高一数学教案：函数的单调性1(1)

人教版高一数学《函数单调性的运用》教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解函数单调性的定义，并能准确判断函数的单调性。

（2）学生能够熟练运用函数单调性解决比较函数值大小、解不等式等问题。

2、过程与方法目标（1）通过观察函数图象、分析函数表达式，培养学生的观察能力和逻辑推理能力。

（2）通过解决实际问题，让学生体会函数单调性在数学和实际生活中的应用，提高学生的数学应用意识和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生在自主探究和合作交流中，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。

（2）通过解决问题的过程，培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。

二、教学重难点1、教学重点（1）函数单调性的定义和判断方法。

（2）利用函数单调性解决实际问题。

2、教学难点（1）函数单调性的证明。

（2）运用函数单调性解决复杂的不等式问题。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课（1）展示函数图象，如一次函数 y ＝ x ＋ 1，二次函数 y ＝ x² 2x ＋ 1 等，引导学生观察函数图象的上升和下降趋势。

（2）提问学生：如何用数学语言来描述函数图象的这种上升和下降趋势？从而引出函数单调性的概念。

2、讲解新课（1）函数单调性的定义设函数 f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁，x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或f(x₁) ＞ f(x₂)），那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是增函数（或减函数）。

强调定义中的关键词：定义域、区间、任意、都有。

（2）函数单调性的判断方法①图象法：观察函数的图象，图象上升为增函数，图象下降为减函数。

②定义法：设 x₁，x₂是给定区间上的任意两个自变量，且 x₁＜x₂，计算 f(x₂) f(x₁)，若 f(x₂) f(x₁) ＞ 0，则函数为增函数；若f(x₂) f(x₁) ＜ 0，则函数为减函数。

城东蜊市阳光实验学校函数的单调性〔一〕【教学目的】1．理解函数单调性的概念，会利用函数图象写出单调区间．2．能运用定义对函数单调性进展证明，培养学生的推理论证才能．【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．【教学难点】函数单调性概念的理解．【教学过程】一、创设情境，引入课题如图为2021年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：问题1随着时间是是的推移，气温如何变化？问题2在区间［4，16］上，气温是否随时间是是增大而不断增大？〖设计意图〗从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好根底，有利于定义的生成，也提醒了单调性最本质的东西．二、直观抽象，形成概念当自变量变大时，函数值变大还是变小，是函数的重要性质，我们同学在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务就是建立函数单调性的严格定义. 1． 借助图象，直观感知 ①观察第一组函数图象，当自变量x 增大时，函数值y 的变化趋势如何？ 从左至右图象呈__上升__趋势 ②观察第二组函数图象，当自变量x 增大时，函数值y 的变化趋势如何？ 从左至右图象呈__下降__趋势 ③观察第三组函数图象，当自变量x 增大时，函数值y 的变化趋势如何？从左至右图象呈_局部上升或者者下降_趋势〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，引导学生进展分类描绘函数的单调性(增函数、减函数)．x y x yy=x x y O O O 111111y=-x +1x y x y x y O O O 1111112． 抽象思维，形成概念问题3.如何用数学语言来准确地表述当自变量x 增大时，函数值y 也增大？引出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．增函数的定义：设函数y=f(x)的定义域为D,区间I D ⊆.对于给定区间I 上的函数y=f(x)，假设对于任意21,x x ∈I 当1x <2x 时，都有f(1x )<f(2x ),那么就说f(x)在这个区间上是增函数〔如图3〕；I 称为f(x)的单调增区间。

函数的单调性【第1课时】【教学目标】【核心素养】1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性．（重点）2．会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．（重点、难点）3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值．（重点、难点）1．借助单调性判断与证明，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养．2．利用求单调区间、最值、培养数学运算素养．3．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．【教学过程】一、新知初探条件一般地，设函数y＝f（x）的定义域为A，且M⊆A：如果对任意x1，x2∈M，当x1＞x2时都有f（x1）＞f（x2）都有f（x1）＜f（x2）结论y＝f（x）在M上是增函数（也称在M上单调递增）y＝f（x）在M上是减函数（也称在M上单调递减）图示思考1：增（减）函数定义中的x1，x2有什么特征？提示：定义中的x1，x2有以下3个特征（1）任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；（2）有大小，通常规定x1＞x2；（3）属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f（x）在M上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f（x）在M上具有单调性（当M为区间时，称M为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）．思考2：函数y＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y＝1x在（－∞，0）上递减，在（0，＋∞）上也递减，但不能说y＝1x在（－∞，0）∪（0，＋∞）上递减．最大值最小值条件一般地，设函数f（x）的定义域为D：且x0∈D，如果对任意x∈D 都有f（x）≤f（x0）都有f（x）≥f（x0）结论称f（x）的最大值为f（x0），记作f max ＝f（x0），而x0称为f（x）的最大值点称f（x）的最小值为f（x0），记作f min＝f（x0），而x0称为f（x）的最小值点统称最大值和最小值统称为最值最大值点和最小值点统称为最值点二、初试身手1．函数y＝f（x）的图像如图所示，其增区间是（）A．[－4，4]B．[－4，－3]∪[1，4]C．[－3，1]D．[－3，4]答案：C解析：由题图可知，函数y＝f（x）的单调递增区间为[－3，1]，选C．2．下列函数中，在区间（0，＋∞）上是减函数的是（）A．y＝－1x B．y＝xC．y＝x2D．y＝1－x答案：D解析：函数y ＝1－x 在区间（0，＋∞）上是减函数，其余函数在（0，＋∞）上均为增函数，故选D ．3．函数y ＝f （x ）在[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（ ）A ．－1，0B ．0，2C ．－1，2D ．12，2答案：C解析：由题图可知，f （x ）的最大值为f （1）＝2，f （x ）的最小值为f （－2）＝－1．4．函数f （x ）＝x 2－2x ＋3的单调减区间是________． 答案：（－∞，1]解析：因为f （x ）＝x 2－2x ＋3是图像开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以函数f （x ）的单调减区间是（－∞，1]． 三、合作探究类型1：定义法证明（判断）函数的单调性例1：证明：函数f （x ）＝x ＋1x 在（0，1）上是减函数． 思路点拨：设元任取x 1，x 2∈0，1且x 1＞x 2―→作差：fx 1－fx 2――→变形判号：fx 2>fx 1――→结论减函数证明：设x 1，x 2是区间（0，1）上的任意两个实数，且x 1＞x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝（x 1－x 2）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝（x 1－x 2）＋x 2－x 1x 1x 2＝（x 1－x 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝x 1－x 2－1＋x 1x 2x 1x 2，∵0<x 2<x 1<1，∴x 1－x 2＞0，0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0，∴x1－x2－1＋x1x2x1x2＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）＝x＋1x在（0，1）上是减函数．规律方法利用定义证明函数单调性的步骤1．取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＞x2．2．作差变形：作差f（x1）－f（x2），并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．3．定号：确定f（x1）－f（x2）的符号．4．结论：根据f（x1）－f（x2）的符号及定义判断单调性．提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式．跟踪训练1．证明：函数y＝xx＋1在（－1，＋∞）上是增函数．证明：设x1>x2>－1，则y1－y2＝x1x1＋1－x2x2＋1＝x1－x2x1＋1x2＋1．∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，∴x1－x2x1＋1x2＋1>0，即y1－y2>0，y1>y2，∴y＝xx＋1在（－1，＋∞）上是增函数．类型2：求函数的单调区间例2：求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．（1）f（x）＝－1x；（2）f（x）＝⎩⎨⎧2x＋1，x≥1，5－x，x<1；（3）f（x）＝－x2＋2|x|＋3．解：（1）函数f（x）＝－1x的单调区间为（－∞，0），（0，＋∞），其在（－∞，0），（0，＋∞）上都是增函数．（2）当x≥1时，f（x）是增函数，当x<1时，f（x）是减函数，所以f（x）的单调区间为（－∞，1），[1，＋∞），并且函数f（x）在（－∞，1）上是减函数，在[1，＋∞）上是增函数．（3）因为f （x ）＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f （x ）的单调区间为（－∞，－1]，（－1，0），[0，1），[1，＋∞）．f （x ）在（－∞，－1]，[0，1）上是增函数，在（－1，0），[1，＋∞）上是减函数．（3）因为f （x ）＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f （x ）的单调区间为（－∞，－1]，（－1，0），[0，1），[1，＋∞）．f （x ）在（－∞，－1]，[0，1）上是增函数，在（－1，0），[1，＋∞）上是减函数．规律方法求函数单调区间的方法1．利用已知函数的单调性求函数的单调区间． 2．利用函数图像求函数的单调区间．提醒：1．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开．2．理清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系． 跟踪训练2．根据如图所示，写出函数在每一单调区间上是增函数还是减函数．解：函数在[－1，0]，[2，4]上是减函数，在[0，2]，[4，5]上是增函数． 3．写出y ＝|x 2－2x －3|的单调区间． 解：先画出f （x ）＝⎩⎨⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－（x 2－2x －3），－1≤x ≤3的图像，如图．所以y ＝|x 2－2x －3|的单调减区间为（－∞，－1]，[1，3]；单调增区间为[－1，1]，[3，＋∞）．类型3：函数单调性的应用 探究问题1．若函数f （x ）是其定义域上的增函数，且f （a ）>f （b ），则a ，b 满足什么关系．如果函数f （x ）是减函数呢？提示：若函数f （x ）是其定义域上的增函数，那么当f （a ）>f （b ）时，a >b ；若函数f （x ）是其定义域上的减函数，那么当f （a ）>f （b ）时，a <b ．2．决定二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 单调性的因素有哪些？提示：开口方向和对称轴的位置，即字母a 的符号及－b2a 的大小．例3：（1）若函数f （x ）＝－x 2－2（a ＋1）x ＋3在区间（－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．（2）已知函数y ＝f （x ）是（－∞，＋∞）上的增函数，且f （2x －3）>f （5x －6），则实数x 的取值范围为________．思路点拨：（1）分析fx 的对称轴与区间的关系数形结合，建立关于a 的不等式――→求a 的范围（2）f2x －3>f5x －6f （x ）在（－∞，＋∞）上是增函数，建立关于x 的不等式――→求x 的范围答案：（1）（－∞，－4] （2）（－∞，1）解析：（1）∵f （x ）＝－x 2－2（a ＋1）x ＋3的图像开口向下，要使f （x ）在（－∞，3]上是增函数，只需－（a ＋1）≥3，即a ≤－4．∴实数a 的取值范围为（－∞，－4]．（2）∵f （x ）在（－∞，＋∞）上是增函数，且f （2x －3）>f （5x －6），∴2x －3>5x －6，即x <1．∴实数x 的取值范围为（－∞，1）．]母题探究1．（变条件）若本例（1）的函数f （x ）在（1，2）上是单调函数，求a 的取值范围．解：由题意可知－（a ＋1）≤1或－（a ＋1）≥2，即a ≤－3或a ≥－2． 所以a 的取值范围为（－∞，－3]∪[－2，＋∞）．2．（变条件）若本例（2）的函数f （x ）是定义在（0，＋∞）上的减函数，求x 的取值范围．解：由题意可知，⎩⎨⎧2x －3>0，5x －6>0，2x －3<5x －6，解得x >32．∴x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞．规律方法函数单调性的应用1．函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．2．若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．类型4：求函数的最值（值域）例4：已知函数f （x ）＝2x ＋1x ＋1．（1）判断函数在区间（－1，＋∞）上的单调性，并用定义证明你的结论； （2）求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．解：（1）f （x ）在（－1，＋∞）上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2（x 1＋1）（x 2＋1），因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0， 所以f （x 1）－f （x 2）<0⇒f （x 1）<f （x 2）， 所以f （x ）在（－1，＋∞）上为增函数． （2）由（1）知f （x ）在[2，4]上单调递增，所以f （x ）的最小值为f （2）＝2×2＋12＋1＝53， 最大值为f （4）＝2×4＋14＋1＝95． 规律方法1．利用单调性求函数的最大（小）值的一般步骤 （1）判断函数的单调性．（2）利用单调性求出最大（小）值． 2．函数的最大（小）值与单调性的关系（1）若函数f （x ）在区间[a ，b ]上是增（减）函数，则f （x ）在区间[a ，b ]上的最小（大）值是f （a ），最大（小）值是f （b ）．（2）若函数f （x ）在区间[a ，b ]上是增（减）函数，在区间[b ，c ]上是减（增）函数，则f （x ）在区间[a ，c ]上的最大（小）值是f （b ），最小（大）值是f （a ）与f （c ）中较小（大）的一个．提醒：（1）求最值勿忘求定义域．（2）闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．跟踪训练4．已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1＜x ≤1，1x ，x >1，求（1）f （x ）的最大值、最小值；（2）f （x ）的最值点．解：（1）作出函数f （x ）的图像（如图）．由图像可知，当x ＝1时，f （x ）取最大值为f （1）＝1．当x ＝0时，f （x ）取最小值f （0）＝0，故f （x ）的最大值为1，最小值为0．（2）f （x ）的最大值点为x 0＝1，最小值点为x 0＝0． 四、课堂小结1．定义单调性时应强调x 1，x 2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．2．证明函数的单调性（利用定义）一定要严格遵循设元、作差、变形、定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．3．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：（1）图像法，即画出函数的图像，根据图像的最高点或最低点写出最值； （2）单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；4．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识． 五、当堂达标1．思考辨析（1）若函数y ＝f （x ）在定义域上有f （1）<f （2），则函数y ＝f （x ）是增函数．（ ）（2）若函数y ＝f （x ）在区间[1，3]上是减函数，则函数y ＝f （x ）的单调递减区间是[1，3]．（ ）（3）任何函数都有最大（小）值．（ ）（4）函数f （x ）在[a ，b ]上的最值一定是f （a ）（或f （b ））．（ ） 答案：（1）×（2）×（3）×（4）×2．下列函数中，在（0，2）上是增函数的是（ ）A ．y ＝1x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝1－2x D ．y ＝（2x －1）2答案：B解析：对于A ，y ＝1x 在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减；对于B ，y ＝2x －1在R 上单调递增；对于C ，y ＝1－2x 在R 上单调递减；对于D ，y ＝（2x －1）2在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．故选B ．3．函数y ＝x 2－2x ，x ∈[0，3]的值域为________． 答案：[－1，3]解析：∵函数y ＝x 2－2x ＝（x －1）2－1，x ∈[0，3]，∴当x ＝1时，函数y 取得最小值为－1，当x ＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]．4．试用函数单调性的定义证明：f （x ）＝2xx －1在（1，＋∞）上是减函数．证明：f （x ）＝2＋2x －1，设x 1>x 2>1，则f （x 1）－f （x 2）＝2x 1－1－2x 2－1＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）．因为x 1>x 2>1，所以x 2－x 1<0，x 1－1>0，x 2－1>0， 所以f （x 1）<f （x 2），所以f （x ）在（1，＋∞）上是减函数．【第2课时】【教学目标】【核心素养】1．理解斜率的含义及平均变化率的概念．（重点） 2．掌握判断函数单调性的充要条件．（重点、难点）通过利用函数f （x ）的平均变化证明f （x ）在I 上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素养．【教学过程】一、新知初探 1．直线的斜率（1）定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 1≠x 2时，称y 2－y 1x 2－x 1为直线AB 的斜率；（若记Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，当Δx ≠0时，斜率记为ΔyΔx ），当x 1＝x 2时，称直线AB 的斜率不存在．（2）作用：直线AB 的斜率反映了直线相对于x 轴的倾斜程度． 2．平均变化率与函数单调性若I 是函数y ＝f （x ）的定义域的子集，对任意x 1，x 2∈I 且x 1≠x 2，记y 1＝f（x 1），y 2＝f （x 2），Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫即Δf Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，则 （1）y ＝f （x ）在I 上是增函数的充要条件是ΔyΔx ＞0在I 上恒成立；（2）y ＝f （x ）在I 上是减函数的充要条件是ΔyΔx ＜0在I 上恒成立．当x 1≠x 2时，称Δf Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1为函数y ＝f （x ）在区间[x 1，x 2]（x 1＜x 2时）或[x 2，x 1]（x 1＞x 2时）上的平均变化率．通常称Δx 为自变量的改变量，Δy 为因变量的改变量．3．平均变化率的物理意义（1）把位移s 看成时间t 的函数s ＝s （t ），则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t 1，t 2]上的平均速度，即v ＝s （t 2）－s （t 1）t 2－t 1．（2）把速度v 看成时间t 的函数v ＝v （t ），则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t 1，t 2]上的平均加速度，即a ＝v （t 2）－v （t 1）t 2－t 1．二、初试身手1．已知点A （1，0），B （－1，1），则直线AB 的斜率为（ ）A ．－12B ．12C ．－2D ．2 答案：A解析：直线AB 的斜率1－0－1－1＝－12．2．如图，函数y ＝f （x ）在[1，3]上的平均变化率为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案：B解析：Δy Δx ＝f （3）－f （1）3－1＝1－33－1＝－1．3．一次函数y ＝－2x ＋3在R 上是________函数．（填“增”或“减”） 答案：减解析：任取x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2．∴y 1＝－2x 1＋3，y 2＝－2x 2＋3，∴Δy Δx ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2＜0，故y ＝－2x ＋3在R 上是减函数．4．已知函数f （x ）＝2x 2＋3x －5，当x 1＝4，且Δx ＝1时，求Δy 的平均变化率Δy Δx ．解：∵f（x）＝2x2＋3x－5，x1＝4，x2＝x1＋Δx，∴Δy＝f（x2）－f（x1）＝2（x1＋Δx）2＋3（x1＋Δx）－5－（2x21＋3x1－5）＝2（Δx）2＋（4x1＋3）Δx．当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2×12＋（4×4＋3）×1＝21．则ΔyΔx＝211＝21．三、合作探究类型1：平均变化率的计算例1：一正方形铁板在0℃时边长为10cm，加热后会膨胀，当温度为t℃时，边长变为10（1＋at）cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．思路点拨：由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率．解：设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量ΔS＝102[1＋a（t＋Δt）]2－102（1＋at）2＝200（a＋a2t）Δt＋100a2（Δt）2，所以平均膨胀率ΔSΔt＝200（a＋a2t）＋100a2Δt．规律方法1．关于平均变化率的问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、平均加速度、平均膨胀率等．找准自变量的改变量和因变量的改变量是解题的关键．2．求平均变化率只需要三个步骤：（1）求出或者设出自变量的改变量；（2）根据自变量的改变量求出函数值的改变量；（3）求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值．跟踪训练1．路灯距地面8m，一个身高为1．6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯．（1）求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；（2）求人离开路灯10s内身影长度y关于时间t的平均变化率．解：（1）如图所示，设此人从C点运动到B点的位移为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m，由于CD∥BE，则ABAC＝BECD，即yy＋x＝1.68，所以y＝0．25x．（2）84m/min＝1．4m/s，则y关于t的函数关系式为y＝0．25×1．4t＝0．35t，所以10 s内平均变化率ΔyΔt＝3.510＝0．35（m/s），即此人离开灯10s内身影长度y关于时间t的平均变化率为0．35m/s．类型2：利用平均变化率证明函数的单调性例2：若函数y＝f（x）是其定义域的子集I上的增函数且f（x）＞0，求证：g＝1f（x）在I上为减函数．思路点拨：由y＝f（x）在I上为增函数的充要条件可得ΔyΔx＞0，再证ΔgΔx＜0即可．证明：任取x1，x2∈I且x2＞x1，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f（x2）－f（x1），∵函数y＝f（x）是其定义域的子集I上的增函数，∴Δy＞0，ΔyΔx＞0，∴Δg＝g（x2）－g（x2）＝1f（x2）－1f（x1）＝f（x1）－f（x2）f（x1）f（x2）．又∵f（x）＞0，∴f（x1）f（x2）＞0且f（x1）－f（x2）＜0，∴Δg＜0，∴ΔgΔx＜0，故g＝1f（x）在I上为减函数．规律方法单调函数的运算性质若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则：1．f（x）与f（x）＋C （C为常数）具有相同的单调性．2．f（x）与a·f（x），当a＞0时具有相同的单调性；当a＜0时具有相反的单调性．3．当f（x）恒为正值或恒为负值时，f（x）与1f（x）具有相反的单调性．（4f（x）g（x）f（x）＋g（x）f（x）－g（x）增函数增函数增函数不能确定单调性增函数减函数不能确定单调性增函数减函数减函数减函数不能确定单调性减函数增函数不能确定单调性减函数跟踪训练2．已知函数f（x）＝1－3x＋2，x∈[3，5]，判断函数f（x）的单调性，并证明．解：由于y＝x＋2在[3，5]上是增函数，且恒大于零，因此，由性质知f（x）＝1－3x＋2为增函数．证明过程如下：任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0，则Δy＝f（x2）－f（x1）＝1－3x2＋2－⎝⎛⎭⎪⎫1－3x1＋2＝3x1＋2－3x2＋2＝3（x2－x1）（x1＋2）（x2＋2）．∵（x1＋2）（x2＋2）＞0，∴Δy＞0，∴ΔyΔx＞0，故函数f（x）在[3，5]上是增函数．类型3：二次函数的单调性最值问题探究问题1．二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0）的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？提示：2．求二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？提示：若求二次函数f（x）在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x ＝－b2a 与区间[m ，n ]的关系．例3：已知函数f （x ）＝x 2－ax ＋1，求f （x ）在[0，1]上的最大值． 思路点拨：解：因为函数f （x ）＝x 2－ax ＋1的图像开口向上，其对称轴为x ＝a2， 当a 2≤12，即a ≤1时，f （x ）的最大值为f （1）＝2－a ； 当a 2>12，即a >1时，f （x ）的最大值为f （0）＝1． 母题探究1．在题设条件不变的情况下，求f （x ）在[0，1]上的最小值．解：（1）当a2≤0，即a ≤0时，f （x ）在[0，1]上单调递增，∴f （x ）min ＝f （0）＝1．（2）当a2≥1，即a ≥2时，f （x ）在[0，1]上单调递减，∴f （x ）min ＝f （1）＝2－a ．（3）当0<a 2<1，即0<a <2时，f （x ）在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，1上单调递增，故f （x ）min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝1－a 24．2．在本例条件不变的情况下，若a ＝1，求f （x ）在[t ，t ＋1]（t ∈R ）上的最小值．解：当a ＝1时，f （x ）＝x 2－x ＋1，其图像的对称轴为x ＝12， ①当t ≥12时，f （x ）在其上是增函数，∴f （x ）min ＝f （t ）＝t 2－t ＋1； ②当t ＋1≤12，即t ≤－12时，f （x ）在其上是减函数，∴f （x ）min ＝f （t ＋1）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34＝t 2＋t ＋1；③当t <12<t ＋1，即－12<t <12时，函数f （x ）在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，t ＋1上单调递增，所以f （x ）min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34．规律方法二次函数在闭区间上的最值设f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），则二次函数f（x）在闭区间[m，n]上的最大对称轴与区间的关系－b2a＜m＜n，即－b2a∈（－∞，m）m＜－b2a＜n，即－b2a∈（m，n）m＜n＜－b2a，即－b2a∈（n，＋∞）图像最值f（x）max＝f（n），f（x）min＝f（m）f（x）max＝max{f（n），f（m）}，f（x）min＝f⎝⎛⎭⎪⎫－b2af（x）max＝f（m），f（x）min＝f（n）四、课堂小结1．平均变化率中Δx，Δy，ΔyΔx的理解（1）函数f（x）应在x1，x2处有定义；（2）x2在x1附近，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负；（3）注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f（x2）－f（x1），而不是Δy ＝f（x1）－f（x2）；（4）平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．2．判断函数y＝f（x）在I上单调性的充要条件（1）y＝f（x）在I上单调递增的充要条件是ΔyΔx＞0恒成立；（2）y＝f（x）在I上单调递减的充要条件是ΔyΔx＜0恒成立．五、当堂达标1．思考辨析（1）一次函数y＝ax＋b（a≠0）从x1到x2的平均变化率为a．（）（2）函数y＝f（x）的平均变化率ΔyΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1的几何意义是过函数y＝f（x）图像上两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））所在直线的斜率．（）（3）在[a，b]上，y＝ax2＋bx＋c（a≠0）任意两点的平均变化率都相等．（）答案：（1）√（2）√（3）×2．函数f（x）＝x从1到4的平均变化率为（）A．13B．12C．1 D．3 答案：A解析：Δy＝4－1＝1，Δx＝4－1＝3，则平均变化率为ΔyΔx＝13．3．李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定（即单位时间内倒入的饮料量相同），那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h（t），则函数h（t）的图像可能是（）答案：B解析：由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，往后高度增加得越来越慢，仅有B中的图像符合题意．4．一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移（单位：m），t表示时间（单位：s）．求该质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度．解：该质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝8－3（1＋Δt）2－8＋3×12Δt＝（－6－3Δt）（m/s）．。

高一数学函数的单调性教案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--函数的单调性教学目标1．使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性．2．通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力．通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力．3．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．教学重点与难点教学重点：函数单调性的概念．教学难点：函数单调性的判定．教学过程设计一、引入新课师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？（用投影幻灯给出两组函数的图象．）第一组：第二组：生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x 的增大而减小．师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对．他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别．当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小．虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质．我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象得到的．在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容．（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意．）二、对概念的分析（板书课题：函数的单调性）师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍．（学生朗读．）师：好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致如果一致，定义中是怎样描述的生：我认为是一致的．定义中的“当时，都有”描述了y 随x的增大而增大；“当时，都有”描述了y随x的增大而减少．师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“”和“或”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣．）师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数和的图象，体会这种魅力．（指图说明．）师：图中对于区间[a，b]上的任意，，当时，都有，因此在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数的单调增区间；而图中对于区间[a，b]上的任意，，当时，都有，因此在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数的单调减区间．（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．）师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．）生：较大的函数值的函数．师：那么减函数呢？生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数．（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．）师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？（学生思索．）学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力．（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．）生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的为什么生：不能．因为此时函数值是一个数．师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢你能否举一个我们学过的例子生：不能．比如二次函数，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说是增函数或是减函数．（在学生回答问题时，教师板演函数的图像，从“形”上感知．）师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．师：还有没有其他的关键词语？生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语．师：你答的很对．能解释一下为什么吗？（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．）师：“属于”是什么意思？生：就是说两个自变量，必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？生：可以．师：那么“任意”和“都有”又如何理解？生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要，就必须都小于，或都大于．师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？（让学生思考片刻．）生：可以构造一个反例．考察函数，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值，，显然，而，，有，若由此判定是[-2，2]上的减函数，那就错了．师：那么如何来说明“都有”呢？生：在[-2，2]上，当，时，有；当，时，有，这时就不能说，在[-2，2]上是增函数或减函数．师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量，，根据它们的函数值和的大小来判定函数的增减性．（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力．）师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系．（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力．）三、概念的应用例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？（用投影幻灯给出图象．）生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f （x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，b]上单调（增或减），且[，][a，b]，则f（x）在[，]（增或减）．反之不然．例2 证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．师：从函数图象上观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径．（指出用定义证明的必要性．）师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较和的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．）师：对于和我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．生：（板演）设，是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当时，，所以f（x）是增函数．师：他的证明思路是清楚的．一开始设，是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看，这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么＜0，没有用到开始的假设“”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以，从而＜0，即．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以小．（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．）调函数吗？并用定义证明你的结论．师：你的结论是什么呢？上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数．生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），显然成立，而，，显然有，而不是，因此它不是定义域内的减函数．生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．上是减函数．（教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示：（1）分式问题化简方法一般是通分．（2）要说明三个代数式的符号：k，，．要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变．对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视．）四、课堂小结师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．）生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤．五、作业1．课本P53练习第1，2，3，4题．数．．（*）+b＞0．由此可知（*）式小于0，即．课堂教学设计说明函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理．另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用．还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助．另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫．。

数学必修一 课时10 函数的单调性（一）教案一、教学目标(1)使学生理解函数单调性的概念，并能掌握判断和证明某些函数的单调性的方法；(2)通过单调性概念教学，培养学生的抽象概括能力，通过例题讲解，培养学生的逻辑思维能力；(3)学会运用函数图象理解和研究函数的性质.二、教学重点与难点重点：形成增（减）函数的形式化定义；难点：形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性;利用函数的单调性求函数的最大（小）值．三、教学过程：1.引入新课：Ｔ：著名数学家华罗庚说：数与形,本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘,几何代数统一体，永远联系莫分离。

今天我们就沿着前辈的思路，采取数形结合的方法研究函数的一个重要性质--单调性2.问题探究：T ：观察下列函数图像，你能说出下列函数图象有何特征？思考：1.从左向右看，上面三个函数图象分别有什么特征？2.你能用图象上动点P （x ，y ）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？3. 抓形揭数：1.图象在区间I 内从左向右看逐渐上升⇔区间I 内随着x 的增大，y 也增大⇔对区间I内任意两个自变量121212,()()x x x x f x f x <<且时，都有⇔()f x 在区间I 单调递增！2.图象在区间I 内从左向右看逐渐下降⇔区间I 内随着x 的增大，y 反而减小⇔对区间I 内任意两个自变量121212,()()x x x x f x f x <>且时，都有⇔()f x 在区间I 单调递减！4. 建构概念：1. 函数单调性：从“形”看，函数单调性，就是函数)(x f y =的图像由左向右看，在定义域内（某个区间上）是上升的还是下降的，若图像是上升的，则可判断该函数在定义域内（某个区间上）是 函数，若图像是下降的，则可判断该函数在定义域内（某2个区间上）是 函数。

芯衣州星海市涌泉学校师范大学附属中学高一数学教案：函数的单调性1 观察函数的图像：〔当x 增加的时候，y 的变化怎样？〕函数2y x =的图像在y 轴右侧的部分是上升的，说明什么？〔随着x 的增加，y 值在增加〕，3y x =又怎样？知识要点：1、 设函数y=f(x)的定义域为A ，区间A I ⊆,假设对于区间I 内的任意两个值21,x x , 当时，都有那么称y=f(x)在上是单调增函数，I 称为函数y=f(x)的假设对于区间I 内的任意两个值21,x x ,当时，都有那么称y=f(x)在上是单调减函数，I 称为函数y=f(x)的单调增区间和单调减区间统称为在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。

说明：〔1〕函数的单调性是在函数的定义域或者者其子区间上的性质；〔2〕函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性；〔3〕函数单调性的定义中，实际上含有两层意思：①对于任意的1x ，2x M ∈，假设12x x <，有12()()f x f x <，那么称()f x 在M 上是增函数；②假设()f x 在M 上是增函数，那么当12x x <时，就有12()()f x f x <．2、常见函数的单调性：①b kx y +=②xk y = ③c bx ax y ++=23、函数的单调性的断定方法有、、二、例题分析：例1、画出以下函数的图象，并写出单调区间：〔1〕22+-=x y 〔2〕)0(,1≠=x x y 〔3〕x x x f +-=11)( 例2、求证：函数11)(--=xx f 在区间)0,(-∞上是单调增函数 注：断定或者者证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤： ①取值：在给定区间上任取两个值1x ，2x ，且12x x <； ②作差变形：作差12()()f x f x -，通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形；③定号：判断上述差12()()f x f x -的符号，假设不能确定，那么可分区间讨论； ④结论：根据差的符号，得出单调性的结论。

高中数学单调性运算教案
一、教学目标：
1. 理解函数的单调性的概念；
2. 掌握用导数判断函数的单调性的方法；
3. 能够应用导数的概念求函数的单调区间。

二、教学重点：
1. 理解函数的单调性的概念；
2. 用导数判断函数的单调性的方法。

三、教学难点：
1. 应用导数的概念求函数的单调区间。

四、教学准备：
1. 教师准备教学课件和教具；
2. 学生准备书本和笔记。

五、教学过程：
1. 引入：通过举例让学生理解函数的单调性概念；
2. 理论讲解：介绍函数的单调性定义及判断方法；
3. 知识点拓展：讲解用导数判断函数的单调性的方法；
4. 练习：让学生完成相关练习题；
5. 总结：总结本节课内容，梳理重点知识点。

六、课后作业：
1. 完成课堂练习题；
2. 独立完成相关习题，巩固所学知识。

七、教学反馈：
1. 收集学生对本节课的反馈意见；
2. 分析学生掌握程度，调整教学方法。

3 函数的单调性（一）学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．知识点一 函数的单调性思考 画出函数f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图像，并指出f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图像的升降情况如何？梳理 单调性是相对于区间来说的，函数图像在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数．反之则为减函数．很多时候我们不知道函数图像是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义：一般地，在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么，就称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________，有时也称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________．在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么，就称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________，有时也称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________．如果函数y ＝f (x )在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，就称函数y ＝f (x )在该子集上具有单调性；如果函数y ＝f (x )在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数是增函数或减函数，统称为单调函数． 知识点二 函数的单调区间思考 我们已经知道f (x )＝x 2在(－∞，0]上是减少的，f (x )＝1x在区间(－∞，0)上是减少的，这两个区间能不能交换？梳理一般地，有下列常识：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．类型一求单调区间并判断单调性例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增加的还是减少的？反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增加的，要么是减少的，不能二者兼有．跟踪训练1 写出函数y ＝|x 2－2x －3|的单调区间，并指出单调性．类型二 证明单调性命题角度1 证明具体函数的单调性例2 证明f (x )＝x 在其定义域上是增函数．反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1<x 2的条件下，转化为确定f (x 1)与f (x 2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结．跟踪训练2 求证：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数．命题角度2 证明抽象函数的单调性例3 已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数．反思与感悟因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证：f(x)在R上是减函数．类型三 单调性的应用命题角度1 利用单调性求参数范围例4 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为( ) A ．[18，13)B ．(0，13)C ．[18，＋∞)D ．(－∞，18]∪[13，＋∞)反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图像不一定是连续不断的．跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________．命题角度2 用单调性解不等式例5 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．反思与感悟若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小．跟踪训练5 在例5中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)<f(2a－1)，则a 的取值范围又是什么？1．函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的增区间是( )A ．[－2,0]B ．[0,1]C ．[－2,1]D ．[－1,1]2．函数y ＝6x的减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)3．在下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋14．已知函数y ＝f (x )满足：f (－2)>f (－1)，f (－1)<f (0)，则下列结论正确的是( ) A ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上递减，在区间[－1,0]上递增 B ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上递增，在区间[－1,0]上递减 C ．函数y ＝f (x )在区间[－2,0]上的最小值是f (－1) D ．以上的三个结论都不正确5．若函数f (x )在R 上是减函数，且f (|x |)>f (1)，则x 的取值范围是( ) A ．x <1 B ．x >－1 C ．－1<x <1D ．x <－1或x >11．若f (x )的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f (x )在A 和B 上都递减，未必有f (x )在A ∪B 上递减．2．对增函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)，也可以用一个不等式来替代： (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f x 1－f x 2x 1－x 2>0.对减函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0或f x 1－f x 2x 1－x 2<0.3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．4．若f (x )，g (x )都是增函数，h (x )是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )递增，f (x )－h (x )递增，②－f (x )递减，③1f x递减(f (x )≠0)．5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f x 1f x 2与1比较．答案精析问题导学 知识点一思考 两函数的图像如下：函数f (x )＝x 的图像由左到右是上升的；函数f (x )＝x 2的图像在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的．梳理 增加的 递增的 减少的 递减的 知识点二思考 f (x )＝x 2的减区间可以写成(－∞，0)，而f (x )＝1x的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f (x )＝1x的定义域．题型探究例1 解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是减少的，在区间[－2,1]，[3,5]上是增加的．跟踪训练1 解 先画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－x 2－2x －，－1≤x ≤3的图像，如图．所以y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)． 例2 证明 f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞)．设x 1，x 2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )＝x 在定义域[0，＋∞)上是增函数．跟踪训练2 证明 设x 1，x 2是实数集R 上的任意实数，且1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)．∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1<x 1x 2， ∴x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )＝x ＋1x在区间[1，＋∞)上是增函数．例3 证明 方法一 设x 1，x 2是实数集上的任意两个实数，且x 1>x 2. 令x ＋y ＝x 1，y ＝x 2，则x ＝x 1－x 2>0.f (x 1)－f (x 2)＝f (x ＋y )－f (y )＝f (x )＋f (y )－1－f (y )＝f (x )－1.∵x >0，∴f (x )>1，f (x )－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )在R 上是增函数． 方法二 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0， 从而f (x 1－x 2)>1，即f (x 1－x 2)－1>0.f (x 1)＝f [x 2＋(x 1－x 2)]＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)－1>f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数．跟踪训练3 证明 ∵对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，令m ＝1，n ＝0，可得f (1)＝f (1)·f (0)， ∵当x ＞0时，0＜f (x )＜1， ∴f (1)≠0，∴f (0)＝1. 令m ＝x ＜0，n ＝－x ＞0，则f (m ＋n )＝f (0)＝f (－x )·f (x )＝1，∴f (x )f (－x )＝1，又∵－x ＞0时，0＜f (－x )＜1，∴f (x )＝1f －x＞1. ∴对任意实数x ，f (x )恒大于0.设任意x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴0<f (x 2－x 1)<1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)f (x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0， ∴f (x )在R 上是减少的．例4 A [要使f (x )在R 上是减函数，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1<0，－a <0，a －＋4a ≥－a ·1. 解得18≤a ＜13.] 跟踪训练4 a ≤1或a ≥2解析 由于二次函数开口向上，故其增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，而f (x )在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a ，＋∞)或[1,2]⊆(－∞，a ]，即a ≤1或a ≥2. 例5 解 f (1－a )<f (2a －1)等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23， 即所求a 的取值范围是0<a <23. 跟踪训练5 解 ∵y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a <2a －1，即a >23， ∴所求a 的取值范围是(23，＋∞)． 当堂训练1．C 2.C 3.B 4.D 5.C。

高中必修一数学教案《函数的单调性》教材分析函数的单调性与最值指的是在初中基础上对函数的单调性的再认识，是利用集合与对应的思想理解函数的定理，从而加深对抽象函数单调性的定义理解，根据定义，证明函数的单调性，理解单调区间以及理解函数最大（小）值的定义并掌握其求法。

因为函数的单调性是初等数学与高等代数学衔接的枢纽，是函数的第一个也是最基本的性质，为研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数以及导函数的内容，对函数定性分析、求极值最值、比较大小、解不等式、判定零点都有重要的作用，所以具有重要的地位。

学情分析本节课的教学对象是高一理科的学生，他们的参与意识强，思维活跃，对于真实情境以及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣，不过由于年龄和思维原因，看问题容易片面。

在之前的学习中，学生已经掌握了函数的三要素，并且学生初中学过y随x的增大而增大（或减小），这些都有利于学生的理解。

但是本节课的单调性的定义更抽象，对学生而言是一个较大的考验。

教学目标1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；2、掌握增（减）函数的证明和判别，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，能利用函数图象划分函数的单调区间。

教学重点形成增减函数的定义。

教学难点在形成增减函数概念的过程中，从函数升降的直观认识，过渡到增减函数的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性。

教学方法讲授法，演示法，讨论法，练习法教学过程一、情境导学我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题。

德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图3-1-7所示的记忆规律。

如果我们以x表示时间间隔（单位：h），y表示记忆保持量，则不难看出，图3-1-7中，y是x的函数，记这个函数为y = f（x）这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？二、教学过程1、单调性的定义与证明情境中的函数y = f（x）反映出记忆的如下规律：随着时间间隔x的增大，记忆保持量y将减小。

《函数的单调性》教学设计词与存在量词的写法.1.要求学生分别画出函数y x =，2y x =的图象.（画图象的步骤：列表、描点、连线）2.多媒体上展示这两个函数图象，从列表到图象分析函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性.3.教材第77页思考：函数()||f x x =，2()f x x =-各有怎样的单调性？4.增函数、减函数的定义.一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：如果1x ∀，2x D ∈，当12x x <时，都有1212)))(((())(f x f x f x f x ><，那么就称函数()f x 在区间D 上是单调递增（减）.特别地，当函数()f x 在它的定区间.1.如图所示.（1）强调定义中“任意”二字，它仅对于区间D 而不是定义域I 而言. （2）一致性：自变量1x ，2x 与因变量1()f x ，2()f x ，若12x x <且12(())f x f x <则为增函数，反之为减函数（如下图）.2.教材第77页下方的思考： （1）设A 是区间D 上某些自变量的值组成的集合，而且1x ∀，2x A ∈，当12x x <时，都有1()f x <2()f x ，我们能说()f x 在区间D 上单调递增吗？你能举例说明吗？（2）函数的单调性是对定义域板书设计教学研讨教学过程中要和学生一起讨论函数单调性的作用，多举几个例子，要全面.如利用函数单调性比较大小、解不等式、已知单调性求参数的范围等.归纳：1.函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性；反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.a b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意2.若一个函数在区间[,]子集上也是单调的.通过此总结，使学生能够比较全面地把握函数单调性的定义以及其应用，对于这一过程要多让学生分组讨论，达成结论.。

⾼⼀数学1.3.1《函数的单调性》教案（新⼈教A版必修1）§1.3.1函数的单调性⼀、三维⽬标1、知识与技能：（1）建⽴增（减）函数的概念通过观察⼀些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的⼤⼩⽐较，认识函数值随⾃变量的增⼤（减⼩）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握⽤定义证明函数单调性的步骤。

（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学⽣通过⾃主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

2、过程与⽅法（1）通过已学过的函数特别是⼆次函数，理解函数的单调性及其⼏何意义；（2）学会运⽤函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应⽤定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学⽣感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感. ⼆、教学重点与难点重点：函数的单调性及其⼏何意义．难点：利⽤函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．三、学法与教学⽤具1、从观察具体函数图象引⼊，直观认识增减函数，利⽤这定义证明函数单调性。

通过练习、交流反馈，巩固从⽽完成本节课的三维⽬标。

2、教学⽤具：投影仪、计算机. 四、教学思路：（⼀）创设情景，揭⽰课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增⼤，y 的值有什么变化？○2 能否看出函数的最⼤、最⼩值？○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增⼤，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______?⼤，f(x)的值随着________ ．（3）f(x) = x2○1在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．○2在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．3、从上⾯的观察分析，能得出什么结论？学⽣回答后教师归纳：从上⾯的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同⼀函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的⼀个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

课题：函数的单调性【教学目标】1•使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.2•通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力.3•通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程.【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明.【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习.【教学手段】计算机、投影仪.【教学过程】一、创设情境，引入课题课前布置任务：(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事•下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考.问题：观察图形，能得到什么信息？预案：（1）当天的最高温度、最低温度以及何时达到；⑵在某时刻的温度；（3）某些时段温度升高，某些时段温度降低•在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等.归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小. 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣.二、归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识, 但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义•1.借助图象，直观感知冋题1:分别作出函数y=x 2, y = -x 2, y = x2, y =丄的图象，并且观察x自变量变化时，函数值有什么变化规律？预案:（1）函数y=x，2在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y = -x • 2 在整个定义域内y随x的增大而减小.⑵函数y = x2在［0,r）上y随x的增大而增大，在,0）上y随x的增大而减小.（3）函数y=l在（0「二）上y随x的增大而减小，在（-二,0）上y随x的增大而x减小.引导学生进行分类描述（增函数、减函数）.同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.问题2:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？预案：如果函数f（x）在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数 f(x)在某个区间上随自变量 x 的增 大，y 越来越小，我们说函数f (x)在该区间上为减函数.教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述 性的认识.〖设计意图F 从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的 第一次认识• 2•探究规律，理性认识学生的困难是难以确定分界点的确切位置.通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时 不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.问题2:如何从解析式的角度说明f(x)=x 2在［0「：)为增函数？预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2,因为12<22,所以f(x) = x 2 在［0, •：：)为增函数.(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以f(x) =x 2在［0/：：)为增函数.— 2 2⑶ 任取 X i ,X 2，［0, F),且 X i ：：： X 2 ,因为 X i - X 2 =(X i • X 2)(X i - X 2)：：： 0 ,即 x 12:::X 22，所以 f(x)=x 2在［0, •：：)为增函数.对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析 ，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举， 从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x i ,x 2.〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念 的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3.抽象思维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义. (i)板书定义 (2)巩固概念问题1下图是函数 间为增函数和减函数吗？x -(x . 0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区判断题：①已知f(x)=丄,因为f(-1) ：：：f(2),所以函数f(x)是增函数.x②若函数f(x)满足f⑵::f(3),则函数f(x)在区间［2,3］上为增函数.③若函数f(x)在区间(1,2］和(2,3)上均为增函数，贝U函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.1 1④因为函数f(x) 在区间(-：：,0)和(0,=)上都是减函数，所以f(x) 在x x (-：：,0) (0, •：：)上是减函数.通过判断题，强调三点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数).③函数在定义域内的两个区间AB上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在A B 上是增(或减)函数.思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展例证明函数f(x)=x，2在(、..2,=)上是增函数.x1.分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流.证明：任取为，x2(1. 2,二),且x1< x2, 设元2 2f(X1) - f(X2) =(X1 )-(X2 )求差x1x2丄2 2变形= (X1 -X2)( )X1 X22(X2—X1)= (X1 -X2)X1X22二(％ _X2)(1 )X1X2X t X 2 — 2=(X 1 -X 2)--,X 1X 2.2 ：：：捲：：：X2, 断号二捲 _x 2 : 0,x 1x 2 2,••• f (xj - f (X 2) ::: 0,即 f (xj ::： f (X 2),- l••函数f(x) = x --在C 、2, •::)上是增函数.定论X 2. 归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论. 练习：证明函数f(x)-.,x 在［0「：)上是增函数.问题：要证明函数f(x)在区间(a,b)上是增函数，除了用定义来证，如果可 以证得对任意的X 4，x 2 • (a,b)，且％ = x 2有f "2)——f(X1) 0可以吗？ X 2 —X j引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明 函数f (X )二X 在［0, •：：)上是增函数.〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤.等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔.四、归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、 收获，交流学习过程中的体验和感受，师 生合作共同完成小结.1. 小结(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性. ⑵ 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论. (3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等. 2. 作业书面作业：课本第60页 习题2.3第4, 5,6题. 课后探究：(1)证明：函数f(x)在区间(a,b)上是增函数的充要条件是对任意的 x,x h (a,b)，且 h = 0,有 f (x h) -f (x)。

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《函数的单调性》教学设计【教材分析】《函数单调性》是高中数学新教材必修一其次章第三节的内容。

在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节内容是高中数学中相当重要的一个根底学问点，是讨论和争论初等函数有关性质的根底。

把握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论根底，还有利于培育学生的抽象思维力量及分析问题和解决问题的力量.【学生分析】从学生的学问上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简洁函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应当连续讨论什么,从各种函数关系中讨论它们的共同属性，应当是顺理成章的。

从学生现有的学习力量看，通过初中对函数的熟悉与试验，学生已具备了肯定的观看事物的力量，积存了一些讨论问题的阅历，在肯定程度上具备了抽象、概括的力量和语言转换力量。

从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。

函数的单调性是学生从已经学习的函数中比拟简单发觉的一共性质，学生也简单产生共鸣，通过比照产生顿悟，渴望获得这种学习的.积极心向是学生学好本节课的情感根底。

【教学目标】1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念.2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培育学生观看、归纳、抽象的力量和语言表达力量.3．通过学问的探究过程培育学生细心观看、仔细分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经受从详细到抽象，从特别到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念.【教学难点】从形与数两方面理解函数单调性的概念.【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、投影仪．【教学过程】教学根本流程1、视频导入------营造气氛激发兴趣2、直观的熟悉增（减）函数-----问题探究3、定量分析增（减）函数）-----归纳规律4、给出增（减）函数的定义------展现结果5、微课教学设计函数的单调性定义重点强调 ------ 稳固深化 7、课堂收获 ------提高升华（一）创设情景，提醒课题1．钱江潮，自古称之为“天下奇观”。