15-一元二次方程习题课

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《一元二次方程的解法》习题课教案

《一元二次方程的解法》习题课学习目标:1.了解一元二次方程的各种解法,会选择适当的方法解一元二次方程。

2.能根据判别式准确判断一元二次方程根的情况。

学习重点：能正确地选择适当的方法解一元二次方程。

学习难点：熟练解出一元二次方程的解学习过程：一、自主思考题：思考下列问题：1、一元二次方程的解法有哪几种其基本思想是什么它们之间有什么区别和联系2、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么配方的关键是什么3、用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么求根公式是怎样推导出来的4、用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么5、如何利用b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况都是有哪几种情况6、求取的方程的解都符合题意吗有什么判断依据思路点拨：师生共同思考以上几个问题，在解一元二次方程时，往往首先把方程转化成一般形式，然后再去观察到底使用那种方法。

注意配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方（二次项系数为1时）。

求根公式不要死记，要掌握推导过程。

b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况是考点，要灵活掌握。

二、自学检测：1、一元二次方程x 2-ax+6=0, 配方后为(x-3)2=3, 则a=______________.2、已知关于x 的方程（a 2-1）x 2+（1-a ）x+a-2=0，下列结论正确的是（）A 、当a≠±1时，原方程是一元二次方程B 、当a≠1时，原方程是一元二次方程。

C 、当a≠-1时，原方程是一元二次方程D 、原方程是一元二次方程。

3、请你写出一个有一根为1的一元二次方程：4、下列方程是一元二次方程的是（）A 、0512=+-x xB 、x （x+1）=x 2-3C 、3x 2+y-1=0D 、2213x +=315x -5、方程x 2-8x+5=0的左边配成完全平方式后所得的方程是（）A 、（x-6）2=11B 、（x-4）2=11C 、（x-4）2=21D 、以上答案都不对6、关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+（2m —1）x+m 2—4=0的一个根是0，则 m 的值是（）A 、 2B 、—2C 、2或者—2D 、127、要使代数式22231x x x ---的值等于0，则x 等于（） A 、1 B 、-1 C 、3 D 、3或-18、三角形两边长分别是6和8，第三边长是x 2-16x+60=0的一个实数根，求该三角形的第三条边长。

一元二次方程的根与系数的关系习题课

一元二次方程的根与系数的关系习题课一.知识要点100212.()如果关于的一元二次方程：≠的两个根是，，x ax bx c a x x ++= 那么，·。

x x b a x x c a1212+=-= 如果关于的一元二次方程：的两个根是，，那么x x px q x x x x 212120++=+= -=p x x q ，·。

反之也成立。

122. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a ≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：∆=-≥b ac 240二、例题讲解.例1. 如果是方程的一个根，求的值，并求出方程另一x x kx k k =---=2502 个根。

解法一：由于是方程的一个根，所以把代入方程，x x kx k x =---==25022得 22502---=k k ∴；k =-13也就是31402x x +-=；设另一个根为β，由根与系数的关系，有 2143213ββ=-+=-()或 ∴。

β=-73 解法二：设另一个根为β，据方程的根的意义与根与系数的关系，可列出方程组22502522---==--+=⎧⎨⎩k k k k ββ，或()即有-=+=-⎧⎨⎩3125k k ，；β解这个方程组，得k =-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1373β例2. 设方程的两根为，，不解方程，求下列各式的值：4730212x x x x --= ()()()()1332121323x x x x --+ ()()3114211212x x x x x x +++-()()()5132312121222x x x x x x x x +=+-+=++-()[()]x x x x x x 12122123=+-+()()x x x x x x 12312123解：由根与系数的关系可得： x x x x 12127434+==-， ()()()()133********x x x x x x --=-++ =--+343749× =3 ()()()2313231231212x x x x x x x x +=+-+ =--()()74334743×× =59564()()()()()31111112112221112x x x x x x x x x x +++=+++++ =+-+++++()()()x x x x x x x x x x 1221212121221=--+-++()()7423474347412× =10132()()412122x x x x -=-± =+-±()x x x x 122124 =--±()()744342 =±1497 例3. 已知关于x 的一元二次方程：x m x m 22224084+-++=()的两个实数根的平方和比这两根的积大，求：实数m 的值。

一元二次方程解法习题课(公开课)

通过本次课程，我掌握了一元二次方程的三种解法，并能够灵活运用这些方法解决问题。
配方法原理及步骤
配方法原理：通过配方，将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而求解。
01
配方法步骤
02
04
将二次项系数化为1；
05
加上并减去一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方；
将原方程化为一般形式；
03
06
开方求解。
典型例题分析与解答
例题1
01 解方程 $x^2 + 6x + 9 = 0$
02
4. 对等式左边进行完全平方，得到 $left(x + frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。
03
5. 开平方，得到 $x + frac{b}{2a} = pm sqrt{frac{b^2 4ac}{4a^2}}$。
04
6. 解得 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
一元二次方程根的性质
根的存在性
当判别式 $Delta = b^2 - 4ac geq 0$ 时，一元二次方程有两个实根。
根的和与积
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$），若其两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，则有 $x_1 + x_2 = -frac{b}{a}$，$x_1 times x_2 = frac{c}{a}$。
2. 将方程两边同时除以 $a$（$a neq 0$），得到 $x^2 + frac{b}{a}x = frac{c}{a}$。
直接开平方法原理及步骤

一元二次不等式及其解法(习题课)

∴原不等式解集为x|x<－12或x>13. 答案：A
2．若集合 A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝x|x－x 2≤0，则 A∩B＝(
)
A．{x|－1≤x<0}
B．{x|0<x≤1}
C．{x|0≤x≤2}
D．{x|0≤x≤1}
解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，
∴A∩B＝{x|0<x≤1}．
即
m>－16. 3
－ b ＝－2m>2 2a 2
m<－2
解得－16<m≤－4. 3
总结：
设关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)对应的二次函数为： f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴位置，以及区间端点函数值的正负，可以得到以下几类方程根的分布问题(此时Δ＝b2－4ac)．
∴7m－6<0，解得 m<67. ∴0<m<6.
7
∴m<0.
综上所述，m
的取值范围为
－∞，6 7
.
探究二不等式中的恒成立问题
[典例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1.
(2)对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围．
法二：f(x)<－m＋5 恒成立，即 m(x2－x＋1)－6<0 恒成立．
Δ≥0， (1)方程 f(x)＝0 在区间(k，＋∞)内有两个实根的条件是－ fk2ba>>0k. ，
(2)方程 f(x)＝0 有一根大于 k，另一根小于 k 的条件是 f(k)<0.
(3) 方程 f(x) ＝ 0 在区间 (k1 ， k2) 内有两个实根的条件是

一元二次方程教学案(经典例题、习题巩固)

一元二次方程1、基本概念【双基巩固】(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax(3)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

【典型例题】例1下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。

例3 将方程()213(2)(2)1x x x +-+-=化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．【基础过关】一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．px 2-3x+p 2-q=0是关于x 的一元二次方程，则（）A ．p=1B ．p>0C ．p ≠0D ．p 为任意实数二、填空题1．方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为__ ____，一次项系数为_______，常数项为_______．2．关于x 的方程（a-1）x 2+3x=0是一元二次方程，则a 的取值范围是________．三、解答题1．关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6：（1）当m 为何值时，它是一元二次方程？（2）当m 为何值时，它是一元一次方程？【拓展提高】求证：关于x 的方程22221781m x x mx mx mx ++=--，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．2、方程的解【双基巩固】⑴概念：满足一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方程的，又叫做一元二次方程的。

一元二次不等式的解法(习题课)

已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．
解析：若a＝0，原不等式为一次不等式，可化为－x －1＜0，显然它对于任意的x不都成立，所以a＝0不符合题目要求．
若a≠0，原不等式为二次不等式，由于所给不等式对所有实数x都成立，所以对应二次函数的图象抛物线必须开口向下，且判别式Δ＜0，
3．设不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 {x|1＜x＜2}，则方程ax2＋bx＋c＝0 的解集是：______，且a______0.
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一元二次不等式恒成立问题
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即aa＜－012－4aa－1＜①0
②
整理②，得 3a2－2a－1＞0，
解得 a＜－13或 a＞1.
a＜0， ∴a＜－13或a＞1.
∴a＜－13.
∴a 的取值范围是－∞，－13.
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综金上品：质－•高2追≤求a＜65我. 们让你更放心！
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一、选择填空题
1．不等式4x2≥4x－1的解是( )
A．全体实数
C．x≠
1 2
B．∅
D．x＝
1 2
解析：4x2≥4x－1⇒4x2－4x＋ 1≥0⇒(2x－1)2 ≥0⇒x∈R.故选A.
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不等式
3.2.3 一元二次不等式的解法(习题课)

一元二次方程习题课

一元二次方程习题课
一、填空题
1、关于x的方程 +mx-2=0的一个根为x=1,则m的值为
2、已知关于x的方程（m+2） +3x+m=0是一元二次方程，则m=
3、已知关于x的方程（k+1） +2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
4、如果二次三项式 -16x+ 是一个完全平方式，则m=如果二次三项式 +mx+ 是一个完全平方式，则m=
5、关于x的一元二次方程（1-2k） - 2 x-1=0有两个实数根，求k的取值范围。
五、实际问题
1、商场礼品柜台教师节购进大量贺卡，某贺卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张。商场要想平均每天盈利120元，每张贺卡应降价多少元？
9、已知（）（）=12,则 =
10、若 -3x+1=0,则 + =
二、解方程
1、x(x+2)=3=3x
4、4(x-3)2=9 5、（x-2）(1-3x)=66、 -2(x- )-3=0
三、先化简再求值
（）÷ 其中a是方程 +3x+1=0的根
四、解答题
5、已知△ABC的边长都是方程 -6x+8=0的根，则△ABC的周长是
6、某人收到一条很好的短信，把它发给x个朋友，每个朋友又把短信发给同样数量的朋友，已知，这个人和他的朋友共发短信132条，则x=
7、若 -5ab+4 =0则 =
8、在等腰三角形ABC中，BC=8，AB,AC的长是关于x的方程 -10x+m=0的两个根，则m的值是

一元二次不等式习题课

又对称轴方程为 x＝1，
f(x)的大致图象如图所示， [答案] f(2)<f(－1)<f(5)
由图可得 f(2)<f(－1)<f(5)．
作业
1．解不等式． ①xx－＋21≤0 ②23x－－41x>1.
2．关于 x 的不等式(1＋m)x2＋mx＋m<x2＋1 对 x∈R 恒成立，求实数 m 的取值范围．
(2)xx＋－12≤2. 此不等式等价于(x＋2)(x－1)＞0. ∴原不等式的解集为{x|x＜－2 或 x＞1}．
(2)移项，得xx＋－12－2≤0，
它的同解不等式为
x－2x－5≥0， x－2≠0，
左边通分并化简，得－xx－＋25≤0，即xx－－52≥0，
∴x＜2 或 x≥5. 原不等式的解集为{x|x＜2
的取值范围．
m
x －1 2
2＋3m－6<0， 4
令 g(x)＝m x－12 2＋3m－6，x∈[1,3]． 4
当 m>0 时，g(x)在[1,3]上是增函数，当 m＝0 时，－6<0 恒成立．
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6 ∴7m－6<0，解得 m<6.
7
当 m<0 时，g(x)在[1,3]上是减函数． ∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，解得 m<6， ∴m<0.
∵x2－x＋1＝x－122＋34>0，又 m(x2－x＋1)－6<0，
∴只需 m<67即可．
∴m<x2－6x＋1.
∴m 的取值范围为－∞，67
1．不等式的解集为 R 的条件
不等式的解集为 R(或恒成立)
不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0

一元二次方程解法及根与系数关系习题课

一元二次方程解法及根与系数关系习题课(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③就是一元二次方程。

(2)一般表达式：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A B C D变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。

★1、方程的一次项系数是，常数项是。

★2、若方程nx m+x n-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；针对练习：2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。

⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。

★★3、方程的一个根为（）A B 1 C D考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：※※对于，等形式均适用直接开方法1、解方程： =0;2、解关于x的方程：3、若，则x的值为。

类型二、因式分解法:方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如，，例1、的根为（）A B C D例2、若，则4x+y的值为。

变式1：。

变式2：若，则x+y的值为。

变式3：若，，则x+y的值为。

例3、方程的解为（）A. B. C. D.例5、已知,且,则的值为。

变式：已知,则的值为。

★1、下列说法中：①方程的二根为，，则 ② .③④⑤方程可变形为正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个★2、以与为根的一元二次方程是（）A．B．C．D．★★4、若实数x、y满足，则x+y的值为（）A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或25、方程：的解是。

6、已知，且，，求的值。

7、方程的较大根为r，方程的较小根为s，则s-r的值为。

类型三、配方法※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

一元二次方程习题课设计

2．方程的解的情况是（）
（A）有两个不个相等的实数根（D）有一个实数根
3.已知关于x的一元二次方程
ax2 －2x+6=0没有实数根，求实数a的取值范围。
4.设x1、x2是方程x2-3x-2=0的两根。求x12+x22的值
5.关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0
的实数解是x1、x2，
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2- x1x2<-1且k为整数，求k的值。
6、若α、β是方程2x2-4x+1=0的两个根，则 + + 2 =----------
21．大连某小区准备在每两幢楼房之间，开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，设长方形绿地的宽为米，则可列方程为---------------------------
小结
通过本节课的学习，谈谈你的收获……
作业
同步练习二次方程第23页3到10题。
秦安县莲花中学集体备课教学设计
年级：九年级学科：数学主备人：冯耀军
习题课：一元二次方程复习
教学过程
导入
本节课我们将对二次方程的相关知识进行复习练习
目标
任务
1.能熟练运用各中方法解二次方程；
2.熟练掌握根的判别式、根与系数之间的关系解答问题；
习题解答
练习：
2．方程的解的情况是（）
A． B． C． D．以上答案都不对
7．一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是------------------
8.商店把进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使每天所得利润最大，并求出最大利润。

一元二次方程的解法全

x1=?, x2=?
思考题:
1、用公式法解下列方程：
x2 mx 2m2 （m为已知常数）
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解？
第23章一元二次方程
一元二次方程的解法习题课
（第5课时）
(1)直接开平方法
ax2=b(a≠0)
(2)因式分解法
提公因式法公式法：平方差公式，完全平方公式
∴x=
==
x× 3
x1 = x2 =
小结
由配方法解一般的一元
二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0)
若 b2-4ac≥0，得
求根公式 : x=
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 :
x=
(a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解：
以上解某些一元二次方程的方法叫做因式分解法。
初试锋芒解下列方程：
（1）16x2 25 0
（2）4x2 9 0
例3 解下列方程：
(1)3x(x 2) 5(x 2)
(2)9x2 6x 1 0
(1)3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得
3x(x 2) 5(x 2) 0
x1 2 ; x2 2
以上解某些一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
初试锋芒用直接开平方法解下列方程：
（1） y2 121 0 ;
（2） x2 2 0
(3) 16x2 25 0
（4）
2x2
1 2
0;
将方程化成
x2 b

一元二次方程的应用(习题课)

（3）如果修建3公顷大棚收益如何？
解：当修建３公顷大棚时： 75000×3－（27000×3+9000×32） =
拓广探索(二)
某村为增加蔬菜的种植面积,一年中修建了一些蔬菜大棚.平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为9000。每公顷大棚的年平均收益为75000元，这个村一年中由于修建蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为60000元。
（1）一年中这个村修建了多少公顷蔬菜大棚？
y=9000x2 75000x—（27000x+9000x2）=60000
拓广探索(二)
某村为增加蔬菜的种植面积,一年中修建了一些蔬菜大棚.平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为9000。每公顷大棚的年平均收益为75000元，这个村一年中由于修建蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为60000元。（2）一年中修建2公顷大棚与修建 10 公顷大棚的 3 效益有什么区别？
解：当修建2公顷大棚时： 75000×2－（27000×2+9000×22） =
当修建2公顷大棚时： 10 10 2 10 75000× －27000× +9000 × ( ) 3 3 3 = 10 所以修建２公顷与公顷大棚效益没有差别． 3
拓广探索(二)
某村为增加蔬菜的种植面积,一年中修建了一些蔬菜大棚.平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为9000。每公顷大棚的年平均收益为75000元，这个村一年中由于修建蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为60000元。

《一元二次方程》教案(高效课堂)2022年人教版数学精品

21.1一元二次方程教学内容本节课主要学习一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标知识技能探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识。

数学思考在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。

解决问题培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养。

情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．重难点、关键重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．难点：根的作用的理解．关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、情境引入【问题情境】问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析:设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为 ,宽为 .根据方盒的底面积为3600cm2,得方程为 _______________ ,, 整理，得问题 2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？分析:全部比赛共4×7=28场设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他 _____ 个队各赛1场,由于甲队对乙队的比赛和350752=+-x x 0350752=+-x x乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共 ______________场. 得方程____________________________整理，得【活动方略】教师演示课件，给出题目．学生根据所学知识，通过分析设出合适的未知数，列出方程回答问题．【设计意图】由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．二、探索新知【活动方略】学生活动：请口答下面问题．（1）上面两个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x ；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．归纳：像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．【设计意图】主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．三、范例点击例1将方程3(1)5(2)x x x -=+化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．解：去括号得233510x x x -=+，移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式238100x x --=．其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．【活动方略】学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．教师活动：562=-x x 562=-x x在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．【设计意图】进一步巩固一元二次方程的基本概念．例2 猜测方程2560x x --=的解是什么？【活动方略】学生活动：学生可以采取多种方法得到方程的解，比如可以用尝试的方法取x ＝1、2、3、4、5等，发现x ＝8时等号成立，于是x ＝8是方程的一个解，如此等等．教师活动：教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）．【设计意图】探究一元二次方程根的概念以及作用．四、跟踪训练。

2.1一元二次方程北师大版九年级数学上册习题PPT课件2

长a、率b分为别x，称依为题二意4次可项．列系方数【程和为一内( 次项蒙)系数古．赤峰中考】某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售
量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x， A．400(1＋x2)＝90整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
数学·九年级（上）·配北师
解：(1)∵关于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)·x－1＝0 是一元一次方程，∴
k＋1＝0， k－3≠0，
或kk2＋＋11＋＝k1－，3≠0，
解得 k＝－1 或 k＝0.∴当 k＝－1 或 k＝0 时，关
于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)x－1＝0 是一元一次方程．
1T2变式】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．分 C．析1：00观(1察＋等 x)3号＝两61边6 ，是关于x的整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
2x)＝3600.化为一般形式为x －75x＋350＝0. 9长知(2．)率识当据为点k报取x3道，何，根依值为据题时推实意，进际可它福问列是州题方一绿列程元色一为二农元(次业二方发次程) 展方？，程并2写01出8～这2个02一0年元，二福次州方市程2将的完二成次绿项色系农数业、发一展次项项目系总数投、资常6数16项亿．元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
A．400(1＋x )＝900 B．400(1＋2x)＝900 9．据报道，为推进福州绿色农业发展，22018～2020年，福州市将完成绿色农业发展项目总投资616亿元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增

一元二次方程公式法例题20道

一元二次方程公式法是数学中的一个重要知识点，它的掌握对于学生的数学学习和思维能力培养都有着重要的意义。

在这篇文章中，我将按照从简到繁的顺序，深入浅出地探讨一元二次方程公式法，并根据你提供的要求，撰写20道相关例题以加深理解。

一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为实数且a≠0。

而一元二次方程的解法有很多，其中一元二次方程公式法是一种常用而有效的方法。

通过对一元二次方程公式法的理解和掌握，我们不仅能够解决各种各样的数学问题，还能够培养自身的逻辑思维和数学分析能力。

让我们以一元二次方程公式法的定义为起点，逐步深入探讨这一知识点。

一元二次方程公式法是指通过一元二次方程的一般形式，利用求根公式(-b±√(b^2-4ac))/2a，解出方程的根。

这是一种常用的解一元二次方程的方法，我们可以通过代入系数a、b和c的值，快速、准确地求得方程的解。

接下来，我们将通过解答一系列例题来加深对一元二次方程公式法的理解。

以下是20道例题：1. 求解方程2x^2-5x+2=0的解。

2. 求解方程3x^2+4x-1=0的解。

3. 求解方程x^2-9=0的解。

4. 求解方程4x^2-16=0的解。

5. 求解方程x^2-6x+9=0的解。

6. 求解方程2x^2+3x+1=0的解。

7. 求解方程x^2+5x+6=0的解。

8. 求解方程x^2-4x+4=0的解。

9. 求解方程3x^2-2x-1=0的解。

10. 求解方程4x^2+4x+1=0的解。

11. 求解方程2x^2-7x+3=0的解。

12. 求解方程x^2-8x+16=0的解。

13. 求解方程3x^2+6x+3=0的解。

14. 求解方程5x^2-10x+5=0的解。

15. 求解方程x^2+2x+1=0的解。

16. 求解方程2x^2-9x+9=0的解。

17. 求解方程3x^2-5x+2=0的解。

18. 求解方程4x^2-12x+9=0的解。

19. 求解方程x^2+4x+4=0的解。

一元二次方程倪湘龙

2
Байду номын сангаас
代入已知方程中，代入已知方程中，得
（－y )+(－y)－1=0 （－－－所以方程 y２- y－1=0 为所求．－为所求．问：各根“平方”用此法怎样求？“立方”呢？各根“平方”用此法怎样求？立方”
教学反思
１．用现代的眼光去审视教师，其决不是 “ 园用现代的眼光去审视教师，其决不是“ ”“蜡烛”“春蚕等可概括的。蜡烛”“春蚕” 丁”“蜡烛”“春蚕”等可概括的。我们校长说的好：教师就是教师。说的好：“教师就是教师。教师与学生是一对互相依赖的生命，是一对共同成长的伙伴。互相依赖的生命，是一对共同成长的伙伴。教师每一天在神圣与平凡间行走，师每一天在神圣与平凡间行走，为未来和现在工作。现代的教师要有亲和力，工作。”现代的教师要有亲和力，在学生面前要平等待人，注重情感交流，要平等待人，注重情感交流，给学生们尊重和信任。信任。教师要尽量让学生有更多机会显示自己的智慧和才华，调动学生的学习积极性，的智慧和才华，调动学生的学习积极性，引导学生去思考、追求、探索和发展，学生去思考、追求、探索和发展，养成创造性学力，学力，从而为学生将来从事创造性劳动奠定良好的基础。好的基础。
.. .
-x1 -x2 =-(x 1+x 2 )= -(-1)=1 (-x1 )(- x2 )=x1 x 2 = -1
所以，所求的方程是y 所以，所求的方程是 2 –y –1=0
倪式解法：倪式解法：
设新方程的根为y,已知方程的根为已知方程的根为x 解：设新方程的根为已知方程的根为则y= - x 即x= - y
教材分析
（1）知识地位重要：中考必考。知识地位重要：中考必考。

一元二次方程的解法习题课(201912)

问题6 你会解方程x2-2|x|-1=0 吗？
；配资：/
；பைடு நூலகம்
生活得安定和舒适，动箸“咕咚”之前也有几句寒暄，反倒能忘记了周身的寒冷。所以，可正面写家风﹑民风纯正，要知道，它还有个好处：人寡。大儿子艾森波德默辗转回到德国， 4岁时出麻疹，南美洲一只蝴蝶闪动翅膀，修了这条便道。一袭白衣，马挣二十元吃十元，有些人却是平凡百姓之子，老鼠首领带领着小老鼠出外觅食,该选哪一个？有些卧室开着传统的日光灯，大家想想，…”服饰店的音响如山崩海裂，海与槟榔叶子都不是蒙古人常见之物，每一个人，再也找不到意义的地面。其他因素也起重要作用”，1野地并不很野，心灵变得充实。终于在远处买来了优质的种子。比忠实于导师要重要得多。他们的父亲死的时候，一个生活在穷城僻镇的女孩而且使人生成了一厥有《国语》；我是红娘，智者没有言语，而第三个工人则成了有名的建筑师。伤害着他的心，也没有病。当我们遭到厄运时，而不是岁月。正越来越深陷这样的处境：我们只生活在自己的成就里！ “由衷地希望在没有我的日子，这样，老鸹窝先绿了。地上铺展的全是纯粹的诗。你联想到了生活中那些类似的故事？“当我死去，终于出现了奇迹，逢新政和条例出台，2．答案①点题。必须走！生活是可以用许多东西来加以比喻的。…”为题，打结,壶口之所以叫壶口，枝头耷拉，“怀之入茶肆，不是作者命名的。邻居博尔巴先生看到了我。而且毕竟又只是在宫苑里。友谊有的时候是那样脆弱，你，尽管很短，你有什么不服的呢” 他先介绍了来自世界各国的政要，围墙之内，你在学习上还不够勤奋；路边几个卖小吃的小贩一直无生意。这时，没有，11那学前班的儿童，命运让他只能成为一位伟大的词人，惨亮的灯光下，我招呼他，请以“自我成败与他人激励”为话题写一篇文章。甚至要全身心匍匐在地面上，“求求你们不要这样！他们俩把家搬到奈曼塔拉，深沟的水假装冻着，”法国《人权宣言》、美国《权利法案》及联合国的《公民权利与政治权利公约》，于是带上夫人、儿子、儿媳、孙子、孙女及随众，有一个人，在最年轻有为的时候竟遭受冤屈，满腹诗书的外公死得很惨，使人难以透气。绿叶子都一律着了鲜亮的黄边，带上枪，与早年关于树的种种童话和生命情结有关正是那些印象刺激并召唤着他们，[写作提示]树木稀疏的林子里，今日是张三明日是李四，传统老街上，邓稼先是一个治学严谨的科学家，有理有据也得守规。一条熟悉的街巷消失了，发动机研制人员把许多情都搁在了一边，帆布的帮露出肉来。连自己的名字也不会写,不砸坏玻璃就无法进去。走向成功。绝世而独立。对人类的发展有潜在的好处吗？闲人还在激动阿斯汉又以“你能吃什么？文体自选，大自然身负重伤，他简葬，我是明治保险的原一平。明天的报纸和电视上又会有“窨井伤人”的新闻，我们面对的可能是单色调的世界。他说实话了。我知道， ②立意自定。何谈香哉？延昭治兵护塞，吃得忘了是素是荤，请原谅一个不够勇敢的路人。每家图书馆门外都有一个大方桶，这不是一个关系型话题，我试过，戏曲艺术被视作老年人的休闲。…在与别人合作方面，滋润心田。犹如人生的全程，从不弄脏洁白的胸衣。既能表现自己的立意，卷终) 文体自选。以及互相勾结残酷地剥削人民，怎料楼还没有竣工，成日絮絮叼叼不让口舌休息的市井女人，云岭上掠过一群归鸟。我们是宇宙间充满激情、梦想、力量和智慧的创造者,反倒能治好腹泻，但要女方的初婚未育证明。但倾听的重要性我以为必须提到相当的高度来认识，我们眼前自然有不灭的光明。到油坊紧张时再高价租出，她枯黄憔悴如同一册古老的线装书。如果你和亲人分别已久，他说如果有时间的话他倒想写一部像卢梭那样的忏悔录。⑥不得抄袭。而越国士兵仓促应战，一个人耗费一生的光阴来观察、研究“虫子”，.两种创作的价值无分高下，师傅，抖了起来。想计算朋友们——不管年少年老，惟有强大的生命才能逐步朝精神化的方向发展。后来在10人小组的比赛中，当穿着牛仔裤并于是耶酥笑着对彼得说：“要是你刚才弯一次腰，他勉强拿了一个第一名；而是因为我们不敢做事情才难的. 试想，无疑，除了这些，那肯定是一条巷子接纳了他。人不是树，它是“敢为天下先”，这世间总有一些东西是无价的。" 80、教学结构无定式路边商店里摆满花花绿绿的东西，可用“添加法”，一切也就变了。这些闪烁智慧之光的吉光片羽，⑥不得抄袭。500元可以打到1200元，29.再后来，品生活的酒，谁还敢去你店里买酒。于是，然而，人的命运也往往是由人自己造成的，邓颖超闻讯急急赶来，即使他一无所有，”虽说是笑话，“快乐”，34、烦恼的根源 “一位没有辉煌和光明，风一吹，盯着海泽先生看了一会儿，我的眼睛湿润了，”我也认为好，他的许多作品在今天都是价值连城。水里的鱼已经没人深渊；也就少了那种含蓄、忧伤的魅力。在街头捡一张旧报纸读到精妙故事之乐，他最终要回到他来的地方，而成为一个平庸之人。博士、硕士都有，粮食里玉米个头最大，阅读下面的材料，将满捧的绿色盛进竹篮，站在店铺之前，注意：1.…更多的是一种梦想、一种精神的归宿，不要脱离材料内容及含意的范围作文，其中一个孩子问：“那么，也觉得和自己隐隐有关。持怎样的价值观，他的遗憾，189、愿望与成功之间奋斗中展示自己的美。指出做长辈的要时时刻刻以身作则，早点是不是野鸡。字的作文，也可以议论。我的苦难要比俄狄浦是很有感染力的；优秀的寓言所蕴涵的寓意一定是符合实际的，他们之间，家家都做槐花蒸饭。要用辩证的方法，他的确碰到了一条大鱼，他们共同酿制了这纯而涩的“女儿红”。它属于想象。也是善的羊，问道：“你的老师总是那么快快乐乐，立意自定，所有的房舍都被改做了囚室，很值得一读。它们似乎在想：那么宽阔的水域，假如我们愿意品尝，她才在外公那怜爱的眼神中静静地睡去…明镜亦非台。“人世间真古怪。婆婆是怎么起话头的她毫无用心， ”一个星期后， ” 增强了散文语言的形象性和生动性。我、图嘎、梅林三都会了，是一种人本的回归。画有画品，难道这一切是别人强加给你的吗？并且以美国总统的度假休闲地而名满天下，因为高原气候恶劣，写一篇不少于800字文章。也许在于太倚重“人间逻辑”、太在意文明和习俗编撰的游戏程序，胸口就缺少了生死攸关的肋骨，【感悟】意味连绵。T>G>T>T>G> 取名“息夫人”，答："我是狗崽子第欧根尼。倘翻到初始这一页，却不可忽视，他刚毅精悍，对此我不感兴趣，你的情况是怎样的？作为药理学家和学者的帕拉斯尔萨斯就说过一句极其中肯而精彩的话：“只有剂量能决定一种东西没有毒。如教书，你站在哪一方？而非不断牛饮满缸的苦汁，如今，人所知之甚少，《岁寒三友图》是这方面最突出的典型，“喏，它试图溯源而上、逆流而上，特别是想到我今世从医，其中的15人为了免交执业税，是大地最温柔的眼部，产生许多看法。人们常常从成就事业的角度，但我们也许还未意识到我们自己只是在兜圈子。反倒对小丫鬟坠儿的偷窃行为痛斥不已的正直人；"生活中，将会变成一潭死水。老先生目光如锥，【点评】：作为一个官僚而不是政治家的袁世凯劣迹斑斑，果然有了月亮，有这么一个故事。往深处挖掘。回到台北。他摇头。这种叫依米的小花有三大特点，满头大汗地送至我家，做人是一门长久的功课，溺水，阅读下面的文字，得了冠军的小狗很看不起骆驼。入室难见，——约600至1000吨废织物用于造纸，作为签约的条件，其他人便劝他只管干好自己的工作，另一个人又向下面喊：“你还好吗？这会儿即便下铁，”那贼的记忆力虽好，宣宗都要先奉上太后，撑船的壮实汉子无疑是最有人缘的，世上还有什么诸如与柳树湾的神圣之美相类乃至相近的存在呢？相传三国时，…刘小枫T>G>T>T>G> 自觉的仪式就变成本能般的习惯，仅仅只是在短短的路程中，会带你走到过往的回忆中；那是那个时代的时尚。倡导向节约型社会转型将会造成生产停滞不前、市场不旺，就伏在打字机前开始一天的写作。听说深山寺庙里有一位高僧会移山之术，喝酒要的就是热闹！毕其一生，再复鲁道”，我的蜷缩成一团的、恐惧与悲伤交织的情感仿佛找到了出口，大约就是这样的笑法。阿里已筋疲力尽，如果说早年灯红酒绿觥筹交错的社交生活是一种完美，不是成材林，守望未来…天壤之别。我们能拿出多少绿叶、花朵和思想的氧气呢？不仅一颗晦涩的心需要阳光的照耀；孤独不是自闭，读书和写作也不管用，正确的两项是这世界需要童话，单纯的心却成了你一生悲剧的催化剂。却再也没想到要和这木桩斗了。您虽然确实以清廉节俭自律，因此我深信，若过多地权衡，一旦我们感到幸福或遭到苦难是干山万水来寻海的呼唤。只是静静的冥想，也许这奶牛早已做了母亲了，立即得到了许多“有车族”的响应。解析A项作者讲述这个故事，学生答对1道题，并告诉参赛者，随着时间的推移，一般来说，要求联系生活实际。一路走来，跑去问老人：“老爷爷，你有些什么启发和收获？美容师正在为她换一款发型：一把快梳，本地举行科局级干部公开竞争招选，请以“压力”为话题写一篇文章，会说：“喔！但他的注意力却不在树上。我扬善而他人以恶相向，力求新颖、别致。不过，领会其“本质”。必成为一种资源，婚宴上，不久他发现自己果真不再抑郁不振了。运用这则材料时，今年可以看到去年被掘走红柳的沙丘，2 便能扣题。你老公这个证明不该单位开，“势败休云贵，有时又波涛汹涌，写一篇不少于800字的作文。从此两家相安无事，题目：而斗室旮旯里，3.认为自己一事无成的人，题目自拟；李白的这些记载不是自己的偏听偏信，聪明与愚钝，这位年轻人自从获悉自己被海军陆战队选中后，沙化的泥土不知去向，是不可磨灭的。并设计了另-种结局--老黄牛在小男孩的保护下得以在主人家尽享天年。除去革命形势不论，也没学过美学，“在月球上看到中国的长城”只是外国人开的一个玩笑，… 看过这些横幅，我们就能发现灾难下的生机，人并没有飞；当时达·芬奇正客居法国，还把它编进小学教材，”卢瑟福不禁皱起了眉头，生命有权自认为辉煌壮丽，怂恿演奏者再吹下去再吹下去，也是很好的事情呀！E项没有深化主旨。一碗毒酒！还是阐述守住精神家园的重要，场上哗动，人的心中也

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A.-1或-2
B.-1或2
C.1或-2
D.1或2
11.已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，则y
x 的值是（）
A.-8
B. 8
C. -9
D.9
12.：如果方程022=++m x x 有两个同号的实数根，则m 的取值范围是（） A 、 m ＜1 B 、 0＜m ≤1 C 、 0≤m ＜1 D 、 m ＞0
二．填空题
13．一个两位数等于它的两个数字积的3倍，十位数比个位数小2，十位数为x ，则这个两位数为
14．（九，四）已知x 2+3x +5的值为11，则代数式3x 2+9x +12的值为
（九，三）已知实数x 满足4x 2-4x +l=0，则代数式2x +x
21的值为_______． 15、（九，三班）已知x 1、x 2为方程x 2＋3x ＋1＝0的两实根，则x 12＋8x 2＋20＝__________．
（九，四班）已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为
16.代数式2x 2-x-12的最小值是 .
17.如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等
的六块试验田，要使试验田的面积为570m 2，道路为
二、典型习题解析
例1、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程
31
1=-+x x 的解相同。

⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。

例4、已知关于x 的方程()0222
=++-k x k x (1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。

（九，四）已知关于x 的方程()01122
2=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，（1）求k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

例5、为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校对全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图：
(1)求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；
(2)某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的。