2015届高考数学一轮复习质量检测：集合、常用逻辑用语与函数、导数及应用(北师大版)

阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·甘肃临夏中学、金昌市二中期中)设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x(x－2)<0}，则A∩B 等于()A．{x|x>2}B．{x|0<x<2}C．{x|1<x<2} D．{x|0<x<1}[答案] C[解析]∵B＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0<x<2}，∴A∩B＝{x|1<x<2}．(理)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－x＝0}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则M∩N为()A．{0} B．{1}C．{0,1} D．∅[答案] B[解析]∵M＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}中的元素是奇数，∴M∩N＝{1}，选B.2．(2014·威海期中)已知集合A＝{－1,1}，B＝{m|m＝x＋y，x∈A，y∈A}，则集合B等于() A．{－2,2} B．{－2,0,2}C．{－2,0} D．{0}[答案] B[解析]∵x∈A，y∈A，A＝{－1,1}，m＝x＋y，∴m的取值为－2,0,2，即B＝{－2,0,2}，故选B.3．(2014·山西曲沃中学期中)集合A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}，B＝{x|x<0}，则A∪B＝()A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．[1,2] D．[1，＋∞)[答案] B[解析]∵A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|x<0}，∴A∪B＝{x|x≤1}，故选B.4．(文)(2014·山东省德州市期中)若U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3,6}，则∁U(M∪N)＝()A．{1,2,3} B．{5}C．{1,3,4} D．{2}[答案] B[解析] ∵U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ∪N ＝{1,2,3,4,6}， ∴∁U (M ∩N )＝{5}．(理)(2014·文登市期中)已知集合A ＝{x |log 4x <1}，B ＝{x |x ≥2}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－∞，2) B ．(0,2) C ．(－∞，2] D ．[2,4)[答案] B[解析] ∵A ＝{x |log 4x <1}＝{x |0<x <4}，B ＝{x |x ≥2}，∴∁R B ＝{x |x <2}，所以A ∩∁R B ＝(0,2)，故选B.5．(文)(2014·福州市八县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[答案] C[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.(理)(2014·甘肃临夏中学期中)命题“存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0成立”的否定是( ) A ．存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0 B ．不存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0 C ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m ≤0 D ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m >0 [答案] D[解析] 特称命题的否定是全称命题．6．(文)(2014·河北冀州中学期中)下列命题中的真命题是( ) A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x ∈(－∞，0)，2x <3xD ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x [答案] B[解析] ∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，32>2，∴不存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝32成立，故A 错；令f (x )＝e x －x －1(x ≥0)，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝0，∴x >0时，f (x )>0恒成立，即e x >x ＋1对∀x ∈(0，＋∞)都成立，故B 正确；在同一坐标系内作出y ＝2x 与y ＝3x 的图象知，C 错误；当x ＝π4时，sin x ＝22＝cos x ，∴D 错误，故选B.(理)(2014·山东省德州市期中)下面命题中，假命题是( ) A ．∀x ∈R,3x >0B ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βC ．∃m ∈R ，使f (x )＝mxm 2＋2m 是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增D ．命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1>3x ” [答案] D[解析] 由指数函数性质知，对任意x ∈R ，都有3x >0，故A 真；当α＝π3，β＝2π时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；故B 真；要使f (x )＝mxm 2＋2m 为幂函数，应有m ＝1，∴f (x )＝x 3，显然此函数在(0，＋∞)上单调递增，故C 真；D 为假命题，“>”的否定应为“≤”．7．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)a 、b 为非零向量，“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] ∵f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝x 2a ·b ＋x (|b |2－|a |2)－a ·b ，当f (x )为一次函数时，a ·b ＝0且|b |2－|a |2≠0，∴a ⊥b ，当a ⊥b 时，f (x )未必是一次函数，因为此时可能有|a |＝|b |，故选B.(理)(2014·江西临川十中期中)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“(a －m b )⊥a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] ∵|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝1×2×cos60°＝1，(a －m b )⊥a ⇔(a －m b )·a ＝0⇔|a |2－m a ·b ＝0⇔m ＝1，故选C.8．(2014·江西都昌一中月考)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{2,3,4}，集合B ＝{2,4,5}，则右图中的阴影部分表示( )A ．{2,4}B ．{1,3}C ．{5}D ．{2,3,4,5} [答案] C[解析] 阴影部分在集合B 中，不在集合A 中，故阴影部分为B ∩(∁U A )＝{2,4,5}∩{1,5,6}＝{5}，故选C.9．(2014·华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中六校联考)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β [答案] D[解析] m ∥α，n ∥α时，m 与n 可平行，也可相交或异面，故A 错误；由正方体相邻三个面可知，α⊥β，α⊥γ时，β与γ可能相交，故B 错；当α∩β＝l ，m ⊄α，m ⊄β，m ∥l 时，m ∥α，m ∥β，故C 错，故选D.10．(2014甘肃临夏中学期中)已知函数f (x )＝x ＋b cos x ，其中b 为常数．那么“b ＝0”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 当b ＝0时，f (x )＝x 为奇函数，故满足充分性；当f (x )为奇函数时，f (－x )＝－f (x )，∴－x ＋b cos x ＝－x －b cos x ，从而2b cos x ＝0，∵此式对任意x ∈R 都成立，∴b ＝0，故满足必要性，选C.11．(2014·海南省文昌市检测)下列命题中是假命题．．．的是( ) A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 [答案] D[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x为偶函数，故D 为假命题．12．(2014·黄冈中学检测)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“理想集合”，则下列集合是“理想集合”的是( )A ．M ＝{(x ，y )|y ＝1x }B ．M ＝{(x ，y )|y ＝cos x }C ．M ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x ＋2}D ．M ＝{(x ，y )|y ＝log 2(x －1)} [答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 1x 2＋y 1y 2＝0知OA ⊥OB ，由理想集合的定义知，对函数y ＝f (x )图象上任一点A ，在图象上存在点B ，使OA ⊥OB ，对于函数y ＝1x ，图象上点A (1,1)，图象上不存在点B ，使OA ⊥OB ；对于函数y ＝x 2－2x ＋2图象上的点A (1,1)，在其图象上也不存在点B ，使OA ⊥OB ；对于函数y ＝log 2(x －1)图象上的点A (2,0)，在其图象上不存在点B ，使OA ⊥OB ；而对于函数y ＝cos x ，无论在其图象上何处取点A ，总能在其位于区间[－π2，π2]的图象上找到点B ，使OA ⊥OB ，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2014·高州四中质量检测)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－2)[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－m 2>0，m 2－4>0，∴m <－2.(理)(2014·福州市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值范围是________．[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值范围是m ≤－2或－1<m <2.14．(文)(2014·安徽程集中学期中)以下四个命题：①在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝a cos B ，则B ＝π4；②设a ，b 是两个非零向量且|a ·b |＝|a ||b |，则存在实数λ，使得b ＝λa ；③方程sin x －x ＝0在实数范围内的解有且仅有一个；④a ，b ∈R 且a 3－3b >b 3－3a ，则a >b ；其中正确的是________．[答案] ①②③④[解析] ∵b sin A ＝a cos B ，∴sin B sin A ＝sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴sin B ＝cos B ，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π4，故①正确； ∵|a ·b |＝||a |·|b |·cos 〈a ，b 〉|＝|a |·|b |，∴|cos 〈a ，b 〉|＝1，∴a 与b 同向或反向，∴存在实数λ，使b ＝λa ，故②正确；由于函数y ＝sin x 的图象与直线y ＝x 有且仅有一个交点，故③正确；∵(a 3－3b )－(b 3－3a )＝(a 3－b 3)＋3(a －b )＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2＋3)>0，∵a 2＋ab ＋b 2＋3>0，∴a －b >0，∴a >b ，故④正确．(理)(2014·屯溪一中期中)下列几个结论：①“x <－1”是“x <－2”的充分不必要条件； ②⎠⎛01(e x ＋sin x )d x ＝e －cos1；③已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值为92；④若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π3的值为－3；⑤函数f (x )＝2sin(2x －π3)－1的对称中心为(k π2＋π6，0)(k ∈Z )其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号) [答案] ②③④[解析] x <－1⇒/ x <－2，x <－2⇒x <－1，故①错误；⎠⎛01(e x ＋sin x )d x ＝(e x －cos x )|10＝e －cos1，故②正确；∵a >0，b >0，a ＋b ＝2，∴y ＝1a ＋4b ＝12(a ＋b )(1a ＋4b )＝12(5＋b a ＋4a b )≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，等号在⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，a ＋b ＝2，即a ＝23，b ＝43时成立，故③正确；∵(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，∴3a ＝9，∴a＝2，∴tan 2π3＝－tan π3＝－3，故④正确；f (x )＝2sin(2x －π3)－1的对称中心不落在x 轴上，故⑤错．正确答案为②③④.15．(2013·福建文，16)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)， 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①A ＝N ，B ＝N *；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}； ③A ＝{x |0<x <1}，B ＝R .其中，“保序同构”的集合对的序号是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号) [答案] ①②③[解析] 由(1)知T 是定义域为S 的函数y ＝f (x )的值域；由(2)知f (x )为增函数，因此对于集合A 、B ，只要能够找到一个增函数y ＝f (x )，其定义域为A ，值域为B 即可．对于①，A ＝N ，B ＝N *，可取f (x )＝x ＋1，(x ∈A )；对于②，A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}，可取f (x )＝92x －72(x ∈A )；对于③，A ＝{x |0<x <1}，B ＝R ，可取f (x )＝tan(x －12)π(x ∈A )．16．(文)(2014·合肥八中联考)给出下列四个命题： ①∃α，β∈R ，α>β，使得tan α<tan β；②若f (x )是定义在[－1,1]上的偶函数，且在[－1,0]上是增函数，θ∈(π4，π2)，则f (sin θ)>f (cos θ)；③在△ABC 中，“A >π6”是“sin A >12”的充要条件；④若函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝3，其中所有正确命题的序号是________．[答案] ①④[解析] ①当α＝3π4，β＝π3时，tan α<0<tan β，∴①为真命题；∵f (x )是[－1,1]上的偶函数，在[－1,0]上单调递增，∴在[0,1]上单调递减，又θ∈(π4，π2)，∴1>sin θ>cos θ>22，从而f (sin θ)<f (cos θ)，∴②为假命题；③当A ＝5π6时，A >π6成立，但sin A ＝12，∴③为假命题；④由条件知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3，∴④为真命题．(理)(2014·银川九中一模)给出下列命题： ①已知a ，b 都是正数，且a ＋1b ＋1>ab，则a <b ；②已知f ′(x )是f (x )的导函数，若∀x ∈R ，f ′(x )≥0，则f (1)<f (2)一定成立； ③命题“∃x ∈R ，使得x 2－2x ＋1<0”的否定是真命题； ④“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充要条件．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案] ①②③[解析] ①∵a ，b 是正数，∴a ＋1>0，b ＋1>0，∵a ＋1b ＋1>ab ，∴b (a ＋1)>a (b ＋1)，∴b >a ，即a <b ，∴①正确；②∵对任意x ∈R ，f ′(x )≥0，∴f (x )在R 上为增函数， ∴f (1)<f (2)，∴②正确；③“∃x ∈R ，使得x 2－2x ＋1<0”的否定为“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”，∵x ∈R 时，x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0成立，∴③正确；④当x ≤1且y ≤1时，x ＋y ≤2成立；当x ＝3，y ＝－2时，满足x ＋y ≤2，∴由“x ＋y ≤2”推不出“x ≤1且y ≤1”，∴④错误．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2014·福州市八县联考)A ＝{x |x 2－2x －8<0}，B ＝{x |x 2＋2x －3>0}，C ＝{x |x 2－3ax ＋2a 2<0}，(1)求A ∩B ；(2)试求实数a 的取值范围，使C ⊆(A ∩B )．[解析] (1)依题意得：A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x >1或x <－3}， ∴A ∩B ＝{x |1<x <4}．(2)①当a ＝0时，C ＝∅，符合C ⊆(A ∩B )； ②当a >0时，C ＝{x |a <x <2a }，要使C ⊆(A ∩B )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12a ≤4，解得1≤a ≤2；③当a <0时，C ＝{x |2a <x <a }，∵a <0，C ⊆(A ∩B )不可能成立，∴a <0不符合题设． ∴综上所述得：1≤a ≤2或a ＝0.(理)(2014·甘肃临夏中学期中)记函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ，函数g (x )＝3－|x |的定义域为集合B .(1)求A ∩B ；(2)若C ＝{x |x 2＋4x ＋4－p 2<0，p >0}，且C ⊆(A ∩B )，求实数p 的取值范围．[解析] (1)由条件知，x 2－x －2>0，∴A ＝{x |x <－1，或x >2}，由g (x )有意义得3－|x |≥0，所以B ＝{x |－3≤x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |－3≤x <－1，或2<x ≤3}；(2)∵C ＝{x |x 2＋4x ＋4－p 2<0}(p >0)，∴C ＝{x |－2－p <x <－2＋p }， ∵C ⊆(A ∩B )，∴－2－p ≥－3，且－2＋p ≤－1， ∴0<p ≤1，∴实数p 的取值范围是{p |0<p ≤1}．18．(本小题满分12分)(2014·山东省菏泽市期中)已知命题p ：关于x 的不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：函数f (x )＝(5－2m )x 是R 上的增函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．[解析] 不等式|x －1|>m －1的解集为R ，须m －1<0，即p 是真命题时，m <1； 函数f (x )＝(5－2m )x 是R 上的增函数，须5－2m >1，即q 是真命题时，m <2. ∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 、q 中一个为真命题，另一个为假命题． (1)当p 真，q 假时，m <1且m ≥2，此时无解； (2)当p 假，q 真时，m ≥1且m <2，此时1≤m <2， 因此1≤m <2.19．(本小题满分12分)(文)(2014·灵宝实验高中月考)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[解析] 由x 2－4ax ＋3a 2<0及a <0得，3a <x <a ， ∴p ：3a <x <a ；由x 2＋2x －8>0得，x <－4或x >2，∴q ：x <－4或x >2.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件，∴a ≤－4.(理)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设命题p ：实数x 满足(x －a )(x －3a )<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足x －3x －2≤0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵a ＝1，∴不等式化为(x －1)(x －3)<0，∴1<x <3； 由x －3x －2≤0得，2<x ≤3，∵p ∧q 为真，∴2<x <3. (2)∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件，又q ：2<x ≤3，p ：a <x <3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a >3，∴1<a ≤2.20．(本小题满分12分)(2014·马鞍山二中期中)设命题p ：f (x )＝2x －m 在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立，若(綈p )∧q 为真，试求实数m 的取值范围．[解析] 对命题p ：x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1，对命题q ：|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8对a ∈[－1,1]有a 2＋8≤3， ∴m 2＋5m －3≥3⇒m ≥1或m ≤－6. 若(綈p )∧q 为真，则p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1. 21．(本小题满分12分)(2014·河北冀州中学期中)设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a )(x ＋4)≤0的解集．(1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．[解析] (1)由于－x 2－2x ＋8>0，解得A ＝(－4,2)，又y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x ＋1>0时，y ≥2(x ＋1)·1x ＋1－1＝1；当x ＋1<0时，y ≤－2(x ＋1)·1x ＋1－1＝－3.∴B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)， ∴A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)． (2)∵∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)， 由(ax －1a)(x ＋4)≤0，知a ≠0，当a >0时，由(ax －1a )(x ＋4)≤0，得C ＝[－4，1a 2]，不满足C ⊆∁R A ；当a <0时，由(ax －1a )(x ＋4)≤0，得C ＝(－∞，－4]∪[1a 2，＋∞)，欲使C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，解得：－22≤a <0或0<a ≤22， 又a <0，所以－22≤a <0， 综上所述，所求a 的取值范围是[－22，0)． 22．(本小题满分14分)(2014·九江市七校第一次联考)“城中观海”是近年来国内很多大中型城市内涝所致的现象，究其原因，除天气因素、城市规划等原因外，城市垃圾杂物也是造成内涝的一个重要原因．暴雨会冲刷城市的垃圾杂物一起进入下水道，据统计，在不考虑其他因素的条件下，某段下水道的排水量V (单位：立方米/小时)是杂物垃圾密度x (单位：千克/立方米)的函数．当下水道的垃圾杂物密度达到2千克/立方米时，会造成堵塞，此时排水量为0；当垃圾杂物密度不超过0.2千克/立方米时，排水量是90立方米/小时；研究表明，0.2≤x ≤2时，排水量V 是垃圾杂物密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤2时，求函数V (x )的表达式；(2)当垃圾杂物密度x 为多大时，垃圾杂物量(单位时间内通过某段下水道的垃圾杂物量，单位：千克/小时)f (x )＝x ·V (x )可以达到最大，求出这个最大值．[解析] 当0.2≤x ≤2时，排水量V 是垃圾杂物密度x 的一次函数，设为V (x )＝mx ＋n ，将(0.2,90)，(2,0)代入得V (x )＝－50x ＋100，V (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90(0≤x ≤0.2)，－50x ＋100(0.2<x ≤2).(2)f (x )＝x ·V (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90x (0≤x ≤0.2)，－50x (x －2)(0.2<x ≤2).当0≤x ≤0.2时，f (x )＝90x ，最大值为1.8千克/小时； 当0.2≤x ≤2时，f (x )＝50x (2－x )≤50， 当x ＝1时，f (x )取到最大值50，所以，当杂物垃圾密度x ＝1千克/立方米，f (x )取得最大值50千克/小时．。

[课堂练通考点]1．(2013·江西高考)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝() A．4B．2C．0 D．0或4解析：选A由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．2．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝() A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16} D．{1,2}解析：选A n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，∴集合B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．3．(2014·北京东城区统一检测)设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是()A．1 B．3C．4 D．8解析：选C根据已知，满足条件的集合B为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．故选C.4.(创新题)设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b i|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)()A．①③B．①②C．②③D．③④解析：选B①对，当a，b为整数时，对任意x，y∈S，x＋y，x－y，xy的实部与虚部均为整数；②对，当x＝y时，0∈S；③错，当S＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错，设S＝{0}⊆T，T＝{0,1}，显然T不是封闭集．因此，真命题为①②.5.(创新题)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝a÷b，a∈P，b∈Q}，若P＝{－1,0,1}，Q＝{－2,2}，则集合P*Q中元素的个数是()A．2 B．3C ．4D ．5解析：选B 当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，12，该集合中共有3个元素．6．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．{x |x >2或x <0} B ．{x |1<x <2} C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：选C 解不等式x 2－2x >0，即x (x －2)>0，得x <0或x >2，故A ＝{x |x <0或x >2}； 集合B 是函数y ＝lg(x －1)的定义域， 由x －1>0，解得x >1，所以B ＝{x |x >1}．如图所示，在数轴上分别表示出集合A ，B ，则∁U A ＝{x |0≤x ≤2}，所以(∁U A )∩B ＝{x |0≤x ≤2}∩{x |x >1}＝{x |1<x ≤2}．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·哈尔滨四校统考)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，xy ∈A }，则B 的所有真子集的个数为( )A ．512B ．256C ．255D ．254解析：选C 由题意知当x ＝1时，y 可取1,2,3,4；当x ＝2时，y 可取1,2；当x ＝3时，y 可取1；当x ＝4时，y 可取1.综上，B 中所含元素共有8个，所以其真子集有28－1＝255个．选C.2．(2013·佛山一模)设全集U ＝{x ∈N *|x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{2,4}C ．{2,5}D ．{1,5}解析：选B 由题意易得U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，所以∁U (A ∪B )＝{2,4}．故选B.3．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD.A ⊆B解析：选B 集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R .4．(2014·太原诊断)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |y ＝ln(x －2)}，则(∁R B )∩A ＝( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2}解析：选C 集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |x >2}， 则(∁R B )∩A ＝{x |1<x ≤2}，选C.5．(2013·郑州质检)若集合A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，则满足条件的实数x 有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ∵A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ，解得x ＝0或2或－2或1.经检验当x ＝2或－2时满足题意．6．(2014·湖北八校联考)已知M ＝{a ||a |≥2}，A ＝{a |(a －2)(a 2－3)＝0，a ∈M }，则集合A 的子集共有( )A ．1个B ．2个C ．4个D ．8个解析：选B |a |≥2⇒a ≥2或a ≤－2.又a ∈M ，(a －2)·(a 2－3)＝0⇒a ＝2或a ＝±3(舍)，即A 中只有一个元素2，故A 的子集只有2个．7．(2014·江西七校联考)若集合P ＝{x |3<x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x <3a －5}，则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的所有实数a 的取值范围为( )A ．(1,9)B ．[1,9]C ．[6,9)D ．(6,9]解析：选D 依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是 ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围是(6,9]．8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3}解析：选B 由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}；由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．9．已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________.解析：因为A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意； n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1； n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1； n ≤－2时，x ∉Z . 故A ＝{－2,2,1，－1}，又U ＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U A ＝{0}． 答案：{0}10．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}， 即1－2＋a ≤0，∴a ≤1. 答案：(－∞，1]11．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.解析：A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.答案：0,1，－1212．设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．则S 4的所有奇子集的容量之和为________．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.答案：7第Ⅱ组：重点选做题1．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a ＞0，f (－3)＝6a ＋8＞0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43.故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，43.2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ log 12(x ＋2)>－3x 2≤2x ＋15，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． 解：(1)解不等式log 12(x ＋2)>－3得：－2<x <6.①解不等式x 2≤2x ＋15得：－3≤x ≤5.② 由①②求交集得－2<x ≤5， 即集合A ＝(－2,5]．(2)当B ＝∅时，m ＋1>2m －1， 解得m <2；当B ≠∅时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>－2，2m －1≤5解得2≤m ≤3，故实数m 的取值范围为(－∞，3]．。

2015届高考数学集合、常用逻辑用语专题汇编1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ文)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，x∈A}，则A∩B ＝()A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16} D．{1,2}解析：选A.∵A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，x∈A}，∴B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ理)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5<x<5}，则() A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析：选B.∵A＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|－5<x<5}，∴A∩B＝{x|－5<x<0或2<x<5}，A∪B＝R.3．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ理)已知集合M＝{x|(x－1)2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝()A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}解析：选A.集合M＝{x|－1<x<3，x∈R}，∴M∩N＝{0,1,2}，故选A.4．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ文)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N＝()A．{－2，－1,0,1} B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}解析：选C.M∩N＝{－2，－1,0}，故选C.5．(2013·高考大纲全国卷理)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选B.由题意可知，集合M＝{5,6,7,8}，共4个元素．6．(2013·高考大纲全国卷文)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝()A．{1,2} B．{3,4,5}C．{1,2,3,4,5} D．∅解析：选B.∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁U A＝{3,4,5}．7．(2013·高考山东卷理)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y |x∈A, y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3C．5 D．9解析：选C.当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．8．(2013·高考山东卷文)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝()A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅解析：选A.∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．又∁U B＝{3,4}，∴A∩∁U B＝{3}．9．(2013·高考浙江卷理)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝() A．(－2,1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解析：选C.因为S＝{x|x>－2}，所以∁R S＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．10．(2013·高考浙江卷文)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝() A．[－4，＋∞) B．(－2，＋∞)C．[－4,1] D．(－2,1]解析：选D.S∩T＝{x|x>－2}∩{x|－4≤x≤1}＝{x|－2<x≤1}．11．(2013·高考北京卷理)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝() A．{0} B．{－1,0}C．{0,1} D．{－1,0,1}解析：选B.∵A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}且1∉B，∴A∩B＝{－1,0}．12．(2013·高考天津卷理)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝() A．(－∞，2] B．[1,2]C．[－2,2] D．[－2,1]解析：选D.由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，于是A∩B＝{x|－2≤x≤1}．13．(2013·高考福建卷文)若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为() A．2 B．3C．4 D．16解析：选C.A∩B＝{1,3}，其子集有∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个．14．(2013·高考辽宁卷文)已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x||x|<2}，则A∩B＝()A．{0} B．{0,1}C．{0,2} D．{0,1,2}解析：选B.B＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，A∩B＝{0,1}．15．(2013·高考辽宁卷理)已知集合A＝{x|0<log4x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝() A．(0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．(1,2]解析：选D.因为A＝{x|0<log4x<1}＝{x|1<x<4}，B＝{x|x≤2}，所以A∩B＝{x|1<x<4}∩{x|x≤2}＝{x|1<x≤2}．16．(2013·高考湖南卷文)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁U A)∩B＝________.解析：∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴∁U A＝{6,8}．∴(∁U A)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案：{6,8}17．(2013·高考江西卷理)已知集合M＝{1,2，z i}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝()A．－2i B．2iC．－4i D．4i解析：选C.因为M＝{1,2，z i}，N＝{3,4}，由M∩N＝{4}，得4∈M，所以z i＝4，所以z＝－4i.18．(2013·高考江西卷文)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝() A．4 B．2C．0 D．0或4解析：选A.当a＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A为空集，不符合题意；当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.19．(2013·高考湖北卷理)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | ⎝⎛⎭⎫12x ≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ＝( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4}解析：选C.A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | ⎝⎛⎭⎫12x ≤1＝{x |x ≥0}，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}＝{x |2≤x ≤4}，所以∁R B ＝{x |x <2或x >4}，于是A ∩∁R B ＝{x |0≤x <2或x >4}．20．(2013·高考湖北卷文)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则B ∩∁U A ＝( )A ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}解析：选B.∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}，∴∁U A ＝{3,4,5}，∴B ∩∁U A ＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}21．(2013·高考四川卷文)设集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{－2,2}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．{2}C ．{－2,2}D ．{－2,1,2,3}解析：选B.A ∩B ＝{1,2,3}∩{－2,2}＝{2}，故选B.22．(2013·高考四川卷理)设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B ＝( )A ．{－2}B ．{2}C ．{－2,2}D ．∅解析：选A.∵A ＝{x |x ＋2＝0}，∴A ＝{－2}．∵B ＝{x |x 2－4＝0}，∴B ＝{－2,2}．∴A ∩B ＝{－2}．故选A.23．(2013·高考重庆卷文)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}解析：选D.∵A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}，∴∁U (A ∪B )＝{4}．24．(2013·高考重庆卷理)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}解析：选D.∵A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}，∴∁U (A ∪B )＝{4}．25．(2013·高考广东卷)设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝( )A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2}解析：选D.集合M ＝{0，－2}，N ＝{0,2}，故M ∪N ＝{－2,0,2}，故选D.26．(2013·高考广东卷文)设集合S ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，T ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则S ∩T ＝( )A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2}解析：选A.集合S ＝{0，－2}，T ＝{0,2}，故S ∩T ＝{0}，故选A.27．(2013·高考安徽卷文)已知A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{－2，－1，0,1}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．{－2，－1}B ．{－2}C ．{－1,0,1}D ．{0,1}解析：选A.因为集合A ＝{x |x >－1}，所以(∁R A )＝{x |x ≤－1}，则(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．28．(2013·高考新课标全国卷文Ⅰ)已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∧綈qD ．綈p ∧綈q解析：选B.当x ＝0时，有2x ＝3x ，不满足2x <3x ，∴p ：∀x ∈R,2x <3x 是假命题．如图，函数y ＝x 3与y ＝1－x 2有交点，即方程x 3＝1－x 2有解，∴q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2是真命题．∴p ∧q 为假命题，排除A.∵綈p 为真命题，∴綈p ∧q 是真命题．选B.29．(2013·高考山东卷理)给定两个命题p 、q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若綈p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒綈p 但綈pq ，其逆否命题为p ⇒綈q 但綈q p ，∴p 是綈q 的充分不必要条件． 30．(2013·高考山东卷文)给定两个命题p 、q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若綈p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒綈p 但綈p q ，其逆否命题为p ⇒綈q 但綈q p ，∴p 是綈q 的充分不必要条件．31．(2013·高考浙江卷理)已知函数f (x )＝A co s (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若f (x )是奇函数，则f (0)＝0，所以co s φ＝0，所以φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ＝π2不成立；若φ＝π2，则f (x )＝A co s (ωx ＋π2)＝－As in(ωx )，f (x )是奇函数．所以f (x )是奇函数是φ＝π2的必要不充分条件．32．(2013·高考浙江卷文)若α∈R ，则“α＝0”是“s in α<co s α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若α＝0，则s in α＝0，co s α＝1，所以s in α<co s α，即α＝0⇒s in α<co s α；但当α＝－π2时，有s in α＝－1<0＝co s α，此时α≠0.所以α＝0是s in α<co s α的充分不必要条件．33．(2013·高考北京卷文)“φ＝π”是“曲线y ＝s in(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当φ＝π时，y ＝s in(2x ＋φ)＝s in(2x ＋π)＝－s in 2x ，此时曲线y ＝s in(2x ＋φ)必过原点，但曲线y ＝s in(2x ＋φ)过原点时，φ可以取其他值，如φ＝0.因此“φ＝π”是“曲线y ＝s in(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．34．(2013·高考天津卷文)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件解析：选A.由不等式的性质知(a －b )·a 2<0成立，则a <b 成立；而当a ＝0，a <b 成立时，(a －b )·a 2<0不成立，所以(a －b )·a 2<0是a <b 的充分而不必要条件．35．(2013·高考天津卷理)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切． 其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③解析：选C.对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确． 36．(2013·高考福建卷文)设点 P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0，即点P (2，－1)在直线l 上．点P ′(0,1)在直线l 上，但不满足x ＝2且y ＝－1，∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P (x ，y )在直线l 上”的充分而不必要条件．37．(2013·高考福建卷理)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ，∴a ∈B 且a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．38．(2013·高考陕西卷文)设全集为R, 函数f (x )＝1－x 的定义域为M, 则∁R M 为( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选B.函数f (x )的定义域M ＝(－∞，1]，则∁R M ＝(1，＋∞)．39．(2013·高考湖南卷)“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <2}，∴A B ，即当x 0∈A 时，有x 0∈B ，反之不一定成立．因此“1<x <2”是“x <2”成立的充分不必要条件．40．(2013·高考辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列{a n n}是递增数列；p 4：数列{a n ＋3n d}是递增数列． 其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：选D.因为d>0，所以a n ＋1>a n ，所以p 1是真命题．因为n ＋1>n ，但是a n 的符号不知道，所以p 2是假命题．同理p 3是假命题．由a n ＋1＋3(n ＋1)d －a n －3n d ＝4d>0，所以p 4是真命题．41．(2013·高考陕西卷理)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( )A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选D.由1－x 2≥0，知－1≤x ≤1，∴M ＝[－1,1]，∴∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．42．(2013·高考湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：选A.依题意得綈p ：“甲没有降落在指定范围”，綈q ：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p )∨(綈q )．43．(2013·高考四川卷)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∉BB ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B 解析：选D.命题p 是全称命题：∀x ∈A,2x ∈B ，则綈p 是特称命题：∃x ∈A,2x ∉B .故选D. 44．(2013·高考重庆卷理)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0B ．不存在x ∈R ，使得x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 解析：选D.因为“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x ∈M ，綈p (x )”，故“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ，使得x 20<0”．45．(2013·高考安徽卷)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当x ＝0时，显然(2x －1)x ＝0；当(2x －1)x ＝0时，x ＝0或x ＝12，所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．46．(2013·高考陕西卷)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a||b|”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.若|a ·b |＝|a ||b |，若a ，b 中有零向量，显然a ∥b ；若a ，b 均不为零向量，则|a ·b |＝|a ||b ||co s 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，∴|co s 〈a ，b 〉|＝1，∴〈a ，b 〉＝π或0，∴a ∥b ，即|a ·b |＝|a ||b |⇒a ∥b .若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π，∴|a ·b |＝||a ||b |co s 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，其中，若a ，b 有零向量也成立，即a ∥b ⇒|a ·b |＝|a ||b |.综上知，“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件．47．(2013·高考江苏卷理)集合{－1,0,1}共有________个子集．解析：由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8(个)子集．答案：848．(2013.高考湖南卷)对于E ＝{a 1，a 2，...，a 100}的子集X ＝{a i 1，a i 2，...，a i k }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，...，x 100，其中x i 1＝x i 2＝...＝x i k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0,1,1,0,0， 0(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于________．(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1,1≤i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列” q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1,1≤j ≤98，则P ∩Q 的元素个数为________．解析：(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”中共有3个1，其余均为0，该数列为1,0,1,0,1,0,0，…，0.故该数列前3项的和为2.(2)E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100中，由于p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1(1≤i ≤99)，因此集合P 中必含有元素a 1.又当i ＝1时，p 1＋p 2＝1，且p 1＝1，故p 2＝0.同理可求得p 3＝1，p 4＝0，p 5＝1，p 6＝0，….故E 的子集P 的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,1,0，…，1,0，即P ＝{a 1，a 3，a 5，a 7，…，a 99}．E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100中，由于q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1(1≤j ≤98)，因此集合Q 中必含有元素a 1.又当j ＝1时，q 1＋q 2＋q 3＝1，当j ＝2时，q 2＋q 3＋q 4＝1，当j ＝3时，q 3＋q 4＋q 5＝1，…，故q 1＝1，q 2＝q 3＝0，q 4＝1，q 5＝q 6＝0，q 7＝1，….所以E 的子集Q 的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1,0,0，…，0,1，即Q ＝{a 1，a 4，a 7，a 10，…，a 100}．因为100＝1＋(n －1)×3，故n ＝34.所以集合Q 中有34个元素，其下标为奇数的有17个．因此P ∩Q ＝{a 1，a 7，a 13，a 19，…，a 97}，共有17个元素．答案：(1)2 (2)1749．(2013·高考重庆卷)对正整数n ，记I n ＝{1,2，…，n }，P n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I n ，k ∈I n . (1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”，求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．解：(1)当k ＝4时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I 7中有3个数与I 7中的3个数重复，因此P 7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A ，B 为不相交的稀疏集，使A ∪B ＝P n ⊇I n .不妨设I ∈A ，则因为1＋3＝22，故3∉A ，即3∈B .同理，6∈A,10∈B ，又推得15∈A ，但1＋15＝42，这与A 为稀疏集矛盾．再证P 14符合要求．当k ＝1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I 14＝I 14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A 1＝{1,2,4,6,9,11,13}，B 1＝{3,5,7,8,10,12,14}，则A 1，B 1为稀疏集，且A 1∪B 1＝I 14.当k ＝4时，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I 14中除整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，32，52，…，132，可求解为下面两稀疏集的并：A 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，52，92，112，B 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，72，132. 当k ＝9时，集合⎩⎨⎧⎪⎪m k ⎭⎬⎫m ∈I 14中除正整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，43，53，…，133，143，可分解为下面两稀疏集的并：A 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，43，53，103，133， B 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，73，83，113，143. 最后，集合C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I 14，k ∈I 14，且k ≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P 14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A ＝A 1∪A 2∪A 3∪C ，B ＝B 1∪B 2∪B 3，则A 和B 是不相交的稀疏集，且A ∪B ＝P 14.综上可知，所求n 的最大值为14.注：对P 14的分析方法不是唯一的．。

阶段考查(一)考查范围：集合、常用逻辑用语、不等式考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U＝R，A＝{x|－x2－3x＞0}，B＝{x|x＜－1}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x＞0}B．{x|－3＜x＜－1}C．{x|－3＜x＜0}D．{x|x＜－1}解析：依题意，得集合A＝{x|－3＜x＜0}，所求的集合即为A∩B，所以图中阴影部分表示的集合为{x|－3＜x＜－1}，故选B项．答案：B2．已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)，则下列结论正确的是()A．∀b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃b∈R，f(x)为奇函数D．∃b∈R，f(x)为偶函数解析：注意到b＝0时，f(x)＝x2是偶函数．故选D项．答案：D3．给定命题p ：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4和函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的图像关于原点对称；命题q ：当x ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝2(sin2x ＋cos2x )取得极小值．下列说法正确的是( )A ．p ∨q 是假命题B ．綈p ∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．綈p ∨q 是真命题解析：p 命题中y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4与y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4关于原点对称，故p 为真命题；q 命题中y ＝2(sin2x ＋cos2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取极小值时，2x ＋π4＝2k π－π2，则x ＝k π－3π8(k ∈Z )，故q 为假命题，则綈p ∧q 为假命题，故选B.答案：B4．若全集U ＝R ，集合A ＝{x ||2x ＋3|＜5}，B ＝{x |y ＝log 3(x ＋2)}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{x |x ≤－4或x ≥1}B ．{x |x ＜－4或x ＞1}C ．{x |x ＜－2或x ＞1}D ．{x |x ≤－2或x ≥1}解析：A ＝{x ||2x ＋3|＜5}＝{x |－4＜x ＜1}，B ＝{x |y ＝log 3(x ＋2)}＝{x |x ＋2＞0}＝{x |x ＞－2}，所以A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}，所以∁U (A ∩B )＝{x |x ≥1或x ≤－2}，选D.答案：A5．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5解析：命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4，故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.答案：C6．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．[e,4]D ．(－∞，1]解析：“p ∧q ”是真命题，则p 与q 都是真命题；p 真则∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，需a ≥e ；q 真则x 2＋4x ＋a ＝0有解，需Δ＝16－4a ≥0，所以a ≤4；p ∧q 为真，则e ≤a ≤4.答案：C7．不等式3x 2－2x －1＜0成立的一个必要不充分条件是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－13，0 D ．(－1,1)解析：由3x 2－2x －1＜0解得－13＜x ＜1，而⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1(－1,1)，所以(－1,1)是3x 2－2x －1＜0成立的一个必要不充分条件．答案：D8．已知a ，b ，c 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是( ) A ．(a ＋c )4＞(b ＋c )4 B ．ac 2＞bc 2 C ．lg|b ＋c |＜lg|a ＋c |D ．(a ＋c )13＞(b ＋c )13解析：当a ＞b ，a ＋c 与b ＋c 为负数时，由0＞a ＋c ＞b ＋c ，得0＜－(a ＋c )＜－(b ＋c )．∴0＜[－(a ＋c )]4＜[－(b ＋c )]4，即(a ＋c )4＜(b ＋c )4.∴A 不成立； 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，∴B 不成立；当a ＞b 时，a ＋c ＞b ＋c ，但若a ＋c 、b ＋c 均为负数时， |a ＋c |＜|b ＋c |，即lg|a ＋c |＜lg|b ＋c |. 故C 不恒成立．故选D 项． 答案：D9．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．0＜a ＜13 B ．a ≥13 C ．a ＞13D ．0＜a ＜12解析：如图，约束条件为图中的三角形区域ABC .目标函数化为y ＝－1a x ＋z a ，当z 最大时，z a 最大，根据图形只要－1a ＞k AB ＝－3，即a ＞13即可．故选C 项．答案：C10．若第一象限内的点A (x ，y )，落在经过点(6，－2)且具有方向向量a ＝(3，－2)的直线l 上，则log 32y －log 23x 有( )A ．最大值32 B ．最大值1 C ．最小值32D ．最小值1解析：直线l 的方程为y ＋2＝－23(x －6)，即2x ＋3y ＝6，所以log 32y－log 23 x ＝log 32 y ＋log 32 x ＝log 32 (xy )≤log 32 ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 262＝1，故选B. 答案：B11．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．[－4，＋∞)C ．[－5，＋∞)D ．[－4,4]解析：原不等式可转化为a ≥－x 2＋4x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在区间(0,1]上恒成立，即将问题转化为求函数f (x )＝－x 2＋4x 在区间(0,1]上的最大值问题．∵函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在(0,1]上为增函数，∴f (x )max ＝f (1)＝－5，∴a ≥－5. 答案：C12．对于函数f (x )，在使f (x )≤M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最小值称为函数f (x )的“上确界”．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1x 2＋1＋a (x ∈[－2,2])是奇函数，则f (x )的上确界为( )A ．2 B.95 C ．1 D.45 解析：因为函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝1＋a ＝0， 解得a ＝－1.于是f (x )＝x 2＋2x ＋1x 2＋1－1＝2xx 2＋1.当0＜x ≤2时，f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，所以M 的最小值为1.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则不等式cx 2＋bx ＋a ＞c (2x －1)＋b 的解集为__________．解析：由题意可知a ＞0，且－2,1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－1，c a ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ，c ＝－2a ，所以不等式cx 2＋bx ＋a ＞c (2x －1)＋b 可化为－2ax 2＋ax ＋a ＞－2a (2x －1)＋a ，整理得2x 2－5x ＋2＜0，解得12＜x ＜2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 14．已知三个不等式：①ab ＞0；②c a ＞d b ；③bc ＞ad .以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成__________个正确命题．解析：此题共可组成三个命题即①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.若ab ＞0，c a ＞d b ，则c a －d b ＝bc －adab ＞0，得bc －ad ＞0，即可得命题①②⇒③正确；若ab ＞0，bc －ad ＞0，则bc －ad ab ＝c a －d b ＞0，得c a ＞db ，即命题①③⇒②正确；若bc －ad ＞0，c a ＞d b ，则c a －d b ＝bc －adab ＞0，得ab ＞0，即命题②③⇒①正确．综上可得正确的命题有3个．答案：315．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0－8－6a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围是__________．解析：若p 真，则∀x ∈[1,2]，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x min≥a ，解得，a ≤12； 若q 真，则(2a )2－4×(－8－6a )＝4(a ＋2)·(a ＋4)≥0，解得a ≤－4或a ≥－2.所以实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12.答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，1216．已知命题p ：不等式xx －1＜0的解集为{x |0＜x ＜1}；命题q ：在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是__________．(请把正确结论的序号都填上)解析：解不等式知，命题p 是真命题，在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，所以命题q 是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误．答案：①③三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，若对任意x 1，x 2∈R ，恒有2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)成立，不等式f (x )＜0的解集为A . (1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|＜a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围．解析：(1)对任意的x 1, x 2∈R ，由f (x 1)＋f (x 2)－2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝12a (x 1－x 2)2≥0成立，要使上式恒成立，所以a ≥0.由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数知a ≠0，故a ＞0.(3分)由f (x )＝ax 2＋x ＝ax ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a ＜0， 解得A ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1a ，0.(6分)(2)解得B ＝(－a －4，a －4)，因为集合B 是集合A 的子集，所以a －4≤0，且－a －4≥－1a .化简得a 2＋4a －1≤0，解得0＜a ≤－2＋ 5. (10分)18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a . (1)当a ＝12时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若对于任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝12时，f (x )＝x 2＋2x ＋12，则f (x )＞1的解集为{x |x ＞－1＋62或x ＜－1－62}．(4分)(2)若对于任意的x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，则a ＞－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．(6分)令g (x )＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)，则g (x )的对称轴为x ＝－1，又x ∈[1，＋∞)， (8分)则当x ＝1时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝－3， (10分)所以a ＞－3.(12分)19．(本小题满分12分)设命题p ：函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a －32x 是R 上的减函数，命题q ：函数f (x )＝x 2－4x ＋3在[0，a ]上的值域为[－1,3]，若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．解析：由0＜a －32＜1，得32＜a ＜52.(2分)若f (x )＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1,3]，则2≤a ≤4.(4分) ∵“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题， ∴p 、q 中一真一假，若p 真q 假，得32＜a ＜2，(6分) 若p 假q 真，得52≤a ≤4，(8分)综上，a 的取值范围是32＜a ＜2或52≤a ≤4. (12分)20．(本小题满分12分)已知命题p ：A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，命题q ：B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若p 是綈q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由已知得：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(2分)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0，m ＋2≥3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，m ≥1，∴m ＝2.(7分)(2)∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ， 而∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}， ∴m －2＞3或m ＋2＜－1， ∴m ＞5或m ＜－3.(12分)21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝kx ＋b 的图像过点(2,1)，且方向向量v ＝(1，－1)．若不等式f (x )≥x 2＋x －5的解集为A ，且A ⊆(－∞，a ]．(1)求a 的取值范围；(2)解不等式x 2－(a ＋3)x ＋2a ＋3f (x )＜1.解析：(1)∵直线的方向向量v ＝(1，－1)， ∴k ＝－1，由点斜式可得f (x )＝3－x . 由f (x )≥x 2＋x －5，得x 2＋2x －8≤0， ∴解得A ＝{x |－4≤x ≤2}， 又A ⊆(－∞，a ]，∴a ≥2即可， ∴a 的取值范围是[2，＋∞)．(5分)(2)由x 2－(a ＋3)x ＋2a ＋3f (x )－1＝x 2－(a ＋2)x ＋2a 3－x ＝(x －2)(x －a )3－x ＜0，得(x －2)(x －a )(x －3)＞0且x ≠3.(6分) ①当a ＝2时，x ＞3；②当2＜a ＜3时，x ＞3或2＜x ＜a ； ③当a ＝3时，x ＞2且x ≠3； ④当a ＞3时，x ＞a 或2＜x ＜3.(10分)综上，当a ＝2时，不等式的解集为(3，＋∞)；当2＜a ≤3时，不等式的解集为(2，a )∪(3，＋∞)；当a ＞3时，不等式的解集为(2,3)∪(a ，＋∞)．(12分)22．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋2m ＜0}．(1)当m ＜12时，化简集合B ；(2)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围；(3)若(∁R A )∩B 中只有一个整数，求实数m 的取值范围．解析：(1)B ＝{x |(x －1)(x －2m )＜0}，(1分)当m ＜12时，2m ＜1，∴集合B ＝{x |2m ＜x ＜1}．(3分)(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A .(4分)A ＝{x |－1≤x ≤2}，①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}，此时－1≤2m ，∴－12≤m ＜12；②当m ＝12时，B ＝∅，B ⊆A 成立；③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }，此时2m ≤2，∴12＜m ≤1.综上所述，所求m 的取值范围是－12≤m ≤1.(8分)(3)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}， ∴∁R A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，(9分)①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}，若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则－3≤2m ＜－2，∴－32≤m ＜－1；②当m ＝12时，B ＝∅，不符合题意； ③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }，若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则3＜2m ≤4，∴32＜m ≤2.综上，m 的取值范围是－32≤m ＜－1或32＜m ≤2.(12分)。

集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．22． “φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．设a ＝log 0.32，b ＝log 0.33，c ＝20.3，d ＝0.32，则这四个数的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c ＜d B ．b ＜a ＜d ＜c C ．b ＜a ＜c ＜dD ．d ＜c ＜a ＜b4．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos 2x ，x ∈R B ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0 C ．y ＝e x －e －x2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.56．设f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1， x ＜2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )＜2的解集为( ) A ．(10，＋∞) B ．(－∞，1)∪[2，10) C ．(1,2]∪(10，＋∞)D ．(1，10)7．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为()8．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 19．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b210．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图1所示，则下列结论中一定成立的是()图1A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．已知第一象限的点(a ，b )在直线2x ＋3y －1＝0上，则代数式2a ＋3b 的最小值为________．12．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为________．13．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 14．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧log 2(1－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (2 013)＝________.15．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)＞0}，B ＝{y |y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3}．（1）若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；（2）当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B .17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x＋k ·2－x，k ∈R . （1）若函数f (x )为奇函数，求实数k 的值；（2）若对任意的x ∈[0，＋∞)都有f (x )＞2－x 成立，求实数k 的取值范围．18．(本小题满分12分)(2013·北京高考)设L 为曲线C ：y ＝ln xx在点(1,0)处的切线． （1）求L 的方程；（2）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方．19．(本小题满分12分)(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝13ax 3＋(a －2)x ＋c 的图象如图2所示．图2（1）求函数y ＝f (x )的解析式； （2）若g (x )＝kf ′(x )x－2ln x 在其定义域内为增函数，求实数k 的取值范围．20．(本小题满分13分)(2013·烟台模拟)某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(128x ＋20)x 25k 元．假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y 元．（1）试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当k ＝50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？21．(本小题满分14分)(2013·鄂州模拟)已知函数f (x )＝13x 3－ax ＋1. （1）求x ＝1时，f (x )取得极值，求a 的值； （2）求f (x )在[0,1]上的最小值；（3）若对任意m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线，求a 的取值范围．参考答案AABBB BDBAD 11. 25 12.2 13.－1 14.0 15.(－1,0)16.【解】 A ＝{y |y ＜a 或y ＞a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎨⎧a 2＋1≥4，a ≤2，∴3≤a ≤2或a ≤－ 3.∴a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，2]． (2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0， 依题意Δ＝a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2.∴a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y ＜－2或y ＞5}． ∴∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}．∴(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．17.【解】 (1)∵f (x )＝2x ＋k ·2－x 是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，x ∈R ， 即2－x ＋k ·2x ＝－(2x ＋k ·2－x )，∴(1＋k )＋(k ＋1)·22x ＝0对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－1. (2)∵x ∈[0，＋∞)，均有f (x )＞2－x，即2x ＋k ·2－x＞2－x成立， ∴1－k ＜22x对x ≥0恒成立，∴1－k ＜(22x)min ， ∵y ＝22x 在[0，＋∞)上单调递增，∴(22x )min ＝1，∴k ＞0. ∴实数k 的取值范围是(0，＋∞)．18.【解】 (1)设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2. 所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)． g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增． 所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方． 19.【解】 (1)∵f ′(x )＝ax 2＋a －2，由图可知函数f (x )的图象过点(0,3)，且f ′(1)＝0.得⎩⎨⎧ c ＝3，2a －2＝0，即⎩⎨⎧c ＝3，a ＝1.∴f (x )＝13x 3－x ＋3. (2)∵g (x )＝kf ′(x )x －2ln x ＝kx －k x －2ln x ，∴g ′(x )＝k ＋k x 2－2x ＝kx 2＋k －2xx 2.∵函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)，∴若函数y ＝g (x )在其定义域内为单调增函数，则函数g ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即kx 2＋k －2x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立．即k ≥2x x 2＋1在区间(0，＋∞)上恒成立．令h (x )＝2xx 2＋1，x ∈(0，＋∞)，则h (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤1(当且仅当x ＝1时取等号)．∴k ≥1. ∴实数k 的取值范围是[1，＋∞)．20.【解】 (1)设转盘上总共有n 个座位，则x ＝k n 即n ＝kx ，y ＝3k 2x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(128x ＋20)x 25k 2x ，定义域⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ≤k 2，k x ∈Z . (2)y ＝f (x )＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋(128x ＋20)25，y ′＝－125＋64x 3225x2k 2，令y ′＝0得x ＝2516.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2516时，f ′(x )＜0，即f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2516上单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2516，25时，f ′(x )＞0，即f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2516，25上单调递增， y 的最小值在x ＝2516时取到，此时座位个数为502516＝32个．21.【解】 (1)因为f ′(x )＝x 2－a ，当x ＝1时，f (x )取得极值，所以f ′(1)＝1－a ＝0，a ＝1. 又当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，即a ＝1符合题意． (2)当a ≤0时，f ′(x )＞0对x ∈(0,1)成立，所以f (x )在[0,1]上单调递增，f (x )在x ＝0处取最小值f (0)＝1，当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，x1＝－a，x2＝a，当0＜a＜1时，a＜1，x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x∈(a，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－2a a 3.当a≥1时，a≥1，x∈[0,1]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝43－a.综上所述，当a≤0时，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1；当0＜a＜1时，f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－2a a 3；当a≥1时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝43－a.(3)因为∀m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，所以f′(x)＝x2－a≠－1对x∈R成立，只要f′(x)＝x2－a的最小值大于－1即可，而f′(x)＝x2－a的最小值为f(0)＝－a，所以－a＞－1，即a＜1.所以a的取值范围是(－∞，－1)．。

2015高考数学（文）质量检测 函数、导数及其应用(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2014·日照模拟）已知函数f (x )在定义域(0，＋∞)上是单调函数，若对于任意x∈(0，＋∞)，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫fx －1x ＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15的值是( ) A. 5 B. 6 C. 7D. 8解析：因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f x －1x ＝2对任意x ∈(0，＋∞)都成立，所以f (x )－1x ＝c >0(c 为常数)，即f (x )＝c ＋1x，且f (c )＝2，故2＝c ＋1c ，解得c ＝1，故f (x )＝1＋1x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝1＋5＝6. 答案：B 2．若f (x )＝2lg (1－x )，则f (x )的定义域是( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(－∞，0)∪(0,1)解析：要使函数有意义，则⎩⎨⎧1－x >0，1－x ≠1，解得x <1且x ≠0，故函数定义域是(－∞，0)∪(0,1)．答案：D 3．若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则实数a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x ) ＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，又a >1，所以a ＝2.答案：A4．（2014·江西模拟）已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：由f (2x －1)<f (13)，得f (|2x －1|)<f (13)，∵f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|2x －1|<13，即－13<2x －1<13，解得13<x <23，故选A.答案：A5．已知a >b ，函数f (x )＝(x －a )(x －b )的图象如下图所示，则函数g (x )＝log a (x ＋b )的图象可能为( )解析：由图知a >1，排除A ，D ；又0<b <1，排除C ，故选B. 答案：B6．函数f (x )＝x 2＋(1－a 2)x －ax 是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则实数a ＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．±1解析：解法一：由函数f (x )是奇函数，得f (－x )＝(－x )2＋(1－a 2)(－x )－a －x ＝－f (x )＝－x 2＋(1－a 2)x －a x 对一切实数R 恒成立，即x 2－(1－a 2)x －a－x ＝x 2＋(1－a 2)x －a－x 对一切实数R 恒成立，所以－(1－a 2)x ＝(1－a 2)x 对一切实数R恒成立，故1－a 2＝0，解得a ＝±1.当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1x 不满足在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝1时，f (x )＝x 2－1x ＝x －1x 满足在(0，＋∞)上单调递增．综上，a ＝1.解法二：f (x )＝x －ax ＋(1－a 2)，若函数f (x )是奇函数，则1－a 2＝0，解得a ＝±1.当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1x 不满足在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝1时，f (x )＝x 2－1x ＝x －1x 满足在(0，＋∞)上单调递增．综上，a ＝1.答案：C7．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x ，c ＝e ln x ，则( )A ．c >b >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．b >c >a解析：因为x ∈(e －1,1)，所以－1<a <0,1<b <2，1e <c <1，故b >c >a .答案：D8．(2013年武汉调研测试)某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一种品牌的车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆这种品牌车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元解析：依题意，设在A 地销售x 辆汽车，则在B 地销售(16－x )辆汽车， ∴总利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32，∵x ∈[0,16]且x ∈N ，∴当x ＝10辆或11辆时，总利润y max ＝43万元，故选C.答案：C9．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )A ．b <1B ．b >1C ．0<b <1D ．b <12解析：f (x )在(0,1)内有极小值，则f ′(x )＝2x －2b ＝0在(0,1)内有解．∴b ∈(0,1)．答案：C10．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －sin x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．4解析：画出y ＝sin x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在同一坐标系下[0,2π)区间内的图象，可知有两个交点，故选B.答案：B11．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13解析：由f (2－x )＝f (x )得f (1－x )＝f (x ＋1)，即函数f (x )的对称轴为x ＝1，结合图形可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (0)＝f (2)，故选C.答案：C12．(2013年福建六校联考)设函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 012)>e 2 012f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 012)<e 2 012f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 012)>e 2 012f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 012)<e 2 012f (0)解析：解法一 令f (x )＝|x |＋2，所以f (2)＝4，f (0)＝2，f (2 012)＝2 014，所以f (2)<e 2f (0)，f (2 012)<e 2 012f (0)．解法二 因为f ′(x )<f (x )，所以f ′(x )e x <f (x )e x ，即f ′(x )·e x <f (x )·e x ，F ′(x )＝f ′(x )·e x －f (x )·e xe 2x<0，所以F (x )＝f (x )e x 在R 上为减函数，所以f (2 012)e 2 012<f (2)e 2<f (0)e 0，所以选择B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝______.解析：由3x －a >0得x >a 3.因此，函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞，所以a 3＝23，a ＝2.答案：214．(2013年福建六校联考)已知奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72的值为________．解析：因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x )的周期为4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ 2.答案：－ 215．函数y ＝4x －1＋23－x 单调递减区间为________．解析：易知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，3，y >0.∵y 与y 2有相同的单调区间，而y 2＝11＋4－4x 2＋13x －3，∴原函数递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤138，3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤138，316．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋1， x ≥1，x 2－1x 3－1，x <1在点x ＝1处连续，则实数a ＝________.解析：x 2－1x 3－1＝x ＋1x 2＋x ＋1，则有f (1)＝a ＋1＝1＋11＋1＋1，因此a ＝－13.答案：－13三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )上点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)若y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )在区间[－3,1]上的最大值．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 求导数，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，过y ＝f (x )上点P (1，f (1))的切线方程为：y －f (1)＝f ′(1)(x －1)，即y －(a ＋b ＋c ＋1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)．而过y ＝f (x )上P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1，故⎩⎨⎧ 3＋2a ＋b ＝3，a ＋b ＋c －2＝1，即⎩⎨⎧2a ＋b ＝0， ①a ＋b ＋c ＝3. ② ∵y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，故f ′(－2)＝0， ∴－4a ＋b ＝－12. ③由①②③联立，解得a ＝2，b ＝－4，c ＝5， ∴f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2).f (x )极大值f (1)＝13＋2×1－4×1＋5＝4，∴f (x )在[－3,1]上最大值为13. 18．已知函数f (x )＝a －1|2x －b |是偶函数，a 为实常数． (1)求b 的值；(2)当a ＝1时，是否存在n >m >0，使得函数y ＝f (x )在区间[m ，n ]上的函数值组成的集合也是[m ，n ]，若存在，求出m ，n 的值，否则，说明理由．解：(1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠b 2. ∵f (x )是偶函数，其定义域关于原点对称， ∴b ＝0.(2)a ＝1时，f (x )＝1－12|x |， x >0时，f (x )＝1－12x ，∵f (x )＝1－12x 在[m ，n ](m >0)上是增函数， ∴f (x )在[m ，n ]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12m ，1－12n .又f (x )在[m ，n ]上的值域为[m ，n ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－12m ＝m ，1－12n ＝n ，即⎩⎨⎧2m 2－2m ＋1＝0，2n 2－2n ＋1＝0. ∴m ，n 为方程2x 2－2x ＋1＝0的两正根，而方程2x 2－2x ＋1＝0无实数根， ∴满足条件的m ，n 不存在．19．(2012年北京海淀期末)已知函数f (x )＝e x (x 2＋ax －a )，其中a 是常数． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若存在实数k ，使得关于x 的方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．解：(1)由f (x )＝e x (x 2＋ax －a )可得f ′(x )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ]．当a ＝1时，f (1)＝e ，f ′(1)＝4e ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即y ＝4e x －3e.(2)令f ′(x )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ]＝0，解得x ＝－(a ＋2)或x ＝0.当－(a ＋2)≤0即a ≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f ′(x )≥0，所以f (x )是[0，＋∞)上的增函数，所以方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根；当－(a ＋2)>0，即a <－2时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下：由上表可知函数f (x )在[0，＋∞)上的极小值为f (－(a ＋2))＝ea ＋2.因为函数f (x )在(0，－(a ＋2))上是减函数，在(－(a ＋2)，＋∞)上是增函数，且当x ≥－a 时，有f (x )≥e －a (－a )>－a ，所以要使方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋4e a ＋2，－a .20．定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对于任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x； (1)当a ＝1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)a ＝1时，f (x )＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，x ∈(－∞，0)．令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈(1，＋∞)．∵g (t )＝1＋t ＋t 2在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (t )>g (1)＝3.∴f (x )在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)，故对于任意x ∈(－∞，0)，不存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，即函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数．(2)若f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，则|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立，令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈(0,1]．∴|1＋at ＋t 2|≤3，即－4≤at ＋t 2≤2在(0,1]上恒成立， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≤a ≤2t －t 在(0,1]上恒成立．又0<t ≤1时，－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≤－5，2t －t ≥1，∴－5≤a ≤1，即a 的取值范围是[－5,1]． 21．已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x ，a ∈R . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间； (2)当x >1时，f (x )>ln x 恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)若a ＝－1，f ′(x )＝x －1x (x >0)， 由f ′(x )>0得x 2－1x >0，又x >0，解得x >1，所以函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)． (2)依题意得f (x )－ln x >0，即12x 2＋a ln x －ln x >0， ∴(a －1)ln x >－12x 2，∵x >1，∴ln x >0，∴a －1>－12x 2ln x ， ∴a －1>⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12x 2ln x max ，设g (x )＝－12x 2ln x ，g ′(x )＝－x ln x ＋12x(ln x )2，令g ′(x )＝0，解得x ＝e 12，当1<x <e 12时，g ′(x )>0，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，e 12上单调递增；当x >e 12时，g ′(x )<0，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫e 12，＋∞上单调递减；∴g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 12＝－e ，∴a －1>－e ，即a >1－e.22．已知a ∈R ，函数f (x )＝ln (x ＋1)－x 2＋ax ＋2.(1)若函数f (x )在[1，＋∞)上为减函数，求实数a 的取值范围；(2)令a ＝－1，b ∈R ，已知函数g (x )＝b ＋2bx －x 2.若对任意x 1∈(－1，＋∞)，总存在x 2∈[－1，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数b 的取值范围．解：(1)函数f (x )在[1，＋∞)上为减函数⇒f ′(x )＝1x ＋1－2x ＋a ≤0在[1，＋∞)上恒成立⇒a ≤2x －1x ＋1在[1，＋∞)上恒成立， 令h (x )＝2x －1x ＋1，由h ′(x )>0⇒h (x )在[1，＋∞)上为增函数⇒h (x )min ＝h (1)＝32，所以a ≤32； (2)若对任意x 1∈(－1，＋∞)，总存在x 2∈[－1，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则函数f (x )在(－1，＋∞)上的值域是函数g (x )在[－1，＋∞)上的值域的子集．对于函数f (x )，因为a ＝－1，所以f (x )＝ln (x ＋1)－x 2－x ＋2，定义域(－1，＋∞)．f ′(x )＝1x ＋1－2x －1＝－2x 2－3x x ＋1.第 11 页 共 11 页 令f ′(x )＝0得x 3＝0，x 4＝－32(舍去)．当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：所以f (x )max 对于函数g (x )＝－x 2＋2bx ＋b ＝－(x －b )2＋b ＋b 2，①当b ≤－1时，g (x )的最大值为g (－1)＝－1－b ⇒g (x )值域为(－∞，－1－b ]，由－1－b ≥2⇒b ≤－3；②当b >－1时，g (x )的最大值为g (b )＝b 2＋b ⇒g (x )值域为(－∞，b 2＋b ]； 由b 2＋b ≥2⇒b ≥1或b ≤－2(舍去)，综上所述，b 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．。

[课堂练通考点]1．(2014·成都质检)命题“∀x ∈R ，都有ln(x 2＋1)>0”的否定为( ) A ．∀x ∈R ，都有ln(x 2＋1)≤0B ．∃x 0∈R ，使得ln(x 20＋1)>0C ．∀x ∈R ，都有ln(x 2＋1)<0D ．∃x 0∈R ，使得ln(x 20＋1)≤0解析：选D 任意的否定是存在，大于的否定是小于等于． 2．有下列四个命题，其中真命题是( ) A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n ∈R ，∀m ∈R ，m ·n ＝mC ．∀n ∈R ，∃m ∈R ，m 2<nD ．∀n ∈R ，n 2<n解析：选B 对于选项A ，令n ＝12即可验证其不正确；对于选项C 、选项D ，可令n ＝－1加以验证，均不正确，故选B.3．(2014·日照调研)“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若命题“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题，若命题“p 且q ”为真命题，则p ，q 都为真命题，因此“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的必要不充分条件．4．(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：选A 由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(綈p )∨(綈q )．5．已知p ：2＋3＝5，q ：5<4，则下列判断正确的是( ) A ．“p 或q ”为真，p 为假B．“p且q”为假，q为真C．“p且q”为假，p为假D．“p且綈q”为真，“p或q”为真解析：选D∵p为真，∴綈p为假．又∵q为假，∴綈q为真，∴“p且綈q”为真，“p或q”为真．6．(2013·湖南六校联考)已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0，命题q：∀x∈(0,1)，log2x<0，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)解析：选C由指数函数的图像与性质可知，命题p是假命题，由对数函数的图像与性质可知，命题q是真命题，则命题“p∧q”为假命题，命题“p∨(綈q)”为假命题，命题“(綈p)∧q”为真命题，命题“p∧(綈q)”为假命题．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是()A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2B．∃a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C．∀a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2解析：选D全称命题含有量词“∀”，故排除A、B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立，故选D.2．(2013·湖北八校联考)已知命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为()A．所有的指数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是指数函数C．存在一个指数函数，它不是单调函数D．存在一个单调函数，它不是指数函数解析：选C命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为：存在一个指数函数，它不是单调函数．3．如果命题“p∧q”是假命题，“綈q”也是假命题，则()A．命题“綈p∨q”是假命题B．命题“p∨q”是假命题C．命题“綈p∧q”是真命题D．命题“p∧綈q”是真命题解析：选C由“綈q”为假命题得q为真命题，又“p∧q”是假命题，所以p为假命题，綈p为真命题．所以命题“綈p∨q”是真命题，A错；命题“p∨q”是真命题，B错；命题“p∧綈q”是假命题，D错；命题“綈p∧q”是真命题，故选C.4．(2014·湖北八校联考)已知命题p ：m ，n 为直线，α为平面，若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α；命题q ：若a >b ，则ac >bc ，则下列命题为真命题的是( )A ．p 或qB ．綈p 或qC ．綈p 且qD ．p 且q解析：选B 命题q ：若a >b ，则ac >bc 为假命题，命题p ：m ，n 为直线，α为平面，若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α也为假命题，因此只有綈p 或q 为真命题．5．(2014·深圳调研)下列命题为真命题的是( ) A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“x ＝5”是“x 2－4x －5＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x <－1，则x 2－2x －3≤0”D ．已知命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0－1<0，则綈p ：∀x ∈R ，使得x 2＋x －1>0解析：选B 对于A ，“p 真q 假”时p ∨q 为真命题，但p ∧q 为假命题，故A 错；对于C ，否命题应为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”，故C 错；对于D ，綈p 应为“∀x ∈R ，使得x 2＋x －1≥0”，故D 错．6．(2013·东北四市调研)已知命题p 1：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0成立；p 2：对任意x∈[1,2]，x 2－1≥0.以下命题为真命题的是( )A ．(綈p 1)∧(綈p 2)B ．p 1∨(綈p 2)C ．(綈p 1)∧p 2D ．p 1∧p 2解析：选C ∵方程x 20＋x 0＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x 20＋x 0＋1<0无解，故命题p 1为假命题，綈p 1为真命题； 由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1.∴对任意x ∈[1,2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题，綈p 2为假命题． ∵綈p 1为真命题，p 2为真命题， ∴(綈p 1)∧p 2为真命题，选C.7．下列命题中是真命题的为( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ≠1”B ．命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0>1，则綈p ：∀x ∈R ，sin x ≤1C ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．“φ＝π2＋2k π(k ∈Z )”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件解析：选B 对于A ，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题是“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1”，A 错误；由全称命题的否定是特称命题知，B 正确；当p ，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p 且q 为假命题，故C 错误；函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数的充要条件为φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故D 错误． 8．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]都有x 2≥a ”．命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋2ax 0＋2－a ＝0成立”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．(－2,1)C ．(－∞，－2]∪{1}D ．[1，＋∞)解析：选C 若p 是真命题，即a ≤(x 2)min ，x ∈[1,2]，所以a ≤1；若q 是真命题，即x 2＋2ax 0＋2－a ＝0有解，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.命题“p ∧q ”是真命题，则p 是真命题，q 也是真命题，故有a ≤－2或a ＝1.9．已知命题p ：“∀x ∈N *，x >1x ”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________”；q 的真假为________(填“真”或“假”)．解析：q ：∃x 0∈N *，x 0≤1x 0，当x 0＝1时，x 0＝1x 0成立，故q 为真．答案：∃x 0∈N *，x 0≤1x 0真10．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a <0.综上，－8≤a ≤0.答案：[－8,0]11．已知命题p ：∃a 0∈R ，曲线x 2＋y 2a 0＝1为双曲线；命题q ：x 2－7x ＋12<0的解集是{x |3<x <4}．给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题．其中正确的是________．解析：因为命题p 和命题q 都是真命题，所以命题“p ∧q ”是真命题，命题“p ∧綈q ”是假命题，命题“綈p ∨q ”是真命题，命题“綈p ∨綈q ”是假命题．答案：①②③④ 12．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋12>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)解析：在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p ∧(綈q )”是假命题是正确的．在②中l 1⊥l 2⇔a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”正确．答案：①③ 第Ⅱ组：重点选做题1．命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，函数f (x )＝|log 2x |的值域为[0，＋∞)；命题q ：∃m ≥0，使得y ＝sin mx 的周期小于π2，试判断p ∨q ，p ∧q ，綈p 的真假性．解：对于命题p ，当f (x )＝|log 2x |＝0时，log 2x ＝0，即x ＝1,1∉(1，＋∞)，故命题p 为假命题．对于命题q ，y ＝sin mx 的周期T ＝2π|m |<π2，即|m |>4，故m <－4或m >4，故存在，m ≥0，使得命题q 成立，所以p 且q 为假命题．故p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为真命题．2．已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围． 解：由命题p 为真知，0<c <1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c <2，即c >12，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， 则p 、q 中必有一真一假， 当p 真q 假时， c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪0<c ≤12或c ≥1.。

安徽省各地2015届高三上最新考试数学理试题分类汇编集合与常用逻辑用语一、集合1、（蚌埠市2015届高三第一次质量检测）已知集合{}2x x A =<，{}5x y y B ==，则A B=（ ）A ．{}2x x <B ．{}2x x >C ．{}02x x ≤<D ．{}02x x <<2、（合肥市2015届高三第一次教学质量检测）已知集合2{|12},{|10}A x x B x x =≤≤=-≤，则A B =A 、{|11}x x -<<B 、{|12}x x -<<C 、{1}D 、∅3、（淮南市2015届高三第一次模拟）集合},1)1(log {},13{2≤+∈=≥∈=x N x B xN x A 则集合B A ⋂的子集个数为A.8B. 4C. 3D. 24、（江淮名校2015届高三第二次联考）已知集合{}{}||2,,2,A x x x R B xx x z =≤∈=≤∈，则A B =（ ）A ．（0,2）B ．[0，2]C ．{0,2}D ．{0,l,2}．5、（江淮十校2015届高三11月联考）已知全集U R =,集合2{|2}A x y x x ==-，集合{|,}x B y y e x R ==∈，则(C )R A B =A.{|2}x x >B.{|01}x x <≤C.{|12}x x <≤D.{|0}x x <6、（皖江名校2015届高三1月联考）设集合A ＝{x ｜x 2－5x ＜0}，B ＝{y ｜y ＝x 2}，则A ()R C B ＝A 、RB 、{x ∈R ｜x ≠0}C 、{x ∈R ｜0＜x ≤0}D 、∅参考答案1、D2、C3、A4、D5、A6、D二、常用逻辑用语1、（蚌埠市2015届高三第一次质量检测）函数()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期大于π的充分不必要条件是（ ）A ．1ω=B ．2ω=C ．1ω<D ．2ω>2、（蚌埠市2015届高三第一次质量检测）命题：“R x ∀∈，都有31x ≥”的否定形式为3、（合肥市2015届高三第一次教学质量检测）“1a ≤-”是“函数1()ln f x x ax x=++在[1,)+∞上是单调函数”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、（淮北市、亳州市2015届高三第一次模拟）已知n X m log =，则1>mn 是1>X 的（ ）。

单元质检一集合与常用逻辑用语(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.设全集U=R,集合M={x|x>1},P={x|x2>1},则下列关系中正确的是()A.M=PB.P⊆MC.M⊆PD.(∁U M)∩P=⌀答案:C解析:∵x2>1,∴x>1或x<-1.故M⊆P.2.(2015浙江,文1)已知集合P={x|x2-2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q=()A.[3,4)B.(2,3]C.(-1,2)D.(-1,3]答案:A解析:因为P={x|x≤-1或x≥3},所以P∩Q={x|3≤x<4},故选A.3.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:任意x∈A,2x∈B,则()A. p:存在x0∈A,2x0∈BB. p:存在x0∉A,2x0∈BC. p:存在x0∈A,2x0∉BD. p:任意x∉A,2x∉B答案:C解析:原命题的否定是存在x0∈A,2x0∉B.4.“p或q是真命题”是“ p为假命题”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析: p为假命题,p为真命题,可得p或q是真命题;p或q是真命题,可以p为假命题,q为真命题,从而 p为真命题.故选A.5.(2015太原模拟)已知集合A=,则满足A∪B={-1,0,1}的集合B的个数是()A.2B.3C.4D.9〚导学号32470560〛答案:C解析:解方程x-=0,得x=1或x=-1,所以A={1,-1},又A∪B={-1,0,1},所以B={0}或{0,1}或{0,-1}或{0,1,-1},集合B共有4个.6.(2015吉林一中质检)若命题p:任意x∈R,cos x≤1,则 p为()A.存在x0∈R,cos x0>1B.任意x∈R,cos x>1C.存在x0∈R,cos x0≥1D.任意x∈R,cos x≥1答案:A解析:由全称命题的否定得, p:存在x0∈R,cos x0>1,故选A.7.命题“若α=,则sin α=”的逆否命题是()A.若α≠,则sin α≠B.若α=,则sin α≠C.若sin α≠,则α≠D.若sin α≠,则α=答案:C解析:根据互为逆否命题的特征,即“若p,则q”的逆否命题为“若 q,则 p”,知C正确.8.(2015杭州质量检测)设直线l1:2x-my=1,l2:(m-1)x-y=1,则“m=2”是“l1∥l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:因为当l1∥l2时,-2+m(m-1)=0,解得m=2或m=-1,所以“m=2”是“l1∥l2”的充分不必要条件,故选A.9.下列命题中的真命题是()A.存在x∈R,sin x+cos x=B.任意x∈(0,+∞),e x>x+1C.存在x∈(-∞,0),2x<3xD.任意x∈(0,π),sin x>cos x答案:B解析:任意x∈R,sin x+cos x≤,任意x∈(-∞,0),2x>3x,sin=cos,故A,C,D都是假命题.令f(x)=e x-x-1,则f'(x)=e x-1>0对于x∈(0,+∞)恒成立,故f(x)在(0,+∞)上递增,则f(x)>f(0)=0,故e x>x+1,B是真命题.10.(2015贵阳一模)下列命题中正确的是()A.存在x0∈R,+2x0+3=0B.任意x∈N,x3>x2C.x>1是x2>1的充分不必要条件D.若a>b,则a2>b2答案:C解析:因为+2x0+3=(x0+1)2+2>0,则选项A错;因为x3-x2=x2(x-1)不一定大于0,则选项B不正确;若x>1,则x2>1成立,反之,不成立,选项C正确;取a=1,b=-2,满足a>b,但a2>b2不成立,选项D错,故选C.11.(2015广东汕头一模)已知命题p:存在x∈R,x-2>lg x,命题q:任意x∈R,e x>1,则()A.命题p或q是假命题B.命题p且q是真命题C.命题p且( q)是真命题D.命题p或( q)是假命题答案:C解析:因为命题p:存在x∈R,x-2>lg x是真命题,而命题q:任意x∈R,e x>1是假命题,由复合命题的真值表可知命题p且( q)是真命题,选C.12.(2015成都一诊)下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1,则x≠1”B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题D.命题“存在x∈R使得x2+x+1<0”的否定是:“任意x∈R均有x2+x+1<0”答案:C解析:否命题应同时否定条件与结论,则选项A错;若x=-1,则x2-5x-6=0成立,反之,不成立,选项B 错;因为原命题为真命题,则其逆否命题为真命题,选项C正确;应同时否定结论,选项D错,故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.命题p:“存在x0∈R,-x0+1>0”的否定 p为.答案:任意x∈R,x2-x+1≤0解析:特称命题的否定是全称命题.命题p:“存在x0∈R,-x0+1>0”的否定 p为“任意x∈R,x2-x+1≤0”.14.已知集合A=,集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=,n=.〚导学号32470561〛答案:-1 1解析:∵|x+2|<3,∴-3<x+2<3,∴-5<x<1.∴A=(-5,1).又∵B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),∴-1是方程(x-m)(x-2)=0的根,n是区间(-5,1)的右端点,∴m=-1,n=1.15.已知函数f(x)=x2+mx+1,若命题“存在x0>0,f(x0)<0”为真,则实数m的取值范围是.〚导学号32470562〛答案:(-∞,-2)解析:命题“存在x0>0,f(x0)<0”为真,即方程f(x)=x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,且至少有一个正根.因为函数f(x)为二次函数,图像开口向上,且f(0)=1>0,所以⇒m<-2,即m的取值范围是(-∞,-2).16.设命题p:方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;命题q:方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根.则使p或q为真,p且q为假的实数m的取值范围是.〚导学号32470563〛答案:(-∞,-2]∪[-1,3)解析:设方程x2+2mx+1=0的两根分别为x1,x2,由得m<-1,所以命题p为真时,m<-1.由方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,可知Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0,得-2<m<3,所以命题q为真时,-2<m<3.由p或q为真,p且q为假,可知命题p,q一真一假,当p真q假时,此时m≤-2;当p假q真时,此时-1≤m<3,所以所求实数m的取值范围是m≤-2或-1≤m<3.。

北京市2015年高考数学（理）一轮专题复习特训集合与常用逻辑用语一 选择题1【2014北京（理）真题1】已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则AB =（ ）A.{0} B ．{0,1} C ．{0,2} D ．{0,1,2} 【答案】C2【2013北京（理）真题1】已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x ＜1}，则A ∩B ＝( )． A ．{0} B ．{－1,0} C ．{0,1} D ．{－1,0,1} 【答案】B3【2012北京（理）真题1】已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= ( ) A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞) 【答案】D4【2011北京（理）真题1】已知集合2{|1}P x x =≤，{}M a =，若PM P =，则a 的取值范围是A. (,1]-∞-B. [1,)+∞C. [1,1]-D. (,1]-∞-[1,)+∞【答案】C5.（2014海淀一模）1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A AB ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭集合则A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ6.（2014西城一模）1．设全集U =R ，集合2{|0}A x x =<≤，{|1}B x x =<，则集合()UA B =（ ）（A ）(,2]-∞ （B ）(,1]-∞（C ）(2,)+∞（D ）[2,)+∞7.（2014东城一模）（1）已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≥，则A =R（A ）{|1x x <-，或2}x > （B ）{|1x x ≤-，或2}x ≥（C ）{|12}x x -<< （D ）{|12}x x -≤≤8.（2014朝阳一模）（2）已知集合1{|()1}2xA x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则AB =（A ）{|0}x x > （B ）{|1}x x > （C ） {|1}{|0}x x x x >< （D ） ∅ 9.（2014丰台一模）（1）设集合{|11}A x R x =∈-≤≤,{|(3)0}B x R x x =∈-≤,则A B 等于（A ） {|13}x R x ∈-≤≤ （B ） {|03}x R x ∈≤≤ （C ） {|10}x R x ∈-≤≤ （D ） {|01}x R x ∈≤≤10.（2014石景山一模）1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么UAB =（ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<11.（2014大兴一模）（1）已知集合{}1,0,1A =-，{}10B x x =+>，那么AB 等于A. {}1,0,1-B. {}0,1C. (1,)-+∞D. [)1,-+∞ 12.（2014海淀一模）5.在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -==”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13.（2014西城一模）6． “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件14.（2014朝阳一模）（5）在ABC △中，π4A =，BC =则“AC =π3B =”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件15.（2014丰台一模）（5） “1m n >>”是 “log 2log 2m n <”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 16.（2014大兴一模）（5）“0x >”是“12x x+≥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件。

2015届新课标高考数学(文)一轮复习质量检测试题【1】及答案质量检测(一)测试内容：集合常用逻辑用语与函数导数及应用时间：90分钟分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2013·陕西卷)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M为()A．[－1,1] B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：从函数定义域切入，∵1－x2≥0，∴－1≤x≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.答案：D2．(2013·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆BD⇒/a＝3，所以“a ＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．答案：A3．(2013·山东烟台诊断)下列说法错误的是()A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件6．(2014·河北名校名师俱乐部二调)曲线y ＝12x 2＋x 在点(2,4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1B ．2 C.43 D.23解析：y ′＝x ＋1，所以切线在点(2,4)处的斜率为3，切线方程为y －4＝3(x －2)，令x ＝0，得y ＝－2，令y ＝0，得x ＝23，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×|－2|×23＝23. 答案：D7．(2013·重庆卷)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R)，f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝( )A ．－5B ．－1C ．3D ．4解析：因为f [lg(log 210)]＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg2＝f [－lg(lg 2)]＝5，又f (x )＋f (－x )＝8，所以f [－lg(lg 2)]＋f [lg(lg 2)]＝8，所以f [lg(lg 2)]＝3，故选C.答案：C8．(2013·青岛市统一质检)已知函数f (x )对定义域R 内的任意x 都有f (x )＝f (4－x )，且当x ≠2时其导函数f ′(x )满足xf ′(x )>2f ′(x )，若2<a <4则( )A ．f (2a )<f (3)<f (log 2a )B ．f (3)<f (log 2a )<f (2a )C ．f (log 2a )<f (3)<f (2a )D ．f (log 2a )<f (2a )<f (3)解析：由f (x )＝f (4－x )知函数f (x )关于x ＝2对称，x ≠2时，有(x －2)f ′(x )>0，∴x >2时f ′(x )>0，x <2时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，2)上单调减，在(2，＋∞)上单调增，2<a <4时4<2a <16，k log 2a <2，∴log 2a <2<2a ，知f (log 2a )<f (3)<f (2a )，选C.答案：C9．(2013·南平市质检)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x ＋a e x ，(a ∈R ，e 是自然对数的底数)，在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[－1,0]C ．[－1,1]D ．(－∞，－e 2)∪[e 2，＋∞)解析：当a ＝1时，f (x )＝e x＋1e x f ′(x )＝e x －1e x ＝e x －1e x 在[0,1]上f ′(x )≥0，所以f (x )在区间[0,1]上单调递增．a ＝－1时f (x )＝e x－1e x 很显然在区间[0,1]上单调递增，故选C. 答案：C10．(2014·河北名校名师俱乐部二调)下图中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或53解析：∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∴导函数f ′(x )的图象开口向上．又∵a ≠0，∴其图象必为第(3)个图．由图象特征知f ′(0)＝0，且－a >0，∴a ＝－1，∴f (x )＝13x 3－x 2＋1， 故f (－1)＝－13－1＋1＝－13. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2013·重庆市九校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x ，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________. 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝－2，f (－2)＝14， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝14. 答案：1412．f (x )＝xn 2－3n (n ∈Z)是偶函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝________.解析：因为f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n 2－3n <0，即0<n <3，又因为f (x )是偶函数，所以n 2－3n 是偶数，只有n ＝1或2满足条件．答案：1或213．(2013·山东菏泽模拟)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f(－x)d x 的值等于________． 解析：由于f(x)＝x m ＋ax 的导函数f ′(x)＝2x ＋1，所以f(x)＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f(－x)d x ＝⎠⎛12(x 2－x)d x ＝(13x 3－12x 2)|21＝56. 答案：5614．(2013·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m )．解析：如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AF AH ⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x.则S ＝x(40－x)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20(m )．答案：20三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(满分12分)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求a 的取值范围．解：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a)(x ＋a)＝0，∴x ＝a 2或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. 又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a>2或a<－2.即a 的取值范围为{a|a>2或a<－2}．16．(满分12分)(2013·丰台区期末练习)已知函数f(x)＝(ax 2＋bx ＋c)e x (a>0)的导函数y ＝f ′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－1，求f(x)的极大值．解：(1)f ′(x)＝(2ax ＋b)e x ＋(ax 2＋bx ＋c)e x ＝[ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c]e x .令g(x)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c ，∵e x >0，∴y ＝f ′(x)的零点就是g(x)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c 的零点，且f ′(x)与g(x)符号相同．又∵a>0，∴当x<－3，或x>0时，g(x)>0，即f ′(x)>0，当－3<x<0时，g(x)<0，即f ′(x)<0，∴f(x)的单调增区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，单调减区间是(－3,0)．(2)由(1)知，x ＝0是f(x)的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝－1，b ＋c ＝0，9a －3(2a ＋b )＋b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝1，c ＝－1.所以函数的解析式为f(x)＝(x 2＋x －1)e x .又由(1)知，f(x)的单调增区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，单调减区间是(－3,0)．所以，函数f(x)的极大值为f(－3)＝(9－3－1)e －3＝5e 3. 17．(满分12分)2013年8月31日第十二届全运会在辽宁沈阳开幕，历时13天．某小商品公司以此为契机，开发了一种纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量得到提高，市场分析的结果表明：如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2，记改进工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是y 元．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大．解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x 2)件，则月平均利润为y ＝a(1－x 2)·[20(1＋x)－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)．(2)由y ′＝5a(4－2x －12x 2)＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍去)， 所以当0<x<12时，y ′>0；当12<x<1时，y ′<0. 所以函数y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)在x ＝12处取得最大值． 故改进工艺后，纪念品的销售价为20×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝30元时，该公司销售该纪念品的月平均利润最大．18．(满分14分)(2013·山西省第三次四校联考)已知函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e ]上的最小值为－2，求a 的取值范围；(3)若对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1<x 2，且f(x 1)＋2x 1< f(x 2)＋2x 2恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－3x ＋ln x ，f(x)＝2x －3＋1x . 因为f ′(1)＝0，f(1)＝－2.所以切线方程是y ＝－2.(2)函数f(x)＝2ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)．当a>0时，f ′(x)＝2ax －(a ＋2)＋1x＝2ax 2－(a ＋2)x －1x(x>0) 令f ′(x)＝0，即f ′(x)＝2ax 2－(a ＋2)x ＋1x＝(2x －1)(ax －1)x ＝0，所以x ＝12或x ＝1a. 当0<1a≤1，即a ≥1时，f(x)在[1，e ]上单调递增，所以f(x)在[1，e ]上的最小值是f(1)＝－2；当1<1a <e 时，f(x)在[1，e ]上的最小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f(1)＝－2，不合题意；当1a≥e 时，f(x)在(1，e )上单调递减， 所以f(x)在[1，e ]上的最小值是f(e )<f(1)＝－2，不合题意． ∴综上a ≥1.(3)设g(x)＝f(x)＋2x ，则g(x)＝ax 2－ax ＋ln x ，只要g(x)在(0，＋∞)上单调递增即可．而g ′(x)＝2ax －a ＋1x ＝2ax 2－ax ＋1x当a ＝0时，g ′(x)＝1x>0，此时g(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≠0时，只需g ′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，因为x ∈(0，＋∞)，只要2ax 2－ax ＋1≥0，则需要a>0，对于函数y ＝2ax 2－ax ＋1，过定点(0,1)，对称轴x ＝14>0，只需Δ＝a 2－8a ≤0，即0<a ≤8.综上0≤a ≤8.。

2015高考数学（文）质量检测 集合、常用逻辑用语、不等式(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若1∈{a －3，9a2－1，a 2＋1，－1}则实数a 的值为( )A ．0或4B ．4 C.49D ．4或49解析：若a －3＝1，则a ＝4，此时9a2－1＝a 2＋1＝17，不符合集合中元素的互异性；若9a 2－1＝1，则a ＝49，符合条件；若a 2＋1＝1，则a ＝0，此时9a2－1＝－1，不符合集合中元素的互异性．综上可知a ＝49.故选C.答案：C2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |y ＝lg (x －1)}，则(∁U A )∩B 等于( )A ．{x |x >2或x <0}B ．{x |1<x <2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：A ＝{x |x 2－2x >0}＝{x |x >2或x <0}，∁U A ＝{x |0≤x ≤2}， B ＝{x |y ＝lg (x －1)}＝{x |x >1}，(∁U A )∩B ＝{x |1<x ≤2}． 答案：C3．命题p ：“若a ≥b ，则a ＋b >2 012且a >－b ”的逆否命题是 A ．若a ＋b ≤2 012且a ≤－b ，则a <b B ．若a ＋b ≤2 012且a ≤－b ，则a >b C ．若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a <b D ．若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a >b解析：根据逆否命题的定义可知，逆否命题为“若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a<b”．答案：C4．(2014·河南洛阳模拟)下列命题中的假命题是( )A. ∀x∈R,2x－1>0B. ∀x∈N*，(x－1)2>0C. ∃x∈R，lg x<1D. ∃x∈R，tan x＝2解析：分析命题所含量词，明确命题是全称命题还是特称命题，然后判断真假．A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1>0；B项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾；C项，当x＝110时，lg110＝－1<1；D项，当x∈R时，tan x∈R，∴∃x∈R，tan x＝2.故选B.答案：B5．已知a，b∈(0，＋∞)，若命题p：a2＋b2<1，命题q：ab＋1≤a＋b，则p是綈q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：綈q即：ab＋1>a＋b，即a2b2＋2ab＋1>a2＋b2＋2ab(∵a，b∈(0，＋∞))，即a2＋b2<1＋a2b2.∵a2＋b2<1⇒a2＋b2<1＋a2b2；而a2＋b2<1＋a2b2不能推出a2＋b2<1，∴p是綈q的充分不必要条件．答案：A6．下列命题错误的是() A．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件B．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x＝1，则x2－3x ＋2≠0”C．对命题：“对∀k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是：“∃k>0，方程x2＋x－k＝0无实根”D ．若命题p ：x ∈A ∪B ，则綈p ：x ∉A 且x ∉B解析：A 、C 、D 正确，对于B ，逆否命题：若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0. 答案：B7．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14解析：由题意知，圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心坐标为(－1,2)，将圆心坐标代入直线方程得2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1≥2ab ，所以ab ≤14，故选A.答案：A8．已知命题p ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(2,3)D ．(2,4)解析：由p 是假命题可知，∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0恒成立，故Δ＝4a 2－4a <0，解之得0<a <1.答案：A9．当0<a <b <1时，下列不等式正确的是 ( )A ．(1－a )>(1－a )bB ．(1＋a )a >(1＋b )bC ．(1－a )b >(1－a )D ．(1－a )a >(1－b )b解析：∵0<a <b <1，∴0<1－a <1，∴y ＝(1－a )x为减函数．又∵1b >b >b2>0，故A 、C 排除．由(1＋a )a <(1＋b )a <(1＋b )b 知B 也不正确．∵a <b ，∴(1－a )a >(1－b )b ，故选D.答案：D10．如果实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx ＋y 的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为( )A ．2B ．－2 C.15D ．不存在解析：A (1,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225，B (5,2)，可行域为图中阴影部分，z ＝kx ＋y 的最小值为3，最大值为12，则k >0.故当最优解为(1,1)时，z min ＝k ＋1＝3，∴k ＝2，故选A.答案：A11．设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式f (x )＋f (－x )x >0的解集为( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)解析：由于f (x )为偶函数，在[0，＋∞)上为减函数，则在(－∞，0)上为增函数，又f (x )＋f (－x )x ＝2f (x )x >0，则x >0，f (x )≥0，x <0，f (x )<0，又f (2)＝f (－2)＝0，如图所示，∴x <－2或0<x <2. 答案：B12．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2]C ．[－136，＋∞)D ．[－2，＋∞)解析：由x 2＋ax ＋1≥0得－a ≤x ＋1x 对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23都成立，又函数y ＝x ＋1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23上单调递减，当x ＝23时，函数y ＝x ＋1x 取得最小值136，∴－a ≤136，即a ≥－136.选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x >0，－x ，x ≤0，则不等式f (x )<4的解集是________．解析：不等式f (x )<4等价于⎩⎨⎧ x >0，x 2＋1<4或⎩⎨⎧x ≤0，－x <4，即0<x <3或－4<x ≤0.因此，不等式f (x )<4的解集是(－4，3)．答案：(－4，3)14．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －4≤0，x －y －2≤0，2x ＋y －5>0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．解析：根据不等式组画出可行域，如图所示为三角形，目标函数z ＝x ＋2y ，所以y ＝－12x ＋z 2.要使目标函数取得最大值，即直线的截距最大，观察图象可知，当直线过点A 时取得截距最大．由⎩⎨⎧x ＋y －4＝0，2x ＋y －5＝0解得点A (1,3)，所以z max ＝1＋2×3＝7. 答案：715.下列四个命题：(1)“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定； (2)“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；(3)在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的充分不必要条件； (4)“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ(k ∈Z )”． 其中真命题的序号是________(填所有真命题的序号)．解析：“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定为“∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0”，是真命题；“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题为“若x 2＋x －6<0，则x ≤2”，是真命题，其余两个很显然是假命题．答案：(1)(2)16．记max{a ，b }为a ，b 两数的最大值，当正数x ，y (x >y )变化时，t ＝max{x 2，25y (x －y )}的最小值为________．解析：25y (x －y )≥25⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋x －y 22＝100x 2，当且仅当y ＝x －y ，即x ＝2y 时等号成立，当x 2＝100x 2，即x 2＝10时，max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x 2，25y (x －y )取最小值10.答案：10三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}． (1)当a ＝3时，求A ∩B ，A ∪(∁U B )； (2)若A ∩B ＝Ø，求实数a 的取值范围．解：(1)a ＝3时，A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |x ≤1或x ≥4}． ∴A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1或4≤x ≤5}；∁U B ＝{x |1<x <4}，A ∪(∁U B )＝{x |－1≤x ≤5}． (2)∵A ∩B ＝Ø，∴当A ＝Ø时，2－a >2＋a ，得a <0；当A ≠Ø时，由⎩⎨⎧2－a ≤2＋a ，2－a >1，2＋a <4得0≤a <1.综上所述，a 的取值范围是(－∞，1)．18．设p ：函数y ＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．如果p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数a 的取值范围．解：由函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减可知0<a <1，即p ：0<a <1； 由曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，可得(2a －3)2－4>0，得a <12或a >52，即q ：0<a <12或a >52.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真． ∴p 、q 一真一假．(1)当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12≤a ≤52，得12≤a <1； (2)当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0<a <12或a >52，得a >52.所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.19．设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ⊆[1,4]，求实数a 的取值范围．解：(1)M ＝Ø时，由4a 2－4(a ＋2)<0，得－1<a <2； (2)M ≠Ø时，令f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，依题意得⎩⎨⎧1≤a ≤4，f (a )≤0，f (1)≥0，f (4)≥0，即⎩⎨⎧1≤a ≤4，－a 2＋a ＋2≤0，－a ＋3≥0，－7a ＋18≥0，解得1≤a ≤187.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，187.20．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求a 的取值范围．解：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时， |a2|≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p ∨q ”为假命题， ∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．21．(2012年青岛期末)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1，a ∈R 的定义域为R ，解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a >0.解：因为函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立．(*)当a ＝0时，1≥0恒成立，满足题意；当a ≠0时，为满足(*)必有a >0且Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1. 综上可知，a 的取值范围是0≤a ≤1. 原不等式可化为(x －a )[x －(1－a )]>0.①当0≤a <12时，不等式的解为x <a 或x >1－a ；②当a ＝12时，不等式的解为x ≠12；③当12<a ≤1时，不等式的解为x <1－a 或x >a .综上，当0≤a <12时，不等式的解集为{x |x <a 或x >1－a }； 当a ＝12时，不等式的解集为{x |x ≠12}；当12<a ≤1时，不等式的解集为{x |x <1－a 或x >a }．22．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15－0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书定价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋105＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)． (2)每套丛书售价定为x 元时， 由⎩⎨⎧1.5－0.1x >0，x >0得0<x <150. 依题意，单套丛书利润P ＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫30＋1015－0.1x ＝x －100150－x －30，∴P ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(150－x )＋100150－x ＋120， ∵0<x <150，∴150－x >0， 由(150－x )＋100150－x ≥2 (150－x)·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x＝100150－x，即x＝140时等号成立，此时P max＝－20＋120＝100.答：(1)当每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；(2)每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润取得最大值100元．。

2015 届高考数学（文科）一轮总复习集合与常用逻辑用语第一篇集合与常用逻辑用语第 1 讲集合及其运算基础巩固题组( 建议用时： 40 分钟 )一、填空题1 ．(2013 ?安徽卷改编 ) 已知 A＝ {x|x ＋ 1＞ 0} ，B＝ { － 2，－1,0,1} ．则 ( ?RA)∩ B＝ ________.解析因为 A＝ {x|x ＞－ 1} ，则 ?RA＝ {x|x ≤－ 1} ，所以( ?RA)∩B＝ { － 2，－ 1} ．答案{ －2，－ 1}2．已知集合＝ {1,2,3} ，N＝ {2,3,4} ，则下列各式不正确的是 ________．①? N；② N? ；③∩ N＝{2,3} ；④∪ N＝ {1,4} ．解析由已知得∩ N＝{2,3}，故选①②④ .答案①②④3．已知集合＝{0,1,2,3,4}，N＝ {1,3,5}，P＝∩N，则P 的子集个数有________．解析P＝∩ N＝ {1,3}，故P 的子集共有 4 个．答案44．已知集合 A＝ {x|x2 －x－ 2＜ 0} ，B＝ {x| － 1＜x＜ 1} ，则 A 与 B 的关系是 ________．解析集合 A＝ {x| － 1＜ x＜2} ，B＝ {x| －1＜ x＜ 1} ，则BA.答案BA5．设集合 A＝ {x|x2 ＋ 2x－ 8＜ 0} ， B＝ {x|x ＜ 1} ，则图中阴影部分表示的集合为 ________．解析阴影部分是A∩ ?RB.集合 A＝ {x| － 4＜ x＜2} ，?RB＝{x|x ≥1} ，所以 A∩?RB＝ {x|1 ≤ x＜2} ．答案 {x|1 ≤ x＜ 2}6 ．(2013 ?湖南卷 ) 已知集合 U＝ {2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝ {2,6,8}，则( ?UA)∩ B＝________.解析由集合的运算，可得 ( ?UA)∩ B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8} ．答案 {6,8}7 ．集合A＝ {0,2 ， a} ， B＝ {1 ， a2} ，若A∪ B＝{0,1,2,4,16}，则 a 的值为________．解析根据并集的概念，可知{a， a2}＝ {4,16}，故只能是a＝ 4.答案48．集合 A＝ {x ∈ R||x － 2| ≤ 5} 中的最小整数为________．解析由 |x－ 2|≤ 5，得－5≤ x－ 2≤ 5，即－3≤ x≤ 7，所以集合 A 中的最小整数为－ 3.答案－ 3二、解答题9．已知集合 A＝ {a2 ， a＋ 1，－ 3} ， B＝{a － 3，a－ 2，a2＋ 1} ，若 A∩ B＝{ －3} ，求 A∪ B.解由 A∩B＝{ －3} 知，－ 3∈B.又 a2＋ 1≥ 1，故只有 a－ 3， a－ 2 可能等于－ 3.①当 a－3＝－ 3 时，a＝ 0，此时 A＝ {0,1 ，－ 3} ，B＝ { －3，－ 2，1} ， A∩B＝ {1 ，－ 3} ．故 a＝ 0 舍去．②当 a－2＝－ 3 时， a＝－ 1，此时 A＝{1,0 ，－ 3} ， B＝ { － 4，－ 3,2} ，满足 A∩B＝ { － 3} ，从而 A∪ B＝ { － 4，－ 3,0,1,2}．10．设 A＝ {x|x2 ＋ 4x＝ 0} ， B＝ {x|x2＋ 2(a ＋1)x ＋ a2－1＝0} ，(1)若 B? A，求 a 的值；(2)若 A? B，求 a 的值．解(1)A ＝ {0 ，－ 4} ，①当 B＝?时，＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)＜0，解得 a＜－ 1；②当 B 为单元素集时，a＝－ 1，此时 B＝ {0} 符合题意；③当 B＝A 时，由根与系数的关系得：－2 a＋ 14， a2－1＝ 0，解得 a＝1.综上可知： a≤－ 1 或 a＝ 1.(2)若 A? B，必有 A＝ B，由 (1) 知 a＝ 1.能力提升题组( 建议用时： 25 分钟 )一、填空题1 ．若集合 A＝ { － 1,1} ，B＝ {0,2} ，则集合 {z|z ＝ x＋ y，x∈ A， y∈ B} 中的元素的个数为 ________．解析当 x＝－ 1，y＝ 0 时， z＝－ 1；当 x＝－ 1， y＝ 2时， z＝1；当 x＝ 1，y＝ 0 时， z＝ 1；当 x＝ 1，y＝ 2 时， z＝ 3. 故z 的值为－ 1,1,3 ，故所求集合为 { － 1,1,3} ，共含有 3 个元素．答案32．已知集合A＝ {x∈ R||x＋ 2|解析A＝ {x|－ 5答案－113．设g(x) ＝ (axa， b， c＋ 1)(cx2为实数，＋ bx＋1)f(x)＝(x．记集合＋ a) ?(x2S＝ {x|f(x)＋ bx＋ c) ，＝0， x∈R}， T＝ {x|g(x)＝0，x∈ R}．若|S|，|T|分别为集合S， T 的元素个数，则下列结论：①|S| ＝ 1 且|T| ＝ 0；② |S| ＝ 1且 |T| ＝1，③ |S| ＝2 且 |T| ＝ 2；④ |S| ＝ 2 且 |T| ＝3，其中不可能成立的是________．解析取 a＝ 0，b＝ 0，c＝ 0，则 S＝ {x|f(x)＝x3＝0}，|S| ＝ 1，T＝ {x|g(x)＝1≠0}，|T|＝0.因此①可能成立．取a＝ 1， b＝ 0， c＝1，则 S＝ {x|f(x)＝ (x ＋ 1)(x2 ＋ 1) ＝ 0} ，|S| ＝ 1， T＝ {x|g(x) ＝ (x ＋ 1)(x2＋ 1) ＝0} ， |T| ＝1，因此②可能成立．取 a＝－ 1， b＝ 0， c＝－ 1，则 S＝ {x|f(x)＝(x － 1)(x2 － 1) ＝ 0} ， |S| ＝ 2， T＝ {x|g(x) ＝ ( － x＋1)?( －x2＋ 1) ＝0} ，|T| ＝ 2. 因此③可能成立．对于④，若 |T|＝ 3，则＝ b2－ 4c＞ 0，从而导致 f(x)＝ (x ＋ a)(x2 ＋ bx＋c)也有3 解，因此 |S| ＝ 2 且 |T| ＝3 不可能成立．故④不可能成立．答案④二、解答题4．已知集合A＝ {y|y＝ 2x－ 1,0＜ x≤ 1}， B＝ {x|(x－a)[x－ (a ＋ 3)]＜ 0} ．分别根据下列条件，求实数 a 的取值范围．(1)A∩ B＝A；(2)A∩ B≠ ?.解因为集合 A 是函数 y＝ 2x－ 1(0 ＜ x≤ 1) 的值域，所以 A＝ ( － 1,1] ， B＝ (a ， a＋ 3) ．(1)A∩ B＝A? A? B? a≤－1，a＋3＞1，即－ 2＜ a≤－ 1，故当 A∩ B＝A 时，a 的取值范围是 ( － 2，－1] ．(2)当 A∩B＝ ?时，结合数轴知， a≥ 1 或 a＋ 3≤－ 1，即a≥ 1 或 a≤－ 4.故当 A∩B≠ ?时， a 的取值范围是 ( － 4,1).。

集合与常用逻辑用语、基本初等函数、导数及其应用时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·西城抽样测试)若集合A ＝{x ||x ＋1|＝x ＋1}，B ＝{x |x 2＋x ＜0}，则A ∩B ＝( )A ．(－1,0)B ．[－1,0)C ．(－1,0]D ．[－1,0]解析：因为A ＝{x |x ≥－1}，B ＝{x |－1＜x ＜0}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜0}． 答案：A2．(2014·某某六校联考)满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意得{a 1，a 2}⊆M ⊆{a 1，a 2，a 4}， 所以M ＝{a 1，a 2}或M ＝{a 1，a 2，a 4}． 答案：B3．(2014·某某某某质检)设集合P ＝{x |x 2－x －2≥0}，Q ＝{y |y ＝12x 2－1，x ∈P }，则P ∩Q＝( )A ．{m |－1≤m ＜2}B ．{m |－1＜m ＜2}C ．{m |m ≥2} D．{－1}解析：P ＝{x |x ≥2或x ≤－1}，又x ∈P 时，y ＝12x 2－1∈[－12，＋∞)，故Q ＝{y |y ≥－12}，故P ∩Q ＝{m |m ≥2}． 答案：C4．(2013·某某)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案：A5．(2013·某某)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增等价于f (x )＝0在区间(0，＋∞)内无实根，即a ＝0或1a＜0，也就是a ≤0，故“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增”的充要条件，故选C.答案：C6．(2014·某某江南十校素质测试)有下列四个命题： ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A B ”的逆否命题．其中真命题为( ) A ．①②B ．②③ C ．④D ．①②③解析：①中逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，为真命题． ②中否命题为“若两三角形面积不相等，则两三角形不全等”，为真命题．③中x 2－2x ＋m ＝0有实数解⇔Δ＝4－4m ≥0⇔m ≤1，故原命题正确，其逆否命题为真命题．④若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，为假命题，故其逆否命题为假命题． 答案：D7．(2014·某某模考(一))已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x －cos x ＝3，命题q ：集合{x |x2－2x ＋1＝0，x ∈R }有2个子集，下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：sin x －cos x ＝2sin(x －π4)∈[－2，2]，而3∉[－2，2]，故命题p 是假命题；集合{x |x 2－2x ＋1＝0，x ∈R }＝{1}，故其子集有Ø与{1}两个，故命题q 是真命题，所以命题“p ∧q ”是假命题，命题“p ∧(綈q )”是假命题，命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题，②③正确．答案：C8．(2014·石景山期末)设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点解析：∵f (1e )·f (1)＝(13e －ln 1e )×(13－ln 1)＝13(13e＋1)＞0， ∴f (x )在(1e，1)内无零点．又∵f (1)·f (e)＝(13×1－ln 1)×(13e －ln e)＝e －39＜0， ∴f (x )在(1，e)内有零点． 答案：D9．(2014·某某某某第二次质检)由曲线y ＝x 2和直线y ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的封闭图形的面积为( )A.16B.13C.12D.23解析：如图阴影部分所示，S ＝∫0x 2d x ＋12×14＝16.答案：A10．(2014·某某某某摸底)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＞0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：本题主要考查抽象函数的性质．由函数f (x ＋1)为偶函数知f (x )的对称轴为x ＝1.当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＞0得到f (x )在(1，＋∞)上是递增的， 所以f (－12)＝f (52)，所以f (2)＜f (52)＜f (3)．即b ＜a ＜c .答案：A11．(2014·某某期末)若函数y ＝f (x )在R 上可导且满足不等式xf ′(x )＋f (x )＞0恒成立，且常数a ，b 满足a ＞b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．af (a )＞bf (b )B ．af (b )＞bf (a )C ．af (a )＜bf (b )D ．af (b )＜bf (a )解析：由题意设F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，则F ′(x )＞0，∴F (x )为单调增函数，又a ＞b ，∴F (a )＞F (b )． ∴af (a )＞bf (b )． 答案：A12．(2014·某某二模)幂函数y ＝[f (x )]g (x )(f (x )＞0，f (x )≠1)在求导时可运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y ＝g (x )·ln f (x )，两边同时求导得y ′y＝g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′x f x ，于是y ′＝[f (x )]g (x )[g ′(x )ln f (x )＋g (x )·f ′x f x]，运用此方法可以探求得知y ＝x x的单调递增区间为( )A ．(1e ，1)∪(1，＋∞) B．(1e ，＋∞)C ．(e ，＋∞) D．(3,8)解析：由题意得y ′＝x x[x ′ln x ＋x x ′x] ＝x x(ln x ＋1)＞0， ∴x ＞1e，又x ＞0，且x ≠1，∴y ＝x x的单调递增区间为(1e ，1)∪(1，＋∞)．答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文) (2014·某某师大模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{2,3,5}，N＝{4,5}，则∁U(M∪N)等于()A．{1,3,5}B．{2,4,6}C．{1,5} D．{1,6}[答案]D[解析]集合A补集是由全集中不属于A的元素所构成的，现M∪N＝{2,3,4,5}，故∁U(M ∪N)＝{1,6}，故选D.(理)(2014·某某调研)设集合A＝{x|－12<x<2}，B＝{x|x2≤1}，则A∪B＝()A．{x|－1≤x<2} B．{x|－12<x≤1}C．{x|x<2} D．{x|1≤x<2} [答案]A[解析]因为集合，A＝{x|－12<x<2}，B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝{x|－1≤x<2}．2．(文)集合A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}，则下列关系正确的是() A．∁R A⊆∁R B B．A⊆∁R BC．B⊆∁R A D．A∪B＝R[答案]A[解析]B＝{y|y＝x，0≤x≤4}＝{y|0≤y≤2}，B⊆A，∁R A⊆∁R B.(理)(2014·中原名校联盟第一次模拟)设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝() A．0 B．－2C．0或－2 D．0或±2[答案]C[解析]因为B⊆A，所以x2＝4，或x2＝2x，当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合的互异性相矛盾，当x2＝2x时，x＝0，或x＝1，但x＝1时，x2＝1，这与集合的互异性相矛盾，综上所述，x＝－2或x＝0.3．(文)(2014·某某一中第一次月考)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0[答案]D[解析]先求其逆命题为“若a＝0且b＝0，则a2＋b2＝0”，再将逆命题否定“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，选D.(理)(2014·某某一中第一次月考)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题A．①③B．②C．②③D．①②③[答案]A[解析]本题考查命题的四种形式，逆命题把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确，选A.4．(文)(2014·某某市高三摸底考试)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,4}，集合B ＝{2,4,5}，则图中的阴影部分表示()A．{2,4} B．{1,3}C．{5} D．{2,3,4,5}[答案]C[解析]已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,4}，集合B＝{2,4,5}，∁U A＝{1,5,6}，阴影为(∁U A)∩B＝{1,5,6}∩{2,4,5}＝{5}，故选C.(理)(2014·某某省十所名校高三联考)设全集U是实数集R，集合M＝{x|x2>2x}，N＝{x|log2(x－1)≤0}，则(∁U M)∩N＝()A．{x|1<x<2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x<2}[答案]C[解析]因为M＝{x|x2>2x}＝{x|x>2或x<0}，N＝{x|log2(x－1)≤0}＝{x|1<x≤2}，所以∁U M ＝{x|0≤x≤2}，故(∁U M)∩N＝{x|1<x≤2}．选C.5．(文)(某某师大附中月考)下列命题中，假命题是()A．∀x∈R,3x－2>0 B．∀x∈N*，(x－2)2>0C．∃x∈R，lg x0≤2 D．∃x∈R，tan x0＝2[答案]B[解析]特殊值验证x＝2时，(x－2)2＝0，∴∀x∈N*，(x－2)2>0是假命题，故选B.(理)(方城高三第一次调研)下列命题正确的是()A．∃x0∈R，x20＋2x0＋3＝0B．∀x∈N，x3>x2C．x>1是x2>1的充分不必要条件D．若a>b，则a2>b2[答案]C[解析]由Δ<0知不存在x0满足条件，A错误；当x＝0时知B不正确；当a，b均为负值时，不等式不成立，D错误，正确答案选C.6．(2014·某某第二次模拟考试)若命题“∃x0∈R ，使得x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值X围是()A．[2,6] B．[－6,2]C．(2,6) D．(－6，－2)[答案]A[解析]因命题“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，故其否命题“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0恒成立”为真命题，由二次函数开口向上，故Δ＝m2＋4(2m－3)≤0，∴m∈[2,6]．7．(某某中英文学校上学期期中)设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则a 的X围是()A．a<1 B．a≤1C．a<2 D．a≤2[答案]B[解析]在数轴上画出集合A，B，如图所示，可知a≤1，这种与实数集有关问题借助于数轴可以很快得出结论．8．(文)下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2＋x－1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x－1>0”D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题[答案]D[解析]A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”错误，命题的否命题是对条件结论同时否定；B.“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件，是错误的，“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件；C.命题“∃x∈R，使得x2＋x－1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x－1>0”，是错误的，命题“∃x∈R，使得x2＋x－1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x－1≥0”．D.命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题是正确的，因为逆否命题与原命题同真假，而原命题为真，故逆否命题也为真命题．(理)以下判断正确的是()A．函数y＝f(x)为R上的可导函数，则f′(x0)＝0是x0为函数f(x)极值点的充要条件B．命题“存在x∈R，x2＋x－1<0”的否定是“任意x∈R，x2＋x－1>0”C．命题“在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B”的逆命题为假命题D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件[答案]D[解析]A ．函数y ＝f (x )为R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数f (x )极值点的充要条件，错误，导数为零的点不一定为极值点；B ．命题“存在x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x －1≥0”；C ．命题“在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B ”的逆命题为真命题；D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件，正确．9．(文)(2014·某某中学高三期中考试)“2a >2b ”是“ln a >ln b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]当ln a >ln b 时，a >b >0，则2a >2b ；当2a >2b 时，a >b ，此时无法得出ln a >ln b ，即当b <a <0时不成立．(理)(2014·开滦二中高三年级期中)已知a ，b 是实数，则“(13)a <(13)b ”是“log 3a >log 3b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]若a ，b 中有非正数，则虽有(13)a <(13)b 成立，但log 3a >log 3b 不成立，所以(13)a <(13)b 不是log 3a >log 3b 的充分条件；若log 3a >log 3b ，根据函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，有a >b ，又y ＝(13)x 在R 上是减函数，所以(13)a <(13)b ，所以(13)a <(13)b 是log 3a >log 3b 的必要条件，选B.10．(2014·某某调研)已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值X 围是( )A ．[－1,1]B ．[－4,4]C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)[答案]C[解析]p ：－1≤x ≤4，q ：3－m ≤x ≤3＋m (m >0)或3＋m ≤x ≤3－m (m <0)，依题意，⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，3－m ≤－13＋m ≥4，或⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，3＋m ≤－1，3－m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4.选C.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．(2014·某某市调研)已知A ，B 均为集合U ＝{2,4,6,8,10}的子集，且A ∩B ＝{4}，(∁U B )∩A ＝{10}，则A ＝________.[答案]{4,10}[解析]设元素x 0∈A ，若x 0∈B ，则x 0∈A ∩B ，若x 0∉B ，则x 0∈∁U B ，∴x 0∈(∁U B )∩A ； ∵A ∩B ＝{4}，(∁U B )∩A ＝{10}，∴A ＝{4,10}．12．命题“对任意x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________．[答案]存在x ∈R ，|x －2|＋|x －4|≤3[解析]本题考查全称命题的否定，注意量词改变后，把它变为特称命题．13．(2014·某某月考)设全集U ＝R ，A ＝{x |x －2x ＋1<0}，B ＝{x |sin x ≥32}，则A ∩B ＝________. [答案][π3，2) [解析]∵A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3}，∴A ∩B ＝[π3，2)． 14．命题“∃x ∈R ，x 2＋ax －4a <0”为假命题，是“－16≤a ≤0”的________条件．[答案]充要[解析]∵“∃x ∈R ，x 2＋ax －4a <0”为假命题，∴“∀x ∈R ，x 2＋ax －4a ≥0”为真命题，∴Δ＝a 2＋16a ≤0，即－16≤a ≤0.故为充要条件．15．下列各小题中，p 是q 的充要条件的是________．①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数 ③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β④p ：A ∩B ＝A ；q ：(∁U B )⊆(∁U A )[答案]①④[解析]①y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点⇔Δ>0⇔m <－2或m >6，∴p 是q 的充要条件．②y ＝f (x )＝x 2是偶函数，但f (－0)f (0)没意义，即f (－x )f (x )≠1，∴p 不是q 的充要条件． ③当α＝β＝π2时，cos α＝cos β，但此时tan α，tan β都没有意义， ∴tan α≠tan β.∴p 不是q 的充要条件．④由Venn 图，可得A ∩B ＝A ⇔(∁U B )⊆(∁U A )．三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)(2014·某某模拟)设集合A ＝{x |x 2<4}，B ＝{x |1<4x ＋3}． (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b <0的解集是B ，求a ，b 的值．[解析]A ＝{x |x 2<4}＝{x |－2<x <2}，B ＝{x |1<4x ＋3}＝{x |x －1x ＋3<0}＝{x |－3<x <1}， (1)A ∩B ＝{x |－2<x <1}．(2)∵2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ＝{x |－3<x <1}，∴－3和1为方程2x 2＋ax ＋b ＝0的两根， ∴⎩⎨⎧ －a 2＝－3＋1，b 2＝－3×1，∴a ＝4，b ＝－6.17．(本小题满分12分)(文)(2014·某某期末)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{m －3≤x ≤m ＋3，m ∈R}．(1)若A ∩B ＝[2,3]，求m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求m 的取值X 围．[解析](1)由x 2－2x －3≤0得－1≤x ≤3，∴A ＝{x |－1≤x ≤3}，又B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3}，所以由A ∩B ＝[2,3]得⎩⎪⎨⎪⎧m －3＝2m ＋3≥3，∴m ＝5. (2)∁R B ＝{x |x <m －3或x >m ＋3}，∵A ⊆∁R B∴m ＋3<－1或m －3>3，所以m <－4或m >6.(理)(2014·某某期末)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}．(1)若A ∩B ＝[0,3]，某某数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，某某数m 的取值X 围．[解析]A ＝{x |－1≤x ≤3}B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0m ＋2≥3，⎩⎨⎧m ＝2m ≥1，∴m ＝2. 故所某某数m 的值为2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}A ⊆∁RB ，∴m －2>3或m ＋2<－1.∴m >5或m <－3.因此实数m 的取值X 围是m >5或m <－3.18．(本小题满分12分)(文)(2014·某某一中月考)若集合A ＝{x |x 2＋ax ＋1＝0，x ∈R}，集合B ＝{1,2}，且A ⊆B ，某某数a 的取值X 围．[解析](1)若A ＝∅，则Δ＝a 2－4<0，解得－2<a <2；(2)若1∈A ，则12＋a ＋1＝0，解得a ＝－2，此时A ＝{1}，适合题意；(3)若2∈A ，则22＋2a ＋1＝0，解得a ＝－52， 此时A ＝{2，52}，不合题意； 综上所述，实数m 的取值X 围为[－2,2)．(理)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，集合B ＝{x |log 2(x 2－5x ＋8)＝1}，集合C ＝{x |mx 2＋2x －8＝1，m ≠0，|m |≠1}满足A ∩B ≠∅，A ∩C ＝∅，某某数a 的值．[解析]由条件可得B ＝{x |log 2(x 2－5x ＋8)＝1}＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{x |mx 2＋2x －8＝1，m ≠0，|m |≠1}＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4,2}，由A ∩B ≠∅，A ∩C ＝∅，可知3∈A,2∉A ，将x ＝3代入集合A 的条件得：a 2－3a －10＝0，故a ＝－2或a ＝5，当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{－5,3}，符合已知条件，当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，不符合已知条件A ∩C ＝∅.综上得：a ＝－2.19．(本小题满分12分)已知命题p ：A ＝{x |a －1<x <a ＋1，x ∈R}，命题q ：B ＝{x |x 2－4x ＋3≥0}．(1)若A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，某某数a ；(2)若非q 是p 的必要条件，某某数a .[解析]由题意得B ＝{x |x ≥3或x ≤1}，(1)由A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，可知A ＝∁R B ＝(1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝3a －1＝1，∴a ＝2. (2)∵B ＝{x |x ≥3或x ≤1}，∴非q ：{x |1<x <3}．∴非q 是p 的必要条件，即p ⇒非q ， ∴A ⊆∁R B ＝(1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤3，a －1≥1，∴2≤a ≤2，∴a ＝2. 20．(本小题满分13分)(文)(2014·北大附中某某分校月考)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题：“p 或q ”是假命题，某某数a 的取值X 围．[解析]由2x 2＋ax －a 2＝0，得x ＝a 2或x ＝－a ， ∵方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解，∴|a 2|≤1，或|－a |≤1，所以|a |≤2. 故命题p ：－2≤a ≤2.又只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，∴Δ＝0，∴a ＝0或a ＝2.故命题q ：a ＝0或a ＝2.所以¬p ：a <－2或a >2：¬q ：a ≠0且a ≠2，∵“p 或q ”是假命题，∴命题p 和q 全为假命题，故a <－2或a >2.所以a 的取值X 围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．(理)(2014·某某一中第二次月考)已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，某某数a 的取值X 围．[解析]由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0，显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a， ∵x ∈[－1,1]，故|2a |≤1或|1a|≤1，∴|a |≥1. 只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0.即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.又命题“p 或q ”是假命题，故a 的取值X 围为a ∈(－1,0)∪(0,1)．21．(本小题满分14分)(文)(2014·江南十校联考)已知集合M ＝{x |x (x －a －1)<0(a ∈R)}，N ＝{x |x 2－2x －3≤0}，若M ∪N ＝N ，某某数a 的取值X 围．[解析]由已知得N ＝{x |－1≤x ≤3}，因为M ∪N ＝N ，所以M ⊆N .word11 / 11 又M ＝{x |x (x －a －1)<0(a ∈R)}．①当a ＋1<0即a <－1时，集合M ＝{x |a ＋1<x <0}．要使M ⊆N 成立，只需－1≤a ＋1<0，解得－2≤a <－1.②当a ＋1＝0即a ＝－1时，M ＝∅，显然有M ⊆N .所以a ＝－1符合．③当a ＋1>0即a >－1时，集合M ＝{x |0<x <a ＋1}．要使M ⊆N 成立，只需0<a ＋1≤3，解得－1<a ≤2.综上所述，a 的取值X 围是[－2,2]．(理)(2014·某某某某质检)设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a )(x ＋4)≤0的解集. (1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值X 围．[解析](1)由－x 2－2x ＋8>0，解得A ＝(－4,2)，又y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1， 所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)．所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)因为∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)．由(ax －1a)(x ＋4)≤0，知a ≠0. ①当a >0时，由(x －1a 2)(x ＋4)≤0，得C ＝[－4，1a 2]，不满足C ⊆∁R A; ②当a <0时，由(x －1a 2)(x ＋4)≥0，得C ＝(－∞，－4]∪[1a 2，＋∞)， 欲使C ⊆∁R A ，则1a 2≥2， 解得－22≤a <0或0<a ≤22.又a <0，所以－22≤a <0. 综上所述，所求a 的取值X 围是[－22，0)．。

2015届高三一轮复习测试卷二文科数学考查X 围：集合、逻辑、函数、导数、复数、圆锥曲线、概率第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.) 1.复数z=ii++-23 的共轭复数是( ) A ．2+i B ．2-i C ．-1+i D ．-1-i 2.若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ） A.M N ⋃ B.M N ⋂ C.()()U U C M C N ⋃ D.()()U U C M C N ⋂ 3.下列命题中，真命题是 （ ）A ．2,x R x x ∀∈≥ B ．命题“若21,1x x ==则”的逆命题C ．2,x R x x ∃∈≥ D ．命题“若,sin sin x y x y ≠≠则”的逆否命题4.函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为（ ）(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]- (D)(1,2]-5.已知()1-x f =x x 62+，则()x f 的表达式是（ ）A ．542-+x xB ．782++x xC ．322-+x xD ．1062-+x x 6.定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )．A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)7．设a ＝log 0.50.8，b ＝log 1.10.8，c ＝1.10.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )． A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．a <c <b8．函数()()14214xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+<⎩则f (log 23)等于()．A ．1 B.18 C.116D.1249.函数13y x x =-的图象大致为()．10. 与椭圆1422=+y x 共焦点且过点P )1,2(的双曲线方程是：( ) A ．1422=-y x B ．1222=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 11.“a =－1”是“函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．非充分必要条件12.已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈-时2()f x x =,那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有( )A.10个B.9个C.8个D.1个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在答题卷相应位置上.13.已知2x ＝5y＝10，则1x ＋1y＝________.14.设函数()3cos 1f x x x =+,若()11f a =,则()f a -=15.设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在x 轴上，抛物线上的点(2,)P k 与点F 的距离为3，则抛物线方程为。

[课堂练通考点]1．(2013·安徽高考)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或0，因为“x ＝12或0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．(2013·九江一模)命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( )A ．“若x <y ，则x 2<y 2”B ．“若x >y ，则x 2>y 2”C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”解析：选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．3．(2014·福建质检)已知向量a ＝(m 2,4)，b ＝(1,1)，则“m ＝－2”是“a ∥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 依题意，当m ＝－2时，a ＝(4,4)，b ＝(1,1)，所以a ＝4b ，a ∥b ，即由m ＝－2可以推出a ∥b ；当a ∥b 时，m 2＝4，得m ＝±2，所以不能推得m ＝－2，即“m ＝－2”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．4．(2013·聊城期末)设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A B 是(∁U A )∪B ＝U 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 如图所示，A B ⇒(∁U A )∪B ＝U ；但(∁U A )∪B ＝U ⇒/A B ，如A ＝B ，因此A B 是(∁U A )∪B ＝U 的充分不必要条件．5．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是________．答案：若a ≤b ，则a －1≤b －16.(创新题)已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：A ＝{x |x <4}，由题意得A B 结合数轴易得a >4.答案：(4，＋∞)[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(2013·潍坊模拟)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 3．(2013·乌鲁木齐质检)“a >0”是“a 2＋a ≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A a >0⇒a 2＋a ≥0；反之a 2＋a ≥0⇒a ≥0或a ≤－1，不能推出a >0，选A.4．(2013·潍坊模拟)命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5解析：选C 命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.5．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题解析：选A 对于A ，其逆命题是：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |≥y ，必有x >y ；对于B ，否命题是：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题是：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．6．(2013·江西七校联考)已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x<1，则綈p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即非充分也非必要条件解析：选A 由x >1得1x <1；反过来，由1x<1不能得知x >1，即綈p 是q 的充分不必要条件，选A.7．(2014·日照模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0，直线l 2：ax ＋y ＋2＝0，则命题“若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2平行”的否命题为( )A ．若a ≠1且a ≠－1，则直线l 1与l 2不平行B ．若a ≠1或a ≠－1，则直线l 1与l 2不平行C ．若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2不平行D ．若a ≠1或a ≠－1，则直线l 1与l 2平行解析：选A 命题“若A ，则B ”的否命题为“若綈A ，则綈B ”，显然“a ＝1或a ＝－1”的否定为“a ≠1且a ≠－1”，“直线l 1与l 2平行”的否定为“直线l 1与l 2不平行”．8．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )等于( )A ．1B ． 2C ．3D ．4解析：选B 原命题p 显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a 1b 2－a 2b 1＝0，则两条直线l 1与l 2平行，这是假命题，因为当a 1b 2－a 2b 1＝0时，还有可能l 1与l 2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f (p )＝2.9．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是________．解析：否命题既否定题设又否定结论．答案：若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数10．(2013·南京模拟)有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b 则a 2≤b 2”错误．②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．答案：②③11．下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150° ⇒/ 30°＝150°， 所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1， 所以③正确；④显然正确．答案：①③④12．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]第Ⅱ组：重点选做题1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 2．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0x 1x 2≥0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0⇒m ≥32. 又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}， 所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．。

集合与常用逻辑用语1.【2014广东（理）高考1】已知集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则MN =( )A .{}1,0,1-B .{}1,0,1,2-C .{}1,0,2-D .{}0,1 【答案】B2.【2013广东（理）高考1】设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0,x ∈R },N ＝{x |x 2－2x ＝0,x ∈R },则M ∪N ＝( ).A .{0}B .{0,2}C .{－2,0}D .{－2,0,2} 【答案】D3.【2012广东（理）高考2】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U M ==；则U C M =( ) A .U B .{1,3,5} C . {,,}356 D .{,,}246【答案】C4．（广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题 ）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<,则B A 等于（ ）A ．{|01}x x <<B ．{}21<<x xC ．{}20<<x x D ．{|2}x x >【答案】B 错误！未指定书签。

5错误！未指定书签。

．（广东省湛江市第二中学2014届高三理科数学8月考试题 ）已知集合{}9|7|＜-=x x M ,{|N x y =,且N M 、都是全集U 的子集,则下图韦恩图中阴影部分表示的集合（ ）A ．{}23-≤-＜x xB ．}{23-≤≤-x xC ．}{16≥x xD ．}{16＞x x【答案】B6错误！未指定书签。

．（广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题 ）给出下列命题:①在区间(0,)+∞上,函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数;②若log 3log 30m n <<,则01n m <<<;③若函数()f x 是奇函数,则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称;④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根,其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C7错误！未指定书签。

质量检测(二)测试内容：函数、导数及其应用 (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2012年青岛质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 3，x ≤0，2x ， x >0，则f [f (－1)]＝ ( )A.12 B ．2 C ．1D ．－1解析：分段函数中，f (－1)＝1，f (1)＝2.故选B. 答案：B 2．若f (x )＝2lg (1－x )，则f (x )的定义域是( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(－∞，0)∪(0,1)解析：要使函数有意义，则⎩⎨⎧1－x >0，1－x ≠1，解得x <1且x ≠0，故函数定义域是(－∞，0)∪(0,1)．答案：D3．(2012年东北四校模拟)若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则实数a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x ) ＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，又a >1，所以a ＝2.答案：A4．(2012年福州质检)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 C ．[1,2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ，由f ′(x )＝0得x ＝12.据题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.故选B.答案：B5．(2012年济南质检)已知a >b ，函数f (x )＝(x －a )(x －b )的图象如下图所示，则函数g (x )＝log a (x ＋b )的图象可能为( )解析：由图知a >1，排除A ，D ；又0<b <1，排除C ，故选B. 答案：B6．(2012年昆明模拟)函数f (x )＝x 2＋(1－a 2)x －a x 是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则实数a ＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．±1解析：解法一：由函数f (x )是奇函数，得f (－x )＝(－x )2＋(1－a 2)(－x )－a －x ＝－f (x )＝－x 2＋(1－a 2)x －a x 对一切实数R 恒成立，即x 2－(1－a 2)x －a －x ＝x 2＋(1－a 2)x －a－x 对一切实数R 恒成立，所以－(1－a 2)x ＝(1－a 2)x 对一切实数R 恒成立，故1－a 2＝0，解得a ＝±1.当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1x 不满足在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝1时，f (x )＝x 2－1x ＝x －1x 满足在(0，＋∞)上单调递增．综上，a ＝1.解法二：f (x )＝x －ax ＋(1－a 2)，若函数f (x )是奇函数，则1－a 2＝0，解得a ＝±1.当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1x 不满足在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝1时，f (x )＝x 2－1x ＝x －1x 满足在(0，＋∞)上单调递增．综上，a ＝1.答案：C7．(2012年天津六校联考)若x ∈(e－1,1)，a ＝ln x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x，c ＝e ln x ，则( )A ．c >b >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．b >c >a解析：因为x ∈(e －1,1)，所以－1<a <0,1<b <2，1e <c <1，故b >c >a .答案：D8．(2013年武汉调研测试)某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一种品牌的车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆这种品牌车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元解析：依题意，设在A 地销售x 辆汽车，则在B 地销售(16－x )辆汽车， ∴总利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32，∵x ∈[0,16]且x ∈N ，∴当x ＝10辆或11辆时，总利润y max ＝43万元，故选C.答案：C9．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )A ．b <1B ．b >1C ．0<b <1D ．b <12解析：f (x )在(0,1)内有极小值，则f ′(x )＝2x －2b ＝0在(0,1)内有解．∴b ∈(0,1)． 答案：C10．(2012年石家庄质量检测)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －sin x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：画出y ＝sin x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在同一坐标系下[0,2π)区间内的图象，可知有两个交点，故选B.答案：B11．(2012年合肥模拟)设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13解析：由f (2－x )＝f (x )得f (1－x )＝f (x ＋1)，即函数f (x )的对称轴为x ＝1，结合图形可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (0)＝f (2)，故选C.答案：C12．(2013年福建六校联考)设函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 012)>e 2 012f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 012)<e 2 012f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 012)>e 2 012f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 012)<e 2 012f (0)解析：解法一 令f (x )＝|x |＋2，所以f (2)＝4，f (0)＝2，f (2 012)＝2 014，所以f (2)<e 2f (0)，f (2 012)<e 2 012f (0)．解法二 因为f ′(x )<f (x )，所以f ′(x )e x <f (x )e x ，即f ′(x )·e x <f (x )·e x ，F ′(x )＝f ′(x )·e x －f (x )·e xe 2x<0，所以F (x )＝f (x )e x 在R 上为减函数，所以f (2 012)e 2 012<f (2)e 2<f (0)e 0，所以选择B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝______.解析：由3x －a >0得x >a 3.因此，函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞，所以a 3＝23，a ＝2.答案：214．(2013年福建六校联考)已知奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72的值为________．解析：因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x )的周期为4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ 2.答案：－ 215．函数y ＝4x －1＋23－x 单调递减区间为________．解析：易知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，3，y >0.∵y 与y 2有相同的单调区间，而y 2＝11＋4－4x 2＋13x －3，∴原函数递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤138，3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤138，316．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ax＋1， x ≥1，x 2－1x 3－1，x <1在点x ＝1处连续，则实数a ＝________.解析：x 2－1x 3－1＝x ＋1x 2＋x ＋1，则有f (1)＝a ＋1＝1＋11＋1＋1，因此a ＝－13.答案：－13三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )上点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)若y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )在区间[－3,1]上的最大值．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 求导数，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，过y ＝f (x )上点P (1，f (1))的切线方程为：y －f (1)＝f ′(1)(x －1)，即y －(a ＋b ＋c ＋1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)．而过y ＝f (x )上P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1， 故⎩⎨⎧ 3＋2a ＋b ＝3，a ＋b ＋c －2＝1，即⎩⎨⎧2a ＋b ＝0， ①a ＋b ＋c ＝3. ② ∵y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，故f ′(－2)＝0， ∴－4a ＋b ＝－12. ③由①②③联立，解得a ＝2，b ＝－4，c ＝5， ∴f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2).f (x )极大值f (1)＝13＋2×1－4×1＋5＝4，∴f (x )在[－3,1]上最大值为13. 18．已知函数f (x )＝a －1|2x －b |是偶函数，a 为实常数．(1)求b 的值；(2)当a ＝1时，是否存在n >m >0，使得函数y ＝f (x )在区间[m ，n ]上的函数值组成的集合也是[m ，n ]，若存在，求出m ，n 的值，否则，说明理由．解：(1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠b 2. ∵f (x )是偶函数，其定义域关于原点对称， ∴b ＝0.(2)a ＝1时，f (x )＝1－12|x |， x >0时，f (x )＝1－12x ，∵f (x )＝1－12x 在[m ，n ](m >0)上是增函数， ∴f (x )在[m ，n ]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12m ，1－12n .又f (x )在[m ，n ]上的值域为[m ，n ]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－12m ＝m ，1－12n ＝n ，即⎩⎨⎧2m 2－2m ＋1＝0，2n 2－2n ＋1＝0.∴m ，n 为方程2x 2－2x ＋1＝0的两正根，而方程2x 2－2x ＋1＝0无实数根， ∴满足条件的m ，n 不存在．19．(2012年北京海淀期末)已知函数f (x )＝e x (x 2＋ax －a )，其中a 是常数． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若存在实数k ，使得关于x 的方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．解：(1)由f (x )＝e x (x 2＋ax －a )可得f ′(x )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ]．当a ＝1时，f (1)＝e ，f ′(1)＝4e ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即y ＝4e x －3e.(2)令f ′(x )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ]＝0，解得x ＝－(a ＋2)或x ＝0.当－(a ＋2)≤0即a ≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f ′(x )≥0，所以f (x )是[0，＋∞)上的增函数，所以方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根；当－(a ＋2)>0，即a <－2时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下：由上表可知函数f (x )在[0，＋∞)上的极小值为f (－(a ＋2))＝ea ＋2.因为函数f (x )在(0，－(a ＋2))上是减函数，在(－(a ＋2)，＋∞)上是增函数，且当x ≥－a 时，有f (x )≥e －a (－a )>－a ，所以要使方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋4e a ＋2，－a .20．定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对于任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x； (1)当a ＝1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)a ＝1时，f (x )＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，x ∈(－∞，0)．令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则t ∈(1，＋∞)．∵g (t )＝1＋t ＋t 2在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (t )>g (1)＝3.∴f (x )在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)，故对于任意x ∈(－∞，0)，不存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，即函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数．(2)若f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，则|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立，令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则t ∈(0,1]．∴|1＋at ＋t 2|≤3，即－4≤at ＋t 2≤2在(0,1]上恒成立， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≤a ≤2t －t 在(0,1]上恒成立．又0<t ≤1时，－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≤－5，2t －t ≥1，∴－5≤a ≤1，即a 的取值范围是[－5,1]．21．已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x ，a ∈R . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间； (2)当x >1时，f (x )>ln x 恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)若a ＝－1，f ′(x )＝x －1x (x >0)， 由f ′(x )>0得x 2－1x >0，又x >0，解得x >1，所以函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)． (2)依题意得f (x )－ln x >0，即12x 2＋a ln x －ln x >0， ∴(a －1)ln x >－12x 2，∵x >1，∴ln x >0，∴a －1>－12x2ln x ， ∴a －1>⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12x 2ln x max ，设g (x )＝－12x 2ln x ，g ′(x )＝－x ln x ＋12x(ln x )2，令g ′(x )＝0，解得x ＝e 12，当1<x <e 12时，g ′(x )>0，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，e 12上单调递增；当x >e 12时，g ′(x )<0，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫e 12，＋∞上单调递减；∴g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 12＝－e ，∴a －1>－e ，即a >1－e.22．已知a ∈R ，函数f (x )＝ln (x ＋1)－x 2＋ax ＋2.(1)若函数f (x )在[1，＋∞)上为减函数，求实数a 的取值范围；(2)令a ＝－1，b ∈R ，已知函数g (x )＝b ＋2bx －x 2.若对任意x 1∈(－1，＋∞)，总存在x 2∈[－1，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数b 的取值范围．解：(1)函数f(x)在[1，＋∞)上为减函数⇒f′(x)＝1x＋1－2x＋a≤0在[1，＋∞)上恒成立⇒a≤2x－1x＋1在[1，＋∞)上恒成立，令h(x)＝2x－1x＋1，由h′(x)>0⇒h(x)在[1，＋∞)上为增函数⇒h(x)min＝h(1)＝32，所以a≤32；(2)若对任意x1∈(－1，＋∞)，总存在x2∈[－1，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，则函数f(x)在(－1，＋∞)上的值域是函数g(x)在[－1，＋∞)上的值域的子集．对于函数f(x)，因为a＝－1，所以f(x)＝ln (x＋1)－x2－x＋2，定义域(－1，＋∞)．f′(x)＝1x＋1－2x－1＝－2x2－3xx＋1.令f′(x)＝0得x3＝0，x4＝－32(舍去)．当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：所以f(x)max对于函数g(x)＝－x2＋2bx＋b＝－(x－b)2＋b＋b2，①当b≤－1时，g(x)的最大值为g(－1)＝－1－b⇒g(x)值域为(－∞，－1－b]，由－1－b≥2⇒b≤－3；②当b>－1时，g(x)的最大值为g(b)＝b2＋b⇒g(x)值域为(－∞，b2＋b]；由b2＋b≥2⇒b≥1或b≤－2(舍去)，综上所述，b的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．。