-1+3=p,-1×3=-q,解得p=2,q=3.故选B.3.(2020浙江西湖学军中学高一月考)若α,β是二次函数y=x2-kx+8的两个零点,则()A.|α|≥3且|β|>3B.|α+β|<4√2C.|α|>2且|β|>2D.|α+β|>4√2α,β是二次函数y=x2-kx+8的两个零点,∴Δ=k2-32>0,解得k>4√2或k<-4√2.∵α+β=k,αβ=8, ∴|α+β|>4√2.故选D.4.若α,β是二次函数y=x2+3x-6的两个零点,则α2-3β的值是()A.3B.15C.-3D.-15α,β是二次函数y=x2+3x-6的两个零点,∴α2+3α-6=0,即α2=6-3α.由根与系数的关系可知α+β=-3,∴α2-3β=6-3α-3β=6-3(α+β)=6-3×(-3)=15.故选B.5.若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的解集中只有一个元素,则m的值为.1关于x 的一元二次方程x 2+2x-m=0的解集中只有一个元素,∴Δ=b 2-4ac=0,即22-4(-m )=0,解得m=-1.6.若x 1,x 2是二次函数y=x 2+x-2的两个零点,则x 1+x 2+x 1x 2= .3,x 1+x 2=-1,x 1x 2=-2,∴x 1+x 2+x 1x 2=-3.7.(2021海南儋州八一中学高一月考)已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围;(2)若x 1,x 2是方程的两个根,且(x 1-x 2)2=12,求k 的值.由题意可得Δ=22-4(2k-4)=-8k+20>0,解得k<52,∴k 的取值范围为k k<52. (2)∵x 1,x 2是方程的两个根,∴x 1+x 2=-2,x 1x 2=2k-4.∵(x 1-x 2)2=12,∴(x 1+x 2)2-4x 1x 2=12, ∴4-4(2k-4)=12,解得k=1.关键能力提升练8.(2021北京昌平临川学校高一月考)已知关于x 的方程x 2-6x+k=0的两根分别是x 1,x 2,且满足1x 1+1x 2=3,则k 的值是( )A.1B.2C.3D.4x 的方程x 2-6x+k=0的两根分别是x 1,x 2,故x 1+x 2=6,x 1x 2=k.故1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=6k =3,解得k=2.故选B.9.关于x 的方程(m-2)x 2-4x+1=0有实数根,则m 满足的条件是( ) A.m ≤6 B.m<6 C.m ≤6且m ≠2 D.m<6且m ≠2当m-2=0,即m=2时,方程化为-4x+1=0,只有一个实根,符合题意;②当m-2≠0,即m ≠2时,方程有实数根的充要条件是Δ=(-4)2-4(m-2)≥0,解得m ≤6,即m ≤6且m ≠2.综合①②得m ≤6.故选A. 10.已知x 1,x 2是函数y=x 2-ax-2(a ∈R )的两个零点,下列结论一定正确的是( ) A.x 1+x 2>0 B.x 1x 2>0 C.x 1<0,x 2<0 D.x 1≠x 2x 1+x 2=a ,x 1x 2=-2,故可排除B,但因为无法得知a 的正负,故A,C 不正确;又Δ=(-a )2-4×1×(-2)=a 2+8>0,所以方程有两个不相等的实数根,故选D.11.(多选题)(2020江苏启东中学高一开学考试)函数y=(x 2-4)√2x -1的零点可以是( ) A.x=-2 B.x=-12 C.x=12 D.x=2,方程(x 2-4)√2x -1=0,则x 2-4=0或2x-1=0,解得x=±2或x=12.又由2x-1≥0,解得x ≥12.所以函数y=(x 2-4)√2x -1的零点为x=2或x=12.故选CD.12.(多选题)关于x 的方程mx 2-4x-m+5=0,以下说法正确的是( ) A.当m=0时,方程只有一个实数根 B.当m=1时,方程有两个相等的实数根 C.当m=-1时,方程没有实数根D.当m=2时,方程有两个不相等的实数根m=0时,方程化为-4x+5=0,解得x=54,此时方程只有一个实数根,故A 正确;当m=1时,方程化为x 2-4x+4=0,因为Δ=(-4)2-4×1×4=0,所以此时方程有两个相等的实数根,故B 正确;当m=-1时,方程化为-x 2-4x+6=0,因为Δ=(-4)2-4×(-1)×6>0,所以此时方程有两个不相等的实数根,故C 错误;当m=2时,方程化为2x 2-4x+3=0,因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以此时方程无实数根,故D 错误.故选AB. 13.(多选题)(2020重庆巴蜀中学高一月考)已知关于x 的一元二次方程(3a 2+4)x 2-18ax+15=0有两个实数根x 1,x 2,则下列结论正确的有( ) A.a ≥√153或a ≤-√153B.1x 1+1x 2=65aC.|x 1-x 2|=4√3a 2-53a 2+4D.ax 1x 2-5x2ax 1x 2-x1=-5,3a 2+4>0,因为(3a 2+4)x 2-18ax+15=0有两个实数根,所以Δ=324a 2-60×(3a 2+4)≥0,故a 2≥53,所以a ≥√153或a ≤-√153,故A 正确.由根与系数的关系可得x 1+x 2=18a 3a 2+4,x 1x 2=153a 2+4,所以1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=18a 15=65a ,故B 正确.|x 1-x 2|=(18a +√144a 2-240)-(18a -√144a 2-240)2(3a 2+4)=√144a 2-2403a 2+4=4√3×√3a 2-53a 2+4, 故C 错误. 因为1x 1+1x 2=65a ,所以5x 1+5x 2=6ax 1x 2,故5x 1-5ax 1x 2=ax 1x 2-5x 2,若x 1=0,则(3a 2+4)02-18a×0+15=0,即15=0,矛盾,故x 1≠0;若ax 1x 2-x 1=0,则ax 2-1=0,故x 2=1a ,即3a 2+4a 2-18+15=0,故3a 2+4=3a 2,矛盾.故ax 1x 2-x 1≠0.所以ax 1x 2-5x 2ax 1x 2-x 1=-5,故D 成立.故选ABD.14.已知关于x 的方程ax 2+x-a-1=0的根都是整数,那么符合条件的整数a 的取值集合为 .-1,0,1}a=0,则x=1;若a ≠0,则原方程化为(x-1)[a (x+1)+1]=0,则x-1=0或a (x+1)+1=0. ①当x-1=0时,x=1是方程的一个整数解.②当a (x+1)+1=0时,x+1=-1a ,且x 是整数,a 是整数,知a=±1.综上,a 的取值集合为{-1,0,1}. 15.已知m ,n 是二次函数y=x 2-2x-7的两个零点,则m 2+mn+2n= .m ,n 是方程x 2-2x-7=0的两个实数根,∴m+n=2,mn=-7.∴m 2+mn+2n=m (m+n )+2n=2m+2n=4.16.已知二次函数y=x 2+4x-1的两个零点分别是x 1,x 2,利用根与系数的关系求下列式子的值: (1)(x 1-x 2)2; (2)1x 12+1x 22.x 2+4x-1=0的两根分别是x 1,x 2,则{x 1+x 2=-4,x 1x 2=-1.(1)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=16+4=20.(2)1x 12+1x 22=x 12+x 22x 12·x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2=(-4)2-2×(-1)(-1)2=18.学科素养创新练17.已知关于x 的二次函数y=x 2-(2k-1)x+k 2+1的图象与x 轴有两个交点. (1)求k 的取值范围;(2)若图象与x 轴交点的横坐标为x 1,x 2,且它们的倒数之和是-32,求k 的值.∵二次函数y=x 2-(2k-1)x+k 2+1的图象与x 轴有两个交点,∴当y=0时,方程x 2-(2k-1)x+k 2+1=0有两个不相等的实数根.∴Δ=b 2-4ac=[-(2k-1)]2-4×1×(k 2+1)>0.解得k<-34,即k 的取值范围为-∞,-34.(2)当y=0时,x 2-(2k-1)x+k 2+1=0, 则x 1+x 2=2k-1,x 1x 2=k 2+1,∵1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=2k -1k 2+1=-32,解得k=-1或k=-13(舍去),∴k=-1.。

第2课时利用二次函数解一元二次方程【知识与技能】能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.【过程与方法】经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验.【情感态度】通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识.【教学重点】能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根【教学难点】探索方程与函数之间关系的过程.一、情景导入，初步认知上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y=0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根二、思考探究，获取新知探究：利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根.下图是函数y=x2+2x-10的图象.从图象上来看，二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴交点的横坐标一个在-5与-4 之间，另一个在2与3之间，所以方程x2+2x-10=0的两个根一个在-5与-4之间，另一个在2与3之间.这只是大概范围，究竟更接近于哪一个数呢？请大家讨论解决.这四个数进行计算，利用计算器进行计算.从上表可知，x=-4.3是方程的一个近似根.有了上面的分析和结果，求另一个近似根就不困难了，请大家继续. 还有其他的方法吗？可以把-5与-4之间的线段十等分，再判断交点更接近于哪一个分点.如上题中的两个根可以这样求：【教学说明】经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验.三、运用新知，深化理解利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.解：画出函数y=x2+2x-13的图象.由图可知，图象与x轴的两个交点的横坐标中，一个在-5与-4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索.因此x=-4.7是方程的一个近似根.另一个根可以类似地求出：因此x=2.7是方程的另一个近似根.【教学说明】经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得了用图象法求方程近似根的体验.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.1.布置作业：教材“习题”中第1题.2.完成练习册中本课时的练习.本节课的知识比较简单，关键是计算，一定要强调学生计算要仔细.。

作者姓名宋宁学校齐河县潘店镇中学学科数学年级/班级九年级教材版本人教版课时名称用函数观点看一元二次方程上课时间1课时学生人数45单元背景单元学习概述《用函数的观点看一元二次方程》选自义务教育课程标准试验教科书《数学》（人教版）九年级下册第二十六章，这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系。

课时设计说明教材通过小球飞行这样的实际情境，创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。

这样，学生结合问题实际意义就能对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法。

这也突出了课标的要求：注重知识与实际问题的联系。

学习目标知识与技能：理解二次函数y=a x² +bx + c与x轴有交点，则一元二次方程ax² +bx + c = 0有实数根，若与x轴无交点，则方程无实数根；知道抛物线与x轴三种位置关系，对应着一元二次方程的根的三种情况；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解过程与方法：通过对一元二次方程根的不同情况下，学生历经从函数解析式及函数图象角度探索与一元二次方程之间的关系，渗透了数形结合及转化的思想方法.情感、态度与价值观：由实际问题引入，激发学生应用数学的意识，通过师生交流、生生交流，学生养成了乐于探究、勇于探索的良好学习习惯，同时学生从中也感受了合作成功带来的喜悦.教学重难点及解决措施重点：如何让学生理解一元二次方程与二次函数之间的关系. 难点：让学生理解用图形法能求方程解的合理性及方法步骤. 解决措施：采用“主动探究、合作交流”的数学活动模式，真正为学生创设一个自主探究、合作交流的活动空间，让每个人获得有价值的数学.教学过程（环节一）情景导入球场上，一球员打出一杆球，如果球的飞行路线将是一条抛物线球的飞行高度为y(m) 与飞行时间为x(s)之间满足y= -5x²+20x问题：⑴球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？⑵球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？⑶球的飞行高度能否达到25m？为什么？活动方式：学生独立思考，列出一元二次方程并交流做出的判断.设计意图：通过实际问题的引入，列出一元二次方程，为探所二次函数与一元二次方程的的关系做铺垫，从而引出课题.（环节二）探究新知一 、从解析式探索函数与一元二次方程的关系1、从实际问题列出的三个方程出发，在解决完提出的三个问题之后，观察三个方程根的情况，并首先以第一个方程为例，剖析函数与方程的关系.y= -5x ²+20x函数值为15 根为x 1=1, x 2=3（对应自变量的值）-5x ²+20x = 152、对比上述分析，让学生结合方程根的情况，说出另外两个方程与函数之间的关系. 设计意图：通过对第一个方程与函数之间关系的探索，让学生明确方程的根为函数值为15时，对应的自变量的值（也可理解为当自变量的值为1或3是函数值为15），让学生体会它们之间的关系，并通过对另外两个方程的对比分析，让学生进一步巩固加深认识，有效渗透转化的数学思想.二、从图象探索函数与一元二次方程的关系通过对一个高度问题的探索，引出从图象角度探索函数与一元二次方程的关系，学生再次以由实际问题引出的第一个方程为例，从图象的角度说明：（1）纵坐标为15的点构成直线y=15与抛物线若有交点，则方程-5x ²+20x = 15有根，有几个交点就有几个根.（2）通过观察发现，方程的根即为交点的横坐标. （3）对比上述分析，让学生结合方程根的情况，从图象角度说出另外两个方程与函数之间的关系.1 3 o xy15设计意图：学生从图象角度出发，去探索函数值一定时，得出一元二次方程的根，即为两图象交点的横坐标，并发现交点的个数为方程根的个数，在这个环节，我并没有急于进行归纳总结，而是在接下来的环节，以例题的形式一组方程让学生巩固刚刚得出的这些结论.（环节三）应用总结一、例题讲解解方程：（1）x ²+x -2=0（2）x ²-6x +9=0（3）x ²-x +1=0 解：（1） x 1=1, x 2=-2 （2）x 1=x 2=3 （3）方程无实数根二、总结归纳函数与一元二次方程的关系1、若二次函数y=a x² + bx + c 与x 轴有交点，则一元二次方程ax² + bx + c = 0 有实数根，若与x 轴无交点，则方程无实数根.2、若二次函数y=a x² + bx + c 与x 轴有两个交点、一个交点、无交点，对应一元二次方程ax² + bx + c = 0有两个不相等的实数根、有两个不相等的实数根没有实数根.3、让学生再从方程的角度（根的情况）去判断函数图象与x 轴的交点情况. 活动方式：学生独立思考后并合作交流完成，然后师生评价共同总结.设计意图：学生通过例题解决，能较为熟练地掌握了用图象法法解一元二次方程，对二次函数与一元二次方程的关系有了更为深刻的认识，让学生体会了转化及数形结合的数学思想方法.三、能力提升将例题中的第一个方程进行变形，先让学生求其根，再让学生从图象角度 求出它的解. y= x ²+x -2 y= x ²-x +1 y= x ²-6x +9 o yxy= x ²+x1 -2 2o yxx ²+x -2=0 x ²+x =2x ²= -x +2从图象上可以看出，它们交点的横坐标都是-2和1. 活动方式：本环节要求学生小组合作，分工交流完成并，教师巡视并适时点拨.然后汇报展示.师生共同评价.设计意图：通过两种不同方程表现形式的对比，以及两种不同形式方程的相互转化，体现了转化的数学思想，发现方程变形后，根没有发生变化，并引导学生用图形的方法求方程的近似解，允许学生判断出其准确根，也在参与学生的小组活动时，说明近似根也是合理的，毕竟作图有误差，并通过画图比较后面的两种变形，在画图象求解时难易程度是有区别的，向学生渗透优化的意识.（环节四）反思总结y=ax² + bx + c若有根（根为与x 轴交点的横坐标）ax² + bx + c = 0活动方式：师生共同总结，反思提升.设计意图：通过解法流程图的演示，让学生再一次体会二次函数与一元二次方程之间的关系，让学生从函数的解析式及图象上掌握与方程的关系，期望学生通过本节课的学习，能对一元二次方程给予更深的认识，并能用图像法求的方程的根.（环节六）达标测试函数值为0 y= x ² y= -x +21-2 2 o yx1.已知抛物线y=x2－x－1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2－m＋2011值为2.若二次函数y=－x2＋3x＋m的图象全部在x轴下方，则m的取值范围为3.已知抛物线y＝x2－2x＋m与x轴有两个交点，其中一个交点是（-2，0），则方程x2－2x＋m=0的两个根分别是x1= ，x2= .（环节五）作业布置作业布置：必做:1、教科书第19页习题26.2第1题2、解方程：利用函数的图象求方程x2-2x-2 =0的实数根（精确到0.1）.选做:习题26.2第4题设计意图：第一题通过作业的布置，及时反馈学生的学习效果，通过设置课后思考试题，不仅巩固本节课所学的知识，更拓展学生的思维空间.课后反思在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问题情境、提供问题串、给学生提供广阔的思考空间、活动空间、为学生搭建自主学习的平台；学生则在老师的指导下经历操作、实践、思考、交流、合作的过程，其知识的形成和能力的培养相伴而行，创造“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的课堂境界。