2-6-矩阵的秩_生产经营管理_经管营销_专业资料.ppt

001
1 0 5 1 0 5 1 0 5 1 0 0
E(1, 3(5)) = 0 1 0 , 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 .
00 1 001 00 1 001
第二章 矩阵
§2.6 方阵的逆矩阵
2. 可逆矩阵的分解
***
(1) * * *
** * ***
***
= ***
10 0
010.
000 *** 000 001
第二章 矩阵
2 0 4 1
0 1 3 2 的3阶子式有14个:
4 0 8 2
§2.5矩阵的秩
2 0 4 2 0 1 2 4 1 0 4 1
0 1 3 = 0 1 2 = 0 3 2 = 1 3 2 = 0. 4 0 8 4 0 2 4 8 2 0 8 2
第二章 矩阵
§2.5矩阵的秩
问题: 假若一个56的矩阵中所有3阶子式都等
1 0
0 1
3/2 1
3 1
5/2 1
1 3 2 故A1 = 3/2 3 5/2 .
1 1 1
第二章 矩阵
§2.6 方阵的逆矩阵
三. 用初等变换解矩阵方程
设A可逆, 则A可以经过有限次初等行变换化为 行最简形——单位矩阵E.
下面用初等变换解矩阵方程AX = B. 注意到X = A1B.
(A B) … (E ?)
第二章 矩阵
§2.5 矩阵的秩
定理2. 设A是满秩方阵，则存在初等方阵
P1, P2, , Ps. 使得 Ps Ps1 , P2P1A E
第二章 矩阵
§2.5 矩阵的秩
定理3. mn矩阵A, m阶初等矩阵
P1, P2, …, Ps 及m阶初等矩阵

§2.6 矩阵的秩 第 §2.6 矩阵的秩 二 章 一、矩阵秩的基本概念与性质 矩 阵
二、利用初等变换求矩阵的秩 三、矩阵秩的不等式
1
§2.6 矩阵的秩 第 一、矩阵秩的基本概念与性质 二 对于线性方程组的求解问题，除了需要研究其求解方法 章 之外，更重要的是要弄清楚一个给定的线性方程组中到底有 矩 阵
r ( A) r ( I A) r ( A ( I A)) n r ( A A2 ) n n , r ( A) r ( I A) n .
20
§2.6 矩阵的秩 第 二 章 矩 阵
轻松一下吧 ……
21
§2.6 矩阵的秩 第 三、矩阵秩的不等式 二 1. 关于矩阵乘积的秩的不等式 章 2. 关于矩阵求和的秩的不等式 矩 *证明 阵
定理3 r ( A B) r ( A) r ( B) . （略）
18
§2.6 矩阵的秩 第 小结 二 1. 矩阵秩的概念 章 矩 阵
2. 求矩阵秩的方法
(1) 利用定义； (2) 初等变换法。 3. 矩阵秩的不等式
故 r ( A) 2, r ( B) 3 .
11
§2.6 矩阵的秩 第 三、矩阵秩的不等式 二 1. 关于矩阵乘积的秩的不等式 章 定理1 r ( A B) min(r ( A) , r ( B)) . 矩 阵
证明 (1) 设 A 的秩为 r(A) = s， 则存在可逆矩阵 P，使得
A1 } s 行 1 A1 P A , A P , 0 0 1 A1 B 1 A1 AB P B P , 0 0
A 的秩，记作 r ( A )。
换句话说，矩阵 A 的秩 r ( A ) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数。 注 (1) 规定零矩阵的秩等于零。

2，求,

5 3 6
1 A 3
1

1 1
2 1 2 0
1
3
1 4
2 4
5 3 6 0 8 5 4
1 1 1 2 R( A) 2,
0 3 4 4 0 5 1 0
设
1 A 4
2 6
3 5
1
4
，共有C
2 3
C
2 4
18
Байду номын сангаас1 0 1 1
个二阶子式，有
C
3 4
C 33

4 个三阶子式。
12 3 而 D3 4 6 5 为 A 的一个三阶子式。
1 0 1
显然， m n 矩阵 A 共有 cmk cnk 个 k 阶子式。
ppt课件
3
2. 矩阵的秩
定义2 设 A
aij
，有r
mn
阶子式不为0，任何r+1阶
子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩，
记作R(A)或秩(A)。
二、矩阵秩的求法
1、子式判别法(定义)。
例1
B


1 0
12 为阶梯形矩阵，求R(B)。
解 由于 1 2 0 ，二阶子式不为0，所以 R(B) = 2. 01
ppt课件
4
例2
1 A 0
2 1
3 0
0 1
求R(A)。
0 0 1 0
解： 1 2 3 0 1 0 1 0 存在一个三阶子式不为0，
001
5
A没有4阶子式，所以 R(A) = 3.
ppt课件

PAQ
Er O
O O
,
将矩阵分块为
Q1B
B1 B2
其中，B1是r ×p 矩阵，B2是(n-r) ×p 矩阵。
由于
PAB
(
PAQ)(Q
1B)
Er O
所以
O
O
B1
B2
B1
O
,
R(AB)
R(PAB)
R
B1 O
R(B1
).
注意B1是Q-1B去掉n-r行得到的矩阵，而矩阵每去掉一行 其秩减 1 或不变，因此
R(B1) ≥R(Q-1B)- (n- r) =R(B) - (n- r) .
从而
R(AB)≥ r +R(B)-n。
即 R(AB)≥ R(A)+R(B)-n。
显然，在上式中当AB=O时，有公式
R(A)+R(B) n.
例5 设A为n阶方阵( n ≥2)，A*是A的伴随矩阵，试证
1）当R(A)=n时，R(A*)=n; 2）当R(A)=n-1时，R(A*)=1; 3）当R(A)<n-1时，R(A*)=0。 证明 1)当R(A)=n时,即A为满秩矩阵,所以| A*|=| A|n-1
≠0,从而R(A*)=n。 2）当R(A)=n-1时，|A|=0，所以A A*= |A|E=O。由 R(A)+R(A*) n，
得R(A*) 1。又由R(A)=n-1知， A中至少有一个元素的 代数余子式不等于零，即A*是非零矩阵，从而R(A*) ≥ 1， 故R(A*)=1。
3）当R(A)<n-1时， A的每一个n-1阶子式都为零，因 而A的所有元素的代数余子式均为零，即A*是零矩阵，故 R(A*)=0。
若A为n阶方阵，且R(A)= n，则称A为满秩矩阵。它既 是行满秩矩阵，又是列满秩矩阵。显然，方阵A可逆的充 分必要条件是A为满秩矩阵。

如 1 2 1 3 0 0 2 2 0 0 0 0
0 1 2 2 3 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1
《线性代数》
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结束
定理2 任何一个秩为r 的矩阵A=(aij) m╳n都可以通过初等 行变换化为行阶梯形矩阵Br，且Br的非零行数为r. 即
b1 *
0
b2
A 初等行变换 Br
23 1
解法2: 用初等行变换将A化成行阶梯形矩阵，得
1
0
1 2
2
1
1
r3 2r1
0
1 2
2 1
r3 12r2
1 0
1 2
2
1
2 3 1
0 1 3
0 0 5 2
所以r(A)=3，A满秩，故A可逆.
《线性代数》
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结束
为方便学习与回顾本课程，请在下
载后进行查阅和编辑，疑问之处请
若|A| = 0，则r(A)<n ,称A为降秩矩阵.
结论：n阶方阵A可逆的充分必要条件是A满秩.
《线性代数》
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结束
例1. 求下列矩阵的秩.
1 2 3 2 C 2 4 6 4
3 0 9 6 解: C的最高阶子式三阶子式全部都等于零，即
123 122 132 232 2 4 6 2 4 4 2 6 4 4 6 4 0
规定零矩阵的秩为零. 易见：
（1）若A是m╳n矩阵，则r(A) ≤min{m,n}.
（2）若m╳n矩阵A中有一个r阶子式不等于零 ，则r(A) ≥r； 若所有r+1阶子式全等于零，则r(A) ≤ r.
（3） r(A) = r(AT) . （4） r(kA) = r(A)，k≠0 . （5） 对n阶方阵A，若|A|≠0，则r(A)=n ,称A为满秩矩阵 ;

6
4 1
4 0
0
0
0
0
行階梯形矩陣有 3 個非零行，故R(A) = 3 ．
第二步求 A 的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行
的第一個非零元，所與在之的對列應的是選取矩陣 A 的第一、
二、四列． 3 2 5 1 6 1
A0
3 2
2 0
6
r
~
0
4
5 0 0
1 4
B0
1
6
1
§2.6 矩陣的秩
一、矩陣的秩的概念
定義：在 m×n 矩陣 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位於這些行列交叉處的 k2 個元素，不改變它們在 A中所處 的位置次序而得的 k 階行列式，稱為矩陣 A 的 k 階子式．
顯然，m×n 矩陣
A的
k
階子式共有
C
k m
C
k n
個．
概念辨析： k 階子式、矩陣的子塊、餘子式、代數餘子式
1 2 2 1 1
例：設
A
2
4
8
0
,
b
2
，求矩陣
A
及矩陣
2 4 2 3 3
3
6
0
6
4
B = (A, b) 的秩．
分析：對 B 作初等行變換變為行階梯形矩陣，設 B 的行階梯 形矩陣為B ( A, b)，則 A 就是 A 的行階梯形矩陣，因此可從 中同時看出R(A)及 R(B) ．
1 2 2 1 1 1 2 2 1 1
解：B
2
4
பைடு நூலகம்
8
0
2
r
~
0
0
2

当A=O时，规定R(A)=0 即：若矩阵 A 中有一个 s 阶子式不为 0，则 R(A) s；若 A 中所有 t 阶子式全为 0，则R(A) < t.
练习：P55 29、30
例 1 求矩阵 A 的秩 R(A) ，其中 3 2 1 1
A = 1 2 3 2 4 4 2 3
解： 按定义，存在不为零的二阶子式：
123
例如，已知A= 0 1 0 1 ，因为 0 1 0 =10，
0010
001
所以R(A)=3.
12 又如 B= 0 1
00
110 R(B)=2； C= 0 1 0
001
R(C)=3.
矩阵的秩： 定义2 设A为mn矩阵，如果A中不为零的子式最高
阶数为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为 零，则=r
从例 1 可知, 对于一般的矩阵, 当行数与列数 较高时, 按定义求秩的计算量很大.
然而对于行阶梯形矩阵, 它的秩就等于非零行 的行数.
并且每个矩阵都能用行初等变换化为行阶梯
形矩阵. 问题是，初等变换是否改变矩阵的秩呢?
于是我们有下面的定理：
定理 1 矩阵 A 经初等变换后，其秩不变.
证明： 设R(A) = r，对其实施有限次的初等
1 0
3 2
一、矩阵的秩
k 阶子式： 定义1 设A是mn矩阵，从A中任取k行k列(kmin(m, n))，
位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置 所构成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式.
2123 例如，已知矩阵 A= 4 1 3 5 .
2012 223
选定第1、2、3行及第1、3、4列，得3阶子式 4 3 5 . 212
3 2 0

由于 n阶矩阵 的 n阶子式只有一个 ，当
时，R(A)n.所以可逆矩阵的秩等于矩阵
的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又 称降秩矩阵.
8
A 0
四、矩阵的秩的计算
定理3 若 A~B，则 R(A)R(B).
即两个等价矩阵的秩相等. 证明 说明 根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用 初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩 阵中非零行的行数即是矩阵的秩.
用初等变换把矩阵
A
2 3
4 6
5 4
3 2

化为标准形.
4 8 17 11
矩 阵
解 2
A3 4
4 6 8
5 3
1
4 17
2 11
r1 2 r1 r2
3 4
2 6 8
6 4 17
4 2 11
的 秩
r2 3r1 1
当矩阵A中有某个 s阶子式不为0，则 R(A)s; 当矩阵A中所有 t阶子式都为0，则 R(A)t;
7
A
A
矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行数，这也 可以作为矩阵的秩定义，但是这样定义矩阵的秩 不能清楚表明矩阵的特征.
对于 n阶矩阵 A，当R(A)n时， A称为满秩
矩阵；否则称为降秩矩阵.
r3

4r1

0 0
2 0 0
6 14 7
4 10 5
r2 (114) r3 7r2
1 0 0
2 0 0
6 1 0
4

5 7

0
r1 6r2
1 0

0
2 0 0
0 1 0

2 7

第二章总结
• • • • 1. 矩阵的运算 2. 矩阵的初等变换 3. 矩阵的秩 其他：线性方程组的矩阵表示（包括分块形式）；
求逆方阵（伴随矩阵法，初等变换法） 线性方程组的逆方阵解法 求矩阵的秩 等价矩阵
Henan Agricultural University
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例1 求矩阵A和B的秩, 其中
2 −1 0 3 −2 1 2 3 2 3 −5 , B=0 3 1 −2 5 . A= 0 0 0 4 −3 4 7 1 0 0 0 0 0 解 在A中, 容易看出一个 矩阵B所有4阶子式全为零. 2阶子式 而3阶子式 1 2 =−1≠0 , 23 2 −1 3 A的3阶子式只有一个|A|, 经计 0 3 −2 0 0 4 算可知|A|=0, 因此R(A)=2.
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小结 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念（子式定义，行阶梯定义） 矩阵秩的概念（子式定义，行阶梯定义） 二、初等变换求矩阵的秩（简化的行阶梯，标准型） 初等变换求矩阵的秩（简化的行阶梯，标准型） 三、矩阵秩的一些重要结论 四、等价矩阵
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复
一、矩阵的初等变换 二、初、求逆矩阵的初等变换方法
Henan Agricultural University
第六节 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念 二、初等变换求矩阵的秩 三、矩阵秩的一些重要结论 四、等价矩阵
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行阶梯形矩阵
1 0 ⋮ 行 初等变 换 → C r = 0 至 多交换列 0 ⋮ 0

矩阵的秩也可以用于确定向量空间的子空间。如果矩阵的秩等于子空间中向量 的个数，则该子空间是向量空间的一个子集。
在矩阵分解中的应用
矩阵的奇异值分解
矩阵的秩可以用于奇异值分解中，奇异值分 解可以将一个矩阵分解为一个由奇异向量和 奇异值组成的分解式，其中奇异值的个数等 于矩阵的秩。
矩阵的QR分解
矩阵的秩也可以用于QR分解中，QR分解可 以将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上 三角矩阵的乘积，其中上三角矩阵的对角线 元素即为矩阵的奇异值，其个数等于矩阵的 秩。
03
矩阵的秩的应用
在线性方程组中的应用
Байду номын сангаас
线性方程组的解的判定
矩阵的秩可以用于判断线性方程组是否 有解，以及解的个数。如果系数矩阵的 秩小于增广矩阵的秩，则线性方程组无 解；如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的 秩，则线性方程组有唯一解；如果系数 矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则线性方 程组有无穷多解。
VS
线性方程组的求解
详细描述
设矩阵$A$的行（或列）向量为$a_1, a_2, ..., a_n$，则行（或列）向量组的线性组合的秩等于$r(a_1) + r(a_2) + ... + r(a_n)$。这是因为行（或列）向量的线性组合可以看作是一个新的矩阵，其秩等于所有行（或列）向量 的秩之和。
秩的性质三：矩阵的等价变换
适用范围
适用于矩阵列数较少的情况，便于观察和计算 。
步骤
对矩阵进行列变换，化简为阶梯形矩阵，数阶梯形矩阵中非零列的列数。
利用子式和代数余子式计算秩
定义
利用子式和代数余子式计算矩阵的秩，通过计算矩阵所有子式的 值和代数余子式的值，得到矩阵的秩。
适用范围

第四节
第二章
矩阵的秩及其求法
一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 三、满秩矩阵
pp子式
定义1 设 A aij mn 在A中任取k 行k 列交叉
处元素按原相对位置组成的 k (1 k min m, n)
阶行列式，称为A的一个k 阶子式。
ppt课件
子式均为 0，r 是 A 中非零的子式的最高阶数.
(2) 由行列式的性质，R( A) R( AT ) .
(3) R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0 ≤R(A) ≤min { m , n } .
(4) 如果 An×n , 且 A 0 , 则 R ( A ) = n . 反之，如 R ( A ) = n ,则 A 0 .
5, 1
ppt课件
12
三、满秩矩阵 定义3 A 为 n 阶方阵时，
RA n, 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）
RA n, 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵） 可见：RA n A 0
ppt课件
13
对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E, 又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换， 相当于用一个对应的初等阵左乘A, 由此得到下面的 定理
3. ri krj 是行列式运算的性质。
由于初等变换不改变矩阵的秩，而任一 Amn 都等价
于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数，即为 RA.
所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求A的秩。
ppt课件
10
例4
1 A 2
0 1
2 3
4 6
求 RA.
1 1 1 2
1 A 3
1

1 1
2 1 2 0
1

4
2 3 7
3 5, 1
2
B
0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2 4 0
2
5
3 0
3
A 在 中，容易看出一个2阶
子式
1 2 3 A 2 3 5,
12
D
1 0,
23
4 7 1
2 1 0 3 2
的3阶子式只有一个
A A 0, 因此 R( A) 2.
在 中，由于它是行阶梯形
阶的子式也全为零，因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式；
r 1
r
A A ✓矩阵 的秩就是 中不等于零的子式的最高阶
数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；
A s ✓当矩阵 中有某个 阶子式不为0，则 A t 当矩阵 中所有 阶子式都为0，则
R( A) s; R( A) t;
5
n A ✓对于 阶矩阵 ，当
1 1 1 2
1 1 1 2
A 3
5
3
1
2 6
r2 3r1 r3 5r1
0 0
3
8
4
5
4 4
12
1 1 1 2
0 3 4 4 0 8 5 4
1 1 1 2
r3 r2
0
3
4
4
0 8 1 0
因为 R( A，) 故 2
5 0, 1 0,
子式
A0
A
10
3 2 5 32 5
3
2
6 6
0
11 (1)12 2 6
11 0.
25
2 0 5 20 5
说明
▪最高阶非零子式一般是不唯一的.
▪上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外 观察法也是常用的方法.

设A
2 2 3
4 1 3
2 0 3
6 2 3
436， 求r( A).
解
1 2 1 0 2
~A
0
0 0
0 3 9
0 6 2
2 6
2 3
1 2
1 2 1 0 2
~0 3
0 0
9 0
2 2 1
6 0
3 6
22
1 2 1 0 2
~ 0 3
0 0
9 0
2 2 1
是否有非零解?
例 1 解方程组
x1 2 x1
2x2 3x3 x2 x3
0 0
x1
2x2
2x3
0
1
A:
0 0
0 1 0
0
0 1
x1 0
得
x2 0
x3 0
唯一零解
x1 x2 x3 x4 0
例2
解方程组
2 x1 2 x2
x4 0 .
x1 x2 x3 2 x4 0
A
1 2 1
1 2 1
1 0 1
121
1
~
0 0
1 0 0
0 1 0
1 2
3
2
0
即
x1 x3
x2
1 2 1 2
x4 x4
x1 , x3称为基本未知量， x2 , x4称为自由未知量.
基本未知量个数 : r( A ) r
令x2 k1 , x4 k2 自由未知量个数: n r
x1
表明初等变换不改变矩阵的秩. 推论 设A是m n矩阵，P是m阶可逆阵， Q是n阶可逆阵，则 r( PA ) r( AQ ) r( PAQ ) r( A )

、 可逆， 若 P、Q 可逆，则 R( PAQ ) = R( A);
max{ R( A), R( B )} ≤ R( A, B ) ≤ R( A) + R( B ),
特别地， 为列向量时， 特别地，当b为列向量时，有 为列向+ 1; 即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不 分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩， 超过所有子块的秩之和. 超过所有子块的秩之和
例如
a11 a12 a13 a14 A = a21 a22 a23 a24 a a32 a33 a34 31 得到4个子块 个子块： 得到 个子块： a11 a12
A11 = a 21
a13 a14 , , A12 = a a21 a24 23
矩阵的秩的原理
；
阵
知道矩阵的标准形与秩的联系； 知道矩阵的标准形与秩的联系；
的 秩
知道矩阵的秩的基本性质. 知道矩阵的秩的基本性质
1
一、k 阶子式
定义1 在 m × n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（ k ≤ m , k ≤ n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素 , 不改 ），位于这些行列交叉 阶行列式， 变它们在 A 中所处的位置次序而得 的 k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式 . 例如
5 3 2 3 − 2 6 A0 = 2 0 5 1 6 − 1
r
1 6 − 1 0 − 4 1 0 0 4 0 0 0
因此 R( A0 ) = 3, 在 A0中,找一个 阶非零子式是比较 找一个3阶非零子式是比较 找一个 容易的，另外注意到， 的子式， 容易的，另外注意到， 0 的子式都是 A 的子式，所 A 以易求得的一个最高阶非零子式