高中数学人教A版【精品习题】(必修5)配套练习：2.3 等差数列的前n项和 第1课时

2.3 等差数列的前n项和(人教A版必修5)5，16.（8分）已知等差数列{}n a ， (1)若271221a a a ＋＋＝，求13S ； (2)若1575S ＝，求8a .17.（9分）已知在正整数数列{}n a 中，前n 项和n S 满足：n S ＝18(n a ＋2)2，(1)求证：{}n a 是等差数列；(2)若n b ＝12n a －30，求数列{}n b 前n 项和的最小值．18.（12分）甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前一分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动几分钟后相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和278n S n n ＝－－. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T .2.3 等差数列的前n 和(人教A 版必修5)答题纸得分： 一、选择题二、填空题10． 11． 12. 13. 三、解答题 14. 15. 16. 17. 18. 19.2.3 等差数列的前n 项和(人教A 版必修5)答案一、选择题1.B 解析：由1011S S ＝，得1111100a S S ＝－＝，111(111)0(10)(2)20a a d ⨯＝＋－＝＋－－＝.2.D 解析：∵ 212111(1)2(21)21(21)24424k k k k S S a a a kd a k d a k d k k ⨯⨯＋＋＋－＝＋＝＋＋＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝，∴ 5k ＝.3.D 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，∵ 1a ＝12，4S ＝4×12＋4×32d ＝2＋6d ＝20，∴ d ＝3，故6S ＝6×12＋6×52×3＝48，故选D.4.C 解析：由等差数列的性质，得112m m m a a a －＋＋＝，∴ 22m m a a ＝.由题意得0m a ≠，∴ 2m a ＝.又21m S －＝121(21)()2(21)22m m m a a a m --+-=＝2(21)m －＝38，∴ m ＝10.5.B 解析：∵ {}n a 是等差数列，∴ 120219318a a a a a a ＋＝＋＝＋.又12324a a a ＋＋＝－，18192078a a a ＋＋＝，∴ 12021931854a a a a a a ＋＋＋＋＋＝. ∴ 1203()54a a ＋＝.∴ 12018a a ＋＝.∴ 20S ＝12020()2a a +＝180. 6.C 解析：由已知28111173183(6)3a a a a d a d a ＋＋＝＋＝＋＝为定值，则13S ＝11313()2a a +＝137a 也为定值，故选C. 7.C 解析：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则24354,10.a a a a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②②－①，得2d ＝6，∴ d ＝3.∴ 2411113242434a a a d a d a d a ⨯＋＝＋＋＋＝＋＝＋＝. ∴ 14a ＝－.∴ 10S ＝10×(－4)＋10×92×3＝－40＋135＝95.故选C. 8.B 解析：设该等差数列为{}n a ，由题意得123421a a a a ＋＋＋＝，12367n n n n a a a a －－－＋＋＋＝. 又∵ 1213243n n n n a a a a a a a a －－－＋＝＋＝＋＝＋，∴ 14()216788n a a ＋＝＋＝，∴ 122n a a ＋＝，∴ n S ＝1()2n n a a +11286n ＝＝，∴ 26n ＝. 9.A 解析：∵ 1200OB a OA a OC =+u u u r u u u r u u u r，且,,A B C 三点共线，∴ 12002001a a S ＋＝，＝1200200()2a a +100＝.二、填空题10. 23 解析：由题意，得1113(1)21511=(1),222a n na n n ⎧=+-⨯⎪⎪⎨⎪+⨯-⨯⎪⎩，解得12,3.a n =⎧⎨=⎩ 11.25 解析：∵ 413a a d －＝，∴ 36d ＝，∴ 2d ＝，∴ 511155455422522S a d ⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝＋＝＋＝.12.27 解析：由题意得1()182n n n a a S +==. 由121233,1,n n n a a a a a a --++=⎧⎨++=⎩得13()4n a a ＋＝，即1n a a ＋＝43，故n ＝136362743n a a ==+. 13.3 解析：1357915S a a a a a 奇＝＋＋＋＋＝，24681030S a a a a a 偶＝＋＋＋＋＝，∴ 515S S d 偶奇－＝＝，∴ 3d ＝. 三、解答题14.(1)解法一：由已知条件得510149121358,21150,a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩解得13,4.a d =⎧⎨=⎩∴ 10110S a ＝＋10(101)2d ⨯-⨯103⨯＝＋1092⨯4210⨯＝. 解法二：由已知条件得51011049110458,250,a a a a d a a a a d +=++=⎧⎨+=++=⎩∴ 11042a a ＋＝，∴ 10S ＝11010()2a a ⨯+542210⨯＝＝.解法三：由51049()()25850a a a a d ＋－＋＝＝－，得4d ＝； 由4950a a ＋＝，得121150a d ＋＝，∴ 13a ＝. 故10103S ⨯＝＋10942102⨯⨯=. (2)解：7S ＝177()2a a +4742a ＝＝，∴ 46a ＝. ∴ n S ＝143))45)510222n n n a a n a a n -+++===（（（6. ∴ 20n ＝.15.解：(1)∵ 6a ＝10，5S ＝5， ∴ 11510,510 5.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得15,3.a d =-⎧⎨=⎩∴ 86216a a d ＝＋＝，8S ＝188()2a a +＝44. (2)∵ 117315a a a a ＋＝＋，∴ 17S ＝11717()2a a +＝31517()2a a +＝17402⨯＝340. 16.解：(1)∵ 21211372a a a a a ＋＝＋＝，271221a a a ＋＋＝， ∴ 7321a ＝，即7a ＝7. ∴ 13S ＝11313()2a a +＝71322a ⨯＝91. (2)∵ 15S ＝11515()2a a +＝81522a ⨯＝75，∴ 8a ＝5. 17.（1）证明：由21(2)8n n S a ＝＋，得2111(2)8n n S a －－＝＋(n ≥2)．当n ≥2时，n a ＝n S －1n S －＝182(2)n a ＋－1821(2)n a －＋，整理，得11()(4)0n n n n a a a a －－＋－－＝.∵ 数列{}n a 为正整数数列，∴ 10,n n a a +≠－ ∴ 14n n a a －－＝，即{}n a 为等差数列．(2)解：∵ 1S ＝1821(2)a ＋，∴ 1a ＝1821(2)a ＋.解得1a ＝2.∴ n a ＝2＋4(n －1)＝4n －2.∴ n b ＝12n a －30＝12(4n －2)－30＝2n －31.令n b <0，得n <312， ∴ 15S 为前n 项和的最小值，即151215S b b b L ＝＋＋＋＝2(1＋2＋…＋15)－15×31＝－225. 18.解：(1)设n 分钟后相遇，则2n ＋(1)2n n -＋5n ＝70， 整理，得2131400n n ＋－＝.解得n ＝7或n ＝－20(舍去). 故甲、乙开始运动7分钟后相遇． (2)设n 分钟后第二次相遇，则2n ＋(1)2n n -＋5n ＝3×70. 整理，得2134200n n ＋－＝.解得n ＝15或n ＝－28(舍去). 故开始运动15分钟后第二次相遇． 19.解：(1)当n ＝1时，11a S ＝＝－14； 当n ≥2时，1n n n a S S －＝－＝2n －8， 故n a ＝14(1),28(2).n n n -=⎧⎨-≥⎩(2)由n a ＝2n －8可知：当n ≤4时，n a ≤0；当n ≥5时，0n a >. ∴ 当1≤n ≤4时，278n n T S n n ＝－＝－＋＋；当n ≥5时，22444()2782(20)732n n n T S S S S S n n n n ⨯＝－＋－＝－＝－－－－＝－＋，∴ n T ＝2278(14),732(5).n n n n n n ⎧-++≤≤⎪⎨-+≥⎪⎩。

2.3《等差数列前n 项和》作业（第一课时）1、等差数列Λ,4,1,2-的前n 项和为 （ ） A. ()4321-n n B. ()7321-n n C. ()4321+n n D. ()7321+n n2、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a Λ，则 （ ）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a3、在等差数列{}n a 中，已知1254=+a a ，那么它的前8项之和8S 等于 （ ）A. 12B. 24C. 36D. 484、设{}n a 是公差为2的等差数列，若5097741=++++a a a a Λ，则99963a a a a ++++Λ的值为 （ ）A. 78B. 82C. 148D. 1825、在等差数列{}n a 中，35,2,11===n n S d a ，则1a 等于 （ ）A. 5或7B. 3或5C. 7或1-D. 3或1-6、设数列{}n a 是递增的等差数列，前三项之和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A. 1B. 2C. 4D. 87、一个三角形的三个内角C B A ,,的度数成等差数列，则B 的度数为 （ ）A. ο30B. ο45C. ο60D. ο908、等差数列{}n a 中，162,16,1041===n S a a ，则n 等于 （ ）A. 11B. 9C. 9或18D. 189、数列{}n a 是等差数列，它的前n 项和可以表示为 （ ）A. C Bn An S n ++=2B. Bn An S n +=2C. C Bn An S n ++=2()0≠aD. Bn An S n +=2()0≠a10、=+++++1008642Λ 。

11、等差数列{}n a 中，1011=a ，则=21S 。

12、等差数列{}n a 中，4,184==S S ，则=+++20191817a a a a 。

等差数列的前n 项和[新知初探]1．数列的前n 项和对于数列{a n }，一般地称a 1＋a 2＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .2．等差数列的前n 项和公式 [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和( ) (2)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)化简后关于n 与a n 的函数式即为数列{a n }的通项公式( ) (3)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1( ) 解析：(1)正确．由前n 项和的定义可知正确． (2)错误．例如数列{a n }中，S n ＝n 2＋2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又∵a 1＝S 1＝3，∴a 1不满足a n ＝S n －S n －1＝2n －1，故命题错误． (3)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd . 答案：(1)√ (2)× (3)×预习课本P42～45，思考并完成以下问题2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n (n ＋1)2解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得4a 1＋4×32d ＝20， 即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.答案：12[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5， 解得n ＝15或n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8(a1＋a8)2＝8(4＋a8)2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.[活学活用]设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于() A．13B．35C．49 D．63解析：选D∵{a n}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝9(a2＋a8)2＝9×142＝63.[典例]已知数列{a n}的前n项和S n＝－2n2＋n＋2.(1)求{a n}的通项公式；(2)判断{a n}是否为等差数列？[解](1)∵S n＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，S n－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴a n＝S n－S n－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4， 但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2； (2)S n ＝3n －1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质： S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列． 所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )， 即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)， 解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [答案] (1)C (2)10 (3)53[活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3， 所以S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ， 所以S nn ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：75[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得 25×17＋17×(17－1)2d ＝25×9＋9×(9－1)2d ， 解得d ＝－2， [法一 公式法] S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－(n －13)2＋169. 由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二 邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n 2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n (－1＋2－3n )2＝－32n 2＋n 2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7>0，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________． 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. 答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1， 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项． 答案：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＝22，5a 3＝45，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C.3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a nb n＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －12(2n －1)b 1＋b 2n －12(2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________． 解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.答案：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14， 又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。

2.3 等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和公式基础过关练题组一等差数列前n项和的有关计算1.在等差数列{a n}中,已知a1=10,d=2,S n=580,则n=( )A.10B.15C.20D.302.已知一个等差数列共n项,且其前四项之和为21,末四项之和为67,前n项之和为286,则项数n为( )A.24B.26C.25D.283.设{a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和.若S10=S11,则a1=( )A.18B.20C.22D.244.(2019福建福州长乐高中、城关中学、文笔中学高二期末)等差数列{a n}的前n 项和为S n,且S5=6,a2=1,则公差d等于( )A.15B.35C.65D.25.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a6=S3=12,则{a n}的通项公式a n= . 题组二数列的前n项和S n与a n的关系6.已知数列{a n}的前n项和S n=n2,则a n=( )A.nB.n2C.2n+1D.2n-17.在各项均大于零的数列{a n}中,首项a1=1,前n项和S n满足S n√S n-1-S n-1√S n=2√S n S n-1(n∈N*且n≥2),则a81=( )A.638B.639C.640D.6418.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1,则a6+a7+…+a10的值为.9.(1)已知数列{a n}的前n项和为S n=2n2+n+3,求数列{a n}的通项公式;(2)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足S n=14(a n+1)2,求a n.题组三裂项相消法求和10.已知数列{a n}的通项公式为a n=1n(n+1),则其前10项和为( )A.910B.911C.1112D.101111.已知数列{a n}的通项公式为a n=√n+1+√n,则其前n项和S n= .12.已知数列{a n}的通项公式为a n=lg n+1n,则其前n项和S n= .13.已知等差数列{a n}满足a3=7,a5+a7=26,{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n;(2)令b n=1a n2-1(n∈N*),求数列{b n}的前n项和T n.能力提升练一、选择题1.(2020吉林省实验中学高一期末,★★☆)记等差数列{a n}的前n项和为S n.若a5=3,S13=91,则a1+a11=( )A.7B.8C.9D.102.(2020湖北荆州中学、宜昌一中高二期末联考,★★☆)已知数列{a n}满足2a n=a n-1+a n+1,S n是其前n项和,若a2,a2 019是函数f(x)=x2-6x+5的两个零点,则S2 020的值为( )A.6B.12C.2 020D.6 0603.(2018云南玉溪第一中学高三月考,★★☆)已知数列{a n}的首项a1=1,对于任意m,n∈N*,有a n+m=a n+3m,则数列{a n}前5项的和S5=( )A.121B.25C.31D.354.(2020山东日照高二月考,★★☆)已知数列{a n}的前n项和S n=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|等于( )A.66B.65C.61D.565.(★★☆)设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n,若a4=2(a2+a3),则S7S4=( )A.74B.145C.7D.146.(2019广东佛山一中期末,★★☆)某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了n(n∈N*)年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n等于( )A.4B.5C.6D.77.(★★☆)已知数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,S n为其前n项和,则S60=( )A.3 690B.1 830C.1 845D.3 660二、填空题8.(2019江苏南京高三上学情调研,★★☆)记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a m=10,S2m-1=110,则m的值为.9.(2020广东深圳宝安高二期末,★★☆)若等差数列{a n}满足a5=11,a12=-3,且{a n}的前n项和S n的最大值为M,则lg M= .10.(2020吉林松原扶余一中高一期末,★★☆)已知单调递减数列{a n}的前n项和为S n,a1≠0,且4S n=2a n-a n2(n∈N*),则a5= .三、解答题11.(2020湖北荆门高二期末,★★☆)已知数列{a n}的前n项和为S n,且(a n+1-a n)2+2=3(a n+1-a n),a50=1,求S100的最小值.12.(2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末,★★☆)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2=8,a3+a8=2a5+2.(1)求a n ;(2)设数列{1S n}的前n 项和为T n ,求证:T n <34.13.(★★☆)已知函数f(x)=14x +m(m>0),当x 1,x 2∈R 且x 1+x 2=1时,总有f(x 1)+f(x 2)=12.(1)求m 的值;(2)设数列{a n }满足a n =f(0)+f (1n )+f (2n )+…+f (n -1n)+f(1),求数列{a n }的前n 项和S n .14.(2019山东济宁一中月考,★★☆)数列{a n }中,a 1=1,当n≥2时,其前n 项和S n满足S n 2=a n ·(S n -12).(1)求S n的表达式;(2)设b n=S n,求数列{b n}的前n项和T n.2n+115.(2018黑龙江哈尔滨第六中学高三下考前押题卷,★★★)数列{a n}中,S n为其前n项和,且2S n=na n+n(n∈N*).(1)求证:{a n}是等差数列;(2)若a2=2,b n=n+2,T n是{b n}的前n项和,求T n.a n a n+12n第2课时等差数列前n项和的性质及应用基础过关练题组一 等差数列前n 项和的性质1.已知等差数列{a n }中,S n 是其前n 项和,a 1=-11,S 1010-S 88=2,则S 11=( )A.-11 B .11 C.10 D.-102.一个等差数列共有10项,其奇数项之和是12.5,偶数项之和是15,则它的首项与公差分别是( ) A.12,12B.12,1 C.1,12D.12,23.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 7a 5=913,则S 13S 9= .4.已知等差数列{a n }的前10项和为30,前30项的和为10,则前40项的和为 .题组二 等差数列前n 项和的函数属性5.已知数列{a n }中,a 1=10,a n+1=a n -12,则它的前n 项和S n 的最大值为 . 6.在等差数列{a n }中,a 1>0,公差d<0,a 5=3a 7,且其前n 项和为S n ,则S n 取最大值时,n= .7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d. (1)若S 2 016>0,S 2 017<0,且S k 最大,则整数k= ; (2)若a 1=25,S 9=S 17<0,且S k 最大,则整数k= . 8.已知{a n }是等差数列,且a 2=1,a 5=-5. (1)求{a n }的通项公式a n ;(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值.题组三等差数列的综合问题9.数列{a n}的首项为3,{b n}为等差数列,且b n=a n+1-a n(n∈N*),若b3=-2,b10=12,则a8=( )A.0B.3C.8D.1110.若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为( )A.0B.1C.2D.1或211.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题:把100个面包分给5个人,使每个人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的17是较小的两份之和,则最小一份的量为( )A.52B.54C.53D.5612.(2019湖南长沙一中高二期末)已知等差数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,且满足a1+a5=27a32,S7=63.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b1=a1,且b n+1-b n=a n+1,求数列{1b n}的前n项和T n.能力提升练一、选择题1.(2020浙江高三期末,★★☆)已知公差不为零的等差数列{a n}满足a32=a1a4,S n为数列{a n}的前n项和,则S3S1的值为( )A.94B.-94C.32D.-322.(2019山东招远一中高二月考,★★☆)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为( )A.9B.12C.16D.173.(2020浙江丽水高一期末,★★★)设等差数列{a n}的前n项和为S n,公差为d,已知a1≠0,S5=S17,则( )A.da11>0B.da12>0C.a1a12>0D.a1a11<04.(2020广东第二师范学院番禺附属中学高二期末,★★★)若等差数列{a n}的前n 项和S n有最大值,且a11a10<-1,则S n取正值时,项数n的最大值为( )A.15B.17C.19D.215.(2020江苏徐州高二期末,★★★)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1>0,公差d≠0,则下列结论不正确的是( )A.若S5=S9,则S14=0B.若S5=S9,则S7最大C.若S6>S7,则S7>S8D.若S6>S7,则S5>S6二、填空题6.(2019河北衡水中学高考猜题卷,★★☆)设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S13>0,S14<0,若a k·a k+1<0,则k= .7.(2018湖北黄石二中高二期中,★★☆)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S m= -2,S m+1=0,S m+2=3,则m= .8.(2019河北沧州一中高二期中,★★★)在等差数列{a n}中,前m(m为奇数)项和为135,其中偶数项之和为63,且a m-a1=14,则a100的值为.9.(★★★)无穷等差数列{a n}的前n项和为S n,若首项a1=32,公差d=1,则满足S k2=(S k)2的正整数k的值为.三、解答题10.(2020湖南怀化高二期末,★★☆)已知数列{a n}满足1a1+1a2+1a3+…+1a n=n2(n∈N*),且b n=a n a n+1.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)若S n为数列{b n}的前n项和,对任意的正整数n,不等式S n>λ-12恒成立,求实数λ的取值范围.11.(★★☆)已知数列{a n}为等差数列,a1=1,a n>0,其前n项和为S n,且数列{√S n}也为等差数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n =a n+1S n ·S n+1,求数列{b n }的前n 项和.答案全解全析第1课时 等差数列的前n 项和公式基础过关练1.C 因为S n =na 1+12n(n-1)d=10n+12n·(n -1)×2=n 2+9n,所以n 2+9n=580,解得n=20或n=-29(舍).2.B 设该等差数列为{a n },由题意,得a 1+a 2+a 3+a 4=21,a n +a n-1+a n-2+a n-3=67. 又∵a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=a 4+a n-3, ∴4(a 1+a n )=21+67=88,∴a 1+a n =22. ∴S n =n (a 1+a n )2=11n=286,∴n=26.3.B 由S 10=S 11,得a 11=S 11-S 10=0,所以a 1=a 11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20.4.A ∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 5=6,a 2=1, ∴{S 5=5a 1+5×42d =6,a 2=a 1+d =1,解得{a 1=45,d =15.故选A. 5.答案 2n解析 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由已知得{a 1+5d =12,3a 1+3d =12,解得{a 1=2,d =2,故a n =2n. 6.D 当n=1时,a 1=S 1=1;当n≥2时,a n =S n -S n-1=n 2-(n-1)2=2n-1. ∵当n=1时,此等式也成立,∴a n =2n-1(n∈N *),故选D.7.C 由已知S n √S n -1-S n-1√S n =2·√S n S n -1可得,√S n -√S n -1=2(n≥2),又a 1=1,∴√S 1=1,∴{√S n }是以1为首项,2为公差的等差数列,故√S n =2n-1,∴S n =(2n-1)2,∴a 81=S 81-S 80=1612-1592=640. 8.答案 80解析 由题意得,a 6+a 7+…+a 10=S 10-S 5=111-31=80.9.解析 (1)∵S n =2n 2+n+3,∴当n=1时,a 1=S 1=2×12+1+3=6;当n≥2时,a n =S n - S n-1=2n 2+n+3-[2(n-1)2+(n-1)+3]=4n-1.当n=1时,a 1不符合上式, ∴a n ={6(n =1),4n -1(n ≥2).(2)当n=1时,a 1=S 1=14(a 1+1)2,解得a 1=1;当n≥2时,a n =S n -S n-1=14(a n +1)2-14·(a n-1+1)2,即4a n =a n 2+2a n +1-(a n -12+2a n-1+1),∴a n 2-a n -12-2(a n +a n-1)=0,∴(a n +a n-1)(a n -a n-1-2)=0.∵数列{a n }的各项均为正数,∴a n +a n-1>0,∴a n -a n-1-2=0,即a n -a n-1=2, ∴数列{a n }是公差为2,首项为1的等差数列, ∴a n =1+2(n-1)=2n-1.10.D 设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n =1n (n+1)=1n -1n+1得,S n =(1-12)+(12-13)+…+1n -1n+1=1-1n+1,所以S 10=1-111=1011.11.答案 √n +1-1 解析 由已知得, a n =√n+1+√n=√n +1-√n ,所以S n =a 1+a 2+…+a n =(√2-1)+(√3-√2)+…+(√n +1-√n )=√n +1-1. 12.答案 lg(n+1)解析 由已知得a n =lg(n+1)-lg n,所以S n =a 1+a 2+…+a n =(lg 2-lg 1)+(lg 3-lg 2)+…+[lg(n+1)-lg n]=lg(n+1). 13.解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d. 因为a 3=7,a 5+a 7=26, 所以{a 1+2d =7,2a 1+10d =26,解得{a 1=3,d =2.所以a n =3+2(n-1)=2n+1,S n =3n+n (n -1)2×2=n 2+2n.(2)由(1)知a n =2n+1, 所以b n =1a n 2-1=1(2n+1)2-1=14·1n (n+1)=14·(1n-1n+1),所以T n =14(1-12+12-13+ (1)-1n +1)=14(1-1n+1)=n4(n+1),即数列{b n }的前n 项和T n =n4(n+1). 能力提升练一、选择题1.D 由S 13=13a 7=91,可得a 7=7,所以a 5+a 7=10,从而a 1+a 11=a 5+a 7=10.2.D 由题意,得数列{a n }为等差数列.a 2,a 2 019是函数f(x)=x 2-6x+5的两个零点,等价于a 2,a 2 019是方程x 2-6x+5=0的两个根,∴a 2+a 2 019=6, ∴S 2 020=(a 1+a 2 020)·2 0202=(a 2+a 2 019)·2 0202=6 060,故选D.3.D 令m=1,有a n+1=a n +3,即a n+1-a n =3,又已知a 1=1,∴{a n }是首项为1,公差为3的等差数列,∴a n =1+3(n-1)=3n-2, ∴S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=5×(3×3-2)=35.4.A 当n≥2,n∈N *时,a n =S n -S n-1=n 2-4n+2-[(n-1)2-4(n-1)+2] =n 2-4n+2-(n 2-6n+7) =n 2-4n+2-n 2+6n-7=2n-5, 当n=1时,a 1=S 1=-1,不满足上式, ∴a n ={-1,n =1,2n -5,n ≥2,n ∈N *.∴|a 1|+|a 2|+…+|a 10|=1+1+1+3+5+…+15=2+(1+15)×82=2+64=66.5.C 解法一:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d.根据等差数列的性质及a 4=2(a 2+a 3),得a 1+3d=2(a 1+d+a 1+2d),化简得a 1=-d,所以S 7S 4=7a 1+7×62d 4a 1+4×32d =14d 2d=7.解法二:由已知及等差数列的性质,得a 4=2(a 2+a 3)=2(a 1+a 4),又S 7S 4=7(a 1+a 7)24(a 1+a 4)2=7a 42(a 1+a 4),所以S7S 4=7.6.B 设该设备第n(n∈N *)年的运营费用为a n 万元,则数列{a n }是以2为首项,2为公差的等差数列,则a n =2n,则该设备到第n(n∈N *)年的运营费用总和为a 1+a 2+…+a n =2+4+…+2n=n (2+2n )2=(n 2+n)万元.设第n(n∈N *)年的盈利总额为S n 万元,则S n =11n-(n 2+n)-9=-n 2+10n-9=-(n-5)2+16,因此,当S n 取最大值时,n=5,故选B. 7.B 由题意得,当n 为奇数时,a n+1-a n =2n-1,n+1为偶数,所以a n+2+a n+1=2n+1,两式相减得a n+2+a n =2;当n 为偶数时,a n+1+a n =2n-1,n+1为奇数,所以a n+2-a n+1=2n+1,两式相加得a n+2+a n =4n. 故S 60=a 1+a 3+a 5+…+a 59+(a 2+a 4+a 6+…+a 60)=2×15+(4×2+4×6+…+4×58)=30+4×450=1 830.故选B. 二、填空题 8.答案 6解析 ∵{a n }是等差数列,且a m =10, ∴S 2m-1=a 2m -1+a 12×(2m -1)=(2m-1)a m =10(2m-1)=110,解得m=6.9.答案 2解析 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d.∵a 5=11,a 12=-3,∴{a 1+4d =11,a 1+11d =-3,解得{d =-2,a 1=19.∴a n =19-2(n-1)=21-2n.令a n ≥0,解得n≤212.因此当n=10时,{a n }的前n 项和S n 取得最大值,且最大值M=10×19+10×92×(-2)=190-90=100,∴lg M=2. 10.答案 -10解析 当n=1时,4S 1=2a 1-a 12,∴a 1=-2. 当n≥2时,4S n =2a n -a n 2,① 4S n-1=2a n-1-a n -12,②①-②,得4a n =2a n -2a n-1-(a n 2-a n -12),化简,得a n -a n-1=-2或a n +a n-1=0,∵数列{a n }是递减数列,且a 1=-2,∴a n +a n-1=0舍去. ∴数列{a n }是首项为-2,公差为-2的等差数列,故a 5=-2+(5-1)×(-2)=-10. 三、解答题11.解析 由题意,得a n+1-a n =2或a n+1-a n =1.由a 50=1知,当n≤49时,a n ≤0;当n≥51时,a n >0.故当数列{a n }的前50项的公差为2,后50项的公差为1时,数列的前100项和最小. 所以(S 100)min =50×1+50×492×(-2)+50×2+50×492=-1 075.12.解析 (1)设数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由题意得{2a 1+d =8,2a 1+9d =2a 1+8d +2,解得{a 1=3,d =2.所以a n =2n+1. (2)证明:由(1)知a n =2n+1,所以S n =n2(3+2n+1)=n 2+2n.所以1S n=1n (n+2)=12(1n -1n+2).所以T n =12[(1-13)+(12-14)+(13-15)+… +(1n -1-1n +1)+(1n-1n +2)]=12(1+12-1n+1-1n+2)<34. 13.解析 (1)令x 1=x 2=12,得f (12)=14=12+m,解得m=2.(2)由a n =f(0)+f (1n )+f (2n )+…+f (n -1n )+f(1),得a n =f(1)+f (n -1n )+…+f (1n )+f(0),两式相加,得2a n =[f(0)+f(1)]+[f (1n )+f (n -1n )]+…+[f(1)+f(0)]=12(n+1),即a n =14(n+1),显然数列{a n }是等差数列, 当n=1时,a 1=12,所以S n =n [12+14(n+1)]2=18n 2+38n.14.解析 (1)由a n =S n -S n-1(n≥2)得,S n 2=(S n -S n-1)(S n -12)=S n 2-12S n -S n-1S n +12S n-1,即S n-1-S n =2S n S n-1(n≥2), ∴1S n -1S n -1=2(n≥2),又1S 1=1a 1=1,∴{1S n}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴1S n=2n-1,即S n =12n -1(n∈N *).(2)由(1)得b n =1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-12n+1), ∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n=12(1-13)+(13-15)+(15-17)+…+(12n -1-12n+1) =12(1-12n+1) =n 2n+1.15.解析 (1)证明:由2S n =na n +n(n∈N *)①,得2S n-1=(n-1)a n-1+(n-1)(n≥2)②, ①-②得,2a n =na n +n-(n-1)a n-1-(n-1), ∴(n -2)a n =(n-1)a n-1-1(n≥2)③, ∴(n -1)a n+1=na n -1(n∈N *)④,④-③得,(n-1)a n+1-(n-2)a n =na n -(n-1)a n-1,∴2(n -1)a n =(n-1)a n-1+(n-1)a n+1(n≥2),∴2a n =a n-1+a n+1, ∴{a n }是等差数列.(2)设等差数列{a n }的公差为d. 由题意得2S 1=a 1+1,∴a 1=1,又∵a 2=2,且由(1)知{a n }是等差数列, ∴d=a 2-a 1=1,∴a n =n, ∴b n =n+2n (n+1)·2n=12n -1·n -12n (n+1),∴T n =(1-14)+(14-112)+…+[12n -1·n -12n (n+1)]=1-12n (n+1).第2课时 等差数列前n 项和的性质及应用基础过关练1.A 因为{a n }为等差数列,所以{Sn n }也为等差数列,且首项S11=a 1=-11.设{Sn n }的公差为d,则S1010-S88=2d=2,所以d=1,所以S 1111=-11+10d=-1,所以S 11=-11.2.A 设等差数列为{a n },首项为a 1,公差为d,由S 偶-S 奇=5d=15-12.5=2.5,得d=0.5.再由S 10=10a 1+10×92×12=15+12.5,得a 1=0.5.3.答案 1解析 由等差数列前n 项和的性质得S13S 9=13a 79a 5=139×913=1.4.答案 -40解析 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .解法一:由题易知数列S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,S 40-S 30成等差数列.设其公差为d, 则前3项和为3S 10+3×22d=S 30=10,即S 10+d=103,又S 10=30,所以d=-803,所以S 40-S 30=S 10+3d=30+3×(-803)=-50,所以S 40=-50+S 30=-40.解法二:因为数列{a n }是等差数列,所以数列{S n n }也是等差数列,所以点(n ,S nn )在一条直线上,即(10,S 1010),(30,S 3030),(40,S4040)三点共线,于是S 3030-S 101030-10=S 4040-S 101040-10,将S 10=30,S 30=10代入,解得S 40=-40.5.答案 105解析 由题意得a n+1-a n =-12,∴数列{a n }是公差为-12的等差数列,又a 1=10,∴a n =-n 2+212(n∈N *).∵a 1=10>0,-12<0,∴设从第n 项起为负数,则-n 2+212<0(n∈N *), ∴n>21,∴前21项的和最大,最大值为S 21=105. 6.答案 7或8解析 由a 5=3a 7,得a 1+4d=3(a 1+6d),即a 1=-7d,所以a n =a 1+(n-1)d=-7d+(n-1)d=(n-8)d. 又因为a 1>0,d<0,所以当{a n ≥0,a n+1≤0时,S n 取得最大值,即{(n -8)d ≥0,(n -7)d ≤0,解得7≤n≤8.所以当S n 取最大值时,n=7或8. 7.答案 (1)1 008 (2)13解析 (1)由等差数列的性质可知,S 2 017=2 017a 1 009<0,所以a 1 009<0, 又S 2 016=2 016(a 1 008+a 1 009)2>0,即a 1 008+a 1 009>0,所以结合a 1 009<0可得a 1 008>0,因此S 1 008最大,故k=1 008. (2)解法一:由{a 1=25,S 9=S 17,可得{a 1=25,9a 1+9×4d =17a 1+17×8d ,解得d=-2,则S n =25n+n (n -1)2×(-2)=-(n-13)2+169,显然S 13最大,故k=13.解法二:同解法一得d=-2, 故a n =25+(-2)×(n -1)=27-2n,显然对于n∈N *,当n≤13时,a n >0;当n≥14时,a n <0.故S 13最大,k=13. 8.解析 (1)设{a n }的公差为d,则由a 2=1, a 5=-5,得d=a 5-a 25-2=-5-13=-2,∴a 1=a 2-d=3,∴a n =-2n+5. (2)由(1)得,S n =3n+n (n -1)2×(-2)=-n 2+4n=-(n-2)2+4,∴当n=2时,S n 取得最大值4.9.B 设数列{b n }的首项为b 1,公差为d,则由b 3=-2,b 10=12,得{b 1+2d =-2,b 1+9d =12,解得{b 1=-6,d =2,∴b n =-6+(n-1)×2=2n -8,∴a n+1-a n =2n-8,又a 1=3, ∴a 2-a 1=2×1-8, a 3-a 2=2×2-8,a 4-a 3=2×3-8, …… a 8-a 7=2×7-8,以上各式相加得,a 8-a 1=2×(1+2+3+…+7)-8×7=0,∴a 8=a 1=3.10.D 由a,b,c 成等差数列得2b=a+c,Δ=(-2b)2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2, 当a=c 时,Δ=0,有一个交点; 当a≠c 时,Δ>0,有两个交点.11.C 由题意可得中间的那份为20个面包.设最小的一份为a 1,公差为d,由题意可得[20+(a 1+3d)+(a 1+4d)]×17=a 1+(a 1+d),解得a 1=53,故选C.12.解析 (1)解法一:设等差数列{a n }的公差为d,由题意,得a n >0,且{a 1+a 1+4d =27(a 1+2d )2,7a 1+21d =63,∴{a 1=3,d =2.∴a n =2n+1.解法二:∵{a n }是等差数列,且a 1+a 5=27a 32,∴2a 3=27a 32.又a n >0,∴a 3=7. ∵S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4=63,∴a 4=9,∴d=a 4-a 1=2, ∴a n =a 3+(n-3)d=2n+1. (2)∵b n+1-b n =a n+1,且a n =2n+1, ∴b n+1-b n =2n+3. ∴当n≥2时,b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1=(2n+1)+(2n-1)+…+5+3 =n(n+2),当n=1时,b 1=3满足上式, ∴b n =n(n+2). ∴1b n =1n (n+2)=12(1n -1n+2), ∴T n =1b 1+1b 2+…+1b n -1+1b n=12[(1-13)+(12-14)+(13-15)+ …+(1n -1-1n +1)+(1n-1n +2)]=12(1+12-1n+1-1n+2) =34-2n+32(n+1)(n+2).能力提升练一、选择题1.A 设数列{a n }的公差为d(d≠0),由a 32=a 1a 4得(a 1+2d)2=a 1(a 1+3d),整理,得a 1d+4d 2=0,因为d≠0,所以a 1=-4d,所以S 3=3a 1+3d=-9d,所以S 3S 1=-9d -4d =94,故选A.2.A 由等差数列前n 项和的性质得, S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,…成等差数列. 由S 4=1,S 8=4可得,其公差为2, 所以S 36=S 4+(S 8-S 4)+…+(S 36-S 32)=9×1+9×82×2=81.又因为S 36=36×(a 1+a 36)2,所以a 1+a 36=8118=92,所以a 17+a 18+a 19+a 20=2(a 17+a 20)=2(a 1+a 36)=9. 3.B 由a 1≠0,S 5=S 17,得5a 1+5×42d=17a 1+17×162d,化简,得2a 1+21d=0,即a 11+a 12=0.因为a 1≠0,所以d≠0,所以a 11,a 12符号相反.若d>0,则a 11<0,a 12>0,a 1<0,所以da 11<0,da 12>0,a 1a 12<0,a 1a 11>0;若d<0,则a 11>0,a 12<0,a 1>0,所以da 11<0,da 12>0,a 1a 12<0,a 1a 11>0.综上,选B. 4.C 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d.由S n 有最大值,得d<0.由a11a 10<-1,得a 11<0<a 10,且a 11+a 10<0.由a 10>0,得2a 10=a 1+a 19>0,所以S 19>0.由a 10+a 11<0,得a 1+a 20=a 10+a 11<0,所以S 20<0.所以S n 取正值时,n 的最大值为19. 5.D 由S 5=S 9得a 6+a 7+a 8+a 9=0,即a 1+a 14=0,所以S 14=14×(a 1+a 14)2=0,故A 中结论正确.由S 5=S 9得5a 1+10d=9a 1+36d,即d=-213a 1.因为a 1>0,所以d<0. 再由S n 对应的二次函数的图象知,对称轴为n=5+92=7,所以S 7最大,故B 中结论正确. 由S 6>S 7得a 7<0.又a 1>0,所以d<0,所以a 8<0,所以S 7>S 8.但a 6的符号不确定,所以S 5与S 6的大小无法比较,故C 中结论正确,D 中结论错误.故选D. 二、填空题 6.答案 7解析 因为S 13>0,S 14<0,所以{13(a 1+a 13)2>0,14(a 1+a 14)2<0,即{a 1+a 13>0,a 1+a 14<0, ∴{a 1+a 13=2a 7>0,a 1+a 14=a 7+a 8<0,∴{a 7>0,a 8<0, 又a k ·a k+1<0,∴k=7. 7.答案 4解析 因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和,所以数列{Sn n}是等差数列,所以S m m+S m+2m+2=2S m+1m+1,即-2m +3m+2=0,解得m=4.8.答案 101解析 ∵在前m 项中偶数项之和为S 偶=63,∴奇数项之和为S 奇=135-63=72.设等差数列{a n }的公差为d,则S 奇-S 偶=2a 1+(m -1)d2=72-63=9.∵a m =a 1+d(m-1),∴a 1+a m2=9.由题意得m (a 1+a m )2=135,∴m=15,又∵a m -a 1=14, ∴a 1=2,d=14m -1=1,∴a 100=a 1+99d=101.9.答案 4解析 解法一:由题意,得S n =32n+n (n -1)2×1=12n 2+n,则S k 2=12k 4+k 2,(S k )2=(12k 2+k)2,∴12k 4+k 2=(12k 2+k)2,即14k 4-k 3=0,解得k=0或k=4.∵k∈N *,∴k=4.解法二:∵数列{a n }为等差数列,∴不妨设S n =An 2+Bn,其中A=d2,B=a 1-d2,则S k 2=A(k 2)2+Bk 2,S k =Ak 2+Bk.由S k 2=(S k )2,得k 2(Ak 2+B)=k 2(Ak+B)2.∵k∈N *,∴Ak 2+B=(Ak+B)2,即(A 2-A)·k 2+2ABk+B 2-B=0,又A=d 2=12,B=a 1-d2=1,∴14k 2-k=0,解得k=0(舍去)或k=4.三、解答题10.解析 (1)∵1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n=n 2(n∈N *)①,∴当n≥2时,1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n -1=(n-1)2②.①-②,得1a n=2n-1(n≥2),经检验,1a 1=1满足上式,∴1a n=2n-1(n∈N *),∴a n =12n -1.∴b n =1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-12n+1).(2)由(1)及已知得S n =12·(1-13+13-15+…+12n -1-12n+1)=n2n+1. 又S n =n 2n+1=12-14n+2,n∈N *,∴S n ∈[13,12),∴不等式S n >λ-12恒成立等价于13>λ-12,∴λ<56.故实数λ的取值范围为(-∞,56).11.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d(d≥0),则S 1=a 1=1,S 2=2+d,S 3=3+3d. ∵数列{√S n }为等差数列, ∴2√2+d =1+√3+3d ,解得d=2. ∴a n =1+2(n-1)=2n-1. (2)由(1)得a n+1=2n+1, S n =n+n (n -1)2×2=n 2, ∴b n =a n+1S n ·S n+1=2n+1n 2·(n+1)2=1n2-1(n+1)2.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T n =b 1+b 2+…+b n =(112-122)+(122-132)+…+[1n 2-1(n+1)2]=1-1(n+1)2=n 2+2n(n+1)2.。

[A 组 学业达标]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝a n －1，a 1＝4，则S 5等于( ) A ．25 B ．20 C ．15D ．10解析：依题意a n ＋1－a n ＝－1，故数列{a n }是等差数列，故S 5＝5×4＋5×42×(－1)＝10. 答案：D2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 9＝24，则S 9＝( ) A ．36 B ．72 C ．144D ．70解析：由等差数列的性质得，a 2＋a 4＋a 9＝3a 1＋12d ＝24，则a 5＝a 1＋4d ＝8.S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝72. 答案：B3．已知a 1，a 2，a 3，a 4成等差数列，若S 4＝32，a 2∶a 3＝1∶3，则公差d 为( ) A ．8 B ．16 C ．4D ．0解析：∵S 4＝32，∴2(a 2＋a 3)＝32， ∴a 2＋a 3＝16.又a 2a 3＝13，即a 3＝3a 2，∴a 2＝4，a 3＝12，∴d ＝a 3－a 2＝8.故选A. 答案：A4．设a 1，a 2，…和b 1，b 2，…都是等差数列，其中a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }前100项之和为( ) A ．0 B ．100 C ．10 000D ．50 500解析：易知数列{a n ＋b n }为常数列，且各项均为100，故S 100＝100＋1002×100＝10000.故选C. 答案：C5．在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝18－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( ) A ．66 B ．99 C ．198D ．297解析：∵a 3＋a 9＝18－a 6，∴3a 6＝18，∴a 6＝6. ∴S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝11×6＝66，故选A. 答案：A6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________． 解析：数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，所以S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27. 答案：277．在等差数列{a n }中，若S 9＝18，S n ＝240，a n －4＝30，则n ＝________. 解析：因为S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝18，所以a 5＝2，又S n＝n (a 5＋a n －4)2＝n (2＋30)2＝240，所以n ＝15. 答案：158．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 解析：S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 10＋a 10)2＝19a 10＝19×10＝190.答案：1909．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9. 解析：设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎨⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围； (2)数列{a n }的前几项的和最大？解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d ＞0，13a 1＋13×122d ＜0，a 1＋2d ＝12，整理得⎩⎨⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0，a 1＋2d ＝12，解得－247＜d ＜－3.(2)由(1)知d ＜0，∴a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13＞…. ∵S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＜0，∴a 7＜0.∵S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)＞0，∴a 7＜0，a 6＞0，故数列{a n }的前6项和S 6最大．[B 组 能力提升]11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( ) A ．27 B ．36 C ．45D ．54解析：∵在等差数列{a n }中，2a 8＝a 5＋a 11＝6＋a 11， ∴a 5＝6，故S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝54.故选D.答案：D12．已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＋2a 2＝S 5，下列结论中错误的是( ) A ．S 9＝0 B ．S 5最小 C ．S 3＝S 6D ．a 5＝0解析：由题意知a 1＋2(a 1＋d )＝5a 1＋5×42d ，则a 5＝0，∴a 4＋a 6＝0，∴S 3＝S 6，且S 9＝9a 5＝0，故选B. 答案：B13．等差数列{a n }满足a n －1＋a n ＋a n ＋1＝3n (n ≥2)，函数f (x )＝2x ，b n ＝log 2f (a n )，则函数{b n }的前n 项和为________．解析：∵等差数列{a n }满足a n －1＋a n ＋a n ＋1＝3n (n ≥2)， ∴3a n ＝3n ，即a n ＝n ， ∵函数f (x )＝2x ，∴f (a n )＝2n ，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝log 2[f (a 1)·f (a 2)·…·f (a n )]＝log 2(2×22×…×2n )＝log 221＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 答案：n (n ＋1)214．等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d ＞0，则其前n 项和取最小值时n 的值为________．解析：由d ＞0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2＜0，a 9＝d2＞0，所以前8项和为前n 项和的最小值． 答案：815．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0.解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7为所求结果．16．已知{a n }是各项为正数的等差数列，S n 为其前n 项和，且4S n ＝(a n ＋1)2. (1)求a 1，a 2的值及{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n －72a n 的最小值．解析：(1)因为4S n ＝(a n ＋1)2，所以当n ＝1时，4a 1＝(a 1＋1)2，解得a 1＝1， 当n ＝2时，4(1＋a 2)＝(a 2＋1)2， 解得a 2＝－1或a 2＝3，因为{a n }是各项为正数的等差数列， 所以a 2＝3，所以{a n }的公差d ＝a 2－a 1＝2，所以{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)因为4S n ＝(a n ＋1)2， 所以S n ＝(2n －1＋1)24＝n 2，所以S n －72a n ＝n 2－72(2n －1)＝n 2－7n ＋72＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－354，所以当n ＝3或n ＝4时，S n －72a n 取得最小值为－172.。

高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）2.3 等差数列的前n 项和练习一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）A. 12B. 24C. 36D. 482.从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ）A. 0B. 90C. 180D. 3603.已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ）A.有最小值且是整数B. 有最小值且是分数C. 有最大值且是整数D. 有最大值且是分数4.等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 2605.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为（ ）A. 0B. 100C. 1000D. 100006.若关于x 的方程20x x a -+=和20x x b -+=()a b ≠的四个根组成首项为14的等差数列，则a b +=（ ）A. 38B. 1124C. 1324D. 3172二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .8.等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .9.在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是 .10.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且满足733n n S n T n +=+，则88a b = . 【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0，①求公差d 的取值范围；②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.参考答案：1.B2.C3.A4.C5.D6.D7.08.69.1650 10.611.∵40.8a =，11 2.2a =,∴由1147a a d =+得0.2d =,∴51114010.2a a d =+= ∴5152805130293029303010.20.239322a a a a d ⨯⨯+++=+=⨯+⨯=. 12.①∵121126767713113712()6()002130()1302S a a a a a a a S a a a ⎧=+=+>⎪+>⎧⎪⇔⎨⎨<⎩⎪=+=<⎪⎩,∴111211060212a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩解得,2437d -<<-,②由67700a a a +>⎧⎨<⎩6700a a >⎧⇒⎨<⎩,又∵2437d -<<-∴{}n a 是递减数列, ∴1212,,,S S S 中6S 最大.。

第二章 2.3 第2课时一、选择题1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若d ＝3，S 4＝20，则S 6＝( ) A ．16 B ．24 C ．36 D ．48[答案] D[解析] 由S 4＝20,4a 1＋6d ＝20，解得a 1＝12⇒S 6＝6a 1＋6×52×3＝48.2．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 [答案] B[解析] 由题设求得：a 3＝35，a 4＝33，∴d ＝－2，a 1＝39，∴a n ＝41－2n ，a 20＝1，a 21＝－1，所以当n ＝20时S n 最大．故选B ．3.13×5＋15×7＋17×9＋…＋113×15＝( ) A ．415B ．215C ．1415D ．715[答案] B[解析] 原式＝12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(113－115)＝12(13－115)＝215，故选B ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100[答案] A[解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．∵a 5＝5，S 5＝15 ∴5(a 1＋5)2＝15，∴a 1＝1.∴d ＝a 5－a 15－1＝1，∴a n ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. 则数列{1a n a n ＋1}的前100项的和为：T 100＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1100－1101)＝1－1101＝100101.故选A ．5．设等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，若a 1>0，S 4＝S 8，则当S n 取得最大值时，n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 解法一：∵a 1>0，S 4＝S 8，∴d <0，且a 1＝112d ，∴a n ＝－112d ＋(n －1)d ＝nd －132d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1<0，得⎩⎨⎧nd －132d ≥0(n ＋1)d －132d <0，∴512<n ≤612，∴n ＝6，解法二：∵a 1>0，S 4＝S 8， ∴d <0且a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0， ∴a 6＋a 7＝0，∴a 6>0，a 7<0， ∴前六项之和S 6取最大值．6．设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值[答案] C[解析] 由S 5<S 6知a 6>0，由S 6＝S 7知a 7＝0，由S 7>S 8知a 8<0，C 选项S 9>S 5即a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，∴a 7＋a 8>0，显然错误． 二、填空题7．设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________. [答案] 25[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1a 4＝7得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2，∴S 5＝5a 1＋5×42×d ＝25.8．(2014·北京理，12)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．[答案] 8[解析] 本题考查了等差数列的性质与前n 项和．由等差数列的性质，a 7＋a 8＋a 9＝3a 8，a 7＋a 10＝a 8＋a 9，于是有a 8>0，a 8＋a 9<0，故a 9<0，故S 8>S 7，S 9<S 8，S 8为{a n }的前n 项和S n 中的最大值，等差数列{a n }中首项a 1>0公差d <0，{a n }是一个递减的等差数列，前n 项和有最大值，a 1<0，公差d >0，{a n }是一个递增的等差数列，前n 项和有最小值．三、解答题9．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 取最大值的n 的值．[解析] (1)设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5a 1＋9d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9d ＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋11.(2)由(1)知S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．10．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)设等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ， 由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26， ∴a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26， 解得a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)． (2)∵a n ＝2n ＋1， ∴a 2n －1＝4n (n ＋1)，∴b n ＝14n (n ＋1)＝14(1n －1n ＋1)．故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝14(1－1n ＋1)＝n4(n ＋1)，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).一、选择题1．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9[答案] C[解析] a n ＝120＋5(n －1)＝5n ＋115， 由a n <180得n <13且n ∈N *， 由n 边形内角和定理得，(n －2)×180＝n ×120＋n (n －1)2×5.解得n ＝16或n ＝9 ∵n <13，∴n ＝9.2．已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )A ．11B ．19C ．20D ．21 [答案] B[解析] ∵S n 有最大值，∴a 1>0，d <0， ∵a 11a 10<－1， ∴a 11<0，a 10>0，∴a 10＋a 11<0， ∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0，又S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0，故选B ．3．等差数列{a n }中，a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11[答案] D[解析] S 11＝5×11＝55＝11a 1＋11×102d ＝55d －55，∴d ＝2，S 11－x ＝4×10＝40，∴x ＝15， 又a 1＝－5，由a k ＝－5＋2(k －1)＝15得k ＝11.4．设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] A[解析] ∵{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝15，∴a 2＝5， 又∵a 1·a 2·a 3＝105，∴a 1a 3＝21，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 3＝21a 1＋a 3＝10及{a n }递减可求得a 1＝7，d ＝－2，∴a n ＝9－2n ，由a n ≥0得n ≤4，∴选A ．二、填空题5．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________． [答案] 110[解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为D ． a 3＝a 1＋2d ＝16，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝16，2a 1＋19d ＝2，解得d ＝－2，a 1＝20. ∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝200－90＝110.6．等差数列{a n }中，d <0，若|a 3|＝|a 9|，则数列{a n }的前n 项和取最大值时，n 的值为______________．[答案] 5或6[解析] ∵a 1＋a 11＝a 3＋a 9＝0， ∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝0，根据二次函数图象的性质，由于n ∈N *，所以当n ＝5或n ＝6时S n 取最大值． 三、解答题7．一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差以及项数．[解析] 解法1：设此数列的首项a 1，公差d ，项数2k (k ∈N *)． 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝24S偶＝30a2k －a 1＝212，即⎩⎪⎨⎪⎧S 偶－S 奇＝6，a 2k －a 1＝212， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ kd ＝6，(2k －1)d ＝212，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，d ＝32. 由S 奇＝k 2(a 1＋a 2k －1)＝24，可得a 1＝32.∴此数列的首项为32，公差为32，项数为8.解法二：设此数列的首项为a 1，公差为d ，项数为2k (k ∈N *)， 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝24，S偶＝30，a2k －a 1＝212，即⎩⎪⎨⎪⎧12k (a 1＋a 2k －1)＝24，12k (a 2＋a 2k)＝30，(2k －1)d ＝212，∴⎩⎪⎨⎪⎧k [a 1＋(k －1)d ]＝24，k (a 1＋kd )＝30，(2k －1)d ＝212，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，d ＝32，k ＝4.∴此数列的首项为32，公差为32，项数为8.8．设等差数列的前n 项和为S n .已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．[解析] (1)依题意⎩⎨⎧S12＝12a 1＋12×112d >0S13＝13a 1＋13×122d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0， ①a 1＋6d <0. ② 由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12.③将③分别代入②①，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >03＋d <0，解得－247<d <－3.(2)由d <0可知{a n }是递减数列，因此若在1≤n ≤12中，使a n >0且a n ＋1<0，则S n 最大． 由于S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，可得 a 6>0，a 7<0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

第二章 2.3 第2课时一、选择题1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若d ＝3，S 4＝20，则S 6＝( ) A ．16 B ．24 C ．36 D ．48[答案] D[解析] 由S 4＝20,4a 1＋6d ＝20，解得a 1＝12⇒S 6＝6a 1＋6×52×3＝48.2．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 [答案] B[解析] 由题设求得：a 3＝35，a 4＝33，∴d ＝－2，a 1＝39，∴a n ＝41－2n ，a 20＝1，a 21＝－1，所以当n ＝20时S n 最大．故选B ．3.13×5＋15×7＋17×9＋…＋113×15＝( ) A ．415B ．215C ．1415D ．715[答案] B[解析] 原式＝12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(113－115)＝12(13－115)＝215，故选B ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100[答案] A[解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．∵a 5＝5，S 5＝15∴5a 1＋52＝15，∴a 1＝1.∴d ＝a 5－a 15－1＝1，∴a n ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1. 则数列{1a n a n ＋1}的前100项的和为：T 100＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1100－1101)＝1－1101＝100101.故选A ．5．设等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，若a 1>0，S 4＝S 8，则当S n 取得最大值时，n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 解法一：∵a 1>0，S 4＝S 8，∴d <0，且a 1＝112d ，∴a n ＝－112d ＋(n －1)d ＝nd －132d ，由⎩⎨⎧a n ≥0a n ＋1<0，得⎩⎪⎨⎪⎧nd －132d ≥0n ＋1d －132d <0，∴512<n ≤612，∴n ＝6，解法二：∵a 1>0，S 4＝S 8， ∴d <0且a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0， ∴a 6＋a 7＝0，∴a 6>0，a 7<0， ∴前六项之和S 6取最大值．6．设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值[答案] C[解析] 由S 5<S 6知a 6>0，由S 6＝S 7知a 7＝0，由S 7>S 8知a 8<0，C 选项S 9>S 5即a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，∴a 7＋a 8>0，显然错误． 二、填空题7．设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________. [答案] 25[解析] 由⎩⎨⎧ a 1＝1a 4＝7得⎩⎨⎧a 1＝1d ＝2，∴S 5＝5a 1＋5×42×d ＝25.8．(2014·北京理，12)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．[答案] 8[解析] 本题考查了等差数列的性质与前n 项和．由等差数列的性质，a 7＋a 8＋a 9＝3a 8，a 7＋a 10＝a 8＋a 9，于是有a 8>0，a 8＋a 9<0，故a 9<0，故S 8>S 7，S 9<S 8，S 8为{a n }的前n 项和S n 中的最大值，等差数列{a n }中首项a 1>0公差d <0，{a n }是一个递减的等差数列，前n 项和有最大值，a 1<0，公差d >0，{a n }是一个递增的等差数列，前n 项和有最小值．三、解答题9．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 取最大值的n 的值．[解析] (1)设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝5a 1＋9d ＝－9，解得⎩⎨⎧a 1＝9d ＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n＋11.(2)由(1)知S n ＝na 1＋n n －12d ＝10n －n 2＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．10．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26， ∴a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26， 解得a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)． (2)∵a n ＝2n ＋1， ∴a 2n －1＝4n (n ＋1)， ∴b n ＝14nn ＋1＝14(1n －1n ＋1)． 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝14(1－1n ＋1) ＝n4n ＋1，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝n4n ＋1.一、选择题1．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9[答案] C[解析] a n ＝120＋5(n －1)＝5n ＋115， 由a n <180得n <13且n ∈N *， 由n 边形内角和定理得， (n －2)×180＝n ×120＋n n －12×5.解得n ＝16或n ＝9 ∵n <13，∴n ＝9.2．已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )A ．11B ．19C ．20D ．21[答案] B[解析] ∵S n 有最大值，∴a 1>0，d <0，∵a 11a 10<－1， ∴a 11<0，a 10>0，∴a 10＋a 11<0， ∴S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)<0，又S 19＝19a 1＋a 192＝19a 10>0，故选B ．3．等差数列{a n }中，a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11[答案] D[解析] S 11＝5×11＝55＝11a 1＋11×102d ＝55d －55，∴d ＝2，S 11－x ＝4×10＝40，∴x ＝15， 又a 1＝－5，由a k ＝－5＋2(k －1)＝15得k ＝11.4．设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案] A[解析] ∵{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝15，∴a 2＝5， 又∵a 1·a 2·a 3＝105，∴a 1a 3＝21，由⎩⎨⎧a 1a 3＝21a 1＋a 3＝10及{a n }递减可求得a 1＝7，d ＝－2，∴a n ＝9－2n ，由a n ≥0得n≤4，∴选A ．二、填空题5．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________． [答案] 110[解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为D ．a 3＝a 1＋2d ＝16，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20， ∴⎩⎨⎧a 1＋2d ＝16，2a 1＋19d ＝2，解得d ＝－2，a 1＝20.∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝200－90＝110.6．等差数列{a n }中，d <0，若|a 3|＝|a 9|，则数列{a n }的前n 项和取最大值时，n 的值为______________．[答案] 5或6[解析] ∵a 1＋a 11＝a 3＋a 9＝0， ∴S 11＝11a 1＋a 112＝0，根据二次函数图象的性质，由于n ∈N *，所以当n ＝5或n ＝6时S n 取最大值． 三、解答题7．一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差以及项数．[解析] 解法1：设此数列的首项a 1，公差d ，项数2k (k ∈N *)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝24S 偶＝30a 2k－a 1＝212，即⎩⎨⎧S 偶－S 奇＝6，a2k －a 1＝212，∴⎩⎨⎧kd ＝6，2k －1d ＝212，解得⎩⎨⎧k ＝4，d ＝32.由S 奇＝k 2(a 1＋a 2k －1)＝24，可得a 1＝32.∴此数列的首项为32，公差为32，项数为8.解法二：设此数列的首项为a 1，公差为d ，项数为2k (k ∈N *)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝24，S 偶＝30，a 2k－a 1＝212，即⎩⎪⎨⎪⎧12k a 1＋a 2k －1＝24，12k a 2＋a2k＝30，2k －1d ＝212，∴⎩⎪⎨⎪⎧k [a 1＋k －1d ]＝24，k a 1＋kd ＝30，2k －1d ＝212，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，d ＝32，k ＝4.∴此数列的首项为32，公差为32，项数为8.。

课时跟踪检测(九) 等差数列的前n 项和一、选择题1．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．242．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．233．等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于( )A ．5或7B ．3或5C ．7或－1D ．3或－14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．275．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________.7． 已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．8．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 4＝2a 3，则S 7S 5＝ ________.三、解答题9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n)(n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上．求数列{a n }的通项公式．10．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．答 案课时跟踪检测(九)1．选B 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.2．选C 由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，可知d ＝3，a 1＝－4.∴S 10＝－40＋10×92×3＝95. 3．选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝11，S n ＝35， 即⎩⎨⎧ a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35.解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1. 4．选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列．所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.5．选C 由题意得S 偶－S 奇＝5d ＝15，∴d ＝3.或由解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋20d ＝15，5a 1＋25d ＝30 求得d ＝3，故选C.6．解析：设{a n }的公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12，3a 1＋3×22d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2， 于是a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .答案：2n7．解析：设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则 ⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2×d ＝20，解得a 1＝20，d ＝－2，∴S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110. 答案：1108．解析：由等差数列的性质知S 7S 5＝7a 45a 3＝75×a 4a 3＝75×2＝145. 答案：1459．解：依题意得，S n n＝3n －2， 即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， 因a 1＝S 1＝1，满足a n ＝6n －5，所以a n ＝6n －5(n ∈N *)．10．解：(1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15，解得a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12.(2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n ) ＝32(n －72)2－1478， ∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18.。

2.3 等差数列的前n 项和(二)自主学习知识梳理1．前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(n ＝1)， (n ≥2).2．等差数列前n 项和公式S n ＝____________＝____________.3．等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中当a 1>0，d <0时，S n 有________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组____________确定；当a 1<0，d >0时，S n 有________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组____________确定．(2)因为S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有____________值；当d <0时，S n 有________值；且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值．4．一个有用的结论：若S n ＝an 2＋bn ，则数列{a n }是等差数列．反之亦然．自主探究在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最值．对点讲练知识点一 已知前n 项和S n ，求a n例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－3n ，求通项公式a n .总结 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示．变式训练1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋b ，求a n .知识点二等差数列前n项和最值问题例2在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求S n的最大值．总结在等差数列中，求S n的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于S n为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．变式训练2等差数列{a n}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？知识点三已知{a n}为等差数列，求{|a n|}的前n项和例3已知等差数列{a n}中，记S n是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n项和T n.总结等差数列{a n}前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．变式训练3数列{a n}中，a1＝8，a4＝2，且满足a n＋2－2a n＋1＋a n＝0 (n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求S n.1．公式a n ＝S n －S n －1并非对所有的n ∈N *都成立，而只对n ≥2的正整数才成立．由S n求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n 项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n 取得最小值．3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点.课时作业一、选择题1．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－8，a 15＝5，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 9<S 10B ．S 9＝S 10C ．S 11<S 10D ．S 11＝S 102．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( )A ．9B ．8C ．7D ．63．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( ) A.310 B.13 C.18 D.194．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2n 2 (n ∈N *)，则当n ≥2时，下列不等式成立的是( )A ．S n >na 1>na nB ．S n >na n >na 1C ．na 1>S n >na nD ．na n >S n >na 15．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值题 号1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－n (n ∈N *)，则通项a n ＝________.7．等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是______．8．在等差数列{a n }中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n ＝________.三、解答题9．已知f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(1)设f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列；(2)设f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成{b n }，求{b n }的前n 项和．10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．§2.3 等差数列的前n 项和(二)知识梳理1．S 1 S n －S n －12.n (a 1＋a n )2 na 1＋n (n －1)2d 3．(1)最大 ⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1≤0 最小 ⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0 (2)最小 最大 自主探究解 方法一 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12，d ＝2. ∴a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<….∴当n ＝6或n ＝7时，S n 取到最小值．易求S 7＝－42，∴(S n )min ＝－42.方法二 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－13n ＝⎝⎛⎭⎫n －1322－1694. ∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最小，且(S n )min ＝－42. 对点讲练例1 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －5.又∵a 1＝－1，适合a n ＝4n －5，∴a n ＝4n －5 (n ∈N *)．变式训练1 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋b .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1.因此，当b ＝－1时，a 1＝2适合a n ＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1.当b ≠－1时，a 1＝3＋b 不适合a n ＝2·3n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2). 综上可知，当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2). 例2 解 方法一 利用前n 项和公式和二次函数性质．由S 17＝S 9，得25×17＋172×(17－1)d ＝25×9＋92×(9－1)d ， 解得d ＝－2，所以S n ＝25n ＋n 2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169， 由二次函数性质可知，当n ＝13时，S n 有最大值169.方法二 先求出d ＝－2，因为a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0， 得⎩⎨⎧ n ≤1312，n ≥1212.所以当n ＝13时，S n 有最大值．S 13＝25×13＋13×(13－1)2×(－2)＝169. 因此S n 的最大值为169.方法三 由S 17＝S 9，得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0，而a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝a 12＋a 15＝a 13＋a 14，故a 13＋a 14＝0.由方法一知d ＝－2<0，又因为a 1>0，所以a 13>0，a 14<0，故当n ＝13时，S n 有最大值．S 13＝25×13＋13×(13－1)2×(－2)＝169. 因此S n 的最大值为169.变式训练2 解 方法一 由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1， 由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0a n ＋1＝a 1＋nd ≥0， 得⎩⎨⎧ 1－110(n －1)≥01－110n ≤0，解得10≤n ≤11.∴当n 为10或11时，S n 取最小值，∴该数列前10项或前11项的和最小．方法二 由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1， 由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，得S n ＝⎝⎛⎭⎫－120a 1·n 2＋⎝⎛⎭⎫2120a 1·n ＝－a 120⎝⎛⎭⎫n －2122＋44180a 1 (a 1<0)， 由二次函数性质可知n ＝212＝10.5时，S n 最小． 但n ∈N *，故n ＝10或11时S n 取得最小值．所以该数列前10项或者前11项的和最小．例3 解 由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎨⎧ 2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝9，d ＝－2. 所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．(1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .(2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50 (n ≥6). 变式训练3 解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1.∴{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2，∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n .(2)T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (8＋10－2n )2＝9n －n 2. ∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0.∴当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n＝2×(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝T n ＝9n －n 2.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9n －n 2， (n ≤5)n 2－9n ＋40， (n >5) n ∈N *. 课时作业1．B [由已知得d ＝a 15－a 215－2＝1，∴a 1＝－9， ∴a 10＝a 1＋9d ＝0，∴S 10＝S 9＋a 10＝S 9.]2．B [由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，∴a n ＝2n －10. 由5<2k －10<8，得：7.5<k <9，∴k ＝8.]3．A [方法一 S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13，∴a 1＝2d ，S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310. 方法二 由S 3S 6＝13， 得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍然是等差数列， 公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3， S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.] 4．C [由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)， 解得a n ＝5－4n .∴a 1＝5－4×1＝1，∴na 1＝n ，∴na n ＝5n －4n 2， ∵na 1－S n ＝n －(3n －2n 2)＝2n 2－2n ＝2n (n －1)>0. S n －na n ＝3n －2n 2－(5n －4n 2)＝2n 2－2n >0.∴na 1>S n >na n .]5．C [由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0.由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0.]6．2n －27．5或6解析 d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0， ∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>….∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值．8．10解析 由已知，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，两式相加，得 (a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＝93，即a 1＋a n ＝31.由S n ＝n (a 1＋a n )2＝31n 2＝155，得n ＝10. 9．(1)证明 f (x )＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8，∴a n ＝3n －8，∵a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列．(2)解 b n ＝|3n －8|.当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，b 1＝5.S n ＝n (5＋8－3n )2＝13n －3n 22. 当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝5＋2＋1＋4＋…＋(3n －8)＝7＋(n －2)(1＋3n －8)2＝3n 2－13n ＋282. ∴S n ＝⎩⎨⎧13n －3n 22 (1≤n ≤2)，3n 2－13n ＋282 (n ≥3).10．解 (1)根据题意，有：⎩⎨⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解之得：－247<d <－3. (2)∵d <0，∴a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13>…，而S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0. 又S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0， ∴a 6>0.∴数列{a n }的前6项和S 6最大．。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2.3 等差数列的前n 项和(人教A 版必修5)建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题3分，共27分）1.已知数列{}n a 为等差数列，公差2d ＝－，n S 为其前n 项和．若1011S S ＝，则1a ＝( )A.18B.20C.22D.242.若11a =，2d ＝，224k k S S ＋－＝，则k ＝( ) A.8 B.7 C.6 D.53.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a =12，4S ＝20，则6S =( ) A.16 B.24 C.36 D.484.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11m m a a －＋＋－2ma ＝0，21m S －＝38，则m ＝( )A.38B.20C.10D.95.数列{}n a 是等差数列，12324a a a ＋＋＝－，1819a a ＋＋2078a ＝，则此数列的前20项和等于( )A.160B.180C.200D.2206.等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，2811a a a ＋＋是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A.7SB.8SC.13SD.15S7.已知等差数列{}n a 满足244a a ＋＝，3510a a ＋＝，则它的前10项的和10S ＝( )A.138B.135C.95D.238.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( ) A.24 B.26 C.27 D.289.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1OB a OA=200a OC +且,,A B C 三点共线(该直线不过点O )，则200S ＝( )A.100B.101C.200D.201二、填空题（每小题4分，共16分）10.在等差数列{}n a 中，10a ＞，d ＝12，n a ＝3，n S ＝152，则1a ＝ ，n ＝ . 11. 设等差数列的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= ．12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为18，若3S ＝1，n a 123n n a a －－＋＋＝，则n ＝ .13.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ． 三、解答题（共57分）14.(8分)在等差数列{}n a 中：(1)已知51058a a ＋＝，4950a a ＋＝，求10S ； (2)已知742S ＝，510n S ＝，345n a －＝，求n .15.（8分) 已知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的项构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？16.（8分）已知等差数列{}n a ， (1)若271221a a a ＋＋＝，求13S ； (2)若1575S ＝，求8a .17.（9分）已知在正整数数列{}n a 中，前n 项和n S 满足：n S ＝18(n a ＋2)2.(1)求证：{}n a 是等差数列；(2)若n b ＝12n a －30，求数列{}n b 前n 项和的最小值．18.（12分）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且4S =－62, 6S =－75,求：（1）}{n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）|1a |+|2a |+|3a |+…+|14a |.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和278n S n n ＝－－. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T .2.3 等差数列的前n和(人教A版必修5)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9答案二、填空题10． 11． 12. 13.三、解答题14.15.16.17.18.19.2.3 等差数列的前n项和(人教A版必修5)答案1.B 解析：由1011S S ＝，得1111100a S S ＝－＝，111(111)0(10)(2)20a a d ⨯＝＋－＝＋－－＝.2.D 解析：∵ 212111(1)2(21)21(21)24424k k k k S S a a a kd a k d a k d k k ⨯⨯＋＋＋－＝＋＝＋＋＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝，∴ 5k ＝.3.D 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，∵ 1a ＝12，4S ＝4×12＋4×32d ＝2＋6d ＝20，∴ d ＝3，故6S ＝6×12＋6×52×3＝48，故选D.4.C 解析：由等差数列的性质，得112m m m a a a －＋＋＝，∴ 22m m a a ＝.由题意得0m a ≠，∴ 2m a ＝.又21m S －＝121(21)()2(21)22m m m a a a m --+-=＝2(21)m －＝38，∴ m ＝10.5.B 解析：∵ {}n a 是等差数列，∴ 120219318a a a a a a ＋＝＋＝＋.又12324a a a ＋＋＝－，18192078a a a ＋＋＝，∴ 12021931854a a a a a a ＋＋＋＋＋＝. ∴ 1203()54a a ＋＝.∴ 12018a a ＋＝.∴ 20S ＝12020()2a a +＝180. 6.C 解析：由已知28111173183(6)3a a a a d a d a ＋＋＝＋＝＋＝为定值，则13S ＝11313()2a a +＝137a 也为定值，故选C. 7.C 解析：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则24354,10.a a a a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②②－①，得2d ＝6，∴ d ＝3.∴ 2411113242434a a a d a d a d a ⨯＋＝＋＋＋＝＋＝＋＝.∴ 14a ＝－.∴ 10S ＝10×(－4)＋10×92×3＝－40＋135＝95.故选C.8.B 解析：设该等差数列为{}n a ，由题意得123421a a a a ＋＋＋＝，12367n n n n a a a a －－－＋＋＋＝. 又∵ 1213243n n n n a a a a a a a a －－－＋＝＋＝＋＝＋，∴ 14()216788n a a ＋＝＋＝，∴ 122n a a ＋＝， ∴ n S ＝1()2n n a a +11286n ＝＝，∴ 26n ＝. 9.A 解析：∵ 1200OB a OA a OC =+，且,,A B C 三点共线， ∴ 12002001a a S ＋＝，＝1200200()2a a +100＝.二、填空题10.23 解析：由题意，得1113(1)21511=(1),222a n na n n ⎧=+-⨯⎪⎪⎨⎪+⨯-⨯⎪⎩，解得12,3.a n =⎧⎨=⎩ 11.24 解析：∵ }{n a 是等差数列,972S =,599,S a ∴=58a =.∴2492945645()()324a a a a a a a a a a ++=++=++==. 12.27 解析：由题意得1()182n n n a a S +==. 由121233,1,n n n a a a a a a --++=⎧⎨++=⎩得13()4n a a ＋＝，即1n a a ＋＝43，故n ＝136362743na a ==+. 13.3 解析：1357915S a a a a a 奇＝＋＋＋＋＝，24681030S a a a a a 偶＝＋＋＋＋＝，∴ 515S S d 偶奇－＝＝，∴ 3d ＝.14.(1)解法一：由已知条件得510149121358,21150,a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩解得13,4.a d =⎧⎨=⎩∴ 10110S a ＝＋10(101)2d ⨯-⨯103⨯＝＋1092⨯4210⨯＝. 解法二：由已知条件得51011049110458,250,a a a a d a a a a d +=++=⎧⎨+=++=⎩∴ 11042a a ＋＝，∴ 10S ＝11010()2a a ⨯+542210⨯＝＝.解法三：由51049()()25850a a a a d ＋－＋＝＝－，得4d ＝； 由4950a a ＋＝，得121150a d ＋＝，∴ 13a ＝. 故10103S ⨯＝＋10942102⨯⨯=. (2)解：7S ＝177()2a a +4742a ＝＝，∴ 46a ＝. ∴ n S ＝()()()14345510222-+++===6n n n a a n a a n .∴ 20n ＝.15.解：设新数列为{},4,)1(,3,2,1512511d b b d n b b a b a b b n n +=-+=====有根据则即3=2+4d ，∴ 14d =，∴ 172(1)44n n b n +=+-⨯=. 1(43)7(1)114n n a a n n -+=+-⨯=+=又，∴ 43n n a b -=.即原数列的第n 项为新数列的第（4n －3）项．（1）当n =12时，4n －3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项； （2）由4n －3=29,得n =8，故新数列的第29项是原数列的第8项. 16.解：(1)∵ 21211372a a a a a ＋＝＋＝，271221a a a ＋＋＝， ∴ 7321a ＝，即7a ＝7. ∴ 13S ＝11313()2a a +＝71322a ⨯＝91. (2)∵ 15S ＝11515()2a a +＝81522a ⨯＝75，∴ 8a ＝5. 17.（1）证明：由21(2)8n n S a ＝＋，得2111(2)8n n S a －－＝＋(n ≥2)．当n ≥2时，n a ＝n S －1n S －＝182(2)n a ＋－1821(2)n a －＋，整理，得11()(4)0n n n n a a a a －－＋－－＝.∵ 数列{}n a 为正整数数列，∴ 10,n n a a +≠－ ∴ 14n n a a －－＝，即{}n a 为等差数列．(2)解：∵ 1S ＝1821(2)a ＋，∴ 1a ＝1821(2)a ＋，解得1a ＝2.∴ n a ＝2＋4(n －1)＝4n －2.∴ n b ＝12n a －30＝12(4n －2)－30＝2n －31.令n b <0，得n <312. ∴ 15S 为前n 项和的最小值，即151215S b b b ＝＋＋＋＝2(1＋2＋…＋15)－15×31＝－225. 18.解：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，依题意得⎩⎨⎧-=+-=+，，75156626411d a d a解得120,3.=⎧⎨=⎩－a d(1)2)23320(2)(,233)1(11-+-=+=-=-+=n n n a a S n d n a a n n n 234322n n =-.(2){}120,3,n a d a n =-=∴的项随着的增大而增大.1Z 202300,32303(1)230,(),7,337+≤≥-≤+-≥∴≤≤∈=k k a a k k k k k 设且得且数.即第项及之前均为负∴ 123141278914||||||||()()a a a a a a a a a a ++++=-+++++++1472147S S =-=.19.解：(1)当n ＝1时，11a S ＝＝－14； 当n ≥2时，1n n n a S S －＝－＝2n －8， 故n a ＝14(1),28(2).n n n -=⎧⎨-≥⎩(2)由n a ＝2n －8可知：当n ≤4时，n a ≤0；当n ≥5时，0n a >. ∴ 当1≤n ≤4时，278n n T S n n ＝－＝－＋＋；当n ≥5时，22444()2782(20)732n n n T S S S S S n n n n ⨯＝－＋－＝－＝－－－－＝－＋.∴ n T ＝2278(14),732(5).n n n n n n ⎧-++≤≤⎪⎨-+≥⎪⎩。

2.3 等差数列的前n 项和第1课时数列的前n 项和与等差数列的前n 项和A 级 基础巩固一、选择题1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( )A ．12B ．24C ．36D ．48解析：由S 10＝10（a 1＋a 10）2，得a 1＋a 10＝S 105＝1205＝24. 答案：B2．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．7解析：法一：由⎩⎨⎧S 2＝2a 1＋d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝20.解得d ＝3.法二：由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3.答案：B3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.答案：B4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )A ．12B ．14C ．16D ．18解析：因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n （a 1＋a n ）2＝210，得n ＝14.答案：B5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D.12解析：S 9S 5＝92（a 1＋a 9）52（a 1＋a 5）＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 答案：A二、填空题6．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 11等于________．解析：设⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1的公差为d ，则有1a 7＋1＝1a 3＋1＋4d ， 解得d ＝124，所以1a 11＋1＝1a 3＋1＋8d ， 即1a 11＋1＝12＋1＋13， 解得a 11＝12. 答案：127．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －30，S n 是{|a n |}的前n 项和，则S 10＝________．解析：a n ＝2n －30，令a n ＜0，得n ＜15，即在数列{a n }中，前14项均为负数，所以S 10＝－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＝－102(a 1＋a 10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190. 答案：190三、解答题9．等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若S n ＝242，求n .解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d .则⎩⎨⎧a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，解得⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n （n －1）2d 以及a 1＝12， d ＝2，S n ＝242，得方程242＝12n ＋n （n －1）2·2， 即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．故n ＝11.10．已知等差数列{a n }的公差劲d ＝1，前n 项和为S n .(1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 2；(2)若S 5＞a 1a 9求a 1的取值范围．解：(1)因为数列{a n }的公差d ＝－1，且1，a 1，a 3成等比数列，所以a 21＝1×(a 1＋2)，即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或2.(2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5＞a 1a 9，所以5a 1＋10＞a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10＜0，解得－5＜a 1＜2.故a 1的取值范围是(－5，2)．B 级 能力提升1．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *), 则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3（k ＋1）≤0，所以193≤k ≤223，因为k ∈N *，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7.答案：B2．在等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，则满足S n ＜0的n 的最大值为________．解析：因为a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，所以a 11＞－a 10，a 1＋a 20＝a 10＋a 11＞0，所以S 20＝20（a 1＋a 20）2＞0. 又因为a 10＋a 10＜0，所以S 19＝19×（a 10＋a 10）2＝19a 10＜0，故满足S n ＜0的n 的最大值为19.答案：193．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)依题意，得S n n＝3n －2， 即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5；当n ＝1时，a 1＝1也适合．即a n ＝6n －5.(2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝3（6n －5）[6（n ＋1）－5]＝ 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16n －5－16n ＋1，故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝ 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16n －5－16n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－16n ＋1.。

2.3《等差数列的前n 项和》作业（第二课时）1.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ）A.5B.4C. 3D.22.在等差数列{}n a 中，若1264=+a a ,S n 是数列{}n a 的前n 项和，则9S 的值为 ( )（A ）48 (B)54 (C)60 (D)663.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3163=S S ,则=126S S ( ) （A ）103 （B ） 31 （C ）8 （D ）91 4.已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）A ．55B ．70C ．85D ．1005.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若80,15321321==++a a a a a a ，，则111213a a a ++= （ ）A ． 120B ． 105C ． 90D ．756. {}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( )（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）6707. 若等差数列{}n a 的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S 若＝则432,3,1S a a ==（ ）A ．12B ．10C ．8D ．69．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）A ．63B ．45C ．36D ．2710. 等差数列{}n a 的公差是正数,且4,126473-=+-=a a a a ,求它的前20项的和.11. 已知数列{}n a 为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。

2.3 等差数列的前n 项和第1课时 等差数列的前n 项和课后篇巩固提升基础巩固1.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 2+a 5=4,S 7=21,则a 7的值为( ) A.6B.7C.8D.9{a n }的公差为d ,则{a 1+d +a 1+4d =4,7a 1+7×62d =21,解得{a 1=-3,d =2,所以a 7=a 1+6d=-3+6×2=9,故选D .2.在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项的和S 11=( ) A .58 B .88C .143D .176S 11=11(a 1+a 11)2,a 1+a 11=a 4+a 8=16, ∴S 11=11×162=88,故选B .3.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a n 等于( ) A.n B.n 2 C.2n+1 D.2n-1n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2-(n-1)2=2n-1,且a 1=1适合上式,故a n =2n-1(n ∈N *).4.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:相逢时良马比驽马多行( ) A.1 125里B.920里C.820里D.540里{a n },则{a n }是以103为首项,以13为公差的等差数列,其前n 项和为A n ,驽马每天所行路程为{b n },则{b n }是以97为首项,以-12为公差的等差数列,其前n 项和为B n ,设共用n 天二马相逢,则A n +B n =2×1 125,所以103n+n (n -1)2×13+97n+n (n -1)2(-12)=2 250,化简得n 2+31n-360=0,解得n=9. A 9=103×9+9×82×13=1 395,B 9=2 250-1 395=855,A 9-B 9=1 395-855=540.5.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n+1,令b n =1n(a 1+a 2+…+a n ),则数列{b n }的前10项和T 10=( ) A.70B.75C.80D.85a n =2n+1,∴数列{a n }是等差数列,首项a 1=3,其前n 项和S n =n (a 1+a n )2=n (3+2n+1)2=n 2+2n ,∴b n =1nS n =n+2,∴数列{b n }也是等差数列,首项b 1=3,公差为1,∴其前10项和T 10=10×3+10×92×1=75,故选B .6.设数列{a n }是等差数列,且a 2+a 3+a 4=15,则该数列的前5项和S 5= .a 2+a 3+a 4=15,得3a 3=15,解得a 3=5,故S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=25.7.在等差数列{a n }中,其前n 项和为S n ,若S 12=8S 4,则a1d =.S 12=12a 1+12×112d ,S 4=4a 1+4×32d ,∴12a 1+66d=32a 1+48d.∴20a 1=18d. ∴a1d =1820=910.8.已知数列{a n }的前n 项和为S n =n ·2n -1,则a 3+a 4+a 5= .3+a 4+a 5=S 5-S 2=(5×25-1)-(2×22-1)=152.9.设数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S nn)(n ∈N *)均在函数y=3x-2的图象上,求数列{a n }的通项公式.,得Sn n=3n-2,即S n =3n 2-2n.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(3n 2-2n )-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5. 因为a 1=S 1=1,满足a n =6n-5, 所以a n =6n-5(n ∈N *).10.已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n+2=2a n+1-a n +2. (1)设b n =a n+1-a n ,证明{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.∵a n+2=2a n+1-a n +2,∴a n+2-a n+1=a n+1-a n +2,即b n+1=b n +2.又b1=a2-a1=2-1=1,∴数列{b n}是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,a n+1-a n=1+2(n-1)=2n-1,∴a n-a n-1=2(n-1)-1,a n-1-a n-2=2(n-2)-1,……a2-a1=2×1-1,累加,得a n-a1=2×n(n-1)2-(n-1)=n2-2n+1,∴a n=a1+n2-2n+1=n2-2n+2,∴数列{a n}的通项公式为a n=n2-2n+2.能力提升1.在等差数列{a n}中,2a4+a7=3,则数列{a n}的前9项和S9等于()A.3B.6C.9D.12{a n}的公差为d,因为2a4+a7=3,所以2(a1+3d)+a1+6d=3,整理,得a1+4d=1,即a5=1,所以S9=9(a1+a9)2=9a5=9.2.若公差不为0的等差数列{a n}的前21项的和等于前8项的和,且a8+a k=0,则正整数k的值为()A.20B.21C.22D.23{a n}的前n项和为S n,由题意,得S21=S8,即a9+a10+…+a21=0.根据等差数列的性质,得13a15=0,即a15=0.故a8+a22=2a15=0,即k=22.故选C.3.已知等差数列{a n},a2=6,a5=15,若b n=a2n,则数列{b n}的前5项和等于()A.30B.45C.90D.186{a n}易得公差d1=3.又b n=a2n,所以{b n}也是等差数列,公差d2=6.故S5=b1+b2+b3+b4+b5=a2+a4+a6+a8+a10=5×6+5×42×6=90.4.设S n为等差数列{a n}的前n项和,S n=336,a2+a5+a8=6,a n-4=30(n≥5,n∈N*),则n等于()A.8B.16C.21D.32a2+a5+a8=6,得3a5=6,所以a5=2.因为a5+a n-4=a1+a n=2+30=32,所以S n=n(a1+a n)2=32n2=336,解得n=21.5.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-1(n∈N*),则a5=.n ≥2时,由S n =2a n -1,得S n-1=2a n-1-1.两式相减,得a n =2a n -2a n-1,所以a n =2a n-1.因为a 1=2a 1-1,所以a 1=1,故a 5=2a 4=22a 3=23a 2=24a 1=16.6.在数列{a n }中,a n =4n-52,a 1+a 2+…+a n =an 2+bn+c ,n ∈N *,其中a ,b 为常数,则ab+c= .a n =4n-52,即a n 是关于n 的一次函数,所以数列{a n }是等差数列,所以a 1+a 2+…+a n =n (32+4n -52)2=2n 2-12n ,因此a=2,b=-12,c=0,故ab+c=2×(-12)+0=-1.17.已知数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0),且满足a n +2S n ·S n-1=0(n ≥2),a 1=12. (1)求证:{1S n}是等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式.-a n =2S n S n-1(n ≥2),∴-S n +S n-1=2S n S n-1(n ≥2).又S n ≠0(n=1,2,3,…),∴1S n−1S n -1=2.又1S 1=1a 1=2,∴{1S n}是以2为首项,2为公差的等差数列.(1)可知1S n=2+(n-1)·2=2n ,∴S n =12n.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=12n −12(n -1)=-12n (n -1)(或当n ≥2时,a n =-2S n S n -1=-12n (n -1));当n=1时,S 1=a 1=12.故a n ={12,n =1,-12n (n -1),n≥2.8.设S n 为数列{a n }的前n 项和,S n =λa n -1(λ为常数,n=1,2,3,…).(1)若a 3=a 22,求λ的值;(2)是否存在实数λ,使得数列{a n }是等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.因为S n =λa n -1,所以a 1=λa 1-1,a 2+a 1=λa 2-1,a 3+a 2+a 1=λa 3-1. 由a 1=λa 1-1,可知λ≠1, 所以a 1=1λ-1,a 2=λ(λ-1)2,a 3=λ2(λ-1)3. 因为a 3=a 22,所以λ2(λ-1)3=λ2(λ-1)4,解得λ=0或λ=2.(2)假设存在实数λ,使得数列{a n }是等差数列,则2a 2=a 1+a 3, 由(1)可得2λ(λ-1)2=1λ-1+λ2(λ-1)3,所以2λ(λ-1)2=2λ2-2λ+1(λ-1)3=2λ(λ-1)2+1(λ-1)3,即1(λ-1)3=0,显然不成立,所以不存在实数λ,使得数列{a n}是等差数列.。

§2.3 等差数列的前n 项和(二)课时目标1．熟练掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵活运用． 2．掌握等差数列前n 项和的最值问题． 3．理解an 与Sn 的关系，能根据Sn 求an.1．前n 项和Sn 与an 之间的关系对任意数列{an}，Sn 是前n 项和，Sn 与an 的关系可以表示为an ＝⎩⎨⎧S1＝，Sn －Sn －2．等差数列前n 项和公式 Sn ＝＋2＝na1＋－2d.3．等差数列前n 项和的最值 (1)在等差数列{an}中当a1>0，d<0时，Sn 有最大值，使Sn 取到最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧an≥0an ＋1≤0确定；当a1<0，d>0时，Sn 有最小值，使Sn 取到最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧an≤0an ＋1≥0确定．(2)因为Sn ＝d 2n2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－d 2n ，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn 有最小值；当d<0时，Sn 有最大值；且n 取最接近对称轴的自然数时，Sn 取到最值． 一个有用的结论：若Sn ＝an2＋bn ，则数列{an}是等差数列．反之亦然．一、选择题1．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2，则an 等于( ) A ．n B ．n2 C ．2n ＋1 D ．2n －1 答案 D2．数列{an}为等差数列，它的前n 项和为Sn ，若Sn ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 答案 B解析 等差数列前n 项和Sn 的形式为：Sn ＝an2＋bn ， ∴λ＝－1.3．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2－9n ，第k 项满足5<ak<8，则k 为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析 由an ＝⎩⎨⎧S1， n ＝1Sn －Sn －1， n≥2，∴an ＝2n －10.由5<2k －10<8，得7.5<k<9，∴k ＝8.4．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若S3S6＝13，则S6S12等于( ) A.310 B.13 C.18 D.19 答案 A解析 方法一 S3S6＝3a1＋3d 6a1＋15d ＝13⇒a1＝2d ，S6S12＝6a1＋15d 12a1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310.方法二 由S3S6＝13，得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差数列，公差为(S6－S3)－S3＝S3，从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3⇒S9＝6S3， S12－S9＝S3＋3S3＝4S3⇒S12＝10S3，所以S6S12＝310.5．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a5a3＝59，则S9S5等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D.12 答案 A解析 由等差数列的性质，a5a3＝2a52a3＝a1＋a9a1＋a5＝59，∴S9S5＝92＋52＋＝95×59＝1.6．设{an}是等差数列，Sn 是其前n 项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是( ) A ．d<0 B ．a7＝0C ．S9>S5D ．S6与S7均为Sn 的最大值 答案 C解析 由S5<S6，得a6＝S6－S5>0.又S6＝S7⇒a7＝0，所以d<0. 由S7>S8⇒a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9 ＝2(a7＋a8)<0即S9<S5. 二、填空题7．数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝n2－n ，(n ∈N*)，则通项an ＝________. 答案 2n －28．在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17，则前n 项和Sn 的最大值是________． 答案 169解析 方法一 利用前n 项和公式和二次函数性质．由S17＝S9，得25×17＋172×(17－1)d ＝25×9＋92×(9－1)d ，解得d ＝－2， 所以Sn ＝25n ＋n2(n －1)×(－2) ＝－(n －13)2＋169，由二次函数性质可知，当n ＝13时，Sn 有最大值169. 方法二 先求出d ＝－2，因为a1＝25>0，由⎩⎨⎧an ＝25－－，an ＋1＝25－2n≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312，n≥1212.所以当n ＝13时，Sn 有最大值． S13＝25×13＋－2×(－2)＝169.因此Sn 的最大值为169.方法三 由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0， 而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故a13＋a14＝0.由方法一知d ＝－2<0， 又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，故当n ＝13时，Sn 有最大值． S13＝25×13＋－2×(－2)＝169.因此Sn 的最大值为169.9．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n ＝________. 答案 10解析 由已知，a1＋a2＋a3＝15，an ＋an －1＋an －2＝78，两式相加，得 (a1＋an)＋(a2＋an －1)＋(a3＋an －2)＝93，即a1＋an ＝31. 由Sn ＝＋2＝31n2＝155，得n ＝10.10．等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列在n ＝k 时，前n 项和Sn 取到最小值，则k 的值是________． 答案 10或11解析 方法一 由S9＝S12，得d ＝－110a1，由⎩⎨⎧an ＝a1＋－an ＋1＝a1＋nd≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－110－1－110n≤0，解得10≤n≤11.∴当n 为10或11时，Sn 取最小值， ∴该数列前10项或前11项的和最小． 方法二 由S9＝S12，得d ＝－110a1，由Sn ＝na1＋－2d ＝d 2n2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－d 2n ， 得Sn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120a1·n2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2120a1·n ＝－a120⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋44180a1 (a1<0)，由二次函数性质可知n ＝212＝10.5时，Sn 最小． 但n ∈N*，故n ＝10或11时Sn 取得最小值． 三、解答题11．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n 项和Sn 及使得Sn 最大的序号n 的值． 解 (1)由an ＝a1＋(n －1)d 及a3＝5，a10＝－9得 ⎩⎨⎧ a1＋2d ＝5，a1＋9d ＝－9，可解得⎩⎨⎧a1＝9，d ＝－2， 所以数列{an}的通项公式为an ＝11－2n. (2)由(1)知，Sn ＝na1＋－2d ＝10n －n2.因为Sn ＝－(n －5)2＋25， 所以当n ＝5时，Sn 取得最大值．12．已知等差数列{an}中，记Sn 是它的前n 项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n 项和Tn.解由S2＝16，S4＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧2a1＋2×12d ＝16，4a1＋4×32d ＝24.即⎩⎨⎧ 2a1＋d ＝16，2a1＋3d ＝12. 解得⎩⎨⎧a1＝9，d ＝－2.所以等差数列{an}的通项公式为an ＝11－2n (n ∈N*)．(1)当n≤5时，Tn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an ＝Sn ＝－n2＋10n.(2)当n≥6时，Tn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an ＝2S5－Sn ＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n ＋50， 故Tn ＝⎩⎨⎧－n2＋10n ，n2－10n ＋能力提升13．数列{an}的前n 项和Sn ＝3n －2n2 (n ∈N*)，则当n≥2时，下列不等式成立的是( ) A ．Sn>na1>nan B ．Sn>nan>na1 C ．na1>Sn>nan D ．nan>Sn>na1 答案 C解析 方法一 由an ＝⎩⎨⎧S1＝Sn －Sn －，解得an ＝5－4n.∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n ， ∴nan ＝5n －4n2，∵na1－Sn ＝n －(3n －2n2)＝2n2－2n ＝2n(n －1)>0. Sn －nan ＝3n －2n2－(5n －4n2)＝2n2－2n>0. ∴na1>Sn>nan.方法二 ∵an ＝5－4n ， ∴当n ＝2时，Sn ＝－2， na1＝2，nan ＝－6， ∴na1>Sn>nan.14．设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a3＝12，且S12>0，S13<0. (1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解 (1)根据题意，有：⎩⎪⎨⎪⎧12a1＋12×112d>0，13a1＋13×122d<0，a1＋2d ＝12，整理得：⎩⎨⎧2a1＋11d>0，a1＋6d<0，a1＋2d ＝12.解之得：－247<d<－3. (2)∵d<0， 而S13＝＋2＝13a7<0，∴a7<0.又S12＝＋2＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，∴a6>0.∴数列{an}的前6项和S6最大．1．公式an ＝Sn －Sn －1并非对所有的n ∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn 求通项公式an ＝f(n)时，要分n ＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n 项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a1>0，d<0，⎩⎨⎧ an≥0，an ＋1≤0时，Sn 取得最大值；当a1<0，d>0，⎩⎨⎧an≤0，an ＋1≥0时，Sn取得最小值．3．求等差数列{an}前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．。