2017-2018学年河北省邢台市第二中学高二上学期周测数学试题12.22

河北省邢台二中2017-2018学年高三上学期第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z1=1+i，z2=2﹣2i，则•等于( )A．8 B．﹣4i C．4﹣4i D．4+4i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：求出两复数的共轭复数，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解．解答：解：∵z1=1+i，z2=2﹣2i，∴，∴•===．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2．已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为( )A．（1，2）B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过指数函数的值域求出M，对数函数的定义域求出集合N，然后再求M∩N．解答：解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，故选A点评：本题考查指对函数的定义域和值域，不要弄混．3．dx等于( )A．3 B．6 C．9 D．3e考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据定积分的计算法则计算即可．解答：解：dx=3lnx=3lne2﹣3ln1=6，故选：B点评：本题主要考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题4．已知向量=（1，2x），=（4，﹣x），则“x=”是“⊥”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先求出⊥的充要条件是x=±，从而得到答案．解答：解：⊥⇒•=0⇒4﹣2x2=0⇒x=±，故x=±是⊥的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件的定义，考查了向量垂直的性质，是一道基础题．5．在递增的等比数列{a n}中，a1+a n=34，a2a n﹣1=64，且前n项和S n=42，则项数n等于( ) A．6 B．5 C．4 D．3考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，由a2a n﹣1=64，可得a1a n=64．与a1+a n=34联立，又递增的等比数列{a n}，解得a1，a n．由前n项和S n=42，利用=42，解得q．再利用通项公式即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a n﹣1=64，∴a1a n=64．又a1+a n=34，联立，又递增的等比数列{a n}，解得a1=2，a n=32．∵前n项和S n=42，∴=42，即=42，解得q=4．∴32=2×4n﹣1，解得n=3．故选：D．点评：本题考查了等比数列的性质、通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为( )A．B．2 C．4 D．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：三棱锥的正视图如图所示，即可得出该三棱锥的正视图面积=．解答：解：三棱锥的正视图如图所示，∴该三棱锥的正视图面积==2．故选：B．点评：本题考查了三视图的有关知识、三角形面积计算公式，属于基础题．7．具有性质：f（）=﹣f（x）的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，则下列函数：①y=x﹣；②y=x+；③y=lnx；④y=中所有满足“到负”交换的函数是( )A．①③B．②④C．①④D．①③④考点：进行简单的合情推理；函数的概念及其构成要素．专题：函数的性质及应用；推理和证明．分析：对所给的函数结合：f（）=﹣f（x），满足该“到负”交换的函数，进行验证即可．解答：解：显然，函数：①y=x﹣；设f（x）=y，则f（）=﹣f（x）的函数，故满足“到负”交换的概念；对于②：满足f（）=f（x），不合乎题意，对于③：y=lnx，显然，f（）=﹣f（x），满足该“到负”交换的概念；对于④：y=‘当0＜x＜1时，f（）=﹣x=﹣f（x），当x＞1时，0＜＜1，f（）==﹣f（x），当x=1时，=1，∴x=1，∴f（）=﹣f（x），满足该“到负”交换的概念；故选：D．点评：本题重点考查了合情推理、函数的性质等知识，属于中档题，解题关键是理解“到负”交换的函数这一个概念．8．如图，=，=，且BC⊥OA，C为垂足，设=λ，则λ的值为( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．分析：利用向量垂直数量积为零找出λ满足的方程解之解答：解：=﹣，，∴，∴即===0∴λ=故选项为A点评：向量垂直的充要条件．9．已知m＞0，n＞0，且2m，，3n成等差数列，则+的最小值为( )A．B．5 C．D．15考点：基本不等式；等差数列的通项公式．专题：不等式的解法及应用．分析：由2m，，3n成等差数列，可得2m+3n=5．再利用“乘1法”和基本不等式的性质．解答：解：∵2m，，3n成等差数列，∴2m+3n=5．∵m＞0，n＞0，∴+===5，当且仅当n=m=1时取等号．∴+的最小值为5．故选：B．点评：本题考查了等差数列的通项公式、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知函数f（x）=sin（x+θ）﹣cos（x+θ）（|θ|＜）的图象关于y轴对称，则y=f（x）在下列哪个区间上是减函数( )A．（0，）B．（﹣，﹣）C．（，π）D．（，2π）考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据函数f（x）的图象关于y轴对称，|θ|＜，可求出，从而有f（x）=﹣2cos x，即可求出函数f（x）在（﹣，﹣）上为减函数．解答：解：因为函数f（x）的图象关于y轴对称，所以当x=0时，f（x）取得最大（或最小）值，此时f（x）=sinθ﹣cosθ=2sin（），因为|θ|＜，所以，，所以f（x）=sin（x﹣）﹣cos（x﹣）=2sin（x﹣）=﹣2cos x，所以函数f（x）在（﹣，﹣）上为减函数．故选：B．点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，考察了三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．11．如果变量x，y满足约束条件，则的取值范围是( ) A．[，B．（﹣∞，]∪[，+∞）C．（﹣∞，]∪[，+∞）D．[，]考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为动点与定点连线的斜率问题，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，求出斜率得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（1，3），联立，得C（1，6），联立，得B（），令z==，则z+1=，表示可行域内的点（x，y）与点（）连线的斜率，当连线过点（1，6）时，z﹣1取最大值，当连线过点（）时，z﹣1取最小值．∴的取值范围是[]．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．12．设函数，则下列不等式一定成立的是( )A．x1+x2＞0 B．x12＞x22C．x1＞x2D．x12＜x22考点：正弦函数的奇偶性；函数单调性的判断与证明．专题：证明题．分析：由f（﹣x）=﹣x•sin（﹣x）=f（x）⇒f（x）=xsinx为偶函数，f′（x）=sinx+xcosx，当x∈[0，]⇒f′（x）＞0⇒f（x）单调递增，⇒时，f（x）单调递减；于是f（x1）＞f（x2）⇔|x1|＞|x2|⇔x12＞x22，问题解决了．解答：解：∵f（﹣x）=﹣x•sin（﹣x）=xsinx=f（x），∴函数f（x）=xsinx为偶函数，又f′（x）=sinx+xcosx，∴时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，时，f′（x）≤0，f（x）单调递减；∴f（x1）＞f（x2）⇔f（|x1|）＞f（|x2|）⇔|x1|＞|x2|⇔x12＞x22，故选B．点评：本题考查函数单调性的判断与证明，难点在于“f（x）=xsinx在x∈[0，]时f（x）单调递增”的证明（导数法）及偶函数性质的综合应用（f（x1）＞f（x2）⇔|x1|＞|x2|），属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．13．已知sin（+α）=，则cos2α=．考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：先求得sin（+α）=cosα=，则有cos2α=2cos2α﹣1=．解答：解：sin（+α）=cosα=，则cos2α=2cos2α﹣1=．故答案为：．点评：本题主要考察了二倍角的余弦，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．14．已知||=4，||=3，且与夹角为，则•=﹣10．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意根据向量数量积运算即可求得结论．解答：解：•=•（）=﹣=4×3×cos﹣42=6﹣16=﹣10．故答案为﹣10．点评：本题主要考查向量的运算法则及数量积运算，属于基础题．15．已知函数f（x）=2x﹣kx a﹣2（k，a∈R）的图象经过点（1，0），设g（x）=，若g（t）=2，则实数t=3．考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数f（x）=2x﹣kx a﹣2（k，a∈R）的图象经过点（1，0）可得2﹣k﹣2=0，从而求出g（x）=，再由g（t）=2求实数t即可．解答：解：∵函数f（x）=2x﹣kx a﹣2（k，a∈R）的图象经过点（1，0），∴2﹣k﹣2=0，∴k=0，∴g（x）=，∵g（t）=2，∴2t﹣2=2，（t≤0）或log2（t+1）=2，（t＞0），解得，t=3．故答案为：3．点评：本题考查了函数中参数的求法及分段函数的应用，属于中档题．16．已知等差数列{a n}满足a2=3，点（a4，a8）在直线2x+y﹣29=0上，设b n=a n+，数列{b n}的前n项和为S n，则点（n，S n）到直线2x+y﹣24=0的最小距离为．考点：数列与解析几何的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，从而求出等差数列{a n}，进而求数列{b n}的通项及前n项和公式，再由题意验证最小距离即可．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则，解得，a1=1，d=2；则a n=2n﹣1，b n=a n+=2n+2n﹣1，则S n=（1+2）+（3+4）+…+（2n+2n﹣1）=（1+3+5+…+2n﹣1）+（2+4+8+…+2n）=+=n2+2n+1﹣2，易验证点（3，S3）即（3，23）到直线2x+y﹣24=0的距离最小，即d==，即点（n，S n）到直线2x+y﹣24=0的最小距离为，故答案为：．点评：本题考查了等差数列的通项公式的求法及数列的前n项和的求法，用到了拆项求和数列求和公式，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，sinA+sinB=2sinC，a=2b．（1）证明：△ABC为钝角三角形；（2）若S△ABC=，求c．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）结合正弦定理和余弦定理即可证明：△ABC为钝角三角形；（2）根据三角形的面积公式即可求c．解答：解：（1）∵sinA+sinB=2sinC，∴由正弦定理得a+b=2c，∵a=2b，∴3b=2c，即c=，则a最大，则cosA===，则A为钝角，故△ABC为钝角三角形；（2）∵cosA=，∴sinA=，∵S△ABC==，即=，b，解得b=，则c=．点评：本题主要考查解三角形的应用，要求熟练掌握正弦定理和余弦定理的应用．18．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（2﹣y），已知关于x的不等式（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0的解集是{x|b＜x＜1}．（1）x求实数a，b（2）对于任意的t∈A，不等式x2+（t﹣2）x+1＞0恒成立，求实数x的取值范围．考点：函数恒成立问题；一元二次不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由新定义得到不等式，求解不等式后结合不等式的解集列关于a，b的方程，则答案可求；（2）把不等式x2+（t﹣2）x+1＞0恒成立看作是关于t的一次不等式，然后由t取﹣1和1时对应的代数式大于0求得x的取值范围．解答：解：（1）由（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0，得（x+1）（a+1﹣x）＞0，∴（x+1）（x﹣a﹣1）＜0，∴﹣1＜x＜a+1，∵不等式（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0的解集是{x|b＜x＜1}，∴b=﹣1，a+1=1，a=0；（2）由（1）知，A=（﹣1，1），令g（t）=xt+（x2﹣2x+1），对于任意的t∈（﹣1，1），不等式x2+（t﹣2）x+1＞0恒成立，当x=0时，上式显然成立；当x≠0时，则，即，解得：或．∴实数x的取值范围是．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了一元二次不等式的解法，训练了更换主元法思想方法，是中档题．19．已知函数f（x）=（a＞0，x＞0）的图象过点（a，0）．（1）判断函数f（x）在（0．+∞）上的单调并用函数单调性定义加以证明；（2）若a＞函数f（x）在[，5a]上的值域是[，5a]，求实数a的值．考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）代入点的坐标，求得f（x），再由单调性的定义，即可证得f（x）在（0．+∞）上为增函数；（2）由函数的单调性，即可得到最值，解方程，即可求得a．解答：解：（1）函数f（x）=（a＞0，x＞0）的图象过点（a，0），则0=，则b=1，则f（x）==，f（x）在（0．+∞）上为增函数，理由如下：设0＜m＜n，则f（m）﹣f（n）=﹣（）=，由于0＜m＜n，则m﹣n＜0，mn＞0，则f（m）﹣f（n）＜0，则f（x）在（0．+∞）上为增函数；（2）由于f（x）在（0．+∞）上为增函数，则函数f（x）在[，5a]上的值域是[f（），f（？5a）]，即有，解得，a=．点评：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题．20．如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG；（2）试问点F在线段AB上什么位置时，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面BCE和CEF的法向量，利用向量法求二面角的大小，解方程即可得出．解答：解：（1）证明：连接CE、BD，设CE∩BD=O，连接OG，由三角形的中位线定理可得：OG∥AC，∵AC⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，∴AC∥平面BDG．（2）∵平面ABC⊥平面BCDE，DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥AC，则△ACD为直角三角形．∵△ABC是正三角形，∴取BC的中点M，连结MO，则MO∥CD，∴MO⊥面ABC，以M为坐标原点，以MB，M0，MA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=2，AD=4，∴AM=，∴B（1，0，0），C（﹣1，0，0），A（0，0，），在Rt△ACD中，CD=．∴BE=CD=，即E（1，2，0）则，∵点F在线段AB上，∴设BF=xBA，（0≤x≤1）则∴F（1﹣x，0，），则，，设面CEF的法向量为，则由得，，令a=，则b=﹣1，c=，即，平面BCE的法向量为，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为，即，∴，平方得，解得：，解得x=﹣1（舍去）或x=．即F是线段AB的中点时，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理，以及利用向量法解决二面角的大小问题，综合性较强，运算量较大．21．已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足，n∈N*．数列{b n}满足，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求a1、d和T n；（2）若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用，n取1或2，可求数列的首项与公差，从人体可得数列的通项，进而可求数列的和；（2）分类讨论，分离参数，求出对应函数的最值，即可求得结论．解答：解：（1）∵，a1≠0，∴a1=1．…．∵，∴（1+d）2=3+3d，∴d=﹣1，2，当d=﹣1时，a2=0不满足条件，舍去．因此d=2．…．∴a n=2n﹣1，∴，∴．…．（2）当n为偶数时，，∴，∵，当n=2时等号成立，∴最小值为，因此．…．当n为奇数时，，∵在n≥1时单调递增，∴n=1时的最小值为，∴．…．综上，．…．点评：本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，解题的关键是分类讨论，分离参数，属于中档题．22．设函数f（x）=．（1）求函数f（x）在[，2]上的最值；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式f（x）﹣1＜a成立．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）f′（x）=，令h（x）=（x﹣1）e x+1，则h′（x）=x•e x，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值；（2）化简不等式f（x）﹣1＜a为e x﹣（a+1）x﹣1＜0，求导讨论函数的单调性，从而求函数的最小值，证明最小值小于0即可．解答：解：（1）f′（x）=，令h（x）=（x﹣1）e x+1，则h′（x）=x•e x，故h（x）=（x﹣1）e x+1在（0，+∞）上是增函数，又∵h（0）=0，故f（x）=在（0，+∞）上是增函数，则函数f（x）在[，2]上的最小值为f（）=2﹣2，最大值为f（2）=e2﹣；（2）证明：f（x）﹣1=，不等式f（x）﹣1＜a可化为e x﹣（a+1）x﹣1＜0，令g（x）=e x﹣（a+1）x﹣1，则g′（x）=e x﹣（a+1），令e x﹣（a+1）=0解得，x=ln（a+1），故当0＜x＜ln（a+1）时，g′（x）＜0，当x＞ln（a+1）时，g′（x）＞0，则当x=ln（a+1）时，g min（x）=a﹣（a+1）ln（a+1），令m（a）=（a+1），（a≥0），则m′（a）=﹣＜0，则当a＞0时，m（a）＜m（0）=0；故g min（x）=a﹣（a+1）ln（a+1）＜0，故存在正数x，使不等式f（x）﹣1＜a成立．点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．。

2017-2018学年数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.10+=的倾斜角是（ ） A ．56π B ．6π C ．3π D ．23π 2.设,αβ表示不同的平面，l 表示直线，,,A B C 表示不同的点，给出下列三个命题： ①若,,,A l A B B l αα∈∈∈∈，则l α⊂； ②若,,,A A B B αβαβ∈∈∈∈，则AB αβ=；③若,l A l α⊄∈，则A α∉. 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．03.一条光线从1(,0)2A -处射到点(0,1)B 后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y --=D ．210x y ++= 4.如图，,,,A B C D 是平面直角坐标系上的四个点，将这四个点的坐标(,)x y 分别代入x y k -=，若在某点处k 取得最大值，则该点是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D5.若某直线的斜率(k ∈-∞，则该直线的倾斜角α的取值范围是（ ） A ．[0,]3πB ．[,]32ππC ．[0,](,)32πππD ．[,)3ππ6.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m β⊥的是（ ）A ．,m αβα⊥⊂B ．,m ααβ⊥⊥C ．,m n n β⊥⊂D ．//,m n n β⊥7.如图是水平放置的ABC ∆按“斜二测画法”得到的直观图，其中''''BO C O =''4AO =，那么ABC ∆的面积是（ ）A B C ．2D ．8.一个圆锥的侧面展开图是一个14的圆面，则这个圆锥的表面积和侧面积的比是（ ） A ．54 B ．43 C ．32D ．659.已知正方体被过其中一面的对角线和它对面相邻两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的正（主）视图与俯视图如下，则它的侧（左）视图是（ ）10.如图，在平面直角坐标系中有三条直线123,,l l l ，其对应的斜率分别为123,,k k k ，则下列选项中正确的是（ ）A ．312k k k >>B ．120k k ->C ．120k k ∙<D ．321k k k >>11.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为形，PA ⊥平面ABC ，若三棱锥P ABC -的体积为O 的表面积为（ ）A ．18πB ．20πC ．24πD ．12.在正方体1111ABCD A BC D -中，点E 为底面ABCD 上的动点，若三棱锥1B D EC -的表面积最大，则E 点位于（ ）A ．线段AB 的中点处 B ．线段AD 的中点处C ．点A 处D ．点D 处第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13.一个球的体积在数值上等于其表面积的5倍，则该球的半径为_________.14.直线l 与直线:320m x y -+=关于x 轴对称，则这两直线与y 轴围成的三角形的面积为_________.15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_________.16.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，060ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，PA =，E 为BC 中点，F 在棱PD 上，AF PD ⊥，点B 到平面AEF 的距离为_________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设直线1:(1)41l a x y --=，2:(1)32l a x y ++=，3:23l x y -=. （1）若直线1l 的倾斜角为0135，求实数a 的值； （2）若23//l l ，求实数a 的值. 18.（本小题满分12分）已知直角ABC ∆的顶点A 的坐标为(2,0)-，直角顶点B 的坐标为，顶点C 在x 轴上.（1）求边BC 所在直线的方程；（2）求直线ABC ∆的斜边中线所在的直线的方程. 19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD . （1）证明：AC PB ⊥；（2）若3,2PD AD ==，求异面直线PB 与AD 所成角的余弦值.20.（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 和直角梯形BDEF 所在的平面互相垂直，四边形ADEG 是平行四边形，O 为正方形ABCD 的中心，AB =，//EF BD ，1DE EF ==，DE BD ⊥. （1）求证：//CF 平面OGE ； （2）求证：DF ⊥平面ACE .21.（本小题满分12分）如图1，已知四边形ABFD 为直角梯形，//AB DF ，2ADF π∠=，BC DF ⊥，AED∆为等边三角形，3AD =，3DC =，如图2，将AED ∆，BCF ∆分别沿,AD BC 折起，使得平面AED ⊥平面ABCD ，平面BCF ⊥平面ABCD ，连接,EF DF ，设G 为AE 上任意一点.（1）证明：//DG 平面BCF ； （2）若163GC =，求EG GA的值.22.（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的底面为正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点. （1）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；（2）若D 为AB 中点，0145CA D ∠=且2AB =，设三棱锥F AEC -的体积为1V ，三棱锥F AEC -与三棱锥1A ACD -的公共部分的体积为2V ，求12V V 的值.邢台市高二上学期第一次月考 数学试卷（理科）参考答案一、选择题1-5.ABBDC 6-10.DCAAD 11-12.BC二、填空题13. 15 14.43 15. 423π+ 16. 2三、解答题17. 1l 的方程可化为1144a y x -=-， 由01tan1354a -=，解得3a =-. （2）∵23//l l ， ∴122123a +=≠-，即52a =-.18.解：（1）依题意，直角ABC ∆的直角顶点为(1B 所以AB BC ⊥，故1AB BC k k ∙=-, 又因为(3,0)A -，（2）因为直线BC 0y +-=，点C 在x 轴上， 由0y =，得2x =，即(2,0)C ， 所以，斜边AC 的中点为(0,0)，故直角ABC ∆的斜边中线为OB （O 为坐标原点）.设直线:OB y kx =，代入(1B ，得k =所以直角ABC ∆的斜边中线OB 的方程为y =. 19.（1）证明：连接BD .∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AC ⊥∵底面ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥，又PD BD D =，∴AC ⊥平面PBD ，∵PB ⊂平面PBD ，∴AC PB ⊥.（2）在Rt PDB ∆中，223PB =+=∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD BC ⊥，又BC CD ⊥，∴BC ⊥平面PCD ，∴BC PC ⊥.∵//BC AD ，∴PBC ∠即为异面直线PB 与AD 所成的角，∴cos 17BC PBC PB ∠==.20.证明：（1）∵//EF BD ，22BD EF ==,O 为正方形ABCD 的中心，∴//,EF OB EF OB =,即BOEF 为平行四边形，∴//OE BF ，又OE ⊂平面OGE ，BF ⊄平面OGE ，∴BF //平面OGE ， ∵////BC AD GE ，∴//BC 平面OGE ， ∵BCBF B =，∴平面BCF //平面OGE ，∴//CF 平面OGE .（2）连接OF ，由（1）可知ODEF 为正方形， ∴DF OE ⊥，又四边形ABCD 为正方形，∴BD AC ⊥. 又∵平面ABCD ⊥平面BDEF ，且平面ABCD平面BDEF BD =，∴AC ⊥平面BDEF ，∴DF AC ⊥又OEAC O =，∴DF ⊥平面ACE .21.解：（1）由题意可知AD DC ⊥，因为平面AED ⊥平面ABCD ，平面AED平面ABCD AD =，所以CD ⊥平面AED ,同理CD ⊥平面BCF ，所以平面//AED 平面BCF . 又DG ⊂平面AED ，所以//DG 平面BCF .（2）取AD 的中点O ，连接OE ，则OE A D ⊥，过G 作GH OA ⊥，垂足为G ，设GH h =.∵060EAD ∠=，∴AH =.∵2222GC GH HD DC =++，∴2225628)99h =++，化简得2560h h -+=∴3h =或2h =.又∵5OE ==， 当3h =时， 在Rt AOE ∆中，35AH AG OE AE ==， ∴23EG GA =. 当2h =时，同理可得32EG GA =， 综上所述，EG GA 的值为23或32.22.（1）证明,如图，因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AE BB ⊥， 又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE BC ⊥，又1BC BB B =所以AE ⊥平面11B BCC ，而AE ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面11B BCC.（2）解：因为ABC ∆是正三角形，所以CD AB ⊥，又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CD AA ⊥，所以CD ⊥平面11A ABB ，所以1CD A D ⊥.由题可知，0145CA D ∠=，所以1AD CD AB ===. 在1Rt AA D ∆中，1AA===1122FC AA ==. 故三棱锥F AEC -的体积111332212AEC V S FC ∆=∙=⨯=. 设1,AC AF G AE CD O ==,过G 作GH AC ⊥于H ，连接OG ， ∵1AGA ∆∽CGF ∆,∴1112CG CF AG A A ==,∴1133GH AA ==. ∵12OD OC =，133AOC ABC S S ∆∆==. 三棱锥F AEC -与三棱锥1A ACD -的公共部分为三棱锥G AOC -，∴2133327V =⨯=， ∴12279124V V ==.。

12月15日数学周测一、单选题1．已知命题错误！未找到引用源。

：错误！未找到引用源。

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为（ ）A. 错误！未找到引用源。

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B. 错误！未找到引用源。

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C. 错误！未找到引用源。

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D. 错误！未找到引用源。

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2．若直线l 的一个方向向量()2,2,2a =-，平面α的一个法向量为()1,1,1b =-，则 （ ）A. l ⊥αB. l //αC. l ⊂αD. A 、C 都有可能3．若直线110l y ++=与直线2l 的斜率互为相反数，则2l 的倾斜角为（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°4．设m R ∈，则“0m =”是“直线()()1:1110l m x m y ++--=与直线()()2:12140l m x m y -+++=垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5．如图，在三棱锥V-ABC 中， VO ⊥平面ABC ，O ∈CD ，VA=VB ，AD=BD ，则下列结论中不一定成立的是 ( )A. AC=BCB. VC ⊥VDC. AB ⊥VCD. S △VCD ·AB=S △ABC ·VO6．如图，60°的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）B. 7C.D. 97．已知四棱锥P ABCD -中， ()4,2,3AB =-， ()4,1,0AD =-， ()6,2,8AP =--，则点P 到底面ABCD 的距离为（ ）A.B. C. 1 D. 28．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面， 4AB =， 16AA =，若E 、F 分别是棱1BB ， 1CC 上的点，且1BE B E =， 1113C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.9．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2C 的焦距等于（ ）．A. 2B.10．如图，在长方体ABCD A B C D '-'''中，点,P Q 分别是棱,BC CD 上的动点，4,3,BC CD CC '===,直线CC '与平面'PQC 所成的角为030，则P Q C ∆'的面积的最小值是（ ）A. B. 8C. D. 10二、填空题11．已知αβ⊥，平面α与平面β的法向量分别为m ， n ，且()1,2,5m =-， ()3,6,n z =-，则z =__________.12．已知直线l 的方程为20x y -+=，抛物线为22y x =，若点P 是抛物线上任一点，则点P 到直线l 的最短距离是__________．13．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中， E ， F 分别是1CC ， AD 的中点，那么异面直线1D E 和1A F 所成角的余弦值等于__________．14．已知点()2,0A -， ()0,4B ，点P 在圆()()22:345C x y -+-=上，则使90APB ∠=︒的点P 的个数为__________.三、解答题。

2017-2018学年度第一学期高二期中考试文科数学试题第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. 若直线过圆’厂2■■: \ ■的圆心，则的值为（）A. -1B. 1C. 3D. -3【答案】B【解析】分析：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）代入直线3x+y+a=0,解方程求得a的值.2 2解答：圆x +y +2x-4y=0的圆心为（-1, 2）,代入直线3x+y+a=0得：-3+2+a=0,「. a=1,故选Co点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围2. 设：：：E I-;，命题"若•，则方程.■ x' ：■ ■ :■- =「:有实根”的逆否命题是（）A. 若方程:;有实根，则•B. 若方程• J ：…='二有实根，则C. 若方程V- .■- :没有实根，则•D. 若方程:没有实根，则-【答案】D【解析】试题分析：原命题的逆否命题是：若方程/ + x-m = 0没有实根，则m 0 ,故选D.考点：四种命题.3. 命题“存在：-, ”的否定是（）A.不存在 _______________________B.存在儿，C.对任意的!，::叮 ___________D.对任意的!,【答案】D【解析】特称命题的否定是全称命题,所以为对任意的比ER, 故选D。

4. 若直线匚-丫十.-■?与圆：：；/：_「=「有公共点，则实数的取值范围是（）A. | - ■ IB. | 打C. | .■■.! ID. -J'：.-【答案】C|a卜1|厂【解析】由题意可得•，，解得' ：i I，选D.【点睛】直线与圆位置关系一般用圆心到直线距离d与半径关系来判断：当d>r时，直线与圆相离，当d=r时，直线与圆相切，当d<r时，直线与圆相交。

2017～2018学年高二(上)第一次月考数学试卷(文科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共16个小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列空间几何体中，是棱柱的是( )A．B．C．D．2．下列命题正确的是( )A．棱柱的侧面都是长方形 B．棱柱的所有面都是四边形C．棱柱的侧棱不一定相等 D．一个棱柱至少有五个面3．一个晴朗的上午，小明拿着一块长方形的木板在阳光下做投影实验，长方形的木板在地上形成的投影不可能是( )A． B． C． D．4．将直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，所得的几何体是( )A．圆柱 B．圆台 C．圆锥 D．两个圆锥5．如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为等腰直角三角形，且此三角形内接于圆柱的底面圆，如果圆柱的体积是V，那么三棱柱的体积是( )A．2VπB．2VπC．VπD．3Vπ6．下列四个命题：①若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行；②若直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥；③若一个平面内的三个不共线的点到另一个平面的距离都相等，则这两个平面平行； ④若直线l 不垂直于平面α，则平面α内没有与直线l 垂直的直线．其中正确的命题的个数是( )A ． 1B ． 2C ． 3D ． 47．圆台的上、下两个底面圆的半径分别为3 和4，母线与底面的夹角是60，则圆台的母线长l =( )A ． 3B ．．． 28．在长方体1111ABCD A B C D -的十二条棱中，与面对角线AC 垂直且异面的棱的条数是( )A ． 2B ． 4C ． 6D ． 89．已知两条不同的直线,m n 和平面α，下列结论正确的是( )①,m n n α⊥∥，则m α⊥；②,m n αα∥∥，则m n ∥；③,m n αα⊥⊥，则m n ∥；④m 与平面α所成角的大小等于n 与平面α所成角的大小，则m n ∥．A ．①③B ．①②C ．②③D ．①④10．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，AB =，4BC =，该四棱锥的外接球的体积为5003π，则A 到平面PBC 的距离为( )A ． ．6 C D 11．在平面四边形ABCD 中，,1,2AC BC BC AB ⊥==，将ABC 沿对角线AC 所在的直线折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，则直线AB 与平面ACD 所成角为( )A ．3πB ．6π C ．56π D ．23π 12．已知一个平行四边形的直观图是一个边长为3 的正方形，则此平行四边形的面积为( )A ．B ．．9 D ．1813．将半径为4 的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为( )A ．38π B ．163π C ．43π D ．314．在空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD 的中点，若异面直线AD 与BC 所成角为90，则EF =( )A ．1B ．2C 15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．24π- B ．24π+ C ．20π- D ．20π+16．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，13,4,5AB BC AA ===，,E F 为线段11AC 上的动点，且1EF =，,P Q 为线段AC 上的动点，且2PQ =，M 为棱1BB 上的动点，则四棱锥M EFQP -的体积( )A ．不是定值，最大为254 B ．不是定值，最小6C ．是定值，等于254D ．是定值，等于6第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．把答案填在答题卡中的横线上）17．一个几何体的表面展开平面图如图，该几何体中与“数”字面相对的是“________”字面．18．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡壔(dǎo )，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何?”意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为4 丈8 尺，高1丈1尺，则它的体积是________立方尺．(取3π=，1丈=10尺)19．若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，1AC 与底面ABCD 成45角，则三棱锥1B ACC -的表面积为________．20．它的三视图中的俯视图如下图所示，侧(左)视图是一个矩形，若这个矩形的面积等于6，则该正棱柱的侧面积为________．21．已知正三棱锥S ABC -中，底面ABC 的边长等于6，4SA =，则该正三棱锥的高为________．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，四个侧面都是顶角为15的等腰三角形，侧棱长均为a ，,,E F G 分别是,,PB PC PD 上的点，则四边形AEFG 周长的最小值为________．23．一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，其中,E F 分别是,PD AB 的中点，M 是PC 上的一点， BM ∥平面DEF ，则三棱锥M DEF -的体积为________．24．已如平面α外两点,A B 到平面α,A B 在平面α内的射影AB 的长度为________．三、解答题 （共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）25．如图，在四棱锥E ABCD -中，AB CD ∥，且2AB CD =，F 为BE 的中点． 证明：FC ∥平面ADE ．26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点,E F 分别是11,BC B C 的中点．(1)证明：平面1AB E ∥平面1ACF ； (2) 平面1AB E 将三棱柱111ABC A B C -分为两部分，记体积较小一部分的体积为1V ，体积较大一部分的体积为2V ，求12V V 的值． 27．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,,E F G 分别是1,,AB CC AD 的中点．(1)证明：平面1A BG 平面CEF ；(2)棱CD 上是否存在点T ，使AT ∥平面1B EF ?请证明你的结论．试卷答案一、选择题1-5：CDACC 6-10：ADAAC 11-16：BBBCAD二、填空题17．学18．211219．6+20．21．222．a23．4324．三、解答题25．证明：取AE 的中点G ，连结,FG DG ，所以FG AB ∥，且2AB FG =，由已知AB CD ∥，且2AB CD =，所以FG CD =，FG CD ∥，所以CDGF 为平行四边形，即FC GD ∥．FC GD FC ADE FC ADE GD ADE ⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭面面面∥∥．26．(1)证明：因为点,E F 分别是11,BC B C 的中点，所以1//B F CE ，所以1B E CF ∥，同理可证1AE A F ∥．因为1B E AE E =，所以平面1AB E ∥平面1ACF ．(2)解：设棱柱的高为h ，体积为V ，则1113B ABE ABE V V S h -==⋅111326ABC S h V =⨯⋅=， 所以256V V =，故1215V V =． 27．(1)证明：因为,E G 分别是AB 与AD 中点，结合正方体知识易得ABG BCE ≌， 所以 ABG BCE ∠=∠．因为90BCE BEC ∠+∠=，所以90BEC ABG ∠+∠=，即BG CE ⊥．又由正方体知识可知，1CC ⊥平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ，所以1CC BG ⊥，即FC BG ⊥．又FC CE C =，FC ⊂平面EFC ，EC ⊂平面EFC ，于是BG ⊥平面EFC ．因为BG ⊂平面1A BG ，故平面1A BG ⊥平面EFC ．(2)解：在棱CD 上取点T ，使得14DT DC =，则AT ∥平面1B EF ．证明如下：延长BC ，1B F 交于H ，连EH 交DC 于K ．因为11CC BB ∥，F 为1CC 中点，所以C 为BH 中点．因为CD AB ∥，所以KC AB ∥，且1124KC EB CD ==． 因为14DT DC =，E 为AB 中点，所以TK AE ∥且TK AE =，即四边形AEKT 为平行四边形，所以AT EK ∥，即AT EH ∥．又EH ⊂平面1B EF ，AT ⊄平面1B EF ，所以AT ∥平面1B EF ．。

2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（共11小题，满分55分，每小题5分）1．设圆C1：x2+y2=1 与C2：（x﹣2）2+（y+2）2=1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含2．已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣23．过点P（2，1）且被圆C：x2+y2﹣2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0B．3x+y﹣7=0C．x﹣3y+5=0D．x+3y﹣5=04．圆（x+1）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．相离5．设命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，则该命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．36．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P ﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A．B．C．D．7．若有以下说法：①相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则=；③对于任意的和，|+|≤||+||恒成立；④若∥，∥，则∥．其中正确的说法序号是（）A．①③B．①④C．②③D．③④8．圆x2+y2+4y=0与直线3x+4y+2=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x﹣3y﹣6=0B．4x+3y+6=0C．3x+4y+8=0D．4x﹣3y﹣2=09．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PADD．面PAD与面PBC的交线与BC平行10．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2B．2C．D．11．如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B 截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12．直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=．13．已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．14．如图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干．现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为直线l：kx﹣y+4=0上一点，点M，N在圆C：（x﹣1）2+y2=4上运动，且满足|MN|=2，若=，则实数k的取值范围是．三．解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积．17．（12分）已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为；③圆心在直线x﹣3y=0上，求圆C的方程．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D到平面PAM的距离．19．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB，E，F分别为PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）求异面直线PC与AE所成角的余弦值；（Ⅲ）若平面AEF与棱PC交于点M，求的值．20．（12分）求过两圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4的交点．（1）且过M（2，﹣2）的圆C1的方程；（2）且圆心在直线x+y﹣1=0上的圆C2的方程．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（III）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学mn试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共11小题，满分55分，每小题5分）1．设圆C1：x2+y2=1 与C2：（x﹣2）2+（y+2）2=1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距与半径之间的关系进行判断即可．【解答】解：圆心C1：（0，0），C2：（2，﹣2），半径R=1，r=1，则|C1C2|===4＞1+1，即圆C1与C2的位置关系是相离，故选：A．【点评】本题主要考查圆与圆位置关系的判断，结合圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键．2．已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣2【分析】根据两向量平行的充要条件建立等式关系，然后解二元一次方程组即可求出m的值．【解答】解：∵空间平面向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，∴（2m+1，3，m﹣1）=λ （2，m，﹣m）=（2λ，λm，﹣λm），∴，解得m=﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了平空间向量共线（平行）的坐标表示，以及解二元一次方程组，属于基础题．3．过点P（2，1）且被圆C：x2+y2﹣2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0B．3x+y﹣7=0C．x﹣3y+5=0D．x+3y﹣5=0【分析】当过点P的直线过圆心时，截得的弦长正是圆的直径，为弦长最长的情况，进而根据圆的方程求得圆心坐标，根据圆心和点P的坐标求得所求直线的方程．【解答】解：依题意可知过点P和圆心的直线被圆截得的弦长最长，整理圆方程得（x﹣1）2+（y+2）2=5，圆心为（1，﹣2）．又P（2，1）和圆心（1，﹣2），可求出过点P和圆心的直线的斜率为k==3∴过点P和圆心的直线方程为y﹣1=3（x﹣2），整理得3x﹣y﹣5=0故选：A．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了学生分析问题和解决问题的能力．4．圆（x+1）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．相离【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．【解答】解：圆C（x+1）2+y2=4的圆心C（﹣1，0），半径r=2；圆M（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心M（2，1），半径R=3．∴|CM|==，R﹣r=3﹣2=1，R+r=3+2=5．∴R﹣r＜＜R+r．∴两圆相交．故选：C．【点评】本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题．5．设命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，则该命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】判断原命题的真假，即可得到逆否命题的真假，判断逆命题的真假即可得到否命题的真假，即可得到结果．【解答】解：命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，显然不正确，如果这无数条直线是平行线，两个平面可能平行；所以原命题是假命题；则逆否命题是假命题；命题的逆命题是：平面α与β平行，则平面α内有无数条直线与平面β平行，是真命题，所以否命题也是真命题，故真命题的个数是2．故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断，四种命题的真假关系，直线与平面，平面与平面平行的简单性质的应用，是基本知识的考查．6．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P ﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A．B．C．D．【分析】AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC 上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角．【解答】解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC 为球O 的直径，当三棱锥P ﹣ABC 的体积最大时，△ABC 为等腰直角三角形，P 在面ABC 上的射影为圆心O ，过圆心O 作OD ⊥AB 于D ，连结PD ，则∠PDO 为二面角P ﹣AB ﹣C 的平面角，在△ABC △中，PO=2，OD=BC=，∴，si nθ=．故选：C ．【点评】本题考查了与球有关的组合体，关键是要画出图形，找准相应的线线、线面位置关系．属于难题．7．若有以下说法： ①相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则=；③对于任意的和，|+|≤||+||恒成立；④若∥，∥，则∥． 其中正确的说法序号是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．③④【分析】根据向量相等的定义，可得①正确；根据单位向量的定义，得到②不正确；根据向量加法法则，可得不等式|+|≤||+||恒成立，从而③正确；根据零向量与任意非零向量平行，可得④不正确．由此即可得到本题的答案．【解答】解：根据定义，大小相等且方向相同的两个向量相等． 因此相等向量的模相等，故①正确； 因为单位向量的模等于1，而方向不确定．所以若和都是单位向量，则不一定有=成立，故②不正确；根据向量加法的三角形法则，可得对于任意的和，都有|+|≤||+||成立，当且仅当和方向相同时等号成立，故③正确；若=，则有∥且∥，但是∥不成立，故④不正确．综上所述，正确的命题是①③故选：A．【点评】本题给出关于向量概念的几个命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了向量的定义、单位向量和向量的加减法法则等知识，属于中档题．8．圆x2+y2+4y=0与直线3x+4y+2=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x﹣3y﹣6=0B．4x+3y+6=0C．3x+4y+8=0D．4x﹣3y﹣2=0【分析】由题意可得所求直线为垂直于直线3x+4y+2=0且过圆心（0，﹣2）的直线，由直线的垂直关系可得斜率，进而可得方程．【解答】解：由直线和圆的位置关系可得：线段AB的垂直平分线是垂直于直线3x+4y+2=0且过圆心（0，﹣2）的直线，由直线的垂直关系可得所求直线的向量为，故方程为：y﹣（﹣2）=（x﹣0），即4x﹣3y﹣6=0故选：A．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，得出直线过圆心且垂直于已知直线，是解决问题的关键，属中档题．9．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PADD．面PAD与面PBC的交线与BC平行【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断A，B的正误；利用直线与平面垂直的判定定理判断C的正误；利用直线与平面平行的判定、性质定理判断D的正误．【解答】解：画出几何体的图形，如图，由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．故选：C．【点评】本题是中档题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用．10．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2B．2C．D．【分析】先由题意求得直线方程，再由圆的方程得到圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，即可求解．【解答】解：根据题意：直线方程为：y=x，∵圆x2+y2﹣4y=0，∴圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，∴弦长为2=2，故选：A．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，是常考题型，属中档题．11．如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B 截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（）A．B．C．D．【分析】设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，根据平面A1BC1是正三角形，所求截面的面积是该正三角形的内切圆面积，由此求出内切圆的半径和面积，即可求出内接球半径a和体积．【解答】解：设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，平面A1BC1是边长为2a的正三角形，且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1三边的中点，∴所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△A1BC1内切圆的半径是a×tan30°=a，则所求的截面圆的面积是π×a×a=a2=a=1•13=．∴该小球的体积为V球=故选：B．【点评】本题考查了正方体和它的内接球几何结构特征的问题，关键是想象出截面图的形状，是中档题．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12．直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=2．【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可．【解答】解：圆x2+y2+2y﹣3=0的圆心（0，﹣1），半径为：2，圆心到直线的距离为：=，所以|AB|=2=2．故答案为：2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．13．已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=0，可得tanθ=．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=x﹣y=0，∴tanθ==，解得θ=．故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．如图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干．现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为．【分析】先求出乙图中水的体积，然后求出甲图中水的高度即可．【解答】解：设正三棱柱的底面积为S，将图乙竖起得图丙，V=S•2a﹣（S）•2a=aS．则V水=V柱﹣设图甲中水面的高度为x，则S•x=aS，得x=a．故答案为：【点评】本题考查棱柱的体积，考查学生的转化思想，空间想象能力，是基础题．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为直线l：kx﹣y+4=0上一点，点M，N在圆C：（x﹣1）2+y2=4上运动，且满足|MN|=2，若=，则实数k的取值范围是．【分析】首先由向量相等得到四边形OMPN为平行四边形，可得到线段MN和线段OP的重点重合，并设这两条线段的重点为点Q（x 0，y0），可得出点P的坐标，并将点P的坐标代入直线方程，可得到点Q所在直线方程为kx﹣y+2=0，其次利用勾股定理得到CQ=，转化为圆心C到直线kx﹣y+2=0的距离小于或等于，利用点到直线的距离公式列有关k的不等式解出k的取值范围即可．【解答】解：易知，圆心C的坐标为（1，0），设线段MN的中点为点Q（x0，y0），由于，所以四边形OMPN为平行四边形，则点Q也是线段OP的中点，则点P的坐标为（2x0，2y0），点P在直线kx﹣y+4=0上，则有2kx0﹣2y0+4=0，化简得kx0﹣y0+2=0，所以，点Q在直线kx﹣y+2=0上，由于点Q是线段MN的中点，所以，CQ⊥MN，且CQ=，可视为圆心C到直线kx﹣y+2=0上一点的距离等于，所以，圆心C到直线kx﹣y+2=0的距离，即，化简得2k2﹣4k﹣1≥0，解得或，故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，主要是将向量的关系进行转化，其次就是将两点间的距离转化为点到直线的距离，是解本题的关键，属于难题．三．解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积．【分析】由正三棱柱的三视图知，该正三棱柱的侧棱长4cm，上下底面正三角形的高为2cm，由此能求出该三棱柱的表面积和体积．【解答】解：由正三棱柱的三视图知，该正三棱柱的形状如图所示：且AA′=BB′=CC′=4cm，（2分）正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为2cm．（4分）∴正三角形ABC的边长为|AB|==4．（6分）∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2××42sin60°=48+8（cm2）．（10分）AA′|=×42×sin60°×4=16（cm3）．体积为V=S底•|故这个三棱柱的表面积为（48+8）cm2，体积为16cm3．（14分）【点评】本题考查由几何体的三视图求几何体的体积、表面积的求法，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．17．（12分）已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为；③圆心在直线x﹣3y=0上，求圆C的方程．【分析】由题意，设圆心为（3a，a），半径r=3|a|，利用弦长公式求解弦长为；可得a的值，即得求圆C的方程．【解答】解：圆心在直线x﹣3y=0上，与y轴相切，设圆心为（3a，a），半径r=3|a|，圆心到直线y=x的距离d=弦长=2，即9a2﹣2a2=7．∴a2=1，即a=±1，3a=±3．∴圆心的坐标C分别为（3，1）和（﹣3，﹣1），故所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9【点评】本题考查圆的方程，解题时要注意点到直线的距离公式和勾股定理的合理运用．结合图形进行求解会收到良好的效果．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D到平面PAM的距离．【分析】（1）取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，证明QM∥AD，利用直线与平面平行的判定定理证明QM∥面PAD．（2）设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC =V P﹣ACD，通过证明以及计算即可求点D到平面PAM的距离．【解答】解：（1）当点Q为棱PB的中点时，QM∥面PAD，证明如下…（1分）取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以，在菱形ABCD中AD∥BC可得QM∥AD…（3分）又QM⊄面PAD，AD⊂面PAD所以QM∥面PAD…（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由（Ⅰ）可知PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 即PO 为三棱锥P ﹣ACD 的体高．…（7分）在Rt △POC 中，，，在△PAC 中，PA=AC=2，，边PC 上的高AM=，所以△PAC 的面积，…（9分）设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D ﹣PAC =V P ﹣ACD 得 …（10分），又，所以，…（11分）解得，所以点D 到平面PAM 的距离为．…（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，点线面距离的求法，等体积的方法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，PA=AB ，E ，F 分别为PB ，PD 的中点． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AE 所成角的余弦值；（Ⅲ）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求的值．【分析】（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，则O 为底面正方形ABCD 中心．连接PO ，推导出PO ⊥AC ，BD ⊥AC ，由此能证明AC ⊥平面PBD ．（Ⅱ）由OA ，OB ，OP 两两互相垂直，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，利用向量法能求出异面直线PC 与AE 所成角的余弦值．（Ⅲ）连接AM．设，其中λ∈[0，1]，求出平面AEMF的法向量，利用向量法能求出．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）设AC∩BD=O，则O为底面正方形ABCD中心．连接PO．因为P﹣ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD．（1分）所以PO⊥AC．（2分）又BD⊥AC，且PO∩BD=O，（3分）所以AC⊥平面PBD．（4分）（Ⅱ）因为OA，OB，OP两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．因为PB=AB，所以Rt△POB≌Rt△AOB．所以OA=OP．（6分）设OA=2．所以A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），D（0，﹣2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（0，﹣1，1）．所以=（﹣2，1，1），=（﹣2，0，﹣2）．（7分）所以|cos＜＞|==．即异面直线PC与AE所成角的余弦值为．（9分）（Ⅲ）连接AM．设，其中λ∈[0，1]，则==（﹣2λ，0，﹣2λ），（10分）所以==（﹣2﹣2λ，0，2﹣2λ）．设平面AEMF的法向量为=（x，y，z），又=（﹣2，﹣1，1），所以，即所以y=0．令x=1，z=2，所以=（1，0，2）．（12分）因为AM⊂平面AEF，所以=0，（13分）即﹣2﹣2λ+2（2﹣2λ）=0，解得，所以．（14分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查线段比值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，考查运用意识，是中档题．20．（12分）求过两圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4的交点．（1）且过M（2，﹣2）的圆C1的方程；（2）且圆心在直线x+y﹣1=0上的圆C2的方程．【分析】（1）设过两圆交点的圆系方程为（x2+y2﹣6x）+λ（x2+y2﹣4）=0（λ≠﹣1）．由圆C1过点M （2，﹣2），求出λ=1，由此能求出圆C1的方程．（2）设圆C2的方程为（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣6x﹣4λ=0，由圆心C2（，0）在直线x+y﹣1=0上，能求出圆C2的方程．【解答】解：（1）∵圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4，∴设过两圆交点的圆系方程为（x2+y2﹣6x）+λ（x2+y2﹣4）=0（λ≠﹣1）．∵圆C1过点M（2，﹣2），∴（4+4﹣12）+λ（4+4﹣4）=0，解得λ=1，∴圆C1的方程是x2+y2﹣3x﹣2=0．（2）∵圆C2的方程为（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣6x﹣4λ=0，且圆心C2（，0）在直线x+y﹣1=0上，∴﹣1=0，解得λ=2，∴圆C2的方程是x2+y2﹣2x﹣=0．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（III）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥DC，PD⊥DC，从而CD⊥平面PAD，由此能证明面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与PB所成角的余弦值．（III）求出平面ACM的法向量和平面BCM的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣MC﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，∴AD⊥DC，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥DC，∵PD∩AD=D，∴CD⊥平面PAD，∵CD⊂平面PCD，∴面PAD⊥面PCD．解：（Ⅱ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点，∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），=（1，1，0），=（0，2，﹣1），设直线AC与PB所成角为θ，则cosθ===．∴直线AC与PB所成角的余弦值为．（III）A（0，0，0），M（0，1，），C（1，1，0），B（0，2，0），=（1，1，0），=（0，1，），=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，），设平面ACM的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，2），设平面BCM的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，2），设二面角A﹣MC﹣B的平面角为α，则cosα===．∵二面角A﹣MC﹣B是钝二面角，∴二面角A﹣MC﹣B的余弦值为﹣．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线线角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。

模拟三一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

） 1、椭圆205422=+y x 的焦点坐标是（ ）A ．)0,3(),0,3(-B ．)3,0(),3,0(-C ．)0,1(),0,1(-D ．)1,0(),1,0(-2、m ,n 为两条不同的直线，α,β错误！未找到引用源。

为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．//,m n m n αα⊥⇒⊥ 错误！未找到引用源。

B ．//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒错误！未找到引用源。

C ．,//m m n n αα⊥⊥⇒错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒3、已知21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，AB 是过1F 的弦，则2ABF ∆的 周长是 ( )A.a 2B.a 4C.a 8D.b a 22+ 4、下列四种说法中，错误的个数是（ ）①“a ＝1”是“直线y ＝kx ＋a 和圆C ：x 2＋y 2＝2相交”的充要条件； ②命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．”； ③“命题q p ∨为真”是“命题q p ∧为真”的必要不充分条件；④命题“R x ∈∀，均有0232≥--x x ”的否定是：“R x ∈∃0，使023020≤--x x ”．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B. 213C.253 D.34 6、已知方程11222=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（ ） A ．1<k B ．2>k C ．1<k 或2>k D ．21<<k7、设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B.23 C.34 D.458、与曲线1492422=+y x 共焦点，而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（ ）A ．191622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116922=-y x 9、 设椭圆12622=+y x 和双曲线1322=-y x 的公共焦点为21,F F ，P 是两曲线的一个公共点，则cos 21PF F ∠的值等于（ ）A.41 B.31 C.91 D.5310、已知双曲线22221(0,0)x y a ba b-=>>的两条渐近线均与曲线22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于（ ）A B ．32 D 11、椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点为F ，椭圆C 与x 轴正半轴交于A 点，与y轴正半轴交于()0,2B ，且424+=⋅，则椭圆C 的方程为( )A ．12422=+y xB ．14622=+y xC ．14822=+y xD ．181622=+y x 12.点P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，12,F F 分别是其左右焦点，若122PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围是 （ ） A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、已知x ＋y ＋1＝0，那么)3)2(22+++y x （的最小值是_______14、某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 ．15、已知F 是双曲线112422=-y x 的左焦点，定点)4,1(A ，点P 是 双曲线右支上的动点，则||||PA PF +的最小值为16、 已知椭圆22:12x c y +=的两焦点为12,F F , 点00(,)P x y 满足2200012x y <+<,则 |1PF |+2PF |的取值范围为_三．解答题（本题共6大题，17题10分，其余均为12分，共70分） 17、（本题满分10分）已知动点M 到点A （2，0）的距离是它到点B （8，0）的距离的一半， （1）求动点M 的轨迹方程；（2）若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹.18、（本题满分12分）设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >，q ：实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩（1）若1=a ，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19、（本题满分12分）如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB ∆为等边三角形,AC BC ⊥且AC BC ==O ，M 分别为AB ，VA 的中点；（1）求证：OC VB ⊥； （2）求三棱锥V ABC -的体积.20. （本题满分12分） 设双曲线C 的焦点在y 轴上，离心率为2，其一个顶点的坐标是（0,1）.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线l 与该双曲线交于A 、B 两点，且A 、B 的中点为（2,3），求直线l 的方程。

综合检测卷一一、选择题(每小题5分，共50分)1．用数学归纳法证明33n n>(n ≥3，n ∈N)第一步应验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3 D ． n ＝4 2．不等式|3x －2|<4的解集是( )A.{}x |x ＞2B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－23 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－23或x ＞2D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23＜x ＜2 3．已知a ，b ，c ，d ∈R，且ab ＞0，－ca ＜－d b，则下列各式恒成立的是( ) A ．bc ＜ad B ．bc ＞ad C.a c ＞b d D.a c ＜b d4．若a ，b ，x ，y ∈R，则()()⎩⎨⎧>--+>+0b y a x ba y x 是⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，y ＞b 成立的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．给出三个条件：①ac 2＞bc 2；②a c ＞b c；③a 2＞b 2.其中能成为a ＞b 的充分条件的个数为(A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．若a ＞0，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 在R 上的解集不是空集的a 的取值范围是( A ．0＜a ＜1 B ．a ＝1 C ．a ≥1 D．a ＞1 7．设x >0，y >0且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1x ＋y ≤14 B.1x ＋1y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy ≥1 8．若k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱有对角面的个数为( ) A ．2f (k ) B ．k －1＋f (k ) C ．f (k )＋k D ．f (k )＋29．已知f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )＜k 2成立C ．若f (7)≥49成立，则当k ＜7时，均有f (k )＜k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 10．用数学归纳法证明“对于任意x >0时的正整数n ，都有x n＋xn －2＋xn －4＋…＋1xn －4＋1x n －2＋1x n≥n ＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n 0应为( )A ．n 0＝1B ．n 0＝2C ．n 0＝1，2D ．以上答案均不正确 二、填空题(每小题5分，共30分) 11．函数y ＝243x x +(x >0)的最小值为________． 12．若|x ＋y |＝4，则xy 的最大值是________．13．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2的最小值是________． 14．x ，y ∈R，若x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的最小值为________．15．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2，用数学归纳法证明a n ＝4×2n －1－2的第二步中，设n ＝k 时结论成立，即a k ＝4×2k －1－2，那么当n ＝k ＋1时，______________________________________.16．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 三、解答题(共70分)17．(12分)已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋b ＋a －cc≥3.18．(10分)已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a |≥1(a >0)． (1)当a ＝1时，求此不等式的解集；(2)若不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．19.(12分)设x >0，y >0，证明：()()31332122yxy x +>+20．(12分)已知a ＞b ＞c ＞0，方程x 2－(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca ＝0，若该方程有实根，求证：a ，b ，c 不能成为一个三角形的三边长．21．(12分)已知函数f (x )＝x ＋3x ＋1(x ≠－1)，设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，数列{b n }满足b n ＝|a n －3|，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n ∈N *)．(1)用数学归纳法证明：b n≤()1213--n n； (2)求证：S n ＜233.22．(12分)已知数列{b n }是等差数列，且b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145(n ∈N *)． (1)求数列{b n }的通项；(2)设数列{a n }的通项a n ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+n a b 11log (其中a >0且a ≠1)，设S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与1log 31+n a b 的大小，并证明你的结论．。

2017~2018学年高二（上）第二次月考数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共80分）一、选择题：本大题共16个小题,每小题5分,共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“0x ∃>，()lg 11x +>”的否定是（ ） A ．0x ∃>，()lg 11x +≤ B ．0x ∃>，()lg 11x +> C ．0x ∀>，()lg 11x +≤ D ．0x ∀>，()lg 11x +> 2．下列四组直线中，互相平行的是（ ）A ．10x y +-=与10x y --=B ．10x y -+=与1y x =+C ．210x y +-=与10x y --=D ．20x y +=与2430x y +-= 3．已知,a b ∈R ，则“1a b >>”是“2a b +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知(),2A x x ，()1,0B ，()3,C x x ，若直线AB 的斜率为1，则直线BC 的斜率为（ ） A ．14-B ．14C ．4-D ．4 5．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,EF 分别为,AD CD 的中点，则图中五棱锥1D ABCFE -的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．6．关于棱柱有下列四个命题，其中判断错误的是（ ）A ．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B ．平行六面体可能是直棱柱C ．直棱柱的每个侧面都是矩形D ．斜棱柱的侧面中可能有矩形 7．在平面直角坐标系xOy 中，方程11x y a a +=-表示的直线可能为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知直线():2l y kx k =+∈R ，圆()22:16M x y -+=，圆()22:19N x y ++=，则（ ）A ．l 必与圆M 相切，l 不可能与圆N 相交B ．l 必与圆M 相交，l 不可能与圆N 相切C ．l 必与圆M 相切，l 不可能与圆N 相切D ．l 必与圆M 相交，l 不可能与圆N 相离 9．下列四个命题中，正确的是（ ）①两个平面同时垂直第三个平面，则这两个平面可能互相垂直②方程0Ax By C ++=()0,0,0A B C ><>表示经过第一、二、三象限的直线 ③若一个平面中有4个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 ④方程()()()()111112y y x y x x --=--可以表示经过两点()()111,2,,x y 的任意直线 A ．②③ B ．①④ C ．①②④ D ．①②③④10．如图，在直角梯形ABCD 中，2AB CD ==，4AD =，AD AB ⊥，AB CD ∥，由斜二测画法得到它的直观图为梯形A B C D ''''，则（ ）A ．45B D A '''∠=︒ B ．梯形A BCD ''''的面积为6 C ．B C C D ''''> D ．梯形A B C D ''''为直角梯形11．过圆()2234x y +-=内一点()1,2作此圆的弦，则弦长的最小值与最大值分别为（ ）A ．8B 4C ． 4D ．8 12．下列关于充要条件的说法中，错误的是（ ）A ．关于x 的方程()2212log 121x a a +=-+()a ∈R 有实数解的充要条件为1a =B ．“4xy ≠”是“4x ≠或1y ≠”的充分不必要条件C ．“24b ac =”是“4,,a b c 成等比数列”的充要条件 D ．“2l o g 3x >”是“4log 10x >”的必要不充分条件13．某几何体的三视图如图所示，其中，俯视图由两个半径为a 的扇形组成，给出下列两个命题：p ：若1a =，则该几何体的体积为2π；q ：若该几何体的表面积为824π+，则a =那么，下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝ 14．光线沿直线:3450l x y -+=射入，遇直线:l y m =后反射，且反射光线所在的直线经过抛物线225y x x =-+的顶点，则m =（ ） A ．3 B ．3- C ．4 D ．4-15．已知球O 为正四面体ABCD 的内切球，E 为棱BD 的中点，2AB =，则平面ACE 截球O 所得截面圆的面积为（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．2π16．设点(),P x y 是圆22:2230C x x y y ++--=上任意一点，若2x y x y a --+-+为定值，则a 的值可能为（ ）A ．4-B ．0C ．3D ．6第Ⅱ卷（共70分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）17．命题“若1sin 2x >，则1cos 22x <”的否命题为 ．18．直线3y x =-的倾斜角是直线3y x =的倾斜角的 倍． 19．在正三棱锥D ABC -中，相互垂直的棱共有 对．20．长、宽、高分别为2,1,2的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ．21．已知圆心在x 轴的正半轴上的圆C 既与圆22:1M x y +=外切，又与圆22:445N x x y ++=内切，则圆C 的标准方程为 ．22．若直线3y kx =+与函数2y =的图象相交于,A B 两点，且5AB =，则k = ． 三、解答题 （本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）23．（1）已知直线:240l x y -+=在x 轴上的截距为a ，求过点(),3a a 且与l 垂直的直线方程；（2）若直线l 经过点()4,5，且l 在x 轴上的截距与在y 轴上的截距相等，求直线l 的方程.24．如图，在三棱锥S ABC -中，AC SC ⊥，SC BC ==2SB =，,D E 分别为,AS AC 的中点，F 为线段AB 上一点.（1）证明：DE ∥平面SBC . （2）证明：平面SAC ⊥平面ABC .（3）若平面DEF ∥平面SBC ，证明：F 为线段AB 的中点.25．已知圆N 的圆心在直线250x y -+=上，且圆N 经过点()3,1A 与点()6,4B . （1）求圆N 的方程；（2）过点()6,9D 作圆N 的切线，求切线所在直线的方程.26．如图，几何体11ABC A DC -由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得，4AB =，1AA =11A D =，1AA ⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，E 为棱1AA 上一点，且EM ∥平面1BC D .（1）若N 在棱BC 上，且2BN NC =，证明：EN ∥平面1BC D ；（2）过A 作平面BCE 的垂线，垂足为O ，确定O 的位置（说明作法及理由），并求线段OE 的长.2017~2018学年高二（上）第二次月考数学试卷参考答案（文科）一、选择题1-5:CDABC 6-10:ABDCD 11-15：CCCAB 16：D二、填空题17．若1sin 2x ≤，则1cos 22x ≥. 18．5 19．3 20．9π 21．()2234x y -+= 22．12三、解答题23．解：（1）对240x y -+=. 令0y =得，2x =-，故2a =-.由题意可设所求直线的方程为20x y c ++=，代入()2,6--得14c =.故所求直线方程为2140x y ++=. （2）当直线l 过原点时，直线l 的方程为540x y -=. 当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为1x ya a+=， 代入()4,5得9a =，∴l 的方程为90x y +-=. 综上，直线l 的方程为540x y -=或90x y +-=. 24．证明：（1）因为,D E 分别为,AS AC 的中点，所以DE SC ∥，又因为SC ⊂平面SBC ，DE ⊄平面SBC ， 所以DE ∥平面SBC .（2）因为SC BC ==2SB =，且222SC BC SB +=，所以SC BC ⊥.又AC SC ⊥，AC BC C =I ，所以SC ⊥平面ABC . 又SC ⊂平面SAC ，所以平面SAC ⊥平面ABC .（3）因为平面DEF ∥平面SBC ，平面DEF I 平面ABC EF =，平面SBC I 平面ABC BC =，所以EF BC ∥，又E 为AC 的中点，所以F 为线段AB 的中点. 25．解：（1）设 线段AB 的中点为95,22C ⎛⎫⎪⎝⎭，∵1AB k =，∴线段AB 的垂直平分线为70x y +-=，与250x y -+=联立得交点()3,4N ， ∴3AN r ==.∴圆N 的方程为()()22349x y -+-=. （2）当切线斜率不存在时，切线方程为6x =.当切线斜率存在时，设切线方程为()96y k x -=-，即960kx y k -+-=， 则N3=，解得815k =，∴切线方程为815870x y -+=. 故满足条件的切线方程为6x =或815870x y -+=.26．（1）证明：∵EM ∥平面1BC D ，EM ⊂平面1ABDA ， 平面1ABDA I 平面1BC D BD =， ∴BD EM ∥.过D 作DH AB ⊥于H ，连接CH ，则1CH C D ∥， 则111244HM AB AB AB =-=，∴::1:2HM MB CN NB ==， ∴MN CH ∥，则1MN C D ∥.∵EM MN M =I ，∴平面EMN ∥平面1BC D . ∵EN ⊂平面EMN ，∴EN ∥平面1BC D . （2）解：在线段AB 上取一点F ，使11B F AD ==，则1AF B D ∥，由（1）知E M B D ∥，∴1EM A F ∥，∴123AE AM AA AF ==，∴23AE =⨯=取BC 的中点G ，连接,AG EG ，过A 作AO EG ⊥于O ，则AO ⊥平面BCE . 证明如下：由题意可知，ABC ∆为等边三角形，则AG BC ⊥，又1AA ⊥平面ABC ，∴1AA BC ⊥. ∵1AG AA A =I ，∴BC ⊥平面AEG ，∴BC AO ⊥. 又EG BC G =I ，∴AO ⊥平面BCE . 由射影定理可得，2AE OE EG =⨯，又AG =EG =OE =。

河北省邢台市2017-2018学年高二数学上学期第一次月考试题文（扫描版）高二年级文科数学试题 答案1-5 BDCAB 6-10 CDDDD 11-12 AC13.16或64 14.15.23 16.①③17.解:设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S .则R ＝OC ＝2，AC ＝4，AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ，∴AE AO ＝EB OC ，即323＝r2，∴r ＝1。

S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π.∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.18.解:(1)当AB 为直径时，过A 、B 的圆的半径最小，从而周长最小．即AB 中点(0,1)为圆心，半径r ＝12|AB |＝10.则圆的方程为：x 2＋(y －1)2＝10.(2)解法1：AB 的斜率为k ＝－3，则AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x .即x －3y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0. 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.即圆心坐标是C (3,2)． r ＝|AC |＝3－122＋22＝2 5.∴圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. 解法2：待定系数法设圆的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 22－b 2＝r 2，1－a 24－b 2＝r 2，2a －b －4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，r 2＝20.∴圆的方程为：(x －3)2＋(y －2)2＝20. 19.解:（1）证明：取中点，连结，， ∵，，，∴，， ∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）由已知条件得，所以，所以 20.解：（1）∵底面ABCD 是正方形，∴//AB CD ，又∵AB ⊄平面PCD ， CD ⊂平面PCD ，∴//AB 平面PCD ，又∵A ， B ， E ， F 四点共面，且平面ABEF ⋂平面PCD EF =，∴//AB EF .（2）在正方形ABCD 中， CD AD ⊥，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，∴CD ⊥平面PAD ，又∵AF ⊂平面PAD ，∴CD AF ⊥，由（1）可知//AB EF ，又∵//AB CD ，∴//CD EF ，由点E 是棱PC 中点，∴点F 是棱PD 中点，在PAD ∆中，∵PA AD =，∴A F P D ⊥，又∵PD CD D ⋂=，∴AF ⊥平面PCD .21．（1）连接1,,NO NC NB；11111111111NC NB NO CB CB BNC CB NC O CB BB C C BC CB ⎫==⇒⊥⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎪⎭⎪⇒⊥⎭平面为中点为正方形 （2）延长CA ， 1C N 交于Q ，连接BQ ，延长CM 交BQ 于P ，连接OP.11//212NA CC QA AC NA CC ⎫⎪⇒==⎬=⎪⎭, 2,AB QB BC =∴⊥ 1111111QB BC QB B BCC QB B C BB QB OC QBC B C BC ⎫⊥⎫⇒⊥⇒⊥⎬⎪⊥⇒⊥⎬⎭⎪⊥⎭平面平面.OPC ∴∠为直线CM 与平面1BNC 所成角的平面角,,262BCP PBC BC ππ∠=∠==，2cos 6PC PC π∴==∴=.sin OPC∴∠==所以，直线CM与平面1BNC.（（3）思路二：取11A B中点为H，连接1,C H则11//,C H CM C H∴与平面1BNC所成角等于直线CM与平面1BNC所成角，可等体积法求得H到平面1BNC的距离h，然后求线面角的正弦值1hC H)22.解析：（1）因为1AA⊥底面ABCD，所以1CC⊥底面ABCD，因为BD⊂底面ABCD，所以1.C C B D⊥因为底面A B C D是梯形，//AB DC，90BAD∠=︒，1.2AB AD CD==因为1AB=，所以1AD=， 2.CD=所以BD=，BC=所以在BCD∆中，222.BD BC CD+=所以90.CBD∠=︒所以.BD BC⊥又因为1.CC BD⊥所以BD⊥平面1.BCC因为BD⊂平面1BDC，所以平面1BCC⊥平面1.BDC（2）存在点P是11C D的中点，使//AP平面1BDC.证明如下：取线段11C D的中点为点P，连结AP,所以1//C P CD，且11.2C P CD=因为//AB DC，1.2AB CD=所以1//C P AB，且1.C P AB=所以四边形1ABC P是平行四边形.所以1//.AP BC又因为1BC⊂平面1BDC，AP⊄平面1BDC，所以//AP平面1.BDC。

2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣32．（5分）当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤03．（5分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞04．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）5．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切7．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p 是￢q的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件9．（5分）下列命题中真命题是（）A．B．∃x∈（﹣∞，0），2x＞1C．∀x∈R，x2≥x﹣1 D．∀x∈（0，π），sinx＞cosx10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C． D．11．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．12．（5分）三棱锥P﹣ABC 中，PC⊥平面ABC，且AB=2，BC=CA=PC=2，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．6πD．12π二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为．14．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=．15．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为．16．（5分）若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）给定命题p：∀x∈R，都有ax2+ax+1＞0成立；q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）（Ⅰ）已知圆经过A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5）两点，若圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，求圆M的方程；（Ⅱ）求过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，1）的圆N的方程．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离．20．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．22．（12分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选：B．2．（5分）当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0【解答】解：由逆否命题的定义可知：当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x ﹣m=0有实根”的逆否命题是：若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0．故选：D．3．（5分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0【解答】解：命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是对任意的x∈R，2x＞0，故选：D．4．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选：C．5．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．6．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选：B．7．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解；①∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又∵m⊂β，∴l⊥m，①正确．②由l⊥m推不出l⊥β，②错误．③当l⊥α，α⊥β时，l可能平行β，也可能在β内，∴l与m的位置关系不能判断，③错误．④∵l⊥α，l∥m，∴m∥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，正确；故选：B．8．（5分）已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p 是￢q的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得：=1，解得k=．∴p是q的充分不必要条件．则￢p是￢q的必要不充分条件．故选：B．9．（5分）下列命题中真命题是（）A．B．∃x∈（﹣∞，0），2x＞1C．∀x∈R，x2≥x﹣1 D．∀x∈（0，π），sinx＞cosx【解答】解：∵sinxcosx=sin2x，若sinxcosx=，则sin2x=＞1，故A错误；∵当x∈（﹣∞，0），2x＜1恒成立，故B错误；∵方程x2﹣x+1=0的△=1﹣4=﹣3＜0，函数y=x2﹣x+1的图象为开口朝上的抛物线，故x2﹣x+1≥0恒成立，即∀x∈R，x2≥x﹣1，故C正确；∵当x=∈∈（0，π），sinx=cosx，故∀x∈（0，π），sinx＞cosx，故D错误；故选：C．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C． D．【解答】解：由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，左侧与一个底面半径为1，高为1的半圆锥组成的组合体，几何体的体积为：=．故选：B．11．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选：C．12．（5分）三棱锥P﹣ABC 中，PC⊥平面ABC，且AB=2，BC=CA=PC=2，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．6πD．12π【解答】解：如图，∵AB=2，BC=CA=2，∴△ABC为直角三角形，斜边中点M为△ABC的外心，设球心为O，则OM⊥面ABC，过O作ON⊥PC于N，可得N为PC中点，∵PC⊥平面ABC，∴球半径R=OC=则该三棱锥的外接球的表面积是4πR2=12π．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6π．【解答】解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，所以它的底面半径为：1，所以圆柱的表面积为S=2S底+S侧=2×12×π+2π×2=6π．故答案为：6π．14．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=2．【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，故，得|AB|=2．故答案为：2．15．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为[﹣2，2] ．【解答】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2．故答案为：[﹣2，2]16．（5分）若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是[1﹣，3] ．【解答】解：如图所示：曲线y=3﹣，即y﹣3=﹣，平方可得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1+，或b=1﹣．结合图象可得1﹣≤b≤3，故答案为：[1﹣，3]．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）给定命题p：∀x∈R，都有ax2+ax+1＞0成立；q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；（2分）关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根⇔△=1﹣4a≥0⇔a≤；…（4分）p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，…（5分）如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞∴＜a＜4；…（6分）如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤∴a＜0…（7分）所以实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（，4）．…（8分）18．（12分）（Ⅰ）已知圆经过A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5）两点，若圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，求圆M的方程；（Ⅱ）求过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，1）的圆N的方程．【解答】解：（Ⅰ）AB的中点为（0，﹣4），直线AB的斜率为=，∴线段AB的中垂线方程为y=﹣2x﹣4，即2x+y+4=0．联立方程组，解得x=﹣1，y=﹣2，即所求圆的圆心M（﹣1，﹣2），∴圆的半径，∴圆M的方程为（x+1）2+（y+2）2=10．（Ⅱ）设圆N的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵圆N过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，1），∴列方程组得解得D=﹣2，E=2，F=﹣3，∴圆N的方程为x2+y2﹣2x+2y﹣3=0．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离．【解答】（本题满分12分）（Ⅰ）证明：连接A1C交AC1于点O，连接OD．∵矩形ACC1A1中，O是A1C的中点，又点D是BC的中点，∴△A1BC中，OD∥A1B．∵OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1；…（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知O是A 1C的中点，故点A1到平面ADC1的距离与点C到平面ADC1的距离相等，设为h．∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∴AD⊥CC1，BC⊥CC1，∴AD⊥平面BCC1B1，AD⊥DC1．在Rt△C 1CD中，，则，；在Rt△ACD中，；…（8分）∵三棱锥C﹣ADC1与三棱锥C1﹣ACD的体积相等，即，∴，解得．即点A1到平面ADC1的距离为．…（12分）20．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．命题q：实数x满足．化为，解得，即2＜x≤3．（1）a=1时，p：1＜x＜3．p∧q为真，可得p与q都为真命题，则，解得2＜x＜3．实数x的取值范围是（2，3）．（2）∵p是q的必要不充分条件，∴，a＞0，解得1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（1，2]．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF ②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．22．（12分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．【解答】（本题满分12分）解：证明：（Ⅰ）直线l方程变形为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，由，得，∴直线l恒过定点P（3，1）．…（4分）（Ⅱ）∵P（3，1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心C（1，2），半径r=5，∴，∴P点在圆C内部，∴直线l与圆C相交．…（8分）解：（Ⅲ）当l⊥PC时，所截得的弦长最短，此时有k l•k PC=﹣1，而，k PC=﹣，∴=﹣1，解得m=﹣．…（12分）。

2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学mn试卷（理科）一．选择题（共11小题，满分55分，每小题5分）1．设圆C1：x2+y2=1 与C2：（x﹣2）2+（y+2）2=1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含2．已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣23．过点P（2，1）且被圆C：x2+y2﹣2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0B．3x+y﹣7=0C．x﹣3y+5=0D．x+3y﹣5=04．圆（x+1）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．相离5．设命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，则该命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．36．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A．B．C．D．7．若有以下说法：①相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则=；③对于任意的和，|+|≤||+||恒成立；④若∥，∥，则∥．其中正确的说法序号是（）A．①③B．①④C．②③D．③④8．圆x2+y2+4y=0与直线3x+4y+2=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x﹣3y﹣6=0B．4x+3y+6=0C．3x+4y+8=0D．4x﹣3y﹣2=09．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PADD．面PAD与面PBC的交线与BC平行10．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2B．2C．D．11．如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12．直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=．13．已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．14．如图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干．现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为直线l：kx﹣y+4=0上一点，点M，N在圆C：（x﹣1）2+y2=4上运动，且满足|MN|=2，若=，则实数k的取值范围是．三．解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积．17．（12分）已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为；③圆心在直线x﹣3y=0上，求圆C的方程．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D到平面PAM的距离．19．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB，E，F分别为PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）求异面直线PC与AE所成角的余弦值；（Ⅲ）若平面AEF与棱PC交于点M，求的值．20．（12分）求过两圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4的交点．（1）且过M（2，﹣2）的圆C1的方程；（2）且圆心在直线x+y﹣1=0上的圆C2的方程．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（III）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学mn试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共11小题，满分55分，每小题5分）1．设圆C1：x2+y2=1 与C2：（x﹣2）2+（y+2）2=1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距与半径之间的关系进行判断即可．【解答】解：圆心C1：（0，0），C2：（2，﹣2），半径R=1，r=1，则|C1C2|===4＞1+1，即圆C1与C2的位置关系是相离，故选：A．【点评】本题主要考查圆与圆位置关系的判断，结合圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键．2．已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣2【分析】根据两向量平行的充要条件建立等式关系，然后解二元一次方程组即可求出m 的值．【解答】解：∵空间平面向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，∴（2m+1，3，m﹣1）=λ （2，m，﹣m）=（2λ，λm，﹣λm），∴，解得m=﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了平空间向量共线（平行）的坐标表示，以及解二元一次方程组，属于基础题．3．过点P（2，1）且被圆C：x2+y2﹣2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0B．3x+y﹣7=0C．x﹣3y+5=0D．x+3y﹣5=0【分析】当过点P的直线过圆心时，截得的弦长正是圆的直径，为弦长最长的情况，进而根据圆的方程求得圆心坐标，根据圆心和点P的坐标求得所求直线的方程．【解答】解：依题意可知过点P和圆心的直线被圆截得的弦长最长，整理圆方程得（x﹣1）2+（y+2）2=5，圆心为（1，﹣2）．又P（2，1）和圆心（1，﹣2），可求出过点P和圆心的直线的斜率为k==3∴过点P和圆心的直线方程为y﹣1=3（x﹣2），整理得3x﹣y﹣5=0故选：A．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了学生分析问题和解决问题的能力．4．圆（x+1）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．相离【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．【解答】解：圆C（x+1）2+y2=4的圆心C（﹣1，0），半径r=2；圆M（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心M（2，1），半径R=3．∴|CM|==，R﹣r=3﹣2=1，R+r=3+2=5．∴R﹣r＜＜R+r．∴两圆相交．故选：C．【点评】本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题．5．设命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，则该命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】判断原命题的真假，即可得到逆否命题的真假，判断逆命题的真假即可得到否命题的真假，即可得到结果．【解答】解：命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，显然不正确，如果这无数条直线是平行线，两个平面可能平行；所以原命题是假命题；则逆否命题是假命题；命题的逆命题是：平面α与β平行，则平面α内有无数条直线与平面β平行，是真命题，所以否命题也是真命题，故真命题的个数是2．故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断，四种命题的真假关系，直线与平面，平面与平面平行的简单性质的应用，是基本知识的考查．6．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A．B．C．D．【分析】AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角．【解答】解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C．【点评】本题考查了与球有关的组合体，关键是要画出图形，找准相应的线线、线面位置关系．属于难题．7．若有以下说法：①相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则=；③对于任意的和，|+|≤||+||恒成立；④若∥，∥，则∥．其中正确的说法序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．③④【分析】根据向量相等的定义，可得①正确；根据单位向量的定义，得到②不正确；根据向量加法法则，可得不等式|+|≤||+||恒成立，从而③正确；根据零向量与任意非零向量平行，可得④不正确．由此即可得到本题的答案．【解答】解：根据定义，大小相等且方向相同的两个向量相等．因此相等向量的模相等，故①正确；因为单位向量的模等于1，而方向不确定．所以若和都是单位向量，则不一定有=成立，故②不正确；根据向量加法的三角形法则，可得对于任意的和，都有|+|≤||+||成立，当且仅当和方向相同时等号成立，故③正确；若=，则有∥且∥，但是∥不成立，故④不正确．综上所述，正确的命题是①③故选：A ．【点评】本题给出关于向量概念的几个命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了向量的定义、单位向量和向量的加减法法则等知识，属于中档题．8．圆x 2+y 2+4y=0与直线3x +4y +2=0相交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．4x ﹣3y ﹣6=0B ．4x +3y +6=0C ．3x +4y +8=0D ．4x ﹣3y ﹣2=0【分析】由题意可得所求直线为垂直于直线3x +4y +2=0且过圆心（0，﹣2）的直线，由直线的垂直关系可得斜率，进而可得方程．【解答】解：由直线和圆的位置关系可得：线段AB 的垂直平分线是垂直于直线3x +4y +2=0且过圆心（0，﹣2）的直线，由直线的垂直关系可得所求直线的向量为，故方程为：y ﹣（﹣2）=（x ﹣0），即4x ﹣3y ﹣6=0故选：A ．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，得出直线过圆心且垂直于已知直线，是解决问题的关键，属中档题．9．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PADD．面PAD与面PBC的交线与BC平行【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断A，B的正误；利用直线与平面垂直的判定定理判断C的正误；利用直线与平面平行的判定、性质定理判断D的正误．【解答】解：画出几何体的图形，如图，由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．故选：C．【点评】本题是中档题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用．10．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2B．2C．D．【分析】先由题意求得直线方程，再由圆的方程得到圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，即可求解．【解答】解：根据题意：直线方程为：y=x，∵圆x2+y2﹣4y=0，∴圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，∴弦长为2=2，故选：A．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，是常考题型，属中档题．11．如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（）A．B．C．D．【分析】设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，根据平面A1BC1是正三角形，所求截面的面积是该正三角形的内切圆面积，由此求出内切圆的半径和面积，即可求出内接球半径a和体积．【解答】解：设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，平面A1BC1是边长为2a的正三角形，且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1三边的中点，∴所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△A1BC1内切圆的半径是a×tan30°=a，则所求的截面圆的面积是π×a×a=a2=a=1•13=．∴该小球的体积为V球=故选：B．【点评】本题考查了正方体和它的内接球几何结构特征的问题，关键是想象出截面图的形状，是中档题．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12．直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=2．【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可．【解答】解：圆x2+y2+2y﹣3=0的圆心（0，﹣1），半径为：2，圆心到直线的距离为：=，所以|AB|=2=2．故答案为：2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．13．已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=0，可得tanθ=．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=x﹣y=0，∴tanθ==，解得θ=．故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．如图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干．现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为．【分析】先求出乙图中水的体积，然后求出甲图中水的高度即可．【解答】解：设正三棱柱的底面积为S，将图乙竖起得图丙，V=S•2a﹣（S）•2a=aS．则V水=V柱﹣设图甲中水面的高度为x，则S•x=aS，得x=a．故答案为：【点评】本题考查棱柱的体积，考查学生的转化思想，空间想象能力，是基础题．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为直线l：kx﹣y+4=0上一点，点M，N在圆C：（x﹣1）2+y2=4上运动，且满足|MN|=2，若=，则实数k的取值范围是．【分析】首先由向量相等得到四边形OMPN为平行四边形，可得到线段MN和线段OP 的重点重合，并设这两条线段的重点为点Q（x0，y0），可得出点P的坐标，并将点P的坐标代入直线方程，可得到点Q所在直线方程为kx﹣y+2=0，其次利用勾股定理得到CQ=，转化为圆心C到直线kx﹣y+2=0的距离小于或等于，利用点到直线的距离公式列有关k的不等式解出k的取值范围即可．【解答】解：易知，圆心C的坐标为（1，0），设线段MN的中点为点Q（x0，y0），由于，所以四边形OMPN为平行四边形，则点Q也是线段OP的中点，则点P的坐标为（2x0，2y0），点P在直线kx﹣y+4=0上，则有2kx0﹣2y0+4=0，化简得kx0﹣y0+2=0，所以，点Q在直线kx﹣y+2=0上，由于点Q是线段MN的中点，所以，CQ⊥MN，且CQ=，可视为圆心C到直线kx﹣y+2=0上一点的距离等于，所以，圆心C到直线kx﹣y+2=0的距离，即，化简得2k2﹣4k﹣1≥0，解得或，故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，主要是将向量的关系进行转化，其次就是将两点间的距离转化为点到直线的距离，是解本题的关键，属于难题．三．解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积．【分析】由正三棱柱的三视图知，该正三棱柱的侧棱长4cm，上下底面正三角形的高为2cm，由此能求出该三棱柱的表面积和体积．【解答】解：由正三棱柱的三视图知，该正三棱柱的形状如图所示：且AA′=BB′=CC′=4cm，（2分）正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为2cm．（4分）∴正三角形ABC的边长为|AB|==4．（6分）∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2××42sin60°=48+8（cm2）．（10分）AA′|=×42×sin60°×4=16（cm3）．体积为V=S底•|故这个三棱柱的表面积为（48+8）cm2，体积为16cm3．（14分）【点评】本题考查由几何体的三视图求几何体的体积、表面积的求法，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．17．（12分）已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为；③圆心在直线x﹣3y=0上，求圆C的方程．【分析】由题意，设圆心为（3a，a），半径r=3|a|，利用弦长公式求解弦长为；可得a的值，即得求圆C的方程．【解答】解：圆心在直线x﹣3y=0上，与y轴相切，设圆心为（3a，a），半径r=3|a|，圆心到直线y=x的距离d=弦长=2，即9a2﹣2a2=7．∴a2=1，即a=±1，3a=±3．∴圆心的坐标C分别为（3，1）和（﹣3，﹣1），故所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9【点评】本题考查圆的方程，解题时要注意点到直线的距离公式和勾股定理的合理运用．结合图形进行求解会收到良好的效果．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D到平面PAM的距离．【分析】（1）取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，证明QM∥AD，利用直线与平面平行的判定定理证明QM∥面PAD．（2）设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC =V P﹣ACD，通过证明以及计算即可求点D到平面PAM的距离．【解答】解：（1）当点Q为棱PB的中点时，QM∥面PAD，证明如下…（1分）取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以，在菱形ABCD中AD∥BC可得QM∥AD…（3分）又QM⊄面PAD，AD⊂面PAD所以QM ∥面PAD…（2）点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离， 由（Ⅰ）可知PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 即PO 为三棱锥P ﹣ACD 的体高．…（7分）在Rt △POC 中，，，在△PAC 中，PA=AC=2，，边PC 上的高AM=，所以△PAC 的面积，…（9分）设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D ﹣PAC =V P ﹣ACD 得 …（10分），又，所以，…（11分）解得，所以点D 到平面PAM 的距离为．…（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，点线面距离的求法，等体积的方法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，PA=AB ，E ，F 分别为PB ，PD 的中点． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AE 所成角的余弦值；（Ⅲ）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求的值．【分析】（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，则O 为底面正方形ABCD 中心．连接PO ，推导出PO ⊥AC ，BD ⊥AC ，由此能证明AC ⊥平面PBD ．（Ⅱ）由OA，OB，OP两两互相垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出异面直线PC与AE所成角的余弦值．（Ⅲ）连接AM．设，其中λ∈[0，1]，求出平面AEMF的法向量，利用向量法能求出．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）设AC∩BD=O，则O为底面正方形ABCD中心．连接PO．因为P﹣ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD．（1分）所以PO⊥AC．（2分）又BD⊥AC，且PO∩BD=O，（3分）所以AC⊥平面PBD．（4分）（Ⅱ）因为OA，OB，OP两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．因为PB=AB，所以Rt△POB≌Rt△AOB．所以OA=OP．（6分）设OA=2．所以A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），D（0，﹣2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（0，﹣1，1）．所以=（﹣2，1，1），=（﹣2，0，﹣2）．（7分）所以|cos＜＞|==．即异面直线PC与AE所成角的余弦值为．（9分）（Ⅲ）连接AM．设，其中λ∈[0，1]，则==（﹣2λ，0，﹣2λ），（10分）所以==（﹣2﹣2λ，0，2﹣2λ）．设平面AEMF的法向量为=（x，y，z），又=（﹣2，﹣1，1），所以，即所以y=0．令x=1，z=2，所以=（1，0，2）．（12分）因为AM⊂平面AEF，所以=0，（13分）即﹣2﹣2λ+2（2﹣2λ）=0，解得，所以．（14分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查线段比值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，考查运用意识，是中档题．20．（12分）求过两圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4的交点．（1）且过M（2，﹣2）的圆C1的方程；（2）且圆心在直线x+y﹣1=0上的圆C2的方程．【分析】（1）设过两圆交点的圆系方程为（x2+y2﹣6x）+λ（x2+y2﹣4）=0（λ≠﹣1）．由圆C1过点M（2，﹣2），求出λ=1，由此能求出圆C1的方程．（2）设圆C2的方程为（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣6x﹣4λ=0，由圆心C2（，0）在直线x+y﹣1=0上，能求出圆C2的方程．【解答】解：（1）∵圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4，∴设过两圆交点的圆系方程为（x2+y2﹣6x）+λ（x2+y2﹣4）=0（λ≠﹣1）．∵圆C1过点M（2，﹣2），∴（4+4﹣12）+λ（4+4﹣4）=0，解得λ=1，∴圆C1的方程是x2+y2﹣3x﹣2=0．（2）∵圆C2的方程为（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣6x﹣4λ=0，且圆心C2（，0）在直线x+y﹣1=0上，∴﹣1=0，解得λ=2，∴圆C2的方程是x2+y2﹣2x﹣=0．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（III）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥DC，PD⊥DC，从而CD⊥平面PAD，由此能证明面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与PB所成角的余弦值．（III）求出平面ACM的法向量和平面BCM的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣MC ﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，∴AD⊥DC，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥DC，∵PD∩AD=D，∴CD⊥平面PAD，∵CD⊂平面PCD，∴面PAD⊥面PCD．解：（Ⅱ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点，∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），=（1，1，0），=（0，2，﹣1），设直线AC与PB所成角为θ，则cosθ===．∴直线AC与PB所成角的余弦值为．（III）A（0，0，0），M（0，1，），C（1，1，0），B（0，2，0），=（1，1，0），=（0，1，），=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，），设平面ACM的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，2），设平面BCM的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，2），设二面角A﹣MC﹣B的平面角为α，则cosα===．∵二面角A﹣MC﹣B是钝二面角，∴二面角A﹣MC﹣B的余弦值为﹣．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线线角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。

邢台市第二中学高二数学模拟卷一（理科） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分1.“0m >，0n >”是“方程221mx ny +=表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ）A ．163 B ．203C ．4D ．7 3.有下列四个命题：①若“1xy =，则,x y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③若“1m ≤，则220x x m -+=有实数解”的逆否命题；④“若A B B =∩，则A B =”的逆否命题.其中真命题为（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．①②③4．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设( ) A ．三个内角都不大于60 B ．三个内角都大于60C. 三个内角至多有一个大于60 D ．三个内角至多有两个大于 605．已知(0,)32x x p x ∀∈+∞>：，； (,0)32q x x x ∃∈-∞>：，，则下列命题为真命题的是( )A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝ 6.用数学归纳法证明“n n n n n 212111211214131211+++++=--++-+- ”时,由k n =的假设证明1+=k n 时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为( ) A ．1212111+++++k k k B ．2211212111+++++++k k k k C ．1212121+++++k k k D ．22112121++++++k k k 7.已知F 是抛物线218y x =的焦点，P 是该抛物线上的动点，则PF 中点的轨迹方程是（ ）A ．2420x y -+=B ．22810x y -+= C. 2440x y -+= D ．22860x y -+=8.直线2y kx =+与抛物线28y x =只有一个公共点，则k 的值为（ ） A ．1 B ．0 C.1或0 D ．1或39.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，两条曲线的交点的连线经过点F ，则双曲线的离心率为（ ）A B 1+ D ．110.在菱形ABCD 中，2,60A B B C D =∠=，现将其沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A.5 B.5C. 34D. 1411.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C.115 D ．371612.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F 、，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得21F PF ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．12(,)33 B ．1(,1)2 C. 2(,1)3 D ．111(,)(,1)322⋃ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.．已知命题：“[1,2]x ∃∈，使x 2+2x+a≥0”为真命题，则a 的取值范围是14.已知向量)1,5(),7,1(),1,2(===OB OA OP ，设M 是直线OP 上任意一点（O 为坐标原点），则MB MA ⋅的最小值为 ．15.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，AB BC =，2AC a =，13BB a =，D 是11A C 的中点，点F 在线段1AA 上，当AF =________时，CF ⊥平面1B DF .16 由动点Ｐ向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB,切点分别为A 、B ，∠APB=60°,则动点Ｐ的轨迹方程为 . 三、17.（本小题满分10分）设命题0:p x R ∃∈，使得20020x ax a +-=；命题:q x R ∀∈，22421ax x a x ++≥-+；如果命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.18. 已知圆过)3,1(),2,4(--Q P 两点，且在y 轴上截得的线段长为34求圆的方程。

2017-2018学年度第一学期高二期中考试文科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线过圆的圆心，则的值为（）A. -1B. 1C. 3D. -3【答案】B【解析】分析：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．解答：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2），代入直线3x+y+a=0得：-3+2+a=0，∴a=1，故选C。

点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围2. 设，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是（）A. 若方程有实根，则B. 若方程有实根，则C. 若方程没有实根，则D. 若方程没有实根，则【答案】D考点：四种命题.3. 命题“存在，”的否定是（）A. 不存在，B. 存在，C. 对任意的，D. 对任意的，【答案】D【解析】特称命题的否定是全称命题，所以为“对任意的，”，故选D。

4. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得，解得，选D.【点睛】直线与圆位置关系一般用圆心到直线距离d与半径关系来判断：当d>r时，直线与圆相离，当d=r时，直线与圆相切，当d<r时，直线与圆相交。

5. 设是两个不同的平面，是直线且.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】充分性：若，则存在过直线的平面与不平行，所以充分性不成立；必要性：若，则平面内的任意直线都与平行，则必要性成立，所以是必要不充分条件。

故选B。

6. 圆和圆的位置关系是（）A. 相交B. 相离C. 外切D. 内切【答案】A【解析】两圆的方程可化为，两圆心距离．由两圆之间位置关系的判定可知两圆相交．故本题答案选．7. 已知直线，平面，且，，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：对①，若∥，又，所以.又，，正确；对②，、可以平行，也可以相交，故错；对③，若，则、有可能平行，也有可能异面，也有可能相交，故错；对④，若∥，因为，所以.又，所以．正确.考点：空间直线与平面的位置关系.8. 已知条件，条件直线与圆相切，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】：，解得，所以是的必要不充分条件，根据逆否关系同真假，则是的必要不充分条件。