2013gct数学考前热身模拟试题及答案(二)讲解学习

2013考研模考测试卷数学二答案答题注意事项1. 考试要求考试时间：180分钟满分：150分.2. 基本信息学员姓名:____________ 分数: ___________一、选择题(1～8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 设)(x f 在0=x 的某邻域内连续,且当0→x 时,)(x f 与m x 为同阶无穷小.又设0→x 时，dt t f x F nx ∫=)()(与k x 为同阶无穷小,其中m 与n 为正整数.则k = ( )(A) .n m + (B) .2m n + (C) .n mn + (D) .1−+n mn 【答案】(C).【解析】由0→x 时)(x f 与m x 为同阶无穷小,知存在常数0≠A ,当0→x 时mAx x f ~)(,从而nmnAx x f ~)(.于是.0lim )(lim )(lim 01100≠=⋅→−−→→k nnm x k n n x k x xx x k An kx nx x f x x F 洛 故.n nm k +=所以选(C).(2) 设()()f x g x 在0x 处可导,且00()()0f x g x ==,0000()()0,(),()f x g x f x g x ′′′′′′=>存在,则 ( )(A)0x 不是()()f x g x 的驻点. (B)0x 是()()f x g x 的驻点,但不是它的极值点. (C)0x 是()()f x g x 的驻点,且是它的极大值点. (D)0x 是()()f x g x 的驻点,且是它的极小值点. 【答案】(D).【解析】设()()()x f x g x ϕ=,则()()()()()x f x g x f x g x ϕ′′′=+,()()()2()()()()x f x g x f x g x f x g x ϕ′′′′′′′′=++,所以0()0x ϕ′=,0x 是()x ϕ的驻点.又由000()2()()0x f x g x ϕ′′′=>,知()x ϕ在0x 点取得极小值.故答案为(D). (3) 函数222sin y x x π=−的不可导点个数为 ( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】(A).【解析】函数可能的不可导点为x π=±,因为222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ−−→−′==− 222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ++→−−′==−所以y 在π处可导.又 222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ−−→−−−′−==+222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ++→−−′−==+所以y 在π−处可导.故y 处处可导.故正确答案为(A). (4) 在下列微分方程中,以xx x x C C y 22221e 21e )(−−++=（其中21,C C 为任意常数）为通解的是 ( ) (A) 244e xy y y −″−′+=. (B) 244e .xy y y −″+′+=(C) 244e x y y y −″+′−=. (D) 244exy y y −″−′−=.【答案】(B).【解析】设所求微分方程为)(x f qy py y =+′+″,其对应齐次微分方程的特征方程的根为221−==r r ,因而特征方程为0)2(2=+r ,即0442=++r r ,故对应的齐次微分方程为044=+′+″y y y ．非齐次微分方程对应的特解为xx 22e 21−,代入微分方程)(44x f y y y =+′+″的左边,得 x x x x x x x x x x x x y y y 2222222222***e e 2)e 4e 4(e 2e 4e 44"−−−−−−−=+−++−=+′+,即得x x f 2e )(−=,所以所求微分方程为x y y y 2e 44−=+′+″．所以选(B).(5) 设),(y x f 有连续的偏导数,且))(,(xdy ydx y x f +−−为函数),(y x u 的全微分,则 ( )(A) 21(,)(,)xf x y yf x y ′′−−=−−. (B) 21(,)(,).xf x y yf x y ′′−−−=−−(C) 21(,)(,).yf x y xf x y ′′−−=−− (D) 21(,)(,)yf x y xf x y ′′−−−=−−. 【答案】(C).【解析】由于dy y x xf dx y x yf du ),(),(−−+−−=,即),,(),,(y x xf y u y x yf x u −−=∂∂−−=∂∂所以222(,)(,)(1)(,)(,),uf x y yf x y f x y yf x y x y∂′′=−−+−−−=−−−−−∂∂ 211(,)(,)(1)(,)(,).uf x y xf x y f x y xf x y y x ∂′′=−−+−−−=−−−−−∂∂由于x y u y x u ∂∂∂∂∂∂22,连续,所以xy u y x u ∂∂∂=∂∂∂22,于是得21(,)(,).yf x y xf x y ′′−−=−−故应选(C). (6) 设222{(,)|,0}D x y x y R R =+≤>,常数0λ≠.则二重积分cos sin ()r r De e rdrd λθλθθ−−∫∫的值 ( ) (A) 为零.(B) 为正. (C) 为负.(D) 当0λ>时为正,当0λ<时为负.【答案】(A).【解析】由极坐标化为直角坐标，及轮换对称性,知()()x y y x DDI e e d e e d λλλλσσ−−=−=−∫∫∫∫, 所以 2()()2()x x y y x xDDDI e e d e e d e e d λλλλλλσσσ−−−=−+−=−∫∫∫∫∫∫. 又因为被积函数是x 的奇函数,区域D 关于y 轴对称,所以()0xx Dee d λλσ−−=∫∫.从而知0I =,故答案为(A).(7) 下列叙述正确的是 ( )(A) 若两个向量组的秩相等，则此两个向量组等价.(B) 若齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解，则矩阵A 与B 的行向量组等价. (C) 若向量组12,,,s ααα"可由向量组12,,,t βββ"线性表示，则必有s t <.(D)若向量组12,,,s ααα"与向量组2,,s αα"均线性相关，则1α必不可由2,,s αα"线性表示. 【答案】(B) .【解析】本题可用排除法，对于(A)选项，例如110α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，101β⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，1α与1β秩相等，但1α与1β并不等价，可排除A 选项；又如111α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠， 212α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，321α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，可由110β⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，201β⎛⎞=⎜⎟⎝⎠线性表示，但32>，可排除(C)选项；又如111α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠， 201α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，310α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，422α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则1234,,,αααα与234,,ααα均线性相关，且1α可由234,,ααα线性表示，可排除(D)选项，只有(B)选项为正确答案．事实上，易证方程组0Ax =与0A x B ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠同解，则()A r A r B ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，因此B 的行向量组可由A 的行向量组线性表示，同理可证A 的行向量组可由B 的行向量组线性表示，因此A 与B 的行向量组等价．故选(B)(8) 已知210200120,021001010A B ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠，则A 与B ( ) (A) 等价、相似、合同. (B) 不等价、不相似、不合同.(C) 等价、相似、不合同. (D) 等价、不相似、合同. 【答案】(D).【解析】由于()3,()3r A r B ==，所以A 与B 等价.A 与B 均为实对称矩阵，若特征值相同，则A 与B 相似，否则A 与B 不相似.由于()()()()()()()()2102112011311212002102122(1(1101E A E B −−−−−=−−=+=+−−−−+−−−−=−−=−=−−+−−−−λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ所以A 的特征值为1,3,1A =−λ，B的特征值为2,1B =λ，因此A 与B 不相似.由于A 与B 的正负惯性指数是相同的，正惯性指数为2，负惯性指数为1，所以A 与B 合同. 所以选择 (D).二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设四次曲线432y ax bx cx dx f =++++经过点(0,0),并且点(3,2)是它的一个拐点. 过该曲线上点(0,0)与点(3,2)的切线交于点(2,4).则该四次曲线的方程为y = .【答案】4324284227273x x x x −++. 【解析】曲线432y ax bx cx dx f =++++经过点(0,0),所以0.f = (1)又因为经过点(3,2),所以 3812793 2.|x ya b c d f ==++++= (2)又因为点(3,2)是拐点,所以 233(1262)1081820.||x x y ax bx c a b c ==′′=++=++=(3)又因为经过点(0,0)的切线斜率为422=,所以 320(432)2;||x x y ax bx cx d d ==′=+++== (4)经过点(3,2)的切线斜率为42223−=−−,所以 3233(432)108276 2.||x x y ax bx cx d a b c d ==′=+++=+++=−(5)联立(1)-(5),解得0f =,2d =,43c =,2827b =−,427a =.即求得4324284227273y x x x x =−++. (10) 曲线x x x x y −++=sin 22的斜渐近线方程为 .【答案】.12−−=x y【解析】因为lim limx x y xx x →−∞→−∞=xx x x x x x −++−=−∞→2sin 21lim,2−=lim (2)lim )x x y x x →−∞→−∞+=+limx =limx =,1−=所以斜渐近线方程为：.12−−=x y (11)2225x dx x x −=++∫ .【答案】2131ln(25)arctan 222x x x C +++−+.【解析】222221313ln(25)25252(1)2x dx dx x x dx x x x x x +=−=++−++++++∫∫∫原式2131ln(25)arctan 222x x x C +=++−+. (12) 曲线322y x x x =−++与x 轴所围成的图形的面积A = . 【答案】3712. 【解析】令3220y x x x =−++=,得1,0,2x =−. 当10x −<<时,0y <；当02x <<时,0y >,于是021037(0)12A y dx ydx −=−+=∫∫. (13) 设函数()f u 具有连续导数,且函数(,)z z x y =由方程22()y z xf z y +=−确定,则z zx z x y∂∂+=∂∂ . 【答案】y .【解析】对两边求全微分,得2222()()(22).dy dz f z y dx xf z y zdz ydy ′+=−+−−为书写方便,设22u z y =−,并解出dz 得 ()12().12()12()f u xyf u dz dx dy xzf u xzf u ′+=−′′−− 于是()12()z f u x xzf u ∂=′∂− ,12().12()z xyf u y xzf u ′∂+=−′∂− 从而 .z zxz y x y∂∂+=∂∂(14) 设A 是54×矩阵，B 是四阶矩阵，满足2AB A =，*B 是B 的伴随矩阵．若A 的列向量线性无关，则()*r B= ．【答案】4.【解析】由2AB A =可得(2)A B E O −=，故()(2)4r A r B E +−≤． 由于A 的列向量线性无关，所以()4r A =． 由此可得(2)0r B E −=，即2B E O −=，2E B =． 故()4r B =．由矩阵秩和伴随矩阵秩之间的关系，可得()*4r B=．三、解答题(本题共9小题,满分94分. 请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分10分)已知1,0,(),01,1arctan ,1,1x x f x ax b x x x −<⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪>−⎪⎩在它的定义域上连续,求常数a 和b .【解析】000112lim ()lim lim 2x x x axa f x x x−−−→→→−−===−, …… 3分0lim ()x f x b +→=,1lim ()x f x a b −→=+, …… 5分111lim ()lim arctan 12x x f x x π++→→==−,…… 6分(0)f b =,(1)f a b =+.…… 8分所以()f x 在0x =处连续⇔2a b −=；()f x 在1x =处连续2a b π⇔=+. 解之,a π=,2b π=−.…… 10分(16) (本题满分10分)设()f x 是[],a a −上的连续偶函数(0)a >，且()0f x >，()()d aaF x x t f t t −=−∫，求()F x 在[],a a −上的最小值. 【解析】()()()()()d d x aax F x x t f t t t x f t t −=−+−∫∫ ()()()()()()d d d x x aax x x t f t t x t f t t t x f t t −−−=−+−+−∫∫∫ ()()()()()()d d d d xxxaax x x x t f t t x f t t tf t t t x f t t −−−−=−+−+−∫∫∫∫令t u =−，则()()()()()()d ()d d x x xaa a x t f t t x u f u u x u f u u −−−=+−−=−+∫∫∫ ()()()()()()0d 2d d x xxaaF x x t f t t x f t t t x f t t ∴=−++−−∫∫∫()()02d 2d xxax f t t tf t t =−∫∫…… 4分()()()()()02d 222d x xF x f t t xf x xf x f t t ′=+−=∫∫ …… 6分令()0F x ′=得0x =()()0f x >因又()()()()20200F x f x F f ′′′′==>， …… 8分 故()F x 在0x =处取得极小值. 由于()F x 在()a a −，内可导，且只有一个驻点，所以()F x 在0x =处的极小值即函数的最小值. 此最小值为()() 002d aF tf t t =∫． …… 10分(17) (本题满分10分)求微分方程2xy y x ′′′+=满足初始条件(1)1y =,1(1)2y ′=的特解. 【解析】令p y ′=,则有dp y dx ′′=,原方程化为2dpx p x dx+=再化为21,dp p dx x +=…… …… 3分 解得,2221112211.3dx dx x xC x p e dx C e x dx C x x −⎡⎤∫∫⎡⎤=⋅+⋅=+⋅=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫ …… 6分 于是12.3C dy x dx x=+ 再分离变量积分得通解,212.6C x y C x=−+ …… 8分 由(1)1y =,1(1),2y ′=得2121211166|x C x C C C x =⎛⎞=−+=−+⎜⎟⎝⎠,且112111.233|x C x C x =⎛⎞=+=+⎜⎟⎝⎠ 解得116C =,21C =.所以满足初始条件(1)1y =,1(1)2y ′=的特解为21*166x y x =−+. …… 10分(18) (本题满分10分)已知(42)(42),(0,0)0dz x dx y dy z =−−+=，求(z z x y =，）在区域2218D x y +≤：上的最大值与最小值.【解析】 由(42)(42),(0,0)0dz x dx y dy z =−−+=,知242,4()zx z x x y xϕ∂=−=−+∂, 又2()(42),()4zy y y y y C yϕϕ∂′==−+=−−+∂，所以2244z x x y y C =−−−+ 又由(0,0)0,0z C ==，所以2244z x x y y =−−− ……4分420420x yz x z y =−=⎧⎨=−−=⎩得驻点(2,2)−. ……6分 设22(,,)4418(18)F x y x y x y λλ=−−++−，由22()420420180x y F x x F y F x y λλλ=+=⎧⎪=−+=⎨⎪=+−=⎩ 得驻点(3,3),(3,3)−−. ……8分 而(2,2)8,(3,3)6,(3,3)42f f f −=−=−=−，则(,)z z x y =在区域22:18D x y +≤上的最大值为8，最小值为-42. ……10分 (19) (本题满分10分)设()22,,u f x y xyz =,函数(),z g x y =由方程()xyzxy ee z t dt z ϕ+−=∫确定,其中f 可微,ϕ连续,且1ϕ≠.求u u xy x y∂∂−∂∂. 【解析】 因132,u z xf y z x f x x ∂∂⎛⎞′′=++⎜⎟∂∂⎝⎠ 232,u z yf x z y f y y ⎛⎞∂∂′′=++⎜⎟∂∂⎝⎠…… 4分在方程()xyzxy ee z t dt z ϕ+−=∫中,令,xy v e z t =+−则,dv dt =−且当t z =时,;xy v e =当xy t e =时,,v z =则上述方程化为().xyze v dv z ϕ=∫……5分 两边对x 求偏导,得()(),xy xyz z z e e y x x ϕϕ∂∂⋅−⋅=∂∂ ()(),1xy xye e y z x z ϕϕ⋅∂=∂− …… 6分同理可得()().1xy xye e xz y z ϕϕ⋅∂=∂− …… 8分将z x ∂∂,z y ∂∂代入u x ∂∂,u y ∂∂的表达式,得()22122.u u x y x f y f x y∂∂′′−=−∂∂ …… 10分 (20) (本题满分11分)设平面区域{}(,)0,0D x y x y ππ=≤≤≤≤,计算积分cos()DI x y d σ=+∫∫.【解析】积分区域关于x y π+=对称,被积函数cos()x y +对于u x y =+满足cos()cos()u u ππ+=−, 所以,1cos()2cos()DD I x y d x y d σσ=+=+∫∫∫∫,其中{}1(,)|,0,0D x y x y x y π=+≤≥≥.…… 3分又因为区域1D 被直线2x y π+=分为12σσ和,1(,)|,0,02x y x y x y πσ⎧⎫=+≤≥≥⎨⎬⎩⎭,2(,)|,0,02x y x y x y πσπ⎧⎫=≤+≤≥≥⎨⎬⎩⎭, 在1σ内cos()0x y +>；在2σ内cos()0x y +<.故122[cos()cos()]I x y d x y d σσσσ=+−+∫∫∫∫…… 6分 1122[2cos()cos()]x y d x y d σσσσσ+=+−+∫∫∫∫…… 8分202[2(1sin )sin ]2.x dx xdx πππ=−+=∫∫…… 11分(21) (本题满分11分)(I) 设k为正整数,42()xkxt e F x dt e −=+∫∫,证明()F x 存在唯一的零点,记为k x ；(II) 证明21limnkn k x→∞=∑存在,且其极限值小于2.【解析】(I)(0)0,F =<∫ (1)分41021()0,t k F dt ke −=+>∫∫ …… 2分故至少存在一个零点记为k x ,10k x k<<.…… 3分又4()0,x kx F x eke −′=> …… 4分故至多存在一个零点.所以正好存在唯一零点k x ,且10k x k<<.…… 5分(II)222112211111,(1)nnn nkk k k k x k k k k ====<=+<+−∑∑∑∑ …… 7分所以2211111((1)1nnk k k k k k ==+=+−−−∑∑111 2.n =+−< …… 9分又因为21n k k x =⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑随n 而单调增加,由单调有界定理知,21lim nk n k x →∞=∑存在,其极限值小于2. …… 10分(22) (本题满分11分)线性方程组(a)12341234123420233035240x x x x x x x x x x x x ++−=⎧⎪++−=⎨⎪++−=⎩，(b)124123020x x mx x nx x ++=⎧⎨++=⎩(I)求线性方程组(a)的通解；(II),m n 取何值时，方程组(a)与(b)有非零公共解； (III),m n 取何值时，方程组(a)与(b)同解. 【解析】(I)对(a)的系数矩阵做初等行变换：121112112313011135240000−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠令341,0x x ==，解得121,1x x ==−，()11,1,1,0,Tξ=− 令340,1x x ==，解得123,1x x ==−，()23,1,0,1T ξ=−， 基础解系为：()11,1,1,0,Tξ=−()23,1,0,1Tξ=−.则(a)的通解为112212,,x k k k k ξξ=+为任意常数. …… 3分(Ⅱ)对(a)和(b)的联合方程组的系数矩阵做初等行变换：1211121123130111352401111100111120021112111211011101110000003300200020033000m m n n n n m m nn −−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟→−−−−⎜⎟⎜⎟−−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟→→−−⎜⎟⎜⎟++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠所以当3n =或2m =−时，联合方程组有非零解，该非零解既满足方程组(a)，又满足方程组(b)，所以该非零解就是方程组(a)与方程组(b)的公共解. …… 7分(Ⅲ)若方程组(a)与(b)同解，则将方程组(a)的基础解系代入(b)中，应该满足(b)中的方程，即110310,2,312030m m n n n −=−+=⎧⎧⇒=−=⎨⎨−+=−=⎩⎩. 因为两方程组系数矩阵秩相等，当2,3m n =−=时，所以方程组(a)与(b)同解. …… 11分 (23) (本题满分11分)设A 为3阶方阵，123,,λλλ是A 的三个不同特征值，对应的特征向量分别为123,,ααα，令123.βααα=++(I)证明2,,A Aβββ线性无关；(II)若3232,AA A βββ=−求A 的特征值，并计算行列式.A E +【解析】(I)令21230k k A k A βββ++=，由22,,1,2,3,i i i i i i A Ai ===αλααλα知()()()2221123211223331122330,k k k ++++++++=αααλαλαλαλαλαλα…… 2分即 ()()()2221213111223221233330,k k k k k k k k k ++++++++=λλαλλαλλα由题设123,,ααα分别是三个不同特征值123,,λλλ的对应特征向量，则必线性无关，即有2121312122322123330,0,0,k k k k k k k k k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩λλλλλλ…… 4分因其行列式211222233110,1≠λλλλλλ所以1230,k k k ===故2,,A A βββ线性无关. …… 5分 (II) 由()()()()223222,,,,,,32000,,103,012A A A A A A A A A A A A ==−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠βββββββββββββ令()2,,P A A βββ=，则P 可逆，且1000103,012P AP B −⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟−⎝⎠即~.A B ……8分因()()()200132331,012E B −=−−=+−=+−−+λλλλλλλλλλ得B 的三个特征值为1230,3, 1.λλλ==−=由~A B 知，A 的三个特征值也为1230,3, 1.λλλ==−=……10分再由()11,PA E P P AP EB E −−+=+=+知100113 4.011A EB E +=+==−−…… 11分。

2013届高考考前理科数学热身试卷本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：锥体的体积公式13V S h =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A B ，相互独立，那么()()()P A B P A P B = ． 正弦定理2(sin sin sin a b c R R ABC===为外接圆半径)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数12i-+的虚部是（ ）A 、15- B 、15i -C 、15D 、15i2. 设集合{}03M x x =<≤，{}01N x x =<≤，那么“a M ∈”是“a N ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2012年高考（重庆理）在等差数列}{n a 中,5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S = （ ）A ．7B ．25C ．20D ． 154 ．（2012年高考（四川理））函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是5 ．（2012年高考（陕西理））从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲,m 乙,则( )（ ）A ． x x <甲乙,m 甲>m 乙B ．x x <甲乙,m 甲<m 乙C ．x x >甲乙,m 甲>m 乙D ．x x >甲乙,m 甲<m 乙DABC11D 1A1B（第11题图）7 ．（2012年高考（福建理））如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ） A ．14B ．15C ．16D ．176 ．（2012年高考（陕西理）在A B C ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（ ）A 2B ．12C ．2D ．12-8、（深圳市2013届高三2月第一次调研考试）函数 ()y f x =，x D ∈，若存在常数C ，对任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈C =，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为C ．已知()3f x x =，[]1,2x ∈则函数()3f x x =在[]1,2上的几何平均数为A B ．2 C ．4 D ．二、填空题：（本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5（一）必做题(9～13题) 9．二项式12)1(x x +的展开式中常数项是第 ▲ 项。

浙江省2013届高考数学模拟冲刺试卷（二）理 新人教A 版选择题部分（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 复数911⎪⎭⎫⎝⎛+-i i 的值等于 （ ）（A ）22（B ）2 （C ）i （D ）－i 2．若1既是2a 与2b 的等比中项，又是a 1与b 1的等差中项，则22ba ba ++的值是 （ ） （A ）1或21 （B ）1或21- （C ）1或31（D ）1或31- 3.若某程序框图如图所示，如果该程序运行后输出的p 是3，则输入的n 是（ ） （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）24．集合=P {x ，1}，=Q {y ，1，2}，其中∈y x ，{1， 2，…，9}，则满足条件Q P ⊂的事件的概率为 （ ） （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）155．直线l 过点(2,1)P 与曲线1422=-y x 恰有一个公共点，则满足条件的直线l 的条数为 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46．设实数y x ，满足10<<xy 且xy y x +<+<10，那么y x ，的取值范围是 （ ） （A ）1>x 且1>y （B ）10<<x 且1<y （C ）10<<x 且10<<y （D ）1>x 且10<<y7．已知函数qx px x x f ++=23)(与x 轴切于)0(00≠x x 点,且极小值为4-,则p q +=（ ）（A ）12 （B ）13 （C ）15 （D ）16 8．已知,[,],,44x y a R ππ∈-∈且有33sin 20,4sin cos 0x x a y y y a +-=++=，则22sin(4)x y -=（ ）（A ）1- （B ）1 （C ）12（D ）0 9．单位正方体在一个平面内的投影面积的最大值和最小值分别为 （ ）（A （B （C （D10．已知圆M ：()()22234x y -+-=，过x 轴上的点(),0P a 存在圆M 的割线PBA ，使得PA AB =，则点P的横坐标a的取值范围是（ ）A ．[-B .[- C.[22-+ D [22-+ 非选择题部分 (共100分)二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。

2013年高考热身考数学（理科）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1、设全集R ，{|(2)0},{|ln(1)},A x x x B x y x =-<==- 则A U（C B ）= （ ） A ．(2,1)- B ．[1,2) C ．(2,1]- D ．(1,2) 2、已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz= （ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ． 2i -+3、已知a ∈R ，则“2a <”是“|2|||x x a -+>恒成立”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4、函数()sin ()f x x x x R =+∈ （ ） A ．是偶函数，且在(,)-∞+∞上是减函数； B ．是偶函数，且在(,)-∞+∞上是增函数； C ．是奇函数，且在(,)-∞+∞上是减函数； D ．是奇函数，且在(,)-∞+∞上是增函数；5、已知(){}1,1,≤≤=Ωy x y x ，A 是曲线2x y =与21x y =围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为（ ） A.31 B.41C.81 D.121 6、图1是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （ ）A ．i ＜6B ．i ＜7C ．i ＜8D ．i ＜97、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ ）A. 60B. 48C. 42D. 368、称(,)||d a b a b =-为两个向量,a b 间的距离。

【专项冲击波】2013年高考数学 讲练测系列 考前模拟预测系列模拟二（教师版）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1．已知R 是实数集，2{|1},{|1}M x N y y x x===-＜，则R N C M ⋂=( )A.（1，2）B. [0，2]C.∅D. [1，2]2.复数i R y x iix z ,,(13∈-+=是虚数单位）是实数，则x 的值为 （ ） Ａ．３ B ．－3C ．０Ｄ．3【答案】B 【解析】因为3(3)(1)(,,)12x i x i i z x y R i i +++=∈==-(3)(3)2x x i-++，且是实数，所以3x =-，选B.3. “1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知函数⎩⎨⎧><=,0,ln ,0,)(x x x e x f x 则)]1([e f f =( )A ．e 1 B ．e C ．-e1D ．-e 【答案】A【解析】因为11()ln1f ee ==-,所以)]1([ef f =(1)f -=e1. 5．已知向量()1,2a =，(),4x b =，若2=b a ，则x 的值为( )A ．2B ．4C ．2±D ．4± 【答案】C【解析】因为2=b a ,所以21625x +=,解得x =2±.6．已知m 、n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是 （ ）A ．若//,//,//m n m n αα则B ．若,,//αγβγαβ⊥⊥则C ．若//,//,//m m αβαβ则D ．若,,//m n m n αα⊥⊥则【答案】D【解析】本题考查空间直线与直线,直线与平面的平行、垂直的判定,容易看出选项D 正确. 7．已知1x >，则11y x x =+-的最小值为（ ） A.1 B. 2 C. 22 D. 3【答案】D【解析】因为1x >，所以11y x x =+-=1(1)11x x -++-3≥,当且仅当2x =时取等号. 8．已知函数()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下面四个结论中正确的是 ( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 的图象是由2cos2y x =的图象向左平移6π个单位得到 D ．函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数9．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于( ) A ．13 B ．23C ．15D ．62【答案】A【解析】由三视图知,该几何体是棱锥,容易求得答案.10.已知点12,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 A ．)3,1(B ．)22,3(C ．),21(+∞+D ．)21,1(+二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11.抛物线22y x =的准线方程是 . 【答案】18y =-【解析】由题意知:抛物线的开口方向向上,且122p =,所以准线方程为18y =-. 12．等差数列{}n a 中，若124a a +=, 91036a a +=，则10S = .13．某所学校有小学部、初中部和高中部，在校小学生、初中生和高中生人数之比为5：2：3，且已知初中生有800人，现采用分层抽样的方法从这所学校抽取一个容量为80的学生样本以了解学生对学校文体活动方面的评价，则每个高中生被抽到的概率是 ； 【答案】150【解析】由题知2108014000,800400050x P x =∴===. 14.如图所示的流程图，若输入的9.5x =-，则输出的结果为 . 【答案】1【解析】由流程图可知9.57.5 5.5x x x =-→=-→=-3.5 1.50.5x x x →=-→=-→=，所以1c =15．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()32xf x x c =-+（c 为常数），则(1)f -= 。

限时：50分钟 满分:78分一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分）1．(2012·广州模拟）已知sin 2α＝－错误!，α∈错误!,则sin α＋cos α＝( )A ．－错误! B.错误! C ．－错误! D 。

错误! 解析：选B ∵α∈⎝ ⎛）－π40，∴cos α〉0〉sin α且cos α〉｜sin α｜，则sin α＋cos α＝错误!＝ 错误!＝错误!。

2．若sin 错误!＝错误!，则cos 错误!等于( ）A.错误! B ．－错误! C.错误! D ．－错误!解析:选D 据已知可得cos 错误!＝sin 2α＝－cos 2错误!＝－错误!＝－错误!。

3．(2012·福州模拟)在△ABC 中，角A ，B ,C 所对的边分别为a ,b ，c ,若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C 等于( )A 。

错误! B.错误! C.错误! D.错误!解析：选B 依题意得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝5，又错误!＝错误!，所以sin C ＝错误!＝错误!＝错误!。

4．已知tan θ>1，且sin θ＋cos θ〈0，则cos θ的取值范围是（) A。

错误! B.错误!C.错误!D。

错误!解析：选A 依题意，结合三角函数图像进行分析可知，2kπ＋错误!〈θ<2kπ＋错误!，k∈Z，因此－错误!〈cos θ<0。

5．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,若错误!<cos A，则△ABC为( ）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解析：选A 依题意得错误!〈cos A，sin C<sin B cos A，所以sin(A ＋B)<sin B cos A,即sin B cos A＋cos B sin A－sin B cos A〈0，所以cos B sin A<0.又sin A>0,于是有cos B〈0，B为钝角,△ABC是钝角三角形．6．若α∈错误!，且sin2α＋cos 2α＝错误!，则tan α的值等于( )A.错误!B。

山东省2013届高三高考模拟卷（二）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 满足i i z +=-1)2(，那么复数z 的虚部为A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知集合}1{2+==x y P ，},1|{2R x x y y Q ∈+==，=S },1|{2R x x y x ∈+=，},1|),{(2R x x y y x T ∈+==，=M }1|{≥x x ，则A ．P=MB ．Q=SC ．S=TD ．Q=M3．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5．现从一批该种日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f 的分布表如下：则在所取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为A ．40B ．20C ．30D ．604．若p ：R x ∈∀，cos 1x ≤，则A ．p ⌝：R x ∈∃0，0cos 1x >B ．p ⌝：R x ∈∀，cos 1x >C ．p ⌝：R x ∈∃0，0cos 1x ≥D ．p ⌝：R x ∈∀，cos 1x ≥5．如图所示，已知向量BC AB 2=，a OA =，b OB =，c OC =，则下列等式中成立的是A ．a b c 2123-=B ．a b c -=2C ．b a c -=2D ．b a c 2123-= 6．如图，若程序框图输出的S 是254，则判断框①处应为A ．5≤nB ．6≤nC ．7≤nD ．8≤n7．在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知272cos 2sin 42=-+C B A ，且5=+b a ，7=c ，则△ABC 的面积为 A ．233 B ．23 C ．43 D ．433 8．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，m m x f x (3)(+=为常数)，则函数)(x f 的大致图象为9．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是A ．62516B ．62596C ．625624D ．6254 10．设O 为坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点),(y x N 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-01221034y x x y x ，则使ON OM ⋅取得最大值的点N 有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个11．若P 是双曲线1C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 和圆2C ：2222b a y x +=+的一个交点且=∠12F PF 212F PF ∠，其中21F F 、是双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为A ．13-B ．13+C ．2D ．312．已知函数()|4|()f x x x x R =-∈，若存在正实数k ，使得方程k x f =)(在区间（2，+∞）上有两个根b a ,，其中a b <，则)(2b a ab +-的取值范围是A ．)222,2(+B ．)0,4(-C ．)2,2(-D ．)2,4(-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．13．设dx x a ⎰=π0sin ，则曲线()2x f x xa ax =+-在点))1(,1(f 处的切线的斜率为__________.14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为2，则该三棱锥的体积为_______．15．62)1)(1(++ax x 的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中2x 项的系数为_______．16．设函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0],[)(x x f x x x x f ，其中][x 表示不超过x 的最大整数，如2]5.1[-=-，1]5.1[=，若直线)0)(1(>+=k x k y 与函数)(x f y =的图象有三个不同的交点，则k 的取值范围是__________.三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．17．(本小题满分12分) 已知函数13sin 322sin )(2++-=x x x f ．(1)求)(x f 的最小正周期及其单调增区间：(2)当]6,6[ππ-∈x 时，求)(x f 的值域． 18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A-BCD 中，△ABD 和△BCD 是两个全等的等腰直角三角形，O 为BD 的中点，且AB=AD=CB=CD=2，AC=a ．(1)当2=a 时，求证：AO ⊥平面BCD ；(2)当二面角C BD A --的大小为︒120时，求二面角D BC A --的正切值．19．(本小题满分12分)某批发市场对某种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下表：(1)计算这50天的日平均销售量；(2)若以频率为概率，且每天的销售量相互独立．①求5天中该种商品恰有2天的销售量为1．5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2万元，X 表示该种商品两天销售利润的和，求X 的分布列和数学期望．20．(本小题满分12分)已知等差数列}{n a 的首项11=a ，公差0>d ，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列}{n b 的第2项、第3项、第4项．(1)求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；(2)设数列}{n c 对任意的*N n ∈，均有12211+=+++n nn a b c b c b c 成立，求122013c c c +++ ．21．(本小题满分13分)已知中心在原点的椭圆C ：12222=+by a x 的一个焦点为)3,0(1F ，)0)(4,(>x x M 为椭圆C 上一点，1MOF ∆的面积为23． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OM 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分13分)已知函数xk x x f +=ln )(，R k ∈． (1)若1=k ，求函数)(x f 的单调区间；(2)若xe xf -+≥12)(恒成立，求实数k 的取值范围； (3)设k x xf xg -=)()(，若对任意的两个实数21,x x 满足210x x <<，总存在00>x ，使得=')(0x g 2121)()(x x x g x g --成立，证明：10x x >．数学（理科）参考答案一、选择题：1．B 2．D3．B4．A5．A6．C7．A8．B9．B10．D11．B12．B二、填空题13．2ln 24+ 14．2 15．61 16．)31,41[三、计算题17．【解析】1)sin 21(32sin )(2+-+=x x x f ++=x x 2cos 32sin 1)32sin(21++=πx ． (1)函数)(x f 的最小正周期ππ==22T ． 由正弦函数的性质知，当223222πππππ+≤+≤-k x k ， 即)(12125Z k k x k ∈+≤≤-ππππ时，函数)32sin(π+=x y 为单调增函数，所以函数)(x f 的单调增区间为]12,125[ππππ+-k k ，)(Z k ∈． (2)因为]6,6[ππ-∈x ，所以]32,0[32ππ∈+x ，所以∈+)32sin(πx ]1,0[， 所以]3,1[1)32sin(2)(∈++=πx x f ，所以)(x f 的值域为[1，3]． 18．【解析】(1)根据题意知，在△AOC 中，2==a AC ，2==CO AO ，所以222CO AO AC +=，所以AO ⊥CO ．因为AO 是等腰直角E 角形ABD 的中线，所以AO ⊥BD ． 又BD CO=O ，所以AO ⊥平面BCD ．(2)法一 由题易知，CO ⊥OD ．如图，以O 为原点，OC 、OD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，则有O(0，0，0)，)0,2,0(D ，)0,0,2(C ，)0,2,0(-B ． 设)0)(,0,(000<x z x A ，则=OA ),0,(00z x ，)0,2,0(=． 设平面ABD 的法向量为),,(111z y x n =， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0OD n OA n 即⎪⎩⎪⎨⎧==+.02,011010y z z x x 所以01=y ，令01z x =，则01x z -=． 所以),0,(00x z n -=．因为平面BCD 的一个法向量为)1,0,0(=m ，且二面角C BD A --的大小为︒120，所以=><|,cos |n m 21|120cos |=︒， 即21=，整理得20203x z =． 因为2||=OA ，所以22020=+z x ， 解得220-=x ，260=z ，所以)26,0,22(-A ， 设平面ABC 的法向量为),,(222z y x l =， 因为)26,2,22(-=BA ，)0,2,2(=， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0BC l BA l 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-.022,02622222222y x z y x 令12=x ，则12-=y ，32=z ．所以)3,1,1(-=l ．设二面角D BC A --的平面角为θ，则|,cos |cos ><=m l θ515|)3()1(13|222=+-+=．所以36tan =θ，即二面角D BC A --的正切值为36． 法二 在△ABD 中，BD ⊥AO ，在△BCD 中，BD ⊥CO ，所以∠AOC 是二面角C BD A --的平面角，即∠AOC=︒120． 如图，过点A 作CO 的垂线交CO 的延长线于点H ，因为BD ⊥CO ，BD ⊥AO ，且CO AO=O ，所以BD ⊥平面AOC ．因为AH ⊂平面AOC ，所以BD ⊥AH ．又CO ⊥AH ，且CO BD=O ，所以AH ⊥平面BCD ．过点A 作AK ⊥BC ，垂足为K ，连接HK ．因为BC ⊥AH ，AK AH=A ，所以BC ⊥平面AHK ．因为HK ⊂平面AHK ，所以BC ⊥HK ，所以∠AKH 为二面角D BC A --的平面角．在△AOH 中，∠AOH=︒60，2=AO ，则26=AH ，22=OH ， 所以223222=+=+=OH CO CH ． 在Rt △CHK 中，∠HCK=︒45，所以232==CH HK ． 在Rt △AHK 中，362326tan ===∠KH AH AKH ， 所以二面角D BC A --的正切值为36． 19．【解析】(1)日平均销售量为55.150152255.110=⨯+⨯+(吨)． (2)①日销售量为1．5吨的概率5.05025==p ． 设5天中该商品有Y 天的销售量为1．5吨，则)5.0,5(~B Y ， 所以==)2(Y P 165)5.01(5.03225=-⨯⨯C ． ②X 的所有可能取值为4，5，6，7，8．又日销售量为1吨的概率为2.05010=，日销售量为2吨的概率为3.05015=，则 04.02.0)4(2===X P ；2.05.02.02)5(=⨯⨯==X P ；37.03.02.025.0)6(2=⨯⨯+==X P ；3.03.05.02)7(=⨯⨯==X P ；09.03.0)8(2===X P ．所以X 的分布列为数学期望⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=83.0737.062.0504.04EX 2.609.0=．20．【解析】(1)由已知得d a +=12，d a 415+=，d a 13114+=，所以)131)(1()41(2d d d ++=+，解得0=d 或2=d ．又因为0>d ，所以2=d ．所以122)1(1-=⨯-+=n n a n ．又322==a b ，953==a b ，所以等比数列}{n b 的公比33923===b b q ， 所以1222333---=⨯==n n n n qb b ． (2)由12211+=+++n nn a b c b c b c ①，得当2≥n 时， n n n a b c b c b c =+++--112211 ②， ①-②，得当2≥n 时，21=-=+n n n n a a b c ，所以≥⨯==-n b c n n n (32212)．而1=n 时，211a b c =，所以31=c ．所以⎩⎨⎧≥⨯==-2,321,31n n c n n ． 所以122013c c c +++ 1220123232323=+⨯+⨯++⨯2013201320136233333313-⨯=+=-+=-． 21．【解析】(1)因为椭圆C 的一个焦点为)3,0(1F ，所以922+=a b ，则椭圆C 的方程为192222=++a y a x ， 因为0>x ，所以233211=⨯⨯=∆x S MOF ，解得1=x ． 故点M 的坐标为(1，4)． 因为M(1，4)在椭圆上，所以1916122=++a a ，得09824=--a a ， 解得92=a 或12-=a （不合题意，舍去），则18992=+=b ．所以椭圆C 的方程为118922=+y x ． (2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆C 相交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，其方程为m x y +=4（因为直线OM 的斜率)4=k ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1189,422y x m x y 消去y ，化简得01881822=-++m mx x ． 进而得到18821m x x -=+，1818221-=⋅m x x ． 因为直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，所以0)18(184)8(22>-⨯⨯-=∆m m ，化简，得1622<m ，解得2929<<-m ．因为以线段AB 为直径的圆恰好经过原点，所以0=⋅，所以02121=+y y x x ．又221212121)(416)4)(4(m x x m x x m x m x y y +++=++=， 221212121)(417m x x m x x y y x x +++=++--=183218)18(1722m m 02=m ， 解得102±=m ． 由于)29,29(102-∈±，所以符合题意的直线l 存在，且所求的直线l 的方程为1024+=x y 或1024-=x y ．22．【解析】(1)当1=k 时，函数)0(1ln )(>+=x xx x f ， 则=')(x f 22111xx x x -=-． 当0)(<'x f 时，10<<x ，当0)(>'x f 时，>x 1，则函数)(x f 的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)∞+． (2)x e x f -+≥12)(恒成立，即xe x k x -+≥+12ln 恒成立，整理得e x x x k -+-≥1ln 2恒成立． 设e x x x x h -+-=1ln 2)(，则x x h ln 1)(-='，令0)(='x h ，得e x =．当),0(e x ∈时，0)(>'x h ，函数)(x h 单调递增，当∈x ),(+∞e 时，0)(<'x h ，函数)(x h 单调递减，因此当e x =时，)(x h 取得最大值1，因而1≥k ．(3)x x k x xf x g ln )()(=-=，1ln )(+='x x g ．因为对任意的)0(,2121x x x x <<总存在00>x ，使得21210)()()(x x x g x g x g --='成立， 所以21210)()(1ln x x x g x g x --=+，即2122110ln ln 1ln x x x x x x x --=+， 即121221110ln 1ln ln ln ln x x x x x x x x x ----=-21122212ln ln x x x x x x x x --+-= 11ln212121--+=x x x x x x ． 设t t t -+=1ln )(ϕ，其中10<<t ，则011)(>-='t t ϕ，因而)(t ϕ在区间(0，1)上单调递增，0)1()(=<ϕϕt ，又0121<-x x ． 所以0ln ln 10>-x x ，即10x x >．。

2013届高三考前热身考试理科数学一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数2(1)1ii i+-+对应的点位于 Ａ.第一象限 Ｂ.第二象限 Ｃ.第三象限 Ｄ.第四象限A ．B ．C ．D ．3．已知集合P = {x | x (x +1)≥0}，Q = {x | 11x -＜0}，则P ∩Q 等于 A ． {x |x ＜1}B ．{x |x ≤-1}C ．{x |x ≥0或x ≤-1}D ．{x | 0≤x ＜1或x ≤-1}4．已知,αβ是两个不同的平面，,,l m n 是不同的直线，下列命题不正确．．．的是 A ．若,,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂则l α⊥B ．若//,,,l m l m αα⊂⊂/则//l αC ．若,,,,l m m l αβαβα⊥=⊂⊥则m β⊥ D ．若,,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥5．已知实数列-1,x,y,z,-2成等比数列,则xyz 等于 A.-4B.4±C.-D.±6．男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是 A ．2人B ．3人C ．4人D ．2人或3人7．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0),A -则||||PF PA 的最小值是 A.12B.28．设2m ≥，点)(y x P ，为1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域内任意一点，)50(-，M ，O 为坐标原点，)(m f 为⋅的最小值，则)(m f 的最大值为A ．310-B ．103C ．0D ．2二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答9．已知向量(21,4)c x →=+，(2,3)d x →=-，若//c d →→，则实数x 的值等于 ．．10．不等式|2x －log 2x|＜2x ＋|log 2x|的解集为 11．设20lg 0()30a xx f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))27f f =，则a = ．12．设()sin()4f x x π=+，若在[]0,2x π∈上关于x 的方程()f x m =有两个不等的实根12,x x ，则12x x +的值为13．如图所示的流程图，根据最后输出的变量S 具有的数值，则S 的末位数字是__________．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14．如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.15．在极坐标系中，圆4cos ρθ=上的点到直线(sin cos )2ρθθ-=的最大距离为 .三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的一系列对应值如下表：（1）求()f x 的解析式；（2）若在ABC ∆中，2AC =，3BC =，1()2f A =-（A 为锐角），求ABC ∆的面积．17．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人独立参加某企业的招聘考试，根据三人的专业知识、应试表现、工作经验等综合因素，三人被招聘的概率依次为211,,.323用ξ表示被招聘的人数。

2013年GCT 数学真题及参考答案 第二部分 数学基础能力测试(25题，每小题4分，满分100分) 1.下列道路交通标志图案中，轴对称的图形是( )答案：A【解析】本题考的平面图形的轴对称性质。

在所给的四个图中，只有A 是平面轴对称的，对称轴有两条（黑线所在的直径及与此黑线垂直的直径），其他选项中的团都不是平面轴对称图形。

222.1.2340.766 2.4680.766.A.5?.4.3.2B C D ++⨯的值是( )　2+0.766 2.6480.766=+=4B+⨯22答案：【解析】本题考的是两数和的平方公式。

1.234（1.2340.766）3.如图所示，某山区公路旁依次有甲、乙、丙、丁四家工厂,每家工厂都有小公路通到大公路.已知沿公路由甲厂到乙厂的路程为9千米，由甲厂到丙厂的路程为15千米，由乙厂到丙厂的路程为10千米，由乙厂到丁厂的路程为18千米，则甲厂到丁厂的路程为( )千米.A.21B.23C.25D.26km, km km,P zkm,km P wkm,km x+y=9x+z=10x+w=18⎧⎪⎨⎪⎩答案：B【解析】本题考查了处理实际问题时，如何设未知量、列方程和及方程的问题。

考查了简单方程组的应用。

设乙厂到大公路的路程为x 乙厂小公路与大公路的交点为P ，甲厂到P 点的距离为y ,则乙厂到甲厂的路程为x+y 设点到丙厂的距离为则乙厂到丙厂的路程为x+z ；设点到丁厂的距离为则乙厂到丁厂的路程为x+w ，由题意可知：所2x 19km y+z=x y y y z B ++=以又因为甲厂到丙厂的路程为15,它可以视为从甲厂到P 点及从P 点到丙厂的和，即15，所以=2,从而=7,w=16.故甲厂到丁厂的路程为+w=23.所以答案为。

4.两个正数的算术平均值等于，则大数与小数的差是( )。

A.4B. C.6D.a b a a-b 4481236,a-b 6ab -=-==22答案：C【解析】本题考查了算术平均值与算术平方根的概念，考查了两数和与两数差的平方公式。

数 学 试 卷（一）*考试时间120分钟 试卷满分150分一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填在题后的括号内，每小题3分，共24分） 1．|65-|＝（ ） A ．65+B ．65-C ．－65-D ．56-2．如果一个四边形ABCD 是中心对称图形，那么这个四边形一定是（ ） A ．等腰梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．平行四边形 3． 下面四个数中，最大的是（ ）A ．35-B ．sin88°C ．tan46°D ．215- 4．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．10 5．二次函数ｙ＝（2ｘ－1）2＋2的顶点的坐标是（ ） A ．（1，2） B ．（1，－2） C ．（21，2） D ．（－21，－2）6．足球比赛中，胜一场可以积3分，平一场可以积1分，负一场得0分，某足球队最后的积分是17分，他获胜的场次最多是（ ） A ．3场 B ．4场 C ．5场 D ．6场7． 如图，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，如果△CDE 的面积为3，△BCE 的面积为4，△AED 的面积为6，那么△ABE 的面积为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108． 如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 为⊙O 的直径，交BC 于点E ，若DE ＝2，OE ＝3，则tanC ·tanB ＝ （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 二、填空题（每小题3分，共24分）9．写出一条经过第一、二、四象限，且过点(1-，3)的直线解析式 . 10．一元二次方程ｘ2＝5ｘ的解为 ．11． 凯恩数据是按照某一规律排列的一组数据，它的前五个数是：269,177,21,53,31，按照这样的规律，这个数列的第8项应该是 ． 12．一个四边形中，它的最大的内角不能小于 ． 13．二次函数x x y 2212+-=，当x 时，0<y ;且y 随x 的增大而减小.14． 如图，△ABC 中，BD 和CE 是两条高，如果∠A ＝45°，则BC DE＝ ． 15．如图，已知A 、B 、C 、D 、E 均在⊙O 上，且AC 为 ⊙O 的直径，则∠A ＋∠B ＋∠C ＝__________度． 16．如图，矩形ABCD 的长AB ＝6cm ，宽AD ＝3cm.O 是AB 的中点，OP ⊥AB ，两半圆的直径分别为AO与OB ．抛物线ｙ＝ａｘ2经过C 、D 两点，则图中阴影部分 的面积是 cm 2.三、（第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，共32分） 17．计算：01)32009(221245cos 4)21(8--⨯÷-︒-+-18．计算：22111211x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪-+-⎝⎭19．已知：如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，直线AE 交DC 的延长线于点F ．（1）求证：△ABE ≌△FCE ； （2）若BC ⊥AB ，且BC ＝16，AB ＝17，求AF 的长．20．观察下面方程的解法CAｘ4－13ｘ2＋36＝0解：原方程可化为（ｘ2－4）（ｘ2－9）＝0∴（ｘ＋2）（ｘ－2）（ｘ＋3）（ｘ－3）＝0∴ｘ＋2＝0或ｘ－2＝0或ｘ＋3＝0或ｘ－3＝0∴ｘ1＝2，ｘ2＝－2，ｘ3＝3，ｘ4＝－3你能否求出方程ｘ2－3｜ｘ｜＋2＝0的解？四、（每小题10分，共20分）21．（１）顺次连接菱形的四条边的中点，得到的四边形是．（２）顺次连接矩形的四条边的中点，得到的四边形是．（３）顺次连接正方形的四条边的中点，得到的四边形是．（４）小青说：顺次连接一个四边形的各边的中点，得到的一个四边形如果是正方形，那么原来的四边形一定是正方形，这句话对吗？请说明理由．22．下面的表格是李刚同学一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题（１）李刚同学6次成绩的极差是．（２）李刚同学6次成绩的中位数是．（３）李刚同学平时成绩的平均数是．（４）如果用右图的权重给李刚打分，他应该得多少分？（满分100分，写出解题过程）23．（本题12分）某射击运动员在一次比赛中，前6次射击已经得到52环，该项目的记录是89环（10次射击，每次射击环数只取1~10中的正整数）.（1）如果他要打破记录，第7次射击不能少于多少环？（2）如果他第7次射击成绩为8环，那么最后3次射击中要有几次命中10环才能打破记录？（3）如果他第7次射击成绩为10环，那么最后3次射击中是否必须至少有一次命中10环才有可能打破记录？24．（本题12分）甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会和，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C 处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（１）港口A与小岛C之间的距离（２）甲轮船后来的速度．25．（本题12分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒． (1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？(3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位？26．（本题14分）如图，直线y= -x+3与x 轴，y 轴分别相交于点B 、C ，经过B 、C 两点的抛物线与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2．（1）求A点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连结AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2009年中考模拟题 数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共24分）1．Ｄ； 2．D ； 3．C ；4．Ｃ；5．Ｃ； 6．C ；7．Ｂ；8．C ． 二、填空题（每小题3分，共24分）9．ｙ＝－ｘ＋2等； 10．ｘ1＝0，ｘ2＝5； 11．133； 12．90°； 13．227； 14．2115．90；16．π49三、（第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，共32分） 17．解：原式＝222224222⨯⨯-⨯-+ －1 ．．．．．．．．．．．．．．．4分 ＝822222--+ －1＝－7 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分18．计算：22111211x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪-+-⎝⎭ 解：原式＝)1(])1()1)(1(1[2-⨯--++x x x x ）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 xx x x x x 211)1(]111[=++-=-⨯-++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分19．（１）证明： ∵E 为BC 的中点 ∴BE ＝CE ∵AB ∥CD∴∠BAE ＝∠F ∠B ＝∠FCE∴△ABE ≌△FCE ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （２）解：由（１）可得：△ABE≌△FCE∴CE＝AB＝15，CE＝BE＝8，AE＝EF∵∠B＝∠BCF＝90°根据勾股定理得AE＝17∴AF＝34．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分20．解：原方程可化为｜ｘ｜2－3｜ｘ｜＋2＝0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分∴（｜ｘ｜－1）（｜ｘ｜－2）＝0∴｜ｘ｜＝1或｜ｘ｜＝2∴ｘ＝1，ｘ＝－1，ｘ＝2，ｘ＝－2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分四．（每小题10分，共20分）21．解：（１）矩形；（２）菱形，（３）正方形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（４）小青说的不正确如图，四边形ABCD中AC⊥BD，AC＝BD，BO≠DO，E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD的中点显然四边形ABCD不是正方形但我们可以证明四边形ABCD是正方形（证明略）所以，小青的说法是错误的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分22．解：（１）10分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（２）90分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（３）89分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（４）89×10％＋90×30％＋96×60％＝93.5李刚的总评分应该是93.5分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23．小强和小亮的说法是错误的，小明的说法是正确的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分不妨设小明首先抽签，画树状图由树状图可知，共出现6种等可能的结果，其中小明、小亮、小强抽到A 签的情况都有两种，概率为31，同样，无论谁先抽签，他们三人抽到A 签的概率都是31．所以，小明的说法是正确的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分24．解：（１）作BD ⊥AC 于点D由题意可知：AB ＝30×1＝30，∠BAC ＝30°，∠BCA ＝45° 在Rt △ABD 中∵AB ＝30，∠BAC ＝30°∴BD ＝15，AD ＝ABcos30°＝153 在Rt △BCD 中， ∵BD ＝15，∠BCD ＝45° ∴CD ＝15，BC ＝152 ∴AC ＝AD ＋CD ＝153＋15即A 、C 间的距离为（153＋15）海里．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （２）∵AC ＝153＋15轮船乙从A 到C 的时间为1515315 ＝3＋1由B 到C 的时间为3＋1－1＝3 ∵BC ＝152∴轮船甲从B 到C 的速度为3215＝56（海里／小时）答：轮船甲从B到C的速度为56海里／小时．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分七、25．解：（１）老师说，三个同学中，只有一个同学的三句话都是错的，所以丙的第一句话和老师的话相矛盾，因此丙的第一句话是错的，同时也说明甲、乙两人中有一个人是全对的；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（２）如果丙的第二句话是正确的，那么根据抛物线的对称性可知，此抛物线的对称轴是直线ｘ＝2，这样甲的第一句和乙的第一句就都错了，这样又和（１）中的判断相矛盾，所以乙的第二句话也是错的；根据老师的意见，丙的第三句也就是错的．也就是说，这条抛物线一定过点（－1，0）；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（３）由甲乙的第一句话可以断定，抛物线的对称轴是直线ｘ＝1，抛物线经过（－1，0），那么抛物线与ｘ轴的两个交点间的距离为4，所以乙的第三句话是错的；由上面的判断可知，此抛物线的顶点为（1，－8），且经过点（－1，0）设抛物线的解析式为：ｙ＝ａ（ｘ－1）2－8∵抛物线过点（－1，0）∴0＝ａ（－1－1）2－8解得：ａ＝2∴抛物线的解析式为ｙ＝2（ｘ－1）2－8即：ｙ＝2ｘ2－4ｘ－6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分八、（本题14分）26．【探究】证明：过点F作GH∥AD，交AB于H，交DC的延长线于点G∵AH∥EF∥DG，AD∥GH∴四边形AHFE和四边形DEFG都是平行四边形∴FH＝AE，FG＝DE∵AE＝DE∴FG＝FH∵AB∥DG∴∠G＝∠FHB，∠GCF＝∠B∴△CFG≌△BFH实用文档∴FC＝FB．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分【知识应用】过点C作CM⊥ｘ轴于点M，过点A作AN⊥ｘ轴于点N，过点B作BP⊥ｘ轴于点P则点P的坐标为（ｘ2，0），点N的坐标为（ｘ1，0）由探究的结论可知，MN＝MP∴点M的坐标为（221xx+，0）∴点C的横坐标为221xx+同理可求点C的纵坐标为221yy+∴点C的坐标为（221xx+，221yy+）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分【知识拓展】当AB是平行四边形一条边，且点C在ｘ轴的正半轴时，AD与BC互相平分，设点C的坐标为（ａ，0），点D的坐标为（0，ｙ）由上面的结论可知：－6＋ａ＝4＋0，－1＋0＝5＋ｂ∴ａ＝10，ｂ＝－6∴此时点C的坐标为（10，0），点D的坐标为（0，－6）同理，当AB是平行四边形一条边，且点C在ｘ轴的负半轴时求得点C的坐标为（－10，0），点D的坐标为（0，6）当AB是对角线时点C的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，4）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2012年高考浙江卷)已知i 是虚数单位，则3＋i1－i ＝( )A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i解析：解题的关键是分母实数化． 3＋i1－i ＝（3＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2＋4i2＝1＋2i. 答案：D2．(2012年高考江西卷)若集合A ＝{－1，1}，B ＝{0，2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：利用集合元素的互异性确定集合．当x ＝－1，y ＝0时，z ＝x ＋y ＝－1；当x ＝1，y ＝0时，z ＝x ＋y ＝1； 当x ＝－1，y ＝2时，z ＝x ＋y ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝x ＋y ＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }＝{－1，1，3}，即元素个数为3.答案：C3．(2012年高考广东卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝(12)xD ．y ＝x ＋1x解析：利用复合函数单调性的判断方法——同增异减求解．对于A 选项，可看成由函数y ＝ln u ，u ＝x ＋2复合而成，由于两函数都为增函数，单调性相同，所以函数y ＝ln(x ＋2)在(－2，＋∞)上为增函数．B 、C 均为减函数．对于D 选项，y＝x＋1x在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数．答案：A4．在空间中，a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是()A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，aα，则a∥β解析：A中，由条件可以推出b∥α或b⊂α；B中，由条件可以推出β∥α或α与β相交；C中，由条件可以推出b∥β或b⊂β.D正确．答案：D5．(2012年高考陕西卷)设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于()A.22 B.12C．0 D．－1 解析：利用向量垂直及倍角公式求解．a＝(1，cos θ)，b＝(－1，2cos θ)．∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos 2θ＝0，∴cos 2θ＝12，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.答案：C6．(2012年高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为－25时，输出x的值为()A．－1 B．1C．3 D．9解析：按照循环条件，逐次求解判断．当x＝－25时，|x|>1，所以x＝25－1＝4>1，x＝4－1＝1>1不成立，所以输出x＝2×1＋1＝3.答案：C7．(2012年高考浙江卷)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积是()A．1 cm3B．2 cm3C．3 cm3D．6 cm3解析：关键是正确识图，还原出三棱锥．由几何体的三视图可知，该几何体是有三个面为直角三角形的四面体，如图所示．三棱锥的底面三角形中直角边长分别为1，2，高为3，故V ＝13S 底·h ＝13×12×1×2×3＝1(cm 3)．答案：A8．(2012年高考课标全国卷)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4D ．8解析：利用抛物线的几何性质结合方程组求解．设C ：x 2a 2－y 2a 2＝1.∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y 2a 2＝1和x ＝－4得A (－4,16－a 2)，B (－4，－16－a 2)，∴|AB |＝216－a 2＝43，∴a ＝2，∴2a ＝4.∴C 的实轴长为4. 答案：C9．(2012年高考安徽卷)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )A ．1或3B ．1或4C ．2或3D ．2或4解析：利用排列、组合知识求解．设6位同学分别用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示．若任意两位同学之间都进行交换共进行C 26＝15(次)交换，现共进行了13次交换，说明有两次交换没有发生，此时可能有两种情况：(1)由3人构成的2次交换，如a －b 和a －c 之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b ，c 两人．(2)由4人构成的2次交换，如a －b 和c －e 之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a ，b ，c ，e 四人．故选D.答案：D10．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：观察规律，归纳推理．由题意知|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，则可归纳出等式右端值与不同整数解的个数成倍数关系，且解的个数为等式值的4倍，则|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.答案：B11．(2012年高考安徽卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0 C.32D ．3解析：利用线性规划知识求解．作出可行域，如图阴影所示．设z ＝x －y ，则y ＝x －z . 平移直线x －y ＝0，则当其经过点(0，3)时，z min ＝－3， ∴x －y 的最小值为－3.答案：A12．如图，已知正四棱锥S -ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x (0<x <1)，截面下面部分的体积为V (x )，则函数y ＝V (x )的图象大致为( )解析：“分段”表示函数y ＝V (x )，根据解析式确定图象． 当0<x <12时，截面为五边形，如图所示．由SC ⊥面QEPMN ，且几何体为正四棱锥，棱长均为1，可求得正四棱锥的高h ＝22，取MN 的中点O ， 易推出OE ∥SA ，MP ∥SA ，NQ ∥SA ，则SQ ＝SP ＝AM ＝AN ＝2x ，四边形OEQN 和OEPM 为全等的直角梯形，则V S -AMN ＝13×12·AM ·AN ·h ＝23x 2， 此时V (x )＝V S -ABCD －V S -AMN －V S -EQNMP ＝26－23x 2－13×(22x －32x 2)x ＝2x 3－2x 2＋26(0<x <12)，非一次函数形式，排除选项C ，D.当E 为SC 中点时，截面为三角形EDB ，且S △EDB ＝24. 当12<x <1时，S 截面24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 122⇒S 截面＝2(1－x )2.此时V (x )＝23(1－x )3⇒V ′＝－2(1－x )2.当x →1时，V ′→0，则说明V (x )减小越来越慢，排除选项B. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________． 解析：本题可利用正弦定理求解． 根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ， 故AC ＝BC ·sin B sin A ＝3sin 45°sin 60°＝3×2232＝ 2.答案： 214．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________．解析：利用定积分的几何意义求解． S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a＝23a 32＝a 2，∴a ＝49.答案：4915．(2012年银川一中月考)若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上恰有三个不同的点到直线l ：y ＝kx 的距离为22，则k ＝________．解析：易知圆的方程是(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，由于圆的半径是32，因此只要圆心(2，2)到直线y ＝kx 的距离等于2，即可保证圆上恰有三个不同的点到直线l 的距离等于22，所以|2k －2|1＋k 2＝2，即2(k 2－2k ＋1)＝1＋k 2，即k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝2±3.答案：2±316．(2012年高考湖南卷)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP·AC ＝________．解析：根据向量的加法几何意义及数量积运算律求解．答案：18三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知向量m ＝(sin x ，1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在[0，5π24]上的值域．解析：(1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos 2x ＝A (32sin 2x ＋12cos 2x )＝A sin (2x ＋π6)． 因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)得f (x )＝6sin (2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin [2(x ＋π12)＋π6]＝6sin (2x ＋π3)的图象；再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin (4x ＋π3)的图象．因此g (x )＝6sin (4x ＋π3)．因为x ∈[0，5π24]，所以4x ＋π3∈[π3，7π6]，故g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3，6]．18．(12分)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －1，n ∈N *，数列b 1，b 2－b 1，b 3－b 2……，b n －b n －1是首项为1，公比为12的等比数列．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1)证明：∵a n ＝2S n －1，∴S n ＝14(a n ＋1)2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝14(a n ＋1)2－14(a n －1＋1)2 ＝14(a 2n ＋2a n －a 2n －1－2a n －1) 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1＝2， 又a 1＝1，故数列{a n }是等差数列．且a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2－12n －1，∴c n ＝(2n －1)(2－12n －1)＝2(2n －1)－2n －12n －1，先求数列{2n －12n －1}的前n 项和A n .∵A n ＝1＋32＋522＋723＋…＋2n －12n －1，12A n ＝12＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，∴12A n ＝1＋22＋222＋223＋…＋22n －1－2n －12n ，12A n ＝3－2n ＋32n ， ∴A n ＝6－2n ＋32n －1，∴T n ＝2n 2＋2n ＋32n －1－6.19．(12分)(2012年海淀模拟)在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝PB ＝PC ＝BC ＝2CD ，平面PBC ⊥平面ABCD .(1)求证：AB ⊥平面PBC ；(2)求平面ADP 与平面BCP 所成的二面角(小于90°)的大小；(3)在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面P AD ？若存在，求PMPB 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)证明：因为∠ABC ＝90° 所以AB ⊥BC .因为平面PBC ⊥平面ABCD ， 平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ， AB平面ABCD ，所以AB ⊥平面PBC . (2)取BC 的中点O ，连接PO .因为PB ＝PC ，所以PO ⊥BC . 因为平面PBC ⊥平面ABCD ， 平面PCB ∩平面ABCD ＝BC ， PO平面PBC ，所以PO ⊥平面ABCD .如图，以O 坐标为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O -xyz .设BC ＝2.由AB ＝PB ＝PC ＝BC ＝2CD 可得P (0，0，3)，D (－1，1，0)，A (1，2，0)．所以DP→＝(1，－1，3)，DA →＝(2，1，0)． 设平面P AD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )． 因为⎩⎪⎨⎪⎧m ·DP →＝0，m ·DA →＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3z ＝0，2x ＋y ＝0.令x ＝－1，则y ＝2，z ＝ 3. 所以m ＝(－1，2，3)．取平面BCP 的一个法向量n ＝(0，1，0)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝22. 所以平面ADP 和平面BCP 所成的二面角(小于90°)的大小为π4.(3)假设在棱PB上存在点M使得CM∥平面P AD，此时PMPB＝12.取AB的中点N，连接CM，CN，MN，则MN∥P A，AN＝12AB.因为AB＝2CD，所以AN＝CD.因为AB∥CD，所以四边形ANCD是平行四边形，所以CN∥AD.因为MN∩CN＝N，P A∩AD＝A，所以平面MNC∥平面P AD.因为CM平面MNC，所以CM∥平面P AD.20．(12分)(2012年青岛摸底)某工厂2011年第一季度生产的A，B，C，D四种型号产品的产量的条形图如图所示，现用分层抽样的方法从中选取50件样品参加四月份的一个展销会．(1)问应从A，B，C，D四种型号的产品中各抽取多少件，从50件样品中随机抽取2件产品，求这2件产品恰好是不同型号的产品的概率；(2)在这50件样品中，从A，C型号的产品中随机抽取3件产品，用ξ表示抽取A型号的产品件数，求ξ的分布列和数学期望．解析：(1)由条形图可知，共生产产品有50＋100＋150＋200＝500件，样本容量与总体个数的比为50500＝110，所以应从A ，B ，C ，D 四种型号的产品中分别抽取： 110×100＝10，110×200＝20，110×50＝5，110×150＝15. 即50件样品中应抽取A 型产品10件，B 型产品20件，C 型产品5件，D 型产品15件．从50件样品中任取2件共有C 250＝1 225种取法，抽取的2件产品恰为同一型号产品的取法有C 210＋C 220＋C 25＋C 215＝350种，所以2件产品恰好为不同型号的产品的概率为1－3501 225＝57. (2)由题意知，50件样品中，A 型产品有10件，C 型产品有5件，ξ的可能取值为0，1，2，3.则P (ξ＝0)＝C 35C 315＝291，P (ξ＝1)＝C 110·C 25C 315＝2091，P (ξ＝2)＝C 210·C 15C 315＝4591，P (ξ＝3)＝C 310C 315＝2491.所以ξ的分布列为21．(13分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，直线l 过点A (4，0)，B (0，2)，且与椭圆C 相切于点P .(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点A (4，0)的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，使得36|AP |2＝35|AM |·|AN |？若存在，试求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)由题意得过两点A (4，0)，B (0，2)的直线l 的方程为x ＋2y －4＝0. 因为c a ＝12，所以a ＝2c ，b ＝3c .则椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1，由⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0x 24c 2＋y 23c 2＝1，消去x 得4y 2－12y ＋12－3c 2＝0. 又因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝122－4×4(12－3c 2)＝0，解得c 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)易知直线m 的斜率存在， 设直线m 的方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －4）x 24＋y 23＝1，消去y ， 整理得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0. 由题意知Δ＝(32k 2)2－4(3＋4k 2)(64k 2－12)>0， 解得－12<k <12.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 23＋4k2，x 1x 2＝64k 2－123＋4k2. 又直线l ：x ＋2y －4＝0与椭圆C ：x 24＋y 23＝1相切，由⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0x 24＋y 23＝1，解得x ＝1，y ＝32，所以P (1，32)． 则|AP |2＝454.所以|AM |·|AN |＝3635×454＝817. 又|AM |·|AN |＝（4－x 1）2＋y 21·（4－x 2）2＋y 22＝（4－x1）2＋k2（4－x1）2·（4－x2）2＋k2（4－x2）2＝(k2＋1)(4－x1)(4－x2)＝(k2＋1)[x1x2－4(x1＋x2)＋16]＝(k2＋1)(64k2－123＋4k2－4×32k23＋4k2＋16)＝(k2＋1)363＋4k2.所以(k2＋1)363＋4k2＝817，解得k＝±24.经检验成立．所以直线m的方程为y＝±24(x－4)．22．(13分)(2012年高考课标全国卷)已知函数f(x)＝f′(1)e x－1－f(0)x＋12x 2.(1)求f(x)的解析式及单调区间；(2)若f(x)≥12x2＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值．解析：(1)由已知得f′(x)＝f′(1)e x－1－f(0)＋x，所以f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，即f(0)＝1.又f(0)＝f′(1)e－1，所以f′(1)＝e.从而f(x)＝e x－x＋12x 2.由于f′(x)＝e x－1＋x，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 从而，f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)由已知条件得e x－(a＋1)x≥b (*)①若a＋1<0，则对任意实数b，当x<0，且x<1－ba＋1时，可得e x－(a＋1)x<b，因此(*)式不成立．②若a ＋1＝0，则(a ＋1)b ＝0.③若a ＋1>0，设g (x )＝e x －(a ＋1)x ，则 g ′(x )＝e x －(a ＋1)．当x ∈(－∞，ln(a ＋1))时，g ′(x )<0； 当x ∈(ln(a ＋1)，＋∞)时，g ′(x )>0.从而g (x )在(－∞，ln(a ＋1))上单调递减，在(ln(a ＋1)，＋∞)上单调递增． 故g (x )有最小值g (ln(a ＋1))＝a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)． 所以f (x )≥12x 2＋ax ＋b 等价于b ≤a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)． (* *)因此(a ＋1)b ≤(a ＋1)2－(a ＋1)2ln(a ＋1)．设h (a )＝(a ＋1)2－(a ＋1)2ln(a ＋1)，则h ′(a )＝(a ＋1)(1－2ln(a ＋1))．所以h (a )在(－1，e 12－1)上单调递增，在(e 12－1，＋∞)上单调递减，故h (a )在a ＝e 12－1处取得最大值．从而h (a )≤e 2，即(a ＋1)b ≤e2.当a ＝e 12－1，b ＝e 122时，(* *)式成立， 故f (x )≥12x 2＋ax ＋b .综上得(a ＋1)b 的最大值为e2.。

广东实验高中三模数学（文）试卷一、选择题1、设复数1=1Z i +（其中i 是虚数单位），则在复平面内，复数Z 的共轭复数Z 对应的点位于（ ） .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限2、若全集,U R =则集合{}{}220,ln(1)A x x x B x y x =->==-，则图中阴影部分表示的集合是（ ） .A (,0)(1,)-∞+∞ .B (,0](1,2)-∞.C (,0)(1,2)-∞ .D (,0)(1,2]-∞3、执行图所示程序图，若输出的结果为3，则可输入的的实数x 的值个数为（ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 44、一个几何体的三视图如图示，则该几何体的体积是（ ） .A 13 .B 1 .C 12 .D 325、已知单位向量,a b 的夹角是3π，那么2a b +=（ ） .A .B .C .D 6、将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向右平移6π个单位， 那么所得的图像所对应的函数解析式是（ ）.A sin 2y x = .B cos 2y x = .C 2sin(2)3y x π=+ .D sin(2)6y x π=- 7、函数43y x x =++-的图像关于（ ） .A x 轴对称 .B y 轴对称 .C 原点对称 .D 直线0x y -=对称 8、已知1122log (4)log (32)x y x y ++<+-，若x y λ-<恒成立，则λ的取值范围是（ ）.A (,10]-∞ .B (,10)-∞ .C [10,)+∞ .D (10,)+∞ 9、直线y x m =+与圆221x y +=在第一象限内有2个不同的交点，则m 取值范围是（ ） .A2m << .B 3m << .C m << .D 1m <<10、定义区间()[],,(,],[,),,a b a b a b a b 的长度均为d b a =-，用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[],x x x x R =-∈，设[]{}()f x x x =⋅，()1g x x =-，若用d 来表示()()f x g x <的解集区间的长度，则当03x ≤≤时，有（ ）.A 1d = .B 2d = .C 3d = .D 4d =二、填空题 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11-13题）11.对具有线性相关关系的变量，测得一组数据如下表：根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为10.5y x a =+，据此模型来预测当20x =时， y 的估计值是 .12.设定义在R 上的奇函数()y f x =，满足()(1)f t f t =-，且1[0,]2x ∈时，2()f x x =-，则3(3)()2f f +-的值是 .13.正项数列{}n a 满足：22212111,2,2n n n a a a a a +-===+（*,2n N n ∈≥），则7a = . （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系和参数方程）已知圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴为正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=，则直线l 和圆C 的交点的直角坐标为 .15.（几何证明选讲选做题）如图，已知Rt ABC ∆的两条直角边,AC BC 的长分别为3,4cm cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD AD= 三、解答（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 为锐角,记角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 2,3c C π==（1）若ABC ∆，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC ∆的面积；17. （本小题满分13分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生升高均在155-195cm cm 之间，将结果按如下方式分成八组，第一组[155.160),第二组[160.165)……第八组[190.195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组和第八组人数相同，第六组的人数为4人.（1）求第七组的频率以及身高在180cm 以上（含180cm ）的人数；（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x ，y ，事件{}5,E x y =-<事件{}15F x y =->，求()P E F .18. （本小题满分13分）在如图所示的几何体中，ABC ∆是边长为2的正三角形，1,AE =AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ,,BD CD =且BD CD ⊥（1）AE ∥平面BCD（2）平面BDE ⊥平面CDE（3）求该几何体的体积19. （本小题满分14分）设数列{}n a 为等差数列，且5714,20a a ==，数列{}n b 的前n 项和为n S ，123b =，且*132(2,)n n S S n n N -=+≥∈； （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（2）若n n n c a b =⋅，n T 为数列{}n c 的前n 项和，n T m <对*n N ∈恒成立，求m 的取值范围；20. （本小题满分14分） 已知k R ∈，函数()(01,01)x xf x m k n m n =+⋅<≠<≠（1）如果实数,m n 满足1,1m mn >=，若函数()f x 是奇函数或者偶函数，求相应的k 值（2）如果10,m n >>>判断函数()f x 的奇偶性21. （本小题满分14分） 已知双曲线2212x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，若124PF PF += (1) 求P 的轨迹E 的方程(2) 若12(2,0)(2,0),(1,0)A A M -,设直线过点M ，且与轨迹E 交于,R Q 两点，直线12,A R A Q 交于 点S ，试问：当直线在变化时，点S 是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

2013年高考数学新大纲必考题及答案二第I 卷(选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分 1.已知集合}01|{2≤-=x x M ，},4221|{1Z ∈<<=+x x N x ，则M ∩N =（ ） A.}1,0,1{- B.}0,1{- C.)1,1[- D.]0,1[-2． 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是（ ）A ．），（11B ．），（11-C ．）（1,1--D ．）（1,1-3.在等差数列}{n a 中，有12876=++a a a ，则此数列的前13项之和为（ ） A ．24B ．39C ．52D ．1044.已知0a >且1a ≠，函数log a y x =，x y a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可 能是( )A ．B ．C ．D ．5.已知实数,x y 满足220,2,1,x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则342z x y =+-的最大值为( ) A.8 B.6 C.5 D.16.正四面体ABCD 的顶点A,B,C 分别在两两垂直的三条射线Oz Oy Ox ,,上，则下列命题中，错误的是（ ） A.O-ABC 是正三棱锥 B.直线O B ∥平面ACD C.直线AD 与OB 所成的夹角为045 D.二面角D-OB-A 为045 7.下列说法正确的是（ ） A.存在)2,0(πα∈使31cos sin =+a a B.x y tan =在其定义域内为增函数 C.)2sin(2cos x x y -+=π既有最大、最小值，又是偶函数D.|62|sin π+=x y 最小正周期为πOO O O x xxx yyyy1 11 111118．设()f x 为可导函数，且满足12)21()1(lim-=--→xx f f x ，则过曲线()y f x =上点()()1,1f 处的切线斜率为（ ）A ．2B ．－1C ．1D ．－29.将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有两个房间无人选择且这两个房间不相邻的安排方式的总数为( ) A.900 B.1500 C.1800 D.1440A.5≤aB.4<aC.5<aD.4>a→→=FB FA 2,2)(→→→=⋅OB OA OB ,则双曲线的离心率为( )[]b a ,（Z b a b a ∈<,,）内，圆a b y x -=+22的面积的最小值是( )A.πB. π2C. π3D. π4第II 卷(非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则01211a a a a ++++ 的值为 .14.若直线01=+-y kx 与圆01222=+-++my x y x 交于M ,N 两点，且M ,N 关于直线x y -=对称，则||MN = .15. 已知P 为ΔABC 所在平面内一点，且满足→→→+=AB AC AP 5251，则ΔAPB 的面积与的ΔAPC 面积之比为 .16.若函数y=f(x)对定义域的每一个值x 1，都存在唯一的2x ，使1)()(21==x f x f y 成立,则 称此函数为③x y 2=是“滨湖函数”；④ x y ln =是“滨湖函数”；⑤ )(x f y =，)(x g y =都是“滨湖函数”，且定义域相同，则)()(x g x f y =是“滨湖函数” 。