中线倍长法及截长补短经典讲义

A BCDEF三角形全等之倍长中线（讲义）一、知识点睛1．辅助线的定义：为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成虚线．2．辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知和未知之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况． 3．辅助线的作用：①把分散的条件转为集中；②把复杂的图形转为基本图形． 4．添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试． 5．“三角形全等”辅助线：见中线要___________，_________之后________________． 6．倍长中线的作法：ABCDDCB AM延长AD 到E ，使DE=AD , 延长MD 到E ，使DE=MD ，连接BE 连接CE二、精讲精练1. 如图，AD 为△ABC 的中线．求证：AB +AC >2AD ．2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．BADCABC延长FE 交BC 的延长线于点G3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AC =AB ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ．5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．A FEBD CAEB DCGE D AF A F EBDCGEDAF6. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，GE ⊥EF ．求证：GF =AG +BF ．7. 如图，在正方形ABCD 的边CB 的延长线上取一点E ，△FEB 为等腰直角三角形，∠FEB =90°，连接FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ． 求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】DGAEBFCAF EBGCD【知识点睛】见中线要倍长，倍长之后证全等．【精讲精练】1．证明略（提示：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD）2．证明略（提示：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD）3．证明略（提示：延长CD到点F，使DF=CD，连接BF，证明△BDF≌△ADC，△CBE≌△CBF）4．证明略（提示：延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，证明△ADC≌△MDB）5．证明略（提示：延长EF到点M，使EM=EF，连接BM，证明△CFE≌△BME）6．证明略（提示：延长GE交CB延长线于点M，证明△AEG≌△BEM）7．证明略（提示：延长EG交CD延长线于点M，证明△FGE≌△DGM，再证明三角形EGC是等腰直角三角形）三角形全等之倍长中线每日一题1.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点．求证：AE⊥BE．ADEBC 2.已知：如图，在△ABC中，D为BC边中点，∠BDA=∠BAD，E为BD中点，连接AE．求证：∠C=∠BAE．AE D C3. 已知：如图，△ABC 与△BDE 均为等腰直角三角形，BA ⊥AC ，ED ⊥BD ，垂足分别为点A ，点D ，连接EC ，F 为EC 中点，连接AF ，DF ，猜测AF ，DF 的数量关系和位置关系，并说明理由．FED CA4. 已知：如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上任取一点C （不与点A ，B ，D 重合），分别以AC ，BC 为斜边在AB 同侧作等腰Rt △ACE 与等腰Rt △BCF ，∠AEC =∠CFB =90°，连接DE ，DF ，EF ． 求证：△DEF 为等腰直角三角形．ABCDE F5. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE =∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF ，CF 之间的数量关系，并说明理由．EDCBA【参考答案】1. 证明：延长AE 交BC 的延长线于点F .FADEC B∵AD ∥BC∴∠D =∠DCF ，∠DAE =∠F ∵E 是CD 的中点 ∴DE =CE在△ADE 和△FCE 中=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠D FCE DAE F DE CE ∴△ADE ≌△FCE （AAS ） ∴AD =FC ，AE =FE ∵AB =AD +BC ∴AB =CF +BC =BF 在△ABE 和△FBE 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩AB FB BE BE AE FE ∴△ABE ≌△FBE （SSS ） ∴∠ABE =∠FBE =90° 即AE ⊥BE2. 证明：延长AE 到F ，使得EF =AE ，连接DF .FAB CDE∵E 为BD 中点 ∴BE =ED在△ABE 和△FDE 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠BE DE BEA DEF AE FE ∴△ABE ≌△FDE （SAS ）∴AB =FD ，∠BAF =∠F ，∠B =∠FDE ∵∠BDA =∠BAD ∴BD =AB ∵D 为BC 边中点 ∴CD =BD =AB =FD ∵∠BDA =∠BAD∴∠ADF =∠BDA +∠FDE ，∠ADC =∠B +∠BAD 即∠ADF =∠ADC 在△FAD 和△CAD 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠FD CD FDA CDA AD AD ∴△FAD ≌△CAD （SAS ） ∴∠F =∠C ∴∠C =∠BAE3. 解：AF ⊥DF ，AF =DF ，理由如下： 延长DF 交AC 于点P .P AD E FC∵BA ⊥AC ，ED ⊥BD ∴∠BAC =∠EDA=90° ∴DE ∥AC ∴∠DEC =∠ECA ∵F 为EC 中点 ∴EF =FC在△EDF 和△CPF 中DEF PCF EFD CFP EF CF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△EDF ≌△CPF （AAS ） ∴DE =CP ，DF=PF∵△ABC 与△BDE 均为等腰直角三角形 ∴AB =AC ，DE=BD ∴AB -BD=AB -DE=AC -CP 即AD =AP在△DAF 和△PAF 中DF PF AF AF AD AP =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△DAF ≌△PAF （SSS ）∴∠DFA =∠PFA =90°，∠DAF =∠PAF =45° ∴AF ⊥DF ，AF =DF4. 证明：延长ED 到点G ，使得DG =DE ，连接BG ，FGDCAE FB∵D 为线段AB 的中点 ∴AD =BD在△EDA 和△GDB 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ED GD EDA GDB DA DB ∴△EDA ≌△GDB （SAS ） ∴EA =GB ，∠A =∠GBD∵△ACE 与△BCF 是等腰直角三角形∴AE =CE =BG ，CF =FB ，∠A =∠ECA =∠FCB =∠FBC =45° ∴∠ECF =90°，∠FBG =∠FBD +∠GBD =90° 在△ECF 和△GBF 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠EC BG ECF GBF CF BF ∴△ECF ≌△GBF （SAS ） ∴EF =GF ，∠EFC =∠GFB ∵∠CFB =∠CFG +∠GFB =90° ∴∠EFG =∠EFC +∠CFG =90° 在△EFD 和△GFD 中，=⎧⎪=⎨⎪=⎩EF GF FD FD ED GD ∴△EFD ≌△GFD （SSS ）∴∠EDF =∠GDF =90°，∠EFD =∠GFD =45° ∴ED =DF∴△DEF 为等腰直角三角形5. 解：AB =AF +CF ，理由如下： 延长AE 交DF 的延长线于点G .CFEBAD∵E 为BC 边的中点 ∴BE =CE ∵AB ∥DC∴∠B =∠BCG ，∠BAG =∠G 在△ABE 和△GCE 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠B GCE BAE G BE CE ∴△ABE ≌△GCE （AAS ） ∴AB =GC ∵∠BAE =∠EAF ∴∠G =∠EAF ∴AF =GF ∵GC = GF +FC ∴AB =AF +CF三角形全等之倍长中线（随堂测试）1. 在△ABC 中，AC =5，中线AD =4，则边AB 的取值范围是____________________．2. 已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．FEC A【参考答案】1．3<AB<132．证明略（提示：延长AE 到点M ，使EM =AE ，连接DM ， 证明△DME ≌△CAE ）三角形全等之倍长中线（作业）3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =5，AC =3，则中线AD 的取值范围是________________．A4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，若AD =2.7，BE =AE =5，求CE 的长．A B C D EF5. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形．求证：EF =2AD ．EAFCB6. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF =CG ．AC DEFG7. 如图，在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ． 求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．BE AFGC D8. 已知：如图，∠ACB =90°，AC =BC ，D 为AB 上一点，连接CD ，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ． 求证：△BCF ≌△CAE ．BC D EF9. 多项式9x 2+1加上一个单项式后，能使它成为一个整式的完全平方式，则可以加上的单项式共有________个，分别是______________________________．【参考答案】1．1＜AD ＜42．2.3（提示：延长AF 交BC 于点G ，导角证明AE =EG ）3．证明略（提示：延长AD 到点P ，使得AD =PD ，连接CP ，证明△ABD ≌△PCD ，△EAF ≌△PCA ）4．证明略（提示：延长FE 到点H ，使得FE =EH ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，导角）5．证明略（提示：延长EG 交AD 于点P ，连接CE ，CP ） 6．证明略7．5；-1，-9x 2，-6x ，6x ，814x 4三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短：题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________________________________________________________．二、精讲精练1. 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AC =AB +BD ．2. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠D =∠ABC =∠BAD =90°，E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，连接EF ．求证：EF =BF +DE ．3. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =60º，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．F EA B DC21D CA A EBD CO4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90º，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD的延长线于点E ．求证：CE =21BD ．5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CE ⊥AB 于E ，△BDC 为等腰直角三角形，∠BDC =90°，BD CD ，CE 与BD 交于F ，连接AF ．求证：CF =AB +AF ．三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】【知识点睛】线段间的和差倍分；把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系． 【精讲精练】 1．证明略 提示：方法一：在AC 上截取AE =AB ，连接DE ，证明△ABD ≌△AED ，然后再证明CE =BD ；ACDEBFCEDA方法二：延长AB到E，使BE=BD，证明△ADE≌△ADC2．证明略提示：延长FB到G，使BG=DE，连接AG，证明△ABG≌△ADE，再证明△AFG≌△AFE）3．证明略提示：在AC上截取AF=AE，连接OF，证明△AEO≌△AFO，∠AOC=120°，再证明△COF≌△COD）4．证明略提示：延长CE交BA的延长线于点F，证明△BEF≌△BEC，得EC=EF，再证明△ACF≌△ABD，得CF=BD）5．证明略提示：方法一：延长BA交CD的延长线交于点H，证明△BDH≌△CDF，得DH=DF，BH=CF，再证明△ADH≌△ADF，得AH=AF；方法二：在CF上截取CH=AB，连接DH，证明△DHC≌△DAB，得DH=DA，CH=BA，∠HDF=∠ADF=45°，再证明△ADF≌△HDF，得AF=HF）三角形全等之截长补短（每日一题） 姓名_________1. 在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ．求证：CD =AB +BD ．DCBA2. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，∠1=∠2，P 为AD 上任意一点．求证：AB -AC >PB -PC ．PD A 213. 已知：如图，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，∠A +∠C =180°．求证：BD =AB +CD ．12A D PN4. 在正方形ABCD 中，点E 在CB 延长线上，点F 在DC 延长线上，∠EAF =45°． 求证：DF =EF +BE ．A BCDEF5. 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边上任意一点，AF 平分∠DAE ．求证：AE =BE +DF ．FEDCBA【参考答案】1. 证明：如图，在线段DC 上截取DE ，使DE =BD ，连接AE ．∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADE =90° 在△ABD 和△AED 中AD ADADB ADE DB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ABD ≌△AED （SAS ） ∴∠B =∠1，AB =AE ∵∠B =2∠C ∴∠1=2∠C∵∠1是△AEC 的一个外角 ∴∠1=∠C +∠2 ∴∠C =∠2 ∴AE =CE∵CD =CE +ED ∴CD =AE +BD ∴CD =AB +BD（如果延长DB 到点F ，使BF =AB ，连接AF 也可进行证明）2. 证明：如图，在线段AB 上截取AE =AC ，连接PE ．则AB -AC =AB -AE =EB 在△AEP 和△ACP 中12AE AC AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩21ABCE12A BCDP∴△AEP ≌△ACP （SAS ） ∴PE =PC在△PEB 中，PB -PE <EB ∴PB -PC <AB -AC 即AB -AC >PB -PC（延长AC 到点F ，使AF =AB ，连接PF ，也可证明结论）3. 证明：如图，在BC 上截取BE =BA ，连接PE ．在△ABP 和△EBP 中12BA BE BP BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABP ≌△EBP （SAS ） ∴∠A =∠3∵∠A +∠C =180°，∠3+∠4=180° ∴∠4=∠C ∵PD ⊥BC∴∠PDE =∠PDC =90° 在△PDE 和△PDC 中4CPDE PDC PD PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PDE ≌△PDC （AAS ） ∴DE =DC ∴BD =BE +ED∴BD =AB +CD （过点P 作PF ⊥BA 于F ，也可进行证明）4. 证明：如图，在DF 上截取DG =BE ，连接AG ．∵四边形ABCD 为正方形∴∠D =∠BAD =∠ABC =90°，AB =AD ∴∠ABE =∠D =90° 在△ABE 和△ADG 中AB AD ABE D BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ADG （SAS ） ∴AG =AE ，∠1=∠2 ∵∠EAF =45°，43ENP D CB A 214321GFED CBA∴∠2+∠3=45° ∴∠1+∠3=45° ∴∠GAF =45°=∠EAF 在△EAF 和△GAF 中4AE AG EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF ≌△GAF （SAS ） ∴EF =GF ∵DF =GF +DG ∴DF =EF +BE5. 证明：如图，延长EB 到点G ，使BG =DF ，连接AG ．54321GA BC DEF∵四边形ABCD 为正方形∴AB =AD ，∠D =∠ABC =∠BAD =90° ∴∠ABG =∠D =90° 在△ABG 和△ADF 中AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△ADF （SAS ） ∴∠1=∠2，∠5=∠G∵AF 平分∠DAE ∴∠1=∠3 ∵∠1+∠5=90°∴∠3+∠G=90°∵∠1+∠3+∠4=90°∴∠2+∠3+∠4=90°∴∠2+∠4=∠G∴AE=EG=BE+BG∴AE =BE+DF三角形全等之截长补短随堂测试题姓名________6.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE平分∠ABC．求证：AB=AD+BC．【参考答案】证明略提示方法一：在AB上截取AF=AD，连接EF，证明△ADE≌△AFE，再证明△BFE ≌△BCE；方法二：延长AE交BC的延长线于点F，证明△ABE≌△FBE，再证明△ADE ≌△FCE）三角形全等之截长补短（作业）1.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=80°，AD是∠BAC的平分线．求证：AC=AB+BD．2.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°．求证：AE=AD+BE．EDCBACADC3. 如图，在△ABC 中，∠A =100°，∠ABC =40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD至E ，使DE =AD ．求证：BC =AB +CE ．4. 如图，在等边三角形ABC 中，点E ，F 分别在AB ，AC 上，∠EDF =60°，DB =DC ，∠BDC =120°．求证：EF =BE +CF ．5. 多项式16x 2+4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的完全平方式，则可以加上的单项式共有________个，分别是______________________________．6. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE =ED =DC ，∠1=∠2，则：①AD 是△ABC 的边_________上的高，也是________的边BD 上的高，还是△ABE 的边___________上的高；②AD 既是_________的边_______上的中线，又是_______边上的高，还是_________的角平分线．7. 已知：如图，AD ∥EF ，BF ∥DG ，∠A =∠B =∠G =35°．求∠EFG 的度数．CDAEB FCE DABAEBDCFE D CA 218. 计算下列各式：（1）-(3a 3b -2ab 3)÷(-ab )-(-a -2b )(-a +2b )-(-2a )2；（2）01122022111()3(3)3()()(3)233----⨯π---⨯+-÷---．【参考答案】1．证明略 提示：方法一：在AC 上截取AE =AB ，连接DE ，证明△ABD ≌△AED ，再证明CE =BD ； 方法二：延长AB 到E ，使BE =BD ，证明△ADE ≌△ADC 2．证明略提示：在AE 上截取AF =AD ，证明△CDA ≌△CFA ，再证明BE =FE 3．证明略提示：在BC 上截取BF =BA ，连接DF ，证明△ABD ≌△FBD ，再证明△DFC ≌△DEC 4．证明略提示：延长FC 到G ，使CG =BE ，证明△BED ≌△CGD ，得ED =GD ，∠BDE =∠CDG ，再证明△EFD ≌△GFD ，得EF =GF 5．5；16x 4， ±16x ，-4，-16x 2；6．①BC ，△ABD ，BE ； ②△AEC ，EC ，EC ，∠EAC7．略；8．（1。

专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆; 若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆. 3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD ＜5，（2）BE +CF＞EF ，证明见解析；（3）AF +CF ＝AB ，证明见解析．【分析】（1）由已知得出AC ﹣CE ＜AE ＜AC +CE ，即5﹣4＜AE ＜5+3，据此可得答案；（2）延长FD 至点M ，使DM ＝DF ，连接BM 、EM ，同（1）得△BMD △△CFD ，得出BM ＝CF ，由线段垂直平分线的性质得出EM ＝EF ，在△BME 中，由三角形的三边关系得出BE +BM ＞EM 即可得出结论；（3）如图③，延长AE ，DF 交于点G ，根据平行和角平分线可证AF ＝FG ，易证△ABE △△GEC ，据此知AB ＝CG ，继而得出答案．【详解】解：（1）延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连接BE ，如图①所示，△AD 是BC 边上的中线，△BD ＝CD ，在△BDE 和△CDA 中，△BD CD BDE CDA DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BDE △△CDA （SAS ），△BE ＝AC ＝4，在△ABE 中，由三角形的三边关系得：AB ﹣BE ＜AE ＜AB +BE ，△6﹣4＜AE ＜6+4，即2＜AE ＜10，△1＜AD ＜5；故答案为：1＜AD ＜5，（2）BE +CF ＞EF ；证明：延长FD 至点M ，使DM ＝DF ，连接BM 、EM ，如图②所示． 同（1）得：△BMD △△CFD （SAS ），△BM ＝CF ，△DE △DF ，DM ＝DF ，△EM ＝EF ，（3）AF +CF ＝AB ．如图③，延长AE ，DF 交于点G ，【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED =证明△//CE AB （已知）△ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，△ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），△()A.A.S ABD ECD △△≌，△AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．【答案】（1）1＜AD ＜5；（2）AD =AB +DC ．理由见解析；（3）DF =3．【分析】（1）延长AD 到E ，使AD =DE ，连接BE ，证△ADC △△EDB ，推出AC =BE =4，在△ABE 中，根据三角形三边关系定理得出AB -BE ＜AE ＜AB +BE ，代入求出即可；（2）结论：AD =AB +DC ．延长AE ，DC 交于点F ，证明△ABE △△FEC （AAS ），推出AB =CF ，再证明DA =DF 即可解决问题；（3）如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，证明AB =DF +CF ，可得结论．【详解】解：（1）延长AD 到E ，使AD =DE ，连接BE ，△AD 是BC 边上的中线，△BD =CD ，在△ADC 和△EDB 中，AD DE ADC EDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADC △△EDB （SAS ），△AC =BE =4， 在△ABE 中，AB -BE ＜AE ＜AB +BE ，△6-4＜2AD ＜6+4，△1＜AD ＜5，故答案为：1＜AD ＜5；（2）结论：AD =AB +DC ．理由：如图②中，延长AE ，DC 交于点F ，△AB △CD ，△△BAF =△F ，在△ABE 和△FCE 中，AEB FEC BAE F BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△FCE （AAS ），△CF =AB ， △AE 是△BAD 的平分线，△△BAF =△F AD ，△△F AD =△F ，△AD =DF ，△DC +CF =DF ，△DC +AB =AD ；（3）如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，△E 是BC 的中点，△CE =BE ，△AB △CF ，△△BAE =△G ，在△AEB 和△GEC 中，BAE G AEB GEC BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AEB △△GEC （AAS ），△AB =GC ， △△EDF =△BAE ，△△FDG =△G ，△FD =FG ，△AB =DF +CF ，△AB =5，CF =2，△DF =AB -CF =3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD到E，使得DE AD=，连接CE，易证ABD ECD∆≅∆，得AB=，在ACE∆中，AC CE+>，2AB AC AD+>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC∆中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC=，延长BE交AC于F，求证：AF EF=．（2）如图（4），在ABC∆中，90,A D∠=︒是BC边的中点，E F、分别在边AB AC、上，DE DF⊥，若3,4BE CF==，求EF的长．（3）如图（5），AD是ABC∆的中线，,AB AE AC AF==，且90BAE FAC∠=∠=︒，请直接写出AD与EF的数量关系_ 及位置关系_ ．【答案】,CE AE；（1）详见解析；（2）5；（3）2EF AD=，EF AD⊥【分析】【应用举例】由全等的性质可得AB=EC，由三角形三边关系可得AC+CE>AE，即AB+AC>2AD；故答案为EC，AE；【问题解决】（1）由题意不难得到,ACD GBD∆≅∆所以△BGD=△BED=△AEF=△DAC，△有AF=EF；（2）延长ED 到G ，使DG=ED ，连结CG 、FG ，不难得到EF=FG ，另同（1）有△BDE△△CDG ，所以△FCG=△FCD+△GCD=△FCD+△EBD=90°，CG=BE=3，由勾股定理可得FG 即EF 的长；（3）由全等三角形的性质可以得到解答．【详解】【应用举例】,CE AE【问题解决】()1如图()1延长AD 到G ，使得,DG AD =连接,BG 易证,ACD GBD ∆≅∆得,BG AC G DAC =∠=∠，,BE AC =,BE BG ∴=,G BEG ∴∠=∠,BEG AEF ∠=∠,AEF EAC ∴∠=∠AF EF ∴=．()2如图()2，延长ED 到G ，使得,DG ED =连接,CG FG 、易证,BDE CDG ∆≅∆得,,CG BE ED GD B DCG ==∠=∠，,DE DF ⊥DF ∴垂直平分,EG ,FE FG ∴=90,A ∠=︒90,B ACB ∴∠+∠=︒90,DCG ACB ∴∠+∠=︒即90,FCG ∠=︒在Rt FCG ∆中，3,4CG BE CF ===，5,FG ∴=5,EF ∴=()32EF AD EF AD =⊥，，理由如下：如图3，延长AD 到G ，使AD=DG ，延长DA 交EF 于P ，连结BG ，则不难得到△BGD△△CAD ， △BG=AC ，△GBD=△ACD ，△DGB=△DAC ，又AF=AC ，△BG=AF ，△△ABG=△ABD+△GBD=△ABD+△ACD=180°-△ BAC=△EAF ，△在△ABG 和△EAF 中，AB AE ABG EAF BG AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABG△△EAF ，△EF=AG=2AD ，△EFA=△DGB=△DAC ，△△DAC+△PAF=180°-△FAC=180°-90°=90°，△△EFA+△PAF=90°，△△APF=90°，△EF△AD ．【点睛】本题考查全等三角形的综合运用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键 ．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

几何证明中常用辅助线 (一)中线倍长法:例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤21 (AB+AC)小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。

它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

例2、中线一倍辅助线作法△ABC 中方式1： 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线使DE=AD ， 连接BE方式2：间接倍长AD 于F ，MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接连接CD例3、△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例4、已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线， 求证：∠C=∠BAEC作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论2、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF（二）截长补短法教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1.已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，⎩⎨⎧==CD AD DFDE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF .DABCM TEABCD图1-1FEDCBA图1-2又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180°.例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .求证：CD =AD +BC .分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的. 证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2在△FCE 与△BCE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠43DEDE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ， ∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .求证：∠BAP +∠BCP =180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，⎩⎨⎧==BPBP PDPE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE .在Rt △APE 与Rt △CPD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.ADB CEF1234图2-2ABCDP12N图3-1P12NABCD E 图3-2A 12求证：AB =AC +CD .分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC . 证明：方法一（补短法）延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2 ∴∠ACB ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ， 在△ABD 与△AED 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21 ∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC . 方法二（截长法）在AB 上截取AF =AC ，如图4-3 在△AFD 与△ACD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21 ∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。

几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法:例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤21(AB+AC) 分析：要证明AD ﹤21(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。

待证结论AB+AC>2AD 中，出现了2AD ，即中线AD 应该加倍。

证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，则AE=2AD 。

在△ADB 和△EDC 中，AD =DE ∠ADB =∠EDCBD =DC∴△ADB ≌△EDC(SAS) ∴AB=CE又 在△ACE 中， AC+CE ＞AE∴AC+AB ＞2AD ，即AD ﹤21(AB+AC)小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。

它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

课题练习:ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=ACC例2: 中线一倍辅助线作法△ABC 中方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD例3：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例4：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例5：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

全等三角形模型——截长补短与倍长中线截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段AB 上截取AD AC=补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长AC ，使得AD AB =1.ABC D 中，AD 是BAC Ð的平分线，且AB AC CD =+．若60BCA Ð=°，则ABC Ð的大小为( )A ．30°B ．60°C ．80°D ．100°【分析】可在AB 上取AC AC ¢=，则由题中条件可得BC C D ¢=¢，即2C AC D B Ð=Т=Ð，再由三角形的外角性质即可求得B Ð的大小．【解答】解：如图，在AB 上取AC AC ¢=，AD Q 是角平分线，DAC DAC ¢\Ð=Ð，ACD \D @△()AC D SAS ¢，CD C D ¢\=，又AB AC CD =+Q ，AB AC C B ¢¢=+，BC C D \¢=¢，DCBAAB CD260C AC D B ¢\Ð=Ð=Ð=°，30B \Ð=°．故选：A ．2.阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在ABC D 中，2B C Ð=Ð，AD 平分BAC Ð．求证：AB BD AC +=．证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE（2）如图2，//AD BC ，EA ，EB 分别平分DAB Ð，CBA Ð，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．【分析】（1）在AC 上截取AE AB =，连接DE ，证明ABD AED D @D ，得到B AED Ð=Ð，再证明ED EC =即可；（2）由等腰三角形的性质知AE FE =，再证明ADE FCE D @D 即可解决本题．【解答】证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图1:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2BC Ð=Ð，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=；（2）延长AE 、BC 交于F ，AB BF =Q ，BE 平分ABF Ð，AE EF \=，在ADE D 和FCE D 中，DAE F AE EFAED CEF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADE FCE ASA \D @D ，AD CF \=，AB BF BC CF BC AD \==+=+．3.如图，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð交BC 于D ，在AB 上截取AE AC =．（1）求证：ADE ADC D @D ；（2）若6AB =，5BC =，4AC =，求BDE D的周长．【分析】（1）根据SAS 证明ADE ADC D @D 即可；（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可．【解答】证明：（1）AD Q 平分BAC Ð，EAD CDA \Ð=Ð，在ADE D 与ADC D 中，AE AC EAD CDA AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE ADC SAS \D @D ，（2）ADE ADC D @D Q ，ED DC \=，BDE \D 的周长6457BE BD DE AB AE BC DC DC AB AC BC DC DC AB AC BC =++=-+-+=-+-+=-+=-+=4.（2020秋•武昌区期中）如图，ABC D 中，60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð、ACB Ð，AD 、CE 相交于点P（1）求CPD Ð的度数；（2）若3AE =，7CD =，求线段AC 的长．【分析】（1）利用60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，即可得出答案；（2）由题中条件可得APE APF D @D ，进而得出APE APF Ð=Ð，通过角之间的转化可得出CPF CPD D @D ，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）60ABC Ð=°Q ，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，120BAC BCA \Ð+Ð=°，1()602PAC PCA BAC BCA Ð+Ð=Ð+Ð=°，120APC \Ð=°，60CPD \Ð=°．（2）如图，在AC 上截取AF AE =，连接PF ．AD Q 平分BAC Ð，BAD CAD \Ð=Ð，在APE D 和APF D 中AE AF EAP FAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()APE APF SAS \D @D ，APE APF \Ð=Ð，120APC Ð=°Q ，60APE \Ð=°，60APF CPD CPF \Ð=Ð=°=Ð，在CPF D 和CPD D 中，FPC DPC CP CPFCP DCP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()CPF CPD ASA \D @D CF CD \=，3710AC AF CF AE CD \=+=+=+=．5.如图，在ABC D 中，60BAC Ð=°，AD 是BAC Ð的平分线，且AC AB BD =+，求ABC Ð的度数．【分析】在AC上截取AE AB=，根据角平分线的定义可得BAD CADÐ=Ð，然后利用“边角边”证明ABDD和AEDD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD DE=，全等三角形对应角相等可得B AEDÐ=Ð，再求出CE BD=，从而得到CE DE=，根据等边对等角可得C CDEÐ=Ð，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得2AED CÐ=Ð，然后根据三角形的内角和定理列方程求出CÐ，即可得解．【解答】解：如图，在AC上截取AE AB=，ADQ平分BACÐ，BAD CAD\Ð=Ð，在ABDD和AEDD中，AE ABBAD CAD AD AD=ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS\D@D，BD DE\=，B AEDÐ=Ð，AC AE CE=+Q，AC AB BD=+，CE BD\=，CE DE\=，C CDE\Ð=Ð，即2B CÐ=Ð，在ABCD中，180BAC B CÐ+Ð+Ð=°，602180C C\°+Ð+Ð=°，解得40CÐ=°，24080ABC\Ð=´°=°．6.如图，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，120BAE BCD Ð=Ð=°，180ABC AED Ð+Ð=°，连接AD ．求证：AD 平分CDE Ð．【分析】连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，由AB AE =，120BAE Ð=°，得到AB 与AE 重合，并且AC AF =，又由180ABC AED Ð+Ð=°，得到180AEF AED Ð+Ð=°，即D ，E ，F 在一条直线上，而BC DE CD +=，得CD DF =，则易证ACD AFD D @D ，于是ADC ADF Ð=Ð．【解答】证明：如图，连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，AB AE =Q ，120BAE Ð=°，AB \与AE 重合，并且AC AF =，又180ABC AED Ð+Ð=°Q ，而ABC AEF Ð=Ð，180AEF AED Ð+Ð=°Q ，D \，E ，F 在一条直线上，而BC EF =，BC DE CD +=，CD DF \=，又AC AF =Q ，ACD AFD \D @D ，ADC ADF \Ð=Ð，即AD 平分CDE Ð．7.已知：如图，在ABC D 中，D 是BA 延长线上一点，AE 是DAC Ð的平分线，P 是AE 上的一点（点P 不与点A 重合），连接PB ，PC ．通过观察，测量，猜想PB PC +与AB AC +之间的大小关系，并加以证明．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得FP CP =，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．【解答】解：PB PC AB AC +>+，理由如下：在BA 的延长线上截取AF AC =，连接PF ，在FAP D 和CAP D 中，AF AC FAP CAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()FAP CAP SAS \D @D ，FP CP \=．在FPB D 中，FP BP FA AB +>+，即PB PC AB AC +>+．8.已知ABC D 中，AB AC =，BE 平分ABC Ð交边AC 于E ．（1）如图（1），当108BAC Ð=°时，证明：BC AB CE =+；（2）如图（2），当100BAC Ð=°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．【分析】（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．只要证明BEA BED D @D ，CE CD =即可解决问题；（2）结论：BC BE AE =+．如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，再证明EA EH EF CF ===即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．BA BD =Q ，EBA EBD Ð=Ð，BE BE =，BEA BED \D @D ，BA BD \=，108A BDE Ð=Ð=°，AB AC =Q ，36C ABC \Ð=Ð=°，72EDC Ð=°，72CED \Ð=°，CE CD \=，BC BD CD AB CE \=+=+．（2）结论：BC BE AE =+．理由：如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，EF EH \=，100BAC Ð=°Q ，AB AC =，40ABC C \Ð=Ð=°，20EBA EBC \Ð=Ð=°，80BFE H EAH \Ð=Ð=Ð=°，AE EH \=，BFE C FEC Ð=Ð+ÐQ ，40CEF C \Ð=Ð=°，EF CF \=，BC BF CF BE AE \=+=+．9.（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð，2B C Ð=Ð．求证：AB BD AC +=．”李老师给出了如下简要分析：要证AB BD AC +=，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD =　EC 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ @△ ，得出B AED Ð=Ð及BD = ，再证出Ð = ，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD 平分BAC Ð，将ABD D 沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可，此时先证Ð C =Ð，再证出△ @△ ，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【分析】方法一、如图2，在AC 上截取AE AB =，由“SAS ”可证ABD AED D @D ，可得B AED Ð=Ð，BD DE =，由角的数量关系可求DE CE =，即可求解；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，由“AAS ”可证AFD ACD D @D ，可得AC AF =，可得结论．【解答】解：方法一、在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2B C Ð=ÐQ ，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=，故答案为：EC ，转化，ABD ，AED ，DE ，EDC ，C Ð；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，F BDF \Ð=Ð，2ABD F BDF F \Ð=Ð+Ð=Ð，2ABD C Ð=ÐQ ，F C \Ð=Ð，在AFD D 和ACD D 中，FAD CAD F CAD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AFD ACD AAS \D @D ，AC AF \=，AC AB BF AB BD \=+=+，故答案为F ，AFD ，ACD ．倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．10.三角形ABC 中，AD 是中线，且4AB =，6AC =，求AD 的取值范围是 ．【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，证ADC EDB D @D ，推出8AC BE ==，在ABE D 中，根据三角形三边关系定理得出AB BE AE AB BE -<<+，代入求出即可．【解答】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，AD Q 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，Q AD DE ADC EDB DC BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，4AC BE \==，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，64264AD \-<<+，15AD \<<，故答案为：15AD <<．11.（2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABCD 中，若4AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下ED ABC的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，则得到ADC EDB D @D ，小明证明BED CAD D @D 用到的判定定理是： （用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以ABC D 的边AB ，AC 为边向外作ABE D 和ACD D ，AB AE =，AC AD =，90BAE CAD Ð=Ð=°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．当3AM =时，求DE 的长．【分析】问题背景：先判断出BD CD =，由对顶角相等BDE CDA Ð=Ð，进而得出()ADC EDB SAS D @D ；问题解决：先证明()ADC EDB SAS D @D ，得出3BE AC ==，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，同（1）的方法得出()BMN CMA SAS D @D ，则BN AC =，进而判断出ABN EAD Ð=Ð，进而判断出ABN EAD D @D ，得出AN ED =，即可求解．【解答】解：问题背景：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，故答案为：SAS；问题解决：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC EDB D @D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，4AB =Q ，3AC =，4343AE \-<<+，即17AE <<，DE AD =Q ，12AD AE \=，\1722AD <<；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，由问题背景知，()BMN CMA SAS D @D ，BN AC \=，CAM BNM Ð=Ð，AC AD =Q ，//AC BN ，BN AD \=，//AC BN Q ，180BAC ABN \Ð+Ð=°，90BAE CAD Ð=Ð=°Q ，180BAC EAD \Ð+Ð=°，ABN EAD \Ð=Ð，在ABN D 和EAD D 中，AB EA ABN EAD BN AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN EAD SAS \D @D ，AN DE \=，MN AM =Q ，2DE AN AM \==，3AM =Q ，6DE \=．12.如图，ABC D 中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB D @D ，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D Q 为BC 的中点，DB CD \=，在ADC D 和EDB D 中AD DE ADC BDE DB CD =ìïÐ=Ðíï=î，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE +>Q ，2AB AC AD \+>；（2）5AB =Q ，3AC =，53253AD \-<<+，14AD \<<．13.如图，平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 、C 分别为x 轴负半轴，x 轴正半轴上的点，AB AD =，AC AE =，90BAD CAE Ð=Ð=°，连DE ．如图，F 为BC 的中点，求证：2DE AF =．【分析】延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，证明BFN CFA D @D ，根据全等三角形的性质得到BN AC =，FBN FCA Ð=Ð，证明ABN DAE D @D ，根据全等三角形的性质证明；【解答】证明：延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，在BFN D 和CFA D 中，FB FC BFN CFA FN AF =ìïÐ=Ðíï=î，BN AC \=，FBN FCA Ð=Ð，BN AE \=，ABN DAE Ð=Ð，在ABN D 和DAE D 中，AB AD ABN DAE BN AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN DAE SAS \D @D ，AN DE \=，2DE AF \=．14.如图，AD 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AE 是ABD D 的边BD 上的中线．求证：2AC AE =．【分析】延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，由SAS 证得ABE FDE D @D ，得出DF AB CD ==，EDF B Ð=Ð，易证AB BD =，得出ADB BAD Ð=Ð，证明ADC ADF Ð=Ð，由SAS 证得ADF ADC D @D ，即可得出结论．【解答】证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，如图所示：AE Q 是ABD D 的边BD 上的中线，BE DE \=，在ABE D 与FDE D 中，AE EF AEB FED BE DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE FDE SAS \D @D ，DF AB CD \==，EDF B Ð=Ð，AD Q 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AB BD \=，ADB BAD \Ð=Ð，ADC B BAD BDA EDF ADF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，在ADF D 与ADC D 中，AD AD ADF ADC DF DC =ìïÐ=Ðíï=î，()ADF ADC SAS \D @D ，2AC AF AE \==．15.如图，在ABC D 中，D ，E 是AB 边上的两点，AD EB =，CF 是AB 边上的中线，则求证AC BC CD CE +>+．【分析】如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G ，通过证明AFH BFC D @D ，BCE AHD D @D ，可得BC AH =，CE DH =，利用三角形的三边关系可求解．【解答】证明：如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G，Q是AB边上的中线，CF\=，且CFB AFHAF BF=，Ð=Ð，CF FH()\D@DAFH BFC SAS=，Ð=Ð，且AD BE\=，CBE HADBC AH\D@D()BCE AHD SAS\=，CE DH在AGC+>+，D中，AC AG DC DG在GDH+>，D中，DG GH DHAC AG DG GH DC DG DH\+++>++，\+>+，AC AH DC DH\+>+．AC BC CD CE16.如图1，ABCÐ=Ð．D中，CD为ABCD的中线，点E在CD上，且AED BCD（1）求证：AE BC=．（2）如图2，连接BE，若2CBEÐ的度数为 （直接写出结果），Ð=°，则ACDAB AC DE==，14【分析】（1）如图1，延长CD到F，使DF CDD@D，可得=，连接AF，由“SAS”可证ADF BDCAF BC=，F BCDÐ=Ð，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得DEB DBEÐ=Ð，可得14DCB DEBÐ=Ð-°，14ACB ABC DEBÐ=Ð=Ð+°，即可求解．【解答】证明：（1）如图1，延长CD到F，使DF CD=，连接AF，CDQ为ABCD的中线，AD BD\=，且ADF BDCÐ=Ð，且CD DF=，()ADF BDC SAS\D@D，AF BC\=，F BCDÐ=Ð，AED BCDÐ=ÐQ，AED F\Ð=Ð，AE AF\=，AE BC\=；（2）12DE AB=Q，CD为ABCD的中线，DE AD DB\==，DEB DBE\Ð=Ð，14 ABC DBE CBE DEB\Ð=Ð+Ð=Ð+°，DEB DCB CBEÐ=Ð+ÐQ，14DCB DEB\Ð=Ð-°，AC AB=Q，14ACB ABC DEB\Ð=Ð=Ð+°28ACD ACB DCB\=Ð-Ð=°，故答案为：28°．17.如图，ABC D 中，点D 是BC 中点，连接AD 并延长到点E ，连接BE ．（1）若要使ACD EBD D @D ，应添上条件： ；（2）证明上题：（3）在ABC D 中，若5AB =．3AC =，可以求得BC 边上的中线AD 的取值范围4AD <．请看解题过程：由ACD EBD D @D 得：AD ED =，3BE AC ==，因此AE AB BE <+，即8AE <，而12AD AE =，则4AD <请参考上述解题方法，可求得AD m >，则m 的值为 ．（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）【分析】（1）根据“边角边”求证三角形全等的方法可以添加条件AD DE =；（2）易证BD CD =，根据“边角边”求证三角形全等的方法即可解题；（3）根据三角形三边关系即可解题；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =；证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，易证ACD EBD D @D ，可得C DBE Ð=Ð，AC BE =，即可证明BAC ABE D @D ，可得BC AE =，即可解题．【解答】解：（1）应添上条件：AD DE =，故答案为AD DE =；（2）Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；（3）Q 三角形两边之差小于第三边，AE AB BE \>-，即2AE >，12AD AE =Q ，1AD \>，故答案为 1；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =，证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；C DBE \Ð=Ð，AC BE =，90ABC C Ð+Ð=°Q ，90ABC DBE \Ð+Ð=°，即90ABE Ð=°，Q 在BAC D 和ABE D 中，90AB BA ABE BAC AC BE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()BAC ABE SAS \D @D ；BC AE \=，12AD BC \=．。

专题08倍长中线法和截长补短法综合应用倍长中线类型一：直接倍长中线△ABC 中AD 是BC 边中线方法：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE类型二：间接倍长中线作CF ⊥AD 于F ，作BE⊥AD 的延长线于E 连接BE 。

延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN截长补短常见类型及常规解题思路：①a b c ±=可采取直接截长或补短，绕后进行证明。

或者化为类型②证明。

②a b kc±=可以将a b ±与c 构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30 的直角三角形等。

截长法常规辅助线：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短法常规辅助线：（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起类型一：倍长中线法【典例1】如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a，b均大于0，中线AD＝c，求c的取值范围．【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝b，在△AEB中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即a﹣b＜2AD＜a+b，∴＜c＜．【典例2】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．【解答】证明：如图，延长AD到点G，使得AD＝DG，连接BG．∵AD是BC边上的中线（已知），∴DC＝DB，在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD＝∠G，BG＝AC又∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠BED＝∠G，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAD，即：∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF．【典例3】如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF ＞EF．【解答】证明：如图，延长ED使得DM＝DE，连接FM，CM．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDM，DE＝DM，∴△BDE≌△CDM（SAS），∴BE＝CM，∵DE＝DM，DF⊥EM，∴FE＝FM，∵CM+CF＞FM，∴BE+CF＞EF．【变式1】如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，点D为BC的中点，且AD⊥AC，则△ABC的周长为　．【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∵∠ADC＝∠BDE，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝BE＝3，∠DAC＝∠E，∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠E＝90°，∴AE＝＝＝4，∴AD＝DE＝2，∴BD＝＝＝，∴BC＝2BD＝2，∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝5+3+2＝8+2．故答案为：8+2．【变式2】如图，在△ABC中，点E是AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，则CD的长为　．【解答】解：延长DE至H，使EH＝DE，连接AH，∵AF＝BD，BD＝3，AC＝5，∴CF＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，在△BED和△AEH中，，∴△BED≌△AEH（SAS），∴AH＝BD，∠D＝∠H，∵AF＝BD，∴AH＝AF，∴∠AFH＝∠H，∴∠CFD＝∠D，∴CD＝CF＝2，故答案为：2．【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AB边上一点，DF⊥DE交AC于点F，连接EF，若BE＝2，CF＝，则EF的长为　．【解答】解：如图，延长FD到G使GD＝DF，连接GE，BG，在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF＝，∠GBD＝∠C，∴BG∥CA，∴∠EBG＝∠A＝90°，∵BE＝2，∴EG＝＝＝，∵DF⊥DE，DF＝DG，∴EF＝EG＝，故答案为：．【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，点E为AB的中点，点F在BC上，且BF＝2FC，AF 与DE，DB分别交于点G，H，求GH的长．【解答】解：如图，过点F作FM⊥AD于M，交ED于O，则FM＝AB＝8，∵BF＝2FC，BC＝9，∴BF＝AM＝6，FC＝MD＝3，∴AF＝＝＝10，∵OM∥AE，∴，∵点E为AB的中点，∴OM ＝，∴OF ＝FM ﹣OM ＝8﹣＝，∵AE ∥FO ，∴△AGE ∽△FGO ，∴＝，∴AG ＝＝，∴GH=10-4-415=49【变式5】如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E ，F 分别为BC ，AB 上的点，且点F 为AB 的中点，连接DF ，DE ．（1）如图①，若DF 平分∠ADE ，求证：AD +BE ＝DE ；（2）如图②，若四边形ABCD 是边长为4的正方形，当ED 平分∠FDC 时，求EC 的长．【解答】（1）证明：延长DF ，CB 交于G ，如图：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥CB ，∴∠ADG ＝∠G ，∵DF 平分∠ADE ，∴∠ADG＝∠EDG，∴∠G＝∠EDG，∴DE＝GE＝GB+BE，∵F是AB中点，∴AF＝BF，在△ADF和△BGF中，，∴△ADF≌△BGF（AAS），∴AD＝GB，∴DE＝AD+BE；（2）解：延长AB，DE交于H，如图：∵四边形ABCD是边长为4的正方形，点F为AB的中点，∴DF＝＝＝2，AB∥CD，∴∠CDE＝∠H，∵ED平分∠FDC，∴∠CDE＝∠FDE，∴∠FDE＝∠H，∴FH＝DF＝2，∴BH＝FH﹣BF＝2﹣2，∵∠C＝90°＝∠HBE，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE∽△HBE，∴＝，即＝，解得CE＝2﹣2．∴EC的长为2﹣2．【变式6】阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．如图①，圆内接四边形的对角线AC⊥BD，垂足为G，过点G作AD的垂线，垂足为E，延长EG交BC于点F，则点F为BC的中点．下而是部分证明过程：∵AC⊥BD，EF⊥AD，∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，∴∠EDG＝∠FGC．∵∠ADB＝∠ACB，…任务一：请将上述过程补充完整；任务二：如图②，在△ABC中，把边AC绕点C顺时针旋转90°得到DC，把边BC绕点C逆时针旋转90°得到EC．连接DE，取AB的中点M，连接MC并延长交DE于点N．（1）求证：MN⊥DE；（2）若AC＝4，AB＝6，∠CAB＝30°，求DE的长．【解答】解：任务一：∵AC⊥BD，EF⊥AD，∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝∴∠EDG＝∠FGC．∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CGF，∴CF＝FD，同理BF＝FG，∴BF＝CF，∴点F为BC的中点；任务二：（1）证明：延长CM到F使MF＝CM，∵AM＝MB，∴ACBF是平行四边形，∴AF＝BC＝CE，AF∥BC，∴∠CAF+∠ACB＝180°，∠DCE+∠ACB＝180°，∴∠CAF＝∠DCE，∵DC＝AC，∴△DCE≌△CAF（SAS），∴∠D＝∠ACF，∵∠ACF+∠DCN＝90°，∴∠D+∠DCN＝90°，∴∠DNC＝90°，∴MN⊥DE；（2）解：作CG⊥AB于G，∵∠CAB＝30，AC＝4，∴CG＝2，AG＝2，∵AM＝AB＝3，∴GM＝，∵CM2＝CG2+GM2，∴CM2＝22+（）2，∴CM＝，∵△DCE≌△CAF，∴DE＝CF＝2．类型二：截长补短【典例4】模型分析当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC．截长法：在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可．补短法：延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可．请结合右边的证明结论．求证：AB+BD＝AC．请结合右边的【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】【解答】证明：【截长法】在AC上截取AE＝AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AB+BD＝AE+CE＝AC．证明：【补短法】延长AB到F，使BF＝BD，连接DF，∵BF＝BD，∴∠F＝∠BDF，∴∠ABC＝∠F+∠BDF＝2∠F，且∠ABC＝2∠C，∴∠C＝∠F，且∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，∴△ADF≌△ADC（AAS）∴AC＝AF，∴AC＝AF＝AB+BF＝AB+BD．【变式1】如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，求证：AD＝BD+CD．【解答】证明：在DA上截取DE＝DB，连接BE，如下图所示，∵∠ADB＝60°，DE＝DB，∴△ABD为等边三角形，∴∠EBD＝60°，BE＝BD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∴∠EBD﹣∠EBC＝∠ABC﹣∠EBC，∴∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD，∴AD＝AE+ED＝CD+BD．【变式2】如图，Rt△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于点E．求证：AD＝2DF+CE．【解答】证明：在AF上截取FG＝DF，连接CG，则DG＝2DF，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF+∠ACF＝90°，又∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠DCF＝∠CAF，∵AD平分∠CAE，∴∠CAF＝∠EAF，∵DF＝FG，CF⊥DG，∴CD＝CG，∴∠CDG＝∠CGD，∵∠DGC＝∠GAC+∠ACG，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠ACG，又∵AC＝BC，∴△ACG≌△CBE（ASA），∴AG＝CE，∴AD＝AG+DG＝CE+2DF．【变式3】如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的一条弦，且＝，过点A作AP⊥CD，分别交CD，⊙O于点E，P，连接BP，若CD＝6，△ABP的周长为13，求AE的长．【解答】解：在AE上截取AF＝BP，连接CF，PC，∵AC＝BC，∠CAF＝∠CBP，∴△CAF≌△CBP，CF＝CP，∵CD⊥PA，∴EF＝PE，∴AE＝AF+FE＝PB+PE，∵AC＝BC，∴＝，∵＝，∴＝，∴AB＝CD＝6，∵△ABP的周长是13，∴AP+PB＝7，∵AE＝PE+PB，∴2AE＝AP+PB，∴AE＝．【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB左侧作∠BDC＝∠BAC＝α，过点A作AE⊥DC于点E．（1）当α＝90°时，①求证：AE＝DE；②若BD＝AE＝2，请求出△ABC的面积；（2）当α≠90°时，求证：BD+DE＝EC．【解答】（1）①证明：过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，∵AE⊥CD，∴∠DEF＝90°，又∵∠BDE＝90°，∴四边形BDEF为矩形，∴DE＝BF，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF+∠EAC＝90°，又∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠BFA＝90°，AB＝AC，∴△ABF≌△CAE（AAS），∴BF＝AE，∴DE＝AE；②解：∵四边形BDEF为矩形，BD＝AE＝2，∴BD＝EF＝2，DE＝BF＝AE＝，∴AF＝AE+EF＝+2，∴BA2＝BF2+AF2＝＝8+4，∴S＝＝；△ABC（2）证明：过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于F，连接AD，设CD与AB交于点O，∵∠BDC＝∠BAC，∠BOD＝∠AOC，∴∠ACO＝∠DOB，即∠ABF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠AFB＝90°，AC＝AB，∴△ACE≌△ABF（AAS），∴AE＝AF，BF＝CE，又∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴DE＝DF，∴CE＝BF＝BD+DF＝BD+DE．【变式5】【问题背景】如图①，在边长为1的正方形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点（与点B，C不重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，与正方形ABCD的外角∠DCG的平分线交于点F．李老师指出，当点E为线段BC 的中点时，AE＝EF．【初步探索】（1）如图②，当点E在线段BC的延长线上时，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立；【问题解决】（2）当点E在线段BC上时，设BE＝x，△ECF的面积为y，求y与x之间的函数关系式；【拓展延伸】（3）如图③，将正方形ABCD放在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，点C在x轴正半轴上，当点E运动到某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，求此时点E的坐标．【解答】解：【问题背景】如图1，取AB的中点H，连接EH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∵E是BC的中点，∴BH＝BE＝AH＝CE，∴∠BHE＝∠BEH＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【初步探索】（1）仍然成立，理由如下：如图2，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．∵AB＝BC，AN＝CE，∴BN＝BE，∴∠N＝∠FCE＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠NAE＝∠CEF，在△ANE和△ECF中，，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【问题解决】（2）如图3，在BA上截取BH＝BE，连接HE，同理得：△AHE≌△ECF，∴y＝S＝AH•BE＝x（1﹣x）＝﹣x2+x（0≤x≤1）；△AHE【拓展延伸】（3）如图4，在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，设点E（a，0），∴BE＝a＝BH，∴HE＝a，由（1）可得△AHE≌△ECF，∴CF＝HE＝a，∵CF平分∠DCM，∴∠DCF＝∠FCM＝45°，∵FM⊥CM，∴∠CFM＝∠FCM＝45°，∴CM＝FM＝a，∴BM＝1+a，∴点F（1+a，a），∵点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，∴a＝﹣2（1+a）+3，∴a＝，∴点E（，0）．【典例5】如图1，在Rt△ABC中，AB＝BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF ＝∠B，∠A＝45°．（1）试猜想CF与BE之间的数量关系，并证明；（2）自主探究：如图2，若将已知条件中含45°的直角三角形换成含30°的直角三角形，其余条件不变，试探究BE和CF的关系．【解答】解：（1）CF与BE之间的数量关系为：CF＝BE．理由：过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠A＝45°，∴∠C＝45°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝45°，∴△FHC为等腰直角三角形，∴FC＝FH，∴FC＝BE；（2）CF与BE之间的数量关系为：CF＝BE．理由：过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵Rt△ABC中，∠A＝30°，∴∠C＝60°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝60°，∴sin60°＝，∴FC＝FH，∴FC＝BE．【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，点F是AC上一点，连接BF交AD于点E，且DE＝CD，连接DF，若AF＝4，DF＝2，则BF的长为　．【解答】解：如图，在BF上截取HF＝AF，连接AH，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∠ADB＝∠ADC＝90°，在△BDE和△ADC中，，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴∠EBD＝∠CAD，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AFE＝∠BDE＝90°，∴∠AHF＝∠HAF＝45°，∴AH＝AF，∴∠BAH＝∠DAF，∠AHB＝135°，∠AEF＝∠BED，∠AFE＝∠BDE＝90°，∴△AFE∽△BDE，∴＝，∵∠AEB＝∠FED，∴△AEB∽△FED，∴∠EAB＝∠EFD＝45°，∴∠AFD＝∠AFH+∠EFD＝90°+45°＝135°，∴∠AHB＝∠AFD，∴△AHB∽△AFD，∴＝＝，∴BH＝DF，∴BF＝BH+HF＝DF+AF＝2+4．故答案为：2+4．【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，连接AC，BD，若AB＝AC，请探究AD，BD，DC之间的数量关系．【解答】解：作AE⊥AD交BD于E，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∵∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠ABD＝∠ACD，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∵△AED是等腰直角三角形，∴DE＝AD，∵BD＝DE+BE，∴BD＝AD+CD．【变式3】如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＞AC，点E在BC上，点D在AB上，CE＝CA，连接DE，∠ACB+∠ADE＝180°，CH⊥AB，垂足为点H．求证：DE+AD＝2CH．【解答】证明：如图，作∠FCD＝∠ACB，交BA延长线于F，∵∠FCA+∠ACD＝∠ACD+∠DCB，∴∠FCA＝∠DCB，∵∠ACB＝120°，∠ACB+∠ADE＝180°，∴∠EDB＝120°，∠EDA＝60°，∵∠FAC＝120°+∠B，∠CED＝120°+∠B，∴∠FAC＝∠CED，在△AFC和△EDC中，，∴△AFC≌△EDC（ASA），∴AF＝DE，FC＝CD，∵CH⊥FD，∴FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°，∴DH＝CH，∵AD+DE＝AD+AF＝FD＝2DH＝2CH，∴AD+DE＝2CH．【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是平面内一点，且AD⊥CD．点O是BC的中点，连接OA，OD．（1）如图①，若点D是BC下方一点，过点O作OE⊥OD分别交AC，AD于点E，F．①求证：∠OAF＝∠OCD；②若CD＝1，DF＝2，求BC的长；（2）如图②，若点D是AC右侧一点，试判断AD，CD，OD之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，O为BC的中点，∴OA＝OB＝OC，OA⊥OC，∵OE⊥OD，∴∠AOC＝∠EOD＝90°，∴∠AOF＝∠COD，∵∠AOM＝∠MDC＝90°，∠AMO＝∠CMD，∴∠OAM＝∠MCD，∴△OAF≌△OCD（ASA），∴∠OAF＝∠OCD；②解：∵△OAF≌△OCD，∴AF＝CD＝1，∵DF＝2，∴AD＝AF+DF＝1+2＝3，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝，∵AC＝AB，∴BC＝AC＝＝2；（2）解：AD+CD＝OD．理由：过点O作OE⊥OD，交DA的延长线于点E，∵∠DOE＝∠AOC＝90°，∴∠AOE＝∠COD，∵∠ODC+∠+ODA＝90°，∠ODA+∠OEA＝90°，∴∠ODC＝∠OEA，又∵OA＝OC，∴△OCD≌△OAE（AAS），∴CD＝AE，OD＝OE，∴DE＝OD，∴AD+AE＝AD+CD＝OD．【变式5】【问题探究】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是平面内一点，连接AD，BD，CD，且∠CAB＝∠CDB．（1）如图①，当∠CAB＝60°时，试探究BD，CD，AD之间的数量关系；（2）如图②，当∠CAB＝120°时，探究是否为定值，并说明理由；【问题解决】（3）如图③，在四边形ADBC中，AB＝AC，∠CAB＝∠CDB＝120°，若AD＝2，BD＝3，求CD的长．【解答】解：（1）BD，CD，AD之间的数量关系为：BD＝CD+AD，理由如下：在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，设AC交BD于H，如图①所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD，∴BD＝BE+DE＝CD+AD；（2）是定值，理由如下：在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，设AC交BD于H，过点A作AF⊥BD于F，如图②所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，∵AF⊥DE，∴DF＝EF，AF＝AD，在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，∴DE＝2DF＝AD，∵DE＝BD﹣BE＝BD﹣CD，∴BD﹣CD＝AD，∴＝，∴是定值；（3）在CD上取一点E，使CE＝BD，连接AE，设AB交CD于H，过点A作AF⊥CD于F，如图③所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHC＝∠BHD，∴∠ACE＝∠ABD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE＝∠CAB＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，∵AF⊥DE，∴DF＝EF，AF＝AD，在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，∴DE＝2DF＝AD，∴CD＝CE+DE＝BD+AD＝3+×2＝3+2．。

专题01 全等模型-倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.例1．（2023·成都市·八年级课时练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC 中，若AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连结BE ．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到ADC EDB ≌△△的理由是（ ）．A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA(2)AD 的取值范围是（ ）．A ．68AD <<B ．1216AD <<C ．17AD << D ．214AD <<(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于点E ，交AD 于F ，且AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．【答案】(1)B (2)C (3)见解析【分析】（1）根据AD =DE ，∠ADC =∠BDE ，BD =DC 推出△ADC 和△EDB 全等即可；（2）根据全等得出BE =AC=6，AE =2AD ，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD ＜8+6，求出即可；（3）延长AD 到M ，使AD =DM ，连接BM ，根据SAS 证△ADC ≌△MDB ，推出BM =AC ，∠CAD =∠M ，根据AE =EF ，推出∠CAD =∠AFE =∠BFD ，求出∠BFD =∠M ，根据等腰三角形的性质求出即可．（1）∵在△ADC 和△EDB 中AD DE ADC BDE BD CD ìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），故选B ；（2）∵由（1）知：△ADC ≌△EDB ，∴BE =AC =6，AE =2AD ，∵在△ABE 中，AB =8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD ＜8+6，∴1＜AD ＜7，故选：C ．（3）延长AD 到点M ，使AD ＝DM ，连接BM ．∵AD 是△ABC 中线∴CD ＝BD∵在△ADC 和△MDB 中DC DB ADC MDB DA DM =ìïÐ=Ðíï=î∴()SAS ADC MDB ≌△△∴BM ＝AC （全等三角形的对应边相等）∠CAD ＝∠M （全等三角形的对应角相等）∵AE ＝EF ，∴∠CAD ＝∠AFE （等边对等角）∵∠AFE ＝∠BFD ，∴∠BFD ＝∠M ，∴BF ＝BM （等角对等边）又∵BM ＝AC ，∴AC ＝BF ．【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．例2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC V 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED=证明∵//CE AB （已知）∴ABD ECD Ð=Ð，BAD CED Ð=Ð（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD V 中，∵ABD ECD Ð=Ð，BAD CED Ð=Ð（已证），BD CD =（已知），∴()A.A.S ABD ECD △△≌，∴AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC V 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD Ð的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE Ð=Ð，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．【答案】（1）1＜AD ＜5；（2）AD =AB +DC ．理由见解析；（3）DF =3．【分析】（1）延长AD 到E ，使AD =DE ，连接BE ，证△ADC ≌△EDB ，推出AC =BE =4，在△ABE 中，根据三角形三边关系定理得出AB -BE ＜AE ＜AB +BE ，代入求出即可；（2）结论：AD =AB +DC ．延长AE ，DC 交于点F ，证明△ABE ≌△FEC （AAS ），推出AB =CF ，再证明DA =DF 即可解决问题；（3）如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，证明AB =DF +CF ，可得结论．【详解】解：（1）延长AD 到E ，使AD =DE ，连接BE ，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，AD DEADC EDBDC DB=ìïÐ=Ðíï=î，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，∴6-4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；（2）结论：AD=AB+DC．理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，∵AB∥CD，∴∠BAF=∠F，在△ABE和△FCE中，AEB FECBAE FBE CEÐ=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴CF=AB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠FAD，∴∠FAD=∠F，∴AD=DF，∵DC+CF=DF，∴DC+AB=AD；（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥CF，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，BAE GAEB GECBE CEÐ=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB=GC，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=DF+CF，∵AB=5，CF=2，∴DF=AB-CF=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例3．（2022·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 干E ，交AD 于F ，且AE =EF ．请判昕AC 与BF 的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AC =BF ，理由见解析【解析】（1）解：如图，延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE ，在△ADC 和△EDB 中∵AD DE ADC EDB CD DB =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ADC ≌△EDB （SAS ）．∴BE =AC =3．∵AB -BE <AE <AB +BE ∵2<AE <8．∵AE =2AD ∴1<AD <4．（2）AC =BF ，理由如下：延长AD 至点G ，使GD =AD ，连接BG ，在△ADC 和△GDB 中，AD DG ADC GDB BD CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ADC ≌△GDB （SAS ）．∴BG =AC ，∠G =∠DAC ．．∵AE =EF ∴∠AFE =∠FAE ． ∴∠DAC =∠AFE =∠BFG ∴∠G =∠BFG ∴BG =BF ∴AC =BF ．【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD 到点E ，使DE =AD ，构造全等三角形是解题的关键．例4．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在ABC V 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE 到点F ，使EF DE =，连接CF ，证明ADE CFE V V ≌，再证四边形DBCF 是平行四边形即得证．类比迁移：（1）如图2，AD 是ABC V 的中线，E 是AC 上的一点，BE 交AD 于点F ，且AE EF =，求证：AC BF =．小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD 至点M ，使MD FD =，连接MC ，……请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：（2）如图3，在等边ABC V 中，D 是射线BC 上一动点（点D 在点C 的右侧），连接AD ．把线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ，F 是线段BE 的中点，连接DF 、CF ．请你判断线段DF 与AD 的数量关系，并给出证明．【答案】（1）证明见解析；（2）2AD DF =，证明见解析【分析】(1) 延长AD 至M ，使MD FD =，连接MC ，证明BDF CDM △≌△，结合等角对等边证明即可．(2) 延长DF 至点M ，使DF FM=，连接BM 、AM ，证明(SAS)ABM ACD △≌△，△ABM 是等边三角形，代换后得证．【详解】（1）证明：延长AD 至M ，使MD FD =，连接MC ．在BDF V 和CDM V 中，BD CD BDF CDM DF DM =ìïÐ=Ðíï=î，∴BDF CDM △≌△，∴MC BF =，M BFM Ð=Ð，∵AE EF =，∴EAF EFA Ð=Ð，∵EFA BFM Ð=Ð，∴M MAC Ð=Ð，∴AC MC =，∴AC BF =．（2）线段DF 与AD 的数量关系为：2AD DF =．证明如下：延长DF 至点M ，使DF FM =，连接BM 、AM ，如图2所示：∵点F 为BE 的中点，∴BF EF=在BFM V 和EFD △中，∵BF EF BFM EFD FM DF =ìïÐ=Ðíï=î，∴(SAS)BFM EFD △≌△∴BM DE =，MBF DEF Ð=Ð，∴BM DE∥∵线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE∴CD DE BM ==，120Ð=°BDE ，∴18012060MBD Ð=-=°°°∵ABC V 是等边三角形∵AB AC =，60ABC ACB Ð=Ð=°，∴6060120ABM ABC MBD ÐÐа°=+=+=°∵180********ACD ACB Ð=°-Ð=°-°=°，∴ABM ACDÐ=Ð在ABM V 和ACD △中，∵AB AC ABM ACD BM CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴(SAS)ABM ACD △≌△∴AM AD =，BAM CAD Ð=Ð，∴60MAD MAC CAD MAC BAM BAC ÐÐÐÐÐÐ=+=+==°∴AMD V 是等边三角形，∴2==AD DM DF ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

Lt ： .1 -J J? 初二秋季•第2讲•提高班•教师版眉螂*毎牆毎嬉尹严注沖£*尹戸芒倍长中线三角形7级 倍长中线与截长补短 三角形8级 Q 全等三角形的经典模型（一） 三角形9级 ° 全等三角形的经典模型（二） 漫画释义倍长中线与截长补短知识互联网侶长川线倍长中线与截长补短截长补短思路导航例题精讲CDCB EAB 二 AC.BAD = CAD .CED 二.CAD AD 平分-BAC题型一：倍长中线CE =AC【例1】 已知 △ ABC 中，AD 平分/BAC ，且BD =CD ，求证：AB =AC 【解析】延长AD 到E ，使DE =AD ，连接CE .A则△ CDE ◎△ BDA ,••• CE =AB , . CED - . BAD定义 示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得 延长后的线段是原中线的两倍.其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角.AB, DC1\ /VE其中BD =CD ,延长AD 使得DE = AD , 则△ BDE ◎△ CDA .A初二秋季•第2讲•提高班•教师版【教师备选】教师可借用例 1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳:已知角平分线+中线证等腰三角形，如例 1； 已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展 1； 已知中线+高证等腰三角形，如拓展 2.【拓展1】已知△ ABC 中，AD 平分/ BAC ,且AD 丄BC ,求证：AB=AC . 【解析】•/ AD 平分/ BAC , •••/ BAD= / CAD•/ AD 丄 BC , ADB = / ADC=90°• △ ABD ◎△ ACD (SAS) • AB=AC .【拓展2】已知△ ABC 中，AD 丄BC ,且BD =CD ，求证：AB=AC . 【解析】•/ AD 丄BC ,且BD =CD• AD 所在直线是线段 BC 的垂直平分线根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等【例2】 ⑴如图，已知 △ ABC 中，AB 二AC , CE 是AB 边上的中线，延长AB 至U D ，使BD 二 AB .给出下列结论：①AD=2AC;②CD=2CE ;③/ ACE= / BCD :④CB 平分/ DCE , 则以上结论正确的是 ______________________ .【解析】 ①正确.••• AB =AC , BD =AB , • AD=2AC .②、④正确.延长CE 到F ,使EF =CE ，连接BF .•••CE 是 AB 的中线，• AE 二EB .在△ EBF 和△ EAC 中AE 二 BE ■■: ZAEC ZBEFCE =FEC故 AB=AC ..••BF 二 AC 二 AB 二 BD ，.匕EBF ZEAC •Z FBC ZFBE ZEBC 乙 A ZACB ZDBC在厶FBC 和厶DBC 中FB =DB I'ZFBC /DBC BC =BC FBC 也厶 DBC•CD =CF =2CE ，/FCB=ZDCB 即 CD=2CE , CB 平分ZDCE .③错误.•••/FCB = / DCB ，而 CE 是AB 边上中线而不是 / ACB 的角平分线故 / ACE 和/ BCD 不一定相等.⑵如图，在△ ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：① BD=DE=EC ;②AB+AE > 2AD ;③AD+AC > 2AE ;④AB+AC > AD+AE ,则以上结论正确的 是 .【解析】 点D 、E 为边BC 的三等分点，• BD=DE=CE 延长AD 至点M ,AE 至点N ，使得DM =AD ,EN=AE ，连接 EM 、CN ，则可证明 △ ABDMED ，进而可得 AB+AE > 2AD ，再证明△ ADENCE ，进而可得 AD+AC > 2AE ，将两式相加可得到 AB+AE+AD+AC >2AD+2AE ,即卩 AB+AC >AD+AE .•••①②③④ 均正确.【例3】 如图，已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ,AF 二 EF ，求证：AC =BE .f ：?.初二秋季•第2讲•提高班•教师版41 ：M【解析】延长AD到G，使DG二AD，连接BG•/ BD =CD , . BDG =/CDA , AD =GD••• △ ADC ◎△ GDB ,••• AC =GB , . G =/EAF又••• AF 二EF ,•. EAF 二.AEF = . BED•. G =/BED ,•- BE = BG , •- AC =BE .易证△ PMQ NMD ,• PB=PQ = DN , / PQD = / NDM•PQ // DN，又I / BPQ= / BDN= 90•/ PBQ = / BDC= / NDC=45° 再证△ BPC◎△ DNC (SAS)易证△ PCN为等腰直角三角形，又••• PM = MN , • PM 丄MC,且PM=CM .【例4】MP与MC的关系.【解析】在正方形ABCD中，PQ丄BD于P,延长PM至点N,使PM=MN，连结M为QD的中点，试探究CP、CN、DN .B」AD CACD题型二：截长补短思路导航___ W定义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段A^\C 在线段AB上截取AD — AC补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等A\\¥延长AC，使得AD=AB例题精讲押訂【例5】在厶ABC中，A的平分线交BC于D , A^AC CD，.匕B =40，求乙C的大小.（希望杯培训题）【解析】在AB上截取AE二AC，连接DE .•/ AE =AC，乙.BAD ZCAD , AD = AD ,••• △ ACD ◎△ AED ,••• /C =• AED , CD =DE ,•/ AB =AC CD , AE = AC , /. CD = BE = DE• •• • EBD =• EDB =40 , . C = • AED =80【例6】典题精练 fy如图，在△ ABC 中，.B =2. C , . BAC 求证：AB BD =AC . A的平分线 AD 交BC 于点D .【解析】方法一：（截长）在AC 上截取AB=AE ，连接DE .在△ ABD 和△ AED 中 AB =AE , BAD =/EAD , AD =AD ••• △ ABD AED••• BD =ED , B =/AED又••• /AED ZEDC £C =• B =2^C . EDC =/C , ED =EC • •• AB BD = AC .方法二：（补短）延长 AB 到点E 使得AC =AE ，连接DE . 在厶 AED 和厶 ACD 中，AE =AC , EAD = CAD , AD 二 AD • △ AED ACD , • /C Z E又••• • ABC 二 E ： -BDE =2・ C =2・ BDE • . E =/BDE • BE =BD , AB BD = AC .方法三：（补短）延长 DB 到点E 使得AB =B E ,连接AE 贝U 有 EAB 二 E ，/ABC « ^EAB =2^E 又4ABC =2 £C ,•••• C =/E••• AE =AC.EAD =. EAB . BAD =. E . DAC =. C . DAC = ADE• AE =DE ,• •• AB BD =EB BD = ED =AE =AC • - AB+BD=AC 若题目条件或求证结论中含有“ a =b c ”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”. 建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法 【例 7】 已知：在△ ABC 中，AB 二CD -BD , AD _ BC ，求证：• B =2. C . A 初二秋季【解析】在厶 ABD 和厶 AED 中，AD —BC , BD = ED , AD =AD . 方法一：在DC 上取一点 E ，使BD =DE ，如图1,••• △ ABD 刍\ AED .••• AB =AE , B = AED .又 T AE =AB =CD -BD =CD - DE =EC••• . C =/EAC ,••• . C 梟/EAC =/AED =2. C•. B =2. C .图1 图2方法二：延长DB到点E，使BE=AB，如图2,•. E =. EAB.•/ AB 二CD -BD , • ED 二CD .在厶AED 和厶ACD 中，AD _BC , ED =CD , AD =AD .•△ AED ACD .•/E /C .••• ABD =2 EB = 2C .【探究对象】截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有：截长法：⑴过某一点作长边的垂线；⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。