高二数学直线与方程典型习题教师版

高二数学同步检测六直线与直线的方程 第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分) 1.若直线x=1的倾斜角为α,则α等于( ) A.0° B.45° C.90° D.不存在 答案:C解析:因为x=1是一条与x 轴垂直的直线,所以它的倾斜角为90°. 2.通过点(0,2),且倾斜角为60°的直线方程是( ) A.y=3x+2 B.y=3x-2C.y=33x+2 D.y=33x-2 答案:A解析:∵k=tan60°=3,∴过点(0,2)的直线方程为y=3x+2.3.如右图,已知直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3,则( )A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 2 答案:D解析:∵90°＜α1＜180°， ∴k 1＜0.又∵0°＜α3＜α2＜90°, ∴k 2＞k 3＞0, 即k 2＞k 3＞k 1.4.经过点A(2,1),在x 轴上截距为-2的直线方程是( ) A.x=-2 B.x-4y+2=0 C.4x+y+2=0 D.x-4y-2=0 答案:B解析:依题意知,直线经过点A(2,1)，B(-2,0), 由两点式,得222010++=--x y ,化简得x-4y+2=0. 5如果AC ＜0,且BC ＜0,那么直线Ax+By+C=0不通过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案：C解析：直线Ax+By+C=0的斜率k=-BA , 直线在y 轴上的截距b=-BC . ∵AC＜0,BC ＜0, ∴AB＞0,k ＜0,b ＞0.∴直线通过二、四象限和第一象限. ∴直线不通过第三象限.6.已知点A(1,2)，B(3,1),则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A.4x+2y=5 B.4x-2y=5 C.x+2y=5 D.x-2y=5 答案:B 解析:因k AB =211321-=--,所以线段AB 的垂直平分线的斜率是2.又线段AB 的中点为(2,23), 所以所求直线方程为y-23=2(x-2), 即4x-2y-5=0.7.直线(2m 2-5m+2)x-(m 2-4)y+5m=0的倾斜角是4π，则m 的值为( ) A.2 B.3 C.-2 D.-3 答案：B解析：原方程可化为y=454252222-+-+-m mx m m m . 有tan 4π=425222-+-m m m =1,即m 2-5m+6=0,解之,得m=3,m=2.m=2时原方程不成立，应舍去.8.直线l 1:ax-y+b=0与l 2:bx-y+a=0(其中a≠0,b≠0,a≠b),在同一坐标系中的图象是下图中的( )答案：B解析:同一个选项中的直线反映出的a 、b 的取值应是一致的.排除C ，D. 解方程组⎩⎨⎧+==⎩⎨⎧=+-=+-,,1,0,0b a y x a y bx b y ax 得 即l 1与l 2的交点为(1,a+b),在第一象限,所以选B.9.直线xcosα+y+b=0(α、b∈R )的倾斜角范围是( ) A.［0,π］ B.［4π,2π］∪(2π,43π) C.［4π,43π］ D.［0, 4π］∪［43π,π)答案：D解析：∵直线的斜率k=-cosα,又α∈R , ∴-1≤cosα≤1.又倾斜角的范围为［0，π), ∴-1≤tanα≤1(α为倾斜角).10.当-1≤x≤1时，y=ax+2a+1的值有正也有负，则实数a 的取值范围是( ) A.a ＜0或a ＞1 B.0＜a≤1 C.-1＜a ＜-31 D.a≤-1或a ≥-31 答案:C解析:依题意知a≠0. 当a ＞0时,只需满足(1)0,(1)0,f f -<⎧⎨>⎩即10,310,a a +<⎧⎨+>⎩解得a∈;当a ＜0时,只需满足(1)0,(1)0,f f ->⎧⎨<⎩即10,310,a a +>⎧⎨+<⎩解得-1＜a ＜-31. 综上可知-1＜a ＜-31. 第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上) 11.过点(-2,-1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是_________. 答案:x-2y=0或x+y+3=0解析:(1)直线过坐标原点时,在两个轴上的截距都为0, 方程为x-2y=0.(2)直线不过坐标原点时,设方程为aya x +=1.∵直线过(-2,-1), ∴aa 12-+-=1,得a=-3. ∴直线方程为x+y+3=0.12.直线的纵截距为-2，其倾斜角的正弦满足方程6x 2+x-1=0，则直线方程为________.答案：y=42x-2或y=-42x-2解析：方程6x 2+x-1=0的解为x 1=31,x 2=-21, ∴sinα=31或sinα=-21(舍去). 由sinα=31,得cosα=322或cosα=-322.∴斜率k=tanα=42或k=tanα=-42.∴满足条件的直线方程为 y=42x-2或y=-42x-2.13.已知A(a,2)，B(3,7)，C(-2,-9a)三点在同一直线上,则a 的值为________. 答案:2或92. 解析:当a=3 时,不适合条件,故a≠3. ∵A、B 、C 三点共线, ∴k AB =k BC ,即2397327++=--aa . 化简,得9a 2-20a+4=0,解得a=2或a=92, 即实数a 的值是2或92. 14.已知直线l 过点P(-1,2)，且与以A(-2，-3)和B(3，0)为端点的线段AB 相交，那么直线l 的斜率的取值范围是_________.答案：(-∞,-21］∪［5,+∞) 解析：∵k AP =2132+-+=5,k BP =213102-=---. 要使过P 点的直线与线段AB 相交，需k≥5或k≤-21. 三、解答题(本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)已知三角形的三个顶点A(-5,0)，B(3,-3)，C(0,2),求BC 边所在直线的方程以及该边上中线所在直线的方程. 解:如下图,过B(3,-3)，C(0,2)的两点式方程为30232--=---x y ,整理得5x+3y-6=0.这就是BC 边所在直线的方程.BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段,由中点坐标公式可得点M 的坐标为(223,203+-+),即(21,23-). 过A(-5,0),M(21,23-)的直线的方程为52350210++=---x y , 整理得21x+213y+25=0,即x+13y+5=0.16.(本小题满分8分)如图，在一段直的河岸同侧有A 、B 两个村庄，相距5 km ，它们距河岸的距离分别为3 km 、6 km.现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水.如果预计修建抽水站需8.25万元(含设备购置费和人工费)，铺设输水管每米需用24.5元(含人工费和材料费).现由镇政府拨款30万元，问A 、B 两村还需共同自筹资金多少，才能完成此项工程?(准确到100元)(参考数据：65=8.06，97=9.85，77.10=3.28，13.43=6.57)解：如图所示，建立直角坐标系，则A （0，3）.由|AB|=5，可知B （4，6)，那么点A 关于x 轴的对称点A′(0,-3). 连结A′B 交x 轴于C.由平面几何知识可知，当抽水站建在C 处时，铺设的输水管道最短. ∵|AC|+|BC|=|A′B|,∴|A′B|=97)36()04(22=++-=9.85(km).∴铺设管道所需资金为24.5×9.85×1 000=241 325≈241 400(元)，总费用8.25×10 000+241 400=323 900(元). ∴323 900-300 000=23 900（元).答：需要两村共同自筹资金23 900元.17.(本小题满分9分)已知直线过点P(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,求直线的方程.解法一:显然,直线l 与两坐标轴不垂直,设直线的方程为y-3=k(x+2).令x=0,得y=2k+3;令y=0,得x=-k3-2.于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为21|2k+3|·|k3+2|=4,即(2k+3)(k 3+2)=±8. 若(2k+3)(k 3+2)=8,则整理得4k 2+4k+9=0,无解;若(2k+3)(k 3+2)=-8,则整理得4k 2+20k+9=0,解之,得k=-21,k=-29.∴所求直线的方程为y-3=-21(x+2)或y-3=-29(x+2),即x+2y-4=0和9x+2y+12=0.解法二:显然,直线在两坐标轴上的截距均不为零.设所求直线的方程为bya x +=1. ∵点P(-2,3)在直线上, ∴ba 32+-=1. ① 又∵直线与坐标轴围成的面积为4, ∴21|a|·|b|=4,即|a|·|b|=8. ② 由①②可得 (1)⎩⎨⎧==-8,823ab b a 或(2)⎩⎨⎧-=-=-.8,823ab b a解(1)得⎩⎨⎧==2,4b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.6,34b a 方程组(2)无解.∴所求直线的方程为24yx +=1或 634-+-yx =1,即x+2y-4=0或9x+2y+12=0. 18.(本小题满分9分)已知函数f(x)=log 2(x+1),且a ＞b ＞c ＞0,试比较cc f b b f a a f )(,)(,)(的大小. 解:画出函数f(x)=log 2(x+1)的图象(如右图),则点A(a,f(a))，B(b,f(b))，C(c,f(c))在图象上,又()()(),,f a f b f c a b c的值恰好是直线OA ，OB ，OC 的斜率,因为函数f(x)=log 2(x+1)是增函数,且a ＞b ＞c ＞0,所以k OC ＞k OB ＞k OA ,即.()()()f a f b f c a b c<<19.(本小题满分10分)点A 是x 轴上的动点,一条直线经过点M(2,3),垂直于MA,交y 轴于点B,过A 、B 分别作x 、y 轴的垂线交于点P,求点P 的坐标(x,y)满足的关系. 解:如图,因为PA⊥x 轴,点P 的坐标为(x,y),所以设点A 的坐标为(x,0).因为PB⊥y 轴,所以点B 的坐标是(0,y). 由已知,k MA =x -23(x≠2),k MB =23y -. 因为MA⊥MB,所以k MA ·k MB =-1, 即x -23·23y -=-1(x≠2), 化简得2x+3y-13=0.当x=2时,由2x+3y-13=0知y=3,点P 与点M 重合.综合以上知,点P 的坐标(x,y)所满足的条件是2x+3y-13=0.。

综合拔高练五年高考练考点直线方程及其应用1.(2020全国Ⅲ,8,5分,)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()A.1B.√2C.√3D.22.(2018北京,7,5分,)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.43.(2016北京,7,5分,)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为()A.-1B.3C.7D.8(x>0)上的一个动点, 4.(2019江苏,10,5分,)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.5.(2016上海,3,4分,)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离.三年模拟练应用实践1.(2020江苏震川高级中学高二月考,)直线2x+3y+6=0关于直线y=x对称的直线方程是()A.3x+2y+6=0B.2x-3y+6=0C.3x+2y-6=0D.3x-2y-6=02.(2020北京人大附中高二期中,)下面三条直线l1:3x+y=4,l2:x-y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形,则m的取值范围是 ()A.{-23} B.{23,-29}C.{-23,23,-29} D.{-23,23,0,-29}3.(2020上海金山中学高二期中,)设直线l的方程是ax+3y-2=0,其倾斜角为α,若α∈(π6,π2)∪(π2,3π4),则a的取值范围为.4.(2020江苏江安高级中学高二期中,)已知三条直线的方程分别为y=0,√3x-y+√3=0,√3x+y-√3=0,那么到三条直线的距离相等的点的坐标为.5.(2020江苏南通通州高级中学高二期中,)在平面直角坐标系xOy中,已知射线OA:x-y=0(x≥0),OB:2x+y=0(x≥0).过点P(1,0)作直线分别交射线OA,OB于点A,B.(1)当AB的中点在直线x-2y=0上时,求直线AB的方程;(2)当△AOB的面积取最小值时,求直线AB的方程;(3)当PA·PB取最小值时,求直线AB的方程.迁移创新6.(2020江苏常州横林高级中学高二期中,)如图,Rt△OAB的直角边OA在x轴上,顶点B 的坐标为(6,8),直线CD交AB于点D(6,3),交x轴于点C(12,0).(1)求直线CD的方程;(2)动点P在x轴上从点(-10,0)出发,以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动,过点P作直线l垂直于x轴,设运动时间为t(单位:秒).①点P在运动过程中,是否存在某个位置,使得∠PDA=∠B?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;②请探索当t为何值时,在直线l上存在点M,在直线CD上存在点Q,使得以OB为一边,O,B,M,Q为顶点的四边形为菱形,并求出此时t的值.1.1~1.5综合拔高练五年高考练1.B解法一:点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=√2+1=√2+1,注意到k2+1≥2k,于是2(k2+1)≥k2+2k+1=|k+1|2,当且仅当k=1时取等号.即|k+1|≤√x2+1·√2,所以d=√≤√2,故点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为√2.故选B.解法二:由题意知,直线l:y=k(x+1)是过点P(-1,0)且斜率存在的直线,点Q(0,-1)到直线l 的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得,此时k=1,最大距离为PQ=√2,故选B.2.C解法一:由点到直线的距离公式得d=√2,cosθ-m sinθ=√1+x2(√x√x),令sinα=√,cosα=√,则cosθ-m sinθ=√1+x2sin(α-θ),∴d≤√2√2=√2√2=1+√2,∴当m=0时,d max=3,故选C.解法二:∵cos2θ+sin2θ=1,∴P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆,又x-my-2=0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线,如图,可得点(-1,0)到直线x=2的距离即为d的最大值.故选C.3.C如图,点P(x,y)在线段AB上且A(2,5),B(4,1),设z=2x-y,则y=2x-z,易知-z为y轴上的截距,则当-z最小时,z最大.由图知当直线y=2x-z经过点B (4,1)时,z 取得最大值,最大值为2×4-1=7. 4.答案 4解析 解法一:设P (x 0,x 0+4x 0),x 0>0,则点P 到直线x +y =0的距离d =|x 0+x 0+4|√2=√2(x 0+2x 0)≥4,当且仅当x 0=2x 0,即x 0=√2时取“=”.故点P 到直线x +y =0的距离的最小值是4.解法二:作直线x +y =0的平行线x +y +C =0(C ≠0)(图略),当直线x +y +C =0与曲线y =x +4x (x >0)相切于点P 时,点P 到直线x +y =0的距离最小,由{x +x +x =0,x =x +4x 得2x 2+Cx +4=0,所以Δ=C 2-32=0,解得C =±4√2.因为x >0,所以y >0,所以C <0,所以C =-4√2,故点P 到直线x +y =0的距离的最小值是√2=4.5.答案2√55解析 利用两平行线间距离公式得l 1,l 2的距离d =√22=2√55.三年模拟练1.A 直线2x +3y +6=0与坐标轴的交点分别为A (0,-2),B (-3,0), 设点A (0,-2)关于直线x -y =0的对称点为A 1(x 1,y 1),则{x 1-(-2)x 1-0=-1,x 12--2+x12=0,解得{x 1=-2,x 1=0,即A 1(-2,0),同理求得点B (-3,0)关于直线x -y =0的对称点为B 1(0,-3), 所以x x 1x 1=-32,所以直线A 1B 1的方程为y =-32(x +2),即3x +2y +6=0,所以直线2x +3y +6=0关于直线y =x 对称的直线方程为3x +2y +6=0. 故选A .2.C 由{3x +x =4,x -x =0解得{x =1,x =1,即直线l 1与l 2的交点为M (1,1),因为直线l 1:3x +y =4,l 2:x -y =0,l 3:2x -3my =4不能构成三角形, 所以l 3过点M ,或l 3与l 1或l 2平行, 若l 3过点M ,则2-3m =4,解得m =-23;若l 3∥l 1,则23x =-3,解得m =-29; 若l 3∥l 2,则23x =1,解得m =23. 综上,m 的可能取值为-23,23,-29. 故选C .3.答案 a <-√3或a >3解析 由ax +3y -2=0得y =-x 3x +23, 所以tan α=-x3, 因为α∈(π6,π2)∪(π2,3π4),所以tan α>√33或tan α<-1, 所以-x 3>√33或-x3<-1,所以a <-√3或a >3.4.答案 (0,-√3),(0,√33),(2,√3),(-2,√3)解析 如图所示,三条直线两两相交,交点为A (0,√3),B (1,0),C (-1,0),∠CAB 的平分线AO :x =0(y ≤√3)和∠ACB 的平分线CD :y =√33(x +1)(x ≥-1)的交点到三条直线的距离相等,联立{x =0,x =√33(x +1),得交点为(0,√33);∠ACB 的外角平分线CE :y =-√3(x +1)(x ≥-1)和∠ABC 的外角平分线BF :y =√3(x -1)(x ≤1)的交点到三条直线的距离相等,联立{x =-√3(x +1),x =√3(x -1),得交点为(0,-√3);∠ACB 的外角平分线CG :y =-√3(x +1)(x ≤-1)和∠CAB 的外角平分线AG :y =√3(x ≤0)的交点到三条直线的距离相等,联立{x =-√3(x +1),x =√3,得交点为(-2,√3);∠ABC 的外角平分线BH :y =√3(x -1)(x ≥1)和∠CAB 的外角平分线AH :y =√3(x ≥0)的交点到三条直线的距离相等,联立{x =√3(x -1),x =√3,得交点为(2,√3).故答案为(0,-√3),(0,√33),(2,√3),(-2,√3).5.解析 (1)设A (x 1,x 1),B (x 2,-2x 2),则AB 的中点坐标为(x 1+x 22,x 1-2x 22),因为AB 的中点在直线x -2y =0上, 所以x 1+x 22-2×x 1-2x 22=0,即x 1=5x 2,所以直线AB 的斜率k =x 1+2x 2x 1-x 2=7x 24x 2=74, 所以直线AB 的方程为y =74(x -1),即7x -4y -7=0. (2)设直线AB 的方程为x =my +1, 易知m ≠1,且m ≠-12. 联立{x =xx +1,x -x =0,解得x =y =11-x , 所以A (11-x,11-x)(m <1),联立{x =xx +1,2x +x =0,解得x =12x +1,y =-22x +1,所以B (12x +1,-22x +1)(x >-12),所以S △AOB =S △AOP +S △BOP =12×OP ×(11-x +22x +1)=12-2x +12x +1, 因为2-2m >0,2m +1>0, 所以12-2x +12x +1=(12-2x +12x +1)×2-2x +2x +13=13(1+1+2x +12-2x +2-2x2x +1)≥13(2+2√2x +12-2x ×2-2x2x +1)=43,当且仅当m =14时,等号成立,所以S △AOB 的最小值为43,此时m =14,直线AB 的方程为x =14y +1,即4x -y -4=0. (3)由(2)知,m ∈(-12,1),PA =√(11-x -1)2+(11-x )2=√x 2+11-x ,PB =√(12x +1-1)2+(-22x +1)2=2√x 2+12x +1,所以PA ·PB =√x 2+11-x×2√x 2+12x +1=2x 2+2-2x 2+x +1=2(x 2+1)-2(x 2+1)+x +3=2-2+x +3x 2+1,令m +3=t ∈(52,4),则x +3x 2+1=x(x -3)2+1=x x 2-6x +10=1x +10x -6≤2√x ·x-6=2√10-6,当且仅当t =√10,即m =√10-3时,x +3x 2+1取得最大值,PA ·PB 取得最小值,此时直线AB 的方程为x =(√10-3)y +1,即x -(√10-3)y -1=0. 思路点拨(1)设A (x 1,x 1),B (x 2,-2x 2),根据AB 的中点在直线x -2y =0上求出x 1=5x 2,利用斜率公式求出直线AB 的斜率,再由点斜式可求出直线AB 的方程;(2)设直线AB 的方程为x =my +1,求出A ,B 的坐标,利用S △AOB =S △AOP +S △BOP 求出面积关于m 的解析式,再根据基本不等式求最值可得m 和直线AB 的方程;(3)利用(2)中A ,B 的坐标求出PA 、PB ,得到PA ·PB 关于m 的函数关系式,再换元,利用基本不等式求出PA ·PB 取最小值时的m ,从而可得直线AB 的方程. 6.解析 (1)由题知直线CD 过点C (12,0),D (6,3), ∴直线方程为x -0x -12=3-06-12,即x +2y -12=0. (2)①如图1,作DP ∥OB ,则∠PDA =∠B , 由DP ∥OB ,得xx xx =xxxx , 即xx 6=38,∴PA =94,∴OP =6-94=154, ∴点P (154,0).根据对称性知,当AP =AP'时,∠P'DA =∠B ,P'(334,0), ∴满足条件的点P 的坐标为(154,0)或(334,0). ②如图2,当OP =OB =10时,作PQ ∥OB 交直线CD 于Q , 易知直线OB 的解析式为y =43x , 直线PQ 的解析式为y =43x +403,由{x =43x +403,x +2x -12=0解得{x =-4,x =8,∴Q (-4,8),∴PQ =√(-10+4)2+(0-8)2=10,∴PQ =OB ,∴四边形OPQB 是平行四边形, 又OP =OB ,∴平行四边形OPQB 是菱形. 此时点M 与点P 重合,且t =0. 如图3,当OQ =OB 时, 设Q (x ,-12x +6),则有m 2+(-12x +6)2=102, 解得m =12±4√895,∴点Q 的横坐标为12+4√895或12-4√895.设M 的横坐标为a , 则x +02=12+4√895+62或x +02=12-4√895+62,解得a =42+4√895或a =42-4√895.又点P 是从点(-10,0)开始运动, 则满足条件的t 的值为92+4√895或92-4√895.如图4,当Q 点与C 点重合时,M 点的横坐标为6,此时t =16. 综上,满足条件的t 值为0,16,92+4√895,92-4√895.。

1.1一次函数的图象与直线的方程1.2直线的倾斜角、斜率及其关系1.若直线经过O(0,0),A(1,√3)两点,则直线OA的倾斜角为()A.π6B.π3C.π4D.π22.已知直线l经过A(1,2),B(3,5),则直线l的一个方向向量为()A.(2,3)B.(3,2)C.(1,5)D.(-3,2)3.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1,则m的值是()A.5B.8C.132D.74.一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为()A.αB.180°-αC.180°-α或90°-αD.90°+α或90°-α5.若三点A(2,3),B(3,2),C12,m共线,则实数m的值为()A.2B.72C.92D.1126.a,b,c是两两不等的实数,则经过P(b,b+c),C(a,c+a)两点直线的倾斜角为.7.在平面直角坐标系中,正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0,则AC,AB所在直线的斜率之和为.8.直线l的一个方向向量d=(3,√3),则直线l的倾斜角是,直线的斜率是.9.已知点A(1,2),在坐标轴上求一点P使直线PA的倾斜角为60°.能力达标10.(2020江苏启东中学高二期中)已知直线l经过两点O(0,0),A(1,√3),直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍,则直线m的斜率是()A.-√3B.-√33C.√33D.√311.(2020山东菏泽期中)经过A (0,2),B (-1,0)两点的直线的方向向量为(1,λ),则λ=( ) A.1 B.2C.12D.1312.若a=ln21,b=ln32,c=ln54,则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c13.(2020湖南长郡中学高二月考)直线l 经过A (2,1),B (1,m 2)(m ∈R )两点,那么直线l 的倾斜角的取值范围为( ) A.[0,p ) B.0,π4∪34π,π C.0,π4D.0,π4∪π2,π14.(多选题)直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,√3)为端点的线段有公共点,则直线l 的斜率可能是( ) A.-2B.12C.1D.√315.若直线l 与y 轴的夹角为60°,则直线l 的倾斜角为 ,斜率为 .16.已知过点(-√3,1)和点(0,b )的直线l 的倾斜角为α,α满足30°≤α≤60°,则b 的取值范围为 .17.已知两点A (-3,4),B (3,2),过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点. (1)求直线l 的斜率k 的取值范围; (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围. 解如图所示,由题意可知 19.如图所示,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,一边在x轴的正半轴上,已知∠BOD=60°,求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.1.若直线经过O(0,0),A(1,√3)两点,则直线OA的倾斜角为()A.π6B.π3C.π4D.π2答案B解析设直线OA的倾斜角为α,α∈[0,π),则tan α=√3-01-0=√3,∴α=π3.2.已知直线l经过A(1,2),B(3,5),则直线l的一个方向向量为()A.(2,3)B.(3,2)C.(1,5)D.(-3,2)答案A解析∵直线经过A(1,2),B(3,5),∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3-1,5-2)=(2,3),∴直线l的一个方向向量为(2,3).3.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1,则m的值是()A.5B.8C.132D.7答案C解析由斜率公式可得8-mm-5=1,解得m=132.4.一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为()A.αB.180°-αC.180°-α或90°-αD.90°+α或90°-α答案D解析如图,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°+α;当l向上方向的部分在y 轴右侧时,倾斜角为90°-α.故选D.5.若三点A(2,3),B(3,2),C12,m共线,则实数m的值为()A.2B.72C.92D.112答案C解析根据斜率公式得k AB=-1,k AC=6-2m3, ∵A,B,C三点共线,∴k AB=k AC,∴6-2m3=-1,∴m=92.6.a,b,c是两两不等的实数,则经过P(b,b+c),C(a,c+a)两点直线的倾斜角为.答案45°解析由题意知,b≠a,所以k=c+a-(b+c)a-b=1,故倾斜角为45°.7.在平面直角坐标系中,正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0,则AC,AB所在直线的斜率之和为.答案0解析如图,易知k AB=√3,k AC=-√3,则k AB+k AC=0.8.直线l 的一个方向向量d =(3,√3),则直线l 的倾斜角是 ,直线的斜率是 . 答案π6√33解析d =(3,√3)=31,√33,设c =1,√33,则d ∥c .由向量d =(3,√3)是直线l 的一个方向向量,得c =1,√33也为直线l 的一个方向向量,则直线l 的斜率为√33,所以倾斜角为π6. 9.已知点A (1,2),在坐标轴上求一点P 使直线PA 的倾斜角为60°. 解当点P 在x 轴上时,设点P (a ,0),∵A (1,2),∴k PA =0-2a -1=-2a -1. 又∵直线PA 的倾斜角为60°,∴tan 60°=-2a -1,解得a=1-2√33. ∴点P 的坐标为1-2√33,0.当点P 在y 轴上时,设点P (0,b ). 同理可得b=2-√3,∴点P 的坐标为(0,2-√3). 综上所述,点P 的坐标为1-2√33,0或(0,2-√3). 能力达标10.(2020江苏启东中学高二期中)已知直线l 经过两点O (0,0),A (1,√3),直线m 的倾斜角是直线l 的倾斜角的两倍,则直线m 的斜率是( )A.-√3B.-√33C.√33D.√3答案A解析依题意k OA =√3-01-0=√3,所以直线l 的倾斜角为π3,所以直线m 的倾斜角为2π3,所以直线m 的斜率为tan 2π3=-√3.故选A .11.(2020山东菏泽期中)经过A (0,2),B (-1,0)两点的直线的方向向量为(1,λ),则λ=( ) A.1 B.2C.12D.13答案B解析经过A (0,2),B (-1,0)两点的直线的方向向量为(1,λ),∴2-00-(-1)=λ1, 解得λ=2. 故选B . 12.若a=ln21,b=ln32,c=ln54,则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c答案B 解析lnxx -1=lnx -0x -1表示函数y=ln x 图象上的点(x ,y )与点D (1,0)连线的斜率,如图所示.令a=k DA ,b=k DB ,c=k DC ,由图知k DC <k DB <k DA ,即c<b<a.13.(2020湖南长郡中学高二月考)直线l 经过A (2,1),B (1,m 2)(m ∈R )两点,那么直线l 的倾斜角的取值范围为( ) A.[0,p )B.0,π4∪34π,πC.0,π4 D.0,π4∪π2,π答案D解析直线l 的斜率为k=y 1-y 2x 1-x 2=1-m 22-1=1-m 2,因为m ∈R ,所以k ∈(-∞,1],所以直线的倾斜角的取值范围是0,π4∪π2,π.故选D.14.(多选题)直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,√3)为端点的线段有公共点,则直线l 的斜率可能是( ) A.-2 B.12C.1D.√3答案ACD解析当直线l 过点B 时,设直线的斜率为k 1,则k 1=√3-00-1=-√3,当直线l 过点A 时,设直线的斜率为k 2,则k 2=1-02-1=1,故直线l 的斜率的取值范围为k ≥1或k ≤-√3,故选ACD.15.若直线l 与y 轴的夹角为60°,则直线l 的倾斜角为 ,斜率为 . 答案30°或150°√33或-√33解析如图所示,若直线为l 1,则直线的倾斜角为α1,α1=90°+60°=150°,tan α1=k 1=-√33,若直线为l 2,则直线的倾斜角为α2,α2=90°-60°=30°,k 2=tan α2=tan 30°=√33.16.已知过点(-√3,1)和点(0,b )的直线l 的倾斜角为α,α满足30°≤α≤60°,则b 的取值范围为 . 答案[2,4]解析设直线l 的斜率为k ,∵30°≤α≤60°,∴√33≤tan α≤√3, ∴√33≤k ≤√3. 又k=√3,∴√33≤√3≤√3,解得2≤b ≤4.17.已知两点A (-3,4),B (3,2),过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点. (1)求直线l 的斜率k 的取值范围; (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围. 解如图所示,由题意可知k PA =4-0-3-1=-1,k PB =2-03-1=1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤-1或k ≥1. (2)由题意可知,直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间,又PB 的倾斜角是45°,PA 的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°.18.点M (x ,y )在函数y=-2x+8的图象上,当x ∈[2,5]时,求y+1x+1的取值范围. 解y+1x+1=y -(-1)x -(-1)的几何意义是过M (x ,y ),N (-1,-1)两点的直线的斜率.∵点M 在函数y=-2x+8的图象上,且x ∈[2,5], ∴点M 在线段AB 上运动,且A (2,4),B (5,-2).设直线NA ,NB 的斜率分别为k NA ,k NB .∵k NA =53,k NB =-16, ∴-16≤y+1x+1≤53.∴y+1x+1的取值范围是-16,53. 19.如图所示,菱形OBCD 的顶点O 与坐标原点重合,一边在x 轴的正半轴上,已知∠BOD=60°,求菱形OBCD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 解在菱形OBCD 中,OD ∥BC ,∠BOD=60°,所以直线OD ,BC 的倾斜角相等,都为60°,所以斜率k OD =k BC =tan 60°=√3;∵CD ∥OB ,且OB 在x 轴上,所以直线OB ,CD 的倾斜角相等,都为0°, 所以斜率k OB =k CD =0; 由菱形的性质知,∠COB=12×60°=30°,∠OBD=60°,所以直线OC ,BD 的倾斜角分别为30°,120°,所以两条对角线的斜率分别为:k OC =tan 30°=√33,k BD =tan 120°=-√3.。

直线的方程1.过原点作一条直线，使它与直线x -y +12=0，2x +y +9=0围成的三角形面积为23面积单位，求这条直线的方程.2.已知直线l 过点p (3,2)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求△AOB 面积最小时l 的方程.3.求经过P （3 -4），且横纵截距相等的直线方程.4.直线L 经过M （3 -2）点，且和X 轴，Y 轴正方向所围成的三角形的面积为4（平方单位），求L 的方程.5.求过直线4x －2y －1=0与直线x －2y +5=0的交点且与两点P 1（0，4）、P 2(2,0)距离相等的直线方程.6.求直线x －y －2=0关于直线3x －y +3=0对称的直线方程.7.已知直线l 在y 轴上的截距为－3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程. 8.已知直线l 与直线3x +4y －7=0的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程.9.△ABC 的三个顶点为A (0，4)、B (－2,6)、C (8，2)，求此三角形各边上中线所在直线的方程. 10.过点(4，－3)的直线l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线l 的方程. 11.直线l 过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程.12.在ABC ∆中，BC 边上的高所在直线的方程为A y x ∠=+-,012的平分线所在直线的方程为,0=y 如果点B 的坐标为（1，2），求边长BC 的长.13.已知直线x y l 4:=和点P （6，4），在直线l 上求一点Q ，使过PQ 的直线与直线l 及x 轴在第一象限内围成的三角形的面积最小.14.已知直线082:,0103:21=-+=+-y x l y x l ，定点)1,0(p ，直线l 过点p 和21,l l 分别交于B A ,两点，且p 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.15.△ABC 的顶点B (3,4)，AB 边上的高CE 所在直线方程为2x +3y -16=0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x -3y +1=0，求AC 的长.16.使三条直线4x+y =4,mx+y =0,2x －3my =4不能围成三角形的m 值最多有几个?17.一直线被两直线l 1：４x ＋y ＋6＝0，l 2：3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.18.已知点P (x 1,y 1)在直线l :Ax +By +C =0(B ＜0)的上方，求证：Ax 1＋By 1＋C ＜0.19.一直线l 经过点P (-4,3),分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，且使AP ：PB =5：3,求直线l 的方程. 20.一根弹簧，挂5公斤的物体时，长10cm ，挂8公斤的物体时长16cm ，已知弹簧长度l (cm)和所挂物体的重量W (公斤)的关系可以用直线方程来表示，用两点式表示这个方程，并且根据这个方程，求弹簧长为12cm 时所挂物体的重量.21.设同在一条平面上的动点P 、Q 的坐标分别是()y x ,、()Y X ,，并且坐标间存在关系,,123,123+-=-+=y x Y y x X当动点P 不在平行于坐标轴的直线l 上移动时，动点Q 在这条直线l 垂直且通过点()1,2的直线上移动，求直线l 的方程.22.若R ∈m ，则直线0)11()3()12(=--++-m y m x m 是否恒过定点，若过请求出定点的坐标.若不过，请说明理由.23.过点P (2，1）作直线l 交x ，y 正半轴于AB 两点，当｜PA ｜·｜PB ｜取到最小值时，求直线l 的方程.24.已知过原点O 的一条直线与函数y ＝log ８x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图象交于C 、D 两点.(1)求证点C 、D 和原点O 在同一条直线上.(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.25.已知一直线l 被两平行线3x ＋４y －7＝0和3x ＋４y ＋８＝0所截线段长为32，且l 过点(2，3)，求l 的方程.参考答案1.所求的直线方程为x y x y 212523-=-=或 2.直线l 的方程为01232=-+y x3. x y 34-= 01=++y x4. 042=-+y x5. 3x －2y +1=0和4x +2y －15=06. 7x+y +22=07. y =±43x －3 8. 3x +4y ±24=0. 9. x +3y －14=0,x +2y －10=0,y =4 10. x －y －7=0或x+y －1=0或3x +4y=0. 11. 2x +y -4=0和x +y -3=0. 12. 54 13. Q （2，8） 14.044=-+y x 15. 17)12()15(22=-+-=AC 16. 4 17.直线l 的方程为x ＋6y ＝0. 18.略 19. 9x -20y +96=0 20.弹簧长为12cm 时所挂物体的重量为6公斤 21. 0123=--y x 或.0182=-+y x22.过定点)3,2(- 23.直线l 的方程为：x ＋y －3＝024. A坐标为(3，log８3).25. x－7y＋19＝0或7x＋y－17＝0.。

直线的一般式方程基础过关练题组一直线的一般式方程1.(多选)(2020江苏镇江中学高二月考)下列说法中正确的是()A.平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)表示B.当C=0时,方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)表示的直线过原点C.当A=0,B≠0,C≠0时,方程Ax+By+C=0表示的直线与x轴平行D.任何一条直线的一般式方程都能与其他形式互化2.(2020江苏南京燕子矶中学高二月考)在平面直角坐标系中,直线x+y-3=0的倾斜角α是()A.π6B.π4C.5π6D.3π43.直线l:x sin30°-y cos30°+1=0的斜率是()A.√33B.√3 C.-√3 D.-√334.(2020江苏无锡辅仁高级中学高二月考)直线2x-y+1=0在x轴上的截距是()A.1B.-1C.-12D.125.(2020江苏常州洛阳高级中学高二阶段测试)若方程mx+(m2-m)y+1=0表示一条直线,则实数m的取值范围是.6.(2020江苏连云港东海石榴高级中学高二月考)根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式.(1)斜率是√3,且经过点A(5,3);(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;(4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1.题组二直线方程几种形式的相互转化及其应用7.(2020江苏盐城伍佑中学高二期中)若ac<0,bc<0,则直线ax+by+c=0可能是 ()8.(2020重庆杨家坪中学高二期中)已知直线(2a+1)x+ay-2=0在两坐标轴上的截距相等,则实数a= ()A.-13B.1 C.-13或-1 D.-19.(2020江苏太仓高级中学高二月考)直线kx+y+2=-k,当k变化时,所有的直线都过点.10.直线Ax+By+C=0的斜率为5,且A-2B+3C=0,则直线的方程是.11.(2020江苏扬州邗江中学高二月考)若直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R)不经过第四象限,则k 的取值范围为.12.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=-2m+6,根据下列条件分别确定m的值.(1)直线l在x轴上的截距为-3;(2)直线l的倾斜角为45°.能力提升练题组一 直线的一般式方程及其应用 1.()直线x +(a 2+1)y +1=0的倾斜角的取值范围是( )A.[0,π4] B.[0,π2)∪[3π4,π)C.(π2,π) D.[3π4,π)2.(2020江苏宿迁泗洪中学高二月考,)已知直线Ax +By +C =0不经过第一象限,且A ,B ,C 均不为零,则有 ( )A.C <0B.C >0C.BC >0D.BC <0 3.(2020江苏丹阳高级中学高二期中,)已知m ≠0,直线ax +3my +2a =0在y 轴上的截距为2,则直线的斜率为( )A.1B.-13C.-23D.2 4.()直线l 1:(2m 2-5m +2)x -(m 2-4)y +5=0的斜率与直线l 2:x -y +3=0的斜率相同,则m = .5.(2020江苏宿豫中学高二期中,)过点A (-2,√3)且与直线x -√3y +5=0成60°的直线的一般式方程是 .6.(2020江苏南京师范大学附属中学高一期中,)若直线l :x -(m +1)y +3m -2=0(m ∈R)在x轴,y 轴上的截距相等,则直线l 的方程为 . 7.(2020江苏连云港板浦高级中学高二月考,)已知直线l 的方程为x -√3y +√3=0.若直线l 1与l 在y 轴上的截距相等,且l 1的倾斜角是l 的倾斜角的2倍,求直线l 1的一般式方程.题组二直线的一般式方程的应用8.(多选)(2020广东深圳高二月考,)已知直线l:mx+y+1=0,则下列结论正确的是()A.直线l恒过定点(0,1)B.当m=0时,直线l的斜率不存在C.当m=1时,直线l的倾斜角为3π4D.当m=2时,直线l的斜率为-29.(2020江苏江都中学高一月考,)已知直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y-a=0,则它们的图象可能为()10.(2020江苏阜宁第一高级中学月考,)若直线(m2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限,则实数m的取值范围是.11.(2020江苏仪征中学高二期中,)点P(x,y)在第一象限内,且点P在直线l:3x+2y=6上移动,则xy的最大值是.12.(2020江苏邳州运河中学高二期中,)已知直线l过点(2,1),且在x轴,y轴上的截距相等.(1)求直线l的一般式方程;(2)若直线l在x轴,y轴上的截距均不为0,点P(a,b)在直线l上,求3a+3b的最小值.13.(2020江苏溧阳中学高二期中,)在平面直角坐标系中,过点P(3,1)作直线l分别与x 轴正半轴、y轴正半轴交于点A,B.(1)若AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线l的一般式方程;(2)求当AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时直线l的方程.答案全解全析 基础过关练1.ABC 易知选项A 正确.对于选项B,当C =0时,方程Ax +By +C =0(A ,B 不全为0),即Ax +By =0,显然有A ×0+B ×0=0,即直线过原点O (0,0),故此说法正确.对于选项C,当A =0,B ≠0,C ≠0时,方程Ax +By +C =0可化为y =-AA ,它表示的直线与x 轴平行,故此说法正确.对于选项D,说法错误.例如,当B =0时,方程Ax +By +C =0不能化为斜截式. 故选ABC.2.D 易知直线的斜率k =-1,所以tan α=-1(0≤α<π),所以直线的倾斜角为3π4.故选D.3.A 由直线l 的方程x sin30°-y cos30°+1=0,得斜率为sin30°cos30°=tan30°=√33.故选A .4.C 令y =0,得x =-12,所以直线2x -y +1=0在x 轴上的截距是-12.故选C. 5.答案 m ≠0解析 要使得mx +(m 2-m )y +1=0表示一条直线,则m ,m 2-m 不全为零, 即{A ≠0,A 2-A ≠0,解得m ≠0.6.解析 (1)由直线的点斜式方程,得y -3=√3(x -5),即√3x -y -5√3+3=0. (2)由直线的斜截式方程,得y =4x -2,即4x -y -2=0. (3)由直线的两点式方程,得A -5-1-5=A -(-1)2-(-1),即2x +y -3=0. (4)由直线的截距式方程,得A -3+A-1=1,即x +3y +3=0. 7.C 由题意知,直线方程可化为y =-A A x -AA , ∵ac <0,bc <0,∴ab >0,∴-A A <0,-A A>0, 故直线的斜率小于0,在y 轴上的截距大于0. 故选C.8.D 易知直线不过原点,且2a +1和a 均不为0. 令x =0,得y =2A ;令y =0,得x =22A +1.因为直线(2a +1)x +ay -2=0在两坐标轴上的截距相等, 所以2A =22A +1,解得a =-1.故选D.9.答案 (-1,-2)解析 kx +y +2=-k 可化为y +2=-k (x +1),根据直线的点斜式方程可知,此直线恒过点(-1,-2). 10.答案 15x -3y -7=0解析 直线Ax +By +C =0化为斜截式方程为y =-A A x -A A ,所以-AA =5,即A =-5B ,① 将①代入A -2B +3C =0,可得C =73B ,② 将①②代入直线方程,得-5Bx +By +73B =0,消去B ,化简可得15x -3y -7=0, 故直线的方程是15x -3y -7=0. 11.答案 [0,+∞)解析 因为kx -y +1+2k =0可化为y -1=k (x +2),所以直线l 过定点(-2,1), 而(-2,1)为第二象限中的点,且直线l 不经过第四象限,故斜率k ≥0. 12.解析 (1)由题意得{A 2-2A -3≠0,-2A +6A 2-2A -3=-3,解得{A ≠3且A ≠-1,A =-13,所以m =-13.故当m =-13时,直线l 在x 轴上的截距为-3. (2)由题意得{2A 2+A -1≠0,-A 2-2A -32A 2+A -1=1,解得{A ≠12且A ≠-1,A =43,所以m =43.故当m =43时,直线l 的倾斜角为45°.能力提升练1.D 设直线的斜率为k ,则k =-1A 2+1,∴-1≤k <0,∴倾斜角的取值范围是[3π4,π).2.C ∵直线Ax +By +C =0不经过第一象限,且A ,B ,C 均不为零, ∴-A A <0,-A A<0,即AB >0,BC >0.故选C.3.A 令x =0,得y =-2A 3A ,因为直线在y 轴上的截距为2,所以-2A3A =2,所以a =-3m ,原直线化为-3mx +3my -6m =0,所以斜率k =1.故选A . 4.答案 3解析 易知m ≠±2.直线l 1的斜率为2A 2-5A +2A 2-4,直线l 2的斜率为1,则2A 2-5A +2A 2-4=1,即2m 2-5m +2=m 2-4,即m 2-5m +6=0,所以m =3. 5.答案 x =-2或x +√3y -1=0解析 由直线方程x -√3y +5=0,可得此直线的斜率为√33,倾斜角为30°, 则与该直线成60°的直线的倾斜角为90°或150°, 又所求直线过点A (-2,√3),所以所求直线方程为x =-2或y -√3=-√33(x +2), 化为一般式可得所求直线方程为x =-2或x +√3y -1=0, 故答案为x =-2或x +√3y -1=0 6.答案 x +y -8=0或3x -5y =0解析 由已知得m +1≠0,即m ≠-1.对于直线l :x -(m +1)y +3m -2=0,当直线l 不经过原点时,令y =0,可得x =-3m +2,令x =0,可得y =3A -2A +1,因为直线在x 轴,y 轴上的截距相等,所以3A -2A +1=-3m +2,解得m =-2(A =23舍去),故直线l 的方程为x +y -8=0.当直线l 经过原点时,3m -2=0,解得m =23,故直线l 的方程为3x -5y =0. 综上,所求直线l 的方程为x +y -8=0或3x -5y =0.7.解析 直线l 的方程为x -√3y +√3=0,令x =0,解得y =1,则直线l 在y 轴上的截距为1,∵直线l 1与l 在y 轴上的截距相等,∴直线l 1在y 轴上的截距为1. 设l 的倾斜角为θ,则tan θ=√33,θ∈[0,π),∴θ=π6.∵l 1的倾斜角是l 的倾斜角的2倍,∴l 1的倾斜角为2θ,∴tan2θ=tan π3=√3, ∴直线l 1的方程为y =√3x +1,即√3x -y +1=0.8.CD 直线l :mx +y +1=0,令x =0,得y =-1,∴直线l 恒过定点(0,-1),故选项A 错误; 当m =0时,直线l :y +1=0,斜率k =0,故选项B 错误; 当m =1时,直线l :x +y +1=0,斜率k =-1,倾斜角为3π4,故选项C 正确;当m =2时,直线l :2x +y +1=0,斜率k =-2,故选项D 正确. 故选CD.9.D 由直线l 1:ax -y +b =0,l 2:bx -y -a =0,可得l 1:y =ax +b ,l 2:y =bx -a.依次分析各选项中l 1和l 2的斜率和在y 轴上的截距.对于A,l 1中a >0,b >0,l 2中b <0,a <0,不符合题意; 对于B,l 1中a >0,b <0,l 2中b >0,a <0,不符合题意; 对于C,l 1中a <0,b >0,l 2中b <0,a <0,不符合题意; 对于D,l 1中a <0,b >0,l 2中b >0,a <0,符合题意.故选D. 10.答案 [12,1]解析 将直线方程化为y =(m 2-1)x +(1-2m ).因为直线不过第一象限,所以{A 2-1≤0,1-2A ≤0,解得12≤m ≤1.11.答案 32解析 ∵点P (x ,y )在第一象限内, ∴x >0,y >0,又∵点P 在直线l :3x +2y =6上移动, ∴6=3x +2y ≥2√6AA ,当且仅当3x =2y =3,即x =1,y =32时等号成立,∴xy ≤32,即xy 的最大值是32.12.解析 (1)①截距为0时,易得直线方程为y =12x ,即x -2y =0;②截距不为0时,设直线方程为A A +AA =1,代入(2,1),得t =3,则直线l 的方程为x +y -3=0. 综上,直线l 的一般式方程为x -2y =0或x +y -3=0.(2)由题意得l 的方程为x +y -3=0,∵点P (a ,b )在直线l 上,∴a +b =3,∴3a+3b≥11 2√3A ·3A =2√3A +A =6√3,当且仅当a =b =32时等号成立,∴3a +3b 的最小值是6√3.13.解析 设A (a ,0),B (0,b ),a >0,b >0.(1)∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(3-a ,1)=12(-3,b -1),即{3-A =-32,1=A -12,解得{A =92,A =3,∴直线l 的方程为A 92+A 3=1,即2x +3y -9=0. (2)∵A ,P ,B 三点共线,∴13-A =1-A 3,整理得3A +1A =1,∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3-a ,1)·(-3,b -1) =3a +b -10=(3a +b )(3A +1A )-10=3A A +3A A ≥2√3A A ×3A A =6,当且仅当3A A =3A A ,即a =b =4时等号成立. ∴直线l 的方程为A 4+A 4=1,即x +y -4=0.。

高二数学 上学期直线的方程例题〔一〕A (1,2),且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是4,求这条直线的方程.解:由,可设直线方程为1=+by a x 又因直线过点A (1,2),所以121=+b a 所求直线与两坐标轴正半轴相交,故.421,0,0=ab b a 且 ⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==+∴42(2) 8(1) 121b a ab b a 解得 ∴所求直线方程为142=+y x 即042=-+y x . 0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得的线段的中点,恰好是坐标原点,求该直线方程.解:设所求直线与1l 、2l 的交点分别是A 、B ，设A 〔x 0,y 0〕因为A 、B 分别在1l 、2l 上，所以⎩⎨⎧=-+-=++(2)0653(1) 0640000y x y x ①+②得：,0600=+y x 即点A 在直线06=+y x 上，又直线06=+y x 过原点，所以直线l 的方程为：06=+y x例3．直线的斜率为61，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求该直线的方程. 说明：由题意知所围三角形为直角三角形，而根据直角三角形面积公式，直线方程应设为截距式较好.解:设直线方程为1=+by a x ∵直线斜率61=k ,∴61=-a b . 又,321=ab 解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=1616b a b a 或所求直线方程为：066066=--=+-y x y x 或例3．过点P 〔2，1〕作直线l 交x ，y 正半轴于A 、B 两点，当PB PA ⋅取到最小值时，求直线l 的方程. 解:设直线l 的方程为)2(1-=-x k y ,分别令00==x y 和得)21,0(),0,12(k B kA -- 4248)1(48)44)(11(2222=⨯+≥++=++=⋅∴kk k k BP AP 当且仅当PB PA k k ⋅±==,112时即取到最小值4.又1,0-=∴k k所以直线l 的方程为:03=-+y x说明:此题在求解过程中运用了根本不等式,同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除1=k 这一情形.A (1,4)是纵横截距的绝对值相等的直线一共有( )条说明:此题应注意直线方程截距式的适用前提是横、纵截距都存在且都不为零，同时注意体会分类讨论思想。

第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1．1 倾斜角与斜率【知识点归纳】1.直线的倾斜角：2.直线的斜率：3.直线的斜率公式：【典型例题】题型 一 求直线的倾斜角例 1 已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为( ).A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°变式训练：设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l ，则1l 的倾斜角为( )。

A.45α+︒B.135α-︒C.135α︒-D.当0°≤α＜135°时为45α+︒，当135°≤α＜180°时，为135α-︒题型 二 求直线的斜率例 2如图所示菱形ABCD 中∠BAD =60°，求菱形ABCD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.变式训练： 已知过两点22(2,3)A m m +-,2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值.题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系例3右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( ).A .k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2 C.k 3＜k 2＜k 1 D.k 1＜k 3＜k 2拓展 一 三点共线问题例4 已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．变式训练:若三点P (2，3)，Q (3，a )，R (4，b )共线，那么下列成立的是( ).A ．4,5a b ==B ．1b a -=C ．23a b -=D ．23a b -=拓展 二 与参数有关问题例 5 已知两点A (-2,- 3) ,B (3,0) ,过点P (-1,2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.变式训练：已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.拓展 三 利用斜率求最值例 6 已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求y x 的最大值与最小值。

直线与方程练习题高二直线与方程是高二数学中的重要内容，掌握直线与方程的相关知识对于解决各种问题具有重要作用。

下面是一些直线与方程的练习题，帮助你巩固相关知识点。

题目一：已知直线L1过点A(-1, 3)和点B(5, -1)，直线L2垂直于直线L1且过点B，求L2的方程。

解析：直线L1的斜率为：m1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (-1 - 3)/(5 - (-1)) = -1直线L2的斜率为直线L1的斜率的倒数，即：m2 = -1/m1 = -1/-1 = 1直线L2通过点B(5, -1)，带入直线方程y = mx + b中，可得：-1 = 1*5 + bb = -6所以直线L2的方程为：y = x - 6题目二：已知直线L1过点C(2, 3)和点D(4, 7)，直线L2平行于直线L1且通过点D，求L2的方程。

解析：直线L1的斜率为：m1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (7 - 3)/(4 - 2) = 2直线L2为平行于直线L1，故斜率也为2，直线L2通过点D(4, 7)，带入直线方程y = mx + b中，可得：7 = 2*4 + bb = -1所以直线L2的方程为：y = 2x - 1题目三：已知直线L1经过点E(2, -1)和点F(6, 5)，直线L2与直线L1垂直且过点E，求L2的方程。

解析：直线L1的斜率为：m1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (5 - (-1))/(6 - 2) = 1直线L2的斜率为直线L1的斜率的倒数，即：m2 = -1/m1 = -1/1 = -1直线L2通过点E(2, -1)，带入直线方程y = mx + b中，可得：-1 = -2 + bb = 1所以直线L2的方程为：y = -x + 1题目四：已知直线L1经过点G(3, 2)和点H(7, 6)，直线L2与直线L1平行且通过点H，求L2的方程。

解析：直线L1的斜率为：m1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (6 - 2)/(7 - 3) = 1直线L2为平行于直线L1，故斜率也为1，直线L2通过点H(7, 6)，带入直线方程y = mx + b中，可得：6 =7 + bb = -1所以直线L2的方程为：y = x - 1通过以上练习题，可以看出掌握直线与方程的相关知识对于解题非常关键。

高二数学直线与方程典型习题教师版（1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。

②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0③倾斜角α的范围000180α≤<（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在.记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在. ②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=- ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.（3）求斜率的一般方法： ①已知直线上两点，根据斜率公式212121()y y k x x x x -=≠-求斜率； ②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率；（4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。

【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.（2）线段的中点坐标公式【知识点四 直线的交点坐标与距离】（1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=两条直线的交点坐标就是方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解。

直线的方程一、兴趣导入（Topic-in ）:.弟弟上历史课的时候，老师问他：“路易十四是谁？” 他答：“路易十四不就是路易十加路易四吗！”老师听后没好气地说道：“你怎么不说是路易七乘路易二呢？”哪知道弟弟不假思索便说：“老师，从数学上来说，路易七乘路易二应是路易平方十四，因此你错了。

”弄得老师哭笑不得。

二、学前测试(Testing):1．(人教A 版教材习题改编)直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( )． A.23 B.32 C ．－23 D ．－32 解析 k ＝0－23－0＝－23.答案 C2．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )． A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°解析 直线的斜率为：k ＝tan α＝3，又∵α∈[0，π)∴α＝60°. 答案 B3．(2011·龙岩月考)已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.则直线l 的方程为( )．A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析 由y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0. 答案 A4．(2012·烟台调研)过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( )． A ．x －y －3＝0B ．x ＋y －3＝0C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0解析由两点式得：y－31－3＝x－02－0，即x＋y－3＝0.答案 B5．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．解析∵k AC＝5－36－4＝1，k AB＝a－35－4＝a－3.由于A、B、C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案4三、知识讲解(Teaching)：1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。

直线与方程精选50题1、求过点()5,3，倾斜角等于直线13+=x y 的倾斜角的一半的直线方程.★2、已知直线l 的倾斜角为α，53sin =α，且这条直线经过点()5,3P ，求直线l 的一般式方程.★3、已知矩形OACB 的顶点的坐标分别为()()()5,00,80,0B A O 、、，求该矩形的对角线所在直线方程.4、已知直线0632=+-y x ，这条直线的点方向式可以是________________★5、求过点P 且平行于直线0l 的一般式方程：（1）()04:,1,20=+x l P ★（2）()07143:,2,10=++y x l P6、求过点P 且垂直于直线1l 的直线的一般式方程：（1）()03:,1,21=-y l P（2）4231:),1,2(1+=---y x l P ★7、求满足下列条件的直线方程（1）直线l 经过()()7,3,0,2B A 两点★（2）直线l 经过点()4,3P ，且与向量()1,1-=d 平行★（3）直线l 经过点()4,3P ，且与向量()1,1-=d 垂直★8、已知直线()0816:1=--+y t x l 与直线()()01664:2=-+++y t x t l（1）当t 为何值时，21l l 与相交？（2）当t 为何值时，21l l 与平行？（3）当t 为何值时，21l l 与重合？（4）当t 为何值时，21l l 与垂直？★9、已知直线08:1=++n y mx l 与直线012:2=-+my x l .当直线1l 与直线2l 分别满足下列条件时，求实数m 、n 的值（1）直线1l 与直线2l 平行；（2）直线1l 与直线2l 垂直，且直线1l 在y 轴上的截距为1-..★10、根据下列条件，写出满足条件的直线的一般式方程.★（1）经过直线012=+-y x 与直线0122=-+y x 的交点，且与直线05=-y x 垂直.（2）经过直线01=+-y x 与直线022=+-y x 的交点，且与直线1243=+y x 平行.11、已知直线2:1++=k kx y l 与直线42:2+-=x y l 的交点在第一象限，求实数k 的范围.★12、已知集合(){}R y x y x y x A ∈=--=、,01|,,集合(){}R y x y ax y x B ∈=+-=、,02|,,且φ=⋂B A ，求实数a 的值.13、是否存在实数a ，使直线()()0121:1=--+-y a x a l 与直线()03326:2=--+y a x l 平行？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由.★14、求过点()3,2P 且与直线012=+-y x 垂直的直线方程★15、若坐标原点O 在直线l 的射影H 的坐标为()2,4-，求直线l 的方程★16、已知平面内三点()()()2,14,33,1---C B A 、、，点P 满足BC BP 23=，则直线AP 的方程是17、已知()()4,1,1,3--B A ，则线段AB 的垂直平分线方程是★18、已知三点()()()a C B a A 2,4,1,5,2,-共线，则实数a 的值是___________________19、不论m 取何实数，直线()()()01131=--+--m y m x m 恒过什么象限？20、分别写出下列直线的一个方向向量d 和一个法向量n ★（1）0543=-+y x（2）152=+y x （3）()5413+-=-x y （4）1=x（5）01=+y21、已知0,0<<bc ac ，则直线0:=++a cy bx l 不通过_______________象限22、直线l 的倾斜角的正弦值为54，则其斜率为______________★ 23、过()()a B a a A 2,3,1,1+-的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围★24、直线l 的斜率k 满足13<≤-k ，求其倾斜角的取值范围★25、直线l 的倾斜角是()()2,6,1,2--B A 两点连线的倾斜角的两倍，求直线l 的倾斜角的大小26、直线l 过点()2,1且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求l 的方程★27、求直线()R y x ∈=-+αα010cos 的倾斜角的取值范围28、直线()()039372:222=+-++-a y a x a a l 的倾斜角大小是4π，求实数=a __________★29、方程x k y =与方程()0>+=k k x y 的曲线有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是____________________30、过点()()3,0,0,4B A 的直线的倾斜角大小是________________★31、将直线033=++y x 绕着它与x 轴的交点顺时针旋转︒30后，所得的直线方程是★32、将直线0943=+-y x 绕其与x 轴的交点逆时针旋转︒90后得到直线l ，求直线l 的方程★33、ABC ∆的一个顶点()4,3B ，AB 边上的高CH 所在直线方程是01632=-+y x ，BC 边上的中线AM 所在的直线方程是0132=+-y x ，求边AC 所在直线方程.34、已知直线l 沿x 轴的负方向平移3个单位，再沿y 轴的正方向平移1个单位，又回到原来的位置，求直线l 的斜率k 和倾斜角α★35、过点()4,5-P 作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形面积为5个面积单位，求直线l 的方程★36、直线()()01213:=----y a x a l （其中a 为实数）★（1）求证：不论a 取何值，直线l 恒过定点；（2）已知直线l 不通过第二象限，求实数a 的取值范围37、已知()()2211,,,y x B y x A 为直线()0≠+=k b kx y 上的两点（1）求证：2121x x k AB -+=；（2）根据（1）的形式特征，用21,,y y k 表示AB38、已知ABC ∆中，顶点()7,2-A ，AC 边上的高BH 所在直线方程为0113=++y x ，AB 边上中线CM 所在的直线方程072=++y x ，求ABC ∆三边所在直线方程39、从点()2,5A 发出的光线经过x 轴反射后，反射光线经过点()3,1-B ，求发射光线所在直线与x 轴的夹角大小★40、求经过0332:01:21=++=++y x l y x l 和的交点且与直线0523=-+y x 的夹角为4π的直线方程★'41、已知等腰直角三角形ABC 的斜边AB 的中点是()2,4，直角边AC 所在的直线方程是02=-y x ，求斜边AB 和直角边BC 所在直线的方程42、光线沿直线052=+-y x 的方向入射到直线0723=+-y x 后反射出去，求反射光线所在的直线方程43、已知()()8,4,3,2-B A 两点，直线l 经过原点，且A 、B 两点到直线l 的距离相等，求直线l 的方程★44、已知平行直线21l l 与的距离为5，且直线1l 经过原点，直线2l 经过点()3,1，求直线1l 和直线2l 的方程★45、已知直线l 过点()1,0P ，且被平行直线0243:0843:21=++=-+y x l y x l 与所截得的线段的长为22，求直线l 的方程46、求与直线032012=+-=+-y x y x 和距离相等的点的轨迹47、已知点()4,3P 到直线l 的距离为5，且直线l 在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线是___________________★48、过点()2,1P 的所有直线中，与原点距离最大的直线方程是______________49、直线l 经过直线002477=-=-+y x y x 与直线的交点，且原点到直线l 的距离为512，则直线l 的方程为★50、经过直线032=-+y x 和直线0624=--y x 的交点，且与y 轴平行的直线方程为★。

1．一条光线从点 A(－1,3)射向 x 轴，经过 x 轴上的点 P 反射后通过点 B(3,1)，求 P 点的坐标．3－0＝－31－ 01解 设 P( x,0) ，则 k PA ＝， k PB ＝＝，依题意，－ 1－ x x ＋ 1 3－ x 3－ x由光的反射定律得k PA ＝－ k PB ，即 3＝ 1，解得 x ＝2，即 P(2,0)．x ＋1 3－ x2．△ ABC 为正三角形，顶点A 在 x 轴上， A 在边 BC 的右侧，∠ BAC 的平分线在 x 轴上，求边 AB 与 AC 所在直线的斜率．解如右图，由题意知 ∠BAO ＝ ∠ OAC ＝ 30°，∴ 直线 AB 的倾斜角为 180°－ 30°＝ 150°，直线 AC 的倾斜角为 30°，∴ k AB ＝ tan 1503＝°－ 3 ，AC3k ＝ tan 30 ＝° 3 .2f a ， f b ， f c的大小． 3．已知函数 f(x)＝ log ( x ＋ 1)， a>b>c>0，试比较a b c解画出函数的草图如图，f xx 可视为过原点直线的斜率．f c f b f a由图象可知：c>b>a.4． (1) 已知四点 A(5,3)， B(10,6)，C(3，－ 4)， D(－ 6,11)，求证： AB ⊥ CD .(2)已知直线 l 1 的斜率 k 1＝ 3，直线 l 2 经过点 A(3a ，－ 2)， B(0， a 2＋ 1)且 l 1⊥ l 2，求实数4 a 的值．(1)证明 由斜率公式得：k AB ＝ 6－ 3 310－5 ＝ 5，11－ － 45 k CD ＝ － 6－ 3 ＝－ 3，则 k AB ·k CD ＝－ 1， ∴ AB ⊥CD .(2)解∵ l 1⊥ l 2，∴ k 1·k 2＝－ 1，3× a 2＋ 1－ － 2即 ＝－ 1，解得 a ＝1 或 a ＝3.40－ 3a5. 如图所示， 在平面直角坐标系中， 四边形 OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1， t)、 Q(1－ 2t,2＋ t)、R(－ 2t,2)，其中 t>0. 试判断四边形 OPQR 的形状．解由斜率公式得k OP＝t － 0＝ t，1－ 0QR 2－ 2＋ t＝－t＝ t，k OR2－ 0＝－1，k ＝－ 2t－ 1－ 2t－ 1＝t － 2t－ 0k PQ＝2＋ t －t2＝－1.＝1－ 2t－ 1－ 2t t∴k OP＝k QR， k OR＝ k PQ，从而 OP∥ QR， OR∥PQ .∴四边形 OPQR 为平行四边形．又k OP·k OR＝－ 1，∴ OP⊥ OR，故四边形 OPQR 为矩形．6．已知四边形ABCD 的顶点 A(m， n)， B(5，－ 1)， C(4， 2)， D(2,2) ，求 m 和 n 的值，使四边形 ABCD 为直角梯形．解∵四边形 ABCD 是直角梯形，∴有 2 种情形：(1)AB∥CD ， AB⊥ AD，由图可知： A(2，－ 1)．(2)AD∥ BC， AD ⊥ AB，k AD＝ k BCk AD·k AB＝－ 1n－2＝ 3m－ 2－1?n－ 2 n＋1·＝－ 1m－ 2 m－ 516m＝5.∴8n＝－516m＝ 2m＝5.综上或n＝－ 18n＝－57．已知直线 l1与 l 2的方程分别为7x＋ 8y＋ 9＝ 0,7x＋ 8y－3＝ 0.直线 l 平行于 l 1，直线 l 与 l1的距离为 d1，与 l2的距离为 d2，且 d1∶d2＝ 1∶ 2，求直线 l 的方程．解因为直线 l 平行 l1，设直线 l 的方程为 7x＋ 8y＋ C＝ 0，则 d1＝|C－ 9||C－－ 3 |，d2＝. 72＋ 8272＋82又2d1＝ d2，∴2|C－9|＝ |C＋ 3|.解得 C＝ 21 或 C＝ 5.故所求直线l 的方程为7x＋ 8y＋ 21＝ 0 或 7x＋8y＋ 5＝ 08．△ ABC 中， D 是 BC 边上任意一点(D 与 B，C 不重合 ) ，且 |AB|2＝ |AD |2＋ |BD | ·|DC|.求证：△ ABC 为等腰三角形．证明作 AO⊥ BC，垂足为 O，以 BC 所在直线为 x 轴，以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系 (如右图所示 )．设A(0，a)， B(b,0)， C(c,0)， D (d,0)．因为 |AB|2＝ |AD |2＋ |BD | |DC· |，所以，由距离公式可得b2＋ a2＝ d2＋ a2＋ (d－ b)(c－ d)，即－ (d－ b)(b＋d)＝( d－b)( c－d)．又 d－b≠ 0，故－ b－ d＝ c－ d，即－ b＝ c.所以 |AB|＝ |AC|，即△ ABC 为等腰三角形．9．一束平行光线从原点 O(0,0) 出发，经过直线l：8x＋ 6y＝ 25 反射后通过点 P(－ 4,3)，求反射光线与直线l 的交点坐标．解设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为 (a，b)，由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得b4a·－3＝－ 1a＝4，解得，8×a b b＝3 2＋ 6×2＝ 25∴A 的坐标为 (4,3) ．∵ 反射光线的反向延长线过A(4,3) ，又由反射光线过P(－ 4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.y＝ 3x＝78，由方程组，解得8x＋ 6y＝25y＝ 37∴反射光线与直线l 的交点坐标为8，3 .。

1、等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线062=-+y x 上，顶点A 的坐标是)1,1(-，求AC 所在的直线点法向式方程．答案：230x y --=2、已知点()1,2在直线l 上的射影为()2,1-，则直线l的方程为__ _． 题型：点法向式答案：()0132=+--y x3、经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。

答案：3条，2y x =，30x y +-=，10x y -+=4、若倾斜角的正弦值为513，则该直线方程的斜率是____________ 直线的方程答案：512± 5. 直线21)10()x a y a R +++=∈（的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[0，4π] B ． [43π，π) C ．[0，4π]∪（2π，π) D ． [4π，2π)∪[43π，π) 答案：B6、方程1=+y x 所表示的图形的面积为_________。

答案：27、已知三角形三个顶点分别是A （2，1），B （﹣2，3），C （6，﹣7），求下列直线的一般式方程：（1）过点A 与BC 边平行的直线；（2）过点A 与BC 边垂直的直线；（2）过点B 且平分△ABC 面积的直线．答案：（1）54140x y +-=；（2）4530x y --=（3）10x y +-=8.已知数列{}n a 的通项公式n a n =，它的前n 项和为n S ，设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=*,N n n S a A nn ，若以A 中元素作为点的坐标，这些点都在同一条直线上，求这条直线的斜率 答案：21. 9．已知△ABC 的顶点A （1，3），AB 边上的中线所在直线的方程是1y =，AC 边上的高所在直线的方程是210x y -+=．求（1）AC 边所在直线的方程；（2）AB 边所在直线的方程．答案：（1）25x y +-．（2）20x y -+=关键：10、过点)4,1(P 的直线l 交x 、y 轴的正向于A 、B 两点，求：（1）AOB ∆面积取最小值时直线l 的方程；（2）当OB OA +取最小值时，直线l 的方程；答案：（1）480x y +-=，（2）260x y +-=，。

高二数学直线的方程练习题在高二数学学习中，直线的方程是一个重要的知识点。

掌握直线方程的求解方法对于解决与直线相关的问题具有重要意义。

本文将从不同的角度出发，给出一些关于直线方程的练习题。

1. 直线的一般方程1.1 给出直线过两个已知点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，求直线L的一般方程。

解析：首先计算直线L的斜率k。

根据斜率的定义，有 k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

然后，代入直线的点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 中的点和斜率，化简得到直线的一般方程 Ax + By + C = 0。

示例题：过点P(2, 3)和Q(4, 7)的直线L的一般方程为2x - y + 1 = 0。

2. 直线的截距式方程2.1 给出直线与x轴和y轴的坐标交点分别为A(a, 0)和B(0, b)，求直线L的截距式方程。

解析：直线与x轴的交点可以看作是y坐标为0的点，直线与y轴的交点可以看作是x坐标为0的点。

根据直线截距式的定义，直线的截距式方程为 x/a + y/b = 1。

示例题：过点A(2, 0)和B(0, 3)的直线L的截距式方程为 x/2 + y/3 = 1。

3. 直线的点斜式方程3.1 给出直线L的斜率k和过直线上一点P(x1, y1)，求直线的点斜式方程。

解析：根据直线的斜率定义，可以写出直线L的点斜式方程为 y -y1 = k(x - x1)。

示例题：直线L的斜率为2，过点P(3, 4)，则直线L的点斜式方程为 y - 4 = 2(x - 3)。

4. 直线的两点式方程4.1 给出直线上两个已知点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，求直线L的两点式方程。

解析：直线的两点式方程可以通过点斜式转化得到。

首先计算直线的斜率k，然后代入直线的点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 中的任意一点的坐标得到直线的两点式方程。

示例题：过点P(1, 2)和Q(3, 6)的直线L的两点式方程为 2x - y - 2 = 0。

第2章平面解析几何初步2.1 直线与方程2.1.2 直线的方程A组基础巩固1．直线x＋y－3＝0的倾斜角的大小是()A．45°B．135°C．1 D．－1解析：直线x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°.答案：B2．直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点()A．(3，2) B．(－3，2)C．(－3，－2) D．(3，－2)解析：由y＝mx－3m＋2，得y－2＝m(x－3)．所以直线必过点(3，2)．答案：A3．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线方程是()A．x＝－1 B．y＝1C．y－1＝2(x＋1) D．y－1＝22(x＋1)解析：由方程知，已知直线的斜率为22，所以所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y －1＝2(x ＋1)．答案：C4．直线x a ＋y b＝1过第一、第二、第三象限，则( ) A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0解析：因为直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，且经过第一、第二、第三象限，故a <0，b >0.答案：C5．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3解析：由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1， 解得m ＝3或m ＝2(舍去)．答案：D6．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( )A.3，1B.3，－1 C ．－3，1 D ．－3，－1解析：原方程化为x 1a ＋y 1b＝1，所以1b ＝－1.所以b ＝－1.又因为ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－a b＝a ，且3x －y －3＝0的倾斜角为60°，所以k ＝tan 120°.所以a ＝－ 3.答案：D7．直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( )A ．－3B ．3 C.13 D ．－13解析：由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)， 解得m ＝a ，故直线方程为ax ＋3ay ＋2a ＝0(a ≠0)，所以x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13. 答案：D8．下列三个说法中正确的有________(填序号)．①任何一条直线在y 轴上都有截距；②直线在y 轴上的截距一定是正数；③直线的斜截式方程可以表示任何不垂直于x 轴的直线．解析：因为当直线垂直于x 轴时，直线在y 轴上的截距不存在，所以①错误．直线在y 轴上的截距是直线与y 轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0，所以②错误．不垂直于x 轴的任何直线都有斜率，所以都能用直线的斜截式方程表示，所以③正确．答案：③9．直线3x －2y －4＝0的截距式方程是________．解析：直线方程化为3x －2y ＝4，所以34x －y 2＝1. 所以x 43＋y －2＝1. 答案：x 43＋y －2＝1 10．已知三角形的顶点是A (8，5)，B (4，－2)，C (－6，3)，求经过每两边中点的三条直线的方程．解：设AB ，BC ，CA 的中点分别为D ，E ，F ，如图所示．根据中点坐标公式得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，32，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，F (1，4)． 由两点式得DE 的直线方程为y －3212－32＝x －6－1－6， 整理得2x －14y ＋9＝0，这就是直线DE 的方程．由两点式得EF 的直线方程为y －124－12＝x －（－1）1－（－1）， 整理得7x －4y ＋9＝0，这就是直线EF 的方程．由两点式得DF 的直线方程为y －324－32＝x －61－6， 整理得x ＋2y －9＝0，这就是直线DF 的方程．11．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定实数m 的值．(1)在x 轴上的截距是－3；(2)斜率是－1.解：(1)令y ＝0，所以2m －6m 2－2m －3＝－3. 所以2m －6＝－3m 2＋6m ＋9，即3m 2－4m －15＝0.所以m ＝－53或m ＝3. 当m ＝3时，m 2－2m －3＝0.此时方程为y ＝0不符合题设条件，从而m ＝－53. (2)由m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，所以m 2＋3m ＋2＝0. 所以m ＝－2或m ＝－1(舍去)．故m ＝－2.B 级 能力提升12．过点A (3，－1)，B (5，4)的直线方程的两点式为__________，一般式为__________________．答案：y －（－1）4－（－1）＝x －35－35x －2y －17＝0 13．已知△ABC 的一个顶点为A (3，－1)，AB 被y 轴垂直平分，AC 被直线y ＝x 垂直平分，则直线BC 的方程是________．解析：A (3，－1)关于y 轴的对称点为B (－3，－1)，A (3，－1)关于直线y ＝x 的对称点为C (－1，3)，所以BC 的方程为y ＋13＋1＝x ＋3－1＋3，即2x －y ＋5＝0. 答案：2x －y ＋5＝014．过点P (1，1)作直线l 与两坐标轴相交，所得三角形面积为2，则这样的直线l 有________条．解析：设l 为y ＝k (x －1)＋1即为y ＝kx －k ＋1，则12×（k －1）2|k |＝2，解得k ＝3±22或k ＝－1. 答案：315．过点(a ，0)，(0，b )，(1，3)，且a ，b 均为正整数的直线方程为________________________．解析：设所求直线方程为：x a ＋y b＝1， 则1a ＋3b＝1(a ，b ∈N *)， 所以a ＝b b －3∈N *，故⎩⎨⎧a ＝4，b ＝4或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝6.所求方程为x ＋y －4＝0或3x ＋y －6＝0.答案：x ＋y －4＝0或3x ＋y －6＝016.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)之间的关系用直线AB的方程表示．如图所示，试求：(1)直线AB的方程；(2)旅客最多可免费携带多少行李．解：(1)由题图知，点A(60，6)，B(80，10)．所以直线AB的方程是x－5y－30＝0.(2)依题意，令y＝0，得x＝30.故旅客最多可免费携带30 kg行李．。

高中直线方程的综合练习数学班主任整理高中数学直线方程的综合练习1.求直线的斜率和截距，并写出直线的方程：题目一：过点P(2,3)，斜率为-2的直线。

解析：已知直线过点P(2, 3)，斜率为-2、直线的方程一般可以表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

代入已知条件，得到3 = -2*2 + b，解b得到b = 7、所以直线的方程为y = -2x + 7题目二：过点(4,5)，斜率为1/3的直线。

解析：已知直线过点(4, 5)，斜率为1/3、同样地，直线的方程可以表示为y = kx + b。

代入已知条件，得到5 = (1/3)*4 + b，解b得到b = 19/3、所以直线的方程为y = (1/3)x + 19/32.求直线的斜率和截距，并写出直线的方程：题目一：已知直线过点(-1,2)，且与直线y=x-3垂直，求该直线的方程。

解析：已知直线过点(-1, 2)，且与直线y = x - 3垂直。

两条直线垂直可以得到斜率的乘积为-1、所以直线的斜率为-1的倒数，即1、直线的方程可以表示为y = kx + b，代入已知条件得到2 = 1*(-1) + b，解b得到b = 3、所以直线的方程为y = x + 3题目二：已知直线过点(2,4)，且与直线y=-2x+1平行，求该直线的方程。

解析：已知直线过点(2, 4)，且与直线y = -2x + 1平行。

两条直线平行可以得到斜率相等。

所以直线的斜率与直线y = -2x + 1的斜率相等，即斜率为-2、直线的方程可以表示为y = kx + b，代入已知条件得到4 = -2*2 + b，解b得到b = 8、所以直线的方程为y = -2x + 83.求直线的斜率和截距，并写出直线的方程：题目一：已知直线过点(3,1)，且平行于直线y=3x-2，求该直线的方程。

解析：已知直线过点(3, 1)，且平行于直线y = 3x - 2、直线的平行可以得到斜率相等。