2019届高三数学全真模拟考试试题一理

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试题卷（一）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合}02|{2<--=x x x A ，}log |{2m x x B >=，若B A ⊆，则实数m 的取值范围（ ）A ．]21,(-∞ B ．]4,0(C ．]1,21(D ．]21,0(2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z=（ ） A ．1+2i B ．1﹣2i C ．﹣1+2i D ．﹣1﹣2i3．在等差数列{}n a 中，810112a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =( ) A. 8 B. 16 C. 22 D. 44 4． 某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为A ．9214π+B ．8214π+C ．9224π+D ．8224π+ 5．若)()1(*3N n xx x n∈+的展开式中存在常数项，则下列选项中n 可为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 6．某地区高考改革，实行“3+1+2”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 ( ) A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种7. 已知抛物线C: 28=x y ，定点A （0，2），B （0，2-），点P 是抛物线C 上不同于顶点的动点，则∠PBA的取值范围为 （ ） A. 0,4π⎛⎤⎥⎝⎦ B. 42，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 32，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 8． 若0>ω，函数)3cos(πω+=x y 的图象向右平移3π个单位长度后与函数x y ωsin =图象重合，则ω的最小值为 A.211 B.25 C.21 D.239．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在9次试验中成功次数的均值为（ ）A. 3B. 4C. 5D.610. 如图，已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB ⊥CD ，若平面I SAD 平面SBC l =．现有以下四个结论： ① AD ∥平面SBC ； ② AD l //；③ 若E 是底面圆周上的动点，则△SAE 的最大面积等于△SAB 的面积； ④ l 与平面SCD 所成的角为45°．其中正确结论的个数是( )A. 1B.2C. 3D.411．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F 、2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是( )A ． 2(,)3+∞B ． 4(,)3+∞C ． 2(0,)3D ． 24(,)3312．在数学史上，中国古代数学名著周髀算经、九章算术、孔子经、张邱建算经等，对等差级数(数列)])1([)3()2()(d n a d a d a d a a -++⋅⋅⋅+++++++和等比级数（数列）132-+⋅⋅⋅++++n aq aq aq aq a ，都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a 中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，若422=a ，则这9个数和的最小值为A. 64B.C. 36D. 16二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知平面向量b a ,满足)3,2(,3||,2||=-==b a b a , 则=+||b a . 14．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为65，则判断框中的条件m i <中的整数m 的值是 .15. 已知，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x ，且目标函数y x z +=2的最大值为，最小值为，则acb a ++= . 16. 已知0a ＞，若不等式(2)2xax x e +-＞恰好有两个整数解，则a 的取值范围是的 .三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）已知(2cos ,23)=ra x x ，(cos ,cos )b x x =-r ，x f ⋅=)(.（1）求函数)(x f y =的最小正周期以及单调递增区间；（2）若锐角ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1)(-=A f ，1a =，求ABC ∆周长的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知11190B C A ∠=︒，11AB A C ⊥，且1AA AC =.（1）求证：平面11ACC A ⊥平面111A B C ；（2）若11112AA AC B C ===，求二面角111C AA B --的余弦值．19．（本小题满分12分）在2018年高考数学的全国I 卷中，文科和理科的选做题题目完全相同，第22题考查坐标系和参数方程，第23题考查不等式选讲某校高三质量检测的命题采用了全国I 卷的模式，在测试结束后，该校数学组教师对该校全体高三学生的选做题得分情况进行了统计，得到两题得分的统计表如下 已知每名学生只做了一道题：(1) 完成如下2x 2列联表，并判断能否有的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；现有4名考生选择第23题，以题中所给的选第23题得分的频率作为概率，求这4名考生中至少有2人得分不低于8分的概率；(3) 若以选题的得分率作为决策依据，如果你是当年的考生，你会选择做哪道题，并说明理由.得分率题目平均分题目满分，结果精确到附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中.d c b a n +++=20已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M, N 两点，2MNF ∆的周长为8，且2F 到M,N 两点的距离之和的最大值为5. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左，右顶点分别为A ，B ，证明：直线MA ，NB 的交点P 在定直线m 上，并求出直线m的方程.得分0 3 5 8 10 理科人数 50 70 80 100 500文科人数 5 20 10 5 70 得分 0 3 5 8 10 理科人数 10 10 15 25 40文科人数 5 5 25 0 5 选做22题 选做23题 总计文科人数 理科人数总计21．（本小题满分12分）设函数22ln )(x a x x x f -= （1）当),0(+∞∈x ，02)(≤+x ax f 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）设x x f x g -=)()(在],1[2e 上有两个极值点1x ，2x ． ① 求实数a 的取值范围；② 求证：.2ln 1ln 121ae x x >+(二)选考题（共10分。

第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合21log 11,13xAx x B x，则AB( )A ．1,0B ．,0C ．0,1D ．1,2.下列函数中，既是偶函数，又在区间0,单调递减的函数是()A.3y x B.ln yx C.cos yx D.2xy 3.函数sin ()ln(2)xf x x 的图象可能是( )4.设0a 且1a，则“函数xa x f )(在R 上是减函数”是“函数32)(x a x g 在R 上递增”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知4213532,4,25abc，则()A. cab B.abc C.ba c D.bc a6.若实数b a,满足23,32ba ，则函数b x a x f x)(的零点所在的区间是()A ．1,2 B ．0,1 C ．10，D ．21，7.已知命题p ：“R x 0，使得012020ax x 成立”为真命题，则实数a 满足()A ．11-， B ．,11, C ．，1 D ．1,8.定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f ，且在区间20，上递增，则()A ．)80()11()25(f f fB ．)25()11()80(f f fC ．)11()80()25(f f f D ．)25()80()11(f f f 9.已知函数)1(x f y 是定义域为R 的偶函数，且)(x f 在，1上单调递减，则不等式)2()12(xf x f 的解集为()。

姓 名:_______________________考生考号:___________________________2019年下学期高三第一次模拟考试试题数学(理科）时间：120分钟 试卷满分:150分第I 卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第n 卷(非选择题}两部分，其中第Ⅱ卷第22题〜第23题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(本题共12个小题，每题5分，共60分,四个选项中只有一个正确）1.设 P={x|x ＜4},Q={x|x 2＜4}，则（） A.P ⊆Q B.QP C.P ⊆C R Q D.Q ⊆C R P2.复数i mi21-2+=A+Bi(m 、A 、B ∈R)，且A+B=0，则m 的值是（ ） A.32- B.32C.2D.23.设样本数据x 1,x 2,…,x 10的均值和方差分别为1和4,若y i =x i +a (O 为非零常数，i= 1,2,…,10)，则y1,y2,…，y10的均值和方差分别为（ ）A.1+a,4B.l+a ，4+aC.1,4D.l,4+a4.公差不为零的等差数列{an}的前n 项为Sn,若a 4是a 3与a 7的等比中项,S 8=32,则S 10等于()A.18B.24C.60D.905.设F 1和F 2为双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1，F 2，(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（） A.y=±33x B.y=±3x C.y=±721x D.y=±321x 6.设a=log 23,b=34,c=log 34，则a,b ，c 的大小关系为（） A.b<a<c B.c<a<b C.a<b<c D.c<b<a7.圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是（ ）A.18B.62C.52D.428.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.38π B.3π C.310πD.6π9.(x +y +z)4的展开式共（ ）项 A.10 B.15 C.20 D.2110.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB =60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为（ ）A.(1+23)米 B.2米 C.(1+3)米 D.(2+3)米11.已知函数f(x)在R 上满足f(x)=2f(2-x)-x+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程是（ ）A.y=-2x+3B.y=xC.y=3x-2D.y=2x-112.已知椭圆的左焦点为F 1有一小球A 从F 1处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F 1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（ ） A.31 B.21-5 C.53 D.32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

2019届高三数学一模理科试题（附答案）2019届高三数学一模理科试题（附答案）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则A. B. C. D.2.已知是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设随机变量服从正态分布，若，则A. B. C. D.4.设，则是的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知两个不同的平面和两个不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若；②若；③若；④若.其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.36.要得到函数的图象，只需将函数的图象A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度7. 已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是A. B. C. D.8.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为A.360B.520C.600D.7209.设函数若，则关于的方程的解的个数为A.4B.3C.2D.110.已知向量的夹角为时取得最小值，当时，夹角的取值范围为A. B. C. D.第II卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分..11.若对任意的恒成立，则实数k的取值范围为_________.12.如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是_______.13.已知圆C过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为________________.]14.定义：，在区域内任取一点的概率为__________.15.已知恒成立，则实数m的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，且..(I)求的值；(II)若面积的最大值.17.(本小题满分12分)如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且(I)在棱AB上找一点Q，使QP//平面AMD，并给出证明；(II)求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值18.(本小题满分12分)某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响。

河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试-数学理试卷·2·河北省衡水中学2019～2019学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷（A 卷）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．设全集为实数集R ，{}{}24,13M x x N x x =>=<≤,则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．{}21x x -≤< B ．{}22x x -≤≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x <2．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a i a i +-为纯虚数”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3．若{}n a 是等差数列，首项10,a >201120120a a +>，201120120a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2019 B ．2019 C．4022 D ．4023·3··4··5·11.已知圆的方程422=+y x ，若抛物线过点A(0，－1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( ) A.x23＋y24＝1(y≠0) B.x24＋y23＝1(y≠0) C.x23＋y24＝1(x≠0) D.x24＋y23＝1 (x≠0) 12. 设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32xf x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =（ ） A.200722006+ B ．200622008+ C ．200722008+ D ．200822006+第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13.在区间[－6，6]，内任取一个元素xO ，若抛物线y=x2在x=xo 处的切线的倾角为α，则3,44ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的概率为 。

2019届高三第一次模拟考试理科数学卷试题（时间120分钟，满分150分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）．1．已知集合{}220A x x x =+≤,){}10B x =+>,则=⋂B A ( )A ．∅B ．()1,0-C ．(]1,0-D ．(]1,2-2．欧拉（Leonhard Euler,国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，表示的复数54i e π-在复平面内位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限3．已知△ABC 中，点D 为BC 中点，若向量()()1,2,2,3AB AC ==，则AD DC ⋅=( )A ．2B ．4C ．2-D ．4-4．若直线0bx ay -=()0,0a b >>的倾斜角为60，则双曲线22221x y a b-=的离心率为( )A ．2B D ．2 5．若[],2,2x y ∈-,则224x y +≤的概率为 ( )A ．14 B.12 C ．π8 D.π46．若函数ππ()sin()(0,0,,)22f x A x A x =+>>-<<∈R ωϕωϕ的部分图象如图所示,则π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭=( )A ．1 B.1- C D.7．如图所示,棱长为1的正方形网格中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱长的和为( )A ．12B ．C ．．8．若01a b <<<,则1,,log ,log ba b aa b a b 的大小关系为( )A ．1log log ba b aab a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>>C ．1log log ba b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>>9．如图所示，若程序框图输出的所有实数对(x ,y )所对应的点都在函数()bf x ax c x=++的图象上，则实数,,a b c 的值依次为( ) A ．1,2,2- B ．2,3-,2 C ．59,3,22- D ．311,,22-10．已知直线()0y t t =≠与曲线()220y p x p =>交于N M ,两点，若x 轴上存在关于原点对称的两点B A ,(A M ,均在y 轴右侧)，使得MN NB MA -+恒为定值2，则p =( )A ．1B ．2C ．3D ．411．在三棱锥A BCD -中，1,AB AC ==2DB DC ==，AD BC ==，则三棱锥A BCD -的外接球表面积为( ) A ．π B ．7π4C ．4πD ．7π 12. 定义在R 上的函数()f x ，当[]0,2x ∈时，()()411fx x =--，且对任意实数()122,22,2n n x n N n +*⎡⎤∈--∈≥⎣⎦，都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，则a 的取值范围是( ) A. []2,10B. C. ()2,10 D.[)2,10二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分) 13．若()()2ln 1e4xa f x x =+-是偶函数，则数据3，6，8，a 的中位数是 . 14．成书于公元前1世纪左右的中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用现代数学符号表示就是222abc +=，可见当时就已经知道勾股定理.如果正整数,,a b c 满足222a b c +=，我们就把正整数,,a b c 叫做勾股数，下面给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，这几组勾股数有如下规律：第一个数是奇数m ,且第二个、第三个数都可以用含m 的代数式来表示，依此规律,当13m =时，得到的一组勾股数是 ．15．已知不等式组1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ,若存在()00,x y D ∈，使得()0011y k x +=+，则实数k 的取值范围是 .16．四边形ABCD 中22AD AB ==,CB CD ⊥，BC CD +≥，则四边形ABCD面积的取值范围为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答） (一)必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知()12112n n n S na n a a a -=+-+++.(1)若{}n a 是等差数列,且15S =,218S =,求n a ； (2)若{}n a 是等比数列,且123,15S S ==,求n S .18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱-'''ABC ABC ，=90BAC ∠︒，=='AB AC AA λ，点,M N 分别为'AB 和''BC的中点. （Ⅰ）证明：//''MN AACC平面； （Ⅱ）若二面角'--A MN C 为直二面角，求λ的值.19． （本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，将频率视为概率. （Ⅰ）确定,x y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.20．(本题满分12分) 已知圆2220x y x +-=关于椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的一个焦点对称，且经过椭圆的一个顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：1y kx =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，已知O 为坐标原点，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点P 在椭圆C 上，求k 的值及平行四边形OAPB 的面积.21．（本小题满分12分）已知函数()()22ln f x x a x a x =-++,其中常数0a >．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知1a =,()f x 在()0x t t =>处的切线为()y g x =,求证：当()0x t t ⎛-> ⎝⎭时,()()()0x t f x g x -->⎡⎤⎣⎦恒成立. (二)选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为222cos24sin 3ρθρθ+=. (1)求出直线l 的普通方程及曲线1C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点，点C 是曲线1C 上与A ，B 不重合的一点，求∆ABC 面积的最大值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|3||2|f x x x =-++．(Ⅰ)若不等式()|1|f x m ≥+恒成立，求实数m 的最大值M ； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若正数,,a b c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+≥++．2019年度莆田六中高三第一次模拟考文科数学试卷班级： 姓名： 座号：第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,3,9,27A =，{}3log ,B y y x x A ==∈，则AB = ( )A ．{}13，B ．{}139，，C ．{}3927，，D ．{}13927，，， 2. 已知复数z 满足2zi i =--（i 为虚数单位），则z = ( ) AB ．．2 D3. 已知等差数列{}n a 的首项1a 和公差d 均不为零，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则15923+++a a a a a = ( ) A ．6 B ． 5 C ． 4 D ．3 4. 折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如右上图所示的几何图形，其中四边形ABCD 为正方形，G 为线段BC 的中点， 四边形AEFG 与四边形DGHI 也为正方形，连接EB 、CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点， 则该点落在阴影部分的概率为 ( ) A ．112 B ． 18C ．16D ．524 5. 已知直线m ⊥平面α，则“直线n m ⊥”是“n α∥”的 ( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 6. 已知圆C ：223x y +=，点(0,A -，(,B a ．从点A 观察点B ，要使视线不被圆C 挡住，则 实数a 的取值范围为 ( ) A．(,(23,)-∞-+∞ B ．(,4)(4,)-∞-+∞ C ． (,2)(2,)-∞-+∞ D ．(4,4)-7.将函数()2cos f x x x =-的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，所得图象对应的函数为 偶函数，则ϕ的最小值为 ( ) A ．6π B ． 3π C ．23π D ．56π 8. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于( )A ．13 B ．23 C ．12 D ．349.定义123nnp p p p ++++为n 个正数123,,,,n p p p p 的“均倒数”．若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12233410111111b b bbb b b b ++++=( )A ．111B ．109C ．1110 D ．1211 10.已知向量a ，b 满足+3a b =，2a b -=，则+a b 的取值范围是 ( ) A ．[2,3] B ．[3,4] C． D． 11.已知MOD 函数是一个求余函数，记(,)MOD m n 表示m 除以 n 的余数，例如(8,3)2MOD =．右图是某个算法的程序框图，若输入m 的值为56，则输出的值为 ( ) A ．6 B ． 7 C ．8 D ．9 12.已知2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则关于x 的方程(())f f x t =，给出下列五个命题：①存在实数t ，使得该方程没有实根； ②存在实数t ，使得该方程恰有1个实根；③存在实数t ，使得该方程恰有2个不同实根； ④存在实数t ，使得该方程恰有3个不同实根； ⑤存在实数t ，使得该方程恰有4个不同实根．其中正确的命题的个数是 ( ) A ．4 B ． 3 C ．2 D ．1 二、填空题（本题共 4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设0.63.152,0.5,sin6a b c π-===，则a ，b ，c 的大小关系是________(用“<”连接) 14.若变量x 、y 满足约束条件2020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为 ；15.设1F 、2F 分别是双曲线()222210,0 x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=，12PF F ∆的面积为9，且7a b +=，则该双曲线的离心率为 ；16.已知函数11()3sin()22f x x x =+-+，则12()()20192019f f +2018()2019f +⋅⋅⋅+= ； 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题：共60分.17. (本小题满分12分)已知函数23())sin()cos 12f x x x x π-+-+． (Ⅰ)求函数() f x 的递增区间；(Ⅱ)若ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，角A 的平分线 交BC 于D ，3()2f A =，2AD =，求cos C ．18. (本小题满分12分)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为950元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表（其中浮动比率是在基准保费上上下浮动）：该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：(Ⅰ)求这60辆车普通6座以下私家车在第四年续保时保费的平均值（精确到0.1元）(Ⅱ)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致．试完成下列问题：①若该销售商店内有六辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在该店内随机挑选3辆车，求这3辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆车（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值．19. (本小题满分12分)如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，4PA AB BC ===，90ABC ∠=，PC =，D 为线段AC 的中点，E 是线段PC上一动点． （1）当DE AC ⊥时，求证：PA ∥面DEB ； （2）当BDE ∆的面积最小时，求三棱锥E BCD -的体积．20. (本小题满分12分)已知一定点(0,1)F ，及一定直线l ：1y =-，以动点M 为圆心的圆M 过点F ，且与直线l 相切． (Ⅰ)求动点M 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)设P 在直线l 上，直线PA ，PB 分别与曲线C 相切于A ，B ，N 为线段AB 的中点．求证： 2AB NP =，且直线AB 恒过定点．21. (本小题满分12分) 已知函数()sin cos f x x x x =+.(Ⅰ)若(0,2)x π∈，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)若0x >，记i x 为()f x 的从小到大的第i （i N *∈）个极值点，证明：222223411111+9n x x x x +++<（2n n N *≥∈，）．(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4—4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分) 已知直线l的参数方程为1x ty =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为24cos sin 4ρρθθ=+-．(Ⅰ) 求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ) 设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求OA OB ⋅的值．23.选修4-5：不等式选讲 (本小题满分10分)设函数()1f x x x a =++-．(Ⅰ)当2a =时，求不等式()5f x >的解集；(Ⅱ)对任意实数x ，都有()3f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．2019年度莆田六中高三第一次模拟考文科数学试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A 【解析】：∵1,3,9,27A =，{3log ,0,1,2,3B y x x A ==∈=，则1,3A B =，故应选A ．2. D 【解析】：∵2zi i =--，∴12z i =-+，∴z =D ．3. D 【解析】：∵2a，4a ，8a 成等比数列，∴2428aa a =，∴2111(3)()(7)a d a d a d +=++，∴21d a d=，又0d ≠，10a ≠，∴1d a =，∴11(1)0n a a nd na =+-=≠，∴1591112311+++5+93+2+3a a a a a a a a a a ==，故应选D ． 4. C 【解析】：设2AB =，则1BG =，AG AEFGHID 的面积1222122S +⨯⨯=，∵sin cos AB EAB GAB AG ∠=∠=11sin 2222S AE AB EAB =⨯⨯⨯∠==阴影部分，故所求概率为21126P ==．故应选C ． 5. B 【解析】： 由m ⊥α，n m ⊥推不出n α∥（可能n α⊂），由m ⊥α，n α∥能推出n m ⊥； 6. B 【解析】：点B在直线y =(0,A -作圆的切线，设该切线的斜率为k ，则该切线的方程为y kx =-0kx y --k =∴该切线的方程为y =-，它和直线y =(4,2)-、(4,2)．故要使视线不被圆C 挡住，则实数a 的取值范围为(,4)(4,)-∞-+∞，故应选B ．（或作出图形，利用平几法，求相关线段） 7. C 【解析】：∵()2cos 4cos()3f x x x x π=-=+向左平移ϕ（0ϕ>）单位后得到函数()g x =4cos()3x πϕ++，又()g x 为偶函数，故3k πϕπ+=，k Z ∈，故3k πϕπ=-+，k Z ∈，故min 23πϕ=，故应选C ． 8. A 【解析】：抠点法:在长方体1111ABCD A B C D -中抠点，①由正视图可知：11C D 上没有点； ②由侧视图可知：11B C 上没有点； ③由俯视图可知：1CC 上没有点； ④由正（俯）视图可知：,D E 处有点，由虚线可知,B F 处有点，A 点排除．由上述可还原出 四棱锥1A BEDF -，如右上图所示，∴111BEDF S =⨯=，∴1111133A BEDF V -=⨯⨯=．故选A .9. C 【解析】：依题意得：121n n S n =+，∴22n S n n =+，故可得41n a n =-，∴14n n a b n +==，11111(1)1n n b b n n n n +==-++，再由裂项求和法，可得1223341011111111011111b b b b b b b b ++++=-=，故应选C ． 10. D 【解析】：∵+3a b =，2a b -=，∴2(+)9a b =，2()4a b -=，∴22(+)()13a b a b +-=， ∴2213+2a b =，∴2213+2a b =，∴2213+22a b a b =≥，（当且仅当13a b ==时，等号成立），∴2222(+)13()a b a b =≥+，∴13a b +≤，又a b a b +≥±，∴3a b +≥，故应选D ． 11. B 【解析】：此框图的功能是求56大于1的约数的个数，其约数有2，4，7，8，14，28，56，共有7个，故应选B ．12. B 【解析】：设()m f x =，则()f m t =，先作出2,0(),0m m f m m m ⎧≥=⎨-<⎩的图象，及直线y t =，结合图象可以看出：①当0t <时，m 不存在，从而x 不存在；②当0t =时，0m =，则0x =，原方程有唯一根； ③当01t <<时，则存在唯一负数m 与之对应，再作出2,0()0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，的图象，及直线y m =，结合图象，可以看出：x 不存在；④当1t ≥时，则存在一个负数1m 或一个非负数2m 与之对应，再作出2,0()0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，的图象，及直线i y m =（1,2i =），结合图象，可以看出：⑴对于负数1m ，没有x 与之对应，⑵当21m ≥时，则有两个不同的x 与之对应，⑶当201m <<时，则有唯一的x 与之对应，综上所述：原方程的根的情况有：无实根，恰有1实根，恰有2实根，从而可得①、②、③正确．故应选B ．二、填空题：（本题共 4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. b c a << 【解析】∵0.6 3.1 3.1152,0.52,sin26a b c π---=====， 3.110.6-<-<-，∴b c a <<； 14.3 【解析】：画出可行域后可得最优解为(1,1)P -，故max 3z =； 15.54【解析】：由1212222121824PF PF PF PF a PF PF c ⎧⋅=⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎩得：29b =，故3b =，又7a b +=，∴4a =，∴5c =，∴54e =； 16.2018 【解析】：∵11()3sin()22f x x x =+-+，∴1111(1)13sin()13sin()2222f x x x x x -=-+-+=---+， ∴()(1)2f x f x +-=，又设1232018()()()()2019201920192019S f f f f =+++⋅⋅⋅+，则20183()()20192019S f f =+⋅⋅⋅+ 21()()20192019f f ++，∴1201822017320162[()()][()()][()()]201920192019201920192019S f f f f f f =++++++⋅⋅⋅ 20181[()()]22222201820192019f f++=++++=⨯，∴2018S =．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题：共60分. 17. (本小题满分12分) 解：(Ⅰ)∵23())sin()cos 12f x x x x π=-+-+=21cos2cos sin 22x x x x x -⋅+=+ 1sin(2)62x π=-+，………3分，令222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，∴63k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，∴函数() f x 的递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈，………6分；(Ⅱ) ∵3()2f A =，∴13sin(2)622A π-+=，∴sin(2)16A π-=，又0A π<<，∴112666A πππ-<-<， ∴262A ππ-=，∴3A π=，又AD 平分BAC∠，∴6BAD π∠=，……8分；又2AD ==，又由正弦定理得：sin sin BD ADBAD B =∠2sin sin 6B =，∴sin B =，又203Bπ<<，∴=4B π；……10分 ∴()34C πππ=-+，∴1cos cos()()34222C ππ=-+=-=．……12分18. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)这60辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高的平均值为105520155119(0.9+0.8+0.7+1+ 1.1+ 1.3)950950942.1606060606060120⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯≈元；…5分 (Ⅱ) ①由统计数据可知，该销售商店内的6辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车，设为a ，b ，4辆非事故车，设为1，2，3，4．从这6辆车中随机挑选3辆车的情况有(,,1)a b ，(,,2)a b ，(,,3)a b ，(,,4)a b ，(,1,2)a ，(,1,3)a ，(,1,4)a ，(,2,3)a ，(,2,4)a ，(,3,4)a ，(,1,2)b ，(,1,3)b ， (,1,4)b ，(,2,3)b ，(,2,4)b ，(,3,4)b ，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20种情况．…6分其中3辆车中恰好有一辆为事故车的情况有：(,1,2)a ，(,1,3)a ，(,1,4)a ，(,2,3)a ，(,2,4)a ，(,3,4)a ， (,1,2)b ，(,1,3)b ，(,1,4)b ，(,2,3)b ，(,2,4)b ，(,3,4)b ，共12种．…7分，故该顾客在店内随机挑选3辆车，这3辆车中恰好有一辆事故车的概率为123=205.…9分， ②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆， 非事故车80辆，所以一辆车盈利的平均值为1[(5000)401000080]5000120-⨯+⨯=(元)．…12分 19. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)在直角ABC ∆中，90ABC ∠=，4AB BC ==，∴AC =又∵ 在PAC ∆中，4PA =，AC =PC =222PC PA AC =+，∴PA AC ⊥…3分，又D E AC ⊥，∴PA DE ∥，又PA ⊄面DEB ，DE ⊂ 面DEB ，∴PA ∥面DEB …6分 (Ⅱ)∵PA AC ⊥，PA AB ⊥，ABAC A =，∴PA ⊥面ABC ，又DB ⊂面ABC ，∴PA DB ⊥，又∵AB BC =，AD DC =，∴DB AC ⊥，又PA AC A =，∴DB ⊥面PAC ，又DE ⊂面PAC ，∴DB DE ⊥，…9分，又12DB AC ==DE 最小时，BDE ∆的面积最小，又当DE PC ⊥时，DE最小，故此时1sin23PA DE DC PCA AC PC ==⨯==，∴cos ACEC DC PCAPC =⨯=3==，∴11223DEC S DE EC ∆=⨯==，又DB ⊥面PAC ，∴1116339E BCD B CDE CDE V V S BD --∆==⨯== ……12分．20. (本小题满分12分)解：(Ⅰ) ∵圆M 过点F ，且与直线l 相切，∴点M 到点F 的距离等于点M 到直线l 的距离，∴点M 的轨迹是以(0,1)F 为焦点，以直线l ：1y =-为准线的一抛物线，∴12p=即2p =， ∴动点M 的轨迹C 的方程为24x y =；…4分(Ⅱ)依题意可设0(,1)P x -，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，…5分，又24x y =，∴214y x =，∴12y x '=，∴切线PA 的斜率1112k x =，∴切线PA ：211111()42y x x x x -=-，即211240x x y x --=，…6分， 同理可得： 切线PB 的斜率2212k x =，PB ：222240x x y x --=，…7分，又0(,1)P x -，∴21012+40x x x -=且22022+40x x x -=，故方程202+40x x x -=即20240x x x --=有两根1x ，2x ，∴124x x =-，…8分， ∴1212121111224k k x x x x =⨯==-，∴PA PB ⊥，…9分，又N 为线段AB 的中点，∴2AB NP =…10分， 又由21012+40x x x -=得：21101+1024x x x -=，即1011+102x x y -=，同理可得：2021+102x x y -=，故直线AB 的方程为01+102x x y -=…11分，故直线AB 恒过定点(0,1)F ．…12分．21. (本小题满分12分)解：(Ⅰ) ∵()sin cos f x x x x =+，02x π<<，∴()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，02x π<<…1分 令()0f x '=，则2x π=或32x π=，…2分，∴当02x π<<或322x ππ<<时，()0f x '>，当322x ππ<<时， ()0f x '<，∴()f x 在(0,)2π上递增，在3(,)22ππ上递减，()f x 在3(,2)2ππ上递增，∴当2x π=时，()f x取得极大值，()()22f x f ππ==极大值，当32x π=时，()f x 取得极小值，33()()22f x f ππ==-极小值；…5分(Ⅱ)∵i x 为()f x 的从小到大的第i （i N *∈）个极值点，又令()0f x '=，0x >，则(21)2i i x π-=， i N *∈，…6分，∴222221441(21)(21)1i x i i ππ=<⨯---2222(22)i i π=⨯-2111()1i iπ=⨯--，2i ≥，i N *∈，…9分， ∴22222341111+n x x x x +++22111111111111[()()()()]()12233411n n n ππ<-+-+-++-=⨯--2119π<<．…12分． 22. (本小题满分10分)解：(Ⅰ)∵直线l的参数方程为1x t y =+⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），∴直线l 的普通方程为1)y x =-，即y ，∴直线l 的极坐标方程：=3πθ…2分；又∵曲线C的极坐标方程为24cos sin 4ρρθθ=+-，cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴2244x y x +=+-，即22(2)(3x y -+=，∴曲线C 的直角坐标方程为22(2)(3x y -+=，…5分；(Ⅱ)∵将直线l ：=3πθ代入曲线C的极坐标方程：24cos sin 4ρρθθ=+-得：2540ρρ-+=，…7分；设直线l 与曲线C 的两交点,A B 的极坐标分别为11(,)A ρθ，22(,)B ρθ，∴124ρρ=，…8分； ∴12124OA OB ρρρρ⋅=⋅==的值．…10分．23．解：(Ⅰ)∵()1f x x x a =++-，∴当2a =时，21,1()123,1221,2x x f x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪->⎩，…2分；又()5f x >，∴1215x x <-⎧⎨-+>⎩或1235x -≤≤⎧⎨>⎩或2215x x >⎧⎨->⎩，…3分；∴12x x <-⎧⎨<-⎩或x ∈∅或23x x >⎧⎨>⎩，∴2x <-或3x >，…4分；∴()5f x >的解集为(,2)(3,)-∞-+∞；…5分；(Ⅱ) ∵()11f x x x a a =++-≥+（当且仅当(1)()0x x a +-≤时，等号成立），…6分；∴min ()1f x a =+…7分；又对任意实数x ，都有()3f x ≥恒成立，∴min ()3f x ≥，…8分；∴13a +≥，∴13a +≥或13a +≤-，∴2a ≥或4a ≤-．…9分；故实数a 的取值范围为2a ≥或4a ≤-．…10分．。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1、已知i 是虚数单位，则复数11i i +⎛⎫⎪-⎝⎭的值为A ．i B. i - C . 1 D ．1- 2、已知全集为R ，集合M={}32x x -<,集合N={}ln(2)0x x ->,则MN =A ．（3,5） B. [3,5） C.（1,3） D.(1,3 ]3、已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(2)9x y -+=相切，则p 的值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．54、如图，若依次输入的x 分别为5π6、π6，相应输出的y 分别为y 1、y 2，则y 1、y 2的大小关系是 A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．无法确定5、下列四个选项中错误的是A ．命题“若1,x ≠则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320,x x -+=则1x =”.B ．若p q ∧为真命题，则p q ∨为真命题.C ．若命题2:,10,p x R x x ∀∈++≠则2:,10p x R x x ⌝∃∈++=.D ．“2x >”是“2320x x -+>”成立的必要不充分条件.6、已知1sin cos ,(0,)2αααπ+=∈，则1tan 1tan αα-=+B. 7、设211e a dx x =⎰，则二项式25()ax x-的展开式中x 的系数为 A. 40 B. -40 C. 80 D. -80 8、某几何体的三视图如图示，则此几何体的体积是 A ．20π3B ．6πC ．10π3 D ．16π39、函数()2cos()(0)3f x x πωω=+>的图像与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()2sin g x x ω=的图像，只需将函数()f x 的图像A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向右平移512π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度 10、从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则a <b 的概率为A.45B.35C.25D.1511、在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c S 表示ABC ∆的面积，若cos cos sin a B b A c C +=，2221()4S b c a =+-，则B =A ．30B ．45C ．60D ．9012、定义在(-1,1)上的函数2016321)(201632x x x x x f --+-+= ，设)4()(+=x f x F ,且)(x F 的零点均在区间(a ,b )内，其中a ,b ∈z ，a <b ，则圆x 2+y 2=b -a 的面积的最小值为 A ．πB ．2πC ．3πD ．4π第Ⅱ卷（非选择题 90分）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题（每小题5分，共20分）13、以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴且焦点在x 轴上的双曲线C 的一条渐近线倾斜角为3π，则双曲线C 的离心率为 ． 14、设变量x ，y 满足36020,3x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则变量1y z x =+的最大值为 ．15、《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）。

惠州市2019届高三第一次模拟考试数学试题(理科）答案与评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

）1．【解析】由题意可知，(,2)(2,),(1,3),(2,3)M N M N =-∞-⋃+∞=⋂=(]()1,2N C M N ⋂=。

2．【解析】22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-，则||z = 3．【解析】命题甲：“E ，F ，G ，H 四点不共面”等价于“EF 和GH 两直线异面”， 命题乙：“直线EF 和GH 不相交” 等价于“EF 和GH 两直线平行或异面”，所以甲是乙的充分必要条件。

4．【解析】xa y -=等价于1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11a >，log ,(01)a y x a =<<故选C 。

5．【解析】由向量加法的平行四边形法则，2BC BA BP +=可得P 为线段AC 中点，故PA 与PC 等大反向，0PA PC +=。

6．【解析】由框图可知，n 为统计低于60分的人数，故n=6.7．【解析】双曲线的一条渐近线方程为b y x a =，联立21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得：20ax bx a -+=， 2240b a =-=再由222c a b =+得2225c e a==，故选D 。

8．【解析】直线由下往上移动时，从相离到相切，S 恒为0；从相切到直线过圆心时，S 递增，且增长速度越来越快；从过圆心到相切时，S 仍然递增，但增长速度越来越慢；最后相离，S 恒为一大于零的定值，故选C 。

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题： 9．【解析】6148,343m m =≠⇒=-直线6140x my ++=可化为3470x y ++=，两平行线之间的距离是2d ==。

10．【解析】△ABC 中，由::1:2:3A B C =，知30,60,90.A B C ===由正弦定理，1::sin :sin :sin 22a b c A B C ===。

22222a 2019 届高考模拟联考试题数学（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 .1. 若复数 z 满足 z(1 i ) 1 i （ i 是虚数单位） ，则 z 的共轭复数 z （）A ． iB ．2iC． iD ．2i2. 已知全集 UR ，设函数 y lg( x 1) 的定义域为集合 A ，函数 yx2x 10 的值域为集合 B ，则A (C U B) （）A ． [1,3]B． [1,3)C． (1,3]D． (1,3)3. 已知等比数列{ a n } 为递增数列，且 5a 10 ， 2(a n a n 2 ) 5a n 1 ，则 a 5（ ）A ． 16B． 32C． 49D． 814. 点 P(4, 2) 与圆 x y4 上任一点连线的中点轨迹方程是（）A ． ( x2)( y 1)1 B ． ( x 2)( y 1)4C ． ( x4)2( y 2)24D． ( x2)2( y 1)215. 一生产过程有 4 道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排 1 人，则不同的安排方案共有（ ） A ． 24 种B． 36 种C． 48 种D． 72 种6. 如图，圆周上按顺时针方向标有1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 五个点 . 一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一 点 .若它停在奇数点上， 则下一次只能跳一个点； 若停在偶数点上， 则下一次跳两个点 . 该青蛙从 5 这点跳起，经 2018 次跳后它将停在的点是（）2222aA ． 1B． 2C． 3D． 4x y 3 07. 若直线 y2 x 上存在点 ( x, y) 满足约束条件x 2 y 3 0 ，则实数 m的最大值为（ ）A ． 2B． 32x mC． 1D． 18. 如程序框图所示，其作用是输入 x 的值，输出相应的 y 的值 . 若要使输入的 x 的值与输出的 y 的值相等，则这样的x 的值有（）A ． 1个B． 2 个C． 3 个D． 4 个9. 半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱 . 当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是（）A ． 2 R25 2B ．R2C． 3 R27 2D ．R210. 若从数字 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 中任取三个不同的数作为二次函数y axbx c 的系数，则与 x 轴有公共点的二次函数的概率是（）1 1 A ． B．52 13 17 C．D ．5050x2 y211. 过双曲线 222E22 1(a ab0,b 0) 的左焦点 F ( c,0)( c 0) ，作圆 xy的切线，切点为 ，4延长 FE 交双曲线右支于点P ，若 OE1(OF OP ) ，则双曲线的离心率为（ ）2A ．10B ．105C．10 2D．212. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S(t )( S(0) 0) ，则导函数 y S'(t ) 的图象大致为（）3A． B ． C ． D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13. 在 ABC 中， M 是线段 BC 的中点， AM3 ， BC 10 ，则 AB AC．14. 若 ( x21 )n展开式的各项系数之和为 32 ，则其展开式中的常数项是．x15. 若数列 { a n }是正项数列， 且a 1a 2a nn23n(n N*a aa) ，则 12n．23n 116. 对于实数a 和b ，定义运算“ * ”： a b2a ab a ,b. 设 f ( x) (2 x1) ( x1)，且关于x 的方程b2ab, a bf ( x) m(m R) 恰有三个互不相等的实数根x 1 ， x 2 ， x 3 ，则 x 1x 2 x 3 的取值范围是．三、解答题（本大题共 5 小题，满分 60 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. 在锐角ABC 中， a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 所对的边，且 3a 2csin A .（ 1）确定角 C 的大小；（ 2）若 c7 ，且 ABC 的面积为3 3 ，求 a b 的值 .218. 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量 落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立 .（ 1）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于100 个且另一天的日销售量低于 50 个的频率；（2）用X 表示在未来 3 天里日销售量不低于100 个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E( X ) 及方差D( X ) .19. 三棱锥 A BCD 及其侧视图、俯视图如图所示. 设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN NP .（1）证明：P 为线段BC 的中点；（2）求二面角 A NP M 的余弦值.20. 如下图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2 2x y2 21(a ba b0) 的左、右焦点分别为F1 ( c,0) ，F2 (c,0) ，已知点(1,e) 和(e,3) 都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率. 2（1）求椭圆的方程；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF1 与直线BF2 平行，AF2 与BF1 交于点P ，（i ）若AF1BF26，求直线2AF1 的斜率；（ii ）求证：PF1PF2是定值.21. 已知函数 f ( x) ln1 ax axx1(a R) .（1）当a 1时，讨论22f ( x) 的单调性；1（2）设g( x) x 2bx 4 . 当a 时，若对任意4x1 (0,2) ，存在x2 [1,2] ，使 f (x1) g(x2 ) ，求实数b 的取值范围.请考生在22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22. 选修4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线C1 的参数方程为x acosy bsin（a b 0 ，为参数），在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 是圆心在极轴上，且经过极点的圆. 已知曲线C1 上的点3M (1, )2对应的参数，射线3与曲线3C2 交于点D (1, ) .3（1）求曲线C1，C2 的方程；（2）若点A(1, ) ，B( 2 , ) 在曲线21 1C1 上，求2 21 2的值.23. 选修4-5 ：不等式选讲已知函数 f ( x) 2x a a .（1）若不等式 f ( x) 6 的解集为x | 2 x 3 ，求实数 a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使f (n) m f ( n) 成立，求实数m 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: CDBAB 6-10: BCCAD 11 、12：CA二、填空题13. 16 14. 10 15. 22 n 6 n16.1 3 ( ,0)16三、解答题17. 解：（1）由3a2csin A 及正弦定理得，a2sin A sin A.c 3 sin C∵ sin A 0 ，∴ sin C3 ，∵ ABC 是锐角三角形，∴ C.23（ 2）解法 1：∵ c7 ， C. 由面积公式得 1ab sin 3 3 ，即ab6 . ①3 2 32由余弦定理得 a 2b22ab cos7 ，即 a2b 23ab 7 . ②由②变形得(a b)23ab 7. ③将①代入③得( a b) 25 ，故 a b 5 .解法 2：前同解法 1，联立①、②得22abab 722ab13.ab 6ab 6消去 b 并整理得 a4213a36 0 ，解得 22a 2 a 3 a4 或 a9 . 所以或.b 3b 2故 a b 5 .18. （ 1）记 A 1 表示事件“日销量量不低于100 个”， A 2 表示事件“日销售量低于50 个”， B 表示事件“未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于100 个且另一天的日销售量低于50 个”，因此结合日销售量的频率分布直方图得p( A 1 ) (0.006 0.004 0.002) 50 0.6 ； p( A 2 ) 0.003 50 0.15 ；p( B) 0.6 0.6 0.15 2 0.108 .（ 2） X 的可能取值为 0 ， 1， 2 ， 3 ，相应的概率为0 31 2p( X 0 ) C 3 (1 0.6)0.064 ， p( X 1 ) C 3 0.6(1 0.6)0.288，2 213 3p( X 2 ) C 3 0.6 (1 0.6)0.432， p( X 3 ) C 3 0.60.216 .所以 X 的分布列为X123P0.0640.2880.4320.216因为 XB(3,0.6) ，所以随机变量 X 的期望 E( X ) 3 0.6 1.8 ，方差 D ( X ) 3 0.6 (1 0.6)0.72 .19. 【解析】（ 1）如图，取 BD 中点 O ，连接 AO ， CO .由侧视图及俯视图知，ABD ， BCD 为正三角形，2因此AO BD ，OC BD .因为AO, OC 平面AOC ，且AO OC O ，所以BD 平面AOC .又因为AC 平面AOC ，所以BD AC .取BO 的中点H ，连接NH ，PH .又M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，所以NH / / AO ，MN / / BD .因为AO BD ，所以NH BD .因为MN NP ，所以NP BD .因为NH , NP 平面NHP ，且NH NP N ，所以BD 平面NHP .又因为HP 平面NHP ，所以BD HP .又OC BD ，HP 平面BCD ，OC 平面BCD ，所以HP / / OC .因为H 为BO 中点，故P 为BC 中点.（2）解法一：如图，作NQ AC 于Q ，连接MQ .由（1）知，NP / / AC ，所以NQ NP .因为MN NP ，所以MNQ 为二面角 A NP M 的一个平面角.由（1）知，ABD ，BCD 为边长为 2 的正三角形，所以AO OC 3 .由俯视图可知，AO 平面BCD .因为OC 平面BCD ，所以AO OC ，因此在等腰Rt AOC 中，AC 6 ，作BR AC 于R .在ABC 中，AB BC ，所以BR AB2( AC) 2 10 .2 2因为在平面ABC 内，NQ AC ，BR AC ，所以NQ / / BR .又因为N 为AB 的中点，所以Q 为AR 的中点，因此NQ BR 10.2 4同理，可得MQ 10. 4所以在等腰MNQ 中，cosMN BDMNQ 2 410.NQ NQ 5故二面角 A NP M 的余弦值是10. 5解法二：由俯视图及（1）可知，AO 平面BCD .因为OC ,OB 平面BCD ，所以AO OC ，AO OB .又OC OB ，所以直线OA ，OB ，OC 两两垂直.如图，以O 为坐标原点，以OB ，OC ，OA的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz .则A(0,0, 3) ，B(1,0,0) ，C(0, 3,0) ，D( 1,0,0) .因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，又由（1）知，P 为线段BC 的中点，所以M (1,0,3 1) ，N ( ,0,3 1) ，P( ,3,0) .2 2 2 2 2 2于是AB(1,0, 3) ，BC ( 1, 3,0) ，MN (1,0,0) ，NP (0,3,3) .2 22 2设平面 ABC 的一个法向量n 1 n 1 A B ( x 1 , y 1 , z 1 ) ，则n 1 A B ，即( x ,1 y,1 z 1)(1,0 3) 0 ，有，x 1 3z 1 0从而.x 13 y 1 0n 1 B Cn 1 B C( x 1, y,1 z 1)( 1, 3,0) 0取 z 11，则 x 1 3 ， y 1 1 ，所以 n 1 ( 3,1,1) .连接 MP ，设平面 MNP 的一个法向量n 2 n 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，则n 2MN n 2 MN 0，即，有NPn 2 NP 0( x 2 , y 2 , z 2 ) (1,0,0) 0 x 2 0，从而.( x , y , z ) (0, 3 ,3 ) 0 3y 3 z2 2 2取 z 21 ，所以 n 2(0,1,1) .设二面角 A NP M 的大小为，n 1 n 2 则 cosn 1 n 2( 3,1,1) (0,1,1)10 .52 5故二面角 A NP M 的余弦值是10 .520. 解：（ 1）由题设知 a 2b2c 2， e2c 1 c. 由点 (1,e) 在椭圆上，得1 .aa2a 2b2解得 b21 ，于是 c2a21 ，又点(e,2 3 ) 在椭圆上，所以 e 31.2 a 24b 22 2 222 y 2222a1 3即41 ，解得 a 4a22 . 因此，所求椭圆的方程是2 x2y1.2（ 2）由（ 1）知 F1( 1,0) ， F 2 (1,0)，又直线 AF 1 与 BF 2 平行，所以可设直线 AF 1 的方程为 x 1 my ，直线 BF 2 的方程为 x 1my . 设 A(x 1, y 1 ) ， B(x 2 , y 2 )，y 10 ，x 1y 20 ，由 211 得 x 1 1 my 122m 2m22(m2) y 1 2my 1 1 0 ，解得 y 12.m 222故2 2222( m 1) m m1AF 1 ( x 1 1)y 1(my 1)y 1①m222BF 2( m 1) m m1同理，②2m22AF BF2m m 16 解得 m22 .（ i ）由①②得12m222因为 m 0 ，故 m2 ，所以直线 1 2 AF 1 的斜率为.m2（ ii ）因为直线PB AF 1 与 BF 2 平行，所以BF 2 ，于是PB PF 1BF 2AF 1，PF 1AF 1PF 1AF 1故 PFAF 1 BF . 由点 B 在椭圆上知 11 BF1 BF 22 2 .从而 PF 1AF 1 BF 2AF 1(2 2BF 2) . 同理PF 2BF 2(2 2AF 1 )，因此PF 1PF 2AF 1 AF 1 BF 2AF 1 BF 2 AF 1 BF 2(2 2 BF 2 )BF 2 (2 2 AF 1 ) 2 22 AF 1 BF 2 .AF 1 BF 2AF 1 BF 2又由①②知AF 12 2( m 2BF 22m 2 1) ，AF 1 m21 BF 22.m2所以 PF 1PF 2 2 2 2 3 2 22. 因此 PF 1 PF 2 是定值 .21. 解：（Ⅰ）因为 f (x) ln 1 a x ax1 .x所以f'( x) 1 a 1a22ax x 1 a2x (0, ) . x x x令h( x) ax2x 1 a ，x (0, ) .（1）当a 0 时，h(x) x 1 ，x (0, ) .所以，当x (0,1) 时，h( x) 0 ，此时 f '( x) 0 ，函数 f (x) 单调递减；当x (1, ) 时，h( x) 0 ，此时 f '(x) 0 ，函数 f ( x) 单调递增. （2）当a 0 时，由 f '( x) 0 .即ax2x 1 a 0 ，解得x11 1，x2 1 .a①当a 1时，x1 x2 ，h( x) 0 恒成立，2此时 f '( x) 0 ，函数 f ( x) 在(0, )上单调递减；②当01 1a 时，2 a1 1 0 .x (0,1) 时，h( x) 0 ，此时 f '(x) 0 ，函数 f ( x) 单调递减；x (1,1a1) 时，h( x) 0 ，此时 f '( x) 0 ，函数 f ( x) 单调递增；1x ( 1, ) 时，ah( x) 0 ，此时 f '(x) 0 ，函数 f ( x) 单调递减；③当a 0 时，由于11 0 ，ax (0,1) 时，h( x) 0 ，此时 f '(x) 0 ，函数 f ( x) 单调递减；x (1, ) 时，h( x) 0 ，此时 f '(x) 0 ，函数 f ( x) 单调递增. 综上所述：当a 0 时，函数 f ( x) 在(0,1) 上单调递减；函数 f ( x) 在(1, ) 上单调递增；当a 12时，函数 f (x) 在(0, ) 上单调递减；当0 a 1时，函数2f ( x) 在(0,1) 上单调递减；函数 f1( x) 在(1,a1) 上单调递增；2y R 函数 f ( x) 在 ( 1a1, ) 上单调递减 .（Ⅱ）因为 a 1(0, 1 ) ，由（Ⅰ）知，2 2 x 1 1， x 23 (0,2) ，当 x (0,1) 时，f '(x) 0 ，函数f (x) 单调递减，当 x(1,2) 时，f '( x) 0 ，函数 f ( x) 单调递增，所以f ( x) 在 (0, 2) 上最小值为 f (1)1.2由于“对任意x 1 (0,2) ，存在 x 2 [1,2] ，使 f ( x 1 ) g(x 2 ) ”等价于“ g(x) 在 [1,2] 上的最小值不大于f (x)在 (0, 2) 上的最小值1 2” (*)又 g( x )( x b) 4 b ， x [1,2] ，所以①当 b 1时，因为[ g( x)] ming(1) 5 2b 0 ，此时与 (*) 矛盾；②当 b [1,2] 时，因为2[ g( x)]min 4 b 0 ，同样与 (*) 矛盾；③当 b (2,) 时，因为 [ g( x)] ming(2) 8 4b ，解不等式 8 4b1 17 ，可得 b.28 综上， b 的取值范围是 17[ ,) .822. 解：（1）将M (1,3) 及对应的参数2，代入3x acos ，得 y bsin 1 a cos33 a 2 ，即 .b 1bsin 2 3所以曲线C 1 的方程为x 2cos 2x（ 为参数），或2y1.y sin4设圆 C 2 的半径为 R ，由题意，圆 C 2 的方程为2Rcos ，（或 ( x R) 222） .将点 D (1, ) 代入2R cos 3，得 1 2 R cos ，即 R 1 .3（或由 D (1, ) ，得 D (1 , 3 ) ，代入 2(x R)22y R ，得 1）， 3 2 222所以曲线C 2 的方程为2cos ，或 ( x 1)y1 .（ 2）因为点A( 1, ) ， B( 2 ,) 在曲线 2C 1 上 .2 R2222所以1cos 42 sin21 ，2sin 42 cos21 .所以1 1 222cos(sin2)2sin (cos2)5 .1244423. 解：（ 1）由2x a a 6 得 2x a 6 a ，∴ a 6 2 x a 6 a ，即 a 3 x 3 ，∴ a 32 ，∴ a 1 .（ 2）由（ 1）知f ( x ) 2x 1 1 ，令 (n)f (n) f ( n) .1 2 4 n , n2则(n) 2n 1 2n 1 2 1 1 4,n .22 1 2 4n, n2∴ (n) 的最小值为 4 ，故实数 m 的取值范围是 4,.12。

2019年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试理科数学答案 一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D B C C C A C A B D二、填空题13、23 14、15 15、3 16、①②④ 16. 设()ln g x x x =()1ln g x x '=+，得()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e +∞单调递增. 当01x <<时()0g x <，11()g e e =-，且0x +→，()0g x →；当1x =时，(1)0g =； 当1x >时，0)(>x g ，且x →+∞，+∞→)(x g ；函数有两个零点，得10a e-<<且12101x x e <<<<.由()ln g x x x =在1(0,)e 单调递减快，在1(,)e+∞单调递增慢，所以1212x x e +>（此处也可构造2()()()F x g x g x e=--进行证明，即用极值点偏移问题的对称构造法进行证明）.而12122120326x x x x x x ++--=>，即12122132x x x x e++>>，所以122()03x x f +'>,构造函数21()()()H x g x g e x =-（10)x e∈（，），则221()(1ln )(1)0H x x e x '=+->，函数()H x 在在1(0,)e 单调递增，1()0H e =，从而21()()g x g e x<，即1211()()g x g e x <21211()()()g x g x g e x =<，因为2111()e x e ∈+∞，21()x e ∈+∞，()g x 在1(,)e +∞单调递增，所以2211x e x <，即1221x x e⋅<，所以①③④正确，②错误三、解答题17、（1）解：()1)62(12cos 212sin 232cos 1232sin 212cos cos 2)32cos()(2--=--=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=--=ππx six x x x x x x x x f由226222πππππ+≤-≤-k x k 得， 单调递增区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,3,6ππππ ............4分 （2）由 ()sin(2)106f x A π=--=得，3π=A ,由正弦定理C c B b sin sin 231==得()222sin sin sin sin 2sin 3633b c B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,0πB ，所以(]2,16sin 2∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ，所以b+c 的范围是(]1,2 ............6分18．由椭圆定义可知,4414112221=++=+=AF AF a ,所以2=a ,因为3=c ，所以1=b ,椭圆C 的方程为:1422=+y x . ............4分 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y l y x :1422联立得 ()044841222=-+++m kmx x k ,()()()0444148222>-+-=∆m k km ，设()()2211,,,y x F y x E , 则,4144,4182221221km x x k km x x +-=⋅+-=+ 所以()()()0418414411222222212122121=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+=++++=+=⋅m kkm km k m k m x x km x x k y y x x OF OE ， 所以22445k m +=,55211222=+=+=k m k md ， ............10分 所以坐标原点O 到直线l 距离为定值552. ............12分 19．（1）众数是85，中位数是33.81 ............3分（2）列联表是：828.10763.1724768020601210024768020812-68121002222>≈⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=）（K ，所以有%9.99以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关。

第1页，总19页……外……………内………黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试（3月） 数学（理）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.2−3i1+i= （ ）A. 12−52i B. −12−52iC. 12+52iD. −12+52i2.设集合A ={−1,0,1}，B ={x|2x >2}，则A ∩B =（ ）A. ∅B. {−1}C. {−1,0}D. {0,1}3.若x,y 满足不等式组{x +y −1≥0,x −y +1≥0,3x −y −3≤0,则z =2x −3y 的最小值为（ ）A. -2B. -3C. -4D. -54.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为e ，抛物线y 2=2px(p >0)的焦点坐标为(1,0)，若e =p ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. y =±√3x B. y =±2√2x C. y=±√52x D. y=±√22x5.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地.在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分.第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域.在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为（ ）A. π24+9πB. 4π24+9πC. π18+9πD. 4π18+9π6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4=3S 2，a 7=15，则{a n }的公差为（ ）答案第2页，总19页…○…………线………题※※…○…………线………A. 1B. 2C. 3D. 47.运行如图程序，则输出的S 的值为（ ）A. 0B. 1C. 2018D. 2017 8.已知函数f(x)=ln(x +1)−ax ，若曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y =2x ，则实数a 的取值为（ ） A. -2B. -1C. 1D. 29.在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，BC =CC 1=1，∠AB 1D =π6，则直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ） A. √33B. √32C. √36D. √6610.已知函数f(x)=√3cosx −sinx 在(0,α)上是单调函数，且f(α)≥−1，则α的取值范围为（ ）A. (0,5π6] B. (0,2π3] C. (0,π2] D. (0,π3]11.已知半圆C ：x 2+y 2=1(y ≥0)，A 、B 分别为半圆C 与x 轴的左、右交点，直线m 过点B 且与x 轴垂直，点P 在直线m 上，纵坐标为t ，若在半圆C 上存在点Q 使∠BPQ =π3，则t 的取值范围是（ ）A. [−2√33,0)∪(0,√3]B. [−√3,0)∪(0,2√33]C. [−√33,0)∪(0,√33] D. [−2√33,0)∪(0,2√33]12.在边长为2的菱形ABCD 中，BD=2√3，将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B −AC −D的余弦值为13，则所得三棱锥A −BCD 的内切球的表面积为（ ） A. 4π3B. πC. 2π3D. π2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）第3页，总19页………○………：___________班级：______………○………13.已知cosα=−√23，则cos2α=______．14.(1+x)(2+x)5的展开式中，x 3的系数为______． 15.已知函数f(x)是奇函数，且0≤x 1<x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2<1，f(−2)=1，则不等式x −3≤f(x)≤x 的解集为____．16.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足，S n =3a n −2.数列{na n }的前n 项和为T n ，则满足T n >100的最小的n 值为______．三、解答题（题型注释）17.已知ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，ΔABC 的面积为S ，且S =bccosA ，C =π4.（1）求cosB 的值； （2）若c=√5，求S 的值.18.如图，四棱锥P−ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD =π2，PA ⊥BD ，AB =2，PA=PD=CD=BC=1.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.19.中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均体育锻炼时间在[40,60)的学生评价为“锻炼达标”. （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表；答案第4页，总19页并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？ （2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流， （i ）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ii ）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 参考公式：k 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d .临界值表20.已知O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0).过焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交所得的弦长为3，直线y =−√3与椭圆C 相切.（1）求椭圆C 的标准方程； （2）是否存在直线l ：y=k(x +c)与椭圆C 相交于E,D 两点，使得(F 2E ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −DE ⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅F 2E ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ <1？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由！ 21.已知函数f(x)=e x −ax .（1）若函数f(x)在x ∈(12,2)上有2个零点，求实数a 的取值范围.（注e 3>19）（2）设g(x)=f(x)−ax 2，若函数g(x)恰有两个不同的极值点x 1，x 2，证明：x 1+x 22<ln(2a). 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为{x =3+2cosα,y =1+2sinα（α为参数），P 是曲线C 1上的任一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，线段PQ 的中点的轨迹为C 2. （1）求曲线C 2的直角坐标方程；（2）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若直线l ：sinθ−cosθ=1ρ交曲线C 2于M ，N 两第5页，总19页点，求|MN|.23.选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x −2|.（1）解不等式：f(x)+f(2x+1)≥6；（2）对a +b =1(a,b >0)及∀x ∈R ，不等式f(x −m)−f(−x)≤4a+1b 恒成立，求实数m 的取值范围.答案第6页，总19页…………外…………○…※…………内…………○…参数答案1.B【解析】1.利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．z =2−3i 1+i=(2−3i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1−5i 2=−12−52i ．故选B ． 2.A【解析】2.可解出集合B ，然后进行交集的运算即可．B ={x|2x >2}＝{x |x ＞1}；∴A ∩B ＝∅． 故选：A ． 3.D【解析】3.画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z 的最小值．画出x ，y 满足不等式组{x +y −1≥0x −y +1≥03x −y −3≤0表示的平面区域，如图所示：平移目标函数z ＝2x ﹣3y 知，A （2，3），B （1，0），C （0，1）第7页，总19页当目标函数过点A 时，z 取得最小值， ∴z 的最小值为2×2﹣3×3＝﹣5． 故选：D ． 4.A【解析】4.求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝2， 又e ＝p ，所以e =c a=2，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得：b =√3a ，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±√3x ．故选：A ． 5.B【解析】5.以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论． 图标第一部分的面积为8×3×1＝24，图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32＝9π， 图标第三部分的面积为π×22＝4π， 故此点取自图标第三部分的概率为4π24+9π， 故选：B ． 6.B【解析】6.根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ，分析可得4a 1+6d ＝3（2a 1+d ），a 1+6d ＝15，解可得d 的值，即可得答案．根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ，若S 4＝3S 2，a 7＝15，则4a 1+6d ＝3（2a 1+d ），a 1+6d ＝15， 解可得a 1＝3，d ＝2； 故选：B ．7.D【解析】7.依次运行程序框图给出的程序可得答案第8页，总19页第一次：S =2017+sin π2=2018,i =3，不满足条件；第二次：S =2018+sin 3π2=2018−1=2017,i =5，不满足条件； 第三次：S =2017+sin 5π2=2018,i =7，不满足条件；第四次：S =2018+sin 7π2=2018−1=2017,i =9，不满足条件； 第五次：S =2017+sin 9π2=2018,i =11，不满足条件；第六次：S =2018+sin11π2=2018−1=2017,i =13，满足条件，退出循环。