《两角和与差的正弦》教案2

两角和与差的正弦教案
教案标题：两角和与差的正弦教案
一、教学目标：
1. 理解正弦函数的概念和性质；
2. 掌握两角和与差的正弦公式；
3. 能够运用两角和与差的正弦公式解决相关问题。

二、教学重点和难点：
1. 重点：正弦函数的概念和性质，两角和与差的正弦公式的推导和运用；
2. 难点：运用两角和与差的正弦公式解决实际问题。

三、教学准备：
1. 教学课件、黑板、粉笔；
2. 相关教学素材和实例题目；
3. 学生练习题。

四、教学过程：
1. 引入：通过展示正弦函数的图像和性质，引出两角和与差的正弦公式的概念和意义。

2. 讲解：详细讲解两角和与差的正弦公式的推导过程和相关性质，引导学生理解公式的意义和运用方法。

3. 案例分析：结合具体的案例，讲解如何运用两角和与差的正弦公式解决实际问题，包括角度的转化和计算方法。

4. 练习：让学生进行相关练习，巩固两角和与差的正弦公式的运用能力，包括基础练习和拓展练习。

5. 总结：对本节课的内容进行总结和归纳，强调两角和与差的正弦公式的重要性和实际应用。

六、作业布置：布置相关的课后作业，要求学生独立完成相关练习题目，加深对两角和与差的正弦公式的理解和掌握。

七、教学反思：对本节课的教学效果和学生学习情况进行反思，为下节课的教学提供参考和改进方案。

3.1.2两角和与差的正弦、正切公式教案授课教师：肇庆高新区大旺中学 XXX教材：人教A版必修4第三章教学目标：1、能以两角和与差的余弦公式C(α-β) 、C(α+β)推导出两角和与差的正弦、正切公式S(α-β) 、S(α+β) 、T(α-β) 、T(α+β),并能找到公式之间的逻辑联系。

2、熟悉各公式的结构特征，找出熟记公式的方法，能应用公式进行三角恒等变换。

3、通过公式的灵活应用，培养学生的方程思想、变换能力，逆向思维能力，换元思想与代换思想。

4、培养学生思维的有序性、发散性，答题中表述的规范性、条理性和完整性。

教学重点：1、以两角和与差的余弦公式为基础，推导出两角和与差的正弦、正切公式。

2、将公式熟练的应用到三角恒等变换中。

教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式在应用中的注意细节：角度范围的确定，三角函数值的确定，公式的逆用。

教学方法：教师采用启发引导式教学，指导学生主动参与公式的发现、推导和应用，对学生探究的结果、及公式应用的成果展示做合理的评价。

学生采用自主探究、小组讨论、合作交流的学习方式，并展示自己的学习成果。

教学手段：教师利用多媒体平台，展示教学内容与教学过程，学生用小黑板展示小组的探究成果。

教学过程：教学环节教学内容与教师活动学生活动温故知新复习引入1、===完成填空，并说出答案。

===2、C(α-β) = C(α+β) =由C(α-β)推导出C(α+β)的详细过程：3、求值：==教学环节教学内容与教师活动学生活动构建新知公式的探究及理解问题1、sin75o的值如何求？问题2、若将75o分解成45o+30o，即sin(45o+30o)该如何求值？由此引出对公式的探究。

探究一：=？问题3、正余弦之间如何转化，可否利用和角的余弦公式来推导此公式？（）回顾上节课的内容：sin75o=cos15o，再用差角的余弦公式展开求值。

诱导公式五（或六）可实现正余弦互化，转化后再利用和角的余弦公式来推导。

必修4 3．1．2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）【学习目标】1.能推导两角和与差的正弦、余弦公式，并能说出这些公式的结构特征与内在联系．2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、证明．3.通过公式的运用，体会化归思想在数学中的应用，提高同学们观察分析能力、应用意识、数学素养．【学习重点】两角和与差的正弦、余弦公式的推导与运用．【难点提示】灵活运用所学公式对三角函数式进行求值、化简、证明.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材第128-131相结合进行自主学习、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.本节课型属于“公式法则课”，则需要同学们在学习过程中定要弄清公式的产生、推导、运用，并进一步挖掘拓展，弄清公式特征、联系、记忆方法、深度运用.【学习过程】 一、学习准备知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题和做好学习新课的情感准备：1.你能从上面的知识网络感悟出已学的三角函数知识有“几条主线”？有怎样的逻辑关系？2.与本节课联系紧密的部分相关知识复习与回顾：（1）同角三角函数关系式为 、 ，运用时需注意些什么？ （2）两角差的余弦公式)(βα-C ，cos()________________αβ-=，使用范围是 ；（3）诱导公式口诀是 ，它有几层含义？热身练习 1.请运用)(βα-C 公式，证明：3(1)cos()sin ,(2)cos()cos ;2πθθπθθ-=--=- 证：2.计算下列各组式的值：(1)cos(15)_____;(2)sin(75)_____;-=-=3.已知15sin ,17θθ=是第二象限角，求cos()3πθ-的值. 解：解后反思 在上面的练习中，用到什么知识与方法？还有方法吗？你还能求sin 75、cos 75、cos()3πθ+、sin()3πθ+、sin()3πθ-的值和证明吗？这就是本节课要探究的问题？ 二、学习探究上节课我们学习了两角差的余弦公式，从上面的热身练习反思中提出的问题知，生活中不但需要两角差的余弦公式，还需要两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式，否则它们也不会同意啊！所以，请同学们运用)(βα-C 公式并结合相关知识，发挥你们的想象与发散思维，探究下面的问题与公式.1.探究两角和的余弦公式活动1（特殊角和的余弦）：cos75cos(4530)_______________________________=+=一般角和的余弦公式猜想：=+)cos(βα活动2：推导公式=+)cos(βα归纳结论简称：)(βα+C 2.探究两角和的正弦公式活动3（特殊角和的正弦）：sin105cos 90(4560)_________________________⎡⎤=-+=⎣⎦一般角和的正弦公式猜想：sin()αβ+=活动4：推导公式sin()cos 90()αβαβ⎡⎤+=-+=⎣⎦ 归纳结论 )(βα+S 3.探究两角差的正弦公式 活动5：你能从)(βα+C 公式的由来，运用类比的方法猜想sin()αβ-= 活动6：推导公式[]sin()sin ()αβαβ-=+-=归纳结论 )(βα-S快乐体验 1.利用上面探究的和（差）角的正弦、余弦公式，计算下列各式的值： (1)cos105____;(2)sin15____;(3)sin75____;===2.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin()sin()()444πππααα-++、、cos 的值. 解：(βα+S (βα+S (βα+S (βα+S3.快速求值：(1)sin 72cos42cos72sin 42__;-=(2)sin34cos26cos34sin 26__;+=(3)cos20cos70sin 20sin70____.-=(4)sin 20cos110cos160sin 70___;+= 解：解后反思 （1）以上两题的题型怎样？怎样求解的？有易错点吗？（2）通过对两角和与差的正弦、余弦公式的探究、推导、体验，你有哪些感悟？你能对它们进行深度思考和挖掘拓展吗？挖掘拓展 1.几组公式各有哪些特征？有何联系？如何记忆？有易混点吗？（链接1）2.这些公式中各有几个量？有哪些运用方式？公式使用范围是什么？（链接2）3.本节课的三个公式的推导均是由)(βα-C 公式推导而得的，推导中用到了数学思想是什么？它们的实质性作用是什么？你还有其它证明方法吗？如：能否先探究和证明)(βα+C 公式？（链接3）三、典例赏析例. 求证：cos 2sin().6πααα+=+证：解后反思 本例题型怎样？证明的关键点在哪里？有几种证明方法？这些方法各自有何特点？ 变式练习 化简下列各式：（1）x x sin 23cos 21-；（2）x x cos 53sin 153+． 解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：公式)(βα±C 、)(βα±S 的推导、特征、公式间联系都明白了吗？都能灵活运用了吗？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？五、学习评价1.000039sin 69cos 39cos 21cos -的值是（ ） A ．22 ； B ． 21 ； C ． 23 ； D ． 1. 2.（2010全国卷）若αα,54cos -=是第三象限的角，则=+)4sin(πα（ ）A ．1027-B ． 1027C ． 102- D ．102 3.函数x x y cos 3sin +=在区间［20π，］上的最小值为 ． 解：4.若,53)4cos(,135)43sin(=-=+βπαπ且0＜α＜4π＜β＜43π，求)cos βα+（的值．解：5. 教材P137页习题3.1A 组的第3、4、5、8题（请做在作业本上）.6.（选作）已知1，求证：221a b +=. 解：◆承前启后 本节课我们学习两角和与差的正弦、余弦公式，还有两角和与差的正切公式吗？这些公式还有哪些更广泛的运用呢？【学习链接】 链接1.按本教材的体系，公式)(βα-C 是后三个公式)(βα+C )(βα+S )(βα-S 的上位知识（也是后面三角系列公式的基础），后三个是前者的下位知识；公式)(βα-C 与 )(βα+C ， )(βα+S 与)(βα-S 的结构相同，但运算符号不同，必须准确记忆，防止混淆.链接2. 四组公式中均各有三个量，任意已知两个量便可求出第三个量；公式均可“直用、逆用、变形运用”；适用范围是任意角αβ、，你怎样理解αβ、的任意性？链接3.在推导中运用了化归与转化的思想，这些公式的作用是将 “复角”的三角函数与 “单角”的三角函数搭起了美丽的桥梁；可以先探究、证明公式)(βα+C ，再推导出其它公式，下面是2010四川高考理19题，请同学们课后先做一做，下节课再集体交流.（Ⅰ）○1证明两角和的余弦公式C :cos()cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-； ○2由C αβ+推导两角和的正弦公式S :sin()sin cos cos sin αβαβαβαβ++=+.（Ⅱ）已知△ABC 的面积1,32S AB AC =∙=，且35cos B =，求cosC .。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《两角和与差的正弦》教案一、教学目标1 . 知识目标：掌握公式的推倒过程，会用公式求值2．能力目标：培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力（即不能直接套用公式，需要变化条件，寻找依据，才能推出结论）3．情感目标：发展学生的正向、逆向思维和发散思维的能力，构建良好的数学思维品质。

二、教学重点、难点重点：两角和与差的正弦公式的应用和旋转变换公式难点：利用两角和的正弦公式变ααcos sin b a +为一个角的三角函数的形式三、教学方法观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法四、课时1课时五、教学过程公式的应用例1．求︒75sin，︒15sin的值巩固练习一：练习A2、4例2．已知向量)4,3(=op逆时针旋转︒45到p o'的位置，求点),(yxp'''的坐标例3．已知点),(yxp与原点的距离保持不变逆时针旋转θ角到),(yxp'''求证⎩⎨⎧+='-='θθθθcossinsincosyxyyxx巩固练习二：练习B2例4．求函数xbxay cossin+=的最大值，例1．学生练习，板演，教师讲评，注意几个问题;(1)将一般角转化为特殊的角的和或差，可以不用查表求值(2)运用公式时不能仅局限在从左到右的正用，还要善于从右到左的逆用例2.学生讨论，提示学生用向量的模和其与x轴的夹角表示向量终点坐标的方法解决例2以后把例2中的︒45替换成θ由特殊到一般得到向量的旋转公式⎩⎨⎧+='-='θθθθcossinsincosyxyyxx讨论例4时要引导学生在涉及到解决三角例1是使学生掌握公式的逆向和正向运用，并进一步熟悉公式的特征，为后面的灵活应用作铺垫例2和例3是向量的综合题，其过程是一次旋转变换，例2是例3的特例，体现了由一般到特殊的认知规律。

第2课时（一）导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cosβ＋sin （α＋β）sinβ;(2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x xx x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式(1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+(2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β; (3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+答案:1.(1)cosα;(2)0;(3)1. 2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.（二）推进新课、新知探究、提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,)2()2(2βαβαβα---=+等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.sin （α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔Ｓ（α±β）〕; cos （α±β）＝〔C （α±β）〕;tan （α±β）＝βαβαtan tan 1tan tan ±〔T （α±β）〕.讨论结果：略.（三）应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°; （2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;（3）15tan 115tan 1-+活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S (α-β)的右边，（2）同公式C (α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T (α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为15tan 45tan 115tan 45tan -+，再逆用公式T (α+β)即可解得.解：（1）由公式S (α-β)得 原式=sin(72°-42°)=sin30°=21. （2）由公式C (α+β)得 原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. （3）由公式T (α+β)得原式=15tan 45tan 115tan 45tan -+=tan(45°+15°)=tan60°=3. 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.变式训练 1.化简求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°; （2）sin14°cos16°+sin76°cos74°; （3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=21-. （2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=21. （3）原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.2.计算.75tan 175tan 1+- 解：原式=75tan 45tan 175tan 45tan +-=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=33-.例2 已知函数f(x)=sin(x+θ)+co s (x-θ)的定义域为R ,设θ∈［0,2π］,若f(x)为偶函数,求θ的值. 活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评.解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ), 即-sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ-sinxsin θ =sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ+sinxsin θ. ∴sinxcos θ+sinxsin θ=0.∴sinx(sin θ+cos θ)=0对任意x 都成立.∴2sin(θ+4π)=0,即sin(θ+4π)=0. ∴θ+4π=k π(k ∈Z ).∴θ=k π-4π(k ∈Z ).又θ∈［0,2π),∴θ=43π或θ=47π.点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力.变式训练 已知：2π<β<α<43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=54-,求cos2β的值.解：∵2π<β<α<43π,∴0<α-β<4π,π<α+β<23π.又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)= 54-,∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=53-.∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =53-×1312+(54-)×135=6556-.例3 求证：cosα+3sinα=2sin(6π+α). 活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α+β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α+β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数.证明：方法一：右边=2(sin6πcosα+cos 6πsinα)=2(21cosα+23sinα)=cosα+3sinα=左边.方法二：左边=2(21cosα+23sinα)=2(sin 6πcosα+cos 6πsinα)=2sin(6π+α)=右边. 点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23，即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx （a ，b不同时为零）的式子,引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下，如果a=AC osφ,b=Asinφ,那么asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得 A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cosφ=22ba a +,sinφ=22ba b +,从而得到tanφ=ba,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.变式训练 化简下列各式：（1）3sinx+cosx; （2）2cosx-6sinx.解：（1）原式=2(23sinx+21cosx)=2(cos 6πsinx+sin 6πcosx) =2sin(x+6π). （2）原式=22 (21cosx-23sinx)=22(sin 6πcosx-cos 6πsinx)=22sin(6π-x).例4 （1）已知α+β=45°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值;（2）已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求.tan tan βα 活动：对于（1）,教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，α+β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tanα,tanβ的关系式，从而发现所求式子的解题思路.在（2）中，我们欲求.tan tan βα若利用已知条件直接求tanα,tanβ的值是有一定的困难，但细心观察公式S (α+β)、S (α-β)发现，它们都含有sinαcosβ和cosαsinβ，而.tan tan βα化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ，由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答.解：（1）∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1.又∵tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+∴tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ), 即tanα+tanβ=1-tanαtanβ.∴原式=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2. （2）∵sin(α+β)=21,sin (α-β)= 31, ∴sinαcosβ+cosαsinβ=21,①sinαcosβ-cosαcosβ=31.②①+②得sinαcosβ=125, ①-②得cosαsinβ=121,∴5121125sin cos cos sin tan tan ===βαβαβα点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现α+β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法.变式训练1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值解：原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°)(1+tan23°)］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223. 2.计算：解：原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.（四）作业已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(ac ≠0)的两个根为tanα、tanβ,求tan(α+β)的值.解：由韦达定理得：tanα+tanβ=ab -,tanαtanβ=a c ,∴tan(α+β)=a c bac c b-=--=-+1tan 1tan tan αββα.（五）课堂小结1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.2.教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.。

两角和与差的正弦公式教案教案标题：两角和与差的正弦公式教案教案目标：1. 学生能够理解和应用两角和与差的正弦公式。

2. 学生能够解决与两角和与差的正弦公式相关的实际问题。

3. 学生能够熟练运用两角和与差的正弦公式解决相关的数学题目。

教学资源：1. 教材：包含两角和与差的正弦公式的章节。

2. 白板、黑板、彩色粉笔或白板标记笔。

3. 计算器。

教学步骤：引入（5分钟）：1. 引导学生回顾正弦函数的定义和性质。

2. 提问：你能回忆起两角和与差的正弦公式吗？请简要描述一下。

讲解与示范（15分钟）：1. 在黑板上写下两角和与差的正弦公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB。

2. 解释公式的含义和应用场景。

3. 通过示例问题演示如何应用该公式解决数学问题。

练习与巩固（20分钟）：1. 学生个人或小组完成一些基础练习题，以巩固对两角和与差的正弦公式的理解。

2. 教师提供反馈和指导，纠正学生可能存在的错误。

拓展与应用（15分钟）：1. 学生个人或小组完成一些拓展练习题，涉及实际问题的应用。

2. 引导学生思考如何将两角和与差的正弦公式应用于实际生活中的角度测量、航海导航等问题。

总结与评价（5分钟）：1. 教师总结两角和与差的正弦公式的重要性和应用领域。

2. 学生回答教师提出的评价问题，以评估他们对该概念的掌握程度。

作业：布置一些练习题，要求学生运用两角和与差的正弦公式解决相关的数学问题，并在下节课前完成。

教学提示：1. 鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，提出问题并解答问题。

2. 在讲解示例问题时，尽量选择与学生生活相关的实际问题，以增加学生的兴趣和应用能力。

3. 在练习和拓展环节，可以设计一些合作学习的活动，让学生相互合作解决问题，增强彼此之间的合作意识和团队精神。

教案评估：教师可以通过观察学生在课堂上的表现、参与度以及作业的完成情况来评估学生对两角和与差的正弦公式的理解和应用能力。

两角和与差的正弦公式教案课时目标：1.理解两角和与差的正弦公式的定义及应用；2.掌握两角和与差的正弦公式的推导过程；3.运用两角和与差的正弦公式解决相关问题。

教学重点：1.了解两角和与差的正弦公式的定义和特点；2.掌握两角和与差的正弦公式的推导过程；3.运用两角和与差的正弦公式解决相关问题。

教学难点：1.理解两角和与差的正弦公式的应用场景；2.运用两角和与差的正弦公式解决复杂问题。

教学准备：1. PowerPoint课件；2.黑板、粉笔等教学工具。

教学过程：Step 1：导入新课（5分钟）1.引入问题：在三角函数中，我们已经学过两角和的余弦公式，那么是否存在两角和的正弦公式呢？这两者有何关系呢？2.针对上述问题进行讨论，引导学生思考。

Step 2：两角和的正弦公式的定义（10分钟）1. 展示两角和的正弦公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB。

2.解释公式的含义：两角和的正弦等于第一个角的正弦与第二个角的余弦之积加上第一个角的余弦与第二个角的正弦之积。

3.探究公式的特点：该公式是正弦函数的两个变量的线性组合。

Step 3：两角和的正弦公式的推导（20分钟）1. 给出公式sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB。

2. 利用三角函数的基本关系式sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB，以及角的和差公式sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB，通过变形推导得到两角和的正弦公式。

Step 4：实例分析（20分钟）1.使用两角和的正弦公式解决实例问题，例如：- 已知sinα = 1/3，cosβ = 4/5，且α和β属于第一象限，求sin(α + β)和cos(α - β)的值。

- 已知sinA = -2/3，cosB = -3/5，且A和B属于第二象限，求sin(A - B)和cos(A + B)的值。

探究点一 两角和与差的正切公式的推导
问题 1 你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin α
cos α
，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出
用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试．
探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式 两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－
tan α＋tan βtan α＋β＝
tan α－tan β
tan α－β
－1.
答 当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
cos αcos β－sin αsin β
.
当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得
tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
.
根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得
tan(α－β)＝tan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β
.
问题2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？
答 在公式T (α＋β)，T (α－β)中α，β，α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )．
＝tan 120°＝－ 3.。

两角和、差正弦公式一、教学目标1.知识技能目标：理解两角和、差的正弦公式的推导过程，熟记两角和与差的正弦公式，运用两角和与差的正弦公式，解决相关数学问题。

2.过程方法与目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3.情感态度价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦公式的灵活运用.三、教学过程（一）导入：回顾两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+． 推导：()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦特例：sin()cos 2αα∏±=3sin()cos 2αα∏±=-（二）例题讲解例1、 利用和（差）公式求︒︒15sin 75sin 和的值。

1sin 75*2224o o o o o o =+=ｏ＝sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin301sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 302o o o o o o o =-=-==另：sin15sin(9075)cos 75o o o o =-=例2、 已知)sin()sin(),,2(,43cos ),2,0(,32sin βαβαππββπαα-+∈-=∈=与求的值。

课题：5.4（2）两角和与差的正弦（教案）教学目的：1.使学生掌握两角和与差的正弦公式的推导过程。

2.使学生正确理解、牢固掌握两角和与差的正弦公式。

3.使学生能正确、熟练、灵活地运用公式进行三角变换，掌握变换的基本方法，会应用于求值、化简、证明及有关问题。

4.使学生理解公式的推导过程，使学生了解各公式的来源，把握它们之间的内在联系和转化规律。

教学重点：1.两角差的正弦公式及正确、熟练、灵活地运用公式进行三角变换。

2.灵活地运用公式进行三角变换。

教学过程：（一）、引入一、复习：1、两角和与差的余弦公式：()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ ；()βαβαβαsin sin cos cos cos +=- .上述两个公式的主要作用是：已知两个角的正弦、余弦，求这两个角和或差的余弦，以及有关的化简、证明问题。

2、前面我们还学习了关于余角的三角比，即第五组诱导公式：ααπcos )2sin(=- ； ααπsin )2cos(=- 二、思考：已知两个角的正弦和余弦能否求出这两个角和或差的正弦呢？（二）、新课一．两角和与差的正弦公式的推导：βαβαβαπβαπβαπβαπβαsin cos cos sin sin )2sin(cos )2cos( ])2cos[()](2cos[)sin(⋅+⋅=⋅-+⋅-=--=+-=+ 得两角和的正弦公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+上式中，用-β代替β ，得两角差的正弦公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-二．概念辨析，变式问题1.注意点1、这两个公式对任意的角都成立。

2、两角和与差的正弦公式的特点。

2．两角和差公式的逆运用。

()()()()()()cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin 2αβααβαβαβαβαβαββ+++=+--+-= 三、典型例题（3个，基础的或中等难度）例1、求值：(1) sin75°=4； ︒︒+︒︒17sin 13cos 17cos 13sin )2(=1302sin =︒︒-︒︒25sin 20sin 25cos 70sin )3(=2452sin =例2：化简：（1）sin27°cos72°-sin63°cos18°（2）cos 4πsin(α+4π)-sin(4π-α)sin 4π 解：（1）原式= sin27°cos72°-cos27°sin72°=sin(27°-72°)=sin(-45°)=-22 （2）原式=sin(α+4π)cos 4π-sin[2π-(4π+α)]sin 4π =sin(α+4π)cos 4π-cos (4π+α)sin 4π=sin(α+4π-4π)=sin α3352344135333525cos (,)sin().sin ,sin sin cos cos sin ππθθπθπππθθθθ=-∈+⎛⎫⎛⎫=+=+=⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例、已知，，求的值1134.sin sin -cos cos cos(-).224αβαβαβ+=+=-例已知，，求的值 45565cos sin sin 51365ABC A B C ∆==例、在中，已知，，求的值。

3.1.2 两角和与差的正弦一、课题：两角和与差的正弦 二、三维目标：1、知识与技能：理解两角和与差的正弦公式及其推导。

2、过程与方法：（1）掌握()S αβ±的推导过程及公式特点。

（2）利用上述公式进行简单的求值与证明。

3、情感、态度与价值观：培养学生的探索与创新意识，激发学生学习兴趣，提高学生解题的灵活性。

三、教学重点：()S αβ±公式及诱导公式的推导、运用； 四、教学难点：()S αβ±公式及诱导公式的运用。

五、教学过程： （一）复习：1．()C αβ±公式； 2．练习：化简：（1）cos3cos sin 3sin αααα+；（2）cos()cos()66ππαα++-；（3）cos15cos75-．（二）新课讲解： 1.课题导入首先，同学们回顾一下咱们前面所推导的两角和与差的余弦公式. 首先，我们利用单位圆及两点间的距离公式结合三角函数的定义，推导出了两角和的余弦公式，进而推导出了两角差的余弦公式及两个诱导公式，不妨，将cos （π2－θ）＝sin θ中的θ用α＋β代替，看会得到什么新的结论?2.推导公式sin()cos[()]2παβαβ+=-+ cos[()]2παβ=--cos()cos sin()sin 22ππαβαβ=-+- sin cos cos sin αβαβ=+即：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （()S αβ+）在公式()S αβ+中用β-代替β，就得到：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- （()S αβ-）说明：公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。

3．例题分析：例1：求值(1)sin 75； (2)sin195； （3）cos79cos56cos11cos34-．解：（1）sin 75sin 30cos 45cos30sin 45=+=12 ；（2）sin195sin(18015)=+sin15(sin 45cos30cos45sin30)=-=--=；（3）cos79cos56cos11cos34-cos(7956)=+=-． 例2：已知2sin ,(,)32πααπ=∈，33cos ,(,)42πββπ=-∈，求sin()αβ-，cos()αβ+．解： 2sin ,(,)32πααπ=∈， ∴cos α==33cos ,(,)42πββπ=-∈， ∴sin β==，∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-=cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=．又sin()αβ+=∴sin()tan()cos()αβαβαβ++=+ ==． 例3：已知5cos 13θ=-，求cos()6πθ+及sin(6πθ+的值。

两角和与差的正弦公式教案一、动机和引入1.引导学生回顾前面学过的正弦函数的基本性质：周期、最大值、最小值等。

2.提问学生：在求正弦函数的和或差的时候，我们有没有什么公式可以使用？3.引导学生分析：我们可以使用两角和与差的公式，类似于整数相加减，但是存在一些特殊性质。

二、学习公式1.提醒学生：求两角和与差的公式都是从公式角度出发，通过对三角函数的和差关系进行求解。

2. 教师板书公式：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB3. 解读公式：sin(A±B)等于sinA和sinB的乘积之和或差。

4. 引导学生根据公式推导cos(A±B)的公式：cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB5.提醒学生：在公式推导的过程中，可以根据三角函数的诱导公式进行转换。

如：cos^2A+sin^2A=1三、例题实践1. 例题一：求sin(π/6+π/4)的值。

解法：根据公式sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB：sin(π/6+π/4)=sin(π/6)cos(π/4)+cos(π/6)sin(π/4)=1/2×√2/2+√3/2×√2/2=√2/4+√6/4=(√2+√6)/4答案：(√2+√6)/42. 例题二：求cos(3π/4-π/3)的值。

解法：根据公式cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB：cos(3π/4-π/3)=cos(3π/4)cos(π/3)+sin(3π/4)sin(π/3)=-√2/2×1/2+√2/2×√3/2=-√2/4+√6/4=(√6-√2)/4答案：(√6-√2)/4四、练习与巩固1. 练习题一：求sin(π/3+π/2)的值。

2. 练习题二：求cos(5π/6-π/3)的值。

五、总结与归纳1.引导学生总结：两角和与差的正弦公式和余弦公式都是通过对三角函数的和差关系进行推导得到的。

两角和与差的正弦余弦正切公式教学案一、教学目标：1.知识与技能目标：掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

2.过程与方法目标：鼓励学生积极思考、合作学习，培养学生的逻辑推理能力。

3.情感与态度目标：培养学生的数学兴趣，增强对数学的自信心。

二、教学重、难点：1.教学重点：学习正弦、余弦、正切两角和与差的公式，能够正确地应用到解题中。

2.教学难点：正弦、余弦、正切两角和与差的公式的推导与应用。

三、教学准备：1.教师准备：教案、笔记、教辅资料、教学媒体等。

2.学生准备：学习笔记、作业本。

四、教学步骤：Step 1 引入新课1.教师展示一幅图形，引导学生观察图形中的三角形，并提问：对于一个任意的三角形ABC，如何求角A和角C的两角和与差的正弦、余弦和正切？2.引导学生思考，并提醒学生复习正弦、余弦、正切的定义和性质。

Step 2 探究与讨论1.教师以角A和角C的两角和为例，引导学生分析角A和角C的三角函数之间可能存在的关系，并引导学生探究和讨论。

2.学生合作讨论，提出各自的思考结果并互相交流。

Step 3 运用公式解题1.教师给出两具体的角A和角C的数值，并提问学生如何求其两角和与差的正弦、余弦和正切的值。

2.学生运用公式计算，并与他人交流讨论结果，互相纠正错误。

Step 4 归纳总结1.教师总结学生的讨论结果，整理归纳出正弦、余弦、正切两角和与差的公式。

2.指导学生将这些公式整理成归纳表格或表格。

Step 5 拓展应用1.教师给出一些拓展应用题目，要求学生利用所学知识解答。

2.学生独立完成练习题，并互相交流讨论。

Step 6 小结与反思1.教师对本节课的内容进行小结，并引导学生参与总结。

2.向学生征求反馈意见，以便以后教学改进。

五、教学评价：1.学生通过合作探究和讨论，积极参与课堂活动。

2.学生能够利用正弦、余弦、正切两角和与差的公式解决实际问题。

3.学生对角度与三角函数之间的关系有了更深入的了解。

4.学生对本节课的教学内容和方式进行评价。

两角和、差正弦公式一、教学目标1.知识技能目标：理解两角和、差的正弦公式的推导过程，熟记两角和与差的正弦公式，运用两角和与差的正弦公式，解决相关数学问题。

2.过程方法与目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3.情感态度价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦公式的灵活运用.三、教学过程（一）导入：回顾两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．推导：()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦特例：sin()cos 2αα∏±=（二）例题讲解例1、 利用和（差）公式求︒︒15sin 75sin 和的值。

232162sin 75**222244o o o o o o =+=+ｏ＝sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30232162sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30**222244o o o o o o o =-=-=-=-另：sin15sin(9075)cos 75o o o o =-= 例2、 已知)sin()sin(),,2(,43cos ),2,0(,32sin βαβαππββπαα-+∈-=∈=与求的值。