2018学年数学人教A版选修1-2优化练习：第三章 复数代数形式的加减运算及其几何意义

人教 A 版 2018-2019学年高中数学选修1-2 习题3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课时过关·能力提升基础巩固1(6-2i) -(3i+ 1)等于()A.3 -3iB.5-5iC.7+ iD.5 +5i解析 (6- 2i) -(3i+ 1) =(6-1)+ (- 2-3)i= 5-5i,故选 B .答案 B2如图 ,在复平面内 , 复数 z1,z2对应的向量分别是则A .2 B.3C.解析z1=- 2-i,z2= i,z1+z2=- 2.故选A.答案 A3 若z1=2+ i,z2=3+a i( a∈R ),且z1+z2所对应的点在实轴上,则 a 的值为 ()A.3B.2C.1D.-1解析z1+z2=2+ i+3+ai= (2+ 3)+ (1+a )i = 5+(1+a )i .∵z1+z2所对应的点在实轴上,∴1+a= 0.∴a=- 1.答案 D4已知 z1 =3-4i,z2=- 5+ 2i,z1 ,z2对应的点分别为P1,P2,则对应的复数为A.- 8+6iB.8-6iC.8+6iD.-2- 2i解析由复数减法的几何意义 ,知对应的复数为z1-z2= (3- 4i) -( -5+ 2i)= (3+5)+ (-4-2)i= 8- 6i,故选B .1答案 B5 若P,A,B,C四点分别对应复数z,z1,z2 ,z3,且 |z-z1|=|z-z 2|=|z-z 3|,则点 P 为△ABC 的()A.内心B.外心C.重心D.垂心解析由|z-z0|的几何意义可知,动点 P 到三角形三顶点的距离相等,故 P 为△ABC 的外心 .答案 B6如图 ,在平行四边形 OABC 中 ,各顶点对应的复数分别为 z O=0,z A=2∈R ,则a-b的值为.解析由复数加法的几何意义,知∴- 2a+ 3i--根据复数相等的充要条件,得解得答案 -47 已知z1=m2- 3m+m2i,z2= 4+ (5m+6)i( m∈R ),若z1-z2= 0,则m=.解析∵z2-3m+m2i) -[4 + (5m+6)i] = (m2-3m-4)+ (m2-5m-6)i= 0,1-z2= (m答案 -18 已知z是复数,|z|= 3,且z+3i是纯虚数,则z=.解析设 z=a+b i( a,b∈R),则a+b i+ 3i =a+ (b+ 3)i 是纯虚数 ,∴a= 0,b+ 3≠0.又|z|= 3,∴ b=3,∴z=3i .答案 3i9 若|z-1|= 1,试说明复数z 对应点的轨迹 .分析解答本题可根据复数的减法和模的几何意义求解.解根据复数的减法和模的几何意义,知|z-1|= 1 表示复数z对应的点到点 (1,0)的距离为1,故复数 z对应点的轨迹是以点(1,0)为圆心 ,以 1 为半径的圆 .10 已知复平面内的点A,B 对应的复数分别是z1=sin 2θ+ i, z2=- cos2θ+ icos 2θ,其中θ∈ (0,π),设对应的复数是2(1)求复数 z;(2)若复数 z 对应的点P 在直线 y上求的值解 (1)∵点 A,B 对应的复数分别是z1= sin2θ+ i,z2=- cos2θ+icos 2θ,∴点 A,B 的坐标分别是A(sin2θ,1),B(- cos2θ,cos 2θ),2θ)-(sin2θ,1)= (- cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)= (-1,-2sin2θ).对应的复数 z=- 1+ (-2sin2θ)i .(2)由 (1) 知点 P 的坐标是 (-1,-2sin2θ),代入 y得 -2sin2θ=即sin2θθ=又θ∈ (0,π),∴sin θ或能力提升1 若|z-1|=|z+ 1|,则复数z对应的点在()A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限解析∵ |z-1|=|z+ 1|,∴点 Z 到 (1,0)和 (-1,0)的距离相等 ,∴点 Z 在以 (1,0)和 (- 1,0)为端点的线段的垂直平分线上,即在虚轴上 .答案 B2 已知z=cos为虚数单位则平面内到点的距离等于的点的轨迹是A.以点 (0,0) 为圆心 ,1 为半径的圆B.以点 C 为圆心 ,1 为半径的圆C.满足方程 x2+y 2= 1 的曲线D.满足 (x-1)2+ (y-2)2的曲线解析∵ |z|∴平面内到点C(1,2)的距离等于 |z|的点的轨迹方程为(x-1)2+ (y-2)2= 1,表示以点C为圆心,1为半径的圆.答案 B★ 3 若复数z=x+y i( x,y∈ R )满足条件|z-4i|=|z+ 2|,则2x+ 4y的最小值为()A.2B.4C.解析由 |z-4i |=|z+ 2|,得 |x+ (y-4)i|=|x+ 2+y i|,∴x2+ (y-4)2= (x+ 2)2+y2,即x+ 2y= 3,∴2x+ 4y=2x+ 22y≥当且仅当 x= 2y时,2x+ 4y取得最小值答案 C4 设实数x,y,θ满足以下关系:x+y i= (3+5cosθ)+ (-4+ 5sinθ)i,则x2+y2的最大值是.3人教 A 版 2018-2019学年高中数学修1-2解析∵ x+y i= (3+5cos θ)+ (-4+ 5sin θ)i,∴x2+y2= (3+ 5cosθ)2+ (-4+5sinθ)2= 50+ 30cos θ-40sin θ= 50+ 50cos(θ+ φ),其中 sin φ∴( x2+y2)max= 50+ 50=100.答案 1005若 n 个复数 a1 ,a2,⋯,a n,存在 n 个不全零的数 k1,k2,⋯ ,k n, 使得 k1 a1+k 2 a2 + ⋯+k n a n=0 成立 ,称 a1,a2,⋯,a n性相关.依此定,能使a1=1,a2= 1-i,a3=2+ 2i三个复数性相关的数k1,k2,k3的依次可取. (写出一数即可 ,不必考所有情况 )解析本主要考新信息背景下的复数的加法运算和两个复数相等的条件的用,在新定下,k1a1 +k 2a2+k 3a3= 0,即k1+k 2 (1-i) +k 3(2+ 2i)= 0,即 (k1+k 2+ 2k3)+ (-k2 +2k3)i = 0,故 -k2 +2k3= 0,k2 =2k3.又部之和k1+k2+2k3= 0,∴k1=-k 2 -2k3=- 4k3,∴k1 =- 4k3,k2= 2k3 ,令 k3取任意一个非零就可以得到一.答案 -4,2,1(答案不唯一 )6 已知|z|=2, |z+3-4i|的最大是 .解析由 |z|= 2 知复数 z 的点在 x2+y2=4上,心O(0,0),半径r= 2.而|z+ 3-4i |=|z- (-3+ 4i)|表示复数 z 的点与 M(-3,4)之的距离 ,由于 |OM|= 5,所以 |z+ 3-4i|的最大 |OM|+r= 5+2=7.答案 77 已知复数z1=1-2i和z2= 4+ 3i分复平面内的A,B 两点 .求:(1)A,B 两点的距离 ;(2)段 AB 的垂直平分方程的复数形式,并化数表示的一般形式 .解(1)因|z2 -z1|=| (4+3i) - (1-2i)|=| 3+5i|所以 A,B 两点的距离(2)段 AB 的垂直平分上任一点Z 到 A,B 两点的距离相等 ,点 Z 的复数z,由复数模的几何意,知 |z-(1-2i)|=|z- (4+ 3i) |.z=x+y i( x,y∈R ),代入上式 ,得|(x-1)+(y+ 2)i|=| (x-4)+( y-3)i|,即( x-1)2+(y+ 2)2=( x-4)2+( y-3)2.整理上式可得段 AB 的垂直平分的方程3x+ 5y-10=0.所以段 AB 的垂直平分方程的复数形式|z-(1- 2i)|=|z- (4+3i)|,数表示的一般形式 3x+ 5y-10= 0.★8 在△ABC中,角A,B,C所的的度分a,b,c, 复数 z=cos A+ isin A,且足 |z+1|= 1.(1)求复数 z;-(2)求的4人教 A 版 2018-2019学年高中数学选修1-2 习题分析第 (1)问 ,把复数 z+1 的模转化为它对应的复数的模, 从而求出角A,进而求出复数z; 第(2) 问,利用正弦定理把边转化为角 ,再进行三角恒等变换即可求解.解(1)∵ z=cos A+ isin A,∴z+1=1+ cos A+ isin A.∴|z+ 1|∵|z+ 1|= 1,∴2+ 2cos A= 1.∴c os A=∵角 A 是△ABC 的一个内角 ,∴ A= 120 .∴s in A∴复数 z=(2)由正弦定理 ,得 a= 2R·sin A,b= 2R·sin B,c=2R·sin C(其中 R 为△ABC 外接圆的半径),∴原式-∵B= 180 -A-C= 60-C,∴原式---即-的值为 2.5。

3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义填一填1.复数代数形式的加减法 (1)运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数(a ，b ∈R )，那么 (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ， (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i. (2)加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1，②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义如图，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，由平面向量的坐标运算，得OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )，所以OZ 1→＋OZ 2→与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应．故复数加法的几何意义是：复数的加法可以按照向量的加法来进行，即复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义 z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1→对应复数z 1，OZ 2→对应复数z 2，则Z 2Z 1→对应复数z 1－z 2.故复数减法的几何意义是：复数的减法可以按照向量的减法来进行，即复数z 1－z 2是从向量OZ 2→的终点指向向量OZ 1→的终点的向量Z 2Z 1→所对应的复数.判一判1.两个虚数的和或差可能是实数．(√)解析：当两个虚数的虚部互为相反数时和为实数，当两个虚数的虚部相等时差为实数，故正确．2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(√) 解析：由复数的加法法则可知正确，故正确．3．复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．(×) 解析：想一想1.复数|z 1－z 2|提示：表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1与Z 2间的距离．2．在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则 (1)四边形OACB 是什么四边形？(2)若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则该四边形OACB 的形状是什么？ (3)若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 的形状是什么？(4)若|z 1|＝|z 2|，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 又是什么形状？ 提示：(1)平行四边形． (2)矩形． (3)菱形． (4)正方形．3．如何求复平面上向量对应的复数？提示：在复平面内，任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去起点所对应的复数所得的差，即AB →所对应的复数是z B －z A ，BA →所对应的复数是z A －z B ，不可把被减数与减数弄错．思考感悟：练一练1．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为( ) A ．1 B ．－iC ．5＋2iD ．1－i解析：(3＋i)－(2＋i)＝1. 答案：A2．在复平面内，向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i解析：OZ 1→＋OZ 2→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)， 故OZ 1→＋OZ 2→对应的复数为0.答案：C3．若复数z 1＋z 2＝3＋4i ，z 1－z 2＝5－2i ，则2z 1＝________. 解析：两式相加得2z 1＝8＋2i. 答案：8＋2i4．已知z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝22，|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|＝________.解析：由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z 1，z 2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z 1－z 2|＝2 2.答案：2 2知识点一 复数的加减运算1.1212A ．8iB ．6C ．6＋8iD ．6－8i解析：z 1＋z 2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i ＝6，故选B. 答案：B2．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.解析：z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. 答案：－13．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________.解析：z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋[(a ＋1)－(b ＋2)]i ＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴a ＋b ＝3.知识点二复数加减运算的几何意义4.已知z 1＝3－4i ，z 2＝－5＋2i ，z 1，z 2对应的点分别为P 1，P 2，则P 2P 1对应的复数为( ) A ．－8＋6i B ．8－6i C ．8＋6i D ．－2－2i解析：∵P 2P 1→＝OP 1→－OP 2→， ∴P 2P 1→对应的复数为：z 1－z 2＝3－4i －(－5＋2i) ＝(3＋5)＋(－4－2)i ＝8－6i. 答案：B5．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形AOB 为直角三角形．答案：B6．若复平面上的▱ABCD 中，AC →对应的复数为6＋8i ，BD →对应的复数为－4＋6i ，则DA →对应的复数是( )A ．2＋14iB ．1＋7iC ．2－14iD ．－1－7i解析：设AC 与BD 交于点O ，则有DA →＝DO →＋OA →＝12DB →＋12CA →＝－12( AC →＋BD →)．于是DA→对应的复数为－12[(6＋8i)＋(－4＋6i)]＝－1－7i ，故选D.知识点三 复数加减运算几何意义的应用7.解析：利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z ＋1|＝1的几何意义是以点(－1,0)为圆心，以1为半径的圆．|z ＋i|＝|z －i|的几何意义是到点A (0,1)和点B (0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴．M ∩N 的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数．故z ＝0或z ＝－2.∴M ∩N ＝{0，－2}．答案：{0，－2}8．已知z 1＝2(1－i)，且|z |＝1，则|z －z 1|的最大值是多少？解析：|z |＝1，即|OZ |＝1，∴满足|z |＝1的点Z 的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z 1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z －z 1|的最大值为点Z 1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z －z 1|的最大值为22＋1.基础达标一、选择题1．(2－2i)－(－3i ＋5)等于( )A ．2－iB ．－3＋iC ．5i －7D ．2＋3i解析：(2－2i)－(－3i ＋5)＝(2－5)＋(－2＋3)i ＝－3＋i.故选B. 答案：B 2．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( ) A ．a ＝－3，b ＝－4 B ．a ＝－3，b ＝4 C ．a ＝3，b ＝－4 D ．a ＝3，b ＝4解析：由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0，a ＋3＝0，4－a ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4，故选A.答案：A3．实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1解析：z 1－z 2＝(y ＋x )＋(x －y )i ＝2， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴x ＝y ＝1，则xy ＝1. 答案：A 4．已知复数z 1＝(a 2－2)－3a i ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( ) A ．1 B ．2C ．－2D ．－2或1解析：z 1＋z 2＝(a 2＋a －2)＋(a 2－3a ＋2)i ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－3a ＋2≠0，解得a ＝－2.答案：C5．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．－34＋i B.34－iC ．－34－i D.34＋i解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋|z |＝(a ＋a 2＋b 2)＋b i ＝2＋i ，则⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，∴z ＝34＋i.答案：D6．已知z 1＝3－4i ，z 2＝－1＋2i ，则复数z ＝z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：z ＝z 1＋z 2＝3－4i ＋(－1＋2i)＝2－2i ，z 在复平面内对应的点的坐标为(2，－2)，位于第四象限．答案：D7．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1对应的向量是( )解析：由题图可知z ＝－2＋i ，所以z ＋1＝－1＋i ，故选A. 答案：A 二、填空题8．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i ＋3－4i ＝________.解析：原式＝2＋7i －5＋13i ＋3－4i ＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i ＝16i. 答案：16i9．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是z ＝________. 解析：设这个复数为z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ，∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝5，y ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115，y ＝ 3.∴z ＝x ＋y i ＝115＋3i.答案：115＋3i10．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则| AB →|＝________.解析：由题意AB →＝OB →－OA →，∴AB →对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i ，∴| AB →|＝2. 答案：211．设f (z )＝z ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝________. 解析：∵z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ， ∴z 1－z 2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i ， 又∵f (z )＝z ，∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2＝5＋5i. 答案：5＋5i12．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________.解析：∵z 1＋z 2＝5－6i ，∴(x ＋2i)＋(3－y i)＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝5，2－y ＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 答案：－1＋10i 三、解答题13．计算：(1)⎝⎛⎭⎫2－12i ＋⎝⎛⎭⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解析：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫2＋12－⎝⎛⎭⎫12＋2i ＝52－52i. (2)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i.(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 14．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解析：z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又∵z 1－z 2＝13－2i ，∴(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1， ∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i.z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.能力提升15.复数z 1＝3m －1－2m i ，z 2＝－m ＋m 2i ，m ∈R .若z 1＋z 2>0，求实数m 的值． 解析：z 1＋z 2＝(3m －1－2m i)＋(－m ＋m 2i)＝(3m －1－m )＋(m 2－2m )i. ∵z 1＋z 2>0，∴z 1＋z 2为实数且大于0，∴⎩⎨⎧3m －1－m >0，m 2－2m ＝0，3m －1≥0，解得m ＝2.16．在平行四边形ABCD 中，已知AC →，DC →对应的复数分别为z 1＝3＋5i ，z 2＝－1＋2i.(1)求BC →对应的复数；(2)求BD →对应的复数；(3)求平行四边形ABCD 的面积．解析：(1)因为AC →＝AB →＋BC →＝DC →＋BC →，所以BC →＝AC →－DC →， 故BC →对应的复数为z ＝z 1－z 2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i.(2)因为BD →＝AD →－AB →＝BC →－DC →，所以BD →对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i. (3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD 中， AB →＝DC →＝(－1,2)，AD →＝BC →＝(4,3)，所以cos ∠DAB ＝AB →·AD →|AB →||AD →|＝25×5＝2525，因此sin ∠DAB ＝1－cos 2∠DAB ＝11525.于是平行四边形ABCD 的面积S ＝|AB →||AD →|sin ∠DAB ＝5×5×11525＝11.。

选修 1-2第三章3.2一、选择题1．计算 (3＋ 2i)－ (1－ i) 的结果是导学号92601196 ()A． 2＋ i B ． 4＋3iC． 2＋ 3i D ． 3＋ 2i[答案 ]C[分析 ](3＋ 2i)－ (1－ i) ＝ 3＋ 2i－ 1＋i ＝ 2＋ 3i．2．若复数z 知足 z＋ (3－ 4i) ＝1，则 z 的虚部是导学号92601197 ()A．－ 2 C． 3B ． 4 D．－4[答案 ]B[分析 ]z＝ 1－(3－ 4i) ＝－ 2＋ 4i，所以 z 的虚部是4．3．设 z1＝2＋ bi， z2＝ a＋ i，当 z1＋ z2＝ 0 时，复数a＋bi 为导学号92601198 () A． 1＋ i B ． 2＋iC． 3 D ．－ 2－ i[答案 ]D[分析 ]1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)∵z＝(2＋ a)＋(b＋1)i ＝ 0，∴2＋ a＝ 0a＝－ 2，∴，b＋ 1＝ 0b＝－ 1∴a＋bi ＝－ 2－ i．4．已知 z＝ 11－ 20i，则 1－ 2i－ z 等于导学号92601199 () A． 18＋ 10i B ． 18－ 10iC．－ 10＋18i D ． 10－ 18i[答案 ]C[分析 ]∵z＝11－20i ，∴1－2i － z＝ 1－ 2i－ 11＋ 20i＝－ 10＋ 18i ．5．设 f(z)＝ |z|， z1＝ 3＋ 4i， z2＝－ 2－ i，则 f(z1－ z2) ＝导学号92601200 () A． 10 B ． 55C． 2 D ． 52[答案 ]D[分析 ]1－z2＝5＋5i，∵z∴f(z1－z2)＝ f(5＋ 5i) ＝|5＋ 5i|＝ 52．6．设复数z 知足关系式z＋|z|＝ 2＋ i，那么 z＝导学号92601201 ()A．－3＋i B ．3－i 44C．－3－ i D．3＋ i 44[答案 ]D[分析 ]设 z＝x＋ yi( x、 y∈R )，则 x＋ yi ＋ x2＋ y2＝ 2＋ i，x＋x2＋ y2＝ 2所以有，y＝ 13x＝4，解得y＝ 13故 z＝4＋ i ，应选 D．二、填空题7．│ (3＋ 2i) － (4－i) │＝ ________. 导学号 92601202[答案 ]10[分析 ]│(3 ＋2i) － (4－ i)│＝│3＋ 2i－ 4＋ i│＝│－ 1＋ 3i│＝－ 1 2＋ 32＝ 10．8．已知复数 z1＝ (a2－ 2)＋ (a－4)i ， z2＝ a－ (a2－ 2)i(a∈R )，且 z1－ z2为纯虚数，则a＝________. 导学号 92601203[答案 ]－1[分析 ]z1－ z2＝ (a2－ a－ 2)＋ (a－ 4＋ a2－ 2)i( a∈R )为纯虚数，a2－a－ 2＝ 0∴，解得 a＝－ 1．a2＋ a－ 6≠ 0→→→对应的复数分别为－2＋ i、 3＋ 2i、 1＋5i ，9．在复平面内， O 是原点， O A、OC、A B→那么 B C 对应的复数为 ______. 导学号 92601204[答案 ]4－4i[分析 ]→→→B C＝ O C－ O B→→→＝OC－(OA＋AB)＝3＋2i －( －2＋ i＋ 1＋ 5i)＝(3＋ 2－ 1)＋ (2－ 1－ 5)i＝4－4i ．三、解答题→→对应的复数分别是3＋2i 与 1＋ 4i，两对角线10．已知平行四边形 ABCD 中， A B与 A CAC 与 BD 订交于 P 点 . 导学号 92601205→(1)求 A D 对应的复数；→(2)求 D B 对应的复数．[剖析 ]由复数加、减法运算的几何意义可直接求得→→A D ， DB 对应的复数，先求出向→→对应的复数，经过平面向量的数目积求△APB 的面积．量 P A、P B[分析 ](1)因为 ABCD 是平行四边形，所以→→→，于是→→→，A C＝ A B＋A D A D＝ A C－ A B而 (1＋ 4i) －(3＋ 2i) ＝－ 2＋ 2i，→即 A D 对应的复数是－2＋ 2i．→→→(2)因为 D B ＝ A B － A D ，而 (3＋ 2i)－ (－ 2＋ 2i)＝ 5，→即 D B 对应的复数是5．一、选择题1 ．复数 (3m ＋ mi) － (2 ＋ i) 对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是导学号92601206 ()2A． m<3 B ． m<12C．3<m<1 D ． m>1[答案 ]A3m－2<02．[分析 ](3m＋ mi) － (2＋ i)＝ (3m－ 2)＋ (m－1)i ，由题意得，∴m<m－1<03 2．复数 z1＝ a＋ 4i， z2＝－ 3＋ bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a， b 的值为导学号 92601207 ()A． a＝－ 3， b＝－ 4 C． a＝ 3，b＝－ 4B ． a＝－ 3， b＝4 D． a＝ 3， b＝4[答案 ]A[分析 ]由题意可知 z1＋ z2＝ (a－ 3)＋(b＋4)i 是实数，z1－ z2＝ (a＋ 3)＋ (4－ b)i 是纯虚数，b＋ 4＝0故 a＋ 3＝ 0，解得 a＝－ 3， b＝－ 4．4－ b≠ 03．在平行四边形→ →ABCD 中，对角线 AC 与 BD 订交于点 O，若向量 OA、OB对应的复数→导学号 92601208 ()分别是 3＋i 、－ 1＋ 3i，则 CD 对应的复数是A． 2＋ 4i B ．－ 2＋ 4i C．－ 4＋ 2i D ． 4－ 2i[答案 ]D[分析 ]→→→→依题意有 CD ＝BA ＝OA－ OB，而 (3＋ i) － (－ 1＋ 3i)＝ 4－ 2i，→．即 CD对应的复数为 4－ 2i应选 D．4．假如一个复数与它的模的和为5＋3i，那么这个复数是导学号 92601209 () 11A．5 B ． 3i11＋3i D ．11＋2 3iC．55 [答案 ]C[分析 ]设 z＝x＋ yi( x， y∈R )，则 x＋ yi ＋x2＋ y2＝ 5＋3i，22＝ 5x＝11x＋ x＋ y5∴，解得．y＝ 3y＝ 311∴z＝5＋3i，应选 C．二、填空题5 ．设 z1＝ x ＋ 2i ， z2＝ 3 － yi( x ， y ∈R) ，且z1＋ z2＝ 5 － 6i ，则 z1－ z2＝________. 导学号92601210[答案 ]－1＋10i[分析 ]∵z1＋z2＝(x＋2i)＋(3－yi)＝( x＋3)＋(2－y)i，又 z1＋ z2＝ 5－ 6i，x＋3＝ 5.∴x＝ 2∴．2－ y＝－ 6y＝ 8∴z1－ z2＝ (2＋ 2i) － (3－ 8i)＝－ 1＋ 10i ．36．已知z1＝2 a＋ (a＋ 1)i ， z2＝－ 3 3b＋ (b＋ 2)i( a、 b∈R )，若 z1－ z2＝ 4 3，则 a＋b ＝______. 导学号 92601211[答案 ]3[分析 ]1 －z2＝[333b)＋ (a＋ 1－ b－ 2)i ＝z2 a＋ (a＋ 1)i] － [ － 33b ＋ (b＋ 2)i] ＝ ( 2 a＋ 34 3，3∴2 a＋ 33b＝ 43，a－ b＝1a＝ 2解得，∴a＋b＝ 3．b＝ 1三、解答题7．已知z1＝(3x＋ y) ＋(y－ 4x)i ，z2＝ (4y－2x) － (5x＋ 3y)i( x、 y∈R )，设z＝z1－z2，且z＝13－ 2i，求 z1、 z2. 导学号 92601212[分析 ]z＝ z1－ z2＝ (3x＋ y)＋ (y－ 4x)i － [(4y－ 2x) － (5x＋ 3y)i] ＝ [(3x＋ y)－ (4y－ 2x)] ＋ [(y－4x)＋ (5x＋ 3y)]i ＝ (5x－ 3y)＋ (x＋ 4y)i ，又因为 z＝ 13－ 2i，且 x， y∈R，5x－ 3y＝ 13所以，x＋ 4y＝－ 2x＝ 2解得．y＝－ 1所以 z1＝ (3×2－ 1)＋ (－ 1－ 4× 2)i ＝5－ 9i，z2＝ 4× (－ 1)－ 2× 2－ [5 ×2＋ 3×(－1)]i ＝－ 8－ 7i．→8．已知复平面内平行四边形ABCD ， A 点对应的复数为2＋i ，向量 BA对应的复数为1→＋ 2i，向量 BC对应的复数为3－ i，求：导学号92601213(1)点 C、 D 对应的复数；(2)平行四边形ABCD 的面积．[分析 ]→→3－ i，(1)∵向量BA对应的复数为1＋ 2i，向量 BC对应的复数为→∴向量AC对应的复数为(3－ i) － (1＋ 2i) ＝2－ 3i．→→→又 OC＝OA＋ AC，∴点C 对应的复数为(2＋i) ＋ (2－ 3i)＝ 4－ 2i．→→∵AD ＝ BC，→→∴向量AD 对应的复数为3－i ，即 AD＝ (3，－ 1)．→设 D(x， y)，则 AD ＝ (x－ 2， y－ 1)＝ (3，－ 1)，x－2＝ 3x＝ 5∴，解得．y－1＝－ 1y＝ 0∴点D 对应的复数为5．→→ →→(2)∵BA·BC＝ |BA||BC|cos B，→ →3－ 227 2 BA·BC∴cos B＝→ →＝5× 10＝10.∴sin B＝10．|BA ||BC|→ →72∴S＝|BA ||BC|sin B＝5× 10×10＝ 7，∴平行四边形 ABCD 的面积为 7．。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4iD ．－3－4i解析：向量AB →对应的复数是2＋i ， 则BA →对应的复数为－2－i ， ∵CA →＝CB →＋BA →，∴CA →对应的复数为(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i. 答案：D2．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析：z 1－z 2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i ， 故z 1－z 2在复平面内对应的点位于第四象限． 答案：D3．设复数z 1＝cos θ＋i ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( ) A ．5 B. 5 C ．6D. 6解析：z 1－z 2＝(cos θ－sin θ)＋2i ， 所以|z 1－z 2|＝(cos θ－sin θ)2＋4＝5－sin 2θ， 因此当sin 2θ＝－1时，|z 1－z 2|取最大值6，故选D. 答案：D4．设复数z 满足|z －3＋4i|＝|z ＋3－4i|，则复数z 在复平面上对应点的轨迹是( ) A ．圆 B ．半圆 C ．直线D ．射线解析：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ， 由|z －3＋4i|＝|z ＋3－4i|得 (x －3)2＋(y ＋4)2＝(x ＋3)2＋(y －4)2，化简可得3x －4y ＝0，所以复数z 在复平面上对应点的轨迹是一条直线． 答案：C5．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( ) A ．0 B ．1 C.22D.12解析：由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离，d ＝|－1|12＋12＝22. 答案：C6．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)， 根据OC →＝λOA →＋μOB →得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2. ∴λ＋μ＝1. 答案：17．设实数x ，y ，θ满足以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，则x 2＋y 2的最大值是________． 解析：∵x ＋y i ＝(3＋5cos θ)＋i(－4＋5sin θ)， ∴x 2＋y 2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2 ＝50＋30cos θ－40sin θ＝50＋50cos(θ＋φ)， 其中sin φ＝45，cos φ＝35.∴(x 2＋y 2)max ＝50＋50＝100. 答案：1008．在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A ＝2＋a2i ，z B ＝－2a ＋3i ，z C ＝－b ＋a i ，则实数a －b 为________．解析：因为OA →＋OC →＝OB →，所以2＋a 2i ＋(－b ＋a i)＝－2a ＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝－2a ，a 2＋a ＝3，得a －b ＝－4.答案：－4 9．计算：(1)(2－12i)＋(12－2i)；(2)(3＋2i)＋(3－2)i ； (3) (1＋2i)＋(i ＋i 2)＋|3＋4i|；(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)． 解析：(1)原式＝(2＋12)－(12＋2)i ＝52－52i.(2)原式＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i. (3)原式＝(1＋2i)＋(i －1)＋32＋42＝(1－1＋5)＋(2＋1)i ＝5＋3i.(4)原式＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i.10．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数1,2＋i ，－1＋2i.D 为BC 的中点． (1)求向量AD →对应的复数； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)由条件知在复平面内B (2,1)，C (－1,2)． 则D (12，32)，点D 对应的复数是12＋32i ，AD →＝OD →－OA →＝(12，32)－(1,0)＝(－12，32)，∴AD →对应复数为－12＋32i.(2)AB →＝OB →－OA →＝(1,1)， |AB →|＝2，AC →＝OC →－OA →＝(－2,2)，|AC →|＝8＝22，BC →＝OC →－OB →＝(－3,1)，|BC →|＝10， ∴|BC →|2＝|AC →|2＋|AB →|2， ∴△ABC 为直角三角形． ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|＝12×2×22＝2. [B 组 能力提升]1．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝|ad －bc |，则对复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，x >0)，符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 111＝x 的点Z 在复平面上所表示的曲线的形状是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：由已知可得|z －1|＝x ，∴|x －1＋y i|＝x . ∴(x －1)2＋y 2＝x 2.∴y 2＝2x －1. 答案：C2．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．4 2D ．16解析： 由|z －4i|＝|z ＋2|得 |x ＋(y －4)i|＝|x ＋2＋y i|， ∴x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2， 即x ＋2y ＝3， ∴2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ＋2y ＝223＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时，2x ＋4y 取得最小值4 2.答案：C3．复数z 1、z 2分别对应复平面内的点M 1、M 2，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，线段M 1M 2的中点M 对应的复数为4＋3i ，则|z 1|2＋|z 2|2等于( )A ．10B ．25C ．100D ．200解析：根据复数加减法的几何意义，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|知，以OM 1→、OM 2→为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M 1OM 2为直角，M 是斜边M 1M 2的中点，∵|OM →|＝42＋32＝5，∴|M 1M 2|＝10.∴|z 1|2＋|z 2|2＝|OM 1→|2＋|OM 2→|2＝|M 1M 2→|2＝100. 答案：C4．已知复数z 1＝1－2i 和z 2＝4＋3i 分别对应复平面内的A ，B 两点，求： (1)A ，B 两点间的距离；(2)线段AB 的垂直平分线方程的复数形式，并化为实数表示的一般形式． 解析：(1)|A B →|＝|z 2－z 1|＝|(4＋3i)－(1－2i)| ＝|3＋5i|＝34.所以A ，B 两点间的距离为34.(2)线段AB 的垂直平分线上任一点Z 到A ，B 两点的距离相等， 设点Z 对应的复数为z ， 由复数模的几何意义， 知|z －(1－2i)|＝|z －(4＋3i)|.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，代入上式，得 |(x －1)＋(y ＋2)i|＝|(x －4)＋(y －3)i|， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝(x －4)2＋(y －3)2.整理上式可得线段AB 的垂直平分线的方程为3x ＋5y －10＝0.所以线段AB 的垂直平分线方程的复数形式为|z －(1－2i)|＝|z －(4＋3i)|，实数表示的一般形式为3x ＋5y －10＝0.5．设z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i ，a ∈R ，A ＝{z ||z －z 1|<2}，B ＝{z ||z －z 2|≤22}，已知A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解析：因为z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i ，|z －z 1|<2， 即|z －(1＋2a i)|<2，|z －z 2|≤22， 即|z －(a －i)|≤22，由复数减法及模的几何意义知，集合A 是以(1,2a )为圆心，2为半径的圆的内部的点对应的复数，集合B 是以(a ，－1)为圆心，22为半径的圆周及其内部的点所对应的复数，若A ∩B ＝∅，则两圆圆心距大于或等于半径和，即(1－a )2＋(2a ＋1)2≥32，解得a ≤－2或a ≥85.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1F B正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DF45°DBa+b-aa 45°A BE1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DBa+b-aa 45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°D Ea +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE2.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求△AMN 的周长．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．AB CFEDCDC。

[课时作业][组基础巩固]．已知复数＝＋，＝－，则复数＝－对应的点位于( )．第二象限．第一象限．第四象限．第三象限解析：＝－＝(－)－(＋)＝－－故对应的点(－，－)在第三象限．答案：．在复平面内的平行四边形中，对应的复数是＋，对应的复数是－＋，则对应的复数是( )．＋．＋．－－．－解析：依据向量的平行四边形法则可得＋＝，－＝，由对应的复数是＋，对应的复数是－＋，依据复数加减法的几何意义可得对应的复数是－－.答案：．复数＝＋，＝－＋，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数，的值为( )．＝－，＝．＝－，＝－．＝，＝．＝，＝－解析：由题意可知＋＝(－)＋(＋)是实数，－＝(＋)＋(－)是纯虚数，故(\\(＋＝，＋＝，－≠，))解得＝－，＝－.答案：．，分别是复数，在复平面内对应的点，是原点，若＋＝－，则三角形一定是( )．直角三角形．等腰三角形．等腰直角三角形．等边三角形解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形为直角三角形．答案：．设∈，且＋－－＝，则＋的最小值为( )．．解析：由＋＝－知，在复平面内，复数对应的点的轨迹是以(－)和()为端点的线段的垂直平分线，即直线＝－，而＋表示直线＝－上的点到点(，－)的距离，其最小值等于点(，－)到直线＝－的距离．答案：．已知复数＝(－)＋(－)，＝－(－)(∈)，且－为纯虚数，则＝.解析：－＝(－－)＋(－＋－)(∈)为纯虚数．∴(\\(－－＝，＋－≠.))解得＝－.答案：－．若复数满足－＝θ＋θ，则的最大值为．解析：∵－＝θ＋θ，∴＝＋θ＋θ.则＝θ(＋θ)＝θ()≤.答案：．在平行四边形中，各顶点对应的复数分别为＝，＝＋，＝－＋，＝－＋，则实数－为．解析：因为＋＝，所以＋＋(－＋)＝－＋，所以(\\(－＝－，,()＋＝，))得－＝－.答案：－．设∈，复数＝(＋)－(＋)－(－)．()若为实数，求的值．()若为纯虚数，求的值．解析：＝(－－)＋(－＋).()若为实数，则－＋＝，所以＝或.()若为纯虚数，则(\\(－－＝，－＋≠，))解得＝－.故当＝－时，为纯虚数．．如图所示，平行四边形的顶点，，分别对应复数＋，－＋.求：()向量对应的复数；()向量对应的复数；()向量对应的复数．解析：()因为＝－，所以向量对应的复数为－－.()因为＝－，所以向量对应的复数为(＋)－(－＋)＝－.()因为＝＋，所以向量对应的复数为(＋)＋(－＋)＝＋.[组能力提升]．设()＝＋－，且＝＋，＝－－，则(－)等于( )．＋．＋．＋．＋解析：∵＝＋，＝－－，。

课时作业40一、选择题1．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1＋3i C ．－1－iD ．－1－3i解析：z ＝(4＋i)－(3－2i)＝1＋3i. 答案：B2．已知z 1＝3－4i ，z 2＝－5＋2i ，z 1，z 2对应的点分别为P 1，P 2，则P 2P 1→对应的复数为( ) A. －8＋6i B. 8－6i C. 8＋6iD. －2－2i 解析：∵P 2P 1→＝OP 1→－OP 2→， ∴P 2P 1→对应的复数为： z 1－z 2＝3－4i －(－5＋2i) ＝(3＋5)＋(－4－2)i ＝8－6i. 答案：B3．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形 解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．答案：B4．设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限解析：∵z ＝3－4i ，∴z －|z |＋(1－i)＝3－4i －32＋(－4)2＋1－i＝(3－5＋1)＋(－4－1)i ＝－1－5i. 答案：C 二、填空题5．(2x ＋3y i)－(3x －2y i)＋(y －2x i)－3x i ＝__________.(x ，y ∈R ) 解析：原式＝(2x －3x ＋y )＋(3y ＋2y －2x －3x )i ＝(y －x )＋5(y －x )i. 答案：(y －x )＋5(y －x )i6．在复平面上，复数－3－2i ，－4＋5i,2＋i ，z 分别对应点A ，B ，C ，D ，且四边形ABCD 为平行四边形，则z ＝__________.解析：由于AB →＝DC →，∴2＋i －z ＝(－4＋5i)－(－3－2i)． ∴z ＝3－6i. 答案：3－6i7．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是__________．解析：复数z 满足条件|z |＝1，z 所对应的点的轨迹是单位圆，而|z ＋22＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－22，－1)的距离．从图形上可得|z ＋22＋i|的最大值是4. 答案：4 三、解答题8．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又∵z 1－z 2＝13－2i ， ∴(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i.z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.9．在平行四边形ABCD 中，已知AC →，DC →对应的复数分别为z 1＝3＋5i ，z 2＝－1＋2i. (1)求BC →对应的复数； (2)求BD →对应的复数；(3)求平行四边形ABCD 的面积． 解：(1)由于AC →＝AB →＋BC →＝DC →＋BC →， 所以BC →＝AC →－DC →. 故BC →对应的复数为z ＝z 1－z 2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i. (2)由于BD →＝AD →－AB →＝BC →－DC →，所以BD →对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i. (3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD 中， AB →＝DC →＝(－1,2)，AD →＝BC →＝(4,3)， ∴cos ∠DAB ＝AB →·AD →|AB →||AD →|＝25×5＝2525.因此sin ∠DAB ＝1－cos 2∠DAB ＝11525. 于是平行四边形ABCD 的面积S ＝|AB →||AD →|sin ∠DAB ＝5×5×11525＝11.。

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课后训练案巩固提升一、A 组1. 若复数z 满足z+(3-4i)=1,则z 的虚部是()A. -2B.4C.3D.-4z=1-(3-4i)=-2+4i,所以 z 的虚部是 4.B2.若复数z i =-2+i,Z 2=1+2i,则复数Z 1-Z 2在复平面内对应点所在的象限是 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限Z i -z 2=(-2+i)-(1 + 2i)=(-2-1) + (i-2i)=-3-i,故 Z 1-Z 2对应点的坐标为(-3,-1),在第三象限.C3. 在平行四边形 ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点0,若向量曲上卍对应的复数分别是 3+i,-1 + 3i,则二对应的复数是( )解析 依题意有CD = BA = 0A — OB ,而(3+ i)-(-1 + 3i) = 4-2i,即CD 对应的复数为 答案:D A .-一+ iD.-3+4i解析：设 z=a+b i(a,b € R ),所以 |z|= WB ，+ M .所以皿 + &2-a-bi=3-i, 所以 1+ — 3,卷挥(a = -ib- -1，If? =1.所以z=-43+i ，选 A.答案: A在复平面内，若复数z 满足|z+ 1 |=|z-i|,则z 所对应的点Z 的集合构成的图象是( )A.圆B.直线BBA.2 + 4i C.-4+2iB. -2+4i D.4-2i4-2i,故选 D.C. 椭圆D.双曲线解析：设 z=x+y i(x,y€ R ),T |z+ 1|=|x+y i + l|=「十：■■-,+ 护=J 护+ @_iy .•Vx+y= 0.答案：B6•在复平面内,0是原点，： …厂对应的复数分别为-2+i,3+2i,1 + 5i,则对应的复数 为 ____________ •解析：0C 二 Of - OR =OC (OA +血),对应的复数为 3+2i-(-2+i+1 + 5i) =(3 + 2-1)+(2-1-5)i=4-4i. 答案：4-4i7. ______________________________ 已知 f(z+i)=3z-2i,则 f(i)= .设 z=a+bi(a,b € R ),则 f[a+ (b+ 1)i] = 3(a+bi)-2i = 3a+ (3b-2)i,令 a=O,b=O,则 f(i)=-2i.-2i8. ____________________________________________ 已知z 是复数,|z|= 3,且z+3i 是纯虚数，则z= ______________________________________________ .答案：|3i9.已知 Z 1= - a+(a+1)i,z 2=-3b+ (b+ 2)i(a,b € R )，且 Z 1-z 2=4 ,求复数z=a+b i.解^ & 1% +血+巧]卞血+ 0 + 2)卜俘卄3 V3叽a-b-小所以 一 _=4- ,a-b-1 = 0,解得 a=2,b=1,故 z=2+i. 10.如图，已知复数Z 1 = 1 + 2i,z 2=-2+i,z 3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形 ABCD 的三个顶点A,B,C,求这个正方形的第四个顶点对应的复数解:设正方形的第四个点 D 对应的复数为x+y i(x,y € R ),H|z-i |=|x+y i-i |=心小,因为BC^OC-OB对应的复数为 (-1 -2i) -(-2+ i) = 1-3i.二',所以(x-1)+(y-2)i=1-3i,法一： 一匚 二 「二对应的复数为(x+yi)-(1 +2i)=(x-1)+(y-2)i, 即 x-1 = 1,y-2=-3，解得 x=2,y=-1, 故点D 对应的复数为2-i.法二：因为点A 与点C 关于原点对称, 所以原点0为正方形的中心， 于是(-2+i) + (x+yi) = 0,故x=2,y=-1,故点D 对应的复数为2-i.1.如图，在复平面内，复数Z l ,Z 2对应的向量分别是则复数乙吆2=()L2 B1L-2A-]0 12 J-1-戈A.-1 + 2i C.1 + 2iD.1-2i由题意，知 Z i =- 2-i,Z 2= i,所以 z i -Z 2=- 2-2i,故选 B. B2.若复数z=x+y i(x,y € R )满足条件|z-4i|=|z+ 2|,则2x + 4y 的最小值为()解析:由|z-4i|=|z+2|得|x+ (y-4)i|=|x+ 2+yi|,所以 x 2+ (y-4)2= (x+ 2)2+y 2,即 x+2y=3,于是32x +4y =2x +22y >2 =2. =4. •,当且仅当 x= 2y=时,2x+4y取得最小值 4 ■.答案：| C3. _________________________________________________ 若复数z 满足z-1 = cos 9+isin Q 则|z|的最大值为 _________________________________________ . 解析:因为 z-1 = cos Q +isin Q 所以 z=(1 + cos 0)+ isin Qco 硏+前巧=、，2+2询< 12+2=2，即|z|的最大值为2 答案：| 2x-y+5 > 0,4. _________ 已知实数x,y 满足条件z=x+y i(i 为虚数单位),则|z-1 + 2i|的最大值与最小值之和 为 .BB.-2-2iA .2B.4C.4D.16心+ 5 N 0,jc + y 0a解析］作出不等式组I x<3对应的可行域，如图中阴影部分所示.|z-1 + 2i|表示可行域中的点到点（1,-2）的距离.根据图象，得最小值为点（1,-2）到直线x+y=O 的距离，最大值为点（1,-2）到点（3,8）的距离,即 |Z-1 + 2i|min=——,|Z-1+2i|max =… 一 - - =2 ',故|z-1 + 2i l min + |Z- 1+2i |max =- + 2--'-.____ >f2_答案:国+2\/265•在复平面内，A,B,C 三点分别对应复数 1,2+i,-1 + 2i.（i ）求因对应的复数；⑵判断A ABC 的形状.解匕）因为A,B,C 三点对应的复数分别为 1,2+i,-1+2i,所以 抑；』出对应的复数分别为1,2+i,-1 + 2i （O 为坐标原点）, = (1,0), 西=(2,1), 0C=(-1,2).-：|2+| …孑=10 = | 二 |2,—円一丄|,故Z\ABC 是以角A 为直角的直角三角形.6： ---------------- 导学号 40294025 已知 |Z 1|= 1,|z 2|= 1,|z 计Z 2|=，求|Z 1-Z 2|.解:法一:在复平面内以原点 O 为起点作出Z 1,Z 2对应的向量 ^1-^2,如图，则Z 1+Z 2对应向量 --,Z 1-Z 2 对应向量''.由题意 |-|=1,| ：|=1,|--|=・，可得/ OZ j Z=120 ° ,「•/ Z 2OZ 1 = 60°所以于是一二 二「..= (1,1),二：汎 CM. = (-2,2),二 一 一 --=(-3,1). 即 …］对应的复数为1 + i,…'对应的复数为-2+2i, 对应的复数为-3+i.（2）因为|応］= 肛！=说,］疋°虑斫方二阿 应$v （-3）2+1 = Vio所以| 又因为|•••在 ^Z2OZ1 中,| |=1,即|Z1-Z2|=1.法二:设Z i=a+b i,Z2=c+d i(a,b,c,d € R).则由题意，知 a +b = 1,c +d =1,(a+c) +(b+d) =3. • 2 (ac+bd)= 1.2 2 2 2 2 2 2T|Z1-Z2| = (a-c) +(b-d) =a +b +c +d -2 (ac+bd )=1 + 1-1= 1, • |Z1-Z21= 1.。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若复数2－b i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，∴b ＝2. 答案：D2．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：直接法．∵a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，∴必有a ＝0，b ≠0，而ab ＝0时有a ＝0或b ＝0，∴由a ＝0， b ≠0⇒ab ＝0，反之不成立．∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．答案：B 3．已知复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为( ) A ．1或－1 B ．1 C ．－1D ．0或－1解析：因为复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，且a 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a －1≠0，解得a ＝－1.答案：C4．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3解析：由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i 可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，解得a ＝32，b ＝12.答案：A5．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的为( ) A ．4 B ．－1 C ．4或－1D ．1或6解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 答案：B6．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3) i(x ∈R)，则x ＝________.解析：∵x ∈R ，∴x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，解得x ＝3.答案：37．设x ，y ∈R ，且满足(x ＋y )＋(x －2y )i ＝(－x －3)＋(y －19)i ，则x ＋y ＝________.解析：因为x ，y ∈R ，所以利用两复数相等的条件有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－x －3，x －2y ＝y －19，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝5，所以x ＋y ＝1.答案：18．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 解析：复数m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1或m ＝－2，m ≠±1，即m ＝－2. 故m ＝－2时，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数． 答案：－29．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时， (1)z 是实数；(2)z 是纯虚数． 解析：(1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数． (2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．10．已知集合M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值． 解析：因为M ∪P ＝P ，所以M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2.[B 组 能力提升]1．已知复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)的实部为2，虚部为1，复数z 2＝(x －1)＋(2x －y )i(x ，y ∈R)．当z 1＝z 2时x ，y 的值分别为( ) A ．x ＝3且y ＝5 B ．x ＝3且y ＝0 C ．x ＝2且y ＝0 D ．x ＝2且y ＝5解析：易知z 1＝2＋i由z 1＝z 2，即2＋i ＝(x －1)＋(2x －y )i(x ，y ∈R)∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝22x －y ＝1解得x ＝3且y ＝5. 答案：A2．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R)为纯虚数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠b D ．a >0且a ＝±b解析：z 为纯虚数 ∴a ＋|a |≠0且a 2－b 2＝0 因此得a >0且a ＝±b . 答案：D3．已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实根，则实数m 的值是________． 解析：设x ＝a 为方程的一个实根 则有a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0.因为a ，m ∈R ，由复数相等的充要条件有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋3m ＝0，2a ＋1＝0，解得⎩⎨⎧m ＝112，a ＝－12.答案：1124．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2, 则a 的值为________．解析：由z 1>z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ，即⎩⎨⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a <16.解得a ＝0.答案：05．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R)，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z 1＝z 2，求λ的取值范围． 解析：由z 1＝z 2，即m ＋(4－m 2)i ＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，m ∈R)得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，消去m 得 λ＝4－4cos 2θ－3sin θ＝4sin 2θ－3sin θ＝4(sin θ－38)2－916由于－1≤sin θ≤1.故－916≤λ≤7，即λ的取值范围为⎣⎡⎦⎤－916，7. 6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1(x ，y ∈R)，求复数z ＝x 2＋y i.解析：由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ，故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y .解之得x ＝－1，y ＝2 因此z ＝x 2＋y i ＝1＋2i.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DAC1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DBa +b-aa45°ABE1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DBa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DAB CFEDCDC。

《复数代数形式的加减运算及其几何意义》同步练习1．计算(3＋2i)－(1－i)的结果是 ( )A．2＋i B．4＋3iC．2＋3i D．3＋2i2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是 ( )A．－2 B．4C．3 D．－43．设z1＝2＋b i，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋b i为 ( )A．1＋i B．2＋iC．3 D．－2－i4．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于 ( )A．18＋10i B．18－10iC．－10＋18i D．10－18i5．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝ ( )A．10 B．5 5C ． 2D ．5 26．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝ ( ) A ．－34＋iB ．34－i C ．－34－iD ．34＋i1．已知复数z1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝____。

2．在复平面内，O 是原点，OA →、OC →、AB →对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，那么BC →对应的复数为_ __。

已知平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点.(1)求AD →对应的复数； (2)求DB →对应的复数。

答案和解析一、选择题1C ；【解析】 (3＋2i)－(1－i)＝3＋2i －1＋i ＝2＋3i. 2.B ；【解析】z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，所以z 的虚部是4. 3.D ；【解析】 ∵z1＋z2＝(2＋bi)＋(a ＋i)＝(2＋a)＋(b ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，∴a ＋bi ＝－2－i.4.C ；【解析】∵z ＝11－20i ，∴1－2i －z ＝1－2i －11＋20i ＝－10＋18i. 5.B ；【解析】∵z1－z2＝5＋5i ，∴f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.6.D ；【解析】设z ＝x ＋yi(x 、y ∈R)，则x ＋yi ＋x2＋y2＝2＋i ，因此有⎩⎨⎧x ＋x2＋y2＝2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34y ＝1，故z ＝34＋i ，故选D ．二、填空题 1. -1；【解析】z1－z2＝(a2－a －2)＋(a －4＋a2－2)i(a ∈R)为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a2－a －2＝0a2＋a －6≠0，解得a ＝－1.2.4-4i ；【解析】B C →＝OC →－OB → ＝OC →－(OA →＋AB →)＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i. 三、解答题解：(1)由于ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，于是AD →＝AC →－AB →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即AD →对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB →＝AB →－AD →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即DB →对应的复数是5。

课时训练9复数代数形式的加减运算及其几何意义1.若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于().A.0B.2iC.6D.6-2i解析:由已知z=(3-i)+(3-i)=6-2i.答案:D2.已知复数z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z1-z2在复平面内所表示的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z1-z2=1-i,∴z在复平面内所表示的点为(1,-1),在第四象限.答案:D3.设f(z)=z-2i,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)为().A.5+3iB.1-5iC.-2+9iD.-2-i解析:z1-z2=(3+4i)-(-2-i)=5+5i,∴f(z1-z2)=5+5i-2i=5+3i.答案:A4.复数z1=a+4i,z2=-3+b i,若它们的和z1+z2为实数,差z1-z2为纯虚数,则a,b的值为().A.a=-3,b=-4B.a=-3,b=4C.a=3,b=-4D.a=3,b=4解析:z1+z2=(a-3)+(4+b)i为实数,∴4+b=0,b=-4.z1-z2=(a+4i)-(-3+b i)=(a+3)+(4-b)i为纯虚数,∴∴a=-3且b≠4.故a=-3,b=-4,故选A.答案:A5.在平行四边形ABCD中,若对应的复数分别为1-i和-4-3i,则该平行四边形的对角线AC 的长度为().A. B.5C. D.解析:依题意有,所以对应的复数为(1-i)+(- 4-3i)=-3-4i,因此AC的长度即为|-3-4i|=5.答案:B6.设z为纯虚数,且|z-1-i|=1,则z=.解析:设z=b i(b∈R,b≠0),则|z-1-i|=|(b-1)i-1|,∴(b-1)2+1=1,∴b=1,∴z=i.答案:i7.已知复数z1=3+a i,z2=1-i,z3=b+2i(a,b∈R),它们在复平面内对应的点分别为A,B,C,坐标原点为O,,则a+b i=.解析:由已知得b+2i=4+(a-1)i,∴∴∴a+b i=3+4i.答案:3+4i8.设z1=x+2i,z2=3-y i,其中x,y∈R,且z1+z2=5-6i,则z1-z2=.解析:∵z1+z2=(x+2i)+(3-y i)=(x+3)+(2-y)i,又z1+z2=5-6i,∴∴∴z1-z2=(x+2i)-(3-y i)=(x-3)+(2+y)i=(2-3)+(8+2)i=-1+10i.答案:-1+10i9.计算:(1);(2)(3+2i)+(-2)i;(3)(1+2i)+(i+i2)+|3+4i|;(4)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i).解:(1)原式=i=i;(2)原式=3+(2+-2)i=3+i;(3)原式=(1+2i)+(i-1)+=(1-1+5)+(2+1)i=5+3i;(4)原式=[6+3-3-(-2)]+[-3+2-(-4)-1]i=8+2i.10.在复平面内,A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求D点对应的复数z4及AD的长.解:对应的复数z3-z1,对应的复数z2-z1,对应的复数z4-z1.由复数加减的几何意义得,∴z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),∴z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i.∴AD的长为||=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2.。

第三章数系的扩大与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算复数代数形式的加减运算及其几何意义A 级基础稳固一、选择题1．设 m∈ R，复数 z＝ (2m2＋ 3i)＋ (m－ m2i) ＋ (－ 1＋ 2mi)，若 z 为纯虚数，则 m 等于 () 1B． 3A．2C．－ 1D．－1或 3分析： z＝ (2m2＋ m－ 1)＋ (3＋2m－ m2)i，依题意， 2m2＋ m－ 1＝ 0，且 3＋ 2m－ m2≠ 0，解得 m＝1 . 2答案： A2．(2015 ·建卷福 )若 (1＋ i)＋ (2－ 3i)＝ a＋ bi(a，b∈ R， i 是虚数单位 )，则 a， b 的值分别等于 ()A． 3，－ 2B．3，2C． 3，－ 3D．－ 1， 4分析：因为 (1＋ i)＋ (2－ 3i)＝ 3－ 2i所以 3－ 2i＝ a＋ bi(a， b∈ R)，由复数相等定义，a＝ 3，且 b＝－ 2.答案： A143．在复平面内，复数 z1＝5i， z2＝5i－ 2， z＝ z1＋ z2，则复数 z 对应的点位于 ()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限分析：因为 z＝ z ＋ z ＝1412i＋ i － 2＝－ 2＋ i，55所以实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限．答案： B→4．若在复平面上的?ABCD中，AC对应复数为→→6＋ 8i， BD 对应复数为－4＋ 6i，则 DA 对应的复数是 ()A． 2＋ 14i B． 1＋ 7iC． 2－ 14i D．－ 1－ 7i→→z1与 z2，分析：设 AB， AD 对应的复数分别为则由复数加减法的几何意义，得z1＋ z2＝ 6＋ 8i，所以 z2＝1＋ 7i，z2－ z1＝－ 4＋ 6i，→所以向量 DA对应的复数为－z2＝－ 1－7i.答案： D5．A， B 分别是复数 z1，z2在复平面内对应的点，O 是原点，若 |z1＋ z2|＝ |z1－ z2|，则三角形 AOB 必定是 ()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形→→分析：依据复数加(减 )法的几何意义，知以 OA，OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．答案： B二、填空题6．已知复数z1＝ (a2－ 2)＋ (a－ 4)i， z2＝ a－ (a2－ 2)i( a∈ R) ，且 z1－ z2为纯虚数，则a＝________．分析： z1－ z2＝ (a2－ a－ 2)＋ (a－4＋ a2－ 2)i(a∈R) 为纯虚数，a2－ a－ 2＝ 0，所以解得 a＝－ 1.a2＋ a－ 6≠0，答案：－ 17．在平行四边形→ →ABCD 中，对角线 AC 与 BD 订交于点 O，若向量 OA， OB对应的复数→．分别是 3＋ i ，－ 1＋ 3i，则 CD对应的复数是 ________分析：因为→→OA， OB对应的复数分别是 3＋ i，－ 1＋ 3i，→所以 BA对应的复数为(3＋ i)－ (－ 1＋ 3i)＝ 4－ 2i.又在平行四边形→ →ABCD 中， CD ＝ BA，→故 CD 对应的复数为 4－ 2i.答案： 4－ 2i8．复数 z1＝－ 1＋ 2i， z2＝ 1－ i， z3＝ 3－ 2i，它们所对应的点分别为→A， B， C，若 OC＝→→ y＝ ________．xOA ＋ yOB(x ， y ∈ R)，则 x→→→ 分析：因为 OC ＝ xOA ＋ yOB(x ， y ∈ R) ，由复数的几何意义，得3－ 2i ＝ x(－ 1＋ 2i)＋ y(1－ i)，所以 3－ 2i ＝ y － x ＋ (2x － y)i ，依据复数相等的充要条件，则3＝ y － x ，解得 － 2＝ 2x － y ，所以 yx ＝ 4.答案： 4三、解答题9．设 m ∈R ，复数(1)若 z 为实数，求x ＝ 1，y ＝ 4.z ＝ (2＋ i)m 2－ 3(1＋ i)m － 2(1－ i)．m 的值；(2)若 z 为纯虚数，求 m 的值．解： z ＝ (2m 2－ 3m － 2)＋ (m 2－ 3m ＋ 2)i.2(1)若 z 为实数，则 m － 3m ＋ 2＝ 0，(2)若 z 为纯虚数，2m 2－ 3m － 2＝ 0，1 则 2解得 m ＝－ .m － 3m ＋ 2≠0， 2故当 m ＝－1时， z 为纯虚数．210．在复平面内， A ， B ， C 三点对应的复数 1， 2＋ i ，－ 1＋ 2i.D 为 BC 的中点．→(1)求向量 AD 对应的复数；(2)求 △ ABC 的面积．解： (1)由条件知在复平面内B(2，1)，C(－ 1，2)．则 D12，32 ，点 D 对应的复数是12＋ 32i ，→ → → 1， 3 －(1，0)＝ －1，3 AD ＝ OD － OA ＝ ，2 2 2 2 →13所以 AD 对应复数为－＋ i.2 2→ → → →(2)AB ＝ OB － OA ＝ (1， 1)， |AB|＝ 2，→→→→AC＝ OC－ OA＝ (－2， 2)， |AC|＝8＝ 22，→→→→BC＝ OC－ OB＝ (－3， 1)， |BC|＝10，→→→所以 |BC|2＝ |AC|2＋ |AB|2，所以△ABC 为直角三角形．1 →→12×2 2＝2.所以 S△ABC＝ |AB|· |AC|＝22B 级能力提高1．知足 |z－ i|＝ |3＋ 4i|的复数 z 在复平面上所对应的点的轨迹是()A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆分析：设 z＝ x＋ yi(x， y∈ R)，且 |z－ i|＝ |3＋ 4i|，所以 x2＋（ y－ 1）2＝ 32＋ 42＝ 5，则 x2＋ (y－ 1)2＝ 25，所以复数 z 在复平面上对应点的轨迹是以(0， 1)为圆心，以 5 为半径的圆．答案： C2．设 f(z)＝ |z|＋ z－ 5，且 z1＝ 3＋ 4i， z2＝－ 2－ i，则 f(z1－ z2)等于 ________．分析：因为 z1＝ 3＋ 4i， z2＝－ 2－ i，所以 z1－ z2＝ (3＋ 4i)－ (－ 2－ i)＝ 5＋ 5i.又因为 f(z)＝ |z|＋ z－ 5，所以 f(z1－ z2)＝|5＋ 5i|＋ (5＋ 5i)－ 5＝ 5 2＋ 5i.答案： 52＋ 5i3．已知复平面内平行四边形ABCD ，点 A 对应的复数为→2＋ i，向量 BA对应的复数为 1→＋ 2i，向量 BC对应的复数为3－ i，求：(1)点 C， D 对应的复数；(2)平行四边形ABCD 的面积．→→3－ i，解： (1) 因为向量 BA对应的复数为 1＋ 2i，向量 BC对应的复数为→所以向量 AC对应的复数为 (3－ i)－ (1＋ 2i)＝ 2－3i.→→ →又 OC＝OA＋ AC，所以点 C 对应的复数为 (2＋ i)＋ (2－ 3i)＝ 4－ 2i.→→因为 AD＝ BC，→→所以向量 AD对应的复数为3－ i，即 AD＝ (3，－ 1)．→设 D(x ， y)，则 AD ＝ (x － 2， y － 1)＝ (3，－ 1)，x － 2＝ 3，x ＝ 5，所以解得 y ＝ 0，y － 1＝－ 1，所以点 D 对应的复数为 5.→ → → →(2)因为 BA · BC ＝ |BA||BC|cos B ，→ → 3－ 212所以 cos B ＝ BA ·BC → →＝5× 10 ＝ 5 2 ＝ 10，|BA||BC|77 2sin B ＝ 5 2＝ 10 ，→ →7 2＝ 7，所以 S ＝ |BA||BC|sin B ＝ 5× 10×10所以平行四边形 ABCD 的面积为 7.。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i )2－2(1－i )1－i －1＝－2－i ＝－2i.答案：B2．已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2 解析：(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2. 答案：A3．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，又z ·z i ＋2＝2z ， ∴(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ， ∴a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i. 答案：A4．在复平面内，复数z ＝2i1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限．答案：D5．已知(1－i )2z ＝1＋i (为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：由题意得，z ＝(1－i )21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.答案：D6．下面关于复数z ＝2－1＋i 的结论，正确的命题是______(填序号)．①|z |＝2；②z 2＝2i ；③z 的共轭复数为1＋i ；④z 的虚部为－1. 解析：z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，所以|z |＝(－1)2＋(－1)2＝2，z 2＝(－1－i)2＝2i.z 的共轭复数为－1＋i.z 的虚部为－1，所以②④正确．答案：②④7．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z ＝________.解析：∵z ＝1＋i ，则z ＝1－i ∴zi ＋i·z ＝1＋i i ＋i(1－i) ＝i (1＋i )－1＋i ＋1＝2. 答案：28．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为a 2＋b 2＝3，则a 2＋b 2＝3，则(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－(b i)2＝a 2＋b 2＝3. 答案：39．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i(a ，b ∈R)， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.10．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数．(2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围． 解析：(1)z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4＝(2＋4i)－4＝－2＋4i ∴z 的共轭复数z ＝－2－4i (2)由(1)知，w ＝z ＋a i ＝－2＋(a ＋4)i ∴|w |＝(－2)2＋(a ＋4)2＝20＋a 2＋8a ，|z |＝2 5.依题意，得20＋a 2＋8a ≤20，即a 2＋8a ≤0 ∴－8≤a ≤0，即a 的取值范围为[－8,0]．[B 组 能力提升]1．(2016·高考全国Ⅲ卷)若z ＝1＋2i ，则4i z z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4i z z －1＝4i4＝i.故选C.答案：C2．若i 为虚数单位，如图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：由题图可得z ＝3＋i ，所以z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)． 答案：D3．设z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析：设z 1z 2＝b i(b ∈R 且b ≠0)，所以z 1＝b i·z 2，即a ＋2i ＝b i(3－4i)＝4b ＋3b i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ，2＝3b ，所以a ＝83.答案：834．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，从而|z |＝a 2＋b 2＝ 5.答案： 55．已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i .(1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值． 解析：(1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.(2)把z ＝1＋i 代入z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.6．已知z ，w 为复数，(1＋3i)z 为实数，ω＝z 2＋i ，且|ω|＝52，求ω.解析：设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由ω＝z2＋i，得z ＝ω(2＋i)＝(x ＋y i)(2＋i)．依题意，得(1＋3i)z ＝(1＋3i)(x ＋y i)(2＋i)＝(－x －7y )＋(7x －y )i ， ∴7x －y ＝0.①又|ω|＝52，∴x 2＋y 2＝50.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－7.∴ω＝1＋7i 或ω＝－1－7i.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DAC1FDAB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DF45°DBa+b-aa 45°A BE1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DBa+b-aa 45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°D Ea +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE2.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求△AMN 的周长．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．AB CFEDCDC。

3.2.2　复数代数形式的乘除运算课时过关·能力提升基础巩固1已知复数z ,“z +z =0”是“z 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件z=0时,满足z z 为实数;而当z 为纯虚数时,z z z 为纯虚数”的必要不充分+z =0,此时+z =0,所以“+z =0”是“条件.故选B.2已知复数z=2-i,则z ·z 的值为( )A.5B .5C .3D .3··(2+i)=22-i 2=4-(-1)=5,故选A .z =(2‒i)3复数i 1-2i (i 为虚数单位)的虚部是( )A .15iB .‒15C .‒15iD .15D .析i1-2i =i (1+2i )(1-2i )(1+2i )=i +2i 25=‒25+15i,其虚部为15,故选4已∈R ),其中i 为虚数单位,则a+b 等于( )知a +2ii =b +i(a ,b A.-1B.1C.2D.3a +2ii=b +i,∴a +2i =‒1+bi .∴a=-1,b=2.∴a+b=1.5若复数z=1+i(i 为虚数单位),z 是z 的共轭复数,则z 2+z 2的虚部为( )A.0B.-1C.1D.-2z=1+i,所以z =1‒i .而z 2=(1+i)2=2i ,z 2=(1‒i)2=‒2i,所以z 2A .+z 2=0,故选6已知a ,b ∈R ,i 是虚数单位,若a+i =2-b i,则(a+b i)2=( )A.3-4iB.3+4iC.4-3iD.4+3ia+i =2-b i,∴a+b i =2-i .即(a+b i)2=(2-i)2=4-4i -1=3-4i .7设复数z 满足z (2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则z 的模为 .z (2-3i)=6+4i,得z|z|=2.=6+4i 2-3i =(6+4i )(2+3i )(2-3i )(2+3i )=2i,故8已知z=-3-i1+2i,则z 4= .z=-3-i 1+2i =(-3-i )(1-2i )5=‒1+i,∴z 4=[(-1+i)2]2=(-2i)2=-4.49计算下列各题:(1)(1+i )71-i+(1-i )71+i ‒(3-4i )(2+2i )34+3i ;(2)1i(2+2i)5+(11+i )4+(1+i 1-i )7;(3)(-32-12i)12+(2+2i 1-3i)8;(4)(1+i 1-i)6+2+3i 3-2i.,对于复数的运算,除了应用四则运算法则之外,对于一些简单的算式要熟记其结果,计算过程可以简化.原式=[(1+i)2]31+i1-i +[(1‒i)2]3·1-i1+i ‒8(3-4i )(1+i )2(1+i )(3-4i )i=(2i)3·i +(-2i)3·(-i)‒8·2i (1+i )i =8+8-16-16i =-16i .(2)1i(2+2i)5+(11+i )4+(1+i 1-i)7=-i··[(1+i)2]2·(1+i)(2)5+[1(1+i )2]2+i 7=162(‒1+i)‒14‒i =‒(162+14)+(162‒1)i .(3)(-32-12i)12+(2+2i 1-3i)8=(-i)12·(-3-12i)12+(1+i 12-32i )8=(-12+32i )12+[(1+i )2]4·(12-32i )[(12-32i )3]3=[(-12+32i )3]4+(‒8+83i)=1-8+83i =‒7+83i .(4)方法一:原式=[(1+i )22]6+(2+3i )(3+2i )(3)2+(2)2=i 6+6+2i +3i -65=‒1+i .方法二(技巧解法):原式=[(1+i )22]6+(2+3i )i(3-2i )i =i 6+(2+3i )i2+3i=‒1+i .10设复数z 满足|z|=1,且(3+4i)·z 是纯虚数,求z .,设z=a+b i(a ,b ∈R ),利用已知条件建立关于a ,b 的方程组,求解即可.z=a+b i(a ,b ∈R ).由|z|=1,得a 2+b 2=1.由题意,得(3+4i)·z=(3+4i)(a+b i)=3a-4b+(4a+3b )i 是纯虚数,则{3a -4b =0,4a +3b ≠0.由{a 2+b 2=1,3a -4b =0,4a +3b ≠0,解得{a =45,b =35或{a =-45,b =-35.则z z==45+35i 或‒45‒35i .故z =45‒35i 或z =‒45+35i .能力提升1复数z 满足(1+i)z=|3‒i |,则z =( )A .1+i B .1-i C .-1-iD .-1+iz A.=21+i =1‒i,所以z =1+i .故选2若复∈R )的实部与虚部互为相反数,则b 等于( )数2-bi1+2i (bA.2B .23C .‒23D .2,∴2-2b=b+4.∴b=2-bi 1+2i =(2-bi )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=(2-2b )+(-b -4)i 5的实部与虚部互为相反数‒23.★3定义:复数b+a i 是z=a+b i(a ,b ∈R )的转置复数,记为z'=b+a i;复数a-b i 是z=a+b i(a ,b ∈R )的共轭复数,记为z =a ‒bi .给出下列命题:①z'=·z'2iz ;②z '+z '=0;③z'1=z 1z 2.其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3;i(a ‒bi)=b +ai =z',①正确z '+z '=(a ‒bi)'+b +ai=-b+a i +b-a i =0,②正确;设z 1=a 1+b 1i,z 2=a 2+b 2i(a 1,a 2,b 1,b 2∈R ).z'1·z'2=(a 1+b 1i)'·(a 2+b 2i)'=(b 1+a 1i)·(b 2+a 2i)=(b 1b 2-a 1a 2)+(b 1a 2+a 1b 2)i .z 1z 2=(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )=(a 1a 2-b 1b 2)+(b 1a 2+a 1b 2)i=(a 1a 2-b 1b 2)-(b 1a 2+a 1b 2)i,所以z'1·z'2≠,故选C .z 1z 2,③错4设z 2=z 1-iz 1(其中z 1表示z 1的共轭复数),已知z 2的实部是‒1,则z 2的虚部为 .z 1=a+b i(a ,b ∈R ),则z 2=z 1-iz 1=a +bi ‒i(a ‒bi)=(a ‒b )‒(a ‒b)i .因为z 2的实部是-1,即a-b=-1,所以z 2的虚部为1.5已知复数z=(1-i)2+1+3i,若z 2+az+b=1-i,a ,b ∈R ,则实数对(a ,b )为 .z=(1-i)2+1+3i =-2i+1+3i=1+i,∴由z 2+az+b=1-i 得(1+i)2+a (1+i)+b=1-i .∴2i +a+a i +b=1-i .∴{a +b =1,2+a =-1.∴{a =-3,b =4.故实数对(a ,b )为(-3,4).-3,4)6若z =21-i,则z 100+z 50+1的值是 .z 100+z 50+1=21-i=1+i 2,则=(1+i 2)100+(1+i 2)50+1=(2i 2)50+(2i 2)25+1=i 50+i 25+1=i 2+i +1=i .7设a ,b 互为共轭复数,且(a+b )2-3ab i =4-6i,求a 和b..给出等式求复数,通常设所求的复数为a=x+y i,b=x-y i(x ,y ∈R ),利用复数相等的充要条件,列出方程组求x ,y 即可.a=x+y i,则b=x-y i(x ,y ∈R ).由条件,得(x+y i +x-y i)2-3(x+y i)(x-y i)i =4-6i,即4x 2-3(x 2+y 2)i =4-6i .由复数相等的充要条件,得{4x 2=4,3(x 2+y 2)=6.解得{x =±1,y =±1.∴{x =1,y =1或{x =1,y =-1或{x =-1,y =1或{x =-1,y =-1.∴{a =1+i ,b =1-i 或{a =1-i ,b =1+i 或{a =-1+i ,b =-1-i 或{a =-1-i ,b =-1+i .★8已知1+i 是关于x 的方程x 2+bx+c=0的一个根(b ,c 为实数).(1)求b ,c 的值;(2)试说明1-i 也是方程的根吗?∵1+i 是关于x 的方程x 2+bx+c=0的一个根,∴(1+i)2+b (1+i)+c=0,即(b+c )+(2+b )i =0.∴{b+c=0, 2+b=0,解得{b=-2,c=2.(2)由(1)得方程为x2-2x+2=0.把1-i代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,故1-i也是方程的一个根.。

章末检测时间：分钟满分：分一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．是虚数单位，计算＋＋＝( )．．－．．－解析：＋＋＝＋(－)－＝－.答案：．已知为虚数单位，复数＝，则复数的虚部是( )．－．－解析：＝＝＝－，则复数的虚部是－.答案：．如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是()．．．．解析：设＝＋(<，>)∴＝－对应点的坐标是(，－)，是第三象限点.答案：．是虚数单位，复数＝的共轭复数＝( )．－．＋＋．－＋解析：＝＝＝＝－∴＝＋.答案：．若复数＝(＋)(＋)(∈)为纯虚数，则等于( )．．解析：∵＝－＋(＋)为纯虚数且∈，∴(\\(－＝，＋≠，))得＝，＝，＝.答案：．已知复数＝＋，＝＋，且·是实数，则实数等于( )．－．－解析：·＝(＋)(－)＝(＋)＋(－)，依题意－＝，∴＝.答案：．设∈，若为纯虚数，则在复平面上的对应点落在( )．实轴上．虚轴上．直线＝±(≠)上．以上都不对解析：设＝＋(，∈)，∵＝－＋为纯虚数，∴(\\(－＝，≠.))∴＝±，即在直线＝±(≠)上．答案：．定义运算＝－，则符合条件－))＝＋的复数为( )．－．＋．＋．－解析：由定义知－))＝＋，得＋＝＋，∴＝＝＝＝－.答案：．若复数＝＋是关于的实系数方程＋＋＝的一个根，则( )．＝，＝．＝－，＝．＝－，＝－．＝，＝－解析：因为＋是实系数方程的一个复数根，所以－也是方程的根，则＋＋－＝＝－，(＋)(－)＝＝，解得＝－，＝.答案：．已知复数＝－＋，＝－，＝－，它们在复平面上所对应的点分别为，，.若＝λ＋μ(λ，μ∈)，则λ＋μ的值是( )．．．．解析：－＝λ(－＋)＋μ(－)＝μ－λ＋(λ－μ)，∴(\\(μ－λ＝，λ－μ＝－，))得(\\(λ＝－，,μ＝，))∴λ＋μ＝.答案：二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分，把答案填在题中的横线上)．设为虚数单位，则＝.解析：＝＝＝－－.答案：－－．已知复数＝ °＋ °和复数＝ °＋ °，则·＝.。