2.5.2向量在物理中的应用举例

2.5.2向量在物理中的应用举例自主学习知识梳理1．力向量力向量与前面学过的自由向量有区别．(1)相同点：力和向量都既要考虑____________又要考虑________．(2)不同点：向量与________无关，力和__________有关，大小和方向相同的两个力，如果__________不同，那么它们是不相等的．2．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是________．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的__________运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mν是____________．(4)功即是力F与所产生位移s的__________．自主探究向量在物理学科和生活实践中都有着广泛的应用，请利用向量的方法解决下列这个问题．某人在静水中游泳，速度为4 3 km/h，(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？对点讲练知识点一力向量问题例1如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.(1)求|F1|，|F2|随θ角的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围．回顾归纳利用向量法解决有关力的问题时，常常先把力移到共同的作用点，再作出相应图形，以帮助建立数学模型．变式训练1用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，求每根绳子的拉力？知识点二速度向量问题例2在风速为75(6－2) km/h的西风中，飞机正以150 km/h的速度向西北方向飞行，求没有风时飞机的飞行速度和航向．回顾归纳速度是向量，速度的合成可以转化为向量的合成问题，合成时要分清各个速度之间的关系．变式训练2一条河宽为800 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h.水速为12 km/h，求船到达B处所需时间．知识点三恒力做功问题例3已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)，作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．(1)求F1，F2分别对质点所做的功；(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．回顾归纳物体在力F作用下的位移为s，则W＝F·s＝|F|·|s|cos θ.其中θ为F与s的夹角．变式训练3已知F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2，3)，求F对物体所做的功．用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.课时作业一、选择题1．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为() A．|F|·s B．F cos θ·sC．F sin θ·s D．|F|cos θ·s2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为()A．40 N B．10 2 NC．202N D．10 3 N3．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．24．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为()A．(9,1) B．(1,9) C．(9,0) D．(0,9)二、填空题5．已知向量a表示“向东航行3 千米”，b表示“向南航行3千米”则a＋b表示______．6．一个重20 N的物体从倾斜角30°，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是___________________________________________________________________．7. 如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．三、解答题8. 如图所示，两根绳子把重1 kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW ＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g＝10 N/kg)．9．已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为e1＋e2；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为3e 1＋2e 2，设P 、Q 在t ＝0 s 时分别在P 0、Q 0处，问当PQ →⊥P 0Q 0→时所需的时间t 为多少？2.5.2 向量在物理中的应用举例答案知识梳理1．(1)大小 方向 (2)始点 作用点 作用点 2．(1)向量 (2)加、减 (3)数乘向量 (4)数量积 自主探究解 (1)如图甲所示，设人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →，根据勾股定理，|OC →|＝8，Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸夹角60°顺着水流方向前进，速度大小为8 km/h.(2)如图乙所示，设此人的实际速度为OB →，水流速度为OA →.∵实际速度＝游速＋水速，故游速为OB →－OA →＝AB →，在Rt △AOB 中，|AB →|＝43，|OA →|＝4，|OB →|＝42，cos ∠BAO ＝|OA →||AB →|＝ 33.故此人应沿与河岸夹角余弦值为33，逆着水流方向前进，实际前进速度的大小为4 2 km/h. 对点讲练 例1 解(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G ＝F 1＋F 2，|F 1|＝|G |cos θ，|F 2|＝|G |tan θ， 当θ从0°趋向于90°时，|F 1|，|F 2|都逐渐增大．(2)由|F 1|＝|G |cos θ，|F 1|≤2|G |，得cos θ≥12.又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°.变式训练1 解 设重力为G ，每根绳的拉力分别为F 1，F 2，则由题意得F 1，F 2与－G都成60°角，且|F 1|＝|F 2|.∴|F 1|＝|F 2|＝|G |＝10 N.∴每根绳子的拉力都为10 N. 例2 解设风速为v 0，有风时飞机的飞行速度为v a ，无风时飞机的飞行速度为v b ， 则v a ＝v b ＋v 0，且v a ，v b ，v 0可构成三角形(如图所示)， ∵|AB →|＝|v a |＝150， |BC →|＝|v 0|＝75(6－2)，|AC →|＝|v b |，作AD ∥BC ，CD ⊥AD 于D ，BE ⊥AD 于E ， 则∠BAD ＝45°， ∴|CD →|＝|BE →|＝|EA →|＝752， ∴|DA →|＝|DE →|＋|EA →|＝|CB →|＋|EA →| ＝75(6－2)＋752＝756，从而tan ∠CAD ＝|CD →||DA →|＝752756＝33，∴∠CAD ＝30°， ∴|AC →|＝1502，∴v b ＝150 2 km/h ，∴没有风时飞机的飞行速度为150 2 km/h ，方向为北偏西60°. 变式训练2 解v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2 |v 1|＝20，|v 2|＝12， ∴|v |2＝|v 1|2－|v 2|2＝202－122＝16(km/h)．∴所需时间t ＝0.816＝0.05(小时)＝3(分钟)．∴该船到达B 处所需的时间为3分钟．例3 解 (1)AB →＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J.变式训练3 解 AB →＝(－4,3)，W ＝F·s ＝F ·AB →＝(2,3)·(－4,3) ＝－8＋9＝1 (J)．∴力F 对物体所做的功为1 J. 课时作业 1．D2．B [|F 1|＝|F 2|＝|F |cos 45°＝102， 当θ＝ 120°，由平行四边形法则知： |F 合|＝|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ．] 3．D [F 1＋F 2＝(1,2lg 2)． ∴W ＝(F 1＋F 2)·s ＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1) ＝2lg 5＋2lg 2＝2.]4．A [f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)， 设合力f 的终点为P (x ，y )，则 OP →＝OA →＋f ＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．] 5．向东南方向航行3 2 千米 6．10 J解析 W G ＝G·s ＝|G|·|s |·cos 60°＝20×1×12＝10 J.7．①③解析 设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，F 与水平方向夹角为θ(0<θ<π2)．则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝|f |cos θ.∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大． ∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小． 8．解设A 、B 所受的力分别为f 1、f 2，10 N 的重力用f 表示，则f 1＋f 2＝f ，以重力的作用点C 为f 1、f 2、f 的始点，作右图，使CE →＝f 1，CF →＝f 2，CG →＝f ，则∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°.∴|CE →|＝|CG →|·cos 30°＝10×32＝5 3.|CF →|＝|CG →|·cos 60°＝10×12＝5.∴在A 处受力为5 3 N ，在B 处受力为5 N.9．解 e 1＋e 2＝(1,1)，|e 1＋e 2|＝2，其单位向量为(22，22)；3e 1＋2e 2＝(3,2)，|3e 1＋2e 2|＝13，其单位向量为(313，213)，如图．依题意，|P 0P →|＝2t ，|Q 0Q →|＝13t ，∴P 0P →＝|P 0P →|(22，22)＝(t ，t )，Q 0Q →＝|Q 0Q →|(313，213)＝(3t,2t )，由P 0(－1,2)，Q 0(－2，－1)，得P (t －1，t ＋2)，Q (3t －2,2t －1)，∴P 0Q 0→＝(－1，－3)， PQ →＝(2t －1，t －3)，由于PQ →⊥P 0Q 0→，∴P 0Q 0→·PQ →＝0， 即2t －1＋3t －9＝0，解得t ＝2.∴当PQ →⊥P 0Q 0→时所需的时间为2 s .。

第二章 平面向量2．5 平面向量应用举例 2．5.1 平面几何中的向量方法 2．5.2 向量在物理中的应用举例[A 组 学业达标]1．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形解析：∵AB →∥CD →，|AB →|＝|CD →|，且AC →⊥BD →，∴四边形ABCD 为菱形． 答案：D2．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为 ( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2|D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪v 1v 2 解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量． 答案：B3．若物体在共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s ＝(2lg 5，1)，则共点力对物体所做的功W 为 ( )A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．2解析：W ＝(F 1＋F 2)·s ＝(lg 2＋lg 5，2lg 2)·(2lg 5，1)＝(1，2lg 2)·(2lg 5，1)＝2lg 5＋2lg 2＝2，故选D. 答案：D4．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1，2)，B (4，1)，C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角(非等腰)三角形B ．等腰(非等边)三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确解析：∵AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)，AB →·AC →＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，且|AB →|＝|AC →|＝10，∴△ABC 为等腰直角三角形． 答案：C5．在△ABC 中，若BA →·(2BC →－BA →)＝0，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．正三角形D ．等腰三角形解析：BA →·(2BC →－BA →)＝BA →·(BC →＋BC →－BA →)＝BA →·(BC →＋BC →＋AB →)＝BA →·(BC →＋AC →)＝－BA →·(CB →＋CA →)＝0.由向量加法的平行四边形法则，知以CA ，CB 为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，所以△ABC 一定是等腰三角形． 答案：D6．一个重20 N 的物体从倾斜角为30°，斜面长1 m 的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．解析：∵物体沿斜面下滑的分力大小|F |＝12×20 N ＝10 N ，∴W ＝|F |·|s |＝10 J. 答案：10 J7．在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________ 千米/时．解析：用v 0表示水流速度，v 1表示与水流垂直的方向的航行速度，则v 0＋v 1表示船实际航行速度．∵|v 0|＝4，|v 1|＝8， ∴|v 0＋v 1|＝42＋82＝4 5.答案：4 58．设O 是△ABC 内部一点，且OA→＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．解析：设D 为AC 的中点，如图所示，连接OD ，则OA→＋OC →＝2OD →.又OA →＋OC →＝－2OB →，所以OD →＝－OB →，即O 为BD 的中点，即△AOB 与△AOC 的面积之比为1∶2. 答案：1∶29.如图所示，以△ABC 两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF 和ACDE ，M 为BC 的中点．求证：AM ⊥EF .证明：因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)． 又因为EF→＝AF →－AE →，所以AM →·EF →＝12(AB →＋AC →)·(AF→－AE →) ＝12(AB →·AF →＋AC →·AF →－AB →·AE →－AC →·AE →) ＝12(0＋AC →·AF →－AB →·AE →－0) ＝12(AC →·AF →－AB →·AE →)＝12[|AC →||AF →|cos(90°＋∠BAC )－|AB →||AE →|·cos(90°＋∠BAC )]＝0，所以AM →⊥EF →，即AM ⊥EF .10．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n .(1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ；(2)在(1)的条件下，若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，求AF 的长(用m ，n 表示)．解析：以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0，m )，B (n ，0)．(1)证明：∵D 为斜边AB 的中点， ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，m 2，∴|CD →|＝12n 2＋m 2，|AB →|＝m 2＋n 2，∴|CD→|＝12|AB →|，即CD ＝12AB . (2)∵E 为CD 的中点，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，m 4.设F (x ，0)，则AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，－34m ，AF →＝(x ，－m )． ∵点A ，E ，F 共线，∴存在实数λ，使AF →＝λAE →，即(x ，－m )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，－34m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n 4λ，－m ＝－34mλ.解得x ＝n 3，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，0.∴|AF→|＝13n 2＋9m 2，即AF ＝13n 2＋9m 2.[B 组 能力提升]11．已知点A (7，1)，B (1，4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则a 等于( )A ．2B ．1 C.45 D.53解析：设C (x ，y )，则(x －7，y －1)＝(2－2x ，8－2y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －7＝2－2x ，y －1＝8－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∵点C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ×3，∴a ＝2. 答案：A12．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．10解析：将△ABC 各边及P A ，PB ，PC 均用向量表示， 则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝P A →2＋PB →2PC →2＝（PC →＋CA →）2＋（PC →＋CB →）2PC →2＝2|PC →|2＋2PC →·（CA →＋CB →）＋AB →2|PC →|2＝|AB →|2|PC →|2－6＝42－6＝10.答案：D13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，1)和点B (－3，4)．若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC→|＝2，则OC →＝________．解析：如图，已知A (0，1)，B (－3，4)，设E (0，5)，D (－3，9)，∴四边形OBDE 为菱形，∴∠AOB 的平分线是菱形OBDE 的对角线OD . 设C (x 1，y 1)，∵|OC→|＝2，|OD →|＝310，∴OC →＝2310OD →.∴OC →＝(x 1，y 1)＝2310×(－3，9)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－105，3105. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－105，3105 14．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则BC →·AO →＝________．解析：设{AB→，AC →}为平面ABC 内的一组基底．如图所示，设M 为BC 的中点，连接OM ，AM ，OA ，则OM ⊥BC .又∵BC →＝AC →－AB →，AO →＝AM →＋MO →＝12(AB →＋AC →)＋MO →，∴BC →·AO →＝BC →·(AM→＋MO →)＝BC →·AM →＝(AC →－AB →)·12(AB →＋AC →)＝12(AC →2－AB →2)＝12×(122－132)＝－252. 答案：－25215．已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB→|2.求证：点O 是△ABC 的垂心．证明：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则BC→＝c －b ，CA →＝a －c ，AB →＝b －a . ∵|OA→|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2， ∴a 2＋(c －b )2＝b 2＋(a －c )2＝c 2＋(b －a )2. ∴c ·b ＝a ·c ＝b ·a .故AB →·OC →＝(b －a )·c ＝b ·c －a ·c ＝0， BC →·OA →＝(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝0.∴AB→⊥OC →，BC →⊥OA →，即AB ⊥OC ，BC ⊥OA . ∴点O 是△ABC 的垂心．16.如图所示，四边形ABCD 是正方形，BE ∥AC ，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F .求证：AF ＝AE .证明：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A (－1，1)，B (0，1)．设E (x ，y )，则BE→＝(x ，y －1)，AC →＝(1，－1)．又∵AC →∥BE →，∴x (－1)－1×(y －1)＝0， ∴x ＋y －1＝0.又∵|CE→|＝|AC →|，∴x 2＋y 2－2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝1＋32，y ＝1－32或⎩⎨⎧x ＝1－32，y ＝1＋32(舍)．∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，1－32.又设F (x ′，1)，由CF →＝(x ′，1)和CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，1－32共线得1－32x ′－1＋32＝0，得x ′＝－2－3， ∴F (－2－3，1)，∴AF →＝(－1－3，0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32，－1＋32，∴|AE →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－322＝1＋3＝|AF→|， ∴AF ＝AE .。