2014届人教版九年级数学专题讲解 课后训练：含参一元二次方程的解

含参一元二次方程题型解析
例1.若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的定义
例2.若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是( ) A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分式方程的解
例3.若关于x的方程有两个不相等的实根，且，则a 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：数形结合的思想
例4.若关于x，y的方程组有实数解，则实数k的取值范围是( ) A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：根的判别式
例 5.若关于x的方程有两个不相等的实根，且，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：数形结合的思想
例6.已知，且，则的值为( ) A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：解一元二次方程
例7.已知，且，则的值为( )
A.9
B.-9
C.27
D.-27
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：解一元二次方程。

专题：一元二次方程整数根重难点易错点辨析在解决整数根问题时，还是不要忽略了对二次项系数的讨论。

题一题面：关于x的方程()2-+--=的根都是整数，求符合条件的a的整数值.a x x a1210金题精讲题一题面：已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k4=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值X围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值.判别式，考虑参数X围满分冲刺题一题面：已知，关于x的一元二次方程22--+-+=x m x m m2(23)41480⑴若0m>，求证：方程有两个不相等的实数根；⑵若1240<<的整数，且方程有两个整数根，求m的值．m判别式，整数根题二题面：已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +10.（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数.判别式，整数根讲义参考答案重难点易错点辨析 题一答案：当1a =时，1x =；当1a ≠时，122111x x a ==---，（分离常数）， a ∵为整数1023a =-∴，，，综上，a 的整数值为10123-，，，，.金题精讲 题一 答案：(1)52k <；(2)k 2. 满分冲刺 题一答案：⑴证明：[]22=2(23)4(4148)84m m m m ∆----+=+∵0m >， ∴840m +>. ∴方程有两个不相等的实数根．⑵2(23)84(23)21m m x m m -±+-±+21m +为整数且m 为整数． 又∵1240m <<，∴252181.m <+< ∴521<9m <+．21m +∵为奇数，217m +=∴ ∴24m =．题二答案：（1）证明：△=(m +3)2mm 2mmm 2m(m +1)2∵(m +1)2≥0∴(m +1)2≥0∴无论m 取何实数时，原方程都有两个不相等的实数根 （2）解关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0得 23(1)4m m x --±++=要使原方程的根是整数根，必须使得(m +1)2是完全平方数设(m +1)2a则a ma m 1 4∵am 与a m 1的奇偶性相同可得{1=212a m a m +---=或{1=212a m a m +----=-解得{=21a m =-或{21a m =-=-将1m =-代入x =得1220x x =-=，符合题意；∴当1m =-时，原方程的根是整数.。

一、基础知识（一）韦达定理对于一元二次方程，当鉴别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥ 0 时，则两根的关系为：；，根与系数的这类关系又称为韦达定理。

分析：它的逆定理也是建立的，即当，时，那么则是的两根。

二、重难点分析本课教课要点：韦达定理应用一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为宽泛，在中学数学中据有深重要的地位，也是数学学习中的要点。

学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还经常要求同学们熟记一元二次方程根的鉴别式存在的三种状况，以及应用求根公式求出方程的两个根，从而分解因式，即。

此题教课难点：韦达定理逆定理依据韦达定理逆定理推测推测一元二次方程的系数，是学习难点，需要在学习过程中，依据，，判断则是的两根。

典例精析：例 1．已知对于的方程（1）有两个不相等的实数根，且对于的方程（ 2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？在同时知足方程（1），（ 2）条件的的取值范围中挑选切合条件的的整数值。

【答案】解：∵方程（ 1）有两个不相等的实数根，【考点】人教新课标九年级上册?21 章一元二次方程?根与系数的关系例 2．不解方程，鉴别方程两根的符号。

【考点】人教新课标九年级上册?21 章一元二次方程?根与系数的关系三、感悟中考1．（ 2014 年甘肃白银）已知、是方程的两个实数根，求的值。

【考点】人教新课标九年级上册?21 章一元二次方程?根与系数的关系2．（ 2014 年黑龙江大庆）已知双方程和起码有一个同样的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。

【答案】解：设双方程的同样根为，依据根的意义，有【考点】人教新课标九年级上册?21 章一元二次方程?根与系数的关系四、专项训练。

（一）基础练习1. 假如对于的方程的两根之差为2，那么。

2．已知对于的一元二次方程两根互为倒数，则。

【答案】2【分析】3．已知对于的方程的两根为，且，则。

4．已知是方程的两个根，那么：；；。

含参数的一元二次方程的整数根问题本帖隐藏的内容需要回复才可以浏览例1 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x + 72 = 0有两个不相等的正整数根.解法1首先，m2-1丰0, m z 土1 .△ =36(m> 0,所以m^ 3 .用求根公式可得6 12盟1 =--------- ，盟2 = ------------- ；，ni -1 m +1由于X1 , X2是正整数，所以m-仁1 , 2 , 3 , 6, m+1=1 , 2, 3 , 4 , 6 , 12 ,解得m=2 .这时X1 =6 , X2=4 .解法2首先，m2-1丰0 , m z±设两个不相等的正整数根为X1 ,沁,则由根与系数的关系知6(3m -1) 一-饥m - I m - 1所以m2-仁2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 12 , 18 , 24 , 36, 72 ,即m2= 3 , 4 , 5 , 7 , 9 , 10 , 13 , 19 , 25 , 37 , 73,只有m2=4 , 9 , 25才有可能，即m=± 2，土3，土5 .经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根说明一般来说，可以先把方程的根求出来（如果比较容易求的话），然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法.例2已知关于x的方程a2x2-（3a 2-8a）x + 2a2-13a + 15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值.分析至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根.我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来.解因为a工0,所以(3a2 -8a) ± 7(3a2 - 8a)2 -4a a(2a a - 13a + 15)(3J - 8a) + + 2a)2? ”所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1 , 3 , 5.例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x + 1 = 0有有理根，求m的值.解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数.令△ =(m1)2_4m = n2,其中n是非负整数，于是2 2m -6m+1= n ,所以(m-3)2-n2=8 ,(m-3 + n )(m-3-n) = 8.由于m-3 + n >m-3-n ,并且(m-3 + n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3 + n与m-3-n同奇偶，所以（舍去）■所Klm = 6,这时方程的两个根为£-说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决•例4关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值•解当a=0时，原方程变成-6x-2=0 ,无整数解•当a工0寸，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式A=4(a-3) 2-4a(a-2) = 4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数•令9-4a=n 2，则n是正奇数，且详3（否则“0）,所1如由求根公式得-2(a - 3) ± 2n _ 3 ±n亠一］---2a4(3 ±n)1+ 9-n所以要使X1为整数，而n为正奇数，只能n=1 ,从而a=2 .要使X2为整数，即n-3 | 4, n 可取1 , 5, 7,从而a=2 , -4 , -10 .综上所述,a的值为2, -4 , -10 .说明本题是前面两种方法的综合” •既要用判别式是平方数，又要用直接求根.有时候，往往是几种方法一同使用.例5已知关于x的方程x2+ (a-6)x + a=0的两根都是整数，求a的值.解设两个根为x i》x,由韦达定理得从上面两式中消去a得x i X2+x i+X2= 6,所以(X i+ 1)(X2 + 1)=7 ,= 6, Xj = -2,--8>所以a=x 1X2=0 或16 .说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于X1 , X2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的例6求所有有理数r,使得方程rx2+(r+1)x + (r-1)=0的所有根是整数•分析首先对r=0和r工0进行讨论.r=0时，是关于x的一次方程；r工时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效.可用韦达定理，先把这个有理数r消去.解当r=0时，原方程为x-仁0 ,所以x=1 .当r工0寸，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x i, X2,且x i>X2 ,贝U消去r得X1X2-X1-X2 = 2,所以(X i-1)(X2-1)=3 .ax 2 + 2(2a-1)x + 4(a-3)=0至少有一个整数根，求a 的值.解将原方程变形为(x + 2)2a= 2(x + 6).显然x + 2丰0于是2(^ + 6) a = ----------- + Cx+2)a由于a 是正整数，所以a > 1，即所以 x 2+2x- 8 < 0 ,(x + 4)(x-2) W 0 ,所以^! = 4, I ^! = 0, 心=2;= -1;所以 =-* 或1.综上所述，当心・$ 0, 1咏 方程的所有根都是整数.例7已知a 是正整数, 且使得关于x 的一元二次方程所以-4 W x W 2(X2)产当x=-4 , -3 , -1 , 0, 1 , 2 时，得 a 的值为1 , 6, 10, 3,”，1*所以咼妁值为1* 3, 6, 10.说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4 , 2;当a=3 , 6,10时,方程只有一个整数根•有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解•例8已知方程x2+bx+c=0 与x2+cx + b=0各有两个整数根刘,和盟1，5!3,且盟1起2〉°*勒岂〉0*X2Cl)求证：X2<CQ J显;<0, Qi：⑵求证：b-1 W c W b1±(3)求b, c的所有可能的值.解⑴由X1X2> 0知，刘与X2同号.若X1> 0,则X2> 0 ,所以t)<CL与t> =盟；盟；〉。

如何解含参一元二次方程介绍：一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的解法可以通过一系列的代数运算得到。

本文将介绍如何解含参一元二次方程，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

一、什么是含参一元二次方程含参一元二次方程是指在一元二次方程的基础上引入参数，参数是一个常数，可以是任意实数。

含参一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。

二、解含参一元二次方程的基本步骤解含参一元二次方程的基本步骤如下：步骤一：将含参一元二次方程的公式写出来。

例如，我们考虑一个含参一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0。

步骤二：根据一元二次方程的求解公式，计算方程的判别式Δ。

一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac。

步骤三：根据判别式的值，判断方程的根的情况。

1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。

根的公式为：x1 = (-b + √Δ)/(2a)，x2 = (-b - √Δ)/(2a)。

2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。

根的公式为：x1 = x2 = -b/(2a)。

3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，但可以有复数根。

步骤四：将参数代入根的公式，求解方程的根。

三、实例演示为了更好地理解和应用解含参一元二次方程的方法，我们通过一个实例进行演示。

假设我们要解方程：3x^2 + 2x + k = 0，其中k为参数。

步骤一：根据方程的形式，我们得到含参一元二次方程为：3x^2 + 2x + k = 0。

步骤二：计算方程的判别式Δ。

根据公式，Δ = 2^2 - 4*3*k = 4 - 12k。

步骤三：根据判别式的值，判断方程的根的情况。

1. 当Δ> 0时，方程有两个不相等的实数根。

此时，我们可以根据根的公式求解方程的根。

2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。

此时，我们也可以根据根的公式求解方程的根。

3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，但可以有复数根。

含参数的一元二次方程的整数解问题数学思维的教育第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题解法2 首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．例2 已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．解因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．例3 设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值．解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ=(m-1)2-4m＝n2，其中n是非负整数，于是m2-6m+1=n2，所以 (m-3)2-n2=8，(m-3＋n)(m-3-n)＝8．由于m-3＋n≥m-3-n，并且(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．例4 关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．解当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．综上所述，a的值为2，-4，-10．说明本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．例5 已知关于x的方程x2＋(a-6)x＋a=0的两根都是整数，求a的值．解设两个根为x1≥x2，由韦达定理得从上面两式中消去a得x1x2+x1+x2＝6，所以 (x1＋1)(x2+1)=7，所以a=x1x2=0或16．说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．例6 求所有有理数r，使得方程rx2+(r+1)x＋(r-1)=0的所有根是整数．分析首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．解当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，则消去r得x1x2-x1-x2＝2，所以(x1-1)(x2-1)=3．例7 已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0至少有一个整数根，求a的值．解将原方程变形为(x＋2)2a= 2(x＋6)．显然x＋2≠0，于是由于a是正整数，所以a≥1，即所以 x2+2x-8≤0，(x＋4)(x-2)≤0，所以-4≤x≤2(x≠-2)．当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．例8 已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2(2)求证：b-1≤c≤b＋1；(3)求b，c的所有可能的值．解 (1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1=(x1＋1)(x2+1)≥0，所以 c≥b-1．同理有所以 c≤b+1，所以 b-1≤c≤b+1．(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：(i)c=b＋1．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)＋1，所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．(ii)c=b．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)，所以 (x1+1)(x2＋1)=1，所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．(iii)c=b-1．由韦达定理知所以综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．。

含参一元二次方程计算100题使用说明：本专题的制作目的是提高学生在含参一元二次方程这一部分的计算能力。

主要有以下几个模块：①公共根；②整数根；③有理根；④已知根的情况求参数；⑤已知根的范围求参数；⑥已知参数范围求根的范围；共100题。

建议先仔细研究方法总结、易错总结和例题解析，再进行巩固练习。

模块一公共根方法总结：①设公共根②代入两方程，联立成方程组③得到新方程④解方程⑤将公共根代入原方程易错总结：最后结果注意代入检验一下是否正确例题解析：已知两方程x2+mx+n=0，x2+nx+m=0有且仅有一个公共根，求m，n的关系．解：设a为两方程的公共根，则……【设公共根】{a2+ma+n=0①a2+na+m=0②，……【将公共根代入两方程，联立】①−②得(m−n)a+(n−m)=0，(m−n)(a−1)=0．……【得到新方程】∵有且只有一个公共根，则m−n≠0．∴a=1，即x=1．……【解出x】将x=1代入原方程得，m+n=−1且m≠n．……【得出m、n关系】巩固练习：1.已知关于x的方程x2+px+q=0与x2+qx+p=0(p≠q)有一个公共根，求(p+q)2012的值．2.已知方程x2+a1x+a2a3=0与方程x2+a2x+a1a3=0有且只有一个公共根．求证：这两个方程的另两根(除公共根外)是方程x2+a3x+a1a2=0的根．3.若方程x2+bx+1=0与方程x2−x−b=0至少有一个相同的实数根，求实数b的值．4.设c是实数，已知x2−3x+c=0的一个解的相反数是方程x2+3x−c=0的一个解，求方程x2−3x+c=0的解．5.已知a>2，b>2，试判断关于x的方程x2−(a+b)x+ab=0与x2−abx+(a+b)=0有没有公共根，请说明理由．6.当p是什么实数时，方程x2+px−3=0与方程x2−4x−(p−1)=0有一个公共根．7.三个二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共根．求证:a+b+ c=0；8.若方程a2x2+ax−1=0和x2−ax−a2=0有公共根，求a的值．9.定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2−4x+5m=mx+5与x2+√2x+m−1=0互为“友好方程”，求m的值．10.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于x的一元二次方程x2−2x=0与x2+3x+m−1=0为“友好方程”，求m的值．11.若一元二次方程x2+kx−1=0，x2+x+(k−2)=0有相同的根，求k的值，并求两个方程的根．12.已知m为非负实数，当m取什么值时，关于x的方程x2+mx−1=0与x2+x+m−2=0仅有一个相同的实数根？13.试求满足方程x2−kx−7=0与x2−6x−(k+1)=0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根．模块二整数根方法总结：①讨论二次项系数；（如题干限定为“方程”，则要讨论二次项系数是否为0两种情况；如题干限定为“一元二次方程”，则二次项系数必须不等于0）②根据根的情况确定参数范围及参数的取值；③求出方程的整数解。

如何解含参一元二次方程一元二次方程是数学中的基础概念之一，解一元二次方程是数学中的一个重要问题。

在解一元二次方程时，我们需要找到方程的解，即使方程两边的值相等。

一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 为已知常数，且a不等于0。

解一元二次方程的方法有多种，下面我将介绍几种常见的解法。

1. 因式分解法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果方程的系数a、b、c 可以因式分解，即存在两个因式m和n，使得a = mn，c = mn，则方程可以写成(ax + m)(x + n) = 0。

根据乘法公式，当两个因式的乘积等于0时，至少有一个因式为0。

因此，方程的解可以通过求两个因式分别为0时的解得到。

2. 完全平方公式对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果方程的系数a、b、c 满足b^2 - 4ac = 0，即方程的判别式等于0，那么方程的解可以通过完全平方公式x = -b/2a得到。

完全平方公式是一元二次方程的特殊解法，适用于判别式等于0的情况。

3. 直接求根公式对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果方程的系数a、b、c 满足b^2 - 4ac > 0，即方程的判别式大于0，那么方程的解可以通过求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a得到。

求根公式是一元二次方程的常见解法，适用于判别式大于0的情况。

4. 配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果方程的系数a、b、c 满足a不等于0且方程无法直接因式分解，我们可以通过配方法将方程转化为可以因式分解的形式。

配方法的基本思想是通过变量替换将方程转化为一个完全平方的形式，从而求得方程的解。

5. 图像法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过绘制方程的图像来求解方程。

一元二次方程的图像是一个抛物线，方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标。

学科：数学专题：含参一元二次方程的解法主讲教师：黄炜北京四中数学教师重难点易错点解析题一：题面：方程(x+m)2=n2的根是 .金题精讲题一：满分冲刺题一：题面：解关于x 的方程：()()0(0)mx x c c x m -+-==/题二：题面：解关于x 的方程：(m -1)x 2+2mx +m +3=0．题三：题面：如果方程20x px q ++=的两个根是12,x x ，那么1212,.,x x p x x q +=-=请根据以上结论，解决下列问题：已知a 、b 、c 满足0,16a b c abc ++==，求正数c 的最小值.课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：x =±n -m详解：∵(x +m )2=n 2，∴x +m =±n ，∴x =±n -m .金题精讲题一：满分冲刺题一： 答案：121,x c x m== 详解：(1)原方程整理为()(1)0,0x c mx x c --=-=即或,01=-mx ;1,,021m x c x m ==∴=/Θ 题二：答案： 当m =1时，x = -2；当m ≠1时，①△＞0时，即4m 2-4（m -1）（m +3）＞0，m ＜32且m ≠1时，x =1m m --；详解：当m -1=0，即m =1时，方程为一元一次方程，解得：x = -2；当m -1≠0，即m ≠1时，方程为一元二次方程，①△＞0时，即4m 2-4(m -1)(m +3)＞0，题三：答案：正数c 的最小值为4。

详解：∵0,16a b c abc ++==且0c >， ∴16,a b c ab c +=-=。

∴a b 、是一元二次方程216()0(0)x c x c c --+=>的两个根， 化简，得22160(0)cx c x c ++=>。

又∵此方程必有实数根，∴此方程的△0≥，即22()4160c c -⋅⋅≥，33(4)0c c -≥。

第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A．x2＋1x2＝1 B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝02．方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则()A．m＝±2 B．m＝2C．m＝－2 D．m≠±23．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化为一元二次方程的一般式，正确的是()A．4x2－4x＋5＝0 B．3x2－8x－10＝0C．4x2＋4x－5＝0 D．3x2＋8x＋10＝04．若关于x的一元二次方程(m－3)x2＋2x＋m2－9＝0的常数项为0，则m的值为() A．3 B．－3 C．±3 D．±95．已知关于x的方程x2＋3mx＋m2＝0的一个根是x＝1，那么m2＋3m＝______.6．方程(k2－1)x2＋(k－1)x＋2k－1＝0，(1)当k______时，方程为一元二次方程；(2)当k______时，方程为一元一次方程．7．写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.一元二次方程二次项系数一次项系数常数项x2－3x＋4＝04x2＋3x－2＝03x2－5＝06x2－x＝08．设未知数列出方程，将方程化成一般形式后，指出二次项系数，一次项系数和常数项：一个矩形的面积是50平方厘米，长比宽多5厘米，求这个矩形的长和宽．9．已知关于x的方程x2－mx＋1＝0的一个根为1，求m2－6m＋9＋1－2m＋m2的值．10．已知a 是方程x 2－2011x ＋1＝0的一个根，求a 2－2010a ＋2011a 2＋1的值．21．2 解一元二次方程 第1课时 配方法、公式法1．方程(x －2)2＝9的解是( )A ．x 1＝5，x 2＝－1B ．x 1＝－5，x 2＝1C ．x 1＝11，x 2＝－7D ．x 1＝－11，x 2＝72．把方程x 2－8x ＋3＝0化成(x ＋m )2＝n 的形式，则m ，n 的值是( ) A ．4,13 B ．－4,19 C ．－4,13 D ．4,193．方程x 2－x －2＝0的根的情况是( ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．无实数根 D ．不能确定4．方程x 2＋x －1＝0的根是( )A ．1－ 5 B.－1＋52C ．－1＋ 5 D.－1±525．(2012年广东广州)已知关于x 的一元二次方程x 2－2 3＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 值为________．6．用配方法解下列方程： (1)x 2＋5x －1＝0； (2)2x 2－4x －1＝0； (3)2x 2＋1＝3x .7．用公式法解下列方程：(1)x2－6x－2＝0；(2)4y2＋4y－1＝－10－8y.8．阅读下面的材料并解答后面的问题：小力：能求出x2＋4x＋3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小强：能．求解过程如下：因为x2＋4x＋3＝x2＋4x＋4－4＋3＝(x2＋4x＋4)＋(－4＋3)＝(x＋2)2－1，而(x＋2)2≥0，所以x2＋4x＋3的最小值是－1.问题：(1)小强的求解过程正确吗？(2)你能否求出x2－8x＋5的最小值？如果能，写出你的求解过程．9．已知关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0.(1)若x＝－1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一根；(2)对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．10．已知关于x的方程x2－2x－2n＝0有两个不相等的实数根．(1)求n的取值范围；(2)若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．第2课时因式分解法1．方程x2＋2x＝0的根是()A．x＝0 B．x＝－2C．x1＝0，x2＝－2 C．x1＝x2＝－22．一元二次方程(x－3)(x－5)＝0的两根分别为()A．3，－5 B．－3，－5C．－3,5 D．3,53．用因式分解法把方程5y(y－3)＝3－y分解成两个一次方程，正确的是() A．y－3＝0,5y－1＝0B．5y＝0，y－3＝0C．5y＋1＝0，y－3＝0D．3－y＝0,5y＝04．解一元二次方程x2－x－12＝0，正确的是()A．x1＝－4，x2＝3B．x1＝4，x2＝－3C．x1＝－4，x2＝－3D．x1＝4，x2＝35．(2011年四川南充)方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是()A．2 B．3C．－1,2 D．－1,36．用因式分解法解方程3x(x－1)＝2－2x时，可把方程分解成______________．7．已知[(m＋n)2－1][(m＋n)2＋3]＝0，则m＋n＝___________.8．(2012年广东珠海)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0.(1)当m＝3时，判断方程的根的情况；(2)当m＝－3时，求方程的根．9．关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，则x 2＋bx ＋c 分解因式的结果为________．10．用换元法解分式方程x －1x －3x x －1＋1＝0时，如果设x －1x ＝y ，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是( )A ．y 2＋y －3＝0B ．y 2－3y ＋1＝0C ．3y 2－y ＋1＝0D ．3y 2－y －1＝011．阅读题例，解答下题： 例：解方程x 2－|x －1|－1＝0.解：(1)当x －1≥0，即x ≥1时，x 2－(x －1)－1＝x 2－x ＝0. 解得x 1＝0(不合题设，舍去)，x 2＝1.(2)当x －1＜0，即x ＜1时，x 2＋(x －1)－1＝x 2＋x －2＝0. 解得x 1＝1(不合题设，舍去)，x 2＝－2. 综上所述，原方程的解是x ＝1或x ＝－2. 依照上例解法，解方程x 2＋2|x ＋2|－4＝0. *第3课时 一元二次方程的根与系数的关系1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是( ) A ．1 B ．5 C ．－5 D ．62．设方程x 2－4x －1＝0的两个根为x 1与x 2，则x 1x 2的值是( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．0 3．两个实数根的和为2的一元二次方程可能是( ) A ．x 2＋2x －3＝0 B ．2x 2－2x ＋3＝0C ．x 2＋2x ＋3＝0D ．x 2－2x －3＝04．孔明同学在解一元二次方程x 2－3x ＋c ＝0时，正确解得x 1＝1，x 2＝2，则c 的值为______．5．已知一元二次方程x 2－6x －5＝0的两根为a ，b ，则1a ＋1b的值是________．6．求下列方程两根的和与两根的积： (1)3x 2－x ＝3; (2)3x 2－2x ＝x ＋3.7．已知一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0. (1)若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为x 1，x 2，且x 1＋3x 2＝3，求m 的值．8．点(α，β)在反比例函数y ＝kx的图象上，其中α，β是方程x 2－2x －8＝0的两根，则k＝__________9．已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为________．10．已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．21．3 实际问题与一元二次方程1．制造一种产品，原来每件成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低成本的( )A ．8.5%B ．9%C ．9.5%D ．10% 2．用13 m 的铁丝网围成一个长边靠墙面积为20 m 2的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为x m ，可得方程( )A ．x (13－x )＝20B ．x ·13－x2＝20C ．x (13－12x )＝20 D ．x ·13－2x 2＝203．(2012年广东湛江)湛江市2009年平均房价为每平方米4000元，连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是( )A ．5500(1＋x )2＝4000B ．5500(1－x )2＝4000C ．4000(1－x )2＝5500D ．4000(1＋x )2＝55004．将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个，为了赚8000元利润，则应进货( )A ．400个B ．200个C ．400个或200个D ．600个5．三个连续正偶数，其中两个较小的数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数是( )A ．－2,0,2B ．6,8,10C ．2,4,6D ．3,4,56．读诗词解题(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄)： 大江东去浪淘尽，千古风流人物． 而立之年督东吴，早逝英才两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． 哪位学子算得快，多少年华属周瑜． 周瑜去世时 ________岁．7．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．青山村种的水稻2007年平均每公顷产8000 kg,2009年平均每公顷产9680 kg ，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x . (1)用含x 的代数式表示：①2008年种的水稻平均每公顷的产量为__________________； ②2009年种的水稻平均每公顷的产量为__________________； (2)根据题意，列出相应方程________________； (3)解这个方程，得________________；(4)检验：_________________________________________________________________； (5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为____________%.8．如图21-3-2，有一长方形的地，长为x米，宽为120米，建筑商将它分成三部分：甲、乙、丙．甲和乙为正方形．现计划甲建设住宅区，乙建设商场，丙开辟成公司．若已知丙地的面积为3200平方米，试求x的值．图21-3-29．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件．(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y 关于x的函数关系式；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次．10．国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 【课后巩固提升】 1．C 2.B 3.B4．B 解析：m 2－9＝0，且m －3≠0，解得m ＝－3. 5．－1 6．(1)≠±1 (2)＝－1 解析：当所给方程为一元二次方程时，k 2－1≠0，即k ≠±1；当所给方程为一元一次方程时，需满足k 2－1＝0且k －1≠0，即k ＝－1.7．解：8.所列方程为x (x －5)＝50.整理后，得一般形式：x 2－5x －50＝0.二次项系数为1，一次项系数为－5，常数项为－50. 解法二：设宽为x 厘米，则长为(x ＋5)厘米， 所列方程为x (x ＋5)＝50.整理后，得一般形式：x 2＋5x －50＝0.二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为－50. 9．解：把x ＝1代入方程x 2－mx ＋1＝0中，得1－m ＋1＝0，所以m ＝2，故m 2－6m ＋9＋1－2m ＋m 2＝(m －3)2＋(1－m )2＝|2－3|＋|1－2|＝2.10．解：a 是方程x 2－2011x ＋1＝0的一个根， 则a 2－2011a ＋1＝0，所以a 2＋1＝2011a ，a 2＝2011a －1.a 2－2010a ＋2011a 2＋1＝2011a －1－2010a ＋20112011a＝a －1＋1a ＝a 2－a ＋1a ＝2011a －aa＝2010.21．2 解一元二次方程 第1课时 配方法、公式法 【课后巩固提升】1．A 2.C 3.B 4.D 5.D 6．解：(1)移项，得x 2＋5x ＝1.配方，得x 2＋5x ＋254＝294，⎝⎛⎭⎫x ＋522＝294. ∴x ＋52＝±292.∴x 1＝29－52，x 2＝－29－52.(2)系数化为1，得x 2－2x －12＝0.移项，得x 2－2x ＝12.配方，得x 2－2x ＋1＝32，(x －1)2＝32.∴x －1＝±62.∴x 1＝6＋22，x 2＝－6＋22.(3)移项，得2x 2－3x ＝－1.系数化为1，得x 2－32x ＝－12.配方，得x 2－32x ＋⎝⎛⎭⎫342＝－12＋⎝⎛⎭⎫342，⎝⎛⎭⎫x －342＝116，x －34＝±14，∴x 1＝1，x 2＝12. 7．解：(1)∵a ＝1，b ＝－6，c ＝－2， ∴b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－2)＝44>0.∴x ＝6±442＝6±2 112＝3±11.∴x 1＝3＋11，x 2＝3－11.(2)原方程可化为4y 2＋12y ＋9＝0. ∵a ＝4，b ＝12，c ＝9，∴b 2－4ac ＝122－4×4×9＝0.∴y ＝－12±02×4＝－32.∴y 1＝y 2＝－32.8．解：(1)正确． (2)能．过程如下：x 2－8x ＋5＝x 2－8x ＋16－16＋5＝(x －4)2－11， ∵(x －4)2≥0，∴x 2－8x ＋5的最小值是－11.9．解：(1)因为x ＝－1是方程的一个根， 所以1＋m －2＝0，解得m ＝1.方程为x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2. 所以方程的另一根为x ＝2.(2)b 2－4ac ＝m 2＋8，因为对于任意实数m ，m 2≥0，所以m 2＋8>0，所以对于任意的实数m ，方程有两个不相等的实数根．10．解：(1)∵关于x 的方程x 2－2x －2n ＝0， a ＝1，b ＝－2，c ＝－2n ， ∴Δ＝b 2－4ac ＝4＋8n ＞0.解得n ＞－12.(2)由原方程，得(x －1)2＝2n ＋1. ∴x ＝1±2n ＋1.∵方程的两个实数根都是整数，且n ＜5， ∴0＜2n ＋1＜11，且2n ＋1是完全平方形式． ∴2n ＋1＝1,2n ＋1＝4或2n ＋1＝9. 解得，n ＝0，n ＝1.5或n ＝4. 第2课时 因式分解法 【课后巩固提升】1．C 2.D 3.C 4.B 5.D 6．(x －1)(3x ＋2)＝0 7．±1 解析：∵[(m ＋n )2－1][(m ＋n )2＋3]＝0，∴(m ＋n )2＝1或(m ＋n )2＝－3.又∵(m ＋n )2≥0，∴(m ＋n )2＝1，即m ＋n ＝±1.8．解：(1)当m ＝3时，b 2－4ac ＝22－4×1×3＝－8<0， ∴原方程没有实数根．(2)当m ＝－3时，x 2＋2x －3＝0， (x ＋3)(x －1)＝0. ∴x 1＝－3，x 2＝1. 9．(x －1)(x －2)10．A 解析：由题意可将方程化为y －3y＋1＝0，两边同乘以y ，得y 2＋y －3＝0.11．解：①当x ＋2≥0，即x ≥－2时，x 2＋2(x ＋2)－4＝0，x 2＋2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2；②当x ＋2＜0，即x ＜－2时，x 2－2(x ＋2)－4＝0，x 2－2x －8＝0，解得x 1＝4(不合题设，舍去)，x 2＝－2(不合题设，舍去)．综上所述，原方程的解是x ＝0或x ＝－2.*第3课时 一元二次方程的根与系数的关系【课后巩固提升】1．B 2.B 3.D 4.25．－65解析：∵a ，b 是一元二次方程的两根， ∴a ＋b ＝6，ab ＝－5.1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝－65. 6．解：(1)原方程化为一般形式为3x 2－x －3＝0.所以x 1＋x 2＝－－13＝13，x 1x 2＝－33＝－1. (2)原方程化为一般形式为3x 2－3x －3＝0，即x 2－x －1＝0.所以x 1＋x 2＝－－11＝1，x 1x 2＝－11＝－1. 7．解：(1)∵方程x 2－2x ＋m ＝0有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4m ≥0.解得m ≤1.(2)由两根关系可知，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m .解方程组121223 3.x x x x ⎧⎨⎩＋＝，＋＝解得123,21.2x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝ ∴m ＝x 1·x 2＝34. 8．－89．10 解析：x 1＋x 2＝－6，x 1x 2＝3, x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 21x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝10. 10．解：(1)由方程有两个实数根，可得Δ＝b 2－4ac ＝4(k －1)2－4k 2＝4k 2－8k ＋4－4k 2＝－8k ＋4≥0.解得k ≤12. (2)依据题意，可得x 1＋x 2＝2(k －1)．由(1)可知k ≤12， ∴2(k －1)＜0，x 1＋x 2＜0.∴|x 1＋x 2|＝－x 1－x 2＝x 1·x 2－1.∴－2(k －1)＝k 2－1.解得k 1＝1(舍去)，k 2＝－3.∴k 的值是－3.21．3 实际问题与一元二次方程【课后巩固提升】1．D 解析：设每次降低x ，则100(1－x )2＝81，解得x ＝10%.2．B 3.D 4.C 5.B6．36 解析：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x ，则十位数字为x －3. 依题意，得x 2＝10(x －3)＋x ，即x 2－11x ＋30＝0.解得x 1＝5，x 2＝6.当x ＝5时，十位数字是2，即是25，与“而立之年督东吴”不符，故舍去； 当x ＝6时，其年龄为36.即周瑜去世时36岁．7．解：(1)①8000(1＋x )②8000(1＋x )(1＋x )＝8000(1＋x )2(2)8000(1＋x )2＝9680(3)x 1＝0.1，x 2＝－2.1(4)x 1＝0.1，x 2＝－2.1都是原方程的根，但x 2＝－2.1不符合题意，所以只取x ＝0.1.(5)108．解：根据题意，得(x －120)[120－(x －120)]＝3200，即x 2－360x ＋32 000＝0.解得x 1＝200，x 2＝160.答：x 的值为200或160.9．解：(1)由题意，得y ＝[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]．整理，得y ＝－8x 2＋128x ＋640.(2)由题意，得－8x 2＋128x ＋640＝1080.x 2－16x ＋55＝0，解得x 1＝5，x 2＝11(舍去)．即当一天的利润为1080元时，生产的是第5档次的产品．10．解：(1)设平均每次下调的百分率为x .5000×(1－x )2＝4050.(1－x )2＝0.81，解得1－x ＝0.9或1－x ＝－0.9(不合题意，舍去)．∵1－x ＝0.9，∴x ＝0.1＝10%.答：平均每次下调的百分率为10%.(2)方案一的总费用为：100×4050×9.810＝396 900(元)； 方案二的总费用为：100×4050－2×12×1.5×100＝401 400(元)．∴方案一优惠．。

专题：一元二次方程的解法（1）重难点易错点解析题一：题面：已知，关于x 的方程(a5)x 22ax 1是一元二次方程，则a金题精讲题一：题面：方程x(x-2)+ x 2=0 的解是（）A.2B. 2,1C.1D.2,1满分冲刺题一：题面：解下列方程：4( x 3)2x( x 3)0题二：题面：在一大片空地上有一堵墙（线段 AB ），现有铁栏杆 40m，准备充分利用这堵墙建造一个封闭的矩形花圃．（1）如果墙足够长，那么应如何设计可使矩形花圃的面积最大？（2）如果墙 AB=8m，那么又要如何设计可使矩形花圃的面积最大？课后练习详解重难点易错点解析题一：答案： a 5.详解：方程 (a 5)x221既然是一元二次方程，必符合一元二次方程的定义，所以未知ax数的最高次数是2，因此，二次项系数 a 5 0,故a 5.金题精讲题一：答案： D。

详解：先利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可由 x(x 2)+( x2)=0 ，得 (x 2)(x+1)=0 ，∴ x 2=0 或 x+1=0 ，∴ x1=2， x2=1。

故选 D。

满分冲刺题一：答案： x13, x24.详解： ( x3)[4( x3)x]0, ( x 3)(3x 12) 0, x 3 0或 3x12 0,解得 x13, x24题二：答案：（ 1）矩形的面积最大是200m2（ 2）矩形花圃面积最大是144m2详解：（ 1）设 DE=x，那么面积x x21S=x(20) =+20x =2222(x-2 0) +200∴当 DE =20m 时，矩形的面积最大是200 m2（ 2）讨论①设DE=x，那么面积S=x(20x )（0＜x≤8）2=1(x 20)2+20022∴当 DE =8m 时，矩形的面积最大是128m ．设 BF=x，那么 AF=x+8， AD =16 x2那么矩形的面积S=(x+8)(16 x) = x +8x+1282= (x 4) +144∴当 x=4 时，面积S 的最大值是144．∴按第二种方法围建的矩形花圃面积最大是144m2专题：一元二次方程的解法（2）重难点易错点解析一元二次方程20，a≠0的条件。