2014北京西城高考一模数学理(word解析)

2014北京高考（理科）数学题解析1．集合{}{}2|2002A x x x =-==，．故{}02AB =，，选C ．2． A．y 在[)1-+∞，上为增函数，符合题意． B ．2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意． C ．2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意． D ．0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意． 故选A ．3． 参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，即选项B ． 4． 当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=， 故选C ． 5． D对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列． 故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >． 综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D ． 6． D若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意．若0k <，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，即选项D 正确．7． D （23S S =且13S S ≠）D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =， 设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D AB C -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(201D ，，(310D ，．故23S S =综上，选项D 正确． 8． B用ABC 分别表示优秀、及格和不及格。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设103i z i=+，则z 的共轭复数为 （ ）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i -2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =I （ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]-3.设sin 33,cos55,tan 35,a b c =︒=︒=︒则 （ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>4.若向量,a b r r 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥r r r r r r r 则b =r （ ）A ．2B ．2C ．1D ．225.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F 3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43C 的方程为 （ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=7.曲线1x y xe-=在点（1, 1）处切线的斜率等于（ ） A ．2e B ．e C ．2 D ．18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π 【答案】A ．【解析】考点：1.球的内接正四棱锥问题；2. 球的表面积的计算．9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14B ．13C ．24D ．23 10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）图2A ．6B ．5C ．4D ．311.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 （ ）A ．14B 2C 3D ．12【答案】B.【解析】12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 8y x 的展开式中22x y 的系数为 . 【答案】70.14.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为.15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .2l的夹角的正切值：12124 tan13k kk kθ-==+．考点：1.直线与圆的位置关系（相切）；2.两直线的夹角公式．16.若函数()cos2sinf x x a x=+在区间(,)62ππ是减函数，则a的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cos2cosa C c A=，1tan3A=，求B.18. （本小题满分12分）等差数列{}na的前n项和为nS，已知110a=，2a为整数，且4nS S≤.（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19. （本小题满分12分） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===. （I ）证明：11AC A B ⊥； （II ）设直线1AA 与平面11BCC B 31A AB C --的大小.20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.21.（本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.【答案】（I ）24y x =；（II ）直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．22. （本小题满分12分）函数()()()ln 11ax f x x a x a=+->+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+. 【答案】（I ）（i ）当12a <<时，()f x 在()21,2a a --上是增函数，在()22,0a a -上是减函数，在()0,+∞上是增函数；（ii ）当2a =时,()f x 在()1,-+?上是增函数；（iii ）当2a >时，()f x 在是()1,0-上是增函数，在()20,2a a -上是减函数，在()22,a a -+∞上是增函数；（II）详见试题分析．1n k=+时有2333kak k<?++，结论成立．根据（i）、（ii）知对任何n N*Î结论都成立．考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．利用数学归纳法证明数列不等式．。

数学（理）（北京卷） 第 1 页（共 11 页）2014年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则AB =（A ）{0} （B ）{0,1} （C ）{0,2}（D ）{0,1,2}（2）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（A）y （B ）2(1)y x =- （C ）2x y -=（D ）0.5log (1)y x =+（3）曲线1cos ,2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（A ）在直线2y x =上 （B ）在直线2y x =-上 （C ）在直线1y x =-上 （D ）在直线1y x =+上（4）当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）7 （B ）42 （C ）210 （D ）840（5）设{}n a 是公比为q 的等比数列．则“1q >”是“{}n a数学（理）（北京卷） 第 2 页（共 11 页）为递增数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）若,x y 满足20,20,0,x y k x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥ 且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（A ）2 （B ）2-（C ）12（D ）12-（7）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知(2,0,0)A ,(2,2,0)B ,(0,2,0)C,(1,1,D ．若1S ,2S ,3S 分别是三棱锥D ABC –在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则 （A ）123S S S == （B ）21S S =且23S S ≠ （C ）31S S =且32S S ≠（D ）32S S =且31S S ≠（8）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有 （A ）2人 （B ）3人 （C ）4人（D ）5人数学（理）（北京卷） 第 3 页（共 11 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合()U AB =ð（ ）A.(],2-∞B.(],1-∞C.()2,+∞D.[)2,+∞2.已知平面向量()2,1a =-，()1,1b =，()5,1c =-. 若()//a kb c +，则实数k 的值为（ ） A.2 B.12 C.114 D.114-3.在极坐标系中，过点2,2π⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴平行的直线方程是（ ） A.2ρ= B.2πθ=C.cos 2ρθ=D.sin 2ρθ=考点：直角坐标与极坐标的互化4.执行如图所示的程序框图，如果输入2a =，2b =，那么输出的a 值为（ ）A.4B.16C.256D.3log 165.下列函数中，对于任意x R ∈，同时满足条件()()f x f x =-和()()f x f x π-=的函数是（ ） A.()sin f x x = B.()sin cos f x x x = C.()cos f x x = D.()22cos sin f x x x =-开始 b a a =3log 4a >输出a结束否是输入a , b6.“8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ）A.3B.4C.5D.6考点：1.数列求和；2.基本不等式8.如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）A.4个B.6个C.10个D.14个第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.设复数12ix yi i-=++，其中x 、y R ∈，则x y +=______.10.若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____. 【答案】8；4x =-. 【解析】试题分析：抛物线2:2C y px =的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，该点在直线240x y +-=上，则有402p -=，解BADC. P得8p =，此时抛物线的准线方程为4x =-. 考点：抛物线的几何性质11.已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________.12.若不等式组1026ax y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是_______.【答案】()3,5. 【解析】试题分析：作出不等式组1026x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域如下图中的阴影部分所表示，2x+y=6x=1x+y=aO yxCB A直线26x y +=交x 轴于点()3,0A ，交直线1x =于点()1,4B ，当直线x y a +=与直线26x y +=在线段13.科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______.（用数字作答）14.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：①当2a =时，函数()f x 的值域为[]1,4；②()0,a ∀∈+∞，都有()11f =成立； ③()0,a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4. 其中所有正确结论的序号是_________.A BD C P线1x =与对称轴的距离远，此时函数()f x 在0x =处取得最大值，即()()max 04f x f ==，当()224121a a +≥+时，即当02a <≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减， 此时函数()f x 在0x =处取得最大值，即()()max 04f x f ==， 综上所述，正确结论的序号是②③. 考点：1.平面向量的数量积；2.二次函数三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知222b c a bc +=+. （1）求A 的大小； （2）如果6cos 3=B ，2b =，求ABC ∆的面积.因为 0>c ，所以 61=+c .故ABC ∆的面积1323sin 22S bc A +==.考点：1.正弦定理与余弦定理；2三角形的面积公式16.（本小题满分13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.寿命（天）频数频率[)100,20020 0.10[)200,30030 a[)300,400 700.35 [)400,500 b0.15 [)500,60050 0.25合计2001（1）根据频率分布表中的数据，写出a 、b 的值；（2）某人从灯泡样品中随机地购买了()n n N *∈个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽．．．．．．．．样．所得的结果相同，求n 的最小值； （3）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望.所以n 的最小值为4；17.（本小题满分14分）如下图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都 是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==. （1）求证：1⊥BC D E （2）求证：1//BC 平面1BED ；（3）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，求线段1D E 的长度.所以四边形11D DBB 是平行四边形.连接1DB 交1D B 于点F ，连接EF ，则F 为1DB 的中点. 在1∆B CD 中，因为DE CE =，1DF B F =，所以1//EF B C .又因为 1⊄B C 平面1BED ，⊂EF 平面1BED ，A BA 1B 1D C ED 1 C 1设平面11BCC B 法向量为()111,,m x y z =，因为()1,0,0CB =，()11,1,CB a =，由10m CB m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩令11z =，得()0,,1m a =-.由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π， 得 2||cos ,cos321m n a m n m na π⋅===⋅+，解得1a =.考点：1.直线与平面垂直；2.直线与平面平行；3.二面角；4.空间向量法 18.（本小题满分13分）已知函数()2ln ,23,x x x a f x x x x a >⎧=⎨-+-≤⎩，其中0a ≥. （1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）如果对于任意1x 、2x R ∈，且12x x <，都有()()12f x f x <，求a 的取值范围.因为对于任意1x 、2x R ∈，且12x x <，都有()()12f x f x <成立， 所以1a ≤.19.（本小题满分14分）已知椭圆22:12x W y +=，直线l 与W 相交于M 、N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点.（1）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；（2）判断是否存在直线l ，使得C 、D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）221152416x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）存在，且直线l 的方程为2525y x =±或2525y x =-±. 【解析】试题分析：（1）先确定OCD ∆三个顶点的坐标，利用其外接圆圆心即为该三角形垂直平分线的交点求出外接圆的圆心，并利用两点间的距离公式求出外接圆的半径，从而求出外接圆的方程；（2）将C 、D 是线段MN由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()222124220k x kmx m +++-=， 所以 2216880k m ∆=-+>， （*）由韦达定理，得122412km x x k -+=+，21222212m x x k -=+.由C 、D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k m k-+==+-，解得 22k =±. 由C 、D 是线段MN 的两个三等分点，得3MN CD =.20.（本小题满分13分）在数列{}n a 中，()1n a n N n*=∈. 从数列{}n a 中选出()3k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列12、13、15、18为{}n a 的一个4 项子列.（1）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等差数列；（2）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足108d -<<； （3）如果{}n c 为数列{}n a 的一个()3m m ≥项子列，且{}n c 为等比数列，证明：123m c c c c ++++1122m -≤-.则 ()2112311m m c c c c c q q q -++++=++++.因为{}n c 为{}n a 的一个m 项子列， 所以 q 为正有理数，且1q <，()111c a N a*=≤∈. 设 (),Kq K L N L*=∈，且K 、L 互质，2L ≥）. 当1K =时，因为 112q L =≤，所以 ()2112311m m c c c c c q q q -++++=++++211111222m -⎛⎫⎛⎫≤++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1122m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以 1123122m m c c c c -⎛⎫++++≤- ⎪⎝⎭.当1K ≠时，因为 11111m m m m K c c q a L---==⨯是{}n a 中的项，且K 、L 互质，所以 ()1*m a K M M N -=⨯∈，所以 ()2112311m m c c c c c q q q -++++=++++1232111111m m m m M K K L K LL ----⎛⎫=++++⎪⎝⎭. 因为 2L ≥，K 、*M N ∈，所以 2111231111122222m m m c c c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.综上， 1231122m m c c c c -++++≤-.考点：1.新定义；2.等比数列求和。

2014年北京西城区高三一模数学试题解析拿到西城一模数学试卷，隐隐觉得有点“不详”的预感。

通观全卷，感觉这份卷子出得有点让人哭笑不得。

【选择分析】8个选择，题型设计非常常规。

需要提一下的是第7题，一个函数应用题，此题的出现基本上和考试说明中提出的“考察实际能力”的精神是相符合的。

但其实，真要纠结于这一点的话，函数应用题，并不是一个特别生僻的点，即使把它勉强算成较少考察大的点，那么整张卷子，也没有第二道题出现了所谓的考察实际能力。

此题难度一般。

第8题，传统意义上的选择压轴。

题目本身没有设置特别大的难度，但是题干的用语却十分复杂纠结。

一个正四面体、任意一点到定点距离、距离构成的集合、集合元素还有限。

如果考生被这些或有用或无用的条件耽误太多时间，那么可能此题真的就成了一个难点。

但只要是有一个比较良好的审题习惯，并且对于高中的一百多知识点都非常熟悉，此题其实难度也没有想象中那么大。

【选择解读】逃离第八题本身的难度讨论，但是从第八题的出题方式也许能成为某种信号：绝对难度值降下来了，但是难度方式却发生了转移，更强调对于数学术语和数学逻辑的理解的考察。

如果命题者真是把这样的考察方式理解为考察数学思想。

那么本题的参考价值或许真的不小。

（当然，平心而论，笔者并不觉得这种出题方式和所谓的数学思想有多大关系，但或多或少，为数学思想提供了一个试题出口。

这个信号对于考生的价值其实还是比较大的。

）【填空分析】6个填空也没有太大的变化，平稳为主。

值得注意的是14题，和前面所说的第8题在某种程度上，如出一辙：绕！直角梯形，向量，内积加上莫名其妙的函数，或许会让部分学生有点晕头转向。

但其实，如果我们把这个题稍稍做调整，把函数换成“对应关系”四个字，也许晕的同学会减少不少，在很多同学考后给我的信息是：在考场上纠结函数大的解析式是什么纠结了很久，然后无果只能放弃。

这或许正式出题人的意图，用复杂的“条件们”去阻碍思路。

【填空解读】其实，14题算是一道好题，对于数学思想的考察明显比第8题要好很多。

北京市西城区实验学校2014年1月月考 高三数学（理科）试题班级 姓名 学号题号I 卷 II 卷总分一二 151617 18 19 20 得分试卷说明：试卷分值 150 ，考试时间 120分钟，I 卷为选择题，共8个小题，II 卷为填空题和解答题，包括第9至第20题。

I 卷一．选择题（共8个小题，每题5分，共40分。

每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在本题后边相应的答题框内）1．命题“x ∀∈R ，3210x x -+≤”的否定是（ ）.A. 不存在x ∈R ，3210x x -+≤ B. 存在x ∈R ，3210x x -+≤ C. 存在x ∈R ，3210x x -+> D. 对任意的x ∈R ，3210x x -+>2．已知集合2{|1}M x x ==，集合{|1}N x ax ==，若N M ⊆，则a 的值为（ ）. A. 1 B. 1- C. 1或1- D. 0，1或1- 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,,a b c若222()tan a c b B +-=,则角B 为（ ）.A.6πB.3πC.6π或56πD.3π或23π 4．已知) ,(4sin )(实数为b a bx x a x f ++=，且5)10(ln =f ，则)101(ln f 的值是（ ）.A .5-B .3-C .3D .随b a ,取不同值而取不同值5．某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂八年来这种产品的年产量y 可用图像表A .B .C . D.6．某正弦型函数的图像如右图，则该函数的解析式可以为（A ．2sin()26x y π=-B ．52sin()212x y π=+C ．332sin()24x y π=-- D ．32sin()24x y π=-+7．设函数)()0(1)6sin()(x f x x f '>-+=的导数ωπω的最大值为3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是( ). A ．9π=xB ．6π=xC ．3π=xD ．2π=x8．设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足下列关系)10()10(x f x f -=+，)20()20(x f x f +-=-，则)(x f 是（ ）.A .偶函数，但不是周期函数B .偶函数，又是周期函数C .奇函数，但不是周期函数D .奇函数，又是周期函数选择题答案填入以下答题框1 2345678II 卷二．填空题（共6个小题，每空5分，共30分，请将正确答案填写在横线上）9. 等差数列}{n a 中，若15741=++a a a ，3963=++a a a ，则852a a a ++=______.10．数列{}n a 的前n 项和2n S 231,,n n n N +=++∈则n a = ．11．已知两个单位向量a 与b 的夹角为3π，若（a b λ+）⊥（a b λ-），则λ= .12．已知α是第二象限角，3sin()35πα+=-，则cos α=_________.13.已知51cos sin =+θθ，且2πθπ≤≤，则θ2cos = .14．已知凸函数的性质定理：“若函数f (x )区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有)...()](...)()([12121nx x x f x f x f x f n nn +++≤+++”，若函数y =sin x 在区间(0,π)上是凸函数，则在∆ABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值是 .三．解答题（共6个小题，共80分，请写出必要的演算过程和证明步骤） 15．（16分） 设)1,(cos -=x ，)1,cos (sin --=x x ，函数1()2f x a b =⋅- （1）用五点作图法画出函数)(x f 在一个周期上的图象； （2）求函数)(x f 的单调递减区间和对称中心的坐标；（3）求不等式1()2f x ≥的解集; （4）如何由y x =的图象变换得到)(x f 的图象. 解: （1）16．（12分）已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求,a b 的值；（2）若对任意的()1,1t ∈-，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+->恒成立，求k 的取值范围.xyo17．（13分）已知函数3211()132f x x x =-+，x ∈R . （1）求函数()f x 的极大值和极小值; （2）求函数图象经过点3(,1)2的切线的方程； （3）求函数3211()132f x x x =-+的图象与直线1y =所围成的封闭图形的面积.18．（12分）在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3cos 4B =. （1）若32BA BC =，求a c +的值； （2）求11tan tan A C+的值.19．（13分）已知函数()ln af x x x=-. （Ⅰ）若0,a >求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 在[1,]e 上的最小值为32，求a 的值； （Ⅲ）若2()f x x <在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围.20．（14分）已知函数()e x f x kx x =-∈R ，. （Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e2)()n n F F F n n +*>+∈N ．高三理科数学答案一.选择题（每小题5分，共40分）1 234 5 678CD D CBC A D二、填空题（每小题5分,共30分）9. 9 10. 41,26,1n n n +≥⎧⎨=⎩11. -1或112.410+-13. 725-14. 233三、解答题： 15．解:（１）()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ -----7分 16．（1）因为)(x f 是R 上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=b a bf 解得即从而有.212)(1a x f x x ++-=+ 又由a a f f ++--=++---=1121412)1()1(知，解得2=a -----5分 （2）由（1）知,121212212)(1++-=++-=+x x x x f易知)(x f 在R 上为减函数因)(x f 是奇函数，从而不等式22(2)(2)0f t t f t k -+->等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t ->--=-因)(x f 是R 上的减函数， 由上式推得 2222t t t k -<-+即对一切()21,1,320t t t k ∈---<横成立,从而()()10, 5.10g k g -≤⎧⎪∴≥⎨≤⎪⎩ -----7分17．解：（1）()f x 的极大值为(0)1;f =()f x 的极小值为5(1);6f =-----4分 （2）1y =或3148y x =-；-----4分（3）()3209(1)64f x dx -=⎰.-----5分18．（1）由23=⋅得：23cos =⋅B ac ，因B cos 43=，所以：2=ac ，即：由余弦定理B ac c a b cos 2222⋅-+=得5cos 2222=⋅+=+B ac b c a于是：()9452222=+=++=+ac c a c a 故c a +3= -----6分 （2）由Bcos 43=得47sin =B ，由ac b =2得C A B sin sin sin 2=，-----6分19．解：（1）由题意：()f x 的定义域为(0,)+∞，且221()a x af x x x x+'=+=． 0,a >当，()f x 单调递增区间是()0,+∞； -----4分（2）由（1）可知：2()x af x x+'=① 若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上为增函数，min 33[()](1),22f x f a a ∴==-=∴=-（舍去）．② 若a e ≤-，则0x a +≤，即()0f x '≤在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上为减函数，min 3[()]()122a ef x f e a e ∴==-=⇒=-（舍去）． ③ 若1e a -<<-，令()0f x '=得x a =-，当1x a <<-时，()0,()f x f x '<∴在(1,)a -上为减函数， 当a x e -<<时，()0,()f x f x '>∴在(,)a e -上为增函数，min 3[()]()ln()12f x f a a a ∴=-=-+=⇒=11tan tan A C +()B C A C A A C A C C C A A C A 2sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos cot cot +=+=+=+774sin 1sin sin 2===B B B综上可知：a = -----4分（3）22(),ln a f x x x x x <∴-<． 又30,ln x a x x x >∴>-令232116()ln ,()()1ln 3,()6x g x x x x h x g x x x h x x x x -''=-==+-=-=， ()h x 在[1,)+∞上是减函数，()(1)2h x h ∴<=-，即()0g x '<，()g x ∴在[1,)+∞上也是减函数，()(1)1g x g ∴<=-．令1a ≥-得()a g x >，∴当2()f x x <在(1,)+∞恒成立时，1a ≥-． -----5分20．解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． -----3分（Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数． 于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增．故()(0)10f x f =>≥，符合题意．②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >． 当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥．依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． -----5分（Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，11(2)(1)e 2()(1)e 2.n n F F n F n F ++->+>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+ 故12(1)(2)()(e 2)n n F F F n n +*>+∈N ，． -----5分。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设全集{}02U x x =<<，集合{}01A x x =<≤，则集合U A =ð（ ）A.()0,1B.(]0,1C.()1,2D.[)1,22.已知平面向量()2,1a =-，()1,3b =，那么a b +等于（ ）A.5 D.133.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（ ）B.2= D.考点：1.双曲线的几何性质；2.双曲线的离心率4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.2 B.43C.4D.55.下列函数中，对于任意x R ∈，同时满足条件()()f x f x =-和()()f x f x π-=的函数是（ ） A.()sin f x x = B.()sin cos f x x x = C.()cos f x x = D.()22cos sin f x x x =-()22cos sin cos2f x x x x =-=，该函数是偶函数，且以π为最小正周期的周期函数，故选D.正(主)视图俯视图侧(左)视图考点：1.二倍角公式；2.三角函数的奇偶性与周期性6.设0a >，且1a ≠，则“函数log a y x =在()0,+∞上是减函数”是“函数()32y a x =-在R 上是增函数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ）A.4B.5C.6D.78.如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）A.4个B. 6个C.10个D.14个 【答案】C 【解析】试题分析：分以下两种情况讨论：（1）点P 到其中两个点的距离相等，到另外两点的距离分别相等，且这两个距离不等，此时点P 位于正四面体各棱的中点，符合条件的有6个点；（2）点P 到其中三个点的距离相等，到另外一点的距离与它到其它三点的距离不相等，此时点P 在正四面体各侧面的中心点，符合条件的有4个点，故选C. 考点：新定义第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.设复数12ix yi i-=++，其中x 、y R ∈，则x y +=______.10.若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____.4p =，此时抛物线的准线方程为2x =-.BADC. P考点：抛物线的几何性质11.已知函数()3,01,01x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，若()02f x =，则实数0=x ______；函数()f x 的最大值为_____．12.执行如图所示的程序框图，如果输入2a =，2b =，那么输出的a 值为______.【答案】256. 【解析】试题分析：3log 24>不成立，执行第一次循环，224a ==；3log 44>不成立，执行第二次循环，2416a ==；4333log 164log 3log 81>==不成立，执行第三次循环，216256a ==；33log 2564log 81>=成立，跳出循环体，输出a 的值为256，故选C.考点：算法与程序框图13.若不等式组1026ax y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是_______.范围是()3,5. 考点：线性规划14.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，记()y f x =，则()1f =____； 函数()f x 的值域为_________.因为()()205080441f f =⨯-⨯+=>，因此()()max 04f x f ==，所以函数()f x 的值域为4,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦.A D C P考点：1.平面向量的数量积；2.二次函数三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知222b c a bc +=+. （1）求A 的大小；（2）如果cos 3=B ，2b =，求a 的值.考点：1.正弦定理与余弦定理；2.同角三角函数的基本关系16.（本小题满分13分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（1）根据频率分布表中的数据，写出a 、b 、c 的值；（2）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．是次品的概率； （3）某人从这批灯泡中随机地购买了()n n N *∈个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按．三个．．等级分层抽．．．．．样．所得的结果相同，求n 的最小值.所以n 的最小值为10.考点：1.频率分布表；2.古典概型17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2AD AB =，SA SD =，SA AB ⊥， N 是棱AD 的中点.（1）求证：//AB 平面SCD ；（2）求证：SN ⊥平面ABCD ；（3）在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面PBD ⊥平面ABCD ？若存在，求出SPPC的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在，且12SP PC =. 所以 SN AD ⊥.又因为 ABAD A =，所以 SN ⊥平面ABCD .（3）如图，连接BD 交NC 于点F ，在平面SNC 中过F 作//FP SN 交SC 于点P ，连接PD 、PC .因为 SN ⊥平面ABCD ，所以FP ⊥平面ABCD . 又因为FP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD . 在矩形ABCD 中，因为//ND BC ， 所以12NF ND FC BC ==. 在SNC ∆中，因为//FP SN ， 所以12NF SP FC PC ==. 则在棱SC 上存在点P ，使得平面PBD ⊥平面ABCD ，此时12SP PC =. 考点：1.直线与平面平行的判定与性质；2.直线与平面垂直 18.（本小题满分13分）已知函数()ln af x x x=-，其中a R ∈. （1）当2a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； （2）如果对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围. 【答案】（1）350x y --=；（2）(],1-∞-. 【解析】试题分析：（1）将2a =代入函数解析式，求出()1f '及()1f 的值，利用点斜式写出切线方程；（2）利用参数分离法将()2f x x >-+转化为2ln 2a x x x x <+-，构造新函数()2ln 2g x x x x x =+-，问题转化为()min a g x <来求解，但需注意区间()1,+∞端点值的取舍. 试题解析：（1）由()2ln f x x x =-，得()212f x x x'=+， 所以()13f '=， 又因为()12f =- ，所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为350x y --=；19.（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，O 为坐标原点. （1）求椭圆W 的方程.（2）设斜率为k 的直线l 与W 相交于A 、B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =.【答案】（1）2212x y +=；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）利用题干中的已知条件分别求出a 、b 、c ，从而写出椭圆W 的方程；（2）设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆W 的方程联立，借助韦达定理求出弦长AB ，并求出原点到直线l 的距离d ，然后以AB 为底边，d 为高计算AOB ∆的面积，利用基本不等式验证1k =时和2k =时AOB ∆的验证知（*）成立；当2k =时，因为AOB S ∆=，20.（本小题满分13分）在数列{}n a 中，()1n a n N n*=∈. 从数列{}n a 中选出()3k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列12、13、15、18为{}n a 的一个4 项子列.（1）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等比数列；（2）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足104d -<<；（3）如果{}n c 为数列{}n a 的一个6项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1234566332c c c c c c +++++≤.【答案】（1）答案不唯一. 如3项子列：12、14、18；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据题中的定义写出一个3项子列即可；（2）根据定义得到11b ≤，利用数列{}n b 的定义与单调性得到0d >，然后由5140b b d =+>得到14d >-，从而证明104d -<<；（3）注意到数列{}n a 各项均为有理数，从而得到数列{}n c 的公比q 为正有理数，从而存在K 、L N *∈使得K q L=，并对K 是否等于1进行分类讨论，结合等比数列求和公式进行证明. 试题解析：（1）答案不唯一. 如3项子列：12、14、18； （2）由题意，知1234510b b b b b ≥>>>>>，所以 210d b b =-<. 因为 514b b d =+，11b ≤，50b >，所以 514011d b b =->-=-，解得 14d >-.543223*********M K K L K L K L KL L ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭. 因为 2L ≥，K 、*M N ∈，所以 2345123456111116312222232c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.综上，12345663 32c c c c c c+++++≤. 考点：1.新定义；2.等比数列求和。

2014·北京卷(理科数学)1．[2014·北京卷] 已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{0，1}C ．{0，2}D ．{0，1，2}1．C [解析]∵A ＝{0，2}，∴A ∩B ＝{0，2}∩{0，1，2}＝{0，2}． 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)2．A [解析]由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.3．[2014·北京卷] 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上3．B [解析]曲线方程消参化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其对称中心点为(－1，2)，验证知其在直线y ＝－2x 上．4．[2014·北京卷] 当m ＝7输出的S 值为( )A ．7B ．42C ．210D ．8404．C [解析]S ＝1×7×6×5＝210. 5．[2014·北京卷] 设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．D [解析]当a 1<0，q >1时，数列{a n }递减；当a 1<0，数列{a n }递增时，0<q <1.故选D.6．[2014·北京卷] 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2B ．－2C.12D ．－126．D [解析]可行域如图所示，当k >0时，知z ＝y －x 无最小值，当k <0时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，kx －y ＋2＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，故z min ＝0＋2k ＝－4，即k ＝－12.7．[2014·北京卷] 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，D (1，1，2)．若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D -ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2D ．S 3＝S 2且S 3≠S 17．D [解析]设顶点D 在三个坐标平面xOy 、yOz 、zOx 上的正投影分别为D 1、D 2、D 3，则AD 1＝BD 1＝2，AB ＝2，∴S 1＝12×2×2＝2，S 2＝SOCD 2＝12×2×2＝2，S 3＝SOAD 3＝12×2×2＝ 2.∴选D. 8．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人8．B [解析]假设A 、B 两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的．因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即3位学生的成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件．9．[2014·北京卷] 复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________．9．－1 [解析]⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）2＝⎝⎛⎭⎫2i 22＝－1.10．[2014·北京卷] 已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________．10.5 [解析]∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ， ∴|λ|＝|b ||a |＝51＝ 5.11．[2014·北京卷] 设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．11.x 23－y 212＝1 y ＝±2x [解析]设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ，将(2，2)代入得224－22＝－3＝λ，∴双曲线C 的方程为x 23－y 212＝1.令y 24－x 2＝0得渐近线方程为y ＝±2x .12．[2014·北京卷] 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．12．8 [解析]∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 8>0，a 9<0，∴n ＝8时，数列{a n }的前n 项和最大．13．[2014·北京卷] 把5件不同产品摆成一排．若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．13．36 [解析]A 33A 22A 13＝6×2×3＝36. 14．[2014·北京卷] 设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．14．π [解析]结合图像得T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，即T ＝π.图1-215．[2014·北京卷] 如图1-2，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．15．解：(1) 在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC ＝7. 16．、[2014·北京卷] 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x 为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x 的大小．(只需写出结论)16．解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝AB ∪AB ，A ，B 相互独立．根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25.故P (C )＝P (AB )＋P (AB ) ＝35×35＋25×25 ＝1325. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX ＝x －.17．、[2014·北京卷] 如图1-3，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P -ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H .(1)求证：AB ∥FG ；(2)若P A ⊥底面ABCDE ，且P A ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．图1-317．解：(1)证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE . 又因为AB ⊄平面PDE ， 所以AB ∥平面PDE .因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ， 所以AB ∥FG .(2)因为P A ⊥底面ABCDE ， 所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE .建立空间直角坐标系Axyz ，如图所示，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (2，1，0)，P (0，0，2)，F (0，1，1)，BC →＝(1，1，0)．设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，则y ＝－1.所以n ＝(0，－1，1)．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则 sin α＝|cos 〈n ，BC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC →|n ||BC →|＝12.因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6.设点H 的坐标为(u ，v ，w )．因为点H 在棱PC 上，所以可设PH →＝λPC →(0<λ<1)．即(u ，v ，w －2)＝λ(2，1，－2)，所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ. 因为n 是平面ABF 的一个法向量， 所以n ·AH →＝0，即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0， 解得λ＝23，所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，23，23. 所以PH ＝⎝⎛⎭⎫432＋⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫－432＝2.18．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.(1)求证：f (x )≤0；(2)若a <sin xx <b 对x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．18．解：(1)证明：由f (x )＝x cos x －sin x 得f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .因为在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上f ′(x )＝－x sin x <0，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．从而f (x )≤f (0)＝0.(2)当x >0时，“sin x x >a ”等价于“sin x －ax >0”，“sin xx <b ”等价于“sin x －bx <0”．令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c .当c ≤0时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．当c ≥1时，因为对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，g ′(x )＝cos x －c <0，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，从而g (x )<g (0)＝0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．当0<c <1时，存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2使得g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0.g (x )与g ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的情况如下：因为g (x )在区间(0，x 0)上是增函数，所以g (x 0)>g (0)＝0.进一步，“g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立”当且仅当g ⎝⎛⎭⎫π2＝1－π2c ≥0，即0<c ≤2π.综上所述，当且仅当c ≤2π时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立；当且仅当c ≥1时，g (x )<0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．所以，若a <sin x x <b 对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.19．、、[2014·北京卷] 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．19．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)， 其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2，故直线AB 的方程为x ＝±2.圆心O 到直线AB 的距离d ＝2， 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t (x －t )，即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－ty 0|（y 0－2）2＋（x 0－t ）2. 又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0，故 d ＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x 20＝ 2.此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．20．[2014·北京卷] 对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)20．解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.。

2014·全国卷(理科数学)1．[2014·全国卷] 设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i1．D [解析]z ＝10i3＋i ＝10i （3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝10（1＋3i ）10＝1＋3i ，根据共轭复数的定义，其共轭复数是1－3i.2．、[2014·全国卷] 设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0) D ．(－1，0]2．B [解析]因为M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝{x |－1<x <4}∩{0≤x ≤5}＝{x |0≤x <4}．3．[2014·全国卷] 设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b3．C [解析]因为b ＝cos55°＝sin35°>sin33°，所以b ＞a .因为cos35°<1，所以1cos35°>1，所以sin35°cos35°>sin35°.又c ＝tan35°＝sin35°cos35°>sin35°，所以c >b ，所以c >b >a .4．[2014·全国卷] 若向量a ，b 满足：|a|＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2B. 2 C ．1D.224．B [解析]因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝0，即|a|2＋b·a ＝0.因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即2a·b ＋|b|2＝0，与|a|2＋b·a ＝0联立，可得2|a|2－|b|2＝0，所以|b|＝2|a|＝ 2. 5．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种5．C [解析]由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有C 26C 15＝75(种)．6．[2014·全国卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 6．A [解析]根据题意，因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝c a ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.7．[2014·全国卷] 曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( ) A ．2eB ．e C ．2D ．17．C [解析]因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x －1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－1＝2，故曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处的切线斜率是2.8．、[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B ．16πC ．9πD.27π48．A [解析]如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE ＝12AC ＝ 2.设球心为O ，球的半径为R ，则OE ＝4－R ，OA ＝R ，又知△AOE 为直角三角形，根据勾股定理可得，OA 2＝OE 2＋AE 2，即R 2＝(4－R )2＋2，解得R ＝94，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π4. 9．[2014·全国卷] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14B.13C.24D.239．A [解析]根据题意，|F 1A |－|F 2A |＝2a ，因为|F 1A |＝2|F 2A |，所以|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a .又因为双曲线的离心率e ＝ca ＝2，所以c ＝2a ，|F 1F 2|＝2c ＝4a ，所以在△AF 1F 2中，根据余弦定理可得cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|F 2A |2－|F 1A |22|F 1F 2|·|F 2A |＝16a 2＋4a 2－16a 22×4a ×2a＝14. 10．[2014·全国卷] 等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．310．C [解析]设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，根据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 4＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝16125，q ＝52，所以a n ＝a 1qn －1＝16125×⎝⎛⎭⎫52n －1＝2×⎝⎛⎭⎫52n －4，所以lg a n ＝lg2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg2＋4lg 52＝4lg ⎝⎛⎭⎫4×52＝4. 11．[2014·全国卷] 已知二面角α-l -β为60°，AB ⊂α，AB ⊥l ，A 为垂足，CD ⊂β，C ∈l ，∠ACD ＝135°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A.14B.24C.34D.1211．B [解析]如图所示，在平面α内过点C 作CF ∥AB ，过点F 作FE ⊥β，垂足为点E ，连接CE ，则CE ⊥l ，所以∠ECF ＝60°.过点E 作DE ⊥CE ，交CD 于点D 1，连接FD 1.不妨设FC ＝2a ，则CE ＝a ，EF ＝3a .因为∠ACD ＝135°，所以∠DCE ＝45°，所以，在Rt △DCE 中，D 1E ＝CE ＝a ，CD 1＝2a ，∴FD 1＝2a ，∴cos ∠DCF ＝4a 2＋2a 2－4a 22×2a ×2a＝24.12．[2014·全国卷] 函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＋y ＝0对称，则y ＝f (x )的反函数是( )A ．y ＝g (x )B ．y ＝g (－x )C ．y ＝－g (x )D ．y ＝－g (－x )12．D [解析]设(x 0，y 0)为函数y ＝f (x )的图像上任意一点，其关于直线x ＋y ＝0的对称点为(－y 0，－x 0)．根据题意，点(－y 0，－x 0)在函数y ＝g (x )的图像上，又点(x 0，y 0)关于直线y ＝x 的对称点为(y 0，x 0)，且(y 0，x 0)与(－y 0，－x 0)关于原点对称，所以函数y ＝f (x )的反函数的图像与函数y ＝g (x )的图像关于原点对称，所以－y ＝g (－x )，即y ＝－g (－x )．13．[2014·全国卷] ⎝⎛⎭⎫x y －y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答) 13．70 [解析]易知二项展开式的通项T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫x y 8－r ⎝⎛⎭⎫－y x r＝(－1)r C r 8x 8－3r 2y 3r 2－4.要求x 2y 2的系数，需满足8－3r 2＝2且3r 2－4＝2，解得r ＝4，所以T 5＝(－1)4C 48x 2y 2＝70x 2y 2，所以x 2y 2的系数为70.14．[2014·全国卷] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．14．5 [解析]的内部(包括边界), z ＝x ＋4y 的最大值即为直线y ＝－14x ＋14z 的纵截距最大时z 的值．结合题意，当y ＝－14x ＋14z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋2y ＝3，可得点A 的坐标为(1，1)， 所以z max ＝1＋4＝5. 15．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．15.43 [解析]如图所示，根据题意，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝22，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝222＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43， 即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.16．、[2014·全国卷] 若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．16．(－∞，2] [解析]f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1，令sin x ＝t ，则f (x )＝－2t 2＋at ＋1.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.因为f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，又对称轴为x ＝a 4，∴a 4≤12，所以a ∈(－∞，2]．17．[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .17．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C .因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 18．、[2014·全国卷]等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .18．解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0， 于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0， 解得－103≤d ≤－52，因此d ＝－3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n ＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －110＝n 10（10－3n ）.19．、[2014·全国卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B;(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1­AB ­C 的大小．19．解：方法一：(1)证明：因为11平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1. 作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，即A 1E ＝ 3.因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，所以A 1D ＝A 1E ＝ 3.作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F .由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1­AB ­C 的平面角．由AD ＝AA 21－A 1D 2＝1，得D 为AC 中点，DF ＝55，tan ∠A 1FD ＝A 1D DF ＝15，所以cos ∠A 1FD ＝14. 所以二面角A 1­AB ­C 的大小为arccos 14.方法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内．(1)证明：设A 1(a ，0，c )．由题设有a ≤2，A (2，0，0)，B (0，1，0)，则AB →＝(－2，1，0)，AC →＝(－2，0，0)，AA 1→＝(a －2，0，c )，AC 1→＝AC →＋AA 1→＝(a －4，0，c )，BA 1→＝(a ，－1，c )．由|AA 1→|＝2，得（a －2）2＋c 2＝2，即a 2－4a ＋c 2＝0.①又AC 1→·BA 1→＝a 2－4a ＋c 2＝0，所以AC 1⊥A 1B .(2)设平面BCC 1B 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则m ⊥CB →，m ⊥BB 1→，即m ·CB →＝0，m ·BB 1→＝0.因为CB →＝(0，1，0)，BB 1→＝AA 1→＝(a －2，0，c )，所以y ＝0且(a －2)x ＋cz ＝0.令x ＝c ，则z ＝2－a ，所以m ＝(c ，0，2－a )，故点A 到平面BCC 1B 1的距离为|CA →|·|cos 〈m ，CA →〉|＝|CA →·m ||m |＝2c c 2＋（2－a ）2＝c .又依题设，A 到平面BCC 1B 1的距离为3，所以c ＝3，代入①，解得a ＝3(舍去)或a ＝1， 于是AA 1→＝(－1，0，3)．设平面ABA 1的法向量n ＝(p ，q ，r )， 则n ⊥AA 1→，n ⊥AB →，即n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0，－p ＋3r ＝0，且－2p ＋q ＝0.令p ＝3，则q ＝23，r ＝1，所以n ＝(3，23，1)． 又p ＝(0，0，1)为平面ABC 的法向量，故 cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝14.所以二面角A 1­AB ­C 的大小为arccos 14.20．、[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．20．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2， 所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝ P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝ 0．31.(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为 P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C ) ＝P (B )P (A 0)P (C )＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.21．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．21．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p ，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故线段的AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)． 又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝⎛⎭⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ， |MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2. 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫2m ＋2m 2＋⎝⎛⎭⎫2m 2＋22＝ 4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1，故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 22．、[2014·全国卷] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2.22．解：(1)易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2.(i)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数； 若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)是增函数．(ii)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，所以f (x )在(－1，＋∞)是增函数.(iii)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，0)是增函数； 若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0， 所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． (2)由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数． 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln(x ＋1)>2xx ＋2(x >0)．又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在[0，3)是减函数． 当x ∈(0，3)时，f (x )<f (0)＝0，即ln(x ＋1)<3xx ＋3(0<x <3)．下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3n ＋2.(i)当n ＝1时，由已知23<a 1＝1，故结论成立．(ii)假设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln ⎝⎛⎭⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3，a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln ⎝⎛⎭⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n ＝k ＋1时，有2k ＋3<a k ＋1≤3k ＋3，结论成立．根据(i)(ii)知对任何n ∈N *结论都成立．。

2014年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2014年全国Ⅰ，理1，5分】已知集合{}2230A x x x =--≥，{}22B x x =-≤<，则A B I =（ ）（A ）[]2,1-- （B ）[)1,2- （C ）[]1,1- （D ）[)1,2 【答案】A【解析】∵{}{}223013A x x x x x x =--≥=≤-≥或，{}22B x x =-≤<，∴{}21A B x x =-≤≤-I ，故选A ．（2）【2014年全国Ⅰ，理2，5分】()()321i 1i+=-（ ） （A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 【答案】D【解析】∵32(1i)2i(1i)1i (1i)2i++==----，故选D ． （3）【2014年全国Ⅰ，理3，5分】设函数()f x ，()g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）（A ）()()f x g x 是偶函数 （B ）()()f x g x 是奇函数 （C ）()|()|f x g x 是奇函数 （D ）|()()|f x g x 是奇函数 【答案】C 【解析】∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()f x 为偶函数，()g x 为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得()|()|f x g x 为奇函数，故选C ．（4）【2014年全国Ⅰ，理4，5分】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）（A ）3 （B ）3 （C ）3m （D ）3m 【答案】A【解析】由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,33c m c m =+=+，设()33,0Fm +，一条渐近线33y xm=，即0x my -=，则点F 到C的一条渐近线的距离3331m d m+==+，故选A ．（5）【2014年全国Ⅰ，理5，5分】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）（A ）18 （B ）38（C ）58 （D ）78【答案】D【解析】由题知()13,0F -，()23,0F 且220012x y -=，所以()()120003,3,MF MF x y x y ⋅=---⋅--u u u u r u u u u r2220003310x y y =+-=-<，解得033y-<<，故选D ．（6）【2014年全国Ⅰ，理6，5分】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）（A ） （B ）（C ） （D ） 【答案】B【解析】如图：过M 作MD OP ⊥于D ，则sin PM x =，cos OM x =,在Rt OMP ∆中，cos sin 1cos sin sin 212x x OM PM MD x x x OP ⋅⋅===⋅=，∴()1sin 2(0)2f x x x π=≤≤，故选B ． （7）【2014年全国Ⅰ，理7，5分】执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =（ ）（A ）203 （B ）165 （C ）72 （D ）158 【答案】D【解析】输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===； 4n =时：输出158M =，故选D ． （8）【2014年全国Ⅰ，理8，5分】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ）（A ）32παβ-= （B ）22παβ-= （C ）32παβ+= （D ）22παβ+= 【答案】B【解析】∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+，()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<，∴2παβα-=-，即22παβ-=，故选B ． （9）【2014年全国Ⅰ，理9，5分】不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D ．有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-．其中真命题是（ ）（A ）2p ，3p （B ）1p ，4p （C ）1p ，2p （D ）1p ，3p 【答案】C【解析】作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min220z=-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，故选C ．（10）【2014年全国Ⅰ，理10，5分】已知抛物线C ：28yx=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =u u u r u u u r，则||QF =（ ）（A ）72 （B ）52（C ）3 （D ）2 【答案】C【解析】过Q 作QM l ⊥于M ，∵4FP FQ =u u u r u u u r ，∴34PQ PF =，又344QM PQ PF==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM ==，故选C ．（11）【2014年全国Ⅰ，理11，5分】已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >， 则a 的取值范围为（ ） （A ）()2,+∞ （B ）(),2-∞- （C ）()1,+∞ （D ）(),1-∞- 【答案】B【解析】解法一：由已知0a ≠，2()36f x axx'=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意． 当0a <时，()22,,()0;,0,()0;0,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞<∈>∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 要使()f x 有唯一的零点0x 且0x>，只需2()0f a >，即24a>，2a <-，故选B ．解法二：由已知0a ≠，()3231f x ax x =-+有唯一的正零点，等价于3113a x x =⋅-有唯一的正零根，令1t x=，则问题又等价于33a t t=-+有唯一的正零根，即y a =与33y t t =-+有唯一的交点且交点在在y 轴右侧记3()3f t t t =-+，2()33f t t '=-+，由()0f t '=，1t =±，()(),1,()0;1,1,()0;t f t t f t ''∈-∞-<∈->， ()1,,()0t f t '∈+∞<，要使33a t t =-+有唯一的正零根，只需(1)2a f <-=-，故选B ．（12）【2014年全国Ⅰ，理12，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）（A ）62 （B ）42 （C ）6（D ）4 【答案】C【解析】如图所示，原几何体为三棱锥D ABC -，其中4,42,25AB BC AC DB DC =====，()24246DA =+=，故最长的棱的长度为6DA =，故选C ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 （13）【2014年全国Ⅰ，理13，5分】8()()x y x y -+的展开式中22x y的系数为 ．（用数字填写答案）【答案】20-【解析】8()x y +展开式的通项为818(0,1,,8)r rrr T C x y r -+==L ，∴777888T C xy xy ==，626267828T C x y x y ==，∴8()()x y x y -+的展开式中27x y 的项为7262782820x xy y x y x y ⋅-⋅=-，故系数为20-． （14）【2014年全国Ⅰ，理14，5分】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 ．【答案】A【解析】由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A ．（15）【2014年全国Ⅰ，理15，5分】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为 ．【答案】090【解析】∵1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r，∴O 为线段BC 中点，故BC 为O e 的直径，∴090BAC ∠=，∴AB u u u r与AC u u u r 的夹角为090．（16）【2014年全国Ⅰ，理16，5分】已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 ．3【解析】由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-，∴222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=，∴224b c bc +-=， 224b c bc bc=+-≥，∴1sin 32ABCSbc A ∆=≤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【2014年全国Ⅰ，理17，12分】已知数列{}na 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n na a S λ+=-，其中λ为常数． （1）证明：2n na a λ+-=；（2）是否存在λ，使得{}na 为等差数列？并说明理由． 解：（1）由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0na ≠，所以2n na a λ+-=．……6分（2）由题设11a =，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由（1）知31a λ=+假设{}n a 为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=；证明4λ=时，{}n a 为等差数列：由24n na a +-=知：数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列2143m a m -=-，令21,n m =-则12n m +=，∴21nan =-(21)n m =-数列偶数项构成的数列{}2ma 是首项为3，公差为4的等差数列241ma m =-，令2,n m =则2n m =， ∴21na n =-(2)n m =，∴21na n =-（*n N ∈），12n n a a +-=因此，存在存在4λ=，使得{}na 为等差数列． ……12分 （18）【2014年全国Ⅰ，理18，12分】从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s ．（i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示100件产品中质量指标值为区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX ． 附：15012.2≈．若2(,)Z N μδ:，则()0.6826P Z μδμδ-<<+=，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544． 解：（1）抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为：1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()()()()()2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02150s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……6分（2）（ⅰ）由（1）知(200,150)Z N :，从而(187.8212.2)P Z <<=(20012.220012.2)0.6826P Z -<<+=．……9分（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826依题意知(100,0.6826)X B :，所以1000.682668.26EX =⨯=． ……12分 （19）【2014年全国Ⅰ，理19，12分】如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱 形，1AB B C ⊥．（1）证明：1AC AB =；（2）若1AC AB ⊥，o160CBB ∠=，AB BC =，求二面角111A ABC --的余弦值． 解：（1）连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO ⊥又 1B O CO =，故1AC AB =． ……6分（2）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO CO =，又因为AB BC =，所以BOA BOC ∆≅∆，故OA OB ⊥，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直． 以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -． 因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又AB BC =，则30,0,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0B ，130,,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,0C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1330,,AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，1131,0,A B AB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r ，1131,,0B C BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r ，设(),,nx y z =r是平面的法向量，则1110n AB n A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u u r g r u u u u r g ，即33030y z x z ⎧-=⎪⎨⎪-=⎪⎩所以可取()1,3,3n =r，设mu r 是平面的法向量，则11110m A B n B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u u rg r u u u u r g ，同理可取()1,3,3m =-u r，则1cos ,7n m n m n m ==r u rr u r g r u r g ，所以二面角111A ABC --的余弦值为17． ……12分 （20）【2014年全国Ⅰ，理20，12分】已知点()0,2A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为23，O 为坐标原点．（1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．解：（1）设(),0F c ，由条件知223c =，得3c =，又3c a =， 所以2a =，2221b a c =-=，故E 的方程2214x y +=． ……6分（2）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y ，将2y kx =-代入2214xy +=， 得()221416120k xkx +-+=，当216(43)0k ∆=->，即234k >时，21,28243k k x ±-从而2221241431k k PQ k x +-+-=g 又点O 到直线PQ 的距离21d k =+，所以OPQ ∆的 面积214432OPQk S d PQ ∆-==，设243k t -=，则t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++，当且仅当2t =，7k =等号成立，且满足0∆>，所以当OPQ∆的面积最大时，l 的方程为：72y =- 或72y =-．.……12分（21）【2014年全国Ⅰ，理21，12分】设函数()1ln x xbe f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为(1)2y e x =-+． （1）求,a b ；（2）证明：()1f x >．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln xxx x a b b f x ae x ee e xx x--'=+-+由题意可得(1)2,(1)f f e '==，故1,2a b ==．……6分（2）由（1）知，12()ln x xe f x e x x -=+，从而()1f x >等价于2ln xx x xee->-，设函数()ln g x x x =，则()ln g x x x '=+，所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，故()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭单调减， 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，从而()g x 在()0,+∞的最小值为11()g e e=-． ……8分设函数2()xh x xee-=-，则()()1xh x ex -'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()h x ()g x 在()0,+∞的最小值为1(1)h e =-． 综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x > .……12分请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． （22）【2014年全国Ⅰ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =．（1）证明：D E ∠=∠；（2）设AD 不是O e 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ABC ∆为等边三角形． 解：（1）由题设得，A ，B ，C ，D 四点共圆，所以，D CBE ∠=∠又CB CE =Q ，CBE E ∴∠=∠，所以D E ∠=∠ ……5分 （2）设BC 的中点为N ，连结MN ，则由MB MC =知MN BC ⊥，故O 在直线MN 上，又AD 不是O e 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，即MN AD ⊥，所以//AD BC ，故A CBE ∠=∠，又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠，由（1）知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形． ……10分 （23）【2014年全国Ⅰ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线22:149x y C +=，直线2:22x tl y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值．解：（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）直线l 的普通方程为260x y +-=． ……5分（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为54cos 3sin 6|d θθ=+-， 则25|||5sin()6|sin30dPA θα==+-o，其中α为锐角，且4tan 3α=， 当sin()1θα+=-时，||PA 225 当sin()1θα+=时，||PA 25．……10分（24）【2014年全国Ⅰ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）若0a >，0b >且 11ab a b +=． （1）求33a b +的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．解：（111ab a b ab=+，得2ab ≥，且当2a b = 故3333242a b a b +≥，且当2a b ==时等号成立，所以33a b +的最小值为42 ……5分（2）由（1）知，232643a b ab +≥，由于436，从而不存在,a b，使得236+=．……10分a b。

1. 【2014高考安徽卷理第6题】设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B. 23 C.0 D.21-2. 【2014高考北京版理第2题】下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（ ）A ．y =．2(1)y x =- C ．2x y -= D ．0.5log (1)y x =+3. 【2014高考福建卷第4题】若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）4. 【2014高考福建卷第7题】已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,15. 【2014高考湖北卷理第10题】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）A.]61,61[-B.]66,66[-C. ]31,31[- D. ]33,33[-6. 【2014高考湖北卷理第14题】设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(ba cb a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数. （1）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数； （2）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）故可以选择)0()(>=x x x f .7. 【2014高考湖南卷第3题】已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f ( )A. 3-B. 1-C. 1D. 38. 【2014高考湖南卷第8题】某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.2p q + B.(1)(1)12p q ++-19. 【2014高考湖南卷第10题】已知函数())0(212<-+=x e x x f x与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A. )1,(e -∞ B. ),(e -∞ C. ),1(e e - D. )1,(ee -10. 【2014高考江苏卷第10题】已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .11. 【2014高考江苏卷第13题】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 .【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．12. 【2014江西高考理第2题】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ） A.)1,0( B. ]1,0[ C. ),1()0,(+∞-∞ D. ),1[]0,(+∞-∞13. 【2014江西高考理第3题】已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ）A.1B. 2C. 3D. -114. 【2014辽宁高考理第3题】已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>15. 【2014辽宁高考理第12题】已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C ．12π D ．1816. 【2014全国1高考理第3题】设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．)()(x g x f 是偶函数B ．)(|)(|x g x f 是奇函数 C.．|)(|)(x g x f 是奇函数 D ．|)()(|x g x f 是奇函数17. 【2014全国2高考理第15题】已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.18. 【2014山东高考理第3题】函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A. )21,0(B. ),2(+∞C. ),2()21,0(+∞D. ),2[]21,0(+∞19. 【2014山东高考理第8题】 已知函数()21,().f x x g x kx =-+=若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A.1(0,)2 B.1(,1)2C.(1,2)D.(2,)+∞ 【答案】B【解析】由已知，函数()|2|1,()f x x g x kx =-+=的图象有两个公共点，画图可知当直线介于121:,:2l y x l y x ==之间时，符合题意，故选B .考点：函数与方程，函数的图象.20.【2014四川高考理第9题】已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-.现有下列命题： ①()()f x f x -=-；②22()2()1xf f x x =+；③|()|2||f x x ≥.其中的所有正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②【考点定位】1、函数的奇偶性；2、对数运算；3、函数与不等式.21. 【2014四川高考理第12题】设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = .22. 【2014浙江高考理第6题】已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c23. 【2014浙江高考理第7题】在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）答案：Ｄ 解析：函数()0ay xx =≥，与()log 0a y x x =>，答案Ａ没有幂函数图像，答案Ｂ()0a y x x =≥中1a >，()log 0a y x x =>中01a <<，不符合，答案Ｃ()0a y x x =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中1a >，不符合，答案Ｄ()0a y x x =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中01a <<，符合，故选Ｄ考点：函数图像.24. 【2014浙江高考理第15题】设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______25. 【2014重庆高考理第12题】函数2()log )f x x =的最小值为_________.26. 【2014陕西高考理第7题】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3xf x =27. 【2014陕西高考理第11题】已知,lg ,24a x a ==则x =________.28. 【2014天津高考理第4题】函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ） （A ）()0,+¥（B ）(),0-¥ （C ）()2,+¥ （D ）(),2-?29. 【2014天津高考理第14题】已知函数()23f x x x =+，x R Î．若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________．【答案】()()0,19,+∞．30. 【2014大纲高考理第12题】函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--。

2014年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．（5分）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，1），＝（﹣5，1），若（+k）∥，则实数k的值为（）A．2B．C．D．﹣3．（5分）在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线方程是（）A．ρ＝2B．θ＝C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2 4．（5分）执行图题实数的程序框图，如果输入a＝2，b＝2，那么输出的a值为（）A．44B．16C．256D．log3165．（5分）下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）＝f（﹣x）和f（x ﹣π）＝f（x）的函数是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝sin2x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝cos2x 6．（5分）“m＜8”是“方程﹣＝1表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．4B．5C．6D．78．（5分）如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）设复数＝x+yi，其中x，y∈R，则x+y＝．10．（5分）若抛物线C：y2＝2px的焦点在直线x+2y﹣4＝0上，则p＝；C的准线方程为．11．（5分）已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是．12．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是．13．（5分）科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是．（用数字作答）14．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设＝x，＝y，对于函数y＝f（x），给出以下三个结论：①当a＝2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2＝a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cos B＝，b＝2，求△ABC的面积．16．（13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（Ⅰ）求证：BC⊥D1E；（Ⅱ）求证：B1C∥平面BED1；（Ⅲ）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段D1E的长度．18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a≥0．（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），求a的取值范围．19．（14分）已知椭圆W：＝1，直线l与W相交于M，N两点，l与x 轴、y轴分别相交于C、D两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线l的方程为x+2y﹣1＝0，求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．20．（13分）在数列{a n}中，a n＝（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个m（m≥3）项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+c m≤2﹣．2014年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：∵A＝（0，2]，B＝（﹣∞，1），∴A∪B＝（﹣∞，2]，∵全集为U＝R，∴∁U（A∪B）＝（2，+∞）．故选：C．2．（5分）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，1），＝（﹣5，1），若（+k）∥，则实数k的值为（）A．2B．C．D．﹣【解答】解：∵＝（2，﹣1），＝（1，1），∴，又＝（﹣5，1），且（+k）∥，∴1×（2+k）﹣（﹣5）×（k﹣1）＝0，解得：k＝．故选：B．3．（5分）在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线方程是（）A．ρ＝2B．θ＝C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2【解答】解：点（2，）在直角坐标系下的坐标为（2，2），即（0，2）∴过点（0，2）且与x轴平行的直线方程为y＝2．即为ρsinθ＝2．故选：D．4．（5分）执行图题实数的程序框图，如果输入a＝2，b＝2，那么输出的a值为（）A．44B．16C．256D．log316【解答】解：若a＝2，则log3a＝log32＞4不成立，则a＝22＝4，若a＝4，则log3a＝log34＞4不成立，则a＝42＝16，若a＝16，则log3a＝log316＞4不成立，则a＝162＝256若a＝256，则log3a＝log3256＞4成立，输出a＝256，故选：C．5．（5分）下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）＝f（﹣x）和f（x ﹣π）＝f（x）的函数是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝sin2x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝cos2x 【解答】解：对于任意x∈R，f（x）满足f（x）＝f（﹣x），则函数f（x）是偶函数，选项中，A，B显然是奇函数，C，D为偶函数，又对于任意x∈R，f（x）满足f（x﹣π）＝f（x），则f（x+π）＝f（x），即f（x）的最小正周期是π，选项C的最小正周期是2π，选项D的最小正周期是＝π，故同时满足条件的是选项D．故选：D．6．（5分）“m＜8”是“方程﹣＝1表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程﹣＝1表示双曲线，则（m﹣10）（m﹣8）＞0，即m＞10或m＜8．∴“m＜8”是“方程﹣＝1表示双曲线”的充分而不必要条件，故选：A．7．（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：设该设备第n年的营运费为a n万元，则数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，则a n＝2n，则该设备使用了n年的营运费用总和为T n＝＝n2+n，设第n年的盈利总额为S n，则S n＝11n﹣（n2+n）﹣9＝﹣n2+10n﹣9＝﹣（n﹣5）2+16，∴当n＝5时，S n取得最大值16，故选：B．8．（5分）如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个【解答】解：符合条件的点P有两类：（1）6条棱的中点；（2）4个面的中心．共10个点．故集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有4+6＝10．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）设复数＝x+yi，其中x，y∈R，则x+y＝．【解答】解：∵，又＝x+yi，∴，∴，则x+y＝．故答案为：．10．（5分）若抛物线C：y2＝2px的焦点在直线x+2y﹣4＝0上，则p＝8；C 的准线方程为x＝﹣4．【解答】解：直线x+2y﹣4＝0，令y＝0，可得x＝4，∴＝4，∴p＝8，C的准线方程为x＝﹣4故答案为：8；x＝﹣4．11．（5分）已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是．【解答】解：∵正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，故它的侧（左）视图一定是一个高为2的矩形，当侧（左）视图的底面为俯视图的高时侧（左）视图面积最小，此时侧（左）视图面积S＝2×＝故答案为：12．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是（3，5）．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，当直线x+y＝a经过点A（3，0）时，对应的平面区域是三角形，此时a＝3，当经过点B时，对应的平面区域是三角形，由，解得，即B（1，4），此时a＝1+4＝5，∴要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，故答案为：（3，5）13．（5分）科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是48．（用数字作答）【解答】解：采用捆绑及内部调整法，把三对师生看成三个整体，每对师生都有2种排列顺序，故不同的排法种数为A33×2×2×2＝6×8＝48．故答案为：48．14．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设＝x，＝y，对于函数y＝f（x），给出以下三个结论：①当a＝2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4．其中所有正确结论的序号是②③．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a（a＞0），∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．∵＝x，（0≤x≤1）．∴＝（﹣2，0）+x（1，a）＝（x﹣2，xa），∴＝＝（0，a）﹣（x﹣2，xa）＝（2﹣x，a﹣xa）∴y＝f（x）＝＝（2﹣x，﹣xa）•（2﹣x，a﹣xa）＝（2﹣x）2﹣ax（a﹣xa）＝（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．①当a＝2时，y＝f（x）＝5x2﹣8x+4＝，∵0≤x≤1，∴当x＝时，f（x）取得最小值；又f（0）＝4，f（1）＝1，∴f（x）max＝f（0）＝4．综上可得：函数f（x）的值域为．因此①不正确．②由y＝f（x）＝（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可得：∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立，因此②正确；③由y＝f（x）＝（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可知：对称轴x0＝．当0＜a≤时，1＜x0，∴函数f（x）在[0，1]单调递减，因此当x＝0时，函数f（x）取得最大值4．当时，0＜x0＜1，函数f（x）在[0，x0）单调递减，在（x0，1]上单调递增．又f（0）＝4，f（1）＝1，∴f（x）max＝f（0）＝4．因此③正确．综上可知：只有②③正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2＝a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cos B＝，b＝2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵b2+c2＝a2+bc，即b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A＝＝，又A∈（0，π），∴A＝；（Ⅱ）∵cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝＝，由正弦定理＝，得a＝＝3，∵b2+c2＝a2+bc，即4+c2＝9+2c，整理得：c2﹣2c﹣5＝0，解得：c＝1±，∵c＞0，∴c＝+1，＝bc sin A＝．则S△ABC16．（13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）a＝1﹣0.10﹣0.35﹣0.15﹣0.25＝0.15，b＝200﹣20﹣30﹣70﹣50＝30．…（2分）（Ⅱ）由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，∴优等品、正品和次品的比例为50：100：50＝1：2：1．…（4分）∴按分层抽样法，购买灯泡数n＝k+2k+k＝4k（k∈N*），∴n的最小值为4．…（6分）（Ⅲ）X的所有取值为0，1，2，3．…（7分）由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.1+0.15＝0.25，…（8分）从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，∴，，，．…（11分）∴随机变量X的分布列为：…（12分）∴X的数学期望．…（13分）（注：写出，，k＝0，1，2，3．请酌情给分）17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（Ⅰ）求证：BC⊥D1E；（Ⅱ）求证：B1C∥平面BED1；（Ⅲ）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段D1E的长度．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形，∴BC⊥CD，BC⊥CC1，又∵CD∩CC1＝C，∴BC⊥平面DCC1D1，…（2分）∵D1E⊂平面DCC1D1，∴BC⊥D1E．…（4分）（Ⅱ）证明：∵BB1∥DD1，BB1＝DD1，∴四边形D1DBB1是平行四边形．连接DB1交D1B于点F，连接EF，则F为DB1的中点．在△B1CD中，∵DE＝CE，DF＝B1F，∴EF∥B1C．…（6分）又∵B1C⊄平面BED1，EF⊂平面BED1，∴B1C∥平面BED1．…（8分）（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知BC⊥D1E，又∵D1E⊥CD，BC∩CD＝C，∴D1E⊥平面ABCD．…（9分）设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，ED1所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，设D1E＝a，则E（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，a），C（0，1，0），B1（1，2，a），G（1，0，0）．设平面BED1法向量为＝（x，y，z），因为，由，得令x＝1，得＝（1，﹣1，0）．…（11分）设平面BCC1B1法向量为＝（x1，y1，z1），∵，∴由，得令z1＝1，得＝（0，﹣a，1）．…（12分）由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，得，…（13分）解得a＝1．∴线段D1E的长度是1．…（14分）18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a≥0．（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得f'（x）＝（xlnx）'＝lnx+1，其中x＞0，…（2分）所以f'（1）＝1，又因为f（1）＝0，所以函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x﹣1．…（4分）（Ⅱ）先考察函数g（x）＝﹣x2+2x﹣3，x∈R的图象，配方得g（x）＝﹣（x﹣1）2﹣2，…（5分）所以函数g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，且g（x）＝g（1）＝﹣2．…（6分）max因为对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）成立，所以a≤1．…（8分）以下考察函数h（x）＝xlnx，x∈（0，+∞）的图象，则h'（x）＝lnx+1，令h'（x）＝lnx+1＝0，解得．…（9分）随着x变化时，h（x）和h'（x）的变化情况如下：即函数h （x ）在上单调递减，在上单调递增，且．…（11分）因为对于任意x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，都有f （x 1）＜f （x 2）成立， 所以 ．…（12分）因为（即h （x ）min ＞g （x ）max ），所以a 的取值范围为．…（13分）19．（14分）已知椭圆W ：＝1，直线l 与W 相交于M ，N 两点，l 与x轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）若直线l 的方程为x +2y ﹣1＝0，求△OCD 外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得C ，D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）因为直线l 的方程为x +2y ﹣1＝0， 所以与x 轴的交点C （1，0），与y 轴的交点．…（1分）则线段CD 的中点，，…（3分）即△OCD 外接圆的圆心为，半径为， 所以△OCD 外接圆的方程为．…（5分）（Ⅱ）存在直线l ，使得C ，D 是线段MN 的两个三等分点． 理由如下：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx +m （km ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则，D （0，m ），…（6分）由方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，…（7分）所以△＝16k2﹣8m2+8＞0，（*）…（8分）由韦达定理，得，．…（9分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合．所以，…（10分）解得．…（11分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|＝3|CD|．所以，…（12分）即，解得．…（13分）验证知（*）成立．所以存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，此时直线l的方程为，或．…（14分）20．（13分）在数列{a n}中，a n＝（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个m（m≥3）项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+c m≤2﹣．【解答】（Ⅰ）解：答案不唯一．如3项子列，，；（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1＞b2＞b3＞b4＞b5＞0，所以d＝b2﹣b1＜0．假设b1＝1，由{b n}为{a n}的一个5项子列，得，所以．因为b5＝b1+4d，b5＞0，所以4d＝b5﹣b1＝b5﹣1＞﹣1，即．这与矛盾．所以假设不成立，即b1≠1．所以，因为b5＝b1+4d，b5＞0，所以，即，综上，得．（Ⅲ）证明：由题意，设{c n}的公比为q，则．因为{c n}为{a n}的一个m项子列，所以q为正有理数，且q＜1，．设，且K，L互质，L≥2）．当K＝1时，因为，所以＝，所以．当K≠1时，因为是{a n}中的项，且K，L互质，所以a＝K m﹣1×M（M∈N*），所以＝．因为L≥2，K，M∈N*，所以．综上，．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合 ， ,则 （ ）A{0} B {0，1} C{0,2} D{0,1,2}2.下列函数中在（0，+∞）上为增函数的是（ ）A. y=x+1B.y=（x-1）2C. y=2-xD. log 0.5（x+1）3. 曲线 （θ为参数）的对称中心（A.在直线y=2x 上B.在直线y= -2x 上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上4.当m=7，n=3时执行如图所示程序框图 输出的s 值为（ ）A.7B.42C.210D.8405.设{ }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{ }为递增数列”的（ ） A.充分且不必要条件 B.必要且不充分 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.若x ，y 满足 且z=-y-x 的最小值为-4，则k 的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D.A=x|x 2-2x=0{}B=0,1,2{}A∩B {x=-1+cos θy=2+sin θαn αn {x+y-2≥0kx-y+2≥0y ≥012-127.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A （2，0，0）B(2，2，0 ) C(0，2，0) D(1，1， )若 分别表示三棱锥D-ABC 在xOy yOz zOx 坐标平面上正投影图形的面积，则（ ） A. B. C. D.8.有语文数学两个学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种，若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A同学比B 同学成绩好”现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的，问满足条件的最多有多少学生（ ） A.2 B.3 C.4 D.5一、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数 =10.11. 12. 13.14.2S 1S2S 3S 1=S 2=S 3S 1=S 3且S 3≠S 2S 1=S 2且S 3≠S 1S 2=S 3且S 1≠S 31+i 1-i ()2已知向量a 、b ，b=（2,1），且λa+b=0，（λ∈R ）则λ=设函数f(x)=Asin(wx+φ)（A ，w ，φ为常数A>0φ>0）且在π6，π2[]上单调，f π2()=f 2π3()= - f π6()，则f （x ）最小正周期PA=AE20（小题13分）2014年北京高考数学（理）参考答案一、 选择题 1. 【答案】C【解析】解：集合{}{}2200,2A x x =-==.故{}0,2A B ⋂=，选C ．2. 【答案】A【解析】解：A.y =[)1,-+∞上为增函数，符合题意.B.()21y x =-在()0,1上为减函数，不合题意. C.2xy -=为(),-∞+∞上的减函数，不合题意.D.()0.5log 1y x =+为()1,-+∞上的减函数，不合题意. 故选A3. 【答案】B【解析】解：参数方程1cos 2+sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩所表示的曲线为圆心在()1,2-，半径为1的圆.其对称中心为圆心()1,2-.逐个带入选项可知，()1,2-在直线2y x =-上，即选项B .4. 【答案】C【解析】解：当m 输入的7,3m n ==时，判断框内的判断条件为5k ＜.故能进入循环的k 依次为7，6，5，顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=，故选C.5. 【答案】D【解析】解：对于等比数列{}n a ，若1q ＞，则当10a ＜时有{}n a 为递减数列.故1q ＞不能推出“{}n a 为递增数列”.若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a ＜且01q ＜＜，推不出1q ＞.综上，“1q ＞”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D.6. 【答案】D【解析】解：若0,k z y x =-≥没有最小值，不合题意.若0k ＜，则不等式组所表示的平面区域如图所示. 由图可知，z y x =-在点2,0k ⎛⎫-⎪⎝⎭处取最小值. 故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，即选项D 正确7. 【答案】D【解析】解：D ABC -在平面上的投影为ABC ∆，故12S =.设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D A B C -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD ∆和3OAD ∆.∵(2D，(3D .故23S S =.综上，选项D 正确.8. 【答案】B【解析】解：用ABC 分别表示优秀、及格和不及格.显然语文成绩得A 的学生最多只有1个.语文成绩得B 的也最多只有一个.得C 的也最多只有一个，因此学生最多只有3个. 显然，（AC ）（BB ）（CA ）满足条件，故学生最多3个.二、填空题9. 【答案】1-【解析】解：复数()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2++===--+，故221i i 11i +⎛⎫==- ⎪-⎝⎭．10.【解析】解：由λ+=0r r a b ，有λ=-r rb a ，于是λ=⋅u u r r b a ，由()2,1=rb ，可得=r b 1=r a ，故λ=．11. 【答案】221312x y -=；2y x =±【解析】解：双曲线2214y x -=的渐近线为2y x =±，故C 的渐近线为2y x =±；设C ：224y x m -=，因为C 过()2,2，所以代入并解得3m =-，故C 的方程为221312x y -=，渐近线方程为2y x =±．12. 【答案】8【解析】解：根据等差数列的性质，78983a a a a ++=，71089a a a a +=+，于是8890,0a a a >+<，即890,0a a ><，所以8798,S S S S ><， 故8S 为{}n a 的前n 项和中最大值．13. 【答案】36【解析】解：因为A 与B 相邻，所以应用捆绑法，将A 和B 当成一个整体捆绑成一个元素，又因为A 与C 不相邻，所以分两种情况；（1）C 与A 和B 这个整体相邻，这时应采用插空法，摆法有223223A A A 24⋅⋅=种；（2）B 正好在A 与C 之间，这是将A 、B 、C 当成一个元素，摆法有2323A A 12⋅=种；故不同的摆法有122436+=种14. 【答案】π【解析】解：由()f x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可知， ()f x 有对称中心1πππ,0,02263⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对称轴1π2π7π22312x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；故()f x 的周期为7ππ4π123⎛⎫-=⎪⎝⎭． 三、解答题（共6小题，共80分）15．（共13分） 【解析】（1）sin ADC ∠==sin sin()sin cos cos sin 11727214BAD ADC B ADC B ADC B∴∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠=-⨯=（2）在ABD ∆中，sin sin sin AB AD BD ADB B BAD ==∠∠∠==解得：3,7BD AD == 在ACD ∆中，222222cos 172272497AC AD DC AD DC ADC=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=7AC ∴=16．（共13分）解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率为事件A ， 由题可知，李明在该场比赛中命中率超过0.6的场次有： 主场2、主场3、主场5、客场2、客场4，共计5场 所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率()51102P A ==．（2）设李明一场投篮命中率超过0.6，一场命中率不超过0.6的概率为事件B ，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率135P =，客场命中率超过0.6的概率225P =故()()()122133221311=+=555525P B P P P P =⨯-+⨯-⨯⨯． （3）()E X x =．17．（共14分） 【解析】 （1） 证明：//,,ED AM ED AM PED PED ⊄⊂面面//AM PED ∴面,AM ABF AB ABF ⊂⊂面即面ABF PED FG =面面Ç//AB FG ∴（2） 如图建立空间坐标系A x y -，各点坐标如下：(0,0,0),E (0,2,0),B (,1),P (0,0,2)A 设ABF 面的法向量为000(,,z )n x y =，(1,0,0)AB =,(0,1,1),AF =n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =得：(0,1,1)n =- 又(1,1,0)BC =，1sin ,2BC n ∴<>==直线BC 与平面ABF 所成角为6π 设111(,,z )H x y ,由,PH tPC =则111(,,z 2)t(2,1,2)x y -=-(21,,22)H t t t ∴--又,(21,,22)H ABF BH t t t ∈=--面0n BH ∴⋅=,2220,3t t t ∴+-=∴=，422(,,)333H ∴，424,,333PH ⎛⎫= ⎪⎝⎭|PH|=2∴18．（共13分）解：（1）证明：()()'cos sin cos sin ,f x x x x x x x =+--=-∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()'0f x …，即()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()00f =，所以()0f x …． （2）一方面令()sin x g x x =，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2cos sin 'x x xg x x ⋅-=，由（1）可知，()'0g x <，故()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()π22πg x g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，故2πa …，所以m a x 2πa =． 令()sin h x x bx =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()'cos h x x b =-，当1b …时，()'0h x <，故()h x 在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()()00h x h <=， 所以()s i n 0h x x bx =-<恒成立．当1b <时，()'cos 0h x x b =-=在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一解0x ，且()00,x x ∈，()'0h x >，故()h x 在()00,x 上单调递增，从而()()00h x h >=， 即sin sin 0sin x x bx x bx b x ->⇒>⇒>与sin x b x<恒成立矛盾， 综上，1b …，故min 1b =．19．（共14分）（1）椭圆的标准方程为：22142x y +=，故2,a b ==，则c =故离心率e c a ==；（2）由题可得，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y k x =，OA OB ⊥,○1当0k =时，()2,0A ±，已知()0,2B ，此时直线AB 方程为20x y +-=或+2=0x y -，原点到直线AB 的距离均为故满足直线AB 与圆222x y +=相切； ○2当0k ≠时，直线OB 方程为1y x k=-， 联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()221+24k x =，故,A ⎛⎫或,⎛⎫， 联立12y x k y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得，()2,2B k -，由A 的对称性，那么不妨去点,A ⎛⎫进行计算，于是直线AB 方程为))2222y x k x k k-+=++，((21+220k x y k -++=原点到直线AB 的距离d =，此时与圆222x y +=相切；综上所述，直线AB 与圆222x y +=相切．20．（共13分）解：（1）()1257T P =+=，()(){}{}211max ,241max 7,6178T P T P =++=+=+=；（2）当m a =时，()1T P a b =+，(){}{}2,+max +max ,a c T P d a b a d b c =++=+； ()1'+T P c d =，(){}{}2'max ,max ,T P b c d c a b c a d b c d =+++=++=++；因为a 是a b c d 、、、中最小的数，所以{}max ,a b c b c ++…，从而()()22'T P T P …；当m d =时，()1T P a b =+，(){}{}2,+max +max ,a c T P d a b a d b c =++=+； (){}{}2'max ,max ,T P b c d c a b c a d a b c =+++=++=++；因为d 是a b c d 、、、中最小的数，所以{}max ,d b c b c ++…，从而()()22'T P T P …； 综上，这两种情况下都有()()22'T P T P …．（3）52．分布为：(4,6)(16,11)(11,11)(11,8)(5,2)。

1．(交汇新)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－12．(背景新)已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x －2)i －y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋y 的值为( )A ．4B ．－4C ．4＋4iD ．2i3．(定义新)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量运算a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动且满足O Q →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值为( )A ．1B ．3C ．5 D.124．(角度新)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1f ′(x ).程序框图如图所示，若输出的结果S ＞2 0112 012，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是( )A ．n ≤2 011?B ．n ≤2 012?C ．n ＞2 011?D ．n ＞2 012?[历 炼]1．解析：若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线，∵ AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴ 1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1，故选C .答案：C2．解析：由x －2＝1，y ＝1，得(1＋i )4＝(2i )2＝－4，故选B .答案：B3．解析：OP →＝(x ，y)＝(x ，sin x)，则OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，12sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，12sin x .令Q(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x ＋π3，y 0＝12sin x ，∴ y 0＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0－π6， ∴ f(x)＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6， ∴ f(x)的最大值为12.故选D .答案：D 4．解析：由题意得f ′(x)＝3ax 2＋x ，由f ′(－1)＝0得a ＝13，∴ f ′(x)＝x 2＋x ，即g(x)＝1x 2＋x ＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1. 由程序框图可知S ＝0＋g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝0＋1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＞2 0112 012，得n ＞2 011，故选B . 答案：B。

2014年高考理科数学试题全国大纲卷逐题详解 （纯word 解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【2014年全国大纲卷（01）】设103iz i=+，则z 的共轭复数为（ ）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i -【答案】D 【解析】∵z==，∴．故选：D【2014年全国大纲卷（02）】设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]-【答案】B【解析】由x 2﹣3x ﹣4＜0，得﹣1＜x ＜4．∴M={x|x 2﹣3x ﹣4＜0}={x|﹣1＜x ＜4}，又N={x|0≤x ≤5}，∴M ∩N={x|﹣1＜x ＜4}∩{x|0≤x ≤5}=[0，4）．故选：B【2014年全国大纲卷（03）】设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】C【解析】由诱导公式可得b=cos55°=cos （90°﹣35°）=sin35°， 由正弦函数的单调性可知b ＞a ，而c=tan35°=＞sin35°=b ，∴c ＞b ＞a 故选：C【2014年全国大纲卷（04）】若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）A ．2B ．2C ．1D ．2【答案】B【解析】由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b 2=2，则||=，故选：B【2014年全国大纲卷（05）】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ） A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种【答案】C【解析】根据题意，先从6名男医生中选2人，有C 62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C 51=5种选法， 则不同的选法共有15×5=75种；故选C【2014年全国大纲卷（06）】已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A【解析】∵△AF 1B 的周长为4，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴c=1，∴b==，∴椭圆C 的方程为+=1．故选：A【2014年全国大纲卷（07）】曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．1【答案】C【解析】函数的导数为f ′（x ）=e x ﹣1+xe x ﹣1=（1+x ）e x ﹣1，当x=1时，f ′（1）=2，即曲线y=xe x ﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f ′（1）=2，故选：C【2014年全国大纲卷（08）】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π【答案】A【解析】设球的半径为R ，则∵棱锥的高为4，底面边长为2， ∴R 2=（4﹣R ）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A【2014年全国大纲卷（09）】已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ） A ．14 B ．13C ．2D ．2【答案】A【解析】∵双曲线C 的离心率为2，∴e=，即c=2a ，点A 在双曲线上，则|F 1A|﹣|F 2A|=2a ，又|F 1A|=2|F 2A|，∴解得|F 1A|=4a ，|F 2A|=2a ，||F 1F 2|=2c ，则由余弦定理得cos ∠AF 2F 1===，故选：A【2014年全国大纲卷（10）】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】∵等比数列{a n }中a 4=2，a 5=5，∴a 4•a 5=2×5=10，∴数列{lga n }的前8项和S=lga 1+lga 2+…+lga 8=lg （a 1•a 2…a 8）=lg （a 4•a 5）4=4lg （a 4•a 5）=4lg10=4故选：C【2014年全国大纲卷（11）】已知二面角l αβ--为060，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，0135ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14 B ．24 C ．3 D ．12【答案】B【解析】如图，过A 点做AE ⊥l ，使BE ⊥β，垂足为E ，过点A 做AF ∥CD ，过点E 做EF ⊥AE ，连接BF ，∵AB ⊥l ，∴∠BAE=60°，又∠ACD=135°，∴∠EAF=45°，在Rt △BEA 中，设AE=a ，则AB=2a ，BE=a ，在Rt △AEF 中，则EF=a ，AF=a ，在Rt △BEF 中，则BF=2a ， ∴异面直线AB 与CD 所成的角即是∠BAF ，∴cos ∠BAF===．【2014年全国大纲卷（12）】函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--【答案】D【解析】设P （x ，y ）为y=f （x ）的反函数图象上的任意一点，则P 关于y=x 的对称点P ′（y ，x ）一点在y=f （x ）的图象上，又∵函数y=f （x ）的图象与函数y=g （x ）的图象关于直线x+y=0对称，∴P ′（y ，x ）关于直线x+y=0的对称点P ″（﹣x ，﹣y ）在y=g （x ）图象上， ∴必有﹣y=g （﹣x ），即y=﹣g （﹣x ）∴y=f （x ）的反函数为：y=﹣g （﹣x ）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【2014年全国大纲卷（13）】8()x y y x-的展开式中22x y 的系数为 . 【答案】70 【解析】的展开式的通项公式为 T r+1=•（﹣1）r••=•（﹣1）r••，令 8﹣=﹣4=2，求得 r=4，故展开式中x 2y 2的系数为 =70，故答案为：70【2014年全国大纲卷（14）】设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .【答案】5【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得C （1，1）．化目标函数z=x+4y 为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C 点时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大．此时z max =1+4×1=5．故答案为：5【2014年全国大纲卷（15）】直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .【答案】【解析】设l 1与l 2的夹角为2θ，由于l 1与l 2的交点A （1，3）在圆的外部，且点A 与圆心O 之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sin θ==，∴cos θ=，tan θ==，∴tan2θ===，故答案为：【2014年全国大纲卷（16）】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 .【答案】（﹣∞，2]【解析】由f （x ）=cos2x+asinx=﹣2sin 2x+asinx+1，令t=sinx ，则原函数化为y=﹣2t 2+at+1．∵x ∈（，）时f （x ）为减函数，则y=﹣2t 2+at+1在t ∈（，1）上为减函数，∵y=﹣2t 2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=． ∴，解得：a ≤2．∴a 的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【2014年全国大纲卷（17）】（本小题满分10分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B.解：根据正弦定理，由3cos 2cos 3sin cos 2sin cos a C c A A C C A =⇒=sin sin 323tan 2tan cos cos A CA C A C⇒⨯=⨯⇒= 因为1tan 3A =，所以1132tan tan 32C C ⨯=⇒=所以11tan tan 32tan()1111tan tan 132A C A C A C +++===--⨯ 因为0A C π<+<，所以4A C π+=由三角形的内角和可得344B πππ=-=.【2014年全国大纲卷（18）】（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，而110a =，从而有10(1)n a n d =+- 若0d =，10n S n =，此时4n S S ≤不成立若0d >，数列{}n a 是一个单调递增数列，n S 随着n 的增大而增大，也不满足4n S S ≤ 当0d <时，数列{}n a 是一个单调递减数列，要使4n S S ≤，则须满足540a a ≤⎧⎨≥⎩即1040105103032d d d +≤⎧⇒-≤≤-⎨+≥⎩，又因为21a a d =+为整数，所以d Z ∈，所以3d =- 此时103(1)133n a n n =--=-（2）由（1）可得1111111()(133)(103)(313)(310)3133103n n n b a a n n n n n n +====-⨯------ 所以111111111(())(())()31073743133103n T n n =---+---++-⨯--1111111111(()()())()31077431331031031010(310)n n n n n ---+---++-=--=-----.【2014年全国大纲卷（19）】（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小.解：法一：（1）因为1A D ⊥平面ABC ，1A D ⊆平面11AAC C ，故平面11AAC C ⊥平面ABC .又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AAC C .连结1AC .因为侧面11AAC C 为菱形，故11AC AC ⊥.由三垂线定理得11AC A B ⊥.（2）BC ⊥平面11AAC C ，BC ⊆平面11BCC B ，故平面11AAC C ⊥平面11BCC B . 作11A E CC ⊥，E 为垂足，则1A E ⊥平面11BCC B .又直线1A A 平面11BCC B ，因而1A E 为直线1A A 与平面11BCC B 的距离，13A E =.因为1A C 为11A CC ∠的平分线，故113A D A E ==.作DF AB ⊥，F 为垂足，连结1A F .由三垂线定理得1A F AB ⊥，故1A FD ∠为二面角1A ABC --的平面角. 由22111AD AA A D =-=得D 为C A 中点，15=25AC BC DF AB ⨯⨯=，11tan 15A D A FD DF ∠==. 所以二面角1A AB C --的大小为arc tan 15。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设全集{}02U x x =<<，集合{}01A x x =<≤，则集合U A =ð（ ）A.()0,1B.(]0,1C.()1,2D.[)1,22.已知平面向量()2,1a =-，()1,3b =，那么a b +等于（ ）A.5B.13C.17D.133.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心 率为（ ）A.2B.2C.3D.55=，故选D.考点：1.双曲线的几何性质；2.双曲线的离心率4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.2B.43C.4D.55.下列函数中，对于任意x R ∈，同时满足条件()()f x f x =-和()()f x f x π-=的函数是（ ）A.()sin f x x =B.()sin cos f x x x =C.()cos f x x =D.()22cos sin f x x x =-()22cos sin cos2f x x x x =-=，该函数是偶函数，且以π为最小正周期的周期函数，故选D.正(主)视图 俯视图 侧(左)视图 2 3 1 251考点：1.二倍角公式；2.三角函数的奇偶性与周期性6.设0a >，且1a ≠，则“函数log a y x =在()0,+∞上是减函数”是“函数()32y a x =-在R 上是增函数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ）A.4B.5C.6D.78.如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）A.4个B. 6个C.10个D.14个【答案】C【解析】试题分析：分以下两种情况讨论：（1）点P 到其中两个点的距离相等，到另外两点的距离分别相等，且这两个距离不等，此时点P 位于正四面体各棱的中点，符合条件的有6个点；（2）点P 到其中三个点的距离相等，到另外一点的距离与它到其它三点的距离不相等，此时点P 在正四面体各侧面的中心点，符合条件的有4个点，故选C.考点：新定义第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.设复数12i x yi i-=++，其中x 、y R ∈，则x y +=______.10.若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____. 4p =，此时抛物线的准线方程为2x =-.BAD C . P考点：抛物线的几何性质11.已知函数()3,01,01x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，若()02f x =，则实数0=x ______；函数()f x 的最大值为_____．12.执行如图所示的程序框图，如果输入2a =，2b =，那么输出的a 值为______.【答案】256.【解析】试题分析：3log 24>不成立，执行第一次循环，224a ==； 3log 44>不成立，执行第二次循环，2416a ==；4333log 164log 3log 81>==不成立，执行第三次循环，216256a ==； 开始b a a =3log 4a >输出a结束 否 是 输入a , b33log 2564log 81>=成立，跳出循环体，输出a 的值为256，故选C.考点：算法与程序框图13.若不等式组1026ax y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是_______.范围是()3,5.考点：线性规划14.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，记()y f x =，则()1f =____； 函数()f x 的值域为_________.因为()()205080441f f =⨯-⨯+=>，因此()()max 04f x f ==， 所以函数()f x 的值域为4,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦. A BD CP考点：1.平面向量的数量积；2.二次函数三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知222b c a bc +=+.（1）求A 的大小；（2）如果6cos 3=B ，2b =，求a 的值.考点：1.正弦定理与余弦定理；2.同角三角函数的基本关系16.（本小题满分13分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品. 寿命（天） 频数 频率[)100,20010 0.05 [)200,30030 a [)300,400 70 0.35[)400,500 b 0.15[)500,60060 c 合计 200 1（1）根据频率分布表中的数据，写出a 、b 、c 的值；（2）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．是次品的概率； （3）某人从这批灯泡中随机地购买了()n n N *∈个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按．三个．．等级分层抽．．．．．样．所得的结果相同，求n 的最小值.所以n 的最小值为10.考点：1.频率分布表；2.古典概型17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2AD AB =，SA SD =，SA AB ⊥， N 是棱AD 的中点.（1）求证：//AB 平面SCD ；（2）求证：SN ⊥平面ABCD ；（3）在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面PBD ⊥平面ABCD ？若存在，求出SP PC的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在，且12SP PC =. 所以 SN AD ⊥.又因为 AB AD A =，所以 SN ⊥平面ABCD .（3）如图，连接BD 交NC 于点F ，在平面SNC 中过F 作//FP SN 交SC 于点P ，连接PD 、PC . B CA D S N因为 SN ⊥平面ABCD ，所以FP ⊥平面ABCD . 又因为FP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD . 在矩形ABCD 中，因为//ND BC ， 所以12NF ND FC BC ==. 在SNC ∆中，因为//FP SN ， 所以12NF SP FC PC ==. 则在棱SC 上存在点P ，使得平面PBD ⊥平面ABCD ，此时12SP PC =. 考点：1.直线与平面平行的判定与性质；2.直线与平面垂直 18.（本小题满分13分）已知函数()ln af x x x=-，其中a R ∈. （1）当2a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； （2）如果对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围. 【答案】（1）350x y --=；（2）(],1-∞-. 【解析】试题分析：（1）将2a =代入函数解析式，求出()1f '及()1f 的值，利用点斜式写出切线方程；（2）利用参数分离法将()2f x x >-+转化为2ln 2a x x x x <+-，构造新函数()2ln 2g x x x x x =+-，问题转化为()min a g x <来求解，但需注意区间()1,+∞端点值的取舍. 试题解析：（1）由()2ln f x x x =-，得()212f x x x'=+， 所以()13f '=， 又因为()12f =- ，B CA DSNFP所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为350x y --=；19.（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，O 为坐标原点. （1）求椭圆W 的方程.（2）设斜率为k 的直线l 与W 相交于A 、B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =.【答案】（1）2212x y +=；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）利用题干中的已知条件分别求出a 、b 、c ，从而写出椭圆W 的方程；（2）设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆W 的方程联立，借助韦达定理求出弦长AB ，并求出原点到直线l 的距离d ，然后以AB 为底边，d 为高计算AOB ∆的面积，利用基本不等式验证1k =时和2k =时AOB ∆的验证知（*）成立；当2k =时，因为()22299AOB S m m ∆=-，20.（本小题满分13分）在数列{}n a 中，()1n a n N n*=∈. 从数列{}n a 中选出()3k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列12、13、15、18为{}n a 的一个4 项子列.（1）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等比数列；（2）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足104d -<<；（3）如果{}n c 为数列{}n a 的一个6项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1234566332c c c c c c +++++≤.【答案】（1）答案不唯一. 如3项子列：12、14、18；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据题中的定义写出一个3项子列即可；（2）根据定义得到11b ≤，利用数列{}n b 的定义与单调性得到0d >，然后由5140b b d =+>得到14d >-，从而证明104d -<<；（3）注意到数列{}n a 各项均为有理数，从而得到数列{}n c 的公比q 为正有理数，从而存在K 、L N *∈使得K q L=，并对K 是否等于1进行分类讨论，结合等比数列求和公式进行证明. 试题解析：（1）答案不唯一. 如3项子列：12、14、18； （2）由题意，知1234510b b b b b ≥>>>>>，所以 210d b b =-<. 因为 514b b d =+，11b ≤，50b >，所以 514011d b b =->-=-，解得 14d >-.543223*********M K K L K L K L KL L ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭. 因为 2L ≥，K 、*M N ∈，所以 2345123456111116312222232c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.综上，12345663 32c c c c c c+++++≤. 考点：1.新定义；2.等比数列求和。

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编14：数列的综合问题一、选择题1 ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）若数列{}n a 满足:存在正整数T ,对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立,则称数列{}n a 为周期数列,周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>,11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 （ ）A ．若34a =,则m 可以取3个不同的值 B．若m =则数列{}n a 是周期为3的数列 C ．T ∀∈*N 且2T ≥,存在1m >,{}n a 是周期为T 的数列 D ．Q m ∃∈且2m ≥,数列{}n a 是周期数列2 ．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）设等比数列}{n a 的公比为q ,其前n 项的积为n T ,并且满足条件11a >,9910010a a ->,99100101a a -<-.给出下列结论:① 01q <<; ② 9910110a a ⋅->; ③ 100T 的值是n T 中最大的;④ 使1n T >成立的最大自然数n 等于198. 其中正确的结论是 （ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题3 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间]4,0[对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间]4,0[上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后)1(≥n ，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为)(n f ，则=)3(f ；=)(n f .4 ．5 ．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）对于各数互不相等的整数数组(n i i i i ,,,,321⋅⋅⋅)(n 是不小于3的正整数),若对任意的q p ,∈{n ，，⋅⋅⋅3,2,1},当q p <时有q p i i >,则称q p i i ,是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数组(2,3,1)的逆序数等于2.则数组(5,2,4,3,1) 2 4（3题图）6 ．（2013朝阳二模数学理科）数列{21}n-的前n 项1,3,7,,21n - 组成集合{1,3,7,,21}()n n A n *=-∈N ,从集合n A 中任取k (1,2,3,,)k n = 个数,其所有可能的k 个数的乘积的和为k T (若只取一个数,规定乘积为此数本身),记12n n S T T T =+++ .例如当1n =时,1{1}A =,11T =,11S =;当2n =时,2{1,3}A =,113T =+,213T =⨯,213137S =++⨯=.则当3n =时,3S =______;试写出n S =______.7 ．（2013届西城区一模理科）记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .设△ABC 的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为m a x {,,}m i n {,a b ca tbc a b =⋅,}bc ca ．（ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t =______； （ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______．8 ．（海淀区北师特学校13届高三第四次月考理科）对任意x ∈R ，函数()f x满足1(1)2f x +=，设)()]([2n f n f a n -=，数列}{n a 的前15项的和为3116-，则(15)f = ． 9 ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）定义映射:f A B →，其中{(,),}A m n m n =∈R ，B =R ，已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =；②若n m >，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-， 则(2,2)f = ，(,2)f n = ．10．（2013北京东城高三二模数学理科）在数列{}n a 中,若对任意的*n ∈N ,都有211n n n na a t a a +++-=(t 为常数),则称数列{}n a 为比等差数列,t 称为比公差.现给出以下命题:①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;②若数列{}n a 满足122n n a n-=,则数列{}n a 是比等差数列,且比公差12t =;③若数列{}n c 满足11c =,21c =,12n n n c c c --=+(3n ≥),则该数列不是比等差数列; ④若{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,则数列{}n n a b 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是 .11．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）将整数1,2,3,,25 填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .12．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）在数列{}n a 中,如果对任意的*n ∈N ,都有211n n n na a a a λ+++-=(λ为常数),则称数列{}n a 为比等差数列,λ称为比公差.现给出以下命题:①若数列{}n F 满足1212(3)n n n F F F F F n --=+≥=1,=1,,则该数列不是比等差数列; ②若数列{}n a 满足123-⋅=n n a ,则数列{}n a 是比等差数列,且比公差0=λ;③等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列; ④若{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,则数列{}n n a b 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是____ .三、解答题13．（海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理））已知数集12{,,A a a =,}n a 12(1a a =<<,2)n a n <≥具有性质P:对任意的(2)k k n ≤≤,,(1)i j i j n ∃≤≤≤,使得k i j a a a =+成立. (Ⅰ)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由; (Ⅱ)求证:122n a a a ≤++1(2)n a n -+≥;(Ⅲ)若72n a =,求数集A 中所有元素的和的最小值.14．（2013届北京海滨一模理科）设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点，其中,,,A A B B x y x y ∈Z .令B A x x x ∆=-，B A y y y ∆=-，若x ∆+=3y ∆,且||||0x y ∆⋅∆≠，则称点B 为点A 的“相关点”，记作：()B A τ=. 已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈ Z 为平面上一个定点，平面上点列{}i P 满足：1()i i P P τ-=，且点i P 的坐标为(,)i i x y ，其中1,2,3,...,i n =.（Ⅰ）请问：点0P 的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；（Ⅱ）求证：若0P 与n P 重合，n 一定为偶数；（Ⅲ）若0(1,0)P ，且100n y =，记0ni i T x ==∑，求T 的最大值.15．（西城区2013届高三上学期期末考试数学理科）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n = 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．16．（2011年高考（北京理））若数列12:,,(2)n n A a a a n ≥ 满足1||1(1,2,,1)k k a a k n +-==- ,则称n A 为E 数列.记12()n n S A a a a =+++ (Ⅰ)写出一个满足150a a ==,且5()0S A >的E 数列5A ;(Ⅱ)若112,2000a n ==,证明: E 数列n A 是递增数列的充要条件是2011n a =;(Ⅲ)对任意给定的整数(2)n n ≥,是否存在首项为0的E 数列n A ,使得()0n S A =?如果存在,写出一个满足条件的E 数列n A ;如果不存在,说明理由.17．（2013丰台二模数学理科）已知等差数列{}n a 的通项公式为23-=n a n ,等比数列{}n b 中,1143,1b a b a ==+.记集合{},*,n A x x a n N ==∈ {},*n B x x b n N ==∈,U A B =⋃,把集合U 中的元素按从小到大依次排列,构成数列{}n c .(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式,并写出数列{}n c 的前4项;(Ⅱ)把集合U C A 中的元素从小到大依次排列构成数列{}n d ,求数列{}n d 的通项公式,并说明理由; (Ⅲ)求数列{}n c 的前n 项和.nS18．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）设1210(,,,)x x x τ= 是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列,定义1011()|23|kk k S xx τ+==-∑,其中111x x =.(Ⅰ)若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=,求()S τ的值;(Ⅱ)求()S τ的最大值; (Ⅲ)求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数.19．（顺义13届高三第一次统练理科）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且点()n S n ,在函数221-=+x y的图像上.(I)求数列{}n a 的通项公式;(II)设数列{}n b 满足:()*,011N ∈=+=+n a b b b n n n ,求数列{}n b 的前n 项和公式;(III)在第(II)问的条件下,若对于任意的*N ∈n 不等式1+<n n b b λ恒成立,求实数λ的取值范围20．（丰台区2013届高三上学期期末理 ）已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形．（Ⅰ）求1A 、1B 的坐标； （Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令1,2iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11n niii i b c ==<∑∑，若存在，求出N 的最小值并证明；若不存在，说明理由．21．（海淀区2013届高三上学期期末理科）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t +->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.22．（石景山区2013届高三上学期期末理）定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数”(*)n N ∈．（Ⅰ）已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若()(1)x f x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}n c 的首项为2013，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，证明{}n c 是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项?(解题中可用以下数据 :lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)23．（朝阳区2013届高三上学期期中考试（理））给定一个n 项的实数列12,,,(N)n a a a n *∈ ,任意选取一个实数c ,变换()T c 将数列12,,,n a a a 变换为数列12||,||,,||n a c a c a c --- ,再将得到的数列继续实施这样的变换,这样的变换可以连续进行多次,并且每次所选择的实数c 可以不相同,第(N )k k *∈次变换记为()k k T c ,其中k c 为第k 次变换时选择的实数.如果通过k 次变换后,数列中的各项均为0,则称11()T c ,22()T c ,,()k k T c 为 “k 次归零变换”.(Ⅰ)对数列:1,3,5,7,给出一个 “k 次归零变换”,其中4k ≤; (Ⅱ)证明:对任意n 项数列,都存在“n 次归零变换”;(Ⅲ)对于数列231,2,3,,nn ,是否存在“1n -次归零变换”?请说明理由.24．（2013届丰台区一模理科）设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n （n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：① 1230n a a a a ++++= ；② 1231n a a a a ++++= . （Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若某2k+1(*k N ∈)阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （Ⅲ）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n = ，试证：（1）21≤k S ； （2）111.22ni i a in =≤-∑25．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分14分)设数列{}n a 对任意*N n ∈都有112()()2()n n kn b a a p a a a +++=++ (其中k 、b 、p 是常数) .(I)当0k =,3b =,4p =-时,求123n a a a a ++++ ;(II)当1k =,0b =,0p =时,若33a =,915a =,求数列{}n a 的通项公式;(III)若数列{}n a 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当1k =,0b =,0p =时,设n S 是数列{}n a 的前n 项和,212a a -=,试问:是否存在这样的“封闭数列”{}n a ,使得对任意*N n ∈,都有0n S ≠,且12311111111218n S S S S <++++< .若存在,求数列{}n a 的首项1a 的所有取值;若不存在,说明理由.26．（昌平区2013届高三上学期期末理）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i = ，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j = ，12()100m g m b b b m =+++- (1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ； （Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++= ，求函数)(m g 的最小值．27．（2013北京朝阳二模数学理科试题）已知实数12,,,n x x x (2n ≥)满足||1(1,2,3,,)i x i n ≤= ,记121(,,,)n i j i j nS x x x x x ≤<≤=∑.(Ⅰ)求2(1,1,)3S --及(1,1,1,1)S --的值; (Ⅱ)当3n =时,求123(,,)S x x x 的最小值; (Ⅲ)求12(,,,)n S x x x 的最小值. 注:1i j i j nx x ≤<≤∑表示12,,,n x x x 中任意两个数i x ,j x (1i j n ≤<≤)的乘积之和.28．（北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)）已知A (,),B (,)是函数的图象上的任意两点(可以重合),点M 在直线21=x 上,且.(1)求+的值及+的值 (2)已知,当时,+++,求;(3)在(2)的条件下,设=,为数列{}的前项和,若存在正整数、,使得不等式成立,求和的值.29．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）(本小题满分13分)设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.(Ⅰ) 数表A 如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数．．a 的所有可能值;(Ⅲ)对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ,能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 表2和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.30．（2013北京房山二模数学理科试题）设3>m ,对于项数为m 的有穷数列{}n a ,令k b 为)(,,,21m k a a a k≤ 中的最大值,称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”.例如数列3,的创新数列为3,5,5,7.考查自然数)3(,,2,1>m m 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列{}n c .(Ⅰ)若5m =,写出创新数列为3,5,5,5,5的所有数列{}n c ;(Ⅱ)是否存在数列{}n c 的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)是否存在数列{}n c ,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有符合条件的数列{}n c 的个数;若不存在,请说明理由.22221212a a a a a a a a ------31．（东城区2013届高三上学期期末考试数学理科）已知实数组成的数组123(,,,,)n x x x x 满足条件：①10nii x==∑； ②11ni i x ==∑.(Ⅰ) 当2n =时，求1x ，2x 的值； （Ⅱ）当3n =时，求证：123321x x x ++≤； （Ⅲ）设123n a a a a ≥≥≥≥ ,且1n a a >(2)n ≥，求证：111()2ni in i a xa a =≤-∑.32．（东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）设1a ，2a ，…20a 是首项为1，公比为2的等比数列，对于满足190≤≤k 的整数k ，数列1b ，2b ，…20b 由⎩⎨⎧-++20k n k n a a 时，当时，当20-20201≤<-≤≤n k k n 确定。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设全集{}02U x x =<<，集合{}01A x x =<≤，则集合U A =ð（ ）A.()0,1B.(]0,1C.()1,2D.[)1,22.已知平面向量()2,1a =-，()1,3b =，那么a b +等于（ ）A.5B.13C.17D.133.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（ ）A.2B.2C.3D.55=，故选D.考点：1.双曲线的几何性质；2.双曲线的离心率4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.2 B.43C.4D.55.下列函数中，对于任意x R ∈，同时满足条件()()f x f x =-和()()f x f x π-=的函数是（ ） A.()sin f x x = B.()sin cos f x x x = C.()cos f x x = D.()22cos sin f x x x =-()22cos sin cos2f x x x x =-=，该函数是偶函数，且以π为最小正周期的周期函数，故选D.正(主)视图俯视图侧(左)视图2 3 1251考点：1.二倍角公式；2.三角函数的奇偶性与周期性6.设0a >，且1a ≠，则“函数log a y x =在()0,+∞上是减函数”是“函数()32y a x =-在R 上是增函数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ）A.4B.5C.6D.78.如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）A.4个B. 6个C.10个D.14个 【答案】C 【解析】试题分析：分以下两种情况讨论：（1）点P 到其中两个点的距离相等，到另外两点的距离分别相等，且这两个距离不等，此时点P 位于正四面体各棱的中点，符合条件的有6个点；（2）点P 到其中三个点的距离相等，到另外一点的距离与它到其它三点的距离不相等，此时点P 在正四面体各侧面的中心点，符合条件的有4个点，故选C. 考点：新定义第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.设复数12ix yi i-=++，其中x 、y R ∈，则x y +=______.10.若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____.4p =，此时抛物线的准线方程为2x =-.BADC. P考点：抛物线的几何性质11.已知函数()3,01,01x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，若()02f x =，则实数0=x ______；函数()f x 的最大值为_____．12.执行如图所示的程序框图，如果输入2a =，2b =，那么输出的a 值为______.【答案】256. 【解析】试题分析：3log 24>不成立，执行第一次循环，224a ==；3log 44>不成立，执行第二次循环，2416a ==；4333log 164log 3log 81>==不成立，执行第三次循环，216256a ==；开始 b a a =3log 4a >输出a结束否是输入a , b33log 2564log 81>=成立，跳出循环体，输出a 的值为256，故选C.考点：算法与程序框图13.若不等式组1026ax y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是_______.范围是()3,5. 考点：线性规划14.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，记()y f x =，则()1f =____； 函数()f x 的值域为_________.因为()()205080441f f =⨯-⨯+=>，因此()()max 04f x f ==，所以函数()f x 的值域为4,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦.A BD C P考点：1.平面向量的数量积；2.二次函数三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知222b c a bc +=+. （1）求A 的大小； （2）如果6cos 3=B ，2b =，求a 的值.考点：1.正弦定理与余弦定理；2.同角三角函数的基本关系16.（本小题满分13分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.寿命（天）频数频率[)100,200 10 0.05[)200,30030 a[)300,400700.35 [)400,500 b0.15[)500,60060 c合计2001（1）根据频率分布表中的数据，写出a 、b 、c 的值；（2）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．是次品的概率； （3）某人从这批灯泡中随机地购买了()n n N *∈个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按．三个．．等级分层抽．．．．．样．所得的结果相同，求n 的最小值.所以n 的最小值为10.考点：1.频率分布表；2.古典概型17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2AD AB =，SA SD =，SA AB ⊥， N 是棱AD 的中点.（1）求证：//AB 平面SCD ；（2）求证：SN ⊥平面ABCD ；（3）在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面PBD ⊥平面ABCD ？若存在，求出SPPC的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在，且12SP PC =. 所以 SN AD ⊥.又因为 ABAD A =，所以 SN ⊥平面ABCD .（3）如图，连接BD 交NC 于点F ，在平面SNC 中过F 作//FP SN 交SC 于点P ，连接PD 、PC .B CA DSN因为 SN ⊥平面ABCD ，所以FP ⊥平面ABCD . 又因为FP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD . 在矩形ABCD 中，因为//ND BC ， 所以12NF ND FC BC ==. 在SNC ∆中，因为//FP SN ， 所以12NF SP FC PC ==. 则在棱SC 上存在点P ，使得平面PBD ⊥平面ABCD ，此时12SP PC =. 考点：1.直线与平面平行的判定与性质；2.直线与平面垂直 18.（本小题满分13分）已知函数()ln af x x x=-，其中a R ∈. （1）当2a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； （2）如果对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围. 【答案】（1）350x y --=；（2）(],1-∞-. 【解析】试题分析：（1）将2a =代入函数解析式，求出()1f '及()1f 的值，利用点斜式写出切线方程；（2）利用参数分离法将()2f x x >-+转化为2ln 2a x x x x <+-，构造新函数()2ln 2g x x x x x =+-，问题转化为()min a g x <来求解，但需注意区间()1,+∞端点值的取舍. 试题解析：（1）由()2ln f x x x =-，得()212f x x x'=+， 所以()13f '=， 又因为()12f =- ，B CA DSNFP所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为350x y --=；19.（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，O 为坐标原点. （1）求椭圆W 的方程.（2）设斜率为k 的直线l 与W 相交于A 、B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =.【答案】（1）2212x y +=；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）利用题干中的已知条件分别求出a 、b 、c ，从而写出椭圆W 的方程；（2）设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆W 的方程联立，借助韦达定理求出弦长AB ，并求出原点到直线l 的距离d ，然后以AB 为底边，d 为高计算AOB ∆的面积，利用基本不等式验证1k =时和2k =时AOB ∆的验证知（*）成立；当2k =时，因为()22299AOB S m m ∆=-，20.（本小题满分13分）在数列{}n a 中，()1n a n N n*=∈. 从数列{}n a 中选出()3k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列12、13、15、18为{}n a 的一个4 项子列.（1）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等比数列；（2）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足104d -<<； （3）如果{}n c 为数列{}n a 的一个6项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1234566332c c c c c c +++++≤.【答案】（1）答案不唯一. 如3项子列：12、14、18；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据题中的定义写出一个3项子列即可；（2）根据定义得到11b ≤，利用数列{}n b 的定义与单调性得到0d >，然后由5140b b d =+>得到14d >-，从而证明104d -<<；（3）注意到数列{}n a 各项均为有理数，从而得到数列{}n c 的公比q 为正有理数，从而存在K 、L N *∈使得K q L=，并对K 是否等于1进行分类讨论，结合等比数列求和公式进行证明. 试题解析：（1）答案不唯一. 如3项子列：12、14、18； （2）由题意，知1234510b b b b b ≥>>>>>，所以 210d b b =-<. 因为 514b b d =+，11b ≤，50b >，所以 514011d b b =->-=-，解得 14d >-.543223*********M K K L K L K L KL L ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭. 因为 2L ≥，K 、*M N ∈，所以 2345123456111116312222232c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.综上，12345663 32c c c c c c+++++≤. 考点：1.新定义；2.等比数列求和。