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8-7斯托克斯公式

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第十章第节斯托克斯公式资料讲解

第十章第节斯托克斯公式资料讲解

o
y
则 n 1 {1,1,1}
x
3
7
即 co sco sco s1,
3
1
1
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 ds z
x2 y2
D xy
x y1 2
x y3 2
43(xyz)ds
(在 上 xyz3) 2
4 3
23ds
2
3
Dxy
3dxdy
9 2
.
8
三、物理意义---环流量与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,是
以为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数
P( x, y, z),Q( x, y, z),R( x, y, z)
在包含曲面(R yQ z)dyd(zP zR x)dzdx(Q xP y)dxdy
[ R y ( Q z ) co ( P z s R x ) co ( Q x s P y ) c] o d
(P co Q sco s R co )dss
其中
的单 n c 位 i o c s 法 o j c sk o ,向
的单 t c 位 o i c s 切 o j c sk o 向
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
2
便于记忆形式
dydzdzdxdxdy
x
y
z PdxQdyRdz
PQR
另一种形式
cos cos cos
x
y
z dsPdxQdyRdz
P QR
其 n {c , 中 c, o c o } o s s s

高斯公式和斯托克斯公式_681302766

高斯公式和斯托克斯公式_681302766

,
a2 − x2 − y2
x
zy =
−y a2 − x2 − y2
∫∫ I = [ a2 − x2 − y2 ⋅
−x
Dxy
a2 − x2 − y2
+ 2 a2 − x2 − y2 ⋅
−y
− y]dxdy
2009-4-3
a2 − x2 − y2
25
z
I = − ∫∫ ( x + 3 y)dxdy
D xy
dz
−
∂Z ∂x
dz^
dx
假设：S : z = z( x, y)二阶偏导连续 , 上侧
S的单位法向量 nv =
1+
1
z
2 x
+
z
2 y
(
−
z
' x
,
−
z
' y
,1)T
= (cos α , cos β , cos γ )T
∂S在 xoy 平面上的投影为 L∗ , L∗所围区域是 D xy
2009-4-3
2009-4-3
3
[证] 先证明第三项
∫∫
S外
Zdx^
dy
=
∫∫∫ Ω
∂Z ∂z
dV
z nv S2 : z = z2(x, y)
•
假设Ω如图所示
nv
∫∫∫ ∫∫ ∫ ∂Z dV= dxdy ∂Z z2 ( x, y) dz
Ω ∂z
D xy
∂z z1 ( x , y ) o
S3
nvS1 : z• = z1(x, y) y
验证斯托克斯公式的正 确性
∫L zdx + xdy + ydz

工程流体力学(粘性流体动力学基础公式推导)

工程流体力学(粘性流体动力学基础公式推导)

2h
u
x
vw0
U 0
不可压连方
u v w 0, u 0, u u( y)
x y z
x
运动方程
u t
u
u x
v
u y
w
u z
1
p x
2u ( x 2
2u y 2
2u z2 )
26
运动方程
u t
u
u x
v
u y
w
u z
1
p x
2u ( x 2
2u y2
2u z 2
)
简化为
2u y 2
1
p x
13
px
py
pz
3 p
2 ( vx
x
vy y
vz z
)
（８--９）
问题：上式括号内表示什么？
对于不可压缩流体，故有：
p
1 3
(
px
py
pz
)
(8-10)
即对于粘性不可压缩流体，三个互相垂直的法
向应力的算术平均值恰好等于理想流体的压力。
14
将切向应力和法向应力关系式代入（8--5）式得
vx t
vx
Dt
x
y
z
DVz Z 1 ( zx zy pzz )
Dt
x
y
z
（8-5）
单位质量流体的惯性力
单位质量流体的应力
单位质量流体的质量力
这就是应力形式的粘性流体运动微分方程 8
讨论
1.式（８-５）中未知函数:三个速度分量和六个 应力分量；加上连续性方程，只有四个方程，
2.若要求解，需补充方程。
将（ｄ）式代入（ａ）式，经移项后可得

12-7 斯托克斯(stokes)公式

12-7 斯托克斯(stokes)公式

证明
如图
z 设Σ 与平行于 轴的直线
相交不多于一点, 并Σ 取 上侧,有向曲线 C 为Σ 的正 向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域D xy .
x
:z

f ( x, y )
o
y
D xy
C
E-mail: xuxin@
思路 曲面积分 二重积分 1 曲线积分 2
P P P P dzdx dxdy ( cos cos )ds y z y z
3 解 取Σ 为平面 x y z 2 的上侧被 所围成的部分.
则
z

n
1 n {1,1,1} 3
o

y
x
E-mail: xuxin@
1 即 cos cos cos , 3
I

1 1 1 3 3 3 ds 1 x y z x y 2 2 2 2 2 2 2 y z z x x y
( y z )dx ( z x )dy ( x y )dz
y z
=0 xy ( x y )z =xy yz zx
x x0
( x , y ,z )
( x0 , y0 , z0 )
Pdx Qdy Rdz
y
z
M ( x, y, z )
= P ( x , y0 , z0 )dx + Q( x , y , z0 )dy
y0
M ( x0 , y0 , z0 )
+ R( x , y , z )dz
z0
z

n
y
0
D xy
1
x
1
E-mail: xuxin@

物理化学公式总结

物理化学公式总结

物理化学公式总结物理化学是研究物质的结构、性质和变化的科学，它使用数学和物理的原理来解释化学现象。

在物理化学的研究过程中，涉及到许多重要的公式，这些公式是揭示物质性质和相互作用规律的基础。

下面我将为大家总结一些物理化学中常见的公式。

1. 热力学公式热力学公式描述了物质在热平衡状态下的性质和能量转化规律。

其中最基本的公式是热力学第一定律（能量守恒定律）：∆U = q + w其中，∆U表示系统内能的变化，q表示传递给系统的热量，w 表示系统对外界做的功。

2. 热力学第二定律热力学第二定律描述了能量的定向流动规律。

其中最著名的公式是卡诺热机效率公式：η = 1 - Tc/Th其中，η表示卡诺热机的效率，Tc表示冷热源的温度，Th表示热源的温度。

3. 热力学公式一般表达式根据热力学第一定律，可以推导出一般的热力学公式：dU = TdS - PdV其中，dU表示系统内能的微小变化，T表示温度，dS表示系统的熵变化，P表示压力，dV表示体积的微小变化。

4. 热力学常用关系根据热力学公式一般表达式，可以得到一些重要的热力学关系：Gibbs自由能（G）与焓（H）的关系：G = H - TS其中，G表示Gibbs自由能，H表示焓，T表示温度，S表示熵。

5. 气体状态方程气体状态方程描述了理想气体和实际气体之间的关系。

最常见的气体状态方程是理想气体状态方程：PV = nRT其中，P表示压力，V表示体积，n表示气体的摩尔数，R表示气体常数，T表示温度。

6. 麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律描述了气体分子速度的分布规律。

根据麦克斯韦速率分布定律，可以得到气体分子的平均动能（等于温度的能量）：KE = (3/2) kT其中，KE表示气体分子的平均动能，k表示玻尔兹曼常数，T表示温度。

7. 热容公式热容公式描述了物质温度变化时的热量和温度之间的关系。

最常用的热容公式是：C = q/∆T其中，C表示热容，q表示吸收或释放的热量，∆T表示温度变化。

斯托克斯定理

斯托克斯定理

5. 格林定理
设任意两个标量场 及，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，
如下图示。
那么，可以证明该两个标量场
S ,
及 满足下列等式
en
V ( 2 )d V S nd S
式中S 为包围V 的闭合曲面， 为标量
V
n
场 在 S 表面的外法线 en 方向上的偏
导数。
根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成
V [ ( P ) ( Q ) P Q ] d V S P Q d S
式中S 为包围V 的闭合曲面，面元 dS 的方向为S 的外法线方向，上式称 为矢量第一格林定理。
基于上式还可获得下式：
V [ Q ( P ) P ( Q ] d V S [ P Q Q P ] d S
若以符号rota表示矢量a的旋度则其方向是使矢量a具有最大环量强度的方向其大小等于对该矢量方向的最大环量强度即limrotmaxrot是英文字母rotation的缩写e为最大环量强度的方向上的单位矢量s为闭合曲线包围的面积
第一章 矢量分析
主要内容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理
1. 标量场的方向导数与梯度 2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理 6. 矢量场的惟一性定理 7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系
直角坐标系中散度可表示为
diA vAx Ay Az x y z
因此散度可用算符 表示为
diA vA
高斯定理
VdA iv dVSAdS
或者写为
VAdVSAdS
从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。
从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场， 根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。

大气污染控制工程公式集(全)

大气污染控制工程公式集(全)

1—1 暴露于两种气体混合物中所产生的COHb 和O 2Hb 的平衡浓度方程：22b =b COO COH P MO H P 1—2能见度近似方程：p pv 2.6d =k L ρρ1—3空气污染指数：k k,jk k,j+1k,j k,j k,j+1k,jI =(I I )I ρρρρ+———2—1 收到基： C ar+H ar+O ar+N ar+S ar+A ar+W ar=100%2—2 空气干燥基： C ad +H ad +O ad +N ad +S ad +A ad +W ad=100%2—3 干燥基： C d +H d +O d +N d +S d +A d=100%2—4 干燥无灰基：C daf +H daf +O daf +N daf +S daf=100% 2—5 燃料与空气中氧完全燃烧的化学方程式：222222() 3.78() 3.78()4242242X Y Z W y w y w y y wC H S O x z O x z N xCO H O zSO x z N Q +++-+++-→+++++-+2—6 理论空气量：0a V =107.1()42y w x z ++-/（12x+1.008y+32z+16w ） m 3/kg2—7空气过剩系数：0aaV V α=2—8燃料发热量： 25(9)LH H W q q W W =-+2—9标准状态下的烟气体积：s nn s n sp T V V p T =⋅⋅ 2—10 标准状态下烟气的密度：n n ss s np T p T ρρ=⋅⋅ 2—11 过剩空气校正，燃烧完全：2p2p 2p10.264 - O O N α=+2—12 过剩空气校正，燃烧不完全：2p p2p 2p p - 0.5CO 10.264 - (O - 0.5CO )O N α=+2—13 实际烟气体积：0(1)fg fg a V V V α=+-3—1 湿空气的绝对湿度：w ww p R Tρ=3—2 空气的相对湿度：100100w w v vpp ρϕρ=⨯=⨯3—3 空气的含湿量：0.622w d v vd w v vR p p d R p p p p ρϕϕρϕϕ==⋅=-- 3—6工程中的空气含湿量： 00.8040.804Nd w vd vp p d d p p p ϕρϕ===-3—7 水汽体积分数：000.8040.804NdNdw w d p d y p d d ρρ===++ 3—9风速u ≈3—10 大气热力过程的微分方程：p dP dQ C dT RTP=- 3—12 泊松方程：/0.288000()()p R C T P PT P P == 3—13 干绝热直减率：()i d d pdT gdZ C γ=-≈ 3—15 位温：/0.288000010001000()()p R C T T P P θ== 3—18 大气稳定度的判别：da g Z Tγγ-=∆ 微分式：()d Z Tθθγγ∂=-∂ 3—20 水平气压梯度1PG nρ∂=-∂ 3—21 地转偏向力 2sin n D v ωϕ=3—22 对数律风速廓线模式：*0ln u Zu k Z =3—23 指数律风速廓线模式：11()mZ u u Z = 4—6 无界空间连续点源扩散的高斯模式：()2222y z y z y z x y z =exp -+2u 22Q ρπσσσσ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，， 4—7 高架连续点源在正态分布假设下的高斯扩散模式：()()()222222y z y z z z-z+y x y z H =exp -exp -exp -2u 222H H Q ρπσσσσσ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎪⎪+⎢⎥⎢⎥ ⎪⎨⎬ ⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎩⎭，，，4—8 地面浓度模式（z=0）：()2222y z y z y x y 0H =exp -exp -u 22QH ρπσσσσ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 4—9 地面轴线浓度模式（y=0）: ()22y z z x =exp -u 2QH ρπσσσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0，0，H 4—10 地面最大浓度模式：z max 2y 2=u e Q H σρπσ⋅maxz x=x |ρσ4—12 地面连续点源扩散模式：()2222y z y z y z x y z =exp --+u 22Qρπσσσσ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，，0 4—13 颗粒物扩散模式：()()()22t 22y z y z 1+v x/u y x y 0=exp -exp -2u 22QH αρπσσσσ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，，H 其中 t v 18p p d g ρμ=4—16 霍兰德公式：()-3s a s v -11.5+2.7= 1.5v +9.610u us s H D T T H D D Q T ⎛⎫∆=⨯ ⎪⎝⎭ 4—17 布里格斯公式：当Q H >21000kW 时：x<10H s 1/32/310.362u H H Q x -∆=⋅⋅ x>10H s 1/32/311.55u H s H Q H -∆=⋅⋅ 当Q H <21000kW 时：x<3x* 1/31/310.362u H H Q x -∆=⋅⋅x>3x* 3/52/50.332H s H Q H ∆=⋅ *2/53/56/50.33u H s x Q H -=⋅⋅4—22 中国国家标准中对烟气抬升的规定公式：()s a 2100kW -35H Q T T K ≥≥当和时：12n n 10n u H s H Q H -∆=⋅⋅ a vs=0.35H TQ P Q T ∆ s a -T T T ∆= kW <2100kW H Q <当1700时：121-1700+-400H Q H H H H ∆=∆∆∆（）12(v +0.01)0.048(1700)=u us H H D Q Q H -∆-12nn 120n u H sH Q H -∆=⋅⋅1700kW 35H Q T K ≤∆<当或时：2(1.5v +0.01)/u s H H D Q ∆=当10m 高处的年平均风速小于或等于1.5m/s 时：3/81/4a d 5.50.0098dZ H T H Q -⎛⎫∆=+ ⎪⎝⎭4—29 太阳高度角：()0h =arcsin sin sin +cos cos cos 15t+-300ϕδϕδλ⎡⎤⎣⎦ 4—30 太阳倾角（或查表）：[]000000=0.006918-0.39912cos +0.070257sin -0.006758cos2+0.000907sin 2-0.002697cos3+0.001480sin3180/δθθθθθθπ4—31 当取样时间大于0.5h 时，垂直方向扩散参数z σ不变，横向扩散参数为：2121qy y τσστ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭= 其中，1100h h τ≤<时，q=0.3；0.51h h τ≤<时，q=0.2。

(数分)22.2 高斯公式 斯托克斯公式

(数分)22.2 高斯公式 斯托克斯公式
22.2 高斯公式 斯托克斯( Stokes )公式
定义 设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的 区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张成一片以它为边界的 完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G G G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
原式 [
+
- -
1+ 2 1 2
][(x y )dxdy ( y z )dydz (第一项用高斯)
o 1 x
y
( y z ) d x d y d z -[ ](x y )dxdy ( y z )dydz
d rd r (r sin z ) d z
0 0
1
3
2 0
6
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
z 3
若仅是柱面的外侧，则要补辅助平面
1 : z 0, x 2 y 2 1, 下侧
及 2 : z 3, x 2 y 2 1, 上侧。
其中是曲面 z R 2 x 2 y 2 ,
z 0的上侧
解：：z 0, x2 y 2 R2的下侧，这个平面在yz,xz平面投影为0
( x 3 zy )dydz ( y 3 xz )dzdx ( z 3 2 x 2 )dxdy 原式= 2 R 1 3 3 3 2 = 2 { }( x zy ) dydz ( y xz ) dzdx ( z 2 x )dxdy R +
1 2
5

9-7斯托克斯公式旋度

9-7斯托克斯公式旋度
2
x


3 x y z
2 2
dS
2
x y
3 2
z x
x y
2
D xy
x y 1 2

4
( x 3

y z ) dS
( 在 上 x y z 9
3 2
)
4 3

3
dS 2 3 3dxdy . 2

D xy
2
8
三、物理意义---环流量与旋度 1. 环流量
第七节 斯托克斯(stokes)公式
一、斯托克斯(stokes)公式 二、简单的应用 三、物理意义---环流量与旋度
1
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,
是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则,
函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的 一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式
At A n P cos Q cos R cos
环流量 rotA d S

At ds
14
Stokes公式的物理解释:
向量场 A 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A 的旋度场通过 所张的曲面的通量.( 的 正向与 的侧符合右手法则)

A t ds 或 ( rotA)n dS At ds


其中 ( rot A ) n rot A n ( R y Q z ) cos ( P z R x ) cos ( Q x P y ) cos

流体力学习题集讲课稿

流体力学习题集讲课稿

流体力学习题集第1章绪论习题1- 1从力学分析意义上说流体和固体有何不同？1- 2量纲与单位是同一概念吗？1- 3流体的容重和密度有何区别与联系？1- 4水的密度为1000 kg/m3, 2升的水的质量和重量是多少？1- 5体积为0.5m3的油料，重量为4410N,该油料的密度是多少？1-6水的容重=kN/m 3，= 10 3 Pa s，求它的运动粘滞系数。

1-7如图所示为一0.2m的平板，在油面上作水平运动，已知运动速度u= 1m/s，平板与固定边界的距离=1mm，油的动力粘滞系数为=题1-8图题1-7图Pa s，由平板所带动的油的速度成直线分布，求平板所受的阻力1-8旋转圆筒粘度计，悬挂着的内圆筒半径r = 20cm，高度h = 40cm，内筒不动，外圆筒以角速度=10 rad/s 旋转，两筒间距=0.3cm，内盛待测液体。

此时测得内筒所受力矩M= N m求油的动力粘滞系数。

（内筒底部与油的相互作用不计）1-9 一圆锥体绕其中心轴作等角速度=16 rad/s旋转，锥体与固定壁面的间隙=1mm,其间充满=Pa s的润滑油，锥体半径R = 0.3m，高R = 0.5m，求作用于圆锥体的阻力矩。

1-10如图所示为一水暖系统，为了防止水温升高时体积膨胀将水管胀裂，在系统顶部设一膨胀水箱。

若系统内水的总体积为8m,加温前后温差为50 C,在其温度范围内水的膨胀系数为，求膨胀水箱的最小容积。

（水的膨胀系数为/ C）1-11水在常温下，由5at压强增加到10at压强时，密度改变多少？1-12容积为4的水，当压强增加了5at时容积减少1升，该水的体积弹性系数为多少？为了使水的体积相对压缩1/1000,需要增大多少压强？td1^1事L 题1-10图第2章流体运动学基础题1-9图2-1给定速度场U x= x + y，Uy:=x y，U z = 0，且令t = 0 时x = a，ybz =C,求质点空间分布。

，2-2已知拉格朗日速度分布U x =(a sin t b cos t ) ，U y =a，y = b，z = c，试用(a cos t b sin t ) ，U z =。

高斯公式斯托克斯公式

高斯公式斯托克斯公式
在给出斯托克斯公式之前，先对有向曲面Σ的侧与其边 界曲线Γ满足右手法则规定如下：当右手除拇指外的四指依Γ 的绕行方向时，拇指所指的方向与Σ上法向量的指向相同， 这时称Γ是有向曲面Σ的正向边界曲线.
二、 斯托克斯公式
定理8
设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分片光滑的有
向曲面，Γ的正向与Σ的侧符合右手规则，函数Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在曲
及以垂直于Dxy边界的柱面Σ3组成 (见图10-14)，其中Σ1取下侧，Σ2取上 侧，Σ3取外侧，z1x,y≤z2x,y.于是按三
图 10-14
一、 高斯公式
一、 高斯公式
一、 高斯公式
注
对于一般的空间有界闭区域高斯公式均成 立.若曲面Σ与平行于坐标轴的直线的交点多于两 个，则用有限个光滑的曲面将Ω分为有限个满足 条件的小闭区域来讨论.
或用定积分表示为(按图10-15取积分路径) M0x0,y0,z0为G内某一定点，点Mx,y,z∈G.
三、 空间曲线积分与路径无关的条件
图 10-15
谢谢聆听
由第二类曲线积分的定义及格林公式,有
(10-16)
二、 斯托克斯公式
(10-17)
二、 斯托克斯公式
如果Σ取下侧，Γ也相应地改成相反的方向，那么式
(10-15)两端同时改变符号，因此式(10-15)仍成立.Fra bibliotek同样可证
(10-18)
(10-19)
将式(10-15)、式(10-18)和式(10-19)相加即得式(1014).
面Σ(连同边界Γ)上具有一阶连续偏导数，则有
(10-14)
式(10-14)称为斯托克斯公式. 斯托克斯公式还可写为
其中n=cos αi+cos βj+cosγk为有向曲面Σ在点(x,y,z)处的单位法 向量.

斯托克斯公式

斯托克斯公式

为了方便记忆，斯托克斯公式可写为：
Γ
∫ Pdx + Qdy + Rdz
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂ Q ∂P − )dydz + ( − )dzdx + ( − )dxdy = ∫∫ ( ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ ∂y
dydz dzdx dxdy
= ∫∫ ∂ Σ ∂x
∂ ∂y Q
∂ ∂z R
∵ Σ 取上侧 ∴ cos γ > 0
∴ n
0=
1 − − − （ − 1， 1， 1） 3
1 1 1 = ( , ) , 3 3 3
= (cos α , cos β , cos γ )
1 1 1 ∴ cos α = , cos β = , cos γ = 3 3 3
∴ 由斯托克斯公式，得
Γ
( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz ∫
Γ Γ
(1) (2) (3)
∂R ∂R ∫ Rdz = ∫∫ ∂y dydz − ∂x dzdx Σ
先证: (1)式成立。
1、简单情形 设 Σ 与平行于 z 轴的直线至多交于一点。
z
n Σ
Γ
Σ : z = z( x , y )
( i ) Σ 取上侧
±（ z x ，z y ， 1） −
y
1 + zx + z y
Γ
1
y
x
D xy
例2 利用斯托克斯公式计算
Γ
( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz ∫
3 其中 Γ 为平面 x + y + z = 2 截立方体：

注册环保工程师专业考试水公式

注册环保工程师专业考试水公式

水公式一、污水收集与提升1、排水体制p231：城市排水系统平面布置形式p235合流制溢流井流量计算：设计手册3册p18（截留倍数），p239/手册p5（生活水量）2、管网水力计算p238：（1）设计流量计算公式：p239；总变化系数K Z查p239。

.（2）污水管道水力计算p242：，A过水断面面积；R水力半径（过水断面面积/周湿）；I水力坡度；n管壁粗糙系数，查p242。

②最大设计充满度h/D：p243③最小设计流速：管道0.6m/s，明渠0.4 m/s。

④最大设计流速：金属管10 m/s，非金属5 m/s。

构筑物间连接管渠1~1.5 m/s。

⑤压力管道设计流速：0.7~1.5 m/s⑥最小管径、最小设计坡度：查p244⑦最大埋深计算p245：不超过7~8m，地质差地区（多水、流沙、石灰岩）不超5m。

⑧最小覆土深度：0.7m（3）管道设计①本段流量p249②管道衔接：p249③设置管道位置p2503、泵站设计（1）水泵类型及适用条件p258（2）水泵轴功率：水泵电机所需功率：，K电机超负荷系数；水的容重kg/L；Q水泵的输水量L/s；H水泵总扬程m；水泵总效率。

（3）水泵工作特性曲线p261：、吸水管、出水管水头损失；集水池最低工作水位与所提升最高水位之差；自由水头0.5~1m。

（4）管路特性曲线：，吸水高度和扬水高度之和，吸水、扬水管路总损失。

（5）水泵并联、串联p259（6）污水厂水头损失计算：p272~2744、格栅设计p277/规范46（1）栅槽宽度栅前流速：0.4~0.9m/s；过栅流速：0.6~1 m/s（2）过栅水头损失：，阻力系数查，栅格倾角（3）每日栅渣量：，栅渣量0.1~0.01m3/103m3污水，总变化系数查设计手册5册p4/p239。

.二、混凝（1nm~0.1μm浊度、色度）1、控制参数：p27G、T、GT/p32混合管道中流速/设计手册第3册P440-4912、机理p27：电性中和、沉淀物的卷扫（铝盐、铁盐），吸附架桥（高分子混凝剂）3、影响因素p30（1）水温：低温不利于（2）pH值：硫酸铝，浊度（6.5~7.5），色度（4.5~5.5）；三价铁盐，浊度（6~8.4）、色度（3.5~5）（3）碱度（石灰投加量）：[CaO]=3[a]-[X]+[δ][a]混凝剂投量mmol/L，[X]原水碱度CaO mmol/L，[δ]剩余碱度（0.25~0.5CaO mmol/L）（4）杂质4、混凝剂配制（多为湿法投加）p31（1）溶解池W1=（0.2~0.3）W2（2）溶液池，Q处理水量m3/h，药剂最大投量mg/L，b溶液浓度（取5%~20%，按固体重量计），n每日投配次数（不宜超3次）5、计量：瞬时指示计（定量投药泵、转子流量计、电磁流量计、孔口计量设备）6、药剂投加：多用压力投加p31（1）水射器：效率低、需设压力水系统（2）加药泵：多用计量泵，具有压力输送、计量2种功能7、混合池：水力混合、机械混合8、絮凝池：机械絮凝池、水力絮凝池9、三级处理p32：不采用隔板混合池，隔板、折板、网格栅条絮凝池。

高等数学曲线积分与曲面积分斯托克斯定律环流量与旋度

高等数学曲线积分与曲面积分斯托克斯定律环流量与旋度

a dx
a
Green公式:
∫∫
D
(
∂Q ∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
=
∫
∂D
Pdx
+
Qdy;
∂D
D
Gauss
公式
:
∫∫∫
Ω
(
∂P ∂x
+ ∂Q ∂y
+ ∂R )dV ∂z
∂Ω
Ω
= ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ;
∂Ω
Stokes公式 :
∫∫
Σ
( ∂R ∂y
−
∂Q ∂z
)dydz
+
( ∂P ∂z
∫∫
Σ
∂P ∂z
dzdx
−
∂P dxdy ∂y
=
−
∫∫
Σ
(
∂P ∂y
+
∂P ∂z
f y )cosγdS
即
∫∫
Σ
∂P ∂z
dzdx
−
∂P ∂y
dxdy
=
−
∫∫
Σ
(
∂P ∂y
+
∂P ∂z
f y )dxdy
∂ ∂y
P[ x,
y,
f
( x,
y)] =
∂P ∂y
+
∂P ∂z
⋅
fy
∫∫
Σ
∂P ∂z
dzdx
−
∂P ∂y
刚体上每一点处的线速度构成一个
线速场,则向量r = OM
= {x, y, z}在点M 处的线速度
L ω
o
v
M

散度旋度梯度

散度旋度梯度

散度散度是向量分析中的一个向量算子，将向量空间上的一个向量场（矢量场）对应到一个标量场上。

散度描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源点，形象地说，就是这包含这一点的一个微小体元中的向量是“向外”居多还是“向内”居多。

举例来说，考虑空间中的静电场，其空间里的电场强度是一个矢量场。

正电荷附近，电场线“向外”发射，所以正电荷处的散度为正值，电荷越大，散度越大。

负电荷附近，电场线“向内”，所以负电荷处的散度为负值，电荷越大，散度越小。

定义定义向量场的散度，首先要引入通量的概念。

给定一个三维空间中的向量场以及一个简单有向曲面，则向量场通过曲面的通量就是曲面每一点上的场向量在曲面法向方向上的分量的积分:其中是积分的面积元，n是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量。

如果曲面是封闭的，例如球面，那么通常约定法向量是从里朝外的，所以这时候的通量是描述曲面上的场向量朝外的程度。

通量描述了一定区域（也就是）中向量场的方向趋势，散度则是这个性质的一种局部描述[1]:7-8，也就是说，从散度在一点的值，我们可以看出向量场在这点附近到底倾向发散或收敛。

要算某一点的散度，先求包含这一点的某一个封闭曲面的通量除以封闭曲面围起来的微小体元的体积（这体积用表示）得到的比值，向量场在点的散度即是这比值在体元趋向于点时的极限。

用数学公式表示即：[2]:4如果用Nabla算子表示的话，向量场的散度记作：[2]:5从定义中可以看出，散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量，所以说散度是通量的体密度[1]:7-8。

物理上，散度的意义是场的有源性。

某一点或某个区域的散度大于零，表示向量场在这一点或这一区域有新的通量产生，小于零则表示向量场在这一点或区域有通量湮灭。

这样的点或区域分别称为向量场的正源（发散源）和负源（洞）[1]:8。

举例来说，假设将太空中各个点的热辐射强度向量看做一个向量场，那么某个热辐射源（比如太阳）周边的热辐射强度向量都指向外，说明太阳是不断产生新的热辐射的源头，其散度大于零。

(数分)22.2高斯公式斯托克斯公式报告

(数分)22.2高斯公式斯托克斯公式报告
R 3 2 2 d sin d r 4dr (应用球面坐标) 0 0 R 0
4 6 R 6 4 2 sin d cos R 2 0 5 5 0
6 R 4 5


8
计算曲面积分

( x 3 x 2 y )dydz ( y 3 xz )dzdx ( z 3 2 xyz )dxdy x 2 +y 2 +z 2
9 2
( y z ) d x d y d z (第二项积分为0，第一项上下相抵） 2 1 3 2 1 9 d r d r (r sin z ) d z = d r (3r sin ) d r 0 0 0 0 0 2
7
例2：计算曲面积分
(用柱坐标)
(r sin z )r dr d d z


02Fra biblioteko 1 x
y
0
2
2 1 1 2 3 9 2 d r ( zr sin z ) d r d (3r sin r )d r 0 0 0 0 2 2 1 2 9 2 1 9 9 9 (r sin r ) d (sin )d 0 0 0 4 4 2 2 3
d rd r (r sin z ) d z
0 0
1
3
2 0
6
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
z 3
若仅是柱面的外侧，则要补辅助平面
1 : z 0, x 2 y 2 1, 下侧
及 2 : z 3, x 2 y 2 1, 上侧。

8-7斯托克斯公式与旋度

8-7斯托克斯公式与旋度

则沿场F中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分
称 为C向F量 dr场 F沿C P曲dx线CQ按dy所取R方 dz 向的环流量 .
2. 旋度的定义:
称向量( R y
Q
r )i
z
(
P z
R
r )j
x
(
Q x
P )kr y
r
r
为向量场F的旋度,记为rotF .
ijk
r rotF
x
y
. z
PQR
rr 无旋场:rotA 0
二、 计 算 y 2dx z 2dy x 2dz, 其 中 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0),从x 轴正向看去,曲线为逆时针方
向.
三、 求向量场 A (z sin y)i (z x cos y) j 的旋度 .
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则.
z
解 按斯托克斯公式, 有
1
n
zdx xdy ydz
0 Dxy
y 1
dydz dzdx dxdy
1
x
由于的法向量的三个方向余 弦都为正，
dydz dzdx dxdy 3 d
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 rot A nds 化成曲 线积分,并计算积分值,其中A , 及n分别如下: A y 2 i xy j xzk , 为上半个球面 z 1 x 2 y 2 的上侧, n是 的单位法向量.
五、求向量场 A ( x z)i ( x 3 yz) j 3 xy2 k 沿闭曲 线 为圆 周z 2 x 2 y 2 , z 0 (从z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .

9-7斯托克斯公式与旋度

9-7斯托克斯公式与旋度

解
取 S为上半球面被 柱面截下的部分
L
o
v n
y
S: z = a − x − y
2 2
2
x
10
由斯托克斯公式得到
z
I = ∫ z dx + xydy + yzdz
2 L
L
o
= ∫∫ zdydz + 2zdzdx + ydxdy
S
v n
y
y x = ∫∫ z + 2z + y dxdy z z S
解
按斯托克斯公式, 有 按斯托克斯公式,
1
n
∫ zdx + xdy + ydz
L
= ∫∫ dydz + dzdx + dxdy
S
0
x
D xy
1
y
1
3 = 2
8
例2. 计算I =
∫ ydx + zdy + xdz ，其中L:
L
x 2 + y 2 + z 2 = 2az , 从z轴的正向往负向看，逆时针。 x + z = a
u(x, y, z) = ∫
(x, y,z) (0,0,0)
( y + z)d x + (z + x) d y + (x + y) d z
解: 令 P = y + z , Q = z + x , R = x + y ∂P ∂Q ∂Q ∂R ∂R ∂P Q =1 = , =1 = , =1 = ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂y ∴ 积分与路径无关, 因此
向量点积法
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微积分
例3. 设
的外法向量, 计算
第八章 曲线积分与曲面积分
n 为
I rot A n dS .

i
解:
j
y
k
z 2
rot A x
(0 , 0 , 1)
2y
3x
z
I cos d S

8
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微积分
第八章 曲线积分与曲面积分
*四、空间曲线积分与路径无关的条件
n
取逆时针方向.

9 ( ) 2
x
o

y
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微积分
第八章 曲线积分与曲面积分
三、物理意义---环流量与旋度 1、环流量的定义：
设向量场 A( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分 A d s Pdx Qdy Rdz C C 称为向量场A沿曲线C 按所取方向的环流量 .
*五、向量微分算子
定义向量微分算子:
x i y j z k
它又称为▽( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子.
(1) 设 u u ( x, y, z ), 则
u
2
u x u i y u j z
k grad u
u u grad u

2u x2 2u 2 y 2u 2 z
u
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微积分
第八章 曲线积分与曲面积分 (2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
A
P Q R y z x
div A
z
n ：z f ( x, y )

o
x
y
D xy
C
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微积分
同理可证
第八章 曲线积分与曲面积分
Q Q x dxdy z dydz Q( x , y, z )dy,
R R y dydz x dzdx R( x , y, z )dz ,
( )
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微积分
第八章 曲线积分与曲面积分
计算曲线积分 例2、


( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1,0 z 1 的表面所得的截痕, 若从 x 轴的正向看去, z


斯托克斯公式的向量形式 rotA ndS A ds 或


其中
( rotA)n rotA n R Q P R Q P ( )cos ( )cos ( )cos y z z x x y
与路径无关 (3) 在G内存在某一函数 u, 使 (4) 在G内处处有
du Pd x Qd y Rd z
P y

Q Q , z x

R , R y x

P z
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第八章 曲线积分与曲面积分 微积分 例4. 验证曲线积分 ( y z ) d x ( z x) d y ( x y )dz
定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 具有连续一阶偏导数, (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有
函数 P, Q, R 在G内
则下列四个条件相互等价:
P d x Q d y R d z 0 (2) 对G内任一分段光滑曲线 , P d x Q d y R d z

另一种形式 cos cos cos

其中n {cos , cos , cos }
x P
y Q
dS Pdx Qdy Rdz z R
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微积分
第八章 曲线积分与曲面积分
斯托克斯公式的又一种形式
R Q P R Q P [( y z )cos ( z x )cos ( x y )cos ]dS
积分与路径无关,
y
Q R 1 , z y
因此
z
R P 1 x y
z
o x
x d y ( x y) d z
( x, y , z )
xy ( x y) z xy yz zx
0
0
(x,0,0)
y
( x, y,0)
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微积分
第八章 曲线积分与曲面积分
R Q P R Q P ( y z )dydz ( z x )dzdx ( x y )dxdy


Pdx Qdy Rdz
..
故有结论成立.
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微积分
便于记忆形式
第八章 曲线积分与曲面积分
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
A A P cos Q cos R cos
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微积分
第八章 曲线积分与曲面积分
环流量 rotA d S A ds

Stokes公式的物理解释:
向量场 A 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A 的旋度场通过 所张的曲面的通量.( 的正 向与 的侧符合右手法则)
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微积分
第八章 曲线积分与曲面积分
2 2 2 则 z ,
设r x y 2 div (grad r ) r ; rot (grad r ) 0 . x y z 提示: grad r , , r r r r x xr 2 2 y x r 2 y2 ( ) r 3x , y ( ) 3 x r r r r2 r ( z ) r2 z2 三式相加即得 div (grad r ) 3 z r r i j k
与路径无关, 并求函数 ( x, y , z ) u ( x, y , z ) ( y z )d x ( z x) d y ( x (0,0,0) 解: 令 P y z , Q z x , R x y

y) d z
P Q 1 , y x
k
i
j
y
A x P
z
rot A
Q
R
高斯公式与斯托克斯公式可写成:
A d v An d S ( A ) n d S A d s
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微积分
五、小结 斯托克斯公式 cos cos
第八章 曲线积分与曲面积分
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微积分
第八章 曲线积分与曲面积分
利用stokes公式, 有
i 环流量 A d s C x P j y Q k dS z R返回源自积分第八章 曲线积分与曲面积分
2、旋度的定义： i j k 称向量 为向量场的旋度 ( rotA) . x y z (rotation) P Q R


x P
y Q
cos dS z R


dydz dzdx dxdy x y z P Q R

Pdx Qdy Rdz rotA ndS A ds

斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
微积分
第八章 曲线积分与曲面积分
第七节
斯托克斯(Stokes)公式与旋度
一、斯托克斯(Stokes)公式 二、简单的应用 三、物理意义——环流量与旋度 四、小结 作业
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微积分
第八章 曲线积分与曲面积分
推广
格林公式
斯托克斯公式
Stokes公式的实质：
表达了定向曲面上的曲面积分与其定向边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
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微积分
第八章 曲线积分与曲面积分
定向曲面 的正向边界曲线 +： n 右手法则
是有向曲面 的

正向边界曲线

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微积分
定理1：
第八章 曲线积分与曲面积分
一、斯托克斯(stokes)公式
------ stokes公式
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微积分
第八章 曲线积分与曲面积分
P P 先证： Pdx dzdx dxdy y z
i j k 旋度 rotA x y z P Q R R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k . y z z x x y
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微积分
第八章 曲线积分与曲面积分
(rotA)n dS A ds
思考与练习
rot (grad r )
x x r
y y r
z z r
(0 , 0 , 0)
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第八章 曲线积分与曲面积分
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的 曲线积分之间的关系.
当Σ是 xoy 面的平面闭区域时：
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
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微积分 二、简单的应用
第八章 曲线积分与曲面积分
例1、求 y 2dx xdy z 2dz ,其中 为y z 2

与x 2 y 2 1的交线, 从z轴正向看, 取逆 时针方向.


( P cos Q cos R cos )ds