2016北京卷高考数学(文)试题下载_2016高考真题精编版

---2016 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共 5 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（ 1）已知集合 A{ x | 2 x 4}, B { x | x3或 x>5} ，则 A B（ A ） { x|2<x<5}（ B） { x|x<4或 x > 5}（ C） { x|2<x<3}（ D） { x|x<2或 x > 5}（2）复数1 2i= 2 i（ A ）i （B ） 1+i （ C）i （D） 1 i（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）8（B ）9（C）27（D ）36（ 4）下列函数中，在区间( 1,1)上为减函数的是（ A ） y1（B）y cosx （C）y ln( x 1)（D）y2 x 1x（5）圆（ x+1）2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为（A）1（B）2（C）2（D）22（ 6）从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（A）1（B）2（C）8（D）9 552525数学（文）（北京卷）本试卷共 5 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

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第一部分（选择题共40分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（ 1）已知集合 A{ x | 2 x 4}, B { x | x3或 x>5} ，则 A B（ A ） { x|2<x<5}（ B） { x|x<4或 x > 5}（ C） { x|2<x<3}（ D） { x|x<2或 x > 5}（2）复数1 2i= 2 i（ A ）i （B ） 1+i （ C）i （D） 1 i（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）8（B ）9（C）27（D ）36（ 4）下列函数中，在区间( 1,1)上为减函数的是（ A ） y1（B）y cosx （C）y ln( x 1)（D）y2 x 1x（5）圆（ x+1）2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为（A）1（B）2（C）2（D）22（ 6）从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（A）1（B）2（C）8（D）9 552525数学（文）（北京卷）本试卷共 5 页， 150 分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试〔北京卷〕数学〔文科〕第一部分〔选择题 共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 〔1〕【2016年北京，文1，5分】已知集合{}24A x x =<<，{}35B x x x =<>或，则A B =〔 〕〔A 〕{}25x x << 〔B 〕{}45x x x <>或 〔C 〕{}23x x << 〔D 〕{}25x x x <>或 【答案】C【解析】∵集合{}24A x x =<<，{}35B x x x =<>或，∴{}23Ax x B =<<，故选C ．【点评】此题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．〔2〕【2016年北京，文2，5分】复数12i2i+=-〔 〕〔A 〕i 〔B 〕1i + 〔C 〕i - 〔D 〕1i - 【答案】A【解析】()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5+++===--+，故选A ． 【点评】此题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题． 〔3〕【2016年北京，文3】执行如下图的程序框图，输出s 的值为〔 〕〔A 〕8〔B 〕9 〔C 〕27 〔D 〕36【答案】B 【解析】当0k =时，满足进行循环的条件，故0S =，1k =，当1k =时，满足进行循环的条件，故1S =， 2k =，当2k =时，满足进行循环的条件，故9S =，3k =，当3k =时，不满足进行循环的 条件，故输出的S 值为9，故选B ．【点评】此题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．〔4〕【2016年北京，文4，5分】以下函数中，在区间()1,1-上为减函数的是〔 〕〔A 〕11y x=- 〔B 〕cos y x = 〔C 〕()ln 1y x =+ 〔D 〕2x y -= 【答案】D【解析】A ．x 增大时，x -减小，1x -减小，∴11x-增大；∴函数11y x =-在()1,1-上为增函数，该选项错误；B ．cos y x =在()1,1-上没有单调性，该选项错误；C ．x 增大时，1x +增大，()ln 1x +增大，∴()ln 1y x =+ 在()1,1-上为增函数，即该选项错误；D ．122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭；∴根据指数函数单调性知，该函数在()1,1-上 为减函数，∴该选项正确，故选D ．【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算．〔5〕【2016年北京，文5，5分】圆()2212x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为〔 〕 〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕2 〔D 〕22 【答案】C【解析】∵圆()2212x y ++=的圆心为()1,0-，∴圆()2212x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为：1322d -+==，故选C ． 【点评】此题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．〔6〕【2016年北京，文6，5分】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为〔 〕〔A 〕15 〔B 〕25 〔C 〕825 〔D 〕925【答案】B【解析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本领件总数2510n C ==，甲被选中包含的基本领件的个数11144m C C ==，∴甲被选中的概率42105P n π===，故选B ．【点评】此题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 〔7〕【2016年北京，文7，5分】已知()2,5A ，()4,1B ．假设点(),P x y 在线段AB 上，则2x y -的最大值为〔 〕〔A 〕1- 〔B 〕3 〔C 〕7 〔D 〕8 【答案】C 【解析】如图()2,5A ，()4,1B ．假设点(),P x y 在线段AB 上，令2z x y =-，则平行2y x z =-当直线经过B 时截距最小，z 取得最大值，可得2x y -的最大值为：2417⨯-=，故选C ．【点评】此题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键． 〔8〕【2016年北京，文8，5分】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊． 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远〔单位：米〕 30秒跳绳〔单位：次〕 63 a 75 60 63 72 70 a ﹣1 b 65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则〔 〕 〔A 〕2号学生进入30秒跳绳决赛 〔B 〕5号学生进入30秒跳绳决赛 〔C 〕8号学生进入30秒跳绳决赛 〔D 〕9号学生进入30秒跳绳决赛 【答案】B【解析】∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a ，60，63，1a -有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选B ．【点评】此题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键．第二部分〔非选择题 共110分〕二、填空题：共6小题，每题5分，共30分。

2016年高考题全国Ⅰ卷文数题干+解析1.(2016·全国Ⅰ卷,文1)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B等于( B )(A){1,3} (B){3,5} (C){5,7} (D){1,7}解析:集合A与集合B公共元素有3,5,故A∩B={3,5},选B.2.(2016·全国Ⅰ卷,文2)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a等于( A )(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3解析:(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,由已知,得a-2=1+2a,解得a=-3,选A.3.(2016·全国Ⅰ卷,文3)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( C ) (A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

解析:将4种颜色的花中任选两种种在一个花坛中,余下2种种在另一个花坛,有6种种法,其中红色和紫色不在一个花坛的种数有4种,故概率为错误!未找到引用源。

,选C.4.(2016·全国Ⅰ卷,文4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=错误!未找到引用源。

,c=2,cos A=错误!未找到引用源。

,则b等于( D )(A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)2 (D)3解析:由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×错误!未找到引用源。

,解得b=3(b=-错误!未找到引用源。

舍去),选D.5.(2016·全国Ⅰ卷,文5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的错误!未找到引用源。

,则该椭圆的离心率为( B )(A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

2016年北京高考数学文科试题及答案
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绝密★启封前2016年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5} 2．复数=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i3．执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8 B．9 C．27 D．364．下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln（x+1）D．y=2﹣x5．圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．26．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．7．已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．3 C．7 D．88．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10立定跳远（单1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 位：米）30秒跳绳（单63 a 75 60 63 72 70 a﹣1 b 65 位：次）在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．10．函数f（x）=（x≥2）的最大值为．11．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=，b=．13．在△ABC中，∠A=，a=c，则=．14．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店：①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．19．（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．20．（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．2016年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．2．【解答】解：===i，故选：A3．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B4．【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选D．5．【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：d==．故选：C．6．【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n==10，甲被选中包含的基本事件的个数m==4，∴甲被选中的概率p===．故选：B．7．【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7．故选：C．8．【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．10．【解答】解：；∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；∴x=2时，f（x）取最大值2．故答案为：2．11．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S=×（1+2）×1=，棱柱的高为1，故棱柱的体积V=，故答案为：12．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），∴，解得a=1，b=2．故答案为：1，2．13．【解答】解：在△ABC中，∠A=，a=c，由正弦定理可得：，=，sinC=，C=，则B==．三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，则=1．故答案为：1．14．【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种，当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．三、解答题（共6小题，满分80分）15．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）= n•2n+= n2+．16．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．17．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．18．【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC，∵DC⊥AC，PC∩AC=C，∴DC⊥平面PAC；（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC=C，∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．∵点E为AB的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF．19．【解答】（1）解：∵椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a=2，b=1，则，∴椭圆C的方程为，离心率为e=；（2）证明：如图，设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y=，取x=0，得；，PB所在直线方程为，取y=0，得．∴|AN|=，|BM|=1﹣．∴= =﹣== = ．∴四边形ABNM的面积为定值2．20．【解答】解：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b，切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c；（2）设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），当x＞﹣或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x＜﹣时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x=﹣处取得极小值，且为﹣．由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣＜﹣c＜0，解得0＜c＜，则c的取值范围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．即有f（x）有3个单调区间，即为导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c=0，a=b=4时，满足a2﹣3b＞0，即有f（x）=x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．若a≠0，令△=1+4a=0，解得a=，解得x=2．经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．综上可得：a=0或﹣．（3）a＞0，对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，∴﹣≤1，∴≤2，化为：a≥=g（t），t∈[，1]，g′（t）===≤＜0，∴g（t）在t∈[，1]上单调递减，∴t=时，g（t ）取得最大值，=．∴．∴a 的取值范围是．11。

绝密★启用前本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）（1）已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则A B =（A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或 （C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或 【答案】C考点： 集合交集 （2）复数12i=2i+- （A ）i （B ）1+i （C ）i - （D ）1i - 【答案】A 【解析】 试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 考点：复数运算（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）8 （B ）9 （C ）27 （D ）36 【答案】B考点： 程序框图（4）下列函数中，在区间(1,1)- 上为减函数的是 （A ）11y x=- （B ）cos y x = （C ）ln(1)y x =+ （D ）2x y -= 【答案】D 【解析】试题分析：由12()2xx y -==在R 上单调递减可知D 符合题意，故选D. 考点：函数单调性（5）圆（x +1）2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为（A ）1 （B ）2 （C （D ）【答案】C 【解析】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d == C.考点：直线与圆的位置关系（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（A）15（B）25（C）825（D）925【答案】B 【解析】试题分析：所求概率为142525CPC==，故选B.考点：古典概型（7）已知A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x−y的最大值为（A）−1 （B）3 （C）7 （D）8【答案】C考点：函数最值（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（A）2号学生进入30秒跳绳决赛（B）5号学生进入30秒跳绳决赛（C）8号学生进入30秒跳绳决赛（D）9号学生进入30秒跳绳决赛【答案】B【解析】试题分析：将确定成绩的30秒跳绳成绩的按从大到小的顺寻排，分别是3，6，7，10，（1，5并列），4，其中，3，6，7号进了立定跳远的决赛，10号没进立定跳远的决赛，故9号需进30秒跳绳比赛的前8名，此时确定的30秒跳绳比赛决赛的名单为3，6，7，10，9，还需3个编号为1-8的同学进决赛，而（1，5）与4的成绩仅相隔1，故只能1，5，4进30秒跳绳的决赛，故选B. 考点：统计第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）已知向量=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________. 【答案】30.考点： 向量数量积与夹角公式,数形结合 （10）函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为_________. 【答案】2 【解析】试题分析：1()11121f x x =+≤+=-，即最大值为2. 考点：函数最值,数形结合（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.【答案】3.2【解析】试题分析：四棱柱高为1，底面为等腰梯形，面积为13(12)122⨯+⨯=，因此体积为3.2考点：三视图(12) 已知双曲线22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为2x +y =0，一个焦点为,0），则a =_______；b =_____________. 【答案】1,2a b ==考点：双曲线的基本概念 (13)在△ABC 中，23A π∠= ，，则bc =_________.【答案】1 【解析】试题分析：由正弦定理知sin sin A aC c==2sin1sin 2C π==，则6C π=，所以2366B ππππ=--=，所以b c =，即1bc =．考点：解三角形(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有______种； ②这三天售出的商品最少有_______种. 【答案】①16；②29 【解析】试题分析：①由于前二天都售出的商品有3种，因此第一天售出的有19-3=16种商品第二天未售出；答案为 16．②同①第三售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出，三天总商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数为29．分别用,,A B C 表示第一、二、三天售出的商品，如图最少时的情形．故答案为29．CBA139142考点： 统计分析三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设c n = a n + b n ，求数列{c n }的前n 项和.【答案】（Ⅰ）21n a n =-（1n =，2，3，⋅⋅⋅）；（Ⅱ）2312-+n n（II ）由（I ）知，21n a n =-，13n n b -=．因此1213n n n n c a b n -=+=-+．从而数列{}n c 的前n 项和()11321133n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()12113213nn n +--=+- 2312n n -=+． 考点：等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查运算能力. （16）（本小题13分）已知函数f （x ）=2sin ωx cos ωx + cos 2ωx （ω>0）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f （x ）的单调递增区间.【答案】（Ⅰ）1ω=（Ⅱ）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．由222242k x k πππππ-≤+≤+，得388k x k ππππ-≤≤+． 所以()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． 考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性. （17）（本小题13分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（I ）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？（II ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费. 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%．依题意，w 至少定为3．（II ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 10.5=（元）．考点：频率分布直方图求频率，频率分布直方图求平均数的估计值. （18）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥ （I ）求证：DC PAC ⊥平面； （II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（III ）存在.理由见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用线面垂直判定定理证明；（Ⅱ）利用面面垂直判定定理证明；（III ）取PB 中点F ，连结F E ，则F//E PA ，根据线面平行定理则//PA 平面C F E . 试题解析：（I ）因为C P ⊥平面CD AB ， 所以C DC P ⊥． 又因为DC C ⊥A ， 所以DC ⊥平面C PA ．考点：空间垂直判定与性质；空间想象能力，推理论证能力 （19）（本小题14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=过点A （2,0），B （0,1）两点.（I ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；=e .（II ）设()00,x y P （00x <，00y <），则220044x y +=．又()2,0A ，()0,1B ，所以， 直线PA 的方程为()0022y y x x =--． 令0x =，得0022y y x M =--，从而002112y y x M BM =-=+-． 直线PB 的方程为0011y y x x -=+． 令0y =，得001x x y N =--，从而00221x x y N AN =-=+-． 所以四边形ABNM 的面积12S =AN ⋅BM 00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+00000000224422x y x y x y x y --+=--+2=．从而四边形ABNM 的面积为定值．考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力. （20）（本小题13分）设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.【答案】（Ⅰ）y bx c =+;（Ⅱ）320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭;（III ）见解析.()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点。

所以椭圆 C 的方程为x2y21．4又 c a2b2 3 ，所以离心率e c3a ．2〔II 〕设x0 , y0〔 x00 ， y00 〕，那么x024y024．又2,0 ，0,1，所以，直线的方程为 y y0x 2 ．x02令 x0，得 y 2 y0，从而1y12 y0 ．x0 2x02直线的方程为 y y0 1 x1．x0令 y0，得xx0，从而2x2x0．y0 1y01所以四边形的面积S1212x012y022y01x0x02 4 y024x0 y04x08 y042 x0 y0x0 2 y022x0 y02x0 4 y04x0 y0x0 2 y022．从而四边形的面积为定值．〔20〕〔共 13 分〕解：〔 I 〕由fx x3ax2bx c ，得 f x 3x22ax b．因为 f 0 c ， f 0b ，所以曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程为 y bx c ．〔II 〕当a b 4 时， f xx 3 4x 24x c ，所以 f x 3x 2 8x 4 ．令 fx0 ，得 3x 28x 4 0 ，解得x2 或x2 ．3f x 与 fx 在区间,上的情况如下：x , 22 2,2 2233,3f x 0 0f xc32c27所以，当 c0 且 c 320 时，存在 x 14, 2 ，x 22,2 ，273x 32,0 ，使得 fx 1 f x 2f x 30 ．3由 f x的单调性知，当且仅当c0,32时，函数fxx 34x 2 4x c 有三个不同27零点．〔III 〕当 4a 2 12b0 时，f x3x 22ax b 0 ， x ,，此时函数 fx 在区间,上单调递增，所以 f x 不可能有三个不同零点．当 4a 2 12b0 时，fx3x 2 2axb 只有一个零点，记作 x 0．当 x, x 0 时，Ziuank u fx 0， f x 在区间 , x 0 上单调递增；当 xx 0 ,时， f x0 ， fx 在区间x 0 ,上单调递增．所以 fx 不可能有三个不同零点．综上所述，假设函数 f x 有三个不同零点，那么必有 4a 2 12b 0 ．故 a 2 3b 0 是fx 有三个不同零点的必要条件．......当 a b 4 ， c 0 时， a 23b 0 ， f x x 3 4x 2 4x x x 2 2 只有两个不同 零点， 所以 a 2 3b 0 不是f x 有三个不同零点的充分条件． 因此 a 2 3b 0 是f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．。

2016年高考题全国Ⅰ卷文数题干+解析1.(2016·全国Ⅰ卷,文1)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B等于( B )(A){1,3} (B){3,5} (C){5,7} (D){1,7}解析:集合A与集合B公共元素有3,5,故A∩B={3,5},选B.2.(2016·全国Ⅰ卷,文2)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a等于( A )(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3解析:(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,由已知,得a-2=1+2a,解得a=-3,选A.3.(2016·全国Ⅰ卷,文3)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( C ) (A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

解析:将4种颜色的花中任选两种种在一个花坛中,余下2种种在另一个花坛,有6种种法,其中红色和紫色不在一个花坛的种数有4种,故概率为错误!未找到引用源。

,选C.4.(2016·全国Ⅰ卷,文4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=错误!未找到引用源。

,c=2,cos A=错误!未找到引用源。

,则b等于( D )(A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)2 (D)3解析:由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×错误!未找到引用源。

,解得b=3(b=-错误!未找到引用源。

舍去),选D.5.(2016·全国Ⅰ卷,文5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的错误!未找到引用源。

,则该椭圆的离心率为( B )(A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

绝密★启用前本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）（1）已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则A B =（A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或 （C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或【答案】C考点： 集合交集 （2）复数12i=2i+- （A ）i （B ）1+i （C ）i - （D ）1i - 【答案】A 【解析】 试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 考点：复数运算（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A）8（B）9（C）27（D）36【答案】B考点：程序框图（4）下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是（A）11yx=-（B）cosy x=（C）ln(1)y x=+（D）2xy-=【答案】D 【解析】试题分析：由12()2x xy-==在R上单调递减可知D符合题意，故选D.考点：函数单调性（5）圆（x +1）2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为（A ）1 （B ）2 （C（D ）【答案】C 【解析】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d ==，故选C.考点：直线与圆的位置关系（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（A ）15 （B ）25 （C ）825 （D ）925【答案】B 【解析】试题分析：所求概率为142525C P C ==，故选B.考点： 古典概型（7）已知A （2，5），B （4，1）.若点P （x ，y ）在线段AB 上，则2x −y 的最大值为（A ）−1 （B ）3 （C ）7 （D ）8 【答案】C考点： 函数最值（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（A ）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B ）5号学生进入30秒跳绳决赛 （C ）8号学生进入30秒跳绳决赛 （D ）9号学生进入30秒跳绳决赛 【答案】B 【解析】试题分析：将确定成绩的30秒跳绳成绩的按从大到小的顺寻排，分别是3，6，7，10，（1，5并列），4，其中，3，6，7号进了立定跳远的决赛，10号没进立定跳远的决赛，故9号需进30秒跳绳比赛的前8名，此时确定的30秒跳绳比赛决赛的名单为3，6，7，10，9，还需3个编号为1-8的同学进决赛，而（1，5）与4的成绩仅相隔1，故只能1，5，4进30秒跳绳的决赛，故选B. 考点：统计第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）已知向量=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________. 【答案】30.考点： 向量数量积与夹角公式,数形结合 （10）函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为_________. 【答案】2 【解析】试题分析：1()11121f x x =+≤+=-，即最大值为2. 考点：函数最值,数形结合（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.【答案】3.2【解析】试题分析：四棱柱高为1，底面为等腰梯形，面积为13(12)122⨯+⨯=，因此体积为3.2考点：三视图(12) 已知双曲线22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为2x +y =0，一个焦点为,0），则a =_______；b =_____________. 【答案】1,2a b ==考点：双曲线的基本概念 (13)在△ABC 中，23A π∠= ，c ，则bc =_________.【答案】1 【解析】试题分析：由正弦定理知sin sin A aC c==2sin1sin 2C π==，则6C π=，所以2366B ππππ=--=，所以b c =，即1bc =．考点：解三角形(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种； ②这三天售出的商品最少有_______种. 【答案】①16；②29 【解析】试题分析：①由于前二天都售出的商品有3种，因此第一天售出的有19-3=16种商品第二天未售出；答案为 16．②同①第三售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出，三天总商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数为29．分别用,,A B C 表示第一、二、三天售出的商品，如图最少时的情形．故答案为29．CBA139142考点： 统计分析三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设c n = a n + b n ，求数列{c n }的前n 项和.【答案】（Ⅰ）21n a n =-（1n =，2，3，⋅⋅⋅）；（Ⅱ）2312-+n n（II ）由（I ）知，21n a n =-，13n n b -=．因此1213n n n n c a b n -=+=-+．从而数列{}n c 的前n 项和()11321133n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()12113213n n n +--=+-2312n n -=+．考点：等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查运算能力. （16）（本小题13分）已知函数f （x ）=2sin ωx cos ωx + cos 2ωx （ω>0）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f （x ）的单调递增区间. 【答案】（Ⅰ）1ω=（Ⅱ）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． 由222242k x k πππππ-≤+≤+，得388k x k ππππ-≤≤+． 所以()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． 考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性. （17）（本小题13分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%．依题意，w至少定为3．（II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.0510.5=（元）． 考点：频率分布直方图求频率，频率分布直方图求平均数的估计值. （18）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥ （I ）求证：DC PAC ⊥平面； （II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（III ）存在.理由见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用线面垂直判定定理证明；（Ⅱ）利用面面垂直判定定理证明；（III ）取PB 中点F ，连结F E ，则F//E PA ，根据线面平行定理则//PA 平面C F E . 试题解析：（I ）因为C P ⊥平面CD AB ， 所以C DC P ⊥． 又因为DC C ⊥A ， 所以DC ⊥平面C PA ．考点：空间垂直判定与性质；空间想象能力，推理论证能力（19）（本小题14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；2=e （Ⅱ）见解析.（II ）设()00,x y P （00x <，00y <），则220044x y +=．又()2,0A ，()0,1B ，所以，直线PA 的方程为()0022y y x x =--． 令0x =，得0022y y x M =--，从而002112y y x M BM =-=+-． 直线PB 的方程为0011y y x x -=+． 令0y =，得001x x y N =--，从而00221x x y N AN =-=+-． 所以四边形ABNM 的面积12S =AN ⋅BM 00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+00000000224422x y x y x y x y --+=--+ 2=．从而四边形ABNM 的面积为定值．考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力.（20）（本小题13分）设函数()32.f x x ax bx c =+++ （I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.【答案】（Ⅰ）y bx c =+;（Ⅱ）320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭;（III ）见解析.()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===． 由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点。

2(D)22人，则甲被选中的概率为人，则甲被选中的概率为9(D)25的最大值为的最大值为学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 学生序号立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次）63 a 75 60 63 72 70 a−1 b 65 (A)2号学生进入30秒跳绳决赛秒跳绳决赛 (B)5号学生进入30秒跳绳决赛秒跳绳决赛 (C) 8号学生进入30秒跳绳决赛秒跳绳决赛 (D) 9号学生进入30秒跳绳决赛秒跳绳决赛第Ⅱ卷二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

(9)已知向量)3,1(=a ，)1,3(=b ，则a 与b 夹角的大小为_______.(10)函数)2(1)(³-=x x x x f 的最大值为________． (11)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为则该四棱柱的体积为_________. _________.(12)已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线为02=+y x ，一个焦点为)0,5(，则=a _______；=b _____________.(13)在ABC D 中，32p=ÐA ，c a 3=，则=cb ____________. (14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种.则该网店则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；种； ②这三天售出的商品最少有②这三天售出的商品最少有_____________________种种.三．解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(15)(本小题满分13分) 已知}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列，且32=b ，93=b ，11b a =，414b a =. (I)求}{n a 的通项公式；的通项公式； (II)设nn n b a c +=，求数列}{n c 的前n 项和项和.. (16) (本小题满分本小题满分13分) 已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=w w w w x x x x f 的最小正周期为p .(I)求w 的值；的值；(II)求)(x f 的单调递增区间的单调递增区间. .(17)(本小题满分13分) 某市民用水拟实行阶梯水价某市民用水拟实行阶梯水价..每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费立方米收费..从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(I)(I)如果如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？至少定为多少？(II)(II)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替..当3=w 时，估计该市居民该月的人均水费月的人均水费. .(18)(本小题满分14分)如图，在四棱锥ABCD P -中，^PC 平面ABCD ，DC AB //，AC DC ^. (I)(I)求证：求证：^DC 平面PAC ；(II)求证：平面^PAB 平面PAC ；(III)(III)设点设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面CEF 说明理由说明理由..(19)(本小题满分14分) 已知椭圆C ：12222=+by a x 过点)0,2(A ，)1,0(B 两点两点.. (I)(I)求椭圆求椭圆C 的方程及离心率；的方程及离心率；(II)(II)设设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，上，直线直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：四边形ABNM 的面积为定值的面积为定值. .(20)(本小题满分13分) 设函数c bx ax x x f +++=23)(.(I)(I)求曲线求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；处的切线方程；(II)(II)设设4==b a .若函数)(x f 有三个不同零点，求c 的取值范围；的取值范围；(III)(III)求证：求证：032>-b a 是)(x f 有三个不同零点的必要而不充分条件有三个不同零点的必要而不充分条件. .（1）【答案】C 考点： 集合交集 （2）【答案】A 【解析】试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 考点：复数运算 （3）【答案】B 考点： 程序框图（4）【答案】D 【解析】 试题分析：由12()2xxy -==在R上单调递减可知D 符合题意，故选D. 考点：函数单调性 （5）【答案】C 【解析】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知|103|22d --+==，故选C. 考点：直线与圆的位置关系 （6）【答案】B 【解析】试题分析：所求概率为142525C P C ==，故选B. 考点： 古典概型 （7）【答案】C 考点： 函数最值 （8）【答案】B 【解析】试题分析：将确定成绩的30秒跳绳成绩的按从大到小的顺寻排，分别是3，6，7，10，（1，5并列），4，其中，3，6，7号进了立定跳远的决赛，10号没进立定跳远的决赛，故9号需进30秒跳绳比赛的前8名，此时确定的30秒跳绳比赛决赛的名单为3，6，7，10，9，还需3个编号为1-8的同学进决赛，而（1，5）与4的成绩仅相隔1，故只能1，5，4进30秒跳绳的决赛，故选B. 考点：统计 （9）【答案】30.考点： 向量数量积与夹角公式,数形结合 （10）【答案】2 【解析】试题分析：1()11121f x x =+£+=-，即最大值为2. 考点：函数最值,数形结合 （11）【答案】3.2【解析】试题分析：四棱柱高为1，底面为等腰梯形，面积为13(12)122´+´=，因此体积为3.2考点：三视图(12)【答案】1,2a b ==考点：双曲线的基本概念 (13)【答案】1 【解析】试题分析：由正弦定理知sin 3sin A aC c==，所以2sin13sin 23C p==，则6C p=，所以2366B p p p p =--=，所以b c =，即1bc =．考点：解三角形(14)【答案】①16；②29 【解析】试题分析：①由于前二天都售出的商品有3种，因此第一天售出的有19-3=16种商品第二天未售出；答案为 16．②同①第三售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出，三天总商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数为29．分别用,,A B C 表示第一、二、三天售出的商品，如图最少时的情形．故答案为29．CBA139142考点： 统计分析三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）【答案】（Ⅰ）21na n =-（1n =，2，3，×××）；（Ⅱ）2312-+nn（II ）由（I ）知，21n a n =-，13n n b -=．因此1213n n n n c a b n -=+=-+． 从而数列{}n c 的前n 项和()11321133n n S n -=++×××+-+++×××+()12113213n n n +--=+- 2312n n -=+．考点：等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查运算能力. （16）【答案】（Ⅰ）1w =（Ⅱ）3,88k k p p p p éù-+êúëû（k ÎZ ）．函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k p p p p éù-+êúëû（k ÎZ ）．由222242k x k p p pp p -£+£+，得388k x k p p p p -££+．所以()f x 的单调递增区间为3,88k k p p p p éù-+êúëû（k ÎZ ）．考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性. （17）【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元. 所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%． 依题意，w 至少定为3．（II ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 []2,4(]4,6(]6,8(]8,10(]10,12 (]12,17 (]17,22 (]22,27频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05´+´+´+´+´+´+´+´10.5=（元）． 考点：频率分布直方图求频率，频率分布直方图求平均数的估计值. （18）【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（III ）存在理由见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用线面垂直判定定理证明；（Ⅱ）利用面面垂直判定定理证明；（III ）取RB 中点F ，连结F E ，则F//E RA ，根据线面平行定理则//RA 平面C F E . 试题解析：（I ）因为C R ^平面CD AB ， 所以C DC R ^． 又因为DC C ^A ，所以DC ^平面C RA ．考点：空间垂直判定与性质；空间想象能力，推理论证能力 （19）【答案】（Ⅰ）2214x y +=；32=e（Ⅱ）见解析. （II ）设()00,x y R （00x <，00y <），则220044x y +=．又()2,0A ，()0,1B ，所以， 直线RA 的方程为()0022yy x x =--．令0x =，得0022y y x M =--，从而002112y y x M BM =-=+-． 直线RB 的方程为0011y y x x -=+． 令0y =，得001x x y N =--，从而00221x x y N AN =-=+-．所以四边形ABNM 的面积12S =AN ×BM00002121212x y y x æöæö=++ç÷ç÷--èøèø ()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+00000000224422x y x y x y x y --+=--+2=．从而四边形ABNM 的面积为定值．考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力. （20）【答案】（Ⅰ）y bx c =+;（Ⅱ）320,27c æöÎç÷èø;（III ）见解析. ()f x 与()f x ¢在区间(),-¥+¥上的情况如下：x (),2-¥-2-22,3æö--ç÷èø23- 2,3æö-+¥ç÷èø()f x ¢ +- 0+()f xc3227c -所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x Î--，222,3x æöÎ--ç÷èø， 32,03x æöÎ-ç÷èø，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c æöÎç÷èø时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A∩B=()A.{x|2<x<5}B.{x|x<4或x>5}C.{x|2<x<3}D.{x|x<2或x>5}=()2.复数1+2i2-iA.iB.1+iC.-iD.1-i3.执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.8B.9C.27D.364.下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是()B.y=cos xC.y=ln(x+1)D.y=2-xA.y=11-x5.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A.1B.2C.2D.226.从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()A.15B.25C.825D.9257.已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为()A.-1B.3C.7D.88.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则()A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知向量a=(1,3),b=(3,1),则a与b夹角的大小为.10.函数f(x)=xx-1(x≥2)的最大值为.11.某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.12.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为( 5,0),则a= ;b= .13.在△ABC 中,∠A=2π3,a= 3c,则bc = .14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有 种; ②这三天售出的商品最少有 种.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题13分)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4. (Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)设c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和.16.(本小题13分)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间.17.(本小题13分)某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:(Ⅰ)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w 至少定为多少?(Ⅱ)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.18.(本小题14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(Ⅰ)求证:DC⊥平面PAC;(Ⅱ)求证:平面PAB⊥平面PAC;(Ⅲ)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.19.(本小题14分)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1过A(2,0),B(0,1)两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程及离心率;(Ⅱ)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.20.(本小题13分)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)设a=b=4.若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围; (Ⅲ)求证:a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.2016年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)一、选择题1.C将集合A、B画在数轴上,如图.由图可知A∩B={x|2<x<3},故选C.2.A1+2i2-i =(1+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=2+i+4i+2i24-i2=5i5=i,故选A.3.B由题意,知s=0,k=1,s=1,k=2,s=9,k=3,这时3>2,输出s=9,故选B.4.D选项A中,y=11-x =1-(x-1)的图象是将y=-1x的图象向右平移1个单位得到的,故y=11-x在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cos x在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,y=ln(x+1)的图象是将y=ln x的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.5.C由题知圆心坐标为(-1,0),将直线y=x+3化成一般形式为x-y+3=0,故圆心到直线的距离d==.故选C.6.B设这5名学生为甲、乙、丙、丁、戊,从中任选2人的所有情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),(丙,丁),(丙,戊),(丁,戊),共4+3+2+1=10种.其中甲被选中的情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4种,故甲被选中的概率为410=25.故选B.7.C点P(x,y)在线段AB上且A(2,5),B(4,1),如图:设z=2x-y,则y=2x-z,当直线y=2x-z经过点B(4,1)时,z取得最大值,最大值为2×4-1=7.8.B因为这10名学生中进入立定跳远决赛的有8人,故立定跳远成绩排名最后的9号和10号学生就被淘汰了.又因为同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则1~8号学生中必有2人被淘汰,因为a-1<a,其余数字最小的为60,故有以下几种情况:①若a-1≥63,此时淘汰的不止2人,故此种情况不可能;②若a-1<a<60,此时被淘汰的为2号和8号;③若60≤a-1<a≤63,此时被淘汰的为4号和8号.综上,8,9,10号学生一定会被淘汰,2号有可能会被淘汰,故选B.二、填空题9.答案π6解析∵cos<a,b>=a·b|a|·|b|=1×3+3×12×2=32,∴a与b夹角的大小为π6.10.答案2解析∵f'(x)=-1(x-1)2,∴x≥2时,f'(x)<0恒成立,∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.11.答案32解析由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体,将该几何体还原到长方体中,如图所示,该几何体为四棱柱ABCD-A'B'C'D'.故该四棱柱的体积V=Sh=12×(1+2)×1×1=32.12.答案1;2解析由题可知双曲线焦点在x轴上,故渐近线方程为y=±bax,又一条渐近线为2x+y=0,即y=-2x,∴ba=2,即b=2a.又∵该双曲线的一个焦点为(5,0),∴c=5.由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5,解得a=1,b=2.13.答案1解析在△ABC中,a 2=b2+c2-2bc·cos A,将∠A=2π3,a=3c代入,可得(3c)2=b2+c2-2bc·-12,整理得2c2=b2+bc.∵c≠0,∴等式两边同时除以c2,得2=b2c2+bcc2,即2=bc2+bc.令t=bc(t>0),有2=t2+t,即t2+t-2=0,解得t=1或t=-2(舍去),故bc=1.14.答案①16②29解析设第一天售出的商品种类构成集合A,第二天售出的商品种类构成集合B,第三天售出的商品种类构成集合C,关系如图.①第一天售出但第二天未售出的共16种.②若这三天售出的商品种类最少,只需令第三天售出且未在第二天售出的14种商品全在第一天售出的且未在第二天售出的16种商品中,此时共有16+3+6+4=29种.三、解答题15.解析(Ⅰ)等比数列{b n}的公比q=b3b2=93=3,(1分)所以b1=b2q=1,b4=b3q=27.(3分)设等差数列{a n}的公差为d.因为a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2.(5分)所以a n=2n-1(n=1,2,3,…).(6分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,a n=2n-1,b n=3n-1.因此c n =a n +b n =2n-1+3n-1.(8分) 从而数列{c n }的前n 项和 S n =1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1 =n (1+2n -1)2+1-3n1-3=n 2+3n -12.(13分)16.解析 (Ⅰ)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx =sin 2ωx+cos 2ωx = 2sin 2ωx +π4,(3分)所以f(x)的最小正周期T=2π2ω=πω.(4分)依题意,πω=π,解得ω=1.(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)= 2sin 2x +π4.函数y=sin x 的单调递增区间为 2kπ-π2,2k π+π2(k ∈Z ).(8分)由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k ∈Z ), 得kπ-3π8≤x ≤kπ+π8(k ∈Z ).(12分) 所以f(x)的单调递增区间为 kπ-3π8,k π+π8 (k ∈Z ).(13分)17.解析 (Ⅰ)由用水量的频率分布直方图知,该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.(3分)所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.(5分)依题意,w至少定为3.(6分)(Ⅱ)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:(10分)根据题意,该市居民该月的人均水费估计为:4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元).(13分)18.解析(Ⅰ)证明:因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.(2分)又因为DC⊥AC,AC∩PC=C,所以DC⊥平面PAC.(4分)(Ⅱ)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.(6分)因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.(7分)又AC∩PC=C,所以AB⊥平面PAC.又AB ⊂平面PAB,所以平面PAB ⊥平面PAC.(9分)(Ⅲ)棱PB 上存在点F,使得PA ∥平面CEF.证明如下:(10分) 取PB 中点F,连结EF,CE,CF.又因为E 为AB 的中点, 所以EF ∥PA.(13分) 又因为PA ⊄平面CEF, 所以PA ∥平面CEF.(14分)19.解析 (Ⅰ)由题意得,a=2,b=1. 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(3分) 又c= a 2-b 2= 3, 所以离心率e=ca= 32.(5分)(Ⅱ)设P(x 0,y 0)(x 0<0,y 0<0),则x 02+4y 02=4.(6分)又A(2,0),B(0,1),所以,直线PA 的方程为y=y0x 0-2(x-2).令x=0,得y M =-2y 0x 0-2,从而|BM|=1-y M =1+2yx 0-2.(9分)直线PB 的方程为y=y 0-1x 0x+1.令y=0,得x N =-x0y 0-1, 从而|AN|=2-x N =2+x 0y 0-1.(12分)所以四边形ABNM 的面积 S=12|AN|·|BM|=12 2+x 0y 0-11+2y0x 0-2 =x 02+4y 02+4x 0y 0-4x 0-8y 0+42(x 0y 0-x 0-2y 0+2)=2x 0y 0-2x 0-4y 0+4x 0y 0-x 0-2y 0+2=2.从而四边形ABNM 的面积为定值.(14分)20.解析 (Ⅰ)由f(x)=x 3+ax 2+bx+c, 得f '(x)=3x 2+2ax+b. 因为f(0)=c, f '(0)=b,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=bx+c.(3分) (Ⅱ)当a=b=4时, f(x)=x 3+4x 2+4x+c, 所以f '(x)=3x 2+8x+4.令f'(x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x=-2或x=-23.(4分)f(x)与f'(x)在区间(-∞,+∞)上的情况如下:(6分)所以,当c>0且c-3227<0时,存在x1∈(-4,-2),x2∈-2,-23,x3∈-23,0,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.由f(x)的单调性知,当且仅当c∈0,3227时,函数f(x)=x3+4x2+4x+c有三个不同零点.(8分) (Ⅲ)证明:当Δ=4a2-12b<0时,f'(x)=3x2+2ax+b>0,x∈(-∞,+∞),此时函数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,所以f(x)不可能有三个不同零点.(9分)当Δ=4a2-12b=0时,f'(x)=3x2+2ax+b只有一个零点,记作x0.当x∈(-∞,x0)时,f'(x)>0,f(x)在区间(-∞,x0)上单调递增;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在区间(x0,+∞)上单调递增.所以f(x)不可能有三个不同零点.综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有Δ=4a2-12b>0.故a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要条件.(11分)当a=b=4,c=0时,a2-3b>0,f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有两个不同零点,所以a2-3b>0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.(12分)因此a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.(13分)。