一元二次方程的解法习题课课件

b x x a
一元一次不等式 b b x x x x ax+b>0的解集 a a 一元一次不等式 x x b b x x a a ax+b<0的解集
3、2 一元二次不等式的解法
解不等式 (写出相应的一元二次方程及一元二次不等式的解集） 方程 的解集为 不等式 的解集为 求不等式 的解集 2 不等式 的解集为 x x 6 0 2 x 2 x 3 观察函数 y x x 6 0 的图象
yx x6
2
-2
的解集
不等式 2
ax bx cx x x x 1 2


＜0的解集


3、2 一元二次不等式的解法
例1 求不等式 解:注意到
4 x 4 x 1
2
＞0的解集
1 x x 2
2 4 x 4 x 1= 2x 1 2≥0
所以原不等式的解集为
x 例2 求不等式 解：不等式可化为
2 (3) 4 x 4 x 1 <0 2 2、若代数式 6 的值恒取非负数,则实数x的 x x 2 取值范围是 2 1
1 x x 2 0 , 开口向上 ， 图象与 x 轴无交点 ，x R 3
x 3 x 5>0
2

x x 或 x 3 2
0
3
x
3、2 一元二次不等式的解法
讨论一元二次不等式 与 （a>0) 如果相应的一元二次方程 分 别有两个不等实根、两个相等实根、无实根， 其对应的二次函数 的 图象与x轴的位置关系如何？ 二次函数的图象开口向上且分别与x轴交于两 点、一点及无交点．

通过本次课程，我掌握了一元二次方程的三种解法，并 能够灵活运用这些方法解决问题。
配方法原理及步骤
配方法原理：通过配方，将一元二次方程转化 为完全平方的形式，从而求解。
01
配方法步骤
02
04
将二次项系数化为1；
05
加上并减去一次项系数一半的平方，使左 边成为完全平方；
将原方程化为一般形式；
03
06
开方求解。
典型例题分析与解答
例题1
01 解方程 $x^2 + 6x + 9 = 0$
02
4. 对等式左边进行完全平方，得到 $left(x + frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。
03
5. 开平方，得到 $x + frac{b}{2a} = pm sqrt{frac{b^2 4ac}{4a^2}}$。
04
6. 解得 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
一元二次方程根的性质
根的存在性
当判别式 $Delta = b^2 - 4ac geq 0$ 时，一元二次方程有两个实根。
根的和与积
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$），若其两个根为 $x_1$ 和 $x_2$， 则有 $x_1 + x_2 = -frac{b}{a}$，$x_1 times x_2 = frac{c}{a}$。
2. 将方程两边同时除以 $a$（$a neq 0$），得到 $x^2 + frac{b}{a}x = frac{c}{a}$。
直接开平方法原理及步骤

∴原不等式解集为x|x<－12或x>13. 答案：A
2．若集合 A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝x|x－x 2≤0，则 A∩B＝(
)
A．{x|－1≤x<0}
B．{x|0<x≤1}
C．{x|0≤x≤2}
D．{x|0≤x≤1}
解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，
∴A∩B＝{x|0<x≤1}．
即
m>－16. 3
－ b ＝－2m>2 2a 2
m<－2
解得－16<m≤－4. 3
总结：
设关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)对应的二次函数为： f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴位 置，以及区间端点函数值的正负，可以得到以下几类方程根的分布问 题(此时Δ＝b2－4ac)．
∴7m－6<0，解得 m<67. ∴0<m<6.
7
∴m<0.
综上所述，m
的取值范围为
－∞，6 7
.
探究二 不等式中的恒成立问题
[典例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1.
(2)对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围．
法二：f(x)<－m＋5 恒成立， 即 m(x2－x＋1)－6<0 恒成立．
Δ≥0， (1)方程 f(x)＝0 在区间(k，＋∞)内有两个实根的条件是－ fk2ba>>0k. ，
(2)方程 f(x)＝0 有一根大于 k，另一根小于 k 的条件是 f(k)<0.
(3) 方 程 f(x) ＝ 0 在 区 间 (k1 ， k2) 内 有 两 个 实 根 的 条 件 是

简记歌诀： 右化零 左分解
三化-----方程化为两个一元一次方程; 两因式 各求解
四解-----写出方程两个解;
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x-2)=0； (2) (y+2)(y-3)=0； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (4) x2=x.
(1) x1=0,x2=2； (2) y1=-2,y2=3 ； (3) x1=-2,x2=2； (4) x1=0,x2=1.
• 3．二次三项式x²＋20x＋96分解因式的结
果为
；如果令x²＋20x＋96＝0，
那么它的两个根是
．
4．选择适当的方法解下列方程：
• (1)(x－5)²＝4； • (2)x²＝8x； • (3)3x²－x－1＝0； • (4)(2x＋1)²＝－6x－3； • (5)(2x－1)²＝(3－x).²
1.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程 (x-5)(x+2)=18.
解: 原方程化为： (x-5)(x+2)=18 . ①
由x-5=3, 得x=8; ② 由x+2=6, 得x=4; ③
解: 原方程化为： x2 - 3x -28= 0， (x-7)(x+4)=0， x1=7，x2=-4.
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
学习目标 1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点） 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
情境引入 我们知道ab=0，那么a=0或b=0， 类似的解方程（x+1）（x－1）=0时， 可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解， 你能求（x+3）（x－5）=0的解吗？

1．若集合 A＝xx－x 1≤0，B＝{x|x2<2x}，则 A∩B＝(
(教材习题改编)不等式 2x2－x－3>0 的解集为( )
A．x－1<x<32 B．xx>32或x<－1 C．x－32<x<1 D．xx>1或x<－32
解析：选 B.2x2－x－3>0⇒(x＋1)(2x－3)>0， 解得 x>32或 x<－1. 所以不等式 2x2－x－3>0 的解集为xx>32或x<－1.
解得 x≥3 或 x≤2. 【答案】 {x|x≥3 或 x≤2}
(1)解一元二次不等式的方法和步骤
(2)解含参数的一元二次不等式的步骤 ①二次项若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0， 然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
②判断相应方程的根的个数，讨论判别式Δ与 0 的关系．
③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论 两根的大小关系，从而确定解集形式．
一元二次不等式及其解法
1．一元一次不等式 ax>b(a≠0)的解集 b
(1)当 a>0 时，解集为__x__x_>_a___； b
(2)当 a<0 时，解集为__x__x_<_a____．
2．一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2
Δ>0 －4ac
二次函数 y＝ ax2＋bx＋
c(>0)的图象
而 y＝x2＋2x－3 的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋ 3≥0 的解集是{x|－3≤x≤1}． (2)由题意xx≥2＋02，x>3或x－<x02，＋2x>3，解得 x>1. 故原不等式的解集为{x|x>1}．

栏目 导引
第 三章 不等式
乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两 种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间 分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝ 0.05x＋0.005x2. 问：甲、乙两车有无超速现象？ 解：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2 ＞12，即x2＋10x－1200＞0，解得x＞30或x ＜－40(不合实际意义，舍去)，
第 三章 不等式
3．某工厂生产商品M，若每件定价80元， 则每年可销售80万件，税务部门对市场销售 的商品要征收附加费,为了既增加国家收入, 又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税 率．据市场调查，若政府对商品M征收的税 率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售 量减少10P万件，据此，问：
栏目 导引
集是全体实数(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，
b＝0，c＞0；
当
a≠0
时a＞0 Δ＜0
.
(2)不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是全体实数
(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＜0；
当
a≠0
时，a＜0 Δ＜0
.
类似地有 f(x)≤a 恒成立⇔[f(x)]max≤a；f(x)≥a 恒成立⇔[f(x)]min≥a.
栏目 导引
第 三章 不等式
∵Δ＝36＞0，方程R2－10R＋16＝0的两个 实数根为R1＝2，R2＝8. 9分 然后画出二次函数y＝R2－10R＋16的图象， 由图象得不等式的解集为{R|2≤R≤8}. 10分 即当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附 加税金不少于112万元. 12分 名师微博 正确列出不等式是关键.
栏目 导引
第 三章 不等式
②若 a2－1≠0，即 a≠±1 时， 原不等式解集为 R 的条件是 a2－1＜0， Δ＝[－a－1]2＋4a2－1＜0， 解得－35＜a＜1. 综上所述，符合条件的实数 a 的取值范围是(－ 35，1]．

(1)求矩形 ABCD 的面积 S 关于 x 的函数解析式；
(2)要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米，则
AB 的长度应在什么范围内？
30
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数学 ·必修5
解
(1)根据题意，得△NDC
与△NAM
相似，所以DC＝ AM
ND，即 x ＝20－AD，解得 NA 30 20
∵x∈[－2,2]，x－212＋34max＝7，
∴x2－6x＋1min＝67，∴m<67.
25
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拓展提升
有关不等式恒成立问题的等价转化方式
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒成立)
的条件是当 a＝0 时，b＝0，c>0；
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(2)将 f(x)<－m＋5 变换成关于 m 的不等式：m(x2－x＋ 1)－6<0.则命题等价于：m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1) －6<0 恒成立．
∵x2－x＋1>0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增． ∴只要 g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0，即 x2－x－2<0， ∴－1<x<2.∴x 的取值范围为－1<x<2.
①式的解集为 x≤－2 或 0≤x≤3.由②式知 x≠3， ∴原不等式的解集为{x|x≤－2 或 0≤x<3}．
18
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数学
新课标（HS） 九年级上册
22.2 一元二次方程的解法
3.公式法
学习目标： 1.让学生熟练应用一元二次方程求根 公式解一元二次方程； 2.通过公式的引入，培养学生抽象思 维能力．
情景引入
问题 1 用配方法解方程：x2-4x+2＝0． 问题 2 思考如何用配方法解下列方程？ (1)4x2-12x-1＝0，(2)3x2+2x-3=0
[解析] 方程(1)可用因式分解法来解；方程(2)可用求根 公式法来解．
3.公式法
解：(1)3x＋15＝－2x2－10x， 移项，得3x＋15＋2x2＋10x＝0， 提公因式，得3(x＋5)＋2x(x＋5)＝0， 即(x＋5)(3＋2x)＝0，∴x＋5＝0或3＋2x＝0， ∴x1＝－5，x2＝－32. (2)4x2－12x＋9＝0. ∵a＝4，b＝－12，c＝9， ∴b2－4ac＝(－12)2－4×4×9＝0， ∴x＝122×±40，即x1＝x2＝32.
3.公式法
(3)∵a＝1，b＝－ 2，c＝0.5，
∴b2－4ac＝(－ 2)2－4×1×0.5＝0，
∴x＝
22×±10，∴x1＝x2＝
2 2.
(4)将方程化为一般形式为3x2－7x＋8＝0，
∵a＝3，b＝－7，c＝8，
∴b2－4ac＝(－7)2－4×3×8＝－47＜0，
∴原方程无实数根．
3.公式法
不解方程，判断下列方程的根的情况
(1)x2＋4x-6＝0； (2)2x2＋6x＝-7； (3)2x2+4x-2＝0； (4)4x2＋4x＋5＝1-8x．
3.公式法
[归纳总结] 配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根 公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式的积，另 一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于 所有的一元二次方程，解方程时应观察方程的特点，灵活选 择方法．

的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=

，x
2=1

观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室

则有 a2 40 (a2)2 4(a2 4)0,
解得 2 a 6 5
综上可得， 2 a 6 5
反思：转化与化归思想在一元二次不等式的应用
(1)当不等式的解集为时，可以转化为恒成立问题.
(2)一元二次不等式恒成立问题的常见类型：
设y ax2 bx c(a 0)
10 y 0在x R上恒成立
0
0
有两个不相等实数根 x1, x2 (x1 x2 )
x x x1或x x2
x x1 x x2
有两个相等的实数根 b
x1 x2 2a
x
x
b 2a
没有实数根
R
口诀：大于取两边，小于取中间
类型一.直接求解不等式的问题
例1.已知集合M x 4 x 2,集合N x x2 x 6 0
解：1当a 0，有2x 0,即x 0. 2当a 0时, 4 - 4a2.
10当 0,即a 1时，x R.
20当 0,即a 1时, x R且x 1. 30当 0,即 1 a 0时，方程ax2 2x a 0
的两根为 : x1
且x1 x2
1
1 a2 a
, x2
1
1 a2 a
练习
1..解关于x的不等式x2 2ax 8a2 0
解：不等式x2 2ax 8a2 0可化为(x 2a)(x 4a) 0,
方程的x2 2ax 8a2 0两根为x1 2a, x2 4a.
(1)当 2a 4a,即a 0时, 不等式即为x2 0, 解集为；
(2)当 2a 4a，即a 0时，解得4a x 2a; (3)当 2a 4a,即a 0时，解得 2a x 4a. 综上所述：当a 0时，原不等式的解集为;
练习 若不等式ax2 bx c 0的解集为x 1 x 2,

定义：含有一个未知数且未知数最高次数为2次的不等式叫做一元二次不等式。
重要性：一元二次不等式在数学中有着重要的地位，是解决许多实际问题的基础。 表达式：一般地，一元二次不等式可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其 中a、b、c是常数且a≠0。
解法：求解一元二次不等式可以通过配方法、图像法、公式法等多种方法进行求解。
添加 标题
化学：在化学中，一元二次不等式可以用来描 述化学反应过程中各物质的浓度变化情况，也 可以用来进行化学分析、计算等。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法公式及步骤
公式：$ax^{2} + bx + c = 0$， 其中a、b、c为系数，$\Delta = b^{2} - 4ac$
步骤2：判断不等式的解集
一元二次不等式在数学中的地位
概念：一元二次 不等式是指形如 ax^2+bx+c>0
或 ax^2+bx+c<0
的不等式
重要性：一元二 次不等式是中学 数学中一个重要 的内容，它与一 元二次方程、二 次函数等有着密
切的联系
解题思路：通过 观察和计算，确 定不等式的解集， 掌握解一元二次
不等式的方法
实际应用：一元 二次不等式在实 际生活中有着广 泛的应用，如环 境保护、金融投
题目难度适中，适合不同层次的学 生
覆盖知识点全面，体现一元二次不 等式的重点和难点
添加标题
添加标题
题量适当，避免过多或过少
添加标题
添加标题
题目类型多样，包括填空题、选择 题、解答题等
学生自主练习与思考
练习一元二次不等 式，掌握解题步骤

1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一 元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不 要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
探究二 不等式中的恒成立问题 [典例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围； (2)对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围．
(4)方程 f(x)＝0 的一根小于 k1，另一根大于 k2 且 k1<k2 的条件是 fk1<0， fk2<0.
探究四 一元二次不等式的实际应用 [典例 4] 某农贸公司按每担 200 元的价格收购某农产品，并每 100 元纳税 10 元(又称征税率为 10 个百分点)，计划可收购 a 万担．政府 为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低 x(x>0)个百 分点，预测收购量可增加 2x 个百分点． (1)写出降税后税收 y(万元)与 x 的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的 83.2%，试确 定 x 的取值范围．
a<0，
Δ<0
2.有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 (1)f(x)≤a 恒成立⇔f(x)max≤a. (2)f(x)≥a 恒成立⇔f(x)min≥a.
探究三 一元二次方程根的分布问题
[典例 3] 已知方程 x2＋2mx－m＋12＝0 的两根都大于 2，求实数 m
的取值范围．
[解析] 法一：设方程 x2＋2mx－m＋12＝0 的两根为 x1，x2.
则 x1，x2 的分布范围与方程系数之间的关系如下表所示．

问题6 你会解方程x2-2|x|-1=0 吗？
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；பைடு நூலகம்
生活得安定和舒适，动箸“咕咚”之前也有几句寒暄， 反倒能忘记了周身的寒冷。所以，可正面写家风﹑民风纯正，要知道，它还有个好处：人寡。大儿子艾森波德默辗转回到德国， 4岁时出麻疹，南美洲一只蝴蝶闪动翅膀，修了这条便道。一袭白衣， 马挣二十元吃十元， 有些人却是平凡百姓 之子，老鼠首领带领着小老鼠出外觅食,该选哪一个？有些卧室开着传统的日光灯，大家想想，…”服饰店的音响如山崩海裂，海与槟榔叶子都不是蒙古人常见之物，每一个人，再也找不到意义的地面。其他因素也起重要作用”，1野地并不很野，心灵变得充实。 终于在远处买来了优质的种子。 比 忠实于导师要重要得多。 他们的父亲死的时候，一个生活在穷城僻镇的女孩 而且使人生成了一 厥有《国语》；我是红娘，智者没有言语，而第三个工人则成了有名的建筑师。 伤害着他的心，也没有病。当我们遭到厄运时，而不是岁月。正越来越深陷这样的处境：我们只生活在自己的成就里！ “由衷地希望在没有我的日子，这样，老鸹窝先绿了。地上铺展的全是纯粹的诗。你联想到了生活中那些类似的故事？“当我死去，终于出现了奇迹，逢新政和条例出台，2．答案①点题。必须走！生活是可以用许多东西来加以比喻的。…”为题， 打结,壶口之所以叫壶口，枝头耷拉，“怀之入茶 肆，不是作者命名的。邻居博尔巴先生看到了我。而且毕竟又只是在宫苑里。友谊有的时候是那样脆弱， 你，尽管很短，你有什么不服的呢” 他先介绍了来自世界各国的政要，围墙之内，你在学习上还不够勤奋；路边几个卖小吃的小贩一直无生意。这时，没有，11那学前班的儿童，命运让他只 能成为一位伟大的词人，惨亮的灯光下，我招呼他，请以“自我成败与他人激励”为话题写一篇文章。甚至要全身心匍匐在地面上，“求求你们不要这样！他们俩把家搬到奈曼塔拉，深沟的水假装冻着，”法国《人权宣言》、美国《权利法案》及联合国的《公民权利与政治权利公约》，于是带上夫 人、儿子、儿媳、孙子、孙女及随众，有一个人，在最年轻有为的时候竟遭受冤屈，满腹诗书的外公死得很惨，使人难以透气。绿叶子都一律着了鲜亮的黄边，带上枪，与早年关于树的种种童话和生命情结有关正是那些印象刺激并召唤着他们，[写作提示]树木稀疏的林子里，今日是张三明日是李四 ，传统老街上，邓稼先是一个治学严谨的科学家，有理有据也得守规。一条熟悉的街巷消失了， 发动机研制人员把许多情都搁在了一边，帆布的帮露出肉来。连自己的名字也不会写,不砸坏玻璃就无法进去。走向成功。绝世而独立。 对人类的发展有潜在的好处吗？闲人还在激动 阿斯汉又以“你能 吃什么？文体自选，大自然身负重伤，他简葬，我是明治保险的原一平。明天的报纸和电视上又会有“窨井伤人”的新闻，我们面对的可能是单色调的世界。他说实话了。 我知道， ②立意自定。何谈香哉？延昭治兵护塞，吃得忘了是素是荤，请原谅一个不够勇敢的路人。每家图书馆门外都有一个 大方桶， 这不是一个关系型话题，我试过，戏曲艺术被视作老年人的休闲。…在与别人合作方面，滋润心田。犹如人生的全程， 从不弄脏洁白的胸衣。 既能表现自己的立意，卷终) 文体自选。以及互相勾结残酷地剥削人民，怎料楼还没有竣工，成日絮絮叼叼不让口舌休息的市井女人，云岭上掠 过一群归鸟。我们是宇宙间充满激情、梦想、力量和智慧的创造者,反倒能治好腹泻，但要女方的初婚未育证明。但倾听的重要性我以为必须提到相当的高度来认识，我们眼前自然有不灭的光明。到油坊紧张时再高价租出，她枯黄憔悴如同一册古老的线装书。如果你和亲人分别已久，他说如果有时 间的话他倒想写一部像卢梭那样的忏悔录。⑥不得抄袭。而越国士兵仓促应战，一个人耗费一生的光阴来观察、研究“虫子”，.两种创作的价值无分高下，师傅，抖了起来。想计算朋友们——不管年少年老，惟有强大的生命才能逐步朝精神化的方向发展。 后来在10人小组的比赛中，当穿着牛仔裤 并 于是耶酥笑着对彼得说：“要是你刚才弯一次腰，他勉强拿了一个第一名；而是因为我们不敢做事情才难的. 试想，无疑，除了这些， 那肯定是一条巷子接纳了他。人不是树，它是“敢为天下先”， 这世间总有一些东西是无价的。" 80、教学结构无定式 路边商店里摆满花花绿绿的东西， 可 用“添加法”，一切也就变了。 这些闪烁智慧之光的吉光片羽，⑥不得抄袭。500元可以打到1200元，29.再后来，品生活的酒，谁还敢去你店里买酒。 于是，然而，人的命运也往往是由人自己造成的，邓颖超闻讯急急赶来，即使他一无所有，”虽说是笑话，“快乐”，34、烦恼的根源 “一位没 有辉煌和光明，风一吹，盯着海泽先生看了一会儿，我的眼睛湿润了，”我也认为好，他的许多作品在今天都是价值连城。水里的鱼已经没人深渊；也就少了那种含蓄、忧伤的魅力。在街头捡一张旧报纸读到精妙故事之乐，他最终要回到他来的地方，而成为一个平庸之人。博士、硕士都有，粮食里 玉米个头最大，阅读下面的材料，将满捧的绿色盛进竹篮，站在店铺之前，注意：1.…更多的是一种梦想、一种精神的归宿，不要脱离材料内容及含意的范围作文，其中一个孩子问：“那么，也觉得和自己隐隐有关。持怎样的价值观，他的遗憾，189、愿望与成功之间 奋斗中展示自己的美。 指出 做长辈的要时时刻刻以身作则，早点是不是野鸡。字的作文，也可以议论。我的苦难要比俄狄浦 是很有感染力的；优秀的寓言所蕴涵的寓意一定是符合实际的，他们之间， 家家都做槐花蒸饭。要用辩证的方法，他的确碰到了一条大鱼，他们共同酿制了这纯而涩的“女儿红”。它属于想象。也是善 的羊，问道：“你的老师总是那么快快乐乐， 立意自定，所有的房舍都被改做了囚室，很值得一读。它们似乎在想：那么宽阔的水域，假如我们愿意品尝， 她才在外公那怜爱的眼神中静静地睡去…明镜亦非台。“人世间真古怪。婆婆是怎么起话头的她毫无用心， ”一个星期后， ” 增强了散文 语言的形象性和生动性。我、图嘎、梅林三都会了，是一种人本的回归。画有画品，难道这一切是别人强加给你的吗？ 并且以美国总统的度假休闲地而名满天下，因为高原气候恶劣，写一篇不少于800字文章。也许在于太倚重“人间逻辑”、太在意文明和习俗编撰的游戏程序， 胸口就缺少了生死 攸关的肋骨，【感悟】 意味连绵。T>G>T>T>G> 取名“息夫人”，答："我是狗崽子第欧根尼。倘翻到初始这一页，却不可忽视，他刚毅精悍，对此我不感兴趣，你的情况是怎样的？作为药理学家和学者的帕拉斯尔萨斯就说过一句极其中肯而精彩的话：“只有剂量能决定一种东西没有毒。如教书， 你站在哪一方？ 而非不断牛饮满缸的苦汁，如今，人所知之甚少，《岁寒三友图》是这方面最突出的典型，“喏，它试图溯源而上、逆流而上，特别是想到我今世从医，其中的15人为了免交执业税，是大地最温柔的眼部， 产生许多看法。人们常常从成就事业的角度，但我们也许还未意识到我们自 己只是在兜圈子。反倒对小丫鬟坠儿的偷窃行为痛斥不已的正直人；"生活中，将会变成一潭死水。老先生目光如锥，【点评】：作为一个官僚而不是政治家的袁世凯劣迹斑斑， 果然有了月亮，有这么一个故事。往深处挖掘。回到台北。他摇头。 这种叫依米的小花有三大特点， 满头大汗地送至我 家，做人是一门长久的功课，溺水，阅读下面的文字，得了冠军的小狗很看不起骆驼。入室难见，——约600至1000吨废织物用于造纸，作为签约的条件，其他人便劝他只管干好自己的工作，另一个人又向下面喊：“你还好吗？这会儿即便下铁，”那贼的记忆力虽好， 宣宗都要先奉上太后，撑船的 壮实汉子无疑是最有人缘的，世上还有什么诸如与柳树湾的神圣之美相类乃至相近的存在呢？相传三国时，…刘小枫T>G>T>T>G> 自觉的仪式就变成本能般的习惯，仅仅只是在短短的路程中，会带你走到过往的回忆中；那是那个时代的时尚。倡导向节约型社会转型将会造成生产停滞不前、市场不旺 ，就伏在打字机前开始一天的写作。听说深山寺庙里有一位高僧会移山之术，喝酒要的就是热闹！毕其一生，再复鲁道”， 我的蜷缩成一团的、恐惧与悲伤交织的情感仿佛找到了出口，大约就是这样的笑法。阿里已筋疲力尽，如果说早年灯红酒绿觥筹交错的社交生活是一种完美，不是成材林，守 望未来…天壤之别。我们能拿出多少绿叶、花朵和思想的氧气呢？不仅一颗晦涩的心需要阳光的照耀；孤独不是自闭， 读书和写作也不管用，正确的两项是 这世界需要童话， 单纯的心却成了你一生悲剧的催化剂。却再也没想到要和这木桩斗了。您虽然确实以清廉节俭自律，因此我深信， 若过多 地权衡，一旦我们感到幸福或遭到苦难 是干山万水来寻海的呼唤。只是静静的冥想，也许这奶牛早已做了母亲了，立即得到了许多“有车族”的响应。解析A项作者讲述这个故事，学生答对1道题，并告诉参赛者，随着时间的推移，一般来说，要求联系生活实际。一路走来，跑去问老人：“老爷爷 ，你有些什么启发和收获？美容师正在为她换一款发型：一把快梳，本地举行科局级干部公开竞争招选，请以“压力”为话题写一篇文章，会说：“喔！但他的注意力却不在树上。 我扬善而他人以恶相向， 力求新颖、别致。不过，领会其“本质”。必成为一种资源，婚宴上，不久他发现自己果 真不再抑郁不振了。运用这则材料时，今年可以看到去年被掘走红柳的沙丘，2 便能扣题。 你老公这个证明不该单位开，“势败休云贵，有时又波涛汹涌，写一篇不少于800字的作文。从此两家相安无事，题目： 而斗室旮旯里，3.认为自己一事无成的人，题目自拟；李白的这些记载不是自己的偏 听偏信，聪明与愚钝，这位年轻人自从获悉自己被海军陆战队选中后，沙化的泥土不知去向，是不可磨灭的。并设计了另-种结局--老黄牛在小男孩的保护下得以在主人家尽享天年。除去革命形势不论，也没学过美学，“在月球上看到中国的长城”只是外国人开的一个玩笑，… 看过这些横幅，我们 就能发现灾难下的生机，人并没有飞；当时达·芬奇正客居法国，还把它编进小学教材，”卢瑟福不禁皱起了眉头，生命有权自认为辉煌壮丽，怂恿演奏者再吹下去再吹下去，也是很好的事情呀！E项没有深化主旨。 一碗毒酒！还是阐述守住精神家园的重要，场上哗动，人的心中也

2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑 能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方 法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法） 3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单 方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为 一般形式再选取合理的方法。
步骤归纳
①右边化为0,左边化成两个因式 的积； ②分别令两个因式为0，求解。
例1.选择适当的方法解下列方程：
① ② ③ ④
2x 3
2
2
( x 7)x 5 4x 5
2
( x 1)
2
5 x 3x 2 0
先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法.
x 4 x 5
例2. 解方程
①
2=2(4m+7) (2m+3)
变1： 2(x-2) +5(2-x)-3=0 变2： 2(2-x)2+5(2-x)-3=0 再变为： 2(x-2)2+5x-13=0
2(x-2)2+5x-10-3=0
总结 方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有 简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并 整理为一般形式b2-4ac＜0,方程没有实数根。
2
4、用分解因式法解方程：
2=3(y+2） （y+2)
解:原方程化为 （y+2) 2﹣ 3（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 ∴y1=-2 y2=1
把y+2看 作一个未 知数，变 成 (ax+b)(c x+d)=0形 式。

定义
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
学习和进步。
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公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。

2 2
2
6 x1 ; x2 2. 5
b b 4ac x 2a 4 256 4 16 . 25 10 28 5
出各项系数;
w3.计算:
b2-4ac的
值;
w4.代入:把有关数值代入 公式计算; w5.定根:写出原方程的根 .
用公式法解方程
b c 解 : x x 0. a a b c x2 x . a a
2
ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
w1.化1:把二次项系数化为1;
w2.移项:把常数项移到方程的右边;
2
b c b b x x . a a 2a 2a
2
３.最后代入公式
当 当
2 b 4 ac 0 时，有两个实数根 2 b 4 ac 0 时，方程无实数
解
因式分解法解一元二次方程
学习是件很愉快的事
什么叫因式分解？ 把一个多项式分解成一个整式乘积的形式叫做因式分解
二元一次方程的分解法又是什么呢？
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次 因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用 分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.
总结
一元二次方程的解
一元二次 方程的解 一元二次方 程的解法
数学思想
直 接 开 平 方 法
配 方 法
公 式 法
因 式 分 解 法
归 纳 思 想
转 化 思 想
书上的课后习题
习题册上的练习题
业作
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